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Maintenabilité. Maintenance par  Pierre CHAPOUILLE Ingénieur de l’Institut Électrotechnique de Grenoble  Ancien Chef de la Division Fiabilité et Qualification des Procédés de Bull SA Ancien Chargé d’Enseignement de la Fiabilité au Conservatoire National  des Arts et Métiers 

1. 1.1 1.1 1 .2 1.3 1.4 1.5 1.5 1 .6 1.7 1.7

Concepts d de e ba base ....................................... ........................................................... ........................................ .......................... ...... Noti Notion on de mai maint nten enabi abili lité té ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... Défin éfinition ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... .... Décomposit Décomposition ion des durées de maintenance maintenance active.. active.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. Différe Différence nce entre entre mainten maintenabi abilit litéé et mainte maintenan nance ce.. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... Noti Notion onss sur la la maint mainten enan ance ce... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... Fiabilité ......... .............. .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... .. Disp Dispon onib ibil ilit itéé ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ....

T 4 305 - 2 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 — 3 — 3

2. Él Élém éme ents nts théo théori riqu ques es ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... 2.1 Général Généralité itéss sur les les durées durées de de mainte maintenan nance ce.. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 2.2 Fréquen Fréquence ce des des actio actions ns de de mainte maintenan nance ce .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..

— — —

3 3 5

3. 3.1 3.1 3.2 3.2 3.3 3.3 3.4

Prév Prévisi ision onss de ma main inte tena nabi bili lité té ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... Solu Soluti tion on théo théori riqu que. e...... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ........ ... Méth Méthod odee de de sim simul ulat atio ion n ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... Cas Cas par parti ticu culi lier erss .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ........ ... Durée Durée totale totale d’immo d’immobil bilisa isatio tion n d’un systèm systèmee .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..

— — — — —

8 8 8 9 9

4. Véri Vérific ficat ation ion expé expéri rime ment ntal ale e ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... .... 4.1 4.1 Véri Vérific ficati ation on qual qualit itati ative ve .......... ............... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 4.2 4.2 Véri Vérific ficati ation on quant quantit itati ative ve.... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .....

— — —

10 10 10

5. 5.1 5.2 5.3

Tests ests de démon démonst stra rati tion on stat statis isti tiqu que e ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... Méthod Méthodee 1 de la la no norme rme MIL-ST MIL-STD D 471 471 ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. Méthod Méthodee 2 de la la no norme rme MIL-ST MIL-STD D 471 471 ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. Test non non paramét paramétriq rique ue de la norme norme MIL-ST MIL-STD D 473.. 473 .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..

— — — —

11 11 12 12

Références bibliographiques ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ....

—

13

et article est spécialement consacré à la maintenabilité et à la maintenance. Cependant, la maintenabilité est si intimement liée à la fiabilité et à la disponibilité que l’on devra parler sommairement de ces deux caractéristiques. En effet, si la maintenabilité permet de réduire la durée des pannes et leur  coût, la fiabilité permet per met de réduire la fréquence de ces pannes. pannes . Toutes Toutes deux, grâce  au choix d’une politique de maintenance appropriée, ont pour but d’augmenter  la disponibilité des systèmes ou des équipements et de diminuer les coûts  d’entretien et les stocks de pièces de rechange.

C 

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MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE

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1. Concepts de base

1.4 Différence entre maintenabilité et maintenance

1.1 Notion de maintenabilité La maintenabilité est une caractéristique précisant la facilité et la rapidité avec lesquelles un système peut être remis en un état de fonctionnement total avec une fiabilité correspondant à son âge. La rapidité de remise en état d’un système peut être mesurée par la durée active du dépannage. Par active, on entend qu’on ne comptera pas les temps morts non imputables à la conception du système, tels que les délais de réponse des dépanneurs, les durées d’attente des pièces de rechange ou les temps passés à la rédaction des pièces administratives, car ces temps dépendent de l’organisation et de l’efficacité du service de maintenance et non de la conception du système. Pour rendre le dépannage plus facile et plus rapide, on devra prévoir, dès la conception, les moyens pour faciliter : — le diagnostic des pannes existantes et de celles risquant de survenir rapidement (défaillances par dégradation) ; — l’accès aux pièces à remplacer, leur démontage et leur remplacement ; — le contrôle de la validité de l’action de maintenance.

La maintenabilité est une caractéristique du système et est définie en terme de probabilité. En revanche, la maintenance est une action réalisée par les techniciens de maintenance sur le système pour le remettre en état.

1.5 Notions sur la maintenance 1.5.1 Types d’actions de maintenance On distingue généralement trois types d’actions : — l’entretien de routine, tel que le graissage ou les réglages simples souvent confiés à l’utilisateur ; — la maintenance corrective ou non programmée, qui a pour but de réparer une panne déclarée ; — la maintenance préventive ou programmée, qui a pour but de prévenir des pannes prévisibles par des remplacements de pièces non encore défaillantes ou des révisions périodiques.

1.5.2 Politiques de maintenance préventive

1.2 Définition La durée de maintenance active , qui concerne la maintenabilité comme la durée de maintenance totale incluant les temps morts, est très variable en fonction de la panne, de l’aptitude du dépanneur et des moyens d’aide dont il dispose. Ce sont des variables a léatoires caractérisées par une densité de probabilité et une fonction de répartition appelée fonction maintenabilité. Il en résulte que la maintenabilité peut être mesurée par une probabilité, d’où une définition possible : « La maintenabilité est une carac téristique d’un système mesurée par la probabilité d’être remis, par une action de maintenance, dans des conditions opérationnelles définies, dans une durée fixée, les ressources et les conditions d’environnement étant préalablement spécifiées ». Les conditions opérationnelles comprennent l’aptitude à remplir les fonctions spécifiées avec un niveau de fiabilité et de sécurité conforme au cahier des charges. Les ressources et les conditions d’environnement doivent être conformes au plan de maintenance du système.

1.3 Décomposition des durées de maintenance active Une action de maintenance comporte plusieurs tâches successives. On peut considérer les tâches suivantes comme typiques : — vérifier la réalité de la panne ; — identifier la pièce défaillante ; — démonter le système pour accéder à la pièce ; — retirer la pièce ; — la remplacer par une pièce en bon état ; — remonter le système ; — contrôler le bon résultat de la réparation.

