Super Cepat Matematika SMA (BAB 20. Limit)

Bab 20 Limit INDIKATOR Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Trik 20A (Cara Sebenarnya ) lim x→a

turunan pembilang pembilang . = lim x → a turunan penyebut penyebut

Asalkan : kalau x diganti a ⇒ pembilang=0 & penyebut=0 . (Bentuk 0/0) Contoh : 1).

x2 − 5x + 6 = ... x→2 x2 + 2x − 8

lim

(UN 2008)

a. b.

2 1 1 c. 3 1 d. 2 1 e. − 6 Jawab

Turunan pembilang / turunan penyebut = lim

x→2

2x − 5 1 = − 2x + 2 6

[e].

112

2).

Cara Super Cepat & Trik MATEMATIKA siap UN & SNMPTN

lim x→2

sin(3 x − 6). cos(4 x − 8) = ... tg (5 x − 10)

a.

−

b.

-1

c.

3 5

d.

1

e.

2 3

3 4

Jawab : Cara cepat : lihat koefisien x ( jangan yang di cos) :

3 5

[c].

(lihat trik 1b)

Cara sebenarnya : (pakai trik 1a) sin(3 x − 6). cos(4 x − 8) x→2 tg (5 x − 10) 3 cos(3 x − 6). cos(4 x − 8) + sin(3 x − 6).(−4) cos(4 x − 8) = lim x→2 5 sec 2 (5 x − 10) 3 cos 0. cos 0 + sin 0.(−4) cos 0 = 5 sec 2 0 3.1.1 + 0.(−4).1 = 5 .1 3 = [c]. 5

lim

(Note : mencari turunan pembilang dan turunan penyebut pada soal ini menggunakan rumus: f = u.v ⇒ f ’ = u’.v + u.v’)

Intelectual property of LM.Umar Reky RR, S.Si, M.Si, [email protected], 0812-4567 9341

20. Limit

113

B. Limit 0/0 trigonometri

Trik 20B. Limit 0/0 trigonometri yang operasinya hanya “/”&”×” Sin dan tg ambil koefisien x nya saja ( cos …jangan). Cara ini berlaku kalau operasi antar sukunya hanya “×” dan “/” dan kalaupun ada cos harus cos yang jika dimasukan angka limitnya didapat cos 0 .

3).

lim x →0

4 x 4 sin 9 x..tg 4 x. cos 5 x = .... tg 2 3x. tg 4 2 x

a. ∞ b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Jawab : lihat koefisien x, ( cos jangan) : 4. 9. 4 = 1 2 4

[b].

3. 2

4).

lim x →0

sin 6 x. cos 2 x. = .... tg 3x

a. ∞

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

Jawab : lihat koefisien x , ( cos jangan) : 6 = 2 3

[c].

Buku ini disesuaikan menurut SKL UN dan SNMPTN tiap tahun (terbit tiap januari), dapat didownload di supercepatmatematika.blogspot.com

114

5).

Cara Super Cepat & Trik MATEMATIKA siap UN & SNMPTN

lim x→2

(3 x − 6) = ... sin( 4 x − 8) −

a.

2 3

b. -1

c.

Jawab : lihat koefisien x :

6).

lim x→2

1 2

3 4

d. 1

e.

3 4

d. 1

e.

3 4

[e].

tg (3 x − 6) = ... sin(5 x − 10)

a.

−

2 3

b. -1

c.

Jawab : lihat koefisien x :

3 5

3 [c] 5

UN 2004 7). Nilai

lim x→0

a. -8

1 − cos 4 x = .... 2 x b. -4

c. 2

d. 4

e. 8

Jawab : lim x →0

1 − cos 4 x x2

**)

=

4 sin 4 x x →0 2x

lim

***)

=

4 .4 = 8. 2

[e].

