T12 Flexion Plastica

 

Lecci´ o on n 12

Flexi´ on pl´ astica Contenidos 12.1. 12. 1. Modela Modelado do del compo comport rtami amien ento to del mate materi rial al . . . . . . . .   148 12.2. Plastificaci´ on on de la secci´ on on en flexi´ on pura . . . . . . . .   148

12.2.1. Momento pl´astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   151 12.2.2. M´odulo odulo pl´astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   151 12.2.3. Factor de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   152 12.2 12.2.4 .4.. Eje Eje neu neutr troo en en ssec ecci cion ones es pl plas asti tific ficad adas as . . . . . . . . . . . . .   152 12.2.5. Diagrama momento-curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . .   153 12.3. Plastificaci´ on on de la secci´ on on en flexi´ o on n compuesta . . . . .   154

12.3.1. Plastificaci´on on de la caci´ on parcial . . . 12.3.2. Plastificaci´on on de la caci´ on total . . . .

secci´on on en flexi´on on compuesta: Plastifi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   154 secci´on on en flexi´on on compuesta: Plastifi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   155

12.4. Plastificaci´ on on en secciones sometidas a flexi´ o on n simple . .   156 12.5. Formaci´ on o n de r´ otul o tulas as p pll´ a asti stica cass . . . . . . . . . . . . . . . .   158 12. 2.6 6. Ej Eje ercicios pr propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   160

 

148

 

12.1 12. 1

Apuntes Apuntes de Elasticida Elasticidad d y Resis Resistencia tencia de Mater Materiales  iales 

Model Modelado ado del com comporta portamie mien nto d del el mate materia riall

El comportamiento de los aceros de bajo contenido en carbono puede modelarse  a), que se conoce como mediante media nte el diagrama diagrama tensi´ tension-deformaci´ ´on-deformaci´on on de la Figura 12.1 Figura  12.1 a), comportamiento  elastopl´  astico perfecto, o mediante el diagrama tensi´ on-deformaci´ on-deformaci´on on de la Figura 12.1 Figura  12.1 b)  b) en el que se considera el endurecimiento por deformaci´on. on.

Figura 12.1   Diagramas elastopl´ asticos asticos del acero. a) Comportamiento

elastopl´astico astico perfecto b) Comportamien Comportamiento to elastopl´ elastopl´ astico astico con endurecimiento Ambos de comportamien comportam suponen queastico los l´ımites de supone proporcionalidad proporcio el´ astico astico modelos y de fluencia coinciden. iento El to modelo  elastopl´  perfecto quenalidad, la ten-, si´ on on de fluencia del material se mantiene constante para cualquier deformaci´oon n superior a la del l´ımite el´astico. astico. El  elastopl´  astico con endurecimiento  admite un aumento de la resistencia resistencia a partir de deformacione deformacioness  k εe  siendo  k  del orden de 10 a 15. En ambos modelos se admiten id´enticos enticos comportamientos compor tamientos en tracci´on on y compresi´on, on, tanto paraa el l´ımite par ımi te el´astico astico como para el m´odulo odulo de elasticidad. elasticidad.

12.2 12 .2

Pl Plas asti tific ficac aci´ i´ on on de la secci´ on on en flexi´ o on n pura

muestran ran una secci´ secci´ on on bisim´ bisim´etrica etrica sometida sometida a un momento momento En la Figura   12.2   se muest flector seg´ un un el eje   y , y los diagramas planos de las distribuciones de deformaciones longit lon gitudi udinal nales es y tensio tensiones nes normal normales es correspo correspondi ndien entes tes.. En nin ninguna guna de la fibras fibras se ha alcanzado la deformaci´on on del l´ımite el´astico astico y en consecuencia las tensiones en cualquier punto de la secci´on on est´an an por debajo del l´ımite el´aastico stico del material.