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La maintenance préventive permet de remplacer des pièces qui se dégradent par suite d’usure, de fatigue, etc., avant qu’elles ne provoquent une défaillance. Ces pièces présentent un taux de défaillance croissant avec l’âge. La détermination de la durée entre remplacements nécessite la connaissance de la distribution des durées de vie. Elle fait appel à la théorie du renouvellement. On a le choix entre plusieurs politiques de maintenance préventive. Les plus fréquentes sont les suivantes. Dans la maintenance préventive systématique , on fixe les règles strictes pour déterminer les dates de maintenance. Suivant l’importance d’un équipement dans un système, celle-ci peut s’effectuer : — pour un âge fixé de l’équipement ; il faut alors disposer d’un moyen pour connaître l’âge de l’équipement durant la vie du système ; — pour un âge fixé du système ; c’est le cas des révisions des automobiles préconisées par les constructeurs ; — à des dates fixes. Les deux premières sont plus efficaces, mais difficiles à gérer. La troisième se gère bien, mais elle est plus coûteuse en temps et en pièces de rechange. 

La maintenance préventive conditionnelle  consiste à vérifier périodiquement l’état des pièces qui se dégradent et à n’intervenir que si l’état de dégradation est suffisamment avancé pour compromettre la fiabilité du système. Elle nécessite des moyens de mesure ou de test permettant d’apprécier l’état de dégradation. L’évolution des capteurs de mesure (par exemple, les capteurs de vibrations) et des dispositifs d’analyse automatique (par exemple, l’analyse des huiles de graissage) associés aux télémesures et aux ordinateurs rendent cette politique plus accessible. Elle est très efficace, mais la gestion des ressources de maintenance est plus difficile et nécessite souvent le recours à l’ordinateur. Dans la pratique, on est amené, pour réduire les coûts de maintenance et assurer la disponibilité des systèmes, à combiner ces différentes politiques dans le plan de maintenance, par exemple à prévoir une partie des actions de maintenance à dates fixes et à en profiter pour effectuer les vérifications sur les pièces soumises à la maintenance conditionnelle. 

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1.5.3 Échelons de maintenance Lorsque la maintenance s’applique à un parc important de systèmes complexes ou techniquement difficiles à réparer sur place, on prévoit des échelons de maintenance. En général, trois échelons sont prévus : — le premier correspond à des opérations simples, ne nécessitant pas d’outillage spécial ni de compétences étendues, et habituellement effectuées par l’utilisateur ; — le deuxième concerne des opérations effectuées sur le site par des techniciens spécialisés, disposant de moyens de test mobiles et d’un outillage adéquat, mais relativement réduit ; — le troisième est réservé aux réparations difficiles, aux révisions générales ou aux reconstructions ; elles s’effectuent soit en usine, soit dans des centres de maintenance très équipés. La définition des opérations à effectuer aux différents échelons est liée aux choix réalisés concernant les niveaux d’échange des éléments réparables (composant, sous-ensemble, équipement).

1.5.4 Problème des rebuts Lors de l’étude de la maintenabilité et de l’établissement du plan de maintenance, on doit faire le choix entre réparer ou rebuter un élément défaillant. Si la maintenance se fait au niveau du composant, le choix du rebut est fréquent. En revanche, si la maintenance se fait à un degré d’intégration plus élevé, le choix doit être dicté par des considérations économiques, en fonction des coûts de réparation, du prix de revient de l’élément neuf, des stocks de maintenance, des délais et de la disponibilité à assurer au système.

A = θ / (θ + τ)

Pour augmenter la disponibilité, il faut donc augmenter la durée de bon fonctionnement et réduire la durée de maintenance.

2. Éléments théoriques Ces éléments ne comprendront pas les éléments de probabilité et de distribution statistiques communes à la fiabilité et à la maintenabilité qu’on trouvera dans l’article spécialisé du présent traité, mais un exposé général sur les durées de réparation (§ 2.1) et sur la fréquence des actions de maintenance et la théorie du renouvellement (§ 2.2).

2.1 Généralités sur les durées de maintenance On utilise souvent le terme de temps de réparation, alors qu’en réalité, on s’intéresse à un intervalle de temps, donc à une durée. De même, le terme de réparation ne concerne que la maintenance corrective, alors qu’il faut également considérer la maintenance préventive dans les études de maintenabilité. Enfin, rappelons qu’ on ne s’intéresse qu’à la durée de la maintenance active (§ 1.1).

2.1.1 Caractéristiques statistiques

1.6 Fiabilité La fiabilité est une caractéristique d’un système mesurée par la probabilité qu’il accomplisse les fonctions requises dans des conditions données pendant une durée spécifiée. Elle est donc concernée par un fonctionnement sans défaillance du système pendant une durée donnée et est caractérisée par la fonction de répartition R  (t ) des durées jusqu’à défaillance (fonction fiabilité). La durée moyenne jusqu’à défaillance θ (moyenne des temps de bon fonctionnement : MTBF) est une caractéristique fondamentale :

θ

=



∞

0

R ( t ) d t 

Le taux instantané de défaillance z  (t ) caractérisant la probabilité de défaillance à l’âge t   est donné par : z ( t )

=

–

La durée de maintenance est une variable aléatoire constituée par la somme des durées des opérations élémentaires décrites au paragraphe 1.3. Elle est caractérisée par une distribution de probabilité g  (t ) dont la fonction de répartition : M ( t )

θ = 1/ λ  R  (t ) = exp (– λ t )

1.7 Disponibilité La disponibilité A est une mesure de la fraction du temps pendant laquelle un système est disponible, c’est-à-dire en fonction ou apte à fonctionner. C’est une probabilité fonction du temps.

=



t 

0

g ( u ) d u 

est la fonction maintenabilité. Cette fonction représente la probabilité de terminer la maintenance dans une durée au plus égale à t . À partir de cette fonction maintenabilité, on peut calculer des durées caractéristiques de la maintenance. 2.1.1.1 Durée moyenne de maintenance C’est l’espérance mathématique de la durée :

d R ( t ) 1 -------------- ⋅ -----------------R ( t ) d t 

Dans de nombreux cas, le taux de défaillance est constant avec l’âge. On le représente par λ . Dans ce cas, la MTBF est : et la fiabilité :

Dans le cas le plus simple du régime permanent, en désignant par τ la moyenne des durées de maintenance et par θ la MTBF, on a :

τ aussi égale à :

τ

=



=

∞

0



t ⋅ g ( t ) d t 

∞

0

[ 1 – M ( t ) ] d t 

Elle est représentée par le sigle MTTR (en anglais : Mean Time To  Repair , en français : moyenne des temps techniques de réparation). 2.1.1.2 Durée maximale de réparation Elle est généralement définie comme une durée telle que 95 % des durées de maintenance lui seront inférieures ou égales. À noter que, quelquefois, cette limite est ramenée à 90 %. Cette valeur T max  est donnée par M  (T max ) = 0,95 (ou 0,90).

