T.4 Metodo SIMPLEX Ingenieria en Sitemas

 

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPA CHIAPAS S FACULTAD DE INGENIERÍA CAMPUS I

 Asignatura: Ingeniería de sistemas Tarea: T.4 Catedrático: José Alejandro Jiménez Gordillo Grado y grupo: ! "C#

 A$%&'(: )odríguez (rtega *ey+in &is,el

-4 de octu+re de -/ Tu0tla Gtz1 C,iapas

 

EL METODO SIMPLEX El método método simple simplex x para solución solución de problem problemas as de program programaci ación ón lineal lineal es un

procedimiento iterati2o 3ue permite ir mejorando la solucin a cada paso. 5l proceso concluye cuando no es posi+le seguir mejorando más dic,a solucin. 6artiendo del 2alor de la 7uncin o+jeti2o en un 2értice cual3uiera1 el método consiste en +uscar sucesi2amente otro 2értice 3ue mejore al anterior. $a +8s3ueda se ,ace siempre a siempre a tra2és de los lados del polígono 9o de las aristas del poliedro1 si el n8mero de 2aria+les es mayor. Cmo el n8mero de 2értices 9y de aristas es 7inito1 siempre se podrá encontrar la solucin. 5l método del simple0 se +asa en la siguiente propiedad: si la 7uncin o+jeti2o1 f 1 no toma su 2alor má0imo en el 2értice  A1 entonces ,ay una arista 3ue parte de A1 a lo largo de la cual   f aument aumenta. a. del simple0 7ue creado en /;4< por el matemático George *antzig. 5l método del simple0 simpl e0 se utiliza1 so+re todo1 para resol2er pro+lemas de programacin programacin lineal en los 3ue inter2ienen tres o más 2aria+les. 5l álge+ra matricial y el proceso de eliminacin de Gauss=Jordan para resol2er un sistema de ecuaciones lineales constituyen la +ase del método simple0. 5l método >imple0 se +asa en la siguiente propiedad: si la 7uncin o+jeti2o1 71 no toma su 2alor má0imo en el 2értice A1 entonces ,ay una arista 3ue parte de A1 a lo largo de la cual 7 aumenta. *e+erá tenerse en cuenta 3ue este método slo tra+aja para restricciones 3ue tengan un tipo de desigualdad ?@? y coe7icientes independientes mayores o iguales a 1 y ,a+rá 3ue estandarizar las mismas para el algoritmo. 5n caso de 3ue después de éste proceso1 aparezcan 9o no 2aríen restricciones del tipo ?? o ?B? ,a+rá 3ue emplear otros métodos1 siendo el más com8n el método de las *os ases. 6)56A)A'*( 5$ &(*5$( 6A)A A*A6TA)$( A$ &DT(*( >I&6$5E Esta es la forma estándar del modelo: Función objetivo:

c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn

Sujeto a:

a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1 a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2 ... am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm x1,..., xn ≥ 0

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones: 1 El objeti objetivo vo es de la forma d de e maximiz maximización ación o de min minimizaci imización. ón.

 

2 Toda odas s las restri restriccione cciones s son de igual igualdad. dad.  Toda odas s las varia variables bles son no ne negativ gativas. as. ! "as consta constantes ntes a la derec# derec#a a de las restric restricciones ciones son no neg negativa ativas. s.

Con miras a conocer la metodología 3ue se aplica en el &étodo >I&6$5E1 2amos a resol2er el siguiente pro+lema: &a0imizar 

Z= f(x,y)= 3x + 2y 

sujeto a:

2x + y

! 

