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INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL ******************************************

DEPARTEMENT GENIE MECANIQUE 

SUPPORT DE COURS

MECANIQUE DES FLUIDES

Elaboré par CHOUCHENE Mohamed HMISSI Nizar

Niveau : Deuxième année

Année Universitaire: 2013 / 2014

AVANT-PROPOS

Dans ce document, on se propose de remplir les missions principales suivantes : -

Enseigner la science des mécaniques des fluides. Donner les éléments fonctionnels et technologiques permettant aux étudiants d’étudier le comportement des fluides.

En effet, ce cours adopte une présentation en deux parties, la première étant consacrée à la statique des fluides et la deuxième à la dynamique des fluides. La première partie commence par une généralité sur les fluides. Après une présentation aux notions sur les pressions, on trouve une présentation du principe fondamental de l’hydrostatique suivie d’une présentation de la démarche de détermination de l’action exercée par un fluide ainsi que la démarche de détermination du centre de poussée. En dernier lieu, on trouve la présentation de la poussée d’Archimède.

La deuxième partie est consacrée à l’étude du comportement des fluides en mouvement. Après une présentation des caractéristiques d’un écoulement, on trouve une présentation des théorèmes appliqués sur les fluides en mouvement. Cette présentation permet aux étudiants de bien saisir le phénomène des pertes de charges, d’identifier les paramètres à déterminer lors de l’étude d’une installation hydraulique et d’appliquer ces théorèmes et ces notions sur des exemples réels.

Un recueil de travaux dirigés conclura le présent cours.

Mécanique des fluides

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Table des matières Liste des figures ........................................................................................................................... 4 CHAPITRE 1: Généralités sur les fluides 1/- Définition d’un fluide : .............................................................................................................. 5 2/- Propriétés d’un fluide : .............................................................................................................. 5 4-1/ La masse volumique «  » : ................................................................................................. 5 4-2/ La densité « d » : .................................................................................................................. 6 4-3/ La viscosité : ........................................................................................................................ 6 CHAPITRE 2: Statique des fluides 1/- Notions sur les pressions : ......................................................................................................... 7 1-1/ Pression en un point d’un milieu fluide : ............................................................................. 7 1-2/ les types de pression d’un fluide : ........................................................................................ 7 2/- Equation générale de l’hydrostatique : ...................................................................................... 8 3/- Théorème de Pascal : ............................................................................................................... 10 4/- Action de pression exercée sur une paroi plane :..................................................................... 11 4-1/ Intensité de la force de pression :....................................................................................... 12 b/ Cas d’une paroi verticale :................................................................................................. 13 4-2/ Position du point d’application de la force de pression (Centre de poussée) : .................. 14 5/- Poussée d’Archimède : ............................................................................................................ 16 5-1/ Histoire et légende : ........................................................................................................... 16 5-2/ Enoncé du théorème : ........................................................................................................ 17 5-3/ Poussée d’Archimède : ...................................................................................................... 18 5-4/ Condition de stabilité: ........................................................................................................ 18 CHAPITRE 3: Cinématique des fluides incompréssibles 1/- Description d'un écoulement : ................................................................................................. 21 1-1/ Définitions : ....................................................................................................................... 21 1-2/Débits : ................................................................................................................................ 22 a/ Débit volumique : .............................................................................................................. 22 b/ Débit massique : ................................................................................................................ 22 2/- Equation de conservation de la masse ou équation de continuité : .......................................... 23 2-1/ Conservation du débit : ...................................................................................................... 23 2-2/ Expression du débit en fonction de la vitesse v : ............................................................... 23 a/ Vitesse moyenne : ............................................................................................................. 23 CHAPITRE 4: Dynamique des fluides incompréssibles 1/- Théorème d'Euler ou des quantités de mouvement : ........................................................ 24 A.U. :2013-2014

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1-1/ Principe : ............................................................................................................................ 24 1-2/ Application : ...................................................................................................................... 24 2/- Théorème de BERNOULLI : ................................................................................................... 24 2-1/ Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible :......................................................................................................................... 24 2-2/ Cas d'un écoulement (1)  (2) sans échange de travail : .................................................. 26 2-3/ Cas d'un écoulement (1)(2) avec échange de travail: .................................................... 26 3/- Application du Théorème de Bernoulli : ................................................................................. 26 3-1/ Tube de Pitot : .................................................................................................................... 26 3-2/ Tube de Venturi : ............................................................................................................... 27 3-3/ Ecoulement d'un liquide contenu dans un réservoir - Théorème de Torricelli .................. 27 CHAPITRE 5: Ecoulements visqueux et pertes de charges 1/- Introduction :............................................................................................................................ 29 2/- Les différents régimes d'écoulement, nombre de Reynolds : .................................................. 29 3/- Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel sans échange d’énergie : ............................ 30 4/- Les pertes de charges : ............................................................................................................. 31 4-1/ Pertes de charge systématiques (linéaires ou régulières) : ................................................. 31 a/ Cas de l'écoulement laminaire :

Re < 2000 ................................................................... 31

b/ Cas de l'écoulement turbulent : Re > 3000 ................................................................... 31 4-2/ Pertes de charge singulières : ............................................................................................. 32 4-3/ Pertes de charge totales : .................................................................................................... 33 5/- Théorème de Bernoulli généralisé : ......................................................................................... 33 6/- Notions sur les puissances : ..................................................................................................... 34 6-1/ Exemple d’un groupe électropompe : ................................................................................ 34 6-2/ Exemple d’un groupe Turbine-alternateur :....................................................................... 35 TRAVAUX DIRIGES N°1 Statique des fluides ............................................................................. 37 Correction du Travaux Dirigés N°1 ............................................................................................ 42 TRAVAUX DIRIGES N°2 dynamique des fluides Incompressibles ........................................... 47 Correction du Travaux Dirigés N°2 ............................................................................................ 48 TRAVAUX DIRIGES N°3 dynamique des fluides réels............................................................... 51 Correction du Travaux Dirigés N°3 ............................................................................................ 56 BIBLIOGRAPHIE .......................................................................................................................... 60 WEBOGRAPHIE ............................................................................................................................ 60

