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  TALLER: POLOS Y CEROS-ESTABILIDAD Y FILTROS SISTEMAS LINEALES Presentado por: Jhonier Giraldo Gil 1088029190

Diego Andrés Muñoz Gómez  1193543853 David Armando Bartolo Cruz 1090339158

Presentado a: Mauricio Morales Pérez  

 

  Resumen Para el desarrollo correspondiente a la práctica se estudió el tema de filtro, para darle solución acudimos a conocimientos previos para la correcta solución de los problemas, con el fin de dar con una respuesta acertada, se tiene en cuenta que para efectuar un filtro pasa  banda este es basado en el modelo normalizado Butterworth. Utilizando software de simulación se implemento los circuitos  propuestos y por ende el diagrama de bode, todo esto verificando los datos esperados.

1.  En la figura 1 se presenta el gráfico de polos y ceros correspondiente a una red circuital con acceso a un único puerto, en el cual se ha conectado un amperímetro en serie con una fuente de voltaje dc de valor 1V, al energizar el circuito el amperímetro presenta instantáneamente oscilaciones en su medida hasta estabilizarse, a partir de los 6 segundos posteriores a la energización en 0.5 A.

Figura 1 grafico polos y ceros de la red circuital Sabemos que la red interna es una conexión serie entre dos arreglos paralelo RL y RC respectivamente ambos con igual valor de R, dada la anterior información procedemos a modelar nuestro circuito dando como resultado la figura 2.

Figura 2 circuito equivalente Procedemos a calcular función de transferencia de la red en función de los parámetros R, L y C. transformamos el circuito en el dominio de la frecuencia (ver figura 3) en el cual se asumió los sentidos de las mallas descritos allí y teniendo en cuenta que eei=0.

 

  Figura 3 circuito equivalente y dominio de la frecuencia

SUMATORIA DE VOLTAJES EN MALLA 1

           22         1    0  02   

 

SUMATORIA DE VOLTAJES EN MALLA 2

 





 

SUMATORIA DE VOLTAJES EN MALLA 3

    1   0       0 3 2  0 0     00   

 

EXPRESANDO LAS ECUACIONES DE FORMA MATRICIAL

 

DESPEJANDO



  PARA DEJARLO EN TERMINOS DE

.

=

 

 

⌊ 0  0 ⌋ 1 0 0     2  0  0   1

 

              1            2   ∗  2        ++  +    ++ ∗  ∗   +++ ++   

 *

 

Simplificando tendremos entonces la función de transferencia que describe la red en función de los parámetros R, L y C

     2

 

B) procedemos a calcular los valores de R, L y C de dicha red; de acuerdo al polinomio del denominador

  2 2    2    ±± √ 2 4 2±  22 4 2± 1 ±      (

Podemos decir que:

A=

)

 

B=

 

C=

 

 Notemos que para hallar R, C, L necesitamos tres ecuaciones que las pueda relacionar. Por ecuación cuadrática podemos hallar dos ecuaciones, una relacionando a sigma (  y la otra relacionando a omega ( .

 

Reemplazando

Simplificando

 

 

 

Entonces a partir de la ecuación anterior podemos igualar

    1      ±   

 

Y de la gráfica de polos y ceros podemos decir que la red circuital tiene un polo conjugado que corresponde a

1±3 1  ±3   ±3  ±   11 1    ±3  .

Donde

 

Igualando las ecuaciones tenemos que

Simplificando tendremos:

1 1 10  0 2

 

 

Como podemos ver tenemos un sistemas de ecuaciones de dos ecuaciones con tres incógnitas lo que indica que necesitamos una tercera ecuación para poder solucionar el sistema, por lo tanto tanto hacemos uso del dato que me me dan en el enunciado cuando me dicen que si el circuito es alimentado con una   el amperímetro conectado en serie a la fuente mostrara una señal que se estabilizara a

=

los 6 segundos de la energización en un valor de 0.5 A. Para poder aterrizar estos datos y poder obtener nuestra tercera ecuación haremos uso del concepto de respuesta en frecuencia de un circuito.

s  j0 s  0

Recordemos que para hallar la respuesta en frecuencia debemos tener la función de trasferencia y evaluar la excitación en este caso constante es decir  

sj w

Entonces tenemos que al evaluar la función de transferencia:

Y entonces podemos decir que:

      1    2 2  0.5 

 

(3)

De esta tercera ecuación podemos despejar R=2 y sustituirlo en nuestras dos ecuaciones halladas anteriormente.

1  10    0 Resolviendo los sistemas tenemos que

  2   12     10120

 

 

donde w depende de

 

Ahora comprobaremos los datos obtenidos mediante la herramienta simulink de Matlab podemos acudir a la figura 3a para ratificar las respuestas.

Figura 3a valores R, L, C Como podemos evidenciar en la figura, nuestro amperímetro marca 0.5 A con los valores de R, L Y C hallados luego de ser energizado con una fuente de 1 voltio.

C) A partir de los polos, ceros y factor de escala procederemos a encontrar la expresión correspondiente a la respuesta al impulso.  

