Tai Lieu Bai Tap PTHH PGS TS Nguyễn Mạnh Cường
September 30, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Tai Lieu Bai Tap PTHH PGS TS Nguyễn Mạnh Cường...
Description
1
Trường Đại học Bách khoa Hà nội Bộ môn Cơ học V ật liệu và Kế t cấ u PGS.TS. Nguyễn Mạnh Cườ ng ng
BÀI TẬ P HỮ U HẠN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ H
Hà nội, 07/2015
2 PHẦN I: PHẦN TỬ H HỮ U HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
Bài tập 1.1: Khảo sát hệ 3 lò -xo nối v ới nhau như Hình 1. 1. Độ c ứng c ủa các lò-xo lần lượt là k, 2k và 3k. Điểm 1 đượ c c ố định vào tường, điểm 3 chịu một chuyển vị ban ban đầ u . T ại các điểm 2 và 4 có các lực tác động tương ứ ng F2= - F và F4 = 2F. Hãy xác định chuyển vị tại các điểm và lự c tại điểm 3. F4 = 2 F
F2 = - F 1
2
3
Hình 1.1. Hệ 3 lò-xo vớ i chuyển vị ban ban đầu tại điểm 3
4
LỜ I GIẢI c 1: Bướ cơvà hệ3 phầ n tử được đánh số như Hình 1.1 H ệ lò-xo Mô đượchình mô hóa hìnhPTHH hóa vớicủa 4 nút Bướ c 2: Lập bảng ghép nối các phần tử qi Phần tử 1 1 Phần tử 2 2 Phần tử 3 3 ng của các phần tử Bướ c 3: Tính ma trận độ cứ ng
k k k k k 1
2
k
2
1
1
2
3 2 2k 2k 2 2k 2k 3
3k 3k 3k 3k 3
k
3
q j 2 3 4 4
(1)
3
4
Bướ c 4: Thiết lập ma trận độ cứ ng ng chung K Đánh số các ma trận độ cứng các phần tử và tiến hành lắp ghép, ta thu đượ c ma tr ận ận độ cứng chung: 0 0 0 k k 1 1 0 k 4k 3k 0 1 4 3 0 K k 0 3k 5k 2k 0 3 5 2 0 0 2k 2k 2 2 0 0
(2)
Bướ c 5: Thiết lập véc-tơ lực nút chung F vớ i R 1: phản lực liên kết tại nút 1, R 3: lực tại nút 3 F R F R 2F Bướ c 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F} T
T
1
3
0 Q 1 R 1 1 1 0 1 4 3 0 Q F (3) 2 k 0 3 5 2 Q 3 R 3 0 2 2 0 Q 4 2F Áp dụng điều kiện biên của bài toán, ta có Q 1 = 0 và Q3 = , bỏ đi hàng 1 và cột 1 của ma tr ận ận K, ta có : 4 3 0 Q 2 F
k 3
0
2 R 3 2 2 Q 4 2F 5
(4)
Biến
đổi để giải h ệ như sau : b ỏ đi hàng 2 và cột 2 (tương ứng vớ i vị trí của chuyển vị cho trướ c ). Đồng thờ ii,, t ừng hàng ở vvế phải của (4) bị tr ừ đi một giá trị bằng nhân với giá trị số hạng của ma tr ận ở c cột 2 và hàng tương ứng : 4
k
0
Giải hệ này, ta thu đượ c: c:
Q
2
F 3k 2 Q 2 F 2 k T T F 3 F Q 4 4k 4 k 0 Q 2 4
Các phản lực liên kết và lực tại 3 được tính từ (3): Bài tập 1.2:
2
Thép (As=50 cm )
R
1
2
Nhôm (Aa=40 cm )
T
F 3k 5F 3k R 3 4 4 4 4 T
Đồng (Ab=25 cm2)
F2 = 120000 N
Hình 1.2a. Tr ục bậc F4 = 100000 N F2 = 120000 N
l1=0.4m
l2=0.4m
l3=0.4m
3
2F2
1 1
2
3
2
F4
3
qi
q j
4
Nút i
Nút j
Hình 1.2b. Mô hình PTHH và phần tử qui chiếu Xác định ứng suất và nội lực trong các đoạn của tr ục ở Hình 1.2. Biết: Es=207 GPa, Ea=69 GPa, E b=104 GPa LỜ I GIẢI: Bướ c 1: Mô hình PTHH của cơ hệ Hệ lò-xo được mô hình hóa với 4 nút và 3 p hần tử được đánh số như Hình 1.2b E s A s
207 x 5 x 10 7
l1
69 x 4 x 10 7
E a A a
25,875 x 10 (N/m) 8
l2
4
6,9 x 10 (N/m) 8
4
7
E b A b
104 x 2,5 x 10
l3
6,5 x 10 (N/m) 8
4
Bướ c 2: Bảng ghép nối các phần tử qi 1 2 3
Phần tử 1 Phần tử 2 Phần tử 3
q j 2 3 4
Bướ c 3: Ma trận độ cứ ng ng của các phần tử Theo công thức (4.19), ta thu được các ma trận độ cứng k 1, k 2, k 3 cho các phần tử như sau : E A 1 E A 1 E A 1 1 1 1 k k k l l l 1 1 1 1 1 1 Bướ c 4: Ma trận độ cứ ng ng chung K 1
1
s
2
2
1
s
2
a
2
1
3
3
2
a
8
b
3
2
K 10
3
4
3
b
(5)
4
3
0 0 25,875 25,875 25,875 32,775 6.9 0 0 13,4 6.9 6,5 0 6,5 6,5 0
(6)
Bướ c 5: Véc-tơ lực nút chung F
F
T
R
1
2F2
0
F4
T
vớ i R 1 : phản lực liên kết tại nút 1.
Bướ c 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F} 0 Q1 R 1 25,875 25,875 0 25,875 32,775 6.9 0 Q 2F 8 2 2 10 0 6.9 13,4 6,5 Q3 0 6,5 6,5 Q4 F4 0 0
(7)
Q1 = 0, bỏ đi hàng 1 và cột 1 của ma tr ận K, ta có hệ mớ ii:: Áp dụng điều kiện biên của bài toán :32 240000 0 Q ,775 6,9
10 6,9 0
2 0 13,4 6,5 Q 3 6,5 6,5 Q 4 100000
8
Giải hệ (8) ta thu đượ c: c: Q2
Q3
Q4
T
5,41 x 10
6
9.08 x 10- 6
24,47 x 10- 6
(8)
T
(m) (m)
Ứ ng ng suất trong các trục được tính theo công thứ c (4.15), do đó:
s
a
b
T
2585534
Cuối cùng, ta có nội lực trong các trụ c: Fs Lực Bài tập 1.3:
T
Fa
ng nhà
F b
T
2298229
3347379 T
13350 8900 8900
T
(N/m 2 ) (N)
110 kN 130 kN
3.8m
140 kN
3.8m
155 kN
3.8m
3.8m
Hình 1.3. Cột đỡ nhà 4 tầng
4
Khảo sát một cột nhà bằng thép trong một tòa nhà 4 tầng như Hình 1.3. Lực tác động lên cột là do trọng lượ ng ng của các tầng khác nhau gây ra. Cho mô đun đàn hồ i của thép là E = 207 GPa và diện tích mặ t cắt ngang của c ột là A = 260 cm2. Hãy tìm các chuyể n vị của các điểm 1,2,3,4 và các ứng suất trong cột tại các tầng nhà khác nhau. 2k Bài tập 1.4: F FB
A k
B 2k
k
Hình 1.4. Hệ lò-xo và hai con trượ t A B vớ ma i nhau 4. Cho: k = 9000 Hai ở i chứệ ng cácchung lò-xo K như Hãy:con trượt A và B được 1. liên Thiếkế t ltậ p tr ận ậnbđộ và Hình véc-tơ1.lực nút chung F N/m, F = 90 N, F =67.5N. 2. Tính chuyển vị của các con trượt và lực tác dụng vào các lò -xo Bài tập 1.5: Khảo sát trục b ậc với đầu phải đượ c nối với lò-xo như Hình 1.5. Biết k = 2500 kN/m, mô đun đàn hồi của thép và nhôm: Es = 210 GPa, Ea = 107 GPa. Hãy xác định chuyển vị của các đầu tr ục, ứng suất trong các trục và các phản lực D = 0.1 m liên kết.
d = 0.05 m F = 500 kN
k Nhôm
Nhôm
Thép
Hình 1.5. Hệ tr ục bậc và lò-xo
F = 500 kN
l1=0.2m
l2=0.2m
l3=0.1m
PHẦN II: PHẦN TỬ H HỮ U HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG
Bài tập 2.1: Cho hệ 3 thanh như Hình 2.1a. Biết E = 200 GPa. Hãy xác định chuyển vị của B, C, ứng suất trong các thanh và các phản lực liên kết 150 kN
Q 6
C
Q 22ii
3 Nut i
Q 5
Q 22i-1 i-1 0.4m
20 cm2
3
20 cm2
2
Q 22jj A
15 cm2
B
Nut j
0.4m
0.4m
Q 21 Q 1
Q 2j-1 2j-1
Q 4
1
2
Q 3
Hình 2.1a. Hệ 2.1a. Hệ 3 thanh chịu tải trọng thăng đứng
Hình 2.1b. Mô 2.1b. Mô hình PTHH và phần tử qui chiếu LỜ I GIẢI Bướ c 1: Hệ thanh được mô hình hóa với 3 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 2.1b 1. 1 = 0° m1 = 1 l1 = 0 2. 2 = 135° m2 = -0.707 l2 = 0.707 3. 3 = 45° m3 = 0.707 l3 = 0.707 Bướ c 2: Bảng ghép nối các phần tử Nút i Nút j Bậc tự do Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Phần tử 1 1 2 3 4 Phần tử 2 3 4 5 6 Phần tử 3 1 2 5 6 Bướ c 3: Ma trận độ cứ ng ng của các phần tử Theo công thức (5.12), ta thu được các ma trận độ cứng k 1, k 2, k 3 cho các phần tử như sau :
5
375 k 0 375 0 1
2
1
0
375
0
0
0
375
0
0
353.55 35 353 3 .55 353.55 353.55 353 353 .55 35 353 3 .55 35 353 3 .55 35 353 3 .55 35 353 .55 35 353 3 .55 35 353 3 .55 353 3 .55 353 353.55 35 353 3 .55 353.55 353.55 3
0 0 0 0
3
4
4
5
6
3
1
k
2
2
4
5
3
6
4
353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 1
2
5
6
1
k
3
(9)
2
5
6
Bướ c 4: Ma trận độ cứ ng ng chung K
375 353.55 353.55 353.55 0 728.55 353.55 353.55 353.55 353.55 0 0 375 0 728.55 353.75 353.55 353.55 K 0 0 353 . 55 353 . 55 353 . 55 353 . 55 353.55 353.55 353.55 353.55 707.1 0 0 707.1 353.55 353.55 353.55 353.55
(10) (kN/mm)
Bướ c 5: Véc-tơ lực nút chung F
F
T
R
1
R 2
0
R 4
0
15 150 0
T
vớ i R i : phản lực liên kết tại nút i (i=1,2,4).
