Szendrei János, Tóth Balázs - Bevezetés a matematikai logikába

Dr. Szendrei János— Dr. Tóth Balázs

BEVEZETES k

A

PA TIKA I LOGIKABA

BEVEZETÉS A MATEMATIKAI LOGIKÁBA

Dr. Szendrei János-Dr. Tóth Balázs

BEVEZETÉS A MATEMATIKAI LOGIKÁBA

NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST

Bíráló: dr. Urbán János

Felelős szerkesztő: Balassa Zsófia

ISBN 963 18 7547 4 © Szendrei János, Tóth Balázs, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., 1996 A mű más kiadványban való részleges vagy teljes felhasználása, utánközlése, illetve sokszorosítása a Kiadó engedélye nélkül tilos! Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. A kiadásért felel: dr. Ábrahám István vezérigazgató Felelős főszerkesztő: Palojtay Mária Műszaki szerkesztő: Görög Istvánné Szedés, tördelés: Nagy Katalin Terjedelem: 13,9 (A/5) ív Első kiadás, 1996 Raktári szám: J 11-1194 Kőpapír Kiadó és Nyomda Kft., Budapest - 96-0117 Felelős vezető: Budai Sándor ügyvezető igazgató

TARTALOM

Előszó .................................................................................................................... 7 I. FEJEZET. BEVEZETÉS 1 . A logika tá rgya ........................................................................................... 9

2. Kijelentés, logikai érték ........................................................................11 3. Predikátum ............................................................................................... 13 4. Összetett kijelentés..................................................................................15 II. FEJEZET. KIJELENTÉSLOGIKA 1. A negáció.....................................................................................................17 2 . A konjunkció............................................................................................. 19 3 . A diszjunkció ....................... ..................................................................... 23

4. Az im plikáció............................................................................................. 26 5. Az ekvivalencia .......................................................................................... 28 6 . A kijelentéslogika míiveleteiröl ................................. ...........................30

7. Kijelentéslogikai formulák .....................................................................33 8 . Kijelentéslogikai formulák interpretációja ......................................... 37

9. Kijelentéslogikai egyenértékű forma]ák ...............................................39 10. A kijelentéslogika következniényfogalma..............................................40 1 1 . A matematikai tételek kijelentéslogikai vizsgálata............................46

12. Levezetés a kijelentéslogikában..............................................................49 13. A klasszikus logika néhány következtetési sém ája............................51 14. Diszjunktív normálforma............................................................... ........53 15. Logikai áram körök................................................................................... 55

III. FEJEZET. PREDIKÁTUM LOGIKA 1. Műveletek predikátumokkal................................................................... 58 2. Kvantifikáció.............................................................................................61 3. Formalizálás a predikátumlogikában.................................................... 64 4. Formulák a predikátumlogikában.......................................................... 66 5. Predikátumlogikai formulák interpretációja....................................... 69 6 . Ekvivalens predikátumlogikai formulák.............................................. 75 7 . A predikátumlogika következményfogalma.........................................78 8 . Levezetés a predikátumlogikában..........................................................82

9. Példák elsőrendű nyelvre........................................................................ 84 10. Az egyrétű form ulák................................................................................87 1 1 . A szillogisztikus és a szinguláris következtetések..............................91 1 2 . Az azonosságpredikátum........................................................................ 96

13. A matematikai logika történetéről........................................................99 IV. FEJEZET. A HAGYOMÁNYOS LOGIKA FŐBB TÉMÁIRÓL 1 . A logika tárgyának hagyományos felfogása..................................... 104 2 . A logika alaptörvényei.......................................................................... 105

3. A fogalom ról........................................................................................... 108 4. Az ítélet elmélete....................................................................................114 5. A következtetés elmélete.......................................................................116 6 . A megismerés módszerei.......................................................................116

7. H ipotézis.................................................................................................. 121 8 . Axiomatikus m ódszer............................................................................ 123

F E L A D A T O K .................................................................................................127 IRODALOM JEGYZÉK ..............................................................................156

ELŐSZŐ

A jelen anyag matematika szakos tanárjelöltek és gyakorló tanárok szá­ mára készült, s célja az, hogy a logika matematikai szemléletű tárgyalását nyújtsa. A matematikatanítás alkalmazásra képes logikai ismereteket is kíván fej­ leszteni, amelyek a matematikai tevékenység gyakorlása során elősegítik a pontos, szabatos nyelvi kifejezési módokat, a helyes következtetési eljárások elsajátítását. A gondolati tartalom pontos nyelvi megfogalmazása és a nyelvi formában közölt információ megértése, valamint ennek logikailag egyenértékű, de más szavakkal való megfogalmazása a pedagógus és a tanítványa közötti kapcsolatnak egyik nélkülözhetetlen alapja. A matematikatanításban nagyon fontos a fogalmak és a tételek, s azok bizonyításainak logikai szerkezetét vi­ lágosan feltárni. A tanítás során el kell érni, hogy a tanulók értelmesen és helyesen használják az „és” , „vagy” , „tehát” , „nem mind” , „mind nem” , „van olyan” , „nincs olyan” , „legalább” , „legfeljebb” , „elégséges feltétel” , „szükséges feltétel” stb. szavakat. Ezeknek tudatos elsajátítását szolgálja a tanárképzés­ ben a matematikai logika elemeinek, módszereinek tanítása. A matematika iskolai tanítása során azonban nem a matematikai logika „formalizmusát” kell tanítani, hanem a matematikai tananyagban a megfelelő nyelvi kifejezéseken keresztül kell a tanulókkal mindezt elsajátíttatni. A feldolgozott anyag a matematikai logika módszereit felhasználva tár­ gyalja a hagyományos logika néhány fejezetét is. Az elméleti anyag jobb megértését szolgálják a feladatok, amelyeknek egy része az iskolai tananyag köréből való. A könyv végső tartalmának és formájának kialakításáért hálás köszönetüket fejezik ki a szerzők dr. Urbán Jánosnak gondos lektorálásáért és értékes javaslataiért, a Nemzeti Tankönyvkiadónak a megjelentetésért, személy szerint Balassa Zsófiának a szerkesztésre fordított hozzáértő és lelkiismeretes munká­ jáért, valamint Nagy Katalinnak, a JATE Bolyai Intézet titkárának figyelmes szövegszerkesztő tevékenységéért.

I.

fejezet

BEVEZETÉS

E fejezetben tárgyaljuk a későbbiekben is szükséges legalapvetőbb fogal­ makat, amelyeknek a felhasználásával körvonalazhatjuk a két értékű logika ele­ meit.

1. A logika tárgya A mindennapi életben, s még inkább a különböző tudományágakban, így a matematikában is gyakran használunk ilyen kifejezéseket: „Ebből (ill. ezek­ ből) következik, hogy vagy „Ha teljesül, akkor abból ... következik” . Tekintsünk néhány példát, ahol a hagyományos jelölésnek megfelelően egy vízszintes vonal fölé írjuk a premisszákat (feltételeket), alá a konklúziót (záró­ tételt). Példák 1. (a) Ha folyik a víz a kádba, akkor tartózkodik valaki a lakásban. (b) Folyik a víz a kádba.____________________________________________ (c) Tartózkodik valaki a lakásban.

Ha az (a) és (b) kijelentést igaznak fogadjuk el, akkor ezekből nyilvánva­ lóan (c) következik - mondja mindenki. Miért tartjuk ezt a következtetést helyesnek? Erre most csak ilyesféle választ tudunk adni: Az (a), (b), (c) állítások bármelyike lehet önmagában igaz is, lehet hamis is. Lehetetlen azonban, hogy (a) és (b) igaz, de (c) hamis. 2. (a) Ha Péter éveinek száma osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel is. (b) Péter éveinek száma nem osztható 2-vel._________________________ (c) Péter éveinek száma nem osztható 6-tal.

Ezt a következtetést is igaznak érezzük, bár itt sem tudjuk, hogy a konk­ lúzió igaz-e vagy sem. Az (a) premissza matematikai ismereteink alapján igaz. A (b) premissza és a (c) konklúzió igaz volta attól függ, hogy konkrétan kiről van szó. Más-más a helyzet, ha olyan Péterről van szó, aki 16, 17, ill. 18 éves. Az azonban lehetetlen, hogy (a) és (b) igaz, de (c) hamis. 3. (a) Ha 3 nem osztója 35-nek, akkor 9 nem osztója 35-nek. (b) 3 nem osztója 35-nek.____________________________ (c) 9 nem osztója 35-nek.

Észrevehetjük, hogy ez a következtetés az 1 . példában szereplő következ­ tetéssel megegyező szerkezetű, ugyanis mindkettő a következő sémával fejez­ hető ki, ahol g a megfelelő kijelentő mondatokat jelenti: Ha p, akkor q. P Azt tapasztaljuk, hogy p, g helyébe bármilyen (akár igaz, akár hamis) kijelentést is írunk, a fenti következtetés helyes. Tehát megállapíthatjuk, hogy egy következtetés helyessége nem az egyes kijelentések tartalmától, hanem a benne szereplő kijelentések szerkezetétől függ. Egy kijelentés szerkezetének a feltárása alaposabb elemzést kíván. Te­ kintsük a következő példát: 4. (a) A vastárgyak mágnesezhetek. (b) A szekrény kulcsa vasból van. (c) A szekrény kulcsa mágnesezhető.

A 4. példában szereplő (a) kijelentés - a logikai tartalom megváltozta­ tása nélkül - így is megfogalmazható: Minden tárgy, ha vasból van, akkor mágnesezhető. Ebben az átfogalmazásban már összetett mondatról van szó. Vezessük be a következő jelöléseket: Px X vasból van; Q x := X mágnesezhető; a := A szekrény kulcsa. Az := jelet definiáló egyenlőségjelnek nevezzük. Az :== jelet úgy használ­ juk, hogy a jel bal oldaláraírjuk azt a jelet, betűt, amit definiálunk, s a jel jobb oldalára írjuk azt, amivel definiálunk, azaz ami a definiált jelnek, fogalomnak a jelentése. Ezek felhasználásával az előbbi kijelentés így írható le: Minden x-re: ha P x , akkor Qx^ ahol 10

X

tetszőleges tárgyat jelenthet.

A 4. példa szerkezete (sémája) tehát a következő: (a) Minden x-re: ha Px^ akkor Q x, (b) Pa (c) Qa Végül tekintsük az alábbi példát: 5. (a) A 0-ra végződő egész számok oszthatók 5-tel. (b) 20 utolsó számjegye 0.____________________ (c) 20 osztható 5-tel.

Könnyen látható, hogy ennek a következtetésnek is ugyanaz a sémája, mint az előbb. Vezessük be ugyanis a következő jelöléseket, ahol x tetszőleges egész számot jelenthet. P x := X nullára végződik; Qx := X osztható 5 -tel; a := 2 0 . Ekkor az 5. példa sémája a következőképpen alakul: (a) Minden a;-re: ha Px^ akkor Qx^ (b) Pa (c) Qa Az ilyen séma - az edigi tapasztalataink szerint - helyes következtetést fejez ki, függetlenül a benne szereplő kijelentések tartalmától és igazságától. Annyit most is megállapíthatunk, hogy ha (a) és (b) igaz, akkor lehetetlen, hogy (c) nem igaz. A következtetések szerkezetének a vizsgálata, valamint a helyes következ­ tetések szerkezetének a feltárása képezi a logika alapvető feladatát. Ezeknek a kérdéseknek az alaposabb vizsgálatához azonban előbb tisz­ tázni kell a következő fogalmakat: kijelentés, igaz, hamis, kijelentés szerkezete, következmény, következtetési séma stb.

2. Kijelentés, logikai érték A kijelentések (ítéletek) nyelvtanilag kijelentő mondatok. Látni fogjuk azonban, hogy nem minden kijelentő mondat tekinthető kijelentésnek (ítélet­ nek). 11

A legegyszerűbb kijelentések azok, amelyek egy személyről, egy tárgyról, egy fogalomról stb., általánosan egy individuális dologról állítanak valamit. Daru István tanul. Kiss Borbála kék szemű. A Maros folyó. A 11 prímszám. A logika hasznos. Am i(k)röl valamit állítunk, az(oka)t individuum(ok)n 1 ) individuumról állítunk valamit. Ha a i,a 2 , . . . , ö n jelöli az individuumokat, P pedig jelöli a rájuk vonatkozó ál­ lítmányt (esetleg más mondatrészekkel együtt), akkor ennek a kijelentésnek a jelölése: Paia2 .. .ön (n > 1), ahol a i , ö 2 , .. . , 07^ egy U {^ 0 ) halmaznak (individuumtartománynak) az ele­ mei. Az ilyen szerkezetű kijelentéseket atomi kijelentéseknek nevezzük. Ha egy P a ia 2 .. .ün atomi kijelentésben az U halmazbeli a i , a 2 , . . . , a ^ individuumok helyére x i ^x 2 . . . névpótló jeleket írunk, ahol ezek az U tet­ szőleges elemei lehetnek, akkor a PXIX2 . . . Xn szerkezetű „hiányos” („nyitott” ) mondatot az U individuumtartományon ér­ telmezett n-argumentumú (n-változós) atomi predikátumndk^ az x i , x 2 , . . . , Xn-^i pedig individuumváltozóhci^k nevezzük. Az C/(t^0) halmazon értelmezett P x i x 2 . . . x n predikátum olyan nváltozós függvény, amelynek értelmezési tartománya az' í7-nak n-tényezős Descartes-féle szorzata, azaz U"^ = U X Í7 X . . . X Í7, és értékkészlete az {i, h} halmaz: P:U^-^{i,h}. Ennek alapján az U individuumtartományon értelmezett P x\ x 2 .. - x^ predikátum meghatározza az Descartes-féle szorzatnak azt a részhalmazát, amely elemeinek a képe i. S mivel az részhalmazait az U-n értelmezett n-változós relációkRdük is nevezik, azért azt is mondhatjuk, hogy az U halma­ zon értelmezett P x \ x 2 ••- Xn predikátum meghatároz az U-n egy n-változós relációt. Megállapodunk abban is, hogy egy, két, illetve három individuumváltozó esetén - ahogy ez a matematikában szokásos - duZ x^y^z betűket használjuk. 14

M egjegyzések 1. A PX\X2 .. .Xn helyett lehetne a függvényeknél hagyományos P { x \ , x 2 , .. .,X n) jelölést használni. 2. A III. fejezetben célszerű lesz a 0-változós predikátumokat is megengedni, s ezeken a kijelentéseket értjük. 3. Az individuumváltozók helyett névpótló jelként - elsősorban az alsófokú iskolai oktatásban - gyakran különböző szimbólumokat, jeleket használunk: Q? ❖,•••• Például: Q -l- A < 8; 0 barátja v-n ak . Az individuumváltozók feltüntetésével kiírt predikátumokat nyitott mondatoknak is nevezik. Ezt indokolja, hogy egy individuumváltozókkal feKrt predikátum nem ki­ jelentés. Ha egy nyitott mondatban az individuumváltozókat individuumnevekkel he­ lyettesítjük, zárt mondatot, azaz kijelentést kapunk. Pl. Bl-f 5 < 10 igaz, 1714-5 < 10 hamis.

4. Összetett kijelentés Kijelentő mondatokból nyelvtani szabályok szerint kötőszavak felhaszná­ lásával összetett kijelentő mondatokat alkothatunk. Kijelentésekből is kapha­ tunk így összetett kijelentő mondatokat, de ezek nem szükségképpen lesznek kijelentések. Példák A hőmérséklet 30° C fölé emelkedett. Péter megfürdött a Tiszában. Ezekből képezzük a következő kijelentéseket: a) A hőmérséklet 30° C fölé emelkedett, ÉS Péter megfürdött a Tiszában.

b) Péter megfürdött a Tiszában, MERT a hőmérséklet 30°C fölé emelkedett. Az a) alatti kijelentést - a megszokással összhangban - pontosan akkor tekintjük igaznak, ha a két komponens mindegyike igaz. Az a) alatti kijelentés logikai értékét tehát a komponensek logikai értéke egyértelműen meghatározza. Az a) mondat tehát logikai művelettel összetett kijelentés. Vizsgáljuk meg a b) alatti kijelentést. Tegyük fel, hogy a benne szereplő két mondat igaz. Ebben az esetben a b) kijelentés lehet, hogy igaz, de nem szükségképpen. Lehet ugyanis, hogy Péter nem azért fürdött meg a Tiszá­ ban, MERT a hőmérséklet 30°C fölé emelkedett. Ebben az esetben tehát az összetett kijelentő mondat logikai értékét a benne szereplő kijelentések logikai értékei nem határozzák meg egyértelműen. 15

A továbbiakban - a kijelentések közötti műveletek értelmezése érdekében - elfogadjuk az ún. értékelési alapelvet: Kijelentések közötti műveletről csak abban az esetben beszélünk, ha a ka­ pott összetett mondat is kijelentés, és annak logikai értékét a komponensek logikai értékei egyértelműen meghatározzák. Az értékelési elv elfogadása nélkülözhetetlen a matematikában, a termé­ szettudományban, sőt egyre inkább a humán tudományokban is. Kijelentések közötti műveletekkel és azok tulajdonságaival, valamint a kijelentések durvaszerkezetének formalizálásával foglalkozik a kijelentéslogika (más elnevezéssel az ítéletkalkulus). A kijelentések finomszerkezete, a predikátumok, az azokra vonatkozó mű­ veletek, azok formalizálása pedig a predikátumlogika (predikátumkalkulus) tárgyát képezik.

II.

fejezet

KIJELENTÉSLOGIKA

A kijelentések között - az értékelési alapelvet szem előtt tartva - néhány fontos és gyakran használt logikai műveletet értelmezünk, majd megvizsgáljuk ezek tulajdonságait, egymással való kapcsolatát. Ezt a következményfogalom bevezetése és néhány következtetési séma tárgyalása követi. Végül a kijelen­ téslogika és az áramkörök kapcsolatára mutatunk rá.

1. A negáció

Bármely kijelentésből képezhetünk egy újabb kijelentést, mégpedig a kö­ vetkező definíció szerint: D e fin íció . Tetszőleges p kijelentés negációykn {tagadásiji) a (1)

Nem p

kijelentést, illetve ennek valamilyen átfogalmazott alakját értjük. Jele: (2 )

^p. Példák 1.

Az 5 prímszám

kijelentés negációja: Nem teljesül, hogy 5 prímszám, ami így is mondható: Az 5 nem prímszám.

17

2. A 4 nem prímszám kijelentés negációja: Nem áll fenn, hogy a 4 nem prímszám. 3. Mindenki szereti a matematikát kijelentés negációja: Nem igaz, hogy mindenki szereti a matematikát, más szóval: Nem mindenki szereti a matematikát, még másképpen: Van, aki nem szereti a matematikát.

Egy kijelentés negációja, amint látjuk, többféleképpen is megfogalmazha­ tó. Összetett kijelentések negációjának különböző alakú megfogalmazására a későbbiekben térünk vissza. A p kijelentés negációjának logikai értékét így definiáljuk: D e fin íció . (3)

ha ha

h p l := {

IpI = i, \p\ = h.

Ugyanez értéktáblázattal: (4) P

M egjegyzések 1. Mivel egy kijelentés negációjának logikai értékét a kijelentés logikai értéke egyértelműen meghatározza, a negáció egyváltozós logikai míivelet. 2. A negáció szót a fentiek szerint két értelemben használjuk, egyrészt jelenti a logikai míiveletet, másrészt e logikai míivelet eredményét. Az aritmetikában külön elnevezés van a míiveletre és az eredményre, pl. összeadásról, ill. összegről, szorzásról, ill. szorzatról beszélünk. 3. A negáció jelölésére a most bevezetett jel mellett a következők használatosak:

~V') ~

Pj ^P-

Tekintsük most a p kijelentés kétszeres tagadását:

18

Ennek logikai értéke a negáció definíciója szerint: p ^p —1—ip i h i h h i A táblázat alapján nyilvánvaló, hogy p és -i-ip logikai értéke minden esetben megegyezik, azaz \p\ = h-'P lEz a kettős negáció tétele. T é te l. Egy kijelentés kétszeres negációjának logikai értéke megegyezik magának a kijelentésnek a logikai értékével. Példák 10 osztható 5-teL Ennek negációja: 10 nem osztható 5-teL Ismételt negációval a következőt kapjuk: Nem teljesül, hogy 10 nem osztható 5-tel. Bár ez a kijelentés nem azonos a kiindulásul választott „10 osztható 5-tel” kijelentéssel, de logikai értékük egyező.

A kétszeres negáció szabálya alapján kapjuk a következőt: IpI = h ^ pl = |-ip| =

= •••

= l-i-i-i-i-ipl =

...

K ö v e tk e z m é n y . Egy kijelentés előtt álló n (> 1) számú negációjelből pá­ ros számú mindig elhagyható.

2. A konjunkció D e fin íció . Tetszőleges p, q kijelentések konjunkcióján értjük a p és q 19

kijelentést (ill. ennek valamilyen átfogalmazását). Jelölése: ( 1)

pAq,

ahol p, q a. konjunkció tagjai. Példák 1. Pista barna hajú; Pista szemüveges. Ezeknek a kijelentéseknek a konjunkciója: Pista barna hajú és Pista szemüveges, vagy más megfogalmazásban: Pista barna hajú és szemüveges. 2. Az 5 prímszám. Szeged a Tisza partján fekszik. Ezek konjunkciója: Az 5 prímszám és Szeged a Tisza partján fekszik.

A köznyelvi használattal megegyezően két kijelentés konjunkciója nem más, mint a két kijelentés együttes állítása, amely pontosan akkor igaz, ha a konjunkció mindkét tagja igaz. Ennek megfelelően két kijelentés konjunkciójának a logikai értékét a következőképpen definiáljuk: D e fin íció .

( 2)

i, ha IpI = |g| = i,

\pAq\ : =

/i, más esetben.

Ez a definíció értéktáblázattal: p i i h h

q i h i h

pAq i h h h

Négyzetes táblázatba foglalva tömörebben: A i h i i h h h h

20

M egjegyzések 1. Az elmondott definícióból világos, hogy két kijelentés konjunkciójának logi­ kai értékét a két tag logikai értéke egyértelműen meghatározza. Ezért a konjunkció kétváltozós logikai művelet. 2. A konjunkció elnevezést két értelemben használjuk, egyrészt a logikai művelet, másrészt a művelet eredményének a megnevezésére. A konjunkció szó latin eredetű, jelentése: összekapcsolás. 3. A konjunkció jelölésére használatosak az irodalomban a következő jelek: p - q , pq, pkq, Kpq. 4. A köznyelvben az ÉS kötőszó helyett állhat például DE, NOHA, BÁR, ÁM ­ BÁR, MEG, VISZONT, ... IS ... IS stb. Ezek a kötőszavak a köznyelvben hangulati­ lag befolyásolják az összetett kijelentést, de logikai érték szempontjából nem. Például: Pista jól vizsgázott, bár nem tanult; Zsuzsa kék szemű, de barna hajú; A 10 osztható 2-vel is, 5-tel is. Az utóbbi példa azt is mutatja, hogy a köznyelvben a konjunkcióval képzett kijelentéseket tömörítjűk.

Készítsük el p A q értéktáblázata mellett a q A p konjunkció értéktáblázatát is: p i i h h

q i h i h

pAq i h h h

qAp i h h h

Látható, hogy mindkettőnek rendre ugyanazok a logikai értékei, amiért azt mondjuk, hogy p A q logikailag ekvivalens q A p-vel, azaz (3)

|pAg| = |gAp|. Ennek alapján mondhatjuk, hogy a konjunkció művelete kommutatív. Hasonlóan értéktáblázat alapján belátható, hogy

(4)

|(pAg)Ar| = |pA(5Ar)|,

azaz ( p A q) A r logikailag ekvivalens p A { q A r)-rel. P i i i i h h h h

9 i i h h i i h h

r (p A q) i i h i h i h h i h h h h i h h

Ar p A{qAr) i i i h h h h h h h h h h h i h h h h h h h h h 21

Ez pedig azt jelenti, hogy a konjunkció művelete asszociatív. Véges sok p i , p 2 , ••• finícióval értelmezzük:

kijelentés(változó) konjunkcióját un. rekurzív de­

a) Az egytagú konjunkció magát a kijelentés(változó)t jelenti; b) ha a pi Ap 2 A .. .A p n -i konjunkciót már értelmeztük, ahol n > 2 , akkor legyen Pl A P 2 A . . . A p n — ( pi A p 2 A . . . A p n - l ) A p n .

Bizonyítható, hogy az asszociativitásból következik, hogy n {> 3) esetén az eredmény független a zárójelezéstöl. (Lásd pl. Algebra és számelmélet c. tankönyv.) A kommutatív és az asszociatív tulajdonság alapján belátható, hogy tet­ szőleges véges sok kijelentés(változó) konjunkciójának logikai értéke független a komponensek sorrendjétől és azok zárójelezésétöl, továbbá pontosan akkor igaz, ha mindegyik komponens igaz. Végül könnyen látható, hogy p A p logikailag ekvivalens p-vel, azaz (5)

\p/\p\ = \p\-

Ez a konjunkció idempotens (^azonos hatványú) tulajdonsága. Mindezek alapján igaz a következei T é te l. A konjunkció kommutatív, asszociatív és idempotens. M egjegyzések 1. A konjunkció definíciója szerint

\VA ~^p\ = h, ami a kétértékü logikában az ellentmondástalanság elvét tükrözi. 2. Megfigyelhettük, hogy a negáció és a konjunkció pontos értelmezését az értéktáblázattal adtuk meg. A tagadó-, illetve kötőszavak és a módosítószavak használatá­ val egy kijelentés negációját, kijelentések konjunkcióját nyelvileg fejezzük ki, mégpedig stilárisan többféle változatban.

Két kijelentésből a negáció és a konjunkció felhasználásával képezhetjük többek között a következő kijelentéseket: p Aq -i(p A q) A ^q 22

Mindkettő teljesül; Nem mindkettő teljesül; legalább az egyik nem teljesül; legfeljebb az egyik áll fenn; Sem p, sem q nem igaz; egyik sem teljesül;

i(-ip A ^q) ~'{P A ~'q)

Nem igaz, hogy egyik sem teljesül; legalább egyik fennáll; Nem igaz, hogy p és nem g; p és nem q egyidejűleg nem teljesül; ha p, akkor q.

3. A diszjunkció D e fin íció . A p vagy q kijelentést a p ,q kijelentések diszjunkció^Ámk nevezzük, amit p\/ q jelöl, s rajta a következőt értjük: p y q := ^ ( ^ p A ^ q ) ,

( 1)

azaz p és q közül legalább egyik teljesül, p, g a diszjunkció tagjai. A definíció alapján p V g logikai értéke: h, ha IpI = |g| = /i,

\pVq\ =

( 2)

i^egy éhként^

azaz p V g pontosan akkor igaz, ha legalább egy tagja igaz. Értéktáblázata: p i i h h

Q py q i i h i i i h h

Négyzetes táblázatban: V i h i i i h i h Példák 1. Pista barna szemű vagy kék szemű. 2. A 4 prímszám vagy Szeged a Tisza partján fekszik.

M egjegyzések 1. A diszjunkció (=szétválasztás) elnevezést is két értelemben használjuk: műveletre is, és a művelet eredményére is.

23

2. A „vagy” kötőszót itt ún. megengedő értelemben használjuk, mert helyet­ tesíthetjük a „kettő közül legalább egyik esetben” körülírással. Az utóbbi időben a humán tudományokban ezt gyakran az „és/vagy” kifejezéssel helyettesítik, jelezve, hogy mindkét eset is megengedett. 3. A köznyelvben a „vagy” kötőszót többféle értelemben használjuk: (a) Az ah szorzat 0, ha a vagy h egyenlő 0-val. (b) Ilonka ma este 7-kor színházba vagy moziba megy. (c) A gyorsvonat legközelebb Kecskeméten vagy Nagykőrösön áll meg. Az (a)-ban „megengedő vagy”, a (b)-ben ún. „kizáró vagy” szerepel, mivel pontosan csak az egyik lehetséges, a (c)-ben pedig ún. „összeférhetetlen vagy” szerepel, hiszen adott esetben legfeljebb egyik állomás következhet. A matematikában a (b) és (c) esetet az (a)-tól megkülönböztetendö a „vagy” kötőszót többször alkalmazzuk. Pl. ... vagy színházba, vagy moziba. 4. A diszjunkcióra használatosak még a következő jelölések: p q, Apq. 5. A konjunkcióhoz hasonlóan értelmezhetjük véges sok kijelentés diszjunkcióját ún. rekurzív definícióval.

Értéktáblázatok segítségével igazolható a következő T é tel. A diszjunkció kommutatív, asszociatív és idempotens, azaz (3)

b Vg | = |^Vp|,

(4)

\ipv q ) y r\ = |pv ( í V r)|,

(5)

\py p\ = \p\.

A negáció, a konjunkció és a diszjunkció felhasználásával bizonyíthatók a következők. 1 A konjunkció , diszjunkcióra T e te i. A diszjunkció ^^^^orphv a konjunkcióra

(6)

b A ( p V 5 ) | = Ip I,

(7)

b V ( p A g ) | = |p|. B iz o n y ítá s . Értéktáblázattal: p q i i i h h i h h

24

pA(pVq) i i i i h i h h

pV(pAq) i i i h h h h h

T é te l (De Morgan-azonossság). Két kijelentés

tagadása

logikailag ekvivalens a két kijelentés tagadásának ^^Q^jl^^^ciój'ával’

(8)

h(pAí)| = h p V

(9)

h ( p V g)| = h p A ^^)|.

