T5 Esfuerzos

 

162

Capítulo 5

Esfuerzos El esfuerzo es una medida de la  intensidad de una fuerza , ya sea al interior o en la frontera de un cuerpo sujeto a cargas.

5. 5.1. 1.

Fue uerz rzas as de vo volu lume men n y fuer fuerza zas s de sup super erficie cie.. Vect ector or de esfuerzo

Un sistema de fuerzas aplicados a un cuerpo es equivalente a una fuerza y un momento. momen to. Esta fuerza fuerza y momento momento resultante resultante se llaman  fuerzas   o  cargas   (loads) actuando sobre un cuerpo. Las cargas aplicadas a un cuerpo pueden ser mecánicas, térmicas, electromagnéticas, químicas o de alguna otra naturaleza y pueden estar acopladas, como por ejemplo, termomecánicamente, electroquímicamente, electromecánica, etc. Las fuerzas están divididas en tres categorías: 1. Fuerzas o cargas de cuerpo, cuerpo, que consisten de fuerzas de cuerpo y momentos de cuerpo. 2. Fuerzas o cargas cargas superficiales, consistentes en fuerzas superficiales y momentos superficiales. 3. Cargas concentradas, concentradas, consistentes de fuerzas concentradas concentradas y momentos concentrados. Las cargas de cuerpo o volumen se llaman así porque actúan en cada punto del vo volum lumen en total del cuerpo. cuerpo. Las Las carga cargass de cuerpo genera generan n   propieda propiedades des de camp campo o   en cada punto pun to de una región o campo debido a una fuente. fuente. Como ejemplos ejemplos de este tipo de cargas tenemos a la fuerzas gravitacional, inercial y electromagnética. Por otra parte, los momentos de cuerpo se manifiestan como momentos de fuerzas de cuerpo y están asociados con efectos rotatorios. Ejemplo de este tipo de momentos se tienen a los dipolos magnéticos y eléctricos. Las cargas de cuerpo surgen de efectos externos al cuerpo y son llamados  cargas  de cuerpo externa . Las cargas cargas de cuerpo son medidas usualmen usualmente te por unidad de masa del cuerpo sobre el cual actúan.

 

163 Las cargas superficiales son llamadas así porque requieren de una superficie para actuar, y también se conocen como  cargas de contacto. Las cargas actua actuando ndo sobre la superficie de frontera de un cuerpo o las cargas actuando sobre las super ficie de frontera común entre las partes internas de un cuerpo deformable son  fuerzas super  fi ciales  ciales . Ejemplos son la tensión superficial, la presión hidrostática sobre un cuerpo sumergido es una fuerza superficial externa, evaporación, condensación y adhesión sobre una superficie   fluida. El sistema de fuerzas superficiales es equivalente a una fuerza superficial y a un momento superficial. Los vectores de esfuerzo y de momento dependen de la posición del punto sobre el cual actúan y de la orientación de la superfici cie. e. La orien orienta taci ción ón de una superficie en un medio continuo es especificada en cada uno de sus puntos por medio de un vector normal unitario exterior. La fuerza super ficial por unidad de área es llamada  vector  de esfuerzo o de tracción super  fi cial  cial . El vector de esfuerzo sobre la superficie con vector normal   n  se denota por t(n)   (5.1) y el momento superficial por unidad de área es llamado   vector de momento o vector del  momento del esfuerzo, denotado en este caso por  m(n) . Las cargas de superficie son medidas por unidad de área de la superficie sobre la cual actúan. En el interior de un cuerpo, existe una infinidad de posibilidades para hacer superficies en cada punto, por lo que se tiene el  estado de esfuerzo  en cada punto  x . Cargas internas  se refieren a la acción mutua y reacción de los pares de partículas en el interior de un cuerpo y a la carga ejercida sobre una parte del cuerpo por el resto del cuerpo como una consecuencia de la respuesta interna del cuerpo a la carga ejercida. Este tipo de cargas corresponden al tipo de cargas super ficiales. Las cargas cargas concentrada concentradass se aplican solo a unos cuantos cuantos puntos puntos del cuerpo cuerpo.. Ejemplos de estas son las cargas puntuales puntuales sobre vigas. vigas. explosiones, fracturas frágiles. frágiles. Se utilizan funciones delta de Dirac. Fuerzas resultantes y pares actuando sobre un cuerpo

