Sujet Maths Bac Blanc

BACCALAURÉAT « BLANC »

SESSION 2012

MATHÉMATIQUES

Série S

DURÉE DE L’ÉPREUVE : 4 h 00. – COEFFICIENT : 7

Exercice 1 (5 points)  u0 = 1 On considère la suite (un) définie par  pour tout entier naturel n.  un+1 = un + 2n+ 3 1. Etudier la monotonie de la suite (un). 2. a) Démontrer par récurrence sur n que, pour tout entier naturel n, un > n2 . b) Démontrer par l’absurde que la suite (un) est divergente et en déduire sa limite. 3. Calculer les trois premiers termes de la suite et conjecturer une expression de un en fonction de n. 4. En considérant les n +1 égalités : u n +1 − u n = 2n + 3

u n − u n −1 = 2(n −1) + 3 …

= …

u1 −u 0 = 3

a) Démontrer que u n +1 − u 0 = 2

n

∑k + 3(n +1) . k =0

b) En déduire l’expression de u n en fonction de n et vérifier ainsi la conjecture précédente.

Exercice 2 (5 points) Dans l’ensemble des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d’argument π . 2 1. Montrer que 2.

(1+ i)6 = −8i .

On considère l’équation (E) : z2 = −8i .

a) Déduire de 1. une solution de l’équation (E). b) L’équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique. 3. Déduire également de 1. une solution imaginaire pure de (E’) : z3 = −8i . 2π . 3 a) Déterminer l’affixe b du point B, image de A par r, ainsi que l’affixe c du point C, image de B par r. Ecrire b et c sous forme algébrique et exponentielle. b) Montrer que b et c sont solutions de (E’).

4.

On considère le point A d’affixe 2i et la rotation r de centre O et d’angle

r r 5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v) a) b)

Quelle est la nature du triangle ABC ? Déterminer le centre de gravité du triangle.

Exercice 3 (4 points) Pour chaque question une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 1/2 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la note est ramenée à 0. r r r Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j , k) , on donne le point S(1 ; −2 ; 0) et le plan P d’équation x + y − 3z + 4 = 0 . 1. Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaire au plan P est :  x = 1+ t  A :  y = 1− 2t  z = −3  2.

 x = 2+ t  B :  y = −1+ t C :  z = 1− 3t 

 x = 1+ t   y = −2 − 2t D :  z = 3t 

Les coordonnées du point d’intersection H de la droite D avec le plan P sont : A : (−4 ; 0 ; 0)

 6 −9 −3  ; B:  ;  5 5 5 

 7 −2 1  ;  C:  ;  9 3 3

3. La distance du point S au plan P est égale à : 3 11 A: B: C: 11 3 4.

 x = 2+ t   y = −1+ t (t réel).  z = −3 − 3t 

9 11

 8 −25 9  ; ;  D:   11 11 11 

D:

9 11

On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L’intersection de la sphère S et du plan P est égale : A : au point I(1 ; −5 ; 0).

B : au cercle de centre H et de rayon r = 3

C : au cercle de centre S et de rayon 2. 3 10 . r= 11

10 . 11

D : au cercle de centre H et de rayon

Exercice 4 (6 points) On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électronique. On modélise cette situation à l’aide d’une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre réel strictement positif λ . Pour tout réel t de l’intervalle [0 ; +∞[ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est p ( [ 0; t [ ) =

t

∫ λe

−λx

dx .

0

Une étude statistique, montrant qu’environ 50 % d’un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser p ( [ 0;200 [ ) = 0,5 . 1. Montrer que λ =

ln2 . 200

2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près.

3.

On admet que la durée de vie moyenne dm de ces composants est la limite quand A tend vers +∞ de

∫

A

0

λ xe−λ xdx .

A l’aide d’une intégration par parties, montrer que 4.

En déduire que d m =

1

λ

∫

A

0

λ xe−λ xdx =

−λ Ae− λ A − e−λ A + 1 . λ

. Que représente d m pour la variable aléatoire X ?

On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près.