Superficies y Planos Tangentes

Universidad Nacional  "Pedro Ruiz Gallo"  FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y   ARQUITECTURA  ARQU ITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

SUPERFICIES Y PLANOS TANGENTES  ASIGNATU  ASIG NATURA RA

:

GEOMETRIA GEOM ETRIA DESC DESCRIPTI RIPTIVA VA

DOCENTE

:

MARCO ANTONIO GUZMAN VIGO

INTEGRANTES

:

CICLO

:

FLORES DELGADO GIANCARLO HUAMAN VARGAS JOSE POCLIN TOMANGUILLA LORD SAUSA BARRETO CRISTIANS YOVERA PERALES JORDAN  ZÚÑIGA  ZÚÑI GA DÍAZ DÍAZ JUAN JUAN EVERT 

2007 - I

LAMBAYEQUE, LAMBAYEQ UE, SETIEMBRE DEL 2007

SUPERFICIES DEFINICIÓN: Límite o término de un cuerpo, que lo separa y distingue de lo que no es él. Tenemos tres tipos de superficies: 1. Superfici Superficies es de curvaturas curvaturas simples. simples. 2. Superfici Superficies es de de curvatu curvaturas ras dobles. dobles. 3. Superf Superfici icies es alabe alabeada adas. s. SUPERFICIES SUPERFICIES DE CURVATURA SIMPLE: Las superficies de curvatura simple se generan al mover una recta llamada generatriz sobre la una curva llamada directriz. Estas generatrices pueden ser:

A.



De generación simple: Cuando la generatriz se desplaza sobre una directriz que es una curva de cualquier naturaleza.



De revolución: Cuando la generatriz gira alrededor de una rect recta a fija, ija, de maner anera a que que todos dos sus punto untoss, des describ criben en circunferencias cuyo centro se encuentra en la recta fija que se llama Eje de la superficie y cuyo radio viene a ser la distancia existente entre el centro y el punto de la generatriz que gira.

Entre las superficies de curvatura simple tenemos las siguientes: Superficies cilíndricas Superficies cónicas Convolutas 1

SUPERFICIES CILÍNDRICAS : a. Concepto: Las super uperfifici cie es cilín líndric dricas as son son aque quellas llas genera nerada dass por el movim vimient iento o de una una rec recta llam lamada ada generatriz y que se mantiene en constante contacto con una curva cualquiera llamada directriz, de tal manera que dos dos genera generatric trices es consec consecuti utivas vas e infini infinitam tament ente e cerca cerca son siempre paralelas. Las superficies cilíndricas pueden ser: -

Abiertas: Cuando la directriz es una curva abierta.

-

Cerradas: Cuando la directriz es una curva cerrada.

b. Depurado de una superficie cilíndrica: Una superficie cilíndrica cualquiera viene representada por  su directriz la dilección de sus generatrices y el plano de base (que es el plano que contiene a la directriz). Superficies cilíndricas de revolución: es la generada por  una recta (generatriz) que gira alrededor de una recta fija (eje) y se mantiene paralela a ella en todo momento. 

Depurado de un cilindro de un tronco de cilindro: Es necesario tener en cuenta que, como un cilindro tiene ene infinid inidad ad de porcio rcione ness, pero vam vamos a tomar  posiciones particulares. -

Depurado de un cilindro recto cuyo eje es una recta de punta vertical, los planos de las bases son paralelos al plano horizontal de proyección.

Depura rado do de un - Depu

cilin ilindr dro o obli oblicu cuo o cuyas uyas base basess son son elíp lípticas icas y que que se encue ncuent ntra ran n en plan plano os de canto anto normales.

- Depurado Cilindro recto de revolución, cuyo eje es una

recta paralela al eje H-F. Sus bases son planos de perfil.

Depura rado do de un tron tronco co de cilin ilindr dro o rect recto o cuya cuya base base - Depu inferior es paralela al plano de horizontal de proyección y su base superior es una elipse q se encuentra en un plano normal. El eje de de este cilindro cilindro es una una recta de punta vertical.

- Cilindro en una posición cualquiera, sus bases se

encuentran en planos paralelos entre sí, pero que no tienen posición particular referida a los planos de proyección.

2 SUPERFICIES CÓNICAS: Una superficie cónica se genera por el a. Concepto: movimiento de la recta generatriz sobre la curva directriz, de modo que todas las generatrices en posición cualquier  pasen por un punto llamado vértice de la superficie. Estas superficies también pueden ser abiertas o cerradas.

b. Superficie cónica de revolución: Es la generada por una recta generatriz que gira alrededor  de una recta fija (eje), teniendo entre los dos el punto común, q es el vértice. Todos los puntos de la superficie describen circunferencias cuyos centros se encuentran en el eje.

- Cono es la porción de superficie cónica comprendida

entre el vértice y un plano cualquiera que corta a la superficie según una sección llamada base del cono.

- Tronco de cono es la porcino de superficie cónica

comprendida entre dos planos que pueden ser paralelas o no entre si, y que se llaman bases del tronco.



