Talasi i optika - Natasa Nedeljkovic.pdf

Univerzitet u Beogradu Fiziˇcki Fakultet

Nataˇsa Nedeljkovi´c TALASI I OPTIKA

Beograd, 2009.

1

Contents

Sadrˇ zaj

i

I. ELEKTROMAGNETNI TALASI

1

§1 Elektromagnetni talasi u neprovodnim sredinama

1

1.1. Maxwell-ove jednaˇcine

1

1.2. Diferencijalne jednaˇcine elektromagnetnih talasa

2

1.3. Jednaˇcine ravanskog elektromagnetnog talasa

4

1.4. Monohromatski ravanski talas

8

1.5. Superpozicija ravanskih monohromatskih talasa

13

a) Kvazi-monohromatski talas

14

b) Talasni paket

16

1.6. ”Sferni” monohromatski elektromagnetni talasi §2 Elektromagnetni talasi u provodnoj sredini

18 20

2.1. Jednaˇcine elektromagnetnih talasa u provodnoj sredini

20

2.2. Kompleksna dielektriˇcna propustljivost

22

2.3. Ravanski monohromatski talas u provodnoj sredini

23

§3 Transport energije elektromagnetnih talasa

27

3.1. Vremenska promena gustine energije elektromagnetnog polja 3.2. Pointingov vektor 𝑃⃗

27

3.3. Energija ravanskog monohromatskog talasa

32

3.4. Svetlosni talas

33

3.5. Jaˇcina svetlosti

35

29

a) Definicija jaˇcine svetlosti

35

b) Opˇsti izraz za jaˇcinu monohromatske svetlosti

37

§4 Izvori elektromagnetnih talasa

39

4.1. Maxwell-ove jednaˇcine u polju naelektrisanja i struja

39

4.2. Retardovani potencijali

41

4.3. Zraˇcenje Hercovog dipola

45

4.4. Polje dipola u talasnoj zoni

48

i

§5 Spektralna analiza zraˇcenja

52

5.1. Elementarna teorija zraˇcenja

52

5.2.Klasiˇcan model zraˇcenja atoma

53

5.3. Spektar zraˇcenja

55

5.4. Spektar zraˇcenja prirodnog izvora ”monohromatske” svetlosti

59

II. GEOMETRIJSKA OPTIKA

64

§6 Aproksimacija geometrijske optike

64

6.1. Talasna jednaˇcina u ajkonalnoj aproksimaciji

64

6.2. Svetlosni zraci

68

6.3. Fermaov princip

70

6.4. Zakoni refleksije i refrakcije svetlosti u geometrijskoj optici

72

6.5. Hajgensov princip

75

§7 Formiranje likova u geometrijskoj optici

79

7.1. Optiˇcki lik: definicija i klasifikacija likova

79

7.2. Kardinalni elementi centriranog optiˇckog sistema

83

7.3. Osnovna formula centriranog optiˇckog sistema

88

§8 Prostiranje zraka kroz optiˇcki sistem u paraksijalnoj aproksimaciji

90

8.1. Paraksijalna aproksimacija za soˇciva

90

8.2. Matrica optiˇckog sistema za soˇcivo

95

8.3. Odredjivanje kardinalnih elemenata soˇciva

98

8.4. Tanko soˇcivo

105

8.5. Sistemi tankih soˇciva

110

III. TALASNA OPTIKA

113

§9 Elektromagnetni talasi na granici dve optiˇcke sredine

113

9.1. Refleksija i prelamanje ravanskog talasa na granici dve optiˇcke sredine

113

9.2. Amplitude i faze ravanskog talasa na granici dve optiˇcke sredine

118

§10 Polarizacija svetlosti

122

10.1. Osnovni tipovi polarizacije svetlosti

122

10.2. Delimiˇcna polarizacija. Matrica polarizacije i stepen polarizovanosti

127

10.3. Merenje stepena polarizovanosti svetlosti

132

§11 Interferencija svetlosti

138 ii

11.1. Fenomen interferencije

138

11.2. Interferencija dva monohromatska talasa istih uˇcestanosti

140

11.3. ”Interferencija” dva monohromatska talasa razliˇcitih uˇcestanosti

145

11.4. Interferencija talasa nastalih deobom amplituda talasa (plan-paralelna ploˇcica)

148

11.5. Amplitudna deoba-Majkelsonov interferometar

156

11.6. Interferencija talasa nastalih deobom talasnog fronta

162

§12 Koherencia svetlosti

165

12.1. Vremenska koherencija (talasni segmenti)

165

12.2. Vremenska koherencija (talasni paket)

169

12.3. Prostorna koherencija

172

§13 Difrakcija

176

13.1. Fenomen difrakcije

176

13.2. Kirkhofova formula i Hajgens-Frenelov princip

179

13.3. Frenelove zone i zakon slaganja amplituda

184

13.4. Frenelova difrakcija na kruˇznom otvoru i disku

188

13.5. Fraunhoferova difrakcija na pukotini

193

13.6. Difrakciona reˇsetka

197

LITERATURA

203

iii

I.

ELEKTROMAGNETNI TALASI §1 Elektromagnetni talasi u neprovodnim sredinama 1.1. Maxwell-ove jednaˇcine

Maxwell-ove jednaˇcine, kao opˇste jednaˇcine elektromagnetnog polja pokazuju da su elek⃗ triˇcno i magnetno polje medjusobno povezani: promenjivo elektriˇcno polje 𝐸(𝑡) izaziva ⃗ (nestacionarno) magnetno polje 𝐵(𝑡) i obratno. Do ovakve pojave dolazi ako, na primer, u nekom delu prostora osciluju naelektrisanja. Medjusobno pretvaranje jedne komponente elektromagnetnog polja u drugu prostire se kroz prostor kontinualno. Ovaj proces se naziva elektromagnetni talas. U najjednostavnijem sluˇcaju, posmatrani proces je periodiˇcan u pros⃗ i𝐵 ⃗ periodiˇcne funkcije prostornih koordinata i vremena. toru i vremenu: tada su vektori 𝐸 Razmotrimo prvo kako je sa stanoviˇsta samih Maxwell-ovih jednaˇcina mogu´ce postojanje elektromagnetnih talasa. Maxwell-ove jednaˇcine se prirodno grupiˇsu u dva para. Prvi par Maxwell-ovih jednaˇcina:

⃗ ∂𝐵 ∂𝑡 ⃗ div𝐵 = 0

⃗ =− rot𝐸

(1.1a) (1.1b)

⃗ i𝐵 ⃗ nezavisno od izvora polja, dok u drugom paru opisuje neka svojstva funkcija polja 𝐸 jednaˇcina figuriˇsu gustina naelektrisanja 𝜌 i gustina struje ⃗𝑗: ⃗ = ⃗𝑗 + rot𝐻

⃗ ∂𝐷 ∂𝑡

⃗ = 𝜌, div𝐷

(1.2a) (1.2b)

⃗ i𝐻 ⃗ pomo´cne funkcije polja (elektriˇcna i magnetna indukcija). gde su 𝐷 ⃗ i𝐷 ⃗ a takodje i izmedju 𝐵 ⃗ i𝐻 ⃗ U sluˇcaju da su sredine linearne i izotropne, izmedju 𝐸 postoja´ce linearna veza: ⃗ = 𝜀𝐸, ⃗ 𝐷

⃗ = 𝜇𝐻, ⃗ 𝐵

(1.3)

gde su 𝜀 = 𝜀0 𝜀𝑟 i 𝜇 = 𝜇0 𝜇𝑟 dielektriˇcna i magnetna propustljivost sredine. Radi jednostavnosti, ograniˇcimo se na homogene i stacionarne sredine kod kojih je 𝜀 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 i 𝜇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Pod navedenim uslovima, drugi par Maxwell-ovih jednaˇcina (1.2a,b) moˇze takodje da se ⃗ i 𝐵: ⃗ izrazi preko 𝐸 ⃗ ⃗ = 𝜇⃗𝑗 + 𝜀𝜇 ∂ 𝐸 rot𝐵 (1.4a) ∂𝑡 1

FIG. 1: Schematski prikaz transformacija u elektromagnetnom polju

⃗ = 1 𝜌. div𝐸 𝜀

(1.4b)

U ovom odeljku se ograniˇcavamo na deo prostora ℜ u kome nema ni stranih naelektrisanja ni struja (tzv. neprovodna sredina). Drugim reˇcima, pretpostavljamo da su izvori polja izvan uoˇcenog dela prostora. U tom sluˇcaju, u svakoj taˇcki prostora ℜ i u svakom trenutku vremena imamo: 𝜌 = 0, ⃗𝑗 = 0.

(1.5)

Drugi par Maxwell-ovih jednaˇcina (1.4a,b) u ℜ dobija oblik: ⃗ = 𝜀𝜇 rot𝐵

⃗ ∂𝐸 ∂𝑡

⃗ = 0. div𝐸

(1.6a) (1.6b)

Analizom Maxwell-ovih jednaˇcina (1.1a,b) i (1.6a,b) vidimo da se u svakoj taˇcki prostora ⃗ ⃗ u kojoj je ∂ 𝐸/∂𝑡 ∕= 0 pojavljuje (vrtloˇzno) magnetno polje 𝐵(𝑡); kako je za ovo polje ⃗ ⃗ ∂ 𝐵/∂𝑡 ∕= 0, to ono postaje izvor vrtloˇznog elektriˇcnog polja 𝐸(𝑡) a ovo polje postaje ponovo izvor magnetnog polja, tako da proces neprekidno traje, Fig.1.

1.2. Diferencijalne jednaˇcine elektromagnetnih talasa

Maxwell-ove jednaˇcine (1.1a,b) i (1.6a,b) predstavljaju sistem spregnutih parcijalnih difer⃗ i 𝐵. ⃗ Ovakav sistem se moˇze ”raspregnuti” formiranjem encijalnih jednaˇcina prvog reda po 𝐸 ⃗ i posebno za 𝐵. ⃗ parcijalnih diferencijalnih jednaˇcina drugog reda posebno za 𝐸 U tom cilju nadjimo rotor leve i desne strane jednaˇcine (1.1a): ⃗ = −rot rot(rot𝐸) 2

⃗ ∂𝐵 ∂ ⃗ = − rot𝐵. ∂𝑡 ∂𝑡

(1.7a)

Pri pisanju gornje jednaˇcine zamenili smo mesta operacijama rot i ∂/∂𝑡, ˇsto je ekvivalentno zameni redosleda diferenciranja po prostornim i vremenskim koordinatam. Zamenom izraza ⃗ u jednaˇcinu (1.7a), nalazimo: (1.6a) za rot𝐵 ⃗ =−∂ rot(rot𝐸) ∂𝑡

Ã

⃗ ∂𝐸 𝜀𝜇 ∂𝑡

) = −𝜀𝜇

⃗ ∂ 2𝐸 . ∂𝑡2

(1.7b)

Leva strana jednaˇcine (1.7b) se moˇze transformisati uz pomo´c slede´ce jednaˇcine iz vektorske analize: ⃗ = ∇ × (∇ × 𝐸) ⃗ = grad div𝐸 ⃗ − Δ𝐸, ⃗ rot rot𝐸 ⃗ tzv. laplasijan vektora 𝐸. ⃗ U Dekartovim koordinatama 𝑥, 𝑦, 𝑧 veliˇcina Δ𝐸 ⃗ gde je Δ𝐸 definisana je sledeˇcim izrazom: ⃗ = Δ𝐸

⃗ ⃗ ⃗ ∂ 2𝐸 ∂ 2𝐸 ∂2𝐸 + + . ∂𝑥2 ∂𝑦 2 ∂𝑧 2

⃗ = 0, tako da izraz (1.7b) moˇzemo napisati u Na osnovu jednaˇcine (1.6b) imamo da je div𝐸 obliku: ⃗ = 𝜀𝜇 Δ𝐸

⃗ ∂ 2𝐸 , ∂𝑡2

(1.8a)

odnosno, eksplicitno (u Dekartovim koordinatama): ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∂ 2𝐸 ∂ 2𝐸 ∂2𝐸 ∂ 2𝐸 + + = 𝜀𝜇 . ∂𝑥2 ∂𝑦 2 ∂𝑧 2 ∂𝑡2

(1.8b)

Analognim postupkom, uzimaju´ci rotor jednaˇcine (1.6a) i uzimaju´ci u obzir da je, na ⃗ = −∂ 𝐵/∂𝑡, ⃗ osnovu jednaˇcine (1.1a), rot𝐸 nalazimo: ⃗ = 𝜀𝜇 Δ𝐵

⃗ ∂ 2𝐵 , ∂𝑡2

(1.9a)

odnosno, eksplicitno (u Dekartovim koordinatama): ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∂ 2𝐵 ∂ 2𝐵 ∂2𝐵 ∂ 2𝐵 + + = 𝜀𝜇 . ∂𝑥2 ∂𝑦 2 ∂𝑧 2 ∂𝑡2

(1.9b)

⃗ i 𝐵. ⃗ U daljem Jednaˇcine (1.8a) i (1.9a) predstavljaju traˇzene jednaˇcine za vektore 𝐸 razmatranju vide´cemo da ovakve jednaˇcine imaju reˇsenja koja su periodiˇcna u prostoru i vremenu i koja predstavljaju elektromagnetne talase. Zato se ove jednaˇcine nazivaju talasne ⃗ i𝐵 ⃗ zadovoljavaju istovetne jednaˇcine, tako da se u jednaˇcine. Oˇcigledno je da vektori 𝐸 zavisnosti od poˇcetnih i graniˇcnih uslova mogu oˇcekivati simetriˇcna reˇsenja. 3

Faktor 𝜀𝜇 koji figuriˇse na desnoj strani talasnih jednaˇcina (1.8a) i (1.9a) karakteriˇse sredinu u kojoj razmatramo mogu´cnost uspostavljanja talasa. Veliˇcina 𝜀𝜇 ima dimenzije reciproˇcne vrednosti kvadrata brzine. Zbog toga je pogodno uvesti tzv. faznu brzinu 𝑣𝑓 definisanu kao: 1 𝑣𝑓 = √ . 𝜀𝜇

(1.10a)

√ Na osnovu jednaˇcine (1.10a) vidimo da je u vakuumu 𝑣𝑓 = 1/ 𝜀0 𝜇0 = 𝑐, gde je c brzina svetlosti (u vakuumu). Prema tome, 𝑣𝑓 = √

𝑐 . 𝜀𝑟 𝜇𝑟

(1.10b)

U daljim razmatranjima ´cemo videti da je 𝑣𝑓 u vezi sa brzinom prostiranja elektromagnetnih talasa. ⃗ i𝐵 ⃗ mada odredjeni nezavisnim jednaˇcinama (1.8a) Napomenimo na kraju, da vektori 𝐸 i (1.9a) nisu medjusobno nezavisne veliˇcine. Naime, ove funkcije polja su spregnute samim Maxwell-ovim jednaˇcinama.

1.3. Jednaˇcine ravanskog elektromagnetnog talasa

Talasna jednaˇcine (1.8a), odnosno (1.9a), moˇze da ima vrlo razliˇcite tipove reˇsenja od kojih svako odgovara nekom tipu elektromagnetnih talasa. Tip elektromagnetnog talasa moˇze ⃗ Za se odrediti prema geometrijskom mestu taˇcaka konstantne vrednosti inteziteta vektora 𝐸. elektromagnetne talase je karakteristiˇcno da pomenuti skupovi taˇcaka obrazuju povrˇsi, tzv. talasne povrˇsi. Kod ravanskih talasa ove povrˇsi su sistemi medjusobno paralelnih ravni; kod cilindriˇcnih i sfernih talasa to ´ce biti sistemi cilindriˇcnih povrˇsi, odnosno koncentriˇcnih sfera. ⃗ ima konstantnu vrednost na Specifiˇcnost elektromagnetnih talasa je da i intezitet vektora 𝐵 talasnoj povrˇsi. U ovom odeljku razmatramo mogu´cnost da se u delu prostora ℜ uspostave ravanski elektromagnetni talasi. Uvedimo Dekartov koordinatni sistem sa 𝑥-osom normalnom na talasne povrˇsi koje su u tom sluˇcaju paralelne sa 𝑦0𝑧-ravni, kao na Fig. 2. Ravanski elektromagnetni talasi mogu se dobiti direktnim reˇsavanjem talasnih jednaˇcina (1.8a) i (1.9a). Medjutim, zbog oˇciglednosti, a takodje i zbog nalaˇzenja veze izmedju elektriˇcne i magnetne komponente talasa, pogodno je vratiti analizu na polazni sistem Maxwell-ovih jednaˇcina (1.1a,b) i (1.6a,b). 4

FIG. 2: Talasne povrˇsi ravanskog elektromagnetnog talasa

Nadjimo sada reˇsenja Maxwell-ovih jednaˇcina koja zadovoljavaju uslov da su intenziteti ⃗ i𝐵 ⃗ konstantni na talasnim ravnima. To znaˇci da vektori 𝐸 ⃗ i𝐵 ⃗ mogu (u datom vektora 𝐸 trenutku vremena 𝑡) da zavise samo od poloˇzaja talasnih ravni, tj. od 𝑥: ⃗ = 𝐸𝑥 (𝑥, 𝑡)⃗𝑒𝑥 + 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡)⃗𝑒𝑦 + 𝐸𝑧 (𝑥, 𝑡)⃗𝑒𝑧 𝐸

(1.11a)

⃗ = 𝐵𝑥 (𝑥, 𝑡)⃗𝑒𝑥 + 𝐵𝑦 (𝑥, 𝑡)⃗𝑒𝑦 + 𝐵𝑧 (𝑥, 𝑡)⃗𝑒𝑧 . 𝐵

(1.11b)

Da bismo naˇsli reˇsenje tipa (1.11a,b), podjimo od Maxwell-ovih jednaˇcina u Dekartovim ⃗ = 𝐸(𝑥, ⃗ ⃗ = 𝐵(𝑥, ⃗ ⃗ koordinatama uz pretpostavku da je 𝐸 𝑡) i 𝐵 𝑡). Jednaˇcina (1.1a) za rot𝐸 se svodi na

tj.

(

∂𝐸𝑧 ∂𝐸𝑦 − ∂𝑦 ∂𝑧

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ⃗𝑒𝑥 ⃗𝑒𝑦 ⃗𝑒𝑧 ¯ ¯ ¯ ⃗ ⃗ = ¯¯ ∂ ∂ ∂ ¯¯ = − ∂ 𝐵 , rot𝐸 ¯ ∂𝑥 ∂𝑦 ∂𝑧 ¯ ∂𝑡 ¯ ¯ ¯ 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧 ¯ )

( ⃗𝑒𝑥 +

∂𝐸𝑥 ∂𝐸𝑧 − ∂𝑧 ∂𝑥

)

( ⃗𝑒𝑦 +

∂𝐸𝑦 ∂𝐸𝑥 − ∂𝑥 ∂𝑦

(1.12a)

) ⃗𝑒𝑧 = −

⃗ ∂𝐵 , ∂𝑡

(1.12b)

pri ˇcemu su ˇclanovi ∂𝐸𝑧 /∂𝑦, ∂𝐸𝑦 /∂𝑧, ∂𝐸𝑥 /∂𝑧 i ∂𝐸𝑥 /∂𝑦 jednaki nuli. Vektorska jednaˇcina (1.12b) se svodi na sistem od tri skalarne jednaˇcine 0= 5

∂𝐵𝑥 ∂𝑡

(1.13a)

⃗ i𝐵 ⃗ kod ravanskog elektromagnetnog talasa FIG. 3: Mogu´ce nezavisne kombinacije vektora 𝐸

∂𝐸𝑧 ∂𝐵𝑦 = ∂𝑥 ∂𝑡 ∂𝐸𝑦 ∂𝐵𝑧 =− . ∂𝑥 ∂𝑡

(1.13b) (1.13c)

Kako 𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 i 𝐵𝑧 zavise samo od 𝑥 i 𝑡, Maxwell-ova jednaˇcina (1.1b), koja u Dekartovim ⃗ = ∂𝐵𝑥 /∂𝑥 + ∂𝐵𝑦 /∂𝑦 + ∂𝐵𝑧 /∂𝑧 = 0, svodi se na koordinatama ima oblik div𝐵 ∂𝐵𝑥 = 0. ∂𝑥

(1.14)

Na analogan naˇcin transformiˇse se i drugi par Maxwell-ovih jednaˇcina (1.6a,b). Jednaˇcina ⃗ se svodi na (1.6a) za rot𝐵 ∂𝐵𝑥 (1.15a) 0= ∂𝑡 ∂𝐵𝑧 ∂𝐸𝑦 = −𝜀𝜇 (1.15b) ∂𝑥 ∂𝑡 ∂𝐵𝑦 ∂𝐸𝑧 = 𝜀𝜇 , (1.15c) ∂𝑥 ∂𝑡 ⃗ prelazi u dok jednaˇcina (1.16b) za div𝐸 ∂𝐸𝑥 = 0. ∂𝑥

(1.16)

⃗ ne zavisi ni Na osnovu jednaˇcina (1.15a) i (1.16) vidimo da 𝑥-komponenta jaˇcine polja 𝐸 od 𝑥, niti od 𝑡. To znaˇci da 𝐸𝑥 opisuje vremenski nezavisno homogeno polje (tzv. pozadinsko 6

polje ili fon), koje ne utiˇce na prostiranje elektromagnetnih talasa, tako da se bez naruˇsavanja opˇstosti moˇze uzeti da je jednako nuli: 𝐸𝑥 = 0.

(1.17)

Analogno, na osnovu jednaˇcina (1.13a) i (1.14), vidimo da komponenta 𝐵𝑥 predstavlja stacionarno pozadinsko polje za koje ˇcemo ponovo uzeti da je jednako nuli: 𝐵𝑥 = 0.

(1.18)

Analizom jednaˇcina (1.17) i (1.18) zakljuˇcujemo da ravanski elektromagnetni talas nema komponentu duˇz 𝑥-ose (tj. u pravcu svog prostiranja), odnosno vektori jaˇcine elektriˇcnog i magnetnog polja su normalni na pravac prostiranja talasa. U tom smislu, elektromagnetni talas spada u klasu transferzalnih talasa. Preostale ˇcetiri Maxwell-ove jednaˇcine (1.13b), (1.13c), (1.15b) i (1.15c) grupiˇsu se u dva nezavisna sistema ∂𝐸𝑦 ∂𝐵𝑧 =− , ∂𝑥 ∂𝑡

∂𝐵𝑧 ∂𝐸𝑦 = −𝜀𝜇 ∂𝑥 ∂𝑡

(1.19a)

∂𝐵𝑦 ∂𝐸𝑧 = 𝜀𝜇 . ∂𝑥 ∂𝑡

(1.19b)

i ∂𝐸𝑧 ∂𝐵𝑦 = , ∂𝑥 ∂𝑡

Prvi par jednaˇcina (1.19a) povezuje 𝐸𝑦 i 𝐵𝑧 , a drugi par jednaˇcina (1.19b) veliˇcine 𝐸𝑧 i 𝐵𝑦 . Koje ´ce se reˇsenje realizovati zavisi od poˇcetnih i graniˇcnih uslova. Ako je u nekoj taˇcki ⃗ = 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡)⃗𝑒𝑦 , prostora ℜ formirano (u nekom trenutku) promenjivo polje u pravcu 𝑦-ose: 𝐸 kao na Fig. 3(a), onda ´ce ovo polje izazvati magnetno polje 𝐵𝑧 usmereno duˇz 𝑧-ose, a ono izaziva promenjivo elektriˇcno polje 𝐸𝑦 duˇz 𝑦-ose, itd. Analogno, ako bi prvobitno bilo uspostavljeno elektriˇcno polje 𝐸𝑧 , kao na Fig. 3(b), onda bi se pojavilo magnetno poje 𝐵𝑦 duˇz 𝑦-ose, koje se dalje transformiˇse u elektriˇcno polje 𝐸𝑧 , itd. Dakle, mogu se nezavisno pojaviti ravanski elektromagnetni talasi kod kojih je jedna komponenta (𝐸𝑦 ili 𝐸𝑧 ) polja jednaka nuli. Mi ´cemo posmatrati sluˇcaj kada je komponenta elektriˇcnog polja duˇz 𝑧-ose jednaka nuli: 𝐸𝑧 = 0,

𝐵𝑦 = 0.

(1.20)

U razmatranom sluˇcaju, za opis elektromagnetnog talasa preostaju jednaˇcine (1.19a). Ako prvu od tih jednaˇcina diferenciramo po 𝑥 i zamenimo mesto diferenciranja po 𝑥 i po 𝑡,

7

nalazimo: ∂ 2 𝐸𝑦 /∂𝑥2 = −(∂/∂𝑥)(∂𝐵𝑧 /∂𝑡) = −(∂/∂𝑡)(∂𝐵𝑧 /∂𝑥). Uoˇcivˇsi da je ∂𝐵𝑧 /∂𝑥 dato drugom od jednaˇcina posmatranog para (1.19a), nalazimo ∂ 2 𝐸𝑦 ∂ 2 𝐸𝑦 = 𝜀𝜇 . ∂𝑥2 ∂𝑡2

(1.21a)

Analogno, ako diferenciramo drugu od jednaˇcina (1.19a) po 𝑥 i iskoristimo prvu jednaˇcinu ovog para, nalazimo

∂ 2 𝐵𝑧 ∂ 2 𝐵𝑧 = 𝜀𝜇 . ∂𝑥2 ∂𝑡2

(1.21b)

Jednaˇcine (1.21a) i (1.21b) predstavljaju talasne jednaˇcine ravanskog elektromagnetnog talasa; one slede direktno iz talasnih jednaˇcina (1.8b) i (1.9b) ako se pretpostavi da je ⃗ = 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡)⃗𝑒𝑦 i 𝐵 ⃗ = 𝐵𝑧 (𝑥, 𝑡)⃗𝑒𝑧 . 𝐸

1.4. Monohromatski ravanski talas

Talasne jednaˇcine (1.21a,b) imaju periodiˇcna partikularna reˇsenja koja se nazivaju ravanski monohromatski talasi. Naime, lako je proveriti da jednaˇcine (1.21a,b) imaju partikularna reˇsenja oblika 𝐸𝑦 = 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼1 )

(1.22a)

𝐵𝑧 = 𝐵𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼2 ).

(1.22b)

Veliˇcine 𝐸𝑚 i 𝐵𝑚 u jednaˇcinama (1.22a,b) su amplitude talasa, dok su 𝑓𝑖 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼𝑖

(1.23a)

(𝑖 = 1, 2) faze talasa. Veliˇcine 𝛼1 i 𝛼2 su poˇcetne faze. Parametri 𝜔 i 𝑘 koji se pojavljuju kao konstante u jednaˇcinama (1.22a,b) predstavljaju (kruˇznu) uˇcestanost i talasni broj posmatranog elektromagnetnog talasa. Uˇcestanost 𝜔 karakteriˇse dato partikularno reˇsenje, dok je talasni broj 𝑘 data funkcija od 𝜔. Bi´ce pokazano da je kod elektromagnetnih talasa 𝛼1 = 𝛼2 , tako da se ekvifazna povrˇs definiˇse jednaˇcinom 𝑓 = 𝑓1 = 𝑓2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Vidimo da se ona poklapa sa talasnom ravni (𝑥 = const).

8

(1.23b)

FIG. 4: Period 𝑇 i talasna duˇzina 𝜆 ravanskog monohromatskog talasa

Posmatrani kao funkcije od 𝑡, talasi (1.22a,b) se ponaˇsaju kao cos(𝜔𝑡 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), tj. predstavljaju periodiˇcne funkcije vremena sa periodom 𝑇 = 2𝜋/𝜔, Fig. 4(a), tako da je 𝜔=

2𝜋 . 𝑇

(1.24a)

Primetimo da se pored kruˇzne uˇcestanosti 𝜔 ˇcesto koristi i frekvencija 𝜈 pri ˇcemu je 𝜔 = 2𝜋𝜈, tj. 𝜈 = 1/𝑇 . Frekvencija 𝜈 predstavlja broj oscilacija (veliˇcina 𝐸𝑦 ili 𝐵𝑧 ) u jedinici vremena. U SI sistemu, jedinica frekvencije 𝜈 je Herz: 𝜈=

1 (=)Hz. 𝑇

(1.24b)

Naziv monohromatski talas upravo i potiˇce od ˇcinjenice da se posmatrani talas karakteriˇse datim 𝜈 (tj. datim 𝜔). Naime, ”monohromaatski” znaˇci ”jednobojan”, a elektromagnetni talasi date frekvencije predstavljaju jednobojnu svetlost. Vezu talasnog broja 𝑘 i uˇcestanosti 𝜔 nalazimo direktno iz talasne jednaˇcine (1.21a). Zamenom (1.22a) u (1.21a) dobijamo: 𝐸𝑚 𝑘 2 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼1 ) = 𝜀𝜇𝐸𝑚 𝜔 2 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼1 ), odakle je 𝑘=

√

𝜀𝜇𝜔.

(1.25a)

√ Kako je na osnovu jednaˇcine (1.10a) fazna brzina 𝑣𝑓 = 1/ 𝜀𝜇, talasni broj se moˇze izraziti u obliku 𝑘=

𝜔 . 𝑣𝑓

(1.25b)

Talasni broj 𝑘 (koji ima dimenziju 1/m) je u vezi sa talasnom duˇzinom 𝜆 talasa, Fig. 4(b). Naime, posmatrani kao funkcija od 𝑥, talasi (1.22a,b) se ponaˇsaju kao cos(𝑘𝑥 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), 9

FIG. 5: Brzina prostiranja ravanskog elektromagnetnog talasa

tj. predstavljaju periodiˇcne funkcije sa periodom 𝜆 = 2𝜋/𝑘, tako da je 𝑘=

2𝜋 . 𝜆

(1.25c)

Monohromatski ravanski talas uˇcestanosti 𝜔 predstavlja periodiˇcan proces koji se u prostoru prostire nekom brzinom 𝑣. Brzina 𝑣 se definiˇse kao brzina kojom se pomera data vrednost 𝐸𝑦 . Ona se moˇze na´ci kao brzina reprezentativne taˇcke na grafiku zavisnosti 𝐸𝑦 od 𝑥 prikazanom na Fig. 5(a). U trenutku 𝑡 reprezentativna taˇcka ima koordinatu 𝑥, a u trenutku 𝑡 + 𝑑𝑡, koordinatu 𝑥 + 𝑑𝑥, pri ˇcemu je vrednost 𝐸𝑦 ista u oba sluˇcaja. Kako je 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑚 cos𝑓 (𝑥, 𝑡), vidimo da 𝐸𝑦 ima istu vrednost ako su faze jednake: 𝑓 (𝑥, 𝑡) = 𝑓 (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑡 + 𝑑𝑡). Drugim reˇcima totalni diferencijal faze 𝑓 jednak je nuli: 𝑑𝑓 (𝑥, 𝑡) = 0.

(1.26)

Kako je faza 𝑓 data jednaˇcinom (1.23a), uslov (1.26) moˇze se napisati kao: 𝜔𝑑𝑡 − 𝑘𝑑𝑥 = 0, odakle sledi da je 𝑣 = 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 𝜔/𝑘. Kako je na osnovu jednaˇcine (1.25b) 𝑘 = 𝜔/𝑣𝑓 , zakljuˇcujemo da se posmatrani monohromatski talas prostire faznom brzinom 𝑣𝑓 : 𝑣 = 𝑣𝑓 .

(1.27a)

ˇ Podsetimo se da je veliˇcina 𝑣𝑓 definisana jednaˇcinom (1.10a). Cinjenica da jednaˇcina (1.27a) sledi iz konstantnosti faze predstavlja razlog ˇsto 𝑣𝑓 nosi naziv fazna brzina. Jednaˇcina (1.26) predstavlja opˇsti izraz za odredjivanje brzine. U posmatranom sluˇcaju kada je brzina 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (tj. kada se talas prostire kroz homogenu sredinu), moˇzemo uzeti 10

da reprezentativna taˇcka predje put 𝜆 za vreme 𝑇 kao na Fig. 5(b), tako da je 𝑣=

𝜆 . 𝑇

(1.27b)

Kako je 𝜆 = 2𝜋/𝑘 i 𝑇 = 2𝜋/𝜔, bi´ce 𝑣 = 𝜔/𝑘 = 𝑣𝑓 . Da bi u potpunosti odredili elektromagnetni talas treba joˇs na´ci vezu amplituda 𝐸𝑚 i 𝐵𝑚 kao i vezu izmedju poˇcetnih faza 𝛼1 i 𝛼2 elektriˇcne i magnetne komponente talasa. Ove dve komponente povezane su samim Maxwell-ovim jednaˇcinama, koje se u posmatranom sluˇcaju svode na par jednaˇcina (1.19a). Zamenom (1.22a) i (1.22b) u prvu od ovih jednaˇcina, nalazimo: 𝐸𝑚 𝑘 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼1 ) = 𝐵𝑚 𝜔 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼2 ). Dobijena jednakost mora da vaˇzi za svako 𝑥 i za svako 𝑡, ˇsto je mogu´ce jedino ako je 𝛼1 = 𝛼2 ≡ 𝛼

(1.28a)

𝑘𝐸𝑚 = 𝜔𝐵𝑚 .

(1.28b)

Primetimo da bismo iste relacije dobili i zamenom (1.22a) i (1.22b) u drugu jednaˇcinu para (1.19a). ⃗ i𝐵 ⃗ osciluju sinhrono (tj. u fazi), dok Jednaˇcina (1.28a) ukazuje na ˇcinjenicu da vektori 𝐸 jednaˇcina (1.28b) pokazuje da su maksimalne vrednosti elektriˇcne i magnetne komponente (a samim tim i trenutne vrednosti) medjusobno proporcionalne. Uz pomo´c jednaˇcine (1.3), relacija (1.28b) se moˇze izraziti i preko magnetne indukcije 𝐻𝑚 , gde je 𝐵𝑚 = 𝜇𝐻𝑚 ; naime, √ 𝑘𝐸𝑚 = 𝜔𝜇𝐻𝑚 . Kako je, prema jednaˇcinama (1.25b) i (1.10a), 𝑘/𝜔 = 1/𝑣𝑓 = 𝜀𝜇, nalazimo √

𝜀𝐸𝑚 =

√

𝜇𝐻𝑚 .

(1.28c)

Relacija (1.28c) omogu´cava poredjenje 𝐸𝑚 i 𝐻𝑚 po brojnoj vrednosti (u vakuumu) √ 𝐸𝑚 𝜇0 = = 377. (1.28d) 𝐻𝑚 𝜀0 Vidimo da je 𝐸𝑚 ≫ 𝐻𝑚 . Jasniju fiziˇcku osnovu za poredjenje elektriˇcne i magnetne komponente u posmatranom elektromagnetnom talasu dobijamo ako uporedimo sile 𝐹𝑒 i 𝐹𝑚 kojim elektriˇcno i magnetno polje talasa deluju na naelektrisanje 𝑞 koje se brzinom 𝑣𝑞 kre´ce u ovom polju: 𝑞𝐸𝑚 𝑣𝑓 𝐹𝑒 = = . 𝐹𝑚 𝑞𝑣𝑞 𝐵𝑚 𝑣𝑞

11

(1.28e)

FIG. 6: Ravanski monohromatski talas

Kako je 𝑣𝑓 reda veliˇcine brzine svetlosti, to se u svim nerelativistiˇckim sluˇcajevima kretanja naelektrisanja (𝑣𝑞 ≪ 𝑣𝑓 ) moˇze smatrati da je 𝐹𝑒 ≫ 𝐹𝑚 . Zbog toga je u najve´cem broju optiˇckih pojava aktivna samo elektriˇcna komponenta polja. Konaˇcno, ravanski monohromatski talas moˇzemo opisati jednaˇcinama (1.22a,b) u kojima se uzimaju u obzir veze (1.28a,b): ⃗ = 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼)⃗𝑒𝑦 𝐸

(1.29a)

⃗ = 𝐵𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼)⃗𝑒𝑧 . 𝐵

(1.29b)

Ponaˇsanje ravanskog elektromagnetnog talasa prikazano je na Fig. 6(a). Jednaˇcinama (1.29a,b) prikazan je ravanski elektromagnetni talas koji se prostire duˇz 𝑥-ose u datom koordinatnom sistemu. Da bismo doˇsli do reprezentacije ravanskog monohromatskog talasa u ”vektorskom obliku”, tj. u obliku nezavisnom od koordinatnog sistema, uvedimo tzv. talasni vektor ⃗𝑘 ˇciji se pravac i smer poklapa sa pravcem i smerom prostiranja talasa, dok mu je intezitet jednak talasnom broju 𝑘. U posmatranom sluˇcaju ⃗𝑘 = 𝑘⃗𝑒𝑥 , tako da je ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟 = 𝑘𝑥, gde je ⃗𝑟 vektor poloˇzaja proizvoljne taˇcke u polju, vidi Fig. 6(b). Koriste´ci se talasnim vektorom ⃗𝑘, za opˇsti oblik ravanskog monohromatskog talasa (koji se prostire u pravcu vektora ⃗𝑘) imamo ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐸 ⃗ 𝑚 cos(𝜔𝑡 − ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟 + 𝛼), 𝐸(⃗ ⃗ 𝑚 = 𝐸𝑚⃗𝑒𝑦 . gde je 𝐸

12

(1.30)

⃗ 𝑟, 𝑡) koji ima oblik prikazan jednaˇcinom (1.30), moˇze da se prikaˇze kao realni Vektor 𝐸(⃗ ⃗ˇ 𝑟, 𝑡): deo kompleksnog vektora 𝐸(⃗ ⃗ 𝑟, 𝑡) = Re𝐸(⃗ ⃗ˇ 𝑟, 𝑡), 𝐸(⃗

(1.31)

⃗ˇ definisan kao pri ˇcemu je kompleksni vektor 𝐸 ⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = 𝐸 ⃗ˇ𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟)], 𝐸(⃗

(1.32a)

⃗ˇ𝑚 = 𝐸 ⃗ 𝑚 𝑒−𝑖𝛼 = 𝐸𝑚 e−𝑖𝛼⃗𝑒𝑦 . 𝐸

(1.32b)

gde je

Znak (-) u jednaˇcinama (1.32b,c) uveden je radi pogodnosti. U usvojenoj reprezentaciji, talas koji se prostire u ⃗𝑘 pravcu ponaˇsa se kao exp(𝑖⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟). Primetimo, na kraju, da formule analogne sa (1.31a) i (1.32) mogu da se napiˇsu i za magnetnu komponentu elektromagnetnog talasa: ⃗ 𝑟, 𝑡) = Re𝐵(⃗ ⃗ˇ 𝑟, 𝑡), 𝐵(⃗

(1.32c)

⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = 𝐵 ⃗ˇ𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟)] 𝐵(⃗

(1.32d)

⃗ˇ𝑚 = 𝐵 ⃗ 𝑚 e−𝑖𝛼 = 𝐵𝑚 e−𝑖𝛼⃗𝑒𝑧 . 𝐵

(1.32e)

gde su

1.5. Superpozicija ravanskih monohromatskih talasa

Monohromatski talasi su u odeljku 1.4. dobijeni kao partikularno reˇsenje talasne jednaˇcine za dato 𝜔 . Ovakvi talasi bi mogli postojati u oblasti ℜ ako bi u komplementarnoj oblasti postojao odgovaraju´ci izvor svetlosti. U realnim uslovima, ne postoje izvori strogo monohromatske svetlosti. Naime, prirodni izvori uvek zraˇce elektromagnetne talase u nekom intervalu uˇcestanosti Δ𝜔. Ovakvi talasi se u oblasti ℜ ponaˇsaju kao superpozicija monohromatskih talasa. Ova fiziˇcka okolnost predstavlja posledicu ˇcinjenice da talasna jednaˇcina, kao linearna diferencijalna jednaˇcina, pored monohromatskog talasa ima za reˇsenje i proizvoljnu ”linearnu kombinaciju - superpoziciju” ovakvih talasa. U ovom odeljku ´cemo razmotriti dva karakteristiˇcna sluˇcaja superpozicije ravanskih monohromatskih talasa kojom se formiraju kvazimonohromatski talas i talasni paket. 13

FIG. 7: Kvazi-monohromatski talas nastao slaganjem dva talasa bliskih uˇcestanosti a) Kvazi-monohromatski talas

Razmotrimo prvo superpoziciju dva ravanska monohromatska talasa koji se prostiru duˇz iste (𝑥-ose) sa medjusobno bliskim uˇcestanostima 𝜔1 i 𝜔2 , pri ˇcemu je elektriˇcno polje oba talasa duˇz 𝑦-ose. Pri razmatranju superpozicije posmatrana dva talasa pretpostavi´cemo takodje da dielektriˇcna propustljivost 𝜀 i magnetna propustljivost 𝜇 sredine kroz koju se prostire talas ne zavise od uˇcestanosti talasa. Ovakve sredine nazivaju se nedisperzivne sredine. U tom sluˇcaju za oba talasa imamo istu faznu brzinu 𝑣𝑓 . Talasni brojevi posmatranih talasa su prema tome: 𝑘1 = 𝜔1 /𝑣𝑓 i 𝑘2 = 𝜔2 /𝑣𝑓 . Jaˇcine elektriˇcnog polja prvog i drugog talasa date su jednaˇcinom (1.29a): ⃗ 1 = 𝐸𝑚1 cos(𝜔1 𝑡 − 𝑘1 𝑥 + 𝛼1 )⃗𝑒𝑦 , 𝐸

(1.33a)

⃗ 2 = 𝐸𝑚2 cos(𝜔2 𝑡 − 𝑘2 𝑥 + 𝛼2 )⃗𝑒𝑦 . 𝐸

(1.33b)

Radi jednostavnosti, pretpostavi´cemo da talasi imaju iste poˇcetne faze (𝛼1 = 𝛼2 = 0) i iste amplitude (𝐸𝑚1 = 𝐸𝑚2 = 𝐸𝑚 ). Na Fig. 7(a) prikazana su navedena dva talasa. Vidimo da mala razlika u uˇcestanostima talasa moˇze da dovede talase u protiv-fazu. Rezultuju´ca jaˇcina polja (rezultuju´ci talas) u svakoj taˇcki prostora je ⃗ =𝐸 ⃗1 + 𝐸 ⃗ 2, 𝐸

(1.34a)

⃗ = 𝐸𝑚 [cos(𝜔1 𝑡 − 𝑘1 𝑥) + cos(𝜔2 𝑡 − 𝑘2 𝑥)]⃗𝑒𝑦 . 𝐸

(1.34b)

tj.

14

Koriste´ci formulu cos𝛼 + cos𝛽 = 2cos 𝛼−𝛽 cos 𝛼+𝛽 , nalazimo 2 2 ( ) ( ) 𝜔 − 𝜔 𝑘 − 𝑘 𝜔 + 𝜔 𝑘 + 𝑘 1 2 1 2 1 2 1 2 ⃗ = 2𝐸𝑚 cos 𝑡− 𝑥 cos 𝑡− 𝑥 ⃗𝑒𝑦 . 𝐸 2 2 2 2

(1.35)

Kako su uˇcestanosti 𝜔1 i 𝜔2 bliske, imamo 𝜔2 =𝜔1 +Δ𝜔, tj. 𝜔2 − 𝜔1 = Δ𝜔 ≪ 𝜔1 , 𝜔2 𝑘2 − 𝑘1 = Δ𝑘 =

𝜔2 − 𝜔1 Δ𝜔 = ≪ 𝑘1 , 𝑘 2 , 𝑣𝑓 𝑣𝑓

(1.36a) (1.36b)

tako da je ( ⃗ = 2𝐸𝑚 cos 𝐸

) ( ) Δ𝜔 Δ𝑘 Δ𝜔 Δ𝑘 𝑡− 𝑥 cos 𝜔1 𝑡 − 𝑘1 𝑥 + 𝑡− 𝑥 ⃗𝑒𝑦 . 2 2 2 2

(1.37a)

Ako uvedemo veliˇcinu 𝑓𝑔 =

Δ𝜔 Δ𝑘 𝑡− 𝑥, 2 2

(1.37b)

rezultuju´ci talas moˇzemo da predstavimo u obliku ⃗ 𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐴(𝑥, 𝑡)cos(𝜔1 𝑡 − 𝑘1 𝑥 + 𝑓𝑔 )⃗𝑒𝑦 ,

(1.38a)

𝐴(𝑥, 𝑡) = 2𝐸𝑚 cos𝑓𝑔 (𝑥, 𝑡).

(1.38b)

gde je

Dakle, superpozicijom dva monohromatska talasa bliskih uˇcestanosti dobija se kvazimonohromatski talas, Fig. 7(b), koji osciluje sa osnovnom uˇcestanos´cu 𝜔1 i ima moduliˇsu´cu amplitudu 𝐴(𝑥, 𝑡) (isprekidana linija na Fig. 7(b)). Kvazi-monohromatski talas se prostire tzv. grupnom brzinom 𝑣𝑔 koja predstavlja brzinu kojom se pomera reprezentativna taˇcka sa Fig. 7(b) (to je brzina kojom se pomera cela grupa talasa). Po svojoj definiciji 𝑣𝑔 je fazna brzina moduliˇsu´ce amplitude date jednaˇcinom (1.38b). Dakle, 𝑣𝑔 se nalazi iz jednaˇcine 𝑑𝑓𝑔 (𝑥, 𝑡) = 0, koja se svodi na

Δ𝜔 𝑑𝑡 2

−

Δ𝑘 𝑑𝑥 2

(1.39a)

= 0, tako da je 𝑣𝑔 =

𝑑𝑥 Δ𝜔 = . 𝑑𝑡 Δ𝑘

(1.39b)

Kako je Δ𝑘 = Δ𝜔/𝑣𝑓 , nalazimo da je 𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 . Dakle, grupna brzina kvazimonohromatskog talasa jednaka je faznoj brzini. 15

b) Talasni paket

Razmotrimo sada superpoziciju kontinuuma ravanskih monohromatskih talasa koji se prostiru duˇz 𝑥-ose, ˇciji talasni brojevi pripadaju intervalu [𝑘0 − Δ𝑘/2, 𝑘0 + Δ𝑘/2] i ˇciji vektori elektriˇcnog polja svi osciluju duˇz 𝑦-ose. Ovakvom superpozicijom dobija se talas lokalizovan u prostoru koji se naziva talasni paket. Rezultuju´ca jaˇcina polja je sada jednaka ∫ 𝑘0 +Δ𝑘/2 ⃗ 𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑘 (𝑘)cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)𝑑𝑘⃗𝑒𝑦 ,

(1.40a)

𝑘0 −Δ𝑘/2

gde je 𝐴𝑘 (𝑘)𝑑𝑘 amplituda komponentnog talasa, dok je 𝐴𝑘 (𝑘) gustina amplitude. Pretpostavimo da je sredina nedisperzivna tako da 𝑣𝑓 ne zavisi od 𝜔. U tom sluˇcaju imamo 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 = (𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥)𝑘. Pri izraˇcunavanju integrala (1.40a) moˇzemo primeniti teoremu o sred∫ ∫ njoj vrednosti: 𝑔(𝑥)𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 =< 𝑔(𝑥) > 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥. Ako sa < 𝐴𝑘 (𝑘) >≡ 𝐴0 /Δ𝑘 oznaˇcimo ⃗ imamo srednju vrednost amplitude, za jaˇcinu polja 𝐸 𝐴0 ⃗ 𝐸(𝑥, 𝑡) = Δ𝑘

∫

𝑘0 +Δ𝑘/2

cos[(𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥)𝑘]𝑑𝑘⃗𝑒𝑦 ,

(1.40b)

𝑘0 −Δ𝑘/2

odakle, direktnom integracijom, nalazimo { [ ( )] [ ( )]} 𝐴0 Δ𝑘 Δ𝑘 ⃗ 𝐸(𝑥, 𝑡) = sin (𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥) 𝑘0 + − sin (𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥) 𝑘0 − ⃗𝑒𝑦 . (𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥)Δ𝑘 2 2 (1.41a) Ako uvedemo oznake (𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥)𝑘0 = 𝛼 i (𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥) Δ𝑘 = 𝛽, izraz (1.41a) moˇzemo da napiˇsemo 2 u obliku ⃗ 𝐸(𝑥, 𝑡) =

𝐴0 [sin(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 − 𝛽)]⃗𝑒𝑦 . (𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥)Δ𝑘

(1.41b)

Koriste´ci adicionu teoremu sin(𝛼 ± 𝛽) = sin𝛼 cos𝛽 ± cos𝛼 sin𝛽, nalazimo da je sin(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 − 𝛽) = 2sin𝛽cos𝛼, tako da je ⃗ 𝐸(𝑥, 𝑡) =

[ ] Δ𝑘 2𝐴0 sin (𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥) cos[(𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥)𝑘0 ]⃗𝑒𝑦 . (𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥)Δ𝑘 2

(1.41c)

Izraz (1.41c) prikazuje modulisan ravanski monohromatski talas: ⃗ 𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐴(𝑥, 𝑡)cos(𝜔0 𝑡 − 𝑘0 𝑥)⃗𝑒𝑦 ,

(1.42a)

gde je 𝜔0 = 𝑣𝑓 𝑘0 i gde je moduliˇsu´ca amplituda 𝐴(𝑥, 𝑡) data sa 𝐴(𝑥, 𝑡) = 𝐴0

sin[(𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥) Δ𝑘 ] 2 . Δ𝑘 (𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥) 2 16

(1.42b)

FIG. 8: Talasni paket u prostoru i vremenu

Amplituda 𝐴(𝑥, 𝑡) je bitno razliˇcita od nule samo u ograniˇcenom delu prostora. Zato se talas (1.42a) naziva talasni paket. Ponaˇsanje amlitude 𝐴(𝑥, 𝑡) odredjeno je ponaˇsanjem . Funkcija sin𝜉/𝜉 → 1 kada 𝜉 → 0; prva nula ove funkcije sin𝜉/𝜉 gde je 𝜉 = (𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥) Δ𝑘 2 funkcije je za 𝜉 = ±𝜋, a slede´ca za 𝜉 = ±2𝜋. Prema tome, u trenutku 𝑡, posmatrani talasni paket je lokalizovan oko poloˇzaja 𝑥 = 𝑥𝑐 odredjenog uslovom 𝜉 = 0, tj. 𝑣𝑓 𝑡 − 𝑥𝑐 = 0.

(1.43)

Analogno, na mestu 𝑥, talasni paket je lokalizovan u nekom vremenskom intervalu oko trenutka 𝑡 = 𝑡𝑐 , gde je 𝑣𝑓 𝑡𝑐 − 𝑥 = 0. Zavisnost 𝐸𝑦 od 𝑥 je prikazana na Fig. 8(a), a zavisnost 𝐸𝑦 od 𝑡 na Fig. 8(b). Vidimo da je talasni paket lokalizovan u u prostoru u okviru intervala 𝑥 ∈ [𝑥𝑐 − Δ𝑥/2, 𝑥𝑐 + Δ𝑥/2], pri ˇcemu se moˇze uzeti da je ∣𝜉∣/𝑥=𝑥𝑐 +Δ𝑥/2 = 𝜋/2; na osnovu ovog uslova nalazimo Δ𝑥Δ𝑘 = 2𝜋.

(1.44)

Poslednja relacija se moˇze interpretirati kao ”relacija neodredjenosti” za koordinatu 𝑥 i talasni broj 𝑘. Prostrorna delokalizovanost talasa je utoliko ve´ca (ve´ce Δ𝑥) ukoliko je manji interval Δ𝑘. U graniˇcnom sluˇcaju Δ𝑘 → 0, talasni paket postaje potpuno delokalizovan i prelazi u ravanski monohromatski talas amplitude 𝐴0 i uˇcestanosti 𝜔0 . Kao ˇsto smo videli, prema jednaˇcini (1.43), u trenutku 𝑡, talasni paket je lokalizovan oko taˇcke 𝑥𝑐 = 𝑣𝑓 𝑡, koja predstavlja centar talasnog paketa. Centar paketa 𝑥𝑐 se pomera duˇz 17

𝑥-ose brzinom koja predstavlja tzv. grupnu brzinu talasa. Ova brzina je data sa 𝑣𝑔 =

𝑑𝑥𝑐 = 𝑣𝑓 , 𝑑𝑡

(1.45)

ˇsto znaˇci da se u posmatranoj nedisperzivnoj sredini grupna brzina poklapa sa faznom brzinom. Kretanjem u nedisperzivnim sredinama talas ne menja svoj oblik. U disperzivnim sredinama doˇslo bi do ”rasplinjavanja” paketa, tj. Δ𝑥 raste u toku vremena.

1.6. ”Sferni” monohromatski elektromagnetni talasi

Maxwell-ove jednaˇcine u skalarnoj aproksimaciji dozvoljavaju da se u delu prostora ℜ bez naelektrisanja i struja pojave sferni talasi. Ovakvi talasi se karakteriˇsu sfernim talasnim povrˇsima rasporedjenim koncentriˇcno sa zajedniˇckim centrom koji se u opˇstem sluˇcaju nalazi izvan ℜ. Pretpostavi´cemo da deo prostora ℜ predstavlja linearnu, izotropnu sredinu koja je ho⃗ i mogena i ˇcije se osobine ne menjaju tokom vremena. U ovakvim sredinama vektori 𝐸 ⃗ zadovoljavaju talasne jednaˇcine (1.8a) i (1.9a). Analiza samih Maxwell-ovih jednaˇcina u 𝐵 sfernim koordinatama, bi´ce data u odeljku §4 gde ´ce biti pokazano da u oblasti ℜ postoje reˇsenja oblika ⃗ = 𝐸𝜃⃗𝑒𝜃 , 𝐵 ⃗ = 𝐵𝜑⃗𝑒𝜑 , 𝐸

(1.46)

gde su ⃗𝑒𝜃 i ⃗𝑒𝜑 ortovi (uzajamno ortogonalni) duˇz promene uglova 𝜃 i 𝜑 sfernih koordinata 𝑟, 𝜃 i 𝜑, definisanih na Fig. 9. U odeljku §4 bi´ce takodje pokazano da je 𝐸𝜃 = 𝐸𝜃 (𝑟, 𝜃, 𝑡) i 𝐵𝜑 = 𝐵𝜑 (𝑟, 𝜃, 𝑡). Ovde ´cemo prikazati tzv. skalarnu aproksimaciju, u okviru koje se zanemaruje vektorski karakter elektromagnetnog polja. Naime, u ovoj aproksimaciji, uzima se da 𝐸𝜃 (odnosno 𝐵𝜑 ) zadovoljavaju talasne jednaˇcine ∂ 2 𝐸𝜃 ∂𝑡2

(1.47a)

∂ 2 𝐵𝜑 . ∂𝑡2

(1.47b)

Δ𝐸𝜃 = 𝜀𝜇 Δ𝐵𝜑 = 𝜀𝜇

Jednaˇcine (1.47a,b) imaju reˇsenja koja su sferno simetriˇcna 𝐸𝜃 = 𝐸𝜃 (𝑟, 𝑡),

18

𝐵𝜑 = 𝐵𝜑 (𝑟, 𝑡).

(1.48)

FIG. 9: Elektriˇcna i magnetna komponenta sfernog elektromagnetnog talasa

Da bismo naˇsli ova reˇsenja (npr. reˇsenje 𝐸𝜃 ) uoˇcimo da delovanje laplasijana Δ na 𝐸𝜃 (𝑟, 𝑡) daje: Δ𝐸𝜃 (𝑟, 𝑡) =

1 ∂2 (𝑟𝐸𝜃 (𝑟, 𝑡)). 𝑟 ∂𝑟2

Zamenom ovog izraza u jednaˇcinu (1.47a), nalazimo 1 ∂2 ∂ 2 𝐸𝜃 (𝑟𝐸 ) = 𝜀𝜇 . 𝜃 𝑟 ∂𝑟2 ∂𝑡2

(1.49a)

Mnoˇzenjem poslednje jednaˇcine sa 𝑟, dobijamo ∂2 ∂2 (𝑟𝐸𝜃 ) = 𝜀𝜇 2 (𝑟𝐸𝜃 ). ∂𝑟2 ∂𝑡

(1.49b)

Poredjenjem jednaˇcine (1.49b) sa jednaˇcinom (1.21a) za komponentu 𝐸𝑦 ravanskog monohromatskog talasa, nalazimo da su ove jednaˇcine formalno istog oblika, tako da imaju i formalno ista reˇsenja: 𝑟𝐸𝜃 (𝑟, 𝑡) = 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟 + 𝛼).

