Tablas de Derivadas e Integrales

Tabla de derivadas 1.  D x (u n ) = nu n −1 D x u 2.  D x (u + v) = D x u +  D x v 3.  D x (uv) = uD x v + vD x u

16.  D x (arctan u ) =

 u  vD u − uD v 4.  D x   =  x 2 x v  v  5.  D x (e u ) = e u D x u u

1− u 1 1+ u

17.  D x (arc cot u ) = 18.  D x (arc sec u ) =

u

6.  D x (a ) = a ln a D x u 1

7.  D x (lnu ) =  D x u

19.  D x (arc csc u ) =

u

8.  D x (sen u ) = cos u D x u 9.  D x (cos u ) = − sen u D x u

2

−1

1+ u

 D x u 2

1

u u

2

−1

−1

u u

2

−1

 D x u  D x u

23.  D x (coth u ) = − csc h 2 u D x u 24.  D x (sec h u ) = − sec h u tanh u  D x u 25.  D x (csc h u ) = − csc h u coth u D x u

∫ u(a + bu ) = a ln a + bu

12.

∫ u

13.

∫ u(a + bu )

2. 3.

5.

∫ u

n

du

∫  u

du =

u

du 2

u

1

du

1

2

a

+

bu du

17.

∫ 

u du a

+

3 15b 2

2

=

2 3b

bu

2

18.

∫ 

u du

19.

∫ 

u du

a

+

2u (a

=

2u

n

a

2

1 1 (a + bu )2 3  2

2

7.

u du

∫ a + bu = b

2

u du

∫ (a + bu )

2

=

(15b

2

c

+

a + bu

2

u

bu )

+

+

2

3

bu

2

−

+

2

−

b( 2n + 3) +

4 abu

2an

b(2n + 1)

c

8a

2an

2

−

3

− 12abu +

a + bu

u

b(2n + 1)

bu

u

ln

2

c

2

)(a + bu )

∫ u

n −1

a

a

bu

3

2

+

c 8a

+

∫ 

u

2

n −1

)

+

+

c

du

a + bu

n +1

+

n +1

= ln u +

c

c

(n

≠ 1)

1

20.

du

∫ u

ln

a

=

a + bu

2

du

21.

∫ u

22.

∫ 

a

23.

∫ 

a

 

n

a

+

=−

bu

a + bu

−

a

a

+

a

+

bu

+

bu a

arctan

a + bu a (n − 1)u

n −1

−

+

c

si a > 0

+

c

si a < 0

−a

b(2n − 3) 2a (n

) ∫ u n

−1

du −1

a

+

+

bu du

u

2

+

u

bu du n

=

2 a

+

bu

+

a

∫ u

bu

3

=−

(a + bu ) 2 n a(n − 1)u 1 −

−

du a + bu b(2n − 5) 2a(n − 1)

∫ 

a + bu du u

n −1

c

bu du

+

2a (a + bu ) + a ln a + bu  + c

 a + ln a + bu  + c  b  a + bu   u 2 du a2 1  a bu a ln a + bu  + c = + − − 9. ∫  2  a + bu (a + bu )2 b 3   8.

1 

−

(3b

−a

u du 1 ∫ a + bu = b [a + bu − a ln a + bu ] + c

a

(bu − 2a ) 3

+

u

1

+

bu

+

b(2n + 3)

15 b

n

a

3 105b

2

=

bu

+

a

(3bu − 2a )(a + bu )

n

=

c

a + bu

2

=

a + bu 

ln

2

a(a + bu )

 Formas racionales que contienen a + bu 6.

a

 +c

1

−

+

b

+

au =

2

1

=−

(a + bu )

16. ∫ u n a + bu du

Tabla de integrales

4.

du



b 2  2(a + bu )2

 Formas que contienen

 D x u

∫ du = u + c ∫ a du = au + c ∫ [ f  (u ) + g (u )]du = ∫  f  (u )du + ∫ g (u )du

a

11.

=

3

15. ∫ u

 Formas elementales 1.

