Superficies orientadas

2.6.2. Superficies Orientadas. La definición de las integrales de superficie de campos vectoriales involucra el concepto de superficies orientadas o superficies orientables, que son superficies en las que se  pueden identificar identif icar dos caras c aras o lados, en aquellas a quellas superficies en las que se identifica un solo lado se denominan como superficies no orientables.

Una superficie S   es una superficie orientada si existen, para un mismo mismo punto ( x, y, z )  perteneciente a la superficie S , dos vectores normales n1  y n2 , uno por cada una de las caras de la superficie S , que son colineales y opuestos entre sí, es decir, n2 = − n1 . En donde n1  es una función continua para cada todos los puntos superficie, es decir,

(

, y , z )  ubicados sobre la

que el vector n1   está variando continuamente sobre toda la

superficie S , excepto, quizás, en un número finito de puntos en su frontera, puntos que se denominan como  puntos singulares  singulares  de la superficie; por tanto se definen dos orientaciones para cualquier superficie orientable, una al tomar un vector unitario n1 sobre un punto

(

, y, z )  perteneciente a la superficie S , y otra cuando se toma al vector

unitario n2 , como se muestra en la Figura 61. La elección de la orientación de una superficie, es para permitir la distinción entre una dirección y la otra, ya que una de ellas se va a identificar como la orientación positiva de la superficie.

n1

n2

Figura 61. Superficie Orientada.

Cuando la superficie S  esta definida de manera explicita por la expresión  z = f ( x, y ) , el vector normal unitario determina una orientación de la superficie S   que viene dada por la expresión

  ∂ f  ∂ f    − −   1 ∂ y ∂ x n =  , ,  2 2 2 2 2 2   ∂ f   ∂f    ∂f   ∂f   ∂f   ∂f      +   + 1   +   + 1   +   + 1   ∂x   ∂y   ∂x   ∂y    ∂ x   ∂y  

Al observar este vector, se puede decir que la superficie S   tiene una orientación hacia arriba, al observar que la componente en la dirección del eje z  es positiva.

Si S   es una superficie suave orientable, dada en forma paramétrica por una función vectorial  g : ℜ2 → ℜ3 / g ( u , v ) = ( g1 ( u , v ) , g 2 (u , v ) , g 3 ( u , v ) ) , entonces en este caso una orientación para esta curva vendría dada por en vector normal unitario n=

 g u × g v  g u × g v

y − n  definiría la orientación opuesta. El concepto de superficies orientables es aplicable tanto a superficies cerradas como a superficies no cerradas. Por convención cuando S  una superficie cerrada, es decir, que la superficie S  es la frontera de una región sólida B, con B ⊂ ℜ3 , se ha establecido que la orientación positiva es el lado de la superficie en la que los vectores normales señalan hacia fuera de la región sólida  B, mientras que la superficie cuyas normales apunten hacia el interior de la región B, indican la orientación negativa de la superficie S 

Como contraejemplo de superficies orientables, por ejemplo, observamos en la Figura 62, la cinta de Möbius, en la cual se observa que la misma tiene un solo lado, es decir, no es una superficie orientable. Es posible construir esta cinta tomando una tira rectangular larga y delgada de papel, darle media vuelta y unir sus extremos. Al hacerlo, si se traza una línea de color a lo largo de la cinta terminaremos en el punto en el que se inicio la línea.

Figura 62. Cinta de Möbius.