Taller 1 Mecanica de Solidos

1. Leer el primer capítulo del libro “Los Ingenieros y las torres de Marfil” - Cimientos Firmes para las Torres, y hacer una reflexión con sus propias palabras, en promedio una hoja o 500 palabras. (El libro lo pueden descargar o ver en el siguiente enlace http://es.scribd.com/doc/56669930/Ingenieros-y-Las-Torres-de-Marfil-PDF).

Solución. CIMIENTOS FIRMES PARA LAS TORRES La ingeniería como profesión ha sido esquematizada, mecanizada y enmarcada dentro de ciertos parámetros, lineamientos y reglamentación como si se tratara de una “ciencia” determinada a regirse por una serie de comportamientos predeterminados. Pero no hay nada más lejos de la realidad, el ser ingeniero es sinónimo de creatividad, de pro actividad, de investigar las causas y efectos de un suceso, de estudiar la afectación del entorno por las acciones tomadas. La ingeniería es un arte, expresa el autor, y como tal, debe expresarse libre, sin ataduras de ningún tipo, hoy en día, se dispone de una gran cantidad de información y tecnología, y la tendencia en este mundo globalizado es la de sintetizar y mecanizar procedimientos para que sea más fácil el acceso a la información y más rápido su procesamiento; se disponen de muchas tablas, gráficos y ábacos que relacionan una infinidad de variables con otras, los cuales han generado fórmulas y correlaciones que son principio básico y fundamental del estudio de la ingeniería, algunos de dichos estudios son meramente teóricos y basados en suposiciones que se toman como verdades absolutas por el simple hecho de no poderse demostrar lo contrario y otros obtenidos a partir de prácticas de laboratorios. Aún cuando se disponga de la tecnología y de óptimas condiciones, no se tendrá una certidumbre del 100%, por el hecho que las condiciones en las que se encuentra un material en su estado natural, no podrán ser igualadas en un laboratorio, sin embargo, no hay que dejar de lado, que dichos estudios, fórmulas, correlaciones desarrolladas han permitido el avance y funcionamiento de la ingeniería en sí. El adaptar estos conocimientos a las necesidades humanas, el aprovechamiento al máximo de los recursos disponibles, el trabajar enmarcado en una conciencia ecológica y consideración para con los seres vivos implicados, deben ser objetivos primarios en un ingeniero. Así mismo, debe ser capaz de resolver los problemas desde un punto de vista original, único, estético y funcional, no basta el hecho de poder calcular esfuerzos, deformaciones, cantidades de materiales a utilizar, debe ver más allá, debe ser reflexivo, intuitivo, y tener en mente para qué o cual es el objetivo de la obra que está construyendo, y como se va a beneficiar la población involucrada. En conclusión, así como para que una estructura tenga el soporte adecuado que le proporcione estabilidad y seguridad, sus cimientos deben ser sólidos y apoyados sobre suelo firme; el ingeniero debe tener unas bases metodológicas, científicas, humanistas y artísticas que le permita ver el mundo de una manera especial y más importante aún que le permita dar solución a problemas complejos que se puedan presentar haciendo uso de su creatividad y conjugando los datos e información disponible (ya sea que se haya obtenido ésta, de manera teórica, o en laboratorio) y establecer las relaciones que permitan la resolución de dicho problema. Todo es parte de un equilibrio, la ciencia ha desarrollado sus métodos y obtenido sus resultados, el saber aplicar estas herramientas de la mano de la inventiva propia, y en total armonía, es la receta que un buen ingeniero debe seguir para llevar a buen término cualquier proyecto.

2. Calcular las fuerzas en las barras de la armadura mostrada. Importante: Incluir todo el desarrollo del ejercicio y al final una tabla resumen, como lo muestra el siguiente ejemplo: BARRA FUERZA (kN) COMPRESIÓN TENSIÓN AB 50 x

Solución. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO A. De la semejanza de triángulos equivalentes, hallamos el valor de x como sigue:

9 kN 2,25 m

FAB x

A

FAC 2,53 m 10 m

→

Ahora la hipotenusa del triángulo pequeño es: √(

)

(

)

Nos queda entonces que: 9 kN

FAB 2,59 m

A

0,57 m

FAC

2,53 m

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑

(

)

(

)

( )

→∑

(

) (

)

( )

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO B.