B izo n y ítá s. A diszjunkció definíciójában p helyett -ip-t és q helyett -i^-t írva, s az oldalakat felcserélve, valamint a kettős negáció törvényét felhasználva adódik a következő: |-i(pA^)| = hí JV ^q\. A diszjunkció tagadásából pedig adódik: h ( p V g)| = \^pA -^q\. (A bizonyítás értéktáblázattal is elvégezhető.) A köznyelvben a de Morgan-azonosságoknak megfelelően logikailag ekvi­ valensek az alábbi kifejezések: (a) Nem mindkettő; legalább egyik nem; egyik nem vagy másik nem; (b) Nem igaz legalább az egyik; nem igaz, hogy egyik vagy másik; sem egyik, sem másik. P élda Nem igaz, hogy 74 osztható 2-vel és 3-mal; 74 nem osztható 2-vel vagy nem osztható 3-mal; 74 nem osztható 2 és 3 közül legalább egyikkel. 1 ^ konjunkció ^ diszjunkcióra T e te i. A disztnbutív a konjunkcióra

(10)

|pA(^Vr)| = |( p Ag ) V( p Ar ) | ,

(11)

|pV( gAr) | = |( pV^) A( pVr ) |.

25

Bizonyítás. Értéktáblázattal:

p i i i i h h h h

9 i i h h i i h h

r p A(q\/ r) i i i i i h\ i i i h h h h i i h h i i h i h h h

{p Aq)\/ {p A r) i i i h i i h i i h h h h h h h h h h h h h h h

p\/ {q i i i i i h h h

A r) (p V g) i i h i h i h i i i h i h h h h

A (p V r) i i i i i i i i i i h h h i h h

A de Morgan-féle azonosságból a kettős negáció alapján belátható a kö­ vetkező összefüggés: ( 12)

IpA^I =

^g)|,

ami azt jelenti, hogy a konjunkció kifejezhető a negáció és a diszjunkció segít­ ségével* A diszjunkció definíciója pedig éppen azt mondja, hogy a diszjunkció ki­ fejezhető a negáció és a konjunkció segítségével.

4. Az implikáció D e fin íció . A p, g tetszőleges kijelentések implikációján^ amit p a következőt értjük: ( 1)

q jelöl,

p ^ q - . = ^{pA^q).

Ezt így olvassuk: p implikálja q-t. p az implikáció előtagja^ q az implikáció utótagja. A p q kijelentést a logikában a következő módon is szokás mondani: Ha p, akkor q. Ez nincs teljesen összhangban a köznapi nyelvvel. A „Ha p, akkor alakú összetett kijelentéseket ugyan mindig ábrázolhatjuk p —> q implikációval, azonban a p g szerkezetű kijelentéseket nem mindig szokás „Ha p, akkor 26

alakú mondatként fogalmazni. Például „az 5 prímszám” —> „Shakespeare francia” implikáció szokatlanul hangzik „Ha az 5 prímszám, akkor Shakespeare francia” alakban. Jobban elfogadjuk ehelyett a következő megfogalmazást: „Nem igaz, hogy az 5 prímszám és Shakespeare nem francia.” Az implikáció értéktáblázata: p i i h h

Q p^ q i i h h i i h i

Négyzetes táblázattal: -> i h i i h h i i Az implikáció értéktáblázata összhangban van a köznyelv használatával, amit az alábbi példa is illusztrál. Egy hallgató a következőt ígéri társának: Ha az előadás pontosan fejeződik be, akkor 12-kor a Dóm téren leszek. Az ígéretét csak abban az esetben nem tartja be, ha az előtag igaz, az utótag pedig hamis. M egjegyzések 1. Az implikáció tehát kijelentéslogikai művelet, ami azt jelenti, hogy bármely két kijelentésből készíthető implikációval egy újabb kijelentés. 2. Az implikáció (=összefonódás) műveletet szokás kondicionálisnak (=feltételes) is nevezni. Használatosak a következő jelölések is: p D q, Cpq.

Értéktáblázat alapján igazolható a következő állítás: T é te l. A z implikáció nem kommutatív, nem asszociatív és nem idempotens művelet. D e fin íció . A p q implikáció megfordításának nevezzük d. q p kációt, kontrapozíciójávidk pedig a -ig —> -ip implikációt.

impli­

Érvényes a következő tétel. T é te l. A z implikáció logikailag ekvivalens a kontrapozíciójával, azaz \p^q\ = \^q

^p\. 27

Bizonyítás. Értéktáblázattal: p i i h h

i h i h

p -^ q ^q -> -ip i h i h h i h h h i i i i i i i

K ö v e tk e z m é n y . A z implikáció megfordítása logikailag ekvivalens a meg­ fordítás kontrapozíciójával (a kontrapozíció megfordításával), azaz \q-^p\ = h p - ^ -'^lP élda Logikailag ekvivalensek a következő kijelentések: Ha esik az eső, akkor felhő van az égen. Ha nincs felhő az égen, akkor nem esik az eső. Tekintsük most a következő implikációt: Ha ember él egy bolygón, akkor ott van levegő. Ez másképpen azt jelenti, hogy Csak akkor él ember egy bolygón, ha ott van levegő.

A p

q implikáció a következőképpen is olvasható:

Ha p, akkor q (másképpen: p elégséges q fennállásához). Csak akkor p, ha q (másképpen: q nélkül p nem teljesül, azaz q szükséges p teljesüléséhez). Azt, hogy adott esetben melyik megfogalmazást használjuk, a tárgyalt probléma határozza meg. Pl. a geometriában azt vizsgálhatjuk, hogy az alak­ zatok egybevágóságához mely kijelentés teljesülése elégséges, ill. szükséges. Az egyenletek esetében beszélhetünk a megoldhatóság szükséges, ill. elégséges feltételeiről. A sorozatok konvergenciavizsgálatánál is keressük a konvergencia szükséges, ill. elégséges feltételeit. Az oszthatóság esetében is beszélhetünk szükséges, ill. elégséges feltételekről.

5. Az ekvivalencia D e fin íció . A p, g kijelentések ekvivalenciáján^ amit p ^ q jelöl, a követ­ kezőt értjük: ( 1) 28

q : =

( p - ,

q)

p).

Ezt így olvassuk: p ekvivalens g-val. Értéktáblázata: p i i h h

q i h i h

p^ q i h h i

i h

i h i h h i

A köznyelvben két kijelentés ekvivalenciája ritkán fordul elő, de a szaktudományokban, így elsősorban a matematikában gyakori. Az ekvivalencia az implikációnál elmondottak szerint alkalmas a követke­ ző alakú kijelentések kifejezésére: ( 2 ) Ha p, akkor q és ha g, akkor p. Ha ebben a konjunkcióban az első tagot az implikációnál említett formá­ ban fogalmazzuk meg: (3) Csak akkor p, ha q (azaz q szükséges p teljesüléséhez), a második tagot pedig így: (4) Akkor p, ha q (azaz q elégséges p teljesüléséhez), akkor (3)-nak és (4)-nek az összevonásával (2) így fogalmazható: ( 2 ') Akkor és csak akkor p, ha q (azaz q elégséges és szükséges p teljesüléséhez). A konjunkció kommutativitása miatt ( 2 ) így is mondható: ( 2 ") Akkor és csak akkor

ha p (azaz p elégséges és szükséges q fennállásához).

Az, hogy ( 2 '), ill. ( 2 ") közül adott esetben melyiket használjuk, azon múlik, hogy p, q közül melyik kijelentés az alapvetően fontos az adott vizsgá­ latnál. Pl. az egyenleteknél a megoldhatóság, a sorozatoknál a konvergencia, a síkbeli alakzatoknál az egybevágóság ilyen alapvető probléma. 29

Értéktáblázat segítségével könnyen bizonyítható a következő T é te l. A z ekvivalencia kommutatív, asszociatív, azaz \p^

=

p\,

Kp

^ r| = |p ^ (g ^ r)|.

Végül megemlítjük, hogy az ekvivalencia tagadása a következőkkel egyen­ értékű logikailag, s ez értéktáblázattal ellenőrizhető: h ( p ^ í) l = h p '^q\ = \ p ^ ^q\-

6. A kijelentéslogika műveleteiről Megállapodtunk, hogy a kijelentéslogikában csak olyan műveletekkel fog­ lalkozunk, amelyeknél az eredmény logikai értékét a komponensek logikai érté­ kei egyértelműen meghatározzák. Attól függően, hogy hány komponens szere­ pel a műveletben, beszélünk egy-, két-, három- stb. változós (kijelentéslogikai) műveletről. Az eddigiekben a kijelentéslogika következő műveleteivel ismerkedtünk meg: Egyváltozós művelet: negáció, konjunkció, diszjunkció. Kétváltozós művelet: konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia. Három- vagy többváltozós műveletek: konjunkció, diszjunkció. A kijelentéslogika n-változós (n > 1 ) műveleteiről pontos képet alkotha­ tunk az értéktáblázatok vizsgálatával. Először azt állapíthatjuk meg, hogy egy n-változós művelet értéktáblá­ zata 2" sorból áll. Ennyi ugyanis az i, h elemekből képzett n tagú ismétléses variációk száma. Egy n-változós kijelentéslogikai műveletet pedig úgy adunk meg, hogy 2 ” számú sor mindegyikébe beírjuk az i, h elemek egyikét, azaz az i, h elemekből 2" tagú sorozatokat (variációkat) képezünk. Az n-változós kijelentéslogikai műveletek száma tehát 2 (^"\ A lehetséges egyváltozós műveletek száma tehát 4, s ezek a következők: p i h

30

(A) i i

(B) i h

iC) h i

(D) h h

Az {A ) a p logikai értékétől függetlenül igaz, hasonlóan a (D ) hamis. A (B) az egytagú konjunkció (diszjunkció), a (C ) pedig a negáció. A kétváltozós műveletek száma 16, s ezek a következők: P

(1) i i i i

(2) i i i h

(3) (4) (5) ( 6 ) (7) ( 8 ) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) i i h i i i h h h h h h i h i h h h h i h i i h h i i h i h h i h h i i h i h i h h i h h h i i i i h h i h i h

Az eddigiek alapján mindegyik kétváltozós műveletet ismert művelettel ki tudjuk fejezni, mégpedig a következő módon: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

p V ~^p p Vq q^p p-^q -( P A q) P q p^q

(9) (10)

-.(p ^ 9)

(11) (12) (13) (14) (15) (16)

^p pAq - . { p ^ g) p) Ap A -rp

Az eddig megismert kétváltozós műveletek mellett szokás az (5) alatti műveletet Sheffer-féle műveletnek nevezni, amelynek a jele: |, tehát p\q := ->(p A g)

(igaz, ha legfeljebb egyik igaz (összeférhetetlen „vagy” )),

továbbá a (9) alattit Zsegalkin-féle műveletnek hívják, jele :V , tehát p\y q := ->(p ^ q)

(igaz, ha pontosan egyik igaz (kizáró vagy)),

valamint a (15) alatti műveletet Webb-féle (vagy „ 5 em-5 em” ) műveletnek ne­ vezik, jele :|, tehát p I q := -'P A ->q

(igaz, ha sem egyik, sem másik nem igaz).

Azt is megállapíthatjuk, hogy az eddig bevezetett műveletek közül a diszjunkciót és az implikációt a negáció és a konjunkció segítségével definiáltuk, az ekvivalencia pedig az implikáció révén szintén kifejezhető negáció és kon­ junkció segítségével. Mindezek alapján tehát a kétváltozós kijelentéslogikai műveleteket csupán negáció és konjunkció segítségével ki tudjuk fejezni. 31

Hasonló igaz a negációra és a diszjunkcióra, mivel a konjunkciót kifejez­ hetjük negáció és diszjunkció segítségével. Példa \ p ^ q\ = \p^g\

=

\^{p A - .g ) A

A q)\,

h h ( - ^ P V g ) V - .( p V -ig ))| .

Többváltozós kijelentéslogikai műveletekre igaz a következő T é te l. Minden n (> 1) változás kijelentéslogikai művelet kifejezhető ne­ gáció és konjunkció (diszjunkció) segítségével B izo n y ítá s. A bizonyítás gondolatmenetét egy háromváltozós művelet példáján mutatjuk be. Legyen az adott háromváltozós művelet értéktáblázata a következő: ? r p q h i i i i i h i i h i h h h h i h h i i h i i h h h i h h h h h Megnézzük azokat a sorokat, amelyekben a művelet eredménye i. Minden egyes ilyen sorhoz képezzük az igaz komponensek és a hamis komponensek negációinak a konjunkcióját, majd az így kapott konjunkciók diszjunkcióját. Ez a diszjunkció fejezi ki a kérdéses műveletet. A de Morgan-törvények szerint a diszjunkciók (konjunkciók) kifejezhetök konjunkcióval (diszjunkcióval), s így elérjük, hogy csak negáció és konjunkció, illetve csak negáció és diszjunkció szerepel. A most tekintett példában tehát a következőt kell felírnunk: (17)

{ p A q A ->r) V (->p A q A ->r),

s ebből kapjuk a következőt: (18)

A q A -ir) A

A q A -• r)],

illetve (19) 32

-n(^p V - 1^ V r) V ~^(p V -^qv r).

A tekintett háromváltozós műveletet tehát a (17)-tel fejezhetjük ki, illetve az ezzel egyenértékű (18) és (19) valamelyikével.

7. Kijelentéslogikai formulák Még az I. 3.-ban megismerkedtünk az atomi kijelentés fogalmával. Ezek­ ből a kijelentéslogika műveleteivel, többek között a negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció és ekvivalencia segítségével összetett kijelentéseket alkotha­ tunk. A kijelentéslogika műveleteivel természetesen tetszőleges kijelentésekből további összetett kijelentések képezhetők. Egy kijelentés kijelentéslogikai szerkezetén (durvaszerkezetén) annak áb­ rázolását értjük, hogy a kijelentés milyen más kijelentésekből és milyen kije­ lentéslogikai műveletek segítségévelírható fel. Példák 1. Ha 728 osztható 7-tel és 13-mal, akkor osztható 91-gyel. Legyenek az itt szereplő komponensek a következő atomi kijelentések: —728 osztható 7-tel, =728 osztható 13-mal, =728 osztható 91-gyel. Az 1. kijelentés kijelentéslogikai szerkezete a következő: (p A q) ^ r.

2. Ha A B C egy háromszög és A < B Legyenek a komponensek a következők:

akkor B C < AC.

= A B C egy háromszög,

=^

< B 4,

= B C < A C, a 2. kijelentés szerkezete:

(pAg)

3. Ha A B C egy háromszög, akkor A • —>• ((az Újpest elveszti az első helyét) A -i (nyerek a totón)).

Az itt szereplő kijelentések kijelentéslogikai műveletek segítségével tovább nem bonthatók. A példában szereplő felbontatlan kijelentések jelölésére a következő betűket használjuk: p := q := r := s := t :=

Az FTC vereséget szenved. A Szeged vereséget szenved. A Kispest győz. Az Újpest elveszti az első helyét. Nyerek a totón.

A 4. kijelentéslogikai szerkezete tehát a következő: {{p V g) A r) ^

(s A M) .

5. Amennyiben Kiss vagy Nagy tanár úr elutazik, a történelem helyett akkor csak akkor lesz fizika, ha a fizika-előadó szabad és Joó tanár úrnak nincs órája. A kijelentés elemzését itt is lépésenként végrehajtva, a következőt kapjuk: ((Kiss tanár úr elutazik) V (Nagy tanár úr elutazik)) —>■ —>• ((történelem helyett fizika lesz) úrnak órája van))).

((a fizika-előadó szabad) A~i (Joó tanár

Ha a legbelső zárójelekben szereplő kijelentéseket rendre p, g, r, s, t jelöli, akkor ezekkel így írhatjuk fel az 5. mondat kijelentéslogikai (külső) szerkezetét: (pV q) -^ {r ^ (sA ^ t)).

Ha egy kijelentést kijelentéslogikai műveletekkel tovább már nem tudunk bontani, vagy ha egy kijelentés szerkezetét az elemzéshez nem szükséges to­ vább feltárni, akkor ezt a kijelentést a szóban forgó elemzésben felbontatlanmk nevezzük. Az atomi kijelentések felbontatlanok, de egy elemzésben egy felbon­ tatlan kijelentés nem szükségképpen atomi. Példa

6. Pista szőke és kék szemű, de Bertának nem tetszenek a szőke és kék szem fiúk, bár Pista csinos.

34

Ebben a kijelentésben a Pista szőke és kék szemű kijelentést nem írjuk fel konjunkcióként, tehát ennek a kijelentésnek az elemzésekor szorítkozhatunk a kővetkező kijelentésekre; p :=Pista szőke és kék szemíi. q ;=Bertának tetszenek a szőke és kék szemű fiúk. r :=Pista csinos. Ezek felhasználásával a tekintett 6. kijelentés kijelentéslogikai szerkezete: p A -ig A r,

ahol p, q felbontatlan kijelentések.

Az eddigiekből kitűnik, hogy egy kijelentés kijelentéslogikai szerkezetének leírására a következő szimbólumok (jelek) használatosak: D e fin íció . A kijelentéslogika szimbólumai a következők: a) a kijelentésváltozók jelei: p, g , . . . b) logikai műveletek jelei: - i , A , V , — (Ezeket kapcsolóknak (junktoroknak) is nevezik.) c) segédjelek: zárójelpárok (, ). (Ezek a műveletek hatáskörét, sorrendjét és az egyértelműségét biztosítják.) Az itt felsorolt szimbólumokból az alábbi definíció szerint készíthetünk formulákat: D e fin íció . A kijelentéslogika formulái a következő jelsorozatok: 1 . a kijelentésváltozók jelei; 2 . ha A^B kijelentéslogikai formulák, akkor ( - A ) , {A A B ) , ( A V 5 ) ,

(A ^B )

szintén kijelentéslogikai formulák; 3. minden kijelentéslogikai formula előáll véges lépésben az 1., 2. alakú formulákból. M egjegyzések 1. A 2.-ben a külső zárójelpárok akkor lényegesek, ha ezek a formulák nagyobb formulák részeiként szerepelnek. Befejezett formulák esetében a külső zárójelpárok elhagyhatók. 2. Ha a műveletek között megállapodnánk valamilyen elsőbbségi sorrendben, akkor bizonyos esetekben a zárójelpárok elhagyhatók lennének. Ezt azonban ebben a jegyzetben mellőzzük.

P éldák 1. Kijelentéslogikai formulák a kővetkezők: {{P V ->q) V r) —>• (s A - 15),

35

(p A g) ^

9)

((P ^

{{g A -ig) ^

A -.(r ^

(r A ?)),

s)) V (p w (r A - .s )).

2. Nem formulák a következők:

^ A (g ^ A r),

{pq

(r A p-ig).

Ha azt is jelölni akarjuk, hogy egy A formulát a p i , p 2 , ••• kijelentés­ változókból képeztünk, akkor A helyett A { p i , p 2 , . . . ,Pn)-et írunk. D e fin íció . Az A (kijelentéslogikai) formulának a B formula részformulája^ ha B előáll, miközben A-t a fenti szabályok szerint képezzük. Példa A ((-.(p A g)

r) A p) ^

(r ^

(-.5 V g))

formulának a -.(p A g ) ^ r ,

-.s V g

formulák részformulái, de a

q ^ r A p,

s \/ q

nem részformulái.

D e fin íció . Ha egy A formulában valamely p kijelentésváltozó, ill. B részformulája helyére egy C formulát írunk, akkor helyettesüésml beszélünk, s ezt így jelöljük:

A(c/p),

m.

A{C!B).

Példák Az

A = ((p ^ g ) A { p A -.?)) ^ -.p formulában a g kijelentésváltozó helyére írjuk a C = következő formulát kapjuk: ^ ( C / 9) = ((p

((r V s) ^

(r V 5) —>• í formulát, ekkor a

í) A (p A -.( ( r V s) ^

Ha pedig az A formulának B = p helyettesítjük, akkor kapjuk az

36

-ip.

q részformuláját a C = -ip V g formulával

A { C / B ) - ((-.p V g) A (p A -.g )) ^ -.p formulát.

í)) ^

8. Kijelentéslogikai formulák interpretációja Legyen adott egy kijelentéslogikai formula. Ha a formulában szereplő ki­ jelentésváltozókat kijelentésekkel helyettesítjük, mégpedig egy formulában az azonos kijelentésváltozók helyére mindig ugyanazt a kijelentést, de különböző kijelentésváltozók helyére nem szükségképpen különböző kijelentéseket írunk, akkor a formula köznyelvi interpretációjáról beszélhetünk. Példa A {{p V g) A r) —> (5 A -lí) formula köznyelvi interpretációját adják az alábbi kijelentések: - Ha magyarból vagy matematikából felelek és felkészültem, akkor jelesre felelek és nem félek. - Feltéve, hogy júniusban Bulgáriába vagy Romániába utazunk és jó idő lesz, lemegyünk a Fekete-tengerre, de nem ülünk hajóra.

Egy kijelentéslogikai formulának tetszőlegesen sok köznyelvi interpretáció­ ja van. A formula logikai értékének a meghatározásához a formulában szereplő felbontatlan kijelentések logikai értékére van szükség, s nem a köznyelvi in­ terpretációban felvett kijelentésekre. Az interpretáció pontosabb értelmezése a következő: D e fin íció . Egy kijelentéslogikai formula egy interpretációján a formulá­ ban szereplő kijelentésváltozók logikai értékének a megadását értjük.

((P V g ) A r ) -> (5 A ->/)

formula egy interpretációja a következő logikai értékek megadása: \p\ =

|gl = h,

|r| = h,

|s| = i,

|í| = i.

Tetszőleges A = A ( p i , p 2 , ■••?Pn) > 1) formula \A\ logikai értékét a |pi|, 1^ 2!5 •••5 \Pn\ logikai értékek egyértelműen meghatározzák. A formula összes interpretációjának felírása 2^^ sorú értéktáblázat megadásával lehetsé­ ges, mivel a p i , p 2 , ••• kijelentésváltozóknak 2^-féleképpen adhatunk logi­ kai értéket.

37

Példa ( p ^ { q V r)) A { ^{ p ^

p i i i i h h h h

r Q i i i h i h i i i h i h h A lépések sorszáma

V i i i h i i i i 2

(? V r ) i i i h i i i h 1

-.r )).

A

i h i h h i h i 4

-(P i h i h h i h i 3

h i h i i h i h 2

-r ) h i h i h i h i 1

Most néhány, a későbbiekben többször használatos fogalmat vezetünk be. D e fin íció . Egy A (kijelentéslogikai) formulát kielégíthetőnek, (kielégít­ hetetlennek^ kontradikción'ák^ azonosan hamisnak) nevezünk, ha van (nincs) olyan intepretációja, amely esetén |A| = i. D e fin íció . Egy A (kijelentéslogikai) formulát tautológiáik {érvényesnek^ azonosan igazndk) nevezünk, ha minden interpretációjánál igaz. Jelölése:

i=A D e fin íció . Az A formulát a B formulával logikailag ekvivalensnek {egyen­ értékűnek) nevezzük, ha a bennük szereplő összes kijelentésváltozó minden interpretációjára A logikai értéke megegyezik B logikai értékével, s ezt így jelöljük: \A\ = \B\, vagy A = 5 . Érvényes a következő T é te l. A = B akkor és csak akkor, ha |= A ^ jB. B izo n y ítá s. Tegyük fel először, hogy |A| = \B\. Ez azt jelenti, hogy A logikai értéke bármelyik interpretációnál megegyezik B logikai értékével. En­ nélfogva az A ^ 5 ekvivalencia logikai értéke mindig igaz, azaz |= A ^ 5 . Megfordítva, ha A ^ jB érvényes, akkor A logikai értéke bármely interpre­ tációjánál megegyezik B logikai értékével. Ennélfogva A és B egyenértékű formulák, azaz |A| = \B\. Ezzel a tételt bizonyítottuk. A későbbiek szempontjából fontos a következő tétel. 38

T é te l. (1) Ha egy tautológia egy kijelentésváltozóját tetszőleges formu­ lával helyettesítjük, akkor szintén tautológiát kapunk, azaz ha \= A, akkor

N MC/p) . (2) Ha egy tautológia részformuláját vele logikailag ekvivalens formuláva helyettesítjük, akkor szintén tautológiát kapunk, azaz ha |= A, és B az A-nak részformulája, továbbá \B\ = \C\, akkor |= A{ C/B) . B izo n y ítá s. Az (1) tétel a következőképpen látható be. Az A tautológia lévén bárhogyan is választjuk meg p logikai értékét, A mindig igaz. Ennél­ fogva p helyére bármilyen C formulát is írunk, a kapott formula bármilyen interpretáció esetén igaz, tehát |= A{ Cj p) . A (2) tétel bizonyítása hasonló. Az A formula tautológia, azaz bármely interpretációja igaz, ezért egy részformuláját logikailag ekvivalens formulával helyettesítve is, a kapott A { C /B) formula bármely interpretációja igaz, azaz N a { C ! b ). A fenti tételek következménye: K ö v e tk e z m é n y . Ha két formula logikailag ekvivalens, akkor a formu­ lában szereplő kijelentésváltozókat tetszőleges formulákkal helyettesítve ismét logikailag ekvivalens formulákhoz jutunk. E tételek segítségével egyszerűbb tautológiákból bonyolultabbakat készít­ hetünk, s fordítva, bonyolultabbakat egyszerűsíthetünk.

9. Kijelentéslogikai egyenértékű formulák Az algebrai kifejezésekkel (formulákkal) való számoláshoz alapvetően szükségünk van az azonosságokra s a velük való bánásmódra. Hasonlóan a kijelentéslogikában is a műveletekkel és a formulákkal való „számolás” -hoz szükséges ismernünk a legfontosabb tautológiákat. Előbb felsoroljuk a ki­ jelentéslogikában az előzőekben megismert és gyakran használt egyenértékű formulapárokat (azonosan igaz ekvivalenciákat): ^

2. 3. 4. 5. 6. 7.

p,

( p A q ) ^ {q Ap) , {{p A q) A r) ^ {p A {q A r)), ( p A p ) ^ p, (p A (g V r)) ^ {{p Aq)\f {p A r)), ( pA i pV q)) ^ p, ->{p A q) ^ {-'p V -iq),

2.' 3.' 4.' 5/ 6/ 7/

{pW q) ^ ( qV p), {{p V §) V r) ^ (p V V r)), { pV p) ^ p, (p V (g A r)) ^ {{p V g) A (p V r)), (i? V (p A q)) ^ p, ~'{p V g) ■ (-ip A -ig). 39

Észrevesszük, hogy az 1. ekvivalencia kivételével a többi párosával jelent­ kezik, mégpedig az egy sorban álló ekvivalenciák egymástól a A, V műveleti jelek felcserélésében különböznek. Ezért az egy sorban levő formulapárokat egymás duálisának nevezzük. További fontos tautológiák:

8. ( p ^ q ) ^

q), ((p A q ) ^ r ) , ( p ^ q) -• (p A -'q ), ( p - ^ q ) ^ (^q ^p), ( p ^ q ) ^ ((p - ^ q ) A ( q ^ p)), ( p ^ q) ^ (q ^ P ) , ((p ^ q) r) (p ^ (q r)).

9. { p ^

10.

11. 12. 13. 14.

{q ^

r )) ^

Néhány gyakrabban használt, implikációval kapcsolatos tautológia: 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

p ^ { q - ^ p), q),

{p ^p) -p , {pA^p) q, {{p - ^ q ) A { q ^ r)) -> (p r), { p A { p ^ q)) q, {{p - ^ q ) A -^q) ^p, {{p ^ r ) A (g ^ r)) {{p V g) -> r), {{p —> r) A (-ip -> r)) —>■r, {{{p -> (g A r)) A (-.g V -.r)) ^ ^p, (-ig A -T A (p -> (g V r))) ->• -.p, {{p ^ q ) A { p ^ -.?)) -> -.p.

A (8 )“ (26) tautológiák egyszerűen bizonyíthatók az implikáció, ill. ekvivalencia definíciója és az értéktáblázatok alapján.

az

10. A kijelentéslogika következményfogalma A logika egyik legfontosabb kérdésköre a következményfogalom tisztázása, valamint a helyes következtetési szabályok megállapítása. A következményfo­ galmat is két részben tárgyaljuk, amint a kijelentések szerkezetét is két részre tagolva, a kijelentések kijelentéslogikai (ún. külső vagy durva-), iUetve pre­ dikátumlogikai (ún. belső vagy finom-) szerkezetére vonatkozóan vizsgáltuk. 40

Előbb a kijelentéslogika következményfogalmát tárgyaljuk, ami speciális esete lesz egy általánosabb (a predikátumlogikában értelmezett) következményfoga­ lomnak. Ezért előfordul, hogy egy kijelentés a józan ész szerint logikailag kö­ vetkezménye más kijelentéseknek, de a kijelentéslogika következményfogalma szerint nem az, ugyanis a kijelentéslogika következményfogalma csupán a ki­ jelentések külső szerkezetét, s nem azok belső szerkezetét veszi figyelembe. Most a kijelentéslogika következményfogalmát definiáljuk, mégpedig előbb a formulákra definiáljuk a következményfogalmat, s majd azután térünk rá a kijelentésekre. A formulákra vonatkozóan a következményfogalmat az alábbi módon ér­ telmezzük: D e fin íció . Legyenek A i, A 2 , . . . , {n > 0), B kijelentéslogikai formu­ lák. Az ezekben előforduló kijelentésváltozókat jelölje pi,p2, ••• Akkor mondjuk, hogy a B formula következménye (a kijelentéslogika értelmében) az A i, A 2 , . . . , An formuláknak, ha a ,p 2 , ••• változók minden olyan inter­ pretációja, amely az A i, A 2 , . . . , A^ mindegyikét igazzá teszi, a B formulát is igazzá teszi. Jelölése: Ai

(1)

A i , A 2 , . . . , A n ' F B,

vagy

vagy

• An B

Az Ál , A 2 , . . . , An-et premisszáknak (feltételeknek), B -t pedig konklú­ ziónak (zárótételnek), az (l)-e t következtetési sémának szokás nevezni. M egjegyzés

1. A kijelentéslogika következményfogalmával ekvivalensek az alábbi megfogal­ mazások is: a) A B formula következménye az A i , A 2, . . . , formuláknak, ha elkészítve az A i^ A 2 , . . . ^ A n és B közös értéktáblázatát, B legalább azokban az esetekben igaz, amelyekben az A i , Á 2 , . . . ,An mindegyike igaz. h) Az ( 1) helyes következtetési séma, ha nincsen olyan interpretáció, amelyre l^il = 1^ 2! = .. •= l^nl = 2, és Ugyanakkor \B\ = h. 2. Az n = 0 eset azt jelenti, hogy B tautológia, azaz |= B. Ezért használatos a következményre a |= jel.