 

2x + 3y

 

3x + y

 

0

"2  2"

1y



>e consideran las siguientes 7ases: 1. Convertir las desigualdades en igualdades

>e introduce una #ariable de $olgura por cada una de las restricciones1 para con2ertirlas en igualdades1 resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y + $ = !  2x + 3y + s = "2  3x +y + d = 2"

2. Igualar la función o!etivo a cero % 3x % 2y + Z = &   ". Escriir la tala inicial si#$le%

5n las columnas aparecerán todas las 2aria+les del pro+lema y1 en las 7ilas1 los coe7icientes de las igualdades o+tenidas1 una 7ila para cada restriccin y la 8ltima 7ila con los coe7icientes de la 7uncin o+jeti2o:

 

Ta+la I . Iteracin nF / ase

Haria+le de decisin

Haria+le de ,olgura

Halores solucin

 

 x

y

$

s

d 

 

$

-

/

/





/

s

-

d 

"

 /

 

/ 

 /

4-4

Z 

=

=-









&. Encontrar la variale de decisión 'ue entra en la ase ( la variale de )olgura 'ue sale de la ase A 6ara escoger la 2aria+le de decisin 3ue entra en la +ase1 nos 7ijamos en la 8ltima

7ila1 la de los coe7icientes de la 7uncin o+jeti2o y escogemos la 2aria+le con el coe7iciente negati2o mayor 9en 2alor a+soluto. 5n nuestro caso1 la 2aria+le  x  de  de coe7iciente = .

>i e0istiesen dos o más coe7icientes iguales 3ue cumplan la condicin anterior1 entonces se elige uno cual3uiera de ellos. >i en la 8ltima 7ila no e0istiese ning8n coe7iciente negati2o1 signi7ica 3ue se ,a alcanzado la solucin ptima. 6or tanto1 lo 3ue 2a a determinar el 7inal del proceso de aplicacin del método del simple01 es 3ue en la 8ltima 7ila no ,aya elementos negati2os. $a columna de la 2aria+le 3ue entra en la +ase se llama columna pi#ote 95n color azulado.

B 6ara encontrar la 2aria+le de ,olgura 3ue tiene 3ue salir de la +ase1 se di2ide cada

término de la 8ltima columna 92alores solucin por el término correspondiente de la columna pi2ote1 siempre 3ue estos 8ltimos sean mayores 3ue cero. 5n nuestro caso:   /K- LB;M 1 4-K- LB-/M y -4K LBM

>i ,u+iese alg8n elemento menor o igual 3ue cero no se ,ace dic,o cociente. 5n el caso de 3ue todos los elementos 7uesen menores o iguales a cero1 entonces tendríamos una solucin no acotada y no se puede seguir. 5l término de la columna pi2ote 3ue en la di2isin anterior dé lugar al menor  cociente positi2o1 el 1 ya  es el menor1 indica la 7ila de la 2aria+le de ,olgura 3ue a*ulado . sale de la +ase1 d . 5sta 7ila se llama fila pi#ote 95n color

 

>i al calcular los cocientes1 dos o más son iguales1 indica 3ue cual3uiera de las 2aria+les correspondientes pueden salir de la +ase. C 5n la interseccin de la 7ila pi2ote y columna pi2ote tenemos el elemento pi2ote operacional1 ". 

+. Encontrar los coeficientes de la nueva tala.

$os nue2os coe7icientes de x  se  se o+tienen di2idiendo todos los coe7icientes de la 7ila d  por  por el pi2ote operacional1 1 3ue es el 3ue ,ay 3ue con2ertir en /.  A continuacin mediante la reduccin gaussiana ,acemos ceros los restantes términos de su columna1 con lo 3ue o+tenemos los nue2os coe7icientes de las otras 7ilas incluyendo los de la 7uncin o+jeti2o Z . Tam+ién Ta m+ién se puede ,acer utilizando el siguiente es3uema: ila del pi2ote: ,ueva fila del $ivote- /ie!a fila del $ivote0  Pivote0  

)esto de las 7ilas: ,ueva fila- /ie!a fila0  Coeficiente de la vie!a fila en la colu#na de la variale entrante0 X ,ueva fila del $ivote0. Heámoslo con un ejemplo una 2ez

calculada la 7ila del pi2ote 97ila 9 7ila de 0 en la Ta+la II: Hieja 7ila de s

- 

 / 

4-

 

=

=

=

=

Coe7iciente

- -

- - -

-

 

0 0

0 0 0

0

'ue2a 7ila pi2ote

/ /K

  /K



 

B B

B B B

B

'ue2a 7ila de s