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MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE

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2.1.1.3 Taux de maintenance Cette notion est semblable à la notion de taux de défaillance en fiabilité. Le taux de maintenance est donné par :

µ ( t )

=

g ( t ) 1 M ( t )

Fonction maintenabilité :

M  (t ) = Φ (u )

fonction de répartition de la loi normale. Durée moyenne de maintenance :

------------------------–

C’est généralement une fonction croissante du temps, ce qui signifie que plus une action de maintenance progresse dans le temps, plus il est probable qu’elle se termine rapidement. Cependant, on suppose souvent le taux constant pour faciliter les calculs.

τ = µ Estimation de la durée moyenne : ^

µ

n 

m  = --1--- ∑ t i  n 

=

i  = 1

Estimation de l’écart-type :

2.1.2 Distribution des durées de maintenance Dans de nombreux cas, il est difficile de choisir sans ambiguïté la distribution représentant le mieux les données expérimentales. Une analyse du processus et des causes de génération des événements permet de mieux guider le choix de la distribution la plus appropriée. Si cette analyse ne peut être faite, et en l’absence de très nombreuses données expérimentales, on choisit souvent une distribution qui facilite la résolution mathématique des problèmes. 2.1.2.1 Distribution exponentielle C’est la plus facile à utiliser. Le taux de maintenance est constant, généralement représenté par la lettre µ. Distribution de probabilité : g  (t ) = µ exp (– µt )

Fonction maintenabilité : M  (t ) = 1 – exp (– µt )

Durée moyenne de maintenance :

τ = 1/ µ Durée maximale de réparation pour une probabilité α : T max  = – τ ln (1 – α)

soit, pour α = 0,95 :

T max  = 3 τ

et, pour α = 0,90 :

T max  = 2,3 τ

Estimation de τ à partir de n   durées mesurées t i  : ^

τ

n 

=

∑ t i  / n 

^

σ

=

1 n  1

s  ≈

-------------–

∑ ( t i 

–

m ) 2

Remarque

En posant ϕ ( u ) = ( 1/ 2 π ) exp ( – u 2 /2 ) et x  = 1/ ( 1 + pu ) on a approximativement (d’après [7]) :

Φ (u ) = 1 – [ ϕ (u ) · (a 1 x  + a 2 x 2 + a 3 x 3 )] avec p  = 0,332 67 , a 1 = 0,436 183 6 , a 2 = – 0,120 167 6 , a 3 = 0,937 298 0. De même, la fonction inverse donnant u  en fonction de Φ est approximativement (d’après [7]) : a0 + a 1 x  u = x – ------------------------------------------2 1 + b 1 x + b 2 x 



avec x  p  a0 a1 b 1 b 2



= 2 ln p  , = (1 – Φ) < 0,5 , = 2,307 53 , = 0,270 61 , = 0,992 29 , = 0,044 81.

Durée maximale de maintenance : — pour une maintenabilité de 0,95 : T max  = µ + 1,65 σ

— et pour une valeur de 0,90 :

i  = 1

T max  = µ + 1,28 σ

2.1.2.2 Distribution normale Si les durées de maintenance sont concentrées symétriquement autour d’une valeur centrale, on peut utiliser la loi normale, dans la mesure où le coefficient de variation σ / µ est plus petit que 1/3. Le taux de maintenance est toujours croissant. Distribution de probabilité :

2.1.2.3 Distribution log-normale La distribution log-normale représente assez bien les durées de maintenance, avec un taux de maintenance croissant au départ, puis passant par un maximum. Elle est caractérisée par le fait que le logarithme des durées suit une loi normale. Malgré ses avantages de représentativité, elle est d’une utilisation difficile, en particulier pour les systèmes redondants. Si l’on désigne par ϕ (u ) la distribution normale réduite et par Φ (u ) la fonction de répartition correspondante, et que l’on fait la transformation u  = (ln t  – m )/ s , où m  et s   sont les deux paramètres de la loi log-normale, on a : Distribution des durées de maintenance :

g ( t )

=

 

t – µ 1 exp ------------σ σ 2π

-----------------

avec σ écart-type. En posant u  = (t  – µ)/ σ  on obtient la variable réduite de distribution : u 2 ϕ ( u ) = ------1------- exp – -------- = σ g ( t ) 2 2π

 

qui est tabulée (article Statistiques   [A 166] dans le traité Sciences fondamentales).

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g  (t ) = ϕ (u )/ ts 

Fonction maintenabilité :

M  (t ) = Φ (u )

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Taux de maintenance :

µ ( t )

=

ϕ ( u ) ts [ 1 Φ ( u ) ]

------------------------------------–

z ( u ) ts 

=

   en fonction de k  Le tableau ci-après donne les valeurs de λ Tmax  pour des maintenabilités de 90 % et 95 %. (0)

--------------

Valeurs de  T max 

avec z  (u ) taux de maintenance de la loi normale réduite. Durée moyenne de maintenance :

τ



2 exp m + --s  -----2

=



Durée maximale de maintenance : T max  = exp ( m  + 1,65s ) pour 95 % T max  = exp ( m  + 1,28s ) pour 90 %

n 

^

90 %

95 %

2 3 4 5 6

3,89 5,32 6,68 7,99 9,27

4,74 6,30 7,75 9,15 10,51

Pour des valeurs de k  > 6 on a approximativement : — pour 90 % : T max  = k  + (1,28 / k ) à mieux de 2 % ; — pour 95 % : T max  = k  + (1,65 / k ) à mieux de 5 %.

Estimation de m  : m  =

Maintenabilité k 

∑ ln t i  / n 

Remarque : la distribution d’Erlang est duale de la loi de

i  = 1

Poisson.

Estimation de s  : ^

s  ≈

n 

∑

i  = 1

( ln t i – m ) 2 n  1

M  (t ) est donné par la probabilité cumulée de la loi de Poisson de paramètre m  = λ t  pour c  = k  – 1 événements.

