T. Integrador 2

TRABAJO INTEGRADOR-PARTE 2

ESTUDIANTES: Paola Belesaca Wilman Cabrera Sebastián Jiménez ASIGNATURA: Calculo de Varias Variables DOCENTE: Ing. Olena Leonidivna Naidiuk CARRERA: Ingeniería Civil GRUPO: 12 FECHA: 30-07-2019

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Resumen. En el presente proyecto se plantea un problema y el principal objetivo es determinar las ecuaciones que componen el sólido de revolución y luego, parametrizar dichas ecuaciones, transformar a ecuaciones cilíndricas y esféricas, se pide ingresar las ecuaciones a un software, de preferencia winplot, y comprobar que las ecuaciones halladas forman la figura antes planteada. Y además, mediante este trabajo se va a emplear las aplicaciones de la integral definida para determinar la longitud de arco que se forma entre las dos superficies. Una vez que se haya efectuado todo el proceso antes mencionado se procede a realizar un informe sobre todos los puntos desarrollados en el proyecto.

PALABRAS CLAVE: Coordenadas rectangulares/ Coordenadas esféricas/ Coordenadas cilíndricas/ Parametrización.

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INTRODUCCIÓN. Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie de plana, alrededor de una recta que este contenida en su mismo plano, cualquier cuerpo uniforme al girarlo es un sólido de revolución, Se denomina solido de revolución, al girar una región del plano que está dentro de su dominio, mientras F sea una función continua y positiva en un intervalo determinado MARCO TEÓRICO. Coordenadas cilíndricas: las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares al espacio tridimensional, generalmente en lugar de utilizar “x, y, z” se suele utilizar, r en el ángulo theta, para elegir que variable hay que dejar intacta se debe fijar en la gráfica de la función, la variable que no cambia es aquella sobre cuyo eje abre la superficie. Imagen 1. Coordenadas cilíndricas

Fuente: https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/coordenadas-cilindricas-yesfericas

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Coordenadas esféricas: el sistema de coordenadas esféricas es un cambio total de las variables en el espacio tridimensional, el cambio se realiza a partir de unas fórmulas que ya están dadas, las nuevas variables representan la posición de un punto respecto a la distancia que hay entre este, el origen y los ángulos que se forman entre ese vector y el eje z, es posible cambiar de coordenadas esféricas a coordenadas polares. Imagen 2. Coordenadas esféricas

Fuente: https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/coordenadas-cilindricas-yesfericas Software winplot: Este software nos permite ingresar las ecuaciones de las funciones y delimitar el espacio que deseamos visualizar de la gráfica, permite ingresar ecuaciones en distintas formas, ya sea cartesianas, ecuaciones paramétricas, cilíndricas, esféricas. Es una herramienta muy útil para poder graficar en 2 y 3 dimensiones de una forma mucho más fácil, rápida y exacta.

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DESARROLLO TRABAJO INTEGRADOR 1 – CALCULO DE VARIAS VARIABLES IDENTIFICACIÓN, CLASIFICACIÓN Y ANÁLISIS DE SUPERFICIES CUADRÁTICAS EN DIFERENTES ELEMENTOS CONSTRUCTIVOS a) Para la geometría dada. Determinar las ecuaciones cartesianas de las superficies (dos) a partir de las dimensiones proporcionadas (usar solidos de revolución).

Imagen 3. Geometría dada a partir de dos superficies (Semiesfera y Cono)

Fuente: Auto-CAD, 2019. SEMIESFERA Para determinar la ecuación rectangular de la semiesfera es necesario hacer uso de la ecuación cartesiana ( x−h)2 +( y−k )2 +(z−l)2=r 2 Tal como se puede apreciar en la Imagen 3 la semiesfera posee su centro en el origen, por tanto únicamente se necesita conocer el valor del radio dividiendo el diámetro de la semiesfera para dos, obteniendo la ecuación: x 2+ y 2+ z 2=(20/2)2

