Sumatorias Propiedades Ejercicios

COLEGIO UNIVERSITARIO

PROF. JOSÉ LORENZO PÉREZ RODRÍGUEZ

ESTADÍSTICA I SUMATORIA Al presentarse la suma de una secuencia numérica, en donde destaquemos cierta secuencia u orden en los sumandos que se van a sumar, podemos esa suma abreviarla bajo un signo, el que denominaremos sumatoria. Tenemos por lo tanto que la sumatoria,

n

∑ak k m

es una forma de expresar la suma de

=

los términos de una sucesión, términos que se obtienen dando a la variable k valores enteros comprendidos entre dos límites escritos en la parte superior del símbolo ∑ de sumatoria

Identificación,

n

Signo sumatoria

Valor donde termina la sumatoria

∑x

Término a sumar

i

i =1

Valor por el cual comienza la suma Exprese las siguientes sumas mediante el símbolo Ejemplos: sumatoria. 5 2 2 2 2 2 a) S=1 + 2 + 3 + 4 + .... + n

∑ xi

b) S= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + n(n+1)

1 2 3 n c) S = + 2 + 3 + ... + n 2 2 2 2 1 2 3 n d) S = + 2 + 3 + ... + n 2 2 2 2

i =1 n

∑ xi i =1

= x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 =x1 + x 2 + x3 + x 4 + ..... + x n

d) S = 2 1 + 3 2 + 4 3 + .... + n +1 n

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SUMATORIA-PROPIEDADES 1. La sumatoria de la suma de dos o más términos, es igual a la suma de las sumatorias separadas de los términos. n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ ( xi + y i ) = ∑ xi + ∑ y i 2. La sumatoria de la diferencia de dos o más términos es igual a la diferencia de las sumatorias separadas de los términos. n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ ( x i − y i ) = ∑ xi − ∑ y i 3. La sumatoria de una constante multiplicada por una variable es igual a la constante multiplicada por la sumatoria de la variable. n

∑ a.xi i =1

n

= a.∑ xi i =1

4. La sumatoria de una constante es igual a la constante multiplicada por el número que indique los límites de la sumatoria. n

∑ a = n.a x =1

En la práctica frecuentemente se comenten algunos errores, los cuales los cuales mencionaremos para que no se incurra en ellos. 2



 n  Es falso el tomar a ∑ x =  ∑ x  ya que son valores completamente diferentes i =1  i =1 



Otro error se comete es decir que

n

2

n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ xi yi = ∑ xi .∑ yi

ya que son términos diferentes.

PRO. JOHNNY LACRUZ P.

EJERCICIOS. 1.—Escribe los términos de cada una de las siguientes sumatorias. 4

n

5

a )∑ ( X i + 2)

c )∑ Ui ( Ui + 6 )

b )∑ fi X i 2

i =1

i =1

N

i =1

4

d ) ∑ (YK2 − 4 )

e )∑ 4 X iYi

K =1

i =1

2.-- Dadas dos variables X e Y toman los valores X1= 2, X2= -5, X3= 4, X4= -8 y Y1= -3, Y2=-8, Y3=10, Y4= 6. Calcula : 4

4

4

a )∑ X i

b)∑Yi

 f )∑ Xi  i =1

    .  ∑Yi    i =1 

i =1

i =1

4

∑ X i = −4 y i =1

4

d)∑ X i 2

i =1

4

6

3.—Si

4

c)∑ X iYi

e)∑Yi 2

i =1

i =1

n

4

h)∑ ( X i +Yi ) ( X i −Yi

g)∑ X i .Yi 2 i =1

i =1

6

6

i =1

i =1

) 6

∑ X i2 = 10 , Halle: a )∑ (2X i + 3)

b)∑ X i ( X i − 1) i =1

6

c)∑ (X i − 5)2 i =1

4.—Dos variables U y V toman los valores U1= 3, U2= -2, U3= 5 y V1= -4, V2= -1, V3= 6, respectivamente. Calcule: 3

