Sucesiones y series infinitas - Eduardo Espinoza Ramos.pdf

 Edu ardo ard o Espino Esp inoza za Ram os Graduado y Titulado en Matemática Pura Catedrático de las principales Universidades de la Capital 

 SUCES  SUCE SION IO NES fSERIESi

«»toe

VARIABLE COMPLEJA

¿lüaaa^

UlÄßÄil

SWIMUíMll

SOLUCIONAR!0  OEMIOOVICH 

ITEMÁTIM

ALGEBRA

/ ¡MATEMÁTICA }

.

EDITORIAL

EDUARDO ESPINOZA

SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERU

PROLOGO

3ra. Edición

IMPRESO EN EL PERU 01 - 02 - 2008

En la presente obra intitulada “Sucesiones y Series de Números Reales ” en su 3era. Edición, se expone en forma concreta y precisa los fundamentos teóricos de las Sucesiones y Series. Se resuelven gran número de ejemplos y ejercicios como aplicaciones de los diversos teoremas y técnicas. La selección de los ejemplos, ejercicios y problemas de cada capítulo, es consecuencia de la experiencia adquirida en la docencia universitaria y sugerencias  bri nda das po r los cole gas del área de mat emát ica s de las dive rsas uni vers ida des del  país. En el primer capítulo se estudia las Sucesiones, se establecen sus principales  pro pie dad es y s e de mues tra n alg unos crit erio s d e co nve rge nci a no muy usual es. En el segundo capítulo se desarrolla el concepto de Series. En la solución de algunos ejercicios se han utilizado las llamadas funciones especiales y se han calculado explícitamente algunas sumas de series principalmente utilizando las reglas TELESCÓPICAS .

DERECHOS RESERVADOS | ^ ^ ' V ^ : : ' 5 i Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, j electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó g de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y E DITOR. i• • 1Z í: 1 i  N ° 1007 0440 607 í RUC I1 |  N ° 448 4 ¡ Escritura Pública :í i f  i Hecho el Deposito Legal en la  N° 2 0 0 7 - 12603 | ! Biblioteca N acional del Perú V. ' •;V !

Las series de potencia se desarrollan en el tercer capítulo, se calculan explícitamente el radio de convergencia y se estudia la diferenciación e integración de las mismas, así como las series de Taylor. La lectura del presente trabajo, requiere de un adecuado conocimiento de las  pro pie dad es de los Núm eros Real es, del Cál cul o Dife renc ial e Inte gral y de las Funciones Especiales. »

La presente obra es recomendable para todo estudiante de Ciencias Matemáticas, Física, Ingeniería, Economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matem áticos del análisis real.

■

1

 j Ley de Der echo del Aut or   j Edición 3ra - Reimpresión 1ro

 N° 13714

 j

jS :-% É i

*

*

Deseo expresar mi más profundo agradecimiento al Doctor Pedro Contreras Ch. por las observaciones y sugerencias brindadas. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a esta pequeña obra: ••

•

.

.

■.

^

_

Eduardo Espinoza Ramos.

• • v.\

 

DEDICATORIA Este libro lo dedico a mis hijos:

RONALD, JORGE y DIANA que Dios ilumine sus caminos para que  pue dan ser guías de su prójimo

INDICE ©

CAPÍTULO I 1.

SUCESIONES.

1.1

Definición

i

1.2

Definición

1.3

Definición

1.4

Propiedades de Límites de Sucesiones

7

1.5

Teorema •

10

1.5.1.

Teorema de la Media Aritmética

10

*

' 

3

■

5

1.5.2.

Teorema de la Media Geométrica

12

1.5.3.

Teorema

15

1.5.4.

Teorema del Encaje para Sucesiones

16

1.5.5.

Teorema (Criterio de la Razón por la convergencia de Sucesiones)

17

1.6.

Sucesiones Divergentes.

20

1.7.

Sucesiones Monótonas y Acotadas.

21

1.8.

Teorema

24

1.9.

Teorema

25

1.10.