Depurado de un cono y de un tronco de cono Estos sólidos pueden tener distintas posiciones en relación a los planos de proyección, entre estas tenemos: - Cono de vértice V, cuya directriz elíptica, se encuentra

en un plano paralelo al eje H-F.

- Tronco de cono oblicuo cuyas bases se encuentran en

un plano de canto frontal

- Tronco de cono recto de revolución, su eje es

perpendicular al plano horizontal de proyección, sus bases se encuentran en planos paralelos al horizontal de proyección.

- Cono recto de revolución, la directriz se encuentra en un

plano horizontal paralelo al de proyección, su eje de revolución es de punta vertical.

- Cono oblicuo de vértice V, su directriz se encuentra en

un plano paralelo al plano lateral de proyección.

3 CONVOLUTAS: Las convolutas son unas superficies de curvatura simple, que son generadas por el movimiento continuo de una recta con las siguientes condiciones: Siempre debe ser tangente a una línea de curvatura doble (directriz). • La recta en movimiento es la generatriz. • Dos posiciones infinitamente cerca de la generatriz se cortan de la siguiente manera: •

La primera generatriz corta a la segunda generatriz, pero no a la tercera. ♦ La segunda generatriz corta a tercera generatriz, pero no a la cuarta. ♦

♦

 Así sucesivamente.

- Convoluta helicoidal:

Es la superficie generada por el movimiento de una recta, que siempre se mantiene tangente a una curva de doble curvatura llamada hélice.



Depurado de una convoluta helicoidal: • Se dibuja la hélice de radio r y paso H. •

•

•

Se encuentra el valor del ángulo que forma la hélice. Todas las tangentes de la hélice deben formar el mismo ángulo con el plano de perpendicular al eje de la misma. Tomaremos la generatriz mn y procedemos a determinar sus proyecciones horizontal y frontal de la siguiente manera: Ubicamos uno de los extremos m de la generatriz en la hélice: mH y mF respectivamente en el punto 4. Dado que la generatriz es tangente a la curva, la proyección horizontal de la generatriz mn deberá ser tangente a la proyección horizontal de la hélice; de esto deducimos que la generatriz es una recta frontal, luego mFnF se trazara formando el ángulo con una recta paralela al eje H-F o

o

De esta manera, queda completamente definida la posición de la generatriz en una determinada posición. para hallar rl depurado de la o Finalmente superficie deberemos hallar las proyecciones de la generatriz en distintas proyecciones. o

B.

SUPERFICIES DE CURVATURA DOBLE:

Se puede definir a una superficie de curvatura doble, observando la forma en que son generadas. Existen dos formas para generar  una superficie de curvatura doble:  Por la rotación de una curva plano alrededor de una recta cualquiera considerada como eje.  Por el desplazamiento de una curva plana, que se mantiene siempre en contacto con otra curva cualquiera. La curva que se desplaza viene a ser la generatriz y la curva fija la directriz. Por la forma de su generación, las superficies de curvatura doble se pueden clasificar en las siguientes: (Ver figura 4 y 5) 1. Superficies de Doble Curvatura de Revolución. 2. Superficies de Doble Curvatura cualquiera.

1. SUPERFICIES DE DOBLE CURVATURA DE REVOLUCIÓN. Las superficies de doble curvatura de revolución son infinitas, pero sólo se citaremos aquellas que tienen leyes fundamentales de generación, así como las de uso práctico más general. Por  ello vamos a estudiar las siguientes superficies:  La esfera.  El elipsoide.  El toroide.  El paraboloide.  El hiperboloide. La esfera Es el lugar geométrico de todos los puntos del espacio cuya distancia a un punto fijo es constante. El punto fijo es el centro de la esfera y la distancia constante es el radio. Como se trata de una superficie de revolución puede considerarse a la esfera también, como la superficie generada por el movimiento de rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro. (Ver figura 6 y 7)

a.



Representación de la Esfera en el Depurado: La esfera se representa en el depurado, por las proyecciones de su centro y por las proyecciones de sus circunferencias de contorno. Las circunferencias de contorno, son las circunferencias de tangencia entre la esfera y un cilindro envolvente a

ella, cuyas generatrices son perpendiculares a cada uno de los planos de proyección. Por lo tanto, existirán tres contornos principales de la esfera:  Circunferencia de Contorno horizontal: ch.  Circunferencia de Contorno frontal: cv.  Circunferencia de Contorno lateral: cp. 

Circunferencia de Contorno horizontal. Las generatrices del cilindro envolvente a la esfera, perpendiculares al plano horizontal de proyección, la circunferencia de contorno horizontal, es paralelo al plano de proyección, por lo tanto, su proyección horizontal, es una circunferencia cuyo centro, es el centro de la esfera, y su proyección frontal es un diámetro paralelo al eje HF. (Ver figura 8 y 9)



Circunferencia de Contorno frontal. Las generatrices del cilindro envolvente son perpendiculares al plano frontal de proyección, entonces, la circunferencia de contorno frontal, es paralela al plano frontal; por lo tanto, su proyección frontal es una circunferencia cuyo centro es el centro de la esfera y proyección horizontal es un diámetro paralelo al eje HF. (Ver figura 10 y 11)



