Strumenti Musicali_A percussione

Conservatorio di Musica G. Verdi di Milano  Dipartimento di Musica con con Nuove Tecnologie Tecnologie Scuola di Musica Elettronica

 Acustica e psicoacustica psicoacustica

a.a. 2013-14

Settore artistico-disciplinare COME/03

Docente: Angelo Conto  Aula n. 129 1

Conservatorio di Musica G. Verdi di Milano  Dipartimento di Musica con Nuove Tecnologie Scuola di Musica Elettronica

 Acustica e psicoacustica Strumenti musicali a percussione

2

Conservatorio di Musica G. Verdi di Milano  Dipartimento di Musica con Nuove Tecnologie Scuola di Musica Elettronica

Bibliografia:  A. Frova - Fisica nella musica - ed. Zanichelli La scienza del suono - Zanichelli Campbell and Grated - The musician’s guide to acoustics - Oxford Press  A. Everest - Manuale di Acustica - ed. Hoepli

Siti internet: University of New South Wales; Department of Music Acoustics: http://www.phys.unsw.edu.au/music Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State, http://www.acs.psu.edu/drussell “Fisica Onde Musica” http://fisicaondemusica.unimore.it

Immagini, animazioni e video: Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State, http://www.acs.psu.edu/drussell/  Joe Wolf - licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5  Australia License http://fisicaondemusica.unimore.it: Licenza Creative Commons: Attribuzione - Non commerciale Condividi allo stesso modo 2.5 o successive GFu-Kwun Hwang Dept. of physics National Taiwan Normal University - Creative Commons Attribution 2.5 Taiwan License

3

Consideriamo una membrana sottile e perfettamente elastica fissata lungo tutto il suo bordo esterno. Le vibrazioni di una membrana rettangolare possono essere schematizzate come estensioni bidimensionali analoghe alle vibrazioni lungo una corda. Anche in questo caso la velocità di propagazione dipende dal rapporto tra la forza di richiamo, che è rappresentata dalla tensione T , e la densità superficiale !  che rappresenta la parte inerziale. Le soluzioni sono, anche nel caso bidimensionale, funzioni sinusoidali e cosinusoidali.

n x 

=

1,2,3...

n y

=

1,2,3...

Le frequenze di risonanza dipendono quindi da due indici  x e  y e sono:

 f n x ,n y

=

2

# n y % ( + %% $  L x ' $  L y

1

T  # n x &

2

"  

&2 (( '

dove

4

 L x = dimensione x  L y = dimensione y

Le seguenti animazioni esemplificano bene la analogia tra membrana e corda, nel caso di corda e membrana pizzicate:

Un’impulso iniziale dovuto allo spostamento della corda si separa immediatamente in due impulsi uguali, che si propagano in direzioni opposte. Entrambi gli impulsi viaggiano con velocità costante e mantengono la stessa forma. Il centro della corda ritorna alla sua posizione di equilibrio senza superarla.

La sezione della membrana si comporta in maniera simile anche se possiamo notare delle differenze. L’impulso iniziale dovuto allo spostamento della corda si separa immediatamente in due impulsi uguali, che si propagano in direzioni opposte con velocità costante. L’ampiezza però decresce con la distanza, ed ogni impulso lascia un “solco” dietro di sé. Il centro della corda ritorna alla sua posizione di equilibrio superandola per cambiare verso.

Nel diagramma bidimensionale vediamo le onde che si espandono in forma circolare. Per conservare l’energia, man mano che si espandono l’ampiezza deve diminuire.

5

Il caso seguente tratta la corda e la membrana eccitate tramite percussione:

Dopo che la corda è stata percossa l’ampiezza dell’impulso sulla corda raggiunge un massimo e successivamente si allarga propagandosi in entrambe le direzioni. Il moto verso l’alto della corda è limitato dall’inerzia e dalla forza di ripristino, e l’ampiezza rimane costante. Se immaginiamo una corda di lunghezza infinita è come se la corda stessa risultasse poco a poco traslata nello spazio. Nelle corde reali, di lunghezza limitata, agli estremi ci sarà la riflessione, solitamente con inversione di fase.

 The cross-sectional slice of the membrane displays quite a different response to an initial velocity impulse. As the pulse widens and begins propagating both right and left, the amplitude at the center does not remain displaced as it did in the case of  the string. Instead, the membrane falls back toward equilibrium as the left and right going pulses separate. Again, the waves traveling on the membrane can be seen to leave a wake behind them as the propagate outward.

 The full two-dimensional view of  the entire membrane shows more clearly the initial impulse falling back on itself as the circular wavefronts expand outward. The amplitude decreases as the wavefront expands, as it must to conserve energy. The wavefront shape changes as it propagates, leaving the wake behind it.