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Liste des figures Figure 1: Actions de contact entre deux volumes élémentaires ...................................................... 7 Figure 2: Equation générale de l’hydrostatique .............................................................................. 8 Figure 3: Pression indépendante de la forme du récipient .............................................................. 9 Figure 4: Baromètre de Torricelli,  1643 ...................................................................................... 9 Figure 5: Théorème de Pascal (1) ................................................................................................. 10 Figure 6: Théorème de Pascal (2) ................................................................................................. 10 Figure 7: Levier hydraulique ......................................................................................................... 11 Figure 8: Action de pression exercée sur une paroi plane............................................................. 12 Figure 9: Cas d’une paroi horizontale ........................................................................................... 13 Figure 10: Cas d’une paroi verticale ............................................................................................. 13 Figure 11: Position du centre de poussée ...................................................................................... 14 Figure 12: Barrage à étudier .......................................................................................................... 15 Figure 13: Variation de la position du solide dans un liquide en fonction  ................................ 17 Figure 14: Poussée d’Archimède .................................................................................................. 18 Figure 15: Condition de stabilité ................................................................................................... 18 Figure 16: Profils de vitesse .......................................................................................................... 21 Figure 17: Ligne, Tube et Filet de courant .................................................................................... 22 Figure 18: Théorème d’Euler ........................................................................................................ 24 Figure 19: Fluide en écoulement entre deux points (1) et (2) ....................................................... 25 Figure 20: Ecoulement avec échange de travail ............................................................................ 26 Figure 21: Tube de Pitot ................................................................................................................ 26 Figure 22: Tube de Venturi ........................................................................................................... 27 Figure 23: Théorème de Torricelli ................................................................................................ 27 Figure 24: Expérience de Reynolds .............................................................................................. 29 Figure 25: Régimes d’écoulement................................................................................................. 29 Figure 26: Passages entre les régimes d’écoulement .................................................................... 30 Figure 27: Modèle d’abaque pour la détermination de k .............................................................. 32 Figure 28: Modèle de tableau pour la détermination de k............................................................. 33 Figure 29: Groupe électropompe................................................................................................... 34 Figure 30: Groupe Turbine-alternateur ......................................................................................... 35

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La mécanique des fluides est la science qui s’intéresse aux comportements des fluides. On distingue : -

La statique des fluides : appelée généralement « l’hydrostatique », c’est la filière de la mécanique des fluides qui s’intéresse aux comportements des fluides au repos. La dynamique des fluides : appelée généralement « l’hydrodynamique », c’est la filière de la mécanique des fluides qui s’intéresse aux comportements des fluides en mouvement.

1/- Définition d’un fluide : Un fluide est un corps dont les molécules ont peu d'adhésion et peuvent glisser librement les unes sur les autres (liquides) ou se déplacer indépendamment les unes des autres (gaz). Les fluides n'ont pas de forme propre (à la différence des solides) donc ils se déforment facilement. Quand vous introduisez un fluide dans un récipient, ce dernier en épouse les formes. Généralement les fluides sont répartis en deux groupes : -

Les liquides : Corps peu compressibles et dont la masse volumique est importante (eau, huile,…). Les liquides occupent des volumes bien définis et présentent des surfaces libres. Les gaz : corps très compressibles et même extensibles (dioxyde de carbone, Air,…). Les gaz se dilatent jusqu’à occuper toutes les parties du récipient qui le contient. Pour les liquides on distingue deux classes : - Les fluides parfaits : un fluide parfait est un fluide dont les molécules glissent les unes sur les autres sans aucun frottement. - Les fluides réels : un fluide réel est un fluide dont les molécules glissent les unes sur les autres sans avec frottement.

2/- Propriétés d’un fluide : 4-1/ La masse volumique «  » : La masse volumique est le rapport entre la masse m d’une matière et son volume v. généralement elle est exprimée en kg/m3.

Pour les liquides la masse volumique varie très peu avec la pression, mais plus sensiblement avec la température. Les liquides sont appelés des fluides incompressibles. Contrairement à celle des liquides, la masse volumique des gaz varie avec la pression et la température. Les liquides sont appelés des fluides compressibles.

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4-2/ La densité « d » : La masse volumique est le rapport entre la masse d’une matière et son volume. Généralement elle est exprimée en kg/m3. La densité d’un corps est le rapport entre la masse volumique de ce corps et la masse volumique d’un corps de référence. Les deux masses volumiques étant déterminées dans les mêmes conditions de température et de pression. -

Pour les liquides, cette définition se traduit par la relation suivante :

-

Pour les gaz, cette définition se traduit par la relation suivante :

. .

NB : à T=20°C et pression atmosphérique (p= 1.013 bar) on : et 4-3/ La viscosité : On appelle viscosité la propriété qui traduit la résistance d’un fluide à l’écoulement. Elle caractérise les frottements internes ou intermoléculaires à l’intérieur du fluide. Plus la fluidité augmente (vitesse d’écoulement du fluide) plus la viscosité diminue et inversement. On distingue deux types de viscosités, à savoir : -

La viscosité cinématique «  » : Exprimée en m2/s, Stocks (St) ou centiStocks (cSt).

Avec: 1 Stokes (St) = 100 CSt = 10-4 m2/s. -

La viscosité dynamique «  » : Exprimée en Pascal seconde (Pa.s), Poise (Po) ou centiPoise (cPo).

