Taller 3 Ejercicios de Distribucion de Probabilidad

EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

MARIA ESTHER PALENCIA VILLADIEGO TANIA ZAMARA RHERNALS MARTINEZ

Tutor MARCOS CASTRO

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA Programa: ADMINISTRACION FINANCIERA Área: ESTADISTICA APLICADA ALA INVESTIGACION V SEMESTRE CERETE 2013

EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

1. Un embarque de 7 televisores incluye dos defectuosos. Un hotel realiza una compra de manera aleatoria d 3 de estos aparatos. Si X es el número de televisores defectuosos comprados por el hotel encuentre la media o valor esperado de X. Respuesta: Sea

X= El número de televisores N= El tamaño de la población K= Numero de éxitos de la población n=Tamaño de la muestra n-K= Fracaso

Entonces: por distribución Hipergeométrica tenemos que: h( )

(

)

( )( ( )

)

X= 0,1,2,………..n

Entonces: h(

)

( )(

)

( )

Hallamos la función de distribuciónpara poder calcular el Valor esperado el cual está dado por: U= E(X) =∑ X p(X) p( )

( )( )

p( )

( )( )

p( )

( )( )

( )

( )

( )

U = E(X) =∑ X p(X)

==

Entonces: ∑x p(x) = ( )

( )

4. Suponga que las probabilidades 0.4, 0.3, 0.2, y 0.1 respectivamente , de que 0, 1, 2, o 3 fallas de energía eléctrica afecten una cierta subdivisión en un año cualquiera. Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X que representa el número de fallas de energía eléctrica que afectan esa subdivisión. Respuestas: media =1 y varianza =1.

Solución: De acuerdo al enunciado del ejercicio se obtiene la siguiente tabla de valores.

Variable aleatoria X 0 1 2 3

P(X)

X * P (X)

X2

X2 * P(x)

0,4 0,3 0,2 0,1

0 0,3 0,4 0,3 ∑=1

0 1 4 9

0 0,3 0,8 0,9 ∑=2

Aplicamos la fórmula del valor esperado o media:

u= E (X)=∑ x * P (x) se obtiene E(x)= 1

de

la

tabla

Para hallar la varianza aplicamos la fórmula: Var(x) = ∑ x2= obtiene de la tabla que: Var(x) 2-1=1 Var (x) =1

p (x)- u2 se

6. La probabilidad de que el nivel del ruido de un amplificador de un banda amplia exceda 2 dB es 0.05. Encontrar la probabilidad de que entre 12 de esos amplificadores el nivel del ruido: a) Exactamente 1 exceda 2 dB. b) A lo más en dos exceda 2 dB. c) En 2 o más se excedan 2 dB. Respuestas: a) 0.3413 b) 0.9805 c) 0.1183. Solución:

Se trata de una distribución binomial, donde la probabilidad de éxito es P=0.05, el número de ensayos es n=12, los ensayos son independientes entre sí, entonces se cumple que: q=1-p q=1 -0.05 = 0.95 q=0.95 X es la variable aleatoria X=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) a) Hallamos la probabilidad de que exactamente 1 entre los 12 amplificadores, exceda 2 dB. Aplicamos la fórmula de la distribución binomial: B (x, n, p)= (Cn, x )* (Px)*(qx-n) Para los valores x=1 n=12 p=0.05 q=0.95 Se obtiene: (C12,1)* (0.051)*(0.95)12-1 =12*(0.05)*0.5688 =0.3412

b) Hallamos la probabilidad de que a lo más en dos amplificadores excedan 2 dB Debemos resolver: b) (0,12, 0.05)+ b (1, 12,0.05)+b (2, 12,0.05) =1*1*0.54036+12*(0.05)*0.5688+66*(2.5*10-3)*0.5987 =0.54036+0.34128+0.09878

=0.98042 c) Hallamos la probabilidad de que dos o más amplificadores excedan 2 dB Se debe resolver p(X ≥ 2) b(2,12,0.05)+b(3,12,0.005)+b(4,12,0.05)+b(5,12,0.05)+b(6,12,0.05)+b(7,12,0.05)+ b(0,12,0.05)+b(9,12,0.05)+b(10,12,0.05)+b(11,12,0.05)+b(12,12,0.05)

Aplicando la formula binomial y resolviendo obtenemos: 0.09879 + .01733 +2.052469 * 10-3 + 1.72838 * 10-4 + 1.061288 *10-5 + 4.787769 * 10-7 + 1.574924 * 10-8 + 3.68406 * 10-10 +5.81689 * 10-12 + 5.5664 * 10-14 + 2.31933 * 10-6 = 0.1183 La probabilidad de que dos o más amplificadores excedan 2 dB es de 0.1183

8. En promedio cada rollo de 500 metros de lámina de acero trae dos imperfecciones. ¿Cuál es la probabilidad de que a medida que se desenvuelva el primer rollo, la primera imperfección aparezca en el primer segmento de 50 metros? Respuesta: 0.1813. Solución: Aplicamos la fórmula de distribución de Poisson: P(x, )=

El promedio de imperfecciones es:

= 4*10-3

En un segmento de 50 metros el promedio será:

(50) * (4* 10-3) = 0.2 Remplazando valores para el primer segmento de 50 metros obtenemos: P(1,0.2) =

= 0.1637

La probabilidad de que a medida que se abre el primer rollo, la primera imperfección aparezca en el primer segmento de 50 metros es de 0.1637

10. A un mostrador llega un promedio de 0.5 clientes por minuto. Después de que la encargada abre el mostrador, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar por lo menos 3 minutos antes de que se presente el primer cliente? Respuesta: 0.2231.