Bướ c 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F} 375 353.55 353.55 Q1 R 1 0 728.55 353.55 2 2 353 . 55 353 . 55 0 0 353 . 55 353 . 55 Q R 375 0 728.55 353.75 353.55 353.55 Q 3 0 0 0 353 . 55 353 . 55 353 . 55 353 . 55 Q 4 R 4 353.55 353.55 353.55 353.55 Q 5 0 707.1 0 0 707.1 Q 6 - 150 353.55 353.55 353.55 353.55
(11)
Áp dụng điều kiện biên của bài toán, ta có Q 1 = Q2 = Q4 = 0, bỏ đi các hàng và cột 1, 2, 4 ta có: 728.55 353.55 353.55 Q 3 0 Q 0 353.55 707.1 0 5 353.55 0 707.1 Q 6 150 T 312 (mm) Q3 Q5 Q6 T 0.2 0.1 0.312
Giải hệ (12) ta thu đượ c: c:
(12)
Ứng suất trong các thanh được tính theo công thức (5.13):
1
2
T
3
0.05
0.05 053 3 0.05 053 3 (kN/mm 2 ) T
Phản lực liên kết tại nút 1, 2, 4 được rút ra từ (11) : R 1 R 2 R 4 T 0 75 75 T (kN) Bài tập 2.2: Hệ hai thanh được tựa trên một lò-xo như Hình 2.2a. Tìm chuyển vị của điểm 1 và ứng suất trong các thanh.
2
P = 25 kN 5m 1
Y
2 45°
10 m
1 1
X 3
P = 25 kN
2
2
3
3
3 4
k = 2000 kN/m
Hình 2.2a. Hệ thanh và lò-xo
4
Hình 2.2b. Mô hình PTHH
LỜI GIẢI: Bướ c 1: Hệ thanh và lò-xo được mô hình hóa với 4 nút và 3 phầ n tử được đánh số như Hình 2.2b 1. 1 = 135° m1 = - 2 / 2 l1 = 2 / 2 2. 2 = 180° m2 = -1 l2 = 0
6
Bướ c 2: Bảng ghép nối các phần tử Bậc tự do Nút i Phần tử Q2i-1 Phần tử 1 1 Phần tử 2 1 Phần tử 3 x Bướ c 3: Ma trận độ cứ ng ng của các phần tử
Nút j Q2i 2 2 2
2 3 4 1 1 1 1 1 1 2 1 5 1 1 1 1 k 105 x 10 (kN/m) 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 7 42 4 k 3 105 x 105 21 21 2 4 7 - 4 21 21
Q2j-1 3 5 x
Q2j 4 6 7
1 1 5 0
5 6 1 0 1 2 0 0 0 2 (kN/m) k 105 x 10 1 0 1 0 5 0 0 0 0 6
(kN/m)
2
0
(13)
Bướ c 4: Ma trận độ cứ ng ng chung K 1 1 1 1 1 1 4 1 1 21 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 K 105 x 105 1 1 0 0 0 1 0 0
0 4 21
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 4
21 0
0 (kN/m) 0
(14)
0 4
21
Bướ c 5: Véc-tơ lực nút chung F
F
T
0
25
R 3
R 4
R 5
R 6
R 7
vớ i R i : phản lực liên kết tại nút i (i=17) T
Bướ c 6: Giải hệ phương trình PTHH 1 1 1 1 0 0 Q 2 0 25 4 1 1 Q - 25 1 1 0 0 21 21 2 1 1 (15) 1 1 0 0 0 Q 3 R 3 5 1 1 1 0 0 0 105 x 10 1 Q 4 R 4 1 0 0 0 1 0 0 Q5 R 5 0 0 0 0 0 0 Q 6 R 6 0 4 4 0 0 0 0 0 Q 7 R 7 21 21 hàng và cột 3, 4, 5, 6 7 ta có: Theo điều kiện biên của bài toán, ta có Q3 = Q4 = Q5 = Q6 = Q7 = 0, bỏ đi các 210 105 Q1 0 (16) 10 5 105 125 Q 2 25
Giải hệ (15), ta thu được: Q1 Q 2 T 1.724 x 10 -3 - 3.448 x 10 -3 T (m) Sử dụng công thức tính ứng suất (5.13), ta có :
1.724 x 10-3 -3 210 x 10 6 - 3.448 x 10 2 1 0.707 0.707 0.707 0.707 51.2 (MN/m ) 5 0 0 1.724 x 10-3 -3 x 10 210 x 106 - 3.448 1 0 1 0 2 36.2 (MN/m 2 ) 10 0 0
Bài tập 2.3: Xác định các chuyển vị và các phản lực liên kết của hệ thanh trong Hình 2. 3. Biết E = 207 GPa, A = 5 cm2
7 200 cm 3 3
2
L
1
3
45°
3
2
60°
1
4
l 14 14=400 2
L
2
l 12 12=400
cm
cm
1000 kN
1 1
Hình 2.3. Hệ thanh với gối tựa nghiêng
2000 N
60O
Hình 2.4. Hệ thanh gắn vào tường
Bài tập 2.4: Khảo sát hệ 3 thanh thép nối bản lề với tường và nối với nhau tại điểm 1 như Hình 2. 4. Mô đun đàn hồi của thép: E = 200 GPa. Diện tích các mặt cắt ngang: A1 = A2 = A3 = 8 cm2. Xác định chuyển vị của điểm 1, ứng suất trong các thanh và các phản lực liên kết. Bài tập 2.5: Các thanh trong hệ thanh phăng ở Hình 2. 5. có mặt cắt ngang hình vuông 15 mm x 15 mm và mô đun đàn hồi E = 69 GPa. Hãy: 1. Thiết lập ma trận độ cứng chung K 2. Tính các chuyển vị nút 3. Xác định các ứng suất trong các thanh 3 kN
4
2
5 kN
1
3
2
P = 100 kN
5m
5m
3
2m
2
45°
30°
1
1 3
k = 4000 N/m
4
2m
Hình 2.5. Hệ thanh phăng chịu lực
Hình 2.6. Hệ thanh và lò-xo
Bài tập 2.6: Xét hệ thanh phăng được đỡ bởi một lò -xo như Hình 2.6. Biết E = 210 GPa, A = 5 x 10 – 4 m2. Hãy xác định chuyển vị tại 1 và ứng suất trong các thanh. PHẦN III: PHẦN TỬ PH PHẲNG TAM GIÁC
Bài tập 3.1: P = 500 N
50°
2
Q4 Q3
(2.40, 1.65) Q6
(1.5, 1.0)
3
0
q = 12 MPa
y
(2.25, 0.75)
Hình 3.1a. Tấm tam giác chịu lực
x
0
x
Q
1
Q2 Q1
Hình 3.1b. Mô hình PTHH
8
Khảo sát một phần tử tấm tam giác ứng suất phăng bằng thép với E = 200 GPa, = 0.32 như Hình 3.1a. Tấm có chiều dày 3 mm, tọa độ các đnh đo bằng cm, tấm chịu các lực tập trung P và lực phân bố q. Xác định ma trận độ cứng chung và véc-tơ lực nút chung của phần tử. LỜ I GIẢI Bướ c 1: Mô hình PTHH của cơ hệ Tấm được mô hình hóa bằng phần tử tam giác phăng 3 nút và được đánh số như Hình 3.1b Bướ c 2: Bảng ghép nối phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Nút k Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Q2k-1 Q2k Phần tử 1 1 2 3 4 5 6 ng của phần tử Bướ c 3:y Ma= tr ận độ cứ ng y – – y y = 1.65 - 1.0 = 0.65
x32 = x3 – – x x2 = 1.5 - 2.40 = -0.9 y31 = y3 – – y y1 = 1.0 - 0.75 = 0.25 x13 = x1 – – x x3 = 2.25 - 1.5 = 0.75 – y – x y12 = y1 – y2 = 0.75 - 1.65 = -0.9 x21 = x2 – x1 = 2.40 - 2.25 = 0.15 Theo công thức (6.25), ta có: Det J = 2A = x21 y31 – – x x31 y21 = 0.7125 cm2 Đối với bài toán ứng suất phăng, áp dụng các công thức (6.8) và (6.31), ta có : 23
2
3
1 E 1 D 1 0 0 2
0 . 1 2 0
0 0.65 B 0 0.4 0.7125 0.9 0.65 1
0.25
0
0.9
0
0.75
0
0.75
0.25
0.15
0.15 0.9 0
Cuối cùng, theo công thức (6.38), ta thu được : 0.9 0 0.65 0.9 0.65 22281640 3 0.7125 0 0 . 25 0 0.75 2 K x 7130125 0 0.75 0.25 0.7125 0 0.9 0 0.15 0.15 0.9 0 0.9 0 0.25 0 0 0.65 0 0.4 0 0.75 0 0.15 0.9 0.65 0.75 0.25 0.15 0.9 2
7130125 22281640 0
x 0 7575758 0
ng chung K Bướ c 4: Ma trận độ cứ ng
3273759 1811146 1811146 4473449 314288 439769 K 372924 2907167 2959471 1371376 1438221 1566282
314288
372924
2959471
439769
2907167
1371376
1190309
580495
876020
580495
2738296
953420
876020
953420
3835491
1020265