Figura 12.2  Diagramas de distribuci´ oon n de deformaciones y de tensiones en

r´eegim g imen en el´ el astico ´astico Las distribuciones de tensiones y deformaciones son lineales, respondiendo a las ecuaciones (c) 2011 2 011 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

 

Flexi´ on on pl´ astica  astica 

σx (y, z ) = ε (z ) =

  M  z I y

149

 

(12.1)

  M    σx (y, z )   = z  =  χz EI y E 

 

(12.2)

siendo   E   el m´odulo odulo de elasticidad longitudinal y   χ  la curvatura de la secci´oon. n. Considerando una rebanada diferencial de un elemento estructural, la curvatura   χ   de la secci´on o n es el ´aangulo ngulo que se inclina una cara de la rebanada respecto de la otra, dividido dividi do por la distancia que las separa. separa. Si se consideran consideran dos secciones secciones separadas separadas una unidad de longitud, la curvatura es χ  =

  ε (z ) z

 

(12.3)

Si el momento flector se va incrementando, la tensi´on on y la deformaci´oon n en cada fibra de la secci´on on aumentan. Habr´a un valor de  M  para el que la deformaci´on on en las fibra extremas (las m´as as tensionadas) coincida con la deformaci´on on en el l´ımite el´astico, astico,   εe ,  se muestran los Figura 12.3 se correspon corre spondi´ di´endoles endole s la tensi´on on del l´ımite ımi te el´astico, astico, σe . En la Figura 12.3 diagramas planos de las distribuciones de deformaciones longitudinales y tensiones normales.

on on de deformaciones y de tensiones en Figura 12.3  Diagramas de distribuci´ r´eegim g imen en el´ el astico ´astico con las fibras fibra s extremas alcanzando el l´ımite ımite el´astico astico Si se sigue incrementando el momento flector, se llegar´a a un estado tal que las fibras extremas de la secci´on on habr´an an superado la deformaci´on on correspondiente al l´ımit ım itee el´ el astico ´astico junto con parte de las contiguas, trabajando todas ellas a una misma Figura  12.4 se tensi´on on   σe . En la Figura 12.4  se muestran los diagramas planos de las distribuciones de deformaciones longitudinales y tensiones normales correspondientes.

Figura 12.4  Diagramas de distribuci´ on on de deformaciones y de tensiones en

r´egimen egi men elasto ela stopl´ pl´astico astico (c) 2011 20 11 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

150

 

Apuntes Apuntes de Elasticida Elasticidad d y Resis Resistencia tencia de Mater Materiales  iales 

Si se sigue incrementando incrementando  M , habr´a una extensa zona de la secci´on on donde todas las fibras superen la deformaci´on on correspon corres pondiente diente al l´ımite el´astico astico y por tanto trabajen a la tensi´on on del l´ımite ımi te el´astico, astico, como se muestra en la Figura 12.5 Figura  12.5..

Figura 12.5  Diagramas de distribuci´ oon n de deformaciones y de tensiones en

r´egimen egi men elasto ela stopl´ pl´astico. astico. Gran parte de la secci´on on plastificada plastificada La deformaci´on on en el l´ımite ımi te el´astico astico para un acero es funci´on on del tipo de acero, estando acotadaa entre acotad entre   εe   = 0, 00112 para un acero con   σe  = 235 MPa y   εe   = 0, 00169 para un acero con   σe  = 355 MPa. Considerando una deformaci´on on longitudinal unitaria en rotura para el acero de aass tensionada de la secci´on on se alcance la deformaci´on on εrot  = 0, 01, cuando en la fibra m´ correspondien corres pondiente te a la rotura, la zona de la secci´ secci´ on on traba jando en r´egimen egimen el´astico, astico, que se muestra en la Figura 12.6 Figura  12.6,, ser´a z0   z1   z1 = = εrot εe εl´ım

(12.4)

es decir, la zona el´astica astica tiene una extensi´on on como m´aximo aximo el doble de   z1 (en el caso de que la sea secci´on on sim´etrica etrica respecto al eje neutro), siendo   z1 z1  =

  εe z0 εrot

 

(12.5)