Circunferencia de Contorno lateral. Las generatrices del cilindro envolvente son perpendiculares al plano lateral de proyección, entonces, la circunferencia de contorno lateral, es paralela al plano lateral; luego , su proyección lateral es una circunferencia cuyo centro es el centro de la esfera y sus proyecciones horizontal y frontal son perpendiculares al eje HF. (Ver figura 12 y 13) No sería práctico representar a la esfera con todos sus contornos, ya que la existencia de muchas letras y rayas en el depurado, lo complicaría, es por eso, que usualmente se representa a la esfera por las proyecciones de su centro: punto c, y por las proyecciones: horizontal de la circunferencia de contorno horizontal, frontal de la circunferencia de contorno frontal, lateral de la circunferencia de contorno lateral.

Generalmente basta con colocar las proyecciones horizontal y frontal de dichos contornos. (Ver figura 14) 

Problema fundamental de la Esfera: Completar las proyecciones de puntos pertenecientes a la superficie esférica. Problema Nº 1: Se da la proyección horizontal mH de un punto que pertenece a la esfera. Hallar la proyección frontal. (Ver figura 15) Procedimiento:  Por mH trazamos xH proyección horizontal del plano frontal auxiliar, que corta a la esfera en los puntos 12.  En el punto medio de 1-2 se tiene que encontrar w H, centro de la circunferencia de sección del plano X y la esfera.  La proyección wF se encuentra confundido con c F.  Con centro en c FwF trazamos una circunferencia de radio igual a la mitad del segmento 1-2. Esta circunferencia viene a ser la proyección frontal de la sección entre el plano X y la esfera. Sobre esta circunferencia debe encontrarse el punto m.  Por mH llevamos la línea de referencia hasta cortar a la proyección frontal de dicha circunferencia: se obtiene dos puntos de corte: m F y m’F . Quiere decir  que el problema tiene dos soluciones: para una proyección horizontal dada, existe dos proyecciones frontales, o sea en realidad, dos puntos en la esfera: los puntos m y m’.

Problema Nº 2 Dado la proyección mF de un punto que pertenece a una esfera. Hallar las otras proyecciones. (Ver figura 16)

Procedimiento:  Por mF trazamos xF proyección frontal de un plano frontal auxiliar, que corta a la esfera en los puntos 12.  En el punto medio de 1-2 se tiene que encontrar z F, centro de la circunferencia de sección del plano X y la esfera.  La proyección zH se encuentra confundido con c H.  Con centro en cHzH trazamos una circunferencia de radio igual a la mitad del segmento 1-2. Esta circunferencia viene a ser la proyección horizontal de la sección entre el plano X y la esfera.  Por mF llevamos la línea de referencia hasta cortar a la proyección horizontal de dicha circunferencia: se obtiene dos puntos de corte: m H y m’H. Esto significa que el problema tiene dos soluciones, es decir para una proyección horizontal dada, existe dos proyecciones horizontales, o sea en realidad, dos puntos en la esfera: los puntos m y m’.

Problema Nº 3 Se da la proyección lateral m P del punto perteneciente a la esfera. Hallar las otras proyecciones. (Ver figura 17) Procedimiento:  Por la proyección m P trazamos un plano horizontal auxiliar XF paralelo a H-F.  Este plano corta a la proyección lateral de la esfera en los puntos 1-2, que es la proyección lateral de la circunferencia de sección entre el plano X y la esfera.  La proyección frontal del segmento 1-2 también se ve en verdadera magnitud.  El centro de la circunferencia de sección es el punto v. proyecciones vP y vF se encontrarán  Las respectivamente en el punto medio de las proyecciones lateral y frontal del segmento 1-2.  La proyección vH se encuentra confundido con c H.







b.

Con centro en cHvH trazamos una circunferencia de radio igual a la mitad del segmento 1-2. Esta circunferencia viene a ser la proyección horizontal de la sección entre el plano X y la esfera. Llevamos la magnitud de la proyección lateral, a la proyección horizontal, determinando en esta forma las proyecciones m’H y mH. Con una referencia hasta la proyección frontal del segmento 1-2, determinamos las proyecciones m’ F y mH.

El elipsoide de revolución. Es la superficie de revolución generada por la rotación de una elipse alrededor de uno de sus ejes. Se pueden originar dos tipos de elipsoide, ya que la elipse posee dos ejes de distinta medida:  Elipsoide Alargado o Peraltado.  Elipsoide Achatado o Achaflanado. - Elipsoide Alargado o Peraltado.

Es aquel originado cuando la elipse gira alrededor de su eje de mayor medida. Un ejemplo de elipsoide alargado sería una pelota de Rugby. (Ver figura 18) Características:  Todas las secciones de planos que pasan por el eje mayor son elipses iguales a la generatriz.  Todas las secciones ocasionadas por planos perpendiculares al eje mayor, son circunferencias cuyos diámetros son los segmentos de rectas comprendidos entre las proyecciones horizontal o frontal del elipsoide. * - Elipsoide Achatado o Achaflanado. Es el que se origina al hacer girar la elipse alrededor de su eje de menor medida. Por ejemplo un disco deportivo. (Ver figura 19) Características:  Todas las secciones de planos que pasan por el eje menor son elipses iguales a la generatriz.  Todas las secciones de planos paralelos al plano horizontal de proyección son circunferencias.

c.