1 

∫ (a + bu )

14. ∫ u a + bu du =

22.  D x (tanh u ) = sec h 2 u D x u

13.  D x (csc u ) = − csc u cot u  D x u 1− u

 D x u 2

21.  D x (cosh u ) = senh u D x u

11.  D x (cot u ) = − csc 2 u  D x u 12.  D x (sec u ) = sec u tan u D x u 1

2

u du

10.  D x u

20.  D x ( senh u ) = cosh u D x u

10.  D x (tan u ) = sec 2 u D x u

14.  D x (arcsen u ) =

−1

15.  D x (arccos u ) =

 Formas que contienen a 2 24.

∫ a

du 2

=

u2

+

1

arctan

a

u

u2

± +

a

c 1

25.

∫ a

du 2

u2

−

1

=

2a

ln

u

+

a

u

−

a

+

c

a 1

=

a

26.

∫ u

du 2

a2

−

1

=

2a

ln

u

−

a

u

+

a

− +

c

= −

arctan h

arc coth

1

a 1 a

u a u

+

c

si u

<

a

+

c

si u

>

a

a

u

arctan h

arc coth

c

si u

<

a

+

c

si u

>

a

ln u

arcsenh ln u arccos h

27. 28.

31. 32. 33.

+

a

)

por

ln

a

u

2

−

a

∫ u

u2

2

a

∫ (u

39.

∫ 

a

+

2

por

u

arcsenh

por

u

2

2

2

±

∫  ∫ 

∫  ∫  ∫  ∫ 

u2 u2 2

u

± ±

u 2

=

a2

a 2 du

2

+

ln u

±

=

u

a du

u u

2

−

=

8

a du

u

=

a u

a du

u

=

2

a du 2

u u du ±

(2u

a2

2

±

±

a

2

∫ 

a

2

2

+

a

2

−

a2

=−

2

−

u

2

a ±

2

−

a

)

a ln

u

2

±

a+

=

u 2

u

2

±

a

2

−

u2

+

a

2

−

±

a

u

a

+

u

+

a

+

ln u

+

2

+

u

a arc sec

±a

2

2

a

3

)

ln u

+

u

ln u

+

u

2

∫ 

du

1

arc sec

u

=

(2u

8

a

2

+

2 2

±

a

2

+

c

u

2

±

a

2

+

c

2

+

∫ u

36.

c

du 2

u

2

=− ±

a

2

u2

±

±

2

c

+

a

=

a

2

−

u du

44.

∫ 

a

2

∫ 

2

2

=

±

a2

a2

−

u2

+

c

−

u

u

u du

a2

2

u2 2 u du −

2

(2u

8

=

u du

−

2

u

=

u

a

a

2

2

46.

∫ u

47.

∫ u

a

c

48.

∫ (a

49.

∫  a (

2

a −

u

a

2

2

=−

−

u

−

1

a

2

2

2

−

−

−

u

2

)

u 3

2

3

u2 )

2

a2 ) a2 a ln

u

u

2

+

a

+

2

=−

2

u

−

8

(2u

2

+

−

u a2 a2

a

4

arcsen

8

u

−

arcsen u

+

a u

+

2

+

c

u

+

a

=−

u2

2

c

)

a

2

−

+

c

a2

=

−

u2

c 1

a

u

2

+

+

c

c

c

a

a2

2

u u

±

c

+

a

2

u2

+

arccos h

a

+

u

c

c

5a +

−

u

ln u

2

2

u

−

8

+

a

2

2

4 3a

+

u2

a+

arcsen

a

a u

du

−

2

−

a2

arcsen

2

−

±

u

a

2

= 2

a

ln

=−

2

du 2

a

+

−

u2

−

a

=−

=−

u

du 2

c

u

du 2

+

2

−

2

u

a

2

u 2 du

−

2 2 5a ) u

±

a2 u2

arcsen

u

2

u ±

−

a

c

c ±

c

a

+

u

= 2

2

∫ 

4

8 2

a2

±

2

+

3

a 2 ) 2 du

a

43.

45. ln u

2

u

+

2

2

u

2

u2

±

c

+

2

u ±

u

a

±

2

u 2

u2

2

2

u

+

2

1

a

a2

a

ln

a

2

=

−

42. ∫ u 2 a 2

a 2

a

du

(u

u

du

+

du

38.

40.

+

a +

35.

41.

u

29. ∫ u 30.

u

+

2

u

1

=−

 Formas que contienen

 Formas que contienen u 2 ± a 2 En las fórmulas 27 a 38 se puede sustituir 2

∫ u

37.