Sea   V  el   el volumen de la región de un cuerpo y  y     la   la superficie de la frontera en su estado estad o deformado deformado.. Sea f  la fuerza de cuerpo por unidad de masa,  t(n)  el vector de esfuerzo, y   m(n)  el vector de esfuerzos de par, y   p   el vector vector de posición. posición. La fuerz fuerza a resultante resultante   F actuando sobre el cuerpo está dada por F   =

Z 

t(n)   +  +

 

Z 

 f   +    +

  

 

X

F

 

(5.2)

=1

Sean   l,   m(n)   y   m  el par de cuerpo (o momento de cuerpo) por unidad de masa, el vector de par de esfuerzo, y los pares de cuerpo concentrados en las posiciones    , el 

 

164 momento resultante  M   alrededor del origen   O  actuando sobre el cuerpo es dado por M  =

Z ¡ X

¢ Z 

m(n) + p × t(n)     +  +

 

+

 

   (l + p × f )   

 

(5.3)

  

(m + p × F) 

 

(5.4)

=1

Simplificando el análisis considerando que las cargas concentradas y que los momentos superficiales y de cuerpo son nulos, las ecuaciones de balance de fuerza y de momento nos quedan como F  =

Z  Z 

t(n)   +  +

 

M  =

 f     

 

(5.5)

  

p × t(n)   +  +

 

5.2.. 5.2

Z 

Z 

p ×  f    

 

(5.6)

  

Pri Princ ncipi ipio o de lo los s esfue esfuerzo rzos s de Cau Cauc chy

También se le conoce como hipótesis de los esfuerzos de Cauchy, que considera la respuesta de un cuerpo deformable a una carga aplicada. La respuesta se entiende en términos de la carga de una parte del cuerpo ejercida por el resto del cuerpo transmitida a través de su frontera común. La carga de super ficie resultante consiste de una tracción superficial   t(n) . Los esfuerzos que actúan hacia afuera del cuerpo tienen signo positivo, y los esfuerzos que actúan hacia adentro tienen signo negativo. Es decir, que la tensión es considerada positiva mientras que la compresión se considera negativa. Consideremos un elemento tetraédrico arbitrario denotado por     con tres de sus caras coincidentes con las superficies coordenadas en el punto  punto  de  de un sistema de coordenadas curvilíneo. Sean   n   y   t(n)   el vector unitario normal y el vector de esfuerzo actuando en cualquier punto  punto     de   de la cuarta super ficie. Los otros vectores de esfuerzos de las otras caras serán denotados por   t  con sus signos apropiados. Aplicando el balance de momentum lineal al elemento tetraédrico, sustituyendo cada una de las integrales por su valor promedio, utilizando el teorema del valor medio para las integrales, que denotaremos como () como  ().. Entonces se tiene   ( ¯ v ¯ ∆ ) = ¯ t(n) ∆ − ¯ t ∆ + ¯ ¯ f  ∆  El lado izquierdo puede ser simpli ficado como  v   ¯  ( ¯ v ¯ ∆ ) = ¯   ∆  +  ¯ v  ( ¯ ∆ )     pero   ( ¯ ∆ ) = 0 

 

165 por el principio de conservación de masa. Entonces,    v ¯  ( ¯ v ¯ ∆ ) = ¯   ∆   y entonces

  v ¯ ¯ t ∆ + ¯¯ f  ∆   ∆  = ¯ t(n) ∆ − ¯  Dividiendo la ecuación anterior por   ∆   v ¯ ¯ 

∆ ∆

 = ¯ t(n) − ¯ t

∆



∆

  ∆

  + ¯ ¯ f 

∆

y aproximando como cero el límite de la dimensión lineal   ∆ ∆  cuando el tetraedro se va encogiendo al punto  punto  ,, el cual es el límite del punto    . Entonces tenemos    =  t  =  t  t(n)  =  t   en donde  =      o   a =  n  Tenemos el siguiente teorema.