A következményfogalom és a konjunkció definíciója alapján nyilvánvaló a következő tétel: T é te l. A z alábbi állítások ekvivalensek, ha n > 1: a) A i , A 2 , . . . , A n 1= B, b) A\ /\ A 2 h . . . A An\= B, azaz a premisszák helyett tekinthetjük azok konjunkcióját. 41

Ennek a tételnek az alapján a későbbiekben - ha ellenkezője nem indokolt több premissza helyett csak egyet fogunk írni. Példák 1. Helyes-e az alábbi következtetés? ip A q )

r,

(p V g) ^

r 1= -.(p A g).

Készítsük el az értéktáblázatot:

p i i i i h h h h

Q i i h h i i h h

r i

( p A q ) ^ -.r h

i i i h

p ^ r h h i i h h i i

( p V q) ^

i h i h i i i i

i h i h i h i i

r

-.(p A g) h h i i i i i i

Az értéktáblázatból látható, hogy ahol a premisszák valamennyien igaz logikai értéket vesznek fel (3., 7. és 8. sor), ott a konklúzió logikai értéke is igaz, ezért helyes következtetési sémáról van szó. Más szóval a ^( p A q) formula (a kijelentéslogika értelmében) következménye a (pAg)

-.r,

r,

{ p V g)

formuláknak. 2. Következménye-e a. q A r formula a

p-^q,

^qVr,

formuláknak? Az itt szereplő formulák értéktáblázata: p (í r i i i i i h i h i i h h h i i h i h h h i h h h

p ^ q -iq V r i i h i h i h i i i i h i i i i

r i h i h i h i h

qA r i h h h i h h h

A táblázat 7. sorából látható, hogy sl q A r formula nem következménye (a kije­ lentéslogika szerint) az adott formuláknak.

42

M egjegyzések 1. A következményfogalommal kapcsolatban néhány speciális esetet külön is megemlítünk. Könnyen beláthatok a következők: a i) a2) b i) b 2)

Tautológiának csak tautológia lehet következménye. Tautológia bármilyen formulának következménye, Kontradikciónak bármilyen formula következménye. Kontradikció csak kontradikciónak lehet következménye.

2. Hangsúlyozzuk, hogy a kijelentéslogikai következményfogalom értelmében egy következtetés helyessége nem azt jelenti, hogy a konklúzió igaz, hanem csupán azt ami a definícióban is szerepel hogy valahányszor a premisszák mind igazak, akkor a konklúzió is igaz. A köznapi felfogásban az a2 és a bi speciális eseteket nem soroljuk a következményekhez. Itt a bevezetett következményfogalom egységessége miatt enged­ jük meg ezeket a speciális eseteket. A következményreláció ilyen - a köznapi felfogástól való kissé eltérő - kitágítása olyan matematikai jelenségekre emlékeztet, mint az üres halmaz fogalmának bevezetése, vagy a 0 felvétele a természetes számok közé stb.

A (kijelentéslogikai) következményfogalom és az implikáció közötti kap­ csolatot mutatja a következő tétel: T é te l. Az A formulának akkor és csak akkor következménye a B formula, ha az A B implikáció tautológia, azaz A \=^ B akkor és csak akkor, ha \ = A -^ B .

B izo n y ítá s. Legyen A-nak következménye jB, azaz valahányszor |A| = i, mindannyiszor |jB| = i. Ennélfogva az A —> 5 implikációban nem fordulhat elő az \A\ = i és \B\ = h eset. Ekkor pedig az implikáció értéktáblázata szerint A B csak igaz lehet, azaz |= A —> 5 . Megfordítva, tegyük fel, hogy \= A B. Ez pedig azt jelenti, hogy |A| = i esetén nem lehet |jB| = /i, tehát valahányszor |A| = z, mindannyiszor |jB| = i. Ennélfogva A-nak B következménye. Ezzel a bizonyítást befejeztük. A fentiekből látható, hogy a következmény két formula között csak bizo­ nyos esetekben áll fenn, ezért a következményfogalom reláció, amelynek tulaj­ donságait az alábbi tétel írja le: T é te l. A következményreláció a) reflexív, azaz minden A formulára A |= A, b) nem szimmetrikus, azaz ha A \=^ B, akkor általában B \=^ A nem teljesül, c) tranzitív, azaz ha A \ — B és B \=^ C , akkor A |= C minden A^B^C formulára. B izo n y ítá s . A következmény definíciója, ill. tulajdonságok közvetlenül beláthatók.

az elözö tétel alapján e

43

A későbbiek során hasznos az alábbi tétel: T é te l. Legyenek A\^A 2 ^. . lák. Ha

B 2 ^. ^^ Bm {'n'^rn > 1) és C formu­

A i , A 2 , . . . , A n h= Bj minden j-r e és B i , B 2 , .. . , Bm h C, akkor

B izo n y ítá s. A tétel helyessége a következményfogalom definíciója és az előbbi tételben szereplő tulajdonságok alapján közvetlenül belátható. A kijelentésekre a következőképpen értelmezzük a kijelentéslogikai követ­ kezményfogalmat : D e fin íció . Egy 5 * kijelentés (a kijelentéslogika értelmében) következmé­ nye az , A 2 , . . . , A* kijelentéseknek, ha a 5 * kijelentést ábrázoló B formula következménye az , A 2 , •••, A* kijelentéseket ábrázoló A i , A 2 , . . . , An for­ muláknak. E definíció alapján a későbbiekben a kijelentések és azok formuláinak jelölését nem különböztetjük meg. Példák 1. A i :=H a autót veszek, akkor minden pénzem ráköltöm, és nem veszek új T V -t. A 2 :=H a eladom a régi TV -t, és nem veszek újat, akkor nem nézhetem otthon az olimpiát. Következik-e a fentiekből az alábbi kijelentés? B :=H a eladom a régi T V -t, és autót veszek, akkor nem nézhetem otthon az olimpiát. Először az adott kijelentéseket formalizáljuk. Legyenek a felbontatlan kijelentések a következők: p := A u tót veszek. q :=Minden pénzem az autóra költöm. r :=Ú j T V -t veszek. s :=Eladom a régi T V -t. t :=Nézhetem otthon az olimpiát. Ezekkel felírjuk a premisszák és a konklúzió formuláit: Ai = p ^

{g A -ir),

A 2 = {s A -ir) —>•

B = {s A p) Helyes-e slz A\, A 2 \= B következtetés?

44

A választ többféle módon kaphatjuk meg: a) Elkészítjük a példában szereplő öt logikai változó felhasználásával a szóban forgó formulák értéktáblázatát. Jelen esetben ez 32 sorból áll. A táblázat kitöltése után megállapíthatjuk, hogy valóban következményrelációról van szó. b) Másik eljárás a következő. Vizsgáljuk meg, hogy lehetséges-e olyan értékelés, amely szerint a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis. Jelen esetben a konklúzió csak akkor hamis, ha \s\ = \p\ = |í| = i. Az első premissza igaz voltából \p\ = i miatt következik, hogy |g| = i és \r\ = h. így a konklúzió hamis, és az első premissza igaz értékéből minden kijelentésváltozó logikai értékét meghatározhattuk. Erre az értékelésre azonban a második pre­ missza hamisnak bizonyul. Ennélfogva a konklúzió hamis logikai értéke esetén nem lehet mindkét premissza logikai értéke igaz. Ezért a következtetés helyes. c) További lehetséges eljárás a következő: Amint tudjuk, a következtetés akkor és

csak akkor helyes, ha a ((P ^

(9 A

-.r )) A ((s A -.r)

implikáció azonosan igaz. segítségével.

-.í) ) ^

((s A p) ^

-.t)

Ezt a formulát átalakítjuk egyenértékíi átalakítások

V (g A “■'?")) A (“i(s A - t ) V —tt)) V (->(5 A p) V -lí) = = [p A (-ig V r)) V (s A -ír A í) V -15 V -ip V - l í = = {p A - C, b) A , B [ = C. B izo n y ítá s. Az a) és b) ekvivalenciája pontosan azt jelenti, hogy \ A y {B -^ C )\ = \{AAB)^C\. Ez pedig akár értéktáblázattal ellenőrizhető, akár a műveletek tulajdonságai­ val a következő módon: |A ^

C)\ = h A V ( - 5 V C)\ = K - A V ^ B ) V C| -

( 5 ->

= h ( A A 5 ) V C| = |(A A 5 ) - > C|.

K ö v e tk e z m é n y . Ekvivalensek a következők: o) A i , A 2 , . . . , A n ^ B - ^ C , b) A i , A 2 , . . . , A , , 5 | = C , c) ^ A i -

>

(

A

2

(

A

.

-

(5

II. Kontrapoziciós bizonyítás során a premisszák egyikét elhagyjuk és az állí­ tás tagadását a megmaradó premisszákhoz vesszük, és ezekből következ­ tetünk az elhagyott premissza tagadására. T é te l. Tetszőleges A^B^C formulákra ekvivalensek a következők: a) A , B \ = C , h) A ,^ C \= - 5 . B izo n y ítá s . Használhatjuk az értéktáblázatot vagy a következő átalakí­ tásokat: |(A A 5 )

C)\ =

= |“ '( A A ~>C) V

h (A

A B ) y C \ = | -A V - 5

V C| =

~'B\ = |(A A ~'C) —> -iB\.

M egjegyzés Ha A üres formula (azaz hiányzik), akkor a \B ciáról van szó, és innen ered a kontrapozíciós elnevezés.

48

C\ = \->C

-i5| ekvivalen­

III. A z indirekt bizonyítás során az állítás tagadását hozzávesszük a pre­ misszákhoz, s azt igazoljuk, hogy így ellentmondáshoz jutunk. T é te l. Tetszőleges A, B formulákra ekvivalensek az alábbi állítások: a) A b) A A ->B nem kielégíthető. B izo n y ítá s. A definíciók és műveleti tulajdonságok alapján \A^B\^ hA v5| = h(AA-5)|, tehát a) szerint \A ^ B\ — i, ami azt jelenti, hogy |A| = z, |jB| = h nem lehet, s pontosan ebben az esetben \-^{A A azonosan hamis, azaz nem kielégíthető.

12. Levezetés a kijelentéslogikában Amint láttuk, a kijelentéslogikában definiáltuk a következményfogalmat. Bonyolultabb formulák esetén általában nehézkes annak belátása, hogy egy B kijelentéslogikai formula következménye-e adott A i, A 2 , . . . , kijelentéslo­ gikai formuláknak. Több formula esetén ugyanis az értéktáblázat elkészítése mindig szolgáltat egy eljárást, de igen hosszadalmas. Feladatunk ezért olyan következtetési lépések (szabályok) keresése, amelyek egymás utáni elvégzésé­ vel el tudjuk dönteni, hogy adott A i , A 2 , . . . , kijelentéslogikai formuláknak következménye-e a B kijelentéslogikai formula (a kijelentéslogikai következ­ ményfogalom értelmében). Az ilyen következtetési szabályok alkalmas egy­ másutánját „levezetés” -nek nevezzük. D e fin íció . Legyen A i, A 2 , . . . , A^^ (n > 0) és B kijelentéslogikai for­ mula, pedig kijelentéslogikai tautológiák egy halmaza. Az Ei^ £ 2 ^... ^Ek kijelentéslogikai formulasorozatot a B formula segítségével történő leve­ zetésének nevezzük az A i , A 2 , . . . , A^ premisszákból, ha 1. Ek = 5 , 2 . minden z-re {1 < i < k) w alábbiak valamelyike teljesül: (a) Ei egy premissza, azaz Ei G { A i , A 2 , . . . , A^^}, vagy (b) Ei egy T^*^-beli tautológiából helyettesítéssel keletkezik, vagy (c) vannak az , £^2 , •••5 sorozatban az Ei~t megelőző olyan Ei^, . . . , £^23 («5 > 1 ) formulák, hogy

{Ei, A. . . AEi^)^Ei valamely T^*^-beli tautológiából helyettesítéssel áll elő. 49

Ha létezik ilyen, akkor azt mondjuk, hogy B levezethető az A i , A 2 , . . . , formulákból a alapján. Érvényes a következei tétel. T é te l. Ha egy B kijelentéslogikai formula levezethető az A i , A 2 , . . . , An {n > 0 ) formulákból a tautológiahalmaz alapján, akkor A i , A 2 , . . . , An \= B. B izo n y ítá s. Teljes indukcióval bizonyítjuk, hogy minden z-re A i , A 2, . . . , A ,

{lp)

V (-ír V

q).

Ennek a kapcsolási rajza:

r? *—

Azt tapasztaljuk, hogy az áramkör mindig zárt. Ez azt jelenti, hogy a formula érvényes. Erről egyébként értéktáblázattal vagy átalakítással is meggyőződhetünk.

57

III.

fejezet

PR ED IK ÁTUM LO GIK A

A bevezetőben már említettük, hogy a logika legfontosabb feladata a he­ lyes következtetések vizsgálata. Láttuk a kijelentéslogika tárgyalása során, hogy az ott definiált következmény fogalom a kijelentéseknek csak a külső szer­ kezetét vehette figyelembe. A kijelentések belső, finomszerkezete a predikátu­ mok felhasználása révén tárul fel, s a következményfogalmat is ezek segítségé­ vel finomíthatjuk.

1. Műveletek predikátumokkal Az I. fejezetben megismerkedtünk a kijelentés, a kijelentés logikai értéke, a kijelentéslogikai műveletek, a kijelentéslogikai formulák, a predikátum, az individuumváltozó, az individuumtartomány fogalmával. Amint az I. 3.-ban láttuk, az U individuumtartományra értelmezett nargumentumú P x i x 2 .. .Xn predikátum meghatároz egy n-változós relációt az U-n. Az n-argumentumú (n > 1 ) predikátum fogalmát célszerű kiegészíteni a 0 -argumentumú predikátumokkal, amelyeken a kijelentéseket értjük. Ha U jelöli az individuumtartományt, akkor \p\ — i esetén p individuumtartománya Í7°, IpI = h esetén pedig p individuumtartománya az üres halmaz. Ezentúl tehát n > 0 esetén beszélünk n-argumentumú predikátumokról. Predikátumokkal értelmezzük az alábbi műveleteket: D e fin íció . Átjelölés műveletről van szó, ha egy predikátumban az indi­ viduumváltozók helyére más individuumváltozókat írunk. Nyilvánvaló, hogy átjelöléssel predikátumból predikátumot kapunk. D e fin íció . Predikátumok között értelmezve a kijelentéslogikai művele­ teket összetett predikátumokat kapunk. 58

Beszélhetünk tehát predikátumok negádójáról, konjunkciójáról, impliká­ ciójáról, ekvivalenciájáról. P é ld á k

P x A Qxy,

P x y —>•Rxy,

^ { P x y ^ Qxy).

Egy 72-argumentuma és egy m-argumentumú predikátumból kijelentés­ logikai művelettel kapott predikátum (n + m)-nél kevesebb argumentumú is lehet, ha az individuumváltozók között vannak azonosak. P é ld a

P x A Ryz háromargumentumú, P x y —)•Qx azonban csak kétargumentumú predikátum.

D e fin íció . Ha egy n-argumentumú {n > 1) predikátumban egy vagy több individuumváltozót individuumnevekkel helyettesítünk (azonos indivi­ duumváltozókat azonos, de különbözőket nem szükségképpen különböző indi­ viduumnevekkel), akkor konkretizációml beszélünk. Ha ilyen módon mindegyik individuumváltozót individuumnevekkel he­ lyettesítjük, akkor predikátumból kijelentést kapunk, ellenkező esetben keve­ sebb argumentumú predikátumot. P é ld a

Legyen T x y : = x angol nyelvre tanítja y-t. a =N agy Péter. b =K is István. Txb : = X angol nyelvre tanítja Kis Istvánt. (Predikátum) Tab :=N agy Péter angol nyelvre tanítja Kis Istvánt. (Kijelentés)

Atomi predikátumokból összetett kijelentést két úton is kaphatunk: a) Az atomi predikátumokat - a szükséges átjelölés után - konkretizáljuk majd végrehajtjuk a kijelentéslogikai műveleteket. /?) Az atomi predikátumokon - a szükséges átjelöléseket elvégezve - a kijelentéslogikai műveleteket végrehajtjuk, majd az összetett predikátumot konkretizáljuk. P é ld a

Tekintsük a következő predikátumokat: G x y : = X gyermeke y-nak, Jx : = X jól viselkedik, Sxy = X szereti y-t. a) Legyen b =Béla, c ^Cecília. Konkretizációval kapjuk:

Az Sxy-hó\ átjelöléssel az Syx-et képezzük.

Gbc =B éla gyermeke Cecíliának,

59

Jh =Béla jól viselkedik, Sch ^Cecília szereti Bélát. Ezekből a kijelentésekből képezhetjük a Gbc A ( - 1J6 —>■—tScb) összetett kijelentést, azaz a következőt: Béla gyermeke Cecíliának és ha Béla nem jól viselkedik, Cecília nem szereti Bélát. /?) Az adott predikátumokból az alábbi összetett predikátumot képezzük: Gxy A {->Jx — >• -iSyx). Ebből a fenti konkretizációval kapjuk a Gbc A ( —IJ 6 — —iScb) összetett kijelentést. Látható tehát, hogy mindkét úton ugyanahhoz az összetett kijelentéshez jutunk.

Az átjelölés alkalmazásával a konkretizáció és a kijelentéslogikai művele­ tek végrehajtása felcserélhető. Az átjelöléssel kapcsolatban további kiegészítést kell fűznünk az elmon­ dottakhoz. Tekintsük ugyanis a következő predikátumot: (*) R xy :=

X

részhalmaza y-nak,

amelynek a szokásos jele: x C y. Az Raa, azaz az a C a kijelentést az előbbi predikátumból kétféleképpen kaphatjuk meg. a) a-i írunk.

A konkretizációt úgy hajtjuk végre, hogy mind az x, mind az y helyér

Az X C y predikátumban átjelölést alkalmazunk, mégpedig y helyére x-QÍ írunk. Ekkor az fi)

(**) R xx

XC X

predikátumhoz jutunk. így kétargumentumú predikátumból egyargumentumú predikátumot kaptunk. Majd ezen konkretizációt hajtunk végre, x helyére a-i írunk. így is az a C a kijelentéshez jutunk. A (**) predikátumot új jellel is jelölhetjük, s a következőképpen fogal­ mazhatjuk: := X részhalmaza önmagának. Ennek az átfogalmazásnak hátránya, hogy közvetlenül nem olvasható le a kap­ csolat a (*) alatti predikátummal. 60

E példa alapján levonható megállapításainkat így összegezhetjük: Ha egy n-argumentumú predikátumban (n > 1) egyik individuumválto­ zót minden előfordulásában egy benne szereplő másik individuumváltozóval helyettesítjük, akkor egy {n — l)-argumentumú predikátumot kapunk.

2. Kvantifikáció Tekintsük a következő két kijelentést: ( 1 ) Antal tiszteli Bélát. ( 2 ) Antal mindenkit tisztel. Ezek vizsgálata végett legyenek a megfelelő predikátumok: (3) T x y := x tiszteli y-t, (4) M x := X mindenkit tisztel. Az itt szereplő predikátumokból az a := Antal, b :=Béla konkretizációval kapjuk a kiindulásul választott ( 1 ), ( 2 ) kijelentések szerkeze­ tét: Tab^ M a. A ( 2 ) kijelentésből a józan gondolkodás szerint következik az ( 1 ) kijelentés. Ennélfogva M a-ból következtetni kellene tudni Tab-ie. Ez azonban nyilván lehetetlen, hiszen d^Tab szerkezetű kijelentésről nem látszik, hogy kapcsolatban van az M a szerkezetű kijelentéssel. Az elmondottak miatt ( 2 ) szerkezetét kell pontosabban feltárnunk. Ezt úgy érjük el, hogy a (4) predikátumot a (3) predikátum segítségével próbáljuk kifejezni. Az átfogalmazás a köznyelvben nem szokásos formában így lehetséges: Minden y-ra: x tiszteli y-i. (3) felhasználásával ez így írható: (5) Minden y-ra: Txy. Ennélfogva a ( 2 ) kijelentés szerkezete így fejezhető ki: ( 6 ) Minden y-ra: Tay. 61

Már korábban is láttuk, hogy gyakran előfordulnak olyan kijelentések és predikátumok, amelyekben előfordul a „minden x-re” szöveg. Ezért célszerű ennek rövidítésére jelölést bevezetni. D e fin íció . A „minden a;-re” kifejezést univerzális kvantom.dk nevezzük, jele Vx, ahol x a kvantifikációs (individuum)változó. A Vx univerzális kvantor­ nak egy, az x változót tartalmazó predikátumra való alkalmazását univerzális kvantifikációmk nevezzük. Legyen P x egy egyváltozós predikátum, amelynek az individuumtarto­ mánya U. A \/xPx pedig kijelentés, amelynek logikai értéke:

{ z, h,

ha minden

U)-ra \Pu\ = z,

egyébként.

Ez a definíció összhangban van az értékelés elvével, mivel ha a Pu (u G U) kijelentéseket a \/xPx kijelentés komponenseinek tekintjük, akkor a művelet eredményének a logikai értékét a komponensek logikai értékei egyértelműen meghatározzák. A fenti definícióból nyilvánvaló, hogy az univerzális kvantifikáció egy­ szeri alkalmazásával egy n {> l)-argumentumú predikátumból egy (n - 1 )argumentumú predikátumot kapunk. Visszatérve a példánkhoz, (1) és (2) így formalizálható: (1') Tab, ( 2 ') ^yTay, Ezek alapján már „formálisan” is látható, hogy ( 2 ')-ből következik ( ! ') . Ha a P x \ x 2 . •- Xn predikátumban n > 1 , akkor \lXiPXxX2 . . . Xn = P 'x i . . . Xi -iXi^i . ..Xn egy (n — l)-változós predikátum. Ha P x individuumtartománya véges, azaz U — { u i ^. . . ,

akkor

\fxPx := Pui A P u 2 A . . . A Puk^ tehát az univerzális kvantifikáció a konjunkció általánosításaként is felfogható. Az előbbiekhez hasonlóan gyakran előfordul olyan kijelentés, amelyben szerepel a „van olyan” kifejezés. 62

Tekintsük például a következő kijelentést: Van, akit Antal tisztel. Ez átfogalmazható így: Van olyan x, hogy Tax. D e fin íció . A „van olyan x, hogy” kifejezést egzisztenciális kvantorRd^\i ne­ vezzük, jele 3x, ahol x a kvantifikációs változó. A egzisztenciális kvantornak egy, az x változót tartalmazó predikátumra való alkalmazását egzisztenciális kvantifikációmk nevezzük. Ha P x egy egyváltozós predikátum, amelynek U az individuumtartomá­ nya, akkor 3xPx

kijelentés, amelynek logikai értéke:

"

í /i,

minden

1 i,

e^ébkint.

U)-ra \Pu\ = h,

Ez a definíció is összhangban van az értékelés elvével, hiszen a komponen­ sek logikai értékei egyértelműen meghatározzák az eredmény logikai értékét. Ebből a definícióból is látható, hogy az egzisztenciális kvantifikáció egy­ szeri alkalmazásával egy n (> l)-argumentumú predikátumból egy [n — 1 )argumentumú predikátumot kapunk. Ha a P x i x 2 .. .Xn predikátumban n > 1, akkor 3XiPxiX2 . . .Xn = P*Xi . . . Xi-iXi^i . . .Xn egy (n — l)-változós predikátum. Ha P x individuumtartománya véges, azaz U = { u i , . . . ,

akkor

3 x P x : = Pu i V P u 2 V . . . V Puk^

tehát az egzisztenciális kvantifikáció a diszjunkció általánosításának is tekint­ hető. Többargumentumú predikátumokra akár az univerzális, akár az egzisz­ tenciális kvantort, akár mindkettőt ismételten is alkalmazhatjuk. P élda Tekintsük a következő kijelentést: Mindenkinek van anyja. Az itt szereplő predikátum a következő:

63

A x y \=

X

anyja ?/-nak.

Ennek felhasználásával a tekintett kijelentés:

yySxAxy. A kvantifikációval nyert predikátumon is végrehajthatók az előző parag­ rafusban tárgyalt műveletek: a konkretizáció, az átjelölés, továbbá a kijelen­ téslogika műveletei. A predikátumokból nyert kijelentéseken is természetesen végrehajthatunk kijelentéslogikai műveleteket. P é ld a

yy3xAxy

A

'Íx'Íy{Axy

Tyx).

M e g je g y z é s e k

1. Az univerzális kvantor jele a német „alles” , angol „all” (jelentésük: minden) szavak kezdőbetűjéből, az egzisztenciális kvantor jele pedig a német „existiert” , az angol „exists” (jelentésük: létezik) szavak kezdőbetűjéből származik, s a megfelelő nagybetűk (alkalmas tengelyre vonatkozó) tükörképei. 2. A „kvantor” és a „kvantiiikácó” a latin „quantum” (kvantum=mennyi, hány) szóból ered, s arra utal, hogy a predikátum a tekintett univerzum hány elemére vonat­ kozik. 3. Az univerzális kvantor kifejezésére használatosak még a következő szövegek is: Bármely x-re: Tetszőleges x-re: Az összes z-re: stb. Az egzisztenciális kvantort is többféleképpen fejezhetjük ki: Létezik olyan z, hogy ... Némely z-re: Található olyan x, hogy ... Alkalmas x-re: 4. Végül felhívjuk a figyelmet arra az analógiára, ami például az f{x\, . . . , Xn) va­ lós függvények és azok / ( 2:i, . . . , xn)dxi határozott integrálja, valamint a F x i .. . Xn predikátumok és a Vx i F x i . . . Xn, illetve BxiFxi . .. Xn között fenáll.

3. Formalizálás a predikátumlogikában Az atomi kijelentésekben szereplő predikátumokat atomi predikátumokR Hx). (b) Aki négyzetet rajzol, az paralelogrammát rajzol. Ennek a kijelentésnek a tartalmát pontosabban a kővetkező fejezi ki: Mindenkire érvényes, hogy ha négyzetet rajzol, akkor paralelogrammát rajzol, azaz Minden x-re: ha x négyzetet rajzol, akkor x paralelogrammát rajzol. Az itt szereplő ,,x négyzetet rajzol” predikátumot célszerű a kővetkezőképpen kifejezni: Van olyan y, hogy y négyzet és x rajzolja y-t. Hasonlóan írható fel az „x paralelogrammát rajzol” is. fogalmazható át:

A (b) kijelentés ezután így

Minden x-re: ha van olyan y, hogy y négyzet és x rajzolja y~t, akkor van olyan y, hogy y paralelogramma és x rajzolja y-t. Legyenek az itt szereplő predikátumok: N x : = X négyzet, P x := X paralelogramma, Rxy : = X rajzolja y-t. A (b) kijelentés predikátumlogikai szerkezete tehát a kővetkező: 'Íx{3y{Ny A Rxy) —^ 3 y { Py A Rxy). (c) Van páros prímszám. Ezt is előbb átfogalmazzuk: Van olyan x szám, hogy 2 osztója x-nek és x prímszám.

65

Az X prímszám fogalmát az oszthatóság fogalmával így adhatjuk meg:

X

Valahányszor x osztója az osztója z - n e k { x > 1).

yz

szorzatnak, mindannyiszor x osztója az y-nak, vagy

Vezessük be az „x osztója y-nak” predikátumot, amit Ox y helyett most x\y jelöl. Ekkor a (c) átfogalmazott alakja így írható fel: 3x{2\x A '^y'iz{x\yz

(x\y V x\z))).

Ebben az esetben arra is látunk példát, hogy egy kijelentésben predikátumokon kívül szerepelhetnek olyan függvények (például itt a szorzás), amelyek az individuum­ tartomány egy-egy elemét határozzák meg, ha a függvény változóit az individuumtar­ tomány elemeivel helyettesítjük.

A bemutatott példák mutatják, hogy egy-egy kijelentés predikátumlogi­ kai szerkezetének feltárása nem könnyű feladat. Nincs olyan utasításrendszer, amely segítségével a hétköznapi vagy a matematikai nyelven megfogalmazott kijelentések finomszerkezetét fel lehetne írni. Néhány hasznos útmutatás azon­ ban adható. 1 . Az adott kijelentést a kijelentéslogikai műveletek segítségével felbon­ tatlan kijelentésekre bontjuk, s ezután a kijelentéslogika szerint felbontatlan kijelentésekkel foglalkozunk. 2. Megvizsgáljuk, hogy a felbontatlan kijelentés melyik kvantorral kezdő­ dik, s ez a kvantor melyik (esetleg összetett) predikátumra vonatkozik. Lehet­ séges, hogy az így kapott predikátum ismét valamelyik kvantorral kezdődik, s ekkor is meghatározzuk a megfelelő kvantort. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg a kapott (esetleg összetett) predikátum már nem kvantorral kezdődik. 3. Az így kapott predikátumot - ha lehet - a kijelentéslogika műveleteivel felbontjuk. így a kijelentéslogika műveletei szerint felbontatlan predikátumok­ hoz jutunk. Majd szükség szerint ismételten alkalmazzuk a 2. alatti, illetve a 3. alatti eljárást mindaddig, amíg atomi predikátumokhoz nem jutunk.

