Tabla de Centros de Gravedad y Momentos de Inercia de Figuras Simples

c
          

Aunque no es como tal un tema de la Teoría de las estructuras, aprovechamos para incluir aquí un pequeño

con los centros de gravedad y los momentos de inercia de algunas figuras simples: rectángulo, círculo, triángulo, trapecio, curva de segundo grado y curva de tercer grado:





×   
     

Cuando realizamos cálculos de secciones de hormigón sometidas a solicitaciones normales necesitamos mo

respuesta tensional del hormigón. Para ello podemos trabajar con varios diagramas, eligiendo entre los que nos pe diferentes normas de hormigón. La mayoría, como es el caso de la instrucción EHE española, contemplan el Parábola-Rectángulo

y el diagrama simplificado Rectangular. Sin duda, el diagrama que mejor se ad

comportamiento de dicho material, tal y como se ha dem ostrado mediante ensayos experimentales es el del

Rectángulo, que supone que las tensiones se pueden describir en función de las deformaciones mediante una fun posee un tramo parabólico y otro "rectangular" (constante). El cálculo manual con dicha ley de comportamiento (extraer fuerzas y momentos resultantes) es tedioso por

deja su uso a los programas informáticos de cálculo, en los que el trabajo pesado lo realiza el ordenador, o bien

remitir al calculista a literatura especializada que tabula los valores de la integral que define la resultante y su mom

función de ciertos parámetros (ver por ejemplo el libro Hormigón Armado de Jiménez Montoya, Garcia Meseguer Cabré. Ed. Gustavo Gili).

En general, la gran mayoría de nosotros, como alumnos de las asignaturas de estructuras puede que este

acostumbrados a tratar con el diagrama rectangular que consiste en una simplificación del Parábola -Rectá

manera que mediante un simple rectángulo, (figura con la que estamos muy familiarizados y que posee fácil cálc resultante y por tanto de su momento resultante), consigamos aproximadamente las mismas soluciones.

Incluso si calculábamos estructuras hace no muchos años y tratamos con la antigua norma E H-91, cono

método del momento tope, invención del insigne Eduardo Torroja, que utilizaba un diagrama rectangular algo dif

de la actual EHE y con el que se resolvían todas las fórmulas de cálculo a solicitaciones normales en aquella norma.

Nosotros aquí simplemente vamos a deducir la función del diagrama de Tensión -Deformación de cálc

Parábola-Rectángulo según la instrucción EHE de una forma intuitiva matemática y geométrica. Esta ley nos se posteriormente plantear las ec uaciones de equilibrio en una sección cualquiera.

Para ello partiremos del siguiente gráfico que podéis encontrar en la norma, en su artículo 39.5 y en la fig. 39. que como se puede observar destacan dos puntos importantes: - El correspondiente a la deformación de rotura del hormigón a compresión (dž c=0,002). - El correspondiente a la deformación de rotura del hormigón a flexión (dž c=0,0035).

Como se observa, ambas comparten la misma abcisa, Îc=0,85 fcd. El valor corresponde a la resistencia de c

hormigón a compresión (f cd ) afectado por un coeficiente que tiene en cuenta los efectos de cansancio del hormi resistencia a compresión (0,85).



Diagrama parábola -rectángulo del hormigón

Para hallar el diagrama definimos como positivas las deformaciones de acortamiento, y las tensiones de com partimos de la base de que el hormigón no es capaz de soportar tracciones. Queda:

1. c


  : la parábola se define en el intervalo de deformaciones [0 , 0,002), mediante la expresión de

la

cónica

a*džc2 +b*džc + c

debe cumplirse - f(0)=0, o lo que es lo mismo, la curva pasa por el origen de coordenadas.