(1.50a)

Prema tome, koriste´ci skalarnu aproksimaciju, vidimo da su mogu´ci sferni talasi, ˇcija je elektriˇcna komponenta ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟 + 𝛼)⃗𝑒𝜃 . 𝐸(⃗ 𝑟

(1.50b)

Na analogan naˇcin, reˇsavanjem jednaˇcine (1.47b) nalazimo da je magnetna komponenta posmatranog talasa ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐵𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟 + 𝛼)⃗𝑒𝜑 . 𝐵(⃗ 𝑟

19

(1.51)

Pri pisanju jednaˇcine (1.51) uzeli smo u obzir da elektriˇcna i magnetna komponenta sfernog talasa osciluje u fazi (isto 𝛼). Takodje, moˇze se uzeti da su 𝐸𝑚 i 𝐵𝑚 povezani istom jednaˇcinom (1.28b) kao za ravanske talase. Sferni monohromatski talas opisan jednaˇcinom (1.50b) i (1.51) prostire se duˇz 𝑟-pravca i to u pravcu porasta 𝑟. Uvedimo sada vektor ⃗𝑘 u pravcu i smeru prostiranja sfernih talasa: ⃗𝑘 = 𝑘⃗𝑒𝑟 , kao na Fig. 9. Tada je 𝑘𝑟 = ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟, tako da sferni talas moˇze da se predstavi u vektorskom obliku ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟 + 𝛼)⃗𝑒𝜃 𝐸(⃗ 𝑟 ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐵𝑚 cos(𝜔𝑡 − ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟 + 𝛼)⃗𝑒𝜑 . 𝐵(⃗ 𝑟

(1.52a) (1.52b)

Primetimo da se i u sluˇcaju sfernih talasa, po analogiji sa jednaˇcinom (1.32b), mogu ⃗ˇ i 𝐵. ⃗ˇ Po definiciji uzimamo da je uvesti kompleksni vektori 𝐸 ⃗ ⃗ˇ = 𝐸𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟 + 𝛼)] 𝐸 𝑟

(1.53a)

⃗ ⃗ˇ = 𝐵𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟 + 𝛼)], 𝐵 (1.53b) 𝑟 ⃗ 𝑚 = 𝐵𝑚⃗𝑒𝜑 . Jaˇcina elektriˇcnog polja 𝐸 ⃗ i jaˇcina = 𝐸𝑚⃗𝑒𝜃 i 𝐵

⃗𝑚 gde smo uveli vektore 𝐸 ⃗ predstavljaju realne delove kompleksnih vektora (1.53a,b). magnetnog polja 𝐵

§2 Elektromagnetni talasi u provodnoj sredini 2.1. Jednaˇcine elektromagnetnih talasa u provodnoj sredini

Veˇcina materijalnih sredina u kojima se izuˇcavaju optiˇcki fenomeni je neprovodna. Zbog toga ´ce rezultati dobijeni u predhodnom odeljku predstavljati osnovu za dalje izuˇcavanje optike. U ovom odeljku razmotri´cemo, radi kompletnosti, prostiranje elektromagnetnih talasa kroz provodne sredine. Do ovakvih pojava dolazi, na primer, pri detekciji elektromagnetnih talasa pomo´cu antena, pri usmeravanju ovih talasa pomo´cu tzv. talasovoda itd. Pri razmatranju prostiranja elektromagnetnih talasa kroz provodne sredine, ponovo se ograniˇcavamo na deo prostora ℜ izvan samog izvora talasa. Za materijalnu sredinu u ℜ predpostavljamo da je linearna i izotropna sredina koja se karakteriˇse dielektriˇcnom propustljivoˇs´cu 𝜀 = const. i magnetnom propustljivoˇs´cu 𝜇 = const. Primetimo da ovakva sredina ima osobine i dielektrika i provodnika. 20

Pretpostavi´cemo da je srednja gustina slobodnih naelektrisanja u njoj jednaka nuli: 𝜌 = 0,

(2.1a)

kao ˇsto je to sluˇcaj kada su stacionarne i kvazistacionarne struje uspostavljene u metalnim provodnicima. U svakoj taˇcki ove sredine definisan je vektor gustine struje ⃗𝑗 za koji pretpostavljamo da je sa jaˇcinom elektriˇcnog polja u istoj taˇcki povezan Ohm-ovim zakonom u diferencijalnom obliku ⃗ ⃗𝑗 = 𝜎𝑅 𝐸,

(2.1b)

gde je 𝜎𝑅 specifiˇcna provodnost posmatrane sredine. Maxwell-ove jed. (1.1a,b) i (1.4a,b) u posmatranoj sredini imaju oblik

⃗ ∂𝐵 ∂𝑡 ⃗ = 0, div𝐵

⃗ =− rot𝐸

(2.2a) (2.2b)

⃗ ⃗ = 𝜇𝜎𝑅 𝐸 ⃗ + 𝜀𝜇 ∂ 𝐸 , rot𝐵 ∂𝑡 ⃗ div𝐸 = 0.

(2.3a) (2.3b)

Vidimo da je u odnosu na neprovodnu sredinu razmatranu u odeljku §1., razliˇcita samo Maxwell-ova jednaˇcina (2.3a). Radi jednostavnosti sistem jednaˇcina (2.2)-(2.3) reˇsava´cemo u kompleksnom obliku. U graniˇcnom sluˇcaju ⃗𝑗 = 0, ovaj sistem ima partikularno reˇsenje koje predstavlja kompleksni ⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = ravanski monohromatski talas koji se prostire u 𝑥-pravcu dat jednaˇcinom (1.32a): 𝐸(⃗ ⃗ˇ𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)]. U provodnoj sredini oblik ovog partikularnog reˇsenja se mora uopˇstiti 𝐸 tako ˇsto talasni broj postaje kompleksan: ˇ ⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = 𝐸 ⃗ˇ𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)]. 𝐸(⃗

(2.4a)

Analogno, za magnetnu komponentu, uopˇstavanjem jednaˇcine (1.32d), imamo ˇ ⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = 𝐵 ⃗ˇ𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)]. 𝐵(⃗

(2.4b)

Koriste´ci uopˇsteno reˇsenje (2.4a), sistem Maxwell-ovih jednaˇcina za provodnu sredinu moˇze se fomalno svesti na sistem jednaˇcina karakteristiˇcan za neprovodnu sredinu. Naime, ˇ ⃗ˇ ⃗ˇ odakle je 𝐸 ⃗ˇ = 𝑖 ∂ 𝐸⃗ , tako da jednaˇcinu na osnovu jednaˇcine (2.4a) nalazimo ∂ 𝐸 = −𝑖𝜔 𝐸, ∂𝑡

𝜔 ∂𝑡

(2.3a) u kompleksnom domenu moˇzemo napisati u slede´cem obliku: ) ⃗ˇ ( 𝑖 ⃗ˇ ⃗ˇ 𝑖 ∂ 𝐸 ∂𝐸 ∂ 𝐸 ˇ ⃗ = 𝜇𝜎𝑅 rot𝐵 + 𝜀𝜇 = 𝜎𝑅 + 𝜀 𝜇 . 𝜔 ∂𝑡 ∂𝑡 𝜔 ∂𝑡 21

(2.5)

Koriste´ci jednaˇcinu (2.5), za Maxwell-ove jednaˇcine u provodnoj sredini (za razmatrani monohromatski talas) u kompleksnom domenu imamo ⃗ˇ ∂𝐵 ˇ ⃗ rot𝐸 = − , ∂𝑡 ⃗ˇ = 0, div𝐵 ( ⃗ˇ 𝜎𝑅 ) ∂ 𝐸 ˇ ⃗ rot𝐵 = 𝜀 + 𝑖 𝜇 , 𝜔 ∂𝑡 ⃗ˇ = 0. div𝐸

(2.6a) (2.6b) (2.6c) (2.6d)

2.2. Kompleksna dielektriˇcna propustljivost

Poredjenjem Maxwell-ovih jednaˇcina (2.6) sa sistemom (1.1) i (1.6) Maxwell-ovih jednaˇcina u neprovodnim sredinama prevedenim u kompleksan oblik, vidimo da se ovi sistemi fomalno poklapaju ako se uvede kompleksna dielektriˇcna propustljivost 𝜀ˇ relacijom 𝜀ˇ = 𝜀 + 𝑖

𝜎𝑅 . 𝜔

(2.7)

Uvedena kompleksna veliˇcina je oˇcigledno zavisna od 𝜔, tako da je sredina ”disperzivna”. Dakle, u uslovima u kojima se promenjivo elektromagnetno polje javlja u provodnim sredinama, ovakva sredina se karakteriˇse kompleksnom dielektriˇcnom propustljivoˇs´cu. Na osnovu relacije (2.7) vidimo da 𝜀ˇ → 𝜀 kada 𝜎𝑅 → 0 ˇsto je oˇcekivano jer se tada provodna sredina svodi na neprovodnu. Interesantno je da se isti rezultat dobija i kada 𝜔 → ∞. Uvodjenjem kompleksne dielektriˇcne propustljivosti, mogu´ce je direktno koristiti ve´c ustanovljene osobine ravanskih monohromatskih talasa u neprovodnim sredinama. Pri prelazu na provodne sredine potrebno je samo izvrˇsiti smenu 𝜀 → 𝜀ˇ = 𝜀 + 𝑖 𝜎𝜔𝑅 . Tako, npr., relacija (1.25a) koja izraˇzava vezu 𝑘 i 𝜔, sada dobija oblik 𝑘ˇ2 = 𝜀ˇ𝜇𝜔 2 , tj.

(2.8a)

( 𝜎𝑅 ) 2 𝑘ˇ2 = 𝜀 + 𝑖 𝜇𝜔 = 𝜀𝜇𝜔 2 + 𝑖𝜇𝜎𝑅 𝜔. (2.8b) 𝜔 Izrazimo sada kompleksni talasni broj 𝑘ˇ preko realnog dela (𝑘) i imaginarnog dela (𝑠): 𝑘ˇ = 𝑘 + 𝑖𝑠. 22

(2.9)

Zamenom izraza (2.9) u jednaˇcinu (2.8b), nalazimo (𝑘 + 𝑖𝑠)2 = 𝜀𝜇𝜔 2 + 𝑖𝜇𝜎𝑅 𝜔,

(2.10a)

𝑘 2 + 2𝑖𝑠𝑘 − 𝑠2 = 𝜀𝜇𝜔 2 + 𝑖𝜇𝜎𝑅 𝜔.

(2.10b)

tj.

Kompleksna jednaˇcina (2.10b) se svodi na dve realne jednaˇcine: 𝑘 2 − 𝑠2 = 𝜀𝜇𝜔 2 ,

(2.11a)

2𝑠𝑘 = 𝜇𝜎𝑅 𝜔.

(2.11b)

Iz izraza (2.11b) nalazimo da je 𝑠 = 𝜇𝜎𝑅 /(2𝑘), tako da jednaˇcina (2.11a) prelazi u: 𝑘 2 − (𝜇𝜎𝑅 𝜔/(2𝑘))2 = 𝜀𝜇𝜔 2 , ˇsto je kvadratna jednaˇcina po 𝜉 = 𝑘 2 : 𝜉 2 − (𝜇𝜎𝑅 𝜔/2)2 = 𝜀𝜇𝜔 2 𝜉. Reˇsenja poslednje jednaˇcine su: ]1/2 1 { } 1 1[ 𝜉1/2 = 𝜀𝜇𝜔 2 ± (𝜀𝜇𝜔 2 )2 + (𝜇𝜎𝑅 𝜔)2 = 𝜀𝜇𝜔 2 1 ± [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/2 . 2 2 2 Fiziˇcko reˇsenje odgovara znaku ”+” ˇsto lako uoˇcavamo ako primetimo da u tom sluˇcaju 𝜉1/2 → 𝜀𝜇𝜔 2 , tj. 𝑘 2 → 𝜔 2 /𝑣𝑓2 , odnosno 𝑘 → 𝜔/𝑣𝑓 pri 𝜎𝑅 → 0, ˇsto odgovara vrednosti talasnog broja u neprovodnoj sredini. Dakle, u provodnoj sredini talasni broj 𝑘 je povezan sa 𝜔 relacijom

{ } 1 𝑘 2 = 𝜀𝜇𝜔 2 1 + [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/2 . 2 Zamenom reˇsenja (2.12) u izraz (2.11a) nalazimo

(2.12)

1 1 𝑠2 = 𝑘 2 − 𝜀𝜇𝜔 2 = 𝜀𝜇𝜔 2 {1 + [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/2 } − 𝜀𝜇𝜔 2 = 𝜀𝜇𝜔 2 {1 + [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/2 − 2}. 2 2 Konaˇcno, 1 𝑠2 = 𝜀𝜇𝜔 2 {[1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/2 − 1}. (2.13) 2 ˇ Jednaˇcine (2.12) i (2.13) odredjuju realni i imaginarni deo kompleksnog talasnog broja 𝑘.

2.3. Ravanski monohromatski talas u provodnoj sredini

Ravanski monohromatski talas u kompleksnoj formi u provodnoj sredini opisan je jednaˇcinama (2.4a,b), u kojima je kompleksni talasni broj dat izrazom (2.9): 𝑘ˇ = 𝑘 + 𝑖𝑠. Naime, ⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = 𝐸 ⃗ˇ𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − (𝑘 + 𝑖𝑠)𝑥)] = 𝐸 ⃗ˇ𝑚 exp(−𝑠𝑥)exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)], 𝐸(⃗ 23

(2.14a)

⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = 𝐵 ⃗ˇ𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − (𝑘 + 𝑖𝑠)𝑥)] = 𝐵 ⃗ˇ𝑚 exp(−𝑠𝑥)exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)]. 𝐵(⃗

(2.14b)

⃗ˇ𝑚 i 𝐵 ⃗ˇ𝑚 , analogno jednaˇcinama (1.32b) i (1.32e), imaju slede´ci oblik: Kompleksni vektori 𝐸 ⃗ˇ𝑚 = 𝐸 ⃗ 𝑚 exp(−𝑖𝛼1 ), 𝐵 ⃗ˇ𝑚 = 𝐵 ⃗ 𝑚 exp(−𝑖𝛼2 ). 𝐸

(2.15)

Primetimo da za razliku od izraza (1.32b,c) koji su vaˇzili za neprovodne sredine, faze 𝛼1 i 𝛼2 u jednaˇcini (2.15) nisu medjusobno jednake. Takodje, veza izmedju 𝐸𝑚 i 𝐵𝑚 u provodnoj sredini ima drugi oblik u odnosu na relaciju (1.28c): 𝑘𝐸𝑚 = 𝜔𝐵𝑚 , karakteristiˇcnu za neprovodnu sredinu. ⃗ˇ 𝑟, 𝑡) Vezu pomenutih veliˇcina u provodnoj sredini nalazimo zamenog opˇsteg oblika za 𝐸(⃗ ⃗ˇ 𝑟, 𝑡), prikazanog jednaˇcinama (2.4a,b), u Maxwell-ovu jednaˇcinu (2.6a): i 𝐵(⃗ { } } ∂ { ⃗ˇ ˇ ˇ ⃗ˇ𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)] rot 𝐸 =− 𝐵𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)] . ∂𝑡

(2.16a)

Kako je ˇ ˇ −𝐸 ˇ ⃗ˇ𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)]} ⃗ˇ𝑚 )exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)] ⃗ˇ𝑚 × grad{exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)]} rot{𝐸 = (rot𝐸 ˇ ˇ 𝑒𝑥 , ⃗ˇ𝑚 × grad{exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)]} ⃗ˇ𝑚 × 𝑖𝑘ˇ exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)]⃗ = −𝐸 = −𝐸 to jednaˇcina (2.16a) dobija oblik ˇ 𝑒𝑥 = 𝐵 ˇ ⃗ˇ𝑚 × 𝑖𝑘ˇ exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)]⃗ ⃗ˇ𝑚 (𝑖𝜔)exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)], −𝐸 tj. ˇ𝑒𝑥 × 𝐸 ⃗ˇ𝑚 = 𝜔 𝐵 ⃗ˇ𝑚 . 𝑘⃗

(2.16b)

Konaˇcno, koriste´ci relacije (2.15), dobijamo ˇ𝑒𝑥 × 𝐸 ⃗ 𝑚 exp(−𝑖𝛼1 ) = 𝜔 𝐵 ⃗ 𝑚 exp(−𝑖𝛼2 ). 𝑘⃗

(2.16c)

ˇ exp[𝑖Arctg(𝑠/𝑘)] gde je ∣𝑘∣ ˇ = (𝑘 2 + 𝑠2 )1/2 , kompleksnu jednaˇcinu Kako je 𝑘ˇ = 𝑘 + 𝑖𝑠 = ∣𝑘∣ (2.16c) moˇzemo da napiˇsemo u obliku ˇ ⃗𝑒𝑥 × 𝐸 ⃗ 𝑚 exp[−𝑖𝛼1 + 𝑖Arctg(𝑠/𝑘)] = 𝜔 𝐵 ⃗ 𝑚 exp(−𝑖𝛼2 ), ∣𝑘∣

(2.17a)

koja je ekvivalentna sistemu od dve realne (algebarske) jednaˇcine: ˇ ⃗𝑒𝑥 × 𝐸 ⃗ 𝑚 = 𝜔𝐵 ⃗ 𝑚, ∣𝑘∣ 24

(2.17b)

i 𝛼1 − Arctg(𝑠/𝑘) = 𝛼2 .

(2.17c)

Prevode´ci jednaˇcine (2.14a,b) u realan domen, za elektriˇcnu i magnetnu komponentu elektromagnetnog talasa nalazimo ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐸 ⃗ 𝑚 exp(−𝑠𝑥) cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼1 ), 𝐸(⃗

(2.18a)

⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐵 ⃗ 𝑚 exp(−𝑠𝑥) cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼2 ). 𝐵(⃗

(2.18b)

⃗𝑚 i 𝐵 ⃗ 𝑚 su medjusobno povezani relacijom (2.17b), dok su faze 𝛼1 i 𝛼2 povezane Vektori 𝐸 izrazom (2.17c). Pretpostavimo sada da je jaˇcina elektriˇcnog polja usmerena duˇz 𝑦-ose, ˇsto znaˇci da je ⃗ 𝑚 = 𝐸𝑚⃗𝑒𝑦 , tako da jednaˇcina (2.17b) gustina struje takodje duˇz 𝑦-ose. U tom sluˇcaju je 𝐸 ˇ ⃗𝑒𝑥 × 𝐸𝑚⃗𝑒𝑦 = 𝜔 𝐵 ⃗ 𝑚 , tj. dobija oblik: ∣𝑘∣ ˇ 𝐸𝑚⃗𝑒𝑧 = 𝜔 𝐵 ⃗ 𝑚, ∣𝑘∣

(2.19a)

⃗ 𝑚 = 𝐵𝑚⃗𝑒𝑧 . Inteziteti jaˇcine odakle sledi da je jaˇcina magnetnog polja u pravcu 𝑧-ose, 𝐵 elektriˇcnog i magnetnog polja su povezani relacijom ˇ 𝑚 = 𝜔𝐵𝑚 , ∣𝑘∣𝐸

(2.19b)

(𝑘 2 + 𝑠2 )1/2 𝐸𝑚 = 𝜔𝐵𝑚 .

(2.19c)

koja u eksplicitnom obliku glasi

Talasni broj 𝑘 i veliˇcina 𝑠 su funkcije od 𝜔, date jednaˇcinama (2.12) i (2.13). Zamenom ovih vrednosti u jednaˇcinu (2.19c), nalazimo (

{ } 1 { } 1 𝜀𝜇𝜔 2 1 + [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/2 + 𝜀𝜇𝜔 2 [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/2 − 1 2 2

)1/2 𝐸𝑚 = 𝜔𝐵𝑚 ,

odakle je, (

1 𝜀𝜇𝜔 2 2

)1/2

{ }1/2 𝐸𝑚 = 𝜔𝐵𝑚 , 1 + [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/2 + [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/2 − 1

odnosno (𝜀𝜇)1/2 [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/4 𝐸𝑚 = 𝐵𝑚 . 25

(2.20a)

FIG. 10: Prostiranje ravanskog monohromatskog talasa kroz provodnu sredinu

Konaˇcno, koriste´ci vezu 𝐵𝑚 = 𝜇𝐻𝑚 , nalazimo √ tako da je

𝜀[1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/4 𝐸𝑚 =

√

𝜇𝐻𝑚 ,

(2.20b)

( 𝜇 )1/2 𝐸𝑚 [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]−1/4 . = 𝐻𝑚 𝜀

(2.20c)

Poslednji koliˇcnik se od odgovaraju´ce relacije (1.28d) za neprovodnu sredinu razlikuje za faktor [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]−1/4 . Kada 𝜎𝑅 → 0 ovaj faktor teˇzi 1; medjutim, u sredinama sa izraˇzenim provodnim osobinama (veliko 𝜎𝑅 /𝜀𝜔) posmatrani faktor moˇze biti vrlo mali tako da magnetna komponenta viˇse nije zanemarljiva prema elektriˇcnoj. Posmatrani monohromatski ravanski elektromagnetni talas u provodnoj sredini opisujemo ⃗ 𝑚 = 𝐸𝑚⃗𝑒𝑦 i 𝐵 ⃗ 𝑚 = 𝐵𝑚⃗𝑒𝑧 : jednaˇcinama (2.16a,b), u kojima je 𝐸 ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐸𝑚 exp(−𝑠𝑥) cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼1 )⃗𝑒𝑦 , 𝐸(⃗

(2.21a)

⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐵𝑚 exp(−𝑠𝑥) cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼2 )⃗𝑒𝑧 . 𝐵(⃗

(2.21b)

Vidimo da su u provodnoj sredini amplitude elektriˇcne i magnetne komponente talasa date eksponencijalno opadaju´cim funkcijama: 𝐴𝐸 = 𝐸𝑚 exp(−𝑠𝑥), 𝐴𝐵 = 𝐵𝑚 exp(−𝑠𝑥). Dakle, pri prolasku talasa kroz provodnu sredinu dolazi do gaˇsenja talasa, odnosno do njegove absorpcije. Zavisnost 𝐸𝑦 od 𝑥 prikazana je na Fig. 10(a). Ravanski monohromatski talasi 26

ˇcija amplituda opada duˇz pravca prostiranja, mogu da se okarakteriˇsu brzinom 𝑣 = 𝑑𝑥/𝑑𝑡 pri ˇcemu je 𝑑(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼1 ) = 0. Dakle, u provodnoj sredini posmatrani talasi prostiru se brzinom 𝑣 = 𝜔/𝑘, gde je 𝑘 funkcija od 𝜔 data sa jednaˇcinom (2.12): 𝜔 𝑣= =𝜔 𝑘

{

} { } −1/2 1 2 2 1/2 𝜀𝜇𝜔 1 + [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔) ] = 21/2 (𝜀𝜇)−1/2 {1 + [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/2 }−1/2 . 2

Kako je 𝑣𝑓 = (𝜀𝜇)−1/2 , nalazimo 𝑣 = 𝑣𝑓 21/2 {1 + [1 + (𝜎𝑅 /𝜀𝜔)2 ]1/2 }−1/2 .

(2.22)

Na osnovu poslednje formule vidimo da brzina ravanskog monohromatskog elektromagnetnog talasa u provodnoj sredini zavisi od 𝜔, ˇsto je karakteristiˇcno za disperzivne sredine! Druga karakteristika elektromagnetnih talasa u provodnoj sredini je ˇsto se prostiru asihrono, sa faznom razlikom odredjenom jednaˇcinom (2.17c): 𝛼1 − 𝛼2 = Arctg(𝑠/𝑘). Na Fig. 10(b) prikazan je jedan ovakav talas. Kada 𝜎𝑅 → 0, veliˇcina 𝑠 → 0 tako da faktor priguˇsenja exp(−𝑠𝑥) teˇzi jedinici; u posmatranom sluˇcaju 𝑘 → 𝜔/𝑣𝑓 , tako da se elektromagnetni talasi svode na ravanske monohromatske elektromagnetne talase (kruˇzne) uˇcestanosti 𝜔, koji se brzinom 𝑣 = 𝑣𝑓 prostiru u neprovodnoj sredini.

§3 Transport energije elektromagnetnih talasa 3.1. Vremenska promena gustine energije elektromagnetnog polja

Jedna od glavnih karakteristika elektromagnetnog polja je njegova energija koja je sa gustinom 𝑤𝑒𝑚 rasporedjena u prostoru. U sluˇcaju vremenski zavisnih polja gustina energije takodje zavisi od vremena. U nekim taˇckama prostora dolazi´ce do smanjivanja ove gustine na raˇcun pove´canja ove gustine u drugim delovima prostora. Zbog toga u prostoru postoji transport (strujanje) energije. U sluˇcaju da su u sredini uspostavljeni elektromagnetni talasi dolazi do usmerenog transporta elektromagnetne energije. Gustina energije elektromagnetnog polja 𝑤𝑒𝑚 jednaka je zbiru gustine energije 𝑤𝑒 elektriˇcnog i gustine energije 𝑤𝑚 magnetnog polja: 𝑤𝑒𝑚 (⃗𝑟, 𝑡) = 𝑤𝑒 (⃗𝑟, 𝑡) + 𝑤𝑚 (⃗𝑟, 𝑡). 27

(3.1a)

Gustina energije 𝑤𝑒𝑚 se moˇze izraziti u obliku 1 ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ 𝐻). ⃗ 𝑤𝑒𝑚 (⃗𝑟, 𝑡) = (𝐸 ⋅𝐷+𝐵 2

(3.1b)

U posmatranoj taˇcki prostora, za promenu gustine energije u jedinici vremena imamo ( ) ( ) ∂ ∂ 1⃗ ⃗ ∂ 1⃗ ⃗ 𝑤𝑒𝑚 = 𝐸⋅𝐷 + 𝐵⋅𝐻 . (3.2) ∂𝑡 ∂𝑡 2 ∂𝑡 2 Parcijalni izvodi po vremenu koji figurisu na desnoj strani jednaˇcine (3.2) slede direktno ⃗ u𝐵 ⃗ i𝐵 ⃗ u𝐸 ⃗ u toku iz Maxwell-ovih jednaˇcina (1.1a) i (1.4a) koje opisuju transformacije 𝐸 vremenski zavisnog procesa: ⃗ ⃗ ∂𝐵 ⃗ = ⃗𝑗 + ∂ 𝐷 . , rot𝐻 ∂𝑡 ∂𝑡 ⃗ a druge sa 𝐸, ⃗ dobijamo Mnoˇzenjem prve od jednaˇcina (3.3a) skalarno sa 𝐻, ⃗ =− rot𝐸

⃗ ⃗ ⋅ rot𝐸 ⃗ = −𝐻 ⃗ ⋅ ∂𝐵 , 𝐻 ∂𝑡

⃗ ⃗ ⋅ rot𝐻 ⃗ =𝐸 ⃗ ⋅ ⃗𝑗 + 𝐸 ⃗ ⋅ ∂𝐷 . 𝐸 ∂𝑡

(3.3a)

(3.3b)

Dalja analiza se znatno pojednostavljuje ako se ograniˇcimo na linearnu, izotropnu sredinu ⃗ = 𝜀𝐸 ⃗ i𝐵 ⃗ = 𝜇𝐻, ⃗ pri ˇcemu je 𝜀 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 i 𝜇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. stacionarnih osobina. U tom sluˇcaju 𝐷 ⃗ ⋅ U tom sluˇcaju imamo 𝐻

⃗ ∂𝐵 ∂𝑡

moˇzemo napisati u obliku ⃗ ⋅ rot𝐸 ⃗ =−∂ 𝐻 ∂𝑡

= (

∂ 1⃗ ( 𝐵 ∂𝑡 2

⃗ 𝐸 ⃗⋅ ⋅ 𝐻),

) 1⃗ ⃗ 𝐵⋅𝐻 , 2

⃗ ∂𝐷 ∂𝑡

=

∂ 1⃗ ( 𝐸 ∂𝑡 2

⃗ tako da jednaˇcinu (3.3b) ⋅ 𝐷),

⃗ ⋅ rot𝐻 ⃗ =𝐸 ⃗ ⋅ ⃗𝑗 + ∂ 𝐸 ∂𝑡

(

) 1⃗ ⃗ 𝐸⋅𝐷 . 2

(3.3c)

⃗ povezana Druga od jednaˇcina (3.3c) zavisi od gustine struje ⃗𝑗 koja je sa jaˇcinom polja 𝐸 ⃗ gde je 𝜎𝑅 specifiˇcna provodljivost Ohm-ovim zakonom u diferencijalnom obliku: ⃗𝑗 = 𝜎𝑅 𝐸, sredine. Pod tim uslovom, jednaˇcina (3.3c) dobija oblik ( ) ( ) ∂ 1⃗ ⃗ ∂ 1⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 𝐻 ⋅ rot𝐸 = − 𝐵 ⋅ 𝐻 , 𝐸 ⋅ rot𝐻 = 𝜎𝑅 𝐸 + 𝐸⋅𝐷 . ∂𝑡 2 ∂𝑡 2

(3.3d)

Koriste´ci jednaˇcinu (3.3d), za parcijalni izvod gustine energije po vremenu dat jednaˇcinom (3.2), nalazimo ∂ ⃗ ⋅ rot𝐻 ⃗ −𝐻 ⃗ ⋅ rot𝐸 ⃗ − 𝜎𝑅 𝐸 2 . 𝑤𝑒𝑚 = 𝐸 (3.4a) ∂𝑡 ⃗ × 𝐻) ⃗ =𝐻 ⃗ ⋅ (∇ × 𝐸) ⃗ −𝐸 ⃗ ⋅ (∇ × 𝐻), ⃗ imamo div(𝐸 ⃗ × 𝐻) ⃗ =𝐻 ⃗ ⋅ rot𝐸 ⃗ −𝐸 ⃗ ⋅ rot𝐻, ⃗ Kako je ∇ ⋅ (𝐸 tako da jednaˇcinu (3.4a) moˇzemo napisati u obliku ∂ ⃗ × 𝐻) ⃗ − 𝜎𝑅 𝐸 2 . 𝑤𝑒𝑚 = −div(𝐸 ∂𝑡

(3.4b)

Poslednja jednaˇcina pri 𝜎𝑅 𝐸 2 = 0 ima oblik jednaˇcine kontinuiteta u diferencijalnom obliku koja odraˇzava zakon odrˇzanja energije, analogno jednaˇcini ∂𝜌/∂𝑡 = −div⃗𝑗, koja je izraˇzavala zakon odrˇzanja naelektrisanja. 28

FIG. 11: Energijski bilans u nestacionarnom elektromagnetnom polju 3.2. Pointingov vektor 𝑃⃗

Jednaˇcina (3.4b) moˇze da se prevede u integralni oblik koji tada direktrno opisuje transport energije u nestacionarnom elektromagnetnom polju. Uoˇcimo zato u prostoru proizvoljnu zapreminu 𝑉 ograniˇcenu zatvorenom povrˇsinom 𝑆 kao na Fig. 11 i razmotrimo ˇsta se deˇsava sa energijom u ovoj zapremini za vreme 𝑑𝑡. U trenutku 𝑡, energija 𝑊𝑒𝑚 elektromagnetnog polja u zapremini 𝑉 data je sa ∫ 𝑊𝑒𝑚 = 𝑤𝑒𝑚 𝑑𝑉.

(3.5)

𝑉

Smanjenje energije −𝑑𝑊𝑒𝑚 u zapremini 𝑉 za vreme 𝑑𝑡 jednaka je: ∫ ∫ ∂ 𝑑 𝑑 𝑤𝑒𝑚 𝑑𝑉 = − − 𝑊𝑒𝑚 = − 𝑤𝑒𝑚 𝑑𝑉. 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑉 𝑉 ∂𝑡 Koriste´ci jednaˇcinu (3.4b), nalazimo ∫ ∫ 𝑑 ⃗ ⃗ − 𝑊𝑒𝑚 = div(𝐸 × 𝐻)𝑑𝑉 + 𝜎𝑅 𝐸 2 𝑑𝑉. 𝑑𝑡 𝑉 𝑉

(3.6a)

(3.6b)

Prvi ˇclan na desnoj strani jednaˇcine (3.6b) se na osnovu Gauss-ove teoreme transformiˇse u ∮ ⃗ × 𝐻) ⃗ ⋅ 𝑑𝑆. ⃗ Drugi ˇclan predstavlja veliˇcinu 𝑑𝑄/𝑑𝑡, pri ˇcemu je 𝑑𝑄 povrˇsinski integral 𝑆 (𝐸 toplota koja se iz zapremne 𝑉 izraˇci za vreme 𝑑𝑡. Dakle, ∮ ( ) 𝑑 ⃗ ×𝐻 ⃗ ⋅ 𝑑𝑆 ⃗ + 𝑑𝑄 . − 𝑊𝑒𝑚 = 𝐸 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑆

(3.6c)

Jednaˇcina (3.6c) daje bilans energije za vreme 𝑑𝑡. Prvi ˇclan na desnoj strani ove jednaˇcine ⃗ × 𝐻). ⃗ Ovaj vektor igra veoma vaˇznu ulogu u optici i naziva se predstavlja fluks vektora (𝐸 Pointingov vektor 𝑃⃗ : ⃗ × 𝐻. ⃗ 𝑃⃗ = 𝐸 29

(3.7a)

Fluks Pointingovog vektora kroz povrˇsinu 𝑆, naziva se u optici svetlosni fluks Φ𝑊 : ∮ ⃗ Φ𝑊 = 𝑃⃗ ⋅ 𝑑𝑆.

(3.7b)

𝑆

Koriste´ci veliˇcinu Φ𝑊 , energijski bilans dat jednaˇcinom (3.6c) dobija oblik −

𝑑 𝑑𝑄 𝑊𝑒𝑚 = Φ𝑊 + . 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(3.8)

Na osnovu poslednje jednaˇcine vidimo da je svetlosni fluks Φ𝑊 jednak energiji koja se u jedinici vremena izraˇci iz zapremine 𝑉 struje´ci u obliku elektromagnetnih talasa kroz povrˇsinu 𝑆. Energijski bilans dat jenaˇcinom (3.8) simboliˇcki je prikazan na Fig. 11. Fiziˇcki smisao Pointingovog vektora 𝑃⃗ je dvostruk. Pre svega, pravac i smer Pointingovog vektora oznaˇcava pravac i smer prostiranja energije. Takodje, na osnovu izraza (3.7b), imamo ⃗ = 𝑃 𝑑𝑆⊥ , gde je 𝑑𝑆⊥ element povrˇsine normalan na da je elementarni fluks 𝑑Φ𝑊 = 𝑃⃗ ⋅ 𝑑𝑆 pravac Pointingovog vektora, tako da je intezitet Pointingovog vektora jednak: 𝑃 =

𝑑Φ𝑊 . 𝑑𝑆⊥

(3.9a)

˜𝑒𝑚 = −𝑑𝑊𝑒𝑚 oznaˇcimo deo energije koja se pri 𝑑𝑄 = 0 izraˇci iz sistema, onda je Ako sa 𝑑𝑊 ˜ 𝑒𝑚 /𝑑𝑡, tako da formula (3.9a) dobija slede´ci oblik: 𝑑Φ𝑊 = 𝑑2 𝑊 𝑃 =

˜𝑒𝑚 𝑑2 𝑊 . 𝑑𝑆⊥ 𝑑𝑡

(3.9b)

Vidimo da intezitet Pointingovog vektora predstavlja energiju koja se u vidu elektromagnetnog talasa u jedinici vremena prenese kroz jedinicu povrˇsine normalno na pravac prostiranja energije. Dimenziono, Pointingov vektor predstavlja gustinu snage, tj. ima dimenzije snage (energije u jedinici vremena) po jedinici povrˇsine: 𝑃 (=)

W . m2

(3.10)

Primer Razmotrimo sada pravac strujanja energije u strujnom kolu u kome je uspostavljena stacionarna struja jaˇcine 𝐼. Za odrˇzavanje stacionarne struje neophodno je delovanje generatora elektromotorne sile koji daje energiju pasivnom delu kola; ova energija se ”usisava” u pasivan deo provodnika struje´ci ka njegovoj osi, ˇsto je shematski prikazano na Fig. 12(a). Da bismo pokazali da se transport energije odvija na prikazan naˇcin, posmatrajmo deo provodnika i nadjimo fluks Φ𝑊 kroz povrˇsinu 𝑆 koja ograniˇcava cilindar polupreˇcnika 𝑟 i 30

FIG. 12: Strujanje energije u kolu stacionarne struje

visine 𝑙, ˇcija se osa poklapa sa osom provodnika, Fig. 12(b). Pretpostavimo da je struja rasporedjena ravnomerno po popreˇcnom preseku provodnika sa gustinom struje ⃗𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. U svakoj taˇcki u unutraˇsnjosti provodnika vaˇzi Ohm-ov zakon u diferencijalnomobliku ⃗𝑗 = ⃗ Prema tome, jaˇcina elektriˇcnog polja na 𝑆 data je sa 𝐸 ⃗ = 𝜌⃗𝑗 gde je 𝜌 = 1/𝜎𝑅 specifiˇcna 𝜎𝑅 𝐸. otpornost provodnika. U taˇcki na rastojanju 𝑟 od ose provodnika magnetna indukcija je ⃗ = (1/2)𝑗𝑟⃗𝑒𝜑 gde je ⃗𝑒𝜑 jediniˇcni ort polarnog ugla 𝜑, Fig. 12(b). Pointingov vektor jednaka 𝐻 ⃗ ×𝐻 ⃗ = 𝜌⃗𝑗 × 𝑃⃗ , dat jednaˇcinom (3.7a), na rastojanju 𝑟 od ose provodnika jednak je 𝑃⃗ = 𝐸 (1/2)𝑗𝑟⃗𝑒𝜑 = −(1/2)𝜌𝑗 2 𝑟⃗𝑒𝑟 , gde je ⃗𝑒𝑟 jediniˇcni vektor 𝑟-ose. Vidimo da je Pointingov vektor usmeren ka osi provodnika, ˇsto znaˇci da se energija ”usisava” u pasivan deo provodnika. Fluks Φ𝑊 Pointingovog vektora 𝑃⃗ kroz povrˇsinu 𝑆, definisan jednaˇcinom (3.7b), svodi se ∫ ∮ ⃗= na fluks kroz povrˇsinu omotaˇca cilindra 𝑆𝑜𝑚 = 2𝑟𝜋𝑙: Φ𝑊 = 𝑃⃗ ⋅ 𝑑𝑆 (−1/2)𝜌𝑗 2 𝑟⃗𝑒𝑟 ⋅ 𝑆

2

2

𝑆𝑜𝑚

2

𝑑𝑆⃗𝑒𝑟 = −(1/2)𝜌𝑗 𝑟𝑆𝑜𝑚 . Dakle, Φ𝑊 = −𝜌𝑗 𝑉 gde je 𝑉 = 𝑟 𝜋𝑙 zapremina uoˇcenog cilindra. Kako je 𝜌𝑗 2 𝑉 toplota koja se u jedinici vremena izraˇci iz zapremine 𝑉 provodnika, nalazimo −Φ𝑊 = 𝑑𝑄/𝑑𝑡. Dakle, u posmatranom sistemu, jednaˇcina (3.8) koja opisuje opˇsti energijski bilans u elektrodinamici, svodi se na −𝑑𝑊𝑒𝑚 /𝑑𝑡 = Φ𝑊 + 𝑑𝑄/𝑑𝑡 = 0. Pod uslovom stacionarnosti struje, elektromagnetna energija 𝑊𝑒𝑚 u uoˇcenoj zapremini 𝑉 se ne menja: ”usisana” energija u jedinici vremena (−Φ𝑊 ) jednaka je izraˇcenoj energiji u jedinici vremena (𝑑𝑄/𝑑𝑡), koja u vidu toplote napuˇsta sistem, ˇsto je shematski prikazano na Fig. 12(a). 31

FIG. 13: Ravanski monohromatski talas i transport energije 3.3. Energija ravanskog monohromatskog talasa

U odeljku 1.4. videli smo da se u homogenoj neprovodnoj sredini bez naelektrisanja mogu uspostaviti ravanski monohromatski elektromagnetni talasi. Razmotrimo sada ove talase sa stanoviˇsta prostiranja energije. Osnovna veliˇcina koja karakteriˇse transport energije je ⃗ × 𝐻, ⃗ definisan jednaˇcinom (3.7a). Kako su vektori 𝐸 ⃗ i 𝐵 ⃗ kod Pointingov vektor 𝑃⃗ = 𝐸 ⃗ = 𝜇𝐻, ⃗ nalazimo ravanskih monohromatskih talasa dati izrazom (1.29a,b), pri ˇcemu je 𝐵 𝑃⃗ = 𝐸𝑚 𝐻𝑚 cos2 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼)⃗𝑒𝑥 ,

(3.11a)

gde je ⃗𝑒𝑥 jediniˇcni vektor 𝑥-ose. Vidimo da je Pointingov vektor usmeren duˇz pravca prostiranja talasa, ˇsto znaˇci da se i energija prostire u ovom pravcu, Fig. 13(a). Intezitet Pointin√ √ govog vektora dobijamo iz jednaˇcine (3.11a). Koriste´ci jednaˇcinu (1.28c): 𝜀𝐸𝑚 = 𝜇𝐻𝑚 , √ √ 2 nalazimo da je 𝑃 = 𝜀/𝜇𝐸𝑚 cos2 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛼), odnosno, kako je 𝑣𝑓 = 1/ 𝜀𝜇, 𝑃 =

1 2 𝐸 . 𝜇𝑣𝑓

(3.11b)

Poslednji izraz moˇze direktno da se poveˇze sa gustinom energije u posmatranom polju. Naime, gustina energije elektriˇcnog polja je 𝑤𝑒 = (1/2)𝜀𝐸 2 , dok je gustina magnetne energije 𝑤𝑚 = (1/2)𝜇𝐻 2 = (1/2)𝜇(𝐻𝑚 /𝐸𝑚 )2 𝐸 2 = (1/2)𝜀𝐸 2 = 𝑤𝑒 . Dakle, u posmatranom sluˇcaju 𝑤𝑒𝑚 = 𝑤𝑒 + 𝑤𝑚 = 2𝑤𝑒 = 𝜀𝐸 2 .

32

(3.12)

Poredjenjem (3.11b) i (3.12), nalazimo 𝑃 =

1 𝑤𝑒𝑚 , 𝜀𝜇𝑣𝑓

(3.13a)

odnosno 𝑃 = 𝑣𝑓 𝑤𝑒𝑚 .

(3.13b)

Formula (3.13b) ima direktnu fiziˇcku interpretaciju. Dovoljno je pretpostaviti da se energija prenosi brzinom 𝑣𝑓 . Tada je energija koja za vreme 𝑑𝑡 prodje kroz povrˇsinu 𝑑𝑆⊥ , Fig. 13(b), normalnu na pravac prostiranja (𝑥-osu), jednaka energiji sadrˇzanoj u zapremini 𝑑𝑉 = 𝑑𝑆⊥ 𝑣𝑓 𝑑𝑡: 𝑑𝑊𝑒𝑚 = 𝑤𝑒𝑚 𝑑𝑉 = 𝑤𝑒𝑚 𝑑𝑆⊥ 𝑣𝑓 𝑑𝑡. Prema tome, energija koja se u jedinici vremena prenese kroz jedinicu povrˇsine jednaka je ˜𝑒𝑚 𝑑2 𝑊 = 𝑣𝑓 𝑤𝑒𝑚 . 𝑑𝑆⊥ 𝑑𝑡

(3.13c)

˜𝑒𝑚 /(𝑑𝑆⊥ 𝑑𝑡) ˇsto odgovara Poredjenjem jednaˇcina (3.13c) i (3.13b) vidimo da je 𝑃 = 𝑑2 𝑊 opˇstoj definiciji (3.9b) inteziteta Pointingovog vektora.

3.4. Svetlosni talas

U okviru klasiˇcne talasne optike svetlost se moˇze posmatrati kao elektromagnetni talas. On se u optici ˇcesto naziva i svetlosni talas. Kako je u optiˇckim sredinama uglavnom dominantna elektriˇcna komponenta elektromagnetnog talasa, to se najˇces´ce razmatra samo ⃗ se naziva svetlosni vektor. jaˇcina elektriˇcnog polja. Vektor 𝐸 Svetlosni talasi koji se najˇces´ce sre´cu u prirodi su sloˇzeni elektromagnetni talasi koji se mogu predstaviti kao odgovaraju´ce ”superpozicije” monohromatskih talasa, na primer u obliku talasnog paketa prikazanog jednaˇcinom (1.40a). U nedisperzivnim sredinama svi komponentni (parcijalni) monohromatski talasi (kruˇzne) uˇcestanosti 𝜔, tj. frekvencije 𝜈 = 𝜔/(2𝜋), ⃗ =𝐴 ⃗ cos(𝜔𝑡 − ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟 + 𝛼), 𝐸 (3.14) √ prostiru se istom faznom brzinom 𝑣𝑓 = 𝑐/ 𝜀𝑟 𝜇𝑟 . Njihova talasna duˇzina je 𝜆 = 2𝜋/𝑘, period 𝑇 = 2𝜋/𝜔, a talasni broj 𝑘 = 𝜔/𝑣𝑓 . U optici se sredina karakteriˇse apsolutnim indeksom prelamanja 𝑛 koji se definiˇse kao koliˇcnik brzine svetlosti u vakuumu (𝑐) i fazne brzine (𝑣𝑓 ) u posmatranoj sredini: 𝑛= 33

𝑐 . 𝑣𝑓

(3.15a)

FIG. 14: Spektar talasnih duˇzina elektromagnetnih talasa

Apsolutni indeks prelamanja 𝑛 je direktno povezan sa elektriˇcnim i magnetnim svojstvima sredine: 𝑛=

√

𝜀𝑟 𝜇𝑟 .

(3.15b)

Kako su optiˇcke sredine slabi magnetici za koje je 𝜇𝑟 ≈ 1, apsolutn indeks prelamanja se moˇze izraziti u obliku 𝑛=

√

𝜀𝑟 .

(3.15c)

Sredine sa ve´cim 𝑛 nazivaju se optiˇcki guˇs´cim, a one sa manjim 𝑛 optiˇcki redjim sredinama. Za disperzivne sredine indeks prelamanja se moˇze definisati jednaˇcinom (3.15a) za svaki parcijalni talas posebno. U ovakvim sredinama 𝑛 = 𝑛(𝜔). Svetlost je elektromagnetni talas koji se moˇze registrovati okom. Kako je sposobnost oka ograniˇcena na detekciju elektromagnetnih talasa iz uskog intervala talasnih duˇzina, to se svetlost moˇze definisati upravo ovim intervalom. Na Fig. 14 prikazane su sve mogu´ce talasne duˇzine 𝜆0 u vakuumu (tzv. spektar talasnih duˇzina), i naznaˇceni su specifiˇcni elektromagnetni talasi koji odgovaraju odredjenim intervalima 𝜆0 . Vidimo da vidljiva svetlost odgovara talasnim duˇzinama 𝜆0 u vakuumu iz intervala od 0.38 𝜇m do 0.76 𝜇m (1 𝜇m = 10−6 m). Pri prelasku sa vakuuma na odgovaraju´cu optiˇcku sredinu treba prvo uzeti u obzir da se u svim optiˇckim sredinama elektromagnetni talasi prostiru istom uˇcestanos´cu 𝜔. Ovo svojstvo talasa bi´ce dokazano pri razmatranju njihovog ponaˇsanja na granici dve optiˇcke sredine (odeljak §8). Talasne duˇzine elektromagnetnih talasa zavise od optiˇcke sredine. U datoj optiˇckoj sredini indeksa prelamanja 𝑛, elektromagnetni talasi ´ce imati talasnu duˇzinu

34

𝜆 = 2𝜋/𝑘 = 𝑣𝑓 /𝜈. Kako je 𝜆0 = 𝑐/𝜈, nalazimo da je 𝜆/𝜆0 = 𝑣𝑓 /𝑐 = 1/𝑛, tj. 𝜆=

𝜆0 . 𝑛

(3.16)

Frekvencija vidljive svetlosti je vrlo velika: 𝜈 = 𝜈0 =

𝑐 , 𝜆0

(3.17)

gde je 𝜆0 ∈ [0.38 𝜇m, 0.76 𝜇m]. Na primer, na osnovu jednaˇcine (3.17) nalazimo da je frekvencija koja odgovara talasnoj duˇzini 𝜆0 = 0.76 𝜇m jednaka 𝜈 = 4.8 ⋅ 1014 Hz. Zbog toga su u optici merljive samo srednje vrednosti po vremenu (i prostoru) odgovaraju´cih fiziˇckih veliˇcina.

3.5. Jaˇcina svetlosti a) Definicija jaˇcine svetlosti

Osnovna fiziˇcka veliˇcina u optici je jaˇcina svetlosti 𝐼. Ona se definiˇse kao srednja vrednost energije elektromagnetnog polja koja se u vidu svetlosnog talasa u jedinici vremena prenese kroz jedinicu povrˇsine normalne na pravac prostiranja: 〈 〉 ˜𝑒𝑚 𝑑2 𝑊 𝐼= . 𝑑𝑆⊥ 𝑑𝑡

(3.18a)

Na osnovu jednaˇcine (3.9b) vidimo da po svojoj definiciji jaˇcina svetlosti predstavlja intezitet srednje vrednosti Pointingovog vektora: 𝐼 = ∣ < 𝑃⃗ > ∣.

(3.18b)

Dimenziono, na osnovu jednaˇcine (3.10), 𝐼(=)𝑃 (=)W/m2 , tj. jaˇcina svetlosti ima dimenziju gustine snage (W/m2 ). U optici se za jaˇcinu svetlosti koristi posebna jedinica: Lumen/m2 . Napomenimo da je formulama (3.18a,b) data tzv. energijska definicija jaˇcine svetlosti. Pored ove definicije u optici se koristi i fotometrijska definicija koja uzima u obzir sposobnost ljudskog oka da registruje pojedine talasne duˇzine. U tom smislu uvodi se jedna bezdimenziona veliˇcina, tzv. vidljivost 𝑉 koja izvan intervala 𝜆0 ∈ [0.38 𝜇m, 0.76 𝜇m] pada na nulu, a ima maksimum negde na sredini ovog intervala koji odgovara zelenoj svetlosti. Na Fig. 14, funkcija 𝑉 = 𝑉 (𝜆0 ), je prikazana iznad intervala vidljive svetlosti. Pomo´cu vidljivosti 𝑉 , energijski definisana jaˇcina svetlosti se moˇze prevesti u fotometrijski definisanu veliˇcinu. Tako, 35

FIG. 15: Usrednjavanje u sluˇcaju periodiˇcnog Pointingovog vektora

na primer, za monohromatski talas date talasne duˇzine 𝜆0 , fotometrijska jaˇcina svetlosti 𝐼𝑓 predstavlja proizvod vidljivosti 𝑉 (𝜆0 ) i energijski definisane jaˇcine svetlosti 𝐼𝑓 : 𝐼𝑓 = 𝑉 (𝜆0 )𝐼. Usrednjavanje koje figuriˇse u formuli (3.18b), je u opˇstem sluˇcaju po prostoru i vremenu: ∫ 1 ⃗ ⃗ < 𝑃 >=< 𝑃 >Δ𝑉,Δ𝜏 = 𝑃⃗ (𝑟⃗′ , 𝑡′ )𝑑𝑉 ′ 𝑑𝑡′ , (3.19a) Δ𝑉 Δ𝜏 Δ𝑉,Δ𝜏 gde su Δ𝑉 i Δ𝜏 zapremina i vremenski interval po kojima se vrˇsi usrednjavanje. U jednaˇcini (3.19a) se podrazumeva da su Δ𝑉 i Δ𝜏 intervali oko uoˇcene taˇcke prostora vektora poloˇzaja ⃗𝑟 i oko uoˇcenog trenutka vremena 𝑡. Veliˇcine Δ𝑉 i Δ𝜏 su direktno povezane sa konkretnim uslovima pod kojim se vrˇsi detekcija (merenje) jaˇcine svetlosti. Zbog toga se interval Δ𝜏 naziva vreme merenja. Analogno, za Δ𝑉 se moˇze re´ci da predstavlja zapreminu prostora u kome se vrˇsi merenje. Ako se u vremenskom intervalu u kome vrˇsimo merenje Pointingov vektor malo menja u okviru uoˇcene zapremine Δ𝑉 , bi´ce 𝑃⃗ (𝑟⃗′ , 𝑡′ ) ≈ 𝑃⃗ (⃗𝑟, 𝑡′ ), pa se usrednjavanje u jednaˇcini (3.19a) svodi na usrednjavanje po vremenu: ] ∫ [ ∫ ∫ 1 1 1 ′ ′ ′ ′ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 𝑃 (𝑟 , 𝑡 )𝑑𝑉 𝑑𝑡 ≈ 𝑃⃗ (⃗𝑟, 𝑡′ )𝑑𝑡′ =< 𝑃⃗ >Δ𝜏 . < 𝑃 >=< 𝑃 >Δ𝑉,Δ𝜏 = Δ𝜏 Δ𝜏 Δ𝑉 Δ𝑉 Δ𝜏 Δ𝜏 (3.19b) Ukoliko se Pointingov vektor periodiˇcno menja u vremenu sa periodom 𝑇 , usrednjavanje po vremenu merenja Δ𝜏 koje sadrˇzi veliki broj oscilacija (Δ𝜏 ≈ 𝑁 𝑇, 𝑁 ≫ 1) svodi se na usrednjavanje po periodu. Pretpostavi´cemo takodje da je u toku vremena merenja vektor 𝑃⃗ konstantnog pravca i smera (npr. u pravcu 𝑥-ose). Tada je 𝑃⃗ (⃗𝑟, 𝑡′ ) = 𝑃 (⃗𝑟, 𝑡′ )⃗𝑒𝑥 , pri ˇcemu je 𝑃 (⃗𝑟, 𝑡′ ) pozitivna oscilatorna funkcija, prikazana na Fig. 15. Ovakav sluˇcaj imamo, 36

npr., kod ravanskog talasa gde je vektor 𝑃⃗ dat jednaˇcinom (3.11a). Moˇzemo zakljuˇciti da ∫ ∫ 1 ⃗ (⃗𝑟, 𝑡′ )𝑑𝑡′ ≈ 1/(𝑁 𝑇 ) 𝑡+(Δ𝜏 /2) 𝑃 (⃗𝑟, 𝑡′ )𝑑𝑡′⃗𝑒𝑥 ≈ je u posmatranom sluˇcaju: < 𝑃⃗ >= Δ𝜏 𝑃 Δ𝜏 𝑡−(Δ𝜏 /2) ∫𝑇 ∫𝑇 ′ ′ ′ ′ ⃗ (1/𝑁 𝑇 )𝑁 0 𝑃 (⃗𝑟, 𝑡 )𝑑𝑡 ⃗𝑒𝑥 = (1/𝑇 ) 0 𝑃 (⃗𝑟, 𝑡 )𝑑𝑡 . Dakle, 1 < 𝑃⃗ >=< 𝑃⃗ >𝑇 = 𝑇

∫

𝑇

𝑃⃗ (⃗𝑟, 𝑡′ )𝑑𝑡′ .

(3.19c)

0

b) Opˇsti izraz za jaˇcinu monohromatske svetlosti

Na osnovu jednaˇcine (3.19c), moˇze da se nadje opˇsti izraz za jaˇcinu svetlosti za sve sluˇcajeve u kojima se Pointingov vektor periodiˇcno menja sa vremenom. Ovakva situacija se javlja pod uslovom da je svetlosni vektor u kompleksnom obliku dat sa ⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = 𝐸⃗ˇ0 (⃗𝑟) 𝑒−𝑖𝜔𝑡 , 𝐸(⃗

(3.20a)

a da je magnetna indukcija (u kompleksnom obliku) ⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = 𝐻 ⃗ˇ0 (⃗𝑟) 𝑒−𝑖𝜔𝑡 . 𝐻(⃗

(3.20b)

Na primer, ravanski monohromatski talas u neprovodnoj sredini, prikazan jednaˇcinom ⃗ˇ0 (⃗𝑟) = 𝐸𝑚 exp(𝑖⃗𝑘⋅⃗𝑟 −𝑖𝛼)⃗𝑒𝑦 . U istu klasu spada (1.32b), spada u ovakve talase. Kod njega je 𝐸 i ravanski monohromatski talas u provodnoj sredini. U tom sluˇcaju, na osnovu jednaˇcina ⃗ˇ0 (⃗𝑟) = 𝐸𝑚 exp(−𝑠𝑥)exp(𝑖𝑘𝑥 − 𝑖𝛼1 )⃗𝑒𝑦 . Takodje, sferni (2.14a) i (2.15), nalazimo da je 𝐸 monohromatski talas, dat izrazom (1.50b), ima oblik prikazan jednaˇcinom (3.20a). Kod ⃗ˇ0 = (𝐸𝑚 /𝑟)exp(𝑖⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟 − 𝑖𝛼)⃗𝑒𝜃 . njega je 𝐸 Pointingov vektor, definisan jednaˇcinom (3.7a), moˇze se izraziti preko kompleksnih vektora (3.20a,b) u slede´cem obliku: ⃗ ×𝐻 ⃗ = Re𝐸 ⃗ˇ × Re𝐻, ⃗ˇ 𝑃⃗ = 𝐸 tako da na osnovu jednaˇcine (3.18) za jaˇcinu svetlosti 𝐼 = ∣ < 𝑃⃗ > ∣, imamo ¯〈 ( )〉¯ ) ( ¯ ¯ ˇ ˇ ˇ ˇ −𝑖𝜔𝑡 −𝑖𝜔𝑡 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ × Re 𝐻0 (⃗𝑟)𝑒 𝐼 = ∣ < Re𝐸 × Re𝐻 > ∣ = ¯ Re 𝐸0 (⃗𝑟)𝑒 ¯.