------------------------------–

Dans le cas de la loi log-normale, on utilise fréquemment la durée médiane de maintenance T med  = exp ( m ) correspondant à une probabilité (maintenabilité) de 0,5. Les spécifications sont souvent exprimées par une durée médiane et une durée maximale à ne pas dépasser. On doit alors avoir : m  < ln T med 

et si la durée maximale est donnée : ln ( T max  / T med )  pour une maintenabilité de 0,95 1,65

s  =

--------------------------------------------

s  =

--------------------------------------------

ln ( T max  / T med )  pour une maintenabilité de 0,90 1,28

2.1.2.4 Distribution Gamma entière ou d’Erlang Lorsque la durée de maintenance peut être considérée comme la somme de k   durées élémentaires distribuées exponentiellement avec une même moyenne 1/ λ , elle peut être représentée par une distribution Gamma entière d’ordre k . Distribution des durées de maintenance : g ( t )

=

λ  ( λ t ) k  ( k  1 ) !

–

--------------------–

1 exp ( –λ t )

Fonction maintenabilité : M ( t )

( λ t  ) i  0 i !

2.2 Fréquence des actions de maintenance 2.2.1 Notion de taux de renouvellement Si un composant est remplacé lors d’une défaillance, on peut déterminer le nombre moyen de pièces remplacées pendant une durée t . Soit H  ( t ) ce nombre moyen de remplacement, le taux de renouvellement est alors : h (t ) = dH  (t )/ dt   et peut être calculé par l’équation du renouvellement (§ 2.2.3). Il ne faut pas confondre le taux de renouvellement avec le taux de défaillance. Ce n’est que dans le cas où le taux de défaillance est constant, et qu’alors une maintenance préventive est inutile, que les deux sont égaux à λ  = 1/ θ, θ étant la MTBF. Le taux de renouvellement est donc en général une fonction du temps. Cependant, dans le cas d’une maintenance uniquement corrective, il tend vers une valeur limite λ c  = lim h (t ) = 1/ θ.

2.2.2 Renouvellement préventif à âge fixé Si un composant a un taux de défaillance croissant, il peut être remplacé préventivement lorsque son âge atteint une valeur T . La moyenne des temps entre défaillances observées  devient :

k – 1

=

1 – exp ( – λ t ) ∑ i  =

----------------

Taux de maintenance :

( λ t ) k 

–

µ ( t )

=

1

-------------------------------------------------

( k – 1 ) !

k – 1

∑ i  0 =

( λ t ) i  i !

---------------

Durée moyenne de maintenance :

τ = k  / λ  Durée maximale de maintenance : T max .



T 

θ0

=

0

R ( t ) d t  / [ 1 – R ( T ) ]

plus élevée que la MTBF du composant. Le taux de renouvellement correctif limite est : λ c  = 1/ θ0 et il apparaît un taux de renouvellement préventif limite :

λ p  =

R ( T )



--------------------------------

T 

0

R ( T ) d t 

=

R ( T ) ⋅ λ  1 R ( T ) c 

------------------------–

Un exemple est donné figure 1.

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MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE

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La moyenne du nombre de renouvellements au cours d’une période t  est solution de : H ( t )

=

[ 1 – R ( t ) ] +



t 

0

H ( t – x ) ⋅ f ( x ) d x 

ou de la forme équivalente : H ( t )

=



t 

0

[ 1 + H ( t – x ) ] ⋅ f ( x ) d x 

2.2.3.2 Renouvellement préventif à période fixe Si un renouvellement préventif a lieu avec une période fixe T , sans tenir compte des défaillances qui se sont produites pendant cette période, la moyenne des temps entre maintenance (préventive et corrective) est :



T 

m ( T )

=

0



T 

[ 1 – H ( t ) ] d t

=

T –

0

H ( t ) d t 

correspondant à un taux limite de renouvellement :

λ G  = 1/ m (T ) le taux moyen de renouvellement préventif étant évidemment :

λ p  = 1/ T  et le taux moyen de renouvellement correctif valant :

λ c  = λ G  – λ p  = 1/ m (T ) – (1/ T ) correspondant à une durée moyenne entre défaillances observées :

θ0 = 1/ λ c  2.2.3.3 Cas de la distribution exponentielle Le processus de renouvellement est un processus de Poisson, d’où : h (t ) = λ  H (t ) = λ t 

et Figure 1 – Renouvellement à âge fixé. Cas d’une distribution de Weibull

2.2.3 Éléments de la théorie du renouvellement 2.2.3.1 Processus de renouvellement simple Dans ce processus, on suppose qu’un composant défaillant est immédiatement remplacé par un neuf. On ignore les durées de maintenance, en ne tenant compte que des durées de fonctionnement et du nombre de défaillances. Dans ce cas, si f (t ) est la densité de probabilité des temps jusqu’à défaillance, le taux de renouvellement est donné par : h ( t )

=

f ( t ) +



2.2.3.4 Cas de la loi normale Si ϕ (u ) est la fonction de distribution de la loi normale réduite t – i µ et Φ (u ) sa fonction de répartition, on a, en posant u i  = ---------------- : σ i  h ( t )

∞

=

∑1 ϕ ( u i ) / ( σ /  i )

tendant vers 1/ µ (figure 2) ; et

H ( t )

∞

=

∑1 Φ ( u i )

t 

0

h ( t – x ) ⋅ f ( x ) d x 

(intégrale de convolution).

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Figure 2 – Renouvellement gaussien (   = 10 h)

2.2.3.5 Loi de Weibull h ( t )

∞

β

=

 η  i ∑1 ( 1 ) i  1 ⋅ ik i  ηt   -----

+

–

i β – 1

-----

=

qui tend vers Γ  [1 + (1/ β)]/ η. H ( t )

∞

=

∑(

i  = 1

avec A n  = C n –

–

1 ) i 

+

1⋅

k i 

 ηt  

i β

-----

n – 1

∑ C i  An

i  = 1

–

i 

C i  = Γ  (1 + i β)/ i ! k i  = Ai  /[ Γ  (1 + i β)]

Cette série converge assez rapidement pour t  / η < 1. La figure 3 donne les valeurs de k i  pour quelques valeurs de β (d’après [8]).

Figure 3 – Loi de Weibull. Coefficient de développement de

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H  (t )

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MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE

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3. Prévisions de maintenabilité

Cette résolution se fait assez facilement sur un ordinateur de bureau.