4. Formulák a predikátumlogikában A későbbiekben - amint eddig is - a kijelentések formalizálásakor a kvan­ torok csak individuumváltozókra vonatkoznak, predikátumokra, függvényekre (műveletekre) nem. A logikának azt az ágát, amelyik a kvantorokat csak ilyen feltételekkel alkalmazza, elsőrendű predikátumlogikán 0) száma. A 0-változós függvényjel egy individuumkonstans jele. c) a predikátumok jelei: P , Q , . . . , amelyek egy V{j^ 0) halmazt alkotnak. Minden P (g V) predikátum esetén adott a változóinak % ( > 0) száma. A 0-változós predikátumjel egy kijelentésváltozó jele. d) a logikai műveletek jelei: A, V , — V, 3. e) segédjelek: zárójelpárok (, ). M e g je g y z é s

A c), d) és e) pontban megfogalmazottakból látszik, hogy a predikátumlogika jelei tartalmazzák a kijelentéslogikában használatos szimbólumokat.

Egy elsőrendű predikátumlogikát jellemez a benne szereplő függvények .F és a predikátumok V halmaza, ezért az (.F, V) párt az adott elsőrendű predikátumlogika (nyelv) típusándik nevezik. Az alábbi definíciók arra szolgálnak, hogy a fenti szimbólumokból milyen utasításokkal készíthetünk olyan véges jelsorozatokat, amelyeket kifejezések­ nek, ill. formuláknak tekintünk a predikátumlogikában. Legyen C egy { V^T) típusú elsőrendű predikátumlogika (nyelv). Definíció. C kifejezései: 1. az individuumkonstansok jelei; 2. az individuumváltozók jelei; 67

3. ha , . . . , A^n kifejezései £-nek és / ( g egy n-változós függvényjel, akkor f{k\^. . . , kn) is kifejezése £-nek; 4. £-nek minden kifejezése előáll 1.-3.-beli kifejezések véges számú alkalma­ zásával. Definíció. A P k i . . . k n alakú jelsorozatok az C atomi formuláig ahol ki^.. .^kn kifejezések, P(G V ) pedig egy n-argumentumú predikátumjel (n > 0).

Definíció. C formulái a következő jelsorozatok: 1. az £-beli atomi formulák; 2. ha A, 5 formulái £-nek, és xi tetszőleges individuumváltozó, akkor i ^A) , ( A A B ) , ( A V B) , ( A ^ B ) , ( A ^ B), (VxiA), (3xiA) szintén formulák £-ben; 3. £-nek minden formulája előáll az 1., 2. alatti formulák véges számú al­ kalmazásával. M e g je g y z é s e k

1. A formulák definíciójában a 2. alatti formulákban a külső zárójelpárok elhagy­ hatók. A zárójelpároknak akkor van szerepük, ha ezek nagyobb formulák részeiként szerepelnek. 2. Zárójelpárokat akkor is elhagyhatunk, ha azok elhagyása az egyértelműséget nem csorbítja (összhangban az elemi matematikában megszokott zárójelhasználattal). 3. Zárójelek nélkül a kvantor hatása csak az öt kővető legrövidebb formulára vonatkozik. Például: 3 x A V B áll (3a;A) V B helyett. P é ld á k

Elsőrendű predikátumlogikai formulák: ~^3x{Cx /\'Íy{Ly ^ Rxy)), 'ix'iy'iz{{Fxy A Fy z ) —>■Fxz)^ {Sa A K a ) A ^y{{Sy A K y A Fy)

-^Thy) A Ca.

A későbbiek során fontos szerepet játszanak a következő fogalmak: Definíció. Az C elsőrendű predikátumlogikában az A formulának a B formula részformulája^ ha B előáll, miközben A -i a fenti szabályok szerint képezzük. P é ld á k

1. A 3y{ ^ P a /\"Íx{Pxy

Rx))

formulának a Pa,

68

^ x { P x y — >• Rx),

Pxy

részformulái, de 32/(->P a,

Pxy ^ ,

'Íx{Pxy^

-iP a A Vx

nem részformulái. 2. A

WxPxy V Qx formulának

Pxy V Qx nem részformulája, amivel a zárójelhasználat szerint a kiindulási formula a

(VxPzí/) V Qx helyett áll.

Definíció. A ill. 3x{ A predikátumlogikai formulák esetén azt mondjuk, hogy a kvantor hatása az A formulára terjed ki. Egy A predikátum­ logikai formulában az Xi individuumváltozó kötött elöfordulásáiól beszélünk, ha Xi A-nak egy \/xiB, ill. 3x{ B alakú részformulájába esik, az Xi~t ilyenkor kötött változónak nevezzük. Ellenkező esetben az Xi szabad előfordulásáTÓl van szó, s ekkor Xi~t szabad változóm k mondjuk. P é ld a

A

3z{Pxz A Qy) —» 'Íx{Rxz A Qy) formulában x első előfordulása szabad, a második kötött, y minden előfordulása szabad, első előfordulása kötött, a második szabad.

Definíció. Egy predikátumlogikai formulát zárinak {nyitottn.dk) neve­ zünk, ha nincs (van) benne szabad változó. A zárt formulák kijelentéseket formalizálnak, a nyitottak pedig (legalább egyargumentumú) predikátumokat. P é ld a

Zárt formulák az alábbiak:

3x{Px A Qx) A i 2a, 3x"Íy{Px A Qy) —> ■'^xRx, 3xPx —>^ xyy{B xy —> •->Tx).

5. Predikátumlogikai formulák interpretációja A kijelentéslogikában egy összetett formulához (magyar nyelven is) sok olyan kijelentést lehet megfogalmazni, amelynek szerkezetét az adott formula írja le. Lényeges logikai problémák, például a kijelentéslogikában a következ69

ményfogalom esetén nem egy lehetséges nyelvi megfogalmazásra, hanem a ki­ jelentéslogikai formula összes lehetséges kiértékelésére volt szükség. Ezt ne­ veztük interpretációnak, amit az értéktáblázat segítségével adhattunk meg. A predikátumlogikai formulákhoz is valamilyen módon logikai értéket kívá­ nunk hozzárendelni, függetlenül attól, hogy az adott formuláknak különböző témakörökben nyelvileg milyen fogalmazást tulajdonítunk. A predikátumlogikai formulák interpretációjának értelmezésénél fontos szerepet játszanak a következők: -A z [ / ( / 0) individuumtartományon értelmezett bármely P x i x 2 .. .x^ {n > 0) 7i-argumentumú predikátum meghatároz U-n egy n-változós relációt. (L. I. fejezet 15. o.) -A z U X U X X U) Descartes-féle szorzaton értelmezett o\y 0). M e g je g y z é s e k

1. Itt is megemlítjük, hogy n = 0 esetén az egyelemü halmaz (amely az üres sorozatot tartalmazza), és ?7°-nak két részhalmaza van, mégpedig U° és 0. így a 0argumentumü predikátum kijelentés, s ha ennek logikai értéke z, akkor a hozzá tartozó reláció az U ° , ha pedig h, akkor a hozzá tartozó reláció az 0. Mivel U° és z, ül. 0 és /i kölcsönösen egyértelműen rendelhető egymáshoz, azért helyett i-t és 0 helyett h-t írunk. 2. n = 0 esetben slz f : U° U művelet az U egy elemének a kijelölését jelenti.

Ezek után értelmezzük az interpretáció fogalmát a predikátumlogikában. Definíció. Egy (V^!F) típusú elsőrendű predikátumlogika / interpretá­ ciója a következőt jelenti: 1. Megadunk egy 0) alaphalmazt (konkrét individuumtartományt, uni­ verzumot); 2. Megadunk egy olyan (f leképezést, amely a) minden n-argumentumú P (g V ) predikátumjelhez hozzárendel egy, az U-n értelmezett n-változós P relációt (n = 0 esetben ez azt jelenti, hogy egy kijelent és változó-jelhez (f egy logikai értéket rendel), b) mindegyik n-változós f ( e T ) függvényjelhez hozzárendel egy, az í7-n értelmezett n-változós / műveletet. (0-változós függvényjelhez, azaz egy konstansjelhez egy í7-beli elemet rendel.) Megállapodunk abban, hogy a későbbiekben a ip leképezésnél a képele­ meket ~ jel nélkül ugyanazzal a betűvel jelöljük, mint a leképezendő jeleket, tehát P , ill. / helyett P -t, ill. /-e t írunk. 70

M e g je g y z é s e k

1. Egy elsőrendű predikátumlogika interpretációja intuitíven azt jelenti, hogy a predikátumlogika szimbólamailioz egy adott Jialmazon „valódi” objektumokat rende­ lünk, más szóval tartalommal töltjük meg a predikátumlogika szimbólumait. 2. Egy elsőrendű predikátumlogika interpretációja egy olyan / { U , T , T ) (álta­ lános algebrai) struktúra, amelynek U az alaphalmaza, T az ^-n értelmezett műveletek halmaza, T pedig az U-ii értelmezett relációk halmaza. P é ld á k

1. Legyen adott egy olyan elsőrendű predikátumlogika, amelyben adottak a kö­ vetkező egy-, ill. kétargumentumú predikátum jelek: Px,

Qx,

Rxy,

és a egy individuumkonstans jele. Interpretáljuk a ( 1)

Pa —>•'Íx{Qx —>• Rax)

formulát. a) Legyen az U alaphalmaz egy iskolai osztály tanulóinak U halmaza. A predi­ kátumjeleknek megfeleltetett predikátumok az U halmazon legyenek a következők: P x : = x felel az órán, Qx : = X csendben van, Rxy : = X tiszteli y-t. Az a konstansjelnek feleltessük meg az osztálynak egy tanulóját, legyen a := Kis Pál. Az ( 1) formula interpretációja a következő: Ha Kis Pál felel az órán, akkor minden x-ie: ha x csendben van, akkor Kis Pál tiszteli x-et. Ezt az interpretációt így is fogalmazhatjuk: Ha Kis Pál felel az órán, akkor ő mindenkit tisztel, aki csendben van. h) Az (1) formulának egy másik interpretációja: Legyen az alaphalmaz a természetes számok N halmaza. A predikátumjeleknek megfeleltetett N-n értelmezett predikátumok: P x : = X prímszám, Qx : = X 5-re végződik, R xy : = X osztója ?/-nak. Az a-nak megfeleltetett konstans legyen 5, azaz a := 5. Az ( 1) formula interpretációja most: Ha 5 prímszám, akkor minden x-re: ha x 5-re végződik, akkor 5 osztója x-nek. Más megfogalmazásban: Ha 5 prímszám, akkor 5 minden 5-re végződő természetes számnak osztója. 2. Tekintsük most azt az elsőrendű predikátumlogikát, amelyben adott P és Q kétargumentumú predikátumjel, / egy egyváltozós függvényjel, továbbá a egy kons­ tansjel, s az ezekből alkotott formula:

(2)

Va;(Pax

-^3yQf(y)x). 71

a) Az alaphalmaz (individuumtartomány) legyen a valós számok R halmaza, predikátumjelek, ill. az individuumkonstans-jel megfelelői pedig a következők: Pxy = x < y , Qx y = x = y, fi^) = sin X, a : = 1. A ( 2) formula interpretációja: Minden valós x-re: Ha a < x, akkor nincs olyan y, amelyre sin y = x. Más szóval: Bármely 1-nél nagyobb x valós számhoz nincs olyan valós szám, amelynek szinu­ sza x. Ez - a későbbiekben igazolt átfogalmazás szerint - a következőképpen is megfogalmaz­ ható: Nincs olyan valós szám, amelynek szinusza 1-nél nagyobb. b) A ( 2) formulának egy másik interpretációjához alkalmas adatok: Az alaphalmaz a természetes számok N halmaza. P x y — X diZ y utolsó számjegye, Qxy = X = y (mód 10), fix) a : = 7. (2)-nek most az interpretációja: Minden x természetes számra: ha 7 az a; utolsó számjegye, akkor nincs olyan y, amelyre y'^ = x (mód 10). Más megfogalmazásban: Minden 7-re végződő x természetes szám esetén az = x (mód 10) kongruencia nem oldható meg. Az interpretáció alkalmazása során látható, hogy egy adott formulához hogyan rendelhető logikai érték. P é ld á k

1. Tekintsük a 'i xPx —>•P y formulát, ami nyilvánvalóan nyitott, hiszen y szabad változójel. Bárhogyan is választ­ juk meg az U { ^ 0) alaphalmazt, két esetet kell megvizsgálnunk az implikációban: a) Az utótag hamis. Ekkor az előtag csak hamis lehet, azaz logikai értékekre h ^ h. h) Az utótag igaz. Ekkor viszont az előtag akár igaz, akár hamis, a logikai értékekre 2,

i

h —>•i. Tehát a tekintett formula mindig azonosan igaz. 2. Vizsgáljuk meg a (2) formulának a logikai értékét az a) interpretációjánál a formula felépítése szerint: Qf{y)x i

72

siny

=

X

-3Q /(y)x i^

nincs olyan valós y, amelyre siny = x

Pax i

^3Qf{y)x

ha 1 < X, akkor nincs olyan valós y, amelyre sin y = a;

\/x{Pax

~^3Qf{y)x)

i ^ minden 1-nél nagyobb x valós számra nincs olyan valós y, amelyre siny = x. (Röviden: A szinuszfiiggvény 1-nél nagyobb értéket nem vesz fel.)

Általános esetben egy interpretációnál a predikátumlogikai formulák lo­ gikai értékelése céljából az ^ 2 , . . . változóknak egyidejűleg adunk értékeket az s = (^1, 52, . . .) végtelen sorozat segítségével, ahol Si G Í7, mégpedig az {xi^x2 , . . U{ xi Si) leképezés révén. Definíció. Ha C egy { V^T) típusú elsőrendű predikátumlogika és I — = V) annak egy interpretációja, akkor egy k kifejezés értékét az s helyen^ amit k{s) jelöl, a kifejezés felépítése szerinti indukcióval a következőképpen definiáljuk: 1. tetszőleges a individuumkonstans-jelhez rendelt U-heli elem legyen a{s) (amit a későbbiekben az interpretációnál tett megállapodás szerint egyszerűen szintén a-val jelölünk); 2. tetszőleges X{ individuumváltozó-jelhez rendelt í7-beli elem legyen 5 3. h.cí ki^. . . ^kn predikátumlogikai kifejezés, függvényjel, akkor /( ^ l 5•••? kn){s) =

( 5 ),

pedig n-változós

. . .,

Jelölje 1=/ A[s] azt, hogy az / = {U^T^V) interpretáció kielégíti az A formulát az s helyen. (Más szóval: az I interpretációnál az A formula teljesül az s helyen.) Definíció. Az |=/ A[s] jelentését a formulák bonyolultsága szerinti in­ dukcióval definiáljuk: 1. Atomi formula esetén: Ha P (g V) n-argumentumú atomi predikátumjel és ki^.. .^kn kifejezések, akkor hz P ( h ,...,

i h { s ) , k n ( s ) ) G P ( = P).

73

2. Tetszőleges A^B formulára és Xi individuumváltozóra: 1=/ ~^A[s] :!=/ A[s]

nem teljesül,

1=^/ (A A 5)[á] :^ | = / A[s]

és

\=i { A V 5 )[s] :^ \ = i A[á]

vagy

{A 1=/ ( A ^

5)[s]

^A[s]

|=/ 5[á], \=j 5[s],

vagy

5[s],

5 ) [ á ] : ^ | = / { A -> B ) [ s ]A 1=7 ( B

1=/ '^XiAls]

A[s{a\xi)]

1=/ ^XiA[s] :!=/ A[s{a\xi)]

minden valamely

A )[á ],

a(G ?7)-ra, a(G í7)-ra,

ahol s{a\xi) = ( ^i , . . . , a, 5^+1,...). A jel jelentése: ... definíció szerint pontosan akkor, ha ... A fenti definíciók alapján várható, hogy egy interpretáció kielégíti-e vagy nem az adott formulát, az csak a szabad előfordulású változók helyettesítési értékétől függ. Érvényes ugyanis a következő tétel, amelyet itt nem bizonyí­ tunk. T é te l. Legyen adott a { V^T) típusú elsőrendű C predikátumlogika egy / = {U^T^V) interpretációja. A z C egy formulájának teljesülése az I inter­ pretációnál az s helyen csak a szabad változóihoz rendelt értékektől függ. M e g je g y z é s

A bizonyítás a formula összetettsége szerinti teljes indukcióval történhet.

D e fin íció . Egy A formulát kielégíthetőnek nevezünk, ha van olyan / interpretáció és olyan 5, amelyre |=/ A[s] teljesül. D e fin íció . Ha egy A formula az I interpretációnál minden 5 helyen kielégíthető, akkor azt mondjuk, hogy A azonosan igaz az I interpretációnál^ s így jelöljük: |=/ A. Ha pedig az A formulát az / interpretáció egyetlen s helyen sem elégíti ki, akkor A azonosan hamis az I interpretációnál Zárt predikátumlogikai formulára - mivel ebben nincs szabad változó - a fenti tételből kapjuk a következő tételt. T é te l. A z elsőrendű predikátumlogika bármely A zárt formuláját egy I interpretáció a) vagy minden s helyen kielégíti, h) vagy egyetlen s helyen sem elégíti ki. D e fin íció . Az a) (ill. a b)) esetben azt mondjuk, hogy A igaz {hamis) az I interpretációnál. 74

Ezek után bevezetjük a következő definíciót: D e fin íció . Az A formulát azonosan igaz formulámk (tautológiának, ér­ vényesnek) nevezzük, ha A-t minden / interpretáció minden s helyen kielégít; jelölése |= A. M e g je g y z é s

A 1==/ A[s], 1==/ A, \= A jelentését röviden így írhatjuk le: \=j A[s] : 2LZ A formula teljesül az I interpretációnál az s helyen; 1=/ A : a.z A formula teljesül az I interpretációnál minden s helyen; \= A : SLZ A formula teljesül minden I interpretációnál minden s helyen.

D e fin íció . Az A predikátumlogikai formulát a B formulával logikailag ekvivalensnek (egyenértékűnek) nevezzük, ha tetszőleges I interpretációra és tetszőleges s-re |=/ A[s] pontosan akkor teljesül, ha |=/ jB[5] teljesül, s ezt A = B jelöli. E definíció alapján két kijelentést logikailag ekvivalensnek mondunk, ha az őket formalizáló predikátumlogikai formulák logikailag ekvivalensek. Érvényes a következő T é te l. A ^ B akkor és csak akkor, ha \=^ A ^ B. B izo n y ítá s . Ha A = 5 , akkor az A formula teljesül bármely interpretá­ ciónál bármely s helyen akkor és csak akkor, ha ugyanaz áll B-re is. Ennélfogva az A ^ jB formula azonosan igaz, azaz \= A ^ B. Megfordítva, ha |= A ^ 5 , akkor minden /-re és s-re \=r A[s] pontosan akkor, ha \=b [«5], tehát A = B. Logikailag ekvivalens formulákból, ill. tautológiákból az alábbi állítások segítségével újabb ekvivalens formulákat, ill. tautológiákat kapunk - hason­ lóan, mint a kijelentéslogikában. T é te l. a) Kijelentéslogikai tautológiában a kijelentésváltozókat tetszőleges predi­ kátumlogikai formulákkal helyettesítve ismét tautológiát kapunk. b) Ha egy tautológia részformuláját vele logikailag ekvivalens formulával helyettesítjük, akkor szintén tautológiát kapunk. B izo n y ítá s . A bizonyítás ugyanazzal a gondolatmenettel történik, aho­ gyan ezt a kijelentéslogikában tettük.

6. Ekvivalens predikátumlogikai formulák Az alábbiakban az elsőrendű predikátumlogikában gyakrabban használt logikailag ekvivalens formulákat sorolunk fel. 75

Legyen A, B tetszőleges formula, C pedig olyan formula, amelyben Xi nem szabad változó. T é te l. A következő formulák logikailag ekvivalensek: (1)

= \lxj\JxiA,

(2)

^Xi^XjA ~ 3xj'^XjA^

azaz az azonos jellegű kvantorok sorrendje felcserélhető. (3 )

^Xi{A AB) = \íxiA A ^Xí B,

(4)

3xi { A V jB) = ^XiA V BxíjB,

azaz univerzális (egzisztenciális) kvantor a konjunkcióra (diszjunkcióra) nézve disztributiv. (Jobbról bal felé olvasva: kvantorral kezdődő formulák konjunkciója (diszjunkciója) esetén a kvantor kiemelhető.) (5) (6)

^\JxiA = 3xi^A, = 'ixi^ A

(de Morgan-törvények),

azaz kvantorral kezdődő formulát úgy negálunk, hogy a kvantort ellenkező jellegűre változtatjuk és a kvantor után álló formulát negáljuk. (7)

CA\/ xí A = \/x ^ { C a A),

(8)

C y \ f x i A = \^Xi{CW A ),

(9)

C A 3xiA = 3xi ( C A A),

(1 0 )

C y 3 x , A = 3 x i { C y A),

azaz Xi szabad változót nem tartalmazó formula mint konjunkciós, illetve diszjunkciós tag a kvantor hatáskörébe vihető. Implikációval kapcsolatos logikailag ekvivalens formulák: (11)

C -^\^x,A = \fxi(C

A ),

(12)

C - ^ 3 x i A = 3xi { C

A),

(1 3 )

\^XiA-^C = 3xi {A- ^C),

(14)

3xiA - ^ C = Vxi(A -> C). Az alábbi implikációk mindegyike tautológia:

(15) (16)

76

'^XiixjA -> Vxj3xiA, "ixiA

^XiA.

Bizonyítás. A fenti formulák ekvivalenciájának bizonyítása lényegében a definíciók és a logikai műveletek értelmezése alapján történhet. Példaként nézzük az (5) alatti de-Morgan-törvényt. Legyen I tetszőleges interpretáció és s tetszőleges hely. Ekkor 1=/ -^"ixiAls] := != / A[s(a\xi)] nem minden a(G í7)-ra teljesül, azaz van olyan a(G U)^ amelyre |=/ A[s{a\xi)] nem teljesül, azaz 1=/ Ezzel az (5) alatti ekvivalenciát bizonyítottuk. A (7) alatti ekvivalencia így látható be: 1==/ { C A MxiA)[s] : = != / C[s]A |=/ A[s{a\xi)] minden a(G í7)-ra, s mivel Xi nem szabad változó C-ben, ezért így folytathatjuk: 1=/ C[s(a\xi)] és 1=/ A[s(a\xi)] minden a(G í7)-ra, azaz 1=:/ { C A A)[5(a|a;i)] minden a(G í7)-ra, azaz A A). A többi formula ekvivalens volta hasonlóan bizonyítható. Egy formulában előforduló szabad változókat más szabad változókkal nem mindig szabad helyettesíteni, ezért kell a következő fogalmakat bevezetnünk. Definíció. Az x szabad változót tartalmazó A formulában x-nek y vál­ tozóval való helyettesítését megengedettnek nevezzük^ ha x szabad előfordulása y-nal való helyettesítése után nem kerül y-ra vonatkozó kvantor hatáskörébe. Az X szabad változót tartalmazó A formulában x-nek egy t kifejezéssel való helyettesítése megengedett^ ha /-ben szereplő minden változóra x-nek 2r-vel való helyettesítése megengedett. Érvényes a következő állítás. Ha az X szabad változót tartalmazó formulát A{ x) jelöli és x-nek egy t kifejezéssel való helyettesítése megengedett, akkor az alábbi formulák tautoló­ giák: ^x A{ x ) —> A(^), A(t) —> 3xA( x) . M e g je g y z é s

Az első tautológia bizonyítása a 72. oldalon található. A második bizonyítása hasonlóan egyszerű.

A kijelentéslogikában - amint azt korábban láttuk - bármely kijelentés­ logikai formuláról véges lépésben el tudjuk dönteni, hogy tautológia-e, például az értéktáblázatok segítségével. 77

A predikátumlogikában más a helyzet. A. Church amerikai matemati­ kus 1936-ban bebizonyította, hogy nem lehet olyan egységes, általános el­ járást adni, amelynek segítségével a predikátumlogika bármely formulájáról véges számú lépésben el lehetne dönteni, hogy tautológia-e. Ezt úgy is szokás mondani, hogy a predikátumlogikában nem lehet általános eldöntési eljárást megadni.

7. A predikátumlogika következményfogalma Láttuk, hogy a kijelentéslogika következményfogalmát finomítani kell, mi­ vel találhatók olyan példák, amelyek a józan gondolkodás szerint következ­ ménykapcsolatot fejeznek ki, a kijelentéslogikában értelmezett következmény­ fogalom szerint mégsem azok. Definíció. Legyenek A i , . . . , (n > 1) és jB a ( P, T ) típusú elsőrendű predikátumlogika formulái. A B formula következménye az A i , . . . , formu­ láknak, amit A i , . . . , At^ \=^ B jelöl, ha bármely I = (ZY, P , T ) interpretációra és bármely s {= ^i, 52,.. •))-Te^ ahol U)^ valahányszor |=/ Ai [ s]^. . . , |=j An[s] mindegyike teljesül, mindannyiszor |=/ B[s] is teljesül. Az A i , . . . , A^ formu­ lákat premisszáknak^ B-t konklúzióndík nevezzük. Ennek a definíciónak az alapján a B* kijelentést az A^, . . . , A* kijelentések következményének mondjuk, ha a B* kijelentést ábrázoló predikátumlogikai formula következménye az A^, . . . , A* kijelentéseket ábrázoló formuláknak. Most is igazak a kijelentéslogikában látottakhoz hasonló állítások, ame­ lyeket az alábbi tétel tartalmaz: TéteL következők: a) b) Ai c)

1=

Tetszőleges A i , . . . , A n {n > 1), B formulákra ekvivalensek a

A ... A

(yA\ A

^ 5, 1= 5 ,

... A

An)

>■ B,

Bizonyítás. Az a), b) és c) ekvivalenciája a definíciók alapján közvetlenül látható. A c?) a kijelentéslogikában könnyen belátható az (A i A A 2 )

—^C =

“ i ( A i A A 2 ) V C = - l A i V -«A 2 V C = A i —> ( A 2 —>

ekvivalens formulák ismételt alkalmazásával. 78

C)

Ismét hangsúlyozzuk az implikáció és a következményfogalom közötti kü­ lönbséget. A következményfogalom reláció, amely a) reflexív, b) általában nem szimmetrikus, c) tranzitív. A predikátumlogikai következményfogalommal kapcsolatosan hasonló fo­ galmakat használunk, és hasonló tételek bizonyíthatók, mint a kijelentéslogi­ kában. Feltételes bizonyítással kapcsolatos tétel: Tétel. Tetszőleges A, 5 , C formulákra ekvivalensek a következők: a) A [ = B - ^ C , b) A ,B \ = C. Kontrapozíciós bizonyításra vonatkozó tétel: Tétel. Tetszőleges A^B.,C formulákra ekvivalensek a következők: a) A , 5 h b) ^ -5 . Végül az indirekt bizonyításra érvényes tétel: Tétel. Tetszőleges A, B formulákra ekvivalensek az alábbi feltételek: a) A B, b) A A nem kielégíthető. P é ld á k

A predikátumlogika következményfogalmára néhány egyszerű példát mutatunk be, s egyben azt is illusztráljuk, hogyan lehet egy-egy predikátumlogikai következtetési séma helyességét eldönteni. 1. Az I. fejezetben említett példa a következő volt: ( 1)

(a) A vastárgyak mágnesezhetek. (b) A szekrény kulcsa vasból van. (c) A szekrény kulcsa mágnesezhető. Ennek kijelentéslogikai szerkezete:

(2)

P

1 r Nyilvánvaló, hogy az r kijelentéslogikai formula nem következménye a p, g formu­ láknak a kijelentéslogika értelmében. Ennélfogva (l)-b en a kijelentéslogika értelmében (c) nem következménye az (a) és (b) kijelentéseknek. Nézzük most ( 1) predikátumlogikai szerkezetét:

(3) V i(Pi ^ Qx) Pa________ Qa

79

Bizonyítjuk, hogy a következő zárt formula érvényes: (4)

(^x { Px —►Qx) A Pa)

Qa.

Ha az első premissza igaz, akkor az univerzális kvantorra vonatkozó értékelési szabály miatt \Pa —>■ Qa\ = i. Ha a második premissza igaz, akkor az előbbi impli­ kációból \Qa\ = i következik. Ezzel bizonyítottuk, hogy ha a premisszák mindegyike igaz, akkor a konklúzió nem lehet hamis. Ennélfogva (4) teljesül, tehát (3) helyes kö­ vetkeztetési séma a predikátumlogikában. Ezzel azt is igazoltuk, hogy (l)-b en a (c) kijelentés következménye az (a) és (b) kijelentéseknek a predikátumlogika értelmében. 2. További példaként bizonyítsuk be az alábbi következtetési séma helyességét: (5)

A négyzet négyszög.______________________ Aki négyzetet rajzol, az négyszöget rajzol. A III. fejezet 3. pontjában látottak alapján ennek formalizálása a kővetkező:

(6) ^y( Ny__________________Py)

Ennek helyességéről úgy győződünk meg, hogy megvizsgáljuk a következő impli­ káció logikai értékét: \fy{Ny

Py ) - v {"Íx{3y{Ny A Rxy)

3y { Py A Rxy))).

Tegyük fel, hogy ez az implikáció nem azonosan igaz, azaz van olyan U univerzum, ahol az előtag igaz, az utótag hamis. Az előtag igaz voltából következik, hogy |iVw —)•Pu\ = i

minden u individuumra.

Az utótag hamis voltából következik, hogy a kvantor utáni formula az x változó lega­ lább egy a { £ U ) értékére hamis, azaz \3y{Ny A Ray)

3y{ Py A Ray)\ = h.