Teorema

La tracción tracción sup super  er  fi cial cial en un punto punto   x   actuando actuando sobre sobre una super  super  fi cie cie dada dada est está  á  completamente determinada por los vectores de esfuerzo actuando sobre las tres super  fi cies  cies  de las coo oorrdenadas denadas que mutuament mutuamentee se interse intersectan ctan en   x   de un sistema sistema de coor oordena denadas  das  admisible. Además, la tracción tracción super  fi cial cial en   x   es una función line lineal al del ve vector ctor unitario unitario normal a la super  fi cie cie dada. Los vectores de esfuerzo   t  son independientes de   n, por definición. Asumiendo

que  t (n)  es una función continua de  n , si se cambia el signo de   n, se tiene que  t (n)  también cambia de signo, esto es, t(−n)  = −t(n)  Esto significa que las tracciones superficiales actuando en lados opuestos de la misma superficie en un punto dado son iguales en magnitud pero de signo opuesto.

5. 5.3. 3.

El tens tensor or de esfu esfuer erzo zo

El vector de esfuerzo actuando sobre un punto en un material sobre el lado positivo de la superficie coordenada  coordenada    =  constante   es denotado por   t . El componente del tensor de esfuerzo a lo largo de la dirección positiva del sistema coordenado de la curva    es denotado por   por    . Esto es,

t  · ˆ g  =  =      

 

166 Entonces, t  =  =      g ˆ 

y t =    g ˆ 

El vector de esfuerzos está compuesto por los componentes     .  El tensor de esfuerzos     está de  fi nido nido como el componente    del vector de esfuerzo   t  actuando sobre el lado positivo de la super  fi cie cie coordenada constante    . Por la definición del tensor de segundo orden   g  · T ·  ˆ g    =  ˆ T  =  =      ˆ g ˆ =    g ˆ g ˆ   g

Entonces, podemos escribir t(n)  =  t    =  =       ˆ g  =    =     ˆ g =  n · T

normales  componentes del tensor de   esfuerzos los son quetangentes son normales a la superficieLos sobre la que actúan. Los componentes con índices  son mixtos al plano sobre el que actúan y se llaman componentes de  esfuerzo cortante .

5.3.1. 5.3 .1.

Inv Invarian ariantes tes Los invariantes del tensor de esfuerzos son          = Tr T  =        1     (Tr (Tr T)2 − Tr T2       = 2!  1      Tr T3 + 3  1  2 − (Tr (Tr T)3  = det T    = 3

h h

5.4.. 5.4

¡ ¢i

(5.7) (5.8)

i

 

(5.9)

¡ ¢

Esf Esfue uerzo rzos s pri princi ncipa pales les

Consideremos los valores principales y sus correspondientes direcciones principales del tensor de esfuerzos   T, los cuales están dados por T ·  ˆ n   =    ˆ n 

donde el vector unitario   n ˆ   es el vector principal (o eigenvector) del tensor de esfuerzos correspondiente al valor principal  principal  .. Entonce Entonces, s, podemos escribir

³

´

   −      ˆ  = 0

 

(5.10)

 

(5.11)

este sistema lineal sólo tendrá soluciones no triviales para   n ˆ  cuando

³

´

det    −      = 0

 

167

T zz zz

T xz

T yz yz

 p

T xxyy T xx xx

T yy yy

 

168 ecuación característ característica  ica   para la cual es la   ecuación para el tensor tensor de esfuerzo esfuerzos. s. Utiliz Utilizand andoo el teorema teorema de Cayley—Hamilton, la ecuación característica del tensor de esfuerzos en términos de sus invariantes queda como 2  3                = 0   (5.12)    +    

−

−

Como el tensor es simétrico, la ecuación característica tiene tres raíces reales  reales   1 ,   2   y   3 . Se tiene un eigenvector asociado a cada uno de los valores principales, los cuales se calculan sustituyendo en la ecuación 5.10 cada uno de los eigenvalores y resolviendo para   n ˆ . principales   del tensor de esLos vectores principales   n ˆ   se llaman también   ejes principales  fuerzo fue rzos. s. Como Como el tensor tensor de esf esfuer uerzos zos es simétr simétrico ico,, se puede puede diago diagonal naliza izarr con los valores alores en la diagonal principal dados por      que son llamados   esfuerzos principales. principales.   Entonces los componentes del esfuerzo referidos a los ejes principales del tensor de esfuerzos como ejes coordenados dan los esfuerzos principales. Los eigenvectores de un tensor simétrico constituyen otra base que siempre es ortogonal. Los planos formados por los ejes principales tomados de dos al mismo tiempo son llamados  planos principales . Tenemos los siguientes estados de esfuerzo: 1. Si dos de los tres esfuerzos esfuerzos principale principaless son iguales a cero, el estado estado de esfuerzos esfuerzos se dice que es de   tensión simple o tensión uniaxial. 2. Cuando Cuando sólo uno de los esfuerzos esfuerzos principale principaless es igual a cero, el estado estado de esfuerzos esfuerzos se dice que es de   esfuerzos planos o esfuerzos biaxiales. 3. Si ninguno de los esfue esfuerzos rzos principales principales es nulo, entonces entonces el estado estado de esfuerzos esfuerzos se dice que es  triaxial. 4. Si uno de los esfuerzos cortantes es diferente de cero mientras que todos los demás componentes son nulos, entonces el estado de esfuerzos se dice que es  cortante simple. Si se define el siguiente tensor formado por los componentes de los eigenvectores unitarios 