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x 2+ y 2+ z 2=100

CONO Para determinar la ecuación del cono es necesario aclarar que, se parte de la ecuación de doble cono ( x−h)2 +( y−k )2−(z−l)2 =0 sin embargo para hallar únicamente la mitad del doble cono (un solo cono) es necesario parametrizar su ecuación cartesiana y determinar los intervalos de graficación. Pero, para lograr determinar la ecuación del cono es necesario empelar las ecuaciones de superficies de revolución como se muestra a continuación. Se parte de la ecuación de superficie de revolución. (Se determina la ecuación de la que se halla en el plano YZ y se la hace revolucionar con respecto al eje z) x 2+ y 2=[ f (z)]2 Se identifican los puntos de corte Eje z= (0,0,-10) Eje y=(0,10,0) Se obtiene la ecuación de la recta a revolucionar z−z ' =m( y− y ' ) z−z '=

z 2−z 1 (y−y') y 2− y 1

Se usa cualquiera de los dos puntos por los cuales corta la recta a los ejes Z o Y. (0,10,0) z−0=

0−(−10 ) ( y−10 ) 10−0

z= y −10f ( z )=z +10 Reemplazamos el valor de f(z) en la ecuación de superficie de revolución x 2+ y 2=[ z +10]2 x 2+ y 2=z 2+20 z +100 x 2+ y 2−z 2−20 z−100=0 x 2+ y 2−( z ¿¿ 2+20 z+ 100)=0 ¿ x 2+ y 2−( z +10)2=0

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b) Obtener las ecuaciones paramétricas de estas superficies con los intervalos de variación de los parámetros (“u “y “t”). (Investigar la parametrización de superficies cuadráticas)

SEMIESFERA

Para obtener las ecuaciones paramétricas de la semiesfera se parte de la ecuación de la esfera ( x−h)2 +( y−k )2 +(z−l)2=r 2 donde se asignan los valores a x, y y z de tal manera que se cumpla la igualdad 0=0

(10∗sin ( u )∗cos ⁡(t ))2 +(10∗sin ( u )∗sin ⁡(t ))2 +(10∗cos ⁡(u))2 =102 2

2

2

2

2

2

2

2

100∗( sin ( u ) ) ∗( cos ( t ) ) +100∗( sin ( u ) ) ∗( sin ( t ) ) +100∗(cos ⁡(u))2=100 100∗( sin ( u ) ) ∗( cos ( t ) ) +100∗( sin ( u ) ) ∗( sin ( t ) ) +100∗(cos ⁡(u))2=100 2

2

2

100∗( sin ( u ) ) ∗[ ( cos ( t ) ) + ( sin ( t ) ) ]+100∗(cos ⁡(u))2=100 2

100∗( sin ( u ) ) +100∗(cos ⁡(u))2=100 2

100∗[ ( sin ( u ) ) ¿ ¿ 2+ ( cos (u ) ) ]=100 ¿ 100=100 0=0 Siendo las ecuaciones paramétricas de la semiesfera con sus respectivos intervalos de graficación x=10sin(u)cos(t) y=10sin(u)sin(t) z=10cos(u) 0≤t≤2π

0 ≤ u≤ π / 2

CONO

Para obtener las ecuaciones paramétricas del cono, es necesario asignar parámetros determinados en función de u y v. Definimos que x=t*cos(u) y y=t*sin(u) y se reemplazan estos valores en la ecuación cartesiana. 2 2 2 ( t∗cos (u)) + ( t∗sin(u) ) −z −20 z −100=0

t 2 ¿ ( cos (u) )2+ t 2 ¿ ( sin(u) )2−z 2−20 z−100=0

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t 2 [ ( cos ( u ) ) ¿ ¿ 2+ ( sin ( u ) ) ]−z2 −20 z −100=0 ¿ t 2−z 2−20 z−100=0 Para completar la parametrización, se necesita asignar un valor a z, de tal manera que se cumpla la igualdad 0=0. Y si se observa la imagen 3, se puede apreciar que el origen del cono se encuentra desplazado 10 unidades en dirección de z negativo. Por lo tanto definimos que z=t-10

t 2−( t −10 )2−20 (t−10)−100=0 t 2−t 2+20 t−100−20 t+200−100=0 0=0 Siendo las ecuaciones paramétricas del cono con sus respectivos intervalos de graficación x=t∗cos ( u ) y=t∗sin (u ) z=t−10 0 ≤ t ≤10

0 ≤ u≤ 2 π

c) Elaborar gráficas (aplicando software matemático) de las superficies parametrizadas con escalas adecuadas para verificación de las dimensiones.

Imagen 2. Superficie geométrica de una semiesfera.

Fuente: Winplot

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Imagen 2. Superficie geométrica de un cono

Fuente: Winplot

Imagen 3. Superficie geométrica correspondiente a una semiesfera y un cono.