El toroide. Es la superficie generada por la rotación de una curva plana cerrada, alrededor de un eje cualquiera. La curva y el eje deben ser coplanares. Un caso especial es el Toroide circular que citaremos a continuación:

El Toroide Circular. Es la superficie generada por el movimiento o rotación de una circunferencia, alrededor de un eje cualquiera. Siendo condición indispensable, que el eje y la circunferencia sean coplanares. (Ver figura 20) Elementos. de giro: recta alrededor del cual gira la  Eje circunferencia  Circunferencia Generatriz: es la circunferencia que gira alrededor del eje, generando el toroide.  Radio de giro: es la distancia que existe entre el centro de la circunferencia generatriz y el eje de giro.  Radio de la Generatriz: es el radio de la circunferencia generatriz del toroide.  Centro de giro: es el punto de corte entre el eje de giro y el radio de giro. - Depurado de un Toroide Circular. Para representar el toroide circular determinaremos las proyecciones de una superficie toroidal circular, de tal manera que su eje de giro sea una recta vertical. Vamos a representarlos, tanto en sus proyecciones horizontal y frontal por sus contornos respectivos. - Propiedades Fundamentales:  Todos los planos secantes que pasan por el eje de giro ocasionan en el toroide, secciones que son circunferencias generatrices.  Todos los planos perpendiculares al eje de giro, ocasionan en el toroide, secciones que son dos circunferencias concéntricas.  El plano tangente al toroide y perpendicular al eje de giro tiene como tangencia, una circunferencia cuyo radio es igual al radio de giro de la superficie.

d. El paraboloide. Es una superficie de revolución, generada por la rotación de una parábola alrededor de su eje principal. - Depurado de un Paraboloide de Revolución.

Consideremos una parábola, cuyo eje es una recta paralela al eje HF. Sus proyecciones horizontal y frontal, son parábolas generatrices y su proyección lateral es una circunferencia. (Ver figura 21) - Propiedades Fundamentales: plano secante que pase por el eje del o Todo paraboloide ocasiona en la superficie, secciones que son parábolas generatrices. o Todo plano perpendicular al eje de la superficie, ocasiona en él, circunferencias cuyo centro se encuentra en el eje y su radio es la distancia a la superficie.

e. El hiporboloide. Es una superficie de revolución, generada por la rotación de una Hipérbola, alrededor de uno de sus ejes. Se pueden generar dos tipos de hiperboloide, pues la hipérbola tiene dos ejes: uno real y el otro el eje conjugado o imaginario; y se presentan a continuación: - Hiperboloide de un manto. - Hiperboloide de dos mantos.

- Hiperboloide de un Manto.

Se genera cuando la hipérbola gira alrededor de su eje imaginario. En el ejemplo siguiente consideremos la hipérbola cuyo eje real es paralelo al eje H-F y su eje imaginario es vertical. (Ver figura 22) Propiedades.





Todas las secciones ocasionadas por los planos secantes que pasan por el eje imaginario, son hipérbolas generatrices. Todas las secciones ocasionadas por los planos paralelos al plano horizontal de proyección, son circunferencias, cuyo centro se encuentra en el eje imaginario de la hipérbola y cuyo radio es su distancia a ella.

- Hiperboloide de dos Mantos.

Se genera cuando la hipérbola gira alrededor de su eje real. En este caso tiene la particularidad, que la superficie generada tiene dos hojas. Para nuestro ejemplo consideremos la hipérbola cuyo eje real es paralelo al eje H-F y cuyo eje imaginario es vertical.*

-

Depurado. Para representarlo en el depurado consideremos una hipérbola con sus proyecciones horizontal y frontal, y también la de perfil.  Al girar la hipérbola alrededor de su eje real, va a generar  la superficie de dos mantos. La proyección horizontal y la frontal son iguales y la proyección lateral son circunferencias. - Propiedades Fundamentales: o

o

Todos los planos secantes que pasen por el eje real, ocasionan secciones en la superficie, que son hipérbolas generatrices. Todos los planos perpendiculares al eje real, ocasionan secciones en la superficie, que son circunferencias de radio variable.

2. SUPERFICIES DE DOBLE CURVATURA CUALESQUIERA. Son de una cantidad ilimitada, y por no ser de vital importancia su estudio no serán presentadas en el presente, cabe simplemente mencionarlas como una clase de curvaturas dobles.

C.

SUPERFICIES ALABEADAS

Concepto: Las superficies alabeadas, son aquellas superficies generadas por el movimiento de una recta de una manera ya establecida, de modo que las diferentes posiciones de la recta, aún cuando están infinitamente cerca, siempre se cruzan y nunca logran cortarse, púes en ningún momento las posiciones de esta recta en movimiento son coplanares. Elementos: Los elementos de una superficie alabeada son los siguientes: a) Recta generatriz: Es la recta que en su continuo movimiento, va a formar la superficie alabeada. b) Directriz: Pueden ser una o más líneas rectas o curvas, con la cual la generatriz se mantiene siempre en contacto durante su movimiento continuo, es decir, la generatriz y la directriz en todo momento tienen un punto de contacto. c) Elemento director: Es un ángulo, un plano o cualquier elemento geométrico, con el cual, la generatriz mantiene cierta relación durante su movimiento.