Avec: 1 Po= 0,1 Pa.s et 1000 cP = 1 Pa.s. * Relation entre la viscosité cinématique et la viscosité dynamique : on a :



avec  en Pa.s,  en kg/m3 et  en m2/s

NB : à T=20°C et pression atmosphérique (p= 1.013 bar) on a:



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et 

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1/- Notions sur les pressions : 1-1/ Pression en un point d’un milieu fluide : Soit deux volumes élémentaires en contact dV1 et dV2, et dS l’élément de surface qui les sépare. ⃗ la normale à dS au point M.

Figure 1: Actions de contact entre deux volumes élémentaires L’action de dV1 sur dV2 est exprimée par : ⃗

⃗⃗

⃗

Où : ⃗ : est la composante tangentielle à dS due à la viscosité du fluide lorsqu’il y a mouvement relatif (glissement de dV2 par rapport à dV1). ⃗ Or le fluide est au repos d’où : ⃗ -

-

⃗

: est la composante normale à dS dite la force de pression. On pose ‖

‖



‖

‖

Où : ‖ ‖ exprimée en N, dS exprimée en m2 p est la pression au point M exprimée en Pa Remarque : La pression P au point M dans un fluide, ne dépend pas de l’orientation de la surface dS. 1-2/ les types de pression d’un fluide : Il existe trois types de pression d’un fluide à savoir: a/- La pression atmosphérique « patm »: c’est la pression de l’air, elle dépend de l’altitude. Au niveau de la mer : patm = 1 atm ≈1,013 bar = 1.013 105 Pa

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b/- La pression absolue « pab »: comme son nom l’indique cette pression est toujour positive, la référence pour cette pression est 0. Dans le vide pab = 0 bar. c/- La pression effective « peff »: appelée aussi pression manométrique, elle peut être négative, positive ou nulle , la référence pour cette pression est patm. Dans le vide peff = 0 bar. On peut dégager la relation suivante entre les différentes formes de pression : pab = peff + patm

2/- Equation générale de l’hydrostatique : Etudiant l’équilibre d’une partie de fluide en forme de cylindre vertical de masse dm, de section droite très petite S et d’une hauteur z (figure 2).

Figure 2: Equation générale de l’hydrostatique

Le cylindre est soumis à l’action de son poids et à l’action des forces de pression du milieu fluide extérieur. - Poids: P = dm.g or m = .dV

donc

P = .dV.g

(avec dV = z . S)

- Forces de pression: - Face supérieure : Fsup = p . S - Face inférieure : Finf = (p+p) . S supérieure et la face inférieure.

où p est la variation de pression entre la face

- Face latérale : Flat = 0 (les forces de pression  à l’axe du cylindre s’opposent et s’annulent). A l’équilibre :

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

On projette l’équation sur l’axe OZ : P + Fsup - Finf =0 .z.S.g + p.s – (p+p).S=0 .z.S.g – p.S=0 .z.g – p =0 p = .z.g A.U. :2013-2014

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D’où on peut déduire l’équation générale de l’hydrostatique entre deux points A et B du milieu fluide : pA – pB = .g.(zA – zB) Où : pA et pB sont respectivement les pressions du fluide aux points A et B. zA et zB sont respectivement les coordonnées sur l’axe z des points A et B. * Remarque : La pression dans un fluide homogène ne dépend que de la différence de l’hauteur et de la masse volumique ; elle est notamment indépendante de la taille ou de la forme du récipient recueillant le fluide (figure3). Cela a des conséquences importantes : – Pour une altitude donnée la pression est la même ; – La surface libre d’un fluide est plane (sauf si la tension de surface joue un rôle).

Figure 3: Pression indépendante de la forme du récipient * Application : Mesure de la pression atmosphérique (Baromètre de Torricelli, ~ 1643) Soit un récipient contenant du mercure de masse volumique Hg = 13600 kg/m3. On plonge dans le récipient un tube vertical, le niveau de la surface du mercure à l’intérieur du tube se stabilise à une hauteur h = 0.76 m. Sachant que le vide règne dans la partie supérieure du tube, déterminer la pression à la surface du mercure contenu dans le récipient.

Figure 4: Baromètre de Torricelli,  1643 A.U. :2013-2014

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* Correction : Soient : - A un point appartenant à la surface du mercure contenu dans le récipient. - B un point appartenant au mercure contenu dans le tube et situé sur le même plan horizontal passant par le point A.  pA = pB. - C un point appartenant à la surface du mercure contenu dans le tube. En appliquant l’équation générale de l’hydrostatique entre les points B et C, on trouve :

pB – pC = .g.(zB – zC)

 pB = pC + .g.(zB – zC)

Avec : (zB – zC) = h, pB = pA et pC = 0 D’où on trouve : AN :

pA = .g.h

pA = 13600 * 9.81 * 0.76 = 101396.16 Pa = 1.013 bar patm. 3/- Théorème de Pascal :

Soit un liquide incompressible de masse volumique () en équilibre et soient deux points A et B appartenant à ce liquide (figure 4).

Figure 5: Théorème de Pascal (1) En appliquant l’équation générale de l’hydrostatique entre A et B on trouve :

pB = pA + .g. h On exerce une force sur la surface, et on provoque une surpression p (figure 5).

Figure 6: Théorème de Pascal (2) A.U. :2013-2014

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L’équation générale de l’hydrostatique entre A et B devient :

p'B = p'A + .g. h avec : p'A = pA + p



p'B = pA + p + .g. h

or on a : pA + .g. h = pB 

p'B = pB + p

D’où on peut tirer le théorème de Pascal: Pour tout fluide incompressible en équilibre, la variation de la pression en un point se transmet intégralement en tout point du fluide. * Application : Levier hydraulique Dans la figure 6, les surfaces des cylindres A et B sont respectivement de 40 et 4000 cm² et B a une masse de 4000 kg. Le récipient et les conduits sont remplis de liquide de densité 0,75. Déterminer la valeur de la force F qui assurera l’équilibre, sachant que le poids du cylindre A est négligeable. On donne h = 0.3 m.

