Superposiciòn de Mas

 

Laboratorio 3 Superposici´ o n de M. A. S. on 3.1

Objeti bjetiv vos

1. Medi Medirr el per per´´ıodo y deter determinar minar la frec frecuenc uencia ia de oscil oscilaci´ aci´ oon n de movimientos arm´oonicos nicos simples (M.A.S.) mediante el osciloscopio. 2. Medi Medirr las amplit amplitudes udes y el per per´´ıodo de dos oscil oscilacione acioness arm´ oonicas ni cas id´enticas, entic as, cuando est´aan n superpuestas en fase y en contrafase. 3. Determinar el ´aangulo ngulo de desfase de dos oscilaciones arm´oonicas nicas de igual frecuencia por medici´oon n directa en el osciloscopio y utilizando las figuras de Lissajous. 4. Medir el ´angulo angulo de desfase entre dos oscilaciones arm´oonicas nicas perpendiculares de diferente frecuencia mediante figuras de Lissajous. 5. Ana Analiz lizar ar y det deter ermin minar ar las car caract acteri eristi sticas cas de pul pulsac sacion iones es gen genera eradas das y sus per´ıodo ıo dos. s.

3.2 3. 2

Prei Preinf nfor orme me

1. Consulte c´oomo mo se forman las llamadas figuras de Lissajous. 2. ¿ Qu´e es una sse˜ e˜n nal al oscilatoria modulada en amplitud (Se˜n nales al es A A.M.) .M.)?. ?. ¿ Qu´e se requiere para producirla?. 3. ¿ Qu´e es una se˜nal nal oscilatoria modulada en frecuencia (Se˜ n nales ales F.M.)?. ¿ Para qu´e sirve? sirve?.. 4. Complete los pasos necesarios para determinar la ecuaci´oon n (3.2). 5. Complete los pasos necesarios para determinar la ecuaci´oon n (3.3). 23

 

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3.3 3. 3

 

Labo Laborat ratori orio o 3. Superpos Superposici ici´ on o ´n de M. A. S.

Funda undame men nto Te´ orico orico

A. Superpo Superposic sici´ i´ o on n de dos Movimientos Arm´ o onicos nicos Simples Simples:: Igual direcci´ on on y frecuencia La superposi superposici´ ci´ oon n ´o interferencia de dos M.A.S. producen un desplazamiento de la se˜n nal al a la largo de la misma l´ınea. Sea   x1   y   x2  el desplazamiento producido por cada M.A.S.: x1  =  A 1S en(wt + α1 ) x2  =  A 2S en(wt + α2 )

Al superponer estos dos movimientos: x  =  x 1 + x2

se encuentra: x  =  ASen(wt + α)

(3.1)

Donde A   =   Amplitud wt   +   α   =   Fase

El movimiento resultante es un M.A.S. de la misma frecuencia, diferente amplitud y diferente fase inicial. Con un poco de algebra se obtiene la nueva amplitud y el ´aangulo: ngulo: A  = [A21 + A22 + 2 A1 A2C os(δ )] )]

1 2

con   δ  =  =  α 2 − α1 Entonces tan(α) =

CASOS

  A1 Sen (α1 ) + A2 Sen (α2 ) A1 C os(α1 ) + A2 C os(α2 )

 

(3.2)

 

3.3. Fundamento undamento Te´ orico  orico 

 

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Figura 3.1: Diferencia de fase entre dos se˜n nales ales sinusoidales.

1. Si   δ   =   α2   −  α 1   = 0 entonces   A1   y   A2   est´aan n en FASE y   A   =   A1  +  A 2 ; a este tipo de interferencia se denomina   constructiva. Y si  A 1  =  A 2  entonces A  = 2A1  de doble amplitud; a este tipo de interferencia se denomina  completamente constructiva.

n en CONTRAFASE resultando 2. Si   δ   =   α2  − α1   =   π   entonces   A1   y   A2  est´aan A  =  A 1  − A2 ; a este tipo de interferencia se le llama   destructiva. Y si   A1   =   A2   entonces   A   = 0; a es este te tipo de int inter erfe fere renc ncia ia se le llam llamaa completamente destructiva.

En la pr´aactica ctica se utiliza un osciloscopio de doble canal, el cual consta de dos entradas   C H 1   y   C H 2 . La medid medidaa de desfa desfase se es inm inmedi ediata ata ya que bas basta ta con en entra trarr una se˜ n nal al por cada canal y medir la diferencia de fase sobre la pantalla del osciloscopio como lo indica la figura (3.1).