(3.21a)

(3.21b)

⃗ nalazimo da je 𝐸 ⃗ˇ0 (⃗𝑟) = ⃗𝑎 + 𝑖⃗𝑏 i 𝐻 ⃗ˇ 0 (⃗𝑟) = ⃗𝑐 + 𝑖𝑑, ⃗ˇ0 (⃗𝑟)exp(−𝑖𝜔𝑡) = Ako uvedemo oznake 𝐸 ⃗ˇ 0 (⃗𝑟)exp(−𝑖𝜔𝑡), tako da je (⃗𝑎 + 𝑖⃗𝑏)exp(−𝑖𝜔𝑡) = (⃗𝑎 + 𝑖⃗𝑏)(cos𝜔𝑡 − 𝑖sin𝜔𝑡) i analogno za 𝐻 𝐼 = ∣ < (⃗𝑎 cos𝜔𝑡 + ⃗𝑏 sin𝜔𝑡) × (⃗𝑐 cos𝜔𝑡 + 𝑑⃗ sin𝜔𝑡) > ∣, 37

(3.22a)

odnosno ⃗ sin2 𝜔𝑡 + (⃗𝑎 × 𝑑⃗ + ⃗𝑏 × ⃗𝑐) sin𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 > ∣. 𝐼 = ∣ < (⃗𝑎 × ⃗𝑐) cos2 𝜔𝑡 + (⃗𝑏 × 𝑑)

(3.22b)

Usrednjavanje u jednaˇcini (3.22b) je po periodu 𝑇 = 𝜋/𝜔 funkcije 𝑃 , tako da je ⃗ < sin2 𝜔𝑡 >𝑇 +(⃗𝑎 × 𝑑⃗ + ⃗𝑏 ×⃗𝑐) < sin𝜔𝑡 cos𝜔𝑡 >𝑇 ∣. (3.22c) 𝐼 = ∣(⃗𝑎 ×⃗𝑐) < cos2 𝜔𝑡 >𝑇 +(⃗𝑏 × 𝑑) Srednja vrednost < sin𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 >𝑇 jednaka je nuli: ∫ ∫ 1 𝑇 1 ′ ′ ′ < sin𝜔𝑡 cos𝜔𝑡 >𝑇 = sin𝜔𝑡 cos𝜔𝑡 𝑑𝑡 = sin𝜔𝑡′ 𝑑(sin𝜔𝑡′ ) 𝑇 0 𝜔𝑇 =

1 sin2 𝜔𝑡′ ∣𝑇0 = 0. 2𝜔𝑇

(3.23a)

Srednje vrednosti < cos2 𝜔𝑡 >𝑇 i < sin2 𝜔𝑡 >𝑇 jednake su 1/2. Naime, koriste´ci trigonometrijske relacije cos2 𝑥 = (1/2)(1 + cos2𝑥) i sin2 𝑥 = (1/2)(1 − cos2𝑥) nalazimo ] [∫ 𝑇 ∫ 𝑇 ∫ 1 1 1 𝑇 1 1 ′ ′ ′ 2 ′ ′ 2 cos2𝜔𝑡 𝑑𝑡 = + 𝑑𝑡 + cos 𝜔𝑡 𝑑𝑡 = < cos 𝜔𝑡 >𝑇 = sin2𝜔𝑡′ ∣𝑇0 𝑇 0 2𝑇 0 2 2𝑇 2𝜔 0 =

1 1 1 1 1 + sin2𝜔𝑇 = + sin2𝜋 = , 2 4𝜔𝑇 2 4𝜔𝑇 2

(3.23b)

i analogno 1 < cos2 𝜔𝑡 >𝑇 = . 2

(3.23c)

Zamenom izraza (3.23a,b,c) u jednaˇcinu (3.22c) nalazimo 1 ⃗ 𝐼 = ∣⃗𝑎 × ⃗𝑐 + ⃗𝑏 × 𝑑∣. (3.24a) 2 ( ) ˇ ˇ∗ ⃗ = ⃗𝑎 × ⃗𝑐 + ⃗𝑏 × 𝑑, ⃗ ⃗ ⃗ S druge strane, moˇze se uoˇciti da je Re 𝐸0 × 𝐻0 = Re[(⃗𝑎 + 𝑖⃗𝑏) × (⃗𝑐 − 𝑖𝑑)] tako da je 𝐼=

¯ ( )¯ )¯ 1 ¯¯ ( ⃗ˇ ⃗ˇ 0∗ ¯¯ = 1 ¯¯Re 𝐸 ⃗ˇ × 𝐻 ⃗ˇ ∗ ¯¯ . ¯Re 𝐸0 × 𝐻 2 2

(3.24b)

Poslednji izraz se moˇze smatrati najopˇstijim oblikom izraza za jaˇcinu monohromatske svetlosti. Primer Na osnovu formule (3.24b) lako se nalazi jaˇcina svetlosti monohromatskog talasa kod ⃗ˇ0 i 𝐻 ⃗ˇ 0 ortogonalni, i za koji vaˇzi √𝜀𝐸ˇ0 = √𝜇𝐻 ˇ 0 (npr. ravanski talas: koga su vektori 𝐸 ˇ 0∗ ). U ⃗ˇ = 𝐸𝑚⃗𝑒𝑦 𝑒𝑖𝑘𝑥 𝑒−𝑖𝜔𝑡 = 𝐸 ⃗ˇ0 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ). Tada je 𝐼 = (1/2)∣Re(𝐸 ⃗ˇ0 × 𝐻 ⃗ˇ 0∗ )∣ = (1/2)Re(𝐸ˇ0 𝐻 𝐸 38

√ ˇ ∗ = 𝜀/𝜇𝐸ˇ0 𝐸ˇ ∗ = (1/𝜇)√𝜀𝜇∣𝐸ˇ0 ∣2 . Kako je 𝑛 = √𝜀𝑟 𝜇𝑟 i 𝜇 ≈ 𝜇0 , posmatranom sluˇcaju 𝐸ˇ0 𝐻 0 0 √ ∗ 2 ˇ = 𝜀0 /𝜇0 𝑛∣𝐸ˇ0 ∣ , tako da je imamo 𝐸ˇ0 𝐻 0 √ 𝜀0 1 ˇ 2 𝑛∣𝐸0 ∣ . (3.25a) 𝐼= 𝜇0 2 Vidimo da je jaˇcina svetlosti posmatranog monohromatskog talasa proporcionalna sa √ (1/2)𝑛∣𝐸ˇ0 ∣2 , pri ˇcemu je konstanta proporcionalnosti: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝜀0 /𝜇0 . Dakle 1 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛∣𝐸ˇ0 ∣2 . 2

(3.25b)

Primetimo da se veliˇcina ∣𝐸ˇ0 ∣2 /2 ˇcesto i sama naziva jaˇcina svetlosti. Formulu (3.25b) moˇzemo da napiˇsemo i u obliku 1 ⃗ˇ 2 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛∣𝐸∣ , 2

(3.26a)

gde sada vertikalne crte oznaˇcavaju moduo kompleksnog broja i intezitet vektora: ⃗ˇ 2 = 𝐸 ⃗ˇ ⋅ 𝐸 ⃗ˇ ∗ . ∣𝐸∣

(3.26b)

⃗ˇ 2 = 𝐸 ⃗ˇ ⋅ 𝐸 ⃗ˇ ∗ = 𝐸 ⃗ˇ0 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝐸 ⃗ˇ ∗ 𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝐸 ⃗ˇ0 𝐸 ⃗ˇ ∗ = 𝐸ˇ0 𝐸ˇ ∗ = ∣𝐸ˇ0 ∣2 . Naime, ∣𝐸∣ 0 0 0

§4 Izvori elektromagnetnih talasa 4.1. Maxwell-ove jednaˇcine u polju naelektrisanja i struja

U odeljku §1 elektromagnetni talasi su razmatrani kao jedno od mogu´cih reˇsenja Maxwellovih jednaˇcina, u delu prostora ℜ bez naelektrisanja i struja. Pritom je bilo nebitno kako oni nastaju. Mogu´cnost da se elektromagnetni talasi posmatraju nezavisno od njihovog izvora direktna je posledica same prirode nestacionarnih polja. Naime, za razliku od stacionarnih polja koja su u svakom trenutku vremena vezana za naelektrisanja i struje, nestacionarna polja mogu da egzistiraju (u obliku elektromagnetnih talasa) ˇcak i vrlo dugo posle njihovog emitovanja, ili se mogu posmatrati u prostroru vrlo daleko od njihovog izvora. U odeljku §2 razmatrali smo prostiranje monohromatskih talasa kroz provodnu, nenaelektrisanu sredinu, takodje bez razmatranja konkretnih izvora ovih talasa. U ovom odeljku bi´ce data kompletna slika elektromagnetnih talasa, ukljuˇcuju´ci i njihove izvore (i detekciju). U najopˇstijem cluˇcaju, izvori elektromagnetnih talasa uvek su u vezi 39

sa oscilovanjem naelektrisanja i struja. U tom cilju podjimo od Maxwell-ovih jednaˇcina za elektromagnetno polje u prisustvu naelektrisanja i struja, rasporedjenih sa gustinama 𝜌 = 𝜌(⃗𝑟, 𝑡) i ⃗𝑗 = ⃗𝑗(⃗𝑟, 𝑡) u prostoru i vremenu. Posmatrani sluˇcaj odgovara najopˇstijem obliku Maxwell-ovih jednaˇcina (1.2a), (1.2b), (1.3a) i (1.3b): ⃗ =− rot𝐸

⃗ ∂𝐵 ∂𝑡

⃗ =0 div𝐵 ⃗ = ⃗𝑗 + rot𝐻

(4.1a) (4.1b)

⃗ ∂𝐷 ∂𝑡

⃗ = 𝜌. div𝐷

(4.1c) (4.1d)

Pogodan metod reˇsavanja sistema jednaˇcina (4.1a-d) u sluˇcaju kada su naelektrisanja i struje lokalizovani u konaˇcnom delu prostora je preko skalarnog i vektorskog potencijala ⃗ = 𝐴(⃗ ⃗ 𝑟, 𝑡). Vektorski potencijal 𝐴 ⃗ se definiˇse isto kao i u magnetostatici, 𝜑 = 𝜑(⃗𝑟, 𝑡) i 𝐴 relacijom ⃗ = rot𝐴, ⃗ 𝐵

(4.2)

⃗ = div(rot𝐴) ⃗ ≡ 0). Kalibracija kada je jednaˇcina (4.1b) automatski zadovoljena (div𝐵 ⃗ tj. biranje divergencije ovog vektora, je proizvoljna. Zamenom jednaˇcine (4.2) u vektora 𝐴, (4.1a), nalazimo

Ã

⃗ ⃗ + ∂𝐴 rot 𝐸 ∂𝑡

) = 0,

(4.3a)

⃗ ⃗ + ∂ 𝐴 = −grad𝜑 𝐸 ∂𝑡

(4.3b)

tako da se uvek moˇze uvesti veliˇcina grad𝜑 kao

(jer je rotgrad𝜑 ≡ 0). Na osnovu poslednje relacije, nalazimo da je ⃗ ⃗ = −grad𝜑 − ∂ 𝐴 . 𝐸 ∂𝑡

(4.3c)

⃗ = 𝜀𝐸 ⃗ i𝐵 ⃗ = 𝜇𝐻) ⃗ kao Pretpostavimo sada da je sredina linearna i izotropna (kada je 𝐷 i da je u pogledu dielektriˇcnih i magnetnih svojstava homogena i stacionarna (𝜀 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. i 𝜇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.). Zamena jednaˇcina (4.2) i (4.3c) u (4.1c), u ovom sluˇcaju dovodi do jednaˇcine à ) ⃗ ∂ ∂ 𝐴 ⃗ = 𝜇⃗𝑗 + 𝜀𝜇 rot rot𝐴 −grad𝜑 − . (4.4a) ∂𝑡 ∂𝑡 40

Kako je ⃗ = grad div𝐴 ⃗ − Δ𝐴, ⃗ rot rot𝐴

(4.4b)

jednaˇcinu (4.4a) moˇzemo da napiˇsemo u obliku ) ( ⃗ ∂ 2𝐴 ∂𝜑 ⃗ ⃗ ⃗ Δ𝐴 = 𝜀𝜇 2 − 𝜇𝑗 + grad div𝐴 + 𝜀𝜇 . ∂𝑡 ∂𝑡

(4.4c)

⃗ Izaberimo sada tzv. Lorencovu kalibraciju za vektor 𝐴: ⃗ = −𝜀𝜇 div𝐴

∂𝜑 . ∂𝑡

(4.5)

⃗ ˇsto Primetimo da Lorencova kalibracija (4.5) ima oblik jednaˇcine kontinuiteta za vektor 𝐴, ⃗ ”izvire” u taˇckama prostora u kojima je ∂𝜑/∂𝑡 < 0. Uz kalibracioni uslov (4.5), znaˇci da 𝐴 jednaˇcina (4.4c) prelazi u ⃗ = 𝜀𝜇 Δ𝐴

⃗ ∂ 2𝐴 − 𝜇⃗𝑗, ∂𝑡2

(4.6)

⃗ ˇsto predstavlja parcijalnu diferencijalnu jednaˇcinu za vektor 𝐴. Preostaje jos analiza Maxwell-ove jednaˇcine (4.1d), koja moˇze da se napiˇse u obliku à ) ⃗ ∂𝐴 𝜌 div −grad𝜑 − = . (4.7a) ∂𝑡 𝜀 Kako je div grad𝜑 = Δ𝜑, imamo Δ𝜑 + div

⃗ ∂𝐴 𝜌 =− . ∂𝑡 𝜀

(4.7b)

(4.7c)

Koriste´ci kalibracioni uslov (4.5), jednaˇcina (4.7c) postaje Δ𝜑 = 𝜀𝜇

∂2𝜑 𝜌 − . ∂𝑡2 𝜀

(4.8)

Poslednja jednaˇcina predstavlja parcijalnu diferencijalnu jednaˇcinu za skalarni potencijal 𝜑.

4.2. Retardovani potencijali

⃗ pri ˇcemu je 𝜑 odredjeno Jednaˇcine (4.8) i (4.6) predstavljaju nezavisne jednaˇcine za 𝜑 i 𝐴 ⃗ raspodelom struja. Nadjimo sada reˇsenja ovih jednaˇcina pod rasporedom naelektrisanja a 𝐴

41

FIG. 16: Retardovani skalarni potencijal

uslovom da su 𝜌(⃗𝑟 ′ , 𝑡) i ⃗𝑗(⃗𝑟 ′ , 𝑡) nenulte veliˇcine samo u ograniˇcenom delu prostora zapremine 𝑉. Nadjimo prvo reˇsenje jednaˇcine (4.8) za 𝜑 u taˇcki 𝑀 koja se nalazi izvan oblasti 𝑉 , kao na Fig. 16. Da bismo doˇsli do ovog reˇsenja podelimo zapreminu 𝑉 na elementarne zapremine 𝑑𝑉 ′ naelektrisanja 𝑑𝑞 = 𝜌(⃗𝑟 ′ , 𝑡)𝑑𝑉 ′ . Po principu superpozicije ukupni potencijal u taˇcki 𝑀 predstavlja integral elementarnih potencijala od naelektrisanja 𝑑𝑞. Zbog toga je pogodno prvo na´ci ove potencijale. ˜ potencijal od naelektrisanja 𝑑𝑞 u taˇcki 𝑀 na rastojanju 𝑅 od 𝑑𝑞. Kako Oznaˇcimo sa 𝜑 je 𝜌 = 0 u taˇcki 𝑀 , jednaˇcina (4.8) za 𝜑 ˜ u okolini ove taˇcke ima oblik Δ𝜑 ˜ = 𝜀𝜇

˜ 1 ∂2𝜑 ∂ 2𝜑 ˜ = , 2 2 2 ∂𝑡 𝑣𝑓 ∂𝑡

(4.9a)

√ √ gde smo uveli faznu brzinu 𝑣𝑓 = 1/ 𝜀𝜇 = 𝑐/ 𝜀𝑟 𝜇𝑟 . Potencijal 𝜑 ˜ potiˇce od taˇckastog naelektrisanja 𝑑𝑞 tako da mora biti sferno simetriˇcan: 𝜑 ˜ = 𝜑(𝑅, ˜ 𝑡). Prema tome, izrazivˇsi Laplasijan u sfernim koordinatama (jednaˇcina (1.41a)), imamo Δ𝜑 ˜=

1 ∂2 (𝑅𝜑), ˜ 𝑅 ∂𝑅2

(4.9b)

tako da jednaˇcina (4.9a) prelazi u tzv. Dalamberovu talasnu jednaˇcinu 1 ∂2 ∂2 (𝑅 𝜑) ˜ = (𝑅𝜑). ˜ ∂𝑅2 𝑣𝑓2 ∂𝑡2

(4.9c)

Jednaˇcina (4.9c) ima oblik jednaˇcine (1.41b) koju smo imali pri analizi sfernih elektromagnetnih talasa u skalarnoj aproksimaciji. Primetimo da smo u odeljku 1.6 traˇzili samo 42

partikularno reˇsenje ove jednaˇcine (monohromatski talas). Sada je potrebno na´ci opˇste reˇsenje jednaˇcine (4.9c). Zbog toga se prvo uvedi smena (𝑅, 𝑡) → (𝜉, 𝜂), gde su 𝜉 = 𝑅 − 𝑣𝑓 𝑡, 𝜂 = 𝑅 + 𝑣𝑓 𝑡. Kako su parcijalni izvodi ∂ 2 /∂𝑅2 i ∂ 2 /∂𝑡2 dati sa )2 ( )2 ( ∂2 ∂𝜂 ∂ ∂ ∂2 ∂𝜉 ∂ ∂ ∂2 ∂2 + + + = = = + 2 ∂𝑅2 ∂𝑅 ∂𝜉 ∂𝑅 ∂𝜂 ∂𝜉 ∂𝜂 ∂𝜉 2 ∂𝜉∂𝜂 ∂𝜂 2 ( 2 )2 ( )2 ( ) ∂2 ∂ ∂𝜂 ∂ ∂ ∂2 ∂2 ∂𝜉 ∂ ∂ 2 = −𝑣𝑓 = 𝑣𝑓 = + + 𝑣𝑓 −2 + , ∂𝑡2 ∂𝑡 ∂𝜉 ∂𝑡 ∂𝜂 ∂𝜉 ∂𝜂 ∂𝜉 2 ∂𝜉∂𝜂 ∂𝜂 2 jednaˇcina (4.9c) prelazi u ( 2 ) ( 2 ) ∂ ∂2 ∂2 ∂ ∂2 ∂2 +2 + (𝑅𝜑) ˜ = −2 + (𝑅𝜑), ˜ ∂𝜉 2 ∂𝜉∂𝜂 ∂𝜂 2 ∂𝜉 2 ∂𝜉∂𝜂 ∂𝜂 2 odnosno

∂2 (𝑅𝜑) ˜ = 0. ∂𝜉∂𝜂

(4.10)

(4.11a) (4.11b)

(4.12a)

(4.12b)

Opˇste reˇsenje jednaˇcine (4.12b) je funkcija oblika 𝑅𝜑 ˜ = Ψ1 (𝜉) + Ψ2 (𝜂),

(4.13a)

gde su Ψ1 (𝜉) i Ψ2 (𝜂) proizvoljne funkcije svojih argumenata. Reˇsenje koje se prostire u pozitivnom smeru 𝑅-ose, tj. reˇsenje koje predstavlja talas koji izvire iz 𝑑𝑞, odgovara prvom ˇclanu Ψ1 (𝜉). Dakle, smatraju´ci da su reˇsenja koja bi uvirala u 𝑑𝑞 nefiziˇcka, imamo ( ) 𝑅 𝑅𝜑 ˜ = Ψ1 (𝜉) = Ψ1 (𝑅 − 𝑣𝑓 𝑡) = Ψ 𝑡 − , (4.13b) 𝑣𝑓 gde je sada sa Ψ(𝑡−𝑅/𝑣𝑓 ) oznaˇcena proizvoljna funkcija argumenta 𝑡−𝑅/𝑣𝑓 . Dakle, skalarni potencijal 𝜑(⃗ ˜ 𝑟, 𝑡) od naelektrisanja 𝑑𝑞 ima isti oblik ( ) 𝑅 1 . 𝜑 ˜= Ψ 𝑡− 𝑅 𝑣𝑓

(4.14)

Konkretan oblik funkcije Ψ se odredjuje iz uslova da pri vrlo malom 𝑅 funkcija 𝜑 ˜ prelazi u kvazistacionarni oblik 𝜑 ˜𝑠𝑡 : 𝜑 ˜→𝜑 ˜𝑠𝑡 , 𝑅 → 0.

(4.15a)

Kvazistacionarni oblik potencijala u svakom fiksnom trenutku ima istu vrednost kao elektrostatiˇcki potencijal: 𝜑 ˜𝑠𝑡 =

1 𝜌(⃗𝑟′ , 𝑡) ′ 𝑑𝑉 . 4𝜋𝜀 𝑅 43

(4.15b)

Naime, na malim rastojanjima polje uvek trenutno prati promenu naelektrisanja. Koriste´ci uslov (4.15a) imamo

1 1 𝜌(⃗𝑟 ′ , 𝑡) ′ Ψ(𝑡) = 𝑑𝑉 , 𝑅 → 0, 𝑅 4𝜋𝜀 𝑅

(4.16a)

odnosno Ψ(𝑡) =

1 𝜌(⃗𝑟 ′ , 𝑡)𝑑𝑉 ′ . 4𝜋𝜀

(4.16b)

Konaˇcno, na osnovu jednaˇcine (4.14), za potencijal od elementarnog naelektrisanja 𝑑𝑞 = 𝜌(⃗𝑟 ′ , 𝑡)𝑑𝑉 ′ u taˇcki 𝑀 imamo ( 𝜌 ⃗𝑟 ′ , 𝑡 − 1 𝜑(⃗ ˜ 𝑟, 𝑡) = 4𝜋𝜀 𝑅

𝑅 𝑣𝑓

) 𝑑𝑉 ′ ,

(4.16c)

gde je 𝑅 = ∣⃗𝑟 − ⃗𝑟 ′ ∣, vidi Fig. 16. Dakle, u taˇcki 𝑀 koja se nalazi na rastojanju 𝑅 od taˇckastog naelektrisanja 𝑑𝑞 = 𝜌(⃗𝑟 ′ , 𝑡)𝑑𝑉 ′ , potencijal u nekom trenutku 𝑡 odgovara vrednosti naelektrisanja u ranijem trenutku 𝑡′ = 𝑡 − (𝑅/𝑣𝑓 ). Vremenski interval 𝜏 = 𝑅/𝑣𝑓 predstavlja vreme potrebno da se promena naelektrisanja uoˇci u taˇcki 𝑀 . Ovakva pojava se moˇze interpretirati kao da postoji prostiranje poreme´caja u prostoru sa brzinom 𝑣𝑓 , a potencijal 𝜑 ˜ se naziva retardovani potencijal. Ukupni potencijal 𝜑 od kontinualno rasporedjenog naelektrisanja sa gustinom 𝜌(⃗𝑟 ′ , 𝑡) jednak je 𝜑(⃗𝑟, 𝑡) = odnosno

∑

𝜑(⃗ ˜ 𝑟, 𝑡),

( ∫ 𝜌 ⃗𝑟′ , 𝑡 − 1 𝜑(⃗𝑟, 𝑡) = 4𝜋𝜀 𝑉 𝑅

(4.17a)

𝑅 𝑣𝑓

) 𝑑𝑉 .

(4.17b)

Problem nalaˇzenja vektorskog potencijala u taˇcki 𝑀 moˇze da se reˇsi na potpuno isti naˇcin. Naime, ako su struje lokalizovane u zapremini 𝑉 , Fig. 17, onda razlaganjem vektorske jednaˇcine (4.6) na tri skalarne jednaˇcine (za 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧) dobijamo Δ𝐴𝑖 = 𝜀𝜇∂ 2 𝐴𝑖 /∂𝑡2 − 𝜇𝑗𝑖 . Kako je ⃗𝑗 = 0, dobijamo jednaˇcine analogne jednaˇcini (4.9a) za 𝜑. ˜ Prema tome, ponavljaju´ci ⃗ 𝑟, 𝑡) (u taˇcki 𝑀 i isti postupak kao pri izraˇcunavanju 𝜑, nalazimo da vektorski potencijal 𝐴(⃗ trenutku 𝑡) ima slede´ci retardovan oblik: ( ∫ ⃗𝑗 ⃗𝑟 ′ , 𝑡 − ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝜇 𝐴(⃗ 4𝜋 𝑉 𝑅

44

𝑅 𝑣𝑓

) 𝑑𝑉 ′ .

(4.18a)

FIG. 17: Retardovani vektorski potencijal

Primetimo da zapreminske struje prelaze u kvazilinijske pri zameni ⃗𝑗𝑑𝑉 → 𝐼𝑑⃗𝑙. U tom sluˇcaju za vektorski potencijal imamo

( ∮ 𝐼 𝑡− ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝜇 𝐴(⃗ 4𝜋 𝐶 𝑅

𝑅 𝑣𝑓

) 𝑑⃗𝑙,

(4.18b)

gde se sada integracija vrˇsi po strujnoj konturi.

4.3. Zraˇcenje Hercovog dipola

Svako oscilovanje naelektrisanja i struja predstavlja izvor elektromagnetnih talasa. Najjednostavniji sistem pomo´cu koga moˇze da se ostvari ovakvo oscilovanje je tzv. Hercov dipol. Zraˇcenje Hercovog dipola nije u optiˇckom domenu, ali zakljuˇci o zraˇcenju ovog sistema imaju opˇsti, principijelni karakter. Ovaj sistem se sastoji od kratkog kvazilinijskog provodnika duˇzine 𝑙 koji se na krajevima zavrˇsava malim provodnim sferama kao na Fig. 18(a). Sfere igraju ulogu tzv. otvorenog kondenzatora koji se naizmeniˇcno puni i prazni i na taj naˇcin se u provodniku koji ih spaja odrˇzava promenjiva struja jaˇcine 𝐼(𝑡): 𝐼(𝑡) =

𝑑𝑞(𝑡) , 𝑑𝑡

(4.19)

gde je 𝑞(𝑡) naelektrisanje na sferi 1 u trenutku 𝑡. U centru dipola nalazi se generator naizmeniˇcne elektromotorne sile koji odrˇzava prinudne oscilacije u 𝑅𝐿𝐶-kolu; shema ekvivalentnog kola prikazana je na Fig. 18(b). 45

FIG. 18: Hercov dipol i njemu ekvivalentno 𝑅𝐿𝐶-kolo

FIG. 19: Originalna postavka Hercovog uredjaja i njemu ekvivalentno 𝑅𝐿𝐶-kolo

Originalna postavka Hercovog uredjaja data je na Fig. 19(a) a njemu ekvivalentno 𝑅𝐿𝐶kolo na Fig. 19(b). Uredjaj se sastoji od induktora (izvor visokofrekventne elektromotorne sile) i provodnika duˇzine 𝑙 koji se zavrˇsava metalnim sferama. U sredini provodnika nalazi se mali procep, tzv. varniˇcar. Kada se u procepu varniˇcara pojavi varnica 𝑅𝐿𝐶-kolo se zatvori i nastaju priguˇsene oscilacije. Proces se ponavlja ponovnim skokom varnice. Ovakav uredjaj se ˇcesto naziva i vibrator. Primetimo da nema principijelne razlike izmedju kola na Fig. 18(b) i Fig. 19(b). Hercov dipol zraci elektromagnetne talase, koji se u blizini dipola ponaˇsaju dosta komplikovano. Medjutim u oblasti dovoljno daleko od dipola, tj. za 𝑟 ≫ 𝑙, gde je 𝑟 rastojanje taˇcke 𝑀 od centra dipola, elektromagnetni talasi postaju donekle sliˇcni monohromatskim

46

sfernim talasima. Ova oblast prostora naziva se talasna zona. ⃗ 𝑟, 𝑡), dat jednaˇcinom (4.18b), moˇze da se U talasnoj zoni, vektorski potencijal 𝐴(⃗ aproksimira izrazom u kome je za teku´ce rastojanje 𝑅 od provodnika do taˇcke 𝑀 iskoris´cena pribliˇzna jednakost: 𝑅 ≈ 𝑟. Dakle ( 𝐼 𝑡− ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝜇 𝐴(⃗ 4𝜋 𝑟

𝑟 𝑣𝑓

) 𝑙 ⃗𝑒𝑧 .

(4.20)

Skalarni potencijal 𝜑 u taˇcki 𝑀 talasne zone nalazimo na osnovu jednaˇcine (4.17b), ako uoˇcimo da je 𝜌 razliˇcito od nule samo na kuglama 1 i 2: ( ) ( ∫ 𝜌1 ⃗𝑟′ , 𝑡 − 𝑅 ∫ 𝜌2 ⃗𝑟′ , 𝑡 − 𝑣𝑓 1 1 𝜑(⃗𝑟, 𝑡) = 𝑑𝑉 ′ + 4𝜋𝜀 (1) 𝑅 4𝜋𝜀 (2) 𝑅

𝑅 𝑣𝑓

) 𝑑𝑉 ′ .

(4.21a)

Asimptotski oblik za potencijal 𝜑 dobijamo stavljaju´ci 𝑅 → 𝑟 u imeniocima. Tada u bro∫ ∫ jiocima preostaju izrazi (1) 𝜌1 (⃗𝑟′ , 𝑡 − 𝑅/𝑣𝑓 )𝑑𝑉 ′ ≈ 𝑞(𝑡 − 𝑟1 /𝑣𝑓 ) i (2) 𝜌2 (⃗𝑟′ , 𝑡 − 𝑅/𝑣𝑓 )𝑑𝑉 ′ ≈ −𝑞(𝑡 − 𝑟2 /𝑣𝑓 ), gde su 𝑟1 i 𝑟2 rastojanja izmedju taˇcke 𝑀 i centara kugli ”1” i ”2”. Dakle, [ ( ) ( )] 𝑟1 1 1 𝑟2 𝑞 𝑡− 𝜑(⃗𝑟, 𝑡) = −𝑞 𝑡− . (4.21b) 4𝜋𝜀 𝑟 𝑣𝑓 𝑣𝑓 Izraz za skalarni potencijal 𝜑 se dalje uproˇs´cava ako uoˇcimo da za 𝑟 ≫ 𝑙 vaˇzi 𝑟1 ≈ 𝑟 − Δ𝑟, 𝑟2 ≈ 𝑟 + Δ𝑟,

(4.22a)

gde je Δ𝑟 ≈ (𝑙/2)cos𝜃. U tom smislu imamo 𝑟2 − 𝑟1 ≈ 2Δ𝑟 ≈ 𝑙 cos𝜃. Zamenom izraza (4.22a) u (4.21b) nalazimo ) ( )] [ ( 1 1 Δ𝑟 𝑟 Δ𝑟 𝑟 𝜑(⃗𝑟, 𝑡) = + −𝑞 𝑡− − . 𝑞 𝑡− 4𝜋𝜀 𝑟 𝑣𝑓 𝑣𝑓 𝑣𝑓 𝑣𝑓

(4.22b)

(4.23a)

Ako uzmemo u obzir da je Δ𝑟 mala veliˇcina u poredjenju sa 𝑣𝑓 𝑡 − 𝑟, vidimo da je ( ) 𝑟 ∂𝑞 𝑡 − 𝑣𝑓 2Δ𝑟 1 1 ( ) 𝜑(⃗𝑟, 𝑡) = , (4.23b) 4𝜋𝜀 𝑟 ∂ 𝑡 − 𝑟 𝑣𝑓 𝑣𝑓

odnosno

( ) 𝑟 ∂𝑞 𝑡 − 𝑣𝑓 1 1 ( ) 𝑙 cos𝜃. 𝜑(⃗𝑟, 𝑡) = 4𝜋𝜀 𝑣𝑓 𝑟 ∂ 𝑡 − 𝑟 𝑣𝑓 47

(4.23c)

Znaju´ci skalarni i vektorski potencijal dat jednaˇcinama (4.23c) i (4.20), jaˇcinu elektriˇcnog i magnetnog polja moˇzemo na´ci primenom jednaˇcina (4.3c) i (4.2). Primetimo da 𝜑 zavisi ⃗ = samo od sfernih koordinata 𝑟 i 𝜃, tj. 𝜑 = 𝜑(𝑟, 𝜃), dok je vektorski potencijal oblika: 𝐴 𝐴𝑧 (𝑟)⃗𝑒𝑧 = 𝐴𝑟 (𝑟, 𝜃)⃗𝑒𝑟 + 𝐴𝜃 (𝑟, 𝜃)⃗𝑒𝜃 . Primenom jednaˇcine (4.3c), dolazimo do zakljuˇcka da ⃗ ima dve komponente: jaˇcina elektriˇcnog polja 𝐸 ⃗ = 𝐸𝑟⃗𝑒𝑟 + 𝐸𝜃⃗𝑒𝜃 . 𝐸

(4.24a)

⃗ kao rotor vektorskog S druge strane, na osnovu jednaˇcine (4.2), jaˇcina magnetnog polja 𝐵, ⃗ = 𝐴𝑟⃗𝑒𝑟 + 𝐴𝜃⃗𝑒𝜃 , usmerena je duˇz 𝜑-pravca: potencijala 𝐴 ⃗ = 𝐵𝜑⃗𝑒𝜑 . 𝐵

(4.24b)

⃗ i𝐵 ⃗ otrogonalni. Vidimo da su u svakoj taˇcki talasne zone vektori 𝐸

4.4. Polje dipola u talasnoj zoni

Konkretan oblik elektromagnetnih talasa zavisi od naˇcina oscilovanja naelektrisanja i struja. U sluˇcaju Hercovog dipola, moˇze se smatrati da naelektrisanje 𝑞 osciluje po harmonijskom zakonu: 𝑞(𝑡) = 𝑞0 cos𝜔𝑡.

(4.25a)

Zbog oscilovanja naelektrisanja po zakonu (4.25a), dipolni moment 𝑝 menja se u toku vremena kao 𝑝(𝑡) = 𝑙𝑞(𝑡) = 𝑝0 cos𝜔𝑡,

𝑝0 = 𝑞0 𝑙.

(4.25b)

Primetimo da bi isti zakon promene 𝑝 imali ako bi se duˇzina dipola konstantnog naelektrisanja 𝑞0 menjala po zakonu ˜ 𝑙(𝑡) = 𝑙cos𝜔𝑡. Zakon promene jaˇcine struje sa vremenom dat je jednaˇcinom (4.19): 𝐼 = −𝑞0 𝜔 sin 𝜔𝑡. Skalarni potencijal (u talasnoj zoni) Hercovog dipola sada ima oblik ( ( )) 𝑟 ∂cos 𝜔 𝑡 − 𝑣𝑓 1 𝑞0 ( ) 𝜑(⃗𝑟, 𝑡) = 𝑙 cos𝜃. 4𝜋𝜀 𝑣𝑓 𝑟 ∂ 𝑡− 𝑟 𝑣𝑓

48

(4.25c)

(4.26a)

⃗ u talasnoj zoni FIG. 20: Vektorski potencijal 𝐴

Uoˇcivˇsi da je 𝜔/𝑣𝑓 = 𝑘, nalazimo 𝜑(⃗𝑟, 𝑡) = −

1 1 𝑞0 𝜔 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟) 𝑙 cos𝜃. 4𝜋𝜀 𝑣𝑓 𝑟

(4.26b)

Vektorski potencijal u taˇcki 𝑀 dat je jednaˇcinom (4.20), gde je jaˇcina struje data jednaˇcinom (4.25c): ⃗ 𝑟, 𝑡) = − 𝜇 𝑞0 𝜔 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟) 𝑙 ⃗𝑒𝑧 = 𝐴𝑧⃗𝑒𝑧 . 𝐴(⃗ (4.27a) 4𝜋 𝑟 ⃗ ima samo 𝐴𝑟 i 𝐴𝜃 komponente: Kao ˇsto smo ve´c napomenuli vektorski potencijal 𝐴 ⃗ = 𝐴𝑟⃗𝑒𝑟 + 𝐴𝜃⃗𝑒𝜃 , 𝐴

(4.27b)

gde su 𝐴𝑟 = 𝐴𝑧⃗𝑒𝑧 ⋅ ⃗𝑒𝑟 i 𝐴𝜃 = 𝐴𝑧⃗𝑒𝑧 ⋅ ⃗𝑒𝜃 , tj. vidi Fig. 20, 𝐴𝑟 = 𝐴𝑧 cos𝜃, 𝐴𝜃 = −𝐴𝑧 sin𝜃.

(4.27c)

⃗ dobijamo slede´ci izraz: Primenom jednaˇcine (4.3c), za jaˇcinu elektriˇcnog polja 𝐸 ⃗ = − ∂𝜑 ⃗𝑒𝑟 − 1 ∂𝜑 ⃗𝑒𝜃 − ∂𝐴𝑟 ⃗𝑒𝑟 − ∂𝐴𝜃 ⃗𝑒𝜃 , 𝐸 ∂𝑟 𝑟 ∂𝜃 ∂𝑡 ∂𝑡 odnosno [ ⃗ 𝐸 = 𝑙cos𝜃 −

1 1 𝑞0 𝜔 𝑘cos(𝜔𝑡 4𝜋𝜀 𝑣𝑓 𝑟

− 𝑘𝑟) +

1 1 𝑞0 𝜔 sin(𝜔𝑡 4𝜋𝜀 𝑣𝑓 𝑟2

− 𝑘𝑟) +

𝜇 𝑞0 𝜔 𝜔cos(𝜔𝑡 4𝜋 𝑟

] 1 1 𝑞0 𝜔 𝜇 𝑞0 𝜔 +𝑙sin𝜃 − sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟) − 𝜔cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟) ⃗𝑒𝜃 . 4𝜋𝜀 𝑣𝑓 𝑟2 4𝜋 𝑟

(4.28a) ] − 𝑘𝑟) ⃗𝑒𝑟

[

49

(4.28b)

Zanemarivˇsi sve veliˇcine koje su reda veliˇcine 1/𝑟2 prema preostalim veliˇcinama reda veliˇcine 1/𝑟 i uoˇcivˇsi da je 𝑘/(𝜀𝑣𝑓 ) = 𝜇𝜔, tako da se preostala dva sabirka 𝐸𝑟 -komponente skrate, nalazimo ⃗ = − 𝜇 𝑞0 𝜔 𝜔cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟)𝑙sin𝜃⃗𝑒𝜃 . 𝐸 4𝜋 𝑟 Kako je 𝑝0 = 𝑞0 𝑙, poslednji izraz moˇzemo napisati kao ⃗ = − 𝜇 𝑝0 𝜔 2 sin𝜃 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟)⃗𝑒𝜃 . 𝐸 4𝜋 𝑟

(4.29a)

(4.29b)

⃗ = rot𝐴 ⃗ usmerena je u 𝜑-pravcu, i data je slede´cim izrazom: Jaˇcina magnetnog polja 𝐵 [ ] ( ) 1 ∂ ∂𝐴𝑟 ⃗ ⃗ ⃗𝑒𝜑 . (4.30a) 𝐵 = rot𝐴 ⃗𝑒𝜑 = (𝑟𝐴𝜃 ) − 𝑟 ∂𝑟 ∂𝜃 𝜑 Dakle [ ] ⃗ = − 𝜇 𝑞0 𝜔 𝑘cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟)𝑙sin𝜃 − 𝜇 𝑞0 𝜔 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟)𝑙sin𝜃 ⃗𝑒𝜑 . 𝐵 4𝜋 𝑟 4𝜋 𝑟2

(4.30b)

Zanemaruju´ci drugi sabirak, imamo ⃗ = − 𝜇 𝑞0 𝜔 𝑘cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟)𝑙sin𝜃⃗𝑒𝜑 . 𝐵 4𝜋 𝑟

(4.31a)

Kako je 𝑣𝑓 = 𝜔/𝑘, poslednji izraz moˇzemo da napiˇsemo u obliku ⃗ = − 𝜇/𝑣𝑓 𝑝0 𝜔 2 sin𝜃 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟)⃗𝑒𝜑 . 𝐵 4𝜋 𝑟

(4.31b)

⃗ ima samo 𝜃-komponentu, dok jaˇcina magnetnog Dakle, u talasnoj zoni jaˇcina polja 𝐸 ⃗ ima samo 𝜑-komponentu, kao ˇsto je prikazano na Fig. 21. Izmedju inteziteta 𝐸 i polja 𝐵 𝐵 u svakoj taˇcki talasne zone i u svakom trenutku vremena vaˇzi relacija 𝐸 = 𝑣𝑓 𝐵, tj. kako je 𝑘 = 𝜔/𝑣𝑓 , vaˇzi 𝑘𝐸 = 𝜔𝐵,

(4.32)

ˇsto je veza izmedju 𝐸 i 𝐵 data jednaˇcinom (1.28b) koju smo imali kod ravanskih (i sfernih) monohromatskih talasa. Elektromagnetni talasi koji se formiraju u talasnoj zoni predstavljaju tzv. anizotroprne sferne talase. Oni se (do na faktor anizotropije sin𝜃) ponaˇsaju kao √ sferni talasi (1.43a,b). Brzina prostiranja ovih talasa jednaka je 𝑣 = 𝑣𝑓 = 1/ 𝜀𝜇. Kruˇzna uˇcestanost 𝜔 formiranih talasa jednaka je uˇcestanosti 𝜔 oscilovanja naelektrisanja 𝑞. Prostiranje energije koju zraˇci Hercov dipol karakteriˇse se sa Pointingovim vektorom. U proizvoljnoj taˇcki talasne zone, trenutna vrednost ovog vektora je ⃗ ×𝐻 ⃗ = 1𝐸 ⃗ × 𝐵, ⃗ 𝑃⃗ (𝑡) = 𝐸 𝜇 50

(4.33a)

FIG. 21: Zraˇcenje Hercovog dipola u talasnoj zoni

odnosno

)2 sin2 𝜃 2 1 ( 𝜇 )2 1 ( 𝑃⃗ (𝑡) = 𝑝0 𝜔 2 cos (𝜔𝑡 − 𝑘𝑟)⃗𝑒𝑟 . 𝜇 4𝜋 𝑣𝑓 𝑟2

(4.33b)

Dakle, elektromagnetna energija prenosi se u pravcu i smeru vektora ⃗𝑒𝑟 , tj. energija u toku celog perioda oscilovanja struji radijalno od dipola u prostor oko njega. Jaˇcina svetlosti, koja odgovara Pointingovom vektoru koji osciluje u toku vremena po zakonu datim jednaˇcinom (4.33b), definisana je opˇstim izrazom (3.18) kao intezitet srednje vrednosti Pointingovog vektora 𝐼 = ∣ < 𝑃⃗ > ∣ =

2 ) 𝜇 1 ( 2 2 sin 𝜃 𝑝 𝜔 < cos2 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑟) >𝑇 . 0 (4𝜋)2 𝑣𝑓 𝑟2

(4.34a)

Kako je, po analogiji sa jednaˇcinom (3.23b), < cos2 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑟) >𝑇 = 1/2, nalazimo 𝐼=

2 ) 1 𝜇 1 ( 2 2 sin 𝜃 𝑝 𝜔 ∼ 𝜔4. 0 2 (4𝜋)2 𝑣𝑓 𝑟2

(4.34b)

Dobijeni izraz se moˇze povezati i sa dipolnim momentom 𝑝(𝑡) datim jednaˇcinom (4.25b). Naime, < (¨ 𝑝)2 >= (𝑝0 𝜔 2 )2 < cos2 𝜔𝑡 >= tako da je 𝐼=

)2 1( 𝑝0 𝜔 2 , 2

𝜇 1 sin2 𝜃 2 < (¨ 𝑝 ) > . (4𝜋)2 𝑣𝑓 𝑟2

(4.35a)

(4.35b)

Poslednji izraz ima opˇsti karakter, i moˇze da se primeni na bilko koji sistem koji zraˇci.

51

§5 Spektralna analiza zraˇ cenja 5.1. Elementarna teorija zraˇcenja

Jaˇcina svetlosti po svojoj energijskoj definiciji predstavlja intezitet srednje vrednosti Pointingovog vektora, tj., na osnovu formule (3.9a), 〈 𝐼 = ∣ < 𝑃⃗ > ∣ =< 𝑃 >=

𝑑Φ𝑊 𝑑𝑆⊥

〉 ,

(5.1a)

gde je Φ𝑊 svetlosni fluks definisan jednaˇcinom (3.7b). Na osnovu energijskog bilansa u polju zraˇcenja datog jednaˇcinom (3.8), vidimo da je pri 𝑑𝑄/𝑑𝑡 = 0, svetlosni fluks Φ𝑊 = −

˜𝑒𝑚 𝑑𝑊𝑒𝑚 𝑑𝑊 = . 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(5.1b)

Dakle, u sluˇcaju kada razmatramo zraˇcenje izvora svetlosti, svetlosni fluks predstavlja energiju izraˇcenu u jedinici vremena, tako da se on poklapa sa snagom 𝒫 zraˇcenja izvora: Φ𝑊 = 𝒫(𝑡).

(5.1c)

Zamenom jednaˇcine (5.1c) u (5.1a), vidimo da je jaˇcina izraˇcene svetlosti u posmatranoj taˇcki polja:

〈 𝐼=

𝑑𝒫(𝑡) 𝑑𝑆⊥

〉 =

𝑑𝒫𝑠𝑟 , 𝑑𝑆⊥

(5.1d)

gde je 𝒫𝑠𝑟 =< 𝒫(𝑡) > srednja snaga zraˇcenja. Pri razmatranju zraˇcenja, pogodno je pored jaˇcine svetlosti 𝐼, vezane za datu taˇcku polja ˜ Ova veliˇcina se definiˇse zraˇcenja, Fig. 22(a), uvesti i tzv. jaˇcinu svetlosti u datom pravcu 𝐼. kao srednja snaga zraˇcenja po jedinici prostornog ugla, Fig. 22(b). Dakle, 𝑑𝒫𝑠𝑟 𝐼˜ = 𝑑Ω

(5.2a)

gde je 𝑑Ω = sin𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑 elementarni prostorni ugao. Kako je 𝑑𝑆⊥ = 𝑟2 𝑑Ω, to poredjenjem izraza (5.1d) i (5.2a) nalazimo 𝐼˜ = 𝑟2 𝐼.

(5.2b)

Jedinica za jaˇcinu svetlosti 𝐼˜ u datom pravcu (tzv. svetlosni intezitet) spada u osnovne jedinice SI. Ova jedinica naziva se kandela (cd). Kandela je jaˇcina svetlosti u datom pravcu, iz izvora koji emituje monohromatsko zraˇcenje uˇcestanosti 540⋅ 1012 Hz, a ima u tom pravcu 52

FIG. 22: Jaˇcina svetlosti I i jaˇcina svetlosti u pravcu 𝐼˜

(srednju) snagu po jedinici prostornog ugla (tzv. energetsku jaˇcinu) od 1/683 W/sr. Za ovakav izvor svetlosti postoji odgovaraju´ci standard. Ukupna srednja snaga zraˇcenja dobija se integracijom jednaˇcine (5.2a) po svim prostornim uglovima:

∫ 𝒫𝑠𝑟 =

∫ ˜ = 𝑟2 𝐼𝑑Ω

𝐼𝑑Ω.

Ako u poslednji izraz uvrstimo jaˇcinu svetlosti 𝐼 datu jednaˇcinom (4.35b), imamo ∫ 𝜋 ∫ 2𝜋 𝜇 1 2 sin3 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑. 𝒫𝑠𝑟 = < (¨ 𝑝) >𝑇 (4𝜋)2 𝑣𝑓 0 0 Kako je

∫ 𝜋 ∫ 2𝜋 0

0

sin3 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑 = 2𝜋

∫𝜋 0

(5.3a)

(5.3b)

sin3 𝜃𝑑𝜃 = 8𝜋/3, za ukupnu srednju snagu zraˇcenja,

nalazimo 𝒫𝑠𝑟 =

𝜇 1 < (¨ 𝑝)2 >𝑇 . 6𝜋 𝑣𝑓

(5.3c)

Primetimo da jednaˇcina (5.3c) ima opˇsti karakter i moˇze da se primeni na nalaˇzenje snage zraˇcenja proizvoljne ubrzane naelektrisane ˇcestice kod koje je tada 𝑝⃗¨ = 𝑞⃗𝑟¨𝑞 , gde je 𝑞 naelektrisanje a ⃗𝑟𝑞 vektor poloˇzaja posmatrane ˇcestice.

5.2.Klasiˇcan model zraˇcenja atoma

Osnovni model pomo´cu koga se u okviru klasiˇcne elektrodinamike opisuje zraˇcenje atoma je model u kome elektron osciluje (duˇz datog pravca) u polju fiksiranog jezgra.

53

FIG. 23: Klasiˇcan model atoma i ”kolaps”

Pretpostavimo da elektron naelektrisanja (-𝑒) i mase 𝑚 osciluje duˇz 𝑧-ose kruˇznom uˇcestanos´cu 𝜔0 : ⃗𝑟𝑞 = ⃗𝑟− = 𝑧0 cos𝜔0 𝑡⃗𝑒𝑧 .

(5.4a)

Elektriˇcni dipolni moment atoma (elektron −𝑒, jezgro +𝑒) u sistemu vezanom za +𝑒 je po definiciji 𝑝⃗ = −𝑒⃗𝑟− + 𝑒⃗𝑟+ = −𝑒⃗𝑟− = −𝑒𝑧0 cos𝜔0 𝑡⃗𝑒𝑧 .

(5.4b)

Kada bi oscilovanje elektrona bilo trajno periodiˇcno, na osnovu jednaˇcine (4.29b) zakljuˇcujemo bi atom emitovao monohromatski talas ⃗ 0 (⃗𝑟, 𝑡) = 𝐸𝑚 sin𝜃 cos(𝜔0 𝑡 − 𝑘0 𝑟)⃗𝑒𝜃 . 𝐸 𝑟

(5.5)

Medjutim, tokom oscilovanja, posmatrani sistem zraˇci energiju, tako da oscilacije postaju priguˇsene. Srednja snaga zraˇcenja data je izrazom (5.3c) u kome je (¨ 𝑝)2 = (𝑒𝑧0 𝜔02 )2 cos2 𝜔0 𝑡.

(5.6)

Dakle, klasiˇcan atom zraˇci energiju sa srednjom snagom 𝒫𝑠𝑟 =

𝜇 1 𝜇 1 (𝑒𝑧0 𝜔02 )2 < cos2 𝜔0 𝑡 >𝑇 = (𝑒𝑧0 𝜔02 )2 . 6𝜋 𝑣𝑓 12𝜋 𝑣𝑓

(5.7a)

Usled zraˇcenja, energija 𝑊 elektrona u atomu se smanjuje po zakonu −

𝑑𝑊 𝜇 = 𝒫𝑠𝑟 = (𝑒𝑧0 𝜔02 )2 . 𝑑𝑡 12𝜋𝑣𝑓 54

(5.7b)

Energiju 𝑊 elektrona moˇzemo izraˇcunati pribliˇzno, kao energiju linearnog harmonijskog oscilatora: 1 𝑊 ≈ 𝑚𝜔02 𝑧02 , 2

(5.7c)

tako da, zamenom izraza (5.7c) u desnu stranu jednaˇcine (5.7b), nalazimo −

𝑑𝑊 = 𝛾0 𝑊, 𝑑𝑡

(5.8a)

gde je konstanta 𝛾0 , tzv. faktor prigusenja, data sa 𝛾0 =

𝜇 𝑒2 2 𝜔 . 6𝜋𝑣𝑓 𝑚 0

(5.8b)

Smanjenje energije elektrona po zakonu (5.8a) dovodi do priguˇsenja oscilacija talasnog vek⃗ tako da klasiˇcan atom zraˇci priguˇsene elektromagnetne talase, Fig. 23(b): tora 𝐸, ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐴𝑚 (⃗𝑟)𝑒− 𝐸(⃗

𝛾0 𝑡 2

cos(𝜔0 𝑡 − 𝑘0 𝑟)⃗𝑒0𝐸 ,

(5.9a)

⃗ Vektor 𝐸 ⃗ se moˇze gde je sa ⃗𝑒0𝐸 oznaˇcen jediniˇcni vektor u pravcu oscilovanja vektora 𝐸. ⃗ = Re𝐸, ⃗ˇ gde je prikazati i u obliku 𝐸 𝛾 𝑡 ⃗ˇ = 𝐴(⃗ ˇ 𝑟)𝑒− 20 𝑒−𝑖𝜔0 𝑡⃗𝑒0𝐸 . 𝐸

(5.9b)

Primetimo na kraju da je klasiˇcan model atoma, sa stanoviˇsta zakona klasiˇcne elektrodinamike, sam po sebi kontradiktoran: ovakav sistem brzo kolapsira. Stabilnost atoma kao mikro-sistema mogu´ca je tek u okviru kvantne mehanike. Sa stanoviˇsta kvantne elektrodinamike, pobudjeni atom spontano zraci taˇcno odredjenu energiju posle ˇcega ostaje u (novom) stabilnom stanju.

5.3. Spektar zraˇcenja

U prethodnom odeljku videli smo da ”klasiˇcni” atomi zraˇce priguˇsene elektromagnetne talase. Isti zakljuˇcak se dobija i u okviru kvantne elektrodinamike; medjutim, ”kvantni” atom ne kolapsira nego prelazi iz jednog u drugo stabilno stanje. Na makroskopskom nivou, ˇcinjenica da atomi zraˇce priguˇsene talase dovodi do toga da ni jedan realan izvor ne zraˇci strogo monohromatske talase. Razlaganje nemonohromatskih talasa na monohromatske komponente naziva se spektralna analiza talasa. 55

Polazna osnova spektralne analize je ˇcinjenica da se talasni vektor proizvoljnog talasa uvek moˇze predstaviti u obliku diskretne sume ili integrala monohromatskih talasa: ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐸(⃗ ∫ ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐸(⃗

∑ ∞

⃗ 𝑖𝜔 (⃗𝑟, 𝑡) 𝐸

(5.10a)

⃗ 𝜔 (⃗𝑟, 𝑡)𝑑𝜔. 𝐸

(5.10b)

−∞

Dalju spektralnu analizu razmotri´cemo posmatraju´ci kontinualnu dekompoziciju talasa datu jednaˇcinom (5.10b). Ova jednaˇcina u kompleksnom obliku glasi ∫ ∞ ˇ ⃗ ⃗ˇ𝜔𝐸 (⃗𝑟, 𝜔)𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔, 𝐸(⃗𝑟, 𝑡) = 𝐴

(5.11a)

−∞

⃗ˇ𝜔𝐸 (⃗𝑟, 𝜔)𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔 monohromatski ”talas” uˇcestanosti 𝜔. Pri spektralnoj analizi uzima gde je 𝐴 se da su pomenuti monohromatski svetlosni vektori istog pravca ⃗𝑒0𝐸 : ⃗˘𝜔𝐸 (⃗𝑟, 𝜔) = 𝐴ˇ𝜔𝐸 (⃗𝑟, 𝜔)⃗𝑒0𝐸 , 𝐴

(5.11b)

⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = 𝐸⃗ ˇ 𝑒0𝐸 . U tom smislu na dalje ne piˇsemo vektorske oznake: kada je 𝐸(⃗ ∫ ∞ ˇ 𝑟, 𝑡) = 𝐴ˇ𝜔𝐸 (⃗𝑟, 𝜔)𝑒−𝜔𝑡 𝑑𝜔. 𝐸(⃗

(5.11c)

−∞

ˇ Integral (5.11c) se naziva Furijeov integral, a funkcija 𝐴ˇ𝜔𝐸 Furijeov transform funkcije 𝐸. ′ Funkciju 𝐴ˇ𝜔𝐸 (⃗𝑟, 𝜔) nalazimo mnoˇzenjem jednaˇcine (5.11c) sa 𝑒𝑖𝜔 𝑡 i integraljenjem po vremenu:

∫

∞

∫

∞

ˇ 𝑟, 𝑡)𝑒𝑖𝜔′ 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐸(⃗

−∞

(∫ 𝐴ˇ𝜔𝐸 (⃗𝑟, 𝜔)

−∞

∞

𝑒

𝑖(𝜔 ′ −𝜔)𝑡

) 𝑑𝑡 𝑑𝜔.

(5.12)

−∞

Integral po vremenu na desnoj strani jednaˇcine (5.12) moˇze da se izrazi preko Dirakove 𝛿-funkcije. Naime, treba uoˇciti da je integralni oblik ove ”funkcije” dat sa ∫ ∞ 1 𝛿(𝑥 − 𝑥0 ) = 𝑒𝑖(𝑥−𝑥0 )𝑡 𝑑𝑡. 2𝜋 −∞ Za dalja izraˇcunavanja vaˇzno je slede´ce integralno svojstvo: ∫ ∞ 𝑓 (𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑥0 )𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥0 ).

(5.13a)

(5.13b)

−∞

Primetimo da kao specijalni sluˇcaj jednaˇcine (5.13b) imamo ∫ ∞ 𝛿(𝑥 − 𝑥0 )𝑑𝑥 = 1. −∞

56

(5.13c)

Koriste´ci definiciju (5.13a) Dirakove 𝛿-funkcije, jednaˇcinu (5.12) moˇzemo napisati u obliku ∫ ∞ ∫ ∞ ′𝑡 𝑖𝜔 ˇ 𝑟, 𝑡)𝑒 𝑑𝑡 = 2𝜋 𝐸(⃗ 𝐴ˇ𝜔𝐸 (⃗𝑟, 𝜔)𝛿(𝜔 − 𝜔 ′ )𝑑𝜔. (5.14a) −∞

−∞

Koriste´ci osobinu 𝛿-funkcije datu jednaˇcinom (5.13b) nalazimo ∫ ∞ 1 ˇ 𝑟, 𝑡)𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡. ˇ 𝐴𝜔𝐸 (⃗𝑟, 𝜔) = 𝐸(⃗ 2𝜋 −∞

(5.14b)

Analogno, spektralna analiza bi se mogla izvrˇsiti i za magnetnu komponentu elektromag⃗ˇ imamo netnog talasa. Ako sa 𝐴ˇ𝜔𝐻 oznaˇcimo furijeov transform kompleksnog vektora 𝐻, ∫ ∞ ˇ ⃗ = ⃗ˇ𝜔𝐻 (⃗𝑟, 𝜔)𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔. 𝐻 𝐴 (5.15a) −∞

⃗ˇ𝜔𝐻 = 𝐴ˇ𝜔𝐻 ⃗𝑒0𝐻 . Po analogiji sa jednaˇcinom (5.14b), dobijamo da je veliˇcina 𝐴ˇ𝜔𝐻 gde je 𝐴 ˇ slede´com relacijom: povezana sa veliˇcinom 𝐻 1 𝐴ˇ𝜔𝐻 (⃗𝑟, 𝜔) = 2𝜋

∫

∞

ˇ 𝑟, 𝑡)𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡. 𝐻(⃗

(5.15b)

−∞

Formule (5.14b) i (5.15b) kompletiraju spektralnu analizu proizvoljnog nemonohromatskog talasa. Matematiˇcka ˇcinjenica da se u spektralnoj formi (5.11a) i (5.15a), pojavljuju i negativne uˇcestanosti (𝜔 ∈ [−∞, ∞]) dobija svoj fiziˇcki smisao ako se integrali po 𝜔 razloˇze na dva ˇclana. Na primer, ako se jednaˇcina (5.11a) napiˇse u obliku ∫ ˇ ∫ ˇ ⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = ∞ 𝐴 ⃗ 𝜔𝐸 (⃗𝑟, 𝜔)𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔 + ∞ 𝐴 ⃗ 𝜔𝐸 (⃗𝑟, −𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔. Svetlosni veksume dva ˇclana: 𝐸(⃗ 0 0 ⃗ˇ𝜔𝐸 (⃗𝑟, ±𝜔) exp[∓𝑖𝜔𝑡]𝑑𝜔] = 𝐸 ⃗ ± predstavljaju monohromatske talase iste uˇcestanosti. tori Re[𝐴 ⃗ + opisuje kruˇznicu rotiraju´ci Ako prvi talas u talasnoj ravni ima svojstvo da vrh vektora 𝐸 ⃗ − opisuje kruˇznicu rotiraju´ci u suprotnom smeru. U odeljku 9.1 u jednom smeru, onda 𝐸 vide´cemo da se ovakvi talasi nazivaju levo i desno polarizovani talasi. Koriste´ci spektralna razlaganja (5.11a) i (5.15a), moˇzemo na´ci jaˇcinu proizvoljne, nemonohromatske svetlosti, koriste´ci definiciju (3.18b): ¯〈 〉¯ ¯ ⃗ˇ × Re𝐻 ⃗ˇ ¯¯ 𝐼 = ¯ Re𝐸 ¯〈 (∫ ¯ = ¯¯ Re tj.