Figura 12.6  Diagramas de distribuci´ oon n de deformaciones y de tensiones en

r´egimen egi men elasto ela stopl´ pl´astico. astico. Fibras m´as as tensionadas con la deformaci´on on en rotura trabaj ando en r´egimen egimen el´astico astico ser´a, a, As As´´ı, para un acero con   εe   = 0, 00169, la zona trabajando como m´aximo, aximo, 0, 00169   (12.6)   z0  = 0, 338 z0 0, 01 na na en relaci´on on con la zona De la ecuaci´on on (12.6 (12.6)) se deduce que dicha zona es muy peque˜ plastificada. Por este motivo se acepta la distribuci´oon n de tensiones mostrada en la Figura 12.7 Figura  12.7,, en la que toda la secci´on on est´a totalmente plastificada. Dicha distribuci´on on 2 × z1  = 2 ×

corresponde al caso, te´orico, orico, de curvatura infinita de la secci´on. on. (c) 2011 2 011 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

 

Flexi´ on on pl´ astica  astica 

151

Figura 12.7  Diagramas de distribuci´ on on de deformaciones y de tensiones en

r´eegim g imen en pl´ pl astico a´stico 12.2.1

Momento Momento pl´ pl´ astico astico

El momento que produce el estado tensional mostrado en la Figura   12.7  recibe el aticamente equivalente nombre de momento pl´astico, astico,   M  p . Al ser dicho momento est´aticamente al momento producido por la distribuci´on on de tensiones normales, ha de cumplirse que   zt

M  p  =

 

z σx (y, z )   b dz

 

(12.7)

zc

siendo  z t   y  z c  las alturas, en valor absoluto, de las zonas traccionada y comprimida, respectivamente y b  el ancho de la secci´on. on. Al ser σx (y, z ) =  σ e  en la zona traccionada ( 12.7)) se obtiene y   σx (y, z ) = −σe  en la zona comprimida, sustituyendo en (12.7   zt

M  p  =

 

 0

  zt

z σx (y, z )   b dz  =  σ e

 

z b dz + σe

0

zc

 

z b dz

 

(12.8)

zc

Las in integr tegrale aless correspo corresponde nden n a los momen momentos tos est´ estaaticos ´ ticos de las ´areas areas traccionada y comprimida comprim ida de la secci´ on on respecto al eje neutro. Por tanto, (12.8 ( 12.8)) se puede reescribir (considerand (consi derandoo los valores absolutos de   Qy   y   Qy ) como t

c

M  p  =  σ e (Qyt ( z )+Qyc ( z ))

12.2.2

(12.9)

Modul od ulo ´ o pl´ pl´ a asti s tico co

En el apartado  apartado   9.5 9.5,, se dio el concepto de m´odulo odulo resistente y se expres´o la tensi´on on en un punto en funci´on on del m´oodulo dulo resistente asociado a dicho punto como σx (y, z ) =

  M    M   = I een W  n h

(12.10)

siendo   h   la m´ınima distancia del pun punto to al eje neutro. El momento momento el´ astico astico   M e , a partir de la ecuaci´on on (12.10), 12.10), puede expresarse como M e  =  σ e W 

 

(12.11)

Comparando las ecuaciones (12.9 (12.9)) y (12.11 ( 12.11), ), el momento pl´astico astico puede ser expresado en la forma M  p  =  σ e W  p (c) 2011 20 11 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

(12.12)

 

152

 

Apuntes Apuntes de Elasticida Elasticidad d y Resis Resistencia tencia de Mater Materiales  iales 

on on siendo   W  p   el   m´  odulo pl´  astico  de la secci´ W  p  =  Q yt  (z ) + Qyc  (z )

12.2 12 .2.3 .3

(12.13)

Facto actor r de de form forma a

La relaci´on on entre los momentos pl´astico astico (M  p ) y el´astico astico (M e ) da una idea de la mayor mayor resistencia de la secci´on on cuando trabaja traba ja en r´egimen egimen pl´astico. astico. λ  =

  M  p   W  p = M e W 

 

(12.14)

Esta relaci´on on se denomina  factor de forma  y  y se denota con la letra griega  λ . El factor de forma fo rma depende exclusivamente exclusivamente de la geometr´ geometr´ıa de la secci´ oon n (tanto   W   como   W  p son solamente funci´on on de la geometr´ geometr´ıa de la secci´ on). on). Cuanto menor sea el factor de forma de una secci´on, on, mejor estar´a dise˜ nada nada para trabajar a flexi´on. on. 12.2.4 12. 2.4