Les prévisions de maintenabilité doivent être entreprises au cours de l’étude du produit, dès que les informations sur les moyennes des durées entre maintenances correctives et préventives des composants, issues des études de fiabilité, deviennent disponibles, et que des estimations vraisemblables des durées de maintenance et de leurs distributions statistiques pour les différents types ou modes de défaillances des composants sont faites. C’est à ce moment du développement du projet que les prévisions seront les plus utiles, puisqu’il sera alors possible de révéler les insuffisances éventuelles et de modifier le projet avant la construction des prototypes. Dans ce qui suit, on supposera que la maintenance du système est en régime stabilisé   et que les taux de renouvellement correctifs λ c  et préventifs λ p  peuvent être supposés constants. Les systèmes  seront supposés sans redondance.

3.1 Solution théorique 3.1.1 Distribution des durées de maintenance d’un système La distribution des durées de maintenance est une distribution mélangée. Dans le cas de la maintenance corrective, en désignant par λ ci  le taux de renouvellement correctif du composant i , par λ c  n 



le taux de renouvellement correctif du système λ c  =

∑ λ ci 

i  = 1

=



1/ θ 0 ,

par g i  (t ) la distribution des durées de maintenance du composant i , par M i  (t ) sa fonction maintenabilité, et en posant p i  = λ ci  / λ c , la distribution des durées de maintenance du système sera : n 

g ( t )

=

∑ p i ⋅ g i ( t ) i  1

et sa fonction maintenabilité : n 

=

∑ p i  ⋅ M i ( t )

=

n 

1–

i  = 1

3.2 Méthode de simulation La méthode de simulation permet également de déterminer la fonction maintenabilité d’un système, particulièrement dans le cas où l’on ne connaît pas les distributions théoriques des durées de maintenance des composants, mais où l’on dispose de résultats expérimentaux sur ces durées, bien qu’en nombre insuffisant pour ajuster une distribution théorique avec suffisamment de certitude. Les progrès des ordinateurs de bureau per mettent d’appliquer cette méthode pour des systèmes relativement complexes, sans avoir recours à des systèmes informatiques de grandes dimensions.

3.2.1 Principe On effectuera un nombre N   de simulations fonction de la précision e   demandée pour M  (t ) et de la probabilité p   de ne pas dépasser cette erreur. Le nombre N   sera donné par N  = ( k  / e )2, k  étant fonction de p  et des hypothèses faites sur la distribution de M  (t ). Dans le cas où aucune connaissance n’est possible sur M  (t ), la valeur la plus pessimiste de k   est donnée par le tableau ci-après : (0) p  k 

=

M ( t )

Exemple : soit un système ayant deux composants de taux de défaillance λ 1 = λ 2 dont les durées de réparation suivent une distribution exponentielle de moyennes τ 1   = 1 h et τ 2   = 2 h. On a p 1 = p 2  = 0,5. La durée moyenne de réparation du système sera τ  = 1,5 h et les durées maximales calculées par ordinateur de T max  = 3,54 h pour 90 % et de T max  = 4,78 h pour 95 %. La figure 4 donne la fonction maintenabilité M  (t ) et le taux de maintenance µ (t ) du système. On remarquera que le taux de maintenance du système n’est pas constant et que, donc, la maintenabilité du système ne suit pas une distribution exponentielle.

∑ p i [ 1

i  = 1

–

M i ( t ) ]

0,90 1,22

0,95 1,36

Exemple : pour déterminer M  (t ) avec une probabilité de 90 % de ne pas dépasser une erreur de 1 %, il faudra faire : N  = (1,22/0,01)2

3.1.2 Durée moyenne

0,99 1,63

≈ 15 000 simulations

Quelles que soient les distributions g i  (t ), on a :

τ

=



∞

0

n 

∑

t ⋅ g ( t ) d t  =

i  = 1

p i 



∞

0

n 

t ⋅ g i ( t ) d t  =

∑ p i τi 

i  = 1

3.1.3 Durée maximale Si la probabilité fixée est 1 – α, il faut résoudre : n 

∑ p i ⋅ M i ( t ) > 1 i  1 =

n 

–

α ou

∑ p i [ 1 i  1

–

M i ( t ) ] < α

=

Figure 4 – Maintenabilité

T 4 305 − 8

M  (t )

et taux de maintenance  ( t )

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________________________________________________________________________________________________________ MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE

On calculera ensuite pour chaque composant la proportion p i  = λ ci  / λ c  et les proportions cumulées :  j 

P  j  =

∑ p i  i  1

( P 1 = p 1 , P 2 = p 1 + p 2 ,... )

=

avec P 0 = 0 et P n  = 1. On effectuera ensuite N   fois les opérations suivantes : — tirer un nombre aléatoire x   (nombre ayant une distribution uniforme entre 0 et 1). Si P k  1 < x  P k  , choisir la distribution des durées de maintenance du composant k  ; — tirer un autre nombre aléatoire x ′ ; calculer la durée simulée 1 1 de maintenance t i  = M k  ( x ′ ) (M k  représentant la fonction inverse de la fonction maintenabilité M k  (t ) du composant k ). Après les N   simulations, on classera les durées simulées de maintenance t i  en ordre croissant. Cette suite t  j  ( t 1  t 2  ...  t N ) donnera la fonction maintenabilité M  (t  j ) du système par :

3.3 Cas particuliers Si les durées de maintenance des composants suivent toutes des distributions exponentielles et que les durées moyennes τ i  ne sont pas trop différentes (par exemple si les valeurs extrêmes ne diffèrent pas de plus de 20 % de la moyenne des valeurs), on peut admettre que la fonction maintenabilité du système suit approximativement une distribution exponentielle de durée moyenne τ = p i τ i . Les durées maximales de maintenance étant alors d’environ :

–

–

–

T max  = 2,3 τ pour 90 % T max  = 3 τ pour 95 %

et

3.4 Durée totale d’immobilisation d’un système

M  (t  j ) = j  / N  Exemple : une simulation portant sur l’exemple du paragraphe 3.1.2

avec N   = 50 valeurs simulées a donné une durée moyenne τ = 1,93 h et des durées maximales de 3,99 h pour 90 % et de 5,75 h pour 95 % (figure 5). Elle a été effectuée en 12 s sur APPLE IIe.