 

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B. Superpo Superposic sici´ i´ o on n de dos dos Mo Movi vimi mien ento toss Ar Arm´ m´ o onicos nicos Simples Perpendiculares entre s´ı con igual y diferente frecuencia. Sea x  =  ASen(wt + α1 ) y  =  BSen(wt + α2 )

La diferencia de fase entre   x   e   y   es   δ   =  α 1  − α2  = con lo cual se puede escribir   y como:

y  =  BSen[(wt + α1 ) − δ ]

Al desarrollar y hacer los pasos correspondientes, se encuentra la ecuaci´oon n general de la trayectoria: B 2 x2 + A2 y 2 − 2ABxyCos(δ ) =  A 2 B 2 Sen 2 (δ )

(3.3)

CASOS

Si   δ  =  = 0,   x  e   y  se encuentran en fase: y  =

 B  x A

 

(3.4)

Es la ecuaci´oon n de una l´ınea recta, con pendiente p positiva. ositiva. Si   δ  =  =  π : y  =  −

B  x A

 

(3.5)

Es la ecuaci´oon n de un l´ınea recta, con pendiente negativ negativaa De la interferencia de los dos M.A.S. de la misma frecuencia se obtiene en el plano una l´ınea recta cuya p pendiente endiente dep depende ende si   δ  =  = 0 ´o   δ  =  =  π . Si   δ  =  =  ± π2   resulta: 2

2

(x)2   +  ( y )2   = 1 A

B

(3.6)

 

3.3. Fundamento undamento Te´ orico  orico 

 

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Figura 3.2: Superposici´on on de dos M.A.S. para diferentes desfases. Se obtiene en el plano una elipse con los ejes de ella paralelos a las direcciones de los dos movimientos. Si   A  =  B , la elipse se transforma en una circunferencia. Para otros valores de  δ   =   π2  l  laa traye trayector ctoria ia es to todav dav´´ıa u una na  elipse, pero p ero sus ejes est´ an an rotados respecto a los ejes cordenados. Esta trayectoria cerrada es una   figura de Lissajous. Por lo tanto la ecuaci´ oon n (3.3) es la forma general de la elipse. Para hacer la composici´oon n de M.A.S. en direcci´oon n perpendicular e igual frecuencia, se suprime el barrido horizontal llevando una se˜n nal al de frec frecuenci uenciaa   f 1  al canal   C H 2 y una se˜n nal al de frecuencia   f 2  al canal   C H 1 . La figura resultante resultante es indepen independien diente te del tiempo y ser´a una l´ıınea nea recta (Ecuaciones (3.4) y (3.5)), una elipse (Ecuaci´on on (3.6)) ´o una circunfe circunferenc rencia, ia, seg´ un un sea el desfase entre las dos se˜n nales ales introducidas. Si se trazan dos tangentes una horizontal ( T 2 ) a la anterior figura y otra vertical (T 1 ) se observa que s´olo olo hay un corte: f 1 f 2

T  =   T  = 1 entonces   f 1  =  f 2 2 1

y las se˜ n nales ales anteriores tienen la misma frecuencia, como se esperaba. As´ı, ı, cua cuand ndoo eell ´aangulo ngulo de desfase es cero es una l´ınea recta. Al aumentar el desfase, se convierte la figura en una elipse estrecha, hasta que en   δ   =   π2   es una circunferencia. Cuando   δ   aumenta aumenta la elipse se inclina sentido opuesto hasta llegar a ser recta de pendiente negativa en   δ  =  =  π .(Ver figura (3.2)) Esta t´eecnica cnica se puede extender para determinar frecuencias diferent diferentes es y que sean racionale racion ales. s. Se toma una se˜ n nal al de frecuencia conocida   f 1   en en C CH H1 y la otra otra de de-sconocida   f 2   en CH2; la figura obtenida al independizar las se˜n nales ales del tiempo

 

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Figura 3.3: Superposici´oon n de dos M.A.S. con diferentes frecuencias. (figura (3.3)) es una figura completamente cerrada llamada figura de Lissajous en las cuales se trazan las tangentes   T 1   y   T 2 , contando los puntos de contacto: w1   2πf 1   f 1   T an2   T 2 = = = = T 1 T an1 f 2 w2 2πf 2

(3.7)

Cuando   w1  = 1 y   w2  = 2 en la figura la tangente horizontal   T an2  tocar´a la figura en dos puntos y una tangente vertical  T an1  en un punto, la relaci´oon n ser´a 2:1; como lo muestra la figura (3.3).

