Taller 1 Solución

TALLER 1

ROBERT

CALCULO DE VARIAS VARIABLES TEMA 1.-Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto (-4,5,2) y es perpendicular al plano dado por −𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟓. (3 puntos) Solución: Si sabemos que la recta requerida es perpendicular al plano, entonces el vector normal del plano será paralelo a la recta que buscamos, dicho vector normal será: 𝑛⃗= (-1,2,-1) Dado que conocemos un vector director de la recta y el punto (-4,5,2) podemos hallar la ecuación paramétrica de la recta 𝑥 = −4 − 𝑡 𝐿: { 𝑦 = 5 + 2𝑡 𝑧 =2−𝑡 TEMA 2.- Hallar el ángulo entre los planos dados por 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟎 y 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎 y hallar la ecuación paramétrica de la recta de intersección.(4 puntos): Solución: El ángulo entre los planos podemos encontrarlo como el ángulo entre los vectores normales a dichos planos 𝑛 ⃗⃗⃗⃗1 = (1,-2,1) y 𝑛 ⃗⃗⃗⃗2 = (2,-3,-2), aplicando el producto punto. 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =

𝐶𝑜𝑠 𝜃 =

|𝑛 ⃗⃗⃗⃗1 . 𝑛 ⃗⃗⃗⃗2 | ‖𝑛 ⃗⃗⃗⃗1 ‖‖𝑛 ⃗⃗⃗⃗2 ‖

|(1, −2,1). (2, −3, −2)|

𝐶𝑜𝑠 𝜃 =

√6√17

6 √102

=

|2 + 6 − 2|

→ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠

√102

6 √102

Para hallar la ecuación paramétrica de la recta de intersección, calculamos su vector director como el producto cruz entre los dos vectores normales a los planos: 𝑖 ⃗⃗⃗ 𝑑=𝑛 ⃗⃗⃗⃗1 𝑥𝑛 ⃗⃗⃗⃗2 = [1 2

𝑗 𝑘 −2 1 ] = 𝑖(4 − 3) − 𝑗(−2 − 2) + 𝑘(3 + 4) = (1,4,7) 3 −2

Para hallar un punto de la recta de intersección entre los dos planos, podemos hacer 𝑥 = 0 y resolver el sistema de ecuaciones:

𝑥=0→{

−2𝑦 + 𝑧 = 0 −4𝑦 + 2𝑧 = 0 →{ → −𝑦 = 0 → 𝑦 = 0 → 𝑧 = 0 3𝑦 − 2𝑧 = 0 3𝑦 − 2𝑧 = 0

Por lo tanto un punto de la recta de intersección entre los dos planos, sería el punto P (0,0,0), con lo cual conociendo además el vector director, podemos establecer una ecuación paramétrica de la recta: 𝑥=𝑢 𝐿: {𝑦 = 4𝑢 𝑧 = 7𝑢 TEMA 3.- Encontrar la distancia entre los planos paralelos dados por: .(3 puntos) 𝝅𝟏 : 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟔 = 𝟎 𝝅𝟐 : 𝟔𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 + 𝟒 = 𝟎 Solución: Como podemos observar a partir de los vectores normales a los planos 𝑛 ⃗⃗⃗⃗1 = (3, −1,2) 𝑦 𝑛 ⃗⃗⃗⃗2 = (6, −2,4) los planos son paralelos, con lo cual para hallar la distancia entre los dos planos bastaría con tomar un punto de uno de los planos y hallar la distancia de dicho punto al otro plano: Un punto de 𝜋1 puede ser el punto 𝑃𝑜 (0,0,3), con esto calculamos la distancia del punto a 𝜋2 𝑑(𝑃𝑜, 𝜋2 ) = 𝑑(𝑃𝑜, 𝜋2 ) = 𝑑(𝑃𝑜, 𝜋2 ) =

|𝑎𝑋𝑜 + 𝑏𝑌𝑜 + 𝑐𝑍𝑜 + 𝑑| √𝑎2 + 𝑏 2 +𝑐 2

|6(0) + 2(0) + 4(3) + 4|

16 √56

√36 + 4 + 16 =

16 2√14

=

8 √14

=

4√14 7