statisztika 2 tankönyv

Ftf,*oLi d.[yv sz.a&

TARTALOM

SANMPf,.{EDR. IRISZT EVA fitir&obi.to€ls (9. 6$10.ftjczer) VARGA EDTI 6id.olai adjunltus O l, ftieret) vETizNE KENYERFSER TA n6iskolaildiegcd (6., 7. €sE.fejezlt) KoRPAs ATnLANE DR tlltotia 66s. A gyakod6ftladarokar Szert€szt6: KORPAS ATTILANE DR, fiJiskolai da.ens

0_\cr

-qs'

Szakrnail€klor: DR. CSERNYiK LASZLO eget€mi ladr, ldsz6kvez€t6, a matenatikatudomiry kaDdiddtusa

993rt"

A miimrs kladvtDybaDvalit rdszles€svagy teljes felhasmiLl6s4illetve ulinkozEs a had6 eng€dely€nekiil tilos!

O Korprs AttilAt€ dr., Siindomedr- KJisz Eva, Varga Edit, Veita6 KmyerEs Erila, Nernzeti Tankittr),i,had6 Rt-, Budrp€st, t997

6, MINTAVETEL

8 .1 . A s t ads z t ik a i h i l o l e z i s v i z s g a l a i h d e l e ............... ___95 8.4.E$,rninldsstatiszlikaiprobrk..............-.....-.........-... . '. '' .. . 86 p sr6 b rk .... ............-.......... 8. 4. 1A v 6r hat6e rt6 k k ekla p c s o l a i o ...._................_86 8. 4. 2. - ^s ok a s n s i s z 6 rrs ra v o n n * o rc p r6 b a ....................................................91 8.4.3.A sokas6giarinyszdmmal(val6szinijseggel) kapcsolaros pr6ba....... 93 8.5.K6tninri! steliszlilaipr6bdk......... ....... ....... ...... ...........95 8. 5. 1. K els o\ a s e g i v a rh a to e n € k k i i l d n b s e g6nckv2s9a1a1a............................95 8. 5. 2. K 6ls ok\e s i a rtn l ra (v a l 6 s z i n i i s 6 g re )voml koz6pr6ba............. t0O 8.5.3.K6lsokasxgisz6rAsegyezds6gerevonatkoz6slalisztikaipr6ba...... l02 8 .6 . E A y ebhipot e z i s v i z s g n l a ro k ...............- ..............-...................................... ..l 04 8. 6. 1. I lles z k e d 6 s v i z s g A l a t.. .......................... ...105 8. 6. 2. F iiA 8e tl e n s e 9 v i z s g a l a l ........................................--... . - ... .....109 8. 6. 3.V ananc i a ma l i z i s ...... tt2 --.--...........-.----.......... 8 .? .G y ak or l6f ela d a (o k .... ...... ......118 O.KiTVA] ] OZOS KORRILACIO- Es RLGRTssZIoszAMiTAs 124 9 .1 .K eNilloz 6sk o n e l d c i d s z d mi 6 s.................. ................. ...................125 9. l. i. A k ov ar i a n c i a ........... - -...-.. ....?d 9. 1. 2. Alinelr i sk o rc l Sc i o e sgyiinhal6 .. .. ...................................131 9. 1. 3. A r angk o re h c i d s e g y n (h a 1 6 .......... ............................-..-.-.-..................l l ? 9 .2 . K €t v 6lt oz 6s re g re s s z i 6 s z e m i trs ........... ................. .....-.---.--143 9. 2. 1.A z elm € l e ti re g r.s z i 6 ...-................ ..... .... ......................._.._......143 92. 2. A t apas z ta l a l i rc 8 re s z t6 ......---..-....................--...............-...........145 9.2.3.A reSressziofijggv€ny param&erci.ekmcghaiirozisa......... . ......150 k l c s e r6 l h e t6 s ........................... 9. 2. 4A v A lt oz ofc €ge ... ....---.......165 9. 2. 5. A r u8al ma s s 6 g j e g y i l tth a t6 .......-............................' -...-......' 167 ......' ....... 9.1. Staljsztikaikijvetkeztct6sek a ketwiltoz6slinEi.is regressn6ahpjen.....--.. ....170 9. 3. l. A r es r ess z i 6 s mo d e l l fe l tc tc l rc n d s z e rc..................-...--............ ... 170 9. 3. 2.A r egr es s z i 6 b sc c s l €pso n i o s s e g a nm6 a k.e se ...............................171 9.3.3.A regressz'6iuggv€ny paramelereinck iDtcnallumbccsl6e...... l7 6 9. 3. 4.Regr es sz i b 6e s c s l 6 s csk p ro 9 n 6 2 i s o k ... ............... ..-- . ....-----.......177 9 3.5.A resrcsz'6tuggvenyeredrdnyeinckhipot6zscllendzee ........ 180 9. l. 6. A r ez idu a l i s v 6 l to z o ri z s q l l ' .a .......... ....................-...............186 9. 3. 7A par am € re re k ro b u s z l u s b c c s l 6 s c .-.............................. .... ..........189 9 .4 .Neinlinedr .is eg rc s s z i o ... .........................-..-.-.............-...l 9l 9 5. G y ak o. L6f ela d a..l o k ....................... ....-t98 I(] IO B B V A I I O , / O S KOR R I-IA C IU [SR F C R } SS ZIOS ,/A Mi IA S

..... 20]

l 0 . 1. A lileir is r es re s s z i o n i g s l i n y n c g h a ti ro z e sa...--.. .......203 10.1.1.A haromvalbzdslinearisregrcsszi6fiiggveny ..-........................ ... . ..2O4 I 0. L2. A Ieskisebbnes'%tekn6dsz€reestulajdoDsnssi --..............-...----.....2t5 l 0.l .3.A reSresszi6fiiggv6ny paruitereiDck iDlerallmb@sl6e ..--...-.......2 18 l 0.l .4.A resresszi6fiiggveny eredrnenyeiDek ellenijrz€.e.............................219 t0.1.5.A variaDciaanalizis alkalmaziisa a t6bbvaltozos rcaresszi6sztni$5ban....... 222

l 0.2.Tit bbvilt oz6skonelaci6szdnf ies. . . . . . . . . . . . . . . . _. . . . . . . . . . . . . 224 | 0-2.1.P,trorkenrikorrel6ci6se8yiifiha16. . ..................224 10. 2. 2. Par cielskor r €laci6s cgyiit t hat 6.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .. 228 I0.2.1.Tdbbeorirskonehci6s6s der€nnineci6s egynrhat6.........................230 10. 2. 4. A m dnkolliD€ar it6s d6m 6r 6se.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . .. . . . . . . 231 l 0.3.N6h6. ykiegeszilesar egr esszi6sz, r nildlhoz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 0. l. l. M in666giism 6r vekkezl€sear €gesszi6smben. ode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 10. 3. 2. A t 6nyezt jviilt oz6k kivehszt Asa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .. 2lil . 104 Gyakorl6f€ladalok.-.-.. .. .....219

I LAz rDdsoRoK OSSZETEV6NEK vrzScALATA......... . ......................... .242

Il -l .A zidSsof ok0ssz€t cv6i- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . __. . . . . Addir iv6sNlt iplikar ivkom por ensek . . . . . . . . . . . _. . . . . . . . . . . . . . . . . . _. . . . . . . . . . . 24 _ 11 . 1. 1. I l .2.Trodszt m jr t s- . . . . . . . . . . . . . . . . ___. . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 . l l .2. l- Tr €ndjr zim i1dsno28oe11a9oHssa1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II- 2- 2. Ar alilikust r endszim it 6s. ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 l 1.3.Asz€zoEhesvi2s9at a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2'/ 2 | 1. 3. 1. Sz€zonil's elt 6r esek szr m iesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . .. 272 11 . 3. 2. Szezonir dex€k szt nit iisa. . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215 .. Il .4.E l5r €jelzesazer edncny€kaI apjan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27j I l .5.G yakor l6f €f adat ok. . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . .2BA .....

FU GGE L EK. . . . . . - . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 l. tiblizal. A stadtd non Itis eloszb$i valoszin(se8i valtozo el oszl asf iiggvm ymUbleza! ek . . . . . . . . . . . . . .-. .. .. . . . ...... . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 2. ftbLtzdl A l'?-€loszlrsl6blizata ............ ................2a8 3.bbLt2ot AzF- e1osL\ iur t h1ipat 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 4. dbld2or. AStudeDr-ftlet-eloelrs rebl62ata........... ......................... . ...................296

.... T6rglmutat6

.....

.....29,7 294

6,MINTAVfTEL

6.1. AJrpfogdmrk, iel6l65ek Tdf6nyvio& cls6 totdtb€tl a m€ef$/ell slatisztilsi sol('sdgeleln"is6reszolg116ttrl6nb6d !s*6zal|d, nui!66ztuoLtil islEtcdtibk trleg.A sol6s6gotiernertD.|( fel6td€zvej fig/€Imiintet csrk flr fordftotulq [o5/3r Ll€t sEntt 6sszedel€1, v5ltouto{t i6rv{dysz.rfiigrit m€gvizsgihi. N€n €r|iinr ki r6sdetes€narq hory az rlrp.dalottoz i.lj€s k6if vrg/ sz&86 fth/6tdlcljtdolbDl. Uti5lagad moDdhatjuk, bog/ .z €ddigi€Lsorh n€efg,€lAlnnk a sa*&srCnind€o €lernire kiterjedl, teh.At [t^p,0tid*.Ebben! k6tetbenobnn sor,s,bEdj6 ffi nqtaal,k'h tuArif,r m6dszecttel^irn€*€di* tD€g;Nnrd}Efhrztu &[b€8ps a sok si8 tnind€ixeeyes G i! k*en566ennk. cl€o6.&D.gfiS/elele,mivel 6E s|,ha A drsrd.lni-8lzdrdisi s.rtilrtit{brn az@be az ldatoLboz vtr6 hozdjut& S,rkori fom*ja a szlAes rdatSrfij!*, nelync& €srik m&.ja a r€$€z€Dtdv rnegis,€l€s. R.pr€z€atdv ncgfiS/€us€ vagy mts n€v€odnt v6tclesma8fis/elA$€van sz .36epl. a lato6s{gclc&&trmaaxtvcl rrFsoltl6 ttdaset (i6v€dclcB,fosyaszt6Eir&a8-cllafr.6si elj6r{saihoz si szokiso&S-) D.gvilalzolft{hoa r tSnEel€ttDe|.s bccsiljm d. a vfttro te'm& metrnyivlSf . r6zva,Lnaay*utrttoddo"- lly 'rodd tet'dk aysegemr €{€dndyeit is. s6eeta ner6g.zdn{g!fl v!S/ a tiwalrftoarsok Vd66zidsagetultl6 c- t6rBbrn b fo8lil}oztur*.) ftrd€seldrel n& a @yaFnegf g,,lva t nbta'Ztel c6lja,bogy wlamely A r€prEcrt!.iv rD€gtrS|€lis,tu iorrsfg €g/ r&vAr& nGgf$,El&c r6re r6yclk€r.rtas€*e.tudjuk levmd a soktsag vordloz6$egEszere, uD'kjellcbu6iE, 6cszei6tel&e ,aa a sotutAEA atndry a egixtaglwl hdw*etdri sze.d"6nlt tl, "rndaetteJ ree,ia aneb atapjdna Lnw&eda:ebt tMjuk, *B,ar,}, a2 atqsotusnE azon Dlrbto|.rdgr.t rr',€rzril A tovibbid'bm !z alrFotas6got t6ridE\ sol@nsna*.a mintasolcsngotpedig tuEit'kwrfai. ',il/"iraL T€lddsft ,t cl6szori solrs{s ncsrd&6.ti( n6djail 6s a legfontosabsokasrgi jdl€oz6t€t A sofa{g d€os&. l€$.t v68psi.g/ v6gtrt.d L€S/@ X a sdGig ry isdarvc. Ha a so&rtdgh6lv6lcd€tsrsf€n kftineliink €6r €S'€d.r,€Dek i!dar!,&fke s v€l€d€dd mgg,€utr w.l6sirfirtei wrlou6,€zl a v€l€tler6f frs86 isn€n {r€f(ct jcldljc { . Er,lc I cloczl6sftss,lenye(xl = \E < X).