3

b)∑ ( Ui +3 ) (Vi − 4 )

a )∑ U iV i i =1

i =1

3

e )∑ U iV i 2 i =1

n

f)∑ (U i2 − 2Vi 2 + 2) i =1

4

5.—Dado

3  n  c)∑Vi d)  ∑ Ui   ∑Vi  i =1  i =1   i =1  n U  g)∑  i  Vi  i=1 

3

∑Xi = 7 i =1

4

4

∑Yi = −3

y

i =1

4

∑X Y i =1

2

2

= 5 Halle:

i i

4

b)∑ ( X i − 3 ) ( 2Yi + 1)

a )∑ (2X i + 5Yi ) i =1

i =1

6.-- Desarrolle las siguientes sumatorias. 4

a)∑ xi = i =1

3

5

b )∑ f i .x i =

c)∑ x 2 =

i =1

x =1

3

d )∑ 3i = i =1

3

e) ∑ m( x − y ) = m =1

f )∑ ( x j + y j ) = 3

j

j =1

g )∑ f i ( xi − 20 ) = h)∑ ( 2 xi + 4 ) = i )∑ 5 x i = j )∑ ( 2 xi + y i − 6 z i ) = k )∑ ( Ay j + j ) = 3

i =1

2

7

4

2

2

i =1

i =0

i =1

j =1

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SUMATORIA----EJERCICIOS Desarrolle las siguientes sumatorias 8

5

 12  b) ∑   K =1 k 

k −1

ñ) ∑ ( 20 − 2k )( − 1)

k = −1

4

j ) ∑ ( k + 3)( k − 4 )

o) ∑ ( k + 3)( − 1)

k) ∑ (k 3 − k )

p) ∑ ( k + 5)

l ) ∑ ( k 2 + 3k − 7 )

q)∑ ( k + 1)

ll ) ∑ ( 3k 3 + 5k 2 + k − 3)

r)∑ ( k 2 − 7)

3k − 5k + 9 m) ∑ 2k − 1 k = −2

s ) ∑ ( 2k + 3 )

k = −2

d ) ∑ ( 2k + 1)

4

k = −3

k = −3

k =0

4

k

g ) ∑ ( k + 3)

n+3

k = −3

k = −3

k =4

n −1

2

3

2

3

k =1

2

3k + 1 f )∑ 2 k =0 6

4

n

k = −1

k =2

k

k = −2

5

3

k

k =0

6

k =3

e) ∑ ( 5 − k )

9

i ) ∑ ( k + 4 )( k − 1)

c ) ∑ ( 2k − 4 )

k

k =0

5

7

5

n) ∑ k ( − 1)

k =3

k =0 4

5

h) ∑ ( k − 1)( k + 2 )

a) ∑ k

2

k = −2

Desarrolle las siguientes sumatorias N

a) ∑ ( K + 1)

2

K =0

n

b) ∑ e −kx Senkx = k =2

( −1) k −1 e kx e) ∑ = 1+ k 4 k =0 n

m

i )∑ k k 4 + Sen k =1

5

k =0

f ) ∑ Lg ( k + 1) =

kπ = 2

2

6

c) ∑ ( 2 − 3k ) =

2

k = −2

3  kπ  j ) ∑ Sen 2   = k =0  4 

d )∑ ( 2 + 3k )

2

( − 1) g )∑ k =1 k ( k + 1) k

n

n

k )∑ k 3 = k =1

k −4

k =1

k ( − 1) ( k + 2 ) = h) ∑ k k =1 k ( k + 1) 2 n +1 ( k + 3)( k + 4 ) l) ∑ 1+ k 2 n

=

k = −2

1 = k =3 ( 2k + 1)( 2k − 1) m

ll ) ∑

HOJA DE EJERCICIOS Nº 1 1. El valor de dos (2) variables X e Y, de una población es de 50 y 70 respectivamente. i. ¿Cuál es la razón entre X e Y? ii. ¿Cuál es la proporción de cada variable? iii. ¿Cuál es el porcentaje de cada variable? 2. En una población de 240 datos y de dos variables X e Y el porcentaje de X [P(X) ] es de 35%. PRO. JOHNNY LACRUZ P.

i. ii. iii.