- f(0,002)=0,85 fcd , lo que significa que para la deformación del 2 por mil, la tensión resultante del hormigón 0,85 fcd. (fcd es la resistencia de cálculo del hormigón a compresión)

- f·(0,002)= 0, es decir, no existen puntos angulosos en el encuentro entre el tramo recto y el parabólico por pendiente en el extremo es horizontal. Mediante estas tres condiciones y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante se llega a la parábola a= -212500, b= 850, c= 0 f(dž   f dž (2dž 



2. c
  

: el tramo rectangular está definido en [0,002 , 0,0035] y se halla directamente a p

condición de que para toda deformación mayor o igual al 2 por mil la tensión del hormigón vale siempr f(dž  f 



Como sabemos, a medida que el estado de solicitaciones en la sección se va asemejando más a la c

simple, el diagrama Parábola -Rectángulo va ´perdiendoµ parte del diagrama parabólico y ´ganandoµ tramo rec

El caso límite de la compresión simple supone un rectángulo con altura 0,85 f cd , donde todas las fibras al

deformación de 0,002 y por tanto la sección es de rotura (ver art. 42.1.3 de la EHE sobre los dominios de deformació

En el caso opuesto estarían los planos pertenecientes al dominio 2, más cercanos a su límite con el dominio 1 (

la profundidad de la fibra neutra x=0), en los que la fibra más comprimida del hormigón no ha alcanzado t

deformación de 0,002 por lo que nos encontraremos diagramas que sólo constan del tramo parabólico ya que no alcanzar el límite de 0.85f cd.

ÿ


         
             









ÿ


 
  
     
  


      

Similares diagramas existen en otros códigos. Como ejemplo, el Eurocódigo 2 "Proyecto de estructuras de proporciona una expresión similar: f(dž  f dž (2dž , para el tramo parabólico y f(dž  f , para el tramo rectangular,

que sólo se diferencia en que tanto las tensiones como las deformaciones del hormigón son consideradas ne

en que el factor que tiene en cuenta el cansancio del hormigón (  ) no aparece predeterminado (si bien ser recom la misma norma utilizar el 0,85).

Diagrama Parábola rectángulo propuesto por el Eurocódigo 2, Parte I-I (Art. 4.2.1.3.3)



m    ×       

Cuando se produce la llegada de los primeros ordenadores en la década de los 50, el cálculo de estr

encontraba en un punto en el que los métodos de cálculo predominantes consistían en técnicas de relajación (mé

Cross y Kani) que se realizaban de manera manual y por tanto resultaban bastante tediosos. El cálculo de una es t

edificación de varios pisos, por ejemplo, podía llevar varias semanas, lo cual suponía un coste sustancial de ti detrimento de la posibilidad de invertir este en la optimización de la estructura.

La llegada de la computadora permitió el resurgimiento del método de los desplazamientos ya conocidos

anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran difíciles de aplicar dado que al final conducían a la reso enormes sistemas de ecuaciones inabordables desde el punto de vista manual.

Se instaura entonces el  

  
 . Éste parte de la discretización de la estructura en e

lineales tipo barra de los que se conoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nudos. Se plantea entonces u

de ecuaciones resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nudos de la estructura. Este sistema de ecua esquematiza de la siguiente manera:  

Donde las incógnitas son los desplazamientos en los nudos (vector u) que se hallan a partir de las fuerzas en

(vector P) y de la rigidez de las barras (matiz de rigidez k). Conocidos dichos desplazamientos es posible deter esfuerzos en las barras.
  
!

.

Para la resolución de los sistema s de ecuaciones se potencia el estudio de la adaptabilidad de los algo

conocidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente conjugado, etc). El ahorro de tiempo es impensable y con ello e

método matricial se extiende. Este desarrollo se hace es pecialmente notable en estructuras de edificación discretización de los pórticos en barras, es prácticamente inmediata a partir de las vigas y los pilares.

Sin embargo, y a pesar de desarrollarse modelizaciones de elementos superficiales median te barras (

emparrillados, elementos curvos mediante aproximaciones de elementos rectos, etc.), se plantean grandes di

ante estructuras continuas (superficies y volúmenes) y con geometrías complejas. De ahí que sea precisamente d campo aeroespacial donde comiencen a desarrollarse las nuevas técnicas del MEF.

El u
es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. Para ello trabaja discretizando la e

en elementos de forma variada (pueden ser superficies, v olúmenes y barras), que se conectan entre sí mediante

La   ahora es sólo
 ! 

en función de los resultados obtenidos para los nodos. El MEF parte d

matricial en el planteamiento del equilibrio en los nodos mediante un sistem a de ecuaciones resultado de la co de los elementos.