∞

) (∫ ˇ −𝑖𝜔𝑡 ⃗ 𝜔𝐸 (⃗𝑟, 𝜔)𝑒 𝐴 𝑑𝜔 × Re

−∞

¯∫ ¯ 𝐼 = ¯¯

∞ −∞

∞ −∞

∫

∞ −∞

〈

⃗ˇ𝜔𝐻 (⃗𝑟, 𝑡′ )𝑒−𝑖𝜔′ 𝑡 𝑑𝜔 ′ 𝐴

)〉¯ ¯ ¯, ¯

¯ )〉 ) ( ¯ ′ ˇ ˇ ⃗ 𝜔𝐻 𝑒−𝑖𝜔 𝑡 𝑑𝜔𝑑𝜔 ′ ¯ . ⃗ 𝜔𝐸 𝑒−𝑖𝜔𝑡 × Re 𝐴 Re 𝐴 ¯

(5.16a)

(

57

(5.16b)

¯∫ ¯ ≡ ¯¯

∞

∫

−∞

∞ −∞

¯ ¯ ′ ′¯ ⃗ 𝐹 (𝜔, 𝜔 )𝑑𝜔𝑑𝜔 ¯ .

(5.16c)

Pri usrednjavanju u izrazu (5.16c) moˇze se smatrati da nenulti doprinos daju samo ˇclanovi sa 𝜔 = 𝜔 ′ , tj. 𝐹⃗ (𝜔, 𝜔 ′ ) ≈ 𝐾𝜔 𝐹⃗ (𝜔, 𝜔)𝛿(𝜔 − 𝜔 ′ ). (5.17) ( ) ( ) ⃗ˇ𝜔𝐸 𝑒−𝑖𝜔𝑡 × Re 𝐴 ⃗ˇ𝜔𝐻 𝑒−𝑖𝜔′ 𝑡 Naime, kada je 𝜔 = ∕ 𝜔 ′ , jaˇcina svetlosti zavisi od proizvoda Re 𝐴 koji brzo osciluje oko nulte vrednosti u toku vremena, tako da je njena srednja vrednost po vremenu jednaka nuli. Koriste´ci izraz (5.17), nalazimo ¯∫ ∞ 〈 ( ) ( )〉 ¯¯ ¯ ˇ ˇ −𝑖𝜔𝑡 −𝑖𝜔𝑡 ⃗ 𝜔𝐸 𝑒 ⃗ 𝜔𝐻 𝑒 𝐼 = ¯¯ 𝐾𝜔 Re 𝐴 × Re 𝐴 𝑑𝜔 ¯¯ .

(5.18a)

−∞

Srednja vrednost u (5.18a) je istog oblika kao u jednaˇcini (3.21b). jednaˇcinu (3.24b)),

Prema tome (vidi

¯∫ ( ) ¯¯ 1 ¯¯ ∞ ˇ ˇ ∗ ⃗ 𝜔𝐸 × 𝐴 ⃗ 𝜔𝐻 𝑑𝜔 ¯ . 𝐼= ¯ 𝐾𝜔 Re 𝐴 ¯ 2 −∞

⃗ˇ𝜔𝐸 = 𝐴ˇ𝜔𝐸 ⃗𝑒0𝐸 i 𝐴 ⃗ˇ𝜔𝐻 = 𝐴ˇ𝜔𝐻 ⃗𝑒0𝐻 vaˇzi ista veza kao izmedju 𝐸 ⃗ˇ i Kako izmedju 𝐴 √ ⃗ˇ𝜔𝐸 × 𝐴 ⃗ˇ∗ = 𝐴ˇ𝜔𝐸 𝐴ˇ∗ ⃗𝑒0 = 𝜀/𝜇∣𝐴ˇ𝜔𝐸 ∣2⃗𝑒0 gde je ⃗𝑒0 = ⃗𝑒0𝐸 × ⃗𝑒0𝐻 . kljuˇcujemo da je 𝐴 𝜔𝐻 𝜔𝐻

(5.18b) ⃗ˇ za𝐻, Dakle,

kako je ∣⃗𝑒0 ∣ = 1, √ ∫ ∫ ∞ 1 𝜀 ˇ 2 1 ∞ 𝐾𝜔 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ∣𝐴ˇ𝜔𝐸 ∣2 𝑑𝜔, ∣𝐴𝜔𝐸 ∣ 𝑑𝜔 = 𝐼= 2 −∞ 𝜇 2 −∞ √ gde je 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐾𝜔 𝜀0 /𝜇0 (pri 𝜇𝑟 ≈ 1).

(5.18c)

Relacija (5.18c) moˇze da se protumaˇci kao superpozicija jaˇcina svetlosti pojedinih monohromatskih komponenti:

∫

∞

𝐼=

𝐼𝜔 (𝜔)𝑑𝜔,

(5.19a)

−∞

gde je 1 𝐼𝜔 (𝜔) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ∣𝐴ˇ𝜔𝐸 ∣2 2

(5.19b)

tzv. spektralna gustina. Skup svih uˇcestanosti 𝜔 koje se javljaju u spektralnoj formi (5.19a), tj. u (5.11c), naziva se spektar u uˇzem smislu. Oˇcigledno, spektar koji smo mi razmatrali je kontinualan spektar: 𝜔 ∈ (0, ∞), ako se ne razmatra polarizacija. Ukoliko se pojavljuju samo neke (diskretne) vrednosti 𝜔, onda se spektar naziva diskretan: 𝜔 = (𝜔1 , 𝜔2 ...). Pod spektrom u ˇsirem smislu podrazumeva se zavisnost 𝐼𝜔 od 𝜔 (vidi Fig. 24(a,b)). 58

FIG. 24: Kontinualni i diskretni spektar zraˇcenja 5.4. Spektar zraˇcenja prirodnog izvora ”monohromatske” svetlosti

a) Spektar zraˇcenja atoma Nadjimo prvo spektar zraˇcenja atoma. Spektar zraˇcenja proizvoljnog izvora dobija se odgovaraju´cim ”usrednjavanjem”. Klasiˇcan atom (posmatran kao priguˇsen linearni harmonijski oscilator) zraˇci priguˇsene elektromagnetne talase date jednaˇcinom (5.9b). Ve´c smo ukazali na ˇcinjenicu da se ovakvo zraˇcenje dobija i u okviru kvantne elektrodinamike. Priroda priguˇsenja je bitno razlicita u ova dva modela. Klasiˇcan atom usled zraˇcenja gubi energiju i kolapsira, dok kvanti atom prelazi u novo stabilno stanje, a priguˇsenje se pripisuje intrekciji sa ”vakuumom”. Dakle, atom zraˇci priguˇsen elektromagnetni talas koji sa faktrorom priguˇsenja 𝛾0 osciluje frekvencijom 𝜔0 . Radi matematiˇckih pogodnosti pretpostavimo da se talas uspostavlja u trenutku 𝑡 = 0, tako da je ⃗ˇ 𝑟, 𝑡) = 𝐸(⃗

⎧ ⎨ 0,

t 0), a u drugom sluˇcaju kao −𝑦 ′ (𝑦 ′ < 0). Odnos algebarskih vrednosti linearnih dimenzija lika i predmeta naziva se linearno uve´canje 𝛽

𝑦′ 𝛽= . 𝑦

(7.2)

Kako veliˇcine 𝑦 i 𝑦 ′ mogu biti oba znaka to i 𝛽 moˇze biti kako pozitivna tako i negativna veliˇcina. Moˇze se pokazati da postoje dve takve medjusobno konjugovane ravni koje se preslikavaju jedna u drugu sa linearnim uve´canjem 𝛽 = 1. Ove dve ravni se nazivaju glavne ravni. Ravan koja pripada prostoru predmeta naziva se prednja glavna ravan (oznaˇci´cemo je sa 𝐻), a ravan koja pripada prostoru likova naziva se zadnja glavna ravan (𝐻 ′ ). Taˇcke preseka glavnih ravni sa optiˇckom osom nazivaju se prednja glavna taˇcka i zadnja glavna taˇcka sistema (Fig. 45). Iz definicije glavnih ravni sledi da zrak 1 (koji seˇce prednju glavnu ravan 𝐻 u taˇcki 𝑄) ima konjugovan zrak 1′ koji seˇce zadnju glavnu ravan 𝐻 ′ u taˇcki 𝑄′ koja je na istoj strani i na istom rastojanju od optiˇcke ose kao taˇcka 𝑄, tj. 𝐻𝑄 = 𝐻 ′ 𝑄′ , kao na Fig. 45(a). Isto tvrdjenje vaˇzi i kada su glavne ravni rasporedjene unutar sistema (Fig. 45(b)), kada pratimo produˇzetke zraka 1 i 1′ . 84

FIG. 45: Prednja i zadnja glavna ravan (𝐻 i 𝐻 ′ )

ˇ zna rastojanja 𝑓 i 𝑓 ′ (sluˇcaj 𝑓 < 0, 𝑓 ′ > 0) FIG. 46: Ziˇ

Relativan odnos taˇcaka 𝐹 i 𝐻 kao i 𝐹 ′ i 𝐻 ′ odredjen je tzv. ˇziˇznim rastojanjima. Rastojanje od prednje glavne taˇcke 𝐻 do prednje ˇziˇze 𝐹 naziva se prednje ˇziˇzno rastojanje 𝑓 ˇ zna rastojanja 𝑓 i 𝑓 ′ sistema. Rastojanje od 𝐻 ′ do 𝐹 ′ naziva se zadnje ˇziˇzno rastojanje 𝑓 ′ . Ziˇ su algebarske veliˇcine (𝑓, 𝑓 ′ ≷ 0). One su pozitivne ako data ˇziˇza leˇzi desno od odgovaraju´ce glavne taˇcke (sluˇcaj 𝐹 ′ i 𝐻 ′ na Fig. 46, gde je 𝑓 ′ > 0), a negativne u suprotnom sluˇcaju (sluˇcaj 𝐹 i 𝐻 na Fig. 46, gde je 𝑓 < 0). Moˇze se pokazati (vidi odeljak 8.3) da izmedju ˇziˇznih rastojanja 𝑓 i 𝑓 ′ centriranog optiˇckog sistema, koji se sastoji od sfernih prelamaju´cih povrˇsi, vaˇzi relacija 𝑓 𝑛 = − ′, ′ 𝑓 𝑛

(7.3a)

gde je 𝑛 indeks prelamanja optiˇcke sredine ispred optiˇckog sistema a 𝑛′ iza optiˇckog sistema (Fig. 46). Primetimo da u sluˇcaju 𝑛 = 𝑛′ vaˇzi 𝑓 = −𝑓 ′ . 85

(7.3b)

FIG. 47: (a) Pozitivna i (b) negativna ”dioptrija”

Veliˇcina

′ ¯ = 𝑛 = −𝑛 Φ 𝑓′ 𝑓

(7.4a)

naziva se optiˇcka jaˇcina sistema. Optiˇcka jaˇcina sistema se meri u dioptrijama (dp): 1 ¯ Φ(=) (=)dp. m

(7.4b)

¯ u dioptrijama treba izraziti 𝑓 u metrima. Pri pozitivnim vrednostima Da bismo dobili Φ ¯ zadnja ˇziˇzna daljina 𝑓 ′ je takodje pozitivna (Fig. 47(a)), dok je pri negativnoj veliˇcine Φ ¯ > 0) sistem daje realan lik ”dioptriji” 𝑓 ′ < 0, Fig. 47(b). To zna´ci da u prvom sluˇcaju (Φ beskonaˇcno udaljenog predmeta, tj. paralelan snop zraka pretvara u sabirni (konvergentan) ¯ < 0) lik beskonaˇcno udaljenog predmeta bi´ce imaginaran snop. Pri negativnoj dioptriji (Φ (paralelni snop zraka pretvara se u rasipni (divergentni) snop. Ve´c smo pomenuli da se normalno ljudsko oko moˇze da posmatra kao centrirani optiˇcki sistem, tj. moˇze da se okarakteriˇse prednjom i zadnjom ˇziˇzom kao i prednjom i zadnjom glavnom taˇckom i odgovaraju´cim ravnima, Fig. 48. Oznaˇcimo sa indeksom ”𝑜” sve veliˇcine koje se odnose na oko, Fig. 49(a). Daleka i bliska taˇcka akomodacije za normalno oko nalaze se u beskonaˇcnosti i na rastojanju ≈ 20 cm od oka. Veliˇcine 𝑓𝑜 i 𝑓𝑜′ su date sa: 𝑓𝑜 = −17, 1 ¯ = 58, 48 dp. mm; 𝑓𝑜′ = 22, 8 mm. Optiˇcka jaˇcina normalnog ljudskog oka je Φ Najˇceˇs´ci nedostaci optiˇckog sistema oka su kratkovidost i dalekovidost. Kratkovido oko ima optiˇcku jaˇcinu ve´cu od normalne. Kod njega se, pri relaksiranom oku, lik udaljenog predmeta formira ispred mreˇznjaˇce. Dalekovido oko ima optiˇcku jaˇcinu manju od normalne 86

FIG. 48: Normalno ljudsko oko kao centrirani optiˇcki sistem (akomodirano na predmet u ∞)

FIG. 49: Dalekovido oko: (a) snop paralelnih zraka i (b) snop konvergentnih zraka

i kod njega se lik udaljenog predmeta formira iza mreˇznjaˇce. Primetimo da je za normalno oko lik na mreˇznjaˇci, kao na Fig. 48. Primer Razmotrimo malo detaljnije dalekovido oko, kao i mogu´cnost korigovanja dalekovidosti pomo´cu naoˇcara postavljenih na rastojanju 𝑑 od oka. ¯ 𝑜 ovakvog oka manja od normalne, to je veliˇcina 𝑓𝑜′ ve´ca od normalne, Kako je veliˇcina Φ tako da se paralelni zraci ne seku u taˇcki 𝑀 nego u taˇcki 𝐹𝑜′ , kao na Fig. 49(a). Dalekovido oko, medjutim, moˇze da se akomodira tako da u taˇcku M sakuplja konvergentan snop zraka (Fig. 49(b)). Oznaˇcimo se 𝑉 najdalju taˇcku u kojoj se seku produˇzeci konvergentnog snopa (a koje oko uspeva da sakupi). Poloˇzaj taˇcke 𝑉 dat je veliˇcinom 𝑎𝑉 (Fig. 49(b)).

87

FIG. 50: Dalekovido oko (𝑜) i naoˇcare (𝐿) za korekciju vida

Ispred dalekovidog oka treba postaviti naoˇcare (soˇcivo) 𝐿 pozitivne optiˇcke jaˇcine. Da bismo okarakterisali veliˇcine vezane za naoˇcare, oznaˇcimo ih indeksom 𝐿. Optiˇcka jaˇcina naoˇcara data je sa

𝑛′ ¯ Φ𝐿 = ′ > 0. 𝑓𝐿

(7.4c)

Naoˇcare se biraju tako da lik predmeta u beskonaˇcnosti padne na mreˇznjaˇcu (u taˇcku 𝑀 ), kao na Fig. 50. To znaˇci da same naoˇcare moraju da sakupljaju paralelan snop zraka u taˇcki 𝑉 , odnosno zadnje ˇziˇzno rastojanje 𝑓𝐿′ naoˇcara treba da se poklapa sa 𝑎𝑉 + 𝑑. Zamenom ove vrednosti u formulu (7.4c), nalazimo ¯𝐿 = Φ

𝑛′ . 𝑎𝑉 + 𝑑

(6.4d)

Primetimo da 𝑎𝑉 → ∞ za normalno oko (koje moˇze da fokusira paralelan snop zraka), tako ¯ 𝐿 → 0 (nisu potrebne naoˇcare). da Φ

7.3. Osnovna formula centriranog optiˇckog sistema

Ako su poznate osnovne (kardinalne) taˇcke i ravni centriranog optiˇckog sistema, u potpunosti su odredjena sva optiˇcka svojstva sistema. To znaˇci da se moˇze reˇsiti osnovni zadatak geometrijske optike: kako na osnovu datog predmeta odrediti lik. Posmatrajmo duˇz 𝑂𝑃 normalnu na optiˇcku osu kao predmet. Poloˇzaj predmeta moˇzemo da zadamo bilo rastojanjem 𝑥 merenim od poloˇzaja 𝐹 do 𝑂, bilo rastojanjem 𝑠 od 𝐻 do 𝑂. Veliˇcine 𝑥 i 𝑠 kao i ˇziˇzne daljine 𝑓 i 𝑓 ′ su algebarske veliˇcine. Na Fig. 51 predmet se nalazi

88

FIG. 51: Odredjivanje poloˇzaja lika

levo od 𝐹 pa je 𝑥 < 0; predmet je i levo od 𝐻 pa je 𝑠 < 0, tj. 𝑂𝐹 = −𝑥, 𝑂𝐻 = −𝑠, itd. Na Fig. 51 ˇziˇza 𝐹 se nalazi levo od 𝐻 pa je 𝑓 < 0, dok se 𝐹 ′ nalazi desno od 𝐻 ′ pa je 𝑓 ′ > 0. Da bismo odredili poloˇzaj lika dovoljno je uzeti dva pogodna zraka koji polaze iz taˇcke 𝑃 i na´ci presek njima konjugovanih zraka. To su zraci 1 i 2 sa Fig. 51. Zrak 1 ide paralelno optiˇckoj osi. On seˇce glavnu ravan 𝐻 u taˇcki 𝐴. U skladu sa svojstvom glavne ravni, zrak 1′ konjugovan zraku 1 mora da predje kroz taˇcku 𝐴′ (konjugovanu taˇcki 𝐴) u zadnjoj glavnoj ravni 𝐻 ′ , tako da je 𝐴𝐻 = 𝐴′ 𝐻 ′ . Kako je zrak 1 paralelan optiˇckoj osi, njemu konjugovan zrak 1′ mora pro´ci kroz zadnju ˇziˇzu 𝐹 ′ . Drugi karakteristiˇcan zrak prolazi kroz prednju ˇziˇzu 𝐹 . On seˇce ravan 𝐻 u taˇcki 𝐵. Njemu konjugovan zrak 2′ prolazi kroz taˇcku 𝐵 ′ konjugovanu taˇcki 𝐵 tako da je 𝐻𝐵 = 𝐻 ′ 𝐵 ′ i po izlasku iz optiˇckog sistema paralelan je optiˇckoj osi. Taˇcka 𝑃 ′ koja se dobija u preseku zraka 1′ i 2′ predstavlja lik taˇcke 𝑃 . Lik 𝑂′ 𝑃 ′ kao i predmet 𝑂𝑃 normalni su na optiˇcku osu. Poloˇzaj lika (taˇcka 𝑂′ ) moˇze se okarakterisati bilo rastojanjem 𝑥′ od ˇziˇze 𝐹 ′ , bilo rastojanjem 𝑠′ od 𝐻 ′ (vidi Fig. 51). Veliˇcine 𝑥′ i 𝑠′ su algebarske veliˇcine. U sluˇcaju posmatranom na Fig. 51 one su pozitivne veliˇcine (𝑂′ 𝐹 ′ = 𝑥′ , 𝑂′ 𝐻 ′ = 𝑠′ ). Veliˇcina 𝑥′ za date vrednosti 𝑓 i 𝑓 ′ zavisi samo od veliˇcine 𝑥. Ova veza direktno sledi iz jednostavnih geometrijskih razmatranja. Za pravougle trouglove 𝐹 𝑃 𝑂 i 𝐹 𝐵𝐻 sa zajedniˇckim temenom 𝐹 vaˇzi −𝑥 𝑦 𝑂𝑃 = . = −𝑦 ′ −𝑓 𝐻𝐵

(7.5a)

Analogno, za trougle 𝐹 ′ 𝐴′ 𝐻 ′ i 𝐹 ′ 𝑃 ′ 𝑂′ sa zajedniˇckim temenom u taˇcki 𝐹 ′ bi´ce 𝑓′ 𝐻 ′ 𝐴′ 𝑦 = . = −𝑦 ′ 𝑥′ 𝑂′ 𝑃 ′ 89

(7.5b)

Izjednaˇcavaju´ci desne strane jednaˇcina (7.5a,b), nalazimo (−𝑥)/(−𝑓 ) = 𝑓 ′ /𝑥′ , tj. 𝑥𝑥′ = 𝑓 𝑓 ′ .

(7.6a)

Dobijena formula se naziva Njutnova formula. Ako su optiˇcke sredine ispred i iza optiˇckog sistema iste (𝑛 = 𝑛′ ), vaˇzi´ce jednakost (7.3b): 𝑓 ′ = −𝑓 , tako da je u tom sluˇcaju 𝑥𝑥′ = −𝑓 2 .

(7.6b)

Od formule (7.6a) koja povezuje 𝑥 i 𝑥′ (pri datim ˇziˇznim rastojanjima 𝑓 i 𝑓 ′ ) lako se prelazi na formulu koja povezuje rastojanja 𝑠 i 𝑠′ . Sa Fig. 51 vidimo da je −𝑥 = −𝑠 − (−𝑓 ), tj. 𝑥 = 𝑠 − 𝑓 i 𝑥′ = 𝑠′ − 𝑓 ′ . Zamenom ovih izraza u jednaˇcinu (7.6a), nalazimo (𝑠 − 𝑓 )(𝑠′ − 𝑓 ′ ) = 𝑓 𝑓 ′ , odakle je 𝑠𝑠′ − 𝑠𝑓 ′ − 𝑠′ 𝑓 + 𝑓 𝑓 ′ = 𝑓 𝑓 ′ , tj. 𝑓 𝑓′ + ′ = 1. 𝑠 𝑠

(7.7a)

1 1 1 − ′ = . 𝑠 𝑠 𝑓

(7.7b)

Za 𝑛 = 𝑛′ , bi´ce 𝑓 ′ = −𝑓 , tako da je

Formula (7.7a) predstavlja osnovnu formulu centriranog optiˇckog sistema u tzv. Gausovoj formi. Ona omogu´cava da se nadje poloˇzaj predmeta na osnovu poznavanja poloˇzaja lika pri ˇcemu je sam optiˇcki sistem definisan ˇziˇznim rastojanjima 𝑓 i 𝑓 ′ .

§8 Prostiranje zraka kroz optiˇ cki sistem u paraksijalnoj aproksimaciji 8.1. Paraksijalna aproksimacija za soˇciva

Pod izvesnim uslovima (tzv. paraksijalna aproksimacija) mogu´ce je da se prolazak zraka kroz soˇcivo opiˇse sistemom od dve linearne jednaˇcine. Ovakav sistem se lako izraˇzava u matriˇcnom obliku. Pri razmatranju prolaska zraka kroz soˇcivo, uvedimo koordinatni sistem sa 𝑥-osom duˇz optiˇcke ose sistema, i razmotrimo prostiranje zraka u 𝑥𝑂𝑦-ravni u smeru 𝑥-ose. Soˇcivo, saˇcinjeno od optiˇckog materijala indeksa prelamanja 𝑛2 , ograniˇceno je sa dve sferne povrˇsi polupreˇcnika 𝑟1 i 𝑟2 . Ove veliˇcine se uvode kao algebarske veliˇcine. Za sfernu povrˇs ˇciji se centar krivine nalazi desno od povrˇsi uzimamo da je polupreˇcnik krivine 𝑟 > 0; ako se on 90

FIG. 52: Popreˇcni presek soˇciva; prelamanje zraka u taˇcki 𝑃1

nalazi levo od povrˇsi, uzima se da je 𝑟 < 0. U sluˇcaju soˇciva prikazanog na Fig. 52(a) imamo 𝑟1 > 0 i 𝑟2 < 0. Radi jednostavnosti, pretpostavi´cemo da je optiˇcka sredina levo i desno od soˇciva ista, indeksa prelamanja 𝑛1 . Ponaˇsanje zraka pri prolasku kroz soˇcivo jednoznaˇcno je odredjeno pomo´cu tri ugla, tzv. uglova skretanja. To su: ugao koji upadni zrak zaklapa sa 𝑥-osom (𝛼1 ), ugao koji zrak prelomljen u taˇcki 𝑃1 zaklapa sa 𝑥-osom (𝛼1′′ ) i ugao koji zrak prelomljen u taˇcki 𝑃2 zaklapa sa 𝑥-osom (𝛼2 ). Ugao skretanja se definiˇse algebarski (𝛼 ≷ 0), u skladu sa konvencijom prikazanom na Fig. 52(b). U paraksijalnoj aproksimaciji smatramo da su svi zraci skoro paralelni 𝑥-osi. U tom sluˇcaju svi uglovi prelamanja kao i uglovi skretanja bi´ce mali i vaˇzi´ce sin 𝛼 ≈ 𝛼, cos 𝛼 ≈ 1, tg𝛼 ≈ 𝛼.

(8.1)

U ovoj aproksimaciji, zakon prelamanja u taˇcki 𝑃1 , izraˇzen jednaˇcinom (6.27b): sin 𝜃1 𝑛2 = , ′′ sin 𝜃1 𝑛1

91

(8.2)

dobija jednostavan oblik: 𝜃1 𝑛2 = . (8.3) ′′ 𝜃1 𝑛1 Upadni ugao 𝜃1 i ugao prelamanja 𝜃1′′ mogu da se izraze preko uglova skretanja 𝛼1 i 𝛼1′′ kao 𝜃1 = 𝛼1 + 𝜑1 , 𝜃1′′ = 𝛼1′′ + 𝜑1 ,

(8.4)

gde je ugao 𝜑 definisan na Fig. 52. Koriste´ci relaciju (8.3) zakon prelamanja (8.2b) dobija oblik 𝑛2 𝛼1 + 𝜑1 = . (8.5) ′′ 𝛼1 + 𝜑1 𝑛1 Ugao 𝜑1 zavisi od polupreˇcnika krivine i rastojanja taˇcke 𝑃1 od 𝑥-ose. Oznaˇcimo se 𝑦1 , 𝑦-koordinatu taˇcke 𝑃1 . Tada je

𝑦1 . (8.6) 𝑟1 Kako malo skretanje zraka, koje je osnovni uslov paraksijalne aproksimacije, u stvari vaˇzi za sin 𝜑1 =

zrake koji se prostiru dovoljno blizu optiˇcke ose, kada je i ugao 𝜑1 mali, imamo sin 𝜑1 ≈ 𝜑1 , tako da jednaˇcina (8.6) daje 𝜑1 =

𝑦1 . 𝑟1

(8.7)

Zamenom relacije (8.7) u (8.5) imamo 𝛼1 + 𝛼1′′

+

𝑦1 𝑟1 𝑦1 𝑟1

odakle je 𝛼1′′

𝑦1 𝑛1 + = 𝑟1 𝑛2

odnosno

( 𝛼1′′

=−

𝑛2 − 𝑛1 𝑟1

𝑛2 , 𝑛1

= (

𝑦1 𝛼1 + 𝑟1

)

(8.8a) ) ,

1 𝑛1 𝑦1 + 𝛼1 . 𝑛2 𝑛2

(8.8b)

(8.8c)

Ako uvedemo konstantu 𝑘1 =

𝑛2 − 𝑛1 , 𝑟1

(8.9)

jednaˇcinu (8.8c) moˇzemo napisati u obliku 𝛼1′′ = −

𝑛1 𝑘1 𝑦1 + 𝛼1 . 𝑛2 𝑛2

(8.10)

Poslednja relacija daje ugao skretanja 𝛼1′′ prelomljenog zraka, ako je poznat ugao skretanja 𝛼1 upadnog zraka kao i 𝑦-koordinata 𝑦1 taˇcke 𝑃1 u kojoj zrak pada na soˇcivo. U taˇcki 𝑃1 zrak se prelama, ali ostaje neprekidan. Ovu ˇcinjenicu moˇzemo izraziti relacijom 𝑦1′′ = 𝑦1 92

(8.11)

FIG. 53: Popreˇcni presek soˇciva; prolazak zraka kroz soˇcivo

gde je sa 𝑦1′′ oznaˇcena 𝑦-koordinata taˇcke u kojoj prelomljeni zrak ulazi u soˇcivo (tj. koordinata taˇcke 𝑃1 ). Posle prelamanja na graniˇcnoj povrˇsi 1, zrak se prostire kroz soˇcivo i u taˇcki 𝑃2 pada na sfernu povrˇs 2, Fig. 53. Taˇcka 𝑃2 karakteriˇse se 𝑦-koordinatom 𝑦 = 𝑦2′′ . Ova koordinata povezana je sa 𝑦-koordinatom taˇcke 𝑃1 relacijom 𝑦2′′ = 𝑦1′′ + Δtg𝛼1′′ .

(8.12a)

U paraksijalnoj aproksimaciji bi´ce tg𝛼1′′ ≈ 𝛼1′′ , tako da je 𝑦2′′ = 𝑦1′′ + Δ𝛼1′′ .

(8.12b)

Veliˇcina Δ koja figuriˇse u izrazima (8.12a,b) je po definiciji razlika 𝑥-koordinata taˇcaka 𝑃2 i 𝑃1 , vidi Fig. 53. U paraksijalnoj aproksimaciji (kada se zrak prostire dovoljno blizu optiˇcke ose, ili je soˇcivo dovoljno tanko), veliˇcina Δ pribliˇzno je jednaka debljini soˇciva: Δ ≈ 𝐴1 𝐴2 .

(8.13)

Na sfernu povrˇs 2 zrak pada pod uglom 𝛼1′′ (Fig. 54). Prema tome, zakon prelamanja u paraksijalnoj aproksimaciji u taˇcki 𝑃2 ima oblik sin(𝜑2 − 𝛼1′′ ) 𝜑2 − 𝛼1′′ 𝑛1 ≈ = , sin(𝜑2 − 𝛼2 ) 𝜑2 − 𝛼2 𝑛2 93

(8.14a)

FIG. 54: Popreˇcni presek soˇciva; prelamanje zraka u taˇcki 𝑃2

pri ˇcemu je, za ugao 𝜑2 definisan kao na Fig. 54, sin 𝜑2 ≈ 𝜑2 =

𝑦2′′ . (−𝑟2 )

(8.14b)

𝑛1 , 𝑛2

(8.15a)

Zamenom (8.14b) u (8.14a), nalazimo 𝑦2′′ (−𝑟2 ) 𝑦2′′ (−𝑟2 )

odakle nalazimo

− 𝛼1′′ − 𝛼2

𝑦 ′′ 𝑛2 𝛼2 + 2 = 𝑟2 𝑛1

odnosno

( 𝛼2 = −

𝑛1 − 𝑛2 𝑟2

=

( 𝛼1′′ )

𝑦2 + 𝑟2

) ,

1 ′′ 𝑛2 ′′ 𝑦 + 𝛼 . 𝑛1 2 𝑛1 1

(8.15b)

(8.15c)

Uvode´ci sada konstantu 𝑘2 =

𝑛1 − 𝑛2 , 𝑟2

(8.16)

nalazimo 𝑘2 ′′ 𝑛2 ′′ 𝑦 + 𝛼 . 𝑛1 2 𝑛1 1 Uslov neprekidnosti zraka u taˇcki 𝑃2 se moˇze izraziti relacijom 𝛼2 = −

𝑦2 = 𝑦2′′ , 94

(8.17)

(8.18)

gde je 𝑦-koordinata taˇcke 𝑃2 neposredno po izlasku zraka iz soˇciva oznaˇcena sa 𝑦2 .

8.2. Matrica optiˇckog sistema za soˇcivo

Jednaˇcine prelamanja zraka u taˇckama 1 i 2 dopunjene jednaˇcinama koje izraˇzavaju neprekidnost svetlosnog zraka i jednaˇcinama prostiranja zraka kroz soˇcivo, mogu da se prikazu na jedinstven naˇcin u matriˇcnom obliku. Jednaˇcine (8.10) i (8.11) se mogu napisati u obliku ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ 1 0 𝑦1′′ 𝑦1 ⎝ ⎠=⎝ ⎠⎝ ⎠; 𝑘1 𝑛1 ′′ − 𝑛2 𝑛2 𝛼1 𝛼1

(8.19a)

jednaˇcina (8.12b) u obliku ⎛ ⎝

⎞ 𝑦2′′ 𝛼1′′

⎛

⎠=⎝

⎞⎛ 1 Δ 0 1

⎠⎝

⎞ 𝑦1′′ 𝛼1′′

⎠,

dok se jednaˇcine (8.17) i (8.18) mogu prikazati kao ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ 𝑦 𝑦 1 0 ⎝ 2 ⎠=⎝ ⎠⎝ 2 ⎠. 𝛼2 𝛼1′′ − 𝑛𝑘21 𝑛𝑛21

(8.19b)

(8.19c)

Relacije (8.19a,b,c) mogu da se protumaˇce kao promene ”stanja” zraka pri prelamanju na povrˇsi 1, jednaˇcina (8.19a), pri prolasku kroz soˇcivo, jednaˇcina (8.19b) i prelamanju na povrˇsi 2, jednaˇcina (8.19c). U ovakvoj interpretaciji za stanje zraka uzima se matrica kolona: ⎛ ⎞ 𝑦 ⎝ ⎠ = ”𝑠𝑡𝑎𝑛𝑗𝑒”𝑧𝑟𝑎𝑘𝑎, (8.19d) 𝛼 koja povezuje dva karakteristiˇcna parametra zraka, 𝑦-koordinatu taˇcke u kojoj zrak pada na sfernu povrˇs i ugao 𝛼 koji zrak zaklapa sa optiˇckom osom soˇciva (ugao skretanja). Uoˇcavamo ˇcetiri stanja sistema skicirana na Fig. 55. Razliˇcita stanja zraka medjusobno su povezana matricama 2×2 . U jednaˇcinama (8.19a) i (8.19c), koje opisuju prelamanje zraka u taˇckama 𝑃1 i 𝑃2 , javljaju se tzv. matrice prelamanja: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 1 0 ⎠ , 𝑅2 = ⎝ ⎠. 𝑅1 = ⎝ (8.20a) 𝑘1 𝑛1 𝑘2 𝑛2 − 𝑛2 𝑛2 − 𝑛1 𝑛1 95

FIG. 55: ”Stanja” zraka pri prelamanju na povrˇsima 1 i 2 i prolasku kroz soˇcivo

Dakle, na proizvoljnoj sfernoj povrˇsi radijusa krivine 𝑟 ≷ 0, (Fig. 56), pri prelasku iz sredine indeksa prelamanja 𝑛1 u sredinu indeksa prelamanja 𝑛2 , matrica prelamanja ima opˇsti oblik ⎛ ⎞ 1 0 ⎠ 𝑅=⎝ (8.20b) 𝑘 𝑛1 − 𝑛2 𝑛2 u kome je veliˇcina 𝑘 odredjena generalizacijom izraza (8.9) i (8.16): 𝑘1 = (𝑛2 − 𝑛1 )/𝑟1 i 𝑘2 = (𝑛1 − 𝑛2 )/𝑟2 , koja daje

𝑛2 − 𝑛1 . 𝑟 Primetimo da je determinanta matrice prelamanja 𝑘=

det𝑅 =

𝑛1 . 𝑛2

(8.21)

(8.22)

Matriˇcna jednaˇcina (8.19b) koja povezuje medju-stanja zraka pri njegovom prolasku kroz soˇcivo (izmedju taˇcaka 𝑃1 i 𝑃2 ) ukazuje na to da su pomenuta stanja takodje povezana matricom 2 × 2. Ova matrica se naziva matrica prelaza i oznaˇcava se sa 𝑇21 . Za soˇcivo debljine Δ ona je data sa

⎛ 𝑇21 = ⎝

⎞ 1 Δ 0 1

⎠.

(8.23a)

Uoˇcimo da je det𝑇21 = 1.

(8.23b)

Uvode´ci matrice refleksije 𝑅1 i 𝑅2 , pomo´cu jednaˇcina (8.20a) i matricu prelaska 𝑇21 pomo´cu jednaˇcine (8.23a), relacije (8.19a,b,c) mogu da se napiˇsu u slede´cem obliku ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ 𝑦2′′ 𝑦2 𝑦1′′ 𝑦2′′ 𝑦1 𝑦1′′ ⎠ ⎠ = 𝑅2 ⎝ ⎠,⎝ ⎠ = 𝑇21 ⎝ ⎠,⎝ ⎠ = 𝑅1 ⎝ ⎝ (8.24) ′′ ′′ ′′ ′′ 𝛼1 𝛼2 𝛼1 𝛼1 𝛼1 𝛼1 96

FIG. 56: Usvojena konvencija pri pisanju matrice refleksije

Kombinovanjem poslednjih ⎛relacija ⎞ moˇze se na´ci ukupna ⎛ ⎞matrica optiˇckog sistema 𝑆21 koja 𝑦1 𝑦 ⎠ i finalno stanje ⎝ 2 ⎠: povezuje inicijalno stanje ⎝ 𝛼1 𝛼2 ⎛ ⎝

⎞ 𝑦2 𝛼2

⎛

⎠ = 𝑆21 ⎝

⎞ 𝑦1 𝛼1

⎠.

(8.25a)

Oˇcigledno, na osnovu (8.24), ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ ′′ 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 ⎝ 2 ⎠ = 𝑅2 ⎝ 2 ⎠ = 𝑅2 𝑇21 ⎝ 1 ⎠ = 𝑅2 𝑇21 𝑅1 ⎝ 1 ⎠ . 𝛼2 𝛼1′′ 𝛼1′′ 𝛼1

(8.25b)

Poredjenjem izraza (8.25a) i (8.25b), za matricu optiˇckog sistema u sluˇcaju soˇciva u paraksijalnoj aproksimaciji, imamo 𝑆21 = 𝑅2 𝑇21 𝑅1 .

(8.26a)

Eksplicitni oblik matrice 𝑆21 nalazimo zamenom eksplicitnih izraza za matrice 𝑅1 , 𝑅2 i 𝑇21 , u jednaˇcinu (8.26a). Nalazimo ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ 1 0 1 Δ 1 0 ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠, 𝑆21 = ⎝ 𝑘2 𝑛2 𝑘1 𝑛 1 − 𝑛1 𝑛1 0 1 − 𝑛2 𝑛2 odnosno

⎛ 𝑆21 = ⎝

⎞⎛ 1

0

− 𝑛𝑘21

𝑛2 𝑛1

⎠⎝

⎞ (1 −

𝑘1 Δ) 𝑛𝑛12 Δ 𝑛2

− 𝑛𝑘12 97

(8.27a)

𝑛1 𝑛2

⎠,

(8.27b)

tj.

⎛ 𝑆21 = ⎝

⎞ 1− (− 𝑛𝑘21 (1

−

𝑘1 Δ 𝑛2 𝑘1 Δ) 𝑛2

𝑛1 Δ 𝑛2

−

𝑘1 ) 𝑛1

− 𝑛𝑘22 Δ

+1

⎛

⎠≡⎝

⎞ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

⎠,

(8.27c)

Dobijena matrica sistema zavisi od indeksa prelamanja soˇciva (𝑛2 ), indeksa prelamanja sredine u kojoj je smeˇsteno soˇcivo (𝑛1 ), kao i od geometrijskih karakteristika soˇciva (algebarskih vrednosti polupreˇcnika krivina 𝑟1 i 𝑟2 i debljine soˇciva Δ). Primetimo da konkretan oblik dat jednaˇcinom (8.27c) odgovara proizvoljnom tipu soˇciva, pod uslovom da se parametri 𝑘1 i 𝑘2 odrede na osnovu opˇste formule (8.21). Elementi matrice 𝑆21 mogu se radi pogodnosti oznaˇciti sa 𝑎, 𝑏, 𝑐 i 𝑑, kao u izrazu (8.27c). Za determinantu matrice 𝑆21 nalazimo: det𝑆21 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = det(𝑅2 𝑇21 𝑅1 ) = det𝑅2 ⋅ det𝑇21 ⋅ det𝑅1 . Kako su determinante matrica prelaza date jednaˇcinama (8.22) i (8.23): det𝑇21 = 1, det𝑅1 = 𝑛1 /𝑛2 , det𝑅2 = 𝑛2 /𝑛1 , nalazimo det𝑆21 = 1.

(8.28)

Matrica 𝑆21 odredjuje ponaˇsanje zraka od taˇcke 𝑃1 do taˇcke 𝑃2 . Ona se moˇze dopuniti i odgovaraju´cim matricama prelaza od taˇcke predmeta 𝑃 do taˇcke 𝑃1 i od taˇcke 𝑃2 do taˇcke 𝑃 ′ u kojoj se formira lik. Matrica prelaska iz taˇcke 𝑃𝑖 do taˇcke 𝑃𝑗 nalazimo po analogiji sa jednaˇcinom (8.23) za 𝑇21 :

⎛ 𝑇𝑗𝑖 = ⎝

⎞ 1 𝑑 0 1

⎠,

(8.29)

gde je 𝑑 rastojanje duˇz ose sistema izmedju posmatranih taˇcaka 𝑃𝑖 i 𝑃𝑗 . Oˇcigledno, det𝑇𝑗𝑖 = 1.

(8.30)

U svim dosadaˇsnjim razmatranjima nismo pratili refleksiju na sfernim povrˇsinama 1 i 2. U principu, reflektovani zraci se mogu posmatrati posebno. Metoda izuˇcavanja ovih zraka u paraksijalnoj aproksimaciji svodi se na definisanje matrice refleksije, na naˇcin analogan konstrukciji matrice prelamanja. Na dalje, mi se ovim problemom ne bavimo.

8.3. Odredjivanje kardinalnih elemenata soˇciva

U odeljku 7.2 definisali smo kardinalne elemente centriranog optiˇckog sistema. Oni su predstavljali onaj osnovni skup geometrijskih karakteristika optiˇckog sistema koji je dovoljan za reˇsavanje osnovnog problema geometrijske optike kako da se na osnovu poznavanja 98

FIG. 57: Formiranje lika kod soˇciva

poloˇzaja predmeta odredi poloˇzaj lika. Poznavanje matrice sistema, pod uslovom da su ispunjeni uslovi za vaˇzenje paraksijalne aproksimacije, omogu´cava da se odrede ovi elementi u zavisnosti od polupreˇcnika krivina 𝑟1 i 𝑟2 , debljine soˇciva Δ i indeksa prelamanja 𝑛1 i 𝑛2 . ′ Radi konkretnosi mi ´cemo se ograniˇciti na soˇcivo i na´ci´cemo veliˇcine 𝑙𝐻 , 𝑙𝐻 , 𝑓 i 𝑓 ′ , vidi Fig.

57. Na osnovu ovih veliˇcina bi´ce potvrdjena formula (7.3a). Formiranje lika kod soˇciva sledi osnovne zakonitosti formiranja lika kod opˇsteg centriranog optiˇckog sistema, formulisane u odeljku 7.3. Odgovaraju´ci geometrijski metod odredjivanja lika pomo´cu dva karakteristiˇcna zraka 1 i 2 prikazan je na Fig. 57. Uporedo sa ova dva zraka, koji polaze iz taˇcke 𝑃 i presecaju se u taˇcki 𝑃 ′ , na Fig. 57 prikazan je i proizvoljan zrak (isprekidana ovih dveju taˇcaka. Inicijalno i finalno stanje ovog zraka ⎞ linija) ⎛ izmedju ⎞ ⎛ 𝑦′ 𝑦 ⎠i⎝ ⎠, respektivno. Ova stanja su povezana relacijom dati su sa ⎝ 𝛼1 𝛼2 ⎝

𝑦

′

𝛼2

⎞

⎛

⎞

⎛

⎠ = 𝑇𝑃 ′ 𝑃2 𝑆21 𝑇𝑃1 𝑃 ⎝

𝑦 𝛼1

⎠,

(8.31)

pri ˇcemu je 𝑇𝑃1 𝑃 matrica prelaza izmedju taˇcke 𝑃 i taˇcke 𝑃1 u kojoj posmatrani zrak upada na graniˇcnu povrˇs 1; 𝑆21 je matrica sistema izmedju taˇcaka 𝑃1 i 𝑃2 gde je 𝑃2 taˇcka u kojoj zrak napuˇsta drugu povrˇs. Konaˇcno, 𝑇𝑃 ′ 𝑃2 je matrica prelaza izmedju taˇcaka 𝑃2 i 𝑃 ′ .

99

Ukupna matrica prelaza 𝑄 = 𝑇𝑃 ′ 𝑃2 𝑆21 𝑇𝑃1 𝑃 ,

(8.32a)

predstavlja kompoziciju matrica prelaza 𝑇𝑃1 𝑃 i 𝑇𝑃 ′ 𝑃2 i matrice sistema 𝑆21 . Njen eksciplicitni oblik je

⎛ 𝑄=⎝

⎞ 1 𝑑2

⎛

⎠ 𝑆21 ⎝

0 1

⎞ 1 𝑑1 0 1

⎠,

(8.32b)

gde su 𝑑2 ≈ 𝐴2 𝑂′ i 𝑑1 ≈ 𝐴1 𝑂. Ako uvedemo algebarske veliˇcine 𝑙 i 𝑙′ (𝑙 < 0, 𝑙′ > 0 na Fig. 57), bi´ce 𝑑2 = 𝑙′ i 𝑑1 = −𝑙, tako da matrica 𝑄 ima oblik ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ 1 𝑙 1 −𝑙 𝑄 𝑄 ⎠ 𝑆21 ⎝ ⎠ = ⎝ 11 12 ⎠ , 𝑄=⎝ 0 1 0 1 𝑄21 𝑄22

(8.33)

pri ˇcemu je matrica 𝑆21 u eksciplicitnom obliku data jednaˇcinom (8.27b). Veza inicijalnog i finalnog stanja, prikazana jednaˇcinom (8.31), sada moˇze da se napiˇse u obliku ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ′ 𝑦 𝑄 𝑄 𝑦 ⎝ ⎠ = ⎝ 11 12 ⎠ ⎝ ⎠, 𝛼2 𝑄21 𝑄22 𝛼1

(8.34a)

odakle slede elementi 𝑦 ′ i 𝛼2 : 𝑦 ′ = 𝑄11 𝑦 + 𝑄12 𝛼1

(8.34b)

𝛼2 = 𝑄21 𝑦 + 𝑄22 𝛼1 .

(8.34c)

Matriˇcni elementi 𝑄𝑖𝑗 definisani su jednaˇcinom (7.33): ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ′ 𝑄 𝑄 1 𝑙 𝑎 𝑏 1 −𝑙 ⎝ 11 12 ⎠ = ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠, 𝑄21 𝑄22 0 1 𝑐 𝑑 0 1 odakle je

⎛ ⎝

⎞ 𝑄11 𝑄12 𝑄21 𝑄22

odnosno

⎞

⎛ ⎝

𝑄11 𝑄12 𝑄21 𝑄22

⎛

⎠=⎝

⎞⎛ 1 𝑙

′

⎠⎝

0 1

⎞ 𝑎 −𝑎𝑙 + 𝑏 𝑐 −𝑐𝑙 + 𝑑

⎠,

⎛

⎠=⎝

(8.35a)

(8.35b) ⎞

′

′

𝑎 + 𝑐𝑙 −𝑎𝑙 + 𝑏 − 𝑐𝑙𝑙 + 𝑑𝑙 𝑐

−𝑐𝑙 + 𝑑

′

⎠.

(8.35c)

Dakle, 𝑄11 = 𝑎 + 𝑐𝑙′

(8.36a)

𝑄12 = −𝑎𝑙 + 𝑏 − 𝑐𝑙𝑙′ + 𝑑𝑙′

(8.36b)

100

𝑄21 = 𝑐

(8.36c)

𝑄22 = −𝑐𝑙 + 𝑑.

(8.36d)

Kako je na osnovu jednaˇcina (8.28) i (8.30), det𝑆21 = 1, , 𝑑𝑒𝑡𝑇𝑃 ′ 𝑃2 = 1 i det𝑇𝑃1 𝑃 = 1 i kako je det𝑄 = det𝑇𝑃 ′ 𝑃2 ⋅ det𝑆21 ⋅ det𝑇𝑃1 𝑃 , bi´ce det𝑄 = 1.

(8.37)

Jednaˇcina (8.37) daje prvi uslov koji moraju da zadovoljavaju matriˇcni elementi 𝑄𝑖𝑗 . Drugi uslov potiˇce iz zahteva da linearno uve´canje, definisano jednaˇcina (7.2): 𝛽 = 𝑦 ′ /𝑦, mora biti nezavisno od ugla skretanja 𝛼1 . Linearno uve´canje izraˇcunato na osnovu jednaˇcine (8.34b) ima oblik 𝛼1 𝑄12 . (8.38a) 𝑦 Dakle, uslov formiranja lika kod soˇciva, koji se svodi na zahtev da 𝛽 bude nezavisno od 𝛼1 , 𝛽 = 𝑄11 +

glasi 𝑄12 = 0.

(8.38b)

Zamena ovog uslova u (8.38a) omogu´cava da se matriˇcni element 𝑄11 izrazi direktno preko linearnog uve´canja: 𝑄11 = 𝛽.

⎛

Matriˇcni element 𝑄22 sledi iz uslova (8.37): det𝑄 = det ⎝

⎞ 𝑄11 𝑄12 𝑄21 𝑄22

(8.38c)

⎠ = 𝑄11 𝑄22 − 𝑄12 𝑄21 =

1. Kako je 𝑄12 = 0, a 𝑄11 = 𝛽, poslednji uslov daje 𝑄22 =

1 . 𝛽

(8.38d)

ˇ Cetvrti matriˇcni element 𝑄21 ve´c je odredjen jednaˇcinom (8.36c): 𝑄21 = 𝑐. Konaˇcno, za ukupnu matricu prelaza 𝑄 imamo ⎛ ⎞ 𝛽 0 ⎠. 𝑄=⎝ 𝑐 𝛽1

(8.38e)

(8.39)

S druge strane, uslovi (8.38b), (8.38c) i (8.38d), kombinovani sa jednaˇcinama (8.36a-d), daju slede´ce veze elemenata 𝑎, 𝑏, 𝑐 i 𝑑: −𝑎𝑙 + 𝑏 − 𝑐𝑙𝑙′ + 𝑑𝑙′ = 0 101

(8.40a)

FIG. 58: Odredjivanje glavnih ravni soˇciva

𝑎 + 𝑐𝑙′ = 𝛽 −𝑐𝑙 + 𝑑 =

(8.40b)

1 . 𝛽

(8.40c)

Predjimo sada na odredjivanje kardinalnih elemenata soˇciva. Na osnovu definicije glavnih ravni imamo da su to ravni koje se preslikavaju jedna u drugu sa linearnim uve´canjem 𝛽 = 1. Drugim reˇcima, predmet postavljen u prednju glavnu ravan (𝑙 = −𝑙𝐻 ) ima lik u zadnjoj ′ glavnoj ravni (−𝑙′ = 𝑙𝐻 ) pri ˇcemu je 𝑦 ′ = 𝑦, odnosno linearno uve´canje 𝛽 = 1, vidi Fig.

58(a). Zamenom ovih uslova u jednaˇcine (8.40b,c) nalazimo ′ 𝑎 − 𝑐𝑙𝐻 = 1,

(8.41a)

𝑐𝑙𝐻 + 𝑑 = 1,

(8.41b)

odakle slede poloˇzaji glavnih ravni 𝐻 i 𝐻 ′ : 𝑙𝐻 =

1−𝑑 , 𝑐

′ 𝑙𝐻 =

𝑎−1 . 𝑐

(8.42)

Primetimo da veliˇcine 𝑎, 𝑐 i 𝑑, definisane jednaˇcinom (8.27c), zavise od geometrije soˇciva (polupreˇcnika krivina 𝑟1 , 𝑟2 i debljine Δ), kao i optiˇcke sredine (𝑛1 , 𝑛2 ). Tipiˇcni rasporedi glavnih ravni dati su na Fig. 58(b). 102

FIG. 59: Odredjivanje poloˇzaja prednje ˇziˇze

Prednja i zadnja ˇziˇza nalaze se na analogan naˇcin. Naime, predmet postavljen u prednjoj ˇziˇzi (Fig. 59), kada −𝑙 → −𝑙𝐹 ima izvrnuti lik ˇcija duˇzina −𝑦 ′ → ∞, tako da je linearno uve´canje 𝛽 → −∞. Zamenom uslova 𝑙 = 𝑙𝐹 i 𝛽 = −∞ u jednaˇcinu (8.40c), nalazimo −𝑐𝑙𝐹 + 𝑑 = 0,

(8.43a)

𝑑 𝑙𝐹 = . 𝑐

(8.43b)

odakle je

Kako je −𝑓 = −𝑙𝐹 − 𝑙𝐻 , Fig. 59, za prednje ˇziˇzno rastojanje 𝑓 nalazimo 𝑓 = 𝑙𝐹 + 𝑙𝐻 gde je veliˇcina 𝑙𝐹 odredjena jednaˇcinom (8.43b), aveliˇcina 𝑙𝐻 jednaˇcinom (8.42). Dakle, 𝑓=

𝑑 𝑐

+

1−𝑑 , 𝑐

tj. 1 𝑓= . 𝑐

(8.44)

Zadnja ˇziˇza se nalazi postavljanjem predmeta u beskonaˇcnost (−𝑙 → ∞) kada se lik nulte duˇzine (−𝑦 ′ → 0) formira u zadnjoj ˇziˇzi (𝑙′ = 𝑙𝐹′ ), vidi Fig. 60. Linearno uve´canje 𝛽 → 0, tako da jednaˇcina (8.40b) daje 𝑎 + 𝑐𝑙𝐹′ = 0,

(8.45a)

𝑎 𝑙𝐹′ = − . 𝑐

(8.45b)

odakle je

103

FIG. 60: Odredjivanje poloˇzaja zadnje ˇziˇze ′ Kako je 𝑓 ′ = 𝑙𝐹′ + 𝑙𝐻 , za zadnje ˇziˇzno rastojanje 𝑓 ′ nalazimo 𝑓 ′ = − 𝑎𝑐 +

𝑎−1 , 𝑐

1 𝑓′ = − . 𝑐

tj. (8.46a)

Poredjenjem jednaˇcina (8.44) i (8.46a) dolazimo do zakljuˇcka da za ˇziˇzna rastojanja 𝑓 i 𝑓 ′ za soˇcivo (kod koga je ista optiˇcka sredina ispred i iza soˇciva) u paraksijalnoj aproksimaciji vaˇzi relacija 𝑓 ′ = −𝑓.

(8.46b)

Ovim je izvedena relacija (7.3b). Konkretni izrazi za ˇziˇzne daljine 𝑓 i 𝑓 ′ dobijamo zamenom izraza za 𝑐 u jednaˇcinu (8.44), tj. (8.46a). Kako je veliˇcina 𝑐 odredjena jednaˇcinom (8.27c), nalazimo ( ) 1 1 𝑘2 𝑘1 𝑘1 = − = −𝑐 = 1− Δ + , ′ 𝑓 𝑓 𝑛1 𝑛2 𝑛1

(8.47a)

gde su (na osnovu opˇste formule (8.21)) 𝑘1 =

𝑛1 − 𝑛2 𝑛2 − 𝑛1 , 𝑘2 = . 𝑟1 𝑟2

(8.47b)

Radi jednostavnosti, pretpostavi´cemo da se soˇcivo indeksa prelamanja 𝑛 nalazi u vazduhu (𝑛1 = 1, 𝑛2 = 𝑛). Tada izraz (8.47a) dobija oblik − 𝑓1 =

1−𝑛 (1 𝑟2

−

Δ (𝑛−1) ) 𝑛 𝑟1

+

𝑛−1 𝑟1

1 𝑓′

= − 𝑓1 = 𝑘2 (1 −

𝑘1 Δ) 𝑛

+ 𝑘1 , tj.

1 𝑓′

=

odnosno,

1 1 = − = (𝑛 − 1) 𝑓′ 𝑓

(

1 1 − 𝑟1 𝑟2

104

) +

(𝑛 − 1)2 Δ . 𝑛𝑟1 𝑟2

(8.48)

FIG. 61: Tanko soˇcivo

Primetimo da se efikasnost metoda odredjivanja kardinalnih elemenata matriˇcnom metodom uoˇcava tek ako sa prostog sistema (kao ˇsto je soˇcivo) predjemo na sloˇzene optiˇcke sisteme (npr. sisteme soˇciva) i uoˇcimo da se uopˇstavanjem zakona kompozicije (8.32a) moˇze na´ci ukupna matrica prelaza ovakvih sistema, a iz nje i odgovaraju´ci kardinalni elementi. U ovom sluˇcaju dobijaju se algebarske jednaˇcine koje se reˇsavaju numeriˇcki, primenom kompjutera.

8.4. Tanko soˇcivo

Po definiciji, tanko soˇcivo je ono za koje se drugi ˇclan na desnoj strani izraza (8.48) moˇze smatrati znatno manjim od prvog ˇclana. Kako je indeks prelamanja 𝑛 reda veliˇcine jedinice, zakljuˇcujemo da debljina Δ tankog soˇciva mora biti mnogo manja od oba radijusa krivine ∣𝑟1 ∣ i ∣𝑟2 ∣ graniˇcnih povrˇsi soˇciva: Δ 0 a na Fig. 66(b) sluˇcaj 𝑙 < 0. Karakter rezultuju´ceg sistema direktno sledi iz rasporeda kardinalnih elemenata dubleta. Naime, u prvom sluˇcaju imamo 𝑓=

𝑓1 𝑓2 > 0, 𝑙

𝑓 ′ < 0,

(8.65a)

′ tako da je 𝑙𝐻 > 0 a 𝑙𝐻 < 0 (vidi Fig. 66(a)), tako da je rezultuju´ce soˇcivo rasipno. S druge

strane, pri 𝑙 < 0, Fig. 66(b), bi´ce 𝑓 =

𝑓1 𝑓2 𝑙

′ < 0 i 𝑓 ′ > 0, dok je 𝑙𝐻 < 0 i 𝑙𝐻 > 0, tako da je

sistem sabirno soˇcivo. 112

III.