Eje neutr neutro o en seccio secciones nes plast plastific ificada adass

Para determinar determinar la posici´ on on del eje neutro en una secci´on on plastificada se van a plantear los equilibrios de fuerzas y de momentos de la secci´on. on. Sea producen una secci´on oun n sometida un sistema de cargaslacontenidas tal que momentoa flector que plastifica secci´oon. n. en un mismo plano,

Figura 12.8  Diagrama de distribuci´ on on de tensiones en una secci´on on asim´ as im´etri et rica ca

totalmente plastificada  se muestra la distribuci´on on de tensiones correspondientes y la poEn la Figura 12.8 Figura  12.8 se sici´ oon n del eje neutro. Planteando el equilibrio de fuerzas (las resultantes de la distribuci´ on on de tensiones propuesta), se ha de verificar F c  =  F t

 

(12.15)

es decir, σe S c  =  σ e S t

 

(12.16)

´areas de las zonas comprimida y tracciosiendo   F c ,   F t ,   S c   y   S t  las resultantes y las areas nada, respectivamente. De (12.16 (12.16)) se deduce que las ´areas areas de las zonas comprimida y traccionada son iguales en una secci´on on totalmente plastificada sometida a flexi´on on pura y, obviamente, dichas ´areas areas coinciden con la mitad del area ´area   S  de la secci´on. on. (c) 2011 2 011 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

 

Flexi´ on on pl´ astica  astica 

S c  =  S t  =

153

  S 

  (12.17) 2 impli ca que el eje neutro, neut ro, en secciones seccion es asim´etricas etrica s La conclusi´on on expresada en (12.17 (12.17)) implica totalmente plastificadas, no pasa por el centro de gravedad de la secci´oon. n. Planteando el equilibrio de momentos respecto al eje que resulta de la intersecci´on on del plano de cargas con la secci´on, on,  eje del plano de cargas , se obtiene

 

S t

σe y dS  −

 

σe y dS   = 0

(12.18)

S c

Al ser las ´areas areas comprimida y traccionada iguales

 

S t

= y dS   =

 

y dS 

 

(12.19)

S c

siendo las integrales los momentos est´aticos aticos de las zonas traccionada y comprimida respecto al eje del plano de cargas con la secci´on. on. Por tanto, se concluye que el eje neutro en una secci´on on totalmente plastificada divide a la secci´on on en dos zonas cuyos momentos est´aaticos ticos respecto al eje del plano de cargas son iguales. Al ser iguales las ´areas areas traccionada y comprimida, los centros de gravedad de ambas zonas se encuentran sobre una misma recta que adem´as a s es paralela al eje del plano de cargas, como muestra la Figura   12.8. 12.8.   Por consiguiente, si el eje del plano de cargas es de simetr simetr´ıa, el eje neutro de la secci´ seccio´on n totalmente plastificada ser´a perpendicular al eje del plano de cargas. En la Figura 12.9 Figura  12.9 se  se muestra la misma secci´on, on, divida en dos a´areas reas iguales pero ). Se comprueba que los centros de gravedad de diferentes a las realizadas en (12.8 ( 12.8). estas areas ´areas no coinciden coinciden sobre una misma l´ l´ınea, paralela al eje del plano de cargas, por lo que no se verifica la ecuaci´on on (12.19 12.19)) y el eje neutro mostrado no es posible.

Figura 12.9  Eje neutro no posible en secci´ on on asim´etrica etrica totalmente total mente plastificada plasti ficada

12.2.5 12.2. 5

Diagrama Diagrama moment momento-cur o-curv vatura

El diagrama momento-curvatura de una secci´on on describe el comportamiento resistente de la misma. Al actuar ac tuar un momento mo mento sobre so bre una u na rebanad r ebanadaa diferenci dif erencial, al, ´esta esta se curva cur va manteni´endoendose las caras de la misma planas y por tanto, existiendo una distribuci´on on tambi´ ta mbi´en en plan pl anaa (c) 2011 20 11 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

154

 