Representación de una superficie alabeada: Una superficie alabada se representa mediante un determinado número de posiciones de la recta generatriz, de tal manera que al final podamos observar la curvatura que la superficie posee. Principales superficies alabeadas: 1. El paraboloide hiperbólico: Sus elementos son: -Generatriz: Es una línea recta -Directrices: Son dos líneas rectas que se cruzan -Elemento director: Es un plano cualquiera. a) Definición: El paraboloide hiperbólico, es una superficie generada por el movimiento de la generatriz, que siempre se mantiene en contacto con las directrices y se mueve paralelamente al plano director. (Ver figura 1)

b) Depurado: Realizaremos el depurado de un paraboloide hiperbólico, cuyas directrices son las rectas mn y pq que se cruzan, la generatriz es la recta ab y el plano director es de canto normal. Procedimiento: - Se traza la proyección frontal de una posición cualquiera de la generatriz, teniendo en cuenta que, como el plano director es de canto normal, entonces esta proyección será paralela a la proyección frontal del plano director. - Como la generatriz se mantiene en contacto con las directrices, es decir, las corta, los puntos a y b se encontrarán respectivamente en cada una de ellas: aF sobre mFnF y bF sobre pFqF; luego, para hallar  aH y bH, trazamos simples líneas de referencia hasta las proyecciones horizontales de mn y pq. - Uniendo los puntos aH y bH obtendremos la proyección horizontal de la generatriz, determinando así una posición cualquiera de ésta. - Finalmente, para encontrar las proyecciones de la superficie alabeada, bastará con repetir el procedimiento anterior las veces que sea necesario. (Ver figura 2)

c) Diversas posiciones del paraboloide hiperbólico: Los paraboloides hiperbólicos, tales que una directriz sea horizontal y la otra inclinada, y que además las proyecciones horizontales de las directrices y las proyecciones horizontales de al generatriz en sus dos posiciones extremas formen un cuadrado, son bastante empleados en la práctica, especialmente en la construcción de techos. d) Ejercicio de aplicación: Vamos a realizar el depurado de un paraboloide hiperbólico cuyas directrices sean: una de ellas paralela al plano frontal de proyección y la otra una recta inclinada cualquiera, de tal manera que las proyecciones de las directrices y las generatrices extremas en el plano frontal de proyección, forman un rectángulo. Procedimiento: - Se trazan las directrices ab y cd y luego las diferentes posiciones de la generatriz perpendicularmente a las rectas ab y cd, formando así un rectángulo en el plano frontal.

- Usando líneas de referencia, se halla la proyección horizontal de la generatriz en diversas posiciones, obteniéndose así, el depurado de la superficie. (Ver figura 3)

2. El helicoide: Sus elementos son: - Directrices: - Directriz curva: Es la hélice - Directriz recta: Es el eje de la hélice

-Elemento director: Es el ángulo constante que forma la generatriz en el transcurso de su movimiento con un plano perpendicular al eje de la hélice. a) Definición: El helicoide, es la superficie generada por el movimiento de una recta, que siempre se mantiene en contacto con una hélice y su eje, y que hace un ángulo constante con un plano perpendicular al eje de la hélice. b) Tipos: Los helicoides se clasifican teniendo en cuenta el valor del ángulo que hace la generatriz en distintas posiciones, con el plano perpendicular al eje de la hélice. -Hélice oblicuo: Cuando el valor del ángulo es cualquiera. -Hélice recto: Cuando la generatriz es paralela al plano perpendicular al eje de la hélice, en este caso el ángulo puede considerarse cero. c) Aplicaciones: Ejemplos de este tipo de superficies podemos encontrar en la vida cotidiana: así tenemos, que los helicoides rectos se utilizan en la construcción de escaleras de caracol, los helicoides oblicuos se emplean en la fabricación de tornillos, etc. d) Procedimiento para la construcción de un helicoide: Debe seguirse el siguiente procedimiento para dibujar un helicoide recto: - Primero, dibujar las proyecciones de la hélice y su eje. En el plano horizontal, la hélice se verá como una circunferencia y su eje como un punto; en el plano frontal, la hélice se verá como una línea curva y su eje como una recta. (Vamos a tomar que el eje es una recta de punta vertical). - Después, dibujar una generatriz, que cortará al eje de la hélice en un punto, cuya proyección horizontal se confundirá con la proyección horizontal del eje. Luego, usando una línea de referencia podemos determinar la proyección frontal del punto de corte, que debe encontrarse en la proyección frontal de la hélice. - Sabiendo que nuestro helicoide es recto, la generatriz debe ser  una recta horizontal, por lo tanto, por el punto de corte de la generatriz con el eje de la hélice, debería trazarse una paralela al eje HF, hallando así la proyección de la generatriz. - Finalmente, cambiando la posición de al generatriz siguiendo el procedimiento anterior, se pude determinar el depurado de la superficie.