I I I

V6g€3 sokastg esefm az cSyedcket.illetv€ a2ok km€^,6nckeit nagysnSszerinl sorbarerdezhetjiik. Az isn6rvenekek legyenek

x\< x1s x 1 relrci6jeleket basznelhalut. A nullhipot6zistni D'.n1tgegyeniSs€sformdjebanfosalm zzuk nrc8. rzdz ,l nullhipot€zisa bvnbbiakbaDnhdig egyszenihipot€zis,ftig az ahemarivhipotczisiink ritbbnyire atssz€tenhipotdzis lesz. Paldnul ha az ellidsunk az. bogy a sokasdSvdrhat6 eneke (rr ) egyenl6 egy u0 el6r€ rogzftett cn6ld(e1.allor a nullhipotazjs ts az altemadv hipotezis a kilvelkezii m6don fogalmazhatomeg

Ha pcdia alremaliv hipot€ziskdr a, ellirjul, hogy az alapsokasdgverhalo efieke kisebb& un sz6mDil, akkot

Az a hiporu is, amellnek h€lyessegErail kilaerleniil ddnriint. a nullhipolizis, €s ddrt€siirkel mindia d alremariv hipoi6zisiirtkel szenbe. hozzuk meg. Mivet a nullhipoleis €s z alt€mativ hipot6zis kijlcsitndsen tizrdek c$bdsr, ddnt6snnk a nullhipolezjsl illet5€n ah€mativ ditnres lesz, vagy a nullhipotezist ( 110). vagy az al lernativ ( t/, ) hipol€-zislfosadju* el. A hiporaisvizs$fat eszkitze a strtiszrikd pr6ba. ,4 ptoba egf otyar etidri\ onel)aek sorAt a ninrnb6l szdmu6 i,fomA.iok atapjAn dt)nfink a nutthipatt:^ .t, foga dA,nft 1 vasy eI utasi t^ Arc L A slalistikai pr6ba v6grchajltsakora nullhipotezk 6s az alrernrriv hrnott/js megfogrbnzis uuin fcfadanrnld dinlaclphpl pA ,)l,ar !i!!hn\\aA d t,a\.,\, adelynek wl'sziniisieelos,ldra o aullhipoti.is hebressisAheklehitcte,t!., o lt)kultir ro ten bizon!6 kiltaitisek 6s a ninbvitel adott hidja netteft egi etnilah ,k,ahutui tozhot6. Az e kdyereln&ynek elegerrevi'figgv6d)r pr6brliiggv6nvnek ncvczzrk. A pr6bafiiesvmy a hipol€zisvizsgaht soran hasont6 szcreret tijtt bc. minr a becsliifiits$6n)a paramilcrckbtrslesekor.A proDdrugg\cn)k^nir,.uatdsa ruerar. kai feladat. A pr6ba v€srchajl6sakor az alkalmaz6nak csal a megfetctd pr6baftggv6nyt kcll kivelasztania- Ehh€z rudnia li€ll. hogy az adon hipotezisr milyen fell€teiek femelhsa esei6, nilycn minltb6l srb. melyik pr6bafiiaav€nnyet.lehctellen6rjzni. A lovnbbi lirgyalrsok el6tt isn€rkedj[nk me8 egy gyakan hasznelr figgviny, nyel, az [n. z pr6baftggv6mye1. A sokasrsi varhato €n€kJevonalkoz6 nlhas kszrel€ sehez(,€vezelescns0:! = n0 ) ha normrliselosrted sokasigb6lsznnnu6 , etelnii 71

4j,{r,....{, fiisse e!, azo.os eloszlrsnrninteDkvan es a sokdesi v6nts (d) 'snea a z pr6bafiissvenyr hasmdlhat6,amely a kitv€tk€26 fomnbe irhat6 fel:

n-n"

akkorezeD6n6kekkdziil virhat6d 95 esik a [ 1,96;1,96]i.tmallumba, h" h",r", "

= no hiporfzis. Mivst eeyetlc. minb nll rend€lkez6siiDke, ezen csak ern6l tudjuk ellenairizni, boSy a Hi!

a/n Ha

va16bu

u0

a sokasAg virhat6

eneke (ttlaga),

" akkor

liltul,

=1- ^o

hogy

D { r)-: ul' . i sy een probal tl 8vmya renrmcsha' l -u ti )-^ ,6 ,'ln n ' ' .t \ lirozotl fell6lelek melletl standardtormdlis closzlasf valoszintisegi veltoz6 lce. Ezt a v6lloz6t oly m6doD k6peztiik, ho8y kilotrluk egy val6sziniisegi vtlloz6b6l aDnakvr.ha16ertek€t 6s eloszottuk a szoresrval (ritviden standardiziltuk a val6s2inr[s€Aivalto_ zonkar). Tchft teljesiti a pr6bafiigAv6nyekkelszmben rimaszlod azon kaivetelm€nyl, hogy eloszlasaegy€nelmiien negha!6rozhat6,ha a Dullhipotcisnnk iau. Miv€l : a nullhipot€zis teljesiilcc eset6nsranddd nomilis elosrdsn, ponlosm mc8 lchot hogy mek].ora a.nak a lal6viniisc8c, hosy r valamel), [ 4; a] 'nondani, Fordiwa,ba mesadunkesy varoei intewarruhbaessen(P(-a no altemativhiPoteis esetctr 12 Abra Az etli8adnsiaso kntitu: tartona^vethel@adise o t r6baJiiAgfintnil mea a z A szeml€ltet5 dbii.k ittekintese u16nD€"zik meg, hogvm hattuozzuk = (TehAt d 0'05 ) pr6bafliggv€ny kritikus €n6kei15%-os szignifikanciaszint cse(en a" €nilek ki ern t@ct clos/l'st nomitrs p'otatuc8'env a', Viiet 'randrd kerescstheza Fnsseiak / tabh2ahil ha.%iLtltt}. aktor bal otdali kilikus tartoDrinnval O Ha n :! < no a2 altcmativ hipolezisntrk' ^ eses van dol$.k, s a kitikus ert€keI ., -val j€ldltiik Mivel a kitihs tartomitryba val6szinis6ge a, tehat

c, Haa Htt>no van, e mak

esete.

z allemtiv hipolasn k, ald.orjobboldali k.itikus tanonrnyuDk a val6szinii:6ge, hosy c/ 'tr61 MSyobb a pr6bafiiggveny szrLmitoll

en6k€, a . T€h6t "= \ ">", ) =t -

r ( " 15 perc. w ijsszer€tt cllerhipotEzistink van. A / m€ghaiirozisa uoDbd csak egyszerrii(pl l).5 pe,fl altemarvhrporei, rserin leberse8e. szanitsuk ki a mtsodfajn hiba elkatvetesenek a valdsziniis6g€ta to:g = I 5 perc eseten!Hastljuk fel a kordbban bullhipot€zis6s a tl,:/r = 15,5 perc€llenhipotezB mcgbadrozotrkilikus 6rt6kei,a 16perc€tl Mesodfajn hibit alkor kiiveaiirk el. ha elfogadjuk a nullbipotczisr, holon u el, lenhipol6zisvoll az igz. Mdsk€ppenmeglogdmuva ez ur jelenti, hogy a minrarillasxnk u elfogad.isi bnomenyba esik (kisebb, mi 16 perc) aDnak ellcn6rc. hosy ! H;p =15,5 petcaz Eiz. K6pletteltelirua:

0.9332

/:

15, 5 0.5000 0,2031

H,:/r

1!= l1, A

0,0485 0,0228

Tehil a misodfaji hibaclkbvet€sfteka lal6sziniisaSe tugg atol. hogy mcly cl lcDbjpotezis €set6nhatrroztxkmcA.A 3 4. nrlr a mdsodfajuhiba elkovetesdDek a val6szinfis€ga abrdzohukkiiliinbdz6 altemaliv hipotezisck cs.lm.

t(lu,,u=ts ;g..) t\rlHq=15.5t1u)

B =P (Irsrqp= r 5,5)

1(; u':p=t1,2 ;"u.1

Mivel csak a stdd&d nomAlis eloszhs ltblitzata 6ll a reDdclkez€siinkre,elitszbr a vdltoz6nkatet kell alalirmi standardDomilis clostrsnvd (slandardizilnuDk kell). s czt kitvct6en hatirozhatjuk csakneg a p en6k61.Tebtu:

r(, n i '

nte el

\^E Y H l l l + tuo

I

Az ismencttve keriil6 ket Pr6bakiztu6lag alkalnazisi feltetclek tekintel€ben ^2 16rel eglmestol.

Az egymintrs z-pr6b!' Ha a sokasdsnoranlts elovla:n, is a sokasde 6 szdzird (valdilvetr rany birlokiba!) isae'1. ald(or pr6bafii88v6nyk€nta 8. l ponibd felirt

€l6zeEs

-..