Apuntes Apuntes de Elasticida Elasticidad d y Resis Resistencia tencia de Mater Materiales  iales 

de deformaciones. Al ir aumentando el momento, se va incrementando la curvatura de la secci´on. on. El diagrama momento-curvatura se obtiene representando en un diagrama de abscisa la curvatura y de ordenada el momento, para distintos valores del momento la curvatura obtenida. Dicho diagrama tiene una parte lineal, de ecuaci´on χ  =

  M  . Sigue una parte no lineal, y finalmente el diagrama acaba en   M  p  con una EI 

  σ). 12.10). curvatura infinita (rama asint´otica otica de la gr´afica afica de la Figura  Figura   12.10 e La curvatura en la parte no lineal se puede obtener mediante la expresi´on on   χ  = . Siendo   ze   la

profundidad de la zona el´astica astica comprimida.

ze E 

Figura 12.10  Diagrama momento-curvatura

12.3 12 .3

Pl Plas asti tific ficac aci´ i´ on on de la secci´ on on en flexi´ o on n compuesta

Se distinguir´an an dos casos: 1. Plastificaci´ Plastificaci´ on on parcial de la secci´oon n 2. Plastificaci´ Plastificaci´ on on total de la secci´oon n 12.3.1 12. 3.1

Plasti Plastifica ficaci ci´ on on de la secci´ ´ on on en flexi´ on on compuesta: Plastificaci´ o on n parcial

Se trata de obtener la distribuci´on on de tensiones y la curvatura en una secci´on on solicisolicitada a flexi´ on on compuesta (se entiende el axil es de on), on), sin que la secci´ seccion o´n  12.11 se  secompresi´ muestran la dos posibilidades: se agote (plastifique totalmente). En laque Figura Figura 12.11 S´olo o lo una cabeza de la secci´on on ha plastificado, como se muestra en la Figu 12.11 a).  a). Las inc´ognitas ognitas son   ze   y   σ1 . ra ra 12.11 Las dos cabezas de la secci´oon n han plastificado, como se muestra en la Figura ra 12.11  12.11 b).  b). Las inc´ognitas ognitas son   z1   y   z2 . Para el primer caso, alcanzar´a antes la plastificaci´on on aquella cabeza que seg´ un un las ecuaciones cl´asicas asicas de la resistencia de materiales est´ e m´as as tensionada. tensionada. Las deformadeformaciones en la secci´on on se obtienen teniendo en cuenta que la inclinaci´on on del diagrama de tensiones en la parte el´astica astica es   E χ  y que   ε(z ) =  χ z . Dependiendo de la complicaci´on on de la secci´on, on, para determinar la distribuci´on on de tensiones tensiones puede ser necesario necesario recurrir recurrir a m´ etodos etodos iterativos. iterativos. Se parte de una distribuci´on on que se va corrigiendo hasta conseguir que los valores de   N i   y   M i   de la (c) 2011 2 011 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

 

Flexi´ on on pl´ astica  astica 

155

on on coincidan con los   N   y   M  que solicitan a la secci´on. on. Hay que tener i -´ esima   iteraci´ en cuenta a la hora de establecer los incrementos para iterar, que un incremento en la curvatura produce un aumento en el momento, y que un desplazamiento del eje neutro hacia la zona de tracci´on, on, produce un aumento del axil.

Figura 12.11  Secci´ on on sometida a flexi´on on compuesta seg´ un un el eje   y . Plastificaci´on on

parcial

12.3.2 12. 3.2

Plasti Plastifica ficaci ci´ on on de la secci´ ´ on on en flexi´ on on compuesta: Plastificaci´ o on n total 



n dando Se trata de obtener las parejas de valores   M  p   y   N P    que agotan la secci´oon  12.12.. lugar a una distribuci´on on de tensiones como la mostrada en la Figura Figura 12.12

Figura 12.12  Secci´ on on sometida a flexi´on on compuesta seg´ un un el eje   y . Plastificaci´on on

total 



n, se construye el Con las distintas parejas de valores   M  p   y   N  p  que agotan la secci´oon, ´ on, on, que se muestra en la Figura   12.13   a).   Este diagrama de interacci´  on   de la secci´ se genera determinando para distintos valores de profundidad del eje neutro,   zi , los (c) 2011 20 11 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

