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´ I NGENIER´I A EN AUTOMATIZACI ON ´ Control Automatico 1 Problema resuelto

Y

C ONTROL I NDUSTRIAL

U NIVERSIDAD N ACIONAL DE Q UILMES 13 de marzo de 2002 ´ Pagina 1 de 4

Problema resuelto de linealizaci´on Linealizaci´on Nuestro objetivo es mostrar c´omo resolvemos un problema de linealizaci´on alrededor de un punto de operaci´on cualquiera. Para ello utilizaremos un ejemplo de tanques interconectados como se muestra en la Figura 1

qi

h2

h1

q12

qo

Figura 1: Tanques interconectados

Planteamos las ecuaciones de conservaci´on de masa. Suponiendo que el a´ rea A de los tanques es constante, y la misma en ambos tanques, tenemos que dh1 (t) 1 = (qi − q12 ) dt A

dh2 (t) 1 = (q12 − qo ) dt A

y

(1)

donde qi es el caudal de entrada al primer tanque, q12 el caudal entre tanques, y qo el caudal de salida del segundo tanque. Las alturas de nivel de l´ıquido en los tanques son h1 y h2 . El flujo q12 entre los dos tachos puede ser aproximado por la velocidad del caudal en ca´ıda libre de la diferencia de altura entre los tanques por el a´ rea de secci´on. As´ı, p p p y qo = k h1 (t) − h2 (t), (2) q12 = As 2g(h1 (t) − h2 (t)) = k h1 (t) − h2 (t) √ donde k = As 2g. Por lo que si reemplazamos (2) en (1), obtenemos las siguientes ecuaciones de estados p
     1  h˙ 1 qi − k h1 (t) − h2 p (t)
F1 (h, qi ) A p = 1 = = F(h, qi ) h˙ 2 F2 (h, qi ) A k h1 (t) − h2 (t) − k h2

(3)

Fijando el caudal de entrada en el valor constante qi = Q y resolviendo las ecuaciones algebraicas que surgen de (3) con h˙ = 0, obtenemos el punto de equilibrio h¯ h¯ 1 = 2h¯ 2

y

h¯ 2 =

 2 Q k

⇒

 2 ¯h = 2 Q . 1 k

(4)

Ahora linealizaremos el sistema (3) alrededor de (4); para ello calculamos los Jacobianos correspondientes vistos en la clase te´orica.  − √k ∂ F 2A h1 −h2 A= = √k ∂ h h=h¯ 2A h −h qi =Q

1 ∂ F B= = A 0 ∂ qi h=h¯ qi =Q

1

2

√k

2A h1 −h2 − √k − 2A h1 −h2 2A

 " k2 − 2AQ  = k k2 √ h=h¯ 2AQ h2

qi =Q

k2 2AQ k2 − AQ

#

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qiδ Q

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Problema resuelto

- Sist. Lineal ? - j

- Sist.No Lineal

-

Comparacion

-

Q + qiδ Sist.No Lineal Figura 2: Diagrama de bloques del sistema simulado para comparar los resultados

Entonces el sistema linealizado resulta #      " k2 k2 1 − 2AQ 2AQ h˙ 1δ h1δ A q = + 2 2 k k h2δ h˙ 2δ 0 iδ − AQ 2AQ

(5)

donde las variables h1δ , h2δ y qiδ representan valores incrementales alrededor de los valores de equilibrio h¯ 1 , h¯ 2 yQ.