168871
417957
1566282 1020265 (N/cm) 168871 417957 1397411
Px P y 2 2 t.L tk 0 0.3 (2.25 1.5) (0.75 1.0) FP 2 2 0 Px Py
1200 142 0 0 0 0 (N) 0 0 0 0 1200 142
1438221
Bướ c 5: Thiết lập véc-tơ lự c nút chung F Véc tơ lực nút qui đổi liên quan đến lực tập trung:
Véc tơ lực nút qui đổi liên quan đến lực phân bố:
(17)
9
0 0 0 0 0 0 Q jx 500 cos(50) 321 Fq 500 sin( 50 ) Q 383 jy 0 0 0 0 0 0
(N)
Véc tơ lực nút chung F: F 142 0 - 321 - 383 - 142 0 (N) (18) Bài tập 3.2: Tìm 5các chuyển vị và ứng suất của tấm trong Hình 3.2a. Tấm được được chia thành hai phần tử tam giác phăng. Cho : E = 2 2 x 10 N/mm , = 0.25, chiều dày tấm t = 15 mm. T
T
y
50 kN
Q8
Q6 3
4
Q7 1
Q5 1
500 mm 2
2
Q2
Q4 2
1
x
750 mm
Q1
Hình 3.2a. Tấm chịu liên kết và lực
Q3
Hình 3.2b. Mô hình PTHH LỜ I GIẢI
Bướ c 1:Tấm được mô hình hóa với 4 nút và 2 phầ n tử phăng tam giác được đánh số như Hình 3.2b. Bướ c 2: Bảng ghép nối các phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Nút k Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Q2k-1 Q2k Phần tử 1 1 2 5 6 7 8 Phần tử 2 1 2 3 4 5 6 ng của các phần tử Bướ c 3: Ma trận độ cứ ng 1). Phần tử 1: Tọa độ các nút: 1(0, 0), 2(750, 0) và 3(0, 500) det J
1
0
0
1
750
500
1
0
500
500
0
500
0
0
0
0
500
750
2A
0 0 1 B 0 750 750 500 750 0
750 500
750 500 0
0 0 1 0 1.5 750 1.5 0
1
0
1
0
0
0
0
1
1.5
1.5 1 0
1 0 0 0.75 0.25 3 1 0 5 E 2 10 1 0 0.25 0.75 0 0.2 10 5 1 3 0 D (1 )(1 2) 1 2 1.25 0.5 0 0 0 . 25 0 0 1 0 0 2 2.25 0 0 1.5 2.25 1.5 0 6.75 1.5 0 1.5 6.75 k tAB DB 100000 0 1.5 3 0 1.5 3 1.5 0 0 1 1.5 1 1
2
5
6
7
8
1
2
1
T
5
6
2.25 1.5
1.5
3
1.5
5.25
6.75
1.5
1
3
2). Phần tử 2: Tọa độ các nút: 1(0, 0), 2(750, 0), 3(750, 500)
7
3 7.75 8
(19)
10
det J
2A
1
0
0
1
750
0
1
750
500
750 500
0 500 500 0 500 0 B 0 0 750 750 500 0 500 750 750 500
0
1
1 0
k tAB DB 2
T
1 750 0 0 0
15 750 500 2
0 750
5
1 1.5 0.2 105 1 750 1.5 0
0
0 0 1.5
0
1.5 0 1.5
3 3 0 1.5 1 4.5 1 0 0 1 1.5 1
0
1.5
0
4.5
1.5
0
2 3 4 5 6 1 1 3 0 3 1.5 0 1.5 2 0 1 1.5 0 1 1.5 3 100000 3 1.5 5.25 3 2.25 1.5 4 1.5 7.75 1.5 1 3 6.75 5 0 1 . 5 2 . 25 1 . 1 2 . 25 0 1.5 6 0 1.5 0 6.25 6.75 ng chung K Bướ c 4: Ma trận độ cứ ng 0 1.5 0 1.5 3.0 3.0 2.25 5.5 0 7.25 1.5 0 1.5 6.25 1.0 3.0 5.25 0 0 3.0 2.25 1.5 3.0 1.5 k 100000 1.5 1.0 3.0 7.25 1.5 0 0 6.75 0 3 . 0 2 . 25 1 . 5 5 . 25 0 3 . 0 1 . 5 3 0 1.5 0 7.75 1.5 6.75 1.0 0 0 1.5 5.25 3.0 3.0 2.25 1.5 1.5 6.75 0 0 1.5 1.0 3.0 7.75 Bướ c 5: Véc-tơ lực nút chung F 1
2
1.5 0 0
0
0
1
3 1 0 D 0.2 10 1 3 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 750 0 1.5 750 0 0 0 1 1.5 0 1
3
4
5
6
7
(20)
8
1
2
3
4
5
6
7
8
T
F
(21)
T
R 1
R 2
0
R 4
50000
0
R 7
R 8
vớ i R i : phản lực liên kết tại nút i (i=1, 2, 4, 7, 8).
Bướ c 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}
3.0 3.0 2.25 1.5 Q 0 1.5 0 5.5 0 7.25 1.5 1.0 3.0 0 1.5 6.25 Q 3.0 1.5 3.0 2.25 1.5 5.25 0 0 Q 1.5 1.0 3.0 7.25 1.5 0 0 Q 6.75 100000 0 3.0 2.25 1.5 3.0 1.5 Q 5.25 0 3 . 0 0 1 . 5 6 . 75 0 7 . 75 1 . 5 1 . 0 Q 2.25 1.5 3.0 0 0 1.5 5.25 3.0 Q 1.0 3.0 7.75 Q 6.75 0 0 1.5 1.5
1 2 3 4 5 6 7 8
R R 0 R 50000 0 R R 1
2
4
7 8
Áp dụng điều kiện biên của bài toán : Q1 = Q2 = Q4 = Q7 = Q8 =0, bỏ đi các hàng và các cột 1, 2, 5, 6 ta có(22) :
5.25 2.25 100000 2.25 5.25 1.5 0
Q 3 0 0 Q 5 50000 7.75 Q 6 0 1.5
(23)
11 T Giải hệ này, ta có : QT 0 0 0.53661 0 0.118236 0.010459 0 0 (mm) Để tính ứng suất trong các phần tử, áp dụng công thức (6.52) : DB Q 0 0 5.584 584 1.5 3 0 3 1.5 0 0 . 053661 0.2 10 0 2.977 4.5 1 0 1 4.5 0 750 750 1.5 0 0 1 1.5 1 0.118236 5.000 0.010459 0 0 9.877 3 1.5 0 1.5 3 0 0.053661 0.2 10 1 1 0 4.5 0 4.5 4.408 0 750 5.008 0 1 1.5 1.0 1.5 0 0.118236 0.010459 y 3 (0, 0.0254) Bài tập 3.3:
5
1
5
2
(24)
2 (0.0508, 0)
0 x
Hình 3.3. Tấm tam giác phă ng Xác định ma trận độ cứng chung của tấm tam giác ứng suất phăng trong Hình 3.3, biết E=207 GPa, =0.25 và chiều T dày tấm t=0.0254 m. Giả sử các chuyển vị nút là: QT 0 6.35 3.04 048 8 0 0 6.35 x10 5 (m (m)) hãy tìm ứng suất trong tấm. Bài tập 3.4: Cho tấm mỏng chịu kéo như Hình 3.4. Bằng cách sử dụng hai phần tử tam giác phằng, xác định các chuyển vị nút và ứng suất trong phần tử, biết E = 207 GPa, chiều dày tấm t = 0.0254 m, = 0,3. 1 (0, -0.0254)
3 (0.5, 2)
q 0.5 m 2
0.4 m
q = 200 kN/m2
2 (1, 1)
1
1 (0, 0)
Hình 3.4. Tấm chịu kéo Hình 3.5. Tấm tam giác chịu lực phân bố trên một cạnh Bài tập 3.5: Xác định véc-tơ lực nút chung của phần tử tam giác trong Hình 3.5. Bài tập 3.6: Thiết lập ma trận độ cứng chung cho tấm tam giác trong các Hình 3. 6a và Hình 3.6b. Cho: E = 200 GPa, =0.25, t=0.01 m, L = 1 m
L
L
2 3
x
2
L
1
2 1
L
L L x 1
Hình 3.6a. Tấm tam giác 1 phần tử
4
Hình 3.6b. Tấm tam giác 2 phần tử
3
12
Bài tập 3.7: y 30 kN 1
2
300 mm
150 mm 2
1
x 500 mm
50 kN 60o
200 mm
50 kN 30
° kéo Hình 3.7a. Tấm ch nhật chịu Hình 3.7b. Tấm vuông chịu kéo Hãy xác định các chuyển vị và ứng suất trong các tấm ở các Hình 3. 7a và 3.7 b. Biết: E=207 GPa, t=3 mm, =0.25. Bài tập 3.8: Đề thi 2014 ọng P như Hình 3.8 Hệ phăng gồm tứ giác 1 liên kết với tam giác 2 và lò -xo đứng 3 chịu các tải tr ọng Các phần tử đượ c chọn như sau : P 5(2,1)
y
P x 45°
2
P
3
3(1,0)
4(0,0) 1
1
2
Hình 3.8. Hệ tấm và lò xo
1: 1-2-3-4 2: 4-3-5 3: 2-5 Biết ma tr ận ận độ cứng các phần tử (bằng ch): 1 k = [a [aij](i,j=18) k 2 = [b [bij](i,j=16) k 3 = [c [cij](i,j=12) Hãy: a.Lậ p bảng ghép nối các phần tử b.Tính ma trận độ cứng chung (bằng ch) c.Xác định véc tơ lực nút chung d.Tính các ma trận J, D, B, A của ph ần t ử bằng giá trị số và viết công thức tính ma trận độ cứng phần tử . Cho : t=3 cm, E=69 GPa, = 0.3, t ọa độ đo bằng m, bài toán ứ ng suất phăng