Dada su generalidad el método se amplió a otros campos no estructurales como la conducción de calor, la m

de fluidos, etc. donde compitió con otros métodos numéricos como el de las di ferencias finitas que aún si intuitivos, tenían de nuevo dificultades de planteamiento para geometrías complejas.

Con la llegada de los centros de cálculo y los primeros programas comerciales en los años 60, el MEF a la ve populariza en la industria refuerza sus bases teóricas en los centros universitarios.

En los años 70 se produce un gran crecimiento de la bibliografía así como la extensión del método a otros p

como los no lineales. Se estudian nuevos tipos de tipos de elemento s y se sientan las bases matemáticas rig

método, que había aparecido antes como técnica de la ingeniería que como método numérico de la matemática

Por último, a partir de la década de los 80, con la generalización de los ordenadores personale s, se extiende

los programas comerciales que se especializan en los diversos campos, instaurándose el uso de pre y postproc

gráficos que realizan el mallado y la representación gráfica de los resultados. Se continua en el estudio de la ap li

método a nuevos modelos de comportamiento (plasticidad, fractura, daño continuo, etc.) y en el análisis de los erro

En la actualidad dentro del campo estructural el MEF comparte protagonismo con el método matricial, siendo

los programas que mezclan el análisis por ambos métodos debido sobre todo a la mayor necesidad de mem

requiere el análisis por elementos finitos. Así se ha dejado la aplicación del MEF para el análisis de elementos conti losa o pantalla, mientra s que los pórticos siguen todavía discretizándose en barras y utilizando el método matricial.

Básicamente los pasos a seguir en el análisis de estructuras mediante el método de los desplazamientos a t MEF son: 1. El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias en un número de elementos finitos. Esta

proceso se desarrolla habitualmente mediante algoritmos incorporados a programas informáticos de mallado la etapa de preproceso.

2. Se supone que los elementos están conectados entre sí mediante un número discreto de puntos o ´nodosµ

en sus contornos. Los desplazamientos de estos nodos serán las incógnitas fundamentales del problema, ta ocurre en el análisis simple de estructuras por el método matricial. 3. Se toma un conjunto de funciones que definan de manera única el campo de desplazamientos dentro ´elemento finitoµ en función de los desplazamientos nodales de dicho elemento.

Por ejemplo el campo de desplazamientos dent ro de un elemento lineal de dos nodos podría venir defin

= N1 u1 + N2 u2, siendo N 1 y N2 los las funciones comentadas (funciones de forma) y u 1 y u2 los desplazamie nodo 1 y en el nodo 2.

4. Estas funciones de desplazamientos defin irán entonces de manera única el estado de deformación del ele función de los desplazamientos nodales. Estas deformaciones, junto con las propiedades constitutivas del definirán a su vez el estado de tensiones en todo el elemento, y por c onsiguiente en sus contornos.

5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre las tensiones en el c cualesquiera cargas repartidas, resultando así una relación entre fuerzas y desplazamientos de la forma F = como vemos es similar a la del cálculo matricial.

6. La resolución del sistema anterior permite obtener los desplazamientos en los nodos y con ellos definir de aproximada el campo de desplazamientos en el elemento finito. 7. En la etapa de postproceso se presentan los resultados, generalmente de forma gráfica para su análisis.

BIBLIOGRAFÍA

Si bien con vuestro buscador habitual podréis dar con muchos de los recursos sobre este tema que existen en la W

dejo bibliografía variada, creo que todos disponibles actualmente (2004), desde textos muy matemáticos a otros más e

pasando por algunos de nivel básico, -que clasificaréis simplemente por sus títulos-, para todos aquellos de vosotros interesados en saber más sobre el MEF : En

: - ZIENCKIEWICZ, O. C. - TAYLOR, R. L.
 

   

 . Ed. McGraw Hill / CIMNE.

- ZIENCKIEWICZ, O. C. - TAYLOR, R. L.
 

   

  
     
 

  

  
  
      

 
  . Ed. McGraw Hill / CIMNE. Cuarta Edición 1994.

- BELTRÁN, FRANCISCO.   

 

   

 !  
 " #   Departamento de Mecánica Estructural y Construcciones Industriales. ETS Ingenieros industriales Madrid.

