UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA DE SISTEMAS GUÍA – ACTIVIDAD ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
ASIGNATURA: LOGICA Y ALGORITMIA DOCENTE: Pedro G. Meléndez R GUIA No. 01
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La lógica de proposiciones es la parte más elemental de la lógica moderna o matemática. En esta primera parte de la lógica, las inferencias se construyen sin tomar en cuenta la estructura interna de las proposiciones. Sólo se examinan las relaciones lógicas existentes entre proposiciones consideradas como un todo, y de ellas sólo se toma en cuenta su propiedad de ser verdaderas o falsas. Por esta razón emplea sólo variables proposicionales. Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones. En efecto, las oraciones interrogativas, las exhortativas o imperativas, las desiderativas (deseo, solicitud o súplica) y las exclamativas o admirativas no son proposiciones porque ninguna de ellas afirma o niega algo y, por lo tanto, no son verdaderas ni falsas. Ejemplo de oraciones que son proposiciones:
María es morena Son las cinco Está lloviendo Es un camión de 25 toneladas La sopa está sobre la mesa Este año se cumple una década de la creación de la empresa El vino se obtiene de la uva Los triángulos tienen 3 lados En el Polo Norte hace frío Ya ha salido el nuevo número de la revista María no es rubia Esa tienda no abre los domingos Ese reloj no ha sonado Nunca han cambiado la decoración de esas paredes Nadie nos ha pedido consejo Todavía no llueve
Ejemplo de oraciones que no son proposiciones:
Ojalá puedan venir con nosotros ¡Que te salga bien el examen! ¡Que no llueva durante el partido! Que tengas una feliz Navidad
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Ojalá no me toque ese profesor Ojalá se recupere pronto ¡Que te vaya bien!
Utilizar el documento apuntes de lógica de proposiciones y evalué los siguientes ítems. Recuerde: Una proposición es la oración afirmativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas.
1. Cuales ítems son proposiciones? a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. w. x. y.
4 es menor que 8 Carlos es alto Colombia es un país de América ¿Qué hora es? 6 es mayor que 10 María es inteligente El sábado no hay clases 5 más 11 es 16 ¿Cómo te llamas? El uno es el primer número natural Unicundi Bogotá es la capital de Brasil El árbol ¡Levanta esa pluma! 5 + 7 =12 Tenga un feliz día Santiago es la capital de Chile ¿Habla Usted inglés? x es mayor que y 15 es un número primo. En 1990, George Bush era presidente de los Estados Unidos x + 3 es un entero positivo ¡Si todas las mañanas fuesen tan soleadas como ésta! Quince es un número par Si Carlos suspende esta asignatura, su padre se enfadará
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2. Decida si cada una de las siguientes proposiciones es Verdadera o Falsa: a) Todo número entero es número natural. b) 5 ≤ 7
c) 6 es un número primo. d) 15 es un múltiplo de 5. e) El número 2 es racional.
Las proposiciones compuestas, según el tipo de conjunción que llevan, se clasifican en conjuntivas, disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el adverbio de negación ‘no’ se llaman
negativas. Las proposiciones conjuntivas llevan la conjunción copulativa ‘y’, o sus expresiones equivalentes como ‘e’, ‘pero’, ‘aunque’, ‘aun cuando’, ‘tanto... como...’, ‘sino’, ‘ni... ni‘, ‘sin embargo’, ‘además’ ‘El’ es un artículo y ‘de’ es una preposición.
El número dos es par, pero el número tres es impar. Silvia es inteligente, sin embargo es floja. Tanto el padre como el hijo son melómanos. Manuel e Ismael son universitarios. La materia ni se crea ni se destruye. Iré a verte aunque llueva. Ingresaré a la universidad aun cuando no apruebe el examen de admisión.
Las proposiciones disyuntivas llevan la conjunción disyuntiv a ‘o’, o sus expresiones equivalentes como ‘u’, ‘ya... ya’, ‘bien... bien’, ‘ora... ora’, ‘se a... sea’, ‘y/o’
En español la disyunción 'o' tiene dos sentidos: uno inclusivo o débil y otro exclusivo o fuerte. La proposición disyuntiva inclusiva admite que las dos alternativas se den conjuntamente. La proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos alternativas se den conjuntamente. Pedro es tío o es sobrino. Roberto es profesor o es estudiante. Elena está viva o está muerta. Silvia es soltera o es casada.