    2|1|1|−   0.2 2.22 0.4 0.84  1110  0.0.241110 0. 5 210  210

Gracias a que conocemos los polos de la función, podemos definir que tanto al impulso estara definida por:



 como

 son diferentes de cero y por ende la respuesta

 

Ya conocemos entonces solo queda hallar k1, para ello reemplazando los valores hallados en el numeral b en la función de transferencia, tenemos que:  

Ahora dejamos la función de transferencia en términos del factor de escala, los ceros y los polos.

m>n

 

mn

Como el grado del polinomio del numerador es igual al grado del polinomio del denominador es decir  debemos garantizar que entonces hacemos la division, debido a esto los ceros de la funcion de transferencia pueden cambiar, pero los polos que son los que caracterizan la forma de onda permanecen iguales.

2  21110 210 1    9

 

Entonces podemos decir que h(s) queda:

 

9 ]   00..5 [1   210 2   13 1  13  

 

Para k1

913 11 1313 9   11 13 13 11 1313 1313 913  927 6  32   276  

Simplificando

Evaluando

 

           

 

 

Como es una raíz conjugada, k2 será la conjugada de k1

 

Entonces la respuesta al impulso queda dada por la expresión:

        − 

 

 

  2. Para la red de un solo puerto presentada en la figura 4. 4 . Con: R1 = R2 = 1 Ω, C1 = 1F, C2 = 2F.  vamos a determinar las condiciones que debe cumplir la red para que cumpla con estabilidad BIBO.

Figura 4 red de un solo puerto Para este ejercicio claramente sabemos que necesitamos encontrar los valores de k para que sea estable la red; En otras palabras, los valores de k que tendrán las raíces de la ecuación característica con partes reales en la mitad izquierda del plano complejo i  procederemos reestructurar nuestro circuito para su respectivo análisis quedando el equivalente en la figura 5.

Figura 5 circuito equivalente

         1        0          0 2

Ecuaciones linealmente independientes

 

Sumatoria de corrientes en el nodo 2

 

Reemplazando (1) en (2) y simplificando

          0

 

[ ]]  1     0 3 Sumatoria de corrientes en el nodo 3

      0         0   [1  ]]    4  1     1    []  []   [  ]  

 

Simplificando 

 

Podemos ver que queda un sistema de ecuaciones de 2x2. Expresando las ecuaciones de forma matricial

 

Despejando



   0    1       1          1   1      2   1       2  11    ∗            2     1  

 

 

Organizando el polinomio del denominador tendemos que:

  1 2221    

 

 

 

Reemplazando R, C1, C2 obtenemos:

2  52 5 2  1 52 5 2

Donde podemos decir que

A=2

B=

 

 

C=1

Aplicamos cuadrática

±± √ 2 4 52±  452 52± 52  8 8  52 52 52   ± 4 4  

 

 

Entonces a partir de la ecuación anterior podemos igualar:

 

52 4  ≤ 0 52 5 24  ≤ 0

NOTA: para que la red circuital cumpla con estabilidad BIBO, los polos de la función de transferencia se deben encontrar ubicados en el semiplano complejo izquierdo, es decir

 

Despejando k de la ecuación anterior a nterior tenemos que:

 ≤ 52

 

 

Es decir, el valor de k debe ser menor a 5/2 para que el circuito cumpla con estabilidad BIBO. Para corroborar el anterior postulado haremos el respectivo análisis apoyándonos en el software de simulink de matlab en el cual variaremos los valores de Ganancia corroborando lo dicho en la tabla 1.

Ganancia 8 3 2.6 2.5 2.4 2 0

Estabilidad no no no no si si si

-3 -10

si si Tabla 1

 

Simulaciones que corroboran los resultados conseguidos en el anterior punto. valor de K para la figura presentamos K con un valor de 8.

Figura 6 valore de K=8

Figura 7 grafica de la salida para K=8 valor de K para la figura presentamos K con un valor de 3.

Figura 8 valore de K=3

 

Figura 9 grafica de la salida para K=3

valor de K para la figura presentamos K con un valor de 2.6

Figura 10 valore de K=3

Figura grafica 11 de la salida para K=3

valor de K para la figura presentamos K con un valor de 2.5

Figura 12 valore de K=2.5

 

Figura 13 grafica de la salida para K=2.5

valor de K para la figura presentamos K con un valor de 2.4

Figura 14 valore de K=2.4

Figura 15 grafica de la salida para K=2.4

valor de K para la figura presentamos K con un valor de 2

Figura 16 valore de K=2

 

  Figura 17 grafica de la salida para K=2.4

valor de K para la figura presentamos K con un valor de 0

Figura 18 valore de K=2

Figura 19 grafica de la salida para K=2.4

valor de K para la figura presentamos K con un valor de -3

 

  Figura 20 valore de K=-3

Figura 21 grafica de la salida para K=-3

valor de K para la figura presentamos K con un valor de -3

Figura 22 valore de K= -10

Figura 23 grafica de la salida para K= -10

 

  Conclusión: cómo podemos ver en las nueve figuras anteriores, cada que seleccionamos un valor mayor de 5/2 para k la respuesta de sistema tiende a infinito en algún instante de tiempo, es decir que se desestabiliza, y para valores menores de 5/2 la señal de salida se estabiliza.

