Sudoku

 

Sudoku

Um problema Sudoku difícil… vermelho

… e sua solução, marcada em

Sudoku, por vezes escrito Su Doku, (em japonês (em japonês:: 数独, sūdoku) é um

quebra-cabeça baseado na colocação lógica de números números.. O objetivo do jogo é a colocação de números de 1 a 9 em cada uma das células vazias numa grade de 9×9, constituída por 3×3 subgrades chamadas regi regiõe ões. s. O queb quebra ra-c -cab abeç eça a cont contém ém algu alguma mass pist pistas as inic inicia iais is.. Ca Cada da coluna, linha e região só pode ter um número de cada um dos 1 a 9. Resolver o problema requer apenas raciocínio lógico e algum tempo. Os prob proble lema mass sã são o no norm rmalm almen ente te cl clas assi sifi ficad cados os em re rela laçã ção o à su sua a realização. O aspecto do Sudoku lembra outros quebra-cabeças de  jornal  jornal..

História Garnss adic Garn adicio iono nou u ao quad quadra rado do la lati tino no uma uma terc tercei eira ra dime dimens nsão ão e aprresen ap esento tou u sua no nova va cria criaçã ção o co com mo uma grad grade e pa parrci cial alme ment nte e preenchida onde o solucionador deveria preencher os demais quadros vazios. As primeiras publicações do sudoku ocorreram nos Estados  Estados  Unidos no fina finall do doss anos anos 197 1970 0 na revis revista ta nort norte-amer e-americana icana Math Puzzles and Logic Problems , da editora Dell Magazines, especializada em desafios e quebra-cabeças. A editora deu ao  jogo o nome de Number Place, que é usado até hoje nos Estados Unidos. Em 1984, 1984, a Ni Niko koli li,, ma maio iorr empr empres esa a japo japone nesa sa de qu queb ebra ra-c -cab abeç eças as,, descobriu o jogo e decidiu levá-lo àquele país. O nome Sudoku é a

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abreviação japonesa para a longa frase, suuji wa dokushin ni kagiru ( 数字は独身に限る ) que significa os dígitos devem permanecer únicos; e é uma mar arca ca regis egistr trad ada a da Ni Niko koli li.. Em jap apo onês a palav alavrra é pronun pro nuncia ciada da [sɯːdokɯ], em portu portuguê guêss pro pronun nuncia cia-se -se sudoku. Em 1986, depois de alguns aperfeiçoamentos no nível de dificuldade e na 1986, distribuição dos números, o sudoku tornou-se um dos jogos mais vendidos vendi dos do Japão, Japão, onde os jogo jogoss numér numéricos icos são mais popula populares res que palavras-cruzadas e caça-palavras, caça-palavras, que não funcionam muito bem na língua japonesa. Outras editoras japonesas que lançaram o produto referem-se ao jogo como colocando os números, ou como "Nanpure". Algumas editoras não japonesas soletram o título como "Su Doku". Apesar de toda a popularidade no Japão, o sudoku não conseguiu atrair a mesma atenção no Ocidente até o fim de 2004, quando Wayne Gould - um juiz aposentado de Hong Kong, Kong, que também era fã de quebra-cabeças e programador de computador - viajou a Londres  Londres  para convencer convencer os editores do  The Times a publicar o sudoku. Gould havi ha via a cr cria iado do um progra programa ma de com comput putado adorr qu que e ge gera rava va jogo jogoss de sudoku com vários níveis de dificuldade e não estava cobrando nada 2004  por ele. O Times decidiu arriscar e no dia 12 de novembro de 2004  publicou seu primeiro sudoku. Ediouro) No Brasil, Brasil, o Sudoku é publicado pelas Revistas Coquetel (Ediouro) desde o início de 2005 2005.. Em Portugal Portugal,, ele começou a ser publicado em Maio de 2005 pelo jornal Público e actualmente já existem muitas publicações portuguesas de formato bolso, como é o caso do Extreme Sudokus da Editora Momentos de Relax ou Super Sudokus da Editora  JEA. Estão disponíveis no mercado brasileiro duas opções. A revista Sudoku (ta (taman manho ho grand grande) e) e Su Sudo doku ku de bo bols lso o, em form format ato o ma mais is portátil.