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Las proposiciones condicionales llevan la conjunción condicional compuesta ‘si... entonces...’, o s us expresiones equivalentes como ‘si’, ‘siempre que’, ‘con tal que’, ‘puesto que’, ‘ya que’, ‘porque’, ‘cuando’, ‘de’, ‘a menos que’, ‘a no ser que’, ‘salvo que’, ‘sólo si‘, ‘solamente si’. Si es joven, entonces es rebelde. Es herbívoro si se alimenta de plantas. El número cuatro es par puesto que es divisible por dos Se llama isósceles siempre que el triángulo tenga dos lados iguales. Cuando venga Raúl jugaremos ajedrez. De salir el sol iremos a la playa. La física relativista fue posible porque existió la mecánica clásica. Nuestra moneda se devalúa solamente si su valor disminuye
Toda proposición condicional consta de dos elementos: antecedente y consecuente. La proposición que sigue a la palabra ‘si’ se llama antecedente y la que sigue a la palabra ‘entonces’ se denomina
consecuente. Las proposiciones bicondicionales llevan la conjunción compuesta ‘... sí y sólo si...’, o su s expresiones equivalentes como ‘cuando y sólo cuando’, ‘si..., entonces y sólo entonces...’ Es fundamentalista si y sólo si es talibán. Habrá cosecha cuando y sólo cuando llueva. Si apruebo el examen de admisión, entonces y sólo entonces ingresaré a la universidad
Las proposiciones bicondicionales se caracterizan porque establecen dos condicionales, pero de sentido inverso. Por ejemplo, la proposición bicondicional ‘el triángulo es equilátero si y sólo si tiene tres lados iguales’ establece dos condicionales de sentido inverso: ‘si es triángulo equilátero, entonces tiene tres lados iguales’ y ‘si el triángulo tiene tres lados iguales, entonces es equilátero’.
En toda proposición bicondicional el antecedente es condición necesaria y suficiente del consecuente y el consecuente es condición necesaria y suficiente del antecedente.
Las proposiciones negativas llevan el adverbio de negación ‘no’, o sus expresiones equivalentes como ‘nunca’, ‘jamás’, ‘tampoco’, ‘no es verdad que‘, ‘no es cierto que’, ‘es falso que’, ‘le falta’, ‘carece de’, ‘sin’ Nunca he oído esa música. Jamás he visto al vecino. Es imposible que el átomo sea molécula. Es falso que el juez sea fiscal. Al papá de Nelly le falta carácter.
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3. Diga si las siguientes proposiciones compuestas son conjuntivas, disyuntivas inclusivas, disyuntivas exclusivas, condicionales, bicondicionales o negativas a) Si el ciclotrón bombardea el áto mo, entonces acelera la velocidad de los p rotones. b) Todos los cuerpos se atraen con una fuerza directame nte proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que l os separa. c) Un ejemplo típico de la falacia del círculo vicioso es la famosa prueba del quinto postulado de Euclides o postulado de las paralelas. d) El 20% de 150 es 30 ó 50. e) Dos ángulos son suplementarios siempre que fo rmen un par lineal. f) La huelga continúa, pues no hay solución. g) Si consigo una beca, entonces y sólo entonces viajaré al extranjero. h) Si se calienta un cuerpo, entonces se dilata; y si se enfría, entonces se contrae. i) Cuando apruebe el examen de admisión ingresaré a la universidad. j) David no es caleño ni costeño. k) Si la distancia entre el Sol y la Tierra hubiera diferido en apenas un 5 por ciento, ninguna forma de vida habría podido surgir y nuestro planeta habría sido un desierto. l) Sin la aparición de las galaxias, sin la formación de estrellas masivas, sin el paso por el estadio de supernova, jamás habrían podido existir el hombre ni la vida. m) Francis Fukuyama proclamaba el fin de la historia y la muerte de toda ideología, puesto que era liberal. n) Actualmente está claramente establecido que nuestro universo sufre una tremenda expansión, y que esta expansión parece ser el resultado de una explosión i nicial o big bang. o) Las estrellas nacen y viven, pero también mueren. p) Se dice que existe probabilidad de que ocurra u n hecho o que un hecho es probable, cuando hay en alguna medida razones o fundamentos para afirmar su ocurrencia, pero sin llegar al nivel de la certeza o de la seguridad. q) Vilma trabaja despacio, pero sin pausa r) Paradoja es un tipo especial de contradicción constituida por una proposición determinada cuya verdad implica su falsedad y cuya falsedad implica su verdad. s) El pragmatismo norteamericano ha oscilado entre el intento de elevar el resto de la cultura al nivel epistemológico de las ciencias naturales y el intento de nivelar las ciencias naturales en paridad epistemológica con el arte, la religión y la política. t) “Definición operacional” es la expresión del significado de un constructo o concepto teorético en términos de propiedades observables y medibles llamadas indicadores.