- VÁZQUEZ, MANUEL - LÓPEZ, ELOISA.
 

   

 
 
 
  
. Manuel Vázq López. Ed. Noela. Madrid 2001. - OÑATE, EUGENIO. #

    
 

   

 , 
    - 
. Ed. CIMNE. - ALARCÓN ÁLVAREZ, E. - ÁLVAREZ CABAL, GÓMEZ LERA, Ma. S. Gómez Lera. Ed. Reverté. 1990.

- ARGÜELLES ÁLVAREZ, RAMÓN.      
     .    
   

 . Ed. Bellisco. M

- CHANDRUPATLA, THUPATHI R. - BELENDUNGU, ASHOK D. /   

   

  / .

. Ed. Pre México, 1999.

- DE LA ROSA OLIVER, EMILIO. 
    
     
 / .

    0   
   

. Ed. Bellisco. Madrid 1999.

- PEREA, RICARDO. /   
 

   

. Ed. Sección Publicaciones de la E.T.S. de Industriales de la Universidad Politécnica de Madrid. - FORNONS GARCÍA, JOSÉ MARÍA.


 

   

 
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  . Ed. M

Universidad Politécnica Barcelona.

En ": - RAO, SINGIRESU S. 1 

 
   1  .  . Ed. Butterworth-Heinemann. 1999.

- BRAESS, DIETRICH. 

 
   12  
32   
   
 1

. Ed. Cambridge. 2001 Edición. - BUCHANAN, GEORGE R. 

 
   , 
 . Ed. Mac-Graw Hill. 1995 - THOMÉE, VITAR.


4 


   1  5
 5
  . Ed. Springer. 1997

- KATTAN, P.I. 
 .   


  2   3  1 Ed. Springer. 2003 - MOAVENI, SAEED. Finite Element Analysis. Theory and Application with ANSYS. Ed. Prentice Hall. 1999 - HUTTON, DAVID V.    
  


   , 
  Mc Graw-Hill

 ×           
      ! 

Si queremos entender correctamente las normativas sísmicas, y en nuestro caso la normativa NCSE -02, lo cor

que entendamos los principios básicos del análisis dinámico (teoría de ondas y vibraciones). Para ello vamos a d

primeras nociones acerca de las características de los movimientos básicos: el movimiento armónico simple, el mo

armónico simple amortiguado y al final el caso sísmico. Cada uno de ellos se corresponde con un modelo d e osc cuyo estudio podemos obtener las bases dinámicas del movimiento.

Existen como hemos dicho tres modelos dinámicos sencillos cuyo estudio nos permitirá el análisis del model estos son: 1. El oscilador con vibración libre no a mortiguada. 2. El oscilador con vibración libre amortiguada. 3. El caso sísmico.

En todos estos casos suponemos que existe sólo una sola partícula concentra toda la masa y que puede de exclusivamente en una dirección, por lo que hablamos de un único grado de libertad.

Aclararemos primero el concepto de vibración libre. Por este se entiende frente al de vibración forzada

vibración libre en la que no existe una fuerza impulsora periódica que realimenta el movimiento. Veamos el ejemp

columpio. Si empujáramos una sola vez la sillita se trataría de una vibración libre, de hecho sería una vibra

amortiguada dado que el rozamiento terminaría por parar el sistema. El caso de la oscilación forzada la tenemos

en el columpio, cuando cada vez que baja el asiento volvemos a empujarlo. Como se habrá experimentado segunda manera es más fácil conseguir llegar más arriba. Pasemos a ver las principales características de dichos modelos:

  
  # 
  
  

$% &' Este es el oscilador más sencillo, queda definido por las siguientes características mecánicas (ver figura): a Masa m: suponemos concentrada la masa en un punto.

a Rigidez K, en este caso se identifica con la rigidez de la barra que une a la masa con el suelo. La rigidez prod

fuerza recuperadora del movimiento, que en nuestro caso consideraremos elástica (f e=Kx). En estru

edificación la K se obtendrá a partir de la función de l a rigidez a cortante de los pilares, generalmente la su rigideces de estos.

Figura 1. Características fundamentales del OVLNA

En este modelo no se explica la causa inicial del movimiento, suponemos que la partícula sufrió un desplazam

su posición de equilibrio que le hizo comenzar a vibrar. A falta de amortiguación el oscilador permanecerá contin en movimiento.

