Taller 1

UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA ESCUELA DE INGENIER´IA ´ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ´ CURSO: CALCULO INTEGRAL.

TALLER 1

Profesor : Pedro Nel Jaimes Jaimes

1. Determinar la antiderivada m´as general de las siguientes funciones. a) f (x) =

x3 + 2x2 √ x 1

2x 2 + 3x2 √ b) f (x) = x3 √ √ 3 c) h(x) = x2 − x3 d ) z(x) = csc2 x + sec x tan x − sin x + cot x csc x √ 1 −1 5 e) w(x) = x2 − 5(1 − x2 ) 2 + 2 1+x 2. Encuentre la antiderivada F que satisfaga la condici´on inicial dada. a) f (x) = 2x3 − 5x2 − x + 1, F (0) = 2 b) f (x) = 2(sec x)2 − 4 sec x tan x, F (0) = 4 c) f (x) = 2(sin x) − 4 cos x, F (0) = 3 1 4 d ) f (x) = 2x−3 + √ − √ , F (1) = 0 x 1 − x2 Z 3. Encontrar f (x) dx en cada uno de los siguientes casos: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m.

√ √ ( a − x) √ n. f (x) = ax 2 + x2 n ˜. f (x) = 1 + x2 o. f (x) = sin2 x + cos2 x − 3

6x3 − 5 f (x) = x x2 f (x) = 2 x +1 2 f (x) = 4x − + 5 sin(x) x 2 2 f (x) = −2x3 − 2 + x2/3 − 1/3 x x

p. f (x) = (x + 2x3 )2 q. f (x) = x(x − 3)(x + 5)

2 f (x) = 3x3 − 2x + ex − cos x − −3 x 3 f (x) = 2x4 − 3(1 + x2 )−1 − + 3x x 2 3 4 f (x) = − 3x2 − √ + 3 2 1+x 1 − x2 x f (x) = 3x2 + 2x + 1
3 f (x) = a2/3 − x2/3   √ 1 f (x) = x+ √ 23x   4 x4 − f (x) = x5 5 √ √ f (x) = ( x + 1)(x − x + 5) (x3 − 5)2 √ f (x) = x

r. f (x) = (2x2 − x)3 s. f (x) = x2 (20x7 − 7x4 + 6) √ x4 + 3 x t. f (x) = x2 2 (x − 3)(x2 + 4) √ u. f (x) = 3 x2 √ √ x− 2 v. f (x) = √ 2x 2 x w. f (x) = 2 x +1 x. f (x) = csc(x)(cot(x) − csc(x)) 2

y. f (x) = eln(x ) x sin(x) z. f (x) = 1 − sin2 (x)

4. Encuentre una funci´on y = f (x) cuya gr´afica pase por el punto (1, 2) y tambi´en satisfaga la ecuaci´on diferencial dy = 3x2 − 3 dx 5. Encuentre una funci´on y = f (x) tal que

d2 y =1 dx2

6. Dado que f 00 (x) = 2x3 − 2x + 1, f 0 (1) = 2 y f (2) = −1. Hallar f (x) √ 4 7. Encuentre todas las funciones g tales que g 0 (x) = 4 sin x − 3x5 + 6 x3 8. Encuentre f si f 0 (x) = ex + 20(1 + x2 )−1 y f (0) = −2 9. Halle una funci´on f tal que f 0 (x) = x3 y la recta x + y = 0 sea tangente a la gr´afica de f 10. Resuelva la ecuaci´on diferencial: a) b) c) d) e) f)

dy 6x2 = dx 2y − cos y x2 dy = 2 dx y dy = x2 y dx y dy = dx 2x 2x dy =− dx y (y + sin y)dy − (x + x3 )dx = 0

g) (2t + sec2 t)dt − 2udu = 0 h) (sw + s)dw − (s + 1)ds = 0 √ dP i) = Pt dt

j)

p dy = 2x 1 − y 2 dx

k)

dy = (x + 1)2 dx

l) x

dy = 4y dx

m)

dy y3 = 2 dx x

n)

x2 y 2 dx = dy x+1

1 + 2y 2 dx = n ˜) dy y sin x o) (1 + x2 + y 2 + x2 y 2 )dy = y 2 dx

11. Se muestra la gr´afica de f . Encuentre una gr´afica aproximada de una antiderivada F si F (0) = 2.

12. Se muestra la gr´afica de f . Encuentre una gr´afica aproximada de una antiderivada F si F (0) = 0.

13. Se muestra la gr´afica de f . Encuentre una gr´afica aproximada de una antiderivada F .

14. Se deja caer una piedra desde un acantilado y llega al fondo a una velocidad de 120 pies/s. ¿Cu´al es la altura del acantilado?

15. Desde una monta˜ na de 432 pies de altura se arrojan dos pelotas hacia arriba. La primera se avienta a una velocidad de 48 pies/s, y la segunda se arroja un segundo despu´es, a una velocidad de 24 pies/s. ¿Se encuentran alguna vez esas pelotas?

16. Una part´ıcula se mueve en l´ınea recta y su aceleraci´on est´a expresada por a(t) = 2t2 − t + 5. Su velocidad inicial es v(0) = −4 metros por segundo y su desplazamiento inicial es s(0) = 7 metros. Determine su funci´on de posici´on s(t) y cu´anto desplazamiento ha recorrido en los primeros 4 segundos.

17. Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleraci´on a la que cae un objeto, debido a la gravedad, es de 32 pies por segundo cuadrado, siempre y cuando la resistencia al aire se pueda despreciar. Si un objeto se lanza directamente hacia arriba desde una altura inicial de 954 pies a una velocidad de 20 pies por segundo, encuentre su velocidad y altura 4 segundos despu´es.

18. Un globo de aire caliente abandona el piso elev´andose a 4 pies por segundo. Diecis´eis segundos despu´es, Helena arroj´o una pelota a su amiga Juana que estaba en el globo. ¿A qu´e velocidad arrojo la pelota si ´esta alcanz´o exactamente a Juana?

19. ¿Desde qu´e altura sobre la superficie de la tierra debe dejarse caer una pelota para que golpee el piso a una velocidad de −136 pies por segundo?

20. Un globo aerost´atico, que asciende verticalmente con una velocidad de 16 pies por segundo, deja caer una bolsa de arena en el instante en el que est´a a 64 pies sobre el suelo. ¿En cu´antos segundos llegar´a la bolsa al suelo?, ¿a qu´e velocidad har´a contacto con el suelo?

21. Un ca˜ no´n tiene una profundidad de 1800 metros en su punto m´as profundo. Se deja caer una roca desde el borde sobre ese punto. Escribir la altura de la roca como una funci´on del tiempo t en segundos. ¿Cu´anto tardar´a la roca en llegar al suelo del ca˜ n´on?

22. ¿A qu´e velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba (desde una altura de 2 metros) para qu´e alcance una altura m´axima de 200 metros?

23. Una pelota de b´eisbol es lanzada hacia arriba desde una altura de 2 metros con una velocidad inicial de 10 metros por segundo. Determine su altura m´axima.

24. Sobre la luna, la aceleraci´on de la gravedad es de 1.6 metros por segundo cuadrado. En la luna se deja caer una piedra desde un pe˜ nasco y golpea la superficie de esta misma, 20 segundos despu´es. ¿Desde qu´e altura cay´o?, ¿Cu´al era su velocidad en el momento del impacto?

25. En la superficie de la luna, la aceleraci´on de la gravedad es de −5.28 pies por segundo cuadrado. Si se lanza hacia arriba un objeto desde una altura inicial de 1000 pies con una velocidad de 56 pies por segundo, encuentre su velocidad y su altura 4.5 segundos m´as tarde.

26. Cierto cohete lanzado verticalmente hacia arriba tiene una aceleraci´on de 6 metros por segundo cuadrado, durante los primeros 10 segundos despu´es del lanzamiento, posteriormente la m´aquina se apaga y el cohete se queda sujeto a la aceleraci´on de la gravedad, de −10 metros por segundo cuadrado. ¿A qu´e altura llegar´a el cohete?

27. Una part´ıcula, inicialmente en reposo, se mueve a lo largo del eje x de manera que su aceleraci´on en el tiempo t > 0 est´a dada por a(t) = cos(t) metros por segundo cuadrado. En el tiempo t = 0, su posici´on es x = 3 metros. a) Determine las funciones velocidad y la posici´on de la part´ıcula. b) Encontrar los valores de t, para los cuales la part´ıcula est´a en reposo. 28. El fabricante de un autom´ovil indica en su publicidad que el veh´ıculo tarda 13 segundos en acelerar desde 25 kil´ometros por hora hasta 80 kil´ometros por hora. Suponiendo aceleraci´on constante, calcular: a) La aceleraci´on en metros por segundo cuadrado. b) La distancia que recorre el autom´ovil durante los 13 segundos. 29. Un veh´ıculo que viaja a 45 millas por hora recorre 132 pies a desaceleraci´on constante, luego de que se aplican los frenos para detenerlo. a) ¿Qu´e distancia recorre el veh´ıculo cuando se velocidad se reduce a 30 millas por hora? b) ¿Qu´e distancia recorre el veh´ıculo cuando su velocidad se reduce a 15 millas por hora? 30. En el instante en que la luz de un sem´aforo se pone en verde, un carro que ha estado esperando un cruce empieza a moverse con una aceleraci´on constante de 6 pies por segundo cuadrado. En el mismo instante, un cami´on que viaja a una velocidad constante de 30 pies por segundo pasa al carro. a) ¿A qu´e distancia del punto de inicio el carro pasa al cami´on? b) ¿A qu´e velocidad circular´a el carro cuando pasa el cami´on? 31. Suponiendo que un avi´on totalmente cargado que parte desde el reposo tiene una aceleraci´on constante mientras se mueve por la pista. El avi´on requiere de 0.7 millas de pista y un velocidad de 160 millas por hora para despegar. ¿Cu´al es la aceleraci´on del avi´on?

32. Un bloque se desliza hacia abajo en un plano inclinado, con una aceleraci´on constante de 8 pies por segundo cuadrado. Si el plano inclinado tiene 75 pies de longitud y el bloque llega al fondo en 3.75 segundos, ¿Cu´al es su velocidad inicial?