T 01 El Método de Amplificación de Momentos

MÉTODO DE AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS Introducción  Las columnas esbeltas según el código del ACI se diseñan por los mismos métodos que las columnas cortas. La diferencia se encuentra en que los momentos de diseño incluyen los efectos de segundo orden. El código propone dos métodos para su determinación. El primero consiste en efectuar un análisis de segundo orden en el que debe considerarse la influencia de las cargas axiales, deflexiones, duración de cargas, agrietamiento de las secciones, etc. Es sumamente laborioso si no se trabaja con la ayuda de un computador y por ello se propone un segundo procedimiento, denominado método de amplificación de momentos, que consiste en incrementar los momentos calculados en un análisis de primer orden por un factor definido.  El código del ACI establece que el método de amplificación de momentos no debe utilizarse para el diseño de columnas cuya esbeltez (klu/r) supere 100. Esto se debe a la falta de ensayos sobre el comportamiento de este tipo de estructuras con la consiguiente incertidumbre respecto a la validez del procedimiento presentado. Desarrollo El método de amplificación de momentos se basa en un análisis de 2" orden. Para tener una idea del procedimiento seguido para la determinación de los factores de amplificación, éste será deducido para una columna biarticulada sometida a carga axial y momentos iguales en sus extremos (ver figura 10.21).

Figura 10.21. Diagrama de momentos de primer y segundo orden de una columna sometida a flexo-compresión. Asumiendo que la deformada producida por el momento externo tiene la forma de media onda sinusoidal, la deflexión producida por los momentos de segundo orden

∆ a es:

Reemplazando (1 0- 15) en la expresión anterior, se obtiene:

y la deflexión total en el centro de la columna es:

El momento total en esta sección es:

Haciendo uso de (10-21) y sabiendo que:

Empleando la siguiente identidad, partiendo de (10- 15):

en la expresión anterior se obtiene, después de acomodar términos:

El factor de amplificación d corresponde a una columna biarticulada sometida a momentos flectores iguales en sus extremos. El término 0.23P/Pc depende de la forma del diagrama de momentos flectores de primer orden. En columnas sometidas a momentos diferentes en sus extremos, resulta conservador despreciarlo y de este modo se obtiene:

Cuando la columna tiene momentos diferentes en sus apoyos, el momento máximo de primer orden no se presenta en la misma sección que el momento máximo de segundo orden y por lo tanto no es correcto sumarlos directamente. Si los momentos secundarios son elevados, el momento máximo se presentará entre los apoyos de la columna y si son bajos, en uno de los extremos, como se aprecia en la figura 10.22. Para hacer extensivo el método presentado a estos casos, el momento máximo en el extremo M, se multiplica por el factor Cm. Esta medida tiene como objetivo, convertir el máximo momento en el extremo del elemento en un momento uniforme CM, de modo que al aplicarle el factor de amplificación, el momento amplificado sea similar al que se hubiera obtenido de sumar los momentos de primer y segundo orden (ver figura 10.23): El código del ACI define formulaciones distintas para el diseño de columnas esbeltas de pórticos sin desplazamiento horizontal y pórticos con desplazamiento horizontal.

Método de amplificación aplicado columnas de pórticos sin desplazamiento horizontal No se toma en cuenta cuando:

M1= Menor momento amplificado en los extremos del elemento, positivo si la flexión es en simple curvatura y negativo si lo es en doble curvatura. M2= Mayor momento amplificado en los extremos en la columna, siempre positivo. Por eso M1/M2 es positivo para flexión en simple curvatura y negativo para flexión en doble curvatura En el primer caso, los elementos a compresión se diseñarán para P y Mc donde:

El factor de amplificación

δ ns

está definido por:

Figura10.22. Magnitud de los momentos máximos respecto a los momentos secundarios en columnas esbeltas.

Figura

10.23. Significado del parámetro

Cm .

En esta expresión, el factor φ se ha reemplazado por 0.75 ya que se ha demostrado el tipo de refuerzo transversal de la columna no afecta el cálculo de δ as .