⎡ ⎤ n ˆ ⎢ ⎥ Q = ⎣ n ˆ ⎦ 1

 

2

(5.13)

n ˆ3

se obtiene un tensor ortogonal que tiene la propiedad Q · Q  =  1 

 

(5.14)

el cual representa una rotación de forma que  

Q·T·Q

⎤ ⎡ 1   0 0 ⎢⎣ 0   2   0 ⎥⎦ = T = 0

0   3



 

(5.15)

 

169 el cual es el tensor de esfuerzos diagonalizado. En este tensor diagonalizado, los nuevos ejes los constituyen los ejes principales. Si se calculan los eigenvalores de un tensor ortogonal, se obtienen valores de la siguiente forma ± 

n o

{1   cos  ±  ±    sin  sin }  = 1 

√ 



 

(5.16)

donde     = −1  En este caso,  donde  caso,     es el ángulo de rotación del tensor de esfuerzos alrededor del eje definido por el eigenvector asociado al eigenvalor unitario del tensor ortogonal.

5.5.. 5.5

Esf Esfuer uerzos zos cor corta tan nte tes s m máx áximo imos s

Dado un vector de esfuerzos t(n) relativo a un plano con normal n, se puede descomponer en sus componentes normal y tangencial a dicho plano, de forma que el componente normal es    = (n · T) · n ≡ t(n) · n   (5.17) y se tiene que el componente tangencial  tangencial     2 2     =  t(n) · t(n) −   

 

(5.18)

 

(5.19)

o de forma equivalente

°

   = (1 − n n) · t(n)

°

Considerando los valores principales del tensor de esfuerzos en un sistema ortogonal,  ortogonal,    , y ordenándolos de tal forma que   1    2    3  el vector de esfuerzos con respecto al tensor de esfuerzos diagonalizado queda como t(n)   =  1 (1)ˆ e1 +  +   2 (2)ˆ e2 +   +  3 (3)ˆ e3 

(1)

t(n) · t(n)   =  12

2

+ 22 (2)

2

 

+ 32 (3)

2



(5.20)  

(5.21)

³³ ´´ ³³ ´´ ³ ³ ´ ´

   =  t (n) · n  =  =    1 (1)

2

+ 2 (2)

2

(3)

+ 3

2

(5.22)

en donde el vector unitario  n  está expresado en términos de sus componentes físicos. Sustituyendo en la ecuación 5.18 se obtiene 2

   =   12

2

³ ´ 

(1)

+ 22

2

³ ´ (2)



+ 32

2

³ ´ µ ³ ´ ³ ´ − (3)

1

(1)



2

(2)

+ 2 

2

+ 3

2

³ ´¶ 

(3)

2

(5.23)

y como  n  es un vector unitario, se tiene que   (1) (1) + (2) (2) + (3) (3) = 1  de tal forma que (3)

2

³ ´

= 1 − (1)

2

(2)

2

³ ´ −³ ´

(5.24)

 

170 y entonces 2

   =   12

2

³ ´ 

(1)

³ ´ µ −³ ´ −³ ´ ¶ µ ³ ´ ³ ´ µ − ³ ´ − ³ ´ ¶¶ − 2

(2)

+ 22

+ 32

1 (1)

y reacomodando 2

   =

¡

12

−

32

2



+

2

+ 2 (2)

2

(2)

+ 3

22

(2)

32

(1

2

(1)

1

´ ³ ¢ − µ ³ ´ − −

¢³ ´ ¡ (1)

2

2

(1)