Funcionamento Sudoku Os numerais no re jogonum por comodidade; astes relações aritmé ari tmétic ticas as ent entre numera erais is são sãousados abs absolu olutam tament ente e irr irrele elevan vantes (nã (não o requer lógica para cálculos matemáticos). Qualquer combinação de símbolos distintos como letras, formas, ou cores podem ser usadas no  jogo sem alterar as regras. Por exemplo, algumas variações usam letras, como Scramblets da Penny Press e Sudoku Words da Knight Features Syndicate. Dell Magazines, o criador do jogo, tem utilizado números para Number Place em suas revistas desde a sua primeira publicação em 1979. Numerais são utilizados através deste artigo.

A atração do jogo é que as regras são simples, contudo, a linha de raciocínio requerida para alcançar a solução pode ser complexa. O Sudoku é recomendado por alguns educadores como um exercício para o pen pensam sament ento o lóg lógico ico.. O nível de dificuldade pode ser selecionado para combinar com o público. Existem diversas fontes na

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Inte Interrnet net não li liga gad das a edit editor oras as que disp dispo oni nibi bili lizzam os jog jogos gratuitamente. Seu formato é mais frequentemente uma grade de 9×9 constituída de sub-grades de 3×3 chamadas de regiões (outros termos incluem caixas, blocos, algumas vezes porém o termo quadrante é utilizado, apesar de ser um termo impreciso para uma grade de 3×3). Algumas célula cél ulass já con contém tém núm número eros, s, chamad chamadas as com como o númer números os dado dados s (ou algumas vezes  pistas). O objetivo é preencher as células vazias, com um número em cada célula, de maneira que cada coluna, linha e região contenham os números 1–9 apenas uma vez. Portanto, na solução do jogo, cada número aparece apenas uma vez em qualquer um dos sentido ou regiões, daí portanto "únicos números" originaram o nome do jogo ou enigma.

Métodos de solução

A região 3×3 no canto superior direito. O solucionador pode eliminar todas as células vazias no canto superior direito que contenham um 5 nas mesmas colunas ou linhas. Isto deixa apenas uma célula possível (destacada em verde). A estratégia um enigma ser considerada co comp mpre reen ende derr para um uma aresolver comb combin inaç ação ão de três trpode ês pr proc oces esso sos: s: faze fazerr como um uma a varredura visual, fazer marcações, e análise.

Varredura A varredura é executada no início e durante toda a solução. As varreduras somente têm que ser executadas uma vez entre períodos da análise. A varredura consiste em apenas duas técnicas básicas: •

Cruzamento: a var arrredur edura a das linh linhas as (ou co colu lun nas as)) pa parra

identificar que linha em uma região particular pode conter um dete de term rmin inad ado o núme número ro por por um pr proc oces esso so do elim elimin inaç ação ão.. Es Este te processo é repetido então com as colunas (ou linhas). Para resultados mais rápidos, os números são verificados por ordem     1

 

de freqüência freqüência.. É impor importante tante executar sist sistematic ematicament amente e este processo, verificando todos os dígitos 1–9. •

Conta Con tarr de 1–9 nas re regi giõ ões es,, li linh nhas as,, e co colu luna nas s pa para ra identificar os números faltantes. contar baseada no último