3. a). ¿Qué es un Filtro eléctrico? Filtros Electrónicos Un filtro eléctrico es un sistema que tiene como función manipular y modificar el espectro de frecuencia de la señal de entrada para obtener en la salida la función que se requiera aplicar a los diferentes sistemas. En resumidas cuentas, los filtros son sistemas de dos  puertos, uno de entrada y otro de salida, que funcionan en el dominio de la frecuencia. el espectro de frecuencia de la señal de salida tiene relación directa con respecto a la señal de entrada. [1] Definimos como filtro a un circuito que se diseña para permitir el paso de señales con ciertas frecuencias y suprimir o atenuar las que se encuentren fuera de dichas frecuencias deseadas. Los filtros tienen múltiples aplicaciones, siendo de las más conocidas los receptores de radio, televisión, ecualizadores, entre otros dispositivos. Existen dos tipos de filtros: los activos y los pasivos. Los filtros activos están compuestos por amplificadores operaciones y transistores (elementos activos), mientras que los filtros pasivos están conformados por resistencias, inductores y capacitores (elementos pasivos). ver figura 24. Este último tipo de filtro es el enfoque de este trabajo.[9].

Figura 24 componentes de un filtro.

 b). ¿Indique qué son y qué diferencia a los siguientes tipos de filtro: filtr o: ¿Pasivo, Activo y digital? Filtro pasivo: son circuitos que están compuestos solo de elementos pasivos R, L y C, la ventaja de estos filtros es la baja sensibilidad y su poca disipación de energía. debido a que son bastante sencillos tienen algunas desventajas. Como que son difíciles de ajustar y tienen una potencia baja, Dentro de los filtros pasivos podemos encontrar algunas variaciones que son; los de un solo elemento, los de múltiples elementos, los de tipo T, π y L. y  L. Ventajas: Baratos, Fáciles de Implementar, Respuesta aproximada a la función ideal, Muy utilizados en aplicaciones de altas frecuencias y aplicaciones de potencia Desventajas:

 

Respuesta a la frecuencia puede tener variaciones importantes a la función ideal, La respuesta a la frecuencia está limitada al valor de los componentes pasivos, Elementos como inductancias son difíciles de conseguir y sus valores se incrementan en bajas frecuencias. Ya que este tipo de filtro es el de nuestro estudio ampliaremos un poco mas el concepto para tener mayor claridad al respecto, tenemos así cuatro tipos de filtros y este tipo Filtro pasa-bajo: Atenúa la magnitud de las señales de frecuencias por encima de la frecuencia de corte. Filtro pasa-alto: Atenúa la magnitud de las señales de frecuencias por debajo de la frecuencia de corte. Filtro pasa-banda: Atenúa la magnitud de las señales de frecuencias por encima de la frecuencia de corte alta y por debajo de la frecuencia de baja. Filtro rechaza-banda: Atenúa la magnitud de las señales entre las frecuencias corte alta y baja Podemos condensar la anterior información en la figura 25.

Figura 25. Resumen filtro pasivo

Filtro activo: es activo si lo componen elementos activos, tales como transistores y amplificadores operacionales, además de los elementos pasivos R, L, C, la ventaja de este tipo de filtros es la eliminación de inductores, dado que las inductancias son componentes voluminosos, pesados y caros, esta esta ventaja se ve reflejada en menores costos, al añadir componentes más complejos como lo son los amplificadores los  amplificadores operacionales, gracias operacionales, gracias a esta incorporación este tipo de filtros son más fáciles de ajustar y pueden tener una amplificación de señal, para obtener una mayor potencia. Ventajas: Cascada: Como tienen buen aislamiento, los filtros complejos pueden ser divididos en etapas simples, permitiendo que cada sección sea diseñada por separado y luego puesta en cascada de manera que la función de transferencia total llegue a ser el producto de la función de transferencia de las l as etapas Ganancia: Los filtros activos pueden producir ganancia conforme sea necesario Desventajas: Fuente de Alimentación: Se requiere para todos los filtros activos, Limitaciones de señal: El op-amp tiene límites de señal a partir de los cuales comienzan a surgir no linealidades, Límites de Frecuencia: Un op-amp no puede responder a altas frecuencias, su frecuencia de corte puede ser demasiado pequeña para una aplicación en particular.

Filtro digital: como su nombre lo indica es un filtro que opera sobre señales digitales. Se caracteriza por la operación matemática que toma una secuencia de números (la señal de entrada) y la modifica produciendo otra secuencia de números (la señal de salida) con el objetivo de resaltar o atenuar ciertas características.

 

c). ¿Explique detalladamente ¿a qué correspondes correspondes los siguientes conceptos y cómo cómo se pueden calcular? Banda de Paso Es un conjunto de frecuencias o rangos de frecuencias para las cuales el filtro deja pasar la entrada hasta la salida. Cualquier entrada de frecuencia que pertenezca a dicho conjunto va a ser transmitida hacia la salida del filtro (no sin cierta modificación de la amplitud y de la fase).

Frecuencia de corte (



)

También llamada frecuencia de esquina o frecuencia critica, es la frecuencia donde la respuesta en amplitud esta 3 dB por abajo del valor de la banda de paso. La razón por la que se escoge esta frecuencia es porque a 3 dB el decremento en la ganancia de voltaje equivale a una reducción del 50 % en la potencia entregada a la carga que está siendo alimentada por el filtro. Para el cálculo de la frecuencia de corte se calcula de la siguiente forma (ver figura 26)

Figura 26. Filtro pasa banda pasiva

[2] Frecuencia de potencia media Frecuencia en la cual la potencia disipada por los elementos resistivos es la mitad del valor máximo de potencia disipada. Estas frecuencias son iguales a las frecuencias de corte debido a que ocurren cuando la señal se reduce al 70.7 % con respecto a la señal de entrada. Por lo tanto, estas frecuencias se pueden hallar al igualar la magnitud de impedancia de la red con el 70.7 % del valor de la resistencia del circuito.