Ez - egy implikáció lévén - csak úgy lehet hamis, ha az előtagja igaz, utótagja hamis, azaz \3y{Ny f\ Ray)\ = i, \By(Py A Ray)\ = h. Ebből - az egzisztenciális kvantor értelmezése szerint - következik, hogy az j/-nak van olyan 6(€ U) értéke, ahol az előtag igaz, azaz \NbARab\ = i, s az utótag minden individuumra, így 6-re is hamis, azaz \PbARab\ = h.

80

Az utolsó előtti konjunkcióból következik, hogy \Nb\ = i,

\Rab\ = i.

Ennélfogva az utolsó konjunkcióban \Ph\ = h. amelyre \Nb-^ Pb\ = h,

A 6(€ U) tehát olyan individuum,

ami ellentmondás azzal, hogy \Nu —>• Pu\ = i minden u{£ U) individuumra. Ez az ellentmondás bizonyítja a feltevés helyességét. Az implikáció azonosan igaz, ami azt jelenti, hogy a (6) következtetés helyes. Ezért (6)-ban a konklúzió valóban következ­ ménye a premisszának. 3. Tegyük fel, hogy egy társaságban igazak a következő kijelentések: (a) Minden matematikus zenekedvelő. (b) Adám matematikus. (c) Nincsen olyan zenekedvelő, aki szegedi matematikus. Következik-e ezekből a kijelentésekből az alábbi kijelentés: (d) Ádám nem szegedi. Az itt szereplő kijelentések formalizálása végett vezessük be a következő predi­ kátumokat: P x = X matematikus, Qx = X zenekedvelő, Rx = X szegedi. Az (a )-(d ) kijelentések formalizálása: (a)

'^x{Px —>•Qx).

(b)

Pa (ahol a az Adám individuumnév jele).

(c)

~^3x { P x A Qx A Rx).

(d)

-nRa.

A formalizálás felhasználásával a következmény definíciója alapján a következőt kell bizonyítani: ( 7)

\{'Íx{Px — )■ Qx) A Pa A -i3x { P x A Qx A Rx)) — >■ -iRa\ = i.

A bizonyításhoz tegyük fel, hogy az implikáció előtagja igaz, az utótag hamis. Az utótag hamis voltából következik, hogy (8)

|i2a| = i. Az előtag igaz voltából pedig következik, hogy

(9)

\Pa\ = i,

( 10)

\Pu —)•Qu\ = i

minden w(G U) individuumra,

(11)

\Pu A Qu A Ru\ = h

minden u{E U) individuumra.

81

Innen pedig \Pu —» Qu\ = i alapján \Qa\ = i adódik. (8), (9) és a most kapott \Qa\ = i alapján \Pa A Qa A Ra\ = i. Ez pedig ellentmond (ll)-n ek . Ezzel igazoltuk, hogy a (7) implikációban az utótag nem lehet hamis, ha az előtag igaz, ami (7) teljesülését jelenti. Ezért a (d) kijelentés a predikátumlogika értelmében következménye az (a) - (c) kijelentéseknek.

8. Levezetés a predikátumlogikában A kijelentéslogikában értelmezett levezetésnél alkalmazott szabályokat, eljárásokat ki kell egészíteni ahhoz, hogy a predikátumlogikában a megfelelő fogalmat kialakíthassuk. Legyen C egy ( ^ , V ) típusú nyelv (elsőrendű logika). A predikátumlogiká­ ban beláttuk, hogy ha egy tetszőleges P{ x ) predikátumlogikai formulában az X változónak a k kifejezéssel való helyettesítése megengedett, akkor az alábbi \/xPx -> Pk, Pk —> 3 x Px implikációk tautológiák (azonosan igazak). Ezeket mint egyszerű következte­ tési szabályokat használjuk, s a következőképpen nevezzük: Definíció. I. us-szabály: Ha x-nek k-vdl való helyettesítése megengedett, akkor \^xPx ^ Pk. II. eg-szabály: Ha x-nek A;-val való helyettesítése megengedett, akkor P k 1= 3xPx. III. ug-szabály: A \/xPx predikátumlogikai formula képzése a P x formu­ lából. IV. es-szabály: A Pa formula képzése a űxPx formulából, ha P x egy C elsőrendű nyelv formulája, és a pedig egy, az £-ben nem szereplő individuum­ konstans jele. 82

M e g je g y z é s

Az I-IV . szabályokban szereplő betűk az univerzális, az egzisztenciális, a specializáció és a generalizáció kezdőbetűi.

Fontos azt is tudni, hogy az ug- és az es-szabályok - mivel nem tau­ tológiákból keletkeznek - csak bizonyos feltételek mellett, megszorításokkal alkalmazhatók. Ilyenek: (*) az ug-szabályt csak olyan változóra alkalmazhatjuk, amely a premisszák egyikében sem szabad előfordulású; (**) az ug-szabályt olyan változóra nem alkalmazhatjuk, amely szabad vál­ tozója egy olyan predikátumlogikai formulának, amelyre az es-szabályt előzetesen alkalmaztuk. Ezek után értelmezhetjük a predikátumlogikai levezetést: D e f i n í c i ó . Legyen A i , A 2 , . . . , A n (n > 0) és B predikátumlogikai for­ mula (a { V^T) típusú C nyelvben), kijelentéslogikai, predikátum­ logikai tautológiák egy-egy halmaza, és T = U Az Ei, £ 2 ^. . . , Ek predikátumlogikai formulasorozatot a B formula T segítségével történő leveze­ tésének nevezzük az A i , A 2 , . . . , premisszákból, ha 1. Ek - B, 2 . minden i-re (1 < i < /?) az alábbiak valamelyike teljesül: (a) Ei egy premissza, azaz Ei £ { ^ 1 , ^ 2 , . . . , vagy (b) Ei a T(^)-beli tautológia, vagy valamely T^*)-beli tautológiából he­ lyettesítéssel jön létre, vagy (c) vannak az £^1 , £^2 , •••5 sorozatban az Ei~t megelőző olyan E i^,..., E{^ (5 > 1) predikátumlogikai formulák, hogy

{Ei^A...AEiJ-^E, T^^^-beli tautológia vagy valamely T(*)-beli tautológiából helyettesí­ téssel áll elő, vagy (d) Ei egy, a sorozatban előzetesen előforduló formulából az ug-szabály vagy az es-szabály alkalmazásával jön létre a fent említett (*) és (**) megszorítások betartásával. Ha van ilyen, akkor azt mondjuk, hogy B levezethető az A i, A 2 , . . . , predikátumlogikai formulákból a T tautológiahalmaz alapján. Bizonyítás nélkül mondjuk ki most a következő tételt: T é te l. Ha egy B predikátumlogikai formula levezethető az A i , A 2 , . . . , An {n > 0) predikátumlogikai formulákból az előbbi definícióban adott T tau­ tológiahalmaz alapján, akkor A i , A 2 , . . . , \= B.

83

Most is felmerül a kérdés, hogy megadható-e olyan véges T tautológia­ halmaz, hogy bármely A i, A 2 , . . . , An N ^ következtetésre legyen jB-nek T-n alapuló levezetése A i, A 2 , . . . , A^-böl. A válasz most is pozitív, amit K. G ö­ déi (1906-1978) osztrák származású matematikus bizonyított be. Tekintsük ugyanis a következő kijelentéslogikai tautológiákat: (a ) p ^ { q - ^ p), lf3) q)) ( 7 ) {-'q

^p)

((r ^ p) ^ {r ^ q)), ( p ^ q),

továbbá az alábbi predikátumlogikai formulákat: ((5) \/x(H G) ^ {H Va;G), ahol x íT-nak nem szabad változója, (^) \/xPx P /, ha P-ben a;-nek a t kifejezéssel való helyettesítése meg­ engedett. Gödéi teljességi tétele szerint, ha (b) típusú lépést az (a )-(^ ) tautológiák valamelyikére alkalmazzuk, (c) típusú eljárásként csak az A^A B \= B leválasztási szabályt, (d)-ként csak az ug-szabályt, akkor létezik P-nek olyan levezetése az A i , A 2 , . . . , predikátumlogikai formulákból, amely ekvivalens azzal, hogy A i , A 2 , . . . , A^ ^ P. Ennek alapján szokás az (a )-(5 ) tautológiákat a predikátumlogika axió­ mainak, a leválasztási és az ug-szabályt a predikátumlogika levezetési szabá­ ly aindik nevezni.

9. Példák elsőrendű nyelvre

Az elsőrendű nyelvet speciálisan megválasztva a matematika egy-egy té­ makörében szereplő állításokat tudjuk megfogalmazni. 1. A halmazelméletben az objektumok kizárólag halmazok. Az indi duumváltozók jelei: — Egyetlen kétváltozós predikátumjel az G jel, amely az „eleme” relációt jelenti. A „nem eleme” , a halmazok egyenlősége, valamint a részhalmaz-reláció az alábbi formulákkal definiálható: X^y:

-.(a; e

y),

X — y \ Va(a ^ x ^ a e y), X C y : Va(a G a; —> a G y).

84

A halmazelmélet néhány egyszerűbb állítása így formalizálható: a) Létezik üres halmaz: 3x\^y{y 0 x). b) Bármely két x^y halmaznak van metszete (közös része): 3z{ z C X A z C y) A \/u{{u Q x A u C y) 3z{\/a{a e z —> Vö(ö e u

u C z), azaz

(a e X A a ^ y)) A Vti(Vö(6 ^ u

(b e x A b e y))

b e z)).

c) Minden halmaznak van hatványhalmaza: "^x3y\/z{z £ y ^ z C x).

2. Tekintsük most a természetes számokra vonatkozó állítások leírására vonatkozó Cjsf elsőrendű nyelvet. A változókat most is x^y^z^.. .jelöli, ezek a természetes számok N halmazából bármely értéket felvehetnek. A 0 konstans a 0 természetes számot jelöli. Az = és < kétváltozós relációjel (predikátumjel). A ' a „rákövetkezés” jele, ami egyváltozós függvényjel, + és • kétváltozós függvényjel (műveleti jel). Kifejezések: a változójelek: a;, y, 2:,..., a 0 konstans jele. Továbbá, ha k\ és k 2 kifejezés, akkor k[, ki + k 2 ^ ki •k 2 is kifejezés. Az egyenlőség alaptulajdonságai: \/x{x — x)^ \/xyy{x = y ^

y = x),

Va;Vj/Vír((a: = y A y = z) —>■x = z). Az egyenlőtlenség definíciója: X ^ y :-^{x = y).

A „rákövetkezés” néhány tulajdonsága: - '3x{x' = 0), '^x3y{y = a ;'), yx' iy{x' - y'

X = y),

(v40 A Mx{Ax —> ■Ax') ) —> \/xAx,

85

ahol A x egy egyváltozós formula. (Ezek lényegében a Peano-féle axiómák.) Az összeadás, ill. a szorzás definíciója: y x { x + 0 = a:), ' i x i y { x + y' = [x + y)'),

Vx(xO = 0 ), 'ix iy {x y ' = xy + x).

Az összeadás tulajdonságai: MxMy{x 4 - y = y + x), 'Íx'Íy\Jz{{x + y) + 2T= x + ( y + z)), 'Íx'^yiz{x — y ^ x + z = y + z)^ Vx(0 + X = x). Hasonlóan felírhatók a szorzás tulajdonságai is, valamint a disztributivitás. A < , ill. az oszthatóság (|) relációk definíciói: X< y

3z(x +

= y),

x\y

3z( xz = y).

Az „X prímszám” így is formalizálható: x j ^ O A x j ^ l A yyyz{x\yz

(x\y V x\z)).

Az „X törzsszám” (irreducibilis szám): x / O A x / A

a 'Íy'iz{x — yz ^ X — y\J X — z).

3. Az egységelemes félcsoport esetében az individuumtartomány az egys elemes félcsoport elemeinek halmaza, a változók ezek bármelyikét felvehetik. Az e egységelem individuumkonstans. Függvényjelek: a o műveleti jel, e (egységelem). Predikátumjel: = . Az egységelemes félcsoport axiómái: -A z = jel ekvivalenciareláció, - A o művelet asszociatív, -Van egységelem. Tudjuk, hogy számos konkrét ilyen félcsoport van, azaz az egységelemes félcsoport axiómarendszerének számos interpretációja van. Tekintsük a következő interpretációt: Legyen az interpretációs tartomány a mód 6 maradékosztályok halmaza, = legyen a mód 6 kongruenciareláció, e a mód 6 ö maradékosztály. Könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti félcsoport-axiómák teljesülnek. 86

4. Végül tekintsük az euklideszi síkgeometriát. Alapfogalmak: pont, egyenes. Jelei: P^E. Illeszkedési reláció: x illeszkedik y-ra. Jele: Ixy. Egyenlőség. Jele: = . Könnyen belátható, hogy az egyenlőség ekvivalenciareláció, hasonló igaz egybeeső pontok, egyenesek illeszkedésére. A „nem egyenlő” , illetve a „közös pontra illeszkedik” reláció a következő módon definiálható: X^ y

^{ x = y),

K x y : 3u{Pu A l u x A luy) . Az euklideszi geometria néhány illeszkedési axiómája így formalizálható: a) Bármely két különböző x^y ponthoz van olyan egyenes, amelyre azok illeszkednek: yx' Íy{ Px A P y A X / y) —> ^z { Ez A I x z A l yz) ) . b) Bármely két különböző x^y ponthoz legfeljebb egy olyan egyenes létezik, amelyre azok illeszkednek: V x V y ( ( P x A P y A X / y) —> {yz'iw^Ez A E w A I x z A l y z A I x w A l y w ) -> - ^ z = w)).

A párhuzamossági axióma formalizálása: yyyx{{EyAPxA-'Ixy)

3z{EzAl xzA- H x ,

ahol F, G, H, . . . egyargumentumú predikátumváltozók. D e f i n í c i ó . A z egyrétű zárt formulák az egyrétü nyitott formulákból konkretizációval, illetve kvantifikációval jönnek létre. Ha tehát A egy egyrétü nyitott formula és a egy individuumnév, akkor

A{a\x)^

'ixA^

egyrétü zárt formulák. P é ld á k

Az alábbiak egyrétű zárt formulák: Fa, 'ixFx,

FaVGa,

{Fa V Ga) ^ - > H a ,

3x{Fx\/Gx) ,

\/x{Fx^Gx).

Az egyrétü formuláknak halmazelméleti fogalmakat feleltetünk meg. Vá­ lasszunk egy (nem üres) U univerzumot, feleltessük meg az atomi prediká­ tumváltozóknak U részhalmazait, az individuumneveknek pedig az U elemeit. Ezen megfeleltetés alapján a következő táblázatot állíthatjuk össze: Egyrétü nyitott formulák

A megfelelő részhalmazok

Px --P x Px A Qx P x\! Q x

_ P (C U) P ( = U\P) P nQ PUQ

P x -> Q x (:= ^ { P x A ^Qx ) ) P x ^ Q x {:= {P x Q x) A {Q x -> P x ) )

P ^ Q = P \ Q (= U\(P\Q)) (P \Q ) ^ (Q \P)

A táblázat első három sorát a megfeleltetési definíció alapján írtuk fel, a két utolsó sor pedig az implikáció és az ekvivalencia definíciója, valamint a halmazműveletek ismert tulajdonságai alapján látható be Venn-diagramok segítségével. Egyrétü zárt formuláknak is megfeleltethetünk halmazelméleti jelensége­ ket, mégpedig halmazelméleti állításokat. Ezeket a következő táblázat tartal­ mazza, ahol az első három sort a megfeleltetési definíció alapján írjuk fel, a többi sorában szereplő megfeleltetés a definíciók, valamint a logikai és halmazműveletek felhasználásával bizonyítható:

Egyrétü zárt formulák

A megfelelő halmazelméleti állítások

Pa

a e P

"ixPx

U\P^%

3xPx

P\Q = 0 ( P C Q ) PnQ^9 Pn Qx) 3 x ( P x A Qx) ' Íx{Px - > ~^Qx) 3x{Px A ^Qx) V x(P ai

P\Q i ^ ^ { P < Í Q ) P = Q

Qx )

A halmazelméleti reprezentáció lehetővé teszi az egyrétü predikátumok­ nak Venn-diagramokkal való szemléltetését. Most, ha egy részhalmaz üres, akkor azt bevonalkázással jelöljük. Ha pedig egy részhalmazban van elem (azaz a tekintett részhalmaz nem üres), akkor azt a halmazba rajzolt sza­ kasszal jelöljük. Célszerű előbb az üres halmazokat bevonalkázni. Végül, ha egy halmazt jelölő diagramban semmi jel nincs, az azt jelenti, hogy az illető halmazról nincs információnk. Például:

P = 0,

a e R,

Q 7^ 0, *y-ről nincs információnk.

Az egyrétü formuláknak egy következtetési sémája akkor és csakis akkor helyes, ha a premisszák közös Venn-diagramja ábrázolja a konklúzió Venndiagramját is, más szóval a premisszák közös Venn-diagramjáról a konklúzió is leolvasható. M e g je g y z é s

Ha a premisszák ellentmondanak egymásnak, akkor nem ábrázolhatok közös Venn-diagramon, hiszen ekkor egy tartomány üres is lenne, meg nem üres is. Ekkor azonban a következtetés sem érdekes, mivel - mint tudjuk - kontradikciónak bármilyen kijelentés következménye. P é ld a

Az egyrétü formuláknak Venn-diagramokkal való tárgyalását a következő példával illusztráljuk:

89

Legyenek a premisszák a következő kijelentések: (a) Vannak Beatles-frizurás huligánok. (b) Minden huligánnak nyegle a modora. Következnek-e ezekből az alábbi kijelentések; (c) Van olyan nyegle modorú huligán, akinek Beatles-frizurája van. (d) Minden nyegle modorú huligánnak Beatles-frizurája van. Készítsük el a premisszák Venn-diagramját, ahol a következő jelöléseket vezetjük be: Bx : = X Beatles-frizurás, H x : = X huligán, N x : = x-nek nyegle a modora. A (b) premissza szerint H C N, azaz íT-nak az iV-en kívüli része üres. Az (a) feltétel szerint pedig 5 Pl i í 0. A premisszák közös Venn-diagramja:

A (c), illetve a (d) kijelentések Venn-diagramja:

Látható, hogy a premisszák Venn-diagramjáról leolvasható az az információ, amit a (c) Venn-diagramja nyújt, tehát (c) következménye a premisszáknak. A (d) Venn-diagramja azonban nem olvasható le a premisszák Venn-diagramjáról, tehát (d) nem következménye a premisszáknak. A későbbiekben a konklúzió Venn-diagramját nem is rajzoljuk meg. Elegendő csupán azt ellenőrizni, hogy a premisszák közös Venn-diagramjáról leolvasható-e a konklúzióban szereplő információ. P é ld a

Legyenek a premisszák a következő kijelentések: (a) (b) (c)

90

Minden nem dohányzó kollégista bélyeggyűjtő. Minden szemüveges bélyeggyűjtő dohányzik, vagy nincs olyan nem dohányzó bé­ lyeggyűjtő, aki nem szemüveges. Kis Béla, mióta nem visel szemüveget, leszokott a dohányzásról és nagy szenve­ délye a bélyeggyűjtés.

Döntsük el, hogy következik-e ezekből az alábbi kijelentés: (d)

Minden szemüveges kollégista dohányzik. A fenti kijelentések formalizálása végett vezessük be a következő jelöléseket: Bx Dx Kx Sx a

: = X bélyeggyűjtő, : = X dohányzik, : = X kollégista, : = X szemüveges, := Kis Béla.

A szereplő kijelentések formalizálása: (a)

'Íx{{-^Dx A K x ) ^ Bx),

(b)

'Íx{(Bx A Sx) —>•Dx ) V ~^3x{~iDx A B x A ~^Sx),

(c)

—iSa A —iDa A Ba,

(d)

y x { ( K x A Sx) -->■ Dx).

Az itt szereplő (b) formula nem egyrétü, hanem két egyrétű formula diszjunkciója. Jelölje a diszjunkciö első tagját (b i), a második tagját (b 2). Ezért most úgy kellene eljárnunk, hogy két Venn-diagramot készítünk, mégpedig egyet az (a), (b i), (c), és egyet az (a), (b 2), (c) premisszákkal. Az (a), (b 2), (c) formulák konjunkciója azonban kontradikció, ezért a második Venn-diagram elhagyható. Az (a), ( bi ), (c) premisszák közös Venn-diagramja négy halmazból áll. (A ne­ gyediket ábrázoló görbevonal a három egymást metsző kör által meghatározott síkré­ szek mindegyikét két részre osztja.) Előbb az (a)-nak megfelelő halmazban az a-nak megfelelő pontot rajzoljuk be.

Ezután a (bi)-nek megfelelő üres halmazt bevonalkázzuk. így elkészült a pre­ misszák konjunkciójának a Venn-diagramja, amiről leolvasható a (d)-ben szereplő in­ formáció. A (d) kijelentés tehát következménye az (a )-(c) kijelentéseknek.

11. A szillogisztikus és a szinguláris következtetések A hagyományos logikában sokat foglalkoznak az ún. kategorikus kijelen­ tésekkel. Ezeket a 92. oldalon látható táblázat tartalmazza. M e g je g y z é s . Az a és az i jelölést a latin „afíirmo” = állítok szó, az e és az o jelölést pedig a latin „nego” = tagadok szó első két magánhangzója alapján választották.

91

Kategorikus kijelentés Minden P — Q

rövid jelölés (típusa) a{ P, Q)

a kijelentés formalizálása \/x{Px —> Q x)

Van olyan P , ami Q

i { P, Q)

3 x { P x A Qx)

Minden P — nem Q

e { P, Q)

^ x ( P x —> -^Qx)

Van olyan P , ami nem Q.

o ( P, Q)

3 x { P x A ~^Qx)

neve általános álKtó részleges állító általános tagadó részleges tagadó

Amit a hagyományos logikában szinguláris kijelentéseknek neveztek, azok lényegében individuumnevet tartalmazó formulákkal, illetve ezek egyszerű spe­ ciális esetével {P a alakkal) fejezhetők ki. (Az individuumneveket ott ugyanis szinguláris terminus oknak szokás hívni.) Látható, hogy mind a kategorikus, mind a szinguláris kijelentések formulái egyrétű zárt formulák. Ezért a hagyományos logikának ez a része az egyrétü predikátumlogika keretében egyszerűen tárgyalható. A kategorikus kijelentések Venn-diagramjai a következők:

a(P, Q)

i(P. Q)

e(P. Q)

o(P.Q)

A hagyományos logikában központi helyen tárgyalják a kategorikus kije­ lentésekből összeállított alábbi szerkezetű következtetési sémákat, amelyeket kategorikus szillogizmusokn.dk neveznek:

c^iP.Q) ( 3{R, P)

II. a(Q,P) I3{R,P)

III. a (P ,Q ) Í3{P,R)

IV. a(Q,P)

i{R,Q)

i{R,Q)

i{R,Q)

i{R,Q)

I.

ahol a, /?, 7 az a, z, e, o bármelyike lehet. A négy alakzat mindegyikéből 64 (=4^), s így összesen 256 kategorikus szillogizmus képezhető. A hagyományos logika egyik legfontosabb feladatának tartotta ezek közül a helyes következ­ tetési sémákat kikeresni, s ezek megjegyzésére verses szabályokat állítottak 92

össze. Például az I. oszlopban helyes az az eset, ha a, j3^ 7 mindegyike helyén a szerepel, s ezt a „Barbara” szóról jegyezték meg. A helyes szillogizmusok eldöntésére a Venn-diagramok egyszerű eljárást szolgáltatnak, s így az előbb emKtett verses szabályok érdektelenné válnak. P é ld a

1.

a{P.Q)

2.

e{Q,P)

a(R, P)

i{R, P)

a{R,Q)

o{ R, Q)

3.

a(P,Q) a{P, R)

Az ezekben szereplő premisszák Venn-diagramja rendre: Pj

Az ábráról könnyen leolvasható, hogy 1. és 2. helyes következtetési séma, de 3. nem. Az utóbbira példa a következő, ahol az univerzum legyen a főiskolai matematika szakos hallgatók halmaza: Mindenki, aki kitűnő, logikából is jelesre vizsgázott. Mindenki, aki kitűnő, anaKzisból is jelesre vizsgázott. Van olyan, aki logikából is és anaKzisból is jelesre vizsgázott. A két premissza igaz; még akkor is, ha nincs kitűnő. Ebben az utóbbi esetben a konklúzió azonban hamis. A következtetés csak úgy helyes, ha 3.-ban még feltesszük, hogy van, aki logikából jelesre vizsgázik. Általánosan tehát azt mondhatjuk, hogy 3.-at ki kell egészíteni a 3 x P x premisszával. Az így nyert premisszák közös Venn-diagramja:

Most már a 3.-beli konklúzió leolvasható erről a Venn-diagramról.

Végül megemlítjük, hogy a lehetséges szillogizmusok közül mindössze 15 fejez ki helyes következtetési sémát, 9 pedig egzisztenciális premissza kiegészí­ tésével lesz helyes. 93

D e f i n í c i ó . A szinguláris kijelentéseket tartalmazó következtetéseket szin­ guláris következtetéseknek nevezik. Ezek is egyszerűen tárgyalhatók Venndiagramok segítségével. P é ld a

Minden ember halandó. Szókratész ember. Szókratész halandó. Vezessük be a következő jelöléseket: Ex

:=

X

H x

:=

X

ember, halandó, s : = Szókratész.

A következtetési séma: y x { E x —>•H x ) Es Hs A kapott egyrétű formulák Venn-diagrammal ábrázolhatók. A premisszák közös Venndiagramja:

erről a konklúzió leolvasható. A következtetés tehát helyes. Megjegyezzük, hogy a kategorikus és a szinguláris következtetések egymásután­ jával gyakran bonyolultabb egyrétű formulák esetén is el tudjuk dönteni a következ­ ményreláció fennállását, amint ezt a következő példa illusztrálja. Legyenek a premisszák a következők: (a) (b) (c) (d) (e)

Egyik főiskolai hallgató sem kapott jegyet. Aki nem klubtag, az vendég. Minden klubtag fizetett. Minden vendég ebédelt. Aki fizetett, az jegyet kapott.

Következik-e ezekből: (f) Minden főiskolai hallgató ebédelt. Legyenek a szereplő kijelentések a következők: főiskolai hallgató, kapott jegyet, K x X klubtag, VX : = X vendég, F x : = X fizetett, Ex : = X ebédelt. H x

:=

Jx : =

94

X

X

A példában szereplő kijelentések formalizálása: (a)

'Íx{Hx

(b)

\^x{^Kx-^Vx),

(c)

yx{Kx

Fx),

(d)

\íx{Vx^Ex),

(e)

Vx(Fx

(f)

Vx(JIx —>■Fx).

Jx),

A szillogisztikus következtetések egymásutánjával jutunk el a konklúzióhoz:

(c l ) \ / x ( H x (e) '^x{Fx -

>■-iJx) Jx)

(g) Vx{ Fx -

^Hx)

(g) 'i x(Fx ■ - . F i ) (c) V x(A 'i Fx) (h) V x(A 'i ^ ->Hx)

(h) ' i x ( K x (b) ^ x { ^ K x (j) y x { H x

-Hx) Vx) Vx)

(j) ^ x { H x - Vx ) (d) V x (V i >Ex) (f) \íx{Hx

Ex)

95

A következtetések egymásutánját az alábbi sémával vázolhatjuk: (a)

_ ----- ^ (g )^ ____ ---------------- ^ ( / ' l (/)

12. Az azonosságpredikátum Vizsgáljuk meg az alábbi következtetést: (a) Japán a felkelő nap országa. (b) Japán távol-keleti ország. (c) A felkelő nap országa távol-keleti ország. Ezt a következtetést helyesnek ítéljük. Kíséreljük meg eddigi ismereteink­ kel formalizálni az itt szereplő kijelentéseket, s legyen: T x := X távol-keleti ország. j := Japán. / := A felkelő nap országa. Az (a) premissza pontosabban a következőt állítja: Japán azonos a felkelő nap országával. Ha ezt a kijelentést az A xy predikátum segítségével írjuk fel, akkor a fenti következtetési séma a következő: M f T.1

(1)

T T

Ez a következtetési séma azonban a predikátumlogika értelmében nem helyes, hiszen például az alábbi következtetésnek is ugyanez a szerkezete, s ez nyilván nem helyes: 3 osztója 6 -nak. 3 páratlan._____ 6 páratlan.

96

Az A x y tehát nem lehet tetszőleges predikátum, hanem csak egy jól meg­ határozott predikátum, az azonosságpredikátum. Az azonosságpredikátum ki­ vételes szerepet tölt be a predikátumok között. Jelölésére a szokásnak megfe­ lelően az = jelet használjuk, s így interpretáljuk: Tetszőleges univerzum bármely ti, v individuumára

(

z,

ha u azonos t;-vel,

/i,

egyébként.

