Struktur Aljabar II Kelompok 3
June 10, 2019 | Author: Najib Arif | Category: N/A
Short Description
ring polinomial...
Description
STRUKTUR ALJABAR II
RING POLINOMIAL REDUKSI DAN TAK TEREDUKSI
Disusun oleh
140110150002 140110150002
Ahmad Nurul Hadi
140110150052 140110150052
Mochamad Rochmat H
140110150064 140110150064
Ignatius Abraham Enga T
140110150076 140110150076
Ali Qolbuddin
140110150078 140110150078
Muhammad Najib Arif
UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA JATINANGOR 2018
1. Polinomial Tereduksi dan Tak Tereduksi 1.1 Definisi (Joseph A. Gallian)
daerah integral. Suatu polinomial ∈ [] dengan ≠ 0 atau bukan unit di [] dikatakan polinomial tak tereduksi (irreducible) (irreducible) atas jika dinyatakan sebagai hasil kali = ℎ dengan ,ℎ ∈ [], maka atau ℎ adalah unit di []. Elemen tak nol atau elemen bukan unit dari [] yang tidak irreducible atas disebut polinomial tereduksi (reducible) atas (reducible) atas . Misal
Definisi (Thomas W. Judson)
Polinomial tak konstan
∈ [] [] dikatakan irreducible atas
tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial dan ℎ di [], dimana derajat dari dan ℎ lebih kecil dari derajat . lapangan jika
Definisi (Vijay K. Khanna)
daerah integral dengan satuan. Polinomial ∈ [] [ ] berderajat positif (derajat ≥ 1) dikatakan irreducible atas jika tidak dapat Misalkan
dinyatakan dalam perkalian dua polinomial berderajat positif. Dengan kata lain, jika
= ℎ maka deg() = 0 atau deg(ℎ) = 0.
Polinomial berderajat positif yang tidak irreducible dikatakan reducible atas
.
Contoh :
= + 1 ∈ ℤ[] irreducible atas ℤ, karena + 1 tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial di ℤ[]. Polinomial = + 1 ∈ ℂ[] reducible atas ℂ
a. Polinomial
karena
+ 1 = + dimana + dan ∈ ℂ[] dan derajat dari
b.
c.
= + dan ℎ = lebih kecil dari derajat . Polinomial = 2 ∈ ℤ[] irreducible atas ℤ, karena 2 tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial di ℤ[]. Polinomial = 2 ∈ ℝ[] reducible atas ℝ karena 2 = + √ 2 √ 2 dimana ( + √ 2) dan ( √ 2) ∈ [] dan derajat dari = + √ 2 dan ℎ = √ 2 lebih kecil dari derajat . Polinomial = reducible atas ℚ, karena dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinom di ℚ[]. Dan derajat dari = 5 dan ℎ = + lebih kecil dari derajat
1.2 Teorema (Uji ketereduksian untuk derajat 2 dan 3) (Joseph A. Gallian)
lapangan dan menyatakan derajat dari . Jika ∈ [] dan ( ) = 2 atau ( ) = 3, maka reducible atas jika dan hanya jika mempunyai pembuat nol di . Misalkan
Bukti :
[⇒]
reducible atas F Adt : mempunyai pembuat nol di F
Dik :
Bukti :
reducible di maka = ℎ , dimana ,ℎ ∈ [] dan ( ),(ℎ ) ( ). Karena ( ) = ( ) + (ℎ) dan ( ) = 2 atau ( ) = 3 maka pastilah ( ) = 1 atau (ℎ) = 1 Misal ( ) = 1 maka = + ; , ∈ pilih = − pembuat nol di = ℎ − = −ℎ− − = − + ℎ− − = − + ℎ− − = ( + )ℎ− − = 0 ∙ ℎ− − = 0 ∴ − pembuat nol di ∴ mempunyai pembuat nol di [⟸] Dik : mempunyai pembuat nol di
reducible atas Ambil ∈ pembuat nol di Maka = 0 Adt :
merupakan faktor dari . Sehingga dapat ditulis = ℎ untuk ℎ ∈ [] Karena () = 2 atau () = 3 maka reducible atas . Jadi, reducible atas . Berdasarkan teorema faktor maka
Contoh :
a. Buktikan
p = + + 2 irreducible atas ℤ[] dan reducible atas
ℤ[]! Jawab : Dik Adb
: = + + 2 : irreducible di ℤ []
Bukti :
= 0,1,2 maka didapat :
0 = 0 + 0 + 2 = 2 ≠ 0 1 = 1 + 1 + 2 = 1 ≠ 0 2 = 2 + 2 + 2 = 1 ≠ 0 Karena tidak memiliki pembuat nol maka irreducible di ℤ[]. ∴ = + + 2 irreducible atas ℤ[].