Ancho de banda El ancho de banda es la longitud, medida en Hertz (Hz), de la extensión de frecuencias en la que se concentra la mayor potencia de la señal. Las frecuencias que se encuentran entre esos límites se denominan también frecuencias efectivas. Así, el ancho de banda de un filtro es la diferencia entre las frecuencias en las que su atenuación al pasar a través de filtro se mantiene igual o inferior a 3 dB comparada con la frecuencia central de pico (  ). en la figura 25.

Bw f2f1

 

Donde f1 es la frecuencia de corte inferior y f2 es la frecuencia de corte superior ver (figura 27)

 

  figura 27 ancho de banda Factor de calidad Es un parámetro que mide la relación entre la energía reactiva que almacena y la energía que disipa durante un ciclo completo de la señal. Un alto factor Q indica una tasa baja de pérdida de energía en relación a la energía almacenada por el resonador. Es un  parámetro importante para los osciladores, ffiltros iltros y otros circuit circuitos os s intonizados, p pues ues proporcio proporciona na una medida de lo aguda que es su resonancia. Los sistemas resonantes responden a una frecuencia determinada, llamada frecuencia natural, frecuencia propia o frecuencia de resonancia, mucho más que al resto de frecuencias. El rango de frecuencias a las que el sistema responde significativamente es el ancho de banda, y la frecuencia central es la frecuencia de resonancia eléctrica. El factor Q se define como la frecuencia de resonancia (  ) dividida por el ancho de banda (

         

)

   

 

d). ¿Cuál es el modelo normalizado de un filtro pasivo pasa bajo Butterworth, qué lo caracteriza? El modelo de aproximación Butterworth se define por ser uno de los filtros eléctricos electrónicos más básicos, diseñado para producir la respuesta más plana que sea posible hasta la frecuencia de corte. En otras palabras, la salida se mantiene constante casi hasta la frecuencia de corte, luego disminuye a razón de 20n dB por década, donde n es el número de polos del filtro. Este modelo se caracteriza por  _Si observamos la forma de la función de transferencia veremos que sólo tiene polos y que todos los ceros están situados en el inf inito.  _La función de módulo (o atenuación) es máximamente plana en el origen.  _Las funciones de Butterworth presentan el orden más elevado en igualdad i gualdad de condiciones impuestas en comparación com paración con otros tipos de filtros. En particular los filtros de Butterworth se eligen cuando interesa: Una respuesta de amplitud

| |  1  1 

 

Su modelo normalizado de un filtro pasivo pasa bajo Butterworth

Para diseñar un filtro normalizado pasivo pasa bajo Butterworth, para realizar el análisis la frecuencia de corte toma un valor unitario (  ). 

1

Utilizando la respuesta de amplitud

 

| |  1  1    0    | |  1  1     1 −−   1  ;−−−−1,2,3,… ,      −−     −−    

Para realizar el modelo normalizado se debe hacer el uso de la función de transferencia la cual se denota como H(s)



,

 

 

La función de trasferencia H(S) se puede obtener H(jw) evaluándose obtenemos:  

Los polos del sistema satisfacen la relación

 

Para reescribir la ecuación en forma exponencial compleja se realiza en siguiente despeje:  

 

 

 

 

 

Reescribiendo a j en forma exponencial compleja.

   − +     −− +;1,2,3,…, ∏=   1∏1=   

 

Si se desea escalar este filtro para cualquier valor de frecuencia de corte se varía

 

 

La función de transferencia para el modelo de Butterworth se obtiene de la siguiente ecuación.  

Algunos polinomios de Butterworth, escritos con coeficientes reales con 4 dígitos decimales, y normalizados haciendo siguientes:

  1

 son los

 

  Figura 28. Polinomios de Butterworth “Wilaeba electrónica. (2019). Polinomio de Butterworth. [Figure]. https://wilaebaelectronica.blogspot.com/2019/06/aproximacion butterworth.html Debido a que este tipo de filtros depende de la frecuencia normalizada, los parámetros (inductores y capacitores) se calculan de la siguiente forma:

      

 

Figura 29. Filtros de Butterworth para varios órdenes. “Murphy. (2004). Filtros de Butterworth para varios órdenes. [Figura]. https://www.wikiwand.com/es/Filtro_de_Butterworth  

Para calcular el filtro correspondiente a otra frecuencia, basta dividir todas las inductancias y las capacidades por la relación entre la frecuencia deseada y la frecuencia normalizada. Si la resistencia de fuente (y de carga en redes terminadas) no es de 1 Q, basta multiplicar los valores de la impedancia de todos los componentes por el valor numérico de la resistencia que se tenga, pues el  producto por una constante no modifica la función de transferencia. [5]

 

e.) ¿cómo se pueden obtener los modelos de filtros pasivos: ¿Pasa alto, ¿Pasa banda y eliminador de banda, a partir del modelo normalizado pasa bajo Butterworth?  