PHẦN IV: PHẦN TỬ PH PHẲNG T GIÁC
Bài tập 4.1: y
(3,4) 4
(5,4) 3
Hình 4.1. Phần tử tứ giác 1 (3,2) 0
2 (5,2) x
Xác định ma tr ận ận độ cứng của phần t ử tấm ch nhật trong Hình 4.1. sử dụng tích phân số Gauss 4 điểm. Biết : 207 Gpa, t = 1 cm. Các kích thước đo bằng m. Các điể m Gauss lần lượt là : (1, 1) = (-0.5773, -0.5773 ) (2, 2) = (0.5773, 0.5773 ) Và các hàm trọng số : W1 = W2 = W3 = W4 = 1
(2, 1) = (0.5773, -0.5773 ) (1, 2) = (-0.5773, 0.5773 ) LỜ I GIẢI
Bướ c 1: Tấm được mô hình hóa bằng phần tử tứ giác phăng 4 nút như Hình 4.1. Bướ c 2: Bảng ghép nối phần tử Nút i Nút j Nút k Bậc tự do Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Q2k-1 Q2k Phần tử 1 1 2 3 4 5 6 Bướ c 3: Ma trận độ cứng của phần tử Theo công thức tíchT phân số :
Nút l Q2l --11 7
Q2l 8
K t B(1 , 1 ) DB(1 , 1 )det( J(1 , 1 ))W1 W1 B( 2 , 1 )T DB( 2 , 1 )det( J( 2 , 1 )) W2 W1 T T B( 2 , 2 ) DB( 2 , 2 )det( J ( 2 , 2 )) W2 W2 B(1 , 2 ) DB(1 , 2 )det( J(1 , 2 )) W1 W2
E=
13
Áp dụng các công thức (8.10), (8.19), (8.21) và (8.23) cho từng điểm Gauss r ồi ồi thay vào công thức trên ta sẽ có ma ận độ cứng chung [K]. tr ận Sau đây, ta tiến hành tính toán cụ thể cho điểm Gauss thứ nhất ((1, 1) = (-0.5773, -0.5773)
1 0 J(1 , 1 ) 0 1
1 A(1 , 1 ) 0 0
0 0 0 0 0 1 1
1 0
0 0.3943 0 0.3943 0.3943 0.1057 0 0 G (1 , 1 ) 0 0.3943 0 0.3943 0.3943 0.1057 0 0
D
10
11
2.2080 x 0.5520 0
0.5520 2.2080 0
0 0.8280
0.1057
0
0.1057
0.1057
0
0.3943
0 0
0.1057 0.1057
0 0
0
0.1057
0.1057
0
0.1057
0.3943
0 0.3943 0 0.1057 0.3943 0 0.3943 0.1057 B(1 , 1 ) 0 0 0.3943 0.3943 0.1057 0.3943 0.1057 T Từ đó, ta có : t B(1 , 1 ) DB(1 , 1 )det( J(1 , 1 ))W1 W1
0
0 0.1057 0.3943 0
0.3943 0.1057 0
4.7207 2.1458 3.0882 1.0575 1.2651 0.5751 0.3674 0.5133 4.7207 0.5133 0.3674 0.5751 1.2651 1.0575 3.0882 3.5257 0.1376 0.5751 0.8276 1.2651 0.9508 1.5340 0.2834 0.0985 1.3491 1.2651 8 10 x 0.3390 0.1541 0.0985 0.1376 Đ / x 0 . 3390 0 . 2834 0 . 8276 1.5340 0.5751 3.5257 (25) Tiến hành tính toán tương tự cho 3 điểm Gauss còn lại và thay vào công thứ c (8.44), cuối cùng ta thu đượ c ma tr ận ận độ cứng của phần tử : 0.069 1.012 0.345 0.598 0.069 0.506 0.345 0.092 1.012 0.069 0.092 0.345 0.506 0.069 0.598 0.345 0.092 0.069 0.506 0.345 1.012 1.012 0.069 0.598 0.345 0.506 9 K 10 x 1.012 0.345 0.598 0.069 Đ/x 1.012 0.069 0.092 1.012 0.345 1.012 (26) Bài tập 4.2: 1 (0, 1)
q = 20 N/m
2m
4 (2, 1)
0.5 m 3 2, 0. 0.5 5
1m 2 0, 0
Hình 4.2a. Tấm ngàm chịu lực
Hình 4.2b. Mô hình PTHH
Khảo sát tấm hình thang với kích thước như Hình 4.4a. Tấm bị ngàm ở c c ạnh trái, cạnh phía trên chịu l ực phân bố q = 7 ận độ 20 N/m, hai cạnh còn lại t ự do. Các thông số c ủa vật li ệu: E = 3 x 10 Pa, = 0.3, t = 1 cm. Hãy xác đị nh ma tr ận cứng, các chuyển vị, ứng suất và biến dạng của tấm sử dụng phương pháp tích phân Gauss 4 điểm. LỜ I GIẢI Bướ c 1: Mô hình PTHH của cơ hệ Tấm được mô hình hóa bằng phần tử tứ giác phăng 4 nút như Hình 4.2b.
14
Bướ c 2: Bảng ghép nối phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Nút k Nút l Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Q2k-1 Q2k Q2l-1 Q2l Phần tử 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Bướ c 3: Ma trận độ cứng của phần tử Ma tr ận ận độ cứng chung đượ c chung hợ p từ ma tr ận ận độ cứng tại 4 điểm Gauss có các tọa độ:
1
1
2
3
Với các trọng số: W1 = W2 = 0
1
1 3
1
Ma tr ận độ cứng chung1 được 1 tính theo công thức: 2
K t B DB DBd d t
T
3
2
2
B DB det( J)dd t W W det( J( , ))B T
i
j
i
T
j
1 3
( i , j )DB( i , j )
i 1 j1
1 1
ước tiên, ta tính ma trận độ cứng tại điểm Gauss thứ nhất: ( Tr ước (1, 1) = (-
0.04 0.06 0.12 0.38 0 0.4472 A(1 , 1 ) J (1 , 1 ) 0.88 0.88 0.24 0.24 1 0.0528
1 3
,
1 3
)
1 7 D 3.3x10 0.3 0
0 0.06 0 0.12 0 0.44 0 B(1 , 1 ) 0.88 0 0.88 0 0.24 0.88 0.44 0.88 0.06 0.24 0.12
0.38 0 0.24
0.3 1 0
0.24 0.38
0 0.35 0
0
(27)
Phần đóng góp của điểm Gauss thứ nhất vào ma trận độ cứng chung được tính theo công thức: K (1) tW1W1 det(J(1 , 1 ))BT (1 , 1 )DB(1 , 1 )
Tương tự, lặ p lại các bước tính trên cho 3 điểm Gauss còn lại, ta tính được các ma trậ n K ((2)2), K ((3)3), K ((4)4) và ma trận chung [K] = K (1) (1) + K ((2) 2) + K ((3) 3) + K ((4) 4)
1.49 0.74 0.66 0.16 0.98 0.65 2.46 0.66 1.68 2.75 0.24 1.08 0.33 0.15 0.16 0.08 1.39 2.6 K 105 x 0.82 2 Đ/ x 3.82
0.15
0.16 0.56 0.41 1.18 0.33 1.59
0.08 1.39 0.41 1.53 0.25 3.53 0.25
3.67 Bướ c 4: Thiết lập véc-tơ lực nút chung T Áp dụng công thức (8.30), ta thu đượ c: c: F R 1 R 2 20 R 3 R 4 0 0 0 20T (N) Bướ c 5: Giải hệ phương trình PTHH 0.15 0.08 Q1 R 1 1.49 0.74 0.66 0.16 0.98 0.65 R 20 2.75 0.24 2.46 0.66 1.68 0.16 1.39 Q 2 2 R 3 1.08 0.33 0.15 0.16 0.56 0.41 Q 3 2.6 0.08 1.39 0.41 1.53 Q 4 R 4 5 10 x 0.82 1.18 0.25 Q 5 0 2 Đ/ x 3.82 0.33 3.53 Q 6 0 1.59 0.25 Q 7 0 3.67 Q 8 20 Áp dụng điều kiện biên của tấm Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = 0 ta có hệ rút gọn:
(28)
15
2 0.82 1.18 0.25 Q 5 0 3.82 0.33 3.53 Q 6 0 5 10 x Đ/ x 1.59 0.25 Q 7 0 3.67 Q8 20 Giải hệ (29), ta thu được các chuyển vị: Q1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Q 7 Q 8 0 0
0
0
1.17 9.67
Biến dạng của tấm tại 4 điểm Gauss được tính theo công thức:
3.61
i , j
2.67
B i , j
(29)
9.94x10 4 (m)
q 8.82
x10 4 1 , 1 B1 , 1 q 0.628
4 1 , 2 B1 , 2 q 0.628 x10
42.0 2 , 1 D 2 , 1 23 .0x10 2 (N/m2) 2.55
18. 5 x10 2 (N/m2) 2 , 2 D 2 , 2 4.82 1.09
39.4 40.3 11.7 6.65 4 4 2 , 1 B 2 , 1 q 3.45 x10 2 , 2 B 2 , 2 q 3.46x10 2.21 0.95 Ứ ng i , j D i , j ng suất của tấm tại 4 điểm Gauss được tính theo công thức: 12.5 28.5 2 (N/m2) 2 (N/m2) 1 , 1 D 1 , 1 5.64x10 1 , 2 D 1 , 2 6.65 x10 45.5 46.5