Simulaci´on El sistema linealizado que obtuvimos en (5) es un modelo aproximado que describe la din´amica del sistema original en un entorno del punto de operaci´on (4). Para comparar la aproximaci´on dada por el modelo linealizado con el modelo no lineal, simulamos juntos ambos sistemas en el esquema que se muestra en el diagrama de bloques de la Figura 2. Para simular el sistema linealizado (5) en S IMULINK usamos el diagrama de la Figura 3 tomando A = 10, As = 1, g = 9.8 y Q = 2. La din´amica de los estados h1δ y h2δ la podemos ver en la Figura 5 cuando la entrada es un valor constante de perturbaci´on, qiδ = 0.5. −K− Gain

1

1/A

s Step

Gain1 2

−K−

Scope

1 s

Gain2

Figura 3: Representaci´on en S IMULINK del sistema linealizado Podemos, tambi´en representar en S IMULINK el sistema no lineal, Figura 4, donde Fcn es la ecuaci´on matem´atica expresada en la ecuaci´on (3) como F1 (h, qi ) y Fcn1 como F2 (h, qi ). La din´amica de los estados que resulta de dicha simulaci´on la observamos en la Figura 6. La comparaci´on entre la aproximaci´on y los estados reales, la observamos en la Figura 7. Podemos observar una peque˜na desviaci´on de los estados que aproximamos con respecto a los reales, esto se debe a que el sistema lineal es una buena aproximaci´on en un entorno del punto de operaci´on. Si tomamos valores de qiδ menores, la aproximaci´on es mejor. Siempre que utilicemos modelos linealizados debemos tener en

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Problema resuelto

1

f(u) F+0.5

Fcn

Constant3

f(u)

s Scope1

1 s

Fcn1

Figura 4: Representaci´on en S IMULINK del sistema no lineal

0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 h1(t) h2(t)

0.02 0

0

5

10

15 Tiempo

20

25

30

Figura 5: Estados linealizados

0.65

0.6

0.55

0.5

0.45

0.4

0.35

0.3

h1(t) h2(t)

0.25

0.2

0

5

10

15 Tiempo

20

Figura 6: Estados no lineales

25

30

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Problema resuelto

cuenta que no podemos alejarnos del punto de operaci´on ya que si as´ı fuera, el sistema linealizado no estar´ıa describiendo nuestro sistema original.

0.6

0.5

0.4

0.3

h1(t) real h2(t) real h1(t) h2(t)

0.2

0.1

0

5

10

15 Tiempo

20

25

30

Figura 7: Comparaci´on entre los estados aproximados y los reales

Linealizaci´on num´erica con S IMULINK Ya vimos los c´alculos que tenemos que hacer cuando tenemos un sistema no lineal para linealizarlo alrededor del punto de operaci´on. S IMULINK cuenta con una herramienta que permite obtener modelos lineales en forma num´erica. Para ello tenemos que implementar el diagrama de la Figura 4, indicando como condiciones iniciales de los bloques integradores el punto de operaci´on previamente calculado. Luego seguir los siguientes pasos: 1 Del men´u tools de la ventana de S IMULINK con el modelo, seleccionar el submen´u Linear Analysis; se desplegar´an dos nuevas ventanas: LTIViewer y Model Inputs and Outputs. 2 De la ventana Model Inputs and Outputs tomar con el mouse la flecha Input Point y arrastrarlo hasta la entrada del sistema no lineal. Hacer lo mismo con Output Point, pero arrastrarlo hasta la salida. 3 De la ventana LTIViewer, seleccionar el men´u Simulink y el submen´u Get Linearized Model. Luego de unos segundos aparecer´a en esta ventana la respuesta al escal´on del sistema (ya linealizado). 4 De la misma ventana, seleccionar el men´u File y el submen´u Export. De la ventana que se despliega elegir la opci´on Export to Workspace para visualizar el valor de las matrices que resultaron de la linealizaci´on. 5 De la ventana Workspace tipear el nombre con el que exportaron el modelo lineal (en general toma el nombre del archivo de S IMULINK y le agrega ” 1”). Si por alg´un motivo no se sabe el nombre de dicha variable, tipear ”who” para conocer todas las variables que se encuentran definidas. De esta forma obtenemos las matrices A, B, C y D del sistema linealizado alrededor del punto de operaci´on definido por las condiciones iniciales del sistema no lineal.