Dik Adb
: = + + 2 : reducible di ℤ[]
Bukti :
= 0,1,2,3 Maka didapat
0 = 0 + 0 + 2 = 2 ≠ 0 1 = 1 + 1 + 2 = 0 2 = 2 + 2 + 2 = 2 ≠ 0 3 = 3 + 3 + 2 = 3 ≠ 0 Karena memiliki pembuat nol maka reducible di ℤ []. ∴ = + + 2 reducible atas ℤ[] 2. Polinomial Primitif 2.1 Definisi Konten (Herstein, 1996:159)
= + + ⋯+ , dimana ∈ Z adalah gcd dari bilangan bulat ,,,…. Konten dari polinomial
2.2 Definisi Polinomial Primitif (Herstein, 1996:159)
dimana = + + ⋯+ , ,,,…, ∈ ℤ dikatakan primitif jika gcd dari ,,,… adalah Polinomial
1. 2.3 Definisi (Joseph A. Gallian)
+ −− + ⋯+ dengan ∈ , = 0,1,2,…, adalah gcd dari ,−,…,. Suatu polinomial primitif adalah polinomial pada ℤ[] dengan konten 1. Konten dari suatu polinomial
Jadi dapat disimpulkan bahwa suatu polinomial primitif adalah polinomial pada
ℤ[] dengan konten 1
2.4 Lemma Gauss
Hasil kali dua polinomial primitif adalah polinomial primitif. (Herstein, 1996:159).
Bukti :
(Dengan menggunakan bukti kontradiksi)
dan masing-masing adalah polinomial primitif. Andaikan bukan polinomial primitif. Misalkan p adalah konten prima dari , dan misalkan ̅ , ̅ adalah polinomial yang diperoleh dari , dengan dan mereduksi koefisien-koefisiennya ke modulo p. Maka dan ̅ = 0 adalah elemen-elemen dari [] dan ̅ = elemen nol pada [ ]. Akibatnya ̅ = 0 atau ̅ = 0 . Hal ini berarti bahwa p membagi semua koefisien dari atau p membagi setiap koefisien dari . Dengan demikian, baik maupun bukan polinomial primitif. Hal ini kontradiksi dengan dan masingMisalkan
masing adalah polinomial primitif. Kontradiksi ini disebabkan karena kesalahan pengandaian, jadi haruslah
adalah polinomial primitif .
Contoh :
= 11 + 21 + 5x + 2x + 13 ℎ = 5 + 7 + 2 + 1 . Konten dari = 11, 21, 5, 2, 13 = 1 maka polinomial primitif.
ℎ = 5,7,2,1 = 1 maka ℎ polinomial primitif. g = 3 + 12 + 15 + 6x + 9. Konten dari = 3, 12, 15, 6, 9 = 3 maka g bukan polinomial Konten dari
primitif.