**) turunan pembilang/turunan penyebut ***) ambil koefisien x

Intelectual property of LM.Umar Reky RR, S.Si, M.Si, [email protected], 0812-4567 9341

20. Limit

115

C. Limit ∞/∞ ∞

Trik 20C. Limit tak hingga hanya dipengaruhi oleh variabel (x) dengan pangkat terbanyak. Pembilang

Lim

Lim

x pangkat terbanyak

= x→ ∞

x→ ∞ x pangkat terbanyak

Penyebut

Contoh : 8). lim

a 0 + a1 x 1 + a 2 x 2 + ..... + a m x m am x m = lim x →∞ b x n b0 + b1 x1 + b2 x 2 + ..... + bn x n n

9). lim

20 x 3 + 30 x 2 + 28 x + 11 = ... 4 x 3 + 6 x 2 + 8 x + 13

x →∞

x→∞

a. 4

b. 5

c. 6

d. 7

e. 8

Jawab: koefisien x pangkat terbanyak :

10). lim x→∞

20 =5 4

[d].

(3 x − 1)(2 x − 4)(12 x + 17) = ... (1x − 1)(2 x + 5)(6 x − 74)

a. 4

b. 5

c. 6

Jawab: koefisien x pangkat terbanyak :

d. 7

e. 8

3.2.12 =6 1 .2 .6

[d].

Buku ini disesuaikan menurut SKL UN dan SNMPTN tiap tahun (terbit tiap januari), dapat didownload di supercepatmatematika.blogspot.com

116

Cara Super Cepat & Trik MATEMATIKA siap UN & SNMPTN

Bentuk Soal Matematika IPA, SNMPTN 2008 11). lim

x→∞

x 2 + 7 x + 10 − 5 x 2 + 3x + 23 = ... 6x a. 1- 7 b. 1+ 7 c. 1- 10 d.

1+ 5 6

e.

1− 5 6

Jawab : Lihat x pangkat terbanyak :

lim

− 5x 2

1x 2

x →∞

6x

=

1− 5 . [e]. 6

D. Limit ∞ - ∞

Trik 20D. lim x→∞

ax 2+bx+c 1 - ax 2+dx+c

2

=

a (b - d) 2a

Rumus ini diperoleh dengan mengalikan sekawannya lalu diambil koefisien x pangkat tertingginya.

Intelectual property of LM.Umar Reky RR, S.Si, M.Si, [email protected], 0812-4567 9341

20. Limit

117

Bentuk Soal UN 2009 12).

lim 4x 2 - 8x + 9 - 4x 2 + 20x + 25 = ....

x →∞

a.

-7

b. − 4

1 2

c. - 4 d.

1 2

e.

3

Jawab : 4 (- 8 - 20) = -7 2.4

[a].

(Note : Jika salah satu suku tidak dalam tanda akar maka ubah dulu. Contoh : -2x-5 = - (2x+5) = - (2x + 5) 2 = - 4x 2 + 20x + 25 ).

E. Tambahan Bentuk ∞ - ∞ koefisien atau pangkat tertingginya BERBEDA , hasilnya ∞ atau - ∞ . Contoh : 13). 14).

lim 5x 2 - 8x + 9 - 4x 2 + 20x + 25 = ∞ (sebab 5x2 lebih banyak daripada 4x2)

x →∞

lim 8x + 9 - x 2 + 20x + 25 = − ∞ (sebab 8x lebih kecil daripada x2)

x →∞

15). lim 8x + 9 − 20x + 25 = − ∞ . (sebab 8x lebih kecil daripada 20x) x →∞

Bentuk ∞ - ∞ koefisien pangkat tertingginya SAMA Kali dengan sekawannya sehingga menjadi bentuk ∞ /∞ lalu ambil pangkat tertingginya (seperti cara mendapatkan rumus trik 1d).

Buku ini disesuaikan menurut SKL UN dan SNMPTN tiap tahun (terbit tiap januari), dapat didownload di supercepatmatematika.blogspot.com

118

Cara Super Cepat & Trik MATEMATIKA siap UN & SNMPTN

Bentuk ∞ + ∞ hasilnya makin ∞ . Contoh : 16). lim x 2 - 8x + 9 + 2x 2 + 20x + 25 = ∞ + ∞ = ∞ . x →∞

17). lim 8x + 9 + 20x + 25 = ∞ + ∞ = ∞ . x →∞

Intelectual property of LM.Umar Reky RR, S.Si, M.Si, [email protected], 0812-4567 9341