C. Super Superposic posici´ i´ o on n de dos Movimientos Arm´ o onicos nicos Simples Simples.. Igual direcc direcci´ i´ o on n y di difer feren ente te frecu frecuen enci cia: a: ”B ”BEA EATS TS” ” o ´ Pul Pulsa sa-ciones Sea: x1  =  A sen(w1 t) x2  =  A sen(w2 t)

entonces: x  =  x 1 + x2  =  A (Senw1 t + Senw2 t)

 

 

3.4.. Materi 3.4 Materiale ales  s 

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efectuando unos pasos algebraicos finalmente el movimiento resultante   x  tiene la forma: x  = 2A ∗ C os 1 (w1 − w2 )t ∗ Sen 1 (w1 + w2 )t

2

2

 

(3.8)

con los siguientes cambios:  1 W med med  = 2 (w1  + w2 ) es la frecuencia de las oscilaciones resultantes.

 1 W mod oon. n. mod  = 2 (w1  − w2 ) es la frecuencia modulada o frecuencia de la pulsaci´

Amod  = 2ACos(wmodt) es la llamada Amplitud Modulada.

la oscilacion resultante es (Figura 3.4): 1 2

x  =  A modSen [(w1 + w2 )t]

3.4

(3.9)

Mater ateriiales ales

•  Dos Generadores de onda. •   Osci Osciloscop loscopio io de doble canal (Marca HUNG CHAN CHANG, G, MODELO 65202). •   Cables.

3.5 3. 5

Prec Precau auci cion ones es

•  Familiarizarse con el equipo.

oorese rese de tener las dos perillas (Cal) girados completamente a la derecha •   Cerci´ en el osciloscopio. •   Tenga en cuenta que las escalas de frecuencia utilizadas est´a an n en el rango

entre 1 kHz a 10 kHz.

 

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Figura 3.4: Pulsaciones producidas por la superposici´oon n de dos ondas de frecuencias muy cercanas

 

3.6. Procedimien Procedimiento  to 

3.6 3. 6

 

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Proce Procedi dimi mien ento to

A. Superposici´ o on n de dos Movimientos Arm´ o onicos nicos Simples Simples:: Igual direcci´ on on y frecuencia 1. Conecte a la red de 110 V A.C. el osciloscopio y uno de los generadores de onda. 2. Utilice en el generador la perilla de onda SENO. No utilice la atenuaci´oon ne introduzca la se˜ nal nal en el canal 1 (CH1) de frecuencia entre 1 y 10 kHz. 3. Ajuste los controles del osciloscopio para observar la traza de la se˜ n nal. al. Gire completame compl etamente nte hacia la dere derecha cha las perilla perillass (CAL) (CAL).. 4. Tome el per per´´ıodo y la amplitud de la se se˜ n nal. ˜al. Muev Muevaa las perillas VOL VOLTS/DI TS/DIV V y TIME/DIV de modo que tenga una onda f´aacil cil de ver el tama˜n no. o. Ajuste la perilla TRIGGER LEVEL si es necesario. 5. Hag Hagaa la relac relaci´ i´ on on  f   =   T 1  y comp´arela arela con la lectura del generador (Trate esto en el an´aalisis). lisis). Repit Repitaa lo anterio anteriorr para otras dos frec frecuenc uencias ias y consi consignelo gneloss en una tabla. 6. Coloque en paralelo1 otra sonda y lleve la se˜ n nal al al canal 2 (C H 2) 2) entrada. Mida el p per er´´ıodo y su amplitu amplitud. d. 7. Coloque la perilla (ADD) del osciloscopio: La se˜nal nal que aparece es la superposici´oon n de los dos canales. Tome su amplitud y per per´´ıodo. Repita lo anterior para otras dos se˜ n nales ales de diferente frecuencia. 8. Presione la tecla INV la cual inverte la se˜n nal al del canal 2 (C H 2). 2). Act Activ ivee la perilla ADD del osciloscopio y analice el resultado observado. 9. Conecte otro generador a la red de 110 V A.C. y utilice el modo de onda SENO, sin atenuaci´oon. n. 10. In Introd troduzc uzcaa las se˜ n nales ales de los generadores por separado a las entradas   C H 1 y   C H 2 del osciloscopio. 11. Manip Manipule ule los con controle troless del oscilosc osciloscopio opio para traer las ondas al cen centro tro de la  C H 1 y  C  CH  H 2 simult´ pantalla; para ello presione las teclas de  CH  aaneamente. neamente. Haga los ajustes necesarios para que las dos se˜n nales ales tengan amplitudes iguales. 2 Deje las perillas de los generadores iguales . Verifiq erifique ue que las frecue frecuencias ncias sean aproximadamente iguales. 1