Bài tập 4.3: 4 (300, 500)
y
3 (700, 700)
Hình 4.3. Tấm chịu lực phân bố
2 (800, 300)
1 (200, 100)
0 x
Tấm tứ giác có chiều dày t = 20 mm chịu lực diện tích phân bố như Hình 4. 3. Xác định véc-tơ lực nút chung, biết Tx = 10 N /mm2, Ty = 15 N /mm2
Bài tập 4.4: Hãy xác định ma tr ận ận độ c ứng c ủa các tấm trong các Hình 4.4a và 4.4b. Cho E = 210 GPa, = 0.25, t = 1 mm, các kích thước trong các hình đo bằng centimet. (20,20) (12,15)
y
3 1 0
(10,10)
(20,15) 4
y
Hình 4.4a. Tấm hình thang
4 3
2 (20,10 x
(12,16)
1 0
(10,10)
2 (20,10) x
Hình 4.4a. Tấm hình tứ giác
16 1 (0.6, 1.5)
Bài tập 4.5:
4 (1.2, 1.5)
q = 6 N/m
2 (0, 0)
3 (1.2, 0)
Hình 4.5. Tấm hình thang chịu lực phân bố Khảo sát tấm hình thang trong Hình 4. 5. Các kích thước đo bằng mét, biế t: E=200 Gpa, =0.3, t=1cm. Sử d ụng tích phân Gauss 4 điểm, hãy xác định ma tr ận ận độ cứng chung, chuyển vị, ứng suất và biến dạng của tấm tại các điểm Gauss. Bài tập 4.6: Sử d ụng phương pháp tích phân số 4 điểm Gauss, tính các chuyển v ị, ứng suất các tấm trong Hình 4.8a và Hình 4.8b. Cho: E = 210 Gpa, = 0.3, t = 1 mm q = 20 kN/m
và biến dạng (tại các điểm Gauss) của
2.5 kN
1
2
0.15 m
0.1 m
0.1 m
0.1 m
0.1 m
0.4 m
Hình 4.8a. Tấm ch nhật gồm 2 phần tử
Hình 4.8b. Tấm hình thang chịu lực tậ p trung
PHẦN V: PHẦN TỬ H HỮ U HẠN TRONG TÍNH TOÁN DẦM VÀ KHUNG
Bài tập 5.1: (Đề thi 2010)
q
y
Q 1 1
1 x
1
L=2m
2
Q 3
2
Q 2
3
2
1
Q 4
L=2m Hình 5.1. Cầu hai nhị p p và mô hình PTHH
Khảo sát cầu trên Hình 5.1. Biết : EJ = 4 x 107 (Nm2), q = 18 (kN/m). Hãy : 1. Xác định ma tr ận ận độ cứng của hai phần tử dầm ận độ cứng chung của cả hệ 2. Xác định ma tr ận 3. Xác định véc tơ lực nút chung và chuyển vị tại nút 2 và 3 4. Xác định các phản lực liên kết LỜ I GIẢI
Bướ c 1: Cơ hệ được mô hình hóa với 3 nút và 2 phần tử như Hình 5.1. Bướ c 2: Lập bảng ghép nối các phần tử Bậc tự do Phần tử Phần tử 1 Phần tử 2
Nút i Q2i-1 1 3
Nút j Q2i 2 4
Q2j-1 3 5
Q2j 4 6
2
3
Q 5
Q 6
17
Bướ c 3: Tính ma trận độ cứ ng ng của các phần tử Theo công thức (9.20), ta thu được các ma trận độ cứng k 1, k 2 cho các phần tử như sau :
1
k
5 10
6
2
6
k
5 10
6 6 6 8 6 6 6 4 12 6 6 8 6 8 10 12 6 6 16 6 4
12 12 12 12 12 16 12 8 10 12 12 12 12 8 12 16 12
12 12
12 16
12 12
12 12 12 8 12 12
1
2
7
3
4 6 8 6 4 6 8
3
4
6 6
6
2
6
3
6
4
4
5
6
6
3
6
7
1
4
6
5
6
6
Bướ c 4: Thiết lập ma trận độ cứ ng ng chung K Sau khi đánh số các ma trận độ cứng phần tử và tiến hành lắp ghép, ta có ma trận độ cứng chung: 6 6 6 0 0 6 6 6 4 8 0 0 6 6 12 0 6 6 K 10 7 6 4 0 16 6 4 0 0 6 6 6 6 6 8 0 6 4 0
Bướ c 5: Thiết lập véc-tơ lực nút chung F Véc tơ lực nút các phần tử : T
4 5 3 f 12.6 3.6 5.4
3 3.6 10
2 3 1 f 5.4 2.4 12.6
4
1
2
Véc tơ lực nút chung: F R 5.4 R 2.4 R 25 .2 vớ i R i : phản lực liên kết tại nút i (i=1, 2, 3, 5). Bướ c 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F} Hệ phương phương trình PTHH thu đượ c : T
1
2
3
0
R5
5.4
T
3 2.4 10 6
T
2.4
3
10
6 0 0 Q1 6 6 6 R1 5.4 6 R 2.4 Q2 8 6 4 0 0 2 Q 6 6 12 0 6 6 R 25 . 2 3 3 7 3 10 10 4 0 16 0 6 4 Q4 6 0 R5 5.4 0 6 6 6 6 Q5 2.4 0 6 4 6 8 Q6 0
(30)
Áp dụng điều kiện biên của bài toán, Q1 = Q2 = Q3 = Q5 = 0, bỏ đi các hàng và cột 1, 2, 3, 5 của ma tr ận ận K ta có: 16 4 Q 0 (31) 10 Q 2.4 4 8 Giải hệ (31) ta thu đượ c: c: Q4 Q6 T 0.0857rad 0.3429rad T 10 4 Thay vào (30) ta tìm được các phả n lực liên kết : 4
4
6
R
1
R2
R3
R5
T
4.8857 N
Nm 2.0571
27 .2571 N
3.8571 N
T
3
10
Bài tập 5.2: (Đề thi 2011) Khảo sát một cây cầu chịu lực, cân bằng như Hình 5.2 Cho : E = 200 GPa, J = 2 x 10-4 m4, q = 12 kN/m, P = 8 kN, độ cứng lò xo: k = 200 kN/m. Sử dụng mô hình gồ m hai phần tử dầm và một phần tử lò-xo, hãy : 1. Xác định các ma trận độ cứng k 1, k 2 của dầm Xác định ma tr ận ận độ cứng chung của cả hệ dầm và lò-xo 2. 3. Tính véc tơ lực nút chung có kể đến các phản lực liên kết Tìm các chuyển vị tại nút 2 4. 5. Tính các phản lực liên kết
18
y
q
P
1
x
2
1
3
4
l =1m
l =1m
Q 1
1
1
l =1m 2
Q 2
3
2
Q 3
2
Q 4
3
Q 5
3
Q 6
Hình 5.2. Cầu chịu lực và mô hình PTHH
Q 7
4
LỜ I GIẢI Bướ c 1: Hệ được mô hình hóa với 4 nút và 3 phần tử như Hình 5.2. Bướ c 2: Lập bảng ghép nối các phần tử
Bậc tự do
Nút i
Nút j
Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Phần tử 1 1 2 3 4 Phần tử 2 3 4 5 6 Phần tử 3 5 7 Bướ c 3: Tính ma trận độ cứ ng ng của các phần tử Theo công thức (9.20), ta thu được các ma trận độ cứng k 1, k 2, k 3 cho các phần tử như sau :
k
k
1
2
5 10
6
4 10
7
6 6 12 12 12 12 6 12 16 12 8 8 10 6 6 12 12 12 12 12 16 4 8 6 12 12 6 24 6 48 12 6 6 2 24 16 4 10 48 24 12 6 12 6 8 2 24 6 6 4 1 1 0 02 0 02 10 1 1 0 02 0 02
7
7
3
k
3
2 10
5
7
6 6 6
4 6 8 6
6 48 24 48
24
8 24 16 24
7
.
.
.
.
3
7
Bướ c 4: Thiết lập ma trận độ cứ ng ng chung K Sau khi đánh số các ma trận độ cứng phần tử và tiến hành lắp ghép, ta có ma trận độ cứng chung: 6 6 6 0 0 0 6 6 6 8 4 0 0 0 6 6 54 02 18 48 24 0 02 K 10 24 8 4 18 24 0 6 0 48 24 48 24 0 0 24 16 0 24 8 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 02 Bướ c 5: Thiết lập véc-tơ lực nút chung F .
.
7
.
.
Véc tơ lực nút các phần tử :
f 12 4 4 2 12 4 1
1 4 2 - 16
T
2
-6
3
- 16
T
3 6 10 4
19
f 6 1 6 3
4
5
2
T
3 f 0
1 10 6
T
0 7
3
3
Véc tơ lực nút chung : F R 16 R 6 22 5 R R 6 vớ i R i : phản lực liên kết tại nút i (i=1, 2, 5, 6, 7). Bướ c 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F} Hệ phương phương trình PTHH sau khi bỏ các hàng và cột 1, 2, 5, 6, 7: 54 02 18 Q 22 10 10 Q 24 18 5 T 5 Giải hệ này, ta tìm đượ c: c: Q3 Q4 T 6.35 355 5 m 6.849 849 rad rad 10 Các phản lực liên kết: T
1
7
2
5
3
.
