Tablas Derivadas e Integrales

 

 

 

10.. 10

Tab abla la de de deri riv vad adas as

A continuaci´oon n se exponen las derivadas de las funciones elementales ( α, c  y  a  son constantes reales, con a >  0, y   u = u(x) es una funci´ on on de   x): 

(c) = 0 , 

α

√ 

(u ) =  αu

  1  , 2 x

 

( u) =

 1



(log x) =

x



(log  x) = a



(sen x) = cos x , 



(cotan x) =

a



(arcc cos x) = (ar



(arctan x) =





u

u









 −u sen u ,

(cos u) =

(tan u) =  u sec2 u , 



2



 

(cotan u) = 

(sec u) =  u sec u tan u ,  



(cosec u) =



,

 

(arcsen u) =

  −1 √  1−x

,

 

(arccos u) =

  1  , 1 +  x 2



 −u cosec u cotan u ,

√   1 1− x

2

2



 −u cosec u ,



 

2

 ,

(sen u) =  u cos u ,

 − cosec x cotan x ,





u log a

 

u

(cosec x) =

(arcc sen x) = (ar

  u

(a ) =  u a log a ,

 − cosec x ,





 ,

 

 



u



 

(sec x) = sec x tan x ,

  u

(log  u) = u

 − sen x ,



√    ,

(e ) =  u e ,

(cos x) =

(tan x) = sec2 x ,

u ,

2 u



 

x

1

α−

  u



(log u) =  

x



√ 

  1  , x log a

(a ) =  a log a , x

α

 

 ,

(e ) =  e , x



 

√ 



( x) =



1

α−

,

(x ) =  αx



√   1u− u

2

,







 

(arctan u) =

  −u √  1−u

2

  u

1 +  u 2

,

 .

La segunda columna de derivadas se obtiene directamente de la primera aplicando la regla de la cadena.

23

 

11.. 11

Tab abla la de in inte tegr gral ales es

A continuaci´oon n se exponen las integrales de las funciones elementales, la mayor parte de las cuales se obtienen directamente de la tabla de derivadas (en esta tabla,   α  es una constante real,   a  es una constante positiva,  c  es la constante de integraci´oon, n, y   u  =  u (x) es una funci´on on de   x):

 

  α dx  =  α x +  c ,

 

 x

+1

 

α

  x dx  = α

 1

α + 1

x

   

            

||

  e dx  =  e + c ,

 

x

 a

x

x

    sen     cos  

x dx  =

log a

x

x

x dx

x dx

x

x dx

x dx

x

x dx

x

x dx

 

dx

√ 1 − x

2

  dx 2

      dx x2

+ a

x +1

 =

 1

x

x

 c ,

x

 c ,

x

 c ,

   −1 ,

||

u

u

u

 a

u

log a

  + c ,

 − cos u + c ,

  u cosec2 u dx  =

 − cotan u + c ,

  u sec u tan u dx  = sec u +  c ,

            

  u cosec u cotan u dx  =

 c ,  c ,

α=

  u sec2 u dx  = tan u +  c ,

 c ,

x

 +  c ,

  u cos u dx  = sen u +  c ,

 − cotan x + c ,

  sec tan  = sec  +       cosec cotan  = − cosec  +     tan  =  − log | cos | +     cotan  = log | sen | +       sec  = log  sec  + tan  +       cosec  =  − log  cosec  + cotan  +  



  u sen u dx  =

 − cos x + c ,

  sec2 x dx  = tan x + c ,

  cosec2 x dx  =

α + 1

  dx  = log u + c ,

u

  u a dx  =

 +  c ,

x dx  = sen x + c ,

 

+1

  u e dx  =  e + c ,

x

  a dx  =

α

  u

  dx  = log x + c ,

 u

α

  u u dx  =

 +  c ,

  u tan u dx  =

 − cosec u + c ,

 − log | cos u| + c ,

  u cotan u dx  = log sen u + c ,

|

|





  u sec u dx  = log sec u + tan u  +  c ,   u cosec u dx  =

= arc arc sen x + c ,

  u dx

√ 1 − u

2

  u dx

 = arctan x + c ,

2

u +1   u dx

  

 x

√ a   arctan √ a  +  c ,

u2

+ a

 − log  cosec u + cotan u + c ,

= arc arc sen u +  c ,

 = arctan u +  c ,  =

 1

√ a  arctan  √ ua  +  c ,

  si   a > 0 .

La segunda columna de primitivas se obtiene directamente de la primera aplicando un cambio de variable.

