EAC0532 Noções de atuária para contadores 5. Tábuas de Mortalidade: definições e simbo simbolog logias ias.. Funçõ Funções es biom biométrica étricass Parte arte 1 CSM (2006, cap. 3) Parmenter (1999, cap. 7) Vilanova Vilanova (1969, cap. I)
Prof. Dr. Luís Eduardo Afonso
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Introdução Ciência atuarial estuda eventos econômicosoci sociai aiss que que envo envolv lvem em risc riscos os e ince incert rtez ezas as Para os ramos de previdência, seguros de vida em grupo, individual, acidentes pessoais e saúde é fun fundame amental conh onhecer característ ística icas demográ demográfica ficass dos segurad segurados os Estas são importantes para a previsão das rece receit itas as e desp despes esas as da com companh panhia ia segu segura rado dora ra 2
1
Introdução 1) Arranj Arranjoo unidec unidecrem rement ental al
1
2
1 – Ativo 2 - Falecido 3
Introdução 2) Arranj Arranjoo multide ultidecre crem mental ental 8
4 11
7
8
3
1
10
5
4
2
9
7
1 – Ativo 2 – Inválido 3 – Desempregado 4 – Casamento 5 – Divórcio 6 – Viuvez 7 – Novo Novo casamento casamento 8 – Paternidade 9 – Aposentadoria 10 – Falecimento 11 – Geraçã Geraçãoo de pensão pensão
6 4
2
Tábuas de mortalidade Tábu Tábuaa de morta ortali lida dade de (táb (tábua ua de sobr sobrev eviv ivên ênci cia) a) •
•
Tabel abelaa que que apr apresen esenta ta o núm número ero de pes pessoa oass viva vivass e de óbit óbitos os,, em orde ordem m cres cresccente ente de idad idadee, des desde a ori origem gem, até até a exti extinç nção ão comp comple leta ta do grupo grupo.. Util tilizad izadaa par para medir edir prob probab abil ilid idad adees de vida vida e de morte orte de uma uma população
Dois ois tipos ipos de tábu ábuas •
•
Constru struíd ídas as tend endo com como base ase um gru grupo da populaçã laçãoo Con Co nstru struíd ídas as ten tendo como como base base um gru grupo sele seleci cioonado ado de pess pessooas. as. Em gera gerall retra etrata tam m gru grupo mais mais homogê mogêne neoo 5
Tábuas Tábuas de de mortal mortalida idade de - Notação Notação l – (living ) Núm Número ero
determ determin inad adaa idade idade
d –
de sob sobreviv eviven enttes em uma
(death) Número de pesso ssoas que fal falecem em uma determin determinada ada idade idade
p – ( probability probability) Pro Probabi babili lida dade de q –
de sobr sobrev eviv ivên ênci ciaa
Probab Probabili ilida dade de de faleci falecimen mento to.. Proba Probabil bilida idade de comp comple leme men ntar tar de p. q = 1 – p p.
(expe expect ctat atio ion n of life life) Tempo de vida espe sperado para uma pessoa soa de uma cert erta ida idade
e – ω
– Ida Idade que não poderá erá ser ser sup superad eradaa por nenh enhum
elem elemen ento to de um gru grupo. po.