6
1
R7
T
3
10
3
(32)
4
R
1
R2
R5
R6
R7
T
23.9224 N
12.5526 Nm
20.0664 N
10.7728 Nm
0.0127 N
T
3
10
Bài tập 5.3: (Đề thi 2010) Khảo sát cầu Long Biên như Hình 5.3. Biết : EJ = 4 x 107 (Nm2), q = 12 (kN/m) , độ cứng lò xo: k = = 5 x 10 -3 x EJ (N/m)
q
y
x
2
1
3
2
3
4
5
L=5m
L=5m
L=5m
Hình 5.3. Mô hình cầu Long Biên Cầu được mô hình hóa bằng 4 phần tử (ba phần tử dầm và 1 phần tử lò xo), 5 nút như trên hình vẽ. Để tiện cho việc lắp ghép ma tr ận, ma tr ận ận độ cứng lò xo có thể đượ c biểu diễn dướ i dạng: 1) Xác định ma tr ận ận độ cứng của ba phần tử dầm ận độ cứng chung của cả hệ dầm-lò xo 2) Xác định ma tr ận 3) Xác định véc tơ lực nút chung và chuyển vị tại nút 2 và 3 4) Xác định các phản lực liên kết Bài tập 5.4: Khảo sát hệ dầm và lò xo trong Hình 5.4. Cho EJ = 2 x 107 Nm2, k = 10-4 EJ (N/m). Hãy xác định các chuyển vị và các phản lực liên kết. q = 1000 N/m M = 1250 Nm P = 2500 N
5m
5m
k
Hình 5.4. Hệ 5.4. Hệ dầm lò-xo
Bài tập 5.5: (Đề thi 2014) Khảo sát kết cấu phức hợp trong hình vẽ dưới đây:
q
1
Trong đó: , là các phần t ử d ầm, , , là các phần tử thanh, là phần tử lò-xo. Biết:
2 3
5
5
45° 4
4
3
6 45°
Hình 5.5. Hệ 5.5. Hệ phức hợ p
E1 = E2 = 210 GPa, J1 = J2 = 4 x 10-4 m 4, l 1122 = 2m, -4 2 l 23 23 = 1m, E3 = E4 = 200 GPa, A3 = A4 = 8 x 10 m , l 46 lò-xo = 200 kN/m, q = 12 kN/m 46 = 2m, l 5 56 6 = 2m, k lò Hãy: 1. Xác định các ma trận độ cứng của các phần tử cứng chung của cả hệ 2.Tínhđịnh ma trận 3.Xác véc độ tơ lực nút chung có kể đến các phản lực liên kết 4.Tìm các chuyển vị tại các nút 5.Tính các phản lực liên kết
20
Bài tập 5.6: Hệ khung trong Hình 5.6 chịu liên kết bản lề ở nút 1 và nút 3. Hãy xác định các chuyển vị tại các nút và các phản lực liên kết. Biết: E = 207 GPa, J = 4 x 10 -4 m4, q = 14.5 kN, A = 64 x 10-4 m2. 14,5 kN/m
Q 5
Q 2 Q 6
Q 3 Q 1
Q 4
1
2
1 3m
3m
2
30°
3
Q 8 Q 9 Q 7
Hình 5.6. Hệ khung bản lề – bản lề và mô hình PTHH LỜ I GIẢI Bướ c 1: Khung được mô mô hình hóa với 3 nút và 2 phần tử được đánh số như Hình 5.6. Bướ c 2: Bảng ghép nối các phần tử Nút i Nút j Bậc tự do Phần tử Q3i-2 Q3i-1 Q3i Q3j-2 Q3j-1 Phần tử 1 1 2 3 4 5 Phần tử 2 4 5 6 7 8 ng của các phần tử Bướ c 3: Ma trận độ cứ ng 1). Phần tử 1 : Đối với phần tử này : = 0° : l = cos cos = 1 m = sin sin = 0
Q3j 6 9
Áp dụng các công thức (9.35), (9.36), (9.38), ta thu được ma trận độ cứng sau : 1 2 3 4 5 6 1 0.4416 0 0 0.4416 0 0 0 0.0368 0.0552 0 0.0368 0.0552 2 1 9 0 0.0552 0.1104 0 0.0552 0.0552 3 k 10 0.4416 4 0 0 0.4416 0 0 0 0 . 0368 0 . 0552 0 0 . 0368 0 . 0552 5 0 0.0552 0.0552 0 0.0552 0.1104 6 2). Phần tử 2 : Ơ đây, ta có : = 240°: l = cos cos = -0.5 m = sin sin = -0.86603 4 5 6 7 8 9 0.138 0.1753 0.0478 0.1380 0.1753 0.0478 4 0.3404 0.0276 0.0276 0.1753 0.0276 5 0 . 1104 0 . 0478 0 . 0276 0 . 0052 2 9 6 k 10 0.1380 0.1753 0.0478 7 Đ/ x 0.3404 0.0276 8 0.1104 9 Bướ c 4: Ma trận độ cứ ng ng chung K Phần lắp ghép ma trận độ cứng chung dành cho độc giả
Bướ c 5: Véc-tơ lực nút chung F
FT R 1
R 2
21750
10825 0
21750 10825 R 7
R 8
T
0
vớ i R i : phản lực liên kết tại nút i (i=1,2,7,8). Bướ c 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F} Áp dụng điều kiện biên : Q1 = Q2 = Q7 = Q8 = 0, bỏ đi các hàng và cột tương ứng với các chuyển vị bằng 0, ta có :
1.1040 0 8 10 0.5520 0.5520 0
Q3 Q 21750 4 10825 1.7528 3.7720 0.8280 0.2760 Q 5 0 21750 0.4780 0.8280 2.2080 0.5520 Q 6 0.4780 0.2760 0.5520 1.1040 Q 9 10825 0 5.7960
.5520 10.7528
0.5520 0.4780
0 0.4780
21
Giải hệ này, ta có kết quả :
Q3
Q4
Q5
Q6
Q9
T
10
3
0.1775 rad rad
Các phản lực liên kết : Q1 Q 2 Q 7 Q8 Bài tập 5.7:
T
0.0250 m
0.0841 m
0.0739 rad rad 0.0688 rad rad
T
11042 19125 11042 24375 (N) T
30 kN m 20 kN
4m 20 kN
E = 70 GPa A = 4 x 10-2 m2 J = 2 x 10 -4 m4
4m
E = 70 GPa A = 3 x 10-2 m2 J = 3 x 10-4 m4
4m
2m
2m
Hình 5.7a. Khung L chịu lực Hình 5.7b. Khung tam giác chịu lực Hãy xác định các chuyển vị và các nội lực tại các nút của các khung trong Hình 5.6a và Hình 5.6b. PHẦN VI: PHẦN TỬ H HỮ U HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT
Bài tập 6.1: Khảo sát phân bố nhiệt độ của tường trong Hình 6.1a.
.
x
200 °C
1
L=1m
200 °C
2
3
1
2
4 3
5 4
Q
Hình 6.1a. Tườ ng ng phăng chịu tác động của nguồn nhiệt đều
Hình 6.1b. Mô hình hóa PTHH LỜ I GIẢI
Bướ c 1:SMô hóa cơ tường hệ được mô hình hóa với 5 nút và 4 phầ n tử được đánh số như Hình 6.1b. ử dụhình ần PTHH ng ph tử một của chiều, Ơ đây:
kA L
25 0.25
100 (W/C)
Bướ c 2: Lập bảng ghép nối các phần tử qi 1 2 3 4
q j 2 3 4 5
Phần tử 1 Phần tử 2 Phần tử 3 Phần tử 4 Bướ c 3: Tính ma trận dẫn nhiệt của các phần tử Theo công thức (10.3) , ta thu được các ma trậ n dẫn nhiệt k 1, k 2, k 3, k 4 cho các phần tử như sau :
1 (W// C) (W 1 1
k k k k 100 x 1 1
2
3
4
Bướ c 4: Thiết lập ma trận dẫn nhiệt chung K
22
1 - 1 K 100 x 0 0 0
-1
0
0
0
2
-1
0
0
- 1 2 - 1 0 (W/C) 0 - 1 2 - 1 0 0 - 1 1
Bướ c 5: Thiết lập véc-tơ lượ ng ng nhiệt Áp dụng công thức (10.21) với q = h = 0 và Q = 400 W/m 3 : r Q T
QAL 1 2
, do đó : 1
50 (W) 50 Sử dụng công thức này cho 4 phần tử và tiến hành lắp ghép, ta có véc -tơ lượ ng ng nhiệt chung : R R 50 100 100 100 50 Bướ c 6: Giải hệ phương trình PTHH
r r r r 1
2
Q
3
Q
4
Q
Q
T
T
1
1 - 1 100 x 0 0 0
-1
0
2
-1
0
-1
2
-1
0
-1
2
0
0
-1
R 50 100 100 100 50
0 T1
0
T 0 0 T -1 T 1 T
2
3
4
5
1
(33)
Áp dụng điều kiện biên T1 = 200°C, thay vào (35) và thực hiện một số biến đổi, ta có : 2
2 1 0 0 T 1 2 1 0 T 100 x 0 1 2 1 T 0 0 1 1 T
3
4
5
Giải hệ này, ta thu đượ c : T1
T2
T3
T4
T
T5
20100 100 100 50
0
T
203 .5 206 207.5 208 (C)
Sử dụng (33), ta có dòng nhiệt ở phía phía trái : R 1 = -400 W
Bài tập 6.2: Sử dụng mô hình dẫn nhiệt một chiều, khảo sát tườ ng ng composite gồm 3 lớ p, biết: k 1=50 (W/moC), k 2=30 (W/moC), k 3=70 (W/moC), h1=5 m, h2=3 m, h3=2.5 m. Phía bên phải tườ ng ng c ó hiện tượng đối lưu vớ i h = 15 (W/moC) và T = 35oC. Hãy xác định phân bố nhiệt độ bên bên trong tường và lượ ng ng nhiệt cần cung cấ p ở phía phía trái tườ ng. ng. k1
k2
k3
T1
T1=100oC
h, T h1
h2
1
T2 2
1
T 3
2
3
3
T 4 4
h3
Hình 6.2. Tườ ng ng composite 3 l ớ p chịu nhiệt và mô hình Phần tử hu hạn LỜ I GIẢI