+

a u

du

34.

3a 8

4

arcsen

u a

+

c

−

a arccos h

a u

+

c

a2

a u

+

c

 Formas que contienen 2au − u 2 50.

∫ 

2au

51. ∫ u 2au 52. 53.

∫  ∫ 

54.

∫ 

55.

∫ 

56.

∫ 

57. 58.

∫ u ∫ 

2au

u 2 du

−

−

−

u

=

−

u

2

u du =

2u

u du

2

u

2

u du 2au

−

2 2au

   

arccos 1 −

2au

=−

3a

u

−

2au

u

−

u

−

+c

  u  arccos 1 −  + c 2   a 

a

+

3

2

−

u2

+

   

u2

u

=

−

+

a

u2

−

79. ∫ sec n u du =

u 

1

n

−1

tan

n −1 1

n −1 1

n −1

80. ∫ csc n u du = −

+c

a 

+

u 

   

2 3a

arccos 1 −

2

n −1

u sen u

+

n

−

∫ tan

u

−

1

n

+c a  59.

=

u du

∫ 

3

(2au − u ) 2

a 2au

2

84. ∫ u sen u du = sen u

u

=

+ −

u2

c

n

u

−1

2

−

csc

∫ cos

n

n

u tan u

−

2

−

2

2(m + n )

u

61. ∫ sen u du = − cos u + c 62. ∫ cos u du = sen u

+

+

c

64. ∫ cot u du = ln sen u

+

c

70. ∫ csc u cot u du = − csc u 71. ∫ sen 2 u du =

65. ∫ sec u du = ln sec u + tan u 66. ∫ csc u du

=

ln csc u

67. ∫ sec 2 u du = tan u 75. ∫ sen n u du

=−

1

n

−

+

sen

cot u

+

+

c

=

ln tan( 14 π   + 12 u )

c = ln tan 12 u

+

+

c

∫ cos 73. ∫ tan 74. ∫ cot

c 72.

2

u du

=

2

u du

=

2

u du

1 2 1 2

u

−

u

+

tan u

1 4 1 4

−

+

2u cos u

=

+

c

sen 2u

+

c

u

= − cot u −

+

u

n

+

(u

cos u

+

2

−

2 )sen u

−1

u cos u

+

n −1 n

∫ sen

n

−

2

u du

c +

c

+

c

+

c

∫ 

=

sen

sen

m −1

u cos

m m

+1

+

u cos

n

n

+1

u

−1

m

+

n

−1

m+n u

+

n −1 m

+

n

∫ sen

∫ sen

m

m

−

2

u cos

n

u cos u du n

−

2

u du

 Formas que contienen funciones trigonométricas inversas 91. ∫ arcsen u du = u arcsen u + 1 − u 2 + c

c

92. ∫ arccos u du = u arccos u − 1 − u 2

+

93. ∫ arctan u du = u arctan u − ln 1 + u 2

c

+

c

n u n − 1 cos u du

m+n

sen 2u

+

n

90. ∫ sen m u cos n u du c

u du

c

+

94. ∫ arc cot u du = u arc cot u + ln 1 + u

c n

c

69. ∫ sec u tan u du = sec u + c

c

63. ∫ tan u du = ln sec u

+

2

85. ∫ u cos u du = cos u + u sen u + c

n

68. ∫ csc 2 u du = − cot u

−

2(m − n )

 Formas que contienen funciones trigonométricas

−

u du

cos (m − n )u

−

89. ∫ u cos u du = u sen u − n ∫ u n − 1 sen u du

2au

n

2(m − n )

= −u

a

2

2

2(m − n )

86. ∫ u 2 sen u du = 2u sen u + (2 − u 2 )cos u

c

−

sen (m − n )u

+

cos (m + n )u

n

sen (m − n )u

+

2(m + n )

88. ∫ u n sen u du

(2au − u )

2

u du

∫ csc

n −1

60.