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REPRESENTACION SIMBOLICA DE PROPOSICIONES Referencia: https://sites.google.com/site/fundamentoslogica/home/logica-y-usos
Descomposición sintáctica
Árbol sintáctico
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Descomposición del árbol sintáctico hasta alcanzar proposiciones atómicas
Simbolizar las siguientes proposiciones: a. b. c. d.
No vi la película, pero leí la novela: Ni vi la película ni leí la novela: No es cierto que viese la película y leyese la novela: Vi la película aunque no leí la novela:
¬p /\ q ¬p /\ ¬q ¬(p /\ q) p /\ ¬q
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e. f. g. h. i. j.
No me gusta trasnochar ni madrugar: O tú estás equivocado o es falsa la noticia que has leído: Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí: Llueve y o bien nieva o sopla el viento: O está lloviendo y nevando o está soplando el viento: Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni otras violaciones de los derechos civiles:
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¬p /\ ¬q pvq ¬p → ¬q p /\ (q v r) (p /\ q) v r) p → (¬q /\ ¬r)
k. Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga l. m. n. o. p. q.
la licenciatura:
p↔q
Si p, entonces q:
p→ q
No es el caso que p y q:
¬(p /\ q)
p solamente si q y no-r: p o no -q:
p ↔ (q /\ ¬r)
Si p y q, entonces no-r o s:
(p /\ q) → (¬r v s)
Si p, entonces q, y si q, entonces p:
(p → q) /\ (q → p)
p v ¬q
4. DESARROLLAR LOS ENUNCIADOS PROPUESTOS Formalizar las siguientes proposiciones:
a. No es cierto que no me guste bailar. [p: me gusta bailar]. b. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción. [p: me gusta bailar. q: me gusta leer libros de ciencia ficción].
c. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos. [p: los gatos de mi hermana sueltan pelo. q: me gusta acariciar los gatos].
d. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre. [p: ver un marciano con mis propios ojos. q: creer en los extraterrestres].
e. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno. [p: salir a dar un paseo. q: estudiar como un energúmeno].
f.
Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. [p: los elefantes vuelan. q: los elefantes tocan el acordeón. r: estar loco. s: internar en un psiquiátrico].