3.2.2 Durées de maintenance mesurées Si la distribution des durées de maintenance d’un composant est définie par une série de N   mesures que l’on a ordonnées en ordre croissant t i  1  t i   t i  1 , on peut procéder de deux façons différentes : — sans interpolation : soit toujours x ′ la variable aléatoire tirée, si i – 1 < Nx ′  i , prendre t i  comme valeur simulée ; — avec interpolation : on fera, par exemple, une interpolation linéaire entre deux valeurs successives des durées mesurées ; si i – 1 < Nx  ′  i , on calculera comme valeur simulée : –

La durée totale d’immobilisation d’un système se compose de la durée de maintenance corrective et de la durée de maintenance préventive. Si λ ci  est le taux de renouvellement correctif moyen d’un composant et λ pi  son taux de renouvellement préventif moyen, et si la durée de maintenance corrective du composant suit une distribution g i  (t ) de moyenne τ i , tandis que la durée de maintenance préventive suit une distribution f i  (t ) de moyenne δi , la distribution de la durée totale d’immobilisation du système sera : g ( t )

n 

=

+

q i ⋅ f i ( t )

en posant : n 

 ∑ ( λ 

p i  = λ ci 

i  = 1

ci  + λ pi )

n 

 ∑ (λ ci 

q i  = λ pi 

t  = t i  – 1 + (t i  – t i  – 1) (Nx ′ – i  + 1)

en posant t 0 = 0. Ces procédures conduisent à des simulations un peu plus longues, mais permettent d’utiliser des données d’expérience. Il faut remarquer que, dans un même programme de simulation, on peut sans inconvénient utiliser les distributions de maintenabilité pour certains composants et des durées mesurées pour d’autres.

∑ p i ⋅ g i ( t )

i  = 1

+

+

i  = 1

λ pi )

La durée moyenne d’immobilisation est alors :

τ

n 

=

∑ p i ⋅ τi 

i  = 1

+

q i  ⋅ δ i 

Si M i  (t ) est la fonction de répartition des durées de maintenance



corrective M i ( t ) =



t 

0



g i ( u ) ⋅ d u  et F i  (t ) la fonction de répartition



des durées de maintenance préventives F i ( t ) =



t 



f  ( u ) ⋅ d u  0 i 

du

composant i , la fonction de répartition de la durée totale d’immobilisation, c’est-à-dire la fonction maintenabilité du système en tenant compte des deux types de maintenance, sera : M ( t )

n 

=

∑ p i ( t ) ⋅ M i ( t ) i  1

+

q i ( t ) ⋅ F i ( t )

=

permettant de calculer les durées maximales d’immobilisation pour une probabilité fixée. Figure 5 – Méthode de simulation (résultats pour 50 simulations)

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T 4 305 − 9

MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE

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4. Vérification expérimentale Dès qu’un système est disponible au stade prototype, il est nécessaire de procéder à des vérifications expérimentales pour s’assurer que les prévisions de maintenabilité faites au cours du développement sont correctes et que le cahier des charges a toutes chances d’être satisfait. Ces vérifications sont qualitatives ou quantitatives, ces dernières portant à la fois sur les durées de maintenance corrective et les durées de maintenance préventive. Ces vérifications doivent être faites avant de pouvoir procéder à des tests de démonstration statistiques, s’ils sont prévus dans le contrat.

4.1 Vérification qualitative Elle constitue une revue du projet, et se fera par des examens critiques portant sur des points importants pour la maintenabilité tels que : — vérification de la clarté et des informations des plans et des notices destinées aux agents de maintenance et éventuellement aux utilisateurs, si ceux-ci doivent effectuer des opérations de maintenance préventive simples (graissages, nettoyages, etc.) ou corrective (changement de fusibles, changement de roues sur une voiture, etc.) ; — vérification de l’existence et de la visibilité de moyens de repérage cohérents avec les plans et les notices ; — vérification du découpage fonctionnel du système pour permettre des contrôles indépendants des sous-ensembles ; — vérification de l’existence et de la fiabilité de dispositifs de contrôle automatique, de contrôle d’usure, de systèmes d’autodétection des défaillances ; — contrôle des possibilités d’accès rapide aux composants à remplacer ; — vérification de l’existence et de la clarté du plan de maintenance et de la définition des niveaux d’échanges ; — vérification de l’existence, si nécessaire, d’outillages spéciaux et d’équipements de maintenance adaptés. Cette liste n’est pas limitative et devra être adaptée à chaque cas particulier de système.

4.2 Vérification quantitative

budgets disponibles, généralement compris entre 20 et 50). On affectera le composant i  du poids  λ pi  / λ p  et le nombre de remplacements de ce composant sera : n pi  = N  (λ pi  / λ p ). Pour garantir que le composant remplacé le moins fréquemment le sera au moins une fois, en désignant par λ p min   son taux de remplacement, on devra avoir : N  > λ p  / λ p min  L’ordre dans lequel les essais de remplacement seront effectués est obtenu en affectant un numéro d’ordre à chaque essai et en tirant une permutation au hasard de ces nombres qui donnera l’ordre des essais. Exemple : soit un système dont trois composants doivent être remplacés préventivement. Les taux de remplacement sont de 4 par an pour le premier, de 2 pour le second et de 1 pour le troisième (λ p 1 = 4, λ p 2 = 2, λ p 3 = 1, λ p  = 7). Prenons N   = 7, le tableau suivant donne les numéros d’ordre initiaux : Composant C1 C1 C1 C1 C2 C2 C3 Numéro 1 2 3 4 5 6 7 Tirons une permutation des sept premiers nombres, soit : 5, 1, 3, 6, 7, 4, 2, l’ordre des essais sera : Essai 1 2 3 4 5 6 7 Composant C2 C1 C1 C2 C3 C1 C1

Cette méthode peut être simplifiée si le nombre d’essais est supérieur à 20. Désignons par U  un nombre au hasard réparti uniformément sur l’intervalle [0, 1[ tel que ceux donnés dans des tables ou générés par ordinateur et par E  (x ) la partie entière d’un nombre. Le numéro d’ordre de l’essai sera donné par E  (1 + NU ). Si un numéro est déjà sorti, il suffit d’en tirer un autre. Il est également nécessaire, pour obtenir une bonne estimation des durées, de faire effectuer les remplacements par différents agents, qui seront également affectés au hasard à chaque essai.