Az azonosságpredikátum felhasználásával a kiindulásul választott követ­ keztetés sémája: = / (3) Most már ennek a (3) következtetési sémának a helyessége könnyen belátható, hiszen bármely interpretáció, amely a premisszákat igazzá teszi, a konklúziót is igazzá teszi. Venn-diagrammal is jól szemléltethető a (3) alatti következtetés. A T j premisszát a T halmaznak egy j pontja ábrázolja. A j = / azonosságot úgy ábrázoljuk, hogy a j pont mellé az /-e t is odaírjuk. Erről az ábráról a konklúzió is leolvasható, tehát a következtetés valóban helyes. Halmazelméleti jelöléssel:

Az azonosságpredikátum jelentősége az, hogy ha egy individuum megne­ vezésére több név is használatos, akkor ezt a tényt az azonosságpredikátummal fejezzük ki. Az azonosságok felderítése gyakran komoly vizsgálódást igényel. Pél­ dául: A tg a; függvény és a függvény azonos. A sík két Pi és P 2 pont­ ján mint átmérő végpontjain átmenő kör pontjainak K halmaza azonos a H = {P l, P 2 } U D halmazzal, ahol D a sík azon pontjainak halmaza, amelyek­ ből az adott két pont derékszög alatt látszik. A Mars a naprendszer negyedik nagy bolygója. Az azonosságpredikátum, amint látjuk, olyan speciális predikátum, amit a többi predikátumtól eltérően külön kell kezelnünk, s a predikátumlogikát ezzel célszerű bővíteni. 97

Kiegészítjük az atomi formula fogalmát a következeivel: (*) Rcí ki és ^2 két kifejezés, akkor ki = k 2 atomi formula. (**) Az azonosságpredikátumot mindig az egyenlőségrelációval interpretáljuk. Ha az előzőekben tárgyalt predikátumlogikához a (*), (**) alatti kiegé­ szítéseket hozzávesszük, akkor az így kapott elmélet az azonossággal bővített predikátumlogika. Az azonossággal bővített predikátumlogikában a következő formulák is érvényesek: (4)

^x{ x - x),

(5)

y x y y ( { x = y ) - ^ ( y = x)),

(6)

Va;Ví/Vz(((a; = y)

z)) -> (a; = z)).

A (4) alatti érvényes formula azt fejezi ki, hogy egy individuumnév bár­ mely univerzumban azonos önmagával. Az (5) és ( 6 ) pedig az azonosság szim­ metrikus, ill. tranzitív tulajdonságát fejezi ki a predikátumlogika nyelvén. Arra is ügyelnünk kell, ha két különböző individuumnak egy okoskodá­ son belül ugyanaz a neve. Ilyen esetben a neveket meg kell különböztetni, egyébként ugyanis helytelen következtetésre jutunk. P é ld a

Brazília = Brazília fővárosa. Brazília az Atlanti-óceán mellett fekszik. Brazília új fővárosa az Atlanti-óceán mellett fekszik.

Legyen A olyan formula, amelyben x nem fordul elő szabadon egy y-os kvantor hatáskörében. E feltevés mellett az alábbi formula érvényes: (7)

^x\^y{(x = y) A A ) ^

A (7) alatti érvényes formula azt fejezi ki, hogy egyazon individuum kü­ lönböző nevei minden állításban helyettesíthetők egymással (Leibniz elve). Az azonosság segítségével a következőképpen lehet formalizálni valamely P x predikátumra vonatkozóan az (8 )

98

Egy és csak egy P tulajdonságú dolog van.

más szóval a Pontosan egy olyan x van, amelyre P x alakú kijelentést: (9)

3xMy{Py

(y = x)).

Ez az egzisztencia-unicitás formalizálása. következővel: (10)

Belátható, hogy (9) ekvivalens a

3 x { P x A' ^y{Py ^ {y = x)). M e g je g y z é s

A matematikai logikában erre a következő jelölést vezették be: 3\xPx. P é ld a

A Pontosan egy páros prímszám van kijelentés formalizálása: P x := X páros szám, Qx : = X prímszám, 3\x{PxAQx), azaz 3x'Íy{(Px A Qx) ^ x = y).

13. A matematikai logika történetéről A logikus gondolkodás kezdete az emberré váláshoz kapcsolódik, és rész­ leteiben nem deríthető fel. Ma is csak lényeges fejlődési fokait, fordulópontjait tudjuk nag}^ vonalakban áttekinteni. A logikának mint tudománynak a kialakulásáról és fejlődéséről ponto­ sabb ismereteink vannak. Bár még a görögök előtt, a hinduknál, a kínaiaknál és a zsidóknál találunk logikára vonatkozó irodalmi történeteket, mégis fej­ lődésére a legnagyobb befolyással Görögország volt. Zenon (i.e. 490-430) nevéhez fűződik számos logikai probléma fejtegetése (a dolgok oszthatósága, Achilles és a teknősbéka paradoxon stb.), Szókraíészhez (i.e. 470-399) pedig a fogalomról, a meghatározásról és az indukcióról szóló elmélet megalapozása. 99

Platón (i.e. 427-347) a dedukcióról és bizonyításról szóló elméletet tökéle­ tesítette. Arisztotelész (i.e. 384-322) „Analitika” című kétrészes müvében, amely az „Organon” című munkájának része, fejti ki a logika alapjait, ezért öt tekintjük a logika megalkotójának. Arisztotelész a következtetési sémák­ ban előforduló tetszőleges, változtatható részeket betűkkel jelölte, és az így kapott un. kijelentésformákkal, ítéletformákkal dolgozott. Arisztotelész pl. a „Minden páros négyzetszám osztható 4-gyel” kijelentés helyett a tétel logikai formáját, a „Minden S P ” nyelvi kifejezést használta. Arisztotelész végezte el a kategorikus szillogizmusoknak nevezett következtetési formák első rendszeres vizsgálatát is. Sajnálatos módon nem érvényesültek érdemeiknek megfelelően a logika fejlődésében a sztoikus iskola (i.e. 3-2. század) eredményei. A sztoi­ kusok vezették be a kijelent és változókat, Arisztotelész csak fogalomváltozókat használt. Különösen a kijelentéslogikában elért eredményeik jelentősek, hiszen né­ hány műveletet is, köztük az implikációt bevezették, és tőlük származik néhány következtetési séma. A középkorban a logika nagyjából azon a szinten maradt, amelyet Arisz­ totelész munkái határoztak meg, tekintélye ugyanis súlyosan ránehezedett a középkori filozófusokra. A középkor legjelentősebb logikusa az angol skolasz­ tikus, William Occam (kb. 1285-1349) volt, aki a kijelentéslogikában ért el új eredményeket, de felfedezéseit kortársai nem értették meg, s így azok lassan feledésbe merültek. A középkori skolasztikusok az arisztotelészi logika ered­ ményeinek elsajátítása érdekében mesterkélt fogásokat, verseket készítettek. Arisztotelész elemi gondolkodási törvényeit, illetve szabályait évszázadokon át minden logikai tan - így a skolasztika is - általános érvényűként fogadta el, sőt L Kant (1724-1804) „A tiszta ész kritikájá” -ban a következőket írja: „A z is nevezetes, hogy az arisztotelészi logika ez ideig előre sem tehetett lépést, tehát úgy látszik, kész, s befejezett.” Évszázadokon át nem talált egymásra a görög kultúrában született két tudományág: a matematika (geometria) és a logika. A matematika is lassan fejlődött, csak a XVI. és a XVII. század hozott nagyobb fejlődést. F. Bacon (1561-1626) Arisztotelésszel szemben az indukció módszerét állította előtérbe. G. W. Leihniz^eáig (1646-1716) felvetette a szimbolikus logika szükségességé­ nek és kialakításának gondolatát. Leibniz arra gondolt, hogy a népek nem értik meg egymást, mert külön­ böző nyelveken beszélnek. Jobban megértik egymást a tudósok, még jobban a matematikusok a matematikai formulák nyelvén. Úgy vélte, hogy ha mindent matematikai jelekkel írnánk fel, a logikai fogalmakat is, akkor a filozófusok teljesen megértenék egymást. Elgondolása utópia volt, mert átvitte a filozófia 100

és a mindennapi élet területére. A logikában és a matematikában azonban célszerűnek bizonyult az elképzelés. A szimbólumok, jelek használata egyébként nem újkeletű a logikában. Már a görögöknél is megtalálható. Míg a hagyományos logika a formalizálással csupán a logikai viszonyokat akarta áttekinthetőbbé tenni, addig a szimbolikus logika már a logikai viszonyok jelölésére is szimbólumokat használ. Jelekkel helyettesíti a logikai összefüggéseket, majd bizonyos törvények felhasználá­ sával, megengedett számolási szabályok alapján, matematikai módszerekkel „kiszámítja” a szimbólumok kapcsolatát. Kant kétféle logikáról beszél, az általános és a transzcendens logikáról. (Lásd a jelen fejezet 3. pontját!) G .W .F. Hegel (1770-1831) érdeme a dialektikus logika bevezetése. A matematikai szimbólumoknak a logikába való első rendszeres beveze­ tését jelentős mértékben G. Boole (1815-1864) és A. de Morgan (1806-1873) angol matematikusoknak köszönhetjük, akik az osztálykalkulusban használták az algebrai módszereket. A szimbolikus logika elnevezés J. Venn (1834-1923) 1881-ben megjelent egyik munkájának címében fordult elő. A XIX. század második felétől a szim­ bolikus logika vizsgálata nagy lendületet vett C.S. Peirce (1839-1914), Poreckij (1846-1907), Schröder (1845-1902) és mások munkássága nyomán. G. Frege (1848-1925) és G. Peano (1858-1932) logikai eszközöket használ a természetes számok tárgyalásához. Ez további lendületet ad a logika fejlesz­ téséhez, mivel ezzel bebizonyosodott a logikának a matematika felépítésében való alkalmazhatósága. Ezeknek a vizsgálódásoknak a nyomán egészen átfogó és új irányú kutatá­ sok kezdtek kibontakozni: a matematika elvi megalapozásának, a matematikai alapoknak a szabatos vizsgálata. G. Cantor (1845-1918) német matematikus által kiépített halmazelméletben fellépő antinómiák felfedezése tette ezt szük­ ségessé. A logikának ilyen szerepét B. Russell (1872-1970) és A.N. Whitehead dolgozták ki 1910-ben megjelent „Principia Mathematica” c. nagy munkájuk­ ban. Russell szerint „az egész tiszta matematika, a geometriát is beleértve, egybeesik a formális logikával” . A szimbolikus logikát kezdetben a matematikán kívül meglehetős idegen­ kedéssel fogadták, és csak mint „a matematika logikáját” ismerték el. Kizárólag a logikára épített matematika - elképzelésük szerint - nem tar­ talmazhat ellentmondást. Ezt azonban nem sikerült bizonyítani, bár számos eljárással gazdagodott a matematikai logika. D. Hilbert (1862-1943) német matematikus az 1900-ban Párizsban meg­ tartott matematikai kongresszuson 23, általa legfontosabbnak ítélt matemati­ 101

kai problémát sorolt fel, amelyek közül a második az aritmetika axiómarend­ szerének ellentmondás-mentessége bizonyításának szükségességére irányította a figyelmet. A halmazelmélet axiomatikus felépítése mellett a kijelentéslogika és a pre­ dikátumlogika axiomatikus tárgyalására is sor került. Az előbbi teljességét Frege^ az utóbbi teljességét pedig Gödéi bizonyította. Nagy jelentőségű Gödéi 1931-böl származó azon eredménye, amely lé­ nyegében azt mondja ki, ha egy axiómarendszer ellentmondásmentes és elég kifejező (bizonyos értelemben), akkor van az axiómarendszerben megfogalmaz­ ható olyan állítás, amely az axiómarendszerben se nem bizonyítható, se nem cáfolható. Ez az un. Gödel-féle nemteljességi tétel. Gödéi tétele a Hilbert-féle második problémára végül is negatív választ ad abban az értelemben, hogy egy axiómarendszeren belül a probléma nem oldható meg. G. Gentzen 1936-ban bebizonyította - a halmazelmélet axiómarendszerét is felhasználva hogy az aritmetika Peano-féle axiómarendszere ellentmon­ dásmentes. A halmazelmélet axiómarendszerének ellentmondástalansága igen nehéz problémának látszik. Neumann János (1903-1957) nevéhez fűződik többek között a halmazelmélet egy axiomatikus felépítése. Az elsőrendű logikában sokáig próbálkoztak olyan algoritmus keresésével, amely alkalmas az ún. eldöntésprobléma megoldására. A. Church amerikai matematikus 1936-ban bizonyította, hogy ilyen algoritmus nincs. Az algoritmus szabatos megfogalmazása Kleene amerikai és Turing angol matematikus nevéhez fűződik. Az utóbbi vezette be a róla elnevezett abszt­ rakt gép fogalmát, az ún. Turing-féle gépeket. Az algoritmuselméleti vizs­ gálatok hozzájárultak a számítástudomány fejlődéséhez. Ennek egyik ered­ ménye J. Matijaszevics leningrádi matematikus 1969-ből származó eredmé­ nye, amely szerint nincs olyan algoritmus, amely bármely egész együtthatós /(a^i, . . . , Xn) — 0 egyenletről eldöntené, hogy van-e egész számokból álló meg­ oldása, vagy nincs. A matematikai logika jelentős eredménye az A. Robinson (1918-1974) amerikai matematikustól származó nem-standard analízis megalkotása 1961ben. Ebben az elméletben bevezette a „végtelen nagy” valós szám és a „végtelen kicsi” (infinitezimálisan kicsi) valós szám fogalmát, s szabatos fo­ galommá alakította a Leibniz által tárgyalt „végtelen kis” mennyiségeket. Jelentős eredménye volt a matematikai logikának a Cantortól származó kontinuumhipotézis problémájának 1963-ban P. Cohen amerikai matemati­ kus által adott lezárása. A kontinuumhipotézis ugyanis az volt, hogy a megszámlálhatóan végtelen számosság és a kontinuumszámosság között nincs más 102

számosság. S ezt a halmazelmélet Zermelo-Fraenkel-axiómarendszerének felhasználásával próbálták hosszú ideig bebizonyítani. Cohen azt bizonyította be, hogy a kontinuumhipotézis nem igazolható és nem is cáfolható a ZermeloFraenkel- axiómarendszerben. A matematikai logika hazai művelői közül megemlítendő Kalmár Lász­ ló (1905-1976), akiről azt a függvényosztályt nevezték el, amelybe tartozó függvények a természetes számok halmazán algebrai képlettel definiálhatók. Továbbá Péter Rózsa (1905-1977) kutatásai közül maradandók a rekurzív függvények elméletében elért eredményei s az ezekről írt, 1951-ben megjelent könyve.

IV. fejezet

A H A G YO M Á N YO S LOGIKA FŐBB TÉMÁIRÓL

1. A logika tárgyának hagyományos felfogása A „logika” a görög „logosz” szóból származik. A „logosz” jelentése: szó, gondolat, igazság, lényeg, értelem. A „logiké” görög szó, jelentése érvelés, következtetés. „Logiké tekhné” logikai műveletet jelent. A köznapi nyelvhasználatban a „logika” vagy a „logikus” szavak több­ féle értelemben, összefüggésben szerepelnek. Gyakran említik egy konkrét te­ vékenység, esemény, tudomány stb. logikáját, logikus vagy kevésbé logikus voltát. Ilyen esetekben „logikus” a szóban forgó szakterület objektív értelmességére, rendszerességére, következetességére utal, a dolgok lényege által meghatározott szükségszerü tapasztalatokra. Használatos a „logikus” szó egy személy gondolkodásának, cselekvésének jellemzésekor is. Ilyenkor a „logikus” jelző az illető személy gondolkodásának helyes, következetes felépítettségét jelenti. {Szubjektív értelmesség.) Használatos végül a „logika” szó magának a logika tudományának elne­ vezésére is. A logika tudományát - vagy csak egyszerűen a logikát - úgy szokás meg­ határozni, mint a helyes gondolkodásról, illetve a helyes gondolkodás törvényei­ ről szóló elméletet. A gondolkodást pedig akkor tekintjük helyesnek, ha hűen tükrözi a valóságot. A logikának ez az értelmezése azonban, noha tartalmaz helyes megállapítást, nem kimerítő és pontatlan. A logika kapcsolata más tudományágakkal a kultúrtörténet folyamán vál­ tozott. Koronként változott a felfogás arról is, hogy bizonyos problémákból mi és mennyi tartozik a logikára. Korábban a gondolkodással mint pszichi­ kai folyamattal összefüggő kérdéseket is idesorolták. Újabban ezeket az ún. pszichologizmus tárgyalja. Ma már a hagyományos logika sem tárgyalja az on­ tológiai (lételméleti) problémákat vagy az ismeretelméleti témákat. Ugyancsak nem tárgya ma már a logikának az egyes nyelvekkel és ezek grammatikájával foglalkozó vizsgálódás. 104

A szorosabban vett logikának is több ága, kutatási iránya van. A történe­ lem folyamán különböző logikai rendszerek születtek, így megkülönböztethet­ jük a hagyományos (klasszikus), a (Hegeltől származó) dialektikus, továbbá a formális, szimbolikus logikát. Ez utóbbinak része a matematikai logika. A hagyományos logika főbb részei: - a logika alaptörvényei (alapelvei); - a logikai formák: a fogalom, az ítélet, a következtetés; - a logikai módszertan.

2

. A logika alaptörvényei

A hagyományos logika álláspontja szerint a logika alaptörvényei (posztulátumai) a következők, amelyek közül az első három Arisztotelésztől, az utolsó Leibniztől ered: (a) (b) (c) (d)

Az azonosság törvénye. Az ellentmondástalanság törvénye. A kizárt harmadik törvénye. Az elégséges alap törvénye.

A hagyományos logikában ezeknek az alaptörvényeknek kettős szerepet szántak. Egyrészt azt tartották, hogy gondolkodásunk csak ezek betartásával felel meg a valóságnak, s ez biztosítja az információközlés egyértelműségét. Másrészt pedig az volt a szerepük, hogy ezek a törvények alapul szolgáltak az egész hagyományos logikai elmélet szempontjából. (Ezért a logika posztulátumainak is nevezték őket.) Most vizsgáljuk meg ezeket a törvényeket e két szempontból kissé részle­ tesebben: {di) A z azonosság törvénye: Egy adott gondolatmenet folyamán minden kifejezést (individuumnevet, kijelentést) ugyanabban az értelemben kell hasz­ nálnunk. Az azonosság törvénye tükröződik a predikátumlogika következő érvényes formuláiban is: 'Íx{x = x)^ A ^ A, ahol A tetszőleges formula. 105

Az azonosság törvényét ki kell egészíteni a következő megállapodással, amire Leibniz mutatott rá: (*) Az egymással azonos individuumokat jelölő nevek minden vonatko­ zásban felcserélhetök egymással. Ezt az elvet tükrözi a predikátumlogikában például az alábbi érvényes formula: Va;Ví/[(A A (a; = y))

A {y/x)],

ahol az A formulában x nem fordul elő szabadon. Az azonosság törvényét a gondolat-, az információközlés, a kommunikáció során^ így például a tanításban, mindig be kell tartanunk az egyértelműség érdekében. M e g je g y z é s e k

1. A leibnizi elv a logika egyes újabb ágaiban, például az ún. modális logikában csak korlátozottan érvényes. Az alábbi következtetés például nem helyes: Verdi az Aida szerzője. Péter tudja, hogy Verdi Verdi. Péter tudja, hogy Verdi az Aida szerzője. Látható, hogy a második premissza, valamint a konklúzió szerkezete a következő: Péter tudja, hogy A, ahol A maga is kijelentés. Kijelentések „hogy” kötőszóval történő összetételével tanul­ mányainkban nem foglalkoztunk, mivel az ilyen kijelentések íinomszerkezetét a pre­ dikátumlogika eszközeivel nem tudjuk feltárni. Tehát a tekintett példa kívül esik a klasszikus logika keretein; ez az ún. modális logikához tartozik. Ez is mutatja, hogy Leibniz elve a modális logikában nem érvényes korlátlanul. 2. Az azonosság törvényeinek a valóságra történő kiterjesztése csak meghatáro­ zott szempontból lehetséges, hiszen a dolgok, jelenségek állandó változásban vannak. Ezen állandó változásokra utalva alakította ki Hegel a dialektikus logikát. 3. A matematika és a matematikai logika kidolgozott olyan eszközöket, amelyek az információközlésben megkövetelt azonossági törvény megsértése nélkül alkalmasak a valóságban megnyilvánuló változások leírására. Ilyenek például a függvények, amelyek segítségével lehetséges a mozgások, változások leírása.

(b) A z ellentmondástalanság törvénye: Két egymásnak azonos vonatko zásban ellentmondó kijelentés nem lehet egyidejűleg igaz. Az ellentmondástalanság törvénye a predikátumlogikában úgy tükröző­ dik, hogy minden A formulára az A^^A formula kontradikció. 106

Hasonlóan, mint az azonosságtörvénynél, itt is az a helyzet, hogy az is­ meretközlésben (kommunikációban) az ellentmondástalanság törvényét be kell tartanunk. Ugyanakkor a dolgok, jelenségek változása, a fejlődés, sőt a meg­ ismerés folyamata is ellentéteken keresztül valósul meg. (c) ^ kizárt harmadik törvénye: Azonos körülmények között két, egymás­ nak ellentmondó kijelentés közül az egyiknek igaznak kell lennie. A kizárt harmadik törvénye a predikátumlogikában úgy tükröződik, hogy az A V -nA

formula érvényes. Az ellentmondástalanság és a kizárt harmadik törvényén alapul a kétértékü logika, amit a kommunikációban, az ismeretek, információk átadásában elfogadunk. Sem az ellentmondástalanság törvénye, sem a kizárt harmadik törvénye nem általános törvény, hiszen ismertek már többértékü logikai rendszerek is. Tény azonban, hogy a kétértékü logikának az információközlésben kitünte­ tett szerepe van, mert a többértékü logikát is a kétértékü logika nyelvén kell elmondani. (d) A z elégséges alap törvénye: A kijelentések megalapozottságának köve­ telményét fejezi ki. Más szóval azt a követelményt jelenti, hogy igaznak csak olyasmit fogadunk el, ami tapasztalati, gyakorlati, ill. logikai úton megala­ pozott. Az információközlésre, ismeretátadásra vonatkozóan ez a törvény azt fejezi ki, hogy igazat kell közölnünk. A tárgyalt alapelvek közül csak az elégséges alap törvénye az, amelyiket gondolkodásunk során a valósággal való összhang érdekében be kell tartanunk. Az első három alapelv nem a gondolkodásunk, hanem az egyértelmű gondo­ latközlés, a kommunikáció törvényeit fejezi ki. A logika felépítéséhez - amint ezt láttuk - az ellentmondástalanság és a kizárt harmadik törvényét használtuk fel, ezek jelentik a dichotómia elfo­ gadását. A többértékü logika felépítésénél a kizárt harmadik törvényét nem fogadhatjuk el posztulátumnak. A kétértékü logika megalapozásánál is felvet­ tünk egy újabb törvényt, az értékelés elvét^ amely kifejezetten nem szerepel a hagyományos logikában. 107

3. A fogalomról

A fogalmak a dolgok, a jelenségek lényeges tulajdonságait tudatunkban megragadó gondolati formák. A „dolog” szó itt nagyon általános értelemben használandó. A fogalomalkotás bonyolult pszichikai és értelmi, szellemi tevékenység, amely az érzékelés révén támaszkodik a valóságra, de a dolgoknak csak a lényeges, másoktól megkülönböztető tulajdonságait emeli ki. Fogalmainkat szavakkal fejezzük ki. A szavak és fogalmak kapcsolatában szokás megkülönböztetni az egyértelmű^ a többértelmű^ a rokonértelmű szava­ kat. 1. A fogalmakat többféle szempont szerint oszthatjuk fel. A közvetlen, valódi dolgokat jelölök a konkrét fogalmak^ a konkrét fo­ galmakból szellemi, gondolati úton újabb fogalmakat, absztrakt fogalmakat alakíthatunk ki. A fogalmak egy más felosztásához jutunk a következő módon: Az individuális dolgokhoz az egyedi (individuális) fogalmak i 2)-argumentumú predikátum igazsághalmazát értjük. (Ez amint a matematikából tudjuk - egy n tényezős Descartes-féle szorzathalmaz részhalmaza.) Az egyedi, valamint az általános fogalom is lehet konkrét vagy absztrakt. Általános fogalmakból individualizálással absztrakt egyedi fogalmakdX ké­ pezhetünk. Ilyenek a matematikában gyakoriak. Absztrakt egyedi fogalmak osztályait, illetve viszonyait kifejező fogalmak az absztrakt abszolút általános fogalmak, illetve a relatív általános fogalmak. Illusztráló példákat a következő táblázatban találunk: Egyedi fogalom

Abszolút

Relatív általános fogalom

Konkrét fogalom

Arany János; Magyarország fővárosa; Tisza; József Attila utolsó verse; a karórám

három; Absztrakt a tanulás; fogalom az őszinteség; az oszthatóság; az izomorfia; a rokonság

érdes; kék szemű; piros; ül; állat; molekula

testvére; kisebb; rajta van; szereti; közötte van

integrálható; függvény; zérusosztómentes; gyűrű; algebrai struktúra; biológiai faj

osztója; izomorf; következménye; részhalmaza; részstruktúrája

2. Adott fogalmakból újabb fogalmakat képezhetünk a predikátumlogika műveletei segítségével. Például: nem kék szemű, nem osztható. 109

magyar űrhajós, páros prímszám, idősebb fiútestvére, egybeesik vagy párhuzamos. Láttuk, hogy minden általános fogalomnak megfelel egy egy- vagy többargumentumú predikátum. Az általános fogalmakból logikai műveletekkel képzett fogalmaknál előfor­ dul, hogy a kapott abszolút általános fogalom terjedelme üres. Ilyenek: szingaléz űrhajós, amerikai királyság stb. Az is lehetséges, hogy egy így képzett abszolút általános fogalom terjedelme egyelemű.

Például: páros prímszám,

kétmilliós magyar város stb. Az egyelemű terjedelemmel rendelkező fogalma­ kat meg kell különböztetni az egyedi fogalmaktól, hasonlóan ahhoz, ahogyan különbséget teszünk az egyelemű halmaz és az elem között. Az egyelemű terje­ delemmel bíró fogalmakból természetesen képezhetünk egyedi fogalmakat. A leíró kifejezésekkel képzett egyedi fogalmak tipikus példái annak, hogy hogyan képezünk egyelemű terjedelemmel rendelkező általános fogalmakból egyedi fo­ galmakat. Idealizált íogslomTÓl akkor beszélhetünk, ha a fogalmakkal végzett műve­ letek segítségével olyan abszolút általános fogalomhoz jutunk, amelynek ter­ jedelme üres, s mégis terjedelmet tulajdonítunk neki. Az idealizált fogalmat teoretikusnak mondjuk, ha vannak olyan indivi­ duumok, amelyek bizonyos szempontokból jó megközelítéssel kielégítik az ere­ deti fogalommal szemben támasztott követelményeket. Ilyen például a „pont” , a „sík” fogalma, vagy a fizikában az „anyagi pont” (kiterjedése nincs, tömege van) stb. Ellenkező esetben az idealizált fogalmat mitikusaik nevezzük. Erre példa: Zeusz, nimfa, ufólény. Ha egy idealizált fogalom terjedelmének üres voltát se bizonyítani, se cáfolni eddig nem sikerült, akkor a terjedelem nem üres voltának feltételezése esetén hipotetikus fogalomról beszélünk. szám fogalma. 3.

Ilyen például a páratlan tökéletes

Két fogalom között - azok terjedelme alapján - lehetséges kapcsolatok

a következők (ahol bevonalkázás jelzi az üres részosztályokat, vastag szakasz pedig annak a jele, hogy a tekintett részosztálynak van eleme): 110

1. eset:

Mindkét fogalom terjedelme üres. Pl. A hegyesszögű négyzet; a két derékszöget tartalmazó háromszög.

2. eset:

A két fogalom terjedelme egybeesik, nem üres. Pl. A derékszögű rombusz; az egyenlő oldalú téglalap.

3., 4. eset:

Az egyik fogalom terjedelme üres, a másiké nem. Pl. A 2-nél nagyobb páros prímszámok; a páratlan prímszámok.

5., 6. eset:

Az egyik fogalom a másiknak a/a-, ill. fölérendelt íogdlom. Pl. Egyenlő szárú háromszög; egyenlő oldalú háromszög. Egész szám, racionális szám.

7. eset:

A két fogalom terjedelme szétválasztott. PL Páros természetes szám; páratlan természetes szám.

8. eset:

A két fogalom terjedelme keresztezi egymé^si. Pl. Rombusz, téglalap.

A hagyományos logika az 1., 3., és 4. eseteket teljesen figyelmen kívül hagyta, amiből - amint a szillogizmusoknál is láttuk - hibák származnak. Az most is megállapodásunk, hogy az univerzum nem lehet az üres halmaz. Egy F fogalom felosztása (osztályozása) azt jelenti, hogy az F-en - be­ vezetve egy p ekvivalenciarelációt - képezzük a p szerinti osztályozást. A p ekvivalenciarelációt az osztályozás szempontjámk nevezik. (Például a három­ szögek felosztása szögeik minősége szerint.) Fogalmak között fennálló valamely összefüggést leíró kijelentés lehet igaz, illetve azonosan igaz (érvényes), s ennek megfelelően a fogalmak közötti össze­ függést extenzionálisTL^k^ illetve intenzionálismk hívjuk. Az értelmezésből nyilvánvaló, hogy az intenzionális összefüggés mindig extenzionális, de a meg­ fordítás nem teljesül. Fogalmak extenzionális kapcsolatára példa: „A magyar űrhajósok osztálya több személyből áll” ; „A kémia szakos hallgatók mind fi­ úk” . Intenzionális kapcsolatot fejeznek ki a következők: „Minden konvergens sorozat korlátos” ; „A hegyesszögű négyzetek osztálya üres” . 111

4. Új fogalmaknak már ismert fogalmak segítségével történő képzésé definicióndük nevezik. A definíciók kifejezhetök a predikátumlogika eszközeivel, a ) egy d egyedi (individuális) fogalom definíciója: d := a alakú, ahol a egy individuum (egyértelmű) leírása, és a-ban d nem szerepel. Például: V 5 : = az a nem negatív valós szám, amel}^nek négyzete 5. 7T := a kör kerületének és átmérőjének a hányadosa.