El término EI se considera igual a:

Dónde: Es: Modulo de elasticidad del acero. Ise: Momento de inercia del refuerzo respecto al eje centro ideal de la sección bruta. βd:

Máxima carga axial amplificada sostenida Máxima carga axial amplificada

En forma aproximada se puede tomar βd = 0.6 por lo que EI = 0.25ECIg (ACIR.10.12.3). Si el elemento no está sometido a cargas transversales entre apoyos el parámetro Cm está definido por:

En caso contrario, se tomara igual a la unidad. El momento M2 en la ecuación (10-23) no se tomará menor que:

En los elementos en los que M2mín supere M2, el valor de Cm podrá ser determinado a través de la expresión (10-28) o podrá asumirse igual a la unidad, indistintamente. Método de amplificación aplicado columnas de pórticos con desplazamiento horizontal No se toma en cuenta cuando:

Los momentos en los extremos del elemento sometido a compresión, M 1 y M2, se determinan a través de las siguientes expresiones:

Dónde: M1ns: Momento factorizado en el extremo del elemento donde actúa M 1 debido a cargas que no producen desplazamientos laterales apreciables. M2ns: Momento factorizado en el extremo del elemento donde actúa M 2 debido a cargas que no producen desplazamientos laterales apreciables. M1s: Momento factorizado en el extremo del elemento donde actúa M 1 debido a cargas que producen desplazamiento laterales apreciables. M2s: Momento factorizado en el extremo del elemento donde actúa M 2 debido a cargas que producen desplazamientos laterales apreciables. δ2: Factor de amplificación de momento en elementos no arriostrados. Para estimar los términos δsMs en las expresiones (10-30) y (10-31), se pueden emplear tres procedimientos: 1. Estimar el valor de δsMs a través de un análisis de 2º orden empleando las propiedades de los elementos definidas en la sección 10.4.2. 2. Evalúa el termino δsMs a través de la siguiente expresión:

Si el factor de amplificación δs, excede 1.5, este procedimiento no podrá ser empleado para estimar el valor de δsMs. 3. Estimar el valor de δsMs mediante la siguiente expresión:

Dónde: ∑Pu: Suma de las cargas verticales de las columnas del entrepiso en estudio. ∑Pc: Suma de las cargas criticas de las columnas del entrepiso que aportan rigidez lateral. La carga critica, Pc, y la rigidez a la flexión. EI, se evalúan empleando las expresiones (10-26) y (10-27).

Si el la esbeltez del elemento a compresión es mayor que:

La columna deberá ser diseñada para resistir la carga P u y el momento Mc calculando a través de (1023) utilizando los valores de M1 y M2 determinados mediante (10-30) y (10-31), o sea:

Ya que al ser la columna muy larga. El máximo momento puede ocurrir en cualquier sección de la misma. El parámetro βd se tomará:

Cuando las fuerzas horizontales son de corta duración como en el caso de sismos: βd = 0 Si las fuerzas horizontales son permanentes, no de sismo, se puede tomar por simplificación βd = 1 Además de verificar las condiciones de resistencia de la estructura bajo la acción de cargas laterales, el código recomienda considerar también su estabilidad a través de los siguientes criterios (ACI-10.13.6):

1. Si δsMs se evalúa mediante un análisis de 2º orden, el cociente de las deflexiones laterales de 2º orden entre las deflexiones laterales de 1 er orden, debidas a 1.4 veces la carga permanente, 1.7 veces la carga viva más la carga lateral, no deberá ser mayor que 2.5. 2. Si δsMs se estima haciendo uso del índice de estabilidad, Q, este parámetro evaluado para la suma de las cargas verticales ultimas debidas a 1.4 veces la carga permanente más 1.7 veces la carga viva. No deberá exceder 0.6. 3. Si δsMs se determina a través de la expresión (10-33), el factor de amplificación 8s, evaluado utilizando ∑Pu y ∑Pc correspondientes a la carga axial permanente factorizada y la carga viva factorizada, deberá ser positivo y menos que 2.5. Para la verificación de la estabilidad de la estructura, el parámetro δs, evaluado utilizando ∑Pu y ∑Pc correspondiente a la carga axial permanente factorizada y la carga viva factorizada, deberá ser positivo y menor que 2.5.

Adicionalmente, el código recomienda que en pórticos con desplazamiento horizontales, las vigas sean diseñadas con los momentos amplificados de las columnas. Esto pretende evitar la formación y reducción de la capacidad de carga de las columnas.