I

, Tekinrsiik a kitve&ez6 p€lditl szabviry szerinr100dkr,os rdmcggelCs L Egy aulolnatag6psorl;ret csomaSol, I dkg-osmegeDaedetl szmessal.A2 autornataellendrz6sarc l0 db-osv6letlenminril ven€k.A lemErtlisrcszacsk6kallagosrom€ge98 dk8 volr. Fctrctelezher6, hogy a gep iiltal lttltittt liszleszacsk6kt6ll6si tOmegc.omdlis eloszlisr kOver.Ellcnrjrizzijk, bosy a 8ep a szabvanynakmegfelel6cDcsonagol-e (a = 0.05)! Nullbipot6zisnnket - a r6ll6si taime8megfetel a szabvanynak a to:rl = 100 dks egyenlt'seggclfo8almazzuk mc8. Alremadv hipolezisnrk pedig .

Hr:l] * 100 dkg,

tehrt k6loldali s|ariszdlai pr6bri vigznnk r 86

a,-poba szlltodalomban haszndlalos

crnelezas 's

87

esa sz6r6sismen,z'pr6bdlaikalmazharunl' Milel a sokaseg nomrlis eloszlisn 6n6k6tt = 98 .lkg,d = I dkg6s, = 30 !zut6. kjszeniluka pr6bafiiggvany aktudlis 98- 100= j:--:j: :. =

" ]65

(a =0,05) eselena srandardmm61is closzlns Az 5% os sziSnilikancjaszinl tablizalAb6l \ngltlak I /nrhtdt az alremativ hipolezis fig-vclc'nbclilcl6\cl a fels6 leszkrnrkusanal: :, ,.. = 1.96 Az als6knlikus enel pedigennckminuszeSyszerese '"s)

r../ e l fo E.d d .i rd n om;n\ ; [- 1 .9 6],96j

Mirelaz elfogadesi hrloneny len tarlallntza a pr6bafligg\inyaklual,serrek€t. a 3,65 dt. a nullhipo1ezjsl elutasitjukaz alEmati! hipotazissclszembenYag! tt is nen ln hondhaljuk,hoSya liszleszacskok ldh€sil6nege 5% os szienifikaDcias/inten lcl mega szablrnFak. a,ncl)Dalcllb-rldiuk a Fc1let6dika kerdes,hogy van'e olra! szisnifikanc,aszinr. nullhipol6z;1.Ha megneziik a standardnomdlis eloszlrslrbhzatar.!71 rdFsrr.liuk. hogy r = 3.65'irtjz o(r)=0,9999 enek lanozik M'!el ketoldaliprobiil \egczliiol,r(,)-

roor,re.r-L=e,r,lars. 3 100+1,96 = 101. 1dkg Jl0

6

l .n ' .

hehelyer lc. , c \ A/ dholh"r t , * I nr , t J, cnc, et e. A / epl cnlor lcnscgbe "

u .u 0 n : Ten" r!' Jr(mLl LF(bb./,i r' fi kan.,a-

L r,u o ma, m c l l b o la ) sziDt cset€n logadtuk cl a pr6br1, ami ,.gyakodatihe' aa ielenlr- hogy 'ninder szigDlfikanciaszinlcD clutasitjuka nullhipoGzist A kritikuscncketa lizs8dlrjclcnsag.,m6n6kegys€g€be! rskfejczhcliik. Ehhcza

Tchnl az cltbgadasihnominyunk 98,9es l0l,l dkg kijzOltvar. A mi adttagunk,dmi 98 dkg, nem esik bclc cbbeu inlenallunba igy a 1/!,r 5%-osszignifikanciaszinten

E, ur6bbmondotakat€s a b€cslesetm6lctben ranuhakatfig_velembc vave nenr Deh6z6szcvemi a keloldali hipotezislizsg6hres az inleryalhmbccst€skOzij i hr sonl6srigorA hasonlosdg ellen€rca k6t eserkdzdna kiilanbsega kdretkez6.A7 inrcr lallumbccslesnel a rrtasda valanib,etpdtuhA.ftre adurk e8y. az .doll paramotcn I d lalosTiniisiggclhnalmaz6,a hlntit6l fii8li' vegtoDtokkatharirolt nrte a u Inot vala'ncly mintajellciu5b6l kiindulva.A hipor6zisvizssntal csct€benpedig valamely parmetemek a nullhipolezisbofellelelezcflenekdbi'liDdulunkkj, is a,,r,nl je .nrijre adu* egy olya! irredallmot, amely a Ao feDndlasaeser€n l_a ral6s2iniis€s{e1 tanalnrazaa minta16lEintia vdltoz6mintajeleh?i'1. A vizs8dhjelens6g kifcjczettkririkustftakeinekmcghat6.o,,m€rt€kegys6gben" zdsacsaka kdnnyebbmcg6r€stszolgrlta,a kesaibbiek soranren foerr.rk alkahnarri Az egy'ninrdsu-pr6ba.bbanaz esclbenis hasadtbat6.ha eAr rige\ szo st. trl v'leSes elosrldsnekaxAgbnlnagy etemsznmnfnggefl€nninrrt ycsznnk(a sokasdgi sz6re( ekko. ncm sznks€gcs Bnehiink) A minlaelcmcktnggettcnsigets a ralosziriisegszAmirrsb6l mcSismen.enbnlis hafirekbzhs titete nj^( a

, -4r!"

6

' ' :." " : . 8\ enlu. lc n " i s e r "i

i- nr r b < h e \e ' ,e i re.ee -

-

t,,

lclkez.i fonniib! kc1l iitrende2ni:

'; ,1"

l

I

il

it lt It

II

88

,.

fel ba./nrl a!,urrn a to-

pr6bafiigeviny ahol ; a lehersagcs mintrtbot szanibn korigatr emlirikns szores kizelittileg star.lald tomAlis eloszb\t1 lesz,ha a H0 r8az.A prob! vegrehajttsa soran hasanlr kririkusin€kek renncszetesen ugyanazotmaradnak. Konkftt nintd es?th apftbafiggviny meglalosuh€n€k€nekkiszrmitisaa

,,_"

J;

t t t t I

t I I I I

t I l I

r I :l

:, i

r' H":lr = 100 dkg

Az egf,Inintis1-pr6ba s2r8orufclr[rc' Enyhjtnok valamelyc$a z'pr6baakalnuasinak meslchctoscn l€inl Az egymint6sr-lr6ba v6grehajtlsrhoza rr*azi8i elos2lttssTiA\;t nem *'u ir nentnk, dt u sokdAg eb\rtuAtok toribbla is namttlnnak k letnie Ebben az cscr_

H : t 1+ 100&g

A pr6batuBgvinymjnlab6lsramitofiineke:

,-"t=9-o- ,'-

6 t,

I I I I I

t=i

t ,l

A s,/ =30-l=29

szabadsegfokhoz €s0,05 sztgnifikanciaszrnther tdrtozolihi' krjti kus 6ndk a Studenl r-eloszlistabldzarib6l(rng:rettkl. fibhzut) /;.,,,J= 2,05 Az also

6 probanjggvany hasailhalo a ,'r0 ellen6ztsere Aflennvibena t/c i8az,6s a sohsrig Stutlent closzlrsa val6bd non rlis. akkor a r pr6bafijsgleny.y'- n t '2abadsAdokn szijkseges vesrchajdsthoz a kdmyeD felirlatjut alaFzva ,-e1or:/rrr kdvel. Erc Proba amelyekera 8 4,;bltualbar foglaltud(ossze elfogadasitanomenyokar, Sl hbttzat hatdral a eien ili*nndaeint ,4l-pr.tbo elloEaddsi hnahdnfiMt

ne el

[' j ' ,-[

l'=',*l l I -,,;::

t I I

.^ ,

bala Konk t nihta esetA aVbbafiig8ldDy€nekela lijvelkez6 dsszefiiggessel

h=

i -n " .

G Tariink visszaaz clijztj peldalrozlFosadjukel rovlbbra is a21,hog) a sokasiLs closzlisanomrlis, de a szonitr eainal a ni eb6l becsnljiik 30 mi.€s crcdmenvei i = 98 dke, r = 5.5 dkS.

kjrikus cn6k emek a minuszcsys,erese, eaz i=i;,j= /;:,r = 2,05 Az clfogadesiranomdny:[ 2,05i2.05] Miv€l pr6bafii8gvenyiint 6fi6ke beleesik u etfogadasi tanohinyba, cz€rr a trullhipol€zislelfosadjuk.Tehdt 5% os sz'g.ifikanciaszintena s€p a szabvd.)nak megfeleli'encsomagol. Vizsg6ljukmeg,hogynris szignifikanciaszinten clutasitjuk-ca pr6bdt A Sruderr r+loszl:isdbllizatibana.\'zl: 29 szabadsigfokrilolyan 6'1akdkell keresd,amellnll ar, (va8yannal m inus/ l{/ e, e. ei ug}ohl- t / d/ l. - 0 t UJr t d 0. . : . , r ot (r = 0,1. Tehit 0,1 es szignil'ikanciaszinten mrr clutasitjuka l/,,t. Ekkor t0,/,.nn.k a valosziniisege, hogyaz igaz I/.-lelutasitjuk

8.4.2. A sokasdgi sz6risra vonatkoz6 pr6ba Gyakori feladata sokasrgiszortsralonarkoz6 fettclas cltcndrTisci\ A 7 4 I ponlbanlehk, hogy a sokasasisz6rnsbccsl€s€re a kodedh tapa\7r,ti 1 s/(i,,nr t,i\/ niljuk. Intepauumbecslistcsakal*or tudunk adrj, tra a sokasigDonniljs et(r/l,ni A koDfidcnciai.tedallummeghadrozisalalleloszldsra alapolluk.A n)kxstisisz(irn ra vonalkoz6hipotez'sellenijrzasckor is ezekrcaz rsmeretekctdmaszkoduntttov(l.rl isn6rcljiil neg az oh elmondohakatHa a sokasrgs?oras! o0 es lrrtratd cnekc (Arlasa) no. aktor i,, , r,B , = 0 . fesz.A n@6

haau ryaz

vituhar6 6ncker€a:€,nt\et M\6:)=o',

Vezessiitb€a H a :l tt= tt2 = .=l tM= P vaay a H o :P , = P 1 = . ..=P a = o nullhipor6zist. A felirt nullhipot€zisck egyeErt6kdek azl e iJlitidisel,tto:.y e X (M lrdlyskalen rnert isn6rv) v&ha16 €rteke frggellm a sokasigokal meAknldnbitzter6t6Dyezdt6l (a noninilis meresi sknHtr n6n ismervt6l). A vrirhat6 enek lehil mi eD r€szsokasigbane$,enl5 u egyesitelt sokasig verhat6 6rle*6vel, a / ,vel A felin - k6t cgymrissalelaivalens nullhipor€zissel szemb€naz az alr€madv hipot6zis ,ll, hogy a rrr soksesi adagoknaknem mindes/ike esik esybe a /] -vel. az egyestteh sokArai irlaggal. (Ezel egyeftrtekn u u ellenhipot€zis, hogy Erezik olyan Br, amely nen €gy€nl6 o-val.) A nullbiportis cllmijrzesere szolgil6 probanisgveny a

$ i t, - . , r 'S ir , -i ,l .L !.,\

FI

LLFI

!