Si pusiéramos una lamparilla en el punto donde se encuentra la masa m, y enfocáramos al modelo con una cámara situada en el techo tal que se desplazara uniformemente en sentido perpendicular al movimiento del

veríamos una gráfica parecida a la de la figura 2. En el eje de las ordenadas se representa la posición de la part contiene la masa respecto del tiempo x(t).

Figura 2. Movimiento del OVLNA Este movimiento sinusoidal se conoce como movimiento armónico simple. Existe una

relación directa

movimiento armónico simple y el movimiento circular asociado: un movimiento circular uniforme se proyecta

movimiento armónico simple en su propio plano ²ver figura 3-. Es por ello que a la hora de definir las magni definen el movimiento armónico simple conviene tener en mente la analogía con el movimiento circular.

Figura 3. Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular Veamos pues los parámetros que definen el movimiento: a La amplitud A donde se alcanza el máximo desplazamiento.

a La pulsación o frecuencia circular ' que es una velocidad angular en la analogía del movimiento circular y

dimensiones rad/s. Se define como:

.

a El periodo T, que podemos definir simplificadamente como el tiempo transcurrido entre dos máximos suces

distancia se denomina longitud de onda ). En el esquema del movimiento circular se corresponde con el tie se tarda en recorrer una cir cunferencia completa. a La frecuencia cíclica f, que se define a partir del periodo como:

La frecuencia cíclica por el tiempo que dura el movimiento nos sirve para determinar el número de ondas ge N = f t.

a El ángulo de fase inicial del movimiento f que al igual que antes se deduce por una relación con el m

circular uniforme, aunque también podemos observar su sentido físico en la figura 2.

Vamos a estudiar el equilibrio del oscilador. Debemos darnos cuenta de que el movimiento del oscilad

aceleración que varía con el tiempo a(t), dado que la partícula llega varía su velocidad a lo largo del mismo (esta cuando se encuentra en su punto de máximo desplazamiento).

Ahora ya estamos en disposición de analizar el equilibrio. Para ello nos serviremos del      ()'

sistema dinámico está en equilibrio cuando todas las fuerzas que actúan en el mismo, incluidas las de i nercia, cu ecuaciones de equilibrio estático en cada instante de tiempoµ.

Por tanto debe cumplirse la segunda ley de Newton, siendo las fuerzas existentes la de recuperación de la b suponemos elástica y la de inercia debida a la aceleració n de la partícula. Por tanto, queda:

Figura 4. Equilibrio del OVLNA fi (t) + fe(t) = 0

*El signo (-) de las fuerzas de inercia surge por el hecho de oponerse a la aceleración.

Siendo (I) la ecuación que representa al movimiento del OVLNA. Ésta ecuación podría también ponerse en fu ':

2  
  # 
  
  

$% '

El siguiente modelo será el oscilador con amortiguamiento. Un OVLA queda definido por las carac

anteriormente tratadas y además por el amortiguamiento que se define habitualmente según la ley de Ke

haciéndose proporcional el amortiguam iento a la velocidad del movimiento (amortiguamiento viscoso), actuand

en sentido contrario a éste. El amortiguamiento viene definido por su constante de amortiguamiento c y la fuerza d

amortiguamiento por f a=c x· siendo x· la derivada de la posición respecto al tiempo, es decir la velocid

amortiguamiento viene a simular las características reales de la estructura en la que la oscilación termina desapa debido al rozamiento, las fuerzas de fricción internas y la misma viscosi dad del material. El

modelo

queda

como

Figura 5. Características fundamentales del modelo de OVLA

Veamos el funcionamiento del OASA. En un instante dado t 0 se desplaza a la partícula de su posición de equ

modo que el sistema comie nza a vibrar. La rigidez de la estructura hace que se produzca una fuerza restauradora

la masa primero a su lugar original y después a un punto a una distancia algo menor que d en sentido contrario a como consecuencia del amortiguamiento . Este mismo proceso se repite hasta que el oscilador vuelve al reposo.