4.2.2 Durées de maintenance corrective On procèdera d’une manière similaire pour la maintenance corrective, mais le nombre de types de défaillances possibles étant forcément très grand, il faudra effectuer une sélection parmi elles afin de ne pas devoir faire un nombre trop important d’essais. Si des prévisions de fiabilité et de maintenabilité ont été faites, cette sélection peut se faire en affectant chaque type de composant inventorié dans le système d’un poids  :

Elle a pour but de mesurer les durées de maintenance tant préventive que corrective. Elle consiste à faire effectuer, sur des équipements prototypes, des opérations de maintenance par des agents qualifiés disposant des moyens prévus, de mesurer les durées des opérations et d’en déterminer la statistique (types de distribution et paramètres estimés) afin de comparer les résultats aux prévisions, et éventuellement de réagir sur le projet si la maintenabilité mesurée est pas trop inférieure à l’objectif.

p i  =

n i λ ci  τi  λ c τ

---------------------

Pratiquement, on procèdera comme suit : — pour chaque type de composant i , calculer p i  avec :

λ c  = τ

∑ n i  λ ci  ∑

n i  λ ci  τ λ c  i 

4.2.1 Durées de maintenance préventive

et

Le nombre de composants devant être remplacés préventivement est toujours relativement restreint, et il sera préférable que tous ces composants soient au moins remplacés une fois pour obtenir une mesure valable des durées de maintenance préventive. Le nombre de remplacements de chaque composant au cours de l’expérience devra être modulé en fonction de son taux de remplacement préventif déterminé dans le plan de maintenance. Pour déterminer ce nombre, on pourra appliquer la procédure suivante. Soit λ pi  le taux de remplacement du composant i  et λ p  la somme des taux de remplacement des composants du système, N  étant le nombre de mesures à effectuer (N   est à choisir assez grand pour obtenir une précision acceptable sur les résultats, en fonction des

— classer les types de composants par ordre de poids   décroissant q  j  : q 1 = Max (p i )

T 4 305 − 10

=

q  j 

et

–

----------------

1 < q   j   q   j + 1

permettant d’établir un tableau de correspondance i  ( j ), et pour  j 

chaque  j  calculer Q  j  =

∑ p k  ;

k  = 1

— ayant choisi un nombre N   de mesures à effectuer, on tirera N nombres aléatoires x k  (k = 1 à N ) de distribution uniforme entre 0 et 1 ;

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________________________________________________________________________________________________________ MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE

— pour chaque nombre x k , déterminer le type de composant qui sera mis en panne et dont on mesurera la durée de maintenance corrective, en recherchant la valeur  j   telle que : Q  j 

–

1 < x k   Q   j   avec Q 0 =

0.

Le composant à dépanner sera de type i  ( j ) ; — mesurer les N   durées t k   correspondantes qui donneront la distribution expérimentale de la durée de maintenance corrective. Exemple : soit un système comportant trois types de composants dont le tableau ci-après donne les éléments de prévision : Type i  1 2 3 Nombre ni ........................................... 100 7 1 Taux de défaillance λ ci ................. (h –1) 0,000 2 0,000 7 0,000 1 Durée de maintenance τ i ............... (h) 0,1 1 31 On a :

λ c  = (0,000 2 × 100) + (0,000 7 × 7) + (0,000 1 × 1) = 0,025 0 h–1 τ

=

1  ( 0,000 2 × 100 × 0,1 ) + ( 0,000 7 × 7 × 1 ) 0,025 0

---------------------

+

( 0,000 1 × 1 × 31 ) 

=

0,4 h

λ c  τ = 0,025 0 × 0,4 = 0,010 0

sont toutes deux satisfaites. Désignons, comme dans la norme, par M ct  la durée moyenne spécifiée et par M max ct  la durée maximale. Un premier plan A1  (figure 6) détermine la conformité à la moyenne, et deux plans B1 et B2  la conformité à la durée maximale, suivant que la durée maximale se rapporte à une probabilité de 90 % (B1) ou de 95 % (B 2). Les risques du fournisseur α et du client β sont de l’ordre de 6 % pour le plan A 1 et de l’ordre de 10 % pour les plans B. La figure 6 représente les conditions d’acceptation et de rejet pour ces trois plans. La procédure est la suivante : — le produit est refusé dès qu’un des deux plans conduit à une décision de rejet ; — si un plan conduit à une décision d’acceptation, on ne s’intéressera plus à lui, mais on continuera l’autre jusqu’à une décision ; — si aucune décision n’a été atteinte après 100 observations, on prendra la règle suivante :  • plan A1 : n’accepter que si moins de 30 observations dépassent M ct ,  • plan B1 : n’accepter que si moins de 6 observations dépassent M max ct ,  • plan B2 : n’accepter que si moins de 3 observations dépassent M max ct .

d’où : p 1 = 0,20 q 1 = 0,49 q 2 = 0,31 q 3 = 0,20

p 2 = 0,49 Q 1 = 0,49 Q 2 = 0,80 Q 3 = 1

p 3 = 0,31 d’où i  (1) = 2 d’où i  (2) = 3 d’où i  (3) = 1

Choisissons N  = 5 et tirons cinq nombres aléatoires : x 1 = 0,407 21 ; x 2 = 0,970 29 ; x 3 = 0,285 81 : x 4 = 0,683 29 ; x 5 = 0,800 24. On aura alors : Q 0 < x 1  Q 1

 j  = 1

i ( 1 ) = 2

composant de type 2

Q 2 < x 2  Q 3

 j  = 3

i ( 3 ) = 1

composant de type 1

Q 0 < x 3  Q 1

 j  = 1

i ( 1 ) = 2

composant de type 2

Q 1 < x 4  Q 2

 j  = 2

i ( 2 ) = 3

composant de type 3

Q 2 < x 5  Q 3

 j  = 3

i ( 3 ) = 1

composant de type 1

5. Tests de démonstration statistique Comme pour les essais de démonstration de la fiabilité, on peut utiliser, pour vérifier la conformité de la maintenabilité d’un système aux exigences du cahier des charges, des tests statistiques d’après des résultats d’essais de réparation ou d’entretien portant sur des pannes simulées. De nombreux types de tests ont été proposés à cet effet, parmi lesquels nous en décrirons trois issus des normes américaines MIL-STD 471 et MIL-STD 473 qui ont servi de modèle.