Solución: Aplicamos la fórmula de distribución de poisson: P(x, )=

X=1 λ=0.5 * 3 = 1.5 Reemplazando valores obtenemos: p(1,1.5) =

= 0.3346

La probabilidad de que tenga que esperar por lo menos 3 minutos antes de que se presente el primer cliente es de 0.3346

12. Entre los 12 colectores solares en exposición en una feria comercial, 9 son planos y los otros son curvos. Si una persona que visita la feria toma 4 de esos colectores para examinarlos, ¿cuál es la probabilidad de que tres de ellos sean colectores planos? Respuesta: 0.5091. Solución: Aplicamos la fórmula de la distribución hipergeometrica: P(n, X, N, Xt)=

(

Debemos resolver

)

( (

) )

p(4,3,12,9) =

(

) (

(

) )

=

=

= 0.5090

La probabilidad de que tres de los colectores sean planos es de 0.5090

14. Entre los 300 empleados de una compañía, 240 están sindicalizados mientras que los otros no. Si se escogen 8 por sorteo para integrar un comité que administre los fondos de pensiones, calcule la probabilidad de que 5 están sindicalizados mientras que los otros no, utilizando: a) la fórmula para distribución hipergeométrica. b) la fórmula para la distribución binomial como una aproximación. Respuestas: a) 0.1470, b) 0.1468.

Solución:

a).Aplicamos la fórmula de distribución hipergeometrica: P(n, X, N, Xt)=

(

)

( (

Para los valores n = 8 P(8,5, 300, 240)=

) )

X=5

(

) (

N=300

(

Xt =240

)

=0.1470

)

b).La fórmula para la distribución binomial como una aproximación

b(x,n,p) = Cn,x * px * q n-x Con P=

=

= 0.8

P = 0.8 y q = 1-p = 1-0.8 = 0.2

q = 0.2 b (5,8,0,8) = C (8,5) * (0,8)5 * (0,2)8-5 = C (8,5) * (0,8)5 * (0,2)3 = 5 * (0.32768) * (8*10-3) = 0.1468

0.1470

15. La tabla siguiente muestra las probabilidades de que una computadora falle 0, 1, 2, 3, 4, 5, ó 6 veces en un día cualquiera; número de fallas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 probabilidad: 0.17 0.29 0.27 0.16 0.07 0.03 0.01. Se pide calcular la media aritmética y la desviación estándar de ésta distribución. Para hallar la media se utiliza la expresión: U = ∑X*p(x)  (0) x (0.17) + (1) x (0.29) + (2) x (0.27) + (3) x (0.16) + (4) x (0.07) + (5) x (0.03) + (6) x (0.01) = 1.8 Por propiedad: 

=∑

(X- ) p(x)

= (0- ) (0.17) +0(1- ) (0.29) +(2) (0.07) +(5- ) (0.03) + (6- ) (0.01)





) (0.27) + (3-

) (0.16) + (4-

= 1.8 σ = √1.8 = 1.3426

19. Una variable aleatoria tiene distribución normal con desviación estándar igual a 10. Si la probabilidad de que asuma un valor menor que 82.5 es 0.8212. ¿Cuál es la probabilidad de que tome un valor mayor que 58.3? Solución: S=10;

P (X 58,3) ( (

) )

( (

( 1 – 0,0668

) )

) Ahora tabla para Z < – 1.5 corresponde a un área de 0,9332

22 Las fallas debidas al desgaste de un componente eléctrico, siguen la distribución normal. Si los componentes de un determinado tipo tienen una vida útil promedio de 1000 horas con una desviación estándar de 25 horas, encuentre la proporción de componentes que tendrá una vida de desgaste en horas de: a) mayor que 1040 horas b) menor que 955 horas c) entre 1020 y 1049 horas. Respuestas: a) 0.0548 b) 0.0359 c) 0.7631. Solución: = 1000 = 25 Z=

a) para x= 1040; Z =

= 1.6

Entonces p( x>1040) = 0.5 – p(z = 1.6) = 0.5 – 0.4452 = 0.0548 La proporción de componentes con mayor de 1040 horas de desgaste es de 0.0548

b) para x = 955 ; Z =

= Z = = 1.8

Z = 1.8

Entonces p(