2

2

∫ sec

=

3

−

u du

n−2

+

sen (m + n )u

+

−

n −1

u cot u

u cos u

n

u du

87. ∫ u 2 cos u du

2

n

2

n−2

+

2(m + n )

−

n

∫ cot

sen (m + n )u

83. ∫ sen mu cos nu du = −

u 

−1

cot

sec

n −1

82. ∫ cos mu cos nu du

+c

a 

c

+

=

cos

81. ∫ sen mu sen nu du = −

a arccos 1 −

2au

−

   

arccos 1 −

77. ∫ tan n u du

1

n

78. ∫ cot n u du = −

+c

au

u2

du

2au

2

=

1 

a 

a 

2 =−

−

   

arccos 1 −

u 

(u + 3a )

2

du 2au

=−

u2

u 2 du 2au

−

u

  u  2au − u + a arccos 1 −  + c   a 

=

=−

−

au

a

2

u =

−

−

+

2

2

u du

2

u2

−

6

2

du 2au

2au

2

u 2au

a

−

2

76. ∫ cos n u du

95. ∫ arc sec u du = u arc sec u

−

ln u

−

c + 2

u2

c

+

c

−1 +

c

=

u arc sec u

−

arccos h u

+

c

96. ∫ arc csc u du = u arc csc u + ln u + u 2

−1 +

=

c

u arc csc u

+

arccos h u

+

c

Técnicas de integración  Integración por partes

 Formas que contienen funciones exponenciales y logarítmicas 97. ∫ e u du = e u 98. ∫ a du =

+

a

u

c

∫ 

n

101.

∫ u

n

+

c

u

u e du

e du

∫  u

101.

∫ 

n

a du =−

n

n

u e

u

=−

=

∫ 

n u

−

u

u a e

−

ln a

u

a

106. ∫ e au cos nu du =

e

a

−1

u

a du u

e du

∫  u

n

n

[(n + 1) ln u − 1] + c

ii.

 x dx =

(sen

=

(sen  x )

=

(1 − cos  x )

du

∫ u ln u = ln ln u + c

n

−1

2

 x )(sen x dx ) ( n − 1) 2

n

2

∫ sen

n

(sen x dx )

m

 x cos  x dx

i.

c c

+

114. ∫ csc h 2 u du = − coth u

+

c

+

e

ii.

116. ∫ csc h u coth u du = − csc h u + c 117. ∫ senh 2 u du

=

118. ∫ cosh 2 u du

=

1 4 1 4

senh 2u

−

senh 2u

+

1 2 1 2

u

+

u

+

n

c

m

c

119. ∫ tanh u du = u − tanh u + c

n n

(a cosh nu − n senh nu ) + c 2

n

−1

 x cos  x(sen x dx ) m

( n − 1)

(sen  x ) 2

2

(cos  x )(sen x dx) m

( n − 1)

(1 − cos  x) 2

2

(cos  x )(sen x dx ) m

=

n

sen  x cos

 x(cos x dx )

m −1

( m − 1)

=

sen  x(cos  x )

=

sen  x(1 − sen  x )

n

2

n

2

(cos x dx )

(m − 1)

2

2

(cos x dx )

2

120. ∫ coth 2 u du

=

u

−

coth u

+

c

Caso 3 (donde m y n son números positivos pares) n i. ∫ sen  x dx n

sen  x dx =

ii.

∫ cos

n

n

(a senh nu − n cosh nu ) + c 2

sen

Si m es impar, entonces

c

122. ∫ u cosh u du = u senh u − cosh u + c

au

−

=

sen  x cos  x dx

cos  x dx

au

−

m

=

121. ∫ u senh u du = u cosh u − senh u + c c

= − sec h u +

e

Si n es impar, entonces sen  x cos  x dx

=

+

n

cos  x dx

(sen x dx )

(n − 1 )

2

∫ cos

 x dx =

(cos

=

(cos  x )

=

(1 − sen  x )

n

2

−1

 x dx )(cos x dx ) ( n − 1)

2

2

(cos x dx )

( n − 1) 2

(cos x dx )

Caso 2 (donde al menos uno de los exponentes es un número entero positivo impar)

n

c

+

a2

n

sen  x dx

−1

113. ∫ sec h 2 u du = tanh u + c

124. ∫ e au cosh nu du =

(n + 1)2

∫ sen n

+1

(a cos nu + n sen nu ) + c

2

n

+

a2

i.