156

 

Apuntes Apuntes de Elasticida Elasticidad d y Resis Resistencia tencia de Mater Materiales  iales  



on. Estos valores se representan en un sistema valores de M  p  y  N  p  que agotan la secci´on. de ejes, de abscisas   N  p  y ordenadas   M  p . i

i





Figura 12.13  a) Diagrama de interacci´ on on b) Obtenci´on on de la carga de

agotamiento de una secci´on on a partir del diagrama de interacci´on on n corresEn la Figura  12.13 a)  12.13  a) se han representado sendos diagramas de interacci´oon pondientes a una secci´on on bisim´etrica etrica y a una secci´ on on no bisim´ etrica. etrica. En secciones secciones es no bisim´etricas, etrica s, bisim´etricas etrica s el valor m´aximo aximo de   M  p  coincide con   M  p . En seccion astico de la secci´on, on,   M  p . el valor m´aximo aximo de   M  p  es superior al momento pl´astico 



A partir del diagrama de interacci´on on es posible obtener la carga de agotamiento para una secci´oon. n. Para ello se traza la recta que pasa por el origen y tiene de pendiente M    (siendo  M   y  N   las solicitaciones solicitaciones sobre la secci´ seccion). ´on). La intersecci´on on de dicha recta N 

con el diagrama de interacci´on on da el valor de los esfuerzos esfuerzos cr´ cr´ıticos, ıticos, tal y como se muestra en la Figura 12.13 Figura  12.13 b).  b).

12.4 12 .4

Pl Plas asti tific ficac aci´ i´ on on en secciones sometidas a flexi´ on on simple

Sobre una secci´on on sometida a flexi´on on simple act´ uan uan las tensiones normales que produce el momento flector y las tangenciales que produce el esfuerzo cortante. Por tanto, para estudiar la plastificaci´ plastificaci´ on on de la secci´oon n es necesario tener en cuenta ambos estados tensionales tensionales para determinar determinar un estado tensional tensional ´unico unico que permita determinar determinar si existe plastificaci´on on en la secci´on. on. Esto implica utilizar alg´ u un n criterio de plastificaci´on. on. Tresca estableci´o en 1872 que   la plastificaci´  on en un punto de un elemento estructural tructur al se pro produce duce cuando cuando la tensi´  tension ´  tangencial m´  axima en dicho punto alcanza  un valor igual al que se produce cuando se alcanza el valor de la tensi´  on del l´ ımit ım ite  e    σe   como se muestra en la el´  astic astico o en el ensayo ensayo de tr trac acci´  ci´  on del mater material  ial ,   τ m m´ ax ´ ax   =

2 Figura  12.14 a). Figura 12.14  a). El criterio de Tresca para un estado de tensiones no principal, seg´ u un n se deduce de la Figura  12.14 b),  12.14  b), es τ m m´ ax ´ ax  =  R

    = + σx 2

2  = τ xz

  σe

  (12.20) 2 2 Si se aplica el criterio criterio de Von Mises, la plastificaci´ plastificaci´ on on de la secci´on on se produce cuando astico astico   σe . la tensi´on on equivalente de Von Mises,   σvm , alcanza el valor del l´ımite el´ σvm  =

   + 3 σx2

2   =  σ e τ xz

(c) 2011 2 011 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

(12.21)

 

 

Flexi´ on on pl´ astica  astica 

157

Figura 12.14  a) C´ırculo de Mohr para el ensayo de tracci´ on. on. b) C´ırculo de Mohr

para un estado tensional no principal En el caso en que s´olo olo existe tensi´on on normal, la plastificaci´on, on, para cualquiera de los dos criterios anteriores, se produce cuando la tensi´on on normal alcanza el l´ımite el´astico. astico. Si s´olo olo existe tensi´on on tangencial, tangencial, seg´ un un el criterio de Tresca, la plastificaci´on on se produce cuando τ xxzz   =

  σe

 

(12.22)

2 mientras que el criterio de Von Mises establece que la plastificaci´on on se produce cuando τ xxzz   =

  σe

√ 

3

(12.23)