"

' *L " ,l i,il

\1

si er6sered'€nl€l ( i=t , . . . , , , , 1=t , . . . , a) , t -gal az minla illaSil- Legyen -egyesiletl"

..t4:,

S=))[,"

a t asdrCs ir - vel a l- edik ( r €sz) m inrdr

t,

a kookretmiodb6lszirnironrelJeselrere$ndgy/erblszc8.

- rl

a tonkre! m'ntibol szimirodkijlsdelredlndgyzerbss/e8.

!'

. LlA, - tlo' +tM tt6l 1,

ttsszefigg€senalapul, ami nem mis, mint z I. kdrer l-4-3. pontj6bar meeismen 6sszeniggesnek u eeyesminLilaa 6s az es€silelt mir Amlorlen6 alkalmzisa. A modell kiindul6 f€ltclclei (u egyes sokastgok nomtlis eloelasfak, €s a v6 ri\ail megegyezne*, eselatra nulihrporeaslEaelesereaz

ll4

Teh.il a probaftiggvetr)Dek mind a szimhl6ja, mind a n€vez6je dr becsl6sel adja. Ha az elletrhipo6zis az isz, ar*or a sz6lrli 6 nasyobb lesz. minr a nevez6, ez6d a pfttb'rjobb ol.lalt *ritibls ldrlontir4lal kell \i:|.]leh^jtant. K@krAt ninta eseth Jeliilink x,, -vel ar:€dik sokasesb6lszarm.zd t-cdik mcsfi,

Sr

),,1r,

",=,!,i('"-")', =ia,

-+:

ako*ra mintibolszimitotb€h6elt6r6s,

n€$zetOs.szeg.

l15

hatrrozhalo Ekkor a probaluggvenynegvalosull eneke a koletkezd dssT-eftggdssel

feltitclczhetii.A rneefigyclas oszlesnnaktekintherij,rovebbi a sz6rAsokegyez6sege ercdnenyeit a 8.I5. iblAzot ldrtalmaz .

.s" -

8 t5 tdbhzat A. eg,"s.lo lsazoI tel 6 i tmanta da1aI

M -1 4

"4

tfz-l t

v

\

tl \' (db)

n-v Ha a nullhilotdzisisaz, akkor azrmondhaluk,ho8!' a nominrl;sm6resiskrlrn semilycn hattsa sincsr aiinvskn!:innen mdn jsDeNnek a szignifikanciaszinten ism€n' ,llagosnagysegrraHa pedigaz allemalivlipotezis az igr- akkora kel ism€r| kazOtr szlo.hasztihts (vag figgrenrs2er4 kopcsolot illl 1aem. A pr6bavcgr€h3jlasahoz sznksages szamilisol elvagzeser mcgkdmln' a vdirD ciarnalizis tabla, amclyDek senej t konkrit ninta e\.1in a u l1. ttibli.ot lan^l

i(',,-t' 5 5 5 5

D

I n. 6 51,9 72E,2 60.2

vizsgnljuk meg, hogy ! 4 dolSozo atiagosleljcsitm€nyeazonosnaktckinrher6-e Yoriunciaa n01i, i ln bb :i n nju

El,is2d!iiuk fela nullhitotdzistdsaz ellenbipot€zistl Ito:ttt=p. =p- =p! ,

H : I er ezilolya! r r , , am elyneoegyenl6 a t dbbivel

A probaliiggv6ny kjsziimittsahoz:

s* = u,,li,

i/

r, =:,:,(.,- r,I

Ji

. t , = 117, 6+i73, 4+ 228, 2+ 86, 4= 605, 6,

,lL

l < 5q. 1 l5 p,xI

v6gesr\rtasn 6s t Ha a sokasAg

i M(x)M(yt,

Mtx )=>p,.X, is M(r)=>p.rYt

Ndzitnk egy p€ldrt! Egy lelepiil€s *itnyvtjlttrEk itssz€sen50 b€ira&ozott olvas6ja vo. A kdlcsdnzdlr kotetd( sztma (db) €s a kdlGdnz€si id6 (bCr)kdzoni itsszefiigg6stkivdnjuk vizsselni. (A kdnyvlri k€thelesid6tartamoka k6lcs5n6z €s legf€ljebb k€tszer hosszabbirjameg a k6lcsdD"isi id6t.) x a t6lcs6nzesi id6 (h6t), y: a kitlcsituijh kitler€k szrma (db). ( Adaok a 9.1. tibl62otban.)

azx. irreweazyisrntrvvmar ]l*.

i Val6szln!*gsrnilrs 163.,168.,179 126

127

9.1-dbliar Az ol@ek hegoszbta,6l6ikziri idd it z litlsa"zij

K€{d€s,hogy a kovariarciana$/segamennynesz$osszlochasrikuskapcsolatot jelez.Brc azants neh€uvilaszolni, men a kovarianciarcn dimeui6 n6lkiilj szem, ragysisa fiigg I vi^g t isn€rv€krnen6kegyseg&61. Sznmitsukki a kovarianci,itazel6bbip€l& a&laib6l, a kitlcsitnlsi id6t ^zoDban merj[k! (9.2.ldrlrtat) nosl Dapokban

kii|tek szeritl

K6lcsitnrn(t6ret k szem {db) / Y.

t r) ati -!' E, i,/' l5

A kitlcsitnzesi id6 edaga4 het (t=4). ( f =2 ) .

9:

9.2. ftblizol tz olw6'k neg$zlata knlu'msi id6 as a k6l66nzi

t5

7

\ 2

l

20

9

I

I

t5

szerinl 'teteI K6lciiDz6ll kitletek szrtum(db) Y

50

A kitlcsdtrzou kdlerckerhsossim

X, =28

t). -. " --ri$,r. ' N,i-.'^^, ;ll|,

Cr, -

, i ,:;r;f.,"-,,

r-2r r-1)+9 r-2) 0r2.(-21 t+t( 2) 2r 8 0 r-rj I 7.0.0r -so-13 + 2.0 l+ 3.o.2+ 4. 2 (-lt +9.2 O+t. 2. | + t.2. 2l= t-=-16 a 4-8+2+al= -=-{,0&

Ha a kovariecia mdsikk€pletdb6tindulutrtki, a szimiris m6ete a kovelkez6: |

-:-! cn =;LLfi,y,

c4 -

x.r .

2 1.9.2.2+2 2,1+1,2,4+84 | t7,4,2+2.4,3+ ;o0 +3-4.4+4 6-t+9 6.2+| 6.3+t.6.4r-4.2=

= =

l5

2

I

l5

2

l

20

9

I

25

5

c,

=

5

50

t-

( - t ) + 2. {- 14r t { | t - t 4) . 2 r 4. r 4. ( - t r + I . l4. l{ | t 4 2l-^- 11. ( - t 4) .

= !.62- zt- zz-sa*v+ 20 =:2! = -0,56 50

50

(Ilt mir csk a Nllil6l kdl6nut6 szorzatokarinuk fel_) A kovaiancia ldyeses€n nagyobb len, p€dig csak a kitlcs6nzesj ida' dineEi6jan vd], A k€wriltozos korelici6s kapcsolal vizsg6latlsrl a kovdidcia keplere Altauban l€e$,sz€ds6dik, ha e&€di adabkb6l dolgozr\k, azazminden 6n6kpir csak €gyerlene$'sz€r fordul el6, igy a stlyok szs€p€1bet6liS elSfordulrsok szrma mindegyik elt6resoele$'. Ekkor a Lovniancb:

Za^a,

c.-. ' t{x -71[v l\. " ^\ol

d, = X, - X,

N

d, , =Y, - 1 .

Miel6t! a kov,riarcia felhas?odldsdr6lbeszlnol, hnaj dons6gai ! atmay.A kiNelkez&el elapithaljuk neg:

l2lr

l5

Az irfaaos kitlcsitDzsi id6 most t = 28. A kitlcsitMittt kitt rek 6na}a: / = 2 .

(6,16 r l2 8 r 12{ 56{ 24+48+24+t08| t8l24l-8= ' 8= 7,92 -8= _0,0a 50:.196

v.

\=l

25

k

ijsszegezziik, hosy nilyen

129

I I I I I I I I

I I I

t I I

El(,icltt t >d !,4, szorzrtitsszcg cloele hadrozzamcg. 2. A roklsdg.l.ms2imit6l fiiggc{er. 3. Nrgysdga0z bmdrv€ksz6r6dis6t6l€sa kapcsolalszoro6st8l0olfiigg. Minal !z!ro3!bba kond6ci6, 3n[4l D3g)|obb abszolitena,kiiszorzltitsszc8rc sz{mllhdunk. 4 . A k6t ismarvkoncltlatlanstga6€tdn C, =0. 5- H. rz 1, v ismenekfiiggeilen€kt,slrkor C, =0. Ha C, r0, akkoranak€o€mcsaka kapcsohts4rossng&61fiigg, hab€ma m€nnyis6giismewckdimerziojet6l is, smintazl a p6ld.6bkban ldttuk. L

C€lsz€rda kapcsolaler5*s6g&Ftm&e.,4re,ahog erremir ulaltuDt,nornfft, a l] interallumban elhelyezk€d;m6r6sz.rbotalkalE ai. Etkor relj€siihe* a szo, [q rossrgimer6szjmokkalszenb€dtrgfogalmazottkovetehn€,Dyek. T€syijkfel, hogyazX€s / isn€rv kijzdtt lift6ris kapcsol^ f€xn"azn ^ll Yt=d+b.X, (i =1,...,s =t tEkkora szAmtad6das6sa s?lris ismerttulajdonsrgaialapjrn: y=a+b.x

asoy =pl.6x.

hlut ret a a, +: f , - | - l a + b x ,)- l a t b x l = (b X ,

bX \- U X , - X t= b + ..

