t Are a 5 Rodolfo Prieto
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Carrera: Ingeniería en sistemas computacionales. Catedrático: Raúl Federico Melo Flores. Asignatura: Álgebra. Módulo: 3. Álgebra Tarea: 5. Propiedades de los Determinantes.
Alumno: Rodolfo Prieto Prieto Santiago Matrícula: A13000461
Realiza los siguientes ejercicios .
a) Evalúa los determinantes para cada una de las siguientes matrices. A
2 3
1 E 5 7
1
B
5
2 0 1
3 6 4
3 2 1 2 9 F 3 0
C
2 2 0
4 2
6 3 1
1
3
D
5 2 3 4
1 2 4 G 1 2 1
3
0 0
Solución Para A, se tiene que su determinante es :
| | || || || || || || || || Para B, se tiene que su determinante es:
Para C, se tiene que su determinante es:
Para D, se tiene que su determinante es:
Ahora, para calcular los determinantes de E, F y G, lo haré por la regla de sarrus, veamos como nos queda: =
Determinante de E=
es 35 =
|| || || || * + Determinante de F =
es -72
Determinante de G =
es -27
b) Encuentre los siguientes menores y cofactores para la matriz A, E, F y G. 1.- M11 y C11 de la matriz A= Solución
Si A=
2.- M23 y C23 de la matriz E. Solución
Si
Para E, se tiene que
3.- M21 y C21 de la matriz G. Solucion
Si
Para G, se tiene que
4.- M33 y C33 de la matriz F. Solución
Si
Para F, se tiene que
c) Demuestre la propiedad
AB A B
usando la matriz A y B antes mencionadas.
Solución
| | | | | | | | | | | | | | | | | * +* + || | * + Del inciso a, sabemos que demostrar que
, por tanto, debemos
, veamos que esto sea cierto : Hipótesis
Sustitución de A y B y operando AB
Simplificando AB
=56
Calculando
Realizando operaciones lado izquierdo
28 + 28 = 56
Simplifacando
56 = 56 QED
Dado a que la hipótesis se verifica, podemos concluir que en efecto
d) Demuestra la propiedad Solución
Del inciso a, sabemos que
A
1
1 A
| | | | |
usando la matriz F.
||
, por tanto, debemos demostrar que
|| ||
Veamos que esto sea cierto :
|| || || [ ] [ ] ()( ( )+
Hipótesis
Sustitución de
||
Sustitución de
Calculando transpuesta
Operando
Operando y simplificando
Calcular determinante por cofactores eligiendo fila 3
Realizando operaciones lado izquierdo
Operando y simplificando
QED
Dado a que la hipótesis se verifica, podemos concluir que en efecto
|| -
e) Calcula los de determinantes de las siguientes matrices de 2X2. A
3 5
2
B
1
3 1
0
6
Solución Para
| |
Se tiene que Para B
Se tiene que B está en forma triangular, por lo que su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal, así, tenemos que:
||
El determinante de A es -7 y el determinante de B es -18
f) Calcula los determinantes de las siguientes matrices de 3X3.
1 A 1 2
2
4
4
3
0
1 B 0 1
5
3
2
5
2
7
6
Solución
Ambos determinantes los calcularé por cofactores, sin embargo, para facilitar los cálculos, haré operacionen elementales para conseguir más ceros en la 2da columna de A y 1ra columna de B , así, tenemos que:
Para A
| |
Para B
||
g) Calcula el determinante aplicando el método de cofactores de la siguiente matriz, 0 3 2 4 2 A 1 1 3 5
Solución
Se observa que la fila 1 tiene un cero, por tanto, se trabajará con dicha fila, por lo que el determinante es:
| |
=
h) Una vez calculado el determinante de la matriz A del inciso g), Calcula la Adjunta. Solución
i) Con la Adjunta de la matriz A del inciso h). Ahora calcula la A -1 de la matriz A. Solución
| | || [ ] [ ] Del inciso g, sabemos que
, y del inciso h, sabemos que
Así, tenemos que: A-1
Verificación realizada en Excel
Dado a que la verificación se cumple, podemos concluir que
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