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OPERACIONES CON INFINITOS E INFINITÉSIMOS. En el cálculo directo de límites aparecen expresiones que tienden a infinito y otras que tienden a cero (infinitésimos). Al operar con ellas es posible que pueda obtenerse el resultado o que no pueda saberse de forma inmediata y haya que realizar cierto número de operaciones para ello (INDETERMINACIÓN). Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:

OPERACIÓN

RESULTADO

+



+k



k-

-

-

Indeterminada

𝒌  ∞ ∞  𝒌 ∞  ∞ 

OBSERVACIONES

Tener en cuenta los grados. Si es preciso “Conjugado”

0 ∓∞

Depende del signo de k

Indeterminada

Tener en cuenta los grados



  (- )

-

k   (con k0)



Depende del signo de k

Indeterminada

Operamos hasta convertirla en una del tipo ∞ 0 ó



Habrá que hacer límites laterales para saber si es + ó - 

0

∞

k 0

(con k ≠ 0)

0 k

(con k ≠ 0) 0 0

0

0 Indeterminada

si a > 1  a  = 

a  (con a > 0)

Si a = 1 ⟹ 1∞ → Indeterminada

Del tipo del número “e” 2,718. Se pueden hacer con la fórmula o tomando logaritmos

si 0 < a < 1  a  = 0 00

Indeterminada

Se pueden hacer tomando logaritmos

∞0

Indeterminada

Se pueden hacer tomando logaritmos

GRADOS DE INFINITOS. Resulta muy útil para comparar unos infinitos con otros y despreciar los que son de menor grado Si suponemos que ( x   ; a>1 , n>0 ) y ordenados de mayor a menor:

x x >> x ! >> a x >> x n >  ln x INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES. Expresiones que tienden a cero “infinitésimos” se pueden sustituir por otras más sencillas que permitan simplificar el cálculo y resolución de indeterminaciones.

Para 𝐮 → 𝟎

Para 𝐮 → 𝟏 3

u +⋯ 6 u3 ≈ u+ +⋯ 3 𝑢3 3𝑢5 ≈𝑢+ + +⋯ 6 40

𝑠𝑒𝑛 𝑢 ≈ 𝑢

≈ u−

tan 𝑢 ≈ 𝑢 𝐴𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 ≈ 𝑢 𝐴𝑟𝑐𝑢 𝑢2 𝑐𝑜𝑠 𝑢 ≈ 1 − 2 𝑒𝑢 ≈ 1 + 𝑢

≈1−

𝑢2 𝑢4 + −⋯ 2 24

≈1+𝑢+

𝑢2 +⋯ 2

ln 𝑢 ≈ 𝑢 − 1

𝑎𝑢 ≈ 1 + 𝑢 ln 𝑎 Como curiosidad estas equivalencias se obtienen mediante del Desarrollo en Serie de Taylor que verás en cursos universitarios y que sirve para aproximar una función continua y derivable en un en un entorno del punto x=a por un polinomio. La aproximación será tanto mejor cuanto más cerca estemos del punto x=a. 1

𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑎 + 1! 𝑓 ′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 +

1 𝑓´´ 2!

1

𝑎 (𝑥 − 𝑎)2 + 3! 𝑓´´´ 𝑎 (𝑥 − 𝑎)3 + ⋯ . . … … y=ex , por ejemplo, en el punto a=0.

Si te apetece puedes comprobarlo desarrollando: y= sen x ó

REGLA DE L’HÔPITAL. Es una regla que permite utilizar las derivadas para calcular algunos límites que estén expresados en forma de cociente y bajo determinadas condiciones. lim lim Si f x =0 y g x =0 o también x→a x→a Si

lim f x =∞ x→a

Se tiene que:

y

𝐥𝐢𝐦 𝐱→𝐚

lim g x =∞ x→a

𝐟 𝐱 𝐠 𝐱

=

𝐥𝐢𝐦 𝐱→𝐚

Es decir, se puede utilizar en indeterminaciones de los tipos:

𝐟´(𝐱) 𝐠´(𝐱) 𝟎 𝟎

ó

∞ ∞

Ésta regla es válida cuando “a” es un número real, pero también cuando es +∞ ó − ∞