.ℎ = 11 + 21 + 5x + 2x + 135 + 7 + 2 + 1. Jawab
.ℎ = 55 + 77 + 22 + 11 + 105 + 147 + 42 + 21 + 25 + 35 + 10 + 5 + 10 + 14 + 4 + 2 + 65 + 91 + 26 + 13. .ℎ = 55 + 182 + 169 + 78 + 66 + 10 + 74 + 95 + 28 + 13. Konten dari ℎ = gcd55,182,169,78,66,10,74,95,28,13 = 1. maka ℎ adalah polinomial primitif.
3. Ketereduksian Q Atas Z 3.1 Teorema (Ketereduksian Q atas Z)
∈ ℤ[]. Jika tereduksi terhadap ℚ maka tereduksi terhadap ℤ. (Gallian, 2010). Misal
Bukti :
= .ℎ, dimana dan ℎ ∈ ℚ[]. Asumsikan adalah primitif. Karena dan keduanya dapat dibagi oleh konten pada . Misalkan adalah faktor persekutaan terkecil (lcm) dari koefisien denominator . Dan adalah faktor persekutuan terkecil (lcm) dari koefisien denominator ℎ. Maka = ∙ ℎ dimana dan ℎ ∈ ℤ[]. misalkan konten dari dan konten dari ℎ. maka = dan ℎ = ℎ . keduanya dan ℎ adalah primitif dan = ℎ . karena primitif maka konten dari adalah . Misalkan
Dan karena hasil kali dua primitif adalah primitif, maka konten dari
ℎ adalah . maka = dan = ℎ , dimana dan ℎ ∈ [ ] dan = , ℎ = ℎ. Contoh :
= 12 + 5 2 reducible atas ℚ Adt : reducible atas ℤ. Karena reducible atas ℚ maka = 12 + 5 2 = 3 344 + 83 = ℎ Diketahui :
Sehingga didapat
= 1,4 = 4 = 1,3 = 3 = 43 34 = 12 3 → = gcd12,3 = 3 ℎ = 34 83 = 12 +8 → = gcd12,8 = 4 Maka
= = 123 3 = 4 1 ℎ = ℎ = 124+ 8 = 3 + 2 Sehingga
= 4312 + 5 2 = 434 13 + 2 = ℎ Atau dapat ditulis = 12 + 5 2 = 4 13 + 2 = .ℎ ∴ reducible atas ℤ.
4. Mod P Irreducible Test 4.1 Teorema (Joseph A. Gallian)
∈ ℤ[] dengan derajat polinom ≥ 1. Misal ̅ adalah polynomial pada ℤ[] yang diperoleh dari dengan mereduksi semua koefisien dari fungsi yang di-modulo-kan dengan p. Jika ̅ tidak tereduksi pada ℤ dan derajat polinom ̅ = derajat polinom , maka tidak dapat tereduksi pada ℚ. Misalkan p bilangan prima dan
Bukti :
Berdasarkan dari pembuktian dari Teorema sebelumnya dimana direduksi oleh
ℚ ,
maka
= ℎ dimana , ℎ ∈
dapat
Z[x],
dengan
dan ℎ mempunyai derajat polinom yang lebih kecil daripada derajat polinom . adalah polynomial yang didapatkan dengan mereduksi Misal ̅,̅, ℎ semua koefisien modulo dari , ,ℎ. Karena deg = deg ̅ , maka didapat ≤ degℎ deg ̅. Berdasarkan deg ̅ ≤ deg deg ̅ dan deg ℎ , hal tersebut kontradiksi dengan asumsi bahwa dari yang sebelumnya, ̅ = ̅ ℎ ̅ tidak tereduksi dari ℤ Contoh :
a.