En el proceso de plastificaci´on on de la secci´oon, n, cuando las fibras extremas alcanzan el l´ımit ım itee el´ el astico ´astico y plastifican, todas estas fibras est´an an trabajando a la misma tensi´on on a ambos lados de la secci´on on (rebanada diferencial), como se muestra en la Figu 12.15 a)  a) y en la Figura  12.15 b).  12.15  b). ra ra 12.15

Figura 12.15  Rebanada diferencial de un elemento estructural trabajando a

flexi´ on on simple. simple. Plastificaci´ Plastificaci´ on on parcial Por tanto, la resultantes de fuerzas a un lado y otro de la secci´on on son iguales, por As´´ı pues, en lo que no aparecen tensiones tangenciales para equilibrarlas ( τ zx zx  = 0). As plasticidad las tensiones tangenciales se reparten de acuerdo a lo establecido en el apartado 10.2 apartado  10.2,,  pero s´olo olo sobre la parte de la secci´on on que traba trabaja ja en r´egimen egimen el´aastico stico tras aplicar el momento flector   M . Es decir, las fibras plastificadas por la flexi´on on no sufren tensi´on on tangencial alguna. (c) 2011 20 11 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

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12.5 12 .5

Apuntes Apuntes de Elasticida Elasticidad d y Resis Resistencia tencia de Mater Materiales  iales 

For orma maci ci´ on o n de r´ ´ o otul t ulas as pl pl´ ´ asti astica cass

 sometido a una carga Sea el p´ortico ortico biarticulado e hiperest´atico atico de la Figura 12.16 Figura  12.16 sometido puntual   P  en el dintel.

ortico ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel Figura 12.16   P´ En la Figura 12.17 Figura  12.17 se  se muestra la ley de momentos flectores.

Figura 12.17   P´ ortico ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel.

Diagramaa de momentos Diagram momentos flectores flectores oon n  C  donde act´ ua ua la carga  P . En los El momento m´aximo aximo (M C C  ) se produce en la secci´ nudos   B   y   D , los momentos son iguales ( M B   =  M D ), aunque se siguen nombrando con el sub´ sub´ındice indicando la secci´ on on donde act´ uan. uan. Si   M C  C   es inferior al momento on de deformaciones y de que agota la secci´on on en r´egimen egi men el´astico, astico,   M e , la distribuci´on tensiones en la secci´oon n en estudio es la mostrada en la Figura  12.17.  12.17. Al incrementar el valor de  P  hasta que la secci´on on  C   se agote en r´eegimen gimen el´aastico, stico, la ley de momentos flectores y la distribuci´on on de tensiones en la secci´on on   C   son los mostrados en la Figura 12.18 Figura  12.18.. Si se sigue incrementando   P , comenzar´a la plastificaci´on on de la secci´on on   C , llegando un momento en que toda la secci´on on plastificar´ plastificar´ a; a; se ha alcanzado la deformaci´on on en (c) 2011 2 011 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

Flexi´ on on pl´ astica  astica 

 

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Figura 12.18   P´ ortico ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel. Diagrama de momentos flectores y distribuci´on on de tensiones en la secci´on on   C   al on alcanzarse   σe  en dicha secci´on

rotura de la fibra m´as as deformada, form´andose andose una r´otula otula pl´astica. astica. En este momento, la estructura inicialmente hiperest´atica, atica, ha pasado a ser isost´atica, atica, como se muestra en la Figura 12.19 Figura  12.19..

on on de una r´otula otula pl´astica astica en la secci´on on   C  Figura 12.19   Formaci´ Simult´ aneamente, aneamente, en las secciones  B  y  y  D   tambi´en en aum aumenta enta el momento mom ento lle llegan gando do ´estas est as a agotarse el´aasticamente. sticamente. Al seguir incrementando el valor de  P , seguir´a aumentando el momento flector en  B  y  y  D . En la secci´on on C  el momento pl´astico astico que agot´o la secci´on on se mantiene constante, como muestra la Figura 12.20 Figura  12.20..