número descoberto pode fazer com que a busca seja mais rápida. Também pode ser o caso (tipicamente em enigmas mais difíceis) que a maneira a mais fácil verificar o valor de uma célula individual é contando no inverso — isto é, fazendo a varredura da região da célula, linha, e coluna para identificar os valores que não podem ser, a fim de se descobrir o que resta. Os solucionad solucionadores ores avançados avançados procuram procuram contingências ao faz azer er a varredura — isto é, estreitando a posição de um numeral dentro de uma fileira, coluna, ou região a duas ou três células. Quando estas células todas se encontrarem dentro da mesma fileira (ou coluna) e região, elas podem ser usadas para finalidades de eliminação durante as etapas de cruzamento e contar.[1] Particularmente os enigmas mais desafi des afiado adores res podem podem req requer uerer er múl múltip tiplas las con contin tingên gência ciass par para a ser serem em descobertos, talvez em direções múltiplas ou mesmo cruzamentos múltiplos. Os enigmas que podem ser resolvidos apenas fazendo-se a varr va rred edur ura a sem sem ne nece cess ssid idad ade e de de dettecta ectarr as co cont ntin ingê gênc ncia iass sã são o classific classi ficado adoss como como eni enigma gmass fáceis; enig enigma mass mais ais difí difíce ceis is,, por definição, não podem ser resolvido pela varredura básica somente.

Marcações Fazerr a varr Faze varred edur ura a e de dete term rmin inar ar quan quando do ma mais is ne nenh nhum um nú núme mero ro adicional pode ser descoberto. Deste ponto em diante, é necessário fazer algumas análise lógicas. Muitos acham útil guiar esta análise através da marcação dos números possíveis (candidatos) nas células em branco. Há duas formas populares: notação subscrita e pontos. Na notação os in números possíveis são (t (tam aman anho ho pequ pesubscrita quen eno) o).. O inco conv nven enie ient nte e a es este te éescritos qu que e ossubscritos desa desafi fios os orig origin inai aiss impr impres esso soss em um jo jorn rnal al são são ge gera ralm lmen ente te dema demasi siad ado o pequ pe quen enos os pa para ra acom acomod odar ar mais mais do qu que e algu alguns ns dígi dígito toss da es escr crit ita a norm no rmal al.. Quan Quando do se util utiliz iza a da nota notaçã ção o su subs bscr crit ita, a, o so solu luci cion onad ador or geralmente cria uma cópia maior do desafio e utiliza um lápis bem apontado ou lapiseira lapiseira.. A segu segund nda a no nota taçã ção o us usa a um padr padrão ão de pont pontos os de dent ntro ro de ca cada da quadrado, onde a posição do ponto representa um número de 1 a 9. Os esquemas do ponto diferem e um método é ilustrado aqui. A notação do ponto tem a vantagem que pode ser usada no enigma original. A destreza é necessária para colocar os pontos, já que os pontos posicionados em lugares errados ou inadvertidos conduzem inevitavelmente à confusão e podem não ser fáceis de apagar sem

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gerar mais confusão. É recomendado utilizar um lápis bem apontado com uma borracha na extremidade.

Um método para marcar números prováveis em uma única célula colocando pontos com lápis. Para reduzir o número dos pontos usados em cada célula, o marcação deveria ser feita somente depois que o número númer o máximo possí possível vel tiver sido adicionado ao desaf desafio io atra através vés da varr va rred edur ura. a. Os po pont ntos os sã são o ap apag agad ados os a me medi dida da que que os nú núme mero ross correspondentes são eliminados como candidatos. Uma técnica alternativa, que alguns acham mais fácil, é marcar  os núme nú mero ross de um uma a cé célu lula la que que não pod podem em se ser. r. As Assi sim m um uma a cé célu lula la começará vazia e quanto mais restrições se tornam conhecidas, vaise lentamente preenchendo. Quando somente uma marca ou número faltar, aquele deverá ser o valor da célula. Uma vantagem deste método de marcação é que, pressupondo que nenhum erro seja feito e as marcas podem sobrescritas com o valor da célula, não há mais necessidade de borracha para apagar. Ao usar a marcação, uma análise adicional pode ser executada. Por exemplo, se um dígito aparecer somente uma vez nas marcações escritas dentro de uma célula, então está claro qual o dígito que deve estar lá, mesmo se a célula tiver outros dígitos marcados. Ao usar a marc ma rcaç ação ão,, al algu guma mass regr regras as si simi mila lare ress ap apli lica cada dass em uma uma orde ordem m espe es peci cifi fica ca pode podem m reso resolv lver er todo todo o Sudoku se sem m ne nece cess ssid idad ade e de retornar os passos anteriormente feitos.