= 21 3 + 2 + 9 Setelah direduksi terhadap maka didapat ̅ = + + 1. Berdasarkan teorema derajat 2, t ̅ dapat dikatakan tereduksi jika mempunyai pembuat nol. Karena ̅0 = 1 dan ̅1 = 1, maka t ̅ tidak mempunyai pembuat nol akibatnya t ̅ tidak tereduksi di ℤ . Dan karena derajat = derajat ̅ maka tidak tereduksi di ℚ
5. EISENSTEINS Criterion 5.1 Teorema
Eisenstein’s Criterion
(Josseph A. Gallian)
= + −− + ⋯+ + ∈ ℤ[] Jika terdapat bilangan prima sedemikian sehingga ∤ , |− , … , | dan ∤ maka irreducible atas ℚ Misal
11
Bukti :
= + −− + ⋯+ + ∈ ℤ[] ∃ prima ∋ ∤ , |− , … , | dan ∤ Adt : irreducible atas ℚ. Diketahui :
(Dengan menggunakan bukti kontradiksi)
reducible atas ℚ. Menurut teorema 2 maka reducible atas ℤ. Sehingga ∃ , ℎ ∈ ℤ[] ∋ = ℎ dan ( ) ≥ 1 , 1 ≤ (ℎ) dengan = + −− + ⋯+ dan ℎ = + − − + ⋯+ karena | dan ∤ dengan = maka membagi salah satu dari dan , Andaikan
tetapi tidak membagi keduanya.
| tetapi ∤ Selanjutnya, karena ∤ dimana = maka ∤ dan ∤ Akibatnya terdapat suatu bilangan bulat positif sehingga ∤ Perhatikan bahwa = + − + ⋯+ Karena maka | dan ∤ ∀ Akibatnya | , kontradiksi dengan ∤ dan ∤ Sehingga haruslah irreducible atas ℚ Misalkan
Contoh :
Periksa apakah
= 3 + 15 20 + 10 + 20 irreducible atas ℚ ?
Jawab :
∃ = 5 ∋ 5 ∤ 3 ,5|15 ,5|20 ,5|10 ,5|20 tetapi 5 ∤ 20 Berdasarkan Kriteria Eisenstein maka irreducible atas ℚ Karena
6. Lapangan Hingga Definisi (Lange, 2011)
12
Suatu lapangan yang memuat elemen sebanyak berhingga disebut lapangan berhingga. Lapangan hingga yang memuat sebanyak q elemen dilambangkan
Contoh
Himpunan
ℤ = [0],[1] adalah suatu lapangan hingga karena ℤ adalah suatu lapangan
dengan banyak elemen yang berhingga.
7. Lapangan Galois 7.1 Definisi (Vanstone dan Oorschot)
Jika F suatu lapangan hingga dengan q elemen, dan n bilangan asli, maka F dilambangkan
= dengan p bilangan prima dan
elemen digunakan suatu polinomial tak tereduksi dengan derajat n dalam []. Untuk kasus = 2 , akan dibuktikan bahwa selalu ada polinomial kuadrat tidak tereduksi dalam []. Ada polinomial monik (polinomial dengan derajat ≥ 1 dengan koefisien adalah 1) berderajat dua dalam []. Jika suatu dari polinomial tersebut yang dapat Untuk mengkontruksi suatu lapangan hingga yang memuat
direduksi, maka polinomial tersebut adalah suatu hasil perkalian dari 2 polinomial monik berderajat 1.ada tepat p polinomial monik berderajat 1. Menggunakan polinomial polinomial monik berderajat 1 tersebut didapatkan
2 + polinomial monik yang dapat
2 adalah kombinasi 2 dari p, sehinggan banyaknya polinomial kuadratmonik yang tidak tereduksi adalah = 2 = 2 > 0, ≥ 2 direduksi, dengan
Yang membuktikan keberadaan polinomial kuadrat tidak tereduksi.
Contoh
= 2 dan = 3 ,ada dua polinomial monik pangkat tiga yang tidak tereduksi atas ℤ yaitu + + 1 dan + + 1. Misal ambil = + + 1 sehingga elemenUntuk
13
2 adalah [0], [1], [], [1 + ], [ + ], [], [1 + ],[1 + + ]. Jika + + dilambangkan dengan maka elemen elemen dari 2 adalah 0 = 000 1 = 100 = 010 1 + = 110 + = 011 = 001 1 + = 101 1 + + = 111 elemen
7.2 Teorema ((p(x)) ideal maksimal di F[x] jika dan hanya jika p[x] irreducible)
∈ []. 〈〉 merupakan ideal maksimal di [] Jika dan hanya jika irreducible atas (Gallian, 2010).
