Tabela-Quadricas

Departamento de Matem´ atica da Universidade de Coimbra atica An´ An´ alis al ise e Mate Ma tem´ m´ atic at ica a II Tabela 1

Ano Lectivo 2008/2009

Tabela ab ela de Qu´ adrica adr icass e Sup Superf´ erf´ıcies ıci es Cil´ındric ınd ricas as Chama-se tra¸ supe rf´´ıcie num plano a` curva que resulta da intersec¸c˜ cao a˜o da superf sup erf´´ıcie com o co co da superf plano. ´ ELIPSOIDE x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

=1

Os tra¸cos cos nos planos paralelos aos planos coordenados que intersectam intersectam a superf´ superf´ıcie em mais do que um ponto s˜ao ao elipses. Se a = b = c, o elips´oide oi de ´e um umaa supe su perf´ rf´ıcie ıci e esf´ es f´eric er ica. a. ´ HIPERBOL OIDE DE UMA FOLHA

x2 a2

+

y2 b2

z2 −

c2

=1

Os tra¸ tra¸cos c os nos plano planoss para parale lelo loss ao plan planoo ao ao elipses elipses.. Os tra¸cos cos nos planos paX 0Y  s˜ ralelos ao plano X 0Z  que n˜ao ao contˆem em os pontos (0, b, 0) e (0, b, 0) s˜ao ao hip´erboles erb oles.. Os tra¸ tra¸cos c os nos plano planoss para parale lelo loss ao plan planoo Y  0Z  que n˜ ao ao contˆ contˆem em os pontos (a, 0, 0) e ( a, 0, 0) s˜ao ao hip´erboles. erbol es. Os tra¸cos cos nos planos x = a, x = a, y = b e y = b s˜ao ao duas rectas concorrentes. −

−

−

CONE EL´IPTICO 2

z =

−

x2 a2

+

y2 b2

O tra¸co co no plano X 0Y  ´e o ponto po nto (0, 0, 0). Os tra¸ tra¸cos c os nos plano planoss para parale lelo loss ao plan planoo ao ao elipses. X 0Y , distintos do plano X 0Y  , s˜ Os tra¸cos cos nos planos X 0Z  e Y  0Z  s˜ao ao rectas que se intersectam em (0 , 0, 0). 0). Os tra¸ tra¸cos cos nos planos paralelos ao plano X 0Z  ou ao plano Y  0Z , dist distin into toss dos dos plan planos os X 0Z  e Y  0Z , s˜ ao ao hip´ hi p´erbol erb oles es..

´ HIPERBOL OIDE DE DUAS FOLHAS

x2 y2 z2 + 2 =1 a2 b2 c O plano X 0Y  n˜ao intersecta a superf´ıcie. −

−

Os tra¸cos nos planos paralelos ao plano X 0Y  que intersectam a superf´ıcie em mais do que um ponto s˜ao elipses. Os tra¸cos nos planos paralelos ao plano X 0Z  ou ao plano ao hip´erboles. Y  0Z  s˜

´ PARABOLOIDE EL´IPTICO z=

x2 a2

+

y2 b2

O tra¸co no plano X 0Y  ´e o ponto (0, 0, 0). Os tra¸cos nos planos paralelos ao plano X 0Y  que intersectam a superf´ıcie em mais do que um ponto s˜ao elipses. Os tra¸cos nos planos paralelos ao plano X 0Z  ou ao plano ao par´abolas. Y  0Z  s˜

´ ´ PARABOLOIDE HIPERBOLICO z=

x2

y2 −

a2 b2 O tra¸co no plano X 0Y  s˜ao duas rectas que se intersectam no ponto (0 , 0, 0). Os tra¸cos nos planos paralelos ao plano X 0Y  , distintos do plano X 0Y  , s˜ao hip´erboles. Os tra¸cos nos planos paralelos ao plano X 0Z  ou ao plano Y  0Z  s˜ao par´abolas.

CILINDRO EL´IPTICO

x2 a2

+

y2 b2

=1

Os tra¸cos nos planos paralelos ao plano ao elipses. Os tra¸cos nos planos paraX 0Y  s˜ lelos ao plano ou ao plano Y  0Z  s˜ao uma ou duas rectas paralelas. Os tra¸c os nos planos paralelos ao plano X 0Z  ou ao plano Y  0Z , distintos dos planos X 0Z  e Y  0Z , s˜ ao hip´erboles. ´ CILINDRO HIPERBOLICO

x2 a2

y2 −

b2

=1

Superf´ıcie sim´etrica relativamente aos planos coordenados e a` origem. Os tra¸cos nos planos paralelos ao plano X 0Y  s˜ao hip´erboles. As geratrizes s˜ao rectas paralelas ao eixo da vari´avel que n˜ao aparece na equa¸ca˜o.

´ CILINDRO PARABOLICO z = ax2

Superf´ıcie sim´etrica relativamente aos planos X 0Z  e Y  0Z . Os tra¸cos nos planos paralelos ao plano X 0Z  s˜ao par´abolas. As geratrizes s˜ao rectas paralelas ao eixo da vari´ avel que n˜ao aparece na equa¸c˜ao.

As figuras da tabela foram retiradas de http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII e http://www.mat.uc.pt/ caldeira/quadricas.pdf. ∼