Taller 1 (2)

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Facultad de Ingeniería – Proyecto Curricular de Ingeniería Industrial Teoría de Colas y Simulación Prof. Germán Andrés Méndez Giraldo

Tarea N° 1 Nombr es

Yudy Paola Pineda Suárez

Cód. 20101015014

1. Un vendedor atiende el mostrador en una tienda de helados. Los clientes llegan de acuerdo con un proceso poissoniano, con una tasa media de llegadas de 30 por hora. Se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO, y debido a la calidad del helado, aceptan esperar si es necesario. Aparentemente el tiempo de servicio por cliente se distribuye exponencialmente, con una media de 1 1/2 minutos. Determínese: MODELO MM1

λ=30

cl cl ' μ=40 W s=1, 5 h h

a) El número promedio de clientes en espera de servicio

Lq =

( 30 )2 λ2 900 = = =2,25 μ(μ−λ) 40 ( 40−30 ) 400

Respuesta: El número promedio de clientes en espera del servicio son 2,25 personas b) La cantidad de tiempo de espera por el servicio que un cliente debería estimar

W q=

λ 30 30 = = =0,075 h=4,5' μ( μ−λ) 40( 40−30) 400

Respuesta: El tiempo de espera por el servicio que un cliente debería estimar es de 4,5 minutos c) La probabilidad de que un cliente tenga que permanecer más de quince minutos en la línea de espera

W=

1 1 1 = = =0,1 h=6 ' μ−λ 40−30 10

W (t ) q

30 =ρ ( e )= ( e )=0,06156 ≈ 6,16 40

−t w

−15 6

Respuesta: La probabilidad de que un cliente tenga que permanecer más de quince minutos en la línea de espera es de 6,16%

d) La probabilidad de que el dependiente esté ocioso.

π 0=1− ρ=1−

30 1 = =0,25 40 4

Respuesta: La probabilidad de que el dependiente este ocioso es del 25% 2. Una pastelería tiene dos dependientes, cada uno de ellos es capaz de atender a 30 clientes por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan a la pastelería de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 40 por hora. Determínese: MODELO MM2

μ=30

cl cl λ=40 S=2 h h

a) La fracción de tiempo que un cierto dependiente está ocioso.

π 1=ρ ( 1−ρ ) =

40 40 2 2 2 1− = 1− = 3 9 2(30) 2(30) 3

(

) ( )

Respuesta: La fracción de tiempo que un cierto dependiente este ocioso es de 2/9, ya que equivale a la fracción de tiempo que haya un cliente en la pastelería. b) La probabilidad de que haya más de dos clientes esperando servicio en un momento dado. http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/procesosestocasticos/cap5_pdf/teoria %20de%20colas%20seccion%209.pdf https://matematicasaplicadasapi.files.wordpress.com/2012/02/documentode-teorc3ada-de-colas1.pdf 3. Un peluquero atiende él solo un negocio. No acepta citas, pero atiende a los clientes conforme llegan. Debido al prestigio del peluquero, los clientes están dispuestos a esperar por el servicio una vez que llegan; las llegadas siguen un patrón poissoniano, con una tasa media de llegadas de dos por hora. Aparentemente el tiempo de servicio del peluquero se distribuye exponencialmente, con una media de 20 minutos. Determínese: MODELO MM1

λ=2

cl cl μ=3 W s =20 ' h h

a) El número esperado de clientes en la peluquería

L=

λ 2 = =2 μ−λ 3−2

Respuesta: El número promedio de clientes en la peluquería es de 2. b) El número esperado de clientes que esperan el servicio.

2

Lq =

2

λ 2 4 ´ = = =1, 33 μ(μ−λ) 3 (3−2) 3

Respuesta: El número promedio de clientes que esperan por el servicio es de 1,33. c) El tiempo promedio que un cliente permanece en la peluquería.