TALASNA OPTIKA

§9 Elektromagnetni talasi na granici dve optiˇ cke sredine 9.1. Refleksija i prelamanje ravanskog talasa na granici dve optiˇcke sredine

U okviru geometrijske optike formulisali smo neke od osnovnih zakona optike. Medju njima je i zakon refleksije i prelamanja (odeljak 6.4). Medjutim, postoji ˇcitava klasa optiˇckih pojava koje se uopˇste ne mogu objasniti u okviru geometrijske optike. Suˇstina svih ovih pojava je u kompletnoj elektromagnetnoj talasnoj prirodi svetlosti. Oblast optike koja se bavi ovim pojavama naziva se talasna optika. Na granici dve optiˇcke sredine dolazi do promene pravca prostiranja talasa (refleksija i prelamanje), pri ˇcemu se menja i amplituda i faza talasa. Prvu pojavu mogu´ce je analizirati samo na osnovu pojma zraka i Fermaovog principa, bez ulaˇzenja u detalje o prirodi svetlosti. U ovom odeljku bi´ce pokazano kako se ovi zakoni dobijaju u okviru talasne optike, dok ´ce u narednim odeljcima biti razmatrane promene amplituda i faza elektromagnetnih talasa. Pretpostavimo da ravanski monohromatski talas pada na graniˇcnu ravan dva homogena i izotropna dielektrika. Neka je relativna dielektriˇcna propustljivost sredine kroz koju se prostire upadni talas 𝜀𝑟1 , a druge sredine 𝜀𝑟2 . Relativne magnetne propustljivosti neka su √ 𝜇𝑟1 = 𝜇𝑟2 = 1. U tom sluˇcaju indeksi prelamanja prve, odnosno druge sredine su 𝑛1 = 𝜀𝑟1 √ i 𝑛2 = 𝜀𝑟2 , respektivno. Eksperimenti pokazuju da ´ce se u drugoj sredini pojaviti ravanski prelomljeni talas, a u prvoj sredini pored upadnog talasa i reflektovan (odbijen) ravanski talas. Svaki od ovih talasa karakteriˇse se svojim talasnim vektorom: ⃗𝑘 za upadni talas, ⃗𝑘 ′ za reflektovan talas i ⃗𝑘 ′′ za prelomljeni talas. Talasni vektor upadnog talasa ⃗𝑘 i normala ⃗𝑛 na graniˇcnu povrˇsinu odredjuju ravan koja se naziva upadna ravan (Fig. 67(a)). Iz razloga simetrije sledi da vektor ⃗𝑘 ′ reflektovanog talasa mora da leˇzi u istoj ravni (koja je u ravni crteˇza na Fig. 67(b)). Naime, ako pretpostavimo da vektor ⃗𝑘 ′ ne leˇzi u upadnoj ravni nego da sa njom zaklapa neki ugao, onda bi potpuno ravnopravno mogao da zaklapa isti ugao ali sa druge strane upadne ravni. Kako ⃗𝑘 ′ mora biti jednoznaˇcan, preostaje da mora da pripada upadnoj ravni. Isti je sluˇcaj i sa talasnim vektorom ⃗𝑘 ′′ prelomljenog talasa. Dakle, talasni vektori ⃗𝑘, ⃗𝑘 ′ i ⃗𝑘 ′′ svi leˇze u istoj (upadnoj) ravni. Veza izmedju ovih vektora (koja daje zakone refleksije i prelamanja u okviru talasne optike) sledi iz graniˇcnih uslova za normalnu i tangencijalnu 113

FIG. 67: (a) Upadna i graniˇcna ravan i (b) talasni vektori ⃗𝑘, ⃗𝑘 ′ i ⃗𝑘 ′′ na granici dve optiˇcke sredine

⃗ (svetlosni vektor) na granici dva dielektrika. komponentu jaˇcine elektriˇcnog polja 𝐸 ⃗ i𝐵 ⃗ povezani su Maxwell-ovim Za vremenski zavisno elektromagnetno polje, vektori 𝐸 ⃗ jednaˇcinama (1.2a), (1.2b) i (1.4a), (1.4b). Ponaˇsanje tangencijalne komponente vektora 𝐸 na granici dva dielektrika sledi iz jednaˇcine (1.1a): ⃗ =− rot𝐸

⃗ ∂𝐵 , ∂𝑡

(9.1a)

koja u integralnom obliku glasi ∮

∫ ⃗ =− ⃗ ⋅ 𝑑𝑙 𝐸 𝐶

𝑆

⃗ ∂𝐵 ⃗ ⋅ 𝑑𝑆. ∂𝑡

(9.1b)

⃗ duˇz proizvoljne konture 𝐶 jednaka je −𝑑Φ𝑚 /𝑑𝑡, gde je Φ𝑚 Dakle, cirkulacija vektora 𝐸 magnetni fluks kroz povrˇsinu 𝑆 naleglu na konturu 𝐶. Primenivˇsi jednaˇcinu (9.1b) na konturu 𝐶 sa Fig. 68, pri 𝑏 → 0, jednaˇcina (8.1b) se svodi na ∫ ∮ ⃗ ∂𝐵 ⃗ ⃗ ⃗ 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 = (𝐸1𝑦 − 𝐸2𝑦 )𝑎 = − ⋅ 𝑑𝑆. ∂𝑡 𝐶 𝑆

(9.2)

Kako se pri 𝑏 → 0 anulira desna strana jednaˇcine (9.2) (jer 𝑆 = 𝑎𝑏 → 0), nalazimo graniˇcni uslov 𝐸1𝑦 = 𝐸2𝑦 . 114

(9.3)

⃗ FIG. 68: Cirkulacija vektora 𝐸

Primetimo da uslov (9.3) vaˇzi duˇz proizvoljne 𝑦-ose koja leˇzi u graniˇcnoj ravni. Dalju analizu refleksije i prelamanja izvrˇsi´cemo u formalizmu kompleksnih svetlosnih vektora definisanih jednaˇcinom (1.32a). Kompleksni talasni vektor upadnog talasa (nulte poˇcetne faze 𝛼) je ⃗ˇ = 𝐸 ⃗ 𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑟)]. 𝐸

(9.4a)

Analogno, kompleksni svetlosni vektori reflektovanog i prelomljenog talasa imaju oblik ⃗ˇ ′ = 𝐸 ⃗ ′ exp[−𝑖(𝜔 ′ 𝑡 − ⃗𝑘 ′ ⋅ ⃗𝑟 + 𝛼′ )], 𝐸 𝑚

(9.4b)

′′ ⃗ˇ ′′ = 𝐸 ⃗𝑚 𝐸 exp[−𝑖(𝜔 ′′ 𝑡 − ⃗𝑘 ′′ ⋅ ⃗𝑟 + 𝛼′′ )].

(9.4c)

Kako svi talasni vektori ⃗𝑘𝑖 = ⃗𝑘, ⃗𝑘 ′ , ⃗𝑘 ′′ leˇze u talasnoj ravni 𝑥𝑂𝑦, bi´ce ⃗𝑘𝑖 ⋅ ⃗𝑟 = 𝑘𝑖𝑥 𝑥 + 𝑘𝑖𝑦 𝑦.

(9.5)

Rezultuju´ca jaˇcina polja u prvoj optiˇckoj sredini je ⃗ˇ1 = 𝐸 ⃗ˇ + 𝐸 ⃗ˇ ′ , 𝐸

(9.6a)

tj. ′ ⃗ˇ1 = 𝐸 ⃗ 𝑚 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 𝑥 − 𝑘𝑦 𝑦)] + 𝐸 ⃗𝑚 exp[−𝑖(𝜔 ′ 𝑡 − 𝑘𝑥′ 𝑥 − 𝑘𝑦′ 𝑦 + 𝛼′ )], 𝐸

(9.6b)

a u drugoj sredini, jaˇcina polja je data sa ⃗ˇ2 = 𝐸 ⃗ˇ ′′ , 𝐸

(9.7a)

′′ ⃗ˇ2 = 𝐸 ⃗𝑚 𝐸 exp[−𝑖(𝜔 ′′ 𝑡 − 𝑘𝑥′′ 𝑥 − 𝑘𝑦′′ 𝑦 + 𝛼′′ )].

(9.7b)

tj.

115

⃗1 i 𝐸 ⃗ 2 na granici dve optiˇcke sredine Graniˇcni uslov (9.3) tvrdi da 𝑦-komponente vektora 𝐸 (tj. pri 𝑥 = 0) moraju biti jednake. Isto vaˇzi i u kompleksnom domenu. Dakle, ′ ′′ 𝐸𝑚𝑦 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑦 𝑦)] + 𝐸𝑚𝑦 exp[−𝑖(𝜔 ′ 𝑡 − 𝑘𝑦′ 𝑦 + 𝛼′ )] = 𝐸𝑚𝑦 exp[−𝑖(𝜔 ′′ 𝑡 − 𝑘𝑦′′ 𝑦 + 𝛼′′ )]. (9.8)

Da bi relacija (9.8) vaˇzila u svakom trenutku 𝑡, mora biti 𝜔 = 𝜔 ′ = 𝜔 ′′

(9.9)

(tada se ˇclanovi ”exp(−𝜔𝑡)” skrate). Dakle, kruˇzna uˇcestanost reflektovanog i prelomljenog talasa jednaka je kru vznoj uˇcestanosti upadnog talasa. Na ovu ˇcinjenicu smo ve´c viˇse puta ukazivali u dosadaˇsnjim razmatranjima. Pod uslovom (9.9), u jednaˇcini (9.8) preostaje 𝑦-zavisnost. Kako graniˇcni uslov mora da bude zadovoljen i za svako 𝑦, to mora da vaˇzi 𝑘𝑦 = 𝑘𝑦′ = 𝑘𝑦′′ ,

(9.10)

tj. 𝑦 komponente talasnih brojeva upadnog, reflektovanog i prelomljenog talasa medjusobno su jednake. Relacija (9.10) daje vezu izmedju upadnog ugla (𝜃), ugla refleksije (𝜃′ ) i ugla prelamanja (𝜃′′ ), vidi Fig. 67(b). Naime, 𝑘𝑦 = 𝑘 sin 𝜃,

𝑘𝑦′ = 𝑘 ′ sin 𝜃′ , 𝑘𝑦′′ = 𝑘 ′′ sin 𝜃′′ ,

(9.11a)

tako da jednaˇcina (9.10) prelazi u 𝑘 sin 𝜃 = 𝑘 ′ sin 𝜃′ = 𝑘 ′′ sin 𝜃′′ .

(9.11b)

Vektori ⃗𝑘 i ⃗𝑘 ′ imaju iste intezitete: 𝑘 = ∣⃗𝑘∣ = 𝜔/𝑣1 , 𝑘 ′ = ∣⃗𝑘 ′ ∣ = 𝜔/𝑣1 , gde je 𝑣1 (fazna) brzina svetlosti u prvoj sredini, dok je 𝑘 ′′ = ∣⃗𝑘 ′′ ∣ = 𝜔/𝑣2 gde je 𝑣2 brzina svetlosti u drugoj sredini. Dakle, 𝜔 𝜔 𝜔 sin 𝜃 = sin 𝜃′ = sin 𝜃′′ . 𝑣1 𝑣1 𝑣2

(9.11c)

Iz jednaˇcine (9.11c) direktno slede zakoni refleksije i prelamanja u obliku 𝜃 = 𝜃′ ,

𝑛2 sin 𝜃 = . ′′ sin 𝜃 𝑛1

(9.12b)

Dakle, dobijaju se isti zakoni kao i u okviru geometrijske optike (jednaˇcine (6.24) i (6.27b)). Zakon prelamanja svetlosti tvrdi da se svetlost pri prelasku iz optiˇcki guˇs´ce sredine u optiˇcki redju sredinu (𝑛1 > 𝑛2 ) otklanja od normale (𝜃′′ > 𝜃), Fig. 69(a). Pove´cavanjem 116

FIG. 69: Refleksija i prelamanje u sluˇcaju 𝑛1 > 𝑛2 ; debljina zraka odgovara energiji

upadnog ugla 𝜃 dolazi do joˇs brˇzeg pove´cavanja ugla 𝜃′′ , tako da pri nekoj vrednosti 𝜃 = 𝜃𝑔𝑟 , ugao 𝜃′′ postaje jednak 𝜋/2, ka na Fig. 69(b). Na osnovu jednaˇcine (9.12b), nalazimo da je sin 𝜃𝑔𝑟 = 𝑛2 /𝑛1 , tj. graniˇcni ugao 𝜃𝑔𝑟 je 𝜃𝑔𝑟 = arcsin

𝑛2 . 𝑛1

(9.13)

Da bismo razmotrili ˇsta se deˇsava sa svetloˇs´cu pri upadnom uglu 𝜃 > 𝜃𝑔𝑟 u posmatranom sluˇcaju 𝑛1 > 𝑛2 , razmotrimo proces prelamanja i refleksije sa energijskog stanoviˇsta. Svaki od talasa (upadni, prelomljeni i reflektovani) prenose odgovaraju´cu energiju (po jedinici vremena). Energija upadnog talasa rasporedjuje se na reflektovanu i energiju koju nosi prelomljeni talas. Pri porastu ugla 𝜃, energija prelomljenog talasa sve brˇze opada, a energija reflektovanog talasa raste, tako da pri 𝜃 ≥ 𝜃𝑔𝑟 energija prelomljenog talasa pada na nulu, kao na Fig. 69(b). Moˇze se pokazati da pri 𝜃 > 𝜃𝑔𝑟 svetlosni talas ipak prodire u drugu sredinu, ali samo do dubine reda rastojanja talasne duˇzine 𝜆, a zatim se vra´ca u prvu sredinu. Ova pojava se naziva totalna unutraˇsnja refleksija.

117

FIG. 70: Normalni upad na granicu dve optiˇcke sredine 9.2. Amplitude i faze ravanskog talasa na granici dve optiˇcke sredine

Nadjimo sada vezu amplituda i faza upadne, reflektovane i prelomljene svetlosti. Radi jednostavnosti ograniˇci´cemo se na sluˇcaj normalnog upada ravanskog monohromatskog talasa na granicu dve optiˇcke sredine (dva homogena, linearna i izotropna dielektrika). Svetlosni talas pada normalno na graniˇcnu ravan prostiru´ci se duˇz 𝑥-ose, pri ˇcemu svet⃗ osciluje duˇz 𝑦-ose (Fig. 70(a)). Na osnovu zakona prelamanja i refleksije, losni vektor 𝐸 prikazanog jednaˇcinom (9.12b), zakljuˇcujemo da ´ce se i reflektovan i prelomljen talas prostirati duˇz 𝑥-ose, kao na Fig. 70(b). Svetlosni vektori reflektovanog i prelomljenog talasa ⃗ = 𝐸𝑦⃗𝑒𝑦 , 𝐸 ⃗ ′ = 𝐸 ′ ⃗𝑒𝑦 , 𝐸 ⃗ ′′ = 𝐸 ′′⃗𝑒𝑦 . Na granici dve sredine vaˇzi oscilova´ce takodje duˇz 𝑦-ose: 𝐸 𝑦

𝑦

jednaˇcina (9.3): 𝐸𝑦 + 𝐸𝑦′ = 𝐸𝑦′′ .

(9.14)

Energija koja u jedinici vremena padne na jedinicu graniˇcne povrˇsine dva dielektrika jednaka je intezitetu 𝑃 Pointingovog vektora upadnog talasa (vidi jednaˇcinu (3.9b)). U sluˇcaju ravanskog monohromatskog talasa koji se brzinom 𝑣𝑓1 = 𝑣1 prostire duˇz 𝑥-ose kroz prvu sredinu (magnetne propustljivosti 𝜇 = 𝜇1 ≈ 𝜇0 ), na osnovu jednaˇcine (3.11b) za Pointingov vektor 𝑃⃗ imamo 1 𝑃⃗ = 𝐸 2⃗𝑒𝑥 . (9.15a) 𝜇0 𝑣 1

118

Kako je 𝐸 2 = 𝐸𝑦2 , za intezitet vektora 𝑃⃗ nalazimo 𝑃 =

1 𝐸𝑦2 . 𝜇0 𝑣1

(9.15b)

Upadna energija se (u jedinici vremena sa jedinice povrˇsine) prerasporedjuje na energiju (𝑃 ′ ) koja se putem reflektovanog talasa emituje sa graniˇcne povrˇsine i energiju 𝑃 ′′ koja se brzinom 𝑣𝑓2 = 𝑣2 prenosi u drugu sredinu (magnetne propustljivosti 𝜇2 ≈ 𝜇0 ). Veliˇcine 𝑃 ′ i 𝑃 ′′ su date sa 𝑃′ =

1 1 𝐸𝑦′2 , 𝑃 ′′ = 𝐸 ′′2 . 𝜇0 𝑣 1 𝜇0 𝑣 2 𝑦

(9.15c)

Zakon odrˇzanja energije daje 𝑃 = 𝑃 ′ + 𝑃 ′′ ,

(9.16a)

1 1 1 𝐸𝑦2 = 𝐸𝑦′2 + 𝐸 ′′2 . 𝜇0 𝑣 1 𝜇0 𝑣 1 𝜇0 𝑣2 𝑦

(8.16b)

odakle nalazimo

Uoˇcivˇsi da je 𝑛1 = 𝑐/𝑣1 i 𝑛2 = 𝑐/𝑣2 , jednaˇcinu (9.16b) moˇzemo da napiˇsemo u obliku 𝑛1 𝐸𝑦2 = 𝑛1 𝐸𝑦′2 + 𝑛2 𝐸𝑦′′2 .

(9.16c)

Poslednja jednaˇcina zajedno sa jednaˇcinom (9.14) predstavlja sistem jednaˇcina pomo´cu koga se komponente 𝐸𝑦′ i 𝐸𝑦′′ mogu izraziti u funkciji 𝐸𝑦 . Zamenom izraza 𝐸𝑦′ = 𝐸𝑦′′ − 𝐸𝑦 u jednaˇcinu (9.16c), nalazimo: 𝑛1 𝐸𝑦2 = 𝑛1 (𝐸𝑦′′ −𝐸𝑦 )2 +𝑛2 𝐸𝑦′′2 , tj. 𝑛1 𝐸𝑦′′2 −2𝑛1 𝐸𝑦 𝐸𝑦′′ +𝑛2 𝐸𝑦′′2 = 0, odakle je 𝐸𝑦′′ =

2𝑛1 𝐸𝑦 . 𝑛1 + 𝑛2

Dalje, zamenom izraza (9.17a) u jednaˇcinu (9.14), nalazimo da je 𝐸𝑦 +𝐸𝑦′ =

(9.17a) 2𝑛1 𝐸 , 𝑛1 +𝑛2 𝑦

odakle

dobijamo 𝐸𝑦′ =

𝑛1 − 𝑛2 𝐸𝑦 . 𝑛1 + 𝑛2

(9.17b)

Na osnovu dobijenih relacija (9.17a,b), koje se nazivaju Frenelove formule, vidimo da se upadni, reflektovani i propuˇsteni talasi u taˇcki 𝑂 ponaˇsaju kao ⃗ = 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡)⃗𝑒𝑦 𝐸 ( ) 𝑛1 − 𝑛2 ′ ⃗ 𝐸 = 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡)⃗𝑒𝑦 𝑛1 + 𝑛2 ⃗ ′′ = 𝐸

2𝑛1 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡)⃗𝑒𝑦 , 𝑛1 + 𝑛2 119

(8.18a) (9.18b) (9.18c)

odakle direktno dobijamo veze amplituda i faza posmatranih talasa. Na osnovu formula ⃗ i𝐸 ⃗ ′′ uvek istog pravca i smera: svetlosni vektori 𝐸 ⃗ (9.18a) i (9.18c) vidimo da su vektori 𝐸 ⃗ ′′ upadnog i propuˇstenog talasa osciluju u fazi. Poredjenjem jednaˇcina (9.18a) i (9.18b), i𝐸 ⃗ i 𝐸 ⃗ ′ isti (𝑦-osa) ali da im smerovi mogu biti isti zakljuˇcujemo da su pravci vektora 𝐸 (𝑛1 > 𝑛2 ) ili suporotni (𝑛1 < 𝑛2 ). Drugim reˇcima, pri refleksiji svetlosti na granici optiˇcki guˇs´ce i optiˇcki redje sredine ne dolazi do promene faze, dok se u sluˇcaju refleksije na granici optiˇcki redje i optiˇcki guˇs´ce sredine faza oscilovanja svetlosnog vektora menja za 𝜋. Isti rezultati vaˇze i za kos upad na granicu dve optiˇcke sredine. Ponaˇsanje svetlosnih vektora u taˇcki 𝑂 tokom vremena prikazano je na Fig. 71(a,b). Da bi se opisao odnos jaˇcina svetlosti u reflektovanom i propuˇstenom talasu u odnosu na jaˇcinu svetlosti u upadnom talasu (u taˇcki 𝑂 uvode se dve bezdimenzione fiziˇcke veliˇcine: koeficijent refleksije 𝜌𝐼 i koeficijent transmisije 𝜏𝐼 . Koeficijent refleksije se definiˇse kao koliˇcnik jaˇcine reflektovane svetlosti 𝐼 ′ i upadne svetlosti 𝐼, a koeficijent transmisije kao koliˇcnik jaˇcine propuˇstene svetlosti 𝐼 ′′ i upadne svetlosti 𝐼: 𝐼′ 𝜌𝐼 = , 𝐼

𝐼 ′′ 𝜏𝐼 = . 𝐼

(9.19a)

Jaˇcina svetlosti ravanskog monohromatskog talasa, jednaˇcina (3.26a) proporcionalna je sa )2 )2 ( ( 2𝑛1 2 2 2 2 ′′ 22 𝑛𝐸𝑚 𝐸𝑚 . Prema tome imamo: 𝐼 ∼ 𝑛1 𝐸𝑚 𝐸 , 𝐼 ∼ 𝑛 , tako da , 𝐼 ′ ∼ 𝑛1 𝑛𝑛11 −𝑛 2 𝑛1 +𝑛2 𝑚 +𝑛2 je

( 𝜌𝐼 =

𝑛1 − 𝑛2 𝑛1 + 𝑛2

)2

𝑛2 , 𝜏𝐼 = 𝑛1

(

2𝑛1 𝑛1 + 𝑛2

)2 .

(9.19b)

Pri 𝑛1 = 𝑛2 , kao ˇsto se oˇcekuje, 𝜌𝐼 = 0 i 𝜏𝐼 = 1. Drugi graniˇcni sluˇcaj nastaje pri refleksiji svertlosti na ogledalu, kada 𝑛2 → ∞. Tada 𝜌𝐼 → 1 i 𝜏𝐼 → 0. Kako je u ovom sluˇcaju 𝑛2 > 𝑛1 , pri refleksiji na ogledalu faza talasa se menja za 𝜋. Primetimo na kraju da formule izvedene u ovom odeljku (koje se odnose na normalni upad) mogu da se primene i pri malom upadnom uglu. Ukoliko je upadni ugao ve´ci, ⃗ ∥ = 𝐸𝑦⃗𝑒𝑦 ) postoji i kompored komponente elektriˇcnog polja koja leˇzi u upadnoj ravni (𝐸 ⃗ ⊥ = 𝐸𝑧⃗𝑒𝑧 ). Obe ove komponente trpe odgovaraju´ce ponenta normalna na ovu ravan (𝐸 promene na granici dva dielektrika. Ponaˇsanje ovih komponenti dato je odgovaraju´cim opˇstim Frenelovim formulama. Do ovih formula se moˇze do´ci ako se uoˇci da je ukupna ⃗ =𝐸 ⃗∥ + 𝐸 ⃗ ⊥ , kao i da je jaˇcina magnetnog polja 𝐻 ⃗ ⊥𝐸 ⃗ pri ˇcemu je 𝐻 ∼ 𝐸. jaˇcina polja 𝐸 Navedimo ovde samo jednu interesantnu posledicu opˇstih Frenelovih formula. Naime, kada svetlost pada pod specifiˇcnim uglom 𝜃 = 𝜃𝐵 na granicu optiˇcki guˇs´ce i optiˇcki redje 120

FIG. 71: Ponaˇsanje veliˇcina 𝐸𝑦 , 𝐸𝑦′ i 𝐸𝑦′′ tokom vremena u taˇcki O graniˇcne povrˇsine dve optiˇcke sredine za (a) 𝑛1 > 𝑛2 i (b) 𝑛1 < 𝑛2 .

⃗′ = 𝐸 ⃗ ′ ) dok je pravac sredine (Fig. 72) reflektovani talas ima samo normalnu komponentu (𝐸 ⊥ prelomljenog talasa pod pravim uglom u odnosu na pravac reflektovanog talasa. Opisani efekat se naziva Brusterov efekat. On je posluˇzio kao dokaz ”transferzalnog” karaktera

121

FIG. 72: Kos upad na granici dve optiˇcke sredine; Brusterov ugao 𝜃𝛽

elektromagnetnih talasa. Primetimo na kraju, da se pri refleksiji svetlosti u realnim eksperimentalnim uslovima ⃗′ = 𝐸 ⃗ ′ ve´c se pri upadu pod Brusterovim uglom nikada ne realizuje u potpunosti relacija 𝐸 ⊥

⃗ ′ koja je na specifiˇcan naˇcin povezana sa 𝐸 ⃗′ . javlja i komponenta 𝐸 ⊥ ∥

§10 Polarizacija svetlosti 10.1. Osnovni tipovi polarizacije svetlosti

Elektromagnetni talas predstavlja specifiˇcno vremenski zavisno elektromagnetno polje. ⃗ 𝑟, 𝑡) i 𝐵(⃗ ⃗ 𝑟, 𝑡). Cinjenica ˇ Svakoj taˇcki prostora pridruˇzuje se par vektora 𝐸(⃗ da se radi o vektorskim veliˇcinama povlaˇci za sobom potrebu da se razmatra stepen uredjenosti pravaca ovih vektora u prostoru i vremenu. U sluˇcaju da postoji ovakva uredjenost za talas se kaˇze da je polarizovan. Razmotrimo prvo neke osnovne tipove polarizacije svetlosti. Za svetlosni talas kaˇzemo da je linearno polarizovan ako je u odgovarajuˇcem polju pravac ⃗ (odnosno 𝐵) ⃗ u svim taˇckama prostora isti i ne menja se sa vremenom. Kao vektora 𝐸 ⃗ i 𝐵 ⃗ dati jednaˇcinama primer navedimo ravanski elektromagnetni talas ˇciji su vektori 𝐸

122

FIG. 73: (a) Linearno i (b) eliptiˇcki polarizovan talas

⃗ kod ovog talasa u datoj taˇcki prostora (1.29a,b), prikazan na Fig. 73(a). Vrh vektora 𝐸 ⃗ opisuje tokom vremena opisuje pravu liniju (paralelnu 𝑦-osi). Analogno, vrh vektora 𝐵 pravu liniju paralelnu 𝑧-osi. Napomenimo da je refleksija pod Brusterovim uglom naˇcin ⃗′ = 𝐸 ⃗ ′ ). dobijanja linearno polarizovane svetlosti (𝐸 ⊥

⃗ u datoj taˇcki prostora tokom vremena opisuje elipsu za talas se Ukoliko vrh vektora 𝐸 kaˇze da je eliptiˇcki polarizovan, a u specijalnom sluˇcaju kada elipsa predje u krug, talas je ⃗ tokom kruˇzno (cirkularno) polarizovan. Na Fig. 73(b) prikazano je ponaˇsanje vektora 𝐸 vremena za eliptiˇcki polarizovan talas. U principu svaki eliptiˇcki polarizovan talas moˇze se dobiti superpozicijom dva linearno polarizovana monohromatska talasa istih uˇcestanosti koji se prostiru u istom pravcu (𝑥-osa), pri ˇcemu su pravci njihovih polarizacija uzajamno ortogonalni. Neka je prvi talas polarizovan duˇz 𝑦-ose, a drugi duˇz 𝑧-ose: ⃗ 1 = 𝐸10 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)⃗𝑒𝑦 𝐸

(10.1a)

⃗ 2 = 𝐸20 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛿)⃗𝑒𝑧 , 𝐸

(10.1b)

gde je sa 𝛿 oznaˇcena fazna razlika ova dva talasa. Rezultuju´ca jaˇcina polja ⃗ =𝐸 ⃗1 + 𝐸 ⃗ 2, 𝐸

(10.2)

predstavlja eliptiˇcki polarizovan talas. Da bismo to pokazali ispitajmo ponaˇsanje vektora ⃗ u 𝑦𝑂𝑧-ravni tokom vremena. U tom cilju nadjimo 𝑦 i 𝑧 projekcije ukupnog vektora 𝐸. ⃗ 𝐸 123

Imamo 𝐸𝑦 = 𝐸1𝑦 = 𝐸10 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

(10.3a)

𝐸𝑧 = 𝐸2𝑧 = 𝐸20 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝛿).

(10.3b)

Jednaˇcine (10.3a,b) predstavljaju jednaˇcinu krive linije 𝑓 (𝐸𝑦 , 𝐸𝑧 ) = 0 zadate u parametarskom obliku gde je 𝜉 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 parametar.

Eliminacijom parametra dolazimo

do jednaˇcine 𝑓 (𝐸𝑦 , 𝐸𝑧 ) = 0. Iz jednaˇcine (10.3a) imamo cos 𝜉 = 𝐸𝑦 /𝐸10 , tako da je √ √ sin 𝜉 = 1 − cos2 𝜉 = 1 − (𝐸𝑦 /𝐸10 )2 . Jednaˇcina (10.3b) ima oblik 𝐸𝑧 = 𝐸20 cos(𝜉 + 𝛿) = 𝐸20 cos 𝜉 cos 𝛿 − 𝐸20 sin 𝜉 sin 𝛿, tj.

√ 𝐸𝑦 𝐸𝑧 = 𝐸20 cos 𝛿 − 𝐸20 𝐸10

( 1−

𝐸𝑦 𝐸10

(10.3c)

)2 sin 𝛿.

(10.4a)

Ako izvrˇsimo pregrupisavanje ˇclanova, poslednju jednaˇcinu moˇzemo napisati u obliku √ ( )2 𝐸𝑧 𝐸𝑦 𝐸𝑦 − cos 𝛿 = − 1 − sin 𝛿. (10.4b) 𝐸20 𝐸10 𝐸10 ( Standardni oblik dobijene krive linije dobijamo kvadriranjem gornjeg izraza: [ ( )( ) ( )2 ( )2 ] 𝐸𝑦 𝐸𝑦 𝐸𝑧 2 2 𝐸20 cos 𝛿 + 𝐸10 cos 𝛿 = 1 − 𝐸𝐸10𝑦 sin2 𝛿, odakle vidimo da je 𝐸10 (

𝐸𝑧 𝐸20

)2

( −2

𝐸𝑧 𝐸20

)(

𝐸𝑦 𝐸10

)

( cos 𝛿 +

𝐸𝑦 𝐸20

𝐸𝑧 𝐸20

)2

−

)2 = sin2 𝛿.

(10.5)

Na osnovu jednaˇcine (10.5) vidimo da je dobijena kriva elipsa ˇcije se ose ne poklapaju sa ⃗ obilazi celu elipsu pri promeni parametra 𝜉 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥. koordinatnim osama. Vrh vektora 𝐸 Za specijalne vrednosti faznog parametra 𝛿 ova elipsa moˇze postati centrirana. Za 𝛿 = 𝜋/2 + 𝑛𝜋 gde je 𝑛 = 0, ±1, ±2, ..., ima´cemo cos 𝛿 = 0 i sin 𝛿 = (−1)𝑛 , pa jednaˇcina (10.5) prelazi u

(

𝐸𝑧 𝐸20

(

)2 +

𝐸𝑦 𝐸10

)2 = 1.

(10.6)

Jednaˇcina (10.6) predstavlja jednaˇcinu elipse sa centrom u koordinatnom poˇcetku i osama duˇz 𝑧 i 𝑦-ose (Fig. 74). Poluose elipse su 𝐸20 i 𝐸10 . U posmatranom sluˇcaju komponente ⃗ prikazane jednaˇcinama (10.3a,c), date su sa 𝐸𝑦 i 𝐸𝑧 vektora 𝐸, 𝐸𝑦 = 𝐸10 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 124

(10.7a)

⃗ FIG. 74: Elipsa koju opisuje vrh vektora 𝐸

𝐸𝑧 = −𝐸20 (−1)𝑛 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥).

(10.7b)

⃗ uoˇcimo talasnu ravan Da bismo videli kako se tokom vremena ponaˇsa vrh vektora 𝐸, 𝑥 = 0, na kojoj je 𝐸𝑦 = 𝐸10 cos 𝜔𝑡 i 𝐸𝑧 = −𝐸20 (−1)𝑛 sin 𝜔𝑡. U poˇcetnom trenutku vremena 𝑡 = 0, imamo 𝐸𝑦 = 𝐸10 , 𝐸𝑧 = 0 (taˇcka 1 na Fig. 74). Pri porastu 𝑡, 𝐸𝑦 se smanjuje, dok se 𝐸𝑧 smanjuje za parno 𝑛 a raste za neparno 𝑛 (taˇcka 1 se kre´ce ka taˇckama 2 ili 2′ ). Prvi sluˇcaj odgovara kretanju po elipsi u smeru suprotnom od kretanja skazaljke na satu, dok je u drugom sluˇcaju smer suprotan. Prvi sluˇcaj odgovara tzv. levo eliptiˇcki polarizovanoj svetlosti a drugi desno polarizovanoj svetlosti. Ukoliko je fazna razlika 𝛿 = 𝜋/2 + 𝑛𝜋 gde je 𝑛 = 0, ±1, ±2, ..., a pri 𝐸10 = 𝐸20 = 𝐸0 , jednaˇcina (10.6) prelazi u jednaˇcinu kruˇznice 𝐸𝑧2 + 𝐸𝑦2 = 𝐸02 ,

(10.8)

kada je odgovaraju´ci svetlosni talas kruˇzno polarizovan. U sluˇcaju da je 𝛿 = 𝑛𝜋, imali bi cos 𝛿 = (−1)𝑛 i sin 𝛿 = 0, kada se jednaˇcina (10.5) svodi na

(

𝐸𝑧 𝐸20

(

)2 −2

𝐸𝑧 𝐸20

)(

𝐸𝑦 𝐸10

tj. 𝐸𝑧 − (−1)𝑛 𝐸20

)

(

125

( 𝑛

(−1) + 𝐸𝑦 𝐸10

𝐸𝑦 𝐸10

)2 = 0,

(10.9a)

) = 0,

(10.9b)

⃗ FIG. 75: Prave linije koje opisuje vrh vektora 𝐸

ˇsto predstavlja jednaˇcinu prave linije 𝐸𝑦 = (−1)𝑛

𝐸10 𝐸𝑧 . 𝐸20

(10.10)

U posmatranom sluˇcaju rezultuju´ci elektromagnetni talas je linearno polarizovan. Na Fig. 75(a) prikazan je sluˇcaj kada je 𝑛 paran broj, a na Fig. 75(b) sluˇcaj neparnog 𝑛. U talasnoj ravni (𝑥 = 0) komponente 𝐸𝑦 i 𝐸𝑧 (jednaˇcine (10.3a,c)) menjaju se u toku vremena po slede´cem zakonu: 𝐸𝑦 = 𝐸10 cos 𝜔𝑡, 𝐸𝑧 = 𝐸20 (−1)𝑛 cos 𝜔𝑡.

(10.10)

U trenutku 𝑡 = 0, bi´ce 𝐸𝑦 = 𝐸10 i 𝐸𝑧 = 𝐸20 (−1)𝑛 , taˇcka 1 na Fig. 75. Sa porastom vremena ⃗ ˇseta po prikazanim pravim linijama izmedju taˇcaka 1 i 2. vrh vektora 𝐸 ⃗ u talasnoj ravni (𝑥 = 0) u toku vremena Dakle, kod polarizovane svetlosti vrh vektora 𝐸 opisuje elipsu koja pri odredjenim vrednostima faze 𝛿 i amplituda 𝐸10 i 𝐸20 moˇze da se ⃗ ima regularan karakter i kada se degeneriˇse u kruˇznicu ili pravu liniju. Ponaˇsanje vektora 𝐸 posmatra njegov raspored u prostoru, u datom trenutku vremena 𝑡, na primer u trenutku 𝑡 = 0. Neka je 𝛿 = 𝜋/2 + 𝑛𝜋, kada je cos 𝛿 = 0 a sin 𝛿 = (−1)𝑛 , kada jednaˇcine (10.3a) i (10.3c) u trenutku 𝑡 = 0 dobijaju slede´ci oblik: 𝐸𝑦 = 𝐸10 cos(𝑘𝑥), 𝐸𝑧 = 𝐸20 (−1)𝑛 sin(𝑘𝑥).

(10.11)

⃗ uvek leˇzi u talasnoj Variranjem 𝑥 dobijamo krivu liniju prikazanu na Fig. 76. Vektor 𝐸 126

FIG. 76: Zavojnica namotana na elipsoidni cilindar koju opisuje vrh vektora 𝑣𝑒𝑐𝐸

ravni paralelnoj 𝑦𝑂𝑧-ravni, a njegov kraj na prikazanoj krivoj liniji. U ovom odeljku videli smo kako se superpozicijom dva linearno polarizovana talasa dobija eliptiˇcki polarizovan talas. Moˇze se pokazati da vaˇzi i obrnuta ”teorema”. Elektromagnetni talas sa proizvoljnom polarizacijom moˇze biti predstavljen u obliku superpozicije dva linearno polarizovana talasa ˇcije su ravni oscilovanja elektriˇcnog vektora uzajamno ortogonalne. Drugim reˇcima, svetlost (elektromagnetni talas) poseduje dva nezavisna stanja polarizacije.

10.2. Delimiˇcna polarizacija. Matrica polarizacije i stepen polarizovanosti

Polarizovanost svetlosti smo definisali kao uredjenost u vremenu (i prostoru) stanja oscilo⃗ U odeljku 10.1 definisali smo tri osnovna tipa stroge uredjenosti. vanja svetlosnog vektora 𝐸. Da bi se opisala delimiˇcna polarizacija uvodi se pojam: stepen polarizovanosti. Pri definisanju ove fiziˇcke veliˇcine uzima se u obzir ˇcinjenica da su merljive karakteristike svetlosnog talasa samo srednje prostorno-vremenske veliˇcine. Osnovna fiziˇcka veliˇcina koja opisuje stepen polarizovanosti talasa je tzv. matrica koˇ ˇciji su elementi srednje vrednosti karakteristiˇcnih funkcija polja. Za talas koji herencije ℑ, ⃗ se prostire duˇz 𝑥-ose, potrebno je opisati stepen uredjenosti komponenti 𝐸𝑦 i 𝐸𝑧 vektora 𝐸

127

ˇ je tada definisana kao komleksna matrica: u 𝑦𝑂𝑧-ravni. Matrica ℑ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ∗ ∗ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ > < 𝐸 𝐸 > < 𝐸 𝐸 ℑ ℑ 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧 ˇ = 1⎝ ⎠ = ⎝ 11 12 ⎠ , ℑ ∗ ∗ 2 < 𝐸ˇ𝑧 𝐸ˇ > < 𝐸ˇ𝑧 𝐸ˇ > ˇ 22 ˇ 21 ℑ ℑ 𝑦

(10.12)

𝑧

⃗ˇ duˇz 𝑦 i 𝑧 ose: gde su 𝐸ˇ𝑦 i 𝐸ˇ𝑧 komponente kompleksnog svetlosnog vektora 𝐸 ⃗ˇ 𝑒𝑧 . ⃗ˇ = 𝐸 ⃗ˇ𝑦⃗𝑒𝑦 + 𝐸⃗ 𝐸

(10.13)

ˇ Po samoj definiciji, vidimo Navedimo neke od osnovnih osobina matrice koherencije ℑ. da je ona ermitska, tj. ˇ † = ℑ, ˇ ℑ

(10.14a)

ˇ † )𝑖𝑗 = ℑ ˇ∗ . (ℑ 𝑗𝑖

(10.14b)

ˇ † definisana sa pri ˇcemu je matrica ℑ

ˇ matrice ℑ, ˇ Vaˇzna osobina ermitskih matrica je da imaju realne determinante. Trag Trℑ (suma njenih dijagonalnih elemenata) je: ˇ = 1 [< 𝐸ˇ𝑦 𝐸ˇ ∗ > + < 𝐸ˇ𝑧 𝐸ˇ ∗ >]. Trℑ 𝑦 𝑧 2

(10.15)

ˇ realna veliˇcina. Vidimo da je i 𝑇 𝑟ℑ ˇ podeljena sa svojim tragom je po definiciji tzv. matrica polarizacije 𝜌ˇ: Matrica ℑ 𝜌ˇ =

ˇ ℑ . ˇ Trℑ

(10.16)

Matrica 𝜌ˇ ima jediniˇcni trag, pa u tom smislu predstavlja ”normiranu” matricu koherencije. Stepen polarizabilnosti ℘ posmatrane svetlosti (elektromagnetnog talasa) definiˇse se relacijom ℘ = 1 − 4detˇ 𝜌.

(10.17a)

Kako je detˇ 𝜌 = 0 kada je svetlost polarizovana (vidi premere 1 i 2 ovog odeljka), zaklju7ˇcujemo da je stepen polarizovanosti ovih talasa ℘ = 1. Za delimiˇcno polarizovane ⃗ manja. Dakle, talase 𝑑𝑒𝑡𝜌 > 0 i ima utoliko ve´cu vrednost ukoliko je uredjenost vektora 𝐸 ˇsto je talas ”manje” polarizovan, to je stepen polarizovanosti ℘ manji (videti primer 3, ovog odeljka). Za potpuno nepolarizovanu svetlost bi´ce ℘ = 0. Dakle, za delimiˇcno polarizovanu svetlost 0 ≤ ℘ ≤ 1. 128

(10.17b)

Primer 1 Nadjimo prvo stepen polarizovanosti ℘ za linearno polarizovan (monohromatski talas). ⃗ dat Neka se talas prostire duˇz 𝑥-ose i neka je polarizovan duˇz 𝑦-ose. Tada je vektor 𝐸 jednaˇcinom (10.1a): ⃗ = 𝐸0 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)⃗𝑒𝑦 . 𝐸

(10.18a)

Dakle, u razmatranom primeru imamo 𝐸ˇ𝑦 = 𝐸0 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)], 𝐸ˇ𝑧 = 0, ˇ nalazimo: tako da na osnovu jednaˇcine (9.12) za matricu koherencije ℑ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 𝐸 0 1 0 ˇ = 1 ⎝ 0 ⎠ = 1 𝐸2 ⎝ ⎠. ℑ 0 2 2 0 0 0 0 ˇ jednak je Trℑ ˇ = 1 𝐸 2 , tako da je matrica polarizacije ℘ˇ data sa Trag matrice ℑ 2 0 ⎛ ⎞ 1 0 ⎠. ℘ˇ = ⎝ 0 0

(10.18b)

(10.20a)

(10.20b)

Determinanta matrice polarizacije je detˇ 𝜌 = 0,

(10.20c)

tako da jednaˇcina (9.17a) za stepen polarizovanosti ℘ linearno polarizovane svetlosti daje slede´cu vrednost: ℘ = 1.

(10.21)

Primer 2 Drugi po sloˇzenosti sluˇcaj polarizovane svetlosti je kruˇzno polarizovana svetlost. Komponente 𝐸𝑦 i 𝐸𝑧 su tada date jednaˇcinama (10.7a,b): 𝐸𝑦 = 𝐸10 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

u kojima je 𝐸10 = 𝐸20

(9.22a)

( 𝜋) , (10.22b) 𝐸𝑧 = 𝐸20 (−1)𝑛 cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 2 = 𝐸0 . Dakle, komponente 𝐸ˇ𝑦 i 𝐸ˇ𝑧 koje ulaze u definiciju matrice

koherencije sada su [ ( 𝜋 )] 𝐸ˇ𝑦 = 𝐸0 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)], 𝐸ˇ𝑧 = 𝐸0 (−1)𝑛 exp −𝑖 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + , 2 129

(10.22c)

tako da je, na osnovu jednaˇcine (10.12), ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 2 2 𝑛 𝑛 𝑖𝐸 (−1) 𝐸 1 𝑖(−1) 0 0 ˇ = 1⎝ ⎠ = 1 𝐸02 ⎝ ⎠. ℑ 2 𝑛 2 −𝑖𝐸 2 (−1)𝑛 2 𝐸0 −𝑖(−1) 1 0

(10.23a)

ˇ = 𝐸 2 , za matricu polarizacije, definisanu jednaˇcinom (10.16), imamo Kako je Trℑ 0 ⎛ ⎞ 1 𝑖(−1)𝑛 1⎝ ⎠. 𝜌ˇ = (10.23b) 2 −𝑖(−1)𝑛 1 Determinanta matrice polarizacije 1 detˇ 𝜌 = (1 + 𝑖2 ) = 0, 4

(10.23c)

tako da je na osnovu jednaˇcine (10.17a) stepen polarizovanosti ℘ kruˇzno polarizovane svetlosti ℘ = 1.

(10.24)

Primer 3 Posmatrajmo sada delimiˇcno polarizovan kvazimonohromatski talas koji predstavlja su⃗ = 𝐸 ⃗1 + 𝐸 ⃗ 2 , gde su perpoziciju dva linearno polarizovana kvazi-monohromatska talasa: 𝐸 ⃗1 i 𝐸 ⃗ 2 polarizovani duˇz 𝑦 i 𝑧 ose: talasi 𝐸 ⃗ 1 = 𝐴1 (𝑥, 𝑡) cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝑓𝑔1 (𝑥, 𝑡))⃗𝑒𝑦 𝐸

(10.25a)

⃗ 2 = 𝐴2 (𝑥, 𝑡) cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝑓𝑔2 (𝑥, 𝑡))⃗𝑒𝑧 . 𝐸

(10.25b)

Odgovaraju´ci kompleksne komponente 𝐸ˇ𝑦 i 𝐸ˇ𝑧 sada su date sa 𝐸ˇ𝑦 = 𝐴1 (𝑥, 𝑡) exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝑓𝑔1 )]

(10.26a)

𝐸ˇ𝑧 = 𝐴2 (𝑥, 𝑡) exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝑓𝑔2 )].

(10.26b)

Ukoliko su veliˇcine 𝐴1 , 𝐴2 i Δ𝑓 = 𝑓𝑔2 −𝑓𝑔1 ponaˇsaju kao sluˇcajne veliˇcine koje se potpuno ⃗ opisiva´ce (na primer u talasnoj neregularno menjaju u oblasti usrednjavanja, vrh vektora 𝐸 ravni 𝑥𝑂𝑦), neregularnu krivu shematski prikazanu na Fig. 77; posmatrani talas bi´ce potpuno nepolarizovan. Ovako se, na primer, ponaˇsa prirodna svetlost. Ukoliko veliˇcine 𝐴1 , 𝐴2 i Δ𝑓 = 𝑓𝑔2 − 𝑓𝑔1 nisu sluˇcajne veliˇcine, svetlost ´ce biti delimiˇcno polarizovana, dok pri konstantnim, vrednostima svih ovih veliˇcina ona postaje polarizovana (sluˇcaj razmatran u predhodnom odeljku). 130

FIG. 77: Nepolarizovan (kvazi-monohromatski) talas, shematski

ˇ je U posmatranom primeru, matrica ℑ ⎛ ⎞ 2 𝑖Δ𝑓 < 𝐴1 > < 𝐴1 𝐴2 𝑒 > ˇ = 1⎝ ⎠. ℑ 2 2 < 𝐴1 𝐴2 𝑒−𝑖Δ𝑓 > < 𝐴2 >

(10.27a)

Pretpostavimo dalje, radi jednostavnosti da je 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴0 , kao i da je 𝐴0 ≈ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 u oblasti usrednjavanja. U tom sluˇcaju matrica koherencije ima oblik ⎛ ⎞ 𝑖Δ𝑓 1 ˇ = 1 𝐴2 ⎝ ⎠. ℑ 0 2 < 𝑒−𝑖Δ𝑓 > 1

(10.27b)

ˇ = 𝐴2 , tako da na osnovu jednaˇcina (10.16) za matricu Trag ove matrice je jednak 𝑇 𝑟ℑ 0 plarizacije 𝜌ˇ imamo

⎛

⎞ 1

1⎝ 2 < 𝑒−𝑖Δ𝑓 >

< 𝑒𝑖Δ𝑓 >

⎠.

(10.28a)

1 detˇ 𝜌 = [1− < 𝑒𝑖Δ𝑓 >< 𝑒−𝑖Δ𝑓 >], 4

(10.28b)

𝜌ˇ =

1

Determinanta matrice 𝜌ˇ je:

tako da za stepen polarizovanosti ℘, definisan jednaˇcinom (10.17a), nalazimo ℘ =< 𝑒𝑖Δ𝑓 >< 𝑒−𝑖Δ𝑓 >= ∣ < 𝑒𝑖Δ𝑓 > ∣2 .

(10.29a)

Kako je 0 ≤ ∣ < 𝑒𝑖Δ𝑓 > ∣2 ≤ 1, za stepen polarizovanosti delimiˇcno polarizovane svetlosti, nalazimo 0 ≤ ℘ ≤ 1. 131

(10.29b)

Dakle, delimiˇcno polarizovana svetlost ima stepen polarizovanosti iz intervala [0, 1]. Kod potpuno nepolarizovane svetlosti bi´ce ∣ < 𝑒𝑖Δ𝑓 > ∣2 = 0, pa je ℘ = 0, a za polarizovanu svetlost, kada Δ𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, imamo < 𝑒𝑖Δ𝑓 >= 𝑒𝑖Δ𝑓 , tako da je ∣ < 𝑒𝑖Δ𝑓 > ∣2 = 1, pa je ℘ = 1.

10.3. Merenje stepena polarizovanosti svetlosti

Stepen polarizovansti svetlosti je u potpunosti poznat ako je poznata matrica koherencije, ˇ 11 =< 𝐸ˇ𝑦 𝐸ˇ ∗ > /2 =< ∣𝐸ˇ𝑦 ∣2 > /2, ℑ ˇ 12 =< 𝐸ˇ𝑦 𝐸ˇ ∗ > /2, ℑ ˇ 21 = tj. ako su poznate vrednosti ℑ 𝑦

𝑧

ˇ 22 =< 𝐸ˇ𝑧 𝐸ˇ ∗ > /2 =< ∣𝐸ˇ𝑧 ∣2 > /2. Dakle, treba odrediti 4 < 𝐸ˇ𝑧 𝐸ˇ𝑦∗ >/2 =< 𝐸ˇ𝑦 𝐸ˇ𝑧∗ >∗ /2 i ℑ 𝑧 2 nezavisne relane veliˇcine: < ∣𝐸ˇ𝑦 ∣ >, Re < 𝐸ˇ𝑦 𝐸ˇ ∗ >, Im < 𝐸ˇ𝑦 𝐸ˇ ∗ > i < ∣𝐸ˇ𝑧 ∣2 >. U principu 𝑧

𝑧

za ovo je potrebno izvrˇsiti ˇcetiri nezavisna merenja. Uredjaji koji se koriste pri odredjivanju ovih parametra su polarizatori. Svaki polarizator se karakteriˇse osom slobodnog propuˇstanja ⃗𝑒; naime, on propuˇsta samo deo elektromagnetnog talasa (svetlosti) koji pada na njega i to onaj deo koji je polarizovan u pravcu ose polarizatora. U principu polarizator (simboliˇcki 𝑃ˆ⃗𝑒 ) se ponaˇsa kao ”projektor”: ⃗ = (𝐸 ⃗ ⋅ ⃗𝑒)⃗𝑒. 𝑃ˆ⃗𝑒 𝐸

(10.30)

Razmotrimo sada naˇcin merenja stepena polarizovanosti delimiˇcno polarizovanog kvazimonohromatskog talasa koji se prostire duˇz 𝑥-ose. Ovakav talas se uvek moˇze razloˇziti na dva linearno polarizovana talasa, tj. ⃗ˇ = 𝐸ˇ𝑦⃗𝑒𝑦 + 𝐸 ⃗ˇ𝑧⃗𝑒𝑧 , 𝐸

(10.31a)

gde su 𝐸ˇ𝑦 i 𝐸ˇ𝑧 dati jednaˇcinama (10.26a,b): 𝐸ˇ𝑦 = 𝐴1 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝑓𝑔1 )], 𝐸ˇ𝑧 = 𝐴𝑧 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝑓𝑔2 )],

(10.31b)

Odgovaraju´ca matrica koherencije data je izrzom (10.27a), na osnovu koga zakljuˇcujemo da je u posmatranom sluˇcaju ova matrica poznata ako izmerimo veliˇcine ˇ 11 = 1 < 𝐴2 >, ℑ 1 2 ˇ 12 = 1 Re < 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑖Δ𝑓 >, Reℑ 2

ˇ 22 = 1 < 𝐴2 >, ℑ 2 2

ˇ 12 = 1 Im < 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑖Δ𝑓 > . Imℑ 2 132

(10.32a) (10.32b)

Ovakva merenja se svode na merenja jaˇcine svetlosti posle prolaska kroz specifiˇcno postavljene polarizatore. Podsetimo se da je jaˇcina svetlosti definisana jednaˇcinom (3.18) kao intezitet srednje vrednosti Pointingovog vektora: ⃗ ×𝐻 ⃗ > ∣. 𝐼=∣ 𝑛 < 𝐸 2 >= 𝑛 < Re𝐸 𝑐𝜇0 𝑐𝜇0

(10.34a)

𝐻= (vidi izvodjenje jednaˇcine (3.25)). Dakle 𝐼=

⃗ˇ + 𝐸 ⃗ˇ ∗ ), imamo ⃗ˇ = 1 (𝐸 Koriste´ci relaciju Re𝐸 2 ( ) ( ) [ ] 1 ⃗ˇ + 𝐸 ⃗ˇ ∗ ⋅ 𝐸 ⃗ˇ + 𝐸 ⃗ˇ ∗ >= 1 𝑛 < 𝐸ˇ 2 > +2 < 𝐸 ⃗ˇ ⋅ 𝐸 ⃗ˇ ∗ > + < 𝐸ˇ ∗2 > . 𝐼= 𝑛< 𝐸 4𝑐𝜇0 4𝑐𝜇0 (10.34b) ⃗ˇ ⋅ 𝐸 ⃗ˇ ∗ = ∣𝐸∣ ˇ 2 , i vaˇzi 𝐸ˇ 2 + 𝐸ˇ ∗2 = 2Re𝐸ˇ 2 , nalazimo Kako je 𝐸 𝐼=

1 ˇ 2 >]. 𝑛[Re < 𝐸ˇ 2 > + < ∣𝐸∣ 2𝑐𝜇0

(10.34c)

Propustimo sada svetlost kroz sistem pogodnih mernih uredjaja. U prvom merenju polarizator se postavlja duˇz 𝑦-ose (Fig. 78). Po izlasku iz njega svetlost je polarizovana duˇz 𝑦-ose, a svetlosni vektor u kompleksnom obliku je dat sa ⃗ˇ = (𝐸 ⃗ˇ ⋅ ⃗𝑒𝑦 )⃗𝑒𝑦 = 𝐸ˇ𝑦⃗𝑒𝑦 . 𝑃ˆ𝑒𝑦 𝐸

(10.35)

Po izlasku iz polarizatora meri se jaˇcina svetlosti 𝐼1 . Na osnovu jednaˇcine (10.34c) ova jaˇcina svetlosti je 𝐼1 =

1 𝑛[Re < 𝐸ˇ𝑦2 > + < ∣𝐸ˇ𝑦 ∣2 >], 2𝑐𝜇0

(10.36a)

gde je veliˇcina 𝐸ˇ𝑦 data jednaˇcinom (10.31b). Dakle, ako uzmemo u obzir da su amplitude 𝐴1 i 𝐴2 kao i faze 𝑓𝑔1 i 𝑓𝑔2 sporo promenjive funkcije koordinata i vremena, tako da se u procesu usrednjavanja mogu smatrati konstantnim, nalazimo: 𝐼1 =

[ ] 1 𝑛 𝐴21 Re(𝑒−2𝑖𝑓𝑔1 < 𝑒−2𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) >) + 𝐴21 . 2𝑐𝜇0 133

(10.36b)

FIG. 78: Prvo merenje: meri se jaˇcina svetlosti 𝐼1 posle prolaska kroz polarizator 𝑃ˆ⃗𝑒𝑦

U opˇstem sluˇcaju usrednjavanje koje se javlja u izrazu (10.36b) za jaˇcinu svetlosti je prostorno-vremenskog tipa; ovo usrednjavanje se svodi na srednju vrednost po periodu 𝑇 za 𝑥 = 𝑥0 , vidi jednaˇcinu (3.19b): < 𝑒−2𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) >≈ 𝑒2𝑖𝑘𝑥0 < 𝑒−2𝑖𝜔𝑡 >𝑇 = 0,

(10.36c)

tako da je 𝐼1 =

1 1 𝑛𝐴21 ≈ 𝑛 < 𝐴21 > . 2𝑐𝜇0 2𝑐𝜇0

(10.37a)

Na osnovu izraza (10. 32a) vidimo da je ˇ 11 = 𝑐𝜇0 𝐼1 , ℑ 𝑛

(10.37b)

ˇ 11 matrice koherencije. tako da se merenjem 𝐼1 odredjuje matriˇcni element ℑ U drugom merenju meri se jaˇcina svetlosti 𝐼2 posle prolaska svetlosti kroz polarizator 𝑃ˆ⃗𝑒𝑧 ˇcija je osa postavljena duˇz 𝑧-ose, kao na Fig. 79. Sada imamo ⃗ˇ = 𝐸ˇ𝑧⃗𝑒𝑧 , 𝑃ˆ⃗𝑒𝑧 𝐸

(10.38)

tako da je jaˇcina svetlosti 𝐼2 data jednaˇcinom (10.36a) u kojoj je 𝑦 → 𝑧. Kako je 𝐸ˇ𝑧 dato sa jednaˇcinom (10.31b), za jaˇcinu svetlosti 𝐼2 , nalazimo izraz (10.37a) u kome je 𝐴1 → 𝐴2 . ˇ 22 matrice koherencije: Dakle merenjem 𝐼2 direktno nalazimo matriˇcni element ℑ ˇ 22 = 𝑐𝜇0 𝐼2 . ℑ 𝑛 134

(10.39)

FIG. 79: Drugo merenje: meri se jaˇcina svetlosti 𝐼2 posle prolaska kroz polarizator 𝑃ˆ⃗𝑒𝑧

FIG. 80: Tre´ce merenje: meri se jaˇcina svetlosti 𝐼3 posle prolaska kroz polarizator ℘e𝑦

Tre´ce merenje se vrˇsi sa polarizatorom ˇcija je osa postavljena u 𝑦𝑂𝑧-ravni pod uglom od 45∘ u odnosu na 𝑦-osu (Fig. 80). Svetlost koja prodje kroz polarizator 𝑃ˆ⃗𝑒 ′ polarizovana je 𝑦

′

u 𝑦 -pravcu, a njen svetlosni vektor u kompleksnom obliku je ⃗ˇ = (𝐸 ⃗ˇ ⋅ ⃗𝑒𝑦′ )⃗𝑒𝑦′ = 𝐸ˇ𝑦′ ⃗𝑒𝑦′ . 𝑃ˆ⃗𝑒𝑦′ 𝐸

(10.40)

Po analogiji sa jednaˇcinom (10.36a), jaˇcina svetlosti 𝐼3 posle prolaska kroz ovaj polarizator data je slede´cim izrazom: 𝐼3 =