Fuente: Winplot

d) Determinar las ecuaciones de la curva de intersección de las dos superficies y longitud de esta curva (verificar usando la fórmula de longitud de una circunferencia P=2πr). 9

Para determinar la curva de intersección de las dos superficies es necesario plantear un sistema de ecuaciones y resolver este por los distintos métodos como igualación, sustitución, reducción, entre otros, a fin de determinar mediante ecuaciones paramétricas la curva de intersección que como se puede apreciar en la Imagen 3 y en la Imagen 6, corresponde a una circunferencia. Se tienen las ecuaciones: 1.- x 2+ y 2=100−z 2 2.-x 2+ y 2−( z+ 10 )2=0 Sustituimos 1 en 2

( 100−z 2) −( z∗10 )2=0 100− z2− z2−20 z −100=0 −2 z ( z−10 ) =0 z=0 z=10 Obteniendo finalmente las ecuaciones paramétricas: x=10cos(u) y=10sin(u) z=0 Para calcular la longitud de arco se parte de la ecuación: 2π

L=∫ √ (dx /du)2+(dy /du)2 +(dz /du)2 du 0

dx/du=-10sin(u) dy/du=10cos(u) dz/du=0 2π

L=∫ √ (−10 sin(u))2 +(10cos (u))2 +(0)2 du 0

2π

L=∫ √ 100∗(sin(u))2 +100∗(cos (u))2 +( 0)2 du 0

2π

L=∫ √ 100[( sin(u))¿¿ 2+( cos(u))2 ]du ¿ 0

2π

L=∫ √ 100 du 0

L=10 ( 2 π )−10 ( 0 ) 10

L=20 π unidades Se comprueba el resultado con la ecuación L=2πr, sabiendo que el valor del radio es 10 unidades. L=2∗π∗10 L=20 π unidades d) Hallar las ecuaciones de las superficies en coordenadas cilíndricas y esféricas.

1.- x 2+ y 2+ z 2=100

Coordenadas Cilíndricas ¿¿ r 2 cos θ2 +r 2 sin θ2+ z2 =100 2

2

2

r [cos θ ¿ ¿ 2+sin θ ]+ z =100 ¿ z=√ 100−r 2

Coordenadas Esféricas x 2+ y 2+ z 2=100 ρ2=100 ρ=10

2.- x 2+ y 2−( z +10)2=0

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Coordenadas Cilíndricas x 2+ y 2−z 2−20 z−100=0 ¿¿ r 2−z 2−20 z=100 r 2−z 2−20 z−100=0 r 2−( z 2+ 20 z +100)=0 r 2−( z +10)2 =0 r =z+10 z=r −10 Coordenadas Esféricas x 2+ y 2−z 2−20 z−100=0 ( ρ∗sin φ∗cosθ)2 +( ρ∗sin φ∗sinθ)2−( ρ∗cos φ )2−20( ρ∗cos φ)−100=0 2

2

ρ ( sin φ ) ¿ ρ2 ( sin φ )2 ¿

(−1 )∗¿ ¿ 2

−ρ2 ( sin φ ) + ρ2 ( cos φ ¿ 2+20 ρ(cosφ) ¿ ]=−100 ρ2 ¿ ρ2 cos 2 φ+20 ρcosφ+100=0

CONCLUSIONES. 12

Mediante este trabajo se ha logrado identificar las aplicaciones que tienen las coordenadas geométricas, cilíndricas y esféricas al momento de trabajar con superficies geométricas, facilitando la presentación de las ecuaciones a fin de poder emplear otros análisis como: longitud de arco, volumen de la superficie, entre otros. También se ha logrado realizar el estudio de las superficies de revolución en el plano tridimensional para obtener superficies. Como se ha visto la parametrización de una figura es un aspecto muy importante en el estudio de superficies cuádricas ya que mediante este proceso se facilita la tarea de graficar dichas superficies mediante software. BIBLIOGRAFÍA  

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Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas (7a. ed.). México, D.F.: CENGAGE Learning. Sites.google.com. (2019). Coordenadas cilíndricas y esféricas - Diario de Cálculo Vectorial. [Online] Disponible en: https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/coordenadas-cilindricas-yesfericas [Consultado el 26 de mayo del 2019]. Rodriguez, J. (2011). Parametrización de superficies en R3. [Online] Fing.edu.uy. Disponible en: https://www.fing.edu.uy/~jana/calc3_2011/clase12.pdf [Consultado el 26 de mayo del 2019].

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