6

Consideriamo i modi di vibrazione presi singolarmente. Gli esempi seguenti sono relativi ad una membrana rettangolare avente dimensioni l’una il doppio dell’altra:  L x = 2L y

nei file audio:

 f 1,1 = 110 Hz   f 1,2 = 139.1402 Hz   f 1,3 = 177.3696 Hz   f 2,1 = 202.8299 Hz   f 2,2 = 220.0000 Hz   f 2,3 = 245.9674 Hz   f 3,1 = 299.2323 Hz   f 3,2 = 311.1269 Hz   f 3,3 = 330.0000 Hz 

7

Chladni, Ernst - Fisico tedesco 1756-1824. Si occupò prevalentemente di acustica ed è celebre per aver inventato un metodo per visualizzare i vari modi di vibrare di una superficie meccanica di forma regolare od irregolare. Egli, negli ultimi anni del XVIII secolo, realizzò alcuni esperimenti sugli effetti delle vibrazioni impartite a lastre di vetro ricoperte di sabbia finissima. Questa tecnica consiste nel far vibrare le lastre con un arco di violino; di conseguenza la sabbia di cui sono cosparse le lastre si allontana dalle zone di maggiore vibrazione (ventri), raggruppandosi in prossimità dei nodi, nei quali la vibrazione è nulla.

Chladni_Patterns_on_a_Square_Plate

8

Consideriamo una membrana circolare sottile e perfettamente elastica fissata lungo tutto il bordo esterno. Una membrana circolare ideale conserva l’analogia con la corda, anche se matematicamente le cose funzionano in maniera un differente. In questo caso le simmetrie possibili e quindi i modi di vibrazione sono di due tipi: radiali e circolari, indicati ciascuno da un indice n e m

La frequenza del modo fondamentale è data da:

 f 01

dove: d   T  ! 

diametro tensione densità superficiale della membrana

2,40

T 

"  # d 

$ 

=

9

Le frequenze dei modi successivi si ottengono moltiplicando la frequenza della fondamentale per degli opportuni coefficienti:

 f nm

 f 01

=

 x nm f 01

2,40

T 

"  # d 

$ 

=

 parziale

 xnm

01

1

11

1,59

21

2,14

02

2,30

31

2,65

12

2,92

41

3,15

22

3,50

03

3,59

51 32

4,06 

10

Modo fondamentale: (0,1) Diametri nodali=0 Circonferenze nodali=1 E’ eccitato percuotendo un qualunque punto della membrana. In questo modo la membrana si comporta come una sorgente di monopolo, con una efficienza di radiazione molto alta. Perciò l’energia meccanica viene trasferita nel suono irraggiato molto rapidamente e la vibrazione ha durata molto breve (frazioni di secondo). Per questo motivo il modo fondamentale non dà un grosso contributo al timbro e viene percepito come un rumore di altezza indefinita.

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State

11

modo (1,1) Diametri nodali=1 Circonferenze nodali=1 Frequenza: 1,593 f 0,1 La posizione esatta del diametro nodale dipende dalla omogeneità della membrana e dal punto in cui è applicata l’eccitazione (tra il centro e il bordo esterno). In questo modo la membrana si comporta principalmente come un dipolo: invece che spingere aria dalla membrana come nel modo (0,1), metà di essa spinge aria e l’altra aspira, dando come risultato un movimento di aria da un lato all’altro. Di conseguenza il modo (1,1) irradia il suono in maniera meno efficiente del modo (0,1), il che significa che il trasferimento di energia non è altrettanto efficiente, cosicchè il tempo che impiega a decadere (trasferire tutta la sua energia) è maggiore. Per via della sua durata (diversi secondi), ha un contributo importante nel suono e nell’intonazione della membrana. Viene percepito come un suono ad altezza definita.

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State

12

modo (2,1) Diametri nodali=2 Circonferenze nodali=1 Frequenza: 2,135 f 0,1 La posizione esatta del diametro nodale dipende dalla omogeneità della membrana e dal punto in cui è applicata l’eccitazione (tra il centro e il bordo esterno).  Agisce come un quadrupolo, meno efficiente del modo (1,1) (dipolo) e molto meno efficiente del modo (0,1) monopolo. Quindi il trasferimento è molto lento e il tempo di decadimento lungo. Contribuisce all’altezza del suono.

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State

13

modo (0,2) diametri nodali = 0 circonferenze nodali = 2 ( r2 = 0.436r) Frequenza: 2,295 f 0,1  Agisce in maniera complessa sia come dipolo che come monopolo, con un tempo di decadimento intermedio. Non contribuisce significativamente all’altezza del suono.

modo (3,1) diametri nodali = 3 circonferenze nodali = 1 Frequenza: 2,65 f 0,1 Come i modi (1,1) e (2,1), irradia debolmente e contribuisce all’altezza del suono.

modo (1,2) diametri nodali = 1 circonferenze nodali = 2 Frequenza: 2,917 f 0,1 Irradia in maniera simile ad un quadrupolo, con bassa efficienza. Nonostante questo, non sembra avere un ruolo importante della determinazione dell’altezza.