3. El conoide: Sus elementos: - Generatriz: Una línea recta - Directrices: - Directriz curva: Una curva abierta o cerrada. - Directriz recta: Ubicada en un plano diferente al de la directriz curva. - Plano director: Plano cualquiera. a) Definición: El conoide, es la superficie generada por el movimiento de una recta llamada generatriz que se mantiene siempre en contacto con una directriz curva y una directriz recta, permaneciendo siempre paralela al plano director. Cuando el plano director es perpendicular a la directriz recta, el conoide se denomina conoide recto, en caso contrario, el conoide es oblicuo. (Ver figura 4) b) Depurado: Vamos a considerar la directriz curva cerrada e, la directriz recta ab, y la generatriz xy, además del plano director que va a ser de canto vertical.  Ahora, para determinar las proyecciones de la generatriz en una posición cualquiera, procedemos de la siguiente manera: - Se traza la proyección horizontal xHyH de la generatriz en forma paralela al plano director. - Esta generatriz cortará a las directrices: en el punto 1H y 2H, y al unir estos puntos estaremos determinando la proyección completa de la generatriz xy. - Finalmente, para hallar el depurado de al superficie, bastará con hallar las proyecciones de la generatriz en diversas posiciones siguiendo el procedimiento anterior. (Ver figura 5)

4. El cuerno de vaca: Sus elementos son: - Generatriz: Una línea recta - Directrices: - Directrices curvas: Dos circunferencias de igual radio que se encuentran en planos paralelos. - Directriz recta: Recta perpendicular a los planos de las directrices circulares que pasa por el punto medio de la línea que une los centros de las circunferencias. a) Definición: El cuerno de vaca, es la superficie generada por el movimiento de una recta llamada generatriz que corta a dos circunferencias paralelas y a la recta que une la línea de los centros de ella y es perpendicular al plano de las circunferencias. b) Depurado: Considerando dos circunferencias paralelas que se encuentran en planos horizontales cuyos centros son los puntos a y b, una recta xy que pasa por el punto medio z de la línea ab que une los centros y es perpendicular al plano de las circunferencias. Procedimiento: - Dado que la generatriz corta a la recta xy, este punto de corte le llamaremos 1 y en el plano horizontal debería estar confundido con la proyección horizontal de xy.

- Luego, por el punto 1H trazamos la proyección frontal de la generatriz cortando las circunferencias en 2 y 3 determinado así 2H y 3H, y con líneas de referencia tendremos 2 F y 3F. - Al unir 2F y 3F se obtiene la proyección frontal de la generatriz buscada (el punto 1F se encontrará en el punto de corte de la prolongación de 2F3F y la recta xFyF). - Finalmente, para obtener el depurado de la superficie, dibujamos la proyección de la generatriz en diferentes posiciones usando el procedimiento anterior. (Ver figura 6)

PLANOS TANGENTES A SUPERFICIES Un plano tangente ha una superficie es aquel que, cuya intercepción del plano con la superficie es solo una recta, siendo esta recta de intercepción perteneciente al plano de tangencia y a la superficie, en este puntos se van ha trabajar solo las superficies generadas por figuras de revolución siendo las tratadas la cónica, la cilíndrica y la esférica. PLANOS TANGENTES A UNA SUPERFICIE CONICA POR UN PUNTO DE SU SUPERFICIE Para generar este plano necesitamos un punto “k” perteneciente a la superficie del cono además de conocer algunos de los elementos del cono como su vértice, su directriz, y el plano de su base. Procedimiento.

Teniendo el punto “k” que pertenece a la superficie del cono la unimos con el vértice “v” de este modo determinando la generatriz del cono. Extendiendo la recta “vk” hasta la intercepción con la directriz encontramos el punto de intercepción “i” que pertenecería al plano de base; por este punto “i” trazamos una recta tangente “t” a la directriz que este contenido en el plano de base; con estas dos rectas que se cortan formaríamos el plano tangente a la superficie cónica. Todas las rectas pertenecientes al plano de tangencia deben interceptar en un solo punto a la superficie cónica. Fig. 1

PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE CONICA POR UN PUNTO EXTERIOR Sea la superficie cónica de vértice “v”, directriz “d” y plano de base “B”. Además el punto exterior “m” por el cual debe trazarse el plano exterior pedido. Procedimiento

Unimos el punto “m” con el vértice “v” generando de este modo la recta “vm” que pertenecería al plano tangente. Alargando la recta “vm” encontramos el punto “i” de intercepción del la recta con el plano de base “B”. Desde “i” trazamos una recta tangente a la directriz siendo el punto de tangencia “s”. Entonces las rectas “is” contenida en el plano base e “iV” que se cortan en el punto “i” determinarían el plano de tangencia. Nota: Como es de ver desde el punto “i” se puede trazar dos tangentes a la directriz por lo que es de deducirse que este problema tendría dos soluciones una con cada una de las rectas tangentes a la directriz. También es claro ver que si el punto de intercepción “i” cae en el interior de la directriz el problema no tendría solución.