S uc es io ne s de C au ch y

26

1.11.

Teorema - (Fórmula de STIRLING)

27

1.12.

Teorema.- (Criterio de Stolz-Cesaro)

28

1.13.

Ejercicios Desarrollados

29

1.14.

Ejercicios Propuestos

76

CAPÍTULO II 2.

SERIES INFINITAS.

2.1

Definición

98

!

 Suc esio nes 2.3

Propie dades

103

2.4

Teorem a

106

2.5

Series Especiales

107

2.6

Series Infinitas de Términ os Positivos

112

2.7.

Teorem a

112

2.7.1.

Teorema (Criterio de Comparación Directa)

112

2.7.2.

Teorema (Criterio de Comparación por Límite)

115

1

CAPITULO I

i.

SUCESIONES

í.i

DEFINICIÓN.-

2.7.3.

Teorema (Criterio de la Razón o Criterio de D’ALEMBE RT)

117

2.7.4.

Teorem a (Criteri o de la Integral)

119

2.7.5.

Teorema (Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy)

122

2.8.

Series Infinitas de Términ os positivo s y negativos

125

2.8.1.

Teorem a (Criter io de Leibniz)

125

2.8.2.

Teorem a

127

2.8.3.

Teorema (Criterio de la Razón para Series Alternantes)

130

Consideremos una función

2.8.4

Teorema (Criterio de RAABE)

133

elemento de la sucesión.

2.8.5.

Teorem a

136

2.9.

Ejercicios Des «rollado s

137

2.10.

Ejercicios Propues tos

173

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos, cuyo rango es un conjunto arbitrario. Trataremos solamente de sucesiones de números reales, es decir:

En vez de escribir S(n) escribiremos Sn y llamaremos n-ésimo término de la sucesión.  No tac ión .-

SERIES DE POTENCIA. #

Definición

215

3.2.

Propiedades

216

3.3.

Definición

216

3.4.

Diferenciación 4e Series de Potencias

218

3.5.

I nt eg ra ci ón d ^ Se r ie s de P ot en ci a

218

3.1.

219

3.6.

Serie de Taylor  

3.7.

Ejercicios Desarrollados

221

3.8.

Ejercicios Propuestos

242

•

A una suces ión infini ta S ¡ , S 2’,..., S n ,... representaremos por  1 " }} n > 1. Gráfica mente se tiene:

CAPÍTULO III 3.

S : Z + -» R, tal que, V /7  e Z+, S(n) e R, es un

 Edua rdo Espin oza Ram os

?

 Suc esio nes

3

Ejemplos: Luego la sucesión podemos escribir así:

/7(// + l)

ín>i

( 7 ) L a sucesión 1,4, 9, 16 .. .., n2, ... se escribe así ! n~ í//>) (í) (¿)

Los cinco primeros términos de la sucesión{-—— }/;>i ni i i _ 1  L ’ 2 ’ 6 ’ 24 ’

^3 ^

son;

Si la sucesión {Sn}n^  está definido por: S| = 1, S2

1, Sn+i - Sn + Sn.j,

hallar S7. En efecto: S. = 1

i 120

 __ 

Hallar el términ o n-ésimo

S-»= de la sucesión 1,3, 6-, 10, 15, 2 1, .. .,

S? — S t + S i — 1 + 1

En efecto.

—2

54= S3+ S2= 2 + 1 = 3 por definición de la sucesión S, = 1= 1+ 0

55 = S4+ S3= 3 + 2 = 5

So = 3 = 2 + 1

S6 =

53 = 6 = 3 + 3

S7- S6+S 5= 8 + 5= 13

54 = 10 = 4 + 6

1.2

Ss = 15 = 5+ 10

Ss + S4 =

5 + 3 = 8

DEFINICION.Una sucesión {S n}/7>¡, se dice que tiene lí mite L, si para todo 8 > 0, exis te un

SA= 21 = 6 + 15

número N > 0, tal que: S n - L\ < s , para todo n > N y lini Sn = L . //— >x En forma simbólica , se tiene:

C / í _ l Sn= // H!------- J1 ?

lim S „ = I » V í > 0 , 3  N > 0 / n > N = >  |5„ - L \ < s

De acuerdo a la regla de coiTespondencia de los primeros términos obtenemos que:

Ejem plos.n — 1 n h------- .n 1

©

Usando la definición de límite probar que:

n +1 Límite de {------}„>, , es 1, cuand o n -> oc n

denotar emos por 

 Edua rdo Espino za Ram os

4

 Suc esio nes

5

Solución lim 2 II — > X

V¿r > 0. 3 /V = ?/» > S„ -  L

 fi

n +1

En efecto: \Sn -  L

lim ;/->x

n

n > —,

de donde:

©

=1»

/7—>X

n +1 li m ------= 1 V¿->0, 3  N > 0/.V« >  N =>  |S„ - L \ <  e 

En efecto: -^1  —, pero nece sita mos que \Sn - L\ = —< £, n n

luego basta tom ar TV> —,

£

£ 

n

£

lim (1

n

■

xr . l oe 2 o tomar n > N > ( ----- ------)“ log O + 1)

1)" - ) = 1

n —>x

n ( — log(¿* +1 ) \0g( £ + l)

 —pr lo g2 < log (£ + l) =>  y/7l

n +1

■

i i |S n - L\ < 11- 2^" | = 2 ^   -1 < £  => 2 ^ < £  +1 , entonces,

Luego:

es decir:

> o, 3  N  > —//? >  N  , entonces

- i

|S n - L

1 1- 2 ^  < i 2 ^ 

ii 2^-1

x /7

> 0, 3 ¿V = ?  / n > N   => | 5 „ - l | < f  

Ejemplos.« En efecto:

\I SM„ -

L I\

= ] + ( - l ) "n- - l

 — 

límite,

en

caso

contrario la sucesión es divergente. Determinar si es convergente ó divergente las sucesiones siguientes:

#

( - i r -

n

Pero debe cumplirse que S „ ~ L < £,

para ello hacemos —< £  , de donde:

n

©

[ n+ x

¡

' 2n + l Solución Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular

n > N  > —.  £

©

Lueg o

> 0, 3 N > — /   IS,, -  L £ 

lim 2 ^ =1  H   —>X Solución

el límite de la sucesión, es decir:

 Edua rdo Espin oza Ram os

6

 Suc esio nes

En forma similar a los ejemplos a nteriores, calcularem os el l ímite de la

 _ .1 1  + 1 . Por lo tanto {------ es convergente. 2/7 + 1

©

3 + —  3 w , r c  .. 3/7 +1 3+ 0 2 sucesión, es decir: lim Sn =  lim —  ----- = lim ------ — = ------ --  —. w->x "->3°2 /? ~+ l /;*^X2 + -Í 2+ ^ ^ /?'3

,2^+1, < 0 3/7“

~n

7

*/?>1

Solución

1 tanto: n lo Por

r ^ } >,, 1» es convergente. {— 2/7 +1

Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular el límite de la sucesión, es decir:

1.4

PROPIEDADES DE LIMITES DE SUCESIONES.Conside remos dos sucesiones convergent es

2+ 1

{^„¡

„>1

y

y k, una

*

c r 2 " “ + 1 r 2 + 0 2 lim Sn =  lim — = —  -----= lim ------ — = -----//~>x /i—>oc3/7 — n 1 3-0 3  J ~ »

constante, entonces:

/?

i)

lim k  = /c

ii)

lim /v 5/; = k  lim

«~ >x

Por lo tanto:

{— ------}„>,, es convergen te. 3/7“ - n

Solución .

iii)

v)

C

>x

lim (S,, ±-SM„) = lim SMi lim S"w /?—>x

o lim lixn-^- = -^ £ --- , /7->x s 'n lim S\, n —>x

lim Sll.S\l   = lim S,,. lim S'„

La demostrac ión de estas propiedad es es análoga,

sucesión, es decir: lim Sn-= lim ----- — = lim (—+ — 7 ) = —+ 0 = —. /7—>x //— 2/7“ //->x 2 2/7“ 2 2

funciones reales, por lo tanto se deja para el lector.