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Relacione cada proposición con su formalización:
“Llueve” = p
1 2 3 4 5 6 7
Llueve y hace sol Llueve y no hace sol Llueve o hace sol Si no llueve, hace sol No es cierto que llueva No es cierto que no llueva Hará sol si y sólo si no llueve “Llueve” = p
1 2 3 4 5
2 3 4
¬p p∨ q p∧ q p ∧¬ q ¬¬p q
↔
¬p
¬p →
q
, “Hace sol” = q , “Las brujas se peinan” = r
Llueve y hace sol No es cierto que si llueve y hace sol las brujas se peinan Las brujas se peinan únicamente si llueve y hace sol Cuando las brujas no se peinan, no llueve o no hace sol Llueve y las brujas no se peinan o bien hace sol y las brujas no se peinan “Las
1
, “Hace sol” = q
p∧ q
r ↔ (p ∧q) ¬r → ( ¬p∨ ¬q) ¬[(p∧ q) → r] (p∧¬r) ∨ (q∧¬r)
estrellas emiten luz” = p ; “Los planetas reflejan la luz” = q ; “Los planetas giran alrededor de las estrellas” = r Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas la reflejan y (p v q) ∧ r giran alrededor de ellas Las estrellas emiten luz o los planetas la reflejan y, por otra ¬(p ∧q) → ¬r parte, los planetas giran alrededor de ellas Los planetas reflejan luz si y sólo si las estrellas la emiten y p → (q ∧r) los planetas giran alrededor de ellas Si no es cierto que las estrellas emiten luz y que los planetas q ↔ (p ∧ r) la reflejan, entonces éstos no giran alrededor de ellas
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“Pablo
atiende en clase ” = p ; “Pablo estudia en casa ” = q ; “Pablo fracasa en los exámene s” = r ; “Pablo es aplaudido ” = s Si Pablo no atiende en clase o no estudia en casa, fracasará (p∧q) v (r ∧¬s) en los exámenes y no será aplaudido Si no es el caso que Pablo atiende en clase y estudia en casa, (p∧q) ↔ ¬(r ∧¬s) entonces fracasará en los exámenes o no será aplaudido Pablo atiende en clase y estudia en casa o, por otra parte, (¬pv¬q) →(r ∧¬s) fracasa en los exámenes y no es aplaudido Únicamente si Pablo atiende en clase y estudia en casa, no ¬(p ∧ q) →(rv¬s) se dará que fracase en los exámenes y no sea aplaudido
1 2 3 4
Otorga, ordenadamente, variables proposicionales a las diferentes oraciones de cada caso. 1
Si escoges tus deseos y tus miedos, no existirá para tí ningún tirano. (Epicteto)
p∧ q
2
Quién tiene un porqué para vivir puede soportar cualquiera cómo. (Nietzsche)
¬p
3
El mundo entero es un escenario y todos los humanos somos unos actores . (Shakespeare)
p
4
Cuando uno no tiene imaginación, la muerte es poca cosa; cuando uno la tiene, la muerte es demasiado . (Céline)
(¬p → q) ∧ (p → ¬q)
5
Ojos que no ven, corazón que no siente .
(p∧ q) → ¬r
Confeccionar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones y determinar si son tautologías, contradicciones o contingencia
p q v f v f
/\
q
v v f f
p q v f v f
¬p
v v f f
¬p /\ ¬q
→
→
¬q
q
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p q v f v f
[¬(p
→
↔
q)
v v f f
p q v f v f
→
v
p
q)
q) v (p
v v f f
p q (p v f v f
(p
¬q)
v v f f
p q v f v f
v
v v f f
p q v f v f
(p
v v f f
¬p v q
/\
¬p
↔
q)] /\ [(¬p
→
q) v ¬p]
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p q (p v f v f
/\
q)
→
p
v v f f P
p
↔
¬ p
v f
p q v f v f
¬q) /\ (p
v
¬q)
(p ↔ ¬q)
v
(¬p v q)
↔
(p
v
¬q)
v v f f
p q v f v f
↔
v v f f
p q v f v f
(p
v v f f
(p
→
q)
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p q v f v f
(p
→
[ ¬( ¬p
v
¬q ) ]
/\
¬q ) ]
/\
¬q ) ]
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(p
→
(p
v
q)
↔
[¬( p
v v f f
p q v f v f
q)
DE
v v f f
p q v f v f
/\
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q)
→
[ ¬ ( ¬p
v v f f
Verificar mediante tablas de verdad si las siguientes proposiciones son tautologías, contradicciones o contingencia 1. 2. 3. 4. 5.
{ [ ( p ∨ q) → ( r ∨ s ) ] ∧ [ ( r ∨ s ) → ¬ t ] ∧ t } → ¬p {[(p∧ q)→ r]∧ [(q→ r)→ s]∧ p}→ s { [ ¬( p ∧ q ) → ( r ∧ ¬s ) ] ∧ ( q → ¬p ) } → r { ( ¬p ∨ q ) ∧ [ q → ( r ∧ s ) ] ∧ ¬( r ∧ s ) } → ¬p ([p → (q ∧ r)] ∧ [(s ∨ ¬t) → ¬q] ∧ [t ↔ (¬q ∧ ¬u)])→ (u → ¬p)
6. ([p ∨ (q ∧ r)] ∧ [(r ∧ ¬q) → (¬s → (t ∧ u))]) → [¬q → (¬s → u)] 7. p
(q
r)
↔
(p
q) ( p
r)
