Suma de Riemann (Calculo)

SUMA DE RIEMANN Definición & Representación Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo). Las sumas de Riemann más sencillas son las

siguientes:

.

Una suma de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos

adyacientes de anchura común

y de alturas

situados entre el eje

de los abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente).

Sumas de Riemann S'n de una misma función, con n = 5 rectángulos; n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el área total de los rectángulos se aproxima al área delimitado por el eje de

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos: La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde

haciendo de esta como un promedio entre la

suma superior e inferior de Darboux. Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que: Podemos obtener las siguientes igualdades:

(donde C es constante)

Suma de Riemann superior e inferior. Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces: 

La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

S(f, P) =

cj (xj - xj-1)

donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj]. 

La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

I(f, P) =

dj (xj - xj-1)

donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

Variación de las sumas de Riemann Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces: 

La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta. Es decir: I(f, P)

I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:



La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye. Es decir:

S(f, P')

S(f, P) para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye.

Integral de Riemann superior e inferior. Funciones RiemannIntegrables Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define: o

la integral superior I*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }

o

la integral inferior I*( f ) = sup { I(f, P) : P es partición de [a, b] }

Entonces si I*( f ) = I*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la

integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:

f(x) dx Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición.

Caracterización de las funciones Riemann-Integrables Supongamos que f es una función acotada definida en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f es integrable Riemann si y sólo si para todo

> 0 existe

al menos una partición P tal que | S(f, P) - I(f, P) | < donde S(f, P) es la suma superior de f respecto de la partición P, e I(f, P) es la suma inferior de f respecto de la partición P

Sumas de Riemann - Si P = { x0, x1, x2, ..., xn} es una partición del intervalo cerrado [a, b] y f es una función definida en ese intervalo, entonces la Suma de Riemann de f respecto de la partición P se define como:



R(f, P) =

f(tj) (xj - xj-1)

donde tj es un número arbitrario en el intervalo [xj-1, xj].

la suma de Riemann corresponde geométricamente con la suma de las áreas de los rectángulos con base xj - xj-1 y altura f(tj).

Tipos de aproximación de la integral Por tanto, surge la duda de qué punto tj tomar dentro de cada subintervalo de la partición para evaluar la función en ese punto. En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto tj en el subintervalo [xj-1, xj], y las más utilizadas son éstas: - Punto izquierdo: se toma como valor tj el límite inferior del subintervalo, es decir, xj-1. Gráficamente:

- Punto derecho: se toma como valor tj el límite superior del subintervalo, es decir, xj. Gráficamente:

- Punto medio: se toma como valor tj el punto medio entre los límites del subintervalo, es decir, (xj-1 + xj) / 2. Gráficamente:

- Punto aleatorio: se toma como valor tj un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo. Gráficamente:

- Punto ínfimo: se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj) es el ínfimo en ese subintervalo. Gráficamente:

- Punto supremo: se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj) es el supremo en ese subintervalo. Gráficamente:

Los dos últimos tipos de aproximación no son útiles en la práctica, pues para aplicarlos sería necesario calcular el ínfimo o el supremo de f(tj), teniendo que recorrer todo el subintervalo. Pero esto no es necesario; ¿Por qué? Si una función es Riemann-Integrable, podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(f,P) tomando tj como queramos. Veamos esto: si la función es Riemann-Integrable, cualquier suma de Riemann R(f, P) tiende al valor de la integral, porque para cualquier punto tj tenemos que dj f(tj) cj (siendo djel ínfimo y cj el supremo en ese subintervalo), luego I(f,P) R(f,P) S(f,P).

Funciones Riemann-Integrables



Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.



Toda función continua y acotada en un intervalo cerrado y acotado, excepto en una cantidad numerable de puntos, es RiemannIntegrable.



Recíprocamente, si una función acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable, entoces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos.



Toda función monótona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.

 EJEMPLOS Ejemplo # 1 Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función: ,límites

La suma de Riemann representa la suma de las areas sobre el eje la suma de las areas debajo del eje respecto al eje

, menos

; esa es el área neta de los rectángulo

.

Ejemplo # 2 Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la izquierda de la siguiente función: ,límites

Ejemplo # 3 Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función: ,límites

Ejemplo # 4 Evaluando la suma de Riemann en cinco subintervalos tomando los puntos medios de la siguiente función: ,límites

Teorema fundamental El teorema más elemental es el siguiente: Para toda función continua en el intervalo [0, 1] las sumas de Riemann convergen a la integral de f en el intervalo:

Prueba El intervalo I = [0,1] es un espacio métrico compacto por lo que toda función continua lo es de manera uniforme (según el teorema de Heine): la continuidad en I se escribe :

es decir que el número α depende de x (y de ε), mientras que en la continuidad uniforme se puede encontrar un número α que sirva para todos los x de I:

Tomemos un ε > 0 cualquiera, y un α > 0 que verifica la relación anterior.