Figure 7: Levier hydraulique * Correction : On a :

pB = pA + l.g. h

Avec :

,

L’équation devient :

(le poids du cylindre A est négligeable), 

(

)

AN : on trouve pour g = 9.81 m/s2 : F = 383.571 N.

4/- Action de pression exercée sur une paroi plane : Soient une paroi dS d’un récipient contenant un liquide, et un point M appartenant à cette paroi. - La pression au point M du côté du liquide est p1(M) = patm + .g.h.   - L’action de pression qu’exerce le liquide sur l’élément de surface dS est dF1  p1 ( M ) . dS . n . Cette action est toujours perpendiculaire à dS.

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  - L’action de pression qu’exerce l’air sur l’élément de surface dS est dF2  - p atm ( M ) . dS . n .

Figure 8: Action de pression exercée sur une paroi plane A l’équilibre de la surface dS : la résultante des actions de pression élémentaire est      dF  dF1  dF2  p1 ( M ) . dS . n - patm ( M ) . dS . n   dF  ( p1 - patm) . dS . n . Or p1 – patm = .g.h

  dF   . g . h . ds . n

D’où on trouve:

4-1/ Intensité de la force de pression : La force de pression

 F

est déterminée par la relation suivante :    F   dF    . g . h . ds . n

   - Dans le repère R (O , u , v , w )

S

on a : les coordonnées du point M sont (uM , vM , 0)

dS = du.dv et h = u M . sin    d’où F    . g . sin θ uM ds . n S

Par définition le centre de gravité est défini par :

 S.u G   u M dS S . OG   OM.dS   S.v G   v M dS .     Donc on peut écrire F   . g . sin θ . uG .S . n

or hG  sin θ . uG

Où hG est la profondeur du centre de gravité de la paroi par rapport à la surface libre. D’où on aura la relation suivante :

  F   . g . hG .S . n

a/ Cas d’une paroi horizontale : A.U. :2013-2014

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Soit un réservoir ouvert à l'air libre de surface de base S contenant une hauteur h de liquide de masse volumique ρ.

Figure 9: Cas d’une paroi horizontale ∫ ⃗⃗⃗⃗ 

On a : ⃗

∫

Or la surface S est horizontale donc la pression est uniforme sur toute la surface, d’où on peut écrire que : ∫ ∫ b/ Cas d’une paroi verticale : Maintenant on vas déterminer la force qui s’exerce sur une paroi verticale du réservoir traité au niveau de la paragraphe 4-1. La section de cette paroi est Sv de longeur L(figure 10).

Figure 10: Cas d’une paroi verticale Soit M un point quelconque appartenant à Sv On a : ⃗⃗⃗⃗⃗ Avec :

∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 

∫

  dFM   . g . h M . ds . n

Or dSv = L.dz 

∫

et hM = zM



∫

∫

[ ]

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4-2/ Position du point d’application de la force de pression (Centre de poussée) : Soit C de coordonnées (uC, vC, 0) le point d’application de la résultante des forces de pression. On désire déterminer la position de ce point.

Figure 11: Position du centre de poussée On a : ⃗⃗⃗ (⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗

Or ⃗⃗⃗ (⃗ ) Calcul de ⃗⃗⃗ (⃗ ) :

⃗

et

⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

|

Calcul de ⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗ ) : Puisque

⃗⃗⃗ (⃗ ) 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

|

| ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|

| 

∫ ⃗⃗⃗

| ⃗

∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

{

* Détermination de uc : D’après l’équation (2) on a : Or on a Donc on peut écrire

et ∫



∫

Or d’après la figure 11 on a : hG = uG sin et hM = uM sin A.U. :2013-2014

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

∫

Le terme ∫  ∫

∫

représente le moment quadratique de la surface S

, d’après Huygens on a :

Donc on peut écrire  



A partir de cette relation on peut déduire la profondeur du centre de poussée par rapport à la surface libre du liquide : * Détermination de vc : D’après l’équation (1) on a : ∫

On peut écrire  Or

∫ ∫

, d’après Huygens on a :

Donc on peut écrire   * Si la paroi est verticale : * Si la paroi est horizontale :

 

et

* Application : Soit un barrage contenant de l’eau (figure 12), calculer les coordonnées du centre de poussée et le point d’application de la résultante des efforts de pression exercée par l’eau.

Figure 12: Barrage à étudier A.U. :2013-2014

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* Correction : La surface de contact entre le barrage et l’eau est verticale donc sin = 1, d’où on peut écrire : hC 

I

GV

S.hG

uC 

vC 

I

GV

S.uG

 hG

 uG

I

GUV

S . hG

 vG

La surface de contact entre le barrage et l’eau est rectangulaire, de longueur L et largeur l, donc son moment quadratique est : La hauteur correspondant au centre de gravité G est : hG 

L 2

l.L3 L L L La hauteur correspondant au centre de poussée C est : hC  12   hC    L 2 6 2 l.L. 2

uC  h C - h G  2 L 3

-

2L 3

L L  2 6

L’axe ⃗ est un plan de symétrie de la surface de contact, donc vC = vG , or G coïncide avec l’origine du repère d’où vC = vG = 0.