Metodologias As duas principais metodologias para a análise são a eliminação do candidato e tentativa-erro. Na eliminação do candidato, o progresso é feito através de sucessivas elim elimin inaç açõe õess de núme número ross ca cand ndid idat ato o de uma uma ou mais mais cél célul ulas as pa para ra deixar apenas uma opção. opção. Depois Depois que cada resp resposta osta foi conse conseguida guida,, uma outra varredura pode ser executada, geralmente verificando os efeitos das contingências (incertezas). A metodologia da eliminação candidato trabalha-se identificando células célula s combi combinada nadas s. As pilhasdoseriam combinadas dentro de uma     1

 

linha particular, coluna, ou região (bloco) se duas células contiverem  p, q) e mais nenhum outro, ou o mesmo par de números candidatos ( p se três células contiverem o mesmo trio de números candidatos ( p, q, r ) e mais nenhum outro. A colocação destes números seja lá onde mais for dentro desse mesmo bloco, faria com que a solução das células combinadas impossível; assim, os números candidatos ( p  p, q, r ) que aparecerem em outras células da mesma linha, coluna ou região (bloco) podem ser eliminadas. Este prin Este princí cípio pio func funcio iona na tamb também ém com com subc subcon onju junt ntos os do doss nú núme mero ross  p, q), e candidatos, isto é, se três células tiverem candidatos ( p, q, r ), ), ( p (q, r ) ou apenas ( p  p, r ), ), ( p  p, q), e (q, r ), ), todos os valores de ( p  p, q, r ) em qualq qu alque uerr outr outra a pa part rte e de dent ntro ro de dess sse e me mesm smo o co conj njun unto to po pode dem m ser ser eliminados. O princípio é verdadeiro para todas as quantidades de números candidatos. Um segundo princípio relacionado é também verdadeiro. Se, dentro de qu qual alqu quer er conj conjun unto to de cé célu lula lass (l (lin inha ha,, colu coluna na ou re regi gião ão), ), um conjunto de números candidatos pode somente aparecer dentro de um número de células iguais à quantidade de números candidatos, as células e os números são combinados e somente aqueles números podem pod em apa aparec recer er nas nas células células combin combinada adas. s. Out Outro ross can candid didato atoss nas células combinadas podem ser eliminados. Por exemplo, se os dois números (  p p, q) podem somente aparecer em duas células dentro de uma combinação específica de células (linha, coluna ou região), todos os candidatos restantes naquelas duas células podem ser eliminados. O primeiro princípio é baseado nas células onde somente os números comb co mbin inad ados os apar aparece ecem. m. O segu segund ndo o é ba base sead ado o no noss nú núme mero ross qu que e aparecem somente em células combinadas. A validade de um ou outro princípio é demonstrada fazendo-se a pergunta, 'Colocando o núme nú mero ro elim elimin inad ado o im impe pedi diri ria a a conc conclu lusã são o da dass ou outr tras as co colo loca caçõ ções es necessárias?' se a resposta à pergunta é 'Sim', então o número candidato na pergunta pode ser eliminado. As técnicas avançadas contém con tém estes est es mes mesmos mos concei conceitos tos além de inclui incluirr múltip múltiplas las lin linhas has,, colunas, e regiões nas análises. Na maneira tentativa-erro, uma célula com somente dois números candidatos é selecionada, e uma suposição é feita. As etapas acima são repetidas a menos que uma duplicação for encontrada ou uma célula ficar com nenhum candidato possível, em que caso o candidato alternativo é a solução. Em termos lógicos, isto é conhecido como reductio ad absurdum. Nishio é um forma limitada desta para esta maneira: para cada candidato para uma célula, a pergunta a ser feita será: Colocando um número em particular impedirá a conclusão das outras colocações desse número? Se a resposta for sim, então esse candidato pode ser eliminado. A metodologia e se requerer lápis e borracha. Esta metodologia pode ser desdenhada pelos puristas da lógica como tentativa e erro (e a maioria dos desafios publicados são construídos para se assegurar de que nunca seja necessário recorrer     1