Misal lapangan dan
Bukti :
[⇒]
[⇐]
∈ [] 〈〉 ideal maksimal di [] Adt : irreducible atas 〈〉 merupakan ideal maksimal dari [] , maka 〈〉 ≠ [] Karena 〈〉 ideal maksimal maka 〈〉 ideal prima Sehingga = ℎ akibatnya ∈ [] atau ℎ ∈ [] Maka, konstan atau ℎ konstan Sehingga irreducible atas Diketahui
: lapangan dan
Diketahui
:
suatu polinom irreducible 14
〈〉 ideal maksimal Misal = 〈 〉 adalah ideal dan ideal lain dari [] Karena , ideal dari [] maka ⊆ ⊆ artinya = atau = [] Karena lapangan maka ideal utama, sehingga = 〈〉 ; untuk suatu ∈ [] Karena ∈ ⊆ maka = ℎ , ℎ ∈ [] Karena irreducible maka konstan atau ℎ konstan Jika ℎ konstan maka ℎ = untuk suatu ∈ Sehingga = . atau = . − berarti ∈ berakibat ⊆ Karena ⊆ dan ⊆ maka = Jika konstan maka = , untuk suatu ∈ sehingga .− = 1 ∈ Oleh karena itu, untuk setiap ∈ (karena ideal dari [] maka = [] Sehingga dapat disimpulkan bahwa = 〈 〉 adalah ideal maksimal dari []. Adt
:
Contoh :
= + 5 + 5 di ℤ[] Adt : 〈 + 5 +5〉 ideal maksimal dari ℤ [] Artinya hdt bahwa irreducible di ℤ = 0 ⟶ 0 = 0 + 5.0 + 5 = 2 Diketahui
:
15
= 1 → 1 = 1 + 5.1+ 5 = 2 = 2 → 2 = 2 + 5.2+ 5 = 2 Karena tidak mempunyai pembuat nol di ℤ , maka irreducible atas ℤ []. Menurut teorema 4 maka 〈 + 5 + 5〉 ideal maksimal dari ℤ [] 7.3 Corollary ((F[x]/p(x)) adalah lapangan)
Misal
lapangan dan polinomial irreducible atas , maka []/〈〉
adalah lapangan. Bukti :
Diketahui :
F lapangan
polinomial irreducible atas F Adt : []/〈〉 lapangan Karena polinomial irreducible atas F menurut teorema maka 〈〉 ideal maksimal karena 〈〉 ideal maksimal, menurut teorema maka []/〈〉 lapangan |, maka | atau | Misal lapangan dan ,, ∈ []. Jika irreducible atas dan | , maka |a(x) atau p(x)|.
7.4 Corollary
Bukti :
lapangan ,, ∈ []. irreducible atas | Diketahui :
16
| atau | Karena irreducible, maka []/〈〉 lapangan. Karena []/〈〉 lapangan maka []/〈〉 daerah integral. Berdasarkan teorema maka 〈〉 ideal prima. Karena |, didapat ∈ 〈〉. Jadi, ∈ 〈〉 atau b ∈ 〈〉. Artinya | atau |. Adt :
7.5 Kontruksi Lapangan Hingga
ℤ, Langkahlangkah kontruksi lapangan hingga dengan elemen dengan bilangan prima dan > 1 Jika adalah bilangan prima, suatu lapangan hingga dengan elemen adalah
sebagai berikut. 1. Ambil lapangan hingga
ℤ
di ℤ[] dengan deg = ℤ[] >= { + > ∈ ℤ []}. 3. Bentuk lapangan hingga
View more...
Comments