5/- Poussée d’Archimède : 5-1/ Histoire et légende : Archimède est un savant grec qui vécut à Syracuse (Sicile) de 287 av. J.-C. à 212 av. J.C. Il est connu pour ses multiples travaux scientifiques, théoriques ou pratiques, que ce soit en mathématique ou en physique. Parmi ces derniers, son Traité des corps flottants jette les bases de ce qui sera plus tard la science nommée hydrostatique. C'est notamment dans cet ouvrage qu'il étudie avec rigueur l'immersion d'un corps, solide ou fluide, dans un fluide de densité inférieure, égale ou supérieure. Le théorème qui portera plus tard le nom du savant y est ainsi énoncé (ce théorème fut ensuite démontré au XVIe siècle). le roi Hiéron II de Syracuse (306-214) aurait demandé à son jeune ami et conseiller scientifique Archimède (âgé seulement de 22 ans) de vérifier si une couronne d'or, qu'il s'était fait confectionner comme offrande à Zeus, était totalement en or ou si l'artisan y avait mis de l'argent. La vérification avait bien sûr pour contrainte de ne pas détériorer la couronne. La forme de celle-ci était en outre trop complexe pour effectuer un calcul du volume de l'ornement. Archimède aurait trouvé le moyen de vérifier si la couronne était vraiment en or, alors qu'il était au bain public, en observant comment des objets y flottaient. Il serait alors sorti dans la rue en s'écriant le célèbre « Eurêka » (j'ai trouvé).

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Ce qu’a constaté Archimède au bain public est que, pour un même volume donné, les corps n'ont pas le même poids apparent, c'est-à-dire une masse par unité de volume différente. On parle de nos jours de masse volumique. L'argent (masse volumique 10 500 kg·m-3) étant moins dense que l'or (masse volumique 19 300 kg·m-3), il a donc une masse volumique plus faible : pour obtenir un poids voulu il faudra une plus grande quantité d'argent que d'or. De là, Archimède a déduit que si l'artisan a caché de l'argent dans la couronne du roi, la couronne est plus grande que si, pour le même poids, elle avait été faite exclusivement d'or, alors elle a une masse volumique plus faible qu'une couronne de même taille seulement en or. Pour répondre à la question du roi Hiéron, Archimède a donc pu comparer les volumes d'eau déplacés par la couronne et une quantité d'or de poids identique. Si les deux déplacent le même volume d'eau, leur masse volumique est alors égale et on peut en conclure que les deux sont composés du même métal. Pour réaliser l'expérience, on peut imaginer plonger la masse d'or dans un récipient rempli à ras-bord (et muni d'un bec verseur pour mieux observer la chose). Une certaine quantité d'eau débordera alors du récipient (on peut la recueillir pour la mesurer). Ensuite, on retire l'or et on le remplace par la couronne à étudier. Si la couronne est bien totalement en or, alors l'eau ne débordera pas. En revanche, si sa densité est plus faible et donc son volume plus important pour la même masse, de l'eau supplémentaire débordera. 5-2/ Enoncé du théorème : Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède. - Si le solide et le fluide sont homogènes alors G et C sont confondus. - Si le solide et le liquide sont hétérogènes alors G et C sont distincts. Pour assurer l’équilibre du corps immergé, il faut que le centre de poussée et le centre de gravité soient alignés. * Remarques : 1- Si la masse volumique du solide est inférieure à celle du liquide (ρsρL): le solide est immergé et il touche le fond du contenant du liquide.

Figure 13: Variation de la position du solide dans un liquide en fonction  On cherche à déterminer la résultante des forces de pression qui s’exercent sur un solide en équilibre dans un liquide.

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5-3/ Poussée d’Archimède :

Figure 14: Poussée d’Archimède Le volume fictif de fluide reste en équilibre sous l’action de son poids ⃗ et de l’ensemble des forces de pression exercées sur sa surface extérieure par le fluide environnant. L’application du principe fondamental de la statique montre que la résultante des forces de pression (ou poussée d’Archimède ⃗ ) est égale et opposée au poids ⃗ . ⃗

⃗

⃗

Avec : Vi : volume de fluide déplacé (m3) g = 9,81 m. s-2 FA : poussée d’Archimède (N) masse volumique du fluide (kg.m-3) 5-4/ Condition de stabilité: Dans le cas d’un solide partiellement immergé ou d’un solide complètement immergé mais non homogène, le centre de poussée A est distincts du centre de gravité G du solide, ce qui influe sur la stabilité du solide.

Figure 15: Condition de stabilité Le point M, situé à l’intersection de la verticale passant par le point A et de l’axe de symétrie du solides, est appelé métacentre et dm est la distance métacentrique. A.U. :2013-2014

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Si M est situé au-dessus de G, il y a toujours stabilité ; le solide tend à revenir dans sa position d’équilibre après un écart. Il y a instabilité dans le cas contraire, lorsque M est au-dessous de G. * Application : Un corps cylindrique de diamètre d = 50 mm, de hauteur h = 0,4 m et de masse négligeable est rempli d’huile jusqu’à la moitié de sa hauteur. La masse volumique de l’huile est huile = 900 kg/m3 . L’ensemble (corps cylindrique + huile) est immergé dans l’eau.

1°) Isoler l’ensemble (corps cylindrique + huile) et faire l’inventaire des forces qui lui sont appliquées. 2°) Donner l’équation d’équilibre statique de cet ensemble. En projetant cette équation sur l’axe

 z , exprimé h’ en fonction de h, huile et eau . Calculer h’.

3°) En remplaçant le volume d’huile par le même volume d’eau dans ce corps cylindrique, calculer dans ce cas la nouvelle valeur de h’.

* Correction : 1/-

On a : -

 Ph : Le poids de l’huile.

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 FA : La poussée de l’eau (poussée d’Archimède).

-







2/- On a : Ph  FA  0

 Projection sur l’axe z :

  Ph  FA

0

h  .d 2 .g 2 4 2 '  .d



Avec : Ph  mh .g   h .Vh .g   h . .

 FA  meau d .g   eau .Veau d .g   eau .h .