 

a esta esta tát tática ica,) ,) mas pode pode encon encontra trar-s r-se e as sol soluçõ uções es razoav razoavelm elment ente e rápido. Id Idea ealm lmen ente te é nece necess ssár ário io que que se de desc scub ubra ra um uma a co comb mbin inaç ação ão de técnicas que evite alguns inconvenientes dos elementos acima. A contagem de regiões, linhas e colunas pode parecer chato. Escrever números candidatos nas células em branco pode consumir tempo. A técnica da “tentativa-erro” pode ser confusa, a menos que você seja muito organizado. O objectivo é encontrar uma técnica que minimize a contagem, a marcação de números candidatos, e necessidade de apagá-los. Se por acaso utilizar a técnica tentativa-erro, é porque o criador do desafio não tem gosto pelo jogo, e é a favor do método da força bruta, estando assim porventura a eliminar alguma da beleza do  jogo, que é precisamente de encontrar uma solução com base em raciocínio lógico e não em suposições.

Níveis de dificuldade Publicadores de passatempos geralmente classificam-nos por nível de dificu dif iculda ldade. de. Sur Surpre preend endent enteme emente nte o número número de pis pistas tas dad dadas as tem pouca ou nenhuma relação com o nível de dificuldade do jogo. Um  jogo com um número pequeno de pistas dadas pode ser muito fácil de resolver, e um jogo com um número maior do que a média de pistas dadas pode ser extremamente difícil de resolver. A dificuldade de um jogo está mais baseada na relevância e no posicionamento das dicas dadas do que a quantidade de números. números. Solucionadores por computador podem estimar a dificuldade que terá um ser humano para encontrar a solução, baseado na complexidade técn técnic ica a de so solu luçã ção o ne nece cess ssár ária ia.. Esta Esta es esti tima mati tiva va perm permit ite e qu que e os publicadores personalizem seus enigmas de Sudoku às audiências com co m di dive vers rsos os níve níveis is de expe experi riên ênci cia. a. Algu Alguma mass ve vers rsõe õess digi digita tais is oferecem diversos níveis da dificuldade. A maioria das publicações classifica seus enigmas do Sudoku em quatro níveis de dificuldade, embora, devido a sua subjetividade, os pontos reais de corte dos níveis e inclusive os nomes dos níveis possam variar amplamente. Tipicamente, entretanto, os títulos de alguns jogos são classificados de "fácil", "intermediário", "difícil", e "desafiador".

Construção É po poss ssív ível el es esta tabe bele lece cerr grad grades es in inic icia iais is co com m ma mais is de um uma a so solu lução ção possível e estabelecer grades com nenhuma solução, mas tais não são considerados enigmas apropriados para o Sudoku; assim como na