14

modo (4,1) Diametri nodali = 4 Circonferenze nodali = 1 Frequenza: 3,15 f 0,1 Come i modi (1,1) e (2,1) e (3,1) irradia debolmente, ha tempi di decadimento lunghi e contribuisce all’altezza del suono.

modo (2,2) Diametri nodali = 2 Circonferenze nodali = 2 Frequenza: 3,50 f 0,1

modo (0,3) Diametri nodali = 0 Circonferenze nodali = 3 Frequenza: 3,598 f 0,1  Agisce in maniera complessa, con un tempo di decadimento abbastanza breve. Non contribuisce significativamente all’altezza del suono. E’ eccitata quando la membrana viene colpita al centro.

15

 Timpani I timpani sono degli strumenti musicali a percussione. Appartengono alla classe dei membranofoni a suono determinato. Essi consistono in una membrana, chiamata pelle, tesa su un grande fusto chiamato "caldaia" solitamente in rame, in altre leghe metalliche o in materiali plastici.  Vengono suonati per mezzo di due battenti, generalmente a punta morbida (feltro o altro materiale). In orchestra sono sempre presenti in coppia (da cui il nome plurale), a volte in set comprendenti tre, quattro o più strumenti.  A differenza di molti tamburi, i timpani, come detto, sono uno strumento a suono determinato. L'intonazione viene determinata dalla tensione della pelle: ogni strumento ha un'estensione che varia da una quinta ad un'ottava cromatica. La modifica dell'altezza viene effettuata oggi per mezzo di un pedale che agisce contemporaneamente su tutte le viti di tensione della pelle. Anticamente queste venivano avvitate o svitate manualmente una ad una, obbligando il timpanista (ed il compositore) a mantenere la stessa intonazione durante tutto un brano. L'uso del pedale e di un apposito quadrante graduato permettono una rapida intonazione dello strumento ed effetti di glissato. Anche nei timpani provvisti di pedale sono comunque presenti viti che permettono di mantenere la tensione della membrana equilibrata in tutti i punti. I suoni vengono oggi notati in altezza reale in chiave di basso (talvolta senza accidenti in chiave). Anticamente si utilizzava una notazione convenzionale in cui il Do rappresentava la tonica ed il Sol la dominante del pezzo: la reale intonazione era indicata a chiare lettere all'inizio del brano.

16

 Timpani

I timpani hanno un meccanismo a pedale che consente di variare la tensione della membrana di un fattore 3:1, che corrisponde approssimativamente ad un intervallo di sesta. Un tempo le membrane erano di pelle, ma ora il materiale più utilizzato è Mylar per la praticità di utilizzo: minore sensibilità all’umidità e maggiore facilità di accordatura per via della migliore omogeneità.  Lo spessore standard è considerato 0,19 mm per le membrane in Mylar. Le caldaie sono solitamente di rame o fibra di vetro; la forma è solitamente semisferica.

17

 Timpani - strumento completo Uno studio che ha dato un contributo fondamentale alla comprensione dello strumento è di Benade e risale al 1973. Egli misurò le frequenze dei modi di un timpano Dresdner Apparatebau Anheier/Jaehne & Boruvka con membrana di pelle di vitello, intonata sul C3 a  f=130,8 Hz. La prima colonna riporta i coefficienti relativi alla membrana ideale, rapportati al modo (1,1) anziché (0,1).

 Modo

 Ratioideale

 Ratiotimpano

1,1

1

1

2,1

1.35

1.504

3,1

1,67 

2,00

4,1

1,99

2,494

5,1

2,30

2,979

6,1

2,61

3,462

Questo studio fu ripreso poi da Rossing, il quale concluse che i rapporti dei suoni che concorrono alla definizione di altezza erano armonici di una fondamentale che si trovava un'ottava sotto alla frequenza corrispondente al modo (1,1).  Altre misure sullo strumento (Benade e Kvistad) hanno confermato che i modi (1,1), (2,1) e (3,1)  hanno frequenze molto vicine ai rapporti 1 : 1,5 : 2. I modi (4,1) e (5,1) hanno rapporti tipici pari a 2,44 e 2,90 volte la fondamentale (1,1), ad una distanza di circa mezzo semitono dai rapporti 2,5 e 3.

18

 Timpani - strumento completo

Trasposizione sul pentagramma dei risultati dello studio di Benade

La maggior parte degli osservatori concorda nell’affermare che l’altezza del timpano corrisponde alla parziale (1,1). E’ sorprendente che l’altezza venga identificata con una parziale piuttosto che con la fondamentale mancante del set di armoniche; il fenomeno si spiega probabilmente (secondo lo stesso Rossing) con la bassa energia e durata del set di parziali, insufficiente a generare un set riconoscibile di armoniche, a differenza di quanto accade in altri strumenti musicali. A testimonianza della sua teoria alcuni timpanisti ritengono di sentire un suono indistinto indistinto a circa un'ottava sotto alla frequenza nominale dello strumento, semplicemente colpendo lo strumento con alcuni colpi sordi in alcune posizioni della membrana.

19