Luego existe un natural n tal que la parte entera de

(basta con tomar

,

).

Para todo x

en

luego

,

lo que también se escribe:

Integrando la relación anterior en

se obtiene la

siguiente: Luego sumando los

con k variando de 0 a n - 1 se

obtiene:

lo que equivale a:

.

El valor de ε puede ser arbitrariamente pequeño (cercano a cero) con tal de tomar n lo suficientemente grande. Luego la relación anterior pasa al límite y

da: Se demuestra de manera muy parecida la convergencia de la otra suma de

Riemann, pues en

también tenemos

.

Ejemplos 1) Historicamente se ha sabido calcular sumas muy antes de medir áreas mediante integrales. Por esta razón el primer ejemplo utiliza el teorema en el sentido original de definir una integral gracias a las sumas de Riemann. El primer área que necesitó cálculos elaborados fue la definida por la parábola: la cuadratura de la parábola fue resuelta por Arquímedes en el siglo III adC aproximando una porción de parábola por triángulos cuyas superficies forman una sucesión geométrica. Utilizar rectángulos en vez de triángulos permite utilizar las sumas de Riemann. Se establece por inducción la relación muy conocida que da la suma de los primeros cuadrados: Luego:

2) ¿Hacia qué valor tiende la sumas de los n inversos empezando por En otras palabras, ¿cuál es el límite de la sucesión

?

cuyos

primeros términos son:

y así sucesivamente?

El término general es acotado por

, es

y 1 (se mira el número de términos multiplicado por el

menor y el mayor respectivamente), es decreciente (al pasar de un a un+1 se

añade

pero se quita

que es mayor) luego la sucesión

converge.

3) Hallar el límite del producto

cuando n tiende hacia el

infinito. Para trasformar un producto de factores estrictamente positivos en una suma se

usa el logaritmo:

.

El factor n tiende hacia el infinito, mientras

que

que es estrictamente

negativo porque la función integrada

es estrictamente negativa en

[0,1] salvo en el punto aislado 0 donde es nula. Luego tanto

.

y por

GENERALIZACIONES

A otros intervalos Si en vez de trabajar con una función definida en [0, 1] escojemos un intervalo compacto cualquira [a, b], que seguimos cortando en n subintervalos de misma

longitud

obtenemos una aproximación del área bajo la curva de f

por n rectángulos de área

total

, aproximación

que se vueve más precisa a medida que crece n, luego el teorema es el siguiente:

La prueba es idéntica a la con el intervalo [0, 1] porque en la demostración sólo se utiliza la compacidad del intervalo. Otro argumento es emplear el cambio de variable para pasar de una función fdefinida en [a, b] a otra, g, definida en [0, 1]: Concretamente:

.

Así por el teorema en [0, 1],

y: variable:

con el cambio de .

Ejemplo:

A otras subdivisiones Hasta el momento se ha descompuesto el intervalo de estudio, [0, 1] o [a, b] en n segmentos de misma longitud, es decir que se ha utlizado una subdivisión regular del intervalo. Una subdivisión cualquiera ζ de [a, b] es definida por los números x0, x1 ... xn tales que

Se denota δ(ζ) la

mayor longitud de los intervalos [xk-1, xk] (k entre 1 y n): Con una subdivisión dada ζ se puede definir naturalmente dos sumas que denotaremos

El teorema que generaliza el teorema fundamental es el siguiente: Para toda función continua en un intervalo [a, b] las sumas de Riemann convergen hacia la integral de f cuando δ(ζ) tiende hacia cero:

A otros puntos de cálculo Hasta ahora se ha calculado la función a uno u otro extremo de cada segmento, por sencillez; sin embargo la demostración del teorema sigue válida sin esta restricción, lo que permite generalizar aun más las sumas de Riemann escogiendo en cada intervalo [xk-1, xk] el punto de cálculo de la función,

suma es entonces

.

. La

Funciones escalonadas

.

El área rojo oscuro mide

, el área total

coloreada (rojo + verde) ide

El teorema es, sin sorpresa, el

mismo: Los puntos de cálculo también pueden ser implícitos, ya que para hallar la suma se precisa conocer las imágenes

y no los

mismos.

La función f siendo continua en cada intervalo [xk-1, xk], cada valor vk entre el ínfimo

y el supremo

es la imagen de un punto (por lo menos) del

intervalo

por lo que

una suma de Riemann, donde los

es

son implícitos (y de hecho, desconocidos).