¿Cuál es valor de cada variable? ¿Cuál es la proporción de cada variable? ¿Cuál es la razón entre X e Y?

3. En una población de tres (3) variables X, Y y Z el valor de cada una de ellas es: 60, 40 y 80 respectivamente. i. Halle la razón entre X e Y; entre Z y X y entre Y y Z. ii. Halle la proporción de cada variable. iii. Halle el porcentaje de cada variable. 4. En una población de cinco (5) variables el valor de cada una de ellas es: X 1 = 150; X2 = 200; X3 = 180; X4 = 160 y X5 = 300. i. Calcule la razón entre: X3 y X1; X4 y X2 y X5 y X1 ii. Verificar que la suma de las proporciones es igual a uno (1) iii. Calcule el porcentaje de cada variable. 5. En una población de dos (2) variables X e Y la razón entre X e Y es de 5 a 3 y el total de ellas es 240. i. Halle el valor de cada variable. ii. Calcule la proporción de cada variable. iii. Calcule el porcentaje de cada variable. 6. En una población de tres (3) variables X, Y y Z, la razón entre X y Z es de 5 a 9 y la proporción de Y es 0,3, sí el total de la población es de 720. i. ¿Cuál es el valor de cada variable? ii. Halle la razón entre X e Y, entre Z e Y. iii. ¿Cuál es la proporción de cada variable? iv. ¿Cuál es el porcentaje de cada variable? 7. Dada la siguiente tabla i 1 2 Xi 3 5 Yi 5 7

3 7 2

4 8 9

5 0 3

6 9 0

7 1 6

8 4 3

8. Hallar el valor de las siguientes sumatorias: 8

4

∑( 3 X

a)

∑

b) i

− Yi )

i =1 6

i =1 6

∑

e)

∑

f) ( 2.X i + 4 )

  i ) ( X i + Yi 2 )  i =2 

∑

( X i2 + Y3 )2

i =2

∑ ( 2.X

∑( X

j)

2 6

i

+4)

i =3

 5  c ) X i .Yi   i =2 

∑ 7

∑X

g)

i

i +1

− Yi −1 )

+1

7

∑( X

k)

i =4

i −1

7

2

i =2

7

i =2 8

( X i − Yi )

∑( X

d)

2 i

− Yi 2 )

i =3 4

∑X

h)

2 i

+3

i =1

− Yi +1 )2

i=2

9. Expresar en forma de sumatoria las siguientes expresiones: PRO. JOHNNY LACRUZ P.

a ) x1 + x2 + x3 + x3

b )x12 + x2 2 + x3 2 + x4 2 + x5 2

c )( cx3 + y0 ) + ( cx4 + y0 ) + ( cx5 + y0 )

d )x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + 5

e )( 4 x3 + 7 ) + ( 4 x3 + 7 ) + ( 4 x3 + 7 ) + ( 4 x3 + 7 )

f )( x2 + x2 + x2 + x2 + x2 ) + 6 2

n

10.Sabiendo que:

∑X

X =

i =i

n

i

y

Y=

n

∑Y

i

i =1

. Demostrar que:

n n

n

∑

A)

( X i − X ),( Yi − Y ) =

i =1

∑

 n   Yi  n   = Yi −  i =1  n i =1

∑

∑ (Y − Y ) ∑ 2

i

i =1

∑(X n

C)

i

−X

i =1

∑(X n

X i .Yi −

∑ ∑Y i =1

(

)

n

∑

n

2

)

− X =0

i

− X 0 ) − n. X − X 0 = 0

i =1

∑( X

i =1

 n   Xi    X i −  i=1  n

) =∑ 2

i

i =1

2

i

D) E)

n

i =1

n

B)

n

Xi .

∑ (Y − Y ) n

i

F)

i =1

n −1

 1  n 2 1  = Yi − n − 1  i=1 n  

∑

∑

 Yi   

2

   

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