c

au

ln tanh 12 u

123. ∫ e au senh nu du =

+

u

∫  u

111. ∫ sec h u du = arctan(senh u ) + c

115. ∫ sec h u tanh u du

104.

n

u

(a sen nu − n cos nu ) + c

n2

110. ∫ coth u du = ln senh u =

103. ∫ u n ln u du =

u

−

a du

n −1

109. ∫ tanh u du = ln cosh u

112. ∫ csc h u du

u ln u

−1

 Formas que contienen funciones hiperbólicas 107. ∫ senh u du = cosh u + c 108. ∫ cosh u du = senh u

=

au

+

e 2

∫ u

n

ln a

+

−1

102. ∫ ln u du

u

e du

n −1

u

a2

−1

1

+

−1

(n − 1)u n

105. ∫ e au sen nu du =

n

n

ln a

(n − 1)u n

u

a du u

=

n

u

u

100.

 Integrales trigonométricas Caso 1 (donde n es un número entero positivo impar)

u

ln a

100.

∫ u dv = uv − ∫ v du (Un Día Vi.=Una Vaca - Vestida De Uniforme)

99. ∫ ue u du = e u (u − 1) + c

iii.

∫ sen n

n

1 2

(1 − cos 2 x )

n

2

dx

2

dx

 x dx =

1 2

(1 + cos 2 x )

n

m

 x cos  x dx m

sen  x cos  x dx

=

1 2

(1 − cos 2 x )

n

2

1 2

m

(1 + cos 2 x )

2

dx

Caso 4 (donde n es un número entero positivo) Caso 9 (donde n es un número entero positivo par y m es un número positivo entero impar)

∫ tan

i.

n

n

tan  x dx

ii.

∫ cot

n

n cot  x dx

 x dx =

tan

n

−

2

 x(sec 2  x

i.

)dx

−1

cot

n

−

2

 x(csc 2  x

)dx

ii.

−1

Caso 5 (donde n es un número entero positivo par)

∫ sec

n

n

sec  x dx

ii.

∫ csc

n

n csc  x dx

 x dx =

2

(n − 2)

)

 x

+1

 x

+1

2

(sec

2

(csc

2

 x dx )

i.

∫ tan n

(cot

2

−1

n

n

(n − 2 )

)

2

m

∫ tan n

=

n 2 tan  x(tan  x

(m − 2 )

)

+1

2

(sec

2

 x dx )

=

cot  x(cot 2  x n

2

(csc

(m − 2 )

)

+1

2

 x dx )

m

∫ 

=

(sec

( n − 1)

)

2

 x

−1

2

 x

−1

2

sec

m

−1

 x(sec x tan x dx )

2

csc

m −1

 x(csc x cot x dx )

m

cot  x csc  x dx m

cot  x csc  x dx

=

(csc

( n − 1)

)

Caso 8 (donde n es un número positivo impar, aplicar integración por partes) i.

∫ sec

n

 x dx

Considerar  u = sec n − 2  x y dv = sec 2  x dx ii.

∫ csc

n

csc  x dx

m

−

u2

=

−

u2

+

u2

−

a2

a 2 cos 2 θ  

Caso 2 El integrando contiene una expresión de la forma a 2 Considere u = a tan θ   a2

+

u2

=

a 2 sec 2 θ  

Caso 3 El integrando contiene una expresión de la forma u 2 Considere u = a secθ   u2

 x sec  x dx

n

n

n

)

m

a2

m

tan  x sec  x dx

ii.

2

 x csc  x dx

Considere u = a senθ  

 x dx )

Caso 7 (donde n es u n número entero positivo impar) i.

sec  x dx

 x csc m  x dx

cot  x csc  x dx

n

m

2

 x sec  x dx m

∫ cot

n

)

m

tan  x sec  x dx

ii.

2

cot  x csc  x dx = (csc 2  x

∫ cot

=

m

Caso 1 El integrando contiene una expresión de la forma a 2

Caso 6 (donde m es un número entero positivo par) n

(sec

−1

n

 Integración por sustitución trigonométrica

(tan

 x dx =

 x sec m  x dx m

 x

n

i.

n

tan  x sec  x dx

 x dx =

∫ tan n

 x dx

Considerar  u = csc n − 2  x y dv = csc 2  x dx

−

a2

=

a 2 tan 2 θ