Pasa bajo a pasa alto Transformación de frecuencia: Para el paso de frecuencia se utiliza la equivalencia:

 

          11    `1 `` 1   `  1     1   1  1    ` ,``  1 ` 

Analizamos impedancia para un filtro pasa alto formado a partir de un filtro pasa bajo para el cual se procede a intercambiar la  posición entre el condensador y las inductancias. Para el valor del capacitor:

 

 

 

Para hallar el valor de la inductancia real:

 

 

 

Pasa bajo a pasa banda

      

Transformación de frecuencia: La transformación de frecuencia pasa bajo a pasa banda se logra con la equivalencia:  

Donde la frecuencia de resonancia es:

   

 

Análisis de impedancia: Para un filtro pasa banda formado a partir de un filtro pasa bajo se debe tener en cuenta las siguientes consideraciones: ● Se debe agregar un capacitor en serie con las inductancias originales

 

● Se debe agregar una inductancia una inductancia en paralelo con los capacitores originales Para hallar el valor normalizado de la inductancia y de su capacitor en serie:

                      

 

 

  (  11  )   ``  `

 

 

Luego se realiza su escalamiento de impedancia para cualquier valor de resistencia

  `     `                                       1   ( ) ````1 ``      `      ``         

 

Para hallar el valor normalizado de la capacitancia y de su inductor en paralelo:

 

 

 

 

 

 

Luego se realiza su escalamiento de impedancia para cualquier valor de resistencia  

 

Pasa bajo a eliminador de banda

Transformación de frecuencia: La transformación de frecuencia pasa bajo a eliminador de banda se logra con la equivalencia

 

   

 

Análisis de impedancia:

Para un filtro elimina banda formado a partir de un filtro pasa bajo se debe tener en cuenta las siguientes consideraciones ● Se debe agregar un capacitor en paralelo con las inductancias originales ● Se debe agregar una inductancia en serie con los capacitores originales  originales   Para hallar el valor normalizado de la inductancia y de su capacitor en paralelo:

  1      1 1               1    1   ` `1``1 ``      `   1       

 

 

 

 

 

 

Luego se realiza su escalamiento de impedancia para cualquier valor de resistencia  

       ``  1   1  1       1    1    

Para hallar el valor normalizado de la capacitancia y de su inductor en serie:  

 

1 ``  ``1`

 

 

 

 

`      ``      `     

Luego se realiza su escalamiento de impedancia para cualquier valor de resistencia  

 

[4]

DISEÑO DEL FILTRO BUTTERWORTH Desarrollaremos una simulación que cumpla con los siguientes parametros: Se debe tener una señal de excitación periódica correspondiente a la superposición de 3 señales sinusoidales a diferentes valores de frecuencia y amplitud. diseñaremos un filtro pasivo (a partir de un pasa bajo normalizado Butterworth de orden 4 o superior) pasa banda tipo Butterworth, que permitirá eliminar las dos componentes extremas (la mayor y la menor) de frecuencia y permitirá sólo el paso de la componente restante de frecuencia (la del medio). el filtro será cargando con una resistencia de 1000Ω. 1000 Ω. Procedimiento: Para el diseño se eligió el circuito de la figura 30

Figura 30 circuito inicial

 

Sabemos que

 ∶

   frecuencia  frecuencia normalizada

11Ω 11Ω

Se modifico el circuito al dominio de Laplace consiguiendo así la figura en términos de los valores de inductancias normalizadas, las . Ver figura 31. capacitancias normalizadas y con una

Figura 31 circuito equivalente Procedemos a calcular la funcion de transferencia del circuito haciendo uso de los metodos tradicionales en la resolucion de circuitos en este caso sera por analisis nodal para asi lograr realacionar la tension en la resistencia con la exitacion que tenemos.

 = −     −   1    −  0     −   1     0    1  0  0         0  0                                1        1                             

 

 

*

 

 

Reordenando nuestra función de transferencia tendremos

 

 

 

Tenemos así los polinomios característicos del polinomio de Butterworth para este caso nuestra función de transferencia obtenida en los anteriores cálculos la relacionaremos con el polinomio de cuarto orden de la figura 32.

Figura 32. Polinomios de Butterworth “Wilaeba electrónica. (2019). Polinomio de Butterworth. [Figure]. https://wilaebaelectronica.blogspot.com/2019/06/aproximacion butterworth.html

Teniendo el denominador estructurado en la ecuación (D) de la función de transferencia y también la forma del polinomio de Butterworth de cuarto orden procedemos a formar nuestro sistema de ecuaciones remplazando los valores correspondientes en nuestra función de transferencia, para así lograr definir los valores de nuestros parámetros R, L y C. A continuación, sistemas de ecuaciones (e).

  1   2.61321      2.6132  

 

=3.41431

 

 

  1 2.613213.411431 2.6132  1  0.31.8282612 57716121      1.1.50330821 0821     2341   882341   2∗

Como ya tenemos los datos importantes de nuestra función de transferencia Procedemos a calcular nuestros parámetros esto teniendo encuentra las condiciones que son requeridas de una resistencia de 1Ω. Realizando 1Ω. Realizando la respectiva comparación, usando el sistema de ecuaciones en (e) los parámetros del circuito serán los siguientes.  

 

 [H]  [H]

Sabemos que podemos usar la siguiente formula para determinar el tipo de frecuencia con la que se va a trabajar  

 

Para nuestro filtro usaremos frecuencias bases de:

 500   1000   

 

Para hallar el factor de calidad, ancho de banda y la frecuencia resonante se utilizaremos las siguientes ecuaciones características: *ancho de banda  

  500   1000  500    2∗   79.57747154   

 

 

 (f)

Aplicando la ecuación (f) tendremos que:  

*frecuencia resonante 

    ∗    

   500 500  ∗1000    707.106781187    2∗   112.53953952        707.106781187  500  1.41421356237   0.225079079039

 

 

 (f)

Aplicando la ecuación (f) tendremos que:  

*factor de calidad

 

 

 

 

Usaremos la equivalencia descrita en (g) para realizar la transformación de frecuencia paso bajo a pasabanda.