(c) 2011 20 11 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

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Apuntes Apuntes de Elasticida Elasticidad d y Resis Resistencia tencia de Mater Materiales  iales 

ortico ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel. Figura 12.20   P´ Redistribuci´ on on de momentos en   B   y   D  Habr´a un valor de  P   para el que las secciones secciones extremas B   y  D  se agotan, form´andose andose sendas r´otulas otulas pl´asticas, asticas, que provocan el colapso de la estructura al transformarse ´esta esta en un mecanismo, como muestra la Figura 12.21 Figura  12.21..

Figura 12.21  Colapso de la estructura por transformaci´on on en mecanismo por la

formaci´on on de r´otulas otulas pl´asticas asticas

12.6 12 .6

Eje Ejerc rcic icio ioss prop propue uest stos os

Ejercicio 12.1

Para la secci´on on que se muestra en la Figura 12.22 Figura  12.22 Obtener: 1. Las propiedades propiedades est´ estaticas ´aticas de la secci´on: on: area ´area   S  e   e inercias principales   I y ,   I z G

2. Para el eje   y : a ) El momento el´ astico astico (c) 2011 2 011 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

G

 

 

Flexi´ on on pl´ astica  astica 

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momentoo pl´ astico astico b ) El moment c ) El factor factor de forma forma

Figura 12.22  Secci´ on on en T invertida. Flexi´on on pl´astica astica Datos:

100 mm mm ,   ealma  =  e ala  = 10 mm h   =   b  = 100 σe   = 260 260 MPa Soluci´ on: on:

1. Las propiedades propiedades est´ estaticas ´aticas de la secci´on: on: area a´rea   S  e inercias principales   I y ,   I z G

  = 1900 · 103 mm2 S  =

I yG  = 1800, 044 · 103 mm4 I zG  = 840, 833 · 103 mm4

2. Para el eje   y : a ) El moment momentoo el´ astico: astico:   M e  = 5, 562 kN·m momentoo pl´ astico: astico:   M  p  = 11, 823 kN·m b ) El moment

factor de forma: forma: c ) El factor

 

λ  = 1, 802

Ejercicio 12.2

Para la secci´on on en la Figura 12.23 Figura  12.23 Obtener: 1. El diagrama momento-curv momento-curvatura, atura, considerando considerando la flexi´ on on seg´ un un el eje   y 

(c) 2011 20 11 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

G

 

162

 

Apuntes Apuntes de Elasticida Elasticidad d y Resis Resistencia tencia de Mater Materiales  iales 

Figura 12.23  Secci´ on on rectangular. rectangular. Flexi´ on on pl´astica astica Soluci´ on: on:

1. Obtener Obtener el diagrama momento-cur momento-curv vatura, considerando considerando la flexi´ on on seg´ un un el eje y 

Figura 12.24  Secci´ on on rectangular. Diagrama momento-curvatura Tabla 12.1  Diagrama momento-curvatura. Valores

z

M

χ

  bh2 0   M e  = 6   σe 13bh2 h   σe

8

h

4 3h 8 h

2

64 11bh2   σe 48 2 47bh   σe 192 2

  M  p  =

  bh

4

  σe

2σe hE σe 8σe σe 3hE  4σe σe hE  8σe σe hE 

  ∞

(c) 2011 2 011 Santiago Torrano & D. Herrero P´eerez rez

 

 

Flexi´ on on pl´ astica  astica 

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Ejercicio 12.3

 sometida a un cortante   V  z , realizada de un material Para la secci´on on de Figura 12.25 Figura  12.25 sometida con l´ımite ımi te el´astico astico   σe

Figura 12.25  Secci´ on on rectangular sometida a flexi´on on simple. Flexi´on on pl´astica astica

Obtener: 1. El momento momento est´ aticamente aticamente equivalente a la distribuci´on on de tensiones en la secci´on on cuando   τ xxzz   alcanza la mitad del l´ımite el´aastico stico m´ a ax x

Soluci´ on: on:

1. El momento momento est´ aticamente aticamente equivalente a la distribuci´on on de tensiones en la secci´on on cuando   τ xxzz   alcanza la mitad del l´ımite el´aastico stico m´ a ax x

  bh2 3V  z2 M   =   σe − 4 4bσe

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