W=

1 1 = =1 h μ−λ 3−2

Respuesta: El número promedio que un cliente permanece en la peluquería es de 1 hora. d) La probabilidad de que un cliente permanezca más del tiempo promedio en la peluquería. −t

( )

W t = e w =( e−1) =0,3678 ≈ 36,78 Respuesta: La probabilidad de que un cliente permanezca más del tiempo promedio en la peluquería es del 36,78% 4. La sección de maternidad de un hospital tiene cinco salas para atender a las pacientes. Estas llegan al hospital de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 12 por día y se les asigna una sala si hay alguna disponible; de otro modo, se las envía a otro hospital. En promedio, una paciente ocupa la sala durante 6 horas, aparentemente el tiempo real se distribuye exponencialmente alrededor de esta media. Determínense: MODELO MMSK

cl cl λ=12 μ=4 W =6 h S=5 día día s a) La tasa promedio de ocupación de las salas (esto es, el porcentaje de salas en uso a largo plazo)

π 0=

1 S ρ s+1 ❑ s

b) La tasa promedio a la cual las pacientes de maternidad son enviadas a otros hospitales. 5. Aparentemente el patrón de llegada de automóviles a la fila única de una ventanilla bancaria de atención a automovilistas es un proceso poissoniano, con una tasa media de uno por minuto. Aparentemente los tiempos de servicio del cajero se distribuyen exponencialmente, con una media de 45 segundos. Considerando que un auto que llega esperará tanto como sea necesario, determínese: MODELO MM1

λ=1

Auto 4 Auto μ= W =45 seg min 3 min s

a) El número estimado de autos en espera de servicio

2

Lq=

2

λ 1 9 = = =2,25 autos μ(μ−λ) 4 4 4 −1 3 3

( )

Respuesta: El número estimado de autos en espera de servicio son 2,25. b) El tiempo promedio que un automóvil espera por el servicio

W q=

λ 1 9 = = =2,25 min . 4 μ ( μ− λ ) 4 4 −1 3 3

( )

Respuesta: El tiempo estimado que un auto espera de servicio es de 2,25 min. c) El tiempo promedio qué un automóvil permanece en el sistema

W=

1 1 = =3 min μ−λ 4 −1 3

Respuesta: El tiempo estimado que un auto permanece en el sistema es de 3 min. d) La probabilidad de que haya automóviles esperando en la calle, si en los terrenos del banco puede haber un máximo de cinco automóviles.

P ( Autos Calle ) =1−π 0−π 1−π 2−π 3 −π 4−π 5 P ( Autos Calle ) =1−( 1− ρ )−ρ ( 1−ρ ) −ρ2 ( 1−ρ )−ρ3 (1−ρ)−ρ4 (1−ρ)−ρ 5 (1−ρ) 3 3 3 3 − 1− − 4 4 4 4

2

1−

3 3 − 4 4

3

1−

3 3 − 4 4

4

1−

3 3 − 4 4

5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1− 34 )

P ( Autos Calle ) =1− 1−

1 3 9 27 81 243 P ( Autos Calle ) =1− − − − − − 4 16 64 256 1024 4096 1 3 9 27 81 243 729 P ( Autos Calle ) =1− − − − − − = ≈ 0,17797 4 16 64 256 1024 4096 4096 Respuesta: La probabilidad de que haya automóviles esperando en la calle es de 17,8% 6. En un aeropuerto de una sola pista, un promedio de un avión cada 5 minutos solicita permiso para aterrizar; aparentemente la distribución real es poissoniana. Los aeroplanos reciben permiso para aterrizar de acuerdo al orden de llegada, quedando en espera aquellos a los que no se les puede dar permiso de inmediato debido al tráfico. El tiempo que toma al controlador de tráfico ayudar a que un aeroplano aterrice, varía de acuerdo con la experiencia del piloto; se distribuye exponencialmente, con una media de 3 minutos. Determínense: MODELO MM1

λ=12

Aviones Aviones μ=20 W s=3 min h h

a) El número promedio de aeroplanos en espera

Lq =

λ2 122 9 = = =0,9 μ(μ−λ) 20 (20−12) 10

Respuesta: El número promedio de aeroplanos en espera es de 0,9. b) El número promedio de aeroplanos que han pedido permiso para aterrizar, pero que aún se encuentran en movimiento c) La probabilidad de que un aeroplano que llega esté en tierra menos de 10 minutos, después de pedir por primera vez permiso para aterrizar −t

−10

W (t )=e w =e 7,5 =0,263597

P (t