1 𝑛[Re < 𝐸ˇ𝑦2′ > + < ∣𝐸ˇ𝑦′ ∣2 >]. 2𝑐𝜇0 135

(10.41a)

⃗ˇ = 𝐸ˇ𝑦⃗𝑒𝑦 + 𝐸ˇ𝑧⃗𝑒𝑧 , bi´ce 𝐸ˇ𝑦′ = 𝐸 ⃗ ⋅ ⃗𝑒𝑦′ = 𝐸ˇ𝑦⃗𝑒𝑦 ⋅ ⃗𝑒𝑦′ + 𝐸ˇ𝑧⃗𝑒𝑧 ⋅ ⃗𝑒𝑦′ . Uoˇcivˇsi da je Kako je 𝐸 √ ⃗𝑒𝑦 ⋅ ⃗𝑒𝑦′ = ⃗𝑒𝑧 ⋅ ⃗𝑒𝑦′ = cos(𝜋/4) = 1/ 2, nalazimo 1 𝐸ˇ𝑦′ = √ (𝐸ˇ𝑦 + 𝐸ˇ𝑧 ), 2

(10.41b)

tj. zamenom izraza za 𝐸ˇ𝑦 i 𝐸ˇ𝑧 iz jednaˇcine (10.31), 1 𝐸ˇ𝑦′ = √ (𝐴1 𝑒−𝑖𝑓𝑔1 + 𝐴2 𝑒−𝑖𝑓𝑔2 )𝑒−𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) . 2

(10.41c)

Konaˇcno, za jaˇcinu svetlosti 𝐼3 , imamo 𝐼3 =

1 𝑛{Re[(𝐴1 𝑒−𝑖𝑓𝑔1 +𝐴2 𝑒−𝑖𝑓𝑔2 ) < 𝑒−𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) >]+ < ∣𝐴1 𝑒−𝑖𝑓𝑔1 +𝐴2 𝑒−𝑖𝑓𝑔2 ∣2 >}, (10.42a) 4𝑐𝜇0

tj. koriste´ci jednaˇcinu (10.36c), 𝐼3 =

1 𝑛 < ∣𝐴1 𝑒−𝑖𝑓𝑔1 + 𝐴2 𝑒−𝑖𝑓𝑔2 ∣2 > . 4𝑐𝜇0

(10.42b)

Kako je ∣𝑧1 + 𝑧2 ∣2 = ∣𝑧1 ∣2 + ∣𝑧2 ∣2 + 2Re(𝑧1∗ 𝑧2 ), za jaˇcinu svetlosti 𝐼3 imamo 𝐼3 =

1 𝑛[< 𝐴21 > + < 𝐴22 > +2Re < 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑖Δ𝑓 >]. 4𝑐𝜇0

(10.42c)

Kako su veliˇcine < 𝐴21 > i < 𝐴22 > ve´c poznate, na osnovu merenja jaˇcina svetlosti 𝐼1 i 𝐼2 , ˇ 12 : poznavanje jaˇcine svetlosti 𝐼3 omogu´cava da se nadje Reℑ ˇ 12 = 1 Re < 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑖Δ𝑓 >= 𝑐𝜇0 𝐼3 − 1 < 𝐴2 > − 1 < 𝐴2 > . Reℑ 1 2 2 𝑛 4 4

(10.43a)

Dakle, koriste´ci relaciju (10.37a)za jaˇcinu svetlosti 𝐼1 , i analognu za 𝐼2 , nalazimo ( ) 𝑐𝜇0 1 1 ˇ Reℑ12 = 𝐼3 − 𝐼1 − 𝐼2 . (10.43b) 𝑛 2 2 ˇ 12 = Im < 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑖Δ𝑓 > /2. Da bi kompletirali matricu koherencije treba joˇs izmeriti Imℑ U ovom, ˇcetvrtom merenju, koristi se tzv. ”ploˇcica 𝜆/4”, koja se postavlja ispred polarizatora 𝑃ˆ⃗𝑒 ′ . Ova ploˇcica ima dve ose polarizovanja ⃗𝑒1 i ⃗𝑒2 i moˇze da napravi faznu razliku izmedju 𝑦

komponenti talasa duˇz ovih osa. Ako ovu ploˇcicu oznaˇcimo simboliˇcki sa 𝑃ˆ⃗𝑒1⃗𝑒2 , imamo ⃗ˇ = (𝐸 ⃗ˇ ⋅ ⃗𝑒1 )⃗𝑒1 + 𝑒 𝑖𝜋2 (𝐸 ⃗ˇ ⋅ ⃗𝑒2 )⃗𝑒2 . 𝑃ˆ⃗𝑒1⃗𝑒2 𝐸

(10.44a)

Ako se ploˇcica 𝜆/4 postavi tako da su ⃗𝑒1 = ⃗𝑒𝑦 i ⃗𝑒2 = ⃗𝑒𝑧 , kao Fig. 81, onda svetlost svetlosnog ⃗ˇ = 𝐸ˇ𝑦⃗𝑒𝑦 + 𝐸ˇ𝑧⃗𝑒𝑧 po prelasku kroz ploˇcicu prelazi u vektora (u kompleksnom obliku) 𝐸 ⃗ˇ = 𝐸ˇ𝑦⃗𝑒𝑦 + 𝑒 𝑖𝜋2 𝐸ˇ𝑧⃗𝑒𝑧 . 𝑃ˆ⃗𝑒𝑦 ⃗𝑒𝑧 𝐸 136

(10.44b)

ˇ FIG. 81: Cetvrto merenje

Sada na polarizator 𝑃ˆ⃗𝑒𝑦′ pada svetlost svetlosnog vektora 𝐸ˇ𝑦⃗𝑒𝑦 + (𝑖𝐸ˇ𝑧 )⃗𝑒𝑧 , gde su 𝐸ˇ𝑦 i 𝐸ˇ𝑧 dati sa jednaˇcinom (10.31b); za 𝑖𝐸ˇ𝑧 imamo 𝑖𝐸ˇ𝑧 = 𝐴2 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝑓𝑔2 −

𝜋 )], 2

(10.45)

ˇsto se od 𝐸ˇ𝑧 razlikuje samo po fazi. Dakle kada se posle prolaska kroz polarizator 𝑃ˆ⃗𝑒′𝑦 meri jaˇcina svetlosti 𝐼4 , dobi´cemo vrednost datu jednaˇcinom (10.42c) u kojoj umesto Δ𝑓 stoji Δ𝑓 − 𝜋/2: 𝐼4 =

𝜋 1 𝑛[< 𝐴21 > + < 𝐴22 > +2Re < 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑖Δ𝑓 𝑒−𝑖 2 >]. 4𝑐𝜇0

(10.46a)

Kako je Re(𝑧𝑒−𝑖𝜋/2 ) = Re(−𝑖𝑧) = Im𝑧, imamo 𝐼4 =

1 1 𝑛 [< 𝐴21 > + < 𝐴22 > +2Im < 𝐴1 𝐴2 𝑒𝑖Δ𝑓 >]. 𝑐𝜇0 4

Po analogiji sa jednaˇcinom (10.43b), sada imamo ) ( 𝑐𝜇0 1 1 ˇ Imℑ12 = 𝐼4 − 𝐼1 − 𝐼2 . 𝑛 2 2

(10.46b)

(10.47)

Jednaˇcinama (10.37b), (10.39), (10.43b) i (10.47) u potpunosti je odredjena matrica koherencije, a na osnovu nje se moˇze odrediti stepen polarizovanosti ℘. 137

§11 Interferencija svetlosti 11.1. Fenomen interferencije

Interferencija svetlosti je pojava povezana sa preraspodelom jaˇcine svetlosti u prostoru i u vezi je sa superpozicijom svetlostnih (elektromagnetnih) talasa. Kako je jaˇcina svetlosti jednaka srednjoj vrednosti energije koja se u jedinici vremena prenese kroz jedinicu povrˇsine normalne na pravac prostiranja svetlosti (vidi odeljak 3.5), interferencija se moˇze posmatrati kao preraspodela svetlosnog fluksa, definisanog jednaˇcinama (3.18) i (3.9). Najjednostavniji sluˇcaj imamo pri superpoziciji dva svetlosna talasa. Ukupna jaˇcina polja u proizvoljnoj taˇcki prostora (u datom trenutku) tada je jednaka ⃗ 𝑟, 𝑡) = 𝐸 ⃗ 1 (⃗𝑟, 𝑡) + 𝐸 ⃗ 2 (⃗𝑟, 𝑡), 𝐸(⃗

(11.1)

tako da je jaˇcina svetlosti 𝐼, u posmatranoj taˇcki prostora (i datom trenutku vremena) data jednaˇcinom (10.34a): 𝐼=

1 ⃗ ⋅𝐸 ⃗ >. 𝑛 < 𝐸 2 >= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 < 𝐸 𝑐𝜇0

(11.2a)

gde smo uveli oznaku 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 1/(𝑐𝜇0 ). Zamenom jednaˇcine (11.1) u (11.2a), nalazimo ⃗1 + 𝐸 ⃗ 2 ) ⋅ (𝐸 ⃗1 + 𝐸 ⃗ 2 ) >, 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 < (𝐸

(11.2b)

⃗1 ⋅ 𝐸 ⃗ 2 >]. 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛[< 𝐸12 > + < 𝐸22 > +2 < 𝐸

(11.2c)

odnosno

⃗ 𝑖 jaˇcina svetlosti 𝐼𝑖 u posmatranoj taˇcki prostora (i Kako je u polju svetlosnog vektora 𝐸 datom trenutku) 𝐼𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 < 𝐸𝑖2 >,

𝑖 = 1, 2

(11.3)

na osnovu jednaˇcine (11.2c) nalazimo da je 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼12 ,

(11.4a)

⃗1 ⋅ 𝐸 ⃗2 > . 𝐼12 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 2𝑛 < 𝐸

(11.4b)

gde je

Vidimo da jaˇcina svetlosti 𝐼 nije prost zbir jaˇcina svetlosti 𝐼1 i 𝐼2 ve´c se javlja i dodatni ˇclan 𝐼12 , tzv. interferencioni ˇclan (Fig. 82). Po pravilu interferencioni ˇclan 𝐼12 ima razliˇcite 138

FIG. 82: Shematski prikaz interferencije

vrednosti u razliˇcitim taˇckama prostora, tako da se u prostoru stvara preraspodela jaˇcine svetlosti. Na nekom zaklonu unetom u posmatrano polje pojavljuju se svetle i tamne oblasti koje mogu da obrazuju pruge, koncentriˇcne prstenove... Ovakva slika naziva se interferenciona slika. Interferencioni ˇclan dat jednaˇcinom (11.4b), definisan je preko srednje vrednosti ⃗1 ⋅ 𝐸 ⃗ 2 >, pri ˇcemu se usrednjavanje vrˇsi po tzv. vremenu merenja Δ𝜏 (vidi jednaˇcinu 0, ukupna jaˇcina svetlosti 𝐼 ´ce biti ve´ca od 𝐼1 + 𝐼2 , a u taˇckama u kojima je cos 𝛿 < 0, 𝐼 ´ce biti manje od 𝐼1 + 𝐼2 . Zbog toga pri slaganju posmatranih talasa dolazi do preraspodele jaˇcine svetlosti u prostoru. Na nekim mestima nastaju maksimumi 𝐼𝑚𝑎𝑥 , a na drugim minimumi 𝐼𝑚𝑖𝑛 jaˇcine svetlosti: 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐼/cos 𝛿=1 = (

√ √ 𝐼1 + 𝐼2 )2

(11.15a)

√ √ 𝐼1 − 𝐼2 )2 .

(11.15b)

𝐼𝑚𝑖𝑛 = 𝐼/cos 𝛿=−1 = ( 141

U sluˇcaju interferencije talasa istih amplituda (𝐴1 = 𝐴2 ), jaˇcine svetlosti 𝐼1 i 𝐼2 bile bi medjusobno jednake (𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼0 ) i tada efekat interferencije postaje izrazit. Jaˇcina svetlosti 𝐼, data jednaˇcina (11.13a), tada ima sledeˇcu vrednost: 𝛿 𝐼 = 2𝐼0 (1 + cos 𝛿) = 4𝐼0 cos2 , 2

(11.16)

tako da je 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 4𝐼0 , a 𝐼𝑚𝑖𝑛 = 0. U opˇstem sluˇcaju kada talasi koji interferiraju poseduju razliˇcite ose polarizacije (Fig. 83(b)) okarakterisane ortovima ⃗𝑒1 i ⃗𝑒2 , imali bi ⃗ˇ1 = 𝐴1 (⃗𝑟) exp[−𝑖(𝜔𝑡 − ⃗𝑘1 ⋅ ⃗𝑟 + 𝜑01 )]⃗𝑒1 𝐸

(11.17a)

⃗ˇ2 = 𝐴2 (⃗𝑟) exp[−𝑖(𝜔𝑡 − ⃗𝑘2 ⋅ ⃗𝑟 + 𝜑02 )]⃗𝑒2 , 𝐸

(11.17b)

tako da je rezultuju´ci svetlosni vektor ⃗ˇ = (𝐴1 𝑒𝑖𝜑1 ⃗𝑒1 + 𝐴2 𝑒𝑖𝜑2 ⃗𝑒2 )𝑒−𝑖𝜔𝑡 . 𝐸

(11.17c)

Ponovo se dobija monohromatski talas, tako da je jaˇcina svetlosti data jednaˇcinom (11.7): 1 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ ∣𝐴1 𝑒𝑖𝜑1 ⃗𝑒1 + 𝐴2 𝑒𝑖𝜑2 ⃗𝑒2 ∣2 . 2

(11.18a)

Vertikalne crte oznaˇcavaju istovremeno i moduo kompleksnog broja i intezitet vektora (vidi jednaˇcinu 3.26b). Dakle, 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅

) ( ) 1( 𝐴1 𝑒𝑖𝜑1 ⃗𝑒1 + 𝐴2 𝑒𝑖𝜑2 ⃗𝑒2 ⋅ 𝐴1 𝑒−𝑖𝜑1 ⃗𝑒1 + 𝐴2 𝑒−𝑖𝜑2 ⃗𝑒2 , 2

tj. 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅

] 1[ 2 𝐴1 + 𝐴22 + 𝐴1 𝐴2 (𝑒𝑖𝛿 + 𝑒−𝑖𝛿 )(⃗𝑒1 ⋅ ⃗𝑒2 ) , 2

odnosno 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 2

√

𝐼1 𝐼2 (⃗𝑒1 ⋅ ⃗𝑒2 ) cos 𝛿

(11.18b)

(11.18c)

(11.19)

Interferencioni ˇclan u jednaˇcini (11.19) zavisi od ⃗𝑒1 ⋅ ⃗𝑒2 . Prema tome, talasi linearno polarizovani duˇz iste ose (⃗𝑒1 ⋅ ⃗𝑒2 = 1) maksimalno interferiraju, dok talasi polarizovani pod pravim uglom (⃗𝑒1 ⋅ ⃗𝑒2 = 0) uopˇste ne interferiraju. Primer 1 Nadjimo prvo faznu razliku 𝛿 pri interferenciji svetlosti od dva taˇckasta izvora 𝑆1 i 𝑆2 koji su izvori sfernih talasa. 142

FIG. 84: Interferencija dva sferna talasa

Neka taˇckasti izvori 𝑆1 i 𝑆2 zraˇce monohromatske talase istih uˇcestanosti 𝜔, Fig. 84. Pretpostavi´cemo takodje da u trenutku vremena 𝑡 = 0 talasi u izvorima osciluju u fazi. U nekom trenutku 𝑡 i taˇcki 𝑀 na rastojanju 𝑠1 od izvora 𝑆1 i na rastojanju 𝑠2 od izvora 𝑆2 , svetlosni talasi imaju slede´ci oblik: ⃗ˇ1 = 𝐴1 (⃗𝑟) exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑠1 )]⃗𝑒1 𝐸

(11.20a)

⃗ˇ2 = 𝐴2 (⃗𝑟) exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘2 𝑠2 )]⃗𝑒2 , 𝐸

(11.20b)

Za faznu razliku 𝛿 ovih talasa imamo 𝛿 = 𝑘2 𝑠2 − 𝑘1 𝑠1 . Ako se talasi prostiru kroz homogenu optiˇcku sredinu indeksa prelamanja 𝑛, kao na Fig. 84, talasni brojevi 𝑘1 = 𝜔/𝑣 = 𝜔𝑛/𝑐, i 𝑘2 = 𝜔𝑛/𝑐 bi´ce medjusobno jednaki 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘. Uvode´ci putnu razliku Δ = 𝑠2 − 𝑠1 , nalazimo 𝛿 = 𝑘Δ, Δ = 𝑠2 − 𝑠1 .

(11.20c)

Ukoliko talasi stiˇzu u taˇcku 𝑀 posle viˇsestrukih refleksija, kao na Fig. 85, onda formula (11.20c) mora da se modifikuje. Naime, pri svakoj refleksiji od optiˇcki guˇs´ce sredine (u odnosu na sredinu kroz koju se prostire talas), menja se faza talasa za 𝜋 (vidi jednaˇcinu (9.18b) i Fig. 71), ˇsto doprinosi ukupnoj faznoj razli´ci 𝛿𝜑 . U tom sluˇcaju, fazna razlika 𝛿 je data sa 𝛿 = 𝑘Δ + 𝛿𝜑 , Δ = 𝑠2 − 𝑠1

(11.20d)

pri ˇcemu su 𝑠1 i 𝑠2 ukupni putevi zraka 1 i 2 od 𝑆1 do 𝑀 i od 𝑆2 do 𝑀 . Ukoliko se zraci kroz optiˇcki sistem prostiru bez prelamanja, moˇzemo smatrati da su zadovoljeni uslovi za vaˇzenje relacije (6.32). U tom sluˇcaju vaˇzi jednaˇcina (6.33b), tako da 143

FIG. 85: Interferencija dva sferna talasa posle viˇsestrukih refleksija

FIG. 86: Interferencija dva ravanska talasa

se jaˇcina svetlosti 𝐼 ne menja duˇz zraka. U ovakvim sluˇcajevima 𝐼1 i 𝐼2 u jednaˇcini (11.19) mogu da se poistovete sa jaˇcinama svetlosti koje izraˇce izvori 1, odnosno 2 (u datom pravcu) ili sa jaˇcinama svetlosti duˇz zraka 1 tj. 2. Primer 2 Posmatrajmo sada sluˇcaj interferencije dva ravanska talasa koji se prostiru u pravcima odredjenim talasnim vektorima ⃗𝑘1 i ⃗𝑘2 kao na Fig. 86. U ovom sluˇcaju pojam putne razlike se ne poklapa sa razlikom puteva zraka. Neka su oba talasa monohromatska istih uˇcestanosti 𝜔. Pretpostavimo takodje da posmatrani talasi imaju iste faze u koordinatnom poˇcetku 𝑂. U nekom trenutku 𝑡 i taˇcki 𝑀 144

vektora poloˇzaja ⃗𝑟, svetlosni talasi imaju slede´ci oblik: ⃗ˇ1 = 𝐴1 (⃗𝑟) exp[−𝑖(𝜔𝑡 − ⃗𝑘1 ⋅ ⃗𝑟)]⃗𝑒𝑦 𝐸

(11.21a)

⃗ˇ2 = 𝐴2 (⃗𝑟) exp[−𝑖(𝜔𝑡 − ⃗𝑘2 ⋅ ⃗𝑟)]⃗𝑒𝑦 , 𝐸

(11.21b)

tj. uzmimo da je 𝜑01 = 𝜑02 = 0. Fazna razlika 𝛿, definisana jednaˇcinom (11.13b), sada ima slede´cu vrednost: 𝛿 = ⃗𝑘2 ⋅ ⃗𝑟 − ⃗𝑘1 ⋅ ⃗𝑟.

(11.21c)

Neka pravci vektora ⃗𝑘1 i ⃗𝑘2 zaklapaju uglove 𝜑1 i 𝜑2 sa 𝑥-osom. Oznaˇcimo sada sa 𝑠1 rastojanje od taˇcke 𝑂 (u kojoj su talasi po pretpostavci u fazi) do talasnog fronta Σ1 prvog talasa kroz taˇcku 𝑀 , a sa 𝑠2 rastojanje od taˇcke 𝑂 do talasnog fronta Σ2 drugog talasa kroz taˇcku 𝑀 , Fig. 86. Sa slike se vidi da je 𝑠2 = 𝑟 cos(𝜑2 + 𝛼), dok je 𝑠1 = 𝑟 cos(𝜑1 − 𝛼), gde je 𝛼 ugao koji vektor ⃗𝑟 zaklapa sa 𝑥 osom. Kako je 𝛿 = ⃗𝑘2 ⋅⃗𝑟 −⃗𝑘1 ⋅⃗𝑟 = 𝑘2 cos(𝜑2 +𝛼)−𝑘1 cos(𝜑1 −𝛼), za faznu razliku 𝛿 posmatrana dva ravanska talasa imamo 𝛿 = 𝑘2 𝑠2 − 𝑘1 𝑠1 . U specijalnom sluˇcaju 𝑘 = 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑐𝜔/𝑛, ponovo dobijamo formulu (11.20d): 𝛿 = 𝑘Δ, Δ = 𝑠2 − 𝑠1 .

(11.22)

Interferencija dva monohromatska talasa istih uˇcestanosti predstavlja samo najjednostavniji teorijski model procesa interferencije. Svaki sloˇzeniji model mora da uzme u obzir da svetlosni talasi iz realnih izvora nisu strogo monohromatski, kao i to da se karakter izraˇcenih talasa menja tokom vremena. Prvu ˇcinjenicu moˇzemo ukljuˇciti u model posmatraju´ci talase kao kvazi-monohromatske ili kao talasne pakete. Druga ˇcinjenica se modeluje svetlosnim talasima ˇcija se uˇcestanost menja u segmentima, tzv. talasni segmenti. Uˇcestanost ovakvih talasa ima vrednost 𝜔1 u intervalu Δ𝑡1 , pa 𝜔2 u intervalu Δ𝑡2 , itd. Zbog svega ovoga vreme koherencije talasa iz realnih izvora je uvek konaˇcno. Dodatnu oteˇzavaju´cu okolnost pri razmatranju realnih izvora je njihova prostornost. Taˇckasti izvori predstavljaju samo prvu aproksimaciju jednog prostornog izvora.

11.3. ”Interferencija” dva monohromatska talasa razliˇcitih uˇcestanosti

Pokaˇzimo sada da ne moˇze do´ci do interferencije talasa nejednakih uˇcestanosti.

145

Neka se dva monohromatska talasa uˇcestanosti 𝜔1 i 𝜔2 prostiru duˇz 𝑥-ose i neka su oba linearno polarizovana duˇz 𝑦-ose. Za kompleksne svetlosne vektore tada imamo ⃗ˇ1 = 𝐴1 (𝑥) exp[−𝑖(𝜔1 𝑡 − 𝑘1 𝑥 + 𝜑01 )]⃗𝑒𝑦 𝐸

(11.23a)

⃗ˇ2 = 𝐴2 (𝑥) exp[−𝑖(𝜔2 𝑡 − 𝑘2 𝑥 + 𝜑02 )]⃗𝑒𝑦 ; 𝐸

(11.23b)

⃗ 1 = Re𝐸 ⃗ˇ1 i 𝐸 ⃗ 2 = Re𝐸 ⃗ˇ2 su odgovaraju´ci svetlosni vektori 𝐸 ⃗ 1 = 𝐴1 (𝑥) cos(𝜔1 𝑡 − 𝑘1 𝑥 + 𝜑01 )⃗𝑒𝑦 𝐸

(11.24a)

⃗ 2 = 𝐴2 (𝑥) cos(𝜔2 𝑡 − 𝑘2 𝑥 + 𝜑02 )⃗𝑒𝑦 . 𝐸

(11.24b)

⃗ =𝐸 ⃗1 + 𝐸 ⃗ 2 , nastao superpozicijom dva monohroRezultuju´ci talas svetlosnog vektora 𝐸 matska talasa razlicitih uˇcestanosti, nije monohromatski. Jaˇcina svetlosti u datoj taˇcki rezultuju´ceg polja data je opˇstim izrazom (11.4a): 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼12 , gde su jaˇcine svetlosti 𝐼𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛⋅ < 𝐸𝑖2 > , 𝑖 = 1, 2 (od monohromatskih komponenti) date jednaˇcinom (11.12): 1 𝐼𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝐴2𝑖 , 2

(11.25a)

dok je interferencioni ˇclan dat jednaˇcinom (11.4b): ⃗1 ⋅ 𝐸 ⃗2 > . 𝐼12 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 2𝑛 < 𝐸

(11.25b)

Ako predpostavimo da su amplitude 𝐴1 i 𝐴2 sporo promenjive funkcije koordinata, nalazimo 𝐼12 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 2𝑛 ⋅ 𝐴1 𝐴2 < cos(𝜔1 𝑡 − 𝜑1 ) cos(𝜔2 𝑡 − 𝜑2 ) >,

(11.26a)

gde smo uveli faze 𝜑𝑖 = 𝑘𝑖 𝑥−𝜑0𝑖 , 𝑖 = 1, 2. Kako je cos 𝜃1 cos 𝜃2 = 21 [cos(𝜃1 −𝜃2 )+cos(𝜃1 +𝜃2 )], uvode´ci oznake 𝛿− = 𝛿 = 𝜑2 − 𝜑1 i 𝛿+ = 𝜑2 + 𝜑1 , kao i oznake Δ𝜔− = 𝜔2 − 𝜔1 = Δ𝜔 i Δ𝜔+ = 𝜔2 + 𝜔1 , za interferencioni ˇclan nalazimo 𝐼12 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝐴1 𝐴2 [< cos(Δ𝜔− 𝑡 − 𝛿− ) > + < cos(Δ𝜔+ 𝑡 − 𝛿+ ) >].

(11.26b)

Srednje vrednosti u interferencionom faktoru se odnose na trenutak 𝑡 i raˇcunaju se u vremenskom intervalu jednakom vremenu merenja Δ𝜏 ; na osnovu jednaˇcine (11.5) imamo 1 < cos(Δ𝜔𝑡 − 𝛿) >= Δ𝜏

146

∫

𝑡+ Δ𝜏 2 𝑡− Δ𝜏 2

cos(Δ𝜔𝑡 − 𝛿)𝑑𝑡

[ ( ( ) ) ( ( ) )] 1 Δ𝜏 Δ𝜏 = sin Δ𝜔 𝑡 + − 𝛿 − sin Δ𝜔 𝑡 − −𝛿 Δ𝜏 Δ𝜔 2 2 [ ( ) ( )] 1 Δ𝜔Δ𝜏 Δ𝜔Δ𝜏 sin Δ𝜔𝑡 − 𝛿 + − sin Δ𝜔𝑡 − 𝛿 − . = Δ𝜏 Δ𝜔 2 2

(11.27a)

Uvode´ci oznake 𝛼 = Δ𝜔𝑡 − 𝛿 i 𝛽 = Δ𝜔Δ𝜏 /2, imamo < cos(Δ𝜔𝑡 − 𝛿) >= =

1 [sin(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 − 𝛽)] Δ𝜏 Δ𝜔

1 2 [sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 − sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽] = cos 𝛼 sin 𝛽 Δ𝜏 Δ𝜔 Δ𝜏 Δ𝜔 ) ( 2 Δ𝜔Δ𝜏 . (11.27b) = cos(Δ𝜔𝑡 − 𝛿) sin Δ𝜏 Δ𝜔 2

Zamenom ovog izraza u (11.26b), nalazimo ( ) ) ⎡ ( ⎤ Δ𝜔− Δ𝜏 Δ𝜔+ Δ𝜏 sin sin 2 2 𝐼12 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝐴1 𝐴2 ⎣ Δ𝜔− Δ𝜏 cos (Δ𝜔− 𝑡 − 𝛿− ) + cos (Δ𝜔+ 𝑡 − 𝛿+ )⎦ . Δ𝜔+ Δ𝜏 2

2

(11.28a) Da bismo procenili red veliˇcine interferencionog faktora (11.28a), posmatrajmo taˇcku talasne ravni 𝑥 = 0 u trenutku 𝑡 = 0, i pretpostavimo da su poˇcetne faze 𝜑01 = 𝜑02 = 0. Tada su 𝛿+ = 𝛿− = 0, pa je ( 𝐼12 ∼

sin

Δ𝜔− Δ𝜏 2

(

)

Δ𝜔− Δ𝜏 2

+

sin

Δ𝜔+ Δ𝜏 2

Δ𝜔+ Δ𝜏 2

) .

(11.28b)

Uobiˇcajno vreme merenja je Δ𝜏 ∼ 10−9 𝑠, a Δ𝜔+ /2 ∼ 𝜔 ∼ 1015 𝑠−1 (vidi odeljak 3.4). Za ove vrednosti drugi ˇclan u izrazu (11.28b) je )¯ ¯ ( ¯ sin Δ𝜔+ Δ𝜏 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ sin (𝜔Δ𝜏 ) ¯ 2 1 −6 ¯ ¯∼¯ ¯ ¯ Δ𝜔+ Δ𝜏 ¯ ¯ 𝜔Δ𝜏 ¯ ≤ 𝜔Δ𝜏 ∼ 10 ≪ 1. ¯ ¯ 2

(11.29a)

Pri analizi reda veliˇcine prvog ˇclana u (11.28b) uzimamo da Δ𝜔− = 𝜔2 − 𝜔1 odgovara intervalu uˇcestanosti vidljivog spektra: Δ𝜔− ∼ 1015 𝑠−1 . U tom sluˇcaju imamo )¯ ¯ ( ¯ sin Δ𝜔− Δ𝜏 ¯ ¯ ¯ 2 2 −6 ¯ ¯≲ ¯ Δ𝜔− Δ𝜏 ¯ Δ𝜔− Δ𝜏 = 2 ⋅ 10 ≪ 1. ¯ ¯ 2

(11.29b)

Dakle pri 𝜔1 ∕= 𝜔2 interferencioni ˇclana je zanemarljiv 𝐼12 ≪ 𝐼1 ∼ 𝐼2 , 147

𝜔1 ∕= 𝜔2 .

(11.30)

Izraz (11.28a) omogu´cava da se razmotri i sluˇcaj 𝜔1 = 𝜔2 . U tom sluˇcaju procena reda veliˇcine data sa (11.29a) ostaje u vaˇznosti, a umesto izraza (11.29b) imamo: ( ) Δ𝜔− Δ𝜏 sin 2 → 1, Δ𝜔− → 0, Δ𝜏 < ∞, Δ𝜔− Δ𝜏

(11.31a)

2

tako da u tom sluˇcaju, na osnovu jednaˇcine (11.28a), za interferencioni ˇclan imamo 𝐼12 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝐴1 𝐴2 cos 𝛿 = 2

√

𝐼1 𝐼2 cos 𝛿, 𝜔1 = 𝜔2 ,

(11.31b)

gde su 𝐼𝑖 jaˇcine svetlosti date jednaˇcinom (11.25a). Jednaˇcina (11.31b) se poklapa sa predhodno dobijenim izrazom (11.14) za interferencioni ˇclan pri interferenciji dva monohromatdka talasa istih uˇcestanosti. Pri slaganju talasa dovoljno bliskih uˇcestanosti 𝜔1 i 𝜔2 , interferencioni ˇclan je dat izrazom (11.28a) u kome je drugi sabirak zanemarljiv prema prvom. Kako je pod ovim uslovima Δ𝜔− 𝑡 ≈ 0, bi´ce 𝐼12 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝐴1 𝐴2 tj. 𝐼12 =

sin

( Δ𝜔Δ𝜏 ) 2 Δ𝜔Δ𝜏 2

⋅2

sin

( Δ𝜔Δ𝜏 ) 2 Δ𝜔Δ𝜏 2

cos 𝛿,

√ 𝐼1 𝐼2 cos 𝛿, 𝜔1 ≈ 𝜔2 .

Dakle, pri 𝜔1 ≈ 𝜔2 , vidljivost interferencije zavisi od vrednosti funkcije ( ) sin Δ𝜔Δ𝜏 2 𝑉 (Δ𝜔, Δ𝜏 ) = , Δ𝜔Δ𝜏

(11.32a)

(11.32b)

(11.33a)

2

koju moˇzemo nazvati faktor vidljivosti; interferencioni ˇclan ima slede´ci oblik: √ 𝐼12 = 𝑉 (Δ𝜔, Δ𝜏 ) ⋅ 2 𝐼1 𝐼2 cos 𝛿, 𝜔1 ≈ 𝜔2 .

(11.33b)

Poslednji izraz se od izraza (11.14) razlikuje za faktor vidljivosti 𝑉 .

11.4. Interferencija talasa nastalih deobom amplituda talasa (plan-paralelna ploˇcica)

U sluˇcaju slaganja dva monohromatska talasa istih uˇcestanosti dobija se izrazit interferencioni efekat. Vreme koherencije ovakvih talasa je beskonaˇcno pa je interferenciona slika stabilna. Ovakvi talasi mogu da se dobiju razdvajanjem (deobom) jednog monohromatskog talasa na dva dela. Na ovaj naˇcin se dobijaju dva talasa koji su u pogledu svoje vremenske 148

zavisnosti taˇcne kopije originalnog talasa. Primetimo, medjutim, da u realnim uslovima ovakvi talasi mogu da se odrˇzavaju samo odredjeno vreme, tj. karakteriˇsu se konaˇcnim vremenom koherencije. Postoje principijalno dva naˇcina deobe talasa: deoba amplitude talasa i deoba talasnog fronta. Za postizanje deobe talasa koriste se optiˇcki sistemi (ogledala, soˇciva,...). Zbog toga se name´ce potreba da se u objaˇsnjenje jednog ˇcisto talasnog fenomena (kao ˇsto je interferencija) uvedu i neki elementi geometrijske slike svetlosti - svetlosni zraˇci. Treba imati u vidu, medjutim, da se u svakoj taˇcki prostora formira jedinstveno vremenski zavisno ⃗ 𝑟, 𝑡), 𝐵(⃗ ⃗ 𝑟, 𝑡)), a da zraci prikazuju samo pravac i smer transporta elektromagnetno polje (𝐸(⃗ energije ovog polja. U ovom odeljku ´cemo razmatrati amplitudnu deobu talasa. Najjednostavniji optiˇcki sistem pomo´cu koga se moˇze izvrˇsiti amplitudna deoba talasa je plan-paralelna ploˇcica 𝐴1 𝐴2 od dielektrika (Fig. 87). Kao izvor svetlosti koristi se zapreminski izvor monohromatske svetlosti. Detekcija svetlosti se vrˇsi pomo´cu teleskopa sa soˇcivom. Radi refleksije zraka u sistem se postavlja i jedno ogledalo. Kako je u sistemu prisutno tanko soˇcivo, u taˇcki 𝑀 ˇziˇzne ravni ovog soˇciva gde se ”detektuje” jaˇcina svetlosti, sabira´ce se svi zraci koji su paralelni sa pravcem 𝑂𝑀 kroz centar soˇciva (vidi Fig. 63, odeljak 8). Oznaˇcimo ugao izmedju ovog pravca i 𝑥-ose sa 𝜃, kao na Fig. 87. 𝑦-koordinata taˇcke 𝑀 koja leˇzi u zadnjoj ˇziˇznoj ravni soˇciva je tada, za male uglove 𝜃, 𝑦 = 𝑓 ′ cos 𝜃 ≈ 𝑓 ′ 𝜃.

(11.38)

Sa Fig. 87 se vidi da ´ce upravu zrak koji pod uglom 𝜃 pada na povrˇsinu 𝐴1 plan-paralelne ploˇcice dati zrake koji se posle amplitudne deobe sabiraju u taˇcki 𝑀 . Ovakav zrak polazi iz taˇcke 𝑆1 izvora, i posle refleksije od ogledala pada na plan-paralelnu ploˇcicu od dielektrika. Ponaˇsanje svetlosti (elektromagnetnog talasa) na granici dva dielektrika ve´c je razmatrano u odeljku 9.2 za normalni upad svetlosti; analogni rezultati vaˇze i za kos upad ako je upadni ugao mali. Ponaˇsanje uoˇcenog zraka koji pod uglom 𝜃 pada na plan-paralelnu ploˇcicu prikazano je na Fig. 88. Posmatrani zrak se u taˇcki 𝑂1 reflektuje (zrak I) pod uglom 𝜃 i prelama pod uglom 𝜃′′ (zrak 𝐼 ′′ ). Ugao 𝜃′′ je odredjen relacijom (9.12b): sin 𝜃 𝑛2 = . ′′ sin 𝜃 𝑛1 149

(11.39)

FIG. 87: Amplitudna deoba talasa pomo´cu plan-paralelne ploˇcice

U taˇcki 𝑂2 zrak 𝐼 ′′ se reflektuje (zrak 𝐼𝐼 ′′ ) i prelama. Konaˇcno, u taˇcki 𝑂3 , zrak 𝐼𝐼 ′′ se reflektuje i prelama (zrak 𝐼𝐼). Oznaˇcimo sada amplitudu upadnog talasa sa 𝐴0 (veliˇcina 𝐸𝑚 i jednaˇcina (9.18a)). U taˇcki 𝑂1 dolazi do ”amplitudne deobe”; amplituda 𝐴𝐼 talasa koji se prostire duˇz zraka 𝐼 (reflektovan talas), i amplituda 𝐴𝐼 ′′ talasa koji se prostire duˇz zraka 𝐼 ′′ (prelomljeni talas) date su jednaˇcinama (9.18b,c): ¯ ¯ ¯ 𝑛1 − 𝑛2 ¯ ¯ ¯ 𝐴0 , 𝐴𝐼 ′′ = 2𝑛1 𝐴0 . 𝐴𝐼 = ¯ 𝑛1 + 𝑛2 ¯ 𝑛1 + 𝑛2 150

(11.40a)

FIG. 88: Amplitudna deoba na plan-paralelnoj ploˇcici

U taˇcki 𝑂2 zrak 𝐼 ′′ (sa amplitudom 𝐴𝐼 ′′ ) predstavlja upadni zrak, dok je zrak 𝐼𝐼 ′′ reflektovan zrak duˇz koga se sada prostire talas amplitude 𝐴𝐼𝐼 ′′ koja je jednaka ¯ ¯ ¯ 𝑛2 − 𝑛1 ¯ ¯ 𝐴𝐼 ′′ . 𝐴𝐼𝐼 ′′ = ¯¯ 𝑛2 + 𝑛1 ¯

(11.40b)

Konaˇcno, zrak 𝐼𝐼 ′′ je upadni zrak u taˇcki 𝑂3 (sa amplitudom 𝐴𝐼𝐼 ′′ ), dok je zrak 𝐼𝐼 prelomljeni zrak duˇz koga se prostire talas sa amplitudom 𝐴𝐼𝐼 =

2𝑛2 𝐴𝐼𝐼 ′′ . 𝑛1 + 𝑛2

(11.40c)

Dakle, na izlasku iz ploˇcice imamo dva paralelna zraka 𝐼 i 𝐼𝐼 duˇz kojih su amplitude talasa date sa

¯ ¯ ¯ 𝑛1 − 𝑛2 ¯ ¯ 𝐴0 ≡ 𝜌𝐴0 𝐴𝐼 = ¯¯ 𝑛1 + 𝑛2 ¯

i 𝐴𝐼𝐼

2𝑛2 = 𝑛1 + 𝑛2

2 2 Kako je 1 − 𝜌2 = 1 − ( 𝑛𝑛11 −𝑛 ) = +𝑛2

(11.41)

¯ ¯ ¯ 𝑛1 − 𝑛2 ¯ 2𝑛1 4𝑛1 𝑛2 ¯ ¯ ¯ 𝑛1 + 𝑛2 ¯ 𝑛1 + 𝑛2 𝐴0 = (𝑛1 + 𝑛2 )2 𝜌𝐴0 . (𝑛1 +𝑛2 )2 −(𝑛1 −𝑛2 )2 (𝑛1 +𝑛2 )2

=

4𝑛1 𝑛2 , (𝑛1 +𝑛2 )2

𝐴𝐼𝐼 = (1 − 𝜌2 )𝜌𝐴0 . 151

(11.42a)

vidimo da je (11.42b)

U sluˇcajevima da je plan-paralelna ploˇcica od stakla smeˇstena u vazduhu imali bi 𝜌 = 0.2, a 1 − 𝜌2 = 0.96 ≈ 1, tako da za amplitudu 𝐴𝐼𝐼 imamo 𝐴𝐼𝐼 ≈ 𝜌𝐴0 = 𝐴𝐼 .

(11.42c)

Primetimo da je veliˇcina 𝜌2 jednaka koeficijentu refleksije 𝜌𝐼 koji jedefinisan jednaˇcinom (9.19b). Na osnovu jednaˇcina (11.41) i (11.42c) vidimo da se na izlasku iz ploˇcice javljaju dva paralelna zraka 𝐼 i 𝐼𝐼 koji pod uglom 𝜃 napuˇstaju ploˇcicu (zraci 𝐼 i 𝐼𝐼 na Fig. 87). Svetlosni talasi se duˇz ovih zraka pribliˇzno au jednaki (istih uˇcestanosti i pribliˇzno istih amplituda). Uoˇceni zraci se sabiraju u taˇcki 𝑀 zaklona, uˇcestvuju´ci u stvaranju interferencione slike. Jaˇcina svetlosti koja potiˇce od taˇcke 𝑆1 izvora u taˇcki 𝑀 zaklona bi´ce data jednaˇcinom (11.13a): 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 2

√

𝐼1 𝐼2 cos 𝛿,

(11.43a)

gde je 𝛿 fazna razlika talasa 𝐼 i 𝐼𝐼, dok je 1 𝐼𝑖 = 𝜌2 𝐼0 , 𝐼0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝐴20 , 𝑖 = 1, 2. 2

(11.43b)

Zamenom (11.43b) u (11.43a) nalazimo 𝛿 𝐼 = 4𝜌2 𝐼0 cos2 . 2

(11.43c)

Kako se zrak 𝐼 dva puta reflektuje od optiˇcki guˇs´ce sredine a zrak 𝐼𝐼 jedanput, imamo 𝛿 = 𝑘Δ + 𝜋,

(11.43d)

pri ˇcemu putnu razliku Δ treba raˇcunati samo do svetlosnog fronta (talasne ravni) Σ. Naime, od ove ravni do taˇcke 𝑀 svi zraci su tautohtoni (tako da imaju iste optiˇcke puteve) pa ne doprinose faznoj razlici 𝛿 (vidi primer 2, odeljka 11.2). Pri pisanju jednaˇcine (11.44a) pretpostavili smo da je promena talasnog broja pri putu zraka kroz ploˇcicu zanemarljiva. Da bismo naˇsli putnu razliku Δ zraka 𝐼 i 𝐼𝐼 pretpostavimo da je 𝜃′′ ≈ 𝜃, tj. zanemarimo skretanje zraka u taˇckama 𝑂1 i 𝑂2 , kao na Fig. 89. U tom sluˇcaju putna razlika Δ = (𝑆0 𝑂2 + 𝑂2 𝐵2 ) − (𝑆0 𝑂1 + 𝑂1 𝐵1 )

(11.44a)

moˇze lako da se nadje ako se uvedu ”likovi” 𝑆1′ i 𝑆2′ taˇcke 𝑆0 (simboliˇcki prikazane kao izvor svetlosti na Fig. 89) u odnosu na ravni 𝐴1 i 𝐴2 , tj. postavljaju´ci taˇcke 𝑆1′ i 𝑆2′ tako da je 152

FIG. 89: Odredjivanje putne razlike metodom likova

𝑆0 𝐴1 = 𝐴1 𝑆1′ i 𝑆0 𝐴2 = 𝐴2 𝑆2′ . Sa Fig. 89 se vidi da je 𝑆0 𝑂2 = 𝑆2′ 𝑂2 i 𝑆0 𝑂1 = 𝑆1′ 𝑂1 , tako da je Δ = (𝑆2′ 𝑂2 + 𝑂2 𝐵2 ) − (𝑆1′ 𝑂1 + 𝑂1 𝐵1 ) = 𝑆2′ 𝐵2 − 𝑆1′ 𝐵1 .

(11.44b)

Δ = 𝑆1′ 𝑆2′ cos 𝜃,

(11.44c)

Oˇcigledno,

pri ˇcemu je 𝑆1′ 𝑆2′ = 𝑆0 𝑆2′ − 𝑆0 𝑆1′ = 2(𝑆0 𝐴2 − 𝑆0 𝐴1 ) = 2𝑑, tako da je Δ = 2𝑑 cos 𝜃.

(11.45)

Pored posmatrana dva zraka koji se sabiraju u taˇcki 𝑀 , a potiˇce od taˇcke 𝑆1 izvora, u ovoj taˇcki ´ce se sabirati i zraci koji iz razliˇcitih taˇcaka izvora kre´cu paralelno uoˇcenom zraku iz taˇcke 𝑆1 (Fig. 87). Svaki od ovih zraka ´ce se amplitudno podeliti u plan-paralelnoj ploˇcici na dva ”parcijalna” zraka. Kako svaki od zraka iz uoˇcenog snopa paralelnih zraka pada pod istim uglom 𝜃 na ploˇcicu, fazne razlike svetlosti odgovaraju´cih parcijalnih talasa bi´ce ponovo date sa jednaˇcinama (11.43c) i (11.45): 𝛿 = 2𝑘𝑑 cos 𝜃 + 𝜋.

(11.46)

Parcijalni talasi I i II nastali amplitudnom deobom pojedinog zraka iz snopa medjusobno interferiraju, tako da je jaˇcina sv etlosti u taˇcki 𝑀 data jednaˇcinom (11.43c). Ako uzmemo 153

FIG. 90: Zavisnost 𝐼 od 𝜃

u obzir da je izvor svetlosti kontinualan, za jaˇcina svetlosti 𝑑𝐼 u taˇcki 𝑀 , od elementa 𝑑𝑉 izvora oko taˇcke 𝑆1 , imamo:

𝛿 𝑑𝐼 = 4𝜌2 𝑑𝐼0 cos2 , 2

(11.47)

gde je sa 𝑑𝐼0 oznaˇcena jaˇcina svetlosti od elementa 𝑑𝑉 u posmatranom pravcu (u kome se prostire snop paralelnih zraka koji se sabira u taˇcki 𝑀 ). ”Parcijalni talasi” razliˇcitih zraka su medjusobno nekoherentni , tj. ne interferiraju. Zbog toga za ukupnu jaˇcinu svetlosti u taˇcki 𝑀 imamo zbir (inhtegral) jaˇcine svetlosti 𝑑𝐼: ∫ 𝐼 = 𝑑𝐼.

(11.48a)

Kako su sve fazne razlike u izrazu za 𝑑𝐼 jednake, za ukupnu jaˇcinu svetlosti u taˇcki 𝑀 imamo ( 𝜋) 𝐼 = 4𝜌2 𝐼0 cos2 𝑘𝑑 cos 𝜃 + , (11.48b) 2 ∫ gde je 𝐼0 = 𝑑𝐼0 ”ukupna” jaˇcina svetlosti (celog izvora) izraˇcena u uoˇcenom pravcu. Na osnovu jednaˇcine (11.48b) vidimo da je jaˇcina svetlosti u zadnjoj ˇziˇznoj ravni 𝐹 ′ , funkcija ugla 𝜃, kao ˇsto je prikazano na Fig. 90. Kako zraci iz izvora padaju na ploˇcicu pod svim mogu´cim uglovima 𝜃, pri ˇcemu je na osnovu jednaˇcine (11.38) 𝑦 = 𝑓 ′ ⋅ 𝜃, uoˇcavamo 154

FIG. 91: Interferenciona slika nastala amplitudnom deobom

da se na zaklonu javlja interferenciona slika, koja zbog rotacione simetrije sistema imam oblik koncentriˇcnih svetlih i tamnih prstenova. Da bi se opisala ova slika uvodi se tzv. red interferencije 𝑚, jednaˇcinom 𝛿𝑚 = 2𝜋𝑚.

(11.49a)

Po svojoj definiciji 𝑚 predstavlja celobrojni umnoˇzak veliˇcine 2𝜋 sadrˇzane u fazi 𝛿. Kako je 𝛿 dato izrazom (11.46), imamo 𝑚=

𝑘𝑑 1 cos 𝜃𝑚 + = 1, 2, ... 𝜋 2

(11.49b)

Red interferencije se moˇze izraziti i preko talasne duˇzine 𝜆 = 2𝜋/𝑘: 𝑚=

2𝑑 1 cos 𝜃𝑚 + . 𝜆 2

(11.49c)

Po definiciji (11.49a) za 𝜃 = 𝜃𝑚 vaˇzi 𝛿𝑚 = 2𝜋𝑚, tako da je cos2 (𝛿𝑚 /2) = 1, tj. za 𝜃 = 𝜃𝑚 jaˇcina svetlosti ima maksimume. Na osnovu nejednakosti cos 𝜃𝑚 ≤ 1, vidimo da postoji maksimalan red interferencije

[

𝑚𝑚𝑎𝑥

] 2𝑑 1 = + . 𝜆 2

155

(11.50)

Broj 𝑚𝑚𝑎𝑥 odredjuje ukupan broj interferencionih prstenova na zaklonu. Kako 𝑚𝑚𝑎𝑥 odgovara vrednosti cos 𝜃𝑚 ≈ 1, tj. 𝜃 ≈ 0, vidimo da maksimalni red interferencije odgovara centralnoj taˇcki na zaklonu (vidi Fig. 91). + 12 , red interferencije se moˇze izraziti u obliku ( ) 1 1 𝑚 = 𝑚𝑚𝑎𝑥 − (11.51a) cos 𝜃𝑚 + . 2 2 √ √ Za male uglove 𝜃, bi´ce cos 𝜃 = 1 − sin2 𝜃 ≈ 1 − 𝜃2 ≈ 1 − 𝜃2 /2, tako da je, za 𝑚𝑚𝑎𝑥 ≫ 1 Preko veliˇcine 𝑚𝑚𝑎𝑥 ≈

i 𝜃𝑚 ≪ 1,

2𝑑 𝜆

( )( ) ) ( 1 1 2 1 1 2 𝑚 = 𝑚𝑚𝑎𝑥 − 1 − 𝜃𝑚 + ≈ 𝑚𝑚𝑎𝑥 1 − 𝜃𝑚 . 2 2 2 2

(11.51b)

Polupreˇcnik 𝑦𝑚 𝑚-tog prstena je dat jednaˇcinom (11.38): 𝑦𝑚 = 𝜃𝑚 . 𝑓′ Zamenom 𝜃𝑚 iz jednaˇcine (11.51b) u jednaˇcinu (11.52a) nalazimo √ 𝑚𝑚𝑎𝑥 − 𝑚 ′ 𝑦𝑚 = 𝑓 2 . 𝑚𝑚𝑎𝑥

(11.52a)

(11.52b)

Na osnovu jednaˇcine (11.50) vidimo da sa porastom debljine ploˇcice 𝑑 raste 𝑚𝑚𝑎𝑥 , tako da prstnovi postaju sve bliˇzi jedan drugom, pri ˇcemu se na rubovima interferencione slike oni slivaju u jedan i ne mogu se jasno raspoznavati. Sama interferenciona slika je lokalizovana u prostoru. Linearne dimenzije ove oblasti su odredjene veliˇcinom √ 𝑦0 = 𝑓 ′ 2.

(11.52c)

11.5. Amplitudna deoba-Majkelsonov interferometar

Amplitudna deoba svetlosnog talasa se moˇze posti´ci i pomo´cu Majkelsonovog interferometra. Ovaj optiˇcki instrument moˇze biti podeˇsen za razliˇcite vrste merenja, na primer za merenje talasne duˇzine svetlosti, za razna spektroskopska merenja i sliˇcno. U ovom odeljku mi ´cemo prvo opisati kako se pomo´cu ovog uredjaja moˇze izmeriti talasna duˇzina, a zatim ´cemo objasniti kako isti uredjaj sluˇzi za dobijanje interferencione slike. Shema uredjaja je data na Fig. 92. Kao izvor svetlosti koristi se zapreminski izvor monohromatske svetlosti.

Amplitudna deoba se vrˇsi pomo´cu jednostrano posrebrenog

ogledala nagnutog pod uglom od 45∘ prema optiˇckoj osi sistema (𝑥-osa). Ovakvo ogledalo 156

FIG. 92: Majkelsonov interferometar

predstavlja polupropustljivo ogledalo. Zraci nastali amplitudnom deobom reflektuju se od ogledala 𝐴1 i 𝐴2 i ponovo rekombinuju na polupropustljivom ogledalu. Deo uredjaja je i kompenzaciona ploˇcica koja se postavlja da bi svaki zrak prolazio jednak put kroz staklo od koga je napravljeno polupropustljivo ogledalo. Kao detektor svetlosti se koristi durbin sa soˇcivom. Ukoliko se interferenciona slika detektuje okom treba uoˇciti da i oko sadrˇzi soˇcivo. Razmotrimo prvo naˇcin formiranja zraka koji u detektor stiˇzu u taˇcku 𝑀 na optiˇckoj osi, tj. pod uglom 𝜃 = 0 (Fig. 92). U taˇcki 𝑀 se saˇzimaju zraci koji nastaju amplitudnom deobom zraka 𝑆0 𝑂 kao i oni koji potiˇcu od snopa svetlosnih zraka paralelnih zraku 𝑆0 𝑂. Kako kompenzaciona ploˇcica poniˇstava faznu razliku zraka nastalu usled prelaska kroz staklo, na Fig. 93 polupropustljivo ogledalo je prikazano bez dimenzija. Zrak 1 koji polazi iz izvora 𝑆0 pada na polupropustljivo ogledalo. Zrak se u taˇcki 𝑂 delimiˇcno reflektuje i delimiˇcno prolazi kroz ogledalo. Zrak 1′ koji se reflektuje ide ka ogledalu 𝐴1 , a propuˇsten zrak 2′ ide ka ogledalu 𝐴2 . Posle odbijanja od ogledala 𝐴1 (zrak 1′′ ) i 157

FIG. 93: Amplitudna deoba zraka kod Majkelsonovog interferometra

ogledala 𝐴2 (zrak 2′′ ), zraci ponovo padaju na polupropustljivo ogledalo u taˇcki 𝑂. Zrak 1′′ se delimiˇcno odbija (zrak 1′′′ ) a delimiˇcno prolazi kroz polupropustljivo ogledalo (zrak 𝐼), dok se zrak 2′′ delimiˇcno reflektuje (zrak 𝐼𝐼) i delimiˇcno prolazi (zrak 2′′′ ). Talasi koji se kre´cu duˇz zraka 𝐼 i 𝐼𝐼 (koji su u pravcu ose 𝑥 ose) medjusobno interferiraju i po prolasku kroz soˇcivo sabiraju se u taˇcki 𝑀 . Interferencija je posledica koherentnosti talasa koji se prostiru duˇz zraka 𝐼 i 𝐼𝐼; naime ovi talasi su monohromatski talasi istih uˇcestanosti. Amplitude talasa 𝐼 i 𝐼𝐼 nalazimo razmatraju´ci deobe amplituda na svim granicama izmedju dve optiˇcke sredine. Strogo govore´ci, sada bi trebalo ponoviti analizu iz prethodnog odeljka. Medjutim, radi jednostavnosti, pretpostavi´cemo da se pri deobi talasa energija talasa deli na dva jednaka dela. Oznaˇcimo sada sa 𝐴0 amplitudu talasa duˇz upadnog zraka 1. Energija koja duˇz zraka 1 padne na jedinicu povrˇsine u jedinici vremena proporcionalna je sa 𝐴20 . Ona se deli na reflektovanu energiju (𝐴20 /2) koja se prostire duˇz zraka 1′ i propuˇstenu energiju (𝐴20 /2) koja se prostire duˇz zraka 2′ . Prema tome amplitude talasa duˇz zraka 1′ i

158

√ 2′ bi´ce 𝐴0 / 2. Posle refleksije na ogledalima 𝐴1 i 𝐴2 gde se ne menja energija, zraci 1′′ i 2′′ √ (sa amplitudama 𝐴0 / 2) ponovo dolaze u taˇcku 𝑂. Kako se energija svakog od njih deli na dva jednaka dela, zakljuˇcujemo da ´ce amplitude talasa 𝐴𝐼 i 𝐴𝐼𝐼 biti 1 𝐴𝐼𝐼 ≈ 𝐴𝐼 ≈ 𝐴0 . 2

(11.53)

Dakle, talasi 𝐼 i 𝐼𝐼 sada interferiraju po zakonu (11.43c) gde je 𝜌 = 1/2. Jaˇcina svetlosti u taˇcki 𝑀 od elemenata 𝑑𝑉 izvora data je formulom (11.47): 𝛿 𝑑𝐼 = 𝑑𝐼0 cos2 , 2

(11.54)

gde je 𝑑𝐼0 jaˇcina svetlosti od elementa 𝑑𝑉 u pravcu 𝑆0 𝑂. Veliˇcina 𝛿 u jednaˇcini (11.54) predstavlja faznu talasa 𝐼 i 𝐼𝐼 u taˇcki 𝑀 . Ako se uzme u obzir da oba talasa doˇzivljavaju isti broj refleksija, ukupna fazna razlika zbog refleksije ´ce biti jednaka nuli, tako da je 𝛿 = 𝑘Δ =

2𝜋 , 𝜆

(11.55a)

gde je Δ putna razlika zraka 𝐼 i 𝐼𝐼. Kod Majkelsonovog interferometra putna razlika je jednaka: Δ = 𝑠2 − 𝑠1 ,

(11.55b)

gde su 𝑠𝑖 ukupni putevi koje predju zraci 𝐼 i 𝐼𝐼 od 𝑆0 do 𝐵. Sa Fig. 93 vidimo da su ovi putevi dati sa: 𝑠1 = 𝑦1 + 2𝑙1 + 𝑥, 𝑠2 = 𝑦1 + 2𝑙2 + 𝑥, tako da je Δ = 2𝑑, 𝑑 = 𝑙2 − 𝑙1 .