1

2

(2)

2

2

(5.25)

+ 32

(1)

3) 

2

³ ´ ¶

2

+ ( (2 − 3 ) 

2

(2)

+ 3

(5.26)

2   se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones generado a Los valores máximos de     2  con respecto a  partir de las derivadas de  de     a   (1) y   (2) igualadas a cero 2

  

 (1)   =

2 12 − 32   (1) − 4 (1 − 3 ) (1) ×

¡

³

¢

´

µ

2

³ ´

(1 − 3 ) 

(1)

³ ´ ¶

  (5.27)

³ ´ ¶¸

  (5.28)

2

+ ( (2 − 3) (2)

+ 3

2      = 2(1) (1 − 3 ) [ (1 +  +   3 ) (1) 

µ −

³ ´

µ −

³ ´

2 (1 − 3 ) (1)

2

2

+ ( (2 − 3 ) (2)

+ 3

entonces 2(1) (1

3)

3 ) [( [( 1

−

−

2 (1 − 3 ) (1)

2

³ ´ ¶¸

+ ( (2 − 3 ) (2)

2

 = 0   (5.29)

Para obtener las raíces de  de   (1) de la ecuación anterior se tiene que (1) = 0

 

(5.30)

y además que (1 − 3 )

µ −

2

³ ´ (1)

2 (1 − 3 ) 

³ ´¶

+ ( (2 − 3 ) (2)

2

 = 0

 

(5.31)

de la cual se obtiene (1) =  ±

s  − 1 2

− 3)) (2) 2 − (( 1 3

¡ ¢

2

 

(5.32)

 

171 Para  Para   (2) se tiene 2      = 2 22 − 32   (2) − 4 (2 − 3 ) (2) × (2) 

³

¡

´

¢

µ

(1

2

− 3)

(1)

³ ´

2

+ ( (2

− 3)

(2)

³ ´ ¶ + 3

  (5.33)

2      = 2 (2 − 3 )   (2) [( [( 2 +  +   3 ) (2) 

µ −

³ ´ (1)

2 (1 − 3 ) 

2 (2 − 3 )   (2) [( [( 2 − 3 )

µ −

2 (1 − 3 ) 

Para obtener las raíces

de   (1) de 

2

2

(1)

³ ´ ¶¸ 2

+ ( (2 − 3 ) (2)

+ ( (2 − 3 ) 

³ ´

de la ecuación anterior se tiene que (2) = 0

 

2

(2)

+ 3

¶¸

  (5.34)

 = 0   (5.35)

³ ´

(5.36)

y además que (2 − 3 )

µ −

2 (1

de donde se obtiene

¶ ³ ´ ³ ´ − − s  − ¡ ¢  − − 3 ) (1)

1 2

(2) =  ±

2

+ ( (2

(1 (2

3 ) (2)

2

 = 0

 

(5.37)

3 ) (1) 2   3 )

Para el caso en donde se calcula   (3) se llega a las siguientes ecuaciones (3) = 0 (3) =  ± (3) =  ±

 

s   − s  1 2

(5.38)

(1 − 2 ) (1) 2   (3 − 2 )

 

(5.39)

1 (2 − 1 ) (2) 2  −   2 (3 − 1 )

 

(5.40)

¡ ¢ ¡ ¢

Los vectores normales a los planos en donde se encuentran los valores del esfuerzo cortante máximo son los siguientes (1)



1

(2)

= 0



= ±

r 

2

1

(3)



=  ±

1

2   :      = 2  (  ( 2 − 3)

r 

¯

¯

(5.41)

 

172

(1) =  ± (1) =  ±

r 

1  2

(2) = 0

(3) =  ±

1

(2) =  ±

1



r 

(3) = 0 :      =



¯¯ ¯

1 1  ( 1 − 3)   :      =  ( 2 2

r  ¯ ¯

2

5.6.. 5.6

r 

2 1   m´  (  ( 1 − 3 )   m´ a ax x  = 2

¯¯

1

 (  ( 1

2

2)

−  

¯¯ ¯

(5.42) (5.43) (5.44)

Est Estad ados os de es esfue fuerzo rzos s esféric esféricos os y dev devia iator torios ios La media aritmética de los esfuerzos normales es  1  1    =  Tr T =  1 1 +    +   2 2 +   +    3 3 3 3

¡

¢

 