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maiori maio ria a do doss outr outros os enig enigma mass de ló lógi gica ca pu pura ra,, um uma a ún únic ica a so solu lução ção possível é esperada. Construir um enigma manualmente pode ser executado eficientemen eficie ntemente te atrav através és da pré-d pré-determ eterminação inação das dicas e desig designando nando a elas somente os valores necessários para que se consiga fazer um progresso dedutivo. Também uma dica indefinida pode ser adicionada para que não se impeça a solução de nenhum valor em particular ou que de tal maneira seja colocado um valor diferente na grade antes que a construção esteja terminada; o solucionador deve ser capaz de fazer faz er as mesmas mesmas deduçõ deduções es det detend endo-s o-se e nesta nestass su supos posiçõ ições, es, já que nesse ponto a dica é muito mais definitiva que qualquer outra coisa. Esta técnica dá ao construtor um maior controle sobre o fluxo do enig en igma ma a se serr re reso solv lvid ido, o, co cond nduz uzin indo do ao so solu luci cion onad ador or ao long longo o do mesmo trajeto que o compilador utilizou para construir o enigma (esta técnica também é adaptável para se compor outros enigmas além do Sudoku). Um grande cuidado é necessário, entretanto, em não conseguir reconhecer onde um número pode ser logicamente deduzido em qualquer ponto da construção — sem considerar de quão tortuosa a lógica pode ser — pode resultar em um enigma insolucionável ao definir futuras dicas contraditórias com os números que já foram construídos. Construir um Sudoku com dicas simétricas é uma simples questão de colocar as dicas indefinidas em um padrão simétrico para se iniciar a solução. A crença geral é de que os jogos Sudoku (Number Place) da Dell  Dell  Magazines são gerados por computador; eles normalmente possuem mais de trinta dicas espalhadas aparentemente de maneira aleatória, muitas das quais podem possivelmente serem deduzidas a partir de outras dicas. Eles também não têm os créditos do autor – que é, o nome do construtor não está impresso em nenhum enigma. Wei-Hwa Wei-Hwa   Huang reivindica que ele foi comissionado pela Dell para escrever um gerador de Sudoku no inverno de 2000; antes disto, ele disse, os  puzzles eram gerados manualmente. O gerador de enigmas foi escrito atr atravé avéss do Visual ual japonês, C++,, e com C++ em embo bora ra tive tivess sse op opçõ ções esnúmeros, de ge gera rarra ma mais is enigmas no Vis estilo simetria ee menos Dell optou em não adotar estas características, ao menos não até sua recente publicação de revistas apenas de Sudoku. Os Sudokus da Nikoli são construídos manualmente, com o crédito para o autor; as dicas são geralmente encontradas em um padrão simétrico. Os jogos Number Place Challenger  (veja a seção Variantes  Variantes  abai ab aixo xo)) da Dell Dell tamb também ém li list stam am seus seus au auto tore res. s. Os jogo jogoss Sudoku impressos na maioria dos jornais da Grã-Bretanha são aparentemente The   gera ge rado doss por por co comp mput utad ador or,, ma mass em empr preg egam am dica dicass simé simétr tric icas as;; The  Guardian é licenciado e publica os enigmas Sudoku construídos pela Nikoli, apesar disso ele não inclui os créditos autorais. The Guardian conh co nhec ecid idam amen ente te os soli solici cito tou u por por que que este estess eram eram ma manu nualm almen ente te construídos, seus enigmas conteriam "detalhes imperceptíveis" que seriam muito improváveis em Sudokus gerados por computador. O     1

 

desafio para os programadores de Sudoku é ensinar um programa como co mo co cons nstr trui uirr jo jogo goss "i "int ntel elig igen ente tes" s",, de tal tal ma mane neir ira a qu que e eles eles se tornem indistinguíveis dos construídos por humanos; Wayne Gould Gould   passou seis anos ajustando o seu popular programa até que acreditou que tinha conseguido atingir este nível.

Variantes

Um enigma Sudoku nonomino Ape pesa sarr de a grad rade 9×9 co com m reg egiõ iões es 3× 3×3 3 se serr de lon longe a mais ais conhecida, diversas variações abundam: amostras do enigma podem ser grades de 4×4 com regiões 2×2; grades 5×5 regiões pentaminó pentaminó   tem sido publicadas sob o nome Logi-5; o World Puzzle Championship  Championship  apresentou anteriormente grades 6×6 com regiões 2×3 e grades 7×7 com 6 regiões heptominó e com regiões desconexas. Daily SuDoku apresenta novas grades 4×4, 6×6, e mais simples 9×9 todos os dias com Daily SuDoku for Kids (Sudoku diário para crianças) .[2] Mesmo as grad gr ade es 9×9 não são sempr empre e pad padrõe ões, s, co com m a Ebb publicando regula reg ularme rmente nte alg alguns uns com reg regiõe iõess nonominó (tamb (também ém conhecido conhecido como com o variaç variação ão quebra quebra-ca -cabeç beça); a); o Campeo Campeonat nato o Est Estadu adunid nidens ense e de Enigmas de 2005 tinha um Sudoku com regiões em paralelogramo paralelogramo   que circundavam circundavam a parte exterior exterior do enigma, como-se a grad grade e foss fosse e uma arruela quadrada. Grades maiores também são possíveis, com o Daily SuDoku's 12×12 Monster SuDoku, o Times igualmente oferece Dodeka ka sudo sudoku ku com 12 regiões cada uma um com grade 12×12 Dode sendo 4×3, o sítio Conceptis Puzzles oferece gratuitamente um puzzle 12×1 12 ×12 2 (Meg Mega a Sud Sudoku oku) por por sem semana, ana, a Dell regu regularme larmente nte publica publica 16×16 Num Number ber Pla Place ce Cha Challe llenge nger  r  (a variaç variação ão 16× 16×16 16 ger geralm alment ente e utiliza 1 até G ao invés do 0 até o F utilizado em notações hexadecimais), e a Nikoli oferece o enorme 25×25 Sudoku the Giant . hexadecimais), Outra Outr a va vari riaçã ação o comu comum m é para para ter ter re rest stri riçõ ções es ad adici icion onais ais,, forç forçar ar a colocação de números além dos requisitos normais para as linhas, colu co luna nass e regi regiõe ões. s. Gera Geralm lmen ente te a re rest stri riçã ção o toma toma form forma a de uma uma “dimensão” extra; o mais comum é que os números nas diagonais prin pr inci cipa pais is da gr grad ade, e, tamb também ém de deve vem m se serr ún únic icos os (não (não po pode dem m se serr repetidos). Os supracitados Number Place Challenger , fazem parte     1