Bướ c 1: Mô hình PTHH Sử dụng phần tử một chiều, tường được mô hình bằng 4 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 6.2. Bướ c 2: Lập bảng ghép nối các phần tử Phần tử 1 Phần tử 2 Phần tử 3
Bướ c 3: Tính ma trận dẫn nhiệt của các phần tử
qi 1 2 3
q j 2 3 4
23
Theo công thức (10.3), ta thu được các ma trậ n dẫn nhiệt k 1, k 2, k 3 cho các phần tử như sau : 3 k 2 k 2 h h h1 3 h2 2 3 2 k k k k k 1 k 3 2 2 h 3 h 2 h1 h2 Bướ c 4: Thiết lập ma trận dẫn nhiệt chung K k 1 k 1 0 0 h h1 1 k 2 k 1 k 1 k 2 0 (W/C) K h 1 h 1 k h 2 k h 2k k 2 0 2 3 3 h2 h2 h3 h3 k k 3 0 3 0 h3 h3 k 1 k 1 hk 1 1 h1
k 1
k
T
Bướ c 5: Thiết lập véc-tơ lượ ng ng nhiệt : R Bướ c 6: Giải hệ phương trình PTHH k h k h 0 0
1
1
1
k 1
1
h1
k 1
R
0
1
0
0
T T T T
0
h1
k 2
h2
k 2
k 2
h2
h2
0
k 2
1
0
h2
h T4
2
k 3
h3
k 3
3
h3
k 3
k 3
h3
h3
4
T
k 3 h3
k 3 h3
T
R 0 0 h T T 1
(34)
4
Để giải (34), trước tiên hệ đượ c biến đổi như sau : k h k h 0 0
1
1
1
k 1
1
h1
k 1
T 0 T k T h T k h h
0
0
h1
k 2
h2
k 2
k 2
h2
h2
0
k 2
1
h2
2
k 3 h3
k 3
3
3
3
4
R 0 0 hT 1
3
h3
3
Áp dụng điều kiện biên T1 = 100°C, ta có hệ mớ i : k k h h k h 0 1
2
1
Giải hệ này, ta thu đượ c : T2
k
2
h2
2
2
k 2
2
h2
T3
T4
k 3 h3
k 3 h3
T k T h T k h h 0
2
3
3
3
4
3
k 100x h 0 hT
1
1
3
79.63 T
55.86 48.58 (C)
Sử dụng (34), ta có dòng nhiệt ở phía phía trái tườ ng: ng: R 1 = 203.7 W/cm2 Bài tập 6.3:
T
3(8,10) h 10
k 60
Hình 6.3. Tấm tam giác chịu nhiệt
W
W 2
cm C
T 40C
cm C
Q 50W / cm 3 1(4,6)
2(12,8)
h
15
W cm 2 C
T
40C
24
Xác định ma tr ận d ẫn nhiệt và véc -tơ lượ ng ng nhiệt trong tấm ở Hình 6.3. Các cạnh 1-2 và 2-3 chịu t ỏa nhiệt theo đối lưu. LỜ I GIẢI: Bướ c 1: Tấm được mô hình hóa với 3 nút và 1 phầ n tử được đánh số như Hình 6.3 Bướ c 2: Bảng ghép nối các phần tử Nút i
Nút j
Nút k
Bậc tự do Phần tử
Q2i-1
Q2i
Q2j-1
Q2j
Q2k-1
Q2k
Phần tử 1
1
2
3
4
5
6
Bướ c 3: Ma trận dẫn nhiệt của phần tử Tính các tham số trung gian : x21 = 12 – 4 = 8 y21 = 8 – 6 = 2
x31 = 8 – 4 = 4 x32 = 8 – 12 12 = -4 y31 = 10 – 6 = 4 y23 = 8 – 10 10 = -2 l23 = 4.47 l12 = 8.25 Theo các công thức (10.12), (10.14) và (10.18), ta tính được các ma trậ n sau : J
4
8 4
2
và Det(J) = 32 – 8 8 = 24
Do đó : A = 24/2 = 12 (cm2) 4 2 1 2 B 24 4 4 8 T
2 7 5 k T 5 tB TT B T 2 8 10 7 10 17
Bướ c 4: Ma trận dẫn nhiệt chung K T 2 7 5 K T 5t 2 8 10 7 10 17
Bướ c 5: Véc-tơ lượ ng ng nhiệt R 1 200 50x12t Áp dụng công thức (10.21), ta có : r Q 1 t 200 3
1
200
Theo công thức (10.33) :
0 1 10x 40x 4.47 15x 40x8.25 r 1t 0t 2 2 1 1
2475 864 t 3369
2675 Véc-tơ lượ ng ng nhiệt chung : R r Q r 1064 t 3569
Bài tập 6.4: 3 3(0,1)
q = 20 W/m
4
4(2,1) 2
q = 0 W/m 2
T = 0 °C
Q = 6 W/m
1
2(2,0.5)
2
T = 0 °C
1
25
Hình 6.4. Tấm hình thang chịu nhiệt và mô hình PTHH 1
Khảo sát tấm chịu nhiệt trong Hình 6.4. Các kích thước đo bằng mét. Ma trậ n hệ số dẫn nhiệt: D k
0 2 W/°C. Một nguồn nhiệt hằng số Q = 6 W/m tác dụng lên tấm. Hãy xác định phân bố nhiệt độ trong tấm. LỜ I GIẢI: 1: Tấm được mô hình hóa với 4 nút và 2 phầ n tử được đánh số như Hình 6.4 Bướ cc 2: Bướ Bảng ghép nối các phần tử
Bậc tự do Phần tử Phần tử 1 Phần tử 2
Nút i Qi 1 2
Q j 2 4
Qk 3 3
Bướ c 3: Ma trận dẫn nhiệt của các phần tử 1). Phần tử 1 :
Tính các tham số trung gian : x21 = 2 – 0 = 2 y21 = 0.5 – 0 = 0.5
x31 = 0 – 0 = 0 y31 = 1 – 0 = 1
x32 = 0 – 2 2 = -2 y23 = 0.5 – 1 1 = -0.5
A = 1 m2 c: Áp dụng các công thức (10.14) và (10.18), ta thu đượ c: BT
1
k
1 0.5 2 2
1 0
0.5 2
1 2 3 5.3125 0.625 4.6875 1 T kAtBT BT t 0.625 0.625 2 1.25 4 . 6875 0 . 625 5 . 3125 3
2). Phần tử 2 :
Tính các tham số trung gian : A = 0.5 m2 x21 = 0 – 0 = 0 y21 = 1 - 0.5 = 0.5
x31 = 0 – 2 = -2 y31 = 1 – 0.5 = 0.5
x32 = 0 – 2 2 = -2 y23 = 0.5 – 1 1 = -0.5
Áp dụng các công thức (10.14) và (10.18), ta thu đượ c: c: 0 0.5 0.5 BT 2 2 0 2
k
2 4 3 10 0 10 2 T kAtBT BT t 10 10.625 0.625 4 0 0.625 0.625 3
Bướ c 4: Ma trận dẫn nhiệt chung K T
K T
Bướ c 5: Véc-tơ lượ ng ng nhiệt R 1). Phần tử 1 :
0 5.3125 0.625 4.6875 0.625 11.25 0.625 10 t 4.6875 0.625 5.9375 0.625 10 0.625 10.625 0
0
vớ i k = 5
1
26
1 2 6x1 1 t 1 t 2 r Q 3 1 2 2). Phần tử 2 :
1 1 6 x 0 . 5 t 1 t 1 r Q2 3 1 1
0 0 t 1 t 20 r q2 2 1 20 20x 2
2 R 1 3 R 2 Sau khi, lắp ghép các véc-tơ lượ ng ng nhiệt, ta thu đượ c véc-tơ lượ ng ng nhiệt chung: R t 17 R 3 19 Bướ c 6: Giải hệ phương trình PTHH 0 5.3125 0.625 4.6875 T 0.625 11.25 T 0.625 10 4.6875 0.625 5.9375 0.625 T 10 0.625 10.625 T 0
1
2
3
4
2 R 3 R 17 R 19 1
2
3
O
Từ điề u kinhiệt ện biên củacác bài phầ toánn :tửT :1 = T2 = T3 = 0, giải hệ này ta thu đượ c : T4 = -1.788 C Các dòng trong
0 0 . 5 1 0 . 5 0 1 R 1 k [I ]B1T q1 5x 0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 . 5 0 . 5 4.47 1 . 788 R 2 k [I ]BT2 q 2 5 17 . 88 2 2 0 0 Bài tập 6.5:
T=100°C
A = 0.1 m2
q=5000 W/m2 L=0.4 m
Hình 6.5. Ống tròn rỗng chịu nhiệt Ống tròn rỗng ở Hình 6.5. cách nhiệt ở chu vi. K = 6 W/(m °C). Xác định nhiệt độ t ại các điểm L’=0.1m, 0.2m, 0.3m và 0.4m. y
Bài tập 6.6:
3 (0,6)
Thép không r 0°C
h, T
Q = 107 W/m3
h, T Q (0,0)
1
5 2cm
3
x
2 (4,0)
x 1 (-2,-2)
Hình 6.6. Truyền nhiệt qua tấm bằng thép không r
Hình 6.7. Tấm có một cạnh truyền nhiệt đối lưu
27
Tấm bằng thép không r ở Hình 6.6 có k = 15W/(m °C) chịu một nguồn nhiệt hằng số phân phân bố đều Q=107 W/m3. M ột mặt c ủa t ấm đượ c gi ở 0°C nhờ nước đá, mặt kia có hiện tượ ng ng truyền nhiệt bằng đối lưu vớ i h = 40W/(m2 °C) và T =35°C. Hãy xác định nhiệt độ tại các mặt tấm và tại điểm gi a c ủa chiều dày tấm. Giả thiết đây là bài toán dẫn nhiệt một chiều.
Bài tập 6.7: Hãy xác định các ma trận dẫn nhiệt và véc-tơ nguồn nhiệt cho tấm tam giác trong Hình 6.7. Biết k xxxx = k yyyy = 2 15W/(m °C), h = 20W/(m °C), T=15°C. Hiện tượng đối lưu diễn ra trên cạ nh 1-3. Nguồn nhiệt điểm Q = 100 W/m đặt tại vị trí (0,0), t = 1m. PHẦN VII: PHẦN TỬ H HỮ U HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰ C HỌC
Bài tập 7.1:
1 Q1 1 2 m
Hình 7.1. Hệ 3 lòxo và khối lượng cùng mô hình PTHH
Q2 2
3 Q3 m
3
4
Q4 2m
Khảo sát một hệ gồm ba lò-xo thăng đứng nối vớ i ba khối lượng như Hình 11.5a. Các độ cứng của xuống lần lượt là k, 2k và k. Xác định các tần số dao động riêng và các dạng dao động của hệ.