MindeD dy hefyenesirlet5 @het b.dx,-\el. EA u. ar^takiLisielv6g€zve a kovariancia a kitve&ez6k€ppm irhat6:

,

, llg I r..r l c* l = l n > d !t bd. , . l =* - .wL d = j w" i- .,.o , ft

Fl

6iua. , = p p , ) . Foditvais isaz,ba p-l=.,

o,, a*ror vanolyanae!r,bosy

Y,=o+b-xt Gzt 3z alftdsrnembizonyirjulc) Mind€nn:e' esetb€np, | < d, .6 / .

Q=t,...,t =t).

EEonY{t'i:t:

o'!ff.u,, - t a,,t'-rlijq -u -d,d,,+ dt,) = l i l i a l - z r I i i r . r - . r , . - l i . l i a=. t l:-

=,1"',-u

c n + ^ '-l+:>oi

Esezaknnily€nr -orl igiz. r"""r-

^

= o 7 -, u

=L oi

ox,Y,-p"Lx,+Ir,>x: ad6dik,amelynekmegoldnsa: lgyncvezennormnl- (linciris) egyenletrendszer

9 8 d b ru A leekitehb, aszete* ddrts2ere (Megiegyezzrjk, hogy a P(,Y,,I,) ponbk es a resrcsszios egyencsme8relet6ponlai kdzdtri tnvolseSot knltnbozt'keppcnenehezheljiil: !erri?i/ird,, ahog! r iibrin lal 152

rr Matenat*a nzeoedddszoknlt. Aializls (Szerk dr CscmyekLiiszl6.)Nenzelr Tanltdnyv' kiado.BudapesrI989. 6.?.ponr.(A roydbbihilalkoznsokn6l:Analiztr )

153

I I I I I T I I I I I I I I

,i"r-fi",li",l

n - --::l-------:-:1 - 4 t:l , /x \,

L

";':-t;",J

[i'li":)(*"Ii"'J NZx:l}x,) Ha

^z

els6egyenletetrY: -tel osziuk, a szimlilobanesa nevez6'ben lner ismenkifeje-

._ -' ;i,,,(,l,i,,l,li,) a ;>.,"4i'1vagezziil el ugyde/

u oszri$ a ,0 k'fgeeb€tr

is:

" 1(i";)-';(i",r) (i ' " ,.I t.i ' / v \ i ' J^:l-t.t', ' ' - ^- r.'n [$ \? ^""I ,' )

T

l o ',.X c*

"

E$/enl€lnDk az

nc-

UgyMr az eredrnenlrkaptut,mint amilor az ismenegyimtes elosrds Dornihs. igy a regresszi6s egyenesegyerete:

x9Y*\' v=r '"'''^ Hau L, y ert€kek ftggellerck, ahogy ea a 9.1.1. ponlbaD b€htluk, Cr, =0

r

|

!L\,

7)

o'

alrkn hozhat6.Ha az X 6s r ismewta€k;ket stundddizdljuk,azaz 7 =f =O es 6'?.= l, akkoregyenesiink egyedele: t =Clt

'

U$/anez€ket az €.edmflyekel kapjuk, ha a 9.2.3. ponl elqjeD€miirer fexet€tb6t indu hDk ki. A regresszi6szimitisbd & ismeryck kitzittri ok-okozari iisszefiigges fettirisera loreksznDk. Ez a viltozok elnevezes6beDis kifejcz6se jtt. A szakirodaionba!, minr rnir eDliteftnk, az ok sz€rep&jel96 Xveltoz6t fii8getltr vettoz6nak vagy hagyari6ailtoz6n k, u okozd szercp6tbel6l6 f valtoz6t p€diA ftgg6 vilroz6nak vagy e.edmeDlY6lloztuak sakrit neveai.

Az er€dm6nyek 6rlelD€as. A Po patuatq @tfejai ki. hog u X =O herd d l ssvinr ippeh e,t az il taket v6zi lZl, ha a O\zercpel u X lehetsege:AnAkeikdzat . A 0t paraniter geonetidi aflelenben oz egenes neredek\igA aeShat.lroro ininytanAelt, reg6szi6s egtutthatike.t yil8zt a.l arta, hag u X vdhozo egsiBnli viltoz^a dtlaqosan ne**otu viltoztisl oka a y vih@6bon. Tertnnk vissa a nunkeban el6lr6tt id6 6s a brun6 6ilagkereselkapcsolar6tvjz! gil6 peld.Shoz!(A megfigyelt ad,^okata 9.10. ftbhzatba, labljuk ) Vdtasszuka linedris frggv6ry'ripusl, es szimitsuk ki az analitikus rcgresei6tuggv€ny paramelcrcjtl A sziik6ees m€Uflsimiriisokat a 9.12. rtbldzatban ratitjik. U ir 7 t{ tY

'6,' _

2111?!1LS9!!9Q 20.t2 506-4601 ttL

, '"

265156 251000lilo

=o.,n", n,.

250120-2U 600 18520

Jl

550,0t2506 460.11207.86878J00-6t01t88 77< 2 -^.-_- ^^. -' 20.t2500-460 250120-2u600 t8520 --

Y = 20,t+O,32X

Ekkorr=7. t 54

155

Mu,tttd

a @ autti\u

X 23 36 IE 35 l5 24 25

t. 2. 3. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11 . 't2. 13 . 14. t5. 16 . 17 . lEt9.

f

33,4 tt,0 21,5 35,E

u.l

269 UJ 24,1 33,4 27.O

2l ,to 30 22 5 23

l t,0 28,6 2E,9

u,l uo

17 24

219

n9 t42 269 n-6 550p

25 26 460

m.

x

9.12. tttbbal rcsruiaifrgvant

6.eh4ti@ieth@

XY 7682 I I t6,0 4959 1253,0 983-5 6249 560,0 964 l0rr4 62t-O 1240,0 858,0 6t5,8 l r05 5510 459,0 {69,6 56,E 650,0 7t7.6 13267,4

529 1296 324 t225 1225 5t6 625 l6 ,l4l 529

1600 900 484 25 529

A ,o aa fejeziki, hosr r pdbnk€"di,,lL"lm'"ohr. tru&6 irlagkeresere vtuhat6m 2O,l eer Fl, aaz 20 l0OFt. A h pEldttirfx @iA a^ jeleDtihosf az eS/ 6wel hossz.bbidej€doleoz6n6k brDn6iArgkg€seteidagosar0,32€z€rFt-rrl, araz320Frtal magasabb. A hl6Db6u6m6donszhoft rcgr€sszi6ftggv€ny*€ra 9.9. Abhn"m]it?li]okbe. A ffr.IrL rcgrcsld6.S/ftttrt6ir*

b..rra.e

Ha nen iffij[k r ./*'.4goq a regr€sszi6fiiggv&rlr csakrniDlrMl becsiithetiik_ Irdulirok ti isDA ery G. r eleEfi minrib6l. A b4sl6ffissvt ,-,G",a) Dy€kaz auffiitk tem*:

249 5t6 l6 625 676

t2506

A b€cdSftggveny€*lorzfi.tao b€csl6strerk, €orek fodoss{slla a 9.3_ponrbanm6g vissziternDl. Egy b"IrAt ninlar,".tel,atr, abol a miniaelqnek iservertekei (rj,y,),.... (r.,/,), aneeoldsD.l5mrnebsl€rlcter:

tr', =. r.+4>',,

2(l

A reg\gl.U a.labk A; d

156

30

t t t I I

t I

>ry,=b6>,'+b'>': l0

I I I I

,|{) Mut h.rr6t6a Crct rro

t

9.9-ibtu 16,b6t6t5.16 et'@tt r.sr6tkjlicseatr.*

t57

I

A leSresszios egliitthatokkisziinilesifomuldiu alibbiak les^rek:

":'"[:'J[i,) .i':

/'

\/,

ts, It,.

\ /"

\/"

t t , itt ,

.J

ML n ktibl

9 ll t.ihld.dl a a namtj legt. n Ie I ekL l t ar tand h. EaLll\ )tuz

';'' lI.J

Vegcziik cl u cleM€sl egy konkretpelddDl fog1a1ko26 valhkozo A 91.2. !o ban megli7sleltuk cgy tc'bcrtulmozdssal adaraialapjen,hogy van'c dszcfiiggdsa szrlirnsi dvohd8 as a szillilas id6Iartama kdzdu. A linciris korelrci6srgyii balobol( r= 0,9684) szotoskapcsolarakdvetkeza k€i ism€^ kdzdnl Az tettunk N€zziikmosi lneg,milye! tcnnaszetiiaz ijsszelugges alapadatokata kofihbi.9.7. ftbldn,ba" ld],mjtk.

l0 ll l0 t9 2A t0 2_s 10 150

20 21 t5 27 50 : 70

52 200 511 700 :152 E00 r 125 t 500 52t 8

256 900 1078

adatokatl Mindenckcl6ntbr&oljuk a megfigyeltslalisz.likai A normrleg)cnlclcksegiGegdvel hatnrozzuk neg r figgvanv pafumatcrcjtl

270= l0b,+ 150,, = 1504+1078,, 5298 270 1078 150.5298 = =. 1. 3, 11 1 u q. - 8t 616o r0 3078-t50' 80 10.5298-150 270= 1?1!! = 1.5p72.. 1.5 I0 307ri l50' rJ280 i=4'1+l5r

0

l0

?0

30 Sziuitisi tivol!6,e0o)

9.10.abra A en it.isi tn,.lttE is o szttltuttsid.;laflamnnakpo,t.liagrania A 9.1r. nbra linctris dsszefiiggesreenged kdvelkezret , Ezek ui{n hararozuk meg a liDerris rcsrcsszi6fijssve!/. A nornilegyenlel-rendszer megolddsiboz sznks€' 8esszrmilisok a 9./J tdhh.dtbatral lh1t6k-

158

A ,r param6rer kd2gaTdasdgilag csakakkor 6rtc1mczb.r6. ha a nagyafizdviitlG = zo €rrelhezasiknondnyr az r 0 hclyer tanalmazza. JclcDcsctbeoa b,, paramctcr1laztn nenrirrclrnc2belii_ mcrt az r = 0 bety Dclr mnozrl az-Lck anelhezesitanonanydba A tL paramatcraz cSyenes (irinyrangcDs.), meredcksage megnutx!.. bogy a7I ma!!.rd76!tihoz6 cey cSys€ggel nagyobb€n€kehezaz y crcdm€nlviltozoitlagosaD oeDn)ivel nagyobblvagy kisebb)€ni'lc tartozik.A paramatcrcker remiszclcscn1njn, dig r adottfcladat,a lizsgnh dsszclngges hnalDrmk meglelet6cninelnezznk A ,, paranrelerjelenidsc: I kn{el hosszabb ril itlagosanmdsltl perccclnitrcli r sTal l i rri siid6r

t 59

Az egyeolet.eDdlzermegold,i,sethilitnbdz6 t€cbnikitkal is elv6sezheijnknornflegv€trletekkel t6nen6 mesolAz egiik leh€t6s€gaz u. ft|lsforEilt dts. arelv a kovetkez6ket ieletrti. A ;omAlegyeoleLek megoldjsAnat esvszer[sids c€lih6l tramzfomAci6l hajtuDk v6gre. A vriltozokd az ritlasuktdl i€tt elGreseikkel helvetl€siltk Ez negfelel egv atrem}rb€n a koordioita-rendszer klzdfrfo'nj t az e€ometriai treszfonnici6iak (i,t) pontba hely%iik A.kLor mindeD ertek helv€*'e dr = ri t 6 mind€r , ', 9-ll ttbra helyebe d. =)', t keriil. A koordiDnh-rendszer Fd.szformicidjitt ^

A bt pa.anAtu Deg}Btjtre^ i.a az aldbbi eslazafi keplet ad6dik:

+,.