Figura 6. Análisis del movimiento del OVLA respecto al tiempo

Vamos a estudiar el equilibrio del oscilador. Ahora además de las fuerzas que intervenían en el modelo aparece la fuerza de amortiguamiento f a = c·x· que se opone al movimiento. Queda así:

Figura 7. Equilibrio del OVLA


  
  
 y sustituyendo el valor de las fuerzas:

Siendo (II) la ecuación que representa al movimiento del OVLA. Es i mportante dicha ecuación dado que la m

las normativas trabajan con ella a la hora de establecer las características dinámicas de sus modelos con varios g

libertad. Estas ecuaciones no serán más que la generalización de la del OVLA a varios grados de libertad (por ej de cortante).

2  
 
* 

Este modelo cuyo nombre se ha tomado de la referencia del profesor Barbat (r.1), representa mejor que los ant

comportamiento ante el sismo ya que tiene en cuenta el origen de la vibración. Hasta ahora nuestro modelo e

movimiento cuando comenzábamos su estudio, no planteándonos como había surgido dicho desplazam

embargo, la vibración de las estructuras surge como respuesta a la acción de las ondas sísmicas, que vamos a t

un movimiento del terreno que posee una aceleración, una velocidad y un desplazamiento dependientes del tiem

v(t), s(t)-. Este supuesto es importante ya que ahora el sistema de referencia elegido (eje X) no es inercial al estar a lo que influirá en el equilibrio.

Figura 8. Modelo del ´caso sísmicoµ

Haremos un breve comentario acerca de los sistemas no inerciales. No debemos temer a las fuerzas de inercia,

muy acostumbrados a ellas, por ejemplo son aquellas que nos hacen caer cuando no vamos bien agarrados en

del metro; si el vagón ac elera parece como si nos empujaran hacia la cola del vagón, al contrario si el vagón fren

cuerpo sigue hacia delante ´por inerciaµ. Esta fuerza de la que en principio parece que desconocemos su origen causa en la aceleración del movimien to, de hecho ha estado presente hasta ahora, pero nula. Esta independiente de la que también es de inercia y se ha considerado anteriormente debida a la aceleración de la

de masa. Ahora la aceleración a tener en cuenta es la del modelo completo como sólido rígido deslizando sobre e ver figura 8-.

Planteemos pues el equilibrio, nótese que el diagrama de fuerzas es el mismo que el del modelo anterior, sól las fuerzas de inercia se incluirá un nuevo término que hace refe rencia a la nueva aceleración: Queda: fi (t) + fe(t) + fa(t) = 0 y sustituyendo el valor de las fuerzas:

ecuación que define las ecuaciones de movimiento del caso sísmico y con lo que hemos completado la e introductoria que nos habíamos pl anteado. Es importante comentar que los modelos anteriores pese a su sencillez -dado que tan sólo poseen un

libertad, este es, el desplazamiento horizontal en la coordenada X -, son un instrumento muy útil y el punto de pa entender sistemas más complejos.

Por otro lado con estos modelos ya podríamos analizar la respuesta dinámica de algunas estructuras: aquel que pudiéramos suponer que su masa está concentrada en un punto, y la rigidez del sus pilares frente

desplazamiento puede asimilarse a la rigidez K de dicho oscilador ²la rigidez de la barra como hemos supue figuras-, se podrían estudiar con estos modelos. Un ejemplo de dichas estructuras pueden ser los depósitos, las control, los pórticos de una altura, etc. Bibliografía:

r.1 Estructuras sometidas a acciones sísmicas. Cálculo por ordenador. Alex H. Barbat y Juan Miquel Canet. Ed. CIMNE

r.2 Monografías de Ingeniería Sísmica. Conceptos de cálculo de estructuras en las normativas de diseño sismorresis H. Barbat y Sergio Oller. Monografía CIMNE IS-24 1998 r.3 Vibraciones y ondas. A. P. French. Publicación del Massachusetts Institute of Tecnology. Ed. Reverté S.A.

r.4 Problemas de vibraciones en estructuras. Recomendaciones y manuales técnicos. Estructuras y edificación (Evarios. Ed. Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos y ACHE. r.5 Diseño sísmico de edificios. Bazán y Meli. Ed. Limusa

 ×"      # $ 

La mecánica de la fractura es un modelo de estudio del comportamiento de los materiales que se situaría j

mecánica del medio continuo (más conocida por todos nosotros), o la mecánica del daño continuo.