24

 

TABLA DE DERIVADAS  NOTA: u y v representan, cada una, una expresión en función de x  PROPIEDADES BÁSICAS  y = ku  ⇒  y ' = ku ' , k ∈ R  

 y = u ± v ⇒    y ' = u '± v '  

 y = u·v ⇒   y ' = u ' v + uv '  

 y

=

u

  ⇒  y ' =

u' v

Constante  y = k Identidad  y = x Potenciales n  y = u  y = u  

 y = u  

Ejemplos

y’ = 0

 y = 5

 y' = 0

y’ = 1

 y = 4 x

y’ = 4 4

n–1

y = (2 x+7)  

 y’ = nu u’ u'  y’ =   2 u  y’

 y = 3 x  

u'

=

n

n

n u

n −1

=

 y = arctg u

 y’

u'

1− u u'

1+ u 2  

I.E.S. V Centenario

3

 y’ = 8(2 x+7)   3  y’ =   2 3 x 7 =

4

 y = 7 x  

 

Exponenciales u u  y = e  y’ = u’e u u  y = a  y’ = u’a  ln a Logarítmicas u'  y’ =    y = ln u u u' u' 1  y’ = loga e =      y = loga u  u u ln a Trigonométricas  y = sen u y’ = u’ cos u  y = cos u y’ = – u’ sen u u' 2  y’ = = u ' (1 + tg u )    y = tg u 2 cos u u' 2  y’ = − = −u ' (1 + cotg u )  y = cotg u 2 sen u  y = sec u y’ = u’ sec u tg u  y = cosec u y’ = – u’ cosec u cotg u u'    y = arcsen u  y’ = 1− u2  y = arccos u  y’ = −

2

 

v2

v

FUNCIÓN DERIVADA

v' u

−

 

4 x+5

 y = e  x y = 37  –5

4 4 (7 x) 3  

 y’

4 x+5

 y’ = 4e

 y’ = 7·37 x  −5 ln 3  

 y = ln (2 x+ 7)  y’ =  y=log2(3 x+4)  y’ =

2 2 x + 7 3 3 x + 4

  log 2 e  

y = sen 2 x 3 y = cos x  

y’ = 2 cos 2 x 2 3  y’ = –3 x  sen x 5 2  y’ = = 5(1 + tg 5 x)  y = tg 5 x  2 cos 5 x 3    y=cotg(3 x+2)  y’ = − sen 2 (3 x + 2) y’ = sec 3 x y’ = cosec x2

y’ = 3 sec 3 x tg 3 x  y’ = –2 x cosec x2 cotg x2 2 x 2    y = arcsen x    y’ = 1 − x 4

5

 y = arccos 5 x

 y’ = −

 y = arctg 2 x

 y’ 1 + 4 x 2  

=

1 − 25 x 2

2

 

Prof. R. Mohigefer

 

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS  NOTA: u y v representan expresiones que son funciones de x  PROPIEDADES BÁSICAS

∫ ku dx = k ∫  u dx

∫ (u ± v) dx  = ∫  u dx ± ∫ v dx

Integración por partes:

Cambio de variable:

∫ u dv = uv −  ∫ v du

∫  f (u) u' dx = ∫  f   (t )dt , llamando t = u(  xx)

INTEGRALES INMEDIATAS

Ejemplos

Potenciales

∫ dx =  x + C   ∫ u ' u ∫2

n

dx =

u'

un

∫ 5dx = 5∫ dx  = 5 x + C  +1

n +1

+ C  

(n  ≠ −1)  

dx = u + C  

u

∫

 x dx =  3

 x

4

+ C ; ∫ 3(3 x + 1) 2 dx = 

4

3 x 2

∫2

 x + 1 3

(3 x + 1) 3 3

+ C  

dx =  x 3 + 1 + C  

Exponenciales y logarítmicas

∫

u ' e u dx  = e u + C 

∫

u ' a u dx =

au + C  ln a

u'

∫ u dx = ln u + C  

∫

4 x 3e x

∫

7·2 7 x dx =

4

3 x 2

∫ x

3

+1

+3  

 

dx = e x

4

+3

+ C 

2 7 x + C   ln 2

dx = ln x 3 + 1 + C  

Trigonométricas

∫ u'sen u dx = − cos u + C   ∫ u' cos u dx  = sen u + C  ∫ u' tg u dx =  − ln cos u + C  ∫ u' cotg u dx  = ln sen u + C 

∫ 2 x sen( x + 5)dx  = − cos( x + 5) + C   ∫ 3 x cos( x − 1)dx  = sen( x − 1) + C   ∫ (2 x + 1) tg( x + x)dx =  − ln cos( x + x) + C   ∫ 2 xcotg x dx =  ln sen x + C  2

2

3

2

2

2

3

cos 2 u dx = tg u + C  

∫ ∫ u'sec u dx  = tg u + C   ∫ u' (1 + tg u)  dx = tg u + C   2

2

u'

∫ sen u ∫ u' cosec u dx  = −cotg u + C     = −cotg u + C   ∫ u' (1 + cotg u)dx dx = −cotg u + C  

2

2

2

u'

1− u

2

dx = arcsen u + C  

cos 2 3 x dx = tg 3 x + C  

∫ ∫ (3 x + 1) sec ( x + x + 1)  dx = tg ( x ∫ 2(1 + tg 2 x)dx =  tg 2 x + C   2

2

3

3

+ x + 1) + C 

2

2 x

∫ sen  x dx = −cotg  x + C   ∫ (4 x + 1)cosec ( x + x)  dx = −cotg ( x ∫ 3(1 + cotg 3 x)dx = − cotg 3 x + C   2

2

2

3

2

4

4

+ x) + C 

2

∫

2dx 1 − 4 x

2

= arcsen 2 x + C  

 x

u'

∫ 1+ u

3

2

u'

∫

2

2

dx = arctg u + C  

I.E.S. V Centenario

∫ 1 +ee

2 x

dx =  arctg e x + C  

Prof. R. Mohigefer