Zrs, u, ,, __E!__.--__

. "-

rl

S, r

nar c

= z- _. - '

! , =, t 1?

s

A b, -re kapofl keplel negegyezik z eredeli nomilegyenl€tekbSl megtratrrozottal. NerDis lehet n s, mei a Beon€triai traDszfonnaci6yalz egyeneshel)zere nem vrhozott me8, i8y iiinylangeff€ is usaraz maradlA bDparuhAen auornilegstlelekb6l n r levez€tedOssz€njgg€salapjan hard-

c- = _ _ .

,,zrx nea : Do= t - r ;

y - xbt .

De nsy is sondolkodhatuDk,hosy az nj koordiDira{endszerbcn ,o =0. minrhog/ az er€deti koordinfia-rendsrdten ibr6zolva a athalad az (r,t) 'esBei6vonal porton. Ez z ahbbi forn6bd irhatjuk fel: t = ,o + r,t. MiDket @onbd a ,0 €rl6k€ z e.edeli r, / wiltoz6k s:eriDt 6rdeket.Amemyiben 4 edeker a fentiek sairr

bo=t - bi.

ir

'4 A normdlegyenleteket e

'li

9.1I. ttbra [email protected] hmdi.6r'-rendszet (d,, d,)

vlltozi*r

A D, pMaer felbasailisival

A maryarizt

-a S,

,7_' n

egysz€rii, hisze! ahogy n r Hnulc

Z dd,=>r y - r .- .t

=t.bo+b,>d,,, /

a reDdelkssre alb adalold6l fitgg(,€n a m6r ismert ijsszeffigg6sek roldbbi m6dotr is meebrdrozharo.

.

feftrA a katverkcz5ke! kapJUL

t ra62l ornau norhateg)eat elex

,aS ,rr

tr-,

6s td: =>x , - tr .r ,, i t

' >,' ,',,

Miv€l rnid nrdjuk- a szimtanitursSt6lvett elters€&ki€gyerrit6dneki,ss?€gik0, a trmszformrlt normrle$'edetekb6l miDdrzon raSok h€snek, amelvek >d, = > d, = o t&vez& tttalJ'fnla,at'' Vsiik

160

m6r kisznmirottuk, k6mya meghatArc^^r6 a ho:

6sw z ercdeii mmdlc$,erle1ekb6t taDon keptencl!

l6l

I I I I

t I I I I I I I I

t

i I

lla a" n.s/eftEgesr\ dg,gegys/mi.irrnl ,.net. ratoban A - "

", --

st

,, = +d

kapuDk.Rajtu* htLlik

ill€tvea rcndelkezsijntre,1t6 a.tarokon . hos!-

adon csetbedrnelyik szimittsi modol ki,veljtik a rcgresszidsparamaterekm€ghal6rozdsnntt a knliinb6z6 negoidesok (nomrlegyenlelekbc tdn€nai behclyenesir6s vagy kepletckkel lort6nti szemiras) egyerrangnak, ugymahhoz az ercdrne.yhez vczernek A l€nyeg, ho$/ a kaport paranetercket helyesen6nelmeznk, elehezznk. A szimiGsok nyomon k0veres6hczlollrassuk a" elaiz6paldar! A sziikseSesszimiti6okal celszeri a 9.14. tdrLi?ar szerinti mD.kalablrbaD elv6eehi Mrurana nass/tomdlr nomdlcgyentetetb{jt nyea kipter;kkel tiranunk dotpo/ ni, elaiszitraz ,tlagokat kell rneghatrroaunk:

A lincdris resress?i6fii8gv6nymiDdkermcaoldas sz€rinl:

t -4.4' r,5r meSold;sr lebcrb\ega patmelerct mdtriratgebrai miv.hkH,(t,. .. . .ravdhli ronrno megnatarozasc. I bbenr e{Lben a e.edcl !"tro/oka felin cE)(nhlruIJ\/(rl m,itnr-. !ekror.iclolesetlet adrul mcg A pdamere,\(^rone/ eserbcna mJr,,\Llv(nrcr mcSorosavarkapJul,.A modsreraltalTMis;lal rdtu/todunt a maruma,ik;hrt_ mrinyokbanmcgismenekre.,6 Jeldesrendszcliink is z ott bevezetenjeldldsekketzuNs.

t50 .-, 270 ^^ r= r0 = z/ P€rc Munlaibla

a ttun:z/bmilt

2 l0 l9 20

t

2tl 2l 35 22

20 25 45 30 5 0 t 50 2 7 0

ll

t3 5 5 5 10 i5

l9 0 8 5 l3 I8 2l

tO

(, 2),ed rmdn metrix, tnelrrek els6 osztopan elemii i,sves€z6vehor. rnesodik oszlopapedjg az X m€gfigyell €n6kei -{ fiigAverl, param6tereirtana1ru6 b vektor peog:

d,= t)

t)

t81 I54 241 l5 0 40 .5 65 t80 345 1248

tzl t2l t69 2i

828

25 169 ]24 529 2006

b=LD) [?,.l

t)'

249 196 16r

25 25 100

(/ l) -ed rendii , €t€nri osztopvekor. melFek elernci az r mesfigyek 6rle

x:

914. hbld.at nornnbE e eterlel t6rt ni ieEaktAsho;

-(j l0 ll

ahol y:

' lil

Az X mrrix rrffizpondlrja:

, , * ..f Lr \:

..

r,l

1

H,".y messzoro2/ul r/.rcdLr,,r,jr,rr\/,rt. . robbrot 1.:',:^ rani/ponilriat .,, un egyndt.t6m'irrirot kaptuk

**=L:.:'.rl |

"

\ '- l

I8y a m,trix eleneik€Dr a nomflegyenletek egynnhabit kapjuk.

a,=J?{=1.56 7 2 = 1 , 5 , b o = 2 7 -1 ,5 0 7 2 t5= 4A .

)62

rJ L€nyeges tijmyitesr nenjcterr,dc a kas6bbiekben, nakendnaltabbvattoz6nk lesz,sokkal egyszcriibbeza ncgotdnsihod. 'q Openici6kubt s . Szcrk.Dr Csemydk Liiszl6.NetuetiTankdnyvkiad6, tsp.,l99t. l6l

Az X'y szorzalpedigl

t r, I x.r=l€., I Iz -' ' ' l kapjuk. Ezzela miivelellellehara nomilegyenlelekbal oldalin szcreplijkifejez€seket A normAlegyenletek mitrixalsebrai jeldlessel a rdvctkezSkfupen irhar6k fel:

X'Y=x'xt 2 e8yenlctcteljulxnl a bccsnh Az egynflha6mebixinverzevclbak6l vdgreszorozva paraft€terelvektordboz.(Az inverznnirix dltal6banlalezik,milei. kirereleseserekri'l firggcllcnck.iey X'X nen sz'n81]liins.) cltokintvea nomAlegyenletek

A kapott ercdnAnf ek stot itzti kni j eIentts i I isni teIten tjsszefoSIa, uk. a regresszl6s 6Lparamdlere egyenesmeredeksi8al A lincerisreetesszi6tugSviny kdvctkcz6o naglor meghalirozoirinlanecns. Ebb6l a geomet.iai€nelmez6sb61 szolgdltat.A , pem6ter kifejezi,hogy a tnagyartovAllorn csl fonroseredm6n),1 mekkorav6ltozastokozaz eredh€nlryeltoz6bai egys6g.yivihozasa,idagosan A ,, parametercl6jclenegegyezika lineiiriskonclicios ceyntthaio(f,, ) clijtc ldvcl Ha 6! > 0, alkor po2ltivli'n}! akalcsolat a ket isrn€r!kdzijtl. ba b ': (l,.kkol pedi8 trcgativ irnnF kapcsolatrakctlelkezlelbeli]nk.A b paramelcrtrcgrcsszi,i\ a legtijbbesetbcnnincs kijzgudrsrirrL egyiitthaa6naknevezijk. A 60 parametemek

b LX 'x) x ' t Amj!1ldljuk. a paranitcrckkiszfinilrsriho,s/lksi8 Yanaz X'X mdlrix uNcrzi re A ftes na semritka kczi szAmidsokniila ( 2x2) cs x'x maaix inrcrz€neksz, miltisrira egyszenisileti fomulil szobs hasarilni Eeyszeni szoztssal neggy6T6.theinnk arol. hogy rz

i: ] --=[;'^ ( x ' x ) ' f:' :

- 2 '1

L>', , ) "s.