Con el fin de que la misma se˜ n nal al entre a ambos canales. Para obtener una buena se˜ nal, n al, deje fija una de las se˜ n nales ales y var var´ ´ıe finamente el control del otro generador 2

 

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12. Mid Midaa la dis distan tancia cia hor horizo izont ntal al en entre tre los pun puntos tos cor corres respond pondien ientes tes a las dos se˜nales nales y determine determine el desfase desfase.. Ver figura (3.1). Si no observ observaa desfase presione la tecla INV.

B. Superposici´ o on n de M.A.S. Perpendiculares entre S´ı. Figuras de Lissajous.

1. En el arreglo ant anterior erior act active ive el modo X-Y del oscilosc osciloscopio. opio. Con ello se tienen dos oscilaciones oscilaciones perpendi perpendicular culares es ent entre re s´ı una a lo largo del eje X y otra a lo largo del eje Y, independientes del tiempo.Utilice la escala de 1 kH z  y   y fije la se˜nal nal en uno de los generadores en un valor menor de 2000 Hz. Var ar´´ıe la otra se˜n nal al y obtenga las figuras correspondientes a las de figura (3.3). Busque en el osciloscopio la figura que corresponde a la relaci´oon n 1:1 1:1,, 2:1, 2:1, 3:1 3:1.. An Anot otee para el an´aalisis lisis   f 1 ,   f 2 ,   T 1 ,   T 2 . 2. Para obtener la figura que corresponde a la relaci´oon n 1:2; 1:3, qu´e se debe hacer?. Experimente. 3. Obte Obtenga nga las relaci relaciones ones 2:3, 3:2, 3:4 y 4:3.

C. BE BEA ATS ´ o Puls Pulsaci acione ones. s. Superpo Superposic sici´ i´ o on n de M. M.A. A.S. S. Ig Igua uall direcci´ o on n y frecuencias levemente diferentes. 1. En el arre arreglo glo anteri anterior or desactiv desactivee el modo X-Y del oscilosc osciloscopio opio e int introduzca roduzca las se˜ n nales ales de cada generador en las entradas del canal 1 (CH1) y canal 2 (CH2) y var´ ar´ıe las frec frecuenc uencias ias de cada generador generador,, hasta que en el modo de 3 ADD  se observe la pulsaci´ oon n o beet . Ut Util ilic icee el   TRIGGER  para fijarla. Muevaa las perilla Muev perillass de los canale canales, s, para medir los per per´´ıodos y las frec frecuenci uencias as de cada oscilaci´on on  f 1  y  f 2 . Regrese al modo de  ADD  y determ de termine ine el pe perr´ıodo ıo do y frecuencia de la oscilaci´oon n modulada y de la oscilacion r´aapida. pida. Repita para otros dos valores. Tome datos.

3.7

An´ alisis alis is

1. Analice los puntos 5, 7, 11, 12 de la parte A y compere los resultados con los valores esperados. Haga diagramas donde sea necesario. 2. Ana Analic licee la tabla de res result ultados ados obte obtenid nidaa en la par parte te B y lo diagr diagrama amass de las 3

figuras correspondien correspondientes. tes. Compa Compare re con los valos esperados.

Para obtener una buena se˜ nal, n al, deje fija una de las se˜ n nales ales y var var´ ´ıe finamente el control del otro generador

 

 

3.8.. Pregun 3.8 Preguntas  tas 

33

3. Tome los datos obtenidos en la parte C y comp´aarelos relos con los valores esperados que vienen dados por: 1 2 ωrapida   =   1 2 (2πf   + 2πf  )

ωmodulada   =

 1 (2πf 1  − 2πf 2 ). 2

Tenga en cuenta las incertidumbres.

3.8

Pre reg guntas

1. En la parte A la diferencia de fase fue 0 y   π . Considere un desfase de   π2 . Analice el movimiento resultante si el desfase es diferente a los ya considerados. ¿ Qu´e tipo de movimien movimiento to resultar´ aa?. ?.