    ∗ [  ]

 

 

  707. 1 06781187 707. 1 06781187    500   ∗ 707.106781187      1000    500         1. 4 142 7. 0 712∗10    707.106781187   

 

 

 

El anterior resultado lo podemos corroborar mediante el uso de matlab e implementado las siguientes líneas de código, Cuyo funcionamiento son los cálculos realizados en las anteriores líneas de este documento; al ejecutar dichas líneas de código conseguimos el resultado de la ecuación (h). el cual es el mismo en la ecuación (f)

clc clear S=tf('s' S=tf( 's')) W1=500 W2=1000 Wab=W2-W1 Wr=sqrt(W1*W2) Sn= (Wr/wab) *((S/Wr) +(Wr/S))





0712∗10   ℎ   1.4142707.17.06781187

 

Sabemos que el polinomio de cuarto orden de Butterworth es:

 0.76541 1.84781     1. 4 142 7. 0 712∗10 0712∗10  1 ℎ   707.106781187 0.7654∗ 1.4142707.17.06781187 ℎ  1.4142707.17.06781187 0712∗10 1.8478∗1. 478∗ 1.4142707.17.06781187 0712∗10  1   1 2.613213.411431 2.6132  1 :  2 ∗10∗10 2.613∗10 5.707∗10 4.573∗10 4.1.285∗1032∗10 2.287∗10 1.427∗10 3.267∗10  

Procedemos a remplazar el valor de

 en el polinomio característico:

Obteniendo la siguiente expresión en la cual multiplicaremos ambos términos por separado para tener una mejor visualización.  

 

Haciendo el producto internamente conseguimos así la función de transferencia final que describe nuestro filtro.  

Teniendo así:

Para corroborar dicho valor procederemos a implementar unas pequeñas líneas de código las cuales se presentan como: clear 's')) S=tf('s' S=tf( W1=500 W2=1000

 

Wab=W2-W1 Wr=sqrt(W1*W2) Sn= (Wr/wab) *((S/Wr) +(Wr/S)) h = 1/((sn^2+0.7654*sn+1) *(sn^2+1.8478*sn+1)) consiguiendo así la función de transferencia que describe nuestro filtro

 1. 2 5e17 s ℎ 2e06 s 2.613e09 s 5.707e12 s 4.573e15 s 4.832e18 s 2.287e21 s 1.427e24 s 3.267e26 s 1.25e29 s^2

 

Procedemos a modelar el circuito teniendo muy presente la siguiente nota ya que de ella dependerá las disposiciones de nuestros elementos circuitales.

Se usan redes en escalera con inductancias en serie y capacitancias en  paralelo. • El número de elementos almacenadores almacenadores es igual al orden del filtro.  filtro.   • Siempre se considera como carga una resistencia R   Teniendo muy presente el anterior apartado y analizando que nuestra función de transferencia el orden mayor es 8; implementaremos 8 elementos almacenadores de energía considerando como carga la resistencia haciendo el respectivo escalonamiento de inductancias y capacitancias se debe tener en cuenta al igual la frecuencia y que son valores normalizados para un análisis grafico de lo mencionado en este párrafo implementaremos la figura para la transformación de filtro pasa bajo a pasa banda (ver figura 33)

Figura 33 escalamiento de impedancia Sabemos que para determinar los parámetros enunciados antes se hace necesario implementar las siguientes formulas para la obtención de su valor respectivo.

1  ∗  2  ∗  1 ∗∗  2  ∗  1 ∗ ∗ ∗ 2  ∗  ∗   

 

 

 

 

 

 

1   ∗  2   ∗ 

 

 

Remplazando y Solucionando tendremos que:  

1 11. 21.1.5005500050030821 2 82341 ∗10003. ∗10002. 0 1 61642 64682  ℎ  1 1.571∗707.1∗1000  0.6365372374 ℎ 06781187 500500 ∗1000 2 0.382612∗707.  2.61361379152ℎ 1 06781187   ∗1000 6.53244239427∗10− 1 1.530821 ∗707.500510006781187 500500  9.23923236∗10− 2 1.082341∗707. 1  500 5 1 00 06781187 1.  5 ∗10000. ∗1000 71 0. ∗1000 0 00003142   0. 3 82612 2 500500 ∗1000 0.000000765224  

 

 

 

 

 

 

Para corroborar que los valores anteriores son coherentes implementaremos las siguientes líneas de código con las cuales conseguiremos los valores respectivos de los parámetros del circuito. Rn=1000; ln1=1.53081; ln2=1.08238; Cn1=1.5771; Cn2=0.3826; f1=w1/(2*pi) f2=w2/(2*pi) %parametros inductivos inductivos   ls1=(ln1/wab) *RK ls2=(ln2/wab) *RK lp1=(wab*Rn) /(Ck1*wr^2) lp2=(wab*Rn) /(Ck2*wr^2) %parametros capacitivos  capacitivos  cs1=wab/(ln1*wr^2*Rn) cs2=wab/(ln2*wr^2*Rn) cp1=Cn1/(wab*Rn) cp2=Cn2/(wab*Rn) consiguiendo como resultado los siguientes parametros parametr os los cuales concuerdan con los conseguidos analíticamente

ls1 = ls2 =

3.0616 2.1648

lp1 =

0.6341

lp2 =

2.6137

 

cs1 = 6.5325e-07 cs2 = 9.2389e-07 cp1 =3.1542e-06 cp2 = 7.6520e-07

Con los valores de parametros establecidos, usaremos un diseño tipo escalamiento de impedancias y con la transformación de frecuencia de los valores normalizados de las inductancias y capacitancias que se ejecutó en los párrafos anteriores tendremos la figura 34 el cual es nuestro Filtro normalizado pasa banda.