(5.45)

se llama  esfuerzo normal medio. El estado de esfuerzos que tiene todos los esfuerzos principales iguales (por la tanto, igual a    ) se llama   estado de esfuerzos esférico.  El tensor de esfuerzos esférico a menudo es denominado   tensor de esfuerzos hidrostático hidrostático, y el esfuerzo normal medio es denotado como     Todo estado de esfuerzos puede ser descompuesto en una parte esférica y en una parte  S  llamada  esfuerzo deviatórico  de la forma T =  S +   1 

 

(5.46)

Los invariantes del tensor deviatorio son      0      = Tr S  = Tr (T −   1 ) =      −          = 0  1 1 1 2 2        = −  Tr S2  = −                 =   − Tr S 2 2 2  1  1  1  3 3     Tr S3 + 3                      =         −        =  Tr S  = 3 3 3

£ ¡ ¢¤ £¡¢

La ecuación característica queda como

(5.47)

¡¢ ¤ ¡¢

 3 +            −        = 0

(5.48)  

 

(5.49)

(5.50)

Los invariantes en términos de los eigenvalores de  S  quedan de la siguiente forma     +     2 +  +     3  = 0      =   1  + 1      1 2 +   2 2 +   3 2  =    =   1  2 +    +   2  3 +    +   3  1     = − 2           =   1  2  3 

¡

¢

(5.51)  

(5.52) (5.53)

Los eigenvalores del tensor de esfuerzos  T  están determinados por la ecuación (T −  1) ·  ˆ n   =  0  

 

(5.54)

 

173 y sustituyendo  T  en términos del tensor deviatorio se obtiene que (  −  ) 1) ·  ˆ n   =  0 (S +   1 −  1) ·  ˆ n   = (S + (

 





(5.55)

de lo cual se puede apreciar que los eigenvectores de  T  también son eigenvectores de  S . En cuanto a los eigenvalores de   S, se tiene que    =  =     −  

 

(5.56)

Los esfuerzos cortantes máximos que se obtuvieron en términos de los esfuerzos principales también se pueden representar en términos de los eigenvalores del tensor deviatorio,  1  1    =  | | 2 − 3 |  =  |   |  2 −  3 |  2 2  1  1    =  | | 1 − 3 |  =  |   |  1 −  3 |  2 2  1  1    =  | | 1 2 |  =  |   |  1  2 | 

 

(5.57)

 

(5.58)

 

(5.59)

− − 2 2 El componente esférico del tensor de esfuerzos está relacionado con los cambios de volumen que puede sufrir un cuerpo por compresión o tensión aplicada de forma uniforme en todas direcciones, mientras que la parte deviatoria incluye los componentes cortantes del tensor. En el caso de los materiales sólidos, los cambios de volumen asociados al componente esférico del tensor de esfuerzos son despreciables, mientras que los componentes del esfuerzo cortante del tensor deviatorio son los relevantes, ya que la resistencia a la cedencia de un material sólido está relacionada con el esfuerzo cortante máximo que puede soportar. 5.7.. 5.7

Esf Esfuer uerzos zos cor cortan tante tes s oct octaé aédri dricos cos Si se considera el tensor de esfuerzos evaluado en un punto      representado con

e1  ˆ e2  ˆ e3 }, y se representa respecto a los ejes principales, tomándolos ahora como la base  { ˆ un plano que se encuentra posicionado de tal manera que tiene el mismo ángulo con respecto a cada uno de los ejes principales, de forma que su vector normal es n  =

 ˆ e1 + ˆ e2  + ˆ e3

√ 

3



 

(5.60)

El vector de esfuerzo o tracción superficial sobre ese plano expresándolo en términos de los ejes pricipales (es decir, utilizando el tensor de esfuerzos diagonalizado) es t(n )  =  n  · T   =

  1 ˆ e1 +   +  2 ˆ  +  3 ˆ e3 √ e2 +   3

 

(5.61)

El componente normal del esfuerzo es    =  t(n



)  ·

1  +   2 +   +     3 =   1  Tr T =   =     n =     +

3

3

 

(5.62)

 

174 y el cuadrado del esfuerzo cortante sobre ese plano se denomina  esfuerzo cortante octaédrico, el cual es 2   =  t (n



)  · t(n )