4

.g

En remplacent chaque terme par sa relation on trouve :  eau .h ' . h 2

 eau .h '   h .  0 d’où on trouve : h ' 

 .d 2

h  .d 2 .g   h . . .g  0 4 2 4

 h .h 2. eau

' A.N. : h  0,18m

3/-



'



On a : Peau  FA  0

'   Projection sur l’axe z : FA  Peau  0  h  .d 2 .g Avec : Peau  meau .g   eau .Veau h .g   eau . . 2 4 2  ' ' '  .d FA'  meau . g   . V . g   . h . .g d eau eau d eau 4

En remplacent chaque terme par sa relation on trouve :  eau .h ' . h' 

 .d 2

h  .d 2 .g   eau . . .g  0 4 2 4

h h  0 d’où on trouve : h '  2 2

' A.N. : h  0,2m

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1/- Description d'un écoulement : 1-1/ Définitions : L’écoulement d’un fluide peut être permanent ou non permanent, uniforme ou non uniforme, laminaire ou turbulent. -

-

-

Ecoulement permanent : un écoulement est dit permanent si la vitesse des particules de fluide qui se succèdent en un même point, et quel que soit ce point, reste la même (constante) au cours du temps. Ecoulement uniforme : un écoulement est dit uniforme si la vitesse des particules de fluide est la même en tout point de l’écoulement (même direction, même intensité et même sens en chaque point). Fluide parfait ou idéal : un fluide parfait est un fluide dont la viscosité est supposée nulle. Il n’y a pas de contraintes de cisaillement dues au frottement interne entre molécules et frottement contre les parois. Il n’y a pas de rotation des particules de fluide autour de leur centre de masse (elles sont dites irrotationnelles). Il ne supporte que des forces de pression et les écoulements puissent être représentés par des lignes de courant.

Figure 16: Profils de vitesse -

Lignes de courant : les lignes de courant sont des lignes imaginaires de l’écoulement indiquant la direction du mouvement du fluide. C’est la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Une ligne de courant est tangente en chaque point aux vecteurs vitesses des particules.

-

Tube de courant : C’est l’ensemble formé à partir d’un faisceau de lignes (sorte de canalisation).il n’y a pas d’écoulement de fluide latéralement ou transversalement au tube. L’écoulement s’effectue par les sections d’entrée (S1) et de sortie (S2).

-

Filet de courant : C’est un tube de courant s'appuyant sur un petit élément de surface S.

La section de base S du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses points (répartition uniforme).

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Figure 17: Ligne, Tube et Filet de courant -

Lignes d’émission : à un instant donné, c’est la courbe géométrique décrite par les particules de fluide qui passent en un point choisi de l’écoulement

En écoulement permanent, les lignes de courant, les trajectoires et les lignes d’émission sont identiques ou confondues. * Remarque : En écoulement permanent, les lignes de courant, les trajectoires et les lignes d’émission sont identiques ou confondues. 1-2/Débits : Le débit est le quotient de la quantité de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la durée de cet écoulement. On distingue deux types de débit à savoir : a/ Débit volumique : Soit V le volume de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps t, par définition le débit-volume est :

avec qv en m3.s-1.

b/ Débit massique : Soit m la masse de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps t, par définition le débit-masse est :

avec qm en kg.s-1.

* Relation entre qm et qV : La masse volumique  est donnée par la relation : On multiplie le numérateur et le dénominateur par t on trouve D’où

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2/- Equation de conservation de la masse ou équation de continuité : 2-1/ Conservation du débit : Considérons un tube de courant entre deux sections S1 et S2. Pendant l'intervalle de temps t, infiniment petit, la masse m1 de fluide ayant traversé la section S1 est la même que la masse m2 ayant traversé la section S2.

qm1  qm2 En régime stationnaire, le débit-masse est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant. Dans le cas d'un écoulement isovolume ( = Cte) :

qv1  qv 2

2-2/ Expression du débit en fonction de la vitesse v : Le débit volumique est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur égale à x, correspondant à la longueur du trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S.

qv  v.S

Il en résulte la relation importante :

a/ Vitesse moyenne : En général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (à cause des forces de frottement) (figure 16). Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne vm la vitesse telle que :

v moy 

qV S

La vitesse moyenne vm apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section S qui assure le même débit que la répartition réelle des vitesses. Si l'écoulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle à l'aire de la section droite.

qv = v1moy.S1 = v2moy.S2 = Cte C'est l'équation de continuité. v1 S2  v 2 S1

; La vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible.

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1/- Théorème d'Euler ou des quantités de mouvement : 1-1/ Principe : Ce théorème établit une relation entre les éléments cinématiques d'un fluide et les efforts qui lui sont appliqués. La somme vectorielle des forces appliquées à un tronçon de fluide en écoulement permanent est égale au produit du débit massique par la différence vectorielle des vitesses du fluide en aval et en amont de ce tronçon.

Figure 18: Théorème d’Euler

⃗

⃗

⃗

Où : ⃗

: La somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un tronçon de fluide isolé (N).

qm

: Le débit massique du fluide (kg/s).

⃗

: La vitesse vectorielle du fluide à l'aval (m/s).

⃗

: La vitesse vectorielle du fluide à l'amont (m/s). 1-2/ Application : Dans la pratique on trouve plusieurs applications du théorème de d’Euler notamment les jets

pour entrainer les turbines et la propulsion des fusées.

2/- Théorème de BERNOULLI : 2-1/ Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible : Un fluide parfait est un fluide dont l'écoulement se fait sans frottement. On considère un écoulement permanent isovolume d’un fluide parfait, entre les sections S 1 et S2, entre lesquelles il n’y a aucune machine hydraulique (pas de pompe, ni de turbine). A.U. :2013-2014

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Figure 19: Fluide en écoulement entre deux points (1) et (2) Soit m la masse et V le volume du fluide qui passe à travers la section S1 entre les instants t et t+t. Pendant ce temps la même masse et le même volume de fluide passe à travers la section S2. Tout se passe comme si ce fluide était passé de la position (1) à la position (2). En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à ce fluide entre les instants t et t+t (la variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures : poids et forces pressantes), on obtient :



v2 2

 gz  p  Cte

p : Pression statique. gz : Pression de pesanteur.



v2 2

: Pression cinétique.