A predikátumlogika nyelvén az egyedi fogalom definíciója a következő­ képpen írható le: Ha F x egy egyargumentumú predikátum, és bizonyítható, hogy 3y\/x(Fx ^ X — y), akkor a

azon ?/, amelyre F x

az a egyedi fogalom szabatos logikai definíciója. Az „azon y, amelyre” ki­ fejezés egy speciális kvantor, amelynek jelölésére a szakirodalom a fordított állású görög ióta betűt használja: iy. Ennek alkalmazásával az egyedi fogalom definíciója így írható: a :=^)yFy. /?) Tudjuk, hogy az általános fogalmak predikátumokkal ábrázolhatók. Ezért egy általános fogalom definiálása nem más, mint egy Dx\ .. .x^ (n > 1) predikátum definiálása egy olyan A formulával, amelyben Dx\ .. ,x^^ nem sze­ repel és A-ban legfeljebb az x\^.. . . x^ individuumváltozók fordulnak elő sza­ badon. Az általános fogalmak definíciója a predikátumlogikában a következő­ képpen formalizálható: Dxi . . . Xn

A

{ n > 1).

P é ld á k

(a) A természetes számok halmazában az „osztója” definíciójához felhasználjuk a „szorzata” fogalmát: XI osztója x-2-nek

3.'z:3 (xi •X‘^ = x^).

Az „x'i osztója x’2-nek” szokásos jelölése: 3;i|2:2. (b) Definiáljak a „prírnszám” fogalmát a természetes számok körében, ahol felhasz­ náljuk a „nagyobb” , az „osztója” és a „szorzata” fogalmat: XI prímszám

112

{(x i > 1) A'^X2 '^x:í{xi\x 2 •

{xi\x 2 V x^ l^a)))-

(c) A természetes számok halmazában a „legnagyobb közös osztó” definíciójához az „osztója” fogalmat használjuk fel: XI és X2 legnagyobb közös osztója 2:3

Ax3|2;2) AV2;4((2;4l^i AX4|2;2) —>■

^ X4 IX3)). (d) A valós számok halmazában a „logaritmus” definíciójában támaszkodunk a valós számok fogalmán kívül a „nagyobb” és a „hatvány” fogalmára: X2-nek x i alapú logaritmusa xs

{x i > 0 A ->(2:1 = 1)A

A x 2 > 0 a XI az 2;3 hatványra emelve = 2:2). (e) A „nagybátyja” definiálásához ismertnek tekintjük az „a p ja ” , „anyja” „fiútestvére” fogalmakat: XI nagybátyja 2:2-nek

és

32:3( ( (2:3 apja x^ — nek)V

V (2;3 anyja 2:2-nek)) A (2:1 fiútestvére 2:3-nak)). M e g je g y z é s e k

1. Amit definiálunk, azt „definiendum” -nak, amivel definiálunk, azt „definiens” -nek szokás hívni.

2. A hagyományos logikában beszélnek „szűk” , ill. „tág” definícióról, ami azt jelenti, hogy a definiendum és a definiens között nem ekvivalenciajel áll, hanem csak implikáció, mégpedig , ill. —>■ irányban. Ezek a fenti értelmezés szerint a tárgyalásunkból ki vannak zárva. 3. A hagyományos logika gyakran használta a következő definiálási módot: Meg­ adjuk a definiálandó fogalom legközelebbi nemét (=genus proximum) és ebben egy megkülönböztető tulajdonságát (=differentia specifica). Ez a definiálási mód azonban csak speciális esetekben alkalmazható, amint ezt a fenti példákból is láthatjuk. Ilyen például a következő: X négyzet (2: paralelogramma Ax oldalai egyenlők Ax szögei derékszögek).

Előfordul, hogy egyazon fogalmat többféle definícióval adunk meg. Ilyen­ kor be kell bizonyítani, hogy a szóban forgó definíciók ekvivalensek. A definíciók megadása nem előfeltétele a megismerésnek. Az emberiség kultúrtörténetében is számos példa mutatja, hogy gyakran eredményesen dol­ goztak nem definiált fogalmakkal is. Egy tudományág rendszeres, tudományos felépítésénél azonban a definíciók fontos szerepet játszanak. Ilyenkor igyek­ szünk a fogalmakat egyszeriíbbekre visszavezetni. Ez a visszavezetés azonban nem megy végtelenségig, s eljutunk olyan fogalmakhoz, amelyeket már nem definiálhatunk további egyszerűbb fogalmakkal, ezeket alapfogalmakmli ne­ vezzük, megkülönböztetésül a definiált fogalmaktó]. 5. A matematikában többször használunk egy speciális definíciót, amit rekurzív (vagy induktív) definícióndik neveznek. A rekurzív definíció a ter­ mészetes számok egy jellegzetes tulajdonságán alapul. (Ezt a tulajdonságot a természetes számok Peano-féle axiómarendszerében a teljes indukció axiómája 113

fejezi ki.) Legyen P( n) egy, az n természetes számtól mint paramétertől függő predikátum. P-ben természetes individuumváltozók szerepelhetnek. Minden n természetes számra a P( n) predikátum rekurzív definíciója a következő ala­ kú: P (0 )

A,

P( k + 1) : Bk-) ahol A tetszőleges olyan formula, amelyben P{ n) egyáltalán nem szerepel, a Bk formulában pedig előfordulhat P (n ), feltéve, hogy n < k. Meg kell jegyezni, hogy a rekurzív definícióban adott (k + l)-re du P( k + l) definíciójából - ismételt helyettesítésekkel - a P{ n) predikátumjel kiküszöböl­ hető, de a ^kP( k) formulából nem. Ezért az olyan formulák bizonyításához, amelyeknél a rekurzív definícióban szereplő változó kvantorral lekötött, a tel­ jes indukció tételét szükséges használnunk. Halmazelméleti úton a rekurzív definíciók átalakíthatók explicit definíciókká.

4. Az ítélet elmélete

A predikátumokat és az individuumneveket közös néven terminusoknak is szokás hívni. A terminusok tehát a fogalmak nyelvi kifejezései. Egy fogalmat különböző nyelveken különböző terminusokkal fejezünk ki, például: magyarul asztal ír piros

angolul table writes red

franciául table écrit rouge

németül Tisch schreibt rőt

Azt, hogy a különböző nyelveken kifejezett különböző terminusok ugyan­ azt a fogalmat fejezik ki, az biztosítja, hogy a fogalmak a dolgok lényeges, meghatározó tulajdonságait visszaadó gondolati formák. A terminusok tehát a gondolkodás közvetítésével a dolgokat jelölő nyelvi formák. Ahogyan a fogalmak a dolgok lényeges vonásait tudatunkban visszaadó gondolati formák, ugyanúgy beszélhetünk a dolgok, jelenségek, események kö­ zötti lényeges, objektív kapcsolatokat, összefüggéseket tudatunkban visszaadó gondolati formákról, amiket ítéleteknek nevezzük. 114

Egy ítélet különböző nyelveken más-más kijelentéssel írható le. P é ld a

Mi írunk az asztalon. We write on tlie table. Nous écrivons sur la table. Wir schreiben auf dem Tisch.

A kijelentések tehát a gondolkodás közvetítésével a dolgok közötti össze­ függéseket, más szóval eseményeket jelölő nyelvi formák. Az elmondottakat a következő táblázatban foglaljuk össze: Valóság: Gondolati forma: Nyelvi kifejezési forma:

dolog fogalom terminus

esemény ítélet kijelentés

Legyenek A é s B események, az őket jelölő nyelvi formák, azaz kijelentések A* és Definiáljuk az alábbi eseménymüveleteket: a) „->A” az az esemény, amely pontosan akkor áll fenn, ha A nem áll fenn; b) A A jB az az esemény, amely pontosan akkor áll fenn, ha A és B egyidejűleg fennáll; c) ha a dolgoknak egy osztálya, u pedig ebből egy egyedi dolog, és ha Au egy u {e í7)-ra vonatkozó eseményt jelöl, akkor - '^xAx jelölje azt az eseményt, amely pontosan akkor áll fenn, ha Au min­ den w(G ?7)-ra fennáll. - 3 x Ax jelölje azt az eseményt, amely pontosan akkor áll fenn, ha van olyan w(G í7), amelyre Au. Beláthatók a következők: (- A )* ^ ( A a B Y ^ a* A 5 * ; {\/xAxy ^ Vx(Ax)*; {3xAxy ^ 3x{Axy. Ennélfogva az események szerkezetét a kijelentések szerkezetével ábrázol­ hatjuk. Az ábrázolás adekvát volta attól függ, hogy az eseményekre a kétértéküség elve fennáll-e, azaz érvényes-e a „fennáll - nem áll fenn” dichotómiája. A tapasztalat szerint eléggé egyszerű eseményekre jó közelítéssel teljesül a dichotómia. Ezért az események szerkezetét közelítőleg jól írja le a hozzájuk tartozó 115

kijelentések szerkezete. A kijelentések szerkezetének feltárásakor tehát az ese­ mények szerkezete is feltárul előttünk. így jutunk arra a következtetésre, hogy a logika a gondolkodás vizsgálatán túl, az események „logikai szerkezetével” is foglalkozik.

5. A következtetés elmélete A kijelentések közötti következményrelációt értelmeztük a kijelentéslogi­ kában és a predikátumlogikában. A kijelentések közötti (predikátumlogikai) következményrelációhoz hason­ lóan beszélhetünk az ítéletek közötti következményrelációról is. Például: Ha A fennáll, de A A -uB nem, akkor B is fennáll. (Modus ponens.) Az ezeknek megfelelő kijelentéslogikai formulákra ugyanis teljesül ( - ( A A - 5 ) ) * ^ (A* ^ 5 * ), és a leválasztási szabály szerint A* A*

->

5*

B* helyes következtetési séma. Ezért a B ítélet is következménye az A és az A A ítéleteknek. A predikátumlogika következményfogalma tehát események közötti kap­ csolatot fejez ki, ezért objektív. A hagyományos logikában a következtetések tárgyalása mindössze a kije­ lentéslogikában szereplő következtetési sémákra, valamint a szillogizmusokra szorítkozott.

6

. A megismerés módszerei

A tudományos megismerés általános módszereivel jutunk az egyes tudo­ mányok fogalmaihoz, állításaihoz, a bizonyításokhoz, és mindezek valamilyen rendszerezéséhez. A tudományos megismerés főbb módszerei: az analízis, a 116

szintézis, az absztrahálás, a konkretizálás, az általánosítás, a spécializálás, az indukció, a dedukció, az összehasonlítás, a kapcsolatok (relációk) megállapí­ tása. Ezek a megismerés során gyakran összefonódnak, kiegészítik egymást, s elszigetelten csak egyes részletekben mutathatók ki. A felsorolásban megta­ lálható fogalompárok nem zárják ki egymást, ezek is szoros egységben jelent­ keznek a megismerés során, inkább csak a megismerés és a vizsgálódás egyes lépéseinek irányát jelzik, s a megismerési folyamat kölcsönösen összefüggő és egymásba menő oldalait alkotják. 1. Analízisről (elemzés) beszélünk, ha egy tárgyat, jelenséget, problémát stb. gondolatban önálló részekre, alkotóelemeire, komponenseire bontunk fel. Szintézissel (összetevés) valamely tárgy, jelenség, probléma stb. részeit, komponenseit szerves egységbe kapcsoljuk. Egy probléma analízissel való megoldásakor úgy teszünk, mintha már megoldottuk volna e szóban forgó feladatot. Megvizsgáljuk, milyen előzmé­ nyekből, feltevésekből lehetne a kívánt eredményt megkapni. Ha ilyen előz­ ményt találunk, akkor egy újabb előzményt keresünk, olyat, amelyből az előbbi adódik, s.í.t. Közben figyelembe kell vennünk az alkotórészek összefüggéseit, kapcsolatát, egymáshoz való viszonyát. A szintézis a részek azon kapcsolatainak realizálása, amelyek lehetőségét az analízis kidolgozta. A szintézis - ellenkező irányban - lépésről lépésre követi az analízist. Az analízis a problémát elemeire bontja, a szintézis pedig feltárja az egész lényeges összefüggéseit. 2. Ahsztrahálássdl egy adott dologból, jelenségből, fogalomból stb. ki­ indulva eljutunk hasonló dolgokat (jelenségeket, fogalmakat stb.) tartalmazó osztály (halmaz) elemeinek közös tulajdonságához. Konkretizálássdl dolgok egy osztályáról (halmazáról) áttérünk az osztály (halmaz) egy elemére. Az absztrakció a dolgok, jelenségek egy oldalát emeli ki „tiszta formában” , úgy, ahogyan az sohasem létezik a valóságban. Absztrakcióval jutunk el pl. a „piros” fogalomhoz. Tekintsük dolgok azon osztályát, melynek minden eleméről azt állítjuk, hogy piros. Ilyenek: piros almák, piros szövetek, piros tinták, piros papirosok, piros paprikák, piros gépkocsik, piros műanyaglapok, piros villanyfény, s.í.t. A piros ezen osztály elemeinek közös tulajdonsága. A konkretizálásnál éppen fordítva járunk el. Pl. a „piros” fogalom konk­ retizálása „egy piros alma” , „egy piros virág” , „egy piros korlát” , s.í.t. Absztrahálás eredménye pl. az „ö t ” . Az „ ö t” fogalmát egy osztály elemei­ nek közös tulajdonságaként kaptuk. Ennek az osztálynak az elemei konkrét halmazok, pl. az „öt alma” , „öt diák” , „öt épület” , „öt állóhullám” stb. 117

A „természetes szám” a 0, 1, 2, 3, ... elemek közös tulajdonsága, ebben a vonatkozásban pl. az „ö t” konkrét, s a „természetes szám” absztrakció. Tovább is lehet lépni: a „természetes szám” , a „racionális szám” , a „valós szám” stb. konkrét, a „szám” fogalma absztrakt. 3. Ált aláno sít áss egy adott A fogalomhoz olyan B fogalmat alkotunk meg, amely fölérendelje A-nak (a IV. fejezet 3. pontja értelmében). SpecializálássdX pedig egy adott B fogalomhoz olyan A fogalmat alkotunk, amely alárendeltje jB-nek. P é ld á k

A „szabályos oktaéder” egy általánosítása a „szimmetria-középponttal rendel­ kező test” , míg az utóbbinak egy specializál ás a az előbbi, de a „kocka” vagy az „egyenes körhenger” is. A „természetes szám” egy általánosítása a „racionális szám” . A „tanárjelölt” -nek egy specializálása a „tanárképző főiskolás” . Előfordulhat, hogy a specializál ásnál meghatározott fogalom terjedelme egyelemű. Pl. a „prímszám” specializálása a „páros prímszám” . A „páros prímszámok” osztályának egyetlen eleme a 2. Ilyen értelemben a „páros prímszám” a „prímszám” fogalomhoz viszonyítva egyben speciális és ugyanakkor konkrét is. Az általánosítás hasznos lehet pl. matematikai feladatok megoldásakor. Fur­ csán hangzik, de sok esetben az általánosabb feladatot könnyebb megoldani. Ugyanis kevesebb megszorítás, kevesebb feltétel szerepel.

4. Osszehasonlitássdl két vagy több dolog, jelenség, probléma stb. azonos, illetve különböző tulajdonságait tárjuk fel. A hasonló dolgok, jelenségek kapcsolatát csak az összehasonlítással tudjuk érdemileg jellemezni. P é ld á k

Hasonlítsuk össze a „trapéz” -t a „deltoid” -dal. Megegyezést mutató sajátosságok: а) Mindkettő síkidom. б) Mindkettő négyszög: négy csúcs, négy oldal, két átló, négy belső szög. Különbözőséget, szétválasztást mutató tulajdonságok: c) Minden trapéznak van két párhuzamos oldala, de van olyan deltoid, melynek nincsenek párhuzamos oldalai. d) Minden deltoidnak van két egyenlő szöge, de van olyan trapéz, amelynek nincsenek egyenlő szögei. e) Minden deltoidnak merőlegesek az átlói, de van olyan trapéz, amelynek nem merőlegesek az átlói. f) Minden deltoidnak van két-két egyenlő oldala, de van olyan trapéz, amely­ nek nincs két egyenlő oldala.

118

Relációk megállapításával két vagy több dolog, jelenség közötti viszonyt konkrétan megjelölünk. A konkrét viszonyok, kapcsolatok megnevezése egy­ ben tartalmazza az összehasonlítást is.

Az indukciót - mint tudományos módszert - az jellemzi, hogy az egyes

5.

esetekből indulunk ki, megfigyelünk bizonyos jelenségeket s ezek bizonyos tör­ vényszerűségeit, ennek alapján egy általános jellegű állítást fogalmazunk meg. A z indukcióval már Arisztotelész is foglalkozott, de jelentőségre a kísérleti természettudományok kialakulásával (R. Bacon, G. Galilei) tett szert. Egyargumentumú predikátumok esetén így fogalmazható meg az indukciós eljárás: Ha a „Minden P tulajdonsággal rendelkező individuum - amelyet megfigyel­ tünk - Q tulajdonsággal rendelkezik.” fennállásából a „Minden P tulajdonsággal rendelkező individuumnak Q tulajdonsága van.” kijelentéshez jutunk, akkor un.

tapasztalati, empirikus indukciót hajtunk

végre. A kijelentés, amelyhez így eljutottunk, logikailag nem következik a pre­ misszákból, hanem azok által csak bizonyos mértékig valószínűsíthető. Ha sok, találomra kiválasztott esetet figyeltünk meg, akkor a premisszákkal nagymér­ tékben valószínűsíthető a konklúzió. P é ld á k

Ha valaki arra a következtetésre jut, hogy „Hazánkban minden fiatal évente egy regényt elolvas” , aziránt kell érdeklődnünk, hogy hány fiatalt és milyen fiatalt figyelt meg, hogy a fiatalokból milyen „mintákat” választott. Ha csak 20 embert figyelt meg ebből a célból, akkor a megállapítást kétkedve fogadjuk, mert itt nagy szerepet játszhatott a körülmények véletlenszerű megegyezése. Kétkedünk akkor is, ha 1000 fiatalt figyelt meg ugyan, de csak főiskolai, egyetemi hallgatókat. Ekkor ugyanis az 1000 főiskolai hallgató nem reprezentálja az összes fiatalok halmazát. Tekintsünk még egy példát. A XVII. században élő Snellius megfigyelte a fény­ sugarakat a levegőből a vízbe történő behatoláskor, és méréssel a következő adatokhoz jutott {x jelentse a fénysugár beesési szögét, y a törésszöget): X

0° 10° 8°

y 0°

20° 30° 15, 5° 22,5°

40° 50° 60° 28° 35° 40,5°

70° 80° 45° 50°

Megállapította, hogy a mért adatok kapcsolatát így lehet kifejezni:

sin y

= 1,31.

119

Ebből eljutott a következő állításhoz: „Minden x és minden ?/, ahol x a levegőből a vízbe hatoló fénysugár beesési szöge, y pedig törésszöge, a következő kapcsolatban vannak: sin x : siny = 1,31.” Az indukció logikai értelemben nem bizonyító erejíi, mégis a valóságról alkotott legfontosabb törvényeket ennek köszönhetjük. M e g je g y z é s e k

1. A teljes felsorolás alapján kimondott állítás nem tekinthető indukciónak. 2. A tapasztalati indukciót - ami logikailag nem helyes következtetés - nem szabad összetévesztenünk a matematikai teljes indukcióval, ami logikai értelemben he­ lyes következtetési módszer. A tapasztalati indukciónak és a matematikai indukciónak csak annyi köze van egymáshoz, hogy a matematikában gyakran alkalmazzák együtt a kettőt: Tapasztalati indukcióval egy sejtésre jutnak, amit teljes indukcióval igazolnak.

Az induktív módszerek rendszerezését John Stuart Mill (1806-1873) dol­ gozta ki. a) A megegyezés módszere: Ha több dolognak (jelenségnek) ismételten ugyanaz a kísérőjelensége, és a meg­ figyelt dolgoknak egy közös vonása van, akkor valószínűleg ez a vonás a kísérőjelenség oka. h) A különbözés módszere: Ha két jelenség csak egy mozzanatban különbözik, és az egyik jelenség nyomán tapasztalunk egy kísérőjelenséget, de a másik után nem, akkor a kísérőjelenség oka valószínűleg a két jelenség közötti különbség. c) A megegyezés és a különbözés egyesített módszere. d) A maradékok módszere: Ha egy jelenségnek egy kivételével minden mozzanata ok-okozati kapcsolatba hozható a kísérőjelenség egy-egy mozzanatával - egy kivételével -, akkor a kivételt képező mozzanatok között valószínűleg okozati kapcsolat áll fenn. e) A z egymást párhuzamosan kísérő változások módszere: Ha valamely jelenségeknek a sorozatában beálló változás egy másik jelenségsoro­ zat változásával jár együtt, akkor valószínűleg az előbbi a másodiknak az oka.

6. Az indukcióval szoros rokonságban áll az analógia alapján való követ­ keztetési módszer, amelyről akkor beszélünk, ha két tárgynak vagy jelenségnek bizonyos megegyező tulajdonságaiból arra a megállapításra (sejtésre) jutunk, hogy további tulajdonságaikban is megegyeznek. Ez a módszer eredményre vezet, ha a dolgok, a jelenségek egy magasabb absztrakciós szinten egy osztályba tartoznak. Bár a világ jelenségei végtelenül sokfélék, két vagy több jelenség mégis egy valamilyen szempontból megegyező vonásokat, azonos vagy hasonló szerkezetet mutathat. Ez az alapja annak, hogy egy jelenség modelljét egy másik jelenségben megtaláljuk. 120

A matematikában is nagyon gyakran szerepel az analógia, például három­ szög - tetraéder, kör - gömb, egész számok - polinomok, összeadás - szorzás stb. esetében.

7. A dedukció módszerét az jellemzi, hogy adott állításokból logikai ú ton új állításokra következtet (a logikában megismert következményfogalom értelmében). Ezzel a módszerrel találkozunk számos tudományban, így a ma­ tematikában is - a tételek bizonyítása során. Gyakran előfordul az is, hogy a dedukcióban követett utat ellenkező irány­ ban tesszük meg, tehát a konklúzióhoz keresünk olyan állításokat, amelyekből mint premisszákból következik az említett konklúzió. Ezt régen redukcióudk^ regresszív dedukción'cik is nevezték. Ez az utóbbi időben is gyakran előfordul a matematikában. (Az „Axiomatikus módszer” c. 8. pontban is lesz erről szó.)

7. Hipotézis Ha valamilyen tényt, folyamatot ismert törvényekkel és körülményekkel nem tudunk megmagyarázni, akkor olyan feltevést készítünk, hogy az adott tény vagy folyamat ebből a feltevésből és az ismert tételekből következzék. Ezeket a tudományos feltevéseket mondjuk hipotéziseknek. A hipotéziseknek a tudományos megismerésben fontos szerepük van. A tudományok sok esetben nem közvetlenül, direkt úton jutnak el a maguk igaz­ ságaihoz, hanem feltevések, hipotézisek sorozatán keresztül. Megfigyelnek egy új tényt, jelenséget, amelyet a régi idevonatkozó tételekkel nem tudnak meg­ magyarázni. Szükségessé válik egy új, kezdetben csak korlátozott számú té­ nyen és megfigyelésen alapuló indoklás. A további megfigyelések értékelése alapján egyik-másik hipotézist elvetik, másokat helyesbítenek és megerősíte­ nek, míg végül létrejön a törvény. Hipotézisek nélkül nem képzelhető el gon­ dolkodó kutatás. Ezekkel a gondolkodás, az értelem előreszalad, előre látja azt, amit a továbbiakban tényekkel kell alátámasztani. Hipotézisek teszik lehetővé a tények sikeres felhasználását, az eredményes megfigyelést is. A magyarázó hipotézis gyakran teljesen új fogalmakat is tartalmaz, még­ pedig olyan tárgyak, rendszerek, tulajdonságok fogalmát is, amelyeket közvet­ lenül nem lehet megfigyelni, inkább csak elméleti elképzelések. Ezek a korábban említett teoretikus, ill. hipotetikus fogalmak jellegzetes példái. J. Black^ a XVIII. században élő skót fizikus pl. a hőt önálló anyagként fogta fel, amely a folyadékhoz hasonlít, s ennek alapján a felmelegedés nem más, mint ezen anyag átömlése egyik testből a másikba. Az elmúlt három 121

évszázad fizikusai a fény jelenségének magyarázatára törekedve megteremtet­ ték a tökéletesen rugalmas anyagnak, az éternek a fogalmát, amely az egész világmindenséget kitölti és olyan környezetet alkot, amelyben a fényhullámok terjednek. D, Bernoulli a gázokat kis anyagi részecskék halmazaként képzelte el, amelyek a legkülönbözőbb irányban állandóan - egymástól függetlenül és egyenes vonalban - mozognak. A tudományok fejlődése ezeket a hipotéziseket megdöntötte. A hipotézis fejlődésének szakaszai: 1. Az első szakasz a hipotézis keletkezése. Bizonyos tényeket, kísérleti eredményeket meg kell indokolni. A tudósok a hipotéziseket nem önkényesen állítják fel: figyelembe veszik a tudo­ mány egész ismeretanyagát, és olyan hipotézisek megalkotására töreksze­ nek, amelyek a tudományág rendszerével, beigazolt tételeivel legjobban összhangban vannak. 2. A második szakaszban levonják a hipotézisből a lehetséges következménye­ ket^ a zárótételeket, amelyek még ismeretlen jelenségekre és törvényekre vonatkoznak. így mutatják meg azt a határozott irányt, amelyben a to­ vábbi kísérletezésnek, kutatásnak haladnia kell. 3. A harmadik szakasz a hipotézis megerősítése vagy cáfolása. A hipotézisből származó következmények ellenőrzése új tényeket szolgáltat, amelyek vagy cáfolják, vagy megerősítik. Egy vagy néhány következményének igazsága még nem bizonyítja a hipotézist, csak növeli helyességének a valószínűsé­ gét. A hipotézis elméleti megerősítésének módjai: a) Megpróbálnak a hipotézisből olyan következtetéseket levezetni, amelyeket semmi más ismert feltevésből nem lehet származtatni, és ezeket kísérle­ tekkel igazolják, bebizonyítják. E következmények bizonyítása egyben nagyon valószínűvé teszi a hipotézis igazságát. b) Úgy is megerősíthetnek egy hipotézist, hogy megmutatják, levezethető logikai úton más, általánosan igazolt tudományos tételekből. c) Alátámasztható egy hipotézis azzal is, hogy egy szillogizmussal, a modus tollendo ponensszel indokolják meg. Ennél figyelembe veszik a szóban forgó tények összes általában lehetséges magyarázatát, és megmutatják, e hipotézis kivételével az^ összes többi lehetséges magyarázat ki van zárva. 122

d) Egy hipotézist közvetlenül alátámasztanak a tapasztalati kísérleti eredmé­ nyek. Ez a mód azonban csak az egyszerű, egyes esetekben használható, akkor, amikor a hipotézis csak valaminek a létezését tételezi fel. A hipotézis egy vagy néhány következményének igazolása nem elegendő a hipotézis igazságának belátásához. Egyetlen következmény cáfolása azonban elegendő a hipotézis téves, hamis voltának bizonyításához. A hipotézis csak akkor válik elméletté, ha kiállja az elmélet és gyakorlat próbáját. A tudományos elmélet nem lezárt, végleges ismeretek rendszere: állan­ dó javításra, kiegészítésre szorul. A tudományos elméletek relatív igazságok^ amelyek az adott kor kísérleti eredményeivel kielégítő megegyezést mutatnak. E relatív igazságok természetesen részei az abszolút igazságnak, amelyet az emberiség egész történelmi fejlődése során egyre jobban megközelít. A törvényekből és hipotézisekből újabb következtetésekhez juthatunk mind indukció, mind dedukció útján. Több tudományban, ahol az ismereteket és a nézeteket a tapasztalás, a megfigyelés eredményeiből szűrik le, nemcsak azt vizsgálják, hogy a p i , . . . kijelentésekből következik-e a q kijelentés, ami teljes egészében a logika fela­ datkörébe esik, hanem olyan problémákat is vizsgálnak, hogy a q kijelentést (hipotézist) milyen mértékben igazolják a p i , . . . kijelentések. Ilyen esetekben beszélhetünk egy kijelentés igazolásának a mértékéről, amely mindig a [0,1] zárt intervallumba eső szám. Ha a g kijelentés követ­ kezik a p i , . . . , p ^ kijelentésekből, akkor az igazolás mértéke 1. Ha pedig a P l , . .. kijelentésekből a -^q kijelentés következik, akkor az igazolás mértéke 0. Más esetekben az igazolás mértéke 0 és 1 közé eső szám. Ez a témakör a valószínűségi logika körébe tartozik. A valószínűségi logika szabatos matema­ tikai módszereket dolgoz ki annak vizsgálatára, hogy bizonyos megfigyelések és kísérletek eredményei milyen mértékben növelik vagy csökkentik valamely hi­ potézis igazságának valószínűségét. A logika ezen új ága természetesen szoros kapcsolatban van a valószínűségszámítással.