- ls, \

PelddnknreSolddla mritnxalgorihussalz alabbi:

Yx

r!'o toriI

7ol =-toqi x 't. -|2

plranalcrck mc8hatdozriLsa:

rRr2Il 2 7 0 f 4 ra . 2 l b - r \ ' \ ' ' x ] - 1 " , i o i ; i 20^an;0 8 JJszo rir sn ,:] A lincdrisregresszi6fiiggriDy:

i=4,392+1,5012\

164

9.2.4. A vdltoz{6k felcser6lhet6s6ge mindkal ismcrv menrryls.r, ,\ Tekintetlelara, hogy a reEresszioszemirasnal m6^, nemcsak.{ismetrhatdsitv;sgehaljuk y-ra,haneh fordilva is Nlirdcn e\rllu, oks:isi v eglenesbalirozhat6meg. BizonyosesetekbenegyertelmLj k€t reSresszios szonyvan az ism€rek kdzittt,s ckkor ildokolt egyik lagy mark rmancl liigtellcri wihoz6naktekirt€ni.VamaL azonbanolym eselek,mikor az ismerlek &.)Lr,thrl,i d egyesvriltoz6kszerepe s retszbleS€s r.i/.t/ beszelhetiink. Eivile8 tch:ilx €s v ;m6n ek megfigyeltr, . l, adataialaprn nindlg ieInhrl(i u aldbbik6r regesszr6se8-venes: y nak Xs.erinti rcg/eszi'filqgrins (amit mar ismcrnnk)l i = r o( r ] ) +6j( '|')

x.

toyalfra X-nek Yszetihli regleszia|ilgeftale:

;= ro(rl')+6(xr) .t Felhi\auka figyelmerara, hogyebbenaz eselbenm1.d€nkeppc!indokoltleldlnl a paramelerek uen zir6jelbena viltoz6k kitzalti viszonyl,vagyis,t'ogy adoh eselbtrr es mclyik a tenyez6veltoz6 mclyik az eredmen)ryalhz6 Tehat ofenti egtehletekbena rcEtesszi6ses-nnha()k:

td r(,r'=ff

d

t/./ rr.l'r=! iu+re

I I I I I T I I I

I I

I

Az ; tlggv€ny 60 parametere pe.tig:

,o(rlr)=t ,,(rlr) t A kdt cgyenesegymeshozvrszonyjbn hetyzer€la kspcsolarszorossdga beforydsorja Kdmyii belelni, hogy a kdr rcgresszi6segyenes ,, pararneFrei es a heeris koReteci6s

esyii(ha16kijzitt szorosu 6sszetugs€s. Fehhar6: /j =ri()1j).bj(Jl],), ebb6l

'.,=!6i'Ftdt

A kotrebcio hiarya esetih: /:" = l5j= 0 . vasyis b,(x') = b,Oln = o . az esyencsek a megfaleli' tcngetiyet prrhuzaDosak, egltnrsra pedi8 merdtegesck Line6.is liiAgiavpcn

kapcsotat eseftn a, = l. ezenb r i,]r1= J-,

D trLv I

6 1"1

Sztochasztik^ kapcsotah.i/ a ka egyenesannfl kdzelebb ker €$bdshoz, nL nel szorosabba kapcsotal A ,i(ll]) peam&er hasonlou enelrnezbet6,mint a reszleresen ismcneten ,, ( rlr) Vagy6: az / valbz6 egysegnyi veltozrsinaL harisrra nennyivel vrrrozik (traj vrgy csoklen)azr vdttoz6. A syakorlarban e, e infoimici6t az erederi osszefiigses (tx) mas szemponr_ bo rnnendmes\rl;Fl|asddb^'IritJJJ: A btt\lvt at t?rei k!. host ahha/. ho'o u ) ,au u-p8leg . eB8.1v;tbr?oa heg heaayj\e! Actl acgvdttornd u \ rdtto.oaal F (r J )

-l : := 0 022| ,0.6

A rapon eredmeny-azl letel tr. ho8) d (aluar rd6 I perclellato nijvetednsehe a 'aror5apauago"dn0.6 tmjet. ?a" boo m rct ldnendoijv;kedse yi*sige.

,o(rb,)=I_r,(rLy),, b,(x)y) ts ,0,622127=-t,1967- \a. Az j esaz i regresszj6s figgletryekera g 12.abra szel:tltel@n.

ru

13 Sz6uitsi rdvolsAs(km)

9.12Abtu A \rtlazdkl.tL\efttAse A_kel €gyeneslirhat6ankdzet esik egInAhor, mivct eglmishoz liszonyito . . lelyzetiikera kor€ir.i6 vorossasabefolydsolja.K6nnyn belt;i, toSy a kap;sotar szoross'igilrncm befol),rlolja az a k6rd6s,hosy a vdho26k szcrepercscrel;ek I ' A s/dm ir asr f om ulabollnb"r o. ho8) ) - nak. y r e ! on"*^r o t Jr et a, r J. ct ) . Ljt l . harorrmeEegyczikY-nek) m \onaLto/o kolietdcr;. .mtl\droj"\a

9.2.5. A rugalmassdgi egyiitthat6 A lineins regresszi6figg!€nyparamdere,D (]lJ) min hjr cnrtir. iik u \ smao ha SyakorolrbadsrnaknagysagAr, vagyisa, mutala, ho8),I egysaln!, r,rl jndulelja. Temeszcresen rozisa l-nak ncllora vairozirsel a k r t\nn\rtk ,r,tr.\t^ d hildnbsigeit.hanen rclatfi nthozAsanis szehheiltithalt .A!rd\a./ Ily nrntrr, r kttzgrdasigi elm6lelbeni8en fontossz.reperjrrszorugatmas:is(idcgcnsr,i\rt rtrs? tjcitiis)fogalnihoz juruDk,arnelyetp€tdak€ntaz anatizisben is cmtilctliink "

17Condoljunkvnsa @

r66

t67

Alhlanossngbana rugaln.ss6g ara ad !dlasz!. hogy cgyik vrhozo relaliv vnltozdsa a mrsik vrltoz6 milyen m€ndkrj relariv vrllozisit ^z €rodmmyezi, ha fiigAvenykapcsolat van kijztnk. Emck m€res6rea rugrlrnassrgi (elaszticitrsi)€gyiittbarib Cele: E) szolgiil, aftely a natenatikai tmulmrinyolb6l isnetl difercnciltthanyados seI its,ei reI de|intji Ihat() Jeltjtiikdism€n iersz6leges 6ndk61x*zel,I ismen hozzdrartozoeneketpediS ),,nal ( r, = /(r) ) Vegyiik I n€k esy nagyon kicsiny (abszolnt) velloztsrr, er jelnrjiit Az ennek megfelcl6 fijggven}djveknery /1,. Ez ar jclenti, hogy az X ism€n, ^t{zel. x+ Lt enakeheza2y+6,=/(x+llr) €rtektanozik A rclaliv navekmenyek emck alapjen: x) A rugalnL\tigi egnihdt6 afra utl filaszt. hag, E :l vttlto2o rclotit vnlloznso hanrt2orosa E X filbz.j telatir fiho.nsdnat. Ezt a2.aldbbi hdnyadosfejezj ki:

E,;-,= ,ti.! A lizsg,ilt gazdasrsijelensesDck a hat6tenyezSvcl szcmbeniviselkcdcs€r a mu tal6 eli'jele es abszolftnagysigajcllcMi. A rugalnass6giegyiittbat6cldjcle a ditTeel5jel6velcsyezikmes. A,r fejeziki, hosy z adotljelcnsesa hatola rencialhanyados nyez6ldlloziseval azonosir6nyban(eklor t)ozili! az cl6jel) vagy ellcfietesininybln (ckkornesative el6je1)vrhozik. mutaioabs2ol'ilnagysriginakvizsgelaBso n hirom f6 6n€ket,illeNe €nek csoponot kell megkiilonbdzletnijnk.

lrl.'

Ez ut lelenti. hogy a hatol€nyez6l% os valrozasaeserin a vizsgnlrgazdlsig1 jelcns6gcDdl kisebbndnekben viiltozik az adon helyen.Ez esclbcnet mondiuk. hogy az Ililr026 rugallnatlaD azdv6ltozesdvalszcmbe..Ilyen esencltaliilkozhatLnrk p€ldiul az ilelmiszereklOvedelcnnealmassdgiDak vizsSalahsorrn.

lrl=r Mivel ez a binyadosa 4r hossaisdgri inten'allunnavonatlozik{ezenbctijl eay nllagosirteknck 1eki.$et6),u; beI ertekeltgy kapjuk.ho8y lesszoka harir€ndk€r igy k€lezhctit l-nat X-re vonatkozdtuealnassaeiegynnharoja. (l mnceetesen ha sorloankdpezhet6L,neky-ravonalkoz6rugalmaslilgiegyiinhat6ta ) ,4 rueal nas stjgiegyntthatb:

-,)

,. f/r j- !tv

^, r/

(d:

I

& -(^r

I

Ez a hat6ren6k akkor l€rezik. ba az / fii8gv€ny mjnden pontban differencinhal6 A haurer6ket kepczvea idiyetke4; tiskfiggnth?z JutunK:

a= f'(a ' )

,/(x)

Az egynthatdta sztochasziilt kapcsolatraalkalmzva figlclmbe kell vemi. hogy.r,-nak csup6.becstillertikc all rendelkezesnDk€; i = fG j + e ( i t. Az elaszticilesicglullhat6 bccslesehez ezenregcssziotugg!€nydiffere.cjflha nyadosdthaszntiljuk1bl.Ilym6don a ruBalinassdgj egyiinhat6becsldsca kdlerkezi': t 68

A hal66!ycz6 vAltozesevalaz adoahelyenaninyosmvdltozjka gudasisijeleDseg A2a7-ha { l% kal ndvekszik,atkor ennekhatisira az y vetbz6banis l%{s ldhozaskoleikezik bc.

ltl' t Ez az €serakkor fordui clai,ha az ado helyena vizsgnlrjclens€g€zakcnt.n reagrl a h:r6tinyez6vnhozAsrra. A bat6t€nyezaj l%-os vdttoziisau adotrhetycDrchiil I %-.dl nacvobbrdlrozrisreredmdnycz a vizsg,iltjclcns6gbenEzekcta jelens€sckcr.z adot hal6t6Dyez6 szemponljrb6lngalmasnaktckinlnk. Rugalmasnak tekintliik pal daul a luxuscikkekfor8almetaz nr szcmponlab6l A liredti! rc{e$ti6

rugdlhasngi eginnhaliia a kdretke6:

..

" i .t,.

ugyaris i = 60+bLr 6sderivalla _i'= 6 A rugalftassdgi egyiilharo ebbe! az csetbenis r fiigavanye, kivevc azt az esetet. enikor b! =0, aze a regresszi6fiislaeny 8.afikonjaoris6D 6hen.j egyencs.A2 r bAmely kivrlasaot enekdresznmiftat6. A gyakorlalbaDazonbantdbbnyire az :irlagos szinrcn (szokasosmc-qfosaheassal 6lve z alasponrban) vizsg6ljnk, hosy a fiescrrcn vdlloz6 l%-os vdltoz;sahany% os valhzastidezelaia fiigg6vdttoz6ban

I I !