Tous les termes exprimés en pascal. En divisant tous les termes de la relation précédente par le produit g, on écrit tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimées en mètres de colonne de fluide).

v2 P z  H  Cte 2g g Avec : H est la Hauteur totale,

z

P v2 est la Hauteur de Pression, z est la cote, est la Hauteur cinétique, g 2g

P est la Hauteur piézométrique. g

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2-2/ Cas d'un écoulement (1)  (2) sans échange de travail : Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s’écrire sous l'une des deux formes suivantes :





1  v 22  v12  g( z 2  z1 )  p2  p1   0 2

 p  p1   0 1 2 2 v2  v1  ( z 2  z1 )  2 2g g



Ou



2-3/ Cas d'un écoulement (1)(2) avec échange de travail: Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l’énergie avec cette machine sous forme de travail W pendant une durée t. La puissance P échangée est :

P

Avec : P en watt (W) ; W en joule (J) ;

W t t en seconde (s).

Figure 20: Ecoulement avec échange de travail Si p > 0 : l’énergie est reçue par le fluide (exemple : pompe) ; Si p< 0 : l’énergie est fournie par le fluide (exemple : turbine). Si le débit-volume est qv, la relation de Bernoulli s’écrit alors :





1 P ρ v 22  v12  ρg(z 2  z1 )  p 2  p1   2 qv

3/- Application du Théorème de Bernoulli : 3-1/ Tube de Pitot : On considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeant dans le liquide, l'un débouchant en A face au courant, et l'autre en B le long des lignes de courant, les deux extrémités étant à la même hauteur.

Figure 21: Tube de Pitot A.U. :2013-2014

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Au point B, le liquide a la même vitesse v que dans la canalisation et la pression est la même que celle du liquide pB = p. En A, point d'arrêt, la vitesse est nulle et la pression est pA. D'après le théorème de Bernoulli,

pB 

1   v2  pA 2

soit

1   v2    g  h 2

En mesurant la dénivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v d'écoulement du fluide. 3-2/ Tube de Venturi : Une conduite de section principale SA subit un étranglement en B où sa section est SB. La vitesse du fluide augmente dans l’étranglement, donc sa pression y diminue : vB > vA  pB < pA

Figure 22: Tube de Venturi Le théorème de Bernoulli s'écrit ici :

1 1 1 p A    v 2A  pB    v B2  pC    v C2 2 2 2 D'après l'équation de continuité, vBSB  v A SA  qv et v B  v A donc p A  pB

1 1 1 p A  pB  .( 2  2 ).q2  k.q2 2 SB S A La différence de pression aux bornes des extrémités du tube de Venturi est proportionnelle au carré du débit. 3-3/ Ecoulement d'un liquide contenu dans un réservoir - Théorème de Torricelli Considérons un réservoir muni d'un petit orifice à sa base, de section S et une ligne de courant partant de la surface au point (1) et arrivant à l'orifice au point (2). En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points (1) et (2)

Figure 23: Théorème de Torricelli A.U. :2013-2014

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v12 v 22      g  z1  p1       g  z 2  p 2 2 2 Or p1 = p2 = pression atmosphérique, z1-z2 = h et v1 3000 Les phénomènes d'écoulement sont beaucoup plus complexes et la détermination du coefficient de perte de charge résulte de mesures expérimentales. C'est ce qui explique la diversité des formules anciennes qui ont été proposées pour sa détermination. En régime turbulent l'état de la surface devient sensible et son influence est d'autant plus grande que le nombre de Reynolds Re est grand. Tous les travaux ont montré l'influence de la rugosité et on s'est attaché par la suite à chercher la variation du coefficient  en fonction du nombre de Reynolds Re et de la rugosité k du tuyau. La formule de Colebrook est actuellement considérée comme celle qui traduit le mieux les phénomènes d'écoulement en régime turbulent. Elle est présentée sous la forme suivante :

1 k 2, 51  2 log(  ) 3, 7 D Re   L'utilisation directe de cette formule demanderait, du fait de sa forme implicite, un calcul par approximations successives ; on emploie aussi en pratique des représentations graphiques (abaques). A.U. :2013-2014

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Pour simplifier la relation précédente, on peut chercher à savoir si l'écoulement est hydrauliquement lisse ou rugueux pour évaluer la prédominance des deux termes entre parenthèses dans la relation de Colebrook. * Remarque : On fait souvent appel à des formules empiriques plus simples valables pour des cas particuliers et dans un certain domaine du nombre de Reynolds, par exemple : -

Formule de Blasius : (pour des tuyaux lisses et Re < 105)



  100 . Re



0.25

 0,316 . Re 0, 25

4-2/ Pertes de charge singulières : Les pertes de charges singulières résultent de la présence de coudes, raccords, branchements, robinets, etc. Tous ces éléments (singularités), installés le long des canalisations, constituent des obstacles qui freinent le passage du fluide et amènent des pertes de charge. Les pertes de charge singulières sont proportionnelles au carré de la vitesse, elles sont exprimées sous les deux formes suivantes :

v 2 p  K 2 Différence de Pression (Pa)

ou

v2 h  K 2g Perte de charge exprimée (mCF)

Où K est appelé coefficient de perte de charge singulière (sans dimension). Le coefficient k est déterminé empiriquement à partir des abaques ou des tableaux.