3 lò-xo từ trên
LỜ I GIẢI
Bướ c 1. Mô hình PTHH Sử d ụng phần t ử một chiều, hệ lò-xo và khối lượng được mô hình hóa với 4 nút và 3 phầ n t ử được đánh số như Hình 7.1
Bướ c 2. Lập bảng ghép nối các phần tử Phần tử 1 Phần tử 2 Phần tử 3
qi 1 2 3
q j 2 3 4
Bướ c 3. Tính ma trận độ cứ ng ng của các phần tử Theo công thức (2.4), ta thu được các ma trận độ cứng k 1, k 2, k 3 cho các phần tử như sau : k k k k 1
k
1
2
1
k
2
2
3 2 2k 2k 2 2k 2k 3
k
3
4 3 k k 3 k k 4
ng chung K Bướ c 4. Thiết lập ma trận độ cứ ng
k k K 0 0
k k 2k 2k 0
0
2k 2k k k
0 1 1 0 0 k 1 3 2 0 0 2 3 1 k 1 1 0 k 0 0
28
Bướ c 5. Thiết lập ma trận khối lượ n ng g Do khối lượ ng ng tậ p trung tại các nút , ta có ma trậ n khối lượ ng ng sau : 0 0 0 0 0 m 0 0 M 0 0 m 0 0 0 0 2m K Q 0 Bướ c 6. Giải hệ phương trình dao động M Q Nghiệm dao động của hệ đượ c viết dướ i dạng : Qi U i e i t (i 1 4) . Ta có :
0 U 1 1 0 1 3 2 0 U k 0 2 3 1 U 0 1 1 U 0
1
2
3
4
0 0 0 0
2
0
0
m
0
0
m
0
0
U 0 U 0 U 2m U 0
1
2
3
4
0 0 0 0
Áp dụng điều kiện biên của bài toán, ta có Q 1 = 0, bỏ đi hàng 1 và cột 1 của hệ, ta có: 0 U 2 0 m 0 3 2 0 U 2 2 1 U 3 0 m 0 U 3 0 3 k 2 0 0 2m U 4 0 0 1 1 U 4 Tần số dao động riêng của hệ được tính từ công thức:
3k m
2
2k
2k
(35)
0
3k m
2
k
0
2
0
k
k
2m
Khai triển định thức, ta có : 2
3
k k 6 5 7 5 2 0 m m m k
6
4
.
.
Đặt : C k , giải phương trình ta thu được các tần số dao động riêng: 2
m
1
0 3914
k
.
2 1 1363
m k
.
3 2 2485 .
m k
(rad/s)
(rad/s)
(rad/s)
Để tính toán các dạng dao động, tamthay các lần lượt các tầ n số dao động riêng vào phương trình ( 35) và đặt i
U2
1, i
1,2,3
Thay 1 vào (35), ta có hệ : 1
2 847U 2
.
1
2U 2 1
U 3
1
2U 3
0
1
U 4
2 847U 3 .
1
0 694U 4 .
1
0
0
Giải hệ này, ta thu đượ c dạng dao động riêng thứ nhất :
1 A A 1 4325 2 0511 Tương tự, thay các giá trị 2 và 3 vào (35), ta thu được các dạng dao động riêng thứ hai và thứ ba : 1 A 2 A22 0.8544 0.5399 1
1
2
.
.
29
1 A 3 A23 1 0279 0 1128 .
.
Bài tập 7.2: ục tròn ngàm một đầu trong Hình 7.2a. Sử dụng mô hình hai phần tử, hãy xác định các tầ n số dao động riêng của tr ục A, E 1
1
2
2
L/2
L
Hình 7.2a. Tr ục ục tròn ngàm một đầu.
L/2
Hình 7.2b. Mô hình PTHH. LỜ I GIẢI
Bướ c 1. Mô hình PTHH ục được mô hình hóa với 3 nút và 2 phầ n tử được đánh số như Hình 7.2b Tr ục Bướ c 2. Bảng ghép nối các phần tử qi 1 2
Phần tử 1 Phần tử 2
q j 2 3
Bướ c 3. Ma trận độ cứ ng ng của các phần tử 2 1 1 1 1 2
2 EA 1 1
k
1
L
2 EA 1 2
k
2
L
1
1 1 3
2
3
Bướ c 4. Ma trận độ cứ ng ng chung K K
1 1 0 1 2 1 0 1 1
2 EA
L
Bướ c 5. Ma trận khối lượ n ng g Áp dụng công thức (11.4), ta thu t hu đượ c ma tr ận khối lượng cho các phần tử :
m m AL 2 1
2
2
1
1 2 1 0 AL Và ma trận khối lượ ng 1 4 1 ng của hệ : M 12 0 1 2 K Q 0 Bướ c 6. Giải hệ phương trình dao động M Q 12
Nghiệm dao động của hệ đượ c viết dướ i dạng : Qi U i e i t
(i 1 3) . Ta có :
2 1 0 U 0 1 1 0 U 1 2 1 U AL 1 4 1 U 0 L 12 0 1 2 U 0 0 1 1 U Áp dụng điều kiện biên của bài toán : Q1 = 0, bỏ đi hàng 1 và cột 1 của hệ, ta có: 0 1 U 4 1 U E 2 2 2 2 24 2 0 U U 1 1 1 2 L 3 3 0 Tần số dao động riêng của tr ục thỏa mãn phương trình: 2 EA
1
1
2
2
2
3
3
3
30 2 4
2
2
2
2
0 vớ i
2
24 E
L2
Khai triển định thức và giải phương trình vớ i , ta thu đượ c: c:
1 611
E
L
.
1
So sánh vớ i nghiệm giải tích:
1 571 .
1
L
E
3 696
E
L
.
(rad/s)
2
(rad/s) và
E
4 712 .
2
L
(rad/s)
(rad/s) ta thấy muốn đạt được độ chính
xác cao hơn, ta phải chia nhiều phần tử hơn na. Bài tập 7.3: E, J
Q3
Q1 1 Q2
L
2 Q4
Hình 7.3a. Dầm ngàm-tự do.
Hình 7.3b. Mô hình PTHH.
Hãy xác định các tần số dao động riêng của dầm ngàm-tự do trong Hình 7.3a. LỜ I GIẢI
Bước 1. Mô hình PTHH Dầm được mô hình hóa với 2 nút và 1 phầ n tử được đánh số như Hình 7.3b Bướ c 2. Bảng ghép nối các phần tử Bậc tự do
Nút i
Phần tử Phần tử 1
Q2i-1 1
Nút j Q2i 2
Q2j-1 3
Q2j 4
Bướ c 3. Tính ma trận độ cứ ng ng chung 1 2 4 4 1 12 6 12 6 L L EJ 6 L 4 L2 6 L 2 L2 2 K 3 L 12 6 L 12 6 L 3 6 L 2 L2 6 L 4 L2 4
ng g Bướ c 4. Thiết lập ma trận khối lượ n Áp dụng công thức (11.10), ta có :
156 22 L 13 L 54 AL 22 L 4 L 13 L 3 L M 420 L L 54 13 156 22 13 L 3 L 22 L 4 L 1
2
4
4
1
2
3
4
K Q 0 Bướ c 5. Giải hệ phương trình dao động M Q Nghiệm dao động của hệ đượ c viết dướ i dạng : Qi Ui ei t (i 1 4) . Ta thu đượ cc:: 13 L U 0 54 156 22 L 12 6 L 12 6 L U 3 L U 0 6 L 2 L U 13 L 4 L AL 22 L 4 L EJ 6 L 54 13 156 22 12 6 420 L 12 6 L L U L L U 0 13 L 3 L 22 L 4 L U 0 6 L 2 L 6 L 4 L U Áp dụng điều kiện biên của bài toán : U1 = U2 = 0, bỏ đi hàng 1,2 và cột 1,2 của hệ, ta có:
1
1
2
2
2
2
3
2
2
2
3
3
2
2
2
2
4
420 EJ 12
AL4 6 L
6 L U 3 2 156 22 L U 3 0 4 L2 U 4 22 L 4 L2 U 4 0
4
31
Các tần số dao động riêng của dầm được tính từ công thức : 12 156
6 L 22 L2 0 2 2 4 L ( )
2
6 L 22 L2
420 EJ
vớ i
AL4
Giải phương trình này ta thu đượ c : 1 3
517
EJ
.
4
AL
(rad/s)
So sánh vớ i nghiệm giải tích chính xác: 1 3 516
2 92
EJ
.
4
(rad/s) và
EJ
5
.
4
AL
2
22 03 .
(rad/s) EJ 4
(rad/s)
AL
AL
Bài tập 7.4:
k L
Hình 7.4. Hệ thanh và lò xo Xác định t ần s ố dao động riêng của hệ thanh và lò-xo trong Hình 7.4. Thanh được chia làm hai phần t ử. Cho: 200 GPa, = 7500 kg/m3, A = 1.6 x 10 -4 m2, L = 2.5 m, k = 107 N/m, bỏ qua khối lượ ng ng của lò-xo.
E=
Bài tập 7.5: Xác định tần số dao động riêng của các dầm trong Hình 7.5a và 7.5b, biết E, , A và J đều là hằ ng số. 1
2
L
L
1
L
Hình 7.5a. Dầm chia 2 phần tử.
2
L
3
L
Hình 7.5b. Dầm chia 3 phần tử.
Bài tập 7.6: Hãy tính các tần số dao động riêng của các dầm trong các Hình 7.6a, 7.6 b và 7.6c sử dụng hai mô hình: 2 phần tử và 3 phần tử. Biết E, A, J và đều là hằng số
L do. Hình 7.6a. Dầm ngàm-t ự do.
L
Hình 7.6b. Dầm ngàm-t ựự a. a.
L
Hình 7.6c. Dầm bản l ềề - bản l ềề .
32 PHỤ LỤC
Qui đổ i l ực ực nút tương đương cho phần t ửử d d ầm
qL
q
qL
2
2
2
L
2
qL 12 q
20
30
L/2
20
P
P
2
2
PL
L/2
8
2
qL
qL
P
7qL
2
L
qL 12
3qL 20
PL
8
MỤC LỤC Trang
PHẦN I: PHẦN TỬ H HỮ U HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
2
PHẦN II: PHẦN TỬ H HỮ U HẠN TRONG HỆ THANH PHẲNG
4
PHẦN III: PHẦN TỬ PH PHẲNG TAM GIÁC
8
PHẦN IV: PHẦN TỬ PH PHẲNG T GIÁC
13
PHẦN V: PHẦN TỬ H HỮ U HẠN TRONG DẦM VÀ KHUNG
18
PHẦN VI: PHẦN TỬ H HỮ U HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT
23
PHẦN VII: PHẦN TỬ H HỮ U HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỘ NG LỰ C HỌC
30
View more...
Comments
