Supuestos Practicos y Problemas Matematicas Oposiciones Secundaria

Práctica MATEMÁTICAS Ejercicios icio c r e j de e ación a r t s Mue la prepar ctica para rueba prá p de la

MATEMÁTICAS Ejercicios

1 La figura adjunta muestra tres cuadrados; el lado del mayor, AB, mide 1. Los otros tienen por lados, respectivamente, AC de longitud x, y DE de longitud y. Al moverse D sobre el lado AB varían los valores de x e y. Determinar los valores de x e y para que el valor de la expresión x2 + y2 sea mínimo. Calcular dicho valor.

E

y A

x

CD

B

Solución Introduzcamos un punto más F en la figura. De esta forma, los triángulos EBD y DCF son semejantes.

F A

x

E

y

CD

B

Entonces: DB BE   DB 1 DB  x   xBE  x 1 DB  x  DB  DB 2  xDB  xBE  xDB  xBE  DB  DB 2  x  DB  BE   DB  DB 2 .

Pero BE = 1 – DB.





2 2 Entonces, x DB  1 DB  DB  DB  x  DB  DB .

Además: y 2  DB 2  BE 2  y 2  DB 2  1 DB   y 2  DB 2  1 2DB  DB 2  y 2  2DB 2  1 2DB  2

 y 2  2DB 2  2DB  1  y 2  2  DB 2  DB   1  y 2  2 x  1.

3

4

MATEMÁTICAS Práctica

Por tanto, la expresión a minimizar es L  x , y   x 2  y 2  L  x   x 2  2 x  1   x  1 . 2

Necesitamos conocer los valores que x puede tomar. Como teníamos que x = DB – DB2, tenemos que x es la variable dependiente de una función 1 1 parábola orientada negativamente con vértice V  ,  . 2 4 1 Luego la imagen de esta función es el intervalo   ,  . 4  

 1 Como x debe ser positiva pues es una longitud, entonces x  0,  .  4

La gráfica de L  x    x  1 es: 2

1

0,5

0,5

1,5

2

1  1 es claro que esta función se hace mínima en  0,  cuando x  . 4  4 2 9  1  1  En tal caso, L      1  .  4   4  16

MATEMÁTICAS Ejercicios

2 Estudiar la convergencia de la serie



 tan n 1

n

 x  ny     con 0  y  . n 2  

Solución  x  ny  Llamemos an  tann   y apliquemos el criterio de la raíz:  n 

 x  ny  x  lim n an  lim n tann  tan   y   tan y .   nlim  n   n  n 

n 

Entonces: „„

Si 0  y 

„„

Si

„„

Si y 

 4



y

 4

4

 2

 tan y  1 lim n an  1 la serie converge. n 

 tan y  1 lim n an  1 la serie diverge. n 

 tan y  1 lim n an  1 caso dudoso  criterio logarítmico: n 

ln

1

    x n  x n    4 4 tann  ln1 lntann    1 n n ln     an     lim  lim  lim  n  ln n n  n ln n ln n    x n 4  n lntan      n  x n   n     lim 4   lim  lntan   n  n  ln n ln n n      n n    x    x      limlntan        lim   lntan        lim   n  ln n n n  ln n     n 4   n 4    n     x         lim  ln lim tan      1 lntan       n ln n   n  n 4   4    1 ln1  1 0  0. 1 an Como lim  0  1 la serie diverge. n  ln n ln

5

6

MATEMÁTICAS Práctica

3 Resolver la ecuación 2x3 − 9x2 + 32x + 75 = 0, sabiendo que tiene una raíz compleja de módulo 5.

Solución Sea z = a + bi la raíz compleja de módulo 5 de la ecuación. Entonces el conjugado z  a  bi es también raíz de la ecuación. El polinomio 2x3 − 9x2 + 32x + 75 admite la factorización: 2 x 3  9 x 2  32 x  75  2   x  c    x  z    x  z  



 2  x  c    x 2   z  z  x  zz   2  x  c   x 2  2ax  z

2



 2   x  c    x 2  2ax  25   2 x 3  4 ax 2  50 x  2cx 2  4 acx  50c   2 x 3   2c  4 a   x 2   50  4 ac   x  50c .

Igualando coeficientes se obtiene que 75  50  c  c 

75 3  . 50 2

3 Entonces, 32  50  4  a  c  32  50  4  a  6  a  18  a  3. 2 3 Comprobamos finalmente, 2  c  4  a  2   4  3  3  12  9. 2

Por tanto, como 5  z  a  bi  3  bi  32  b2  25  9  b 2  b2  16  b  4. Luego, o bien z = 3 + 4i y z  3  4 i o bien z = 3 – 4i y z  3  4 i . En cualquier caso, concluimos con la factorización: 3  2 x 3  9 x 2  32 x  75  2   x     x   3  4 i     x   3  4 i   . 2   3 Luego las raíces de la ecuación son: x1  3  4 i , x 2  3  4 i , y x 3   . 2