PLANOS TANGENTES A UNA SUPERFICIE CILINDRICA Estudiaremos los siguientes casos:  Por un punto a la Superficie.  Por un punto Exterior.  Paralelo a una dirección determinada. PLANO TANGENTE A UN CILINDRO POR UN PUNTO DE SU SUPERFICIE: Sea la superficie cilíndrica de plano de base B, directriz d y dirección de sus generatrices. Trazar a un plano tangente a un cilindro y que pase por el punto m de la superficie. Fig 1.  ANALISIS La tangente entre el plano y el cilindro, se verifican mediante la generatriz g. ahora, bien como el plano tangente debe pasar por el puntote la superficie del cilindro, quiere decir que le punto dado m debe pertenecer a la generatriz de tangente. También se observa, que el plano tangente, debe ser  tangente a la directriz d del cilindro en un punto tal como w. Esto nos lleva a afirmar la intersección del plano tangente y el plano de base es tangente a la directriz en el punto w. En esta forma el plano tangente buscado, queda definido pr  la generatriz, trazada por el punto w que viene a ser la inserción de la generatriz y la directriz. Fig 2.  APLICACIÓN Trazar un plano tangente al cilindro dado y que puede pase por un punto m de su superficie. PROCEDIMIENTO:  Por el punto m se traza la generatriz del cilindro, que es una recta paralela a la dirección vz.







Determinamos la intersección de la recta y la generatriz, con el plano de base, punto de intersección w en la directriz del cilindro. Por el punto w trazamos la tangente a la directriz y en ella tomamos un punto cualquiera tal como el punto s. Esta recta tangente es trazada en proyección horizontal, ya que en ella se verdadera magnitud la directriz y después se halla su proyección frontal. El plano tangente buscado, queda entonces definido por los puntos w, s, m plano tangente wsm.

PLANO TANGENTE A UN CILINDRO DE UN PUNTO EXTERIOR Trazar por un punto exterior c, un punto tangente a un cilindro. Fig 4.  ANÁLISIS DEL PROCESO: • Por un punto exterior dado c, trazamos una recta paralela a la dirección de las generatrices del cilindro. • La recta trazada intercepta al plano de base de la superficie cilíndrica en el punto i. • La tangente del plano de tangente y el cilindro, debe ser  mediante una generatriz y esta debe pasar forzadamente por el punto w. • Podemos observar que desde el punto i pueden trazarse dos rectas tangentes ala directriz, esto significa que el problema planteado tiene dos soluciones: es decir que por  el punto exterior, pueden trazarse dos planos tangentes al cilindro. Los planos tangentes pedidos quedan determinados por  • los puntos ciw ciw´. •

 APLICACIÓN: Trazamos un plano tangente al cilindro que pase por el punto exterior c. El cilindro esta definido por su directriz que se encuentra en el plano paralelo al plano horizontal de proyección y por la dirección vz de sus generatrices. Fig 4. Procedimiento:

Por el punto c trazamos una recta paralela a la dirección vz de las generatrices del cilindro dado. Se determina la dirección iHiH de la recta anterior con el • plano de base del cilindro. Hemos trazado desde el punto i, las tangentes a la • directriz, obteniendo los puntos de tangencia con la misma que son w HwH y w´Hw´H. Como los planos se pueden se pueden estar definidos • por tres puntos cualquiera, nosotros hemos tomado los puntos ciw y ciw´ que son los que forman los planos de tangente buscados Queda entendido, que las generatrices de tangente de los planos con la superficie, también son rectas contenidas en los planos tangentes trazados. •

PLANO TANGENTE A UN CILINDRO Y QUE SEA PARALELO A UNA DIRECCIÓN DETERMINADA. Sea el cilindro definido por su plano de base, directriz y dirección de sus directrices vz. Se trata de pasar de pasar los planos tangentes a dicho cilindro y que sean paralelos ala dirección dada xy. Fig 5.  ANALISIS DEL PROBLEMA: 

Como le plano tangente buscado debe ser paralelo simultáneamente ala dirección vz de la generatrices y ala dirección xy dadas, quiere decir que deberá también paralelo a cualquier plano paralelo a las dos rectas dadas. Por esta razón, si tomamos un punto arbitrario tal como a, y por el tazamos las rectas 1 y 2

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, paralelas respectivamente a xy y vz, se habra formado un plano tangente al cilindro debe ser  paralelo al plano P. Encontramos las intersecciones de las rectas 1 y 2 con el plano de base, definimos los puntos m y n, que unidos forman las rectas de intersección del plano P con el plano de base. Por lo tanto, para obtener el plano tangente buscado, basatara con trazar dos rectas que sean paralelas a dos rectas del plano P, estas rectas deberán ser, la tangente a la directriz y paralela a la recta mn y ala generatriz del cilindro que pasa por el puntote tangencia w.

