Superficies

Superficies en Superficies en el Espacio Clau dia Isela Claudia I sela Torres Garibay Gariba y Febrero 27, 2001

Matemáticas II Cálculo Vectorial Clave ACM9304

 Tema 1.7 Cilíndros, superficies cuadráticas y superficies de revolución.

Objetivo: Identificar y graficar superficies cilíndricas, cuadráticas y de revolución.

Clasificación de las superficies en el espacio: Esfera Plano Superficies cilíndricas o cilindros Superficies cuadráticas Superficies de Revolución

Esfera Una esfera con centro en (x0, y0, z0) y radio r se define como el conjunto de puntos (x,y,z) cuya distancia a (x0, y0, z0) es r. La ecuación canónica de una esfera es: (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = r2.

Plano Un plano que contiene el punto P(x1, y1, z1) es el conjunto de todos los puntos Q(x,y,z) para los que el vector PQ es perpendicular a un vector n = La ecuación de un plano en el espacio es: a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0 (forma canónica) ax + by + cz + d = 0 (ecuación general)

Superficies Cilíndricas (Cilindros) El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas paralela s se llama una recta generatriz del cilindro. Si la generatriz es perpendicular al plano que contiene la directriz, se dice que es un cilindro recto. Cilindro Circular  Recto x 2 + y 2 = 4

Cilindros (cont.) La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

 z  =

1

 y 

2

 x 2 16

+

z 2 64

 y  = 2 sen x  =1

Superficies cuadráticas Su ecuación es de la forma: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 Existen 6 tipos: Elipsoide Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas Cono elíptico Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico

Elipsoide

 x 2 a2

 y 2 + b2

 z 2 + 2 c

=1

 Trazas  x 2 xy: Elipse a2  x 2 xz: Elipse a2

 y 2 + b2  z 2 + 2 c

 y 2 b2

 z 2 + 2 c

yz: Elipse

=1

=1

=1

Hiperboloide de una hoja

 x 2 a2

 y 2 + b2

 z 2 − 2 c

=1

 Trazas 2  x  xy: Elipse a2  x 2 xz: Hipérbola 2 a

 y 2 + b2  z 2 − 2 c

2  y  yz: Hipérbola b2

 z 2 − 2 c

=1

=1

=1

Hiperboloide de dos hojas

 x 2 a2

 y 2 − b2

 z 2 − 2 c

=1

 Trazas xy: Hipérbola xz: Hipérbola

 x 2 a2  x 2 a2

yz: (x=0) No existe (|x|>0) Elipse  y 

 y 2 − b2  z 2 − 2 c

 z 2 + 2 2 b c

=1

=1

2

=

k 

Cono Elíptico

 x 2 a2

 y 2 + b2

 z 2 − 2 c

= 0

 Trazas xy: (z=0) Punto (|z|>0) Elipse

 x 2 a2

+

 y 2 b2

 x  = ±

xz: (y=0) Rectas (|y|>0) Hipérbola −  x 

=

k 

az  c

2

 z 2 + a2 c 2

yz:

=

k 

bz  (x=0) Rectas c 2  y   z 2 (|x|>0) Hipérbola − b 2 + c 2 = k   y 

= ±

Paraboloide Elíptico

 x 2 a2

 y 2 + b2

−

z  = 0

 Trazas xy: (z=0) Punto  x  (z>0) Elipse

2

xz: Parábola yz: Parábola

 y 2 + 2 a b2  x 2  z  = 2 a  y 2  z  = 2 b

=

k 

Paraboloide Hiperbólico

 y 2 b2

 x 2 − a2

−

z  = 0

 Trazas b  y  =  x  xy: (z=0) Recta a  y 2  x 2 (|z|>0) Hipérbola 2 − 2 = k  b a

xz: Parábola yz: Parábola

 z  = −

 x  a

 y 2  z  = 2 b

2

2

Superficies de Revolución Si la gráfica de una función radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie resultante tiene una de las formas siguientes: 1. En torno al eje x: y 2 + z2 = [r(x)]2 2. En torno al eje y: x 2 + z2 = [r(y)]2 3. En torno al eje z: x 2 + y2 = [r(z)]2

Superficies de Revolución Al girar la gráfica de la función f(x) = x2+1 en torno al eje x

se genera la gráfica de la y2 + z2 = (x2 + función 1)2.