Figura 34 filtro de cuarto orden, pasa banda Es de aclarar que la parte que resalta con un tono verde es la salida de nuestro filtro (nodo de salida). Para estudio académico se implemento el circuito en los programas de simulink de matlab y proteus, pero la visualización de el respectivo diagrama de bode, se debía hacer mediante la toma de datos iterativa para luego esta lista implementarla en Excel y tener una aproximación del diagrama de bode, por esta razón buscamos herramientas que pudiéramos tener una mayor exactitud en las figuras que se querían conseguir y se implemento es software académico de Everycircuit con el cua cuall por su facilidad de manejo conseguimos una mayor exactitud. La figura 35 nos entrega la combinación de magnitud y fase de la salida salida del circuito. ¿pero es correcto lo que se está mostrando?

Figura 35 salida filtro con Everycircuit Previamente a la par de los cálculos se realizó la corroboración con un código el cual en la siguiente línea imprimiremos la totalidad de datos de la función de transferencia que fue calculada en la línea nombras dando como resultado la figura 36.

 

  h = 1/((sn^2+0.7654*sn+1) *(sn^2+1.8478*sn+1))  bode(h)

Figura 36 diagrama de bode con matlab Para una mayor visualización y así poder verificar que las frecuencias de corte fueran las escogidas presentamos la figura 37.

Figura 37 diagrama de bode ampliado

100 

Perfectamente en la anterior figura se puede visualizar las frecuencias de corte tomadas al inicio de este trabajo  

Implícitamente cumpliendo con frecuencia de atenuación y ancho de banda.

1500    1 

 

Después de realizar el análisis anteriormente descrito sabemos que tenemos una señal de excitación periódica correspondiente a la superposición de 3 señales sinusoidales a diferentes valores de frecuencia y amplitud. Para efectos de estudio nuestra señal será de:

ñ 1650ℎ ñ 2100ℎ ññ 33 1515ℎℎ

   

 

A una amplitud todas de 1v,

Análisis señal media

100ℎ

 (ver figura 38)

Figura 38 nodo excitación 100 Hz y nodo de salida Como se puede ver el filtro, queremos mostrar la salida de dos señales. el nodo color verde corresponde a la salida del filtro y la señal azul corresponde a la eexcitación xcitación con frecuencia de 100 Hz. Queremos permitir sólo el paso de la componente del medio de las frecuencias tomadas (la del medio). En la figura 39 podemos ver que efectivamente que el filtro permite el paso de la frecuencia de 100 Hz ya que está en el rango de:

 500      1000    79.57747154    159.154943092   

Que fueron las frecuencias tomadas y su equivalencia es:  

La señal azul corresponde a la excitación de frecuencia 100 Hz La señal verde corresponde a la salida del filtro.

Figura 39 señal de excitación 100 Hz y señal nodo salida

 

Análisis señal inferior

15ℎ

 

Para la figura 40 La línea naranja corresponde al nodo excitación de frecuencia 15 Hz y la línea verde corresponde al nodo de salida

Figura 40 nodo de excitación 15 Hz y nodo de salida. En la figura 41 se puede ver la señal de excitación la cual no se acopla al nodo de salida ello corrobora que la señal se atenúa.

Figura 41 señal de excitación 15 Hz Análisis señal inferior

650 ℎ

 

Para la figura 42 La línea roja corresponde al nodo excitación de frecuencia 650 Hz y la línea verde corresponde al nodo de salida

 

  Figura 42 nodo de excitación 650 Hz y nodo de salida.

En la figura 43 se puede ver la señal de excitación la cual no se acopla al nodo de salida ello corrobora que la señal se atenúa.

Figura 43 señal de excitación 650 Hz

Procederemos a calcular las frecuencias de los extremos a la frecuencia media para encontrar una separación de frecuencias y así garantizar una atenuación superior a 60dB Extremo inferior implementaremos el nodo de salida (ver figura 44).

 

  Figura 44 nodo de salida Para tener una atenuación de 60 dB, se debe aumentar la fuente de excitación de 15 Hz a 26.7Hz ver figura 45

Figura 45 controladora de señal nodo salida Para corroborar que dicho postulado es real podemos visualizar la figura 46 en la cual la parte inferior se ve reflejado los 60dB a una frecuencia de 26.7hz

 

  Figura 46 diagrama de bode con atenuación (60dB) Extremo superior implementaremos el nodo de salida (ver figura 47).

Figura 47 nodo de salida Para tener una atenuación de 60 dB, se debe disminuir la fuente de excitación de 650 Hz a 475 Hz ver figura 48.