Por inspección el nodo B está bajo una condición especial de carga, donde se conectan tres elementos y se soporta una carga de 3 kN, como se puede observar dos elementos (BA y BD) están ubicados sobre la misma línea y la carga de 3 kN actúa a lo largo del tercer elemento (BC). Por tanto, según el diagrama de cuerpo libre tenemos que las fuerzas en los elementos opuestos BA y BD deben ser iguales y la fuerza en el elemento BC debe ser igual a 3 kN.

3 kN

FBD

B FBA FBC ( )

( )

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO C. Por relación de triángulos equivalentes, hallamos el valor de x como sigue: FCB

FCD x

FCE FCA

C 2,07 m

2,25 m x

4,60 m 10 m

→

Ahora la hipotenusa del triángulo pequeño (longitud del elemento CD) es: ) ( ) √( Nos queda entonces que: FCD

FCB 2,32 m

1,04 m

FCE FCA

C 2,07 m

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑

(

) (

)

( )

→∑

(

) (

( ) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO D.

)

FDG 1,21 m

D FDB

0,47 m

1,04 m

0,57 m

FDE FDC

5,40 m

2,07 m

LDC = 2,32 m

Calculemos las longitudes de los elementos DB y DG: √(

)

(

)

√(

)

(

)

Nos queda entonces que:

FDG 5,53 m 1,21 m

D 2,12 m

FDB

0,47 m

2,32 m

1,04 m

FDE

0,57 m

FDC

5,40 m

2,07 m

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: →∑

( (

) )

(

) (

( )

( ) ∑

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

( )

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO E. Calculamos la longitud del elemento EG. FED

FEG 2,25m

FEF E

FEC

5,40 m

)

√(

(

)

Nos queda entonces que: FED

FEG 5,85m

2,25m

FEF FEC

E 5,40 m

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑ (

) (

)

)

( )

→∑

(

) (

)

( )

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO F. Calculamos la longitud de los elementos FG y FH.

FFG

2,25m

F FFE 3,00 m

4,00m

FFH

√(

)

(

)

√(

)

(

)

FFG 3,75 m

2,25m

F FFE 3,00 m

4,00m

5,00 m

FFH

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑

(

)

(

)

→∑

(

(

)

(

)

) ( )

(

)

( )

3. Calcular en las barras armadura

BARRA

FUERZA (kN)

AB AC BD BC CD CE DG DE EG EF FH FG

40,89 39,94 40,89 3,00 6,69 45,91 47,00 1,78 4,63 50,18 30,11 40,14

COMPRESIÓN

TENSIÓN x

X x X x X x X x X X X

las fuerzas de la mostrada.

Solución. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA ARMADURA - Cálculo de las reacciones Ax Ay Ly. 1,2 kN

1,2 kN

B

1,2 kN

D

F

E

G

1,2 kN

1,2 kN

H

J

I

K

3m Ax

A

C

Ay

4m

L

4m

4m

2,25 m

→∑

Por simetría de las cargas y la armadura Ay = Ly. ∑

FAB 3m A Ay

FAC

Ly 2,25 m

Planteamos las ecuaciones de equilibrio:

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO A.

4m

Calculamos la longitud del elemento AB. )

√(

Nos queda entonces que:

( )

FAB 3m

3,75 m

FAC

A Ay

2,25 m

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑ (

) (

) ( )

→∑ (

) (

) ( )

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO C. FCB 3m

FAC

C

FCE

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑

→∑

( ) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO B. 1,2 kN

FBD

B 3m 0

FBE

FBA 4m 2,25 m

Calculamos la longitud del elemento BE. √( )

( )

Nos queda entonces que: 1,2 kN

FBD

B 3m

3,75 m

FBA

5m

0

FBE

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑ (

)

(

)

(

)

( ) →∑ (

)

(

)

(

) (

( ) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO E. FEB FED 3m

5m

FEC

FEG

E

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑ 4m

4m

(

) (

)

)

( ) →∑ (

) (

)

( ) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO D. 1,2 kN

FDB

FDF

D

5m

FDG

FDE 4m

3m

4m

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑ (

)

( ) →∑ (

) ( ( )

)

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO F. 1,2 kN

FFD

FFH

F

3m

FFG 4m

4m

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑

( ) →∑

( ) Por simetría de la armadura y de las condiciones de carga las demás fuerzas en los elementos son iguales a las ya calculadas, en el siguiente esquema se identifican dichos elementos con el mismo color y a continuación una tabla resumen con las fuerzas calculadas. 1,2 kN