La diferencia principal entre estos tres modelos de comportamiento está en el estado de ¶deterioro· e

encuentra la materia en estudio. Mientras que la mecánica del medio continuo trata de simular el comportam

materiales sanos o perfectos, la mecánica del daño continuo analiza los materiales cuando estos poseen microfi  

f

cuando se ha formado ya +
f 


f 
.

Dado que todos los materiales contienen defectos será imp ortante conocer la influencia que estos tien

resistencia del material. Se impone así un diseño con la filosofía de adoptar tolerancias para tales defectos. Ta

importante el estudio de la mecánica de la fractura en relación con la fatiga y e l crecimiento de las grietas debida

Esta rama de la mecánica no es nueva, sus comienzos se situan en 1913 cuando , -  (1) estudió la placas con agujeros en su interior a las que sometía a estiramientos por sus bordes. Se trataba de analizar las tensiones que aparecían al estirar una placa infinita con un agujero elíptico en

considerablemente menor que el tamaño de la placa. Tras experimentar con distintas placas y agujeros, Inglis se di

de que en los bordes de estos (punto A de la figura) las tensiones eran mayores de lo esperado y de que no era la f agujero lo que caracterizaba la rotura, sino la longitud de la elipse que era perpendicular a la carga y la magnitud de curvatura al final del agujero. El más largo de los agujeros (con eje mayor de la elipse más largo) y con el más radio de curvatura estaba sometido a las tensiones más altas.

Más tarde, en 1920, ''. ff + (2) llevó más allá el trabajo de Inglis. Griffith pensó de nuevo sobre el proble

placa bajo tensión, pero él ¶estiró la elipse· para convertirla en una grieta. Griffith hizo una serie de experimen

alargamiento hasta la rotura de alambres con y sin fallas, comprobando que en los alambres defectuosos la rotura rápida debido a que las tensiones incrementaban su magnitud hasta el triple o cuadruple.

De la misma manera experimentó sobre placas pequeñas de vidrio, estiradas a tracción, c on una grieta en

perpendicular a la carga. Así determinó que las tensiones al final de la grieta eran muy altas y la grieta debilitaba significativamente.

A partir de estas pruebas concluyó que los materiales que están fracturados, n o importa lo pequeña qu fractura, actúan de manera muy diferente a los que no tienen grietas.

Griffith también introdujo la noción de fuentes y sumideros de energía en la propagación de las grietas. Dijo q que una grieta pudiera crecer, e ra necesario tener suficiente energía potencial en el sistema para crear la nueva

de rotura. En definitiva 
f

  
 
 *
 
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f

(
  

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1  0
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   f f



La resolución del problema de estabilidad planteado anteriormente en términos de energía, conlleva a la defi

una tensión crítica para la cu al una grieta de longitud dada comienza su proceso crítico de expansión; o bié

manera a una longitud de grieta crítica -  *
   
  . ff +   para una tensión dada, de man dicha longitud no es superada, la grieta no co ntinuara su proceso de rotura. Actualmente la Mecánica de la Fractura es de gran importancia y se utiliza en el diseño y comprobación de de estructuras (presas, barcos, engranajes, etc) especialmente mediante la ayuda de métodos numéricos simulación por elementos finitos. Artículos:

-(1) Stress in a plate due to the presence of cracks and sharp corners. Proc. Int. Naval Arquitects, Nº60. 1913. C -(2) The phenomena of rupture and flaw in solids. Trans. Royal Society of Londosn. A-22 I, 1920 Para saber más: -Mecánica de fractura. José Luis Arana y Javier Jesús González. Servicio Editorial Universidad del País Vasco. -Fractura mecánica. Un enfoque global. Sergio Oller. CIMNE Barcelona -Ediciones UPC. -Fractura de materiales. M.J. Anglada, J. Alcalá, L.M. Llanes, A.M. Mateo, M.N. Salán. Ediciones UPC -Estructuras o por qué las cosas no se caen. J. E. Gordon. Celeste Ediciones. -Introduction to fract ure mechanics. S. Suresh -http://simscience.org/cracks/intermediate/history1.html