Observación.-

a la de los límites de

límite del término n-ésimo de la sucesión S n cuando n  — » es decir:

Ejemplos.-

n — 

Para hallar el límite de una sucesión {£„}„>,, se calcula el

. 3/?3 +1. ' 2 7 7 í ’ ''al Solución

n—>s.n—>v

* 0

En forma similar a los ejemplos anteriores, calcularemos el límite de la

/?“ +1 Por lo tanto: {-----“ }„>i , es convergente. 2/7“ ®

si lim 5* n-nc

iv)

5W

//—>x

Calcular los límites siguientes

00,

8

 Edua rdo Espi noza Ram os

 Suc esio nes

 j

Q

1 1 + -1 + - 3y + 11 + 1 3 n n \ 2 / V n n~ lim —( 3 2 1 , 2 1 3 + - y - + 13— y — j /7 n V n n

lim(l + n + n 2)"  n —>x

  -------------------

Solución I

i

i

l i m ( l + / 7 + / 22 ) ' 7 = l i m [ ( / 7 + A22 ) ( l + — -  ------ - ) ] " /í-*oc + fj-

2

n —>x

+ 1.

1

2

3 V3 + x/3 -> -

.1

lim (/? + /?“) ". lim (1 + ---------)"

//—>x

//—>x

 ¡_____________ 

^ _j_¿j -

_ 2 V3

3 %/3 _ 9

 __________ 

3

lim (Vi// +1 - 7/í +1)( y¡2n~ + i - V/?2 +1 )se n2(—)

n —>x

1 lim eL"{"+"~>'. Hm [(l + — ^ ) " +" ]"("+":> //—>X

/? —>X

 ft _j_  fj

ln(;/+;/ ) ¡jm---- ¡—_ ” £ -n (n +fr)

lime / ? —> X

Lil— — lim-----------——  = y y ..) / /—>x

e° . e° = (1) (1) = 1

Solución i

Primero racionalizamos a la expresión: lim (^2/7 + 1-V/ 7 + 1)(V2/?2 +1 - yin2 +l )s en 2(—)

/z  — » 0 0

 v /7

/I3 sen“ O

= lim //—»x

/.

” (72« + l + V/ í +1 )(v 2n~ +1 + V 7 7 I)

lim (14 n + /7“)" - 1 n —>x

~

2

3 sen(—) 3

.

:

©

,. l im

>/3/í3+ 2/ ?- l -V /

,

,

 - 2 / / - I

3»3

— 

11 >X  y /n '   + /7~ + 3 / 7 - V / r

+77” -3/7

Solución Racionalizando el numerador y denominador. .. V3/73+ 2/7-1 - V3/73- 2/7 -1 4/?( V /73 + /r + 3/7 + Va + /7~-3/? ) lim ■■-.■■■-■- = = ---- ============== lim ------- ============---- =========//_>/ V«'' +/?2 +3/7  —yin3 + n~ -3 /7 /?_>/ 6n(y¡3n'   + 2 / 7 - 1 + v 3 /? ' - 2 /7 - 1)

»•( )3 ( - v “ )" (-) = lim " (\l2n +1 + -\//7-t- 1)(\/ 2/7‘ -f 1+ yfñ~ ~+\) A

’ 3

se n( - ) 2 0 „ó lim ( ------¿?-)2 (2w)' //—>X (—) (V2« + 1 + -J n + \)(>¡2n~+1 + *Jn2 +1 ) ( n 22

2V2

(V2 +1) (V2 +1)

(V2 + 1)2

 Edua rdo Espino za Ram os

10

©

 Suc esio nes

.  K , na+\ i-l i m r-, + )] - ---[ 3 - 2 ( ------na ) a—^oo na

11

àp +1+^/h-2 + —+