5.1 Méthode 1 de la norme MIL-STD 471 C’est un test séquentiel portant à la fois sur la durée moyenne et sur la durée maximale de maintenance corrective. Il suppose que les durées de maintenance suivent une distribution log-normale. Le rapport entre la durée maximale spécifiée et la durée moyenne spécifiée ne doit pas dépasser 3 et le test est prévu pour n’accepter le système que si les conditions sur les deux durées

Figure 6 – Plan séquentiel selon la norme MIL-STD 471

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T 4 305 − 11

MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE

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5.2 Méthode 2 de la norme MIL-STD 471 C’est un ensemble de quatre tests portant sur un nombre fixé d’observations, 50 au minimum pour les maintenances correctives et 50 pour les maintenances préventives. Ces tests sont destinés à vérifier : — la durée moyenne spécifiée de maintenance corrective M ct  ; — la durée moyenne spécifiée de maintenance préventive M pt  ; — la durée moyenne spécifiée d’immobilisation M  ; — la duréé maximale spécifiée de maintenance corrective M max ct . Les trois premiers tests sont basés sur le théorème de la limite centrale et donc peu sensibles à la distribution des durées de maintenance, le quatrième suppose une distribution log-normale des durées de maintenance corrective. Pour ces quatre tests, seul le risque α du fournisseur est fixé. Les deux premiers tests s’effectuent ainsi : — calculer la moyenne m  et l’écart type estimé s  des n  mesures de durées t i  : m

n 

=

t i  / n  et s  ≈  ∑ t 2i  ∑ i  1

–

n m 2  / ( n – 1 )

Le plan détermine le nombre n   d’essais à effectuer et le nombre maximal c   d’essais pour lesquels la durée mesurée t i   pourra dépasser une durée critique T   afin d’accepter le produit. En désignant par X   la variable aléatoire testée (ici la durée de maintenance), l’hypothèse nulle est : H 0 : P  (X  > T ) = p 0

contre l’hypothèse alternative : H 1 : P  (X  > T ) = p 1 > p 0

Sous une autre forme, on peut dire que l’hypothèse nulle correspond à tester si T  est la durée dont la fonction de répartition (fonction maintenabilité) est M  (T ) = 1 – p 0 et l’hypothèse alternative si M  (T ) = 1 – p 1 < 1 – p 0 . Exemple : si p 0 = 0,10 et p 1 = 0,50, on testera l’hypothèse que T  est la durée maximale (1 – p 0 = 0,90) contre l’hypothèse que T   est la durée médiane (1 – p 1 = 0,50).

Pour déterminer n  et c , on utilisera les formules suivantes : a) si 0,20  p 0  0,80 , en désignant par u α et u β  les variables normales réduites correspondant aux risques fournisseurs et clients, on a :



n  =

=

— prendre la valeur de la variable normale réduite u α correspondant au risque fournisseur α choisi ; — calculer T = m + (u α · s  / n ) ; si T  est plus petit ou égal à la valeur spécifiée, on acceptera le produit pour cette spécification. Pour le test sur la durée totale d’immobilisation, on fera intervenir deux paramètres prévisionnels : la fréquence f c  des actions de maintenance corrective et la fréquence f p  des actions de maintenance préventive. En désignant respectivement par m c , m p , s c et s p  les moyennes et les écarts types des durées mesurées pour ces deux types d’actions, et déjà calculés pour les tests précédents, on calculera la moyenne de la durée d’immobilisation par :

u β p 1 ( 1 – p 1 ) + u α p 0 ( 1 – p 0 ) p 1 p 0

------------------------------------------------------------------------------------------–



2

(prendre l’entier immédiatement supérieur), c

=

n 



u β p 0 p 1 ( 1 – p 1 )

+

u β p 1 ( 1 – p 1 )

+

u α p 1 p 0 ( 1 – p 0 )

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

u α p 0 ( 1 – p 0 )



(prendre l’entier immédiatement inférieur). b) si p 0 < 0,20, il faut résoudre le système suivant en n  et c  par approximations successives : c  exp ( – n p  ) ( n p  ) j  0 0  ------------------------------  1 – α  ∑ ------------------------- j  !   j  0  c  exp ( – n p  ) ( n p  ) j  1 1  ------------------------------  β  ∑ ------------------------- j  !   j  0

m = (f c  m c  + f p  m p )/ (f c  + f p )

=

et l’écart type par : s ≈ [ n p ( f c s c ) 2 + n c ( f p s p ) 2 ] / [ n c n p ( f c  + f p ) 2 ]

=

puis la statistique T  = m  + u α s   qui sera comparée à la valeur spécifiée M  . Pour le test sur la durée maximale de maintenance corrective, on prendra les logarithmes des durées de maintenance mesurés :

Remarque :  ces deux formulations correspondent à prendre les approximations normales de la loi binomiale pour le ca s a et de la loi de Poisson pour le cas b.

t i  : x i  = ln ( t i ) ^

et l’on calculera la moyenne m  et l’écart type estimés s  de ces valeurs. La statistique T  devient : ^

Le tableau ci-après donne les valeurs de c  et de D  = n p 0 en fonction de α, β et k  = p 1 / p 0 pour quelques valeurs fréquentes dans le cas b. (0)

^

T  = exp ( m + u α s )

qui sera comparée à la valeur spécifiée M max ct . On notera que dans ce test la valeur de u α correspond à la probabilité attachée à la durée maximale, soit 1,28 pour une probabilité de 90 % et 1,65 pour une probabilité de 95 %.

5.3 Test non paramétrique de la norme MIL-STD 473 Lorsque la distribution des durées de maintenance est totalement inconnue, on peut utiliser une méthode de test non paramétrique. Le test proposé par la norme MIL-STD 473 est basé sur la loi binomiale. Il consiste en un plan d’essai en échantillonnage simple par attribut pour lequel on fixe les risques du fournisseur α et du client β.

T 4 305 − 12



k  = p 1/p 0

1,5 2 2,5 3 4 5

=

0,05

0,05



c

D

66 22 13 9 6 4

54,1 15,7 8,46 5,43 3,29 1,97



=



0,10



c

D

54 18 10 7 5 3

43,4 12,4 6,17 3,98 2,61 1,37

=

=

0,10

0,05



c

D

c

D

51 17 10 7 4 3

43,0 12,8 7,02 4,66 2,43 1,75

40 14 8 5 3 2

33,0 10,3 5,43 3,15 1,75 1,10

=

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=

0,10  

________________________________________________________________________________________________________ MAINTENABILITÉ. MAINTENANCE

E xe mp le : soit à déterminer un plan d’essai avec p 0 = 0,10 et p 1 = 0,50 pour des risques égaux α = β = 0,05. On a D = 1,97 d’où le nombre d’essais n = D  / p 0 (entier inférieur) = 19. Le nombre d’essais dont la durée dépasse la valeur spécifiée n e doit pas dépasserc = 4 pour accepter l’hypothèse.

Références bibliographiques [1]

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