 

desta variante, assim como o Sudoku X  no Daily Mail, o qual utiliza grades 6×6. O Daily Mail também apresenta o Super Sudoku X  em sua edição de final-de-semana: uma grade 8×8 na quais as linhas, colunas, e diagonais principais, blocos 2×4 e blocos 4×2 contêm cada número apenas uma vez bem como as suas diagonais principais; Conceptis Puzzles apresenta o Diagonal Sudoku em uma grade 9×9 e blocos 3×3 com as mesmas regras supracitadas. Uma dimensão também utilizada é com os dígitos com as mesmas posições relativas em suas respectivas regiões; porém as regiões não fo form rmam am um paralelogramo e possuem formato atos variados e desconexos, neste formato Conceptis Puzzles apresenta o Irregular  Sudoku,[3] enquanto que algumas editoras também se utilizam de core co ress dife difere rent ntes es em cada cada grup grupo o de desc scon onex exo o pa para ra um uma a melh melhor or identificação de cada grupo de números.  Também pode ser encontrado o Circular Sudoku, também conhecido [4][5] 5]   como Target Sudoku, inventado pelo matemático Peter Higgins Higgins..[4][ Ness Ne ssa a va vari rian ante te,, todo todoss os nú núme mero ross de deve vem m apar aparec ecer er em cí círc rcul ulos os concêntricos bem como em todos os pares de fatias adjacentes. Outros tipos de restrições extras podem ser de natureza aritmética, tais como, exigindo que os números em um delineado segmento da grade tenham uma soma ou um produto específico (um exemplo pode ser o Killer Su Doku do The Times). Outros que nem o Magic Sudoku[6] adicionam algumas restrições (diagonais de 1 a 9, e cores) ao Sudoku padrão para resolvê-lo com menos números. Passatempos construídos a partir de múltiplas grades Sudoku são comuns. Cinco grades 9×9 as quais sobrepõem se umas as outras nas regiões dos cantos, e são conhecidas no Japão como Gattai 5 (cinco unidos) Sudoku. No The Times e no The Sydney Morning Herald Herald   esta forma de passatempo é conhecida como Samurai SuDoku.[7] No Conceptis Puzzles são publicados semanalmente os Multi Sudoku que são degrades duas asobrepostas cinco grades com compostos vinte ou mais nãosobrepostas. são incomunsPassatempos em algumas publicações japonesas. Geralmente, nenhuma dica é encontrada nas regiões sobrepostas. Variações alfabéticas também surgiram; não há nenhuma diferença funcional no passatempo, a não ser se as letras significam alguma algo. alg o. Recent Recentes es var varian iantes tes têm est esta a caract caracterí erísti stica, ca, ger geralm alment ente e em fo form rma a de pala palavr vra a li lida da ao lo long ngo o da diag diagon onal al pr prin inci cipa pall de depo pois is de encontrada a solução; determinar a palavra antecipadamente pode ser visto como um auxílio para a solução. O Code Doku[8] inventado por Steve Steve Sch Schaef aefer er tem tem um uma a se sent nten ença ça comp comple leta ta em embu buti tida da no [9] passatempo; o Super Wordoku da Top Notch contém duas palavras de nove letras, uma em cada diagonal. É discutível se estas formas são ver verdad dadeir eiros os Sudokus, contudo elas contêm uma solução “lin “lingu guis isti tica came ment nte” e” vá váli lida da,, e não não po pode dem m ne nece cess ssar aria iame ment nte e se sere rem m     1

