Superficies Cuádricas

Superficies Cuádricas Se denominan superficies cuádricas a todas aquellas superficies que pueden ser definidas mediante una ecuación de segundo orden Estas figuras responden a la siguiente expresión cuadrática general: P(x, y, z)= A x2 + B y2 +C z2 + 2D xy + 2E xz + 2F yz + 2G x + 2H y + 2I z + J = 0 siendo las más importantes el elipsoide, hiperboloide, paraboloide, los conos y los cilindros. A continuación se exponen las citadas superficies acompañadas de sus respectivas ecuaciones referidas a su sistema de ejes:

El elipsoide.- Un elipsoide es la superficie engendrada por una elipse de semiejes variables a y b que se mueve perpendicularmente al eje 2c de una segunda elipse, de forma que los extremos del eje 2a se apoyan continuamente sobre la segunda elipse, y el eje 2b varía según una relación de semejanza establecida respecto del eje 2a.

Esferoide.- Un esferoide es un elipsoide de revolución, es decir, la superficie que se obtiene al girar una elipse alrededor de uno de sus ejes principales.

Esfera.- es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro.

Hiperboloide de una hoja.- Es el cuerpo engendrado por una elipse que se mueve de forma paralela y semejante a sí misma, apoyando continuamente los extremos de sus ejes sobre las dos ramas de una hipérbola.

Hiperboloide de dos hojas.- Si la elipse del cuerpo anterior se apoya únicamente en la parte interior de una rama de la hipérbola y posteriormente en la otra, entonces resulta el hiperboloide de dos hojas.

Cono elíptico.- Un cono elíptico es el cuerpo engendrado por una recta que, pasando continuamente por un punto O, se apoya sobre dos elipses paralelas e iguales situadas simétricamente respecto de un plano que contiene al punto citado.

En caso de que a = b, se trata de un cono circular o de revolución. Paraboloide elíptico.- El paraboloide, análogamente a la parábola en las secciones cónicas, es una superficie sin centro que, en el caso general de ser elíptico, se define como: Aquella superficie que engendra una elipse variable al moverse de forma perpendicular sobre el eje de una parábola, de forma que mantiene constantemente los vértices de uno de sus ejes sobre dicha curva.

En caso de que a = b, se trata de un paraboloide circular o de revolución. Paraboloide hiperbólico.- Es la superficie engendrada por una hipérbola que, conservándose semejante a sí misma, se mueve a lo largo de una parábola directora.

También puede definirse como la superficie generada por una parábola que, conservándose semejante a sí misma, se mueve a lo largo de una de las ramas de una hipérbola directora.

Cilindros: La ecuación general de las cuádricas puede representar también superficies cilíndricas, cuyas secciones correspondientes son curvas de segundo orden denominadas directrices del cilindro. Según sea la curva directriz, el cilindro puede ser elíptico, hiperbólico o parabólico, definiéndose respectivamente como: La superficie engendrada por una elipse, hipérbola o parábola que se mueve paralelamente a sí misma, manteniendo su centro o vértice sobre una recta perpendicular a su plano. -

Cilindro elíptico:

En caso de que a = b, se trata de un cilindro circular o de revolución. -

Cilindro hiperbólico:

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Cilindro parabólico:

Bibliografía: http://www.matematicas.unam.mx/gfgf/ga20092/lecturas/scuadricas.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Esfera http://www.dcb.unam.mx/CoordinacionesAcademicas/Matematicas/GeometriaAnalitica/isc.pdf