(11.55c)

Ukupna jaˇcina svetlosti od snopa svetlosnih zraka paralelnih 𝑦 osi (koji medjusobno ne interferiraju) sada se nalazi integracijom jednaˇcine (11.54): ∫ 𝐼 = 𝑑𝐼,

(11.56a)

tj. 𝛿 𝐼 = 𝐼0 cos2 , 2

𝛿=

4𝜋 𝑑, 𝜆

(11.56b)

gde je 𝐼0 ukupna jaˇcina svetlosti koju zraci izvor u pravcu 𝑦-ose. Vidimo da se variranjem vrednosti 𝑙1 i 𝑙2 moˇze posti´ci razliˇcita jaˇcina svetlosti u detektoru. Pri 𝛿𝑚 = 2𝜋𝑚, kada je 2𝜋 𝑑 𝜆 𝑚

= 𝑚𝜋 gde je 𝑚 = 0, 1, 2, ... imali bi 𝐼 = 𝐼0 . U posmatranom sluˇcaju celokupna energija

izraˇcena iz izvora (u posmatranom pravcu 𝑦 ose, u jedinici vremena) stiˇze u detektor. Na 159

FIG. 94: Metod likova i Majkelsonov interferometar

osnovu formule (11.56b) vidimo da iz poznavanja rastojanja 𝑑𝑚 pri kome jaˇcina svetlosti ima maksimum, moˇze da se odredi talasna duˇzina 𝜆. Za 𝑚 = 1, imamo 𝜆 = 2𝑑1 .

(11.57)

Kako se veliˇcina 𝑑 moˇze da menja pomeranjem ogledala 𝐴1 i 𝐴2 Majkelsonov uredjaj moˇze da sluˇzi za merenje jaˇcine svetlosti. Pri fiksiranom poloˇzaju ogledala, interferencionu sliku moˇzemo detektovati u zadnjoj ˇziˇznoj ravni. Sada ´ce se u posmatranoj taˇcki 𝑀 (pod uglom 𝜃) u odnosu na 𝑥-osu, sabirati zraci koji su paralelni pravcu koji formira centar soˇciva i taˇcka 𝑀 . Da bismo pojednostavili analizu interferencione slike, pokaˇzimo prvo da se sluˇcaj 𝜃 = 0 moˇze lako opisati metodom likova. Potrebno je uvesti lik 𝑆0′ izvora 𝑆0 i lik 𝐴′2 ogledala 𝐴2 (Fig. 94(a)). U ovom sluˇcaju svi optiˇcki sistemi 𝐴1 , 𝐴′2 , 𝑆0′ , soˇciva su na istoj osi (𝑥-osa). Zrak 𝐼 sada kao da ide od 𝑆0′ odbija se od 𝐴1 i vra´ca duˇz 𝑥-ose, dok zrak 𝐼𝐼 polazi iz izvora 𝑆0′ reflektuje se od 𝐴′2 i vra´ca duˇz 𝑥-ose. Fazna razlika ovako formiranih zraka je 𝛿 = 𝑘Δ, gde je Δ = 2𝑑 = 2(𝑙2 − 𝑙1 ), tako da sa stanoviˇsta detekcije svetlosti u taˇcki 𝑀 nema razlike izmedju sistema sa Fig. 93 i Fig. 94(a). Ako se usvoji ista ekvivalentnost i pri uglu 𝜃 ∕= 0 imali bi kos upad na sistem 𝐴1 𝐴′2 , kao 160

na Fig. 94(b), pod uglom 𝜃. Ovim smo Majkelsonov interferometar sveli na sluˇcaj planparalelnih ploˇcica prikazan na Fig.89. Jedina razlika u odnosu na plan-paralelnu ploˇcicu je ˇsto su 𝐴1 i 𝐴′2 sada ogledala. Zrak 𝐼 ide od izvora 𝑆0′ , reflektuje se od ogledala 𝐴1 i vra´ca se u 𝑀 , dok se zrak 𝐼𝐼 formira kada zrak formalno prodje kroz 𝐴1 , reflektuje se o 𝐴2 i vra´ca u 𝑀 (Fig. 94(b)). Po analogiji sa jednaˇcinom (11.45), fazna razlika posmatranih zraka je sada jednaka: 2𝜋 Δ, Δ = 2𝑑 cos 𝜃, 𝑑 = 𝑙2 − 𝑙1 . (11.57) 𝜆 Jaˇcina svetlosti u taˇcki 𝑀 sada zavisi od jaˇcine svetlosti izvora izraˇcene u pravcu ra𝛿 = 𝑘Δ =

zliˇcitom od 𝑦-ose. Pretpostavimo, radi jednostavnosti, da izvor zraci izotropno, tj. da je ukupna jaˇcina svetlosti 𝐼0 ista u svim pravcima. U taˇcki 𝑀 , tada imamo 𝛿 4𝜋 𝐼 = 𝐼0 cos2 , 𝛿 = 𝑑 cos 𝜃 = 2𝑘𝑑 cos 𝜃 2 𝜆

(11.58a)

(dobili smo izraz (11.48b) u kome je 𝜌 = 1/2 i bez fazne razlike 𝜋/2). Dalja analiza interferencione slike bila bi analogna onoj u predhodnom odeljku. Po analogiji sa (11.49c), red interferencije sada bi bio dat jednaˇcinom 𝑚=

2𝑑 cos 𝜃𝑚 = 0, 1, 2, ... 𝜆

(11.58b)

gde vrednosti 𝜃𝑚 odgovaraju maksimumima jaˇcine svetlosti. Interferenciona slika je analogna onoj prikazanoj na Fig. 91. Broj interferencionih prestenova odredjen je sa maksimalnim redom interferencije, koji je sada jednak 𝑚𝑚𝑎𝑥 = [

2𝑑 ]. 𝜆

Polupreˇcnik 𝑚-tog prstena je dat jednaˇcinom (11.52b): √ 𝑚𝑚𝑎𝑥 − 𝑚 ′ 𝑦𝑚 = 𝑓 2 . 𝑚𝑚𝑎𝑥

(11.58c)

(11.59)

Dakle, pri malom rasipanju svetlosnog snopa, i paralelnim ravnima 𝐴1 i lika ravni 𝐴2 , dobijaju se ravnomerno rasporedjeni koncentriˇcni svetli i tamni prstenovi kojih ukupno ima 𝑚𝑚𝑎𝑥 i ˇciji su polupreˇcnici dati jednaˇcinom (11.59). Pomo´cu opisanog interferometra Majkelson je ostvario nekoliko istorijskih eksperimenata. Najpoznatiji od njih ostvaren je u saradnji sa Morlijem 1887. godine sa ciljem da se utvrdi kretanje Zemlje u odnosu na etar. Primetimo da Majkelsonov interferometar moˇze da se iskoristi na viˇse naˇcina. U jednoj od varijanti on predstavlja osnovni uredjaj tzv. interferencione spektrometrije. 161

11.6. Interferencija talasa nastalih deobom talasnog fronta

Deoba talasnog fronta talasa iz jednog izvora svetlosti predstavlja drugi naˇcin da se ostvari koherencija talasa koji interferiraju. Najjednostavniji naˇcin da se ostvari deoba talasnog fronta predloˇzio je Jung (1801. godine). Shematski prikaz Jungovog eksperimenta dat je na Fig. 95. Zraci koji polaze od izvora svetlosti 𝑆 nailaze na nepropustljivu pregradu na kojoj se nalaze dva mala otvora koji su simetriˇcno postavljeni, kao na Fig. 95. Taˇckasti izvor svetlosti 𝑆 se nalazi na 𝑥-osi koja je ortogonalna na pregradu. U saglasnosti sa Hajgensovim principom (odeljak 6.5), svaka taˇcka talasnog fronta svetlosnog talasa Σ iz izvora 𝑆 postaje izvor sekundarnog talasa. Zbog postojanja pregrade ostaju aktivne samo otvori 𝑆1 i 𝑆2 , tako da se oni javljaju kao izvori sekundarnih talasa. Izvor 𝑆 kao i otvori 𝑆1 i 𝑆2 predstavljaju izvore sfernih talasa. Kako izvore 𝑆1 i 𝑆2 pobudjuje isti prvobitni talasa, sekundarni talasi iz ovih izvora bi´ce uzajamno koherentni. Primetimo da je za malo rastojanje 𝑑 izmedju otvora sistem pribliˇzno rotaciono simetriˇcan u odnosu na 𝑥-osu (vidi Fig. 95). Sekundarni (sferni) talasi interferiraju, tako da se na zaklonu (𝑦𝑂𝑧-ravan) koji je postavljen na rastojanju 𝑙 od pregrade, javlja interferenciona slika. Oznaˇcimo sa 𝑦, 𝑦-koordinatu proizvoljne taˇcke 𝑀 na zaklonu. Izvori 𝑆1 i 𝑆2 su izvori monohromatskih talasa istih uˇcestanosti 𝜔. Ovi talasi su istih amplituda, koje se mogu smatrati konstantnim duˇz zraka 1 i 2 (od taˇcaka 𝑆1 i 𝑆2 do 𝑀 ). Zbog toga su jaˇcine svetlosti 𝐼1 i 𝐼2 od izvora 𝑆1 i 𝑆2 medjusobno jednake, 𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼0 , tako da je jaˇcina svetlosti u taˇcki 𝑀 data sa jednaˇcinom (11.16): 𝛿 𝐼 = 4𝐼0 cos2 . 2

(11.60a)

Kako talasi u izvorima 𝑆1 i 𝑆2 osciluju u fazi, fazna razlika 𝛿 bi´ce odredjena jednaˇcinom (11.20c): 𝛿 = 𝑘(𝑠2 − 𝑠1 ),

(11.60b)

gde su 𝑠1 i 𝑠2 udaljenosti taˇcke 𝑀 od izvora 𝑆1 i 𝑆2 . U realnim eksperimentalnim uslovima rastojanje izmedju otvora 𝑑 je znatno manje od udaljenosti 𝑙 izmedju pregrade i zaklona. Takodje, u oblasti u kojoj se realno ostvaruje interferencija i udaljenost taˇcke 𝑀 od 𝑥-ose, bi´ce znatno manja od 𝑙: 𝑑 ≪ 𝑙, 𝑦 ≪ 𝑙. 162

(11.61)

FIG. 95: Shematski prikaz Jungovog eksperimenta

Pod uslovima (11.61) izraz za faznu razliku se znatno pojednostavljuje. Naime, sa Fig. 95 imamo

(

𝑠21

𝑑 =𝑙 + 𝑦− 2

)2

2

(

,

𝑠22

𝑑 =𝑙 + 𝑦+ 2

)2

2

,

(11.62a)

tako da je ( 𝑠22

−

𝑠21

= (𝑠2 + 𝑠1 )(𝑠2 − 𝑠1 ) =

𝑑 𝑦+ 2

)2

(

𝑑 − 𝑦− 2

)2 = 2𝑦𝑑.

(11.62b)

Kako je, pod uslovima (11.61), 𝑠1 ≈ 𝑠2 ≈ 𝑙, iz jednaˇcine (11.62b) nalazimo 𝑠2 − 𝑠1 ≈

𝑦𝑑 . 𝑙

(11.62c)

Zamenom ove vrednosti u izraz (11.60b), i uoˇcivˇsi da je 𝑘 = 2𝜋/𝜆, za faznu razliku 𝛿 nalazimo: 𝛿=

2𝜋 𝑦𝑑 Δ, Δ = . 𝜆 𝑙

(11.63)

Dakle, na zaklonu se javlja interferenciona slika u obliku svetlih i tamnih prstenova. Duˇz 163

FIG. 96: (a) Zavisnost 𝐼 od 𝑦 i (b) interferenciona slika

𝑦-pravca, jaˇcina svetlosti 𝐼 se menja po zakonu ( 𝐼 = 4𝐼0 cos

2

) 𝜋𝑑 𝑦 . 𝜆𝑙

(11.64)

Interferenciona slika se ponovo moˇze okarakterisati pomo´cu reda interferencije 𝑚 koji je definisan sa 𝛿𝑚 = 2𝜋𝑚,jednaˇcinom (11.49a). U posmatranom sluˇcaju imamo: 𝑚=

𝑦𝑚 𝑑 = 0, ±1, ±2, ... 𝜆𝑙

(11.65a)

Oˇcigledno, poloˇzaji 𝑙 𝑦𝑚 = 𝑚 𝜆, 𝑚 = 0, ±1, ±2, ... 𝑑

(11.65b)

oznaˇcavaju poloˇzaje maksimalnih inteziteta svetlosti (vidi Fig. 96). Inteziteti svetlosti bi´ce minimalni za 𝛿𝑚 = (2𝑚 + 1)𝜋, odakle vidimo da su poloˇzaji minimuma odredjeni sa ( ) 1 𝑙 𝑦𝑚𝑖𝑛 = 𝑚 + .𝜆. (11.66c) 2 𝑑 Rastojanje izmedju susednih maksimuma, jednako je rastojanju izmedju susednih minimuma i iznosi 𝑙 Δ𝑦 = 𝜆. 𝑑 Za ˇsirinu prstena se takodje moˇze uzeti gornji izraz. 164

(11.66d)

Dakle, rastojanje izmedju prstenova opada sa pove´canjem rastojanja 𝑑 izmedju otvora. U sluˇcaju da je 𝑑 reda veliˇcine 𝑙, rastojanje izmedju prstenova bi bilo reda veliˇcine 𝜆, tj. nekoliko 𝜇m i pojedini prstenovi se ne bi uoˇcavali. Da bi interferenciona slika bila uoˇcljiva neophodan je uslov 𝑑 ≪ 𝑙, kao ˇsto je i bilo zadato uslovom (11.61). Napomenimo na kraju, da se jaˇcina svetlosti 𝐼 menja duˇz 𝑦-ose po zakonu (11.60a) samo za monohromatsku svetlost. Ukoliko bi izvor 𝑆 bio prirodna bela svetlost (tj. svetlost koja je sastavljena od komponentnih talasa svih uˇcestanosti 𝜔 iz vidljivog dela spektra) interferenciona slika bi postala razmazana. Naime, za svaku od komponenti, vazila bi jednaˇcina (11.60a), pa bi se maksimumi inteziteta svetlosti 𝑦𝑚 = 𝑚𝑙𝜆/𝑑 pojedinih komponenti razlikovali. Ovi maksimumi bi se poklapali jedino u centru zaklona (𝑚 = 0, 𝑦𝑚 = 0). Pri udaljavanju od centra maksimumi razliˇcitih ”boja” se medjusobno meˇsaju. Jasna interferenciona slika koja se dobija u sluˇcaju monohromatskog izvora date talasne duˇzine 𝜆 moˇze da se iskoristi za merenje ove fiziˇcke veliˇcine. Treba samo uoˇciti da je, na osnovu jednaˇcine (11.66d) 𝜆 = 𝑑𝑙 Δ𝑦, tako da merenjem rastojanja izmedju prstenova moˇze da se odredi talasna duˇzina svetlosti. Upravo je u eksperimentima ovog tipa prvi put i bila izmerena jaˇcina svetlosti. Deoba talasnog fronata moˇze da se izvede i sa izvorom u obliku svetle´ce niti postavljenim duˇz 𝑧-ose, ako se na pregradi naprave tanke pukotine takodje u ovom pravcu. Izvor svetlosti 𝑆, kao i pukotine 𝑆1 i 𝑆2 su tada izvori cilindriˇcnih talasa. Ovi talasi takodje interferiraju, a rezultuju´ca jaˇcina svetlosti duˇz 𝑦 ose je ponovo data jednaˇcinom (11.64); medjutim, umesto koncentiˇcnih krugova na na zaklonu se javljaju paralelne svetle i tamne pruge.

§12 Koherencia svetlosti 12.1. Vremenska koherencija (talasni segmenti)

Pojam koherencije svetlosnih talasa ve´c je uveden u odeljku 11.1 gde smo diskutovali fenomen interferencije, kao saglasnost svetlosnih talasa koji uˇcestvuju u interferenciji. Ova saglasnost moˇze biti viˇse ili manje izraˇzena, tako da je potrebno definisati stepen koherentnosti. Stepen koherentnosti talasa bitno utiˇce na stabilnost interferencione slike.

Naime,

naruˇsavanjem prostorno-vremenske koherencije talasa koji uˇcestvuju u interferenciji, dolazi

165

FIG. 97: Vremenska koherencija: model (a) talasnih segmenata i (b) talasnog paketa

do gubitaka interferencione slike. Svetlosni talasi koji potiˇcu od realnih izvora (dakle, prostornih, nemonohromatskih izvora) karakterisu se konaˇcnim vremenom koherencije Δ𝑡. Interferenciona slika je vidljiva samo pod uslovom (11.6), kada je vreme Δ𝑡 ve´ce od vremena merenja Δ𝜏 . U ovom odeljku i odeljku 12.2 bi´ce razmatrana tzv. vremenska koherencija koja je karakteristiˇcna za interferenciju svetlosti nastalu amplitudnom deobom. Prostorna koherencija koja se javlja pri interferenciji talasa nastalih deobom talasnog fronta bi´ce analizirana u osljku 12.3. Vremensku koherenciju razmotriˇcemo na primeru Majkelsonovog interferometra, zasnovanog na postizanju koherencije amplitudnom deobim (odeljak 11.5). U ovom sluˇcaju stabilna interferenciona slika moˇze biti ostvarena samo ako je veliˇcina 𝑑 = 𝑙2 −𝑙1 dobro podeˇsena u odnosu na karakteristike izvora. Pritom bitnu ulogu igra nemonohromatski karakter realnih izvora. Za opis ovakvih izvora koriste se dva modela: model talasnih segmenata i model talasnog paketa, koji su prikazani na Fig. 97(a,b), respektivno. U prvom sluˇcaju se pretpostavlja da izvor zraˇci talas date uˇcestanosti samo u toku vremena koherencije Δ𝑡, a da se van ovog intervla uˇcestanost menja, Fig. 97(a). Zraci 𝐼 i 𝐼𝐼 koji interferiraju prelaze razliˇcite puteve. Prema tome, svetlosnim talasima 𝐼 i 𝐼𝐼 koji stiˇzu u taˇcku 𝑀 , polaze´ci od taˇcke 𝑆0 treba razliˇcito vreme 𝑡1 i 𝑡2 . Kako su zraci od talasne ravni

166

FIG. 98: Zavisnost 𝜔 od vremena za talasne segmente

Σ do 𝑀 tautohtoni, razlika Δ𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1 u vremenima jednaka je Δ𝜏 = Δ/𝑣, gde je 𝑣 brzina svetlosti a Δ putna razlika data jednaˇcinom (11.55c): Δ𝜏 =

Δ , 𝑣

Δ = 2𝑑,

𝑑 = 𝑙2 − 𝑙1 .

(12.1)

Vreme kaˇsnjenja Δ𝜏 u posmatranom modelu igra ulogu vremena merenja. Pri interferenciji u Majkelsonovom interferometru talasi duˇz zraka 𝐼 i 𝐼𝐼 ima´ce u trenutku detekcije 𝑡 uˇcestanosti 𝜔𝐼 = 𝜔(𝑡 − 𝑡1 ) i 𝜔𝐼𝐼 = 𝜔(𝑡 − 𝑡2 ), gde je 𝑡2 − 𝑡1 = Δ𝜏 . Ako trenutak 𝑡 − 𝑡1 oznaˇcimo sa 𝑡′ , imamo Δ𝜔(𝑡) = 𝜔𝐼𝐼 − 𝜔𝐼 = 𝜔(𝑡′ − Δ𝜏 ) − 𝜔(𝑡′ ).

(12.2a)

Za talasne segmente zavisnost 𝜔 od 𝑡′ je data na Fig. 98. Vaˇzno je razlikovati dve situacije: Δ𝜏 < Δ𝑡, Fig 98(a) i Δ𝜏 > Δ𝑡, Fig 98(b). U posmatranim sluˇcajevima imamo Δ𝜔(𝑡) = 0; Δ𝜏 < Δ𝑡,

Δ𝜔(𝑡) = 𝜔2 − 𝜔1 ; Δ𝜏 > Δ𝑡.

(12.2b)

U opˇstem sluˇcaju dolazi do ”interferencije” dva monohromatska talasa razliˇcitih uˇcestanosti 𝜔1 i 𝜔2 . Ako, radi jednostavnosti, pretpostavimo da je 𝜔1 ≈ 𝜔2 , za interferencioni ˇclan 𝐼12 jaˇcine svetlosti u taˇcki 𝑀 u trenutku 𝑡 imamo izraz dat jednaˇcina (11.32b), u kome su zbog deobe amlituda (𝐴𝐼 = 𝐴𝐼𝐼 = 𝐴0 /2) jaˇcine svetlosti 𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼0 /4. Ukupna jaˇcina svetlosti je prema tome data slede´cim izrazom: 1 4𝜋 𝐼 = 𝐼0 [1 + 𝑉 (Δ𝜔, Δ𝜏 ) cos 𝛿], 𝛿 ≈ 𝑑, 𝑑 = 𝑙2 − 𝑙1 , 2 𝜆1 167

(12.3a)

gde je vidljivost

( 𝑉 (Δ𝜔, Δ𝜏 ) =

sin

Δ𝜔(𝑡)Δ𝜏 2

Δ𝜔(𝑡)Δ𝜏 2

) .

(12.3b)

Oˇcigledno, za Δ𝜏 < Δ𝑡, kada je Δ𝜔(𝑡) = 0, imamo 𝑉 → 1, tj. interferenciona slika je jasno vidljiva. Kada je Δ𝜏 > Δ𝑡, vrednost funkcije 𝑉 je manja od 1. U tom sluˇcaju vidljivost slike zavisi od odnosa Δ𝜔 = 𝜔2 − 𝜔1 i vremena kaˇsnjenja Δ𝜏 . Iz predhodne analize je jasno zaˇsto vreme trajanja segmenta Δ𝑡 moˇzemo smatrati vremenom koherencije. Uslov jasne vidljivosti (𝑉 = 1) ispunjen je pod uslovom Δ𝜏 =

Δ < Δ𝑡. 𝑣

(12.4a)

Pri datom Δ𝑡 (karakteristika izvora) nejednakost (12.4a) karakteriˇse ponaˇsanje jaˇcine svetlosti u taˇcki 𝑀 kao funkcije rastojanja Δ = 2𝑑 = 2(𝑙2 − 𝑙1 ). Naime, pri pove´canju Δ, u taˇcki 𝑀 se prvo smenjuju svetlost i tama, a zatim se pri Δ = Δ𝑔𝑟 , gde je Δ𝑔𝑟 = Δ𝑡 𝑣

(12.4b)

interferencioni efekat gubi. Pri daljem pove´canju Δ(Δ > Δ𝑔𝑟 ) ne dolazi do promene jaˇcine svetlosti: ona ´ce biti data jednaˇcinom (12.3a) u kojoj je 𝑉 = 0. Primetimo da u jednaˇcinama (12.4a,b) figuriˇse veliˇcina 𝑣 ⋅ Δ𝑡 koja ima dimenzije duˇzine i naziva se duˇzina koherencije: 𝑙𝑘𝑜ℎ = 𝑣 ⋅ Δ𝑡

(12.5a)

Uslov jasne vidljivosti (12.4a) kao i ”graniˇcni” uslov (12.4b) mogu da se izraze i preko duˇzine koherencije kao Δ < 𝑙𝑘𝑜ℎ ,

(12.5b)

Δ𝑔𝑟 = 𝑙𝑘𝑜ℎ .

(12.5c)

odnosno

Dosadaˇsnja analiza se odnosila na detekciju svetlosti u taˇcki 𝑀 na 𝑥-osi optiˇckog sistema. Ukoliko se detekcija svetlosti vrˇsi u taˇcki 𝑀 koja ne leˇzi na 𝑥-osi nego je pod uglom 𝜃 u odnosu na centar soˇciva, videti npr. Fig. 94(b), onda za vreme kaˇsnjenja (merenja) Δ𝜏 imamo Δ𝜏 =

Δ , 𝑣

gde je Δ = 2𝑑 cos 𝜃, pri ˇcemu je 𝑑 = 𝑙2 − 𝑙1 . Uslov vremenske koherencije

Δ𝜏 < Δ𝑡 dobija slede´ci eksplicitni oblik: 2𝑑 cos 𝜃 < Δ𝑡. 𝑣 168

(12.6a)

Pri fiksiranoj vrednosti 𝑑, uslov (12.6a) odredjuje prostornu oblast u kojoj je obezbedjena vremenska koherencija. Graniˇcni ugao 𝜃𝑔𝑟 je odredjen relacijom cos 𝜃𝑔𝑟 =

𝑣Δ𝑡 . 2𝑑

(12.6b)

Na osnovu jednaˇcinu (12.6a), veliˇcina 𝑣Δ𝑡 u jednaˇcini (12.6b) predstavlja duˇzinu koherencije, tako da je cos 𝜃𝑔𝑟 =

𝑙𝑘𝑜ℎ . 2𝑑

(12.6c)

Dakle, zbog zahteva za vremenskom koherentnoˇs´cu, interferenciona slika je vidljiva samo do 𝜃 < 𝜃𝑔𝑟 , tj. postoji konaˇcna prostorna oblast (polje) interferencije. Na osnovu jednaˇcine (12.6c) vidimo da su linearne dimenzije ove oblasti odredjene duˇzinom koherencije.

12.2. Vremenska koherencija (talasni paket)

Drugi model zraˇcenja realnog izvora, pretpostavlja da izvor zraˇci kontinum uˇcestanosti iz intervala 𝜔 ∈ [𝜔0 −

Δ𝜔 , 𝜔0 2

+

Δ𝜔 ], 2

tako da se umesto monohromatskih talasa formiraju

talasni paketi (Fig. 97(b)), opisani u odeljku 1.5. Talasni paketi koji se prostiru duˇz 𝑦 ose su prostorno lokalizovani u oblasti Δ𝑦, pri ˇcemu izmedju Δ𝑘 = Δ𝜔/𝑣 i Δ𝑦 vaˇzi relacija ”neodredjenosti” (1.44): Δ𝑦Δ𝑘 = 2𝜋, gde je Δ𝑘 = Δ𝜔/𝑣 interval talasnih brojeva paketa. Pretpostavimo sada da do interferencije dolazi samo izmedju talasa nastalih amplitudnom deobom parcijalnih talasa datog 𝜔, dok izmedju talasa razliˇcitog 𝜔 nema interferencije. U tom sluˇcaju rezultuju´ca jaˇcina svetlosti data je sa: ∫

𝜔0 + Δ𝜔 2

𝐼=

𝑑𝐼(𝜔)

(12.7a)

𝜔0 − Δ𝜔 2

gde je 𝑑𝐼(𝜔) jaˇcina svetlosti u detektoru od dela paketa uˇcestanosti 𝑑𝜔. Veliˇcina 𝑑𝐼(𝜔) je data jednaˇcinom (11.56b): ( 𝑑𝐼𝜔 = 𝐼0𝜔 cos

2

𝛿(𝜔) 2

)

1 𝑑𝜔 = 𝐼0𝜔 (1 + cos 𝛿(𝜔))𝑑𝜔, 2

(12.7b)

gde je 𝐼0𝜔 jaˇcina svetlosti koju posmatrani izvor izraˇci (u odgovaraju´cem pravcu) po jedinici 𝜔, tj. 𝐼0𝜔 𝑑𝜔 je jaˇcina svetlosti uˇcestanosti 𝜔 iz intervala 𝑑𝜔. Fazna razlika 𝛿 odgovara uoˇcenom parcijalnom talasu: 𝛿(𝜔) = 𝑘Δ =

𝜔 Δ, 𝑣

Δ = 2𝑑,

169

𝑑 = 𝑙2 − 𝑙1 .

(12.7)

Rezultuju´cu jaˇcinu svetlosti nalazimo zamenom (12.7b) u (12.7a): 1 𝐼= 2

∫

𝜔0 + Δ𝜔 2 𝜔0 − Δ𝜔 2

[

(

𝐼0𝜔 1 + cos

Δ 𝜔 𝑣

)] 𝑑𝜔.

(12.8a)

Primenom teoreme o srednjoj vrednosti, za jaˇcinu svetlosti nalazimo 1 𝐼 = < 𝐼0𝜔 > 2

∫

𝜔0 + Δ𝜔 2

[

( 1 + cos

𝜔0 − Δ𝜔 2

Δ 𝜔 𝑣

)] 𝑑𝜔

(12.8b)

gde je < 𝐼0𝜔 > srednja vrednost veliˇcine 𝐼𝜔 po 𝜔 u intervalu 𝜔 ∈ [𝜔0 − Direktnom integracijom, za jaˇcinu svetlosti 𝐼, nalazimo ¯ ⎡ ( )¯ ¯ 𝜔0 + 𝑣 1 Δ 𝐼 = < 𝐼0𝜔 > ⎣Δ𝜔 + sin 𝜔 ¯¯ 2 Δ 𝑣 ¯ 𝜔0 −

Δ𝜔 , 𝜔0 2

+

Δ𝜔 ]. 2

⎤ Δ𝜔 2 Δ𝜔 2

⎦,

(12.9a)

odnosno 𝐼= gde je

Za 𝛼 =

1 < 𝐼0𝜔 > Δ𝜔[1 + 𝜖], 2

¯ (Δ ) ¯ sin 𝜔 ¯¯ 𝜔0 + Δ𝜔 2 𝜖= Δ 𝑣 = ¯ Δ𝜔 Δ𝜔 ¯ 𝜔 − 𝑣 0 2 [ ( ) ( )] Δ Δ 1 Δ Δ = Δ sin 𝜔0 + Δ𝜔 − sin 𝜔0 − Δ𝜔 . 𝑣 2𝑣 𝑣 2𝑣 Δ𝜔 𝑣 Δ 𝜔 𝑣 0

i𝛽=

Δ Δ𝜔, 2𝑣

𝜖=

(12.9b)

(12.9c)

imamo

1 1 [sin(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 − 𝛽)] = ⋅ sin 𝛽 cos 𝛼. 2𝛽 2𝛽

Uoˇcivˇsi da je 𝛼 = 𝑘0 Δ = 𝛿(𝜔0 ), nalazimo: (Δ ) sin 2𝑣 Δ𝜔 𝜖= cos 𝛿(𝜔0 ). Δ Δ𝜔 2𝑣

(12.10a)

(12.10b)

Zamenom (12.10b) u (12.9b), nalazimo [ ] (Δ ) sin 2𝑣 Δ𝜔 1 cos 𝛿(𝜔0 ) . 𝐼 = < 𝐼0𝜔 > Δ𝜔 1 + Δ 2 Δ𝜔 2𝑣

(12.11)

Pretpostavimo sada da je zraˇcenje izvora ravnomerno. Tada je < 𝐼0𝜔 >=

170

𝐼0 , Δ𝜔

(12.12)

FIG. 99: Grafik funkcije sin 𝜉𝜔 /𝜉𝜔

gde je 𝐼0 ukupna jaˇcina svetlosti koju izvor izraˇci u datom pravcu. Tada se jaˇcina svetlosti 𝐼 moˇze napisati u slede´cem obliku 1 𝐼 = 𝐼0 (1 + 𝑉𝜔 cos 𝛿(𝜔0 )), 2 gde je 𝑉𝜔 =

sin

) Δ𝜔 . Δ Δ𝜔 2𝑣

(12.13a)

(Δ

2𝑣

(12.13b)

Izraz (12.13a) ima oblik koji se od odgovaraju´ce jaˇcine svetlosti za monohromatski izvor razlikuje samo za faktor 𝑉𝜔 . Kada se talasni paket koji zraˇci izvor redukuje na monohromatski talas (Δ𝜔 → 0), funkcija 𝑉𝜔 → 1, tako da se izraz (12.13a) poklapa sa izrazom (11.56b) za jaˇcinu svetlosti dobijenu interferencijom svetlosti monohromatskog izvora pomo´cu Mejkelsonovog interferometra. Primetimo takodje da 𝑉𝜔 → 0 kada Δ𝜔 → ∞, kada 𝐼 → 𝐼0 /2. Oˇcigledno funkcija 𝑉𝜔 odredjuje vidljivost interferencione slike i karakteriˇse stepen koherentnosti talasa koji interferiraju. Ako uvedemo veliˇcinu 𝜉𝜔 = Δ ⋅ Δ𝜔/(2𝑣) vidimo da je vidljivost 𝑉𝜔 data sa 𝑉𝜔 =

sin 𝜉𝜔 . 𝜉𝜔

(12.13c)

Grafik ove funkcije je dat na Fig. 99, sa koga vidimo da je 𝑉𝜔 ≈ 1 za − 𝜋2 < 𝜉𝜔 <

𝜋 , 2

ˇsto

znaˇci da talase moˇzemo smatrati vremenski koherentnim za Δ ⋅ Δ𝜔 𝜋 < . 2𝑣 2

171

(12.14a)

Ako gornju nejednakost izrazimo preko vremena kaˇsnjenja Δ𝜏 = Δ/𝑣, koje se moˇze smatrati vremenom merenja, imamo Δ𝜏 <

𝜋 . Δ𝜔

(12.14b)

Poslednja relacija moˇze da se protumaˇci kao uslov (potpune) vidljivosti interferencione slike, koji se izraˇzava uslovom (10.4a): Δ𝜏 < Δ𝑡. U tom smislu vreme koherencije za izvor koji zraˇci ”kontinuum” uˇcestanosti iz intervala ˇsirine Δ𝜔 iznosi Δ𝑡 =

𝜋 . Δ𝜔

(12.15a)

Duˇzina koherencije koja odgovara ovom vremenu koherencije je 𝑙𝑘𝑜ℎ = 𝑣Δ𝑡, tj. 𝑙𝑘𝑜ℎ =

𝜋𝑣 . Δ𝜔

(12.15b)

Primetimo da duˇzina koherencije moˇze da se poveˇze sa prostornoˇs´cu talasnog paketa Δ𝑦. Naime, kako je Δ𝑦Δ𝑘 = Δ𝑦Δ𝜔/𝑣 = 2𝜋, vidimo da je 𝑙𝑘𝑜ℎ = Δ𝑦/2. Granica vidljivosti u sluˇcaju talasnog paketa odredjena je jednakoˇs´cu u nejednaˇcini (12.14b). Ona se moˇze izraziti u dva ekvivalenta oblika Δ𝜏𝑔𝑟 = Δ𝑡,

Δ𝑔𝑟 = 𝑙𝑘𝑜ℎ

(12.15c)

gde je Δ𝑔𝑟 graniˇcna vrednost putne razlike Δ = 2𝑑. Kada je vreme koherencije Δ𝑡 = 𝜋/Δ𝜔 manje od vremena merenja Δ𝜏 = Δ/𝑣, bi´ce 𝑉𝜔 ≈ 0, pa se gubi interferencioni efekat. Naime, za Δ𝜏 > Δ𝑡, tj. Δ𝑔𝑟 > 𝑙𝑘𝑜ℎ , poloˇzaji maksimuma inteziteta svetlosti jednih uˇcestanosti mogu se poklapati sa poloˇzajima minimuma inteziteta svetlosti drugih uˇcestanosti tako da se interferenciona slika gubi. Vidljivost interferencione slike oˇcigledno zavisi od karakteristika interferometra (𝑑 = 𝑙2 −𝑙1 ) i vremenskih karakteristika izvora (Δ𝜔).

12.3. Prostorna koherencija

Vrsta koherencije koja se ostvaruje pri deobi talasnog fronta je tzv. prostorna koherencija. Naime, u ovom sluˇcaju je potrebno ostvariti fazne korelacije duˇz talasnog fronta u datom vremenskom intervalu. Stepen ove koherencije u realnim uslovima povezan je sa prostornoˇs´cu izvora svetlosti. U odeljku 11.6 mi smo razmatrali interferenciju talasa nastalih deobom talasnog fronta za 172

FIG. 100: Amplitudna deoba sa prostornim izvorom

taˇckasti izvor svetlosti 𝑆. Pretpostavimo sada da je izvor svetlosti konaˇcnih dimenzija. Radi jednostavnosti ograniˇcimo se na linijski izvor postavljen duˇz 𝑦-ose visine 2𝑢0 (Fig. 100) i oznaˇcimo sa 𝑦 ′ teku´cu koordinatu izvora. Fazna razlika sfernih talasa od elementa izvora koordinate 𝑦 ′ u taˇcki 𝑀 zaklona jednaka je 𝛿 = 𝑘Δ, gde je Δ = 𝑠2 − 𝑠1 + 𝑠′2 − 𝑠′1

(12.16a)

(videti primer 1, odeljka 11.2). Pretpostavimo sada da vaˇze uslovi (11.61): 𝑑 ≪ 𝑙, 𝑦 ≪ 𝑙, kao i 𝑑 ≪ 𝑙′ i 𝑦 ′ ≪ 𝑙′ . Tada, po analogiji sa jednaˇcinom (11.62c) imamo 𝑠2 − 𝑠1 =

𝑦′𝑑 𝑦𝑑 , 𝑠′2 − 𝑠′1 = ′ . 𝑙 𝑙

(12.16b)

Talasi nastali amplitudnom deobom u otvorima su istih amplituda i istih uˇcestanosti, tako da za jaˇcinu svetlosti 𝑑𝐼 od uoˇcenog elementa izvora vaˇzi ednaˇcina (11.16): 𝛿 𝑑𝐼 = 4𝐼0𝑦 cos2 𝑑𝑦 = 2𝐼0𝑦 (1 + cos 𝛿)𝑑𝑦, 2 173

(12.17a)

gde je 𝐼0𝑦 𝑑𝑦 ′ jaˇcina svetlosti koju bi emitovao izolovan deo izvora koordinate 𝑦 ′ u pravcu otvora 𝑆1 (odnosno 𝑆2 ). Kako zraci koji stiˇzu u taˇcku 𝑀 od razliˇcitih delova izvora nisu medjusobno koherentni, oni ne interferiraju, tako da je ukupna jaˇcina svetlosti u taˇcki 𝑀 jednaka

∫ 𝐼=

𝑑𝐼.

(12.17b)

Zamenom (12.17a) u (12.17b), nalazimo ( )] ∫ 𝑢0 [ 𝑘𝑑 𝑘𝑑′ ′ 𝐼 = 2 < 𝐼0𝑦 > 1 + cos 𝑦+ ′ 𝑦 𝑑𝑦, 𝑙 𝑙 −𝑢0 gde smo sa < 𝐼0𝑦 > oznaˇcili prostornu srednju vrednost veliˇcine 𝐼0𝑦 (𝑦 ′ ). Dakle ¯ ⎤ ⎡ ( )¯ ′ ¯ 𝑢0 𝑙 𝑘𝑑 𝑘𝑑 ⎦, 𝐼 = 2 < 𝐼0𝑦 > ⎣2𝑢0 + sin 𝑦 + ′ 𝑦 ′ ¯¯ 𝑘𝑑 𝑙 𝑙 ¯ −𝑢0 odnosno, za 𝛼 = 𝐼 = 4 < 𝐼0𝑦

𝑘𝑑 𝑦 𝑙

i𝛽=

(12.18a)

(12.18b)

𝑘𝑑 𝑢, 𝑙′ 0

[ ] ) ( 1 1 > 𝑢0 1 + (sin(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 − 𝛽)) = 4 < 𝐼0𝑦 > 𝑢0 1 + sin 𝛽 cos 𝛼 , 2𝛽 𝛽 (12.18c)

tako da je

[ 𝐼 = 4 < 𝐼0𝑦 > 𝑢0 1 +

sin

( 𝑘𝑑 𝑙′

𝑢0

)

𝑘𝑑 𝑢 𝑙′ 0

( cos

𝑘𝑑 𝑦 𝑙

Ako je zraˇcenje izvora prostorno ravnomerno, bi´ce < 𝐼0𝑦 >=

)]

𝐼0 2𝑢0

.

(12.18d)

gde je 𝐼0 jaˇcina svetlosti

koju emituje izvor u pravcu otvora 𝑆1 (odnosno 𝑆2 ). Jaˇcina svetlosti od ovakvog izvora u taˇcki 𝑀 zaklona jednaka je )] [ ( 𝑘𝑑 𝑦 , 𝐼 = 2𝐼0 1 + 𝑉𝑢 cos 𝑙 gde je veliˇcina 𝑉𝑢 data sa 𝑉𝑢 =

( 𝑘𝑑

sin

𝑙′

𝑢0

𝑘𝑑 𝑢 𝑙′ 0

(12.19a)

) .

Uporedjuju´ci izraz (12.19a) sa izrazom (11.64) koji vaˇzi za taˇckasti izvor: [ ( )] 𝑘𝑑 𝐼 = 2𝐼0 1 + cos 𝑦 , 𝑙

(12.19b)

(12.19c)

vidimo da se oni razlikuju za faktor 𝑉𝑢 , koji sada preuzima ulogu vidljivosti. Kada 𝑢0 → 0 (prostorni izvor se svodi na taˇckasti), imamo 𝑉𝑢 → 1, pa se izrazi (12.19a) i (12.19c)

174

poklapaju, a interferenciona slika je potpuno jasna. Kada 𝑢0 → ∞, vidljivost 𝑉𝑢 → 0, pa interferenciona slika u potpunosti nestaje. Za konaˇcni izvor bi´ce 0 < 𝑉𝑢 < 1,

(12.20)

a talasi koji nastaju deobom talasnog fronta talasa iz date taˇcke izvora bi´ce samo delimiˇcno (prostorno) koherentni. Vidljivost 𝑉𝑢 bitno zavisi od koliˇcnika 𝑢0 /𝑙′ = tan 𝜑/2 ≈ 𝜑/2, gde je 𝜑 tzv. ugaona dimenzija izvora (vidi Fig. 100). Prema tome, mere´ci vidljivost 𝑉𝑢 svetlosti od prostornog izvora mogu se odrediti njegove ugaone dimenzije. Na ovom principu je zasnovan tzv. Majkelsonov zvezdani interferometar. U vezi sa veliˇcinom 𝑉𝑢 moˇze se definisati granica vidljivosti interferencione slike. Naime, izraˇzena preko veliˇcine 𝜉𝑢 = 𝑘𝑑𝑢0 /𝑙′ = 2𝜋𝑑𝑢0 /(𝜆𝑙′ ) = 𝜋𝜑𝑑/𝜆, vidljivost 𝑉𝑢 je 𝑉𝑢 =

sin 𝜉𝑢 , 𝜉𝑢

(12.21)

tj. ima isti oblik kao vidljivost 𝑉𝜔 definisana jednaˇcinom (12.13c). Ako granicu vidljivosti definiˇsemo sa uslovom 𝑉𝑢 ≈ 1, − 𝜋2 < 𝜉𝑢 <

𝜋 2

(Fig. 100), zakljuˇcujemo da talase moˇzemo

smatrati prostorno koherentnim za 𝜑𝑑 1 < . (12.22) 𝜆 2 Vidljivost interferencione slike u sluˇcaju razmatrane prostorne koherencije zavisi od karakteristika ”interferometra” (𝑑) i prostornih karakteristika izvora (𝜑). Primetimo, medjutim da se razliˇcite vrste koherencije ne javljaju izolovano. Tako, na primer, u interferencionom eksperimentu sa deobom talasnog fronta izvora koji nije strogo monohromatski, nego zraˇci kontinuum uˇcestanosti 𝜔 ∈ [𝜔0 −

Δ𝜔 , 𝜔0 2

+

Δ𝜔 ], 2

pored uslova

(12.22) treba uzeti u obzir i prostornu ograniˇcenost interferencione slike, odredjene, na primer, uslovom (12.15c): Δ < 𝑙𝑘𝑜ℎ , gde je 𝑙𝑘𝑜ℎ = 𝜋𝑣/Δ𝜔. Pritom se za putnu razliku Δ moˇze uzeti isti izraz (11.63) kao i za taˇckasti izvor (Δ = 𝑦𝑑/𝑙). Dakle, u principu, postoje kombinovana ograniˇcenja. Zbog prostornosti izvora, interferenciona slika je vidljiva samo za izvore ˇcije su ugaone dimenzije manje od 𝜑𝑔𝑟 gde je 𝜑𝑔𝑟 =

𝜆 . 2𝑑

(11.23a)

Zbog nemonohromatiˇcnosti izvora, postoji ograniˇceno polje interferencije, tj. interferenciona slika je vidljiva do 𝑦𝑔𝑟 gde je

𝑙 𝑦𝑔𝑟 = 𝑙𝑘𝑜ℎ ⋅ . 𝑑 175

(12.23)

Poslednji vidljiv red interferencije 𝑚 = 𝑑 ⋅ 𝑦𝑚 /(𝜆𝑙), jednaˇcina (11.65a), je prema tome dat uslovom 𝑦𝑚 = 𝑦𝑔𝑟 , odakle dobijamo 𝑚𝑔𝑟 =

𝑙𝑘𝑜ℎ . 𝜆

(12.23c)

Primetimo da je u opˇstem sluˇcaju 𝑙𝑘𝑜ℎ = Δ𝑡 ⋅ 𝑣 gde je Δ𝑡 vreme koherencije (karakteristika izvora).

§13 Difrakcija 13.1. Fenomen difrakcije

Pod difrakcijom se u najopˇstijem smislu podrazumeva ponaˇsanje svetlosti na granicama neprovidnih sredina, tj. kada se na putu svetlosti nadju zakloni sa otvorima ili neko neprovidno telo. Na osnovu zakona geometrijske optike u ovim sluˇcajevima bi razlikovali mesta jasne osvetljenosti i tamna mesta (senke). Medjutim, eksperimenti pokazuju da svetlost zalazi u geometrijsku senku, a da u okolini granica neprovidnih tela jaˇcina svetlosti postaje neravnomerno rasporedjena (kao pri interferenciji). Ova pojava se naziva difrakcija svetlosti. Na primer, ako se na put svetlosti postavi neprovidna prepreka sa kruˇznim otvorom, Fig. 101, onda bi se na zaklonu iza otvora pojavila slika otvora (svetlost) i oko nje oblast (geometrijske) senke. Medjutim, zavisno od veliˇcine otvora, osvetljenost na zaklonu je viˇse ili manje proˇsirena, tj. svetlost ulazi u oblast geometrijske senke. Takodje, smanjenjem polupreˇcnika otvora, koje bi prema zakonima geometrijske optike trebalo da bude pra´ceno smanjenjem osvetljene oblasti na zaklonu, dovodi do suprotnog efekta. Svetlost sve dublje prodire u oblast geometrijske senke. Dalje, osvetljena oblast na zaklonu nije monotono osvetljena ve´c se javljaju oblasti maksimalne i minimalne osvetljenosti. Moˇze se ˇcak desiti (pri nekoj veliˇcini otvora) da se nasuprot otvora pojavljuje senka! Sa teorijskog stanoviˇsta, ovakvo ponaˇsanje nije neoˇcekivano. Potrebno je samo da se podsetimo da su granice neprovidnih sredina oblasti jake optiˇcke nehomogenosti tako da je uslov (6.12a) pod kojim vaˇzi ajkonalna aproksimacija (a koja leˇzi u osnovi geometrijske optike) naruˇsen. Drugim reˇcima, na ovim granicama svetlosni vektor menja svoj pravac i svoju amplitudu kao na granici dve optiˇcke sredine u skladu sa opˇstom elektromagnetnom teorijom. 176

FIG. 101: Ponaˇsanje svetlosti pri nailasku na kruˇzni otvor u okviru geometrijske optike

FIG. 102: Ponaˇsanje svetlosti pri nailasku na kruˇzni otvor na osnovu Hajgensonovog principa

U odeljku 6.5, medjutim, formulisali smo Hajgensov princip koji daje mogu´cnost kvalitativnog objaˇsnjenja pojave difrakcije. Saglasno ovom principu svaka taˇcka talasnog fronta se moˇze posmatrati kao izvor sekundarnog talasa ˇcija obvojnica formira novi talasni front. Ako ovaj princip primenimo na prepreku sa otvorom vide´cemo da je mogu´ce skretanje svetlosti u geometrijsku senku (Fig. 102). Potpuno objaˇsnjenje difrakcije na otvoru, medjutim, zahteva da se uzme u obzir interferencija sekundarnih talasa i to smatraju´ci da su oni medjusobno koherentni. U tom smislu, nema principijelne razlike izmedju interferencije i difrakcije. Jedino

177

FIG. 103: Fraunhoferova difrakcija

FIG. 104: Frenelova difrakcija

se u okviru interferencije razmatraju dva koherentna talasa, dok se u difrakcionim pojavama radi o kontinumu koherentnih talasa. Prvi kvantitativan opis pojave difrakcije zasnivao sa na Hajgens-Frenelovom principu. Ovaj princip daje semi-empirijsku formulu pomo´cu koje se moˇze na´ci rezultuju´ci talasni vektor koji nastaje superpozicijom sekundarnih talasa. Formula ovakvog tipa moˇze se dobiti i polaze´ci od Maksvelovih jednaˇcina za elektromagnetno polje na osnovu analize ponaˇsanja talasnih jednaˇcina koje iz njih slede (odeljak 13.2). Pre nego ˇsto predjemo na ova teorijska razmatranja primetimo da postoje dva tipa difrak178

cije: Fraunhoferova i Frenelova. U prvom sluˇcaju interferiraju (ravanski) talasi u okviru snopa paralelonih zraka, dok se u drugom sluˇcaju difrakcija dobija interferencijom sfernih talasa. Fraunhoferova difrakcija se moˇze dobiti postavljanjem po jednog (tankog) soˇciva iza taˇckastog izvora 𝑆 i ispred taˇcke detekcije 𝑀 , Fig. 103, tako da taˇcke 𝑆 i 𝑀 leˇze u ˇziˇznim ravnima soˇciva. Ukoliko u sistemu nema soˇciva, dolazi do Frenelove difrakcije, Fig. 104.

13.2. Kirkhofova formula i Hajgens-Frenelov princip

Razmotrimo sada kako se Hajgens-Frenelov princip moˇze dobiti egzaktno na osnovu elektromagnetne prirode svetlosti. ⃗ 𝑟, 𝑡) i 𝐵(⃗ ⃗ 𝑟, 𝑡). Ove vektore moˇzemo predPosmatrajmo polje monohromatskih talasa 𝐸(⃗ ⃗ˇ = 𝐸 ⃗ˇ0 (⃗𝑟)𝑒−𝑖𝜔𝑡 i 𝐵 ⃗ˇ = 𝐵 ⃗ˇ0 (⃗𝑟)𝑒−𝑖𝜔𝑡 . Vektori 𝐸 ⃗ i 𝐵 ⃗ u nestaviti u kompleksnom obliku: 𝐸 provodnim sredinama bez stranih naelektrisanja koje su homogene (𝜀𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜇𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) i stacionarne (𝜀𝑟 ∕= 𝜀𝑟 (𝑡), 𝜇𝑟 ∕= 𝜇𝑟 (𝑡)), zadovoljavaju talasne jednaˇcine (1.8a) i (1.9a). Isto ⃗ˇ i 𝐵. ⃗ˇ S obzirom na pretpostavljeni monohromatski karakter vaˇzi i za kompleksne vektore 𝐸 ⃗ˇ i 𝐵, ⃗ˇ obe ove jednaˇcine, mogu da se napisu u obliku jednaˇcine (6.4): talasa 𝐸 ˇ = −𝑘 2 Ψ, ˇ ˇ = −𝑛2 𝑘 2 Ψ ΔΨ 0

(13.1)

ˇ proizvoljna komponenta vektora 𝐸 ⃗ˇ0 ili 𝐵 ⃗ˇ0 . gde je Ψ Dokaˇzimo sada jednu vaˇznu osobinu jednaˇcine (13.1) koja se ˇcesto formuliˇse kao teorema o jedinstvenosti. Naime, reˇsenje jednaˇcine (13.1) je jednoznaˇcno odredjeno u celom prostoru ako je poznato na nekoj zatvorenoj povrˇsini (𝑆). Da bismo dokazali ovo tvrdjenje uoˇcimo proizvoljnu taˇcku 𝑀 unutar oblasti obuhva´cenoj povrˇsinom 𝑆, kao na Fig. 105. Uoˇcimo takodje sferu 𝑆0 oko taˇcke 𝑀 . Konstruktivni dokaz se zasniva na primeni Gausove teoreme po oblasti zapremine 𝑉 − 𝑉0 , koja se nalazi izmedju povrˇsina 𝑆0 i 𝑆, ∫ ∫ ˇ ˇ ⋅ 𝑑𝑆. ⃗ div⃗𝑎 𝑑𝑉 = ⃗𝑎 𝑉 −𝑉0

(13.2a)

𝑆+𝑆0

ˇ = ⃗𝑎 ˇ(⃗𝑟), gde je sa ⃗𝑟 oznaˇcena teku´ca Gausova teorema se primenjuje na kompleksni vektor ⃗𝑎 koordinata zapremine 𝑉 − 𝑉0 , oblika ˇ = Ψgrad ˇ ⃗𝑎

(

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

) −

𝑒𝑖𝑘𝑟 ˇ gradΨ 𝑟

(13.2b)

ˇ je pogodan, zato ˇsto omoguˇcava da se polje u taˇcki 𝑀 izrazi preko Izabrani oblik vektor ⃗𝑎 polja na povrˇsini 𝑆 preko pojma sekundaarnih sfernih talasa 𝑒𝑖𝑘𝑟 /𝑟, ˇsto u krajnjoj liniji 179

FIG. 105: Povrˇsine 𝑆 i 𝑆0 oko taˇcke 𝑀

dovodi do formulisanja Hajgens - Frenelovog principa. Primetimo da je u oblasti 𝑉 − 𝑉0 ˇ∣ konaˇcna veliˇcina. moduo ∣⃗𝑎 ˇ je Divergencija kompleksnog vektora ⃗𝑎 ( 𝑖𝑘𝑟 )) ( ( 𝑖𝑘𝑟 ) 𝑒 𝑒 ˇ ˇ ˇ div⃗𝑎 = div Ψgrad − div gradΨ , 𝑟 𝑟

(13.3a)

odnosno ( ˇ = gradΨ ˇ ⋅ grad div⃗𝑎

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

)

( ˇ + ΨΔ

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

tj.