 

  Figura 49 controladora de señal nodo salida Para corroborar que dicho postulado es real podemos visualizar la figura 50 en la cual la parte inferior se ve reflejado los 60dB a una frecuencia de 475hz

Figura 50 diagrama de bode con atenuación (60dB)

Con el anterior análisis se se llega a formular que La separación mínima de las dos frecuencias frecuencias para conseguir la atenuación de 60 dB es de 448.4 Hz.

Conclusiones La construcción del filtro a partir de un pasa bajo normalizado Butterworth de orden 4, consideramos que fue un éxito. Se pudo comprobar que los valores obtenidos a partir de las ecuaciones de diseño del filtr filtro, o, eran los correctos, ya que cada filtro filt ro cumple con su función, además de respetar los valores postulados y como punto importante la frecuencia de corte, y de resonancia para el funcionó de buena manera, convalidando lo anterior con el uso de matlab. Algo que nos llamó la atención tanto en la consulta y la practica fue que vimos que un filtro de mayor orden tiene mejor desempeño que uno de menor orden, ya que mientras más alto es el orden del filtro, más se asemeja al modelo de filtro ideal, porque la pendiente de la región de transición es mayor. La frecuencia de corte práctica se acerca más a la frecuencia de corte analíticamente. Al realizar las gráficas optamos por implementar un software que nos arrojara directamente las señales, estas se hicieron por medio del software de Everycircuit [8], esto nos aseguró precisión en la medición de los valores de salida, para luego poder generar las figuras

 

correspondientes. No se usó el osciloscopio digital de proteus y simulink de matlab para obtener las salidas, ya que sus medidas cambian reiteradamente y esto afecta el valor de los parámetros. El filtro pasivo para nuestro caso se construye con elementos R, L y/o C, mientras que el activo está constituido por elementos R, C más amplificadores operacionales. El autor José Cabrera Peña, define los filtros como: “un sistema que permite el paso de señ ales eléctricas a un rango de frecuencias determinadas e impide el paso el  paso del resto.” [6] y perfectamente se ha verifico. verific o. Al momento de implementar el circuito, es importante recalcar la importancia de ser cuidadosos al ingresar los valores. en nuestro caso por un numero mal en el valor de la capacitancia del circuito normalizado casi se obtiene valores que no concordarían a la final del proceso y no garantizarían un desempeño adecuado en nuestro filtro. A nivel general, teórico y comparando lo que se llevó a práctica. fueron muchas cosas aprendidas sabemos que los filtros son de suma importancia, porque son utilizados con frecuencia en los sistemas electrónicos ya que estos tienen como función manipular y modificar el espectro de frecuencia de la señal de entrada para obtener en la salida la función que se requiere aplicar a los diferentes sistemas. Aprendimos a conocer y asimilar con la consulta y la practica la funcionalidad de estos mismos aprendiendo que sirve para separar componentes que se encuentran mezclados, con la capacidad de rechazar los componentes que no son deseados, y darnos como resultado los componentes esperados. El filtro de Butterworth es uno de los filtros electrónicos más básicos, básicos, diseñado para  producir la respuesta mas m as plana que sea posible hasta la frecuencia de corte. En otras palabras, la salida se mant mantiene iene constante hasta la frecuencia de corte, luego disminuye dependiendo de n el cual es el número de polos del filtro. Al consultar material para llevar a cabo encontramos buenas referencias las cuales nos aclararon ideas que teníamos en el aire entre ello consolidamos la idea en que un filtro es un sistema que amplifica o atenúa en amplitud ciertas señales eléctricas que están en un determinado rango de frecuencia, definida por los diseñadores. También puede modificar la fase de la señal de entrada al filtro. El libro Principios de electrónica lo define como: “Un filtro fil tro deja pasar una banda de frecuencia mientras rechaza otras” otr as” [3].  [3].

Referencia  

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[1] Conceptos fundamentales en el diseño de filtros

http://www2.imse-cnm.csic.es/~rafael/SETI/tema2.pdf   http://www2.imse-cnm.csic.es/~rafael/SETI/tema2.pdf    

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[2] LearningaboutElectronics

http://www.learningaboutelectronics.com/Articulos/Calculadora-de-filtro-pasa-banda.php    

[3] Albert Paul Malvino, “Principios de electrónica”, Editorial: McGraw -Hill, Año 2000, pág. 809-842

 

[4] Teoría de Filtros cap.2 “Frecuencias de corte”  corte”  

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http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/quiroz_c_g/capitulo2.pdf    

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[5] Camila puentes “Universidad tecnológica de Pereira” Circuitos eléctricos III  III  

https://blog.utp.edu.co/circuitoselectricos/files/2015/10/Filtros-El%c3%a9ctricos.pdf  

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[6] Diseño filtro características

https://repositorio.innovacionumh.es/Proyectos/P_19/Tema_5/UMH_06.htm   https://repositorio.innovacionumh.es/Proyectos/P_19/Tema_5/UMH_06.htm  

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José Cabrera Peña, “Filtros Activos” Universidad De Las Palmas De Gran Canaria [en línea]  línea]  

http://www2.ulpgc.es/hege/almacen/download/29/29861/filtros.pdf    

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[8]Software implementado

https://everycircuit.com/circuit/6659555574415360/windows-circuit  https://everycircuit.com/circuit/6659555574415360/windows-circuit    

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https://blog.utp.edu.co/circuitosii457/files/2015/10/Respuesta_en_frecuencia.pdf