 

resolvidas inteiramente através da lógica, fazendo-se necessário que o solucionador determine a palavra embutida. Top Notch diz que esta carrac ca acte terrís ísttic ica a foi proj ojet etad ada a pa parra der derrotar tar os pr pro ogr gram amas as de computadores de solução. Outros exemplos únicos de variação incluem um passatempo Sudoku tridim tri dimens ension ional al inv invent entado ado por Dion Dion Chu Church rch e publ public icad ado o no Daily Daily    Telegraph em Maio de 2005 2005,, e um Sudoku de 100×100, criado por Michael Metcaff e publicado para o grupo do Yahoo! Sudokuworld.

Matemática O pr prob oble lema ma gera gerall de solu soluci cion onar ar en enig igma mass Sudoku em tabule tabuleiro iross [10] NP-completo.. Isto Isto dá de bl bloc ocos os é conh conhec ecid ido o como como NP-completo algumas indicações de porque o Sudoku é difícil de resolver. Contudo, em tabuleiros de tamanhos finitos o problema é finito e pode ser solucionado através de um autômato finito  finito probabilístico que conhece toda a árvo árvore re do jo jogo go.. Sol Soluci uciona onarr eni enigma gmass Sudoku (assi (assim m com como o qualq qu alque uerr outr outro o prob proble lema ma NP NP-d -dif ifíc ícil il)) pode pode se serr expr expres esso so co como mo um problema de preenchimento gráfico de cores. O objetivo do enigma em sua fo forrma pad padrão é co cons nsttrui uirr gr gráf áfic ico o ap aprrop opri riad ado o de nove ove colorações, informando parcialmente as nove colorações. O gráfico em questão tem 81 vértices, uma interpolação em cada célula da grade. gra de. Os vér vértic tices es podem podem ser ro rotul tulado adoss com os par pares es ordena ordenados dos , onde x e y são números inteiros entre 1 e 9. Neste caso, dois vért vé rtic ices es dist distin into toss ro rotu tula lado doss po porr e sã são o co cone nect ctad ados os po porr uma borda se e apenas se . O enigma enigma é ent então ão comple completad tado o des design ignand ando-s o-se e um número número int inteir eiro o entre 1 e 9 para cada interpolação, de tal maneira que os vértices que são unidos através de uma borda não tenham nenhum número inteiro igual designado neles. Uma grade de solução válida para o Sudoku é também um quadrado latino. latino. Há significativamente menos soluções de grades de Sudoku válidas do que os quadrados latinos, porque o Sudoku impõe restrições de região adicionais. Apesar disso, o número de solução de Sudoku para uma grade padrão de 9×9 foram for am calcul calculado adoss em 2005 2005 por Ber Bertra tram m Felgen Felgenhau hauer er com como o sen sendo do [11] 6.670.903.752.021.072.936.960. Este número é igual a , o último fator o qual é um número  número  primo.. O resultado é derivado através da lógica e computação primo computação   força força   bruta.. A derivação deste resultado foi simplificada consideravelmente bruta por análises fornecidas por Frazer Jarvis e o número foi confirmado in ind depen epend dente enteme men nte po porr Ed Rus usse sell ll.. Rus usse sell e Jar Jarvis vis tam ambé bém m demonstraram de que quando as simetrias são levadas em conta, havia 5.472.730.538 soluções.[12] O número de soluções válidas para a variação do Sudoku de uma grade 16×16 é desconhecido.     1

 

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