( ˇ = ΨΔ ˇ div⃗𝑎

)

( − grad

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

) −

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

)

𝑖𝑘𝑟 ˇ − 𝑒 ΔΨ, ˇ ⋅ gradΨ 𝑟

𝑒𝑖𝑘𝑟 ˇ ΔΨ. 𝑟

(13.3b)

(13.3c)

S druge strane, vaˇze slede´ci izrazi: ( grad i

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

)

∂ = ∂𝑟

(

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

) ⃗𝑒𝑟

ˇ ˇ ˇ ⋅ 𝑑𝑆 ⃗ = ∂ Ψ 𝑑𝑆 = ∂ Ψ ⃗𝑒𝑛 ⋅ 𝑑𝑆, ⃗ gradΨ ∂𝑠 ∂𝑠

(13.4a)

(13.4b)

gde je 𝑠 varijabla u pravcu normale na povrˇsinu, a ⃗𝑒𝑛 jediniˇcni ort normale (vidi Fig. 105). Koriste´ci jednaˇcine (13.4a) i (13.4b), nalazimo [ ( ) ˇ ] ∂ 𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑒𝑖𝑘𝑟 ∂ Ψ ˇ ⃗ ⃗ ˇ ⃗𝑒𝑛 ⋅ 𝑑𝑆. ⃗𝑎 ⋅ 𝑑𝑆 = Ψ ⃗𝑒𝑟 − ∂𝑟 𝑟 𝑟 ∂𝑠 Zamenom jednaˇcina (13.3a) i (13.4c) u jednaˇcinu (13.2a), dobijamo ] [ ] [ ( 𝑖𝑘𝑟 ) ( 𝑖𝑘𝑟 ) ∫ ∫ 𝑖𝑘𝑟 𝑖𝑘𝑟 ˇ ∂ 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 ∂ Ψ ˇ 𝑑𝑉 = ˇ ⃗ ˇ ΔΨ Ψ ⃗𝑒𝑛 ⋅ 𝑑𝑆. ΨΔ − ⃗𝑒𝑟 − 𝑟 𝑟 ∂𝑟 𝑟 𝑟 ∂𝑟 𝑆+𝑆0 𝑉 −𝑉0 180

(13.4c)

(13.5)

Uoˇcivˇsi da je

(

( 𝑖𝑘𝑟 ) 𝑒 𝑒𝑖𝑘𝑟 Δ 𝑟 = −𝑘 2 , (13.6a) 𝑟 𝑟 ˇ = −𝑘 2 Ψ, ˇ zakljuˇcujemo da je leva strana kao i da je (na osnovu jednaˇcine (13.1)) ΔΨ 𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

)

1 ∂2 = 𝑟 ∂𝑟2

jednaˇcine (13.5) jednaka nuli. Prema tome, bi´ce jednaka nuli i desna strana ove jednaˇcine: [ ( ) ∫ ˇ ] ∂ 𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑒𝑖𝑘𝑟 ∂ Ψ ˇ ⃗ = 0, Ψ ⃗𝑒𝑛 ⋅ 𝑑𝑆 ⃗𝑒𝑟 − (13.7a) ∂𝑟 𝑟 𝑟 ∂𝑠 𝑆+𝑆0 odnosno, razdvajaju´ci integral po 𝑆 + 𝑆0 na integrale po 𝑆 i 𝑆0 , ( 𝑖𝑘𝑟 ) ] ( 𝑖𝑘𝑟 ) ] ∮ [ ∮ [ 𝑖𝑘𝑟 ˇ 𝑖𝑘𝑟 ˇ 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 ∂ Ψ ∂ ∂ Ψ ∂ ⃗=− ⃗ (13.7b) ˇ ˇ ⃗𝑒𝑟 − ⃗𝑒𝑟 − ⃗𝑒𝑛 ⋅ 𝑑𝑆 Ψ ⃗𝑒𝑛 ⋅ 𝑑𝑆. Ψ ∂𝑟 𝑟 𝑟 ∂𝑠 ∂𝑟 𝑟 𝑟 ∂𝑠 𝑆 𝑆0 Pretpostavimo sada da se sfera 𝑆0 saˇzima u taˇcku 𝑀 . Tada, uoˇcivˇsi da je na povrˇsi 𝑆0 ⃗ = −𝑑𝑆⃗𝑒𝑟 , imamo element povrˇsine 𝑑𝑆 ∮ [ 𝑆0

ˇ ∂ Ψ ∂𝑟

(

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

)

[ ( ) ] ˇ ] ˇ 𝑒𝑖𝑘𝑟 ∂ Ψ ∂ 𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑒𝑖𝑘𝑟 ∂ Ψ 2 2 ⃗ ˇ ⃗𝑒𝑟 − ⃗𝑒𝑛 ⋅ 𝑑𝑆 = lim −Ψ ⋅ 4𝑟 𝜋 − ⋅ 4𝑟 𝜋 𝑟→0 𝑟 ∂𝑠 ∂𝑟 𝑟 𝑟 ∂𝑠 ] [ ˇ ∂Ψ 𝑖𝑘𝑟 𝑖𝑘𝑟 𝑖𝑘𝑟 ˇ ˇ = lim 4𝜋 Ψ𝑒 − Ψ(𝑖𝑘)𝑒 4𝑟𝜋 − 𝑒 4𝑟𝜋 . (13.8a) 𝑟→0 ∂𝑠

ˇ konaˇcna u taˇcki 𝑀 , vidimo da poslednja dva ˇclana teˇze nuli, dok Kako je veliˇcina Ψ ˇ → Ψ(𝑀 ˇ exp(𝑖𝑘𝑟) → 1, a Ψ ). Dakle, ∮ [ 𝑆0

ˇ ∂ Ψ ∂𝑟

(

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

)

ˇ ] 𝑒𝑖𝑘𝑟 ∂ Ψ ⃗ = 4𝜋 Ψ(𝑀 ˇ ⃗𝑒𝑟 − ⃗𝑒𝑛 ⋅ 𝑑𝑆 ). 𝑟 ∂𝑠

Zamenom poslednje jednaˇcine u jednaˇcinu (13.7b) imamo ( 𝑖𝑘𝑟 ) ] ∮ [ 𝑖𝑘𝑟 ˇ 1 ∂ 𝑒 ∂ Ψ 𝑒 ˇ ˇ ⃗ Ψ(𝑀 )=− Ψ ⃗𝑒𝑟 − ⃗𝑒𝑛 ⋅ 𝑑𝑆, 4𝜋 𝑆 ∂𝑟 𝑟 𝑟 ∂𝑠

(13.8b)

(13.9a)

tj. koriste´ci jednaˇcine (13.4a,b), 1 ˇ Ψ(𝑀 )=− 4𝜋

∮ [

( ˇ Ψgrad

𝑆

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

)

] 𝑒𝑖𝑘𝑟 ˇ ⋅ 𝑑𝑆. ⃗ − gradΨ 𝑟

(13.9b)

ˇ Analizom jednaˇcine (13.9b) dolazimo do zakljuˇcka da je funkcija Ψ(𝑀 ) u proizvoljnoj ˇ i gradΨ ˇ na proizvoljnoj zatvorenoj povrˇsini 𝑆 koja obuhtaˇcki 𝑀 odredjena vrednostima Ψ vata taˇcku 𝑀 . Jednaˇcina (13.9b) po svojoj suˇstini predstavlja tzv. integralnu jednaˇcinu za ˇ ˇciji je diferencijalni oblik talasna jednaˇcina (13.1). Ψ Primenimo sada jednaˇcinu (13.9b) na opis Frenelove difrakcije na kruˇznom otvoru. Za zatvorenu povrˇsinu 𝑆 uzimamo da se delimiˇcno poklapa sa delom talasne povrˇsine sfernog 181

FIG. 106: Pregrada sa kruˇznim otvorom; izbor povrˇsine 𝑆

talasa koga zraci taˇckasti izvor svetlosti (povrˇsina Δ𝑆), a delom da se poklapa sa pregradom ili da odlazi u beskonaˇcnost (povrˇsina 𝑆−Δ𝑆), kao na Fig. 106. Pri ovakvom izboru povrˇsine ⃗ bi´ce poznat na celoj ovoj povrˇsini. Na prepreci, kao i na delu povrˇsi 𝑆, talasni vektor 𝐸 𝑆 − Δ𝑆 ovaj vektor se anulira. Na povrˇsi Δ𝑆 koja predstavlja deo sfere polupreˇcnika 𝑅, to je sferni talas dat jednaˇcinom (1.43a): ⃗ˇ = 𝐴 𝑒𝑖𝑘𝑅⃗𝑒𝜃 , 𝐸 𝑅

(13.10a)

gde je ⃗𝑒𝜃 ort u pravcu porasta ugla 𝜃, vidi Fig. 106. Odgovaraju´ce dekartove koordinate ⃗ˇ su: 𝐸 ⃗ˇ0𝑖 = 𝐴 𝑒𝑖𝑘𝑅⃗𝑒𝜃 ⋅ ⃗𝑒𝑖 gde su ⃗𝑒𝑖 = ⃗𝑒𝑥 , ⃗𝑒𝑦 i⃗𝑒𝑧 ortovi 𝑥, 𝑦 i 𝑧-ose. Kada je izvor vectora 𝐸 𝑅 dovoljno daleko od otvora (tj. kada je otvor dovoljno mali) bi´ce ⃗𝑒𝜃 ⋅ ⃗𝑒𝑥 ≈ ⃗𝑒𝜃 ⋅ ⃗𝑒𝑧 ≈ 0, dok je ⃗𝑒𝜃 ⋅ ⃗𝑒𝑦 ≈ 1. Tada moˇzemo uzeti da je ˇ 𝑒𝑦 . ⃗ˇ ≈ 𝐴 𝑒𝑖𝑘𝑅⃗𝑒𝑦 = 𝐸ˇ0𝑦⃗𝑒𝑦 ≈ Ψ⃗ 𝐸 𝑅 ˇ i gradΨ ˇ na povrˇsi 𝑆 imamo U posmatranom sluˇcaju za Ψ ⎧ ⎧ ⎨ 𝐴 𝑒𝑖𝑘𝑅 , Δ𝑆 ⎨ grad ( 𝐴 𝑒𝑖𝑘𝑟′ ) / ′ 𝑟 =𝑅 , Δ𝑆 𝑅 𝑟′ ˇ = ˇ = Ψ gradΨ ⎩0 ⎩0 , 𝑆 − Δ𝑆 , 𝑆 − Δ𝑆 Zamenom izraza (13.10c) u jednaˇcinu (13.9b) nalazimo: ( 𝑖𝑘𝑟 ) ( ) ] ∫ [ 𝐴 𝑖𝑘𝑅 𝑒 𝐴 𝑖𝑘𝑟′ 1 𝑒𝑖𝑘𝑟 ˇ 𝑒 grad grad ′ 𝑒 /𝑟′ =𝑅 𝑑𝑆⃗𝑒𝑛 . Ψ(𝑀 ) = − − 4𝜋 Δ𝑆 𝑅 𝑟 𝑟 𝑟 Uoˇcivˇsi da je

( grad

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

)

∂ = ∂𝑟

(

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟

)

1 ⃗𝑒𝑟 = 𝑟

182

) ( 1 − + 𝑖𝑘 𝑒𝑖𝑘𝑟⃗𝑒𝑟 , 𝑟

(13.10b)

(13.10c)

(13.11)

(13.12a)

kao i da je

( grad

gde je ⃗𝑒𝑅 = −⃗𝑒𝑛 , imamo 1 𝑒𝑖𝑘𝑅 ˇ Ψ(𝑀 )=− 𝐴 4𝜋 𝑅

𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟′

′

)

[(

∫ Δ𝑆

𝑟′ =𝑅

1 = 𝑅

(

) 1 − + 𝑖𝑘 𝑒𝑖𝑘𝑅⃗𝑒𝑅 , 𝑅

) ( ) ] 1 1 ⃗ − + 𝑖𝑘 ⃗𝑒𝑟 + − + 𝑖𝑘 ⃗𝑒𝑛 ⋅ 𝑑𝑆. 𝑟 𝑅

⃗ = 𝑑𝑆⃗𝑒𝑛 , a ⃗𝑒𝑟 ⋅ ⃗𝑒𝑛 = cos 𝜑, vidi Fig. 106, nalazimo Konaˇcno, kako je 𝑑𝑆 [( ) ( )] 𝑖𝑘𝑅 ∫ 𝑖𝑘𝑟 𝑒 𝑒 1 1 1 ˇ =− 𝐴 − + 𝑖𝑘 cos 𝜑 + − + 𝑖𝑘 𝑑𝑆. Ψ 4𝜋 𝑅 Δ𝑆 𝑟 𝑟 𝑅

(13.12b)

(13.13a)

(13.13b)

Formula (13.13b) predstavlja tzv. Kirhofovu formulu, pomo´cu koje je mogu´ce na´ci svetlosni ⃗ = Re[Ψ ˇ exp(−𝑖𝜔𝑡)]⃗𝑒, u proizvoljnoj taˇcki 𝑀 iza zaklona sa kruˇznim otvorom. vektor 𝐸 Kirhova formula (13.13b) moˇze se uprostiti kada su izvor 𝑆 i taˇcka 𝑀 (u kojoj posmatramo svetlost) udaljeni od otvora na rastojanja znatno ve´ca od talasne duˇzine 𝜆 talasa. U tom sluˇcaju mogu se zanemariti ˇclanovi 1/𝑟 i 1/𝑅 u odnosu na 𝑘. Tada dobijamo 𝑖𝑘𝑅 ∫ 𝑒𝑖𝑘𝑟 1 𝑖𝑘 𝑒 ˇ =− 𝐴 Ψ (cos 𝜑 + 1)𝑑𝑆. 2𝜋 𝑅 Δ𝑆 𝑟 2

(13.14)

Oznaˇcimo izraz ispred integrala sa 𝑎 ˇ0 : 𝑎 ˇ0 = −

𝑖𝑘 𝑒𝑖𝑘𝑅 𝐴 , 2𝜋 𝑅

(13.15a)

i uvedimo oznaku 1 𝜑 (cos 𝜑 + 1) = cos2 = 𝐾(𝜑). 2 2 ˇ Tada se izraz (13.14a) za Ψ(𝑀 ) svodi na ∫ 𝑎 ˇ0 ˇ Ψ(𝑀 ) = 𝑘(𝜑) 𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑑𝑆. 𝑟 Δ𝑆

(13.15b)

(13.15c)

⃗ u taˇcki 𝑀 imamo 𝐸 = Na osnovu poslednjeg izraza, za intezitet talasnog vektora 𝐸 ˇ ˇ gde je Re[Ψ𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝜔𝑡)] = Re(𝐸), ∫ 𝑎 ˇ0 ˇ 𝐸(𝑀 ) = 𝐾(𝜑) 𝑒−(𝜔𝑡−𝑘𝑟) 𝑑𝑆. (13.16) 𝑟 Δ𝑆 Poslednja formula se moˇze interpretirati kao da svaka taˇcka dela talasnog fronta Δ𝑆 koji ”stane” u otvor postaje izvor sekundarnog sfernog talasa 𝑎 ˇ0 exp[−𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟)]/𝑟, pri ˇcemu se ovi talasi superponiraju (interferiraju), tako da u taˇcki 𝑀 , u trenutku 𝑡, daju ukupni svetlosni vektor inteziteta 𝐸ˇ datog formulom (13.16). Faktor 𝑘(𝜑) karakteriˇse razliˇcit doprinos pojedinih delova Δ𝑆. Njegova vrednost je maksimalna u pravcu normale na talasni front (⃗𝑒𝑟 = ⃗𝑒𝑛 , kada je 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1), tako da je 𝐾(𝜑) = 1. Jednaˇcina (13.16) ima isti oblik kao i semiempirijski Hajgens-Frenelov princip. 183

FIG. 107: Frenelove zone 13.3. Frenelove zone i zakon slaganja amplituda

Izraˇcunavanje veliˇcine 𝐸ˇ na osnovu formule (13.16) se znatno pojednostavljuje ako se talasna povrˇs podeli na zone (delove povrˇsi) ˇciji se doprinos ukupnom svetlosnom talasu u taˇcki 𝑀 lako izraˇcunava. Na taj naˇcin, izraˇcunavanje rezultuju´ce jaˇcine svetlosti moˇze se svesti na algebarski (ili geometrijski) problem. Talasna povrˇs sfernog monohromatskog talasa (talasne duˇzine 𝜆), posmatrana iz taˇcke 𝑀 , moˇze se izdeliti na zone, simetriˇcno postavljene duˇz pravca 𝑆𝑀 , Fig. 107. Definiˇsimo ove zone tako da se rastojanja od kraja svake zone do taˇcke 𝑀 razlikuju za 𝜆/2. Zone koje imaju ovo svojstvo nazivaju se Frenelove zone. Rastojanja 𝑏𝑚 od kraja 𝑚-te zone do taˇcke 𝑀 je dato sa 𝜆 𝑟𝑚 = 𝑏 + 𝑚 , 𝑚 = 1, 2, ..., 2

(13.17)

gde je 𝑏 rastojanje centralne taˇcke 𝑂 talasne povrˇsi od taˇcke 𝑀 (vidi Fig. 107). Podelivˇsi talasnu povrˇs na zone, povrˇsinu Δ𝑆 po kojoj se vrˇsi integracija u jednaˇcini (13.16) moˇzemo podeliti na povrˇsine Δ𝑆𝑚 , tako da je ˇ )= 𝐸(𝑀

∑

𝐸ˇ𝑚 (𝑀 ),

(13.18a)

𝑚

gde je

∫ 𝐸ˇ𝑚 (𝑀 ) =

𝐾(𝜑) Δ𝑆𝑚

184

𝑎 ˇ0 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟) 𝑒 𝑑𝑆. 𝑟

(13.18b)

FIG. 108: 𝑚-ta Frenelova zona

Sumiranje u jednaˇcini (13.18a) se vrˇsi po svim otvorenim Frenelovim zonama, tj. zonama koje stanu u ”otvor”. S obzirom da su povrˇsine Δ𝑆𝑚 vrlo male, imamo 𝑎 ˇ0 𝐸ˇ𝑚 (𝑀 ) ≈ 𝐾𝑚 (𝜑) 𝑒−𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟𝑚 ) Δ𝑆𝑚 . 𝑟𝑚

(13.19a)

Ako kompleksnu veliˇcinu 𝑎 ˇ0 izrazimo preko modula 𝑎0 = ∣ˇ 𝑎0 ∣ i faze 𝛼 kao 𝑎 ˇ0 = 𝑎0 𝑒𝑖𝛼 , izraz (13.19a) se moˇze predstaviti u slede´cem pogodnom obliku: 𝐸ˇ𝑚 (𝑀 ) = 𝐴𝑚 𝑒𝑖𝛼0 𝑒−𝑖𝜔𝑡+𝑖𝑘𝑟𝑚 ,

(13.19b)

gde je 𝐴𝑚 realna veliˇcina (amplituda) odredjena relacijom 𝐴𝑚 𝑒𝑖𝛼0 = 𝐾𝑚 (𝜑)

𝑎0 Δ𝑆𝑚 . 𝑟𝑚

(13.19c)

Povrˇsinu 𝑚-te Frenelove zone moˇzemo na´ci integracijom elementarne povrˇsine 𝑑𝑆 = 𝑅2 sin 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙:

∫

∫

𝜃𝑚

2𝜋

Δ𝑆𝑚 = 𝜃𝑚−1

𝑅2 sin 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙,

(13.20a)

0

gde su granice integracije date sa cos 𝜃𝑚 =

𝑅 − ℎ𝑚 𝑅 − ℎ𝑚−1 , cos 𝜃𝑚−1 = . 𝑅 𝑅

(13.20b)

Dakle, Δ𝑆𝑚 = 2𝜋𝑅2 (cos 𝜃𝑚−1 − cos 𝜃𝑚 ). Zamenom izraza (13.20b) u izraz (13.20c), nalazimo ( ) 𝑅 − ℎ𝑚−1 𝑅 − ℎ𝑚 2 − Δ𝑆𝑚 = 2𝜋𝑅 = 2𝜋𝑅 (ℎ𝑚 − ℎ𝑚−1 ) . 𝑅 𝑅 185

(13.20c)

(13.21)

Veliˇcina ℎ𝑚 , sledi iz geometrijskih odnosa koji se mogu uoˇciti na Fig. 108. Naime, 2 𝜌2𝑚 = 𝑅2 − (𝑅 − ℎ𝑚 )2 = 𝑟𝑚 − (𝑏 + ℎ𝑚 )2 ,

odakle je ℎ𝑚 =

2 𝑟𝑚 − 𝑏2 . 2(𝑏 + 𝑅)

Iskoristivˇsi definiciju (13.17) za 𝑟𝑚 , za veliˇcinu ℎ𝑚 imamo ( )2 ( ) 𝑏 + 𝑚 𝜆2 − 𝑏2 𝑚𝜆 𝑏𝑚 𝜆 ℎ𝑚 = 1+ . = 2(𝑏 + 𝑅) 2(𝑏 + 𝑅) 4 𝑏

(13.22a)

(13.22b)

(13.22c)

Ako broj otvorenih Frenelovih zona nije veliki, onda je 𝑚𝜆/(4𝑏) ≪ 1, tako da je ℎ𝑚 =

𝑏𝑚 𝜆 . 2(𝑏 + 𝑅)

(13.23)

Zamenom izraza (13.23) u (13.22a) moˇzemo na´ci polupreˇcnik 𝜌𝑚 𝑚-te Frenelove zone uslede´cem obliku: 𝜌2𝑚 = 𝑅2 − (𝑅 − ℎ𝑚 )2 = (2𝑅 − ℎ𝑚 ) ⋅ ℎ𝑚 .

(13.24a)

Pri relativno malom 𝑚, bi´ce ℎ𝑚 ≪ 𝑅, tako da je 𝜌2𝑚 ≈ 2𝑅ℎ𝑚 ,

(13.24b)

odnosno, zamenom izraza (13.23) u izraz (13.24b), 𝑏𝑚𝜆 . 2(𝑏 + 𝑟)

(13.24c)

𝑅𝑏 𝑚 ⋅ 𝜆. 𝑅+𝑏

(13.25a)

𝜌2𝑚 = 2𝑅 Dakle, polupreˇcnik 𝜌𝑚 , 𝑚-te zone je √ 𝜌𝑚 =

Da bismo procenili red veliˇcine zona, pretpostavimo da je 𝑅 = 𝑏 = 1 m i 𝜆 = 0.5𝜇m = 0.5 ⋅ 10−6 m. Tada za polupreˇcnik centralne (𝐼 zone) imamo √ 1 1 1 𝜌1 = ⋅ ⋅ 10−6 m = ⋅ 10−3 m = 0.5mm. 2 2 2 √ Sa porastom 𝑚, polupreˇcnik zone raste kao 𝑚.

(13.25b)

Koriste´ci izraz (13.23) za ℎ𝑚 , za povrˇsinu 𝑚-te zone, koja je data jednaˇcinom (13.21), nalazimo:

[

] 𝑏𝑚𝜆 𝑏(𝑚 − 1)𝜆 Δ𝑆𝑚 = 2𝜋𝑅 − , 2(𝑏 + 𝑅) 2(𝑏 + 𝑅) 186

tj. Δ𝑆𝑚 =

𝜋𝑅𝑏 𝜆. 𝑏+𝑅

(13.26)

Dakle, za veliko 𝑅 i 𝑏, povrˇsine svih Frenelovih zona malog rednog broja su pribliˇzno jednake. Vratimo se sada na jaˇcinu polja 𝐸ˇ u taˇcki 𝑀 , izraˇzenoj jednaˇcinama (13.18a) i (13.19b): ˇ )= 𝐸(𝑀

∑

𝐴𝑚 𝑒𝑖𝛼0 𝑒−𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟𝑚 ) .

(13.27a)

𝑚

Kako je, za veliˇcinu 𝑟𝑚 datu jednaˇcinom (13.17) i 𝑘𝜆 = 2𝜋, 𝑒𝑖𝑘𝑟𝑚 = 𝑒𝑖𝑘(𝑏+

𝑚𝜆 ) 2

= 𝑒𝑖𝑘𝑏 𝑒𝑖𝑘𝑚𝜆/2 = 𝑒𝑖𝑘𝑏 𝑒𝑖𝑚𝜋 = (−1)𝑚 𝑒𝑖𝑘𝑏 ,

za jaˇcinu polja u taˇcki 𝑀 imamo [𝑚 ] 𝑚𝑎𝑥 ∑ ˇ )= 𝐸(𝑀 (−1)𝑚+1 𝐴𝑚 𝑒𝑖(𝛼0 +𝜋) 𝑒𝑖𝑘𝑏 𝑒−𝑖𝜔𝑡 .

(13.27b)

(13.27c)

𝑚=1

Poslednji izraz moˇze da se napiˇse u obliku ˇ ) = 𝐴𝑒−𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑏−𝛼0 −𝜋) , 𝐸(𝑀 gde je 𝐴=

𝑚 𝑚𝑎𝑥 ∑

(−1)𝑚+1 𝐴𝑚 .

(13.28a)

(13.28b)

𝑚=1

Poslednja relacija ukazuju na to da se amplituda 𝐴 ukupne jaˇcine polja u taˇcki 𝑀 dobija kao alternativna suma (13.28b) amplituda od svih otvorenih Frenelovih zona. Zapravo, zone su i konstruisane tako da talasi susednih zona u taˇcku 𝑀 stiˇzu u protiv-fazi. Amplituda 𝐴𝑚 , definisana je jednaˇcinom (13.19c). Kako Δ𝑆𝑚 ne zavisi od 𝑚, a takodje ni 𝐾𝑚 , vidimo da je 𝐴𝑚 ∼ 1/𝑟𝑚 , tj. amplitude 𝐴𝑚 formiraju monotono opadaju´ci niz: 𝐴1 > 𝐴2 > 𝐴3 > ...

(13.29a)

Zbog ovakvog karaktera amplituda 𝐴𝑖 , vaˇzi slede´ca pribliˇzna relacija: 𝐴𝑚 ≈

𝐴𝑚−1 + 𝐴𝑚+1 . 2

(13.29b)

Grupiˇsu´ci ˇclanove u izrazu za amplitudu 𝐴 imamo (za parno, odnosno neparno 𝑚 = 𝑚𝑚𝑎𝑥 ) ⎧ ( ) ( ⎨ 𝐴𝑚−1 − 𝐴 , 𝑚 − parno 𝐴1 𝐴1 𝐴3 𝐴3 𝑚 2 𝐴= + − 𝐴2 + − 𝐴4 ... + . (13.30a) + 𝐴 ⎩ 𝑚 2 2 2 2 , 𝑚 − neparno 2

187

Iskoristivˇsi sada pribliˇznu relaciju (13.29c), imamo ⎧ ⎨ 𝐴𝑚−1 − 𝐴 , 𝑚 − parno 𝐴1 𝑚 2 . 𝐴≈ + 0 + ... + ⎩ 𝐴𝑚 2 , 𝑚 − neparno 2

(13.30b)

Kako su amplitude susednih Frenelovih zona praktiˇcno jednake, bi´ce 𝐴𝑚 ≈ 𝐴𝑚−1 , pa je ⎧ ⎨ parno 𝐴1 𝐴𝑚 𝐴≈ ∓ , 𝑚 = 𝑚𝑚𝑎𝑥 = . (13.30c) ⎩ neparno 2 2 Napomenimo da u sluˇcaju kada uopˇste nema zatvaranja Frenelovih zona (tj. ako se na putu svetlosti ne nalazi zaklon) 𝐴=

𝐴1 , 𝑚 = 𝑚𝑚𝑎𝑥 → ∞. 2

(13.30d)

jer je u tom sluˇcaju 𝐴𝑚 ≪ 𝐴1 .

13.4. Frenelova difrakcija na kruˇznom otvoru i disku

Metod slaganja amplituda razmatran u prethodnom odeljku omogu´cava da se reˇsi niz problema is difrakcije svetlosti. Razmotrimo prvo difrakciju na kruˇznom otvoru. Neka se na putu sfernog talasa iz izvora 𝑆 (Fig. 109) nalazi pregrada sa kruˇznim otvorom polupreˇcnika 𝜌0 , tako da normala (𝑥-osa) povuˇcena iz izvora 𝑆 na prepreku pada na centar otvora. Na produˇzetku ove normale nalazi se taˇcka detekcje 𝑀 . Pretpostavi´cemo da je otvor dovoljno mali, tako da je 𝜌0 ≪ 𝑏,

𝜌0 ≪ 𝑅,

(13.31)

gde je 𝑅 normalno rastojanje od izvora do pregrade, a 𝑏 rastojanje od otvora do zaklona (duˇz 𝑂𝑀 na Fig. 109). Jaˇcina polja 𝐸ˇ u taˇcki 𝑀 data je jednaˇcinom (13.28a). Kako je rezultuju´ci talas u taˇcki 𝑀 monohromatski talas, jaˇcina svetlosti u taˇcki 𝑀 bi´ce data jednaˇcinom (3.25b): 1 ˇ2 1 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ ∣𝐸∣ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝐴2 , 2 2

(13.32a)

gde je 𝐴 amplituda svetlosnog vektora data jednaˇcinom (13.28b), tj. jednaˇcinom (13.30c). Dakle, 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅

1 (𝐴1 ∓ 𝐴𝑚𝑚𝑎𝑥 )2 , 8

188

(13.32b)

FIG. 109: Frenelova difrakcija na kruˇznom otvoru

gde je 𝑚𝑚𝑎𝑥 broj otvorenih Frenelovih zona.

Broj 𝑚𝑚𝑎𝑥 nalazimo izjednaˇcavanjem

polupreˇcnika 𝜌𝑚 𝑚-te zone, datog jednaˇcinom (12.25a), sa polupreˇcnikom otvora: √ 𝑅𝑏 𝑚𝑚𝑎𝑥 ⋅ 𝜆 = 𝜌0 , (13.33a) 𝑅+𝑏 odakle je

[

𝑚𝑚𝑎𝑥

𝜌2 = 𝜆

(

1 1 + 𝑅 𝑏

)] ,

(13.33b)

gde [𝑥] oznaˇcava ceo broj od 𝑥. Jaˇcina svetlosti u taˇcki 𝑀 ima´ce maksimum ili minimum u zavisnosti od toga da li je 𝑚𝑚𝑎𝑥 parno (znak ”-” u jednaˇcini (13.32b)) ili neparno (znak ”+”). Ako je broj otvorenih Frenelovih zona mali, bi´ce 𝐴1 ≈ 𝐴𝑚𝑚𝑎𝑥 , tako da je ⎧ 1 ⎨ 0 , 𝑚𝑚𝑎𝑥 − parno 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ . 2 ⎩ 𝐴2 , 𝑚𝑚𝑎𝑥 − neparno

(13.34a)

1

Primetimo da je u sluˇcaju kada uopˇste nema prepreke, jaˇcina svetlosti 𝐼0 data jednaˇcinom (13.32a), gde je na osnovu jednaˇcine (12.30d) amplituda 𝐴 = 𝐴1 /2, tj. 1 𝐼0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝐴21 . 8 Dakle, jaˇcina svetlosti u taˇcki 𝑀 na zaklonu je ⎧ ⎨ 0 ,𝑚 𝑚𝑎𝑥 − parno 𝐼= . ⎩ 4𝐼0 , 𝑚𝑚𝑎𝑥 − neparno 189

(13.34b)

(13.34c)

FIG. 110: Difrakciona slika za razliˇcite vrednosti 𝑚𝑚𝑎𝑥

Vidimo da se u sluˇcaju malog broja otvorenih Frenelovih zona, u taˇcki 𝑀 nasuprot otvora moˇze dobiti ili tamno mesto (Fig. 109(b)) ili je jaˇcina svetlosti ve´ca nego bez otvora (Fig. 109(a))! Oba ova rezultata su potvrdjena eksperimentalno. Istorijski gledano, ovakvo ponaˇsanje svetlosti pri difrakciji predstavljalo je potvrdu talasne prirode svetlosti. Ako je broj otvorenih Frenelovih zona veliki, kao na Fig. 110(c), onda je 𝐴𝑚𝑚𝑎𝑥 ≪ 𝐴1 , tako da se u taˇcki 𝑀 nasuprot otvoru javlja jaˇcina svetlosti data jednaˇcinama (13.32b) i (13.34b): 𝐼 = 𝐼0 , tj, dobija se ista vrednost kao i kada nema prepreke sa otvorom. 190

(13.34d)

FIG. 111: Frenelove zone u odnosu na pravac 𝑆𝑀

Da bismo ispitali ˇsta se deˇsava sa jaˇcinom svetlosti duˇz 𝑦-ose, uoˇcimo da su Frenelove zone definisane relativno, tj. uvek u odnosu na pravac 𝑆𝑀 (Fig. 111). Prema tome, ako je taˇcka 𝑀 pomerena sa 𝑥-ose, broj otvorenih Frenelovih zona bi´ce razliˇcit od broja otvorenih zona vidjenih iz taˇcke 𝑀 . Pomeranjem duˇz 𝑦-ose broj otvorenih Frenelovih zona se menja, tako da se jaˇcina svetlosti menja periodiˇcno. Pritom, sa udaljavanjem od 𝑥-ose, pojedine zone ne´ce biti u potpunosti otvorene, tako da maksimalne jaˇcine svetlosti opadaju, vidi Fig. 110(a,b). Dakle, ako se na putu svetlosti postavi dovoljno mali otvor, tako da vaˇzi jednaˇcina (13.31), na zaklonu ´ce se pojaviti difrakciona slika koja ´ce se sastojati od koncentriˇcnih svetlih i tamnih prstenova, pri ˇcemu sa udaljavanjem od centra zaklona jaˇcina svetlosti prstenova slabi. Ukoliko je broj otvorenih frenelovih zona veliki, u oblasti geometrijske senke, jaˇcina svetlosti ima´ce pribliˇzno konstantnu vrednost (𝐼 ≈ 𝐼0 ); svetlost zadire i u oblast geometrijske senke gde se javljaju oscilacije jaˇcine svetlosti, kao na Fig. 110(c). Ukoliko bi na putu svetlosti imali dovoljno mali disk, ponovo bi se javio efekat difrakcije. Analiza difrakcije u ovom sluˇcaju je komplementarna diskusiji difrakcije na otvoru. Naime, sada bi 𝑚𝑚𝑎𝑥 zona bilo zatvoreno, a poˇcev od 𝑚𝑚𝑎𝑥 + 1-zone sve zone bi bile otvorene. Na zaklonu se javlja difrakciona slika, koja sada zavisi od vrednosti amplitude 𝐴𝑚𝑚𝑎𝑥 +1 . Ako je broj zatvorenih Frenelovih zona mali u taˇcki 𝑀 nasuprot disku, imali bi jaˇcinu svetlosti datu jednaˇcinom (13.32a) gde je amplituda 𝐴 = 1 (𝐴𝑚𝑚𝑎𝑥+1 )2 8

1 𝐴 , 2 𝑚𝑚𝑎𝑥+1

tj. 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅

≈ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 18 𝐴21 . Uporedivˇsi 𝐼 sa jaˇcinom svetlosti 𝐼0 datom jednaˇcinom

(12.34b), vidimo da je 𝐼 = 𝐼0 , Fig 112(a). Ponaˇsanje jaˇcine svetlosti duˇz 𝑦-ose, nalazimo 191

FIG. 112: Frenelova difrakcija na disku

analogno kao za otvor. Sada se na zaklonu pojavljuje difrakciona slika koja se ponovo sastoji od koncentriˇcnih svetlih i tamnih prstenova, stim ˇsto je nasuprot ”malom” disku sada osvetljeno mesto (Fig. 112(a))! Ako je broj zatvorenih Frenelovih zona veliki, onda je u taˇcki 𝑀 jaˇcina svetlosti jednaka 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 18 (𝐴𝑚𝑎𝑥+1 )2 ≈ 0. Dakle u ovom sluˇcaju, nasuprot disku se javlja senka, sa koncentriˇcnim prugama na rubu ove oblasti (Fig. 112(b)). Drugi graniˇcni sluˇcaj je kada disk zaklanja samo mali deo centralne Frenelove zone. Ovakav disk uopˇste ne pravi senku; osvetljenost zaklona bi´ce svuda ista kao i da nema prepreke. Primetimo, na kraju, da su kruˇzni otvor i disk samo tipiˇcni primeri za difrakcioni efekat. Pored ovih sluˇcajeva u red jednostavnih primera spadaju difrakcija na ravnoj ivici poluravni kao i difrakcija na pukotini. Difrakcione slike (koje se u ovim sluˇcajevima sastoje od niza svetlih i tamnih paralelnih pruga) objaˇsnjavaju se ponovo Frenelovom shemom slaganja amˇ ) u odgovaraju´ce plituda koja se zasniva na prevodjenju integrala u jednaˇcini (13.16) za 𝐸(𝑀 sumiranje amplituda. Napomenimo da svi rezultati dobijeni u ovom odeljku vaˇze pod uslovom da je radijus koherentnosti svetlosnog talasa koji pada na prepreku mnogo ve´ci od karakteristiˇcnih dimenzija prepreke (preˇcnici otvora, radijus diska, itd.).

192

FIG. 113: Fraunhoferova difrakcija na pukotini 13.5. Fraunhoferova difrakcija na pukotini

Drugi tip difrakcije nastaje u polju paralelnih zraka posle prolaska svetlosti kroz odgovaraju´ce pukotine. Neka na beskonaˇcno dugaˇcku pukotinu, odnosno na pukotinu ˇcija je duˇzina 𝑙 mnogo ve´ca od njene ˇsirine 𝑏 pada ravanski monohromatski svetlosni talas. Iza pukotine postavlja se tanko sabirno soˇcivo a u ˇziˇznu ravan soˇciva postavlja se zaklon na kome se detektuje jaˇcina svetlosti (Fig. 113). Talasne povrˇsi upadne svetlosti, ravan i zaklon medjusobno su paralelni. Kako je pukotina ”beskonaˇcna”, slika koja se javlja u bilo kojoj ravni normalnoj na pukotinu bi´ce ista. Zbog toga je dovoljno razmotriti difrakcionu sliku u jednoj od tih ravni, na primer u ravni 𝑥𝑦 (ravan crteˇza na Fig. 113). Osnovna formula na kojoj se zasniva nalaˇzenje jaˇcine svetlosti u taˇcki 𝑀 predstavlja modifikovanu formulu (13.16) u kojoj umesto sfernih talasa figuriˇsu ravanski talasi tako da je 𝐾(𝜑)/𝑟 = 𝐾0 konstantna veliˇcina. Koriste´ci oznaku 𝑎 ˇ0 = 𝑎0 exp(𝑖𝛼0 ), nalazimo ∫ ∑ ˇ 𝐸(𝑀 ) = 𝐾0 𝑎0 𝑒−𝑖(𝜔𝑡− 𝑘𝑖 𝑠𝑖 −𝛼0 ) 𝑑𝑆.

(13.35)

Δ𝑆

Pri pisanju poslednje formule uzeto je u obzir, da se, posle prolaska kroz pukotinu, svetlost sabira pomo´cu soˇciva, tako da optiˇcka sredina nije homogena. Sa 𝑘𝑖 je oznaˇcen talasni broj 193

𝑖-te optiˇcke sredine, a sa 𝑠𝑖 put koji predje uoˇceni zrak kroz ovu sredinu. Radi integracije u jednaˇcini (13.35), podelimo otkriveni deo talasne povrˇsi Δ𝑆 (koji se poklapa sa pukotinom) na elementarne zone. One ´ce u posmatranom sluˇcaju biti trake ˇsirine 𝑑𝑦 ′ paralelne ivicama pukotine, tj. u jednaˇcini (13.35) moˇzemo uzeti da je 𝑑𝑆 = 𝑙𝑑𝑦 ′ . Dakle, u sluˇcaju Fraunhoferove difrakcije imamo ∫ 𝑏 ∑ ˇ 𝐸(𝑀 ) = 𝐾0 𝑙𝑎0 𝑒−𝑖(𝜔𝑡− 𝑘𝑖 𝑠𝑖 −𝛼0 ) 𝑑𝑦 ′ .

(13.36a)

0

Radi pogodnosti, uvodi se oznaka 𝐾0 𝑙𝑎0 =

𝐴0 , 𝑏

tako da se jaˇcina svetlosti u taˇcki 𝑀 moˇze napisati u obliku ∫ 𝑏 𝐴0 −𝑖(𝜔𝑡−∑ 𝑘𝑖 𝑠𝑖 −𝛼0 ) ′ ˇ 𝐸(𝑀 ) = 𝑒 𝑑𝑦 . 𝑏 0

(13.36b)

(13.36c)

Kako se zraci u taˇcki 𝑀 sabiraju pomo´cu soˇciva, to ´ce u taˇcku 𝑀 odredjenu uglom 𝜑𝑀 sti´ci svi zraci paralelni pravcu 𝑂𝑀 , vidi Fig. 113. Od talasnog fronta Σ do taˇcke 𝑀 posmatrani zraci su tautohtoni, odnosno imaju iste optiˇcke duˇzine puteva. Prema tome, veliˇcina ∑

𝑘𝑖 𝑠𝑖 = 𝜔Σ

𝜔∑ 𝑠𝑖 = 𝑛𝑖 𝑠𝑖 𝑣𝑖 𝑐

(13.37a)

moˇze da se napiˇse u obliku ∑

𝑘𝑖 𝑠𝑖 =

𝜔 𝜔 (𝑛Δ + 𝐿Σ𝑀 ) = 𝑘Δ + 𝐿Σ𝑀 , 𝑐 𝑐

(13.37b)

gde je 𝐿Σ𝑀 optiˇcka duˇzina puta od talasnog fronta Σ do taˇcke 𝑀 , dok je Δ = Δ(𝑦 ′ ) = 𝑦 ′ sin 𝜑𝑀

(13.38)

duˇzina puta od elementa 𝑑𝑦 ′ povrˇsi Δ𝑆 do talasnog fronta Σ, duˇz koga se ostvaruje fazna razlika. Zamenom izraza (13.37b) i (13.38) u jednaˇcinu (13.36c), nalazimo ∫ 𝑏 𝐴0 −𝑖(𝜔𝑡− 𝜔𝑐 𝐿Σ𝑀 −𝛼0 −𝑘Δ(𝑦′ )) ′ ˇ )= 𝑒 𝑑𝑦 . 𝐸(𝑀 𝑏 0

(13.39a)

Radi jednostavnosti, uze´cemo da je 𝛼0 + 𝜔𝑐 𝐿Σ𝑀 = 0, ˇcime je odredjena poˇcetna faza 𝛼0 . Prelaze´ci na realan domen, za jaˇcinu polja u taˇcki 𝑀 , nalazimo ∫ 𝑏 𝐴0 𝐸(𝑀 ) = cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑦 ′ sin 𝜑𝑀 )𝑑𝑦 ′ . 𝑏 0 194

(13.39b)

FIG. 114: Zavisnost 𝐼𝑀 od 𝜉 =

𝜋𝑏 𝜆

sin 𝜑𝑀

Podintegralni izraz u jednaˇcini (13.39b) predstavlja talas 𝑑𝐸𝑦′ (od elementarne zone sa koordinatom 𝑦 ′ ) u taˇcki 𝑀 ˇciji je poloˇzaj na zaklonu odredjen uglom 𝜑𝑀 . Ako izvrˇsimo integraciju u jednaˇcini (13.39b), nalazimo (smenom 𝜏 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑦 ′ sin 𝜑𝑀 ) ( ) 1 𝐴0 − 𝐸(𝑀 ) = [sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑏 sin 𝜑𝑀 ) − sin 𝜔𝑡] . (13.40a) 𝑏 𝑘 sin 𝜑𝑀 Koriste´ci relaciju sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 sin 𝛼−𝛽 cos 𝛼+𝛽 , izraz (13.40a) moˇzemo napisati u obliku 2 2 ( ) ( ) sin 𝑘𝑏 sin 𝜑 𝑘𝑏 𝑀 2 𝐸(𝑀 ) = 𝐴0 𝑘𝑏 cos 𝜔𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑀 . (13.40b) 2 sin 𝜑𝑀 2 Dakle, u taˇcku 𝑀 stiˇze monohromatski talas amplitude ¯ ¯ ¯ sin ( 𝑘𝑏 sin 𝜑 ) ¯ 𝑀 ¯ ¯ 𝐴𝑀 = ¯𝐴0 𝑘𝑏 2 ¯. ¯ ¯ sin 𝜑 𝑀 2

(13.40c)

Jaˇcina svetlosti u taˇcki 𝑀 je proporcionalna kvadratu amplitude 𝐴𝑀 : 1 ⋅ 𝑛(𝐴𝑀 )2 , 2

(13.41a)

) ( sin2 𝑘𝑏 sin 𝜑 𝑀 = 𝐼0 𝑘𝑏 2 , ( 2 sin 𝜑𝑀 )2

(13.41b)

𝐼𝑀 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ odnosno 𝐼𝑀

gde je sa 𝐼0 oznaˇcena jaˇcina svetlosti u sredini difrakcione slike (nasuprot centra soˇciva, u taˇcki ugaone kordinate 𝜑𝑀 = 0). Kako je poloˇzaj taˇcke na zaklonu odredjen koordinatom 𝑦 = ±𝑓 ′ tan 𝜑𝑀 , na osnovu formule (13.41b) moˇze se na´ci zavisnost 𝐼𝑀 (𝑦). Dobija se parna funkcija od 𝑦, ˇsto znaˇci da je difrakciona slika simetriˇcna u odnosu na centar soˇciva. Izraˇzeno preko varijable 𝜉 =

𝑘𝑏 2

sin 𝜑𝑀 =

𝜋𝑏 𝜆

sin 𝜑𝑀 , jaˇcina svetlosti 𝐼𝑀 se ponaˇsa kao na Fig. 114. U 195

FIG. 115: Frenelove zone pri Fraunhoferovoj difrakciji na pukotini

taˇcki 𝑦 = 0 u kojoj je 𝜉 = 0 jaˇcina svetlosti je maksimalna. Pri udaljavanju od ove taˇcke smenjuju se tamna i svetla mesta koja na zaklonu obrazuju sistem pruga. Vidimo da su minimumi jaˇcine svetlosti odredjeni uslovom 𝜉 =

𝜋𝑏 𝜆

sin 𝜑𝑀 = 𝑚𝜋, 𝑚 = ±1, ±2, ... odnosno

uslovom sin 𝜑𝑚𝑖𝑛 =

𝑚𝜆 , 𝑚 = ±1, ±2, ... 𝑏

(13.42a)

Kako apsolutna vrednost sin 𝜑𝑚𝑖𝑛 ne moˇze biti ve´ca od jedinice, vidimo da je broj minimuma (broj pruga) ograniˇcen; naime, 𝑚≤

𝑏 . 𝜆

(13.42b)

Kada je ˇsirina pukotine 𝑏 manja od talasne duˇzine, minimumi se uopˇste ne pojavljuju. U tom sluˇcaju jaˇcina svetlosti monotono opada duˇz 𝑦-ose. Graniˇcna vrednost 𝜉 = 𝜋𝑏/𝜆 takodje je prikazana na Fig. 114. Krajevima centralnog maksimuma odgovara vrednost 𝜉 = ±𝜋, odnosno uglovi sin 𝜑𝑀 = ±𝜆/𝑏. Prema tome, ugaona ˇsirina centralnog maksimuma jednaka je 𝜆 𝛿𝜑 = 2 arcsin . 𝑏

(13.43a)

U sluˇcaju kada je 𝑏 ≫ 𝜆, za vrednost sin 𝜆𝑏 moˇzemo pribliˇzno uzeti 𝜆/𝑏. Tada se formula (13.43a) za ugaonu ˇsirinu centralnog maksimuma pojednostavljuje: 𝛿𝜑 ≈

2𝜆 . 𝑏

(13.43b)

Primetimo, na kraju, da se i u sluˇcaju Fraunhoferove difrakcije na pukotini mogu´ce uvesti Frenelove zone. One se definiˇsu kao trake debljine Δ𝑦 ′ , tako da duˇzina Δ𝑚 definisana 196

jednaˇcinom (13.38), bude jednaka Δ𝑚 =

𝜆 𝑚, 2

𝑚 = 1, 2, ...

(13.44a)

(vidi Fig. 115). Pri ovakvoj podeli na zone, jednaˇcina (13.39a) moˇze da se napiˇse u obliku ˇ )≈ 𝐸(𝑀

𝑚 𝑚𝑎𝑥 ∑ 𝑚=1

Kako je 𝑘Δ𝑚 = 𝑘 𝜆2 ⋅ 𝑚 = 𝑚𝜋, dok je Δ𝑦 ′ = 𝜋 ˇ ) ≈ 𝐴0 𝐸(𝑀 𝑘𝑏 sin 𝜑𝑀

𝐴0 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘Δ𝑚 ) ′ 𝑒 Δ𝑦 . 𝑏 𝜆 2 sin 𝜑𝑀

Ã𝑚 𝑚𝑎𝑥 ∑

=

𝜋 , 𝑘 sin 𝜑𝑀

(12.45a) nalazimo

) (−1)𝑚 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ≡ 𝐴𝑒−𝑖𝜔𝑡 .

(13.45b)

𝑚=1

Sumiranje u poslednjoj jednaˇcini ide do 𝑚𝑚𝑎𝑥 , koji prerdstavlja broj otvorenih Frenelovih zona posmatranih u pravcu odredjenim uglom 𝜑𝑀 : 𝑚𝑚𝑎𝑥 = [

𝑏𝑠𝑖𝑛𝜑𝑀 ]. 𝜆/2

(13.46a)

Prema jednaˇcini (13.45b) u taˇckama zaklona u kojima je 𝑚𝑚𝑎𝑥 = 2𝑚, ima´cemo nultu amplitudu, tj. pojavi´ce se minimumi inteziteta svetlosti; odgovaraju´ci uglovi 𝜑𝑚𝑖𝑛 odredjeni su uslovom 2𝑚 = [

𝑏 sin 𝜑𝑚𝑖𝑛 ], 𝜆/2

(13.46b)

tj. poklapaju se sa ve´c dobijenim uslovom (13.42a). Pri upotrebi Frenelovih zona, jedini problem ˇcini taˇcka nasuprot pukotini (na 𝑥-osi). Ve´c smo ranije videli da se u ovim taˇckama javlja maksimum. Zato pri sumiranju (13.45b) treba ∑ 𝑚𝑎𝑥 𝑚 koristiti konvenciju 𝑚 𝑚=1 (−1) = 1 za 𝑚𝑚𝑎𝑥 = 0. 13.6. Difrakciona reˇsetka

Pod dirakcionom reˇsetkom se podrazumeva sistem velikog broja jednakih pukotina koje su rasporedjene na jednakim medjusobnim raastojanjima. Rastojanje 𝑑 izmedju sredina susednih pukotina naziva se period reˇsetke. Razmotrimo ponaˇsanje reˇsetke u uslovima Fraunhoferove difrakcije. Naime, iza reˇsetke se postavlja sabirno soˇcivo a u njegovoj ˇziˇznoj ravni zaklon. Na reˇsetku pada ravanski monohromatski talas. Radi jednostavnosti, pretpostavi´cemo da talas pada normalno na reˇsetku (Fig. 116). 197

FIG. 116: Difrakciona reˇsetka

Svaka pukotina nezavisno obrazuje na zaklonu sliku kojoj odgovara raspodela jaˇcine svetlosti datu jednaˇcinom (13.41b). Difrakcione slike od svih pukotina padaju na isto mesto zaklona; centralni maksimum od svake pukotine leˇzi nasuprot centru soˇciva na 𝑥-osi. Ako bi talasi koji stiˇzu u taˇcku 𝑀 iz razliˇcitih pukotina bili medjusobno nekoherentni, rezultuju´ca slika od 𝑁 pukotina razlikovala bi se od slike jedne pukotine samo utoliko ˇsto bi intezitet porastao 𝑁 puta (𝐼𝑀,𝑟𝑒ˇ𝑠 = 𝑁 𝐼𝑀 ). Medjutim, talasi od razliˇcitih pukotina su u manjoj ili ve´coj meri medjusobno koherentni. Zbog toga rezultuju´ca jaˇcina svetlosti 𝐼𝑀,𝑟𝑒ˇ𝑠 ne´ce biti data prostim slaganjem jaˇcina svetlosti pojedinih pukotina. Radi jednostavnosti, prepostavi´cemo da je duˇzina koherencije upadnih talasa mnogo ve´ca od duˇzine reˇsetke, tako da talase od svih pukotina moˇzemo smatrati medjusobno koherent-

198

nim. U tom sluˇcaju, rezultuju´ci talas u taˇcki 𝑀 ˇciji je poloˇzaj odredjen uglom 𝜑𝑀 predstavlja sumu 𝑁 -talasa istih amplituda 𝐴𝑀 pomerenih jedan u odnosu na drugi po fazi za konstantnu veliˇcinu 𝛿 = 𝑘Δ𝑖𝑗 . Veliˇcina Δ𝑖𝑗 , vidi Fig. 116 predstavlja putnu razliku talasa susednih pukotina, tako da je: 𝛿 = 𝑘 ⋅ 𝑑 sin 𝜑𝑀 =

2𝜋 𝑑 sin 𝜑𝑀 , 𝜆

(13.47)

gde je 𝜆 talasna duˇzina svetlosti a 𝑑 period reˇsetke. U taˇcki 𝑀 interferira 𝑁 posmatranih talasa: 𝐸ˇ =

𝑁 ∑

𝐸ˇ𝑛 ,

(13.48a)

𝑛=1

gde je kompleksni oblik talasa 𝐸ˇ𝑛 od 𝑛-te pukotine, dat jednaˇcinom (13.40b) uz uraˇcunatu razliku u fazi 𝛿 izmedju susednih talasa,: 𝐸ˇ𝑛 = 𝐴𝑀 𝑒−𝑖(𝜔𝑡−(𝑛−1)𝛿) , 𝑛 = 1, 2, ...𝑁 Faktor

𝑘𝑏 2

(13.48b)

sin 𝜑𝑀 koji postoji u izrazu (13.40b) predstavlja konstantnu fazu u datoj taˇcki

𝑀 svih talasa i uzet je za nulu. Primetimo da ovaj faktor ne postoji u pribliˇznom izrazu (13.45b). Zamenom (13.48b) u (13.48a), nalazimo 𝐸ˇ = 𝐴𝑀 𝑒−𝑖𝜔𝑡

𝑁 ∑

𝑒𝑖(𝑛−1)𝛿 .

(13.48c)

𝑛=1

Poslednja suma predstavlja sumu prvih 𝑁 ˇclanova geometrijske progresije ˇciji je prvi ˇclan ∑ ∑𝑁 −1 𝑖𝑚𝛿 ∑𝑁 −1 𝑖𝛿 𝑚 ∑𝑁 −1 𝑚 𝑖(𝑛−1)𝛿 jednak jedinici. Naime, 𝑆 = 𝑁 = 𝑚=0 𝑒 = 𝑚=0 (𝑒 ) = 𝑚=0 𝑞 gde je 𝑛=1 𝑒 𝑞 = 𝑒𝑖𝛿 , tako da je 𝑆=

𝑞𝑁 − 1 𝑒𝑖𝛿𝑁 − 1 = 𝑖𝛿 , 𝑞−1 𝑒 −1

odnosno

(13.49)

𝑖𝑁 𝛿

1−𝑒 ˇ −𝑖𝜔𝑡 , 𝐸ˇ = 𝐴𝑀 𝑒−𝑖𝜔𝑡 = 𝐴𝑒 1 − 𝑒𝑖𝛿

(13.50a)

gde smo uveli kompleksnu amplitudu 𝑖𝑁 𝛿

1−𝑒 𝐴ˇ = 𝐴𝑀 . 1 − 𝑒𝑖𝛿

(13.50b)

1 ˇ2 . 𝐼𝑀,𝑟𝑒𝑠 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ ∣𝐴∣ 2

(12.51a)

Jaˇcina svetlosti u taˇcki 𝑀 je

199

Kako je ˇ 2 = 𝐴ˇ𝐴ˇ∗ = 𝐴2𝑀 ∣𝐴∣

𝑖𝑁 𝛿 (1 − 𝑒𝑖𝑁 𝛿 )(1 − 𝑒−𝑖𝑁 𝛿 ) − 𝑒−𝑖𝑁 𝛿 1 − cos 𝑁 𝛿 2 2−𝑒 = 𝐴 = 𝐴2𝑀 , 𝑀 𝑖𝛿 −𝑖𝛿 𝑖𝛿 −𝑖𝛿 (1 − 𝑒 )(1 − 𝑒 ) 2−𝑒 −𝑒 1 − cos 𝛿 (13.51b)

tj. ˇ 2 = 𝐴2 ∣𝐴∣ 𝑀

sin2 𝑁2𝛿 , sin2 2𝛿

(13.51c)

za jaˇcinu svetlosti nalazimo sin2 𝑁2𝛿 1 . 𝐼𝑀,𝑟𝑒ˇ𝑠 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝐴2𝑀 2 sin2 2𝛿

(13.52a)

Uoˇcivˇsi da je na osnovu jednaˇcine (13.41a), veliˇcina 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝑛 ⋅ 12 𝐴2𝑀 = 𝐼𝑀 , gde je 𝐼𝑀 jaˇcina svetlosti u taˇcki 𝑀 pri difrakciji na jednoj pukotini, nalazimo sin2 𝑁2𝛿 𝐼𝑀,𝑟𝑒ˇ𝑠 = 𝐼𝑀 , sin2 2𝛿

(13.52b)

gde je 𝛿 dato jednaˇcinom (13.47) Zamenom izraza (13.41b) za jaˇcinu svetlosti 𝐼𝑀 , u jednaˇcinu (13.52b) dobijamo sin2 ( 𝑘𝑏 sin 𝜑𝑀 ) sin2 ( 𝑁2𝑘𝑑 sin 𝜑𝑀 ) 2 𝐼𝑀,𝑟𝑒ˇ𝑠 = 𝐼0 𝑘𝑏 , ( 2 sin 𝜑𝑀 )2 sin2 ( 𝑘𝑑 sin 𝜑𝑀 ) 2

(13.53)

gde je 𝐼0 jaˇcina svetlosti pri difrakciji na jednoj pukotini u taˇcki zaklona nasuprot centra soˇciva. Prvi mnoˇzitelj u izrazu (13.53) se anulira pri 𝜉 = 𝑏 sin 𝜑𝑀 = 𝑚𝜆;

𝑘𝑏 2

sin 𝜑𝑀 = 𝑚𝜋, 𝑚 = ±1, ±2, ... tj.

𝑚 = ±1, ±2, ...

(13.54a)

U ovim taˇckama jaˇcina svetlosti ”od pojedinih pukotina” jednaka je nuli, videti jednaˇcinu (13.42a). Drugi mnoˇzitelj u jednaˇcini (13.53) dobija maksimalnu vrednost u taˇckama u kojima je 𝜉 ′ =

𝑘𝑑 2

sin 𝜑𝑀 = 𝑚′ 𝜋, 𝑚′ = 0, ±1, ±2, ..., tj. za 𝑑 sin 𝜑𝑀 = 𝑚′ 𝜆,

Zaista, u ovim taˇckama imamo: 𝑁 lim𝜉′ →𝑚′ 𝜋

cos(𝑁 𝜉 ′ ) cos(𝜉 ′ )

𝑚′ = 0, ±1, ±2, ...

lim𝑑 sin 𝜑𝑀 →𝑚′ 𝜆 ′

= 𝑁 (−1)(𝑁 −1)𝑚 , tako da je

(13.54b)

sin( 𝑁2𝑘𝑑 sin 𝜑𝑀 )

sin( 𝑘𝑑 sin 𝜑𝑀 ) 2 2 sin ( 𝑁2𝑘𝑑 sin 𝜑𝑀 ) sin2 ( 𝑘𝑑 sin 𝜑𝑀 ) 2

= lim𝜉′ →𝑚′ 𝜋

sin(𝑁 𝜉 ′ ) sin 𝜉 ′

=

= 𝑁 2 . U pravcima odred-

jenim uslovom (13.59b) talasi pojedinih pukotina se uzajamno pojaˇcavaju, pa se na zaklonu javljaju maksimumi inteziteta svetlosti (𝐼𝑀,𝑟𝑒ˇ𝑠 )𝑚𝑎𝑥 = 𝑁 2 𝐼𝑀 , gde je 𝐼𝑀 jaˇcina svetlosti od

200

FIG. 117: (a) Jaˇcina svetlosti dobijena difrakcijom na reˇsetci i (b) pukotini (sluˇcaj + 𝜆𝑏 = 𝑁 = 4, 𝑑𝑏 = 3

201

3𝜆 𝑑,

tj.

jedne pukotine. Maksimumi inteziteta svetlosti (𝐼𝑀,𝑟𝑒ˇ𝑠 )𝑚𝑎𝑥 odredjeni uslovom (13.54b) nazivaju se glavni maksimumi. Broj ∣𝑚′ ∣ daje red glavnog maksimuma. Postoji samo jedan glavni maksimum nultog reda, dok maksimumi prvog, drugog, itd. reda ima po dva. Pored minimuma odredjenih uslovom (13.54a), u intervalu izmedju susednih glavnih maksimuma postoji po 𝑁 − 1 dodatni minimum. Ovi minimumi se javljaju u pravcima u kojima se talasi od pojedinih pukotina uzajamno poniˇstavaju. U skladu sa formulom (13.53) poloˇzaji dodatnih minimuma odredjeni su uslovom 𝑁 𝜉 ′ = 𝑚′′ 𝜋, 𝑚′′ = ±1, ±2, ...; 𝜉 ′ ∕= 𝑚′ 𝜋, tj. 𝑑 sin 𝜑𝑀 =

𝑚′′ 𝜆, 𝑁

𝑚′′ = ±1, ±2, ...; 𝑚′′ ∕= 𝑚′ 𝑁

(13.54c)

Naime, 𝑚′′ moˇze uzimati sve vrednosti ±1, ±2, .. osim onih (𝑚′′ = 𝑚′ 𝑁 ) za koje se dobija uslov (13.54b) glavnih maksimuma. Izmedju dodatnih minimuma rasporedjeni su slabi sekundarni maksimumi. Broj ovih maksimuma u intervalu izmedju susednih glavnih maksimuma jednak je 𝑁 − 2. Inteziteti sekundarnih maksimuma ne prelaze 1/22 inteziteta najblizeg glavnog maksimuma. Na Fig. 117(a) prikazan je sluˇcaj 𝑁 = 4 i 𝑑/𝑏 = 3. Pri ovom odnosu 𝑑/𝑏, glavni maksimumi 3-´ceg, 6-tog, itd. reda se poklapaju sa minimumima inteziteta od jedne pukotine (Fig. 117(b)), usled ˇcega se ovi maksimumi gube. Broj glavnih maksimuma odredjen je odnosom perioda reˇsetke 𝑑 i talasne duˇzine 𝜆. Apsolutna vrednost sin 𝜑𝑀 ne moˇze biti ve´ca od jedinice, tako da iz jednaˇcine (13.54b) sledi 𝑚′ ≤

𝑑 . 𝜆

(13.55)

Poloˇzaji glavnih maksimuma zavise od talasne duˇzine 𝜆. Zbog toga, ako se kroz reˇsetku propuˇsta bela svetlost, svi maksimumi, osim centralnog, razlaˇzu se u spektar ˇciji se ljubiˇcasti deo nalazi bliˇze centru slike, a crveni prema kraju. Na taj naˇcin, difrakciona reˇsetka predstavlja spektralni uredjaj. Kraj kursa

202

LITERATURA

203