8

. Axiomatikus módszer

Bár nem a hagyományos logika témakörébe tartozik, itt foglalkozunk a matematika tudományos módszerével, az axiomatikus módszerrel, amely az utóbbi időben más tudományok területén is tért hódít. 123

Az axiomatikus módszer első alkalmazója Eukleidész volt, aki ezt a geo­ metria tárgyalásához használta. Ha megpróbáljuk elképzelni a geometria fej­ lődését, akkor ezen az egyszerű példán szemléltethető e módszer kialakulása. (Egyébként a matematika más, később kifejlődő ágaiban is hasonló folyamat játszódott, ill. játszódik le.) A geometriai tulajdonságok, relációk felismerése, az összefüggések, állítá­ sok észrevétele, megsejtése sok-sok tapasztalás, megfigyelés, összehasonlítás, absztrakció stb. során induktíve alakulhatott ki. A felgyülemlett ismeret­ halmazban, a fogalmak és állítások rendszerében észrevették, hogy némely fogalom mások segítségével definiálható, és némely állítás pedig mások követ­ kezménye. A geometriai ismeretek rendszere tehát visszavezethető egyszerűbb fogalmakra és állításokra. De ez a visszavezetés sem mehet a végtelenségig, bizonyos kiinduló fogalmaknál és rájuk vonatkozó állításoknál meg kell állni. Ezeket nevezték el alapfogalmakndik^ ill. axiómáhiük. További fogalmakat az alapfogalmak, ill. már definiált fogalmak segítségével értelmeznek, állításokat (tételeket) pedig az axiómákból, ill. már bizonyított állításokból vezetnek le. Ezért nevezik ezt deduktív módszeniek. A matematikában máshol is hasonló a helyzet: A felfedezés tapasztalatiinduktív jellegű, de a fogalomalkotás és a bizonyítás deduktív. Az axiomatikus módszer jelentősége Bolyai János (1802-1860) és N.L Lobacsevszkij (1792-1856) munkássága, majd a századforduló tájékán felmerült halmazelméleti antinómiák nyomán nőtt meg. Célja egyrészt egy axiómarend­ szerből kiindulva a tételeknek csak a logika helyes következtetési szabályaival való bizonyítása, másrészt az axiomatikusan felépített rendszer ellentmondástalanságának bizonyítása a matematikai logika eszközeivel. Egy tudományág axiomatizálása azt jelenti, hogy az adott tudományág fogalmai és tételei közül kiválasztunk olyan kiinduló fogalmakat, amelyekből a többi definiálható és olyan kijelentéseket, amelyekből a többi levezethető. A kiinduló fogalmak és a kijelentések származhatnak: a) Tapasztalati ismeretanyag absztrakt modellizálásából (pont, egyenes, ter­ mészetes szám stb.). b) A matematika más fejezeteiből (halmaz, struktúra stb.). c) Más tudományokból. Egy axiómarendszer megadása - logikai fogalmakon és következtetési szabá­ lyokon kívül - jelenti: a ) az alapfogalmak és /3) az axiómák megadását. Az adott axiómarendszerből kiindulva képezhetünk definiált fogalmakat és levezethetünk (bizonyíthatunk) tételeket. 124

7) A definiált fogalmak - amint a IV. fejezet 3. pontjában láttuk - olyan d a vagy D A alakú formulákkal írhatók le, ahol á, ill. D a definiálandó fogalom, a-ban, ill. yl-ban pedig csak alapfogalmakat vagy már definiált fo­ galmakat jelölő szimbólumok szerepelhetnek. (Az első formával individuális, a másodikkal általános fogalmakat definiálunk.) (5) A tételek. Egy B állítás bizonyított az axiómarendszerben, ha van az axiómáknak vagy a már bizonyított tételeknek olyan A (formalizált) konjunkciója, amelyre A B helyes következtetési séma a predikátumlogikában. Az axiomatikus felépítés sémáját az alábbi ábra mutatja:

axiómarendszer

Hogy mely logikai fogalmak és mely következtetési szabályok szerepel­ hetnek egy axiómarendszerben, annak pontos tisztázása a matematikai logika feladata. Szigorúbb axiomatikus tárgyalásnál az alapfogalmak és az axiómák mellett a megengedett következtetési szabályokat is felsorolják. Az axiómarendszerekkel szembeni követelmények között ki kell emelnünk az ellentmondástalanságot^ azaz hogy ne lehessen az axiómarendszerből egy kijelentést és annak tagadását is levezetni. Annak bizonyítása, hogy egy axió­ marendszerben nincs ellentmondás, általában igen nehéz feladat. Matemati­ kailag jól használható axiómarendszerek között ennek bizonyítása csak néhány esetben sikerült (például a természetes számok esetén). Bizonyos esetekben jelentős eredmény az ún. relatív ellentmondás­ mentesség bizonyítása is: a Bolyai-geometria ellentmondásmentes, ha az euk­ lideszi geometria is az, s ez utóbbi pedig akkor, ha a valós számok axióma­ 125

rendszere ellentmondásmentes. (Ez utóbbit azonban eddig nem sikerült bizo­ nyítani.) Általában már azzal is megelégszünk, ha egy axiómarendszerben alapos vizsgálatok után nem találunk eYíentmondÁst. Az ellentmondás-mentesség bizonyíthatósága céljából ugyanannak az el­ méletnek több axiómarendszerét is megalkották. Például a halmazelmélet Zermelo-Fraenkel-féle axiómarendszere mellett ismert a Neumann-féle axió­ marendszere. Szokás még az axiómák függetlenségéről is beszélni, ami azt jelenti, hogy ne szerepeljenek olyan axiómák, amelyek a többiből levezethetők. Egy axiómarendszert teljesnek (kategorikusn (p ^

d) -ip V (~>g A -« r),

p —> [p A -i(g V r)].

(r A -^p);

9 . Egyszerűsítse a következő formulákat: a) (p A g A r ) V -ig V - r ,

b) {p A -^q) V ( -ip A q ) y ( i p A ->g), c j (p A g A - t ) V ( -ip A g A - t ) V

A -ig A r ) ,

d) { pV q) ^ ( p A q A r ) , e) [{p V g) A (p -> r ) A (g -> r)] -> r , f ) -'( -'P A g A -«r) A -'( -'g V r ) . 1 0 . Állapítsuk meg, hogy az alábbi formulák közül melyik érvényes, kontradikció, ill. kielégíthető, de nem érvényes: a) p ^ ^ i ^ q A { ^ q

-.p )) ,

b) ( ( -'P -> -^{P V q)) A ((p A

^ ^q)) -> {^q ^ q), c) ÜP ^q) A (p V - i g ) ) ^ ((p Aq) y g ) , d) (p V ^q) ( ( - p A r ) ^ (g -> -.p )).

11. Formalizáljuk a kijelentéslogikában a következő kijelentéseket: a) Hideg van és esik az eső. b) Süt a nap, de nem fúj a szél.

c) Vagy esik az eső, vagy elszáradnak a növények.

d) Akkor és csakis akkor utazom veled, ha te is akarod. 1 2 . Formalizálja a következő kijelentéseket: aj Ha melegem van vagy éhes vagyok, nem tudok dolgozni. Ha Marci időben felébred és eléri a vonatot, akkor boldog lesz, de ha nem ébred fel időben, akkor nem lesz boldog.

c) Ha a szél fúj, akkor esik az eső.

d) Busszal vagy gyalog megyek, vagy se nem busszal, se nem gyalog. 129

13. Mondjunk példákat a látott kijelentéslogikai műveletekre: a) diZ általános, ill. középiskolai tankönyvekből; a köznapi beszédből; c) db tanulmányi és vizsgaszabályzatból; d) dü matematikából. 14. Formalizálja a következő kijelentéseket: a) A racionális számokat tetszés szerinti sorrendben és csoportosításban (társítással) adhatjuk össze. b) Pozitív szám kivonása helyett ugyanazon abszolút értékű negatív szám hozzáadását végezhetjük. Negatív szám kivonása helyett ugyanazon abszolút értékű pozitív szám hozzáadását végezhetjük. c) A racionális számok szorzásának szabálya: A tényezők abszolút értékét összeszorozzuk; két egyenlő előjelű szám szorzata pozitív szám, két különböző előjelű szám szorzata negatív szám. d) Egyenlő előjelű számok hányadosa pozitív, különböző előjelű számok hányadosa negatív. e) Mint látjuk, az egyenlet megoldásakor arra törekszünk, hogy az egyik oldalon csak az ismeretlen, a másik oldalon pedig egy szám maradjon. Ennek érdekében szabad az egyenlet (a) (b) (c) (d)

mindkét mindkét mindkét mindkét számmal

oldalához ugyanazt a számot hozzáadni, oldalából ugyanazt a számot kivonni, oldalát ugyanazzal a számmal szorozni, oldalát ugyanazzal a 0-tól különböző osztani.

f ) Szorzatot úgy szorozhatunk, hogy bármelyik, de csak az egyik ténye­ zőjét megszorozzuk a szorzóval. g) Összeget úgy szorzunk, hogy az összeg minden tagját megszorozzuk a szorzóval. 15. Milyen értelmezését adhatjuk az írásjelek föltüntetésével a következő szö­ vegnek? Majd írjuk fel a kapott mondatokat logikai műveletek segítségé­ vel. 130

A királynőt megölni nem kell félnetek jó lesz ha mindenki beleegyezik én nem ellenzem.

16. Formalizáljuk, majd hasonlítsuk össze a következő mondatokat: aj Ha holnap jó idő lesz, akkor - ha lesz kedvetek hozzá - elmegyünk sétálni. Ha holnap jó idő lesz és lesz kedvetek hozzá, akkor elmegyünk sétálni. ej Ha lesz kedvetek hozzá, akkor, ha holnap jó idő lesz, elmegyünk sétálni.

17. Formalizálja a kijelentéslogikában és írja fel szövegesen a tagadását a következő kijelentéseknek: aj Ha egy szám 0-ra végződik és osztható 12-vel, akkor osztható 15-tel. öj Ha egy sorozat monoton növekvő és felülről korlátos, akkor konver­ gens.

c) Egy egészekből álló kéttagú összeg pontosan akkor páratlan, ha a tagok közül pontosan az egyik páratlan.

d) Vegyészmérnöki oklevele van vagy vegyészoklevelet szerzett, de nem vállalt munkát, hanem továbbtanult.

e) A 7 se nem páros szám, se nem szorzata két egész számnak. 18. Fogalmazzuk meg, ahányféleképpen csak tudjuk, a következő tételeket: a) b) c) d) e)

Thalész tétele, Pitagorasz tétele, Szinusztétel, Középponti és kerületi szögek tétele, Kerületi szögek tétele.

19. Keressünk tartalmilag ekvivalens kifejezéseket: a) b) c) d) e) f)

a < a < b, b legfeljebb a, a legfeljebb ö, a legalább ö, b legalább a, 131

g) h) i) j) k) l)

a kisebb, mint ö, a nem nagyobb, mint ö, van olyan pozitív x szám, melyre a-\- x = b teljesül, van olyan nemnegatív x szám, melyre a + x = b teljesül, b nagyobb, mint a, b nem kisebb, mint a.

20 . Fejezzük ki negációval és konjunkcióval (diszjunkcióval) a következő értéktáblázattal adott - háromváltozós műveleteket! a) p i i i i h h h h

Q i i h h i i h h

r i h i h i h i h

p i i i i h h h h

Q % i h h i i h h

r i h i h i h i h

? i i i h i h h h

b) ? h i i h h i h i

21. írjuk át diszjunktív (konjunktív) normálformára az alábbi formulákat: a) b) c) d) 132

p - y q, {p ^ q) y A r), p V (-.p ( í V {^q p ^ [p A (g ^ p)].

r))),

22 . Helyesek-e az alábbi kijelentéslogikai következtetések? a) b) c) d)

P-^iQ ^R ), P ^ Q ,Q ^ R ^ (P V R )^ Q ^ P ^ {Q R)^ Q V -'iZ, Q 1= P -> i2, P y { Q ^ R), {Q y ^ R ) v S , S [ = P, { P A Q ) ^ R, R ^ S, ^ { P ^ S ) ^ Q ^ S,

e) ->R

Q , -nP V -nQ, - i ( P ^ Q ) ^ - iP ,

/; P -> i2 , P V 5 ,

Q

23. A kijelentéslogika értelmében mely következtetések helyesek az alábbiak közül? a) Vagy növeljük a tömegek matematikai műveltségét, vagy elmaradunk az atomkor gazdasági versenyében. Nem maradunk el az atomkor gazdasági versenyében. Növeljük a tömegek matematikai műveltségét. Ha a kísérleti patkányt egy labirintusba helyezzük és a patkány éhes, akkor vagy megismeri a labirintust, vagy képes megtalálni az élelmet. Ha a kísérleti patkány megismeri a labirintust, akkor képes megtalálni az élelmet. A kísérleti patkányt a labirintusba tesszük és nem találja meg az élelmet. A kísérleti patkány nem éhes. 24. Milyen konklúziót vonhatunk le a következő premisszákból: a) Ha az órám jól jár, akkor - ha idejében jön az autóbusz - megérkezem a gyakorlat megkezdése előtt. Idejében jön az autóbusz, mégsem érkezem meg a gyakorlat megkez­ dése előtt. b) Ha az aratást nem fejezzük be idejében, akkor sok szem kipereg. Ha sok szem kipereg, akkor nem teljesítjük a tervet. Ha nem teljesítjük a tervet, akkor nem kapunk osztalékot. Ha nem kapunk osztalékot, akkor nem vesszük meg a rádiót. Megvesszük a rádiót. Ha elmegyünk Tihanyba, akkor Füredre is elmegyünk, de csak akkor. Ha nem megyünk Almádiba, akkor Füredre se megyünk. Az biztos, hogy nem megyünk Almádiba is, meg Tihanyba is, de vagy Almádiba, vagy Tihanyba elmegyünk. 133

25. Lewis Caroll angol matematikustól származik a következő feladat: Premisszák 1. Ebben a házban macskán kívül más állat nincs. 2. Minden olyan állatot szívesen dédelgetünk, amelyik szeret a holdra bámulni. 3. Amelyik állatot utálom, azt elkerülöm. 4. Nincsen olyan húsevő állat, amelyik ne üvöltene éjjel. 5. Nincsen olyan macska, amelyik ne fogna egeret. 6. Azokon kívül, amelyek ebben a házban vannak, egyetlen állat sem barátkozik velem. 7. A kengurukat nem szívesen dédelgetjük. 8. Csak húsevő állat fog egeret. 9. Utálom az olyan állatokat, amelyek nem barátkoznak velem. 10. Az olyan állatok, amelyek éjjel üvöltenek, szeretnek a holdra bámulni. Következik-e ezekből az állításokból, hogy Elkerülöm a kengurukat. 26. Melyik következtetési sémát ismeri fel a következő tételek bizonyításában? Pitagorasz-tétel. Érintőnégyszögekre vonatkozó tétel. Húrnégyszögre vonatkozó tétel. Thalész tétele. Egészekkel való oszthatósággal kapcsolatos tételek. 27. Gyűjtsünk példákat az ismertetett kijelentéslogikai következtetési sé­ mákra! 28. Oldjuk meg a következő feladatokat: a) Antal, Béla, Csaba és Dezső társasjátékot játszott. Eredményeikről ezt mondták: Antal: Sem első, sem utolsó nem lettem. Béla: Nem én lettem az első. Csaba: Én győztem. Dezső: Utolsó lettem. Tudjuk még azt is, hogy ezen kijelentések közül egy hamis, a többi igaz. Kérdés: Ki nem mondott igazat? Mi a társasjáték eredményé­ nek sorrendje? Igazoljuk, hogy a válaszok következményei az adott információknak! 134

b) Egy cellának két ajtaja van, s mindegyiknél egy ör áll. Az örök közül az egyik mindig igazat mond, a másik mindig hazudik. Az egyik ajtó a szabadságba, a másik a kivégzöhelyre vezet. A fogollyal közlik ezeket az információkat, továbbá azt, hogy az örök egyikének tehet fel egyetlen kérdést. Rövid gondolkodás után a fogoly felteszi a kérdést, és a válasz után egyértelműen a szabadságot adó ajtót nyitja ki. Mi volt a fogoly kérdése? c) Nevesincs város lakói három szektába tartoznak: igazmondók (akik mindig igazat mondanak), hazugok (akik mindig hazudnak) és fele­ mások (akiknek két egymás utáni kijelentésük közül az egyik igaz, a másik hamis). Egyik éjjel a város éjjeli ügyeletes orvosánál szól a telefon, s a kővetkező beszélgetés zajlik le: -Itt az ügyeletes orvos. -Azonnal jöjjön ki, beteg a feleségem. -M ilyen szektához tartozol? - A felemáshoz. Kimegy-e az orvos? Miért dönt úgy, ahogy döntött? 29. Mi a kontrapozíciója a kővetkező kijelentéseknek? aj Ha a sorozat monoton növekvő és korlátos, akkor konvergens. b) Ha egy egész szám osztható 4-gyel, akkor páros. c) Ha az elektronoknak elektromos töltésük van, akkor mágneses térben elhajlanak. Ha a fénynek hullámszerű természete van, akkor képes interferenci­ ára. 30. A következő kijelentéspárokban szereplő egyik kijelentés szükséges, elég­ séges, ill. szükséges és elégséges feltétele-e a másiknak? a) Az egész szám 0-ra végződik. Az egész szám 5-tel osztható. b) A négyszög húrnégyszög. A négyszög szemközti szögeinek összege 180". c) A sorozat konvergens. A sorozat korlátos. d) A szám osztható 15-tel. A szám osztható 3-mal. e) A szám osztható 15-tel. A szám osztható 3-mal és 5-tel. 31. Fogalmazza meg a Pitagorasz-tételt, a húrnégyszögekről és az érintőnégy­ szögekről szóló tételeket és megfordításukat. 135

32. Matematikai ismereteinkből keressünk példákat feltételes, indirekt, ill. kontrapozícióval való bizonyításra. 33. Az alábbi következtetésekre adjunk feltételes, indirekt vagy kontrapozí­ cióval történő bizonyítást: a) b) c) d) e)

- . A V B, C -> - 5 1= A ^ - C , A ^ C), ( C A D ) ^ E, ^ F ^ { D A { A y B ) ^ { C AD), {DV E ) ^ A ^ A ( B a C) , ~^B\/D, {E ^F) { A ^ B ) A { C ^ D), { B ^ E ) a {D ^ F) ,

^ E) |= A ^ ( 5 ^ F ), F, B ^ ( A a ^ E ) \= B ^ F, ^ ( E a F) , A ^ C \= ^A.

34. Adjunk levezetést az A ^ {B ^C),

A, B ^ D ^ C

következtetésre. 35. Milyen formuláknak felelnek meg a következő kapcsolások? r

?

\

1

*

36. Készítse el az alábbi formulákat reprezentáló áramköröket, majd egyszeríisítse azokat: a) Í p A { p ^ q)) q, 136

b) (-.p V g) ^ [(r p) ^ ( r c) ( pV r) (p A q A r ) ,

d) [{P V g) A

-ir ]

g)],

V [ ( - . p A r ) V g],

e ; p ^ { p - ^ g), /y>

^

í ) A (-■?* -> -•g)] ^ p.

37. Egyszerűsítse a következő kapcsolási rajzokat:

p -> -\

__________

t

38. Mondjunk példákat a következei predikátumokra: a) ciz emberek halmazában, b) di racionális számok halmazában, a síkidomok halmazában. x-re érvényes, hogy P x és x-re érvényes, hogy Qx] x-re és 2/-ra érvényes, hogy Pxy. 39. Jelölje P x y az „x fia y-nak” predikátumot az emberek halmazában. Ha­ tározzuk meg a következő formulák logikai értékét: a) b) c) d)

VxByPxy, 3y\/xPxy^ ^y~^xPxy^ 3x"ÍyPxy.

40. Formalizáljuk a következő kijelentéseket a predikátumlogikában: a) Minden holló fekete. b) Van fehér hattyú. 137

c) d) e) f)

Az anyák szeretik a fiaikat. A vas fém. Van olyan torony, amelyik nem függőleges. Pál levelet adott Paulának.

41. Egy kollégiumi szobában négy hallgató lakik. Tekintsük a következei pre­ dikátumot: X elítéli y-t. Formalizáljuk és szemléltessük a szoba lakóit, figyelembe véve az alábbi kijelentéseket: a) b) c) d) e)

Valaki elítél valaki mást. Valaki elítél mindenki mást. Valakit mindenki más elítél. Mindenki elítél mindenkit. Mindenki elítéli az összes többit.

42. Formalizáljuk az alábbi mondatokat: a) düZ emberek halmazában: Némely rokonom külföldön él. Vannak olyan nyelvtanárok, akik nem tanultak latint. Egy zsugori sem nagyvonalú. Mindenkinek csak egy anyja van. Karcsi vagy Emil barátai között található olyan, akinek van autója. Senki sem tökéletes. Mindenki, aki tagja az elnökségnek és az ellenőrző bizottságnak, jelen van. h) du valós számok halmazán: Bármely szám négyzete nem negatív. Minden 0-tól különböző szám 0-dik hatványa 1. Létezik olyan szám, amelyiknek a négyzete 7. Egyes egész számok prímszámok. Létezik olyan szám, amelyet ha a;-hez hozzáadunk, ismét x-et kapunk. c)

tárgyak halmazában: Vannak tárgyak, amelyek nem fejlődnek. Minden fejlődik vagy változik. Minden fejlődik és változik. Ami drága, néha értéktelen.

138

43. Formalizáljuk a következő kijelentéseket; melyik kijelentés igaz, illetve hamis, s mely kijelentések fejezik ki ugyanazt más szavakkal: a) b) c) d) e) f) g) h)

Vannak racionális számok. Nem minden szám racionális.

Vannak irracionális számok. Nem minden szám irracionális. Ha egy szám racionális, akkor nem irracionális. Nincs olyan szám, amely ha racionális, akkor irracionális is. Minden szám vagy racionális, vagy irracionális. Nincsen olyan szám, amelyre ne volna igaz, hogy vagy racionális, vagy irracionális.

44. Formalizáljuk az alábbi közmondásokat: Aki a kicsit nem becsüli, a nagyot nem érdemli. Ki korán kel, aranyat lel. Aki másnak vermet ás, maga esik bele.

Nincsen rózsa tövis nélkül. Minden szentnek maga felé hajlik a keze. 45. Legyen P x : X prím, Rx :

X

páros,

Ox : X páratlan, D x y : X osztója y-nak. Mely kijelentések formulái a következők: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

P7, R2 A P2, \/x{D2x Rx)^ Vx(-ii2x —> -iZ)2x), 3 x { Rx A Dx6)^ ^x{{Rx^^y{Dxy-.Ry)), \/x{Px Jy{Ry A Dxy))^ \!x{Ox —> "Íy{Py —> -^Dxy))^ 3 x { Rx A P x ) A ~^3x{{Rx A P x ) A 3y{{x ^ y) A Ry A Py)).

46. Az üzem vezetője a helyettesétől kérte azoknak az alkalmazottaknak a sze­ mélyi lapját, akik nem az A üzemben dolgoznak és vagy másodosztályú 139

képesítésük van, vagy nincs ilyen képesítésük, de nem nélkülözhetetlenek az első műszakban. A helyettes átadta ezt a kérést a titkárnőnek a követ­ kező formában: Szedje ki az összes alkalmazott személyi lapját, akik nem az A üzemben dolgoznak és vagy van másodosztályú képesítésük, vagy pedig nem nélkülözhetetlenek az első műszakban. Helyesen tolmácsolta-e a helyettes a feladatot? 47. Bizonyítsa be az alábbi következtetési séma helyességét: \JxPxx^ "Íx\ly\lz{{Pxy A P x z )

Py z ) |= ^x' Íy{ Pxy

Pyx) .

48. Helyesek-e az alábbi következtetések? a) Egyetlen jó pedagógus sem büntet feleslegesen. Hannibál tanár úr feleslegesen büntette meg Pált. Hannibál tanár úr nem jó pedagógus. h) Minden drága vagy nem tetszik. Ami egy sznobnak tetszik, nem tetszik nekem. Ami nekem tetszik, nem tetszik egy sznobnak. c) Aki Máriát és Gyurkát ismeri, sajnálja Máriát. Egyesek nem saináliák Máriát, bár ismerik őt. Valaki ismeri Máriát, de nem ismeri Gyurkát. d) K csecsemők nem logikusak. Aki krokodilt tud idomítani, azt nem vetjük meg. A csecsemők nem tudnak krokodilt idomítani. 49. Alul 20 magyar kijelentés van, amelyet ugyanennyi formalizált kijelentés követ. Próbáljuk meg párosítani a két sorozat tagjait oly módon, hogy a párok mindegyikének egyik tagja a másik tagnak a formalizálása. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 140

Minden bíró jogász. Néhány jogász zugprókátor. Egyetlen bíró sem zugprókátor. Néhány bíró öreg, de életerős. Kovács bíró se nem öreg, se nem életerős. Nem minden jogász bíró. Néhány jogász, aki politikus, az Amerikai Képviselőház tagja. Az Amerikai Képviselőház egyetlen tagja sem életerős. Az Amerikai Képviselőház minden tagja, aki öreg, az jogász.

j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t)

Néhány asszony jogász is és képviselő is. Egyetlen asszony sem politikus és háziasszony egyszerre. Van néhány asszony, aki jogász és háziasszony. Minden asszony, aki jogász, tisztel néhány bírót. Néhány jogász csak a bírókat tiszteli. Néhány jogász tiszteli az asszonyokat. Néhány zugprókátor a nem jogászokat tiszteli. Kovács bíró egyetlen zugprókátort sem tisztel. Vannak jogászok is és zugprókátorok is, akik tisztelik Kovács bírót. Csak a bírók tisztelik a bírókat. Minden bíró csak a bírókat tiszteli. Legyen: k Jx Lx Sx

: Kovács bíró, : X bíró, : X jogász, : X zugprókátor, O x : X öreg, V x : X életerős, P x : X politikus, C x : X képviselő, W x : X asszony, H x : X háziasszony, A x y : X tiszteli y-i. a') V) c') /) e') f )

3 x { W x h C x ^ Lx), ^Okh^Vk, ^x { Jx —> ->Sx), 3x{Wx ALx AHx), "^x{Akx ~^Sx), ^x { Jx Lx),

g') -i^x^Lx

h') i') j') k^) V) m’) n ') o')

J x ),

\/x { { C x A O x ) - ^ Lx), 3x{ Lx A Sx), 3x { Lx A P x A Cx) , "ix iW x - i ( P x A Hx ) ) , Mx{Cx ^ Vx ) , 3 x{ Jx A Ox A V x ), '^x'Íy{{Ayx A Jx) —> Jy), 3 x{ Sx A" i y{ Áxy ^Ly)), 141

p') q') r') s') t')

3x 3y{ Lx A Sx A Axk A Ayk), Vx((VFx A Lx) —> Jy{Jy A Axy))^ 3 x ( L x A J y { W y A Axy))^ \ix{Jx -> ^y { Ax y -> Jy)), 3x{ Lx A\/y{Axy ^ Jy)).

50. Fogadjuk el igaznak a következő kijelentéseket: Egyes matematikusok szeretik a zenét. Vannak, akik szeretik a zenét és értenek a geometriához. Az alábbi állítások közül melyik következik ezekből:

a) Minden matematikus ért a geometriához.

b) Egyes matematikusok értenek a geometriához. c) Egyes emberek értenek a geometriához és nagyon szeretik a zenét.

51. Az N , Z , Q , R számhalmazon milyen kvantorokat írjunk az alábbi predi­ kátumok elé, hogy

a) igaz kijelentést, j3) hamis kijelentést kapjunk?

a) b) c) d) e)

3x + 6 = x + 8, 2x — 5 = 4x + 2, 2 (x-5) + 5 = 2 x-5, x{ x + 5) = x + 3, x^ — 25 = {x + 5){x - 5),

f ) a;^ + 2 > a; + 1,

g) — X > 2x^ — a; + 1, h) x'^ + ip' = 4, i)

j) k) l) m) ) n)

+

x + y = y + x, x'^ - y'^ = X + y, x"^ - y'^ ^ {x + y){ x - y), (x + y)^ = x^ + 2xy + y \ ^ + y ^ y— - y - > v^ ,

o) |a; - 2| — |a; — 1| — 1 = 0.

52. Alkalmazzuk a logikában tanultakat az egyenletekre, egyenlőtlenségekre, azonosságokra a következő példákban: 142

a)

Az

X milyen helyettesítési értékeire lesz az

+ 2 = 3x igaz, ill. hamis állítás? b)

Az

X

milyen helyettesítési értékeire lesz az

x^^ - 3x + 2 > 0 egyenlőtlenség igaz, ill. hamis állítás?

c) Milyen a és

b

értékekre lesz ciz ax — b azonosság igaz?

d) Milyen a értékekre lesz az + 2ax + 1 > 0 egyenlőtlenség azonosan igaz?

e) Milyen műveleteket kell elvégezni az a; + 2 > 0 ,

x-3 < 0

egyenlőtlenségek megoldási halmazán, hogy megkapjuk az alábbi egyenlőtlenség-rendszerek megoldási halmazait?

a)x + 2>0,

/ 3) x + 2 > 0 ,

x-30,

7) 2? + 2 < 0,

0.

53. Egyenértéküek-e az alábbi formulapárok?

a) 3xiy{^{y > a;)),

3x-~^3y{y > a;);

b) 3x\iy{y > x V {^{y > 0

))),

c) \!x3y3z{x < y A z'^ > y),

3x\fy{y > 0 ^

y > x);

\/x3y(x < y /\ 3 z(z‘^ > y)).

54. Helyesek-e az alábbi következtetések: a) Bármely deltoid érintőnégyszög. Van olyan paralelogramma, amely deltoid. Van olyan érintőnégyszög, amely paralelogramma.

143

b) Minden differenciálható függvény folytonos. Az V = függvény folytonos. A.Z y — függvény differenciálható. 55. Helyesek-e az alábbi következtetések? a)

"^x\/yPxy \fxPxx

b)

Mx-^Pxx Mx'ÍyMz{{Pxy A P y z ) —> P x z ) '^x'Íy{Pxy

c)

-^Pyx) Pyx)

^x3yPxy yx'Íyyz{{Pxy A Pyz)

Pxz)

MxPxx

d) A sereg borbélya pontosan azokat borotválja, akik nem maguk borotválkoznak. A seregben nincs borbély. 56. Adjunk levezetést a predikátumlogikában az előbbi feladat helyes követ­ keztetéseire. 57. A részbenrendezett halmazok leírásához szükséges elsőrendű nyelvben függvényjel nincs, de két (kétváltozós) predikátumjel van. Predikátumjelek:

= (egyenlőség, ami kétváltozós),