1,2 kN

B

1,2 kN

D

F

E

G

1,2 kN

1,2 kN

H

J

I

K

3m A

BARRA

C

AB 2,25 m AC BD BC BE CE DG

FUERZA (kN) 4m

4m

3,75 2,25 4,65 0,00 3,00 2,25 1,00

COMPRESIÓN 4m

x

L

TENSIÓN

4m 2,25 x m

x x x x

DE EG DF FH FG JL KL HJ JK IJ IK GH HI GI

1,80 4,65 5,45 5,45 1,20 3,75 2,25 4,65 0,00 3,00 2,25 1,00 1,80 4,65

x x x x x x x x x x x x

4. Calcular las fuerzas en las barras de la armadura mostrada.

x

2 kips

Solución. 4 kips 4 kips

4 kips

J

2 kips

H F D

7,5 ft

B

I

1,5 ft A

G

E

C 7 ft

7 ft

7 ft

7 ft

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA ARMADURA – Cálculo de las reacciones Ax, Ay, Iy. 2 kips 4 kips 4 kips

4 kips

J

2 kips

H F D

7,5 ft

B 1,5 ft

Ax

I

A Ay

G

E

C

Iy 7 ft

7 ft

Planteamos las ecuaciones de equilibrio:

7 ft

7 ft

→∑

Tomamos momentos en el nodo A. +

(

)

(

)

∑

(

∑

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO A. FAB FAC

1,5 ft A Ay

7 ft

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: →∑

∑

)

(

)

(

)

( )

Cálculo de alturas. 2 kips 4 kips 4 kips

4 kips

J

2 kips

H F D

7,5 ft

B

I

1,5 ft A

7 ft

G

E

C 7 ft

7 ft

7 ft

Haciendo un corte en la armadura a 1,5 ft, nos queda el triángulo rectángulo mostrado a continuación. J H F

D

y

x

6 ft

z

B

7 ft

7 ft

7 ft

7 ft

Y las longitudes de los elementos son:

√( )

(

)

√( )

(

)

√( )

(

)

√( )

(

)

√( )

(

)

√( )

( )

√( )

( )

√( ) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO B. 2 kips

B

FBD

7,16 ft 7,16 ft

1,5 ft

FBA

3 ft

FBC 7 ft

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: →∑

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

)

(

∑ (

(

)

(

)

( ) ( ) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO C. FCD FCB 1,5 ft

7,16 ft

FCA = 0

7 ft

FCE

C

7 ft

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: →∑ (

) (

) ( )

)

∑ (

)

(

) ( )

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO D. 4 kips FDF 1,5 ft 1,5 ft

7,16 ft

FDB

7,16 ft

D

7,62 ft

FDC 7 ft

1,5 ft 3 ft

FDE

7 ft

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: →∑

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

∑ (

)

(

(

)

)

(

)

(

)

( ) (

) ( )

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO F. 4 kips FFH 1,5 ft

FFD

7,16 ft

7,16 ft

F

1,5 ft

4,5 ft

FFE 7 ft

7 ft

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: →∑ (

)

(

(

)

)

(

)

( ) ∑ (

)

(

)

( ) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO E. FEH FEF FED

6 ft

7,62 ft

9,22 ft

3 ft

FEC

FEG

E 7 ft

7 ft

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑ (

(

)

(

)

)

(

)

( ) →∑ (

)

(

(

)

( ) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO H.

4 kips FHJ 1,5 ft

FHF

7,16 ft

FHE

9,22 ft

7 ft

7,16 ft

H

1,5 ft

6 ft

FHG 7 ft

)

(

)

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: →∑ (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) ∑ (

(

)

(

)

)

(

(

)

(

( )

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO G. FGJ

FGH

7,5 ft 10,26 ft

6 ft

FGE

FGI

G 7 ft

7 ft

)

)

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑ (

)

(

) ( )

→∑ (

)

(

)

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE NODO I. FI J 7,5 ft

I 0 7 ft

Iy

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: ∑

( ) Tabla resumen. BARRA

FUERZA (kips)

COMPRESIÓN

AB AC BD BC CE CD DE DF EF FH EH EG HJ GH GJ GI IJ

8,00 0,00 14,32 14,32 14,00 3,00 1,70 12,72 4,00 12,72 7,18 7,00 7,16 7,50 10,26 0,00 8,00

x

TENSIÓN

x x x x x x x x x x x x x x