Se observa que ala directriz se puede trazar dos tangentes, o que sea existirán dos planos tangentes al cilindro que cumplan las condiciones establecidas. PRECEDIMIENTO  Tomemos un punto a cualquiera del espacio, sea aHaF.  Por el punto de referencia, trazamos la recta 1 paralela a la dirección xy, y a la recta 2 paralela a la dirección de las generatrices, del cilindro vz. Con las rectas 1 y 2 queda determinado un plano paralelo a las direcciones dadas ala vez. El plano tangente buscado, deberá ser paralelo a este plano.  Se encuentra la dirección del plano 1-2 con el plano de base del cilindro; para lo cual se determina la intersección de la recta 1 con el plano de base punto n y la intersección de la recta 2s con el plano de base; es el punto m.  Trazamos el plano tangente buscando en la siguiente forma: Se define las tangentes a la directriz y que sean paralelas a la recta mn, los puntos de tangencia vienen a ser los puntos w y w´. Por los puntos de tangencia trazamos las generatrices del cilindro, que van a ser las generatrices de tangencia del plano y el cilindro.

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

En las generatrices buscadas ubicamos puntos arbitrarios tales como s y s´. en igual forma en las rectas tangentes a las rectas tangentes a la directriz, se ubican los puntos arbitrarios k y k´. En esta forma quedan definidos los dos planos tangentes al cilindro y paralelos a la dirección dada; planos que son wsk y w´s´k´. fig 6.

PLANOS TANGENTES A UNA ESFERA Es la intersección de la esfera con un determinado plano en uno o más puntos. En esta oportunidad estudiaremos los siguientes casos: a) b) c) d)

Por un punto de su superficie. Por un punto exterior. Paralelo a una dirección determinada. Que pasa por una recta dada.

 A. PLANO TANGENTE A UNA ESFERA POR UN PUNTO DE SU SUPERFICIE: 

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Por teoría conocemos que el plano tangente a una esfera es perpendicular al radio de la misma, por lo que procedemos a unir el punto de la esfera con su centro, luego por el punto trazamos un plano perpendicular al radio, el cual sería el plano que estaríamos buscando. Procedimiento: dados los puntos O (centro de la esfera) y X (punto de la esfera) ubicados en las proyecciones del plano HF, recurrimos por unirlos para después encontrar el plano tangente que sería perpendicular al radio, pero en primer lugar  tendremos que trazar una horizontal y una frontal desde el punto X para así obtener en Verdadera Magnitud los otros puntos del plano tangente y así obtener lo buscado.

Lo veremos en la figura Nº 1.

B. PLANO TANGENTE A UNA ESFERA POR UN PUNTO EXTERIOR: 

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Por simple conocimiento sabemos que un punto exterior M se pueden trazar varios planos tangentes a la esfera, los cuales van a determinar un lugar geométrico, que en este caso vendría a ser un cono envolvente a la esfera cuyo vértice vendría hacer el punto exterior M, el cual tendría una recta de eje que une el centro de la esfera y el punto dado. Procedimiento: dados los puntos O (centro de la esfera) y M (punto exterior hacia la esfera) ubicados en las proyecciones del plano HF, recurrimos por unirlos para así encontrar el eje del futuro cono, el cual en nuestro caso el eje vendría hacer  una recta de punta vertical, el cual para su mayor facilidad trazamos por el eje un plano auxiliar paralelo al plano frontal este plano corta a la esfera según la circunferencia máxima. Luego trazamos las tangentes que vendrían ser MA y MB, donde AB vendría ser el diámetro de la circunferencia de base del cono al cual lo veremos en Verdadera Magnitud en la proyección horizontal; luego de concluir con todos los procesos indicados faltaría solamente incluir un plano determinado por el punto exterior M. Lo veremos en la figura Nº 2.

C. PLANO TANGENTE A LA ESFERA PARALELO A UNA DIRECCION DETERMINADA: Por simple conocimiento sabemos que un plano tangente paralelo a la esfera va a determinar un cilindro envolvente a la esfera respectiva, en donde el plano de base del cilindro es perpendicular  a la dirección, en todo caso cualquier plano tangente al cilindro sería una solución que estaríamos buscando. •

Procedimiento: dado el punto O (centro de la esfera) y la recta MN ( una proyección horizontal), trazamos desde el centro O de la esfera un plano perpendicular a la recta MN, donde el plano determinado vendría estar de canto vertical. Luego procedemos a cortar la esfera en una circunferencia máxima, cuya proyección frontal vendría a ser una elipse, después tomamos un punto cualquiera en este caso B H y BF por donde trazamos la recta BC que sería tangente a la directriz, ya concluido el procedimiento cabe recordar que el plano hallado sería uno de los infinitos planos que podemos determinar. Lo veremos en la figura Nº 3.

D. PLANO TANGENTE A UNA ESFERA QUE PASA POR UNA RECTA: Por simple conocimiento sabemos de que la recta debe estar de punta para hacer el proceso más fácil para así hallar lo que estaríamos buscando. •

Procedimiento: dado el punto O (centro de la esfera) y la recta AB , vamos a tratar de formar un plano tangente a la esfera por lo que tomaremos a la recta AB como una proyección horizontal de modo que su vista de punta se halle directamente en un cambio de plano, sabiendo también que en la proyección horizontal vamos a tener una circunferencia