−  2   =   31

− 19 (  ( 1 +   +  2 +   +  3 )2

1 2 +   2 2 +   3 2

¢ ¡¡

¢

 1 1 = 1 2 +   2 2 +   3 2 − 1 2 +   2 2 +   3 2 + 2 21 2 + 2 2 2 3 + 2 2 3 1 3 9  2 = 1 2 +   2 2 +   3 2 − 1 2 − 2 3 − 3 1   (5.63) 9

¡ ¡

que se puede representar también como  1   = 3  1 = 3

¢

¢

q  q 

(1 − 2 )2 + ( (2 − 3 )2 + ( (3 − 1 )2

( 1 −  2 )2 + (  ( 2 −  3)2 + (  ( 3 −  1 )2

(5.64)

o en términos de los eigenvalores e invariantes del tensor deviatorio  =

 1 2 +   2 2 +      32 = 3

s 

r −

2     3

 

(5.65)

Esta representación de los esfuerzos es de utilidad para los criterios de cedencia de los materiales sólidos, pricipalmente materiales metálicos, ya que junto con los cirterios de cedencia ceden cia de Tresca o de von von Mises, se puede predecir predecir el inicio del comportamie comportamiento nto plástico, plástico, lo cual es útil en cuestiones de diseño o en procesos de manufactura. 5.7.1 5.7.1..

Ejem Ejempl plo. o.

El tensor de esfuerzos en la deformación generada en un medio continuo contenido entre dos placas circulares paralelas es T =  =   

Ω

e ˆ e  + ˆ e ˆ e )    (ˆ  

en donde  donde   ,   Ω   y       son  son constantes, dim[ constantes,  dim[ ] =   −1  −1 ,  dim[Ω] =    −1 y  dim[  dim[   ] =   , − 1 − 2 por lo que  dim[T] = dim[ dim[] dim dim [Ω]  dim[ dim[   ] =       que son unidades de fuerza sobre área. Calcula el torque requerido, los esfuerzos principales, las direcciones principales, los esfuerzos cortantes máximos, Para calcular el torque requerido, primero calculamos el vector de esfuerzos que se ejerce sobre el medio por la placa superior. En ese caso, el vector normal es   n  = −ˆ e , y entonces Ω t(n)  =  n · T  = −   ˆ e  

 

175 Ahora necesitamos calcular la integral sobre la superficie m =

µ Z  Z  − Z  Z  µ ¶ − p × t(n)   =  =

ˆ e  ×   ×  

 

=

Ω

 ˆ e    

 

 

 

  2

=0

=0

¶

3

e     =  = Ω    ˆ  

−  2Ω  4 ˆe

Esfuerzos principales. Expresando el tensor en términos de los componen componentes tes físicos, se tiene que 0 1 0 Ω T =  =    1 0 0   0 0 0 y 2 Ω 2 det(T −  1) = (− )  −   = 0  

⎡ ⎢⎣

⎤ ⎥⎦

à µ ¶!

por lo que los esfuerzos principales son 12  =  = ±  ±  Ω      y   3  = 0   El eigenvector asociado a  a   3  = 0  es igual a  ˆe   Para los otros dos vectores

⎡ ∓     ⎢ n  = ⎣ (T − 1 2 1) ·  ˆ  Ω







Ω

 

 



Ω

  ∓ Ω 

⎤ ⎥⎦ ·

" #   1 2

 = 0

en donde obtenemos un sistema de ecuaciones linealmente dependiente, por lo que resolvemos una de ellas 2  =  = ±  ± 1 con la restricción de que el vector es unitario, por lo que las direcciones principales quedan como  1  1 e  e  + √  ˆ n ˆ   = √  ˆ 2 2  1 1 e  e  + √  ˆ n ˆ   = − √  ˆ 2 2 e  n ˆ   =  ˆ 1

2

3

Los esfuerzos cortantes máximos y sus planos son

¯¯ ¯¯¯ ¯¯

¯¯ ¯¯¯ ¯¯

1   Ω  1  1  1    =  (  ( 2 − 3 ) =      n  = − ˆ e  + ˆ e e  + √  ˆ 2 2   2 2 2 1   Ω   1  1  1    =  (  ( 1 − 3 ) =      n  = ˆ e  + ˆ e e  + √  ˆ 2 2   2 2 2 1   Ω  e    = 2  (  ( 1 − 2 ) =        n  =  ˆ