En particular

son

las sumas de Riemann de menor y mayor valor respectivamente asociadas a la subdivisión ζ. Se llaman sumas de Darboux y corresponden a integrales de funciones escalonadas que mejor acotan a f:

y, por

definición

misma de la integral de Riemann,

de

, es decir de

es el límite común

cuando δ(ζ) tiende

hacia cero.

rapidez de convergencia Las sumas de Riemann constituyen un método efectivo pero aproximativo de cálculo de integrales. Para obtener una precisión impuesta de antemano, ¿Cuantos cálculos se necesitan? es decir, concretamente, ¿Qué valor mínimo de n escoger? (hay que tener en cuanta que cuando crece n crece la precisión del cálculo pero también el tiempo que consumirá dicho cálculo). Más importante aun: ¿Qué método elegir? Aquí se entiende por método la manera de escoger los puntos ξk de cálculo de la función en cada intervalo [xk-1, xk].

Método de los rectángulos El llamado método de los rectángulos es el caso más sencillo, la de la

subdivisión regular del intervalo [a, b] en n segmentos, con los puntos de cálculo de la función a un extremo de cada segmento: Sea

el valor máximo de la derivada en valor absoluto. Entonces el error entre la suma de Riemann S y la integral

verifica:

Prueba: Tomemos n = 1; en tal caso, la suma es S = (b-a)f(a). Tenemos (por integración)

luego: Al pasar del caso n = 1 al caso n cualquiera se remplaza el intervalo [a, b] por otro de longitud n veces menor, es decir se remplaza en la fórmula b - a por hay n pequeños

anterior:

, luego se multiplica por n el error porque intervalos

con

la

longitud

es el error máximo.

Este error se alcanza con una función tan sencilla como la lineal f(x) = mx (aquí M1 = |m|) lo que implica que este

método dista mucho de ser eficaz: un error en enorme:

tiende muy lentamente hacia cero.

Método de los puntos medios

se considera

Los puntos donde se calculan la función son los centros de los intervalos

El método de los puntos medios es el segundo caso más común, es una variante del anterior, con una única diferencia: Se toman como puntos de cálculo los centros de los segmentos de la subdivisión regular.

La suma es

.

Sea el valor máximo de la segunda derivada en valor absoluto.

Entonces el error

verifica:

.

Prueba: Tomemos como anteriormente n = 1, por tanto la suma de Riemann es

. da, integrando entre c y x (si hace falta, se remplazan

los valores absolutos por una desigualdad doble) y luego

.

Observamos que .

Luego

: desigualdad triangular en integrales,

luego (1) da:

. Con n cualquiera,

se vuelve

que se multiplica

por n pourque hay n intervalos. El error es acotado por un término en mejor que el

lo que es mucho

del método anterior porque converge hacia

cero mucho más de prisa.

METODO DE LOS TRAPECIOS

El área del trapecio azul es el mismo que el del rectángulo verde y de los rectángulos adyacientes rojos

El método de los trapecios consiste en aproximar la integral por el área total de los trapecios que tocan la curva en los dos vértices que no están sobre el eje horizontal (ver figura azul). La suma es La suma es

.

Tres interpretaciones del área obtenida por el método de los trapecios

A primera vista (ver figura azul) no corresponde a una suma de Riemann; sin embargo como todo trapecio tiene la misma área que un rectángulo de misma base, esta suma corresponde a la figura verde, donde los puntos de cálculo de la función son abscisas de puntos de intersección de la curva con los lados horizontales de los rectángulos verdes (por ejemplo el punto A); estos puntos siempre existen, en cada intervalo [xk-1, xk], por el teorema de los valores intermedios: del

rectángulo,

intervalo

es

un

valor .

alcanzado

, que es la altura por f porque

pertenece

al

Para estimar la rapidez de convergencia, es conveniente mirar al área equivalente roja. El área total (color rosado) está compuesta por: * dos rectángulos de media anchura, el error es acotado como en el caso de un intervalo de longitud

en el método de los

rectángulos (punto de cálculo en un extremo del intervalo), es decir por

y

* n - 1 rectángulos de anchura

con puntos de cálculo

centrales (como el punto B de la figura) luego el error es acotado por Luego el error total es inferior o igual

a un término en

; por tanto es acotado por .

Sin embargo, otro cálculo da un resultado más sencillo que prescinde de

M1:

,

es

decir

que

el

error

máximo es exactamente el doble del error máximo cometido en el método de los puntos medios. A pesar de lo último, este método tiene la ventaja sobre el de los puntos medios de no obligar a calcular

otros valores de la función salvo los

que a

menudo ya se han calculado previamente a la estimación de la integral.