Figure 27: Modèle d’abaque pour la détermination de k

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Figure 28: Modèle de tableau pour la détermination de k 4-3/ Pertes de charge totales : Lors d’un écoulement dans une conduite hydraulique, les pertes de charge totales sont l’addition de deux types de pertes de charge (régulières et singulières)

P T  P r  P s 1  Pr  Kr      v2  : pertes de charge par frottement ; où 2  Ps  Ks  1    v2 : pertes de charge singulières ; 2

Avec :





Kr 

.L D

5/- Théorème de Bernoulli généralisé : Lors d'un écoulement d'un fluide réel entre deux points (1) et (2) il peut y avoir des échanges d'énergie entre ce fluide et le milieu extérieur : -

Par travail à travers une machine, pompe ou turbine ; la puissance échangée étant P (voir Théorème de Bernoulli) Par pertes de charge dues aux frottements du fluide sur les parois ou les accidents de parcours ; la différence de pression étant p

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Le théorème de Bernoulli s'écrit alors sous la forme générale :

1  P  p  v 22  v12  g(z 2  z1 )  p 2  p1   T1 2 2 qv





Avec : - P : somme des puissances échangées entre le fluide et le milieu extérieur, à travers une machine, entre (1) et (2) : - P >0 : si le fluide reçoit de l'énergie de la machine (pompe). - P 105  le régime d’écoulement est un régime turbulent Rugueux. 3/- On applique le théorème de Bernoulli entre les points 1 et 5 :



 







1 P  V52  V12  p5  p1  .g. z5  z1   p15 2 qV avec : V5  V1  0 m / s (surface libre de grand dimension) et p5  p1  patm  10 5 Pa





L’équation de Bernoulli devient :  .g. z 5  z1 

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P  p15 qV 58

Mécanique des fluides Donc p15 

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

P   .g. z 5  z1 qV



A.N. : p15  13,30 bar 4/a)- On a : p15  p34 

34 ..V 2 .L34



2.D

34 

p15 .2.D Z  Z4 avec L34  3 2  .V .L34 cos 

A.N. : 34  0,098 b)- On applique le théorème de Bernoulli entre les points 1 et 4 :



 







1  V42  V12  p4  p1  .g. z 4  z1  p14 2 avec : V1  0 m / s , V4  V  10,32 m / s et p14  p34 Donc p4  p1 



1 .V 2  p14  .g. z 4  z1 2



A.N. : p4  77,9 bar 5/- La puissance électrique développée par le groupe turbine-alternateur est : Pe  Ph .T . a

Ph' La puissance électrique absorbée par le groupe électropompe est : P  et ona aussi  h . e ' e

Pe'  

Pe où N est le nombre maximal des groupes électropompes. N

N

Ph .T . a . h . e Ph'

A.N. : N  10710 électropompes.

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BIBLIOGRAPHIE

[1] Jean-Louis Fanchon, GUIDE DE MECANIQUE, Nathan. [2] Mohamed Maalej, MECANIQUE DES FLUIDES, CPU, Tunis 2001 [3] Ranald V.Giles, Jack B. Evett, Cheng Liu, MECANIQUE DES FLUIDES ET HYDRAULIQUE, Série Schaum. [4] Vitruve, « Architectura, Livre IX, chap.3, paragraphes 9–12 » , Université de Chicago

WEBOGRAPHIE

[5] http://www.ac-nancy-metz.fr.htm [6] http://www.cgm.polymtl.ca/civ2401/hivers/exercices/s1indices.hmt [7] http://www.cgm.polymtl.ca/civ2401/index.hmt

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Un bref historique de la Mécanique des Fluides ARCHIMEDES (287–212 av. JC) Il a établi les principes élémentaires de flottabilité et flottation. LEONARDO da VINCI (1452–1519) Il a exprimé le principe élémentaire de continuité, il a observé et dessiné de nombreux flux de base et il a proposé des conceptions en hydraulique. EVANGELISTA TORRICELLI (1608–1647) Il a lié la hauteur barométrique au poids de l’atmosphère et à la forme de jet de liquide de la trajectoire automne libre. BLAISE PASCAL (1623–1662) Il a clarifié les principes du baromètre, de la presse hydraulique, et de la transmissibilité de pression. ISAAC NEWTON (1642–1727) Il a exploré les divers aspects de la résistance des fluides. HENRI de PITOT (1695–1771) Il a construit un dispositif à double tube pour indiquer la vitesse de l'eau à travers la tête différentielle DANIEL BERNOULLI (1700–1782) Il a écrit et travaillé sur de nombreuses phases du mouvement du fluide, nom frappe "hydrodynamique"; LEONHARD EULER (1707–1783) Il a expliqué le rôle de la pression dans l'écoulement du fluide, il a formulé des équations de base du mouvement que l'on appelle théorème de Bernoulli, il a introduit le concept de cavitation et le principe des machines centrifuge. GIOVANNI BATTISTA VENTURI (1746–1822) Il a effectué des tests sur les différentes formes de becs-en particuliers, les contractions et les expansions coniques. LOUIS MARIE HENRI NAVIER (1785–1836) Il a étendu les équations de mouvement pour inclure les forces « moléculaires ». JEAN LOUIS POISEUILLE (1799–1869) Il a effectué des tests méticuleux sur la résistance de l'écoulement à travers des tubes capillaires. OSBORNE REYNOLDS (1842–1912) A décrit des expériences originales dans de nombreux domaines : cavitation, modèle de la rivière similitude, résistances des conduites, il a élaboré deux paramètres pour l’écoulement visqueux, il a adapté les équations du mouvement d'un fluide visqueux pour expliquer les conditions de turbulence PAUL RICHARD HEINRICH BLASIUS (1883–1970) Il a fourni une solution détaillée aux équations de la couche limite. De plus, il a démontré que la résistance de la conduite est liée au nombre de Reynolds

[Réf] Munson, Young & Okiishi, Fundamentals of Fluid Mechanics, 4 ième Edition