6
3
Tábuas Tábuas de de mortal mortalida idade de - Notação Notação Letras minúsculas minúsculas x , y, z , u .... indicam idade, se escritas à direita e abaixo do símbolo principal e se não estiverem sob o sinal do ângulo reto. Letras minúsculas minúsculas n, m, s, t , k .... indicam duração, se escritas à esquerda e abaixo do símbolo principal. l x – número n p x
de pessoas vivas, com idade x
– probabilidade de a pessoa com idade x viver mais n
anos 7
Tábuas Tábuas de de mortal mortalida idade de - Notação Notação Há 6 colunas na Tábua de mortalidade: x – coluna
das idades l x – número de pessoas vivas com idade x d x – quantidade de pessoas que morrem com idade x p x – probabilidade de sobrevivência à idade x q x – probabilidade de morte à idade x e0 x – esperança de vida, expectativa completa de vida ou vida média de uma pessoa com idade x . É uma probabilidade condicionada 8
4
Conceitos básicos Número de pessoas que morrem com idade x : d x l x l x 1
Número de pessoas com idade x : l x d x d x1 d x2 ...d
x
l x d xn n0 9
Conceitos básicos Probabilidade de falecimento: a probabilidade de uma pessoa com idade x falecer antes de completar x + 1 anos é dada por: q x
q x
número de mortes com idade x número de pessoas pessoas vivas com idade x
d x l x
l x l x1 l x 10
5
Conceitos básicos Probabilidade de sobrevivência: a probabilidade de uma pessoa com idade x completar x + 1 anos é dada por: p x
p x
número de pessoa p essoass vivas com com idade x 1 número de pessoa p essoass vivas com com idade x
l x1 l x 11
Conceitos básicos Por definição, q x e p x são complementares: q x 1 p x q x p x
l x l x1 l x
l x1 l x
l x l x
1
A probabilidade probabilidade de uma pessoa de idade x falecer em n anos (ou seja, antes de completar x + n anos) é dada por: q
n x
l x l xn l x
n
d x
l x
12
6
Conceitos básicos Analogamente, a probabilidade de uma pessoa de idade x sobreviver mais n anos (ou seja, sobreviver à idade x + n anos é dada por: l xn
p x
n
l x
Por definição, nq x e n p x são complementares n q x n p x
l x l xn l x
l xn l x
l x l x
1 13
Conceitos básicos Para o cálculo de e0 x é necessário construir algumas variáveis adicionais: médio de pessoas que L x – indicador do número médio tenham vivido no intervalo entre idades x e x + 1. A forma mais simples de cálculo é dada por: L x
l x l x1 2
Tx – Período de vida entre as idades x e ω. A forma mais simples simples de cálculo cá lculo é dada por: 1 x
T x
L x t
t 0
14
7
Conceitos básicos A esperança de vida e 0x à idade x é dada por: 0 x
e
T x l x
15
Tábuas de mortalidad mortalidadee - Exercício Exercício 1 a) Preen Preencha cha as colu colunas nas resta restant ntes es b) Ca Calcu lcule le a pro probabi babilid lidad adee de uma pess pessoa oa recém recém-n -nas ascid cidaa comp complet letar ar 1 ano ano de idade c) Calcu alcule le a probabil abilid idaade de uma pess essoa recém ecém-n -nas asci cida da comple mpleta tarr 5 ano anos de idade d) Ca Calc lcu ule a pro probabi babili lida dade de de uma pess pessooa com com 2 ano anos viver iver até até os 5 ano anos e) Ca Calc lcu ule a pro probabi babili lida dade de de uma pess pessooa com com 2 ano anos fale falece cerr até até os 5 ano anos
Idade (x) 0 1 2 3 4 5
lx 1.000.000
dx
qx 0,00708 0,00176 0,00152 0,00146 0,00140 0,00135
px
16
8
Tábuas de mortalidad mortalidadee- Exercício Exercício 1 Idade (x) 0 1 2 3 4 5
lx 1.000.000 992.920 991.172 989.666 988.221 986.837
dx 7.080 1.748 1.507 1.445 1.384 1.332
qx 0,00708 0,00176 0,00152 0,00146 0,00140 0,00135
px 0,99292 0,99824 0,99848 0,99854 0,99860 0,99865
b) Ca Calcu lcule le a prob probab abil ilid idad adee de uma uma pesso pessoaa recém recém-n -nas ascid cidaa comp complet letar ar 1 ano ano de idad idadee
p x
l x1
p0
l x
l 1 l 0
p0
992.920 1000.000
p0 0,99292 17
Tábuas de mortalidad mortalidadee- Exercício Exercício 1 c) Ca Calc lcu ule a prob probab abil ilid idad adee de uma pess pessoa oa recé recém m-nas -nasci cida da com complet pletar ar 5 ano anos de idad idadee n p x
5 p0
l xn l x l 5 l 0
5 p0
986 .837 1.000.000
p0 0 ,986837
5
18
9
Tábuas de mortalidad mortalidadee- Exercício Exercício 1 d) Calcule a probabilidade de uma pessoa com 2 anos viver até os 5 anos
n p x
3 p2
l xn l x
l 5 l 2
3 p 2
986 .837 991.172
p2 0 ,995626
3
19
Tábuas de mortalidad mortalidadee- Exercício Exercício 1 e) Calcule a probabilidad probabilidadee de uma uma pessoa pessoa com 2 anos falecer até os 5 anos n q x
3 q2
3
l x l x n l x
l 2 l 5 l 2
d x
l x
991.172 986 .837 991.172
q2 0 ,004374
Ou, de outra forma
3
n
n q x
l x l x n
q2 13 p2 1 0 ,995626
l x 3
1
l x n l x
1 n p x
q2 0 ,004374 20
10