ALGUNAS APLICACIONES BÁSICAS DE LA INTEGRAL DE RIEMANN (ÁREAS, VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN, LONGITUDES DE ARCO)

AREAS PLANAS:

El concepto de integral definida en el sentido de Riemann está indisolublemente unido al cálculo de un área plana delimitada por segmentos cualesquiera (no necesariamente rectilíneos). El área S barrida por una curva continua sobre un intervalo cerrado [a, b] puede considerarse igual a la suma de las áreas de los rectángulos de base infinitesimal que pueden ser construidos en dicho intervalo cubriendo el área S:

Área Barrida sobre un intervalo en el eje de abcisas:

Un área cualquiera se obtiene siempre como suma o resta de áreas barridas sobre un intervalo en el eje de abscisas:

EL ÁREA DEL CIRCULO:

VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN: Entendiendo

por

volumen

de

revolución

el

cuerpo

tridimensional

engendrado por un área plana que da vueltas alrededor de un eje (eje de simetría del volumen), se tienen los volúmenes más conocidos:

- Cono de revolución: lo engendra el área plana que define un triángulo rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus catetos. - Cilindro de revolución: lo engendra el área plana que define un rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus lados. - Esfera: la engendra un semicírculo cuando gira alrededor del diámetro. El volumen V de revolución engendrado por el área que define una curva continua f(x) sobre un intervalo dado del eje de abcisas puede considerarse igual a la suma de los infinitos cilindros de altura infinitesimal que pueden ser construidos por cortes perpendiculares al eje de simetría del volumen V (el volumen del cilindro infinitesimal: superficie de la base –circulo de radio f(xi)-

por la

altura

∆xi,

o

está

sea,

dado

∏.f(xi)2.∆xi

por

EL VOLUMEN DEL CONO:

La curva que barre el área del triángulo sobre el intervalo del eje de abscisas es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Si el cono se coloca en la posición de la figura, es la recta que pasa por los puntos (0,R) y (h,0), siendo R el radio del cono y h su altura. Por consiguiente, la ecuación de la curva es:

Y el volumen viene dado por la integral:

EL VOLUMEN ESFERA:

DE LA

Considerando a la esfera centrada en el origen de coordenadas, el volumen se obtiene de inmediato resolviendo la correspondiente integral. Si integramos entre los límites 0 y R, resulta el volumen de la semiesfera, por lo que, multiplicando por 2 se obtiene el volumen de la esfera completa:

EL VOLUMEN DEL CILINDRO:

Un cilindro de radio R y altura h es engendrado por el área de un rectángulo de lados R y h cuando ésta rota alrededor del eje que contiene al lado h. Considerado el rectángulo en la posición de la figura, la función que barre el área es ahora la recta horizontal y = R, por lo que el volumen resulta de inmediato:

LONGITUDES DE ARCO DE CURVA: La longitud infinitesimal de un arco de curva, dL, puede calcularse mediante

el

teorema

de

Pitágoras

con

expresión

de

magnitudes

infinitesimales. La longitud de un arco cualquiera para una curva continua e integrable Riemann, se obtendría como la suma infinita de tales longitudes infinitesimales de arco. El elemento infinitesimal de arco, ∆Li, se obtiene de los elementos

infinitesimales de longitud según la dirección de ambos ejes coordenados mediante el teorema de Pitágoras:

LA LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA: Podemos determinar la longitud de una circunferencia mediante la aplicación

de

la

anterior

integral,

sin

más

que

considerar

una

circunferencia cualquiera con centro en el origen de coordenadas y determinando la longitud del arco comprendido en el primero de los cuatro cuadrantes del plano (cuarta parte de la circunferencia). Multiplicando por 4 el resultado de la integral, esto nos dará la longitud de toda la circunferencia.

Se tiene:

SUPERFICIES LATERALES DE REVOLUCIÓN : Del mismo modo que hemos determinado la manera de calcular el volumen de un cuerpo de revolución considerando sucesivos cortes trasversales perpendiculares al eje de simetría del volumen escribiendo el volumen del cilindro infinitesimal que definen dos cortes sucesivos y efectuando una suma infinita, también podemos determinar el área lateral de todo el cuerpo de revolución considerando la superficie lateral del cilindro infinitesimal que definen dichos dos cortes sucesivos y realizando una suma infinita. Quedaría así:

Superficie lateral del cilindro elemental (longitud de la circunferencia de la base por la generatriz, dl, infinitesimal del cilindro):

SUPERFICIE LATERAL DE UN CONO DE REVOLUCIÓN:

SUPERFICIE DE LA ESFERA:

Sumas de Riemann