I I I I I T I I I T I I

E

. =b'

x=t

es e l € n u i . a fu g g v e n y d n eik= r.+ r,;= t vizsgil6 paldrnkbatrz dtlaA sznllitisi tivolsng es u id5tarlamdsszetugges€l gos szintcnm6rl ngalmass6C: l5 =0'8313 r34'/" E\ , ri=t'5072 i A mutat6szAmcgynil kiscbb, czen azl mondhaljuk, hogy a szlUilis idi'lanama rugalmatlanul reagela szAllirasiiavohtSra.Az 6dagosszillitrsi id.nanamkomyezet6 ben a szdllilnsit6volsrg l% os ndv€ked€scdllaSosan0,84%'kal bossrabbittame8 a

an6kek tdaga y,=llt+p)x,. Kordbbi ielolds0nlcr / tjx 'ncsrarrvr. y,= P r+ PL+E, , akkor ^ lehet seses t , 6! t 6keka agat ogzir er x, m c ct l) r I c| t€k alapjnnDulla. A p0 as a p a nt ismcn m6dsze.ekkelmeghalrrozhal6 Mosrt6rjiiDknt da u esetre,amikor p0 6s pj inckat minraallpjirr bccsirtrul, vdltoz6,ezertvalamcly rijgzireu X, tnak r)cltct{ | Mivel €sak I a sztochasztikus y smervennke val6szinijs€gi vrltozo. TcrneszelesenI iltll.lbcn n.nr minla€lcm 4, esyenli'Po +P x, -vel. Lcgyen

r,=P,+Pl,+E,, ahol r, is a dcfinic'6bolad6d6anlaloszinis6g'vdltoz6.Az is nyilv6nval6.hogy kij-

9,3. Statisztikai kiivetkeztet6seka k6tviltoz6s line{ris regresszi6alapjin Az aralitikusrcgresszi6szihilas sorin z elm€letireSressTio \'6eczrijk b€.s1;s61 et uLtattszunn uegfis?lAsbiil szAm@o adatok, EE k elenii nintu atopjin iat- az elm€lelicjsszcfilgg6si mintib6l szdmuo malitikus fiiggvmnyel koz-elitjiik.A lapasz, talar adalokb6la ,., B paramelerelbecsl6sere kernl sor. A bccsnliparamererek !aloszjmisegi willozok, €dehik ftin1lir6l mirtlit'a ingadozik. Celunkat, miszcrirt d alapsokasdgi ijsszetugg6sekrekiv,iDunl kaivctkeztetni. csak akkor erhetjiik cl, ba eliitte he8ismerkedn* a regrcssziosmodeu feh6tclrcnds2e revet es a becsilll paraneterek val6sziniis6gi eloszlisdral.

lonbdz5 x, 6s X/ €nekekrea negfelel6 ?, cs t, val6sziniisisiveltozok(igy r, is r r ) eloszhsakiil0nbdz6lchcr.( li eloszldsaaz I wiltozo ,Y = ,Y,-re vonalkoz6ielteAhho7,hogy a paramererek 6rl6keinekbccsl6sar vizsgelhassuk, sziiks€8nnkvan I

€, 6s igy 4 is normrft eloszhsn(az 4, ds r, krildnbseeeBo+,4 x, nllando;

2. cov(r, , , , ) =0. ha it j ( i=1,

, nt j=t . . . . , n) ,

3. M(e,)= 0. Eoet ek\ t \alens, I r cs) 'M {?, ) =p0+f X, li=1, , ') . 4 DG,J=o (fiis8eden X rt'l). Nvilvanval6,holv az ?t sz6riis. is usylnc'ny, Ezm fehelelektelj€siilasc csermst.ndard lin€iris nod€ltr6t bcszdiink

9.3.1. A regresszi6s modell felt6t€lrendszere

9.3.2.A regrcsrziri\ ponrossi96nak becsl6s m6r6\e TeFlezziik fel, hogy u -trt6nyez5valtozo 6s az Ieredmenwrhoz6 kajzitttlircri ris sztochasztikus kapcsolat6ll fem, ami alalt aa Crtjiil. ho8_v

A regresszi6s becslessorenekovetetthibak alapver6enkirlalc otrr vf/(rtr1n[

M(yl x=x,)=pt+ tt,.x,. HangsulyozniszerelDinhhoSyioldbbrais felieleleTzijk. hogy az-Ymagyartu6valoz6 isften (lnirdig riigziled) in6l €s u eredftenyvdhoz6, y a szlochdszlikusvnltoz6 Ha a sokasdgv€ges, akkor a feDtiek aajclcntik. hoBy ha az ,Y = ](, 6nekct rdg ziN. vessziil z osszesolyu y, crt6ket,amelyaz )a,,vel endkprrtalkot. akkor ezen 110

L Az analitikusregresszio u elmdletir€grcsszio u inrdbi)lszAnibu kaj.ttin:*. tn tti. re. Ezan a regresszi6fiigsvdny peamdlereia val6siisos,.,, trrrnrcr.r.l, hr.s,r 1 anekei (ponlbecsl€sei). A ninleb6l szemitonregresszios paranratcr.k In,,rr,!,,r dcn reprezentativ mintibol s2nrmaz6bccsiilt pa.afteFr afiakc szirid,,rk r/ .l meleli 6nikek kdrnl Ezl ! sz6rodislaz egyiilthat6kstandardhibij a lcjczrt l lll

ill

I

ffi ffi lltj

2. A hiba mdsik fordsa. hogy avi^Brl! ismervek kozarl szb.harztikus kop.\olal \aD. y-rak X szerinli .egresszi6sbccslesenem a l€nyleges I en€kekel hanen azoknak csak ,z X-t5l ftgg6 r€sz€l adja. A l6nylcges 6s a regressziofiiagv6n.vel tecsijh eF telek e116rese miatt bcsz6lhetiiD-ka regrevi6tuggveny. illetve a re8rcss2i6€n6k€k bibnjnrol. Az elt€risck nagysigit 6nelemsT€rienbefolyasolja a kapcsolal e.rossri ga. Szoroskorcldci6 esct6na be.sijll6r16kekjol ki'zelitik d eredhenlTnho26€r leke'l. Laza kapcsolahel viszoll a kdtfele 6dek k02on az r'r befolytsol6 egy€b 1€nyez6kjel€nt6s s{lya miatt naay el6r6sek mulalkohal

olfi)="o =" (Az dllitiislncm bizonyilj!k.) L A bccsleskonziszrens. Konkftt ninta aetan a srbdard hibat az alibbi ktplclekkel szimitjuk ki:

A paramtterekhibii mosta kijve*cz6 A 9.2.3.pontbanpo ra as p -rerapotlbecs]6fiigeveD!'ekel keppeDirhatjuk,nivel a ninta .Y ismervedekerogziien6s csupnna? y isn€rrendk valosziniis€gi velloz6:

l

;

P .=

rll

ili ffi' fi,j il"

li, lli",lIi, ]:,",l \,i

- /\=

,,

)

\,a

/

,1,:[]",J

,i' , -1,i,, {:, I

" .z' (2,)'

r,

t

^.=

Zx,n, xLt,

'

A 2. ponlbelikelletekbensz€repliid u ,,, illetveaz ?, szorisa.Ertikil a gyatorlalb& nemnfterjiik, ez€rta mirrabcliadalokalapjnnbccsijljilk6s r. vclteldljiik. gondolahnenellel Konk6t minlib6l tdn6n6becsl€s€hez a k0ve1kez6 I ltDnk el:

= ,.n,

I'(x,- r)'

D( €) =d. , cl mal €liszor ds: mi ab6lbccsiillszoras:o. =

Ez azrjelend,hosy pj cs isy lo is u 4, (i = 1, -, r) lalbszimisegr!6hoz6k lineiilis konbindci6ja Bmel alnpjrtnnrr DemnehezbizoDyilari u aldbbi dllibsokat: konktr miDtrb6lbecsiihszords:r. =

t Mlo,,)=p,, e . Mtl t I

2

[i, t*

ru, []

^EDe spl

\11

p . ta $ F ro p i ra rl anbcr' l astdl \dn' /^

val6szinijscsi vrltoz6ksz6iisa.lasyis a becslesstandardhibdja

n-, o(P") - ","=.

I

x- t b 2 z'\t

n- 2

..maradektag , vaSymdsn6vc! bccsnltrcziduum. az a rezidudlisnegzetdsszcg,amel)'lek Mgysiget a lcgkisebb n6syzelekn6dszer6velt6n6'tj becslessorrn minimalizrljuk Flneleti megfonroldsbol, a lorziratlbsagkbvetelm6nyenek reljesnlasacrt a n€syzetdsszcsct a szabadsisfok-kal korisiljuk, ani jelen csetben , - 7 r m en ken/ esea Lenve/ ovaho/ oaLp"n, or e' : .

t

6. t . 1788 .

Az dedmanyckalaplrnncsdllalitharjuk.hogy az I €wet id6sebbbo.ok expon elad6sieraellagosanz8_9%-kal magasabb.

I , , - ' = a i I , + a i) ,'

197

I I I T I

szerint 3. l0 orszigorranSsorollak.zalebbiszempontok

9.5. Gyakorl6feladatok ki\'rlasztotlunl l0 tirsasulat. t . Egy utazrsi irod! lrogramfirereb6l ldledenszeriien \ , z . s d! ui , u ra l ,d o ra n d mfld' ] (. ra .^ erel idi i d (l) kdzo$ kapcsolalorA l0

l B

c

5 '1

5 2 9 t0

D

(E F' l9 )4 25 l6 t3 i5

3

2 3 5

F

c

'I 8

8

I J

8 9

S26milsukki a rangkonelici6seeyiinhar6les ertelftezznka kapoticredmenyl

12 4. Egy kereskedeldic€B telm6rasivigzcn iigyDdkibeosztasi!muni(atrrsaikor€ben, hogy egy h6napalanh6nyszo!sik€riihmeetrtjhiiaz nzletet.5 iig}rr0kl6la kijvelke' a kovaridciril, a linea;s koreliici6segFlthatfil l./ Csoponositsuk az adatokataz ulaz6sid6lanamaszerinrlSzamitsukki . korclt clos hrnyadosli t altbb, rdgsorohssal: 2. tsgypilytatra benynjlon8 uiver l bir6lovelenr6Dyeze(

5

B 2

2

c

D

E 8

l

5 7

8 6

abirdlarieredft€nyek! Vizsgdljukfteg.lro8y mernyircvalnak ..ijsszhangban"

198

200 l0

,100 70

300 55

150

250

20

'15

paramalercn, as z, Szamilsuk ki a linerrisregresszi6fiiggv€ny €rtakeil. asclle!6rizziika Ir= 6/ Szenilsukki a regresszl6tuggv€n)' telj€snlesal fugges €srelativhibdjdtl .r) Szdmirsuk ki a regesszi6s becd€sabszol'lt

Ii o'-"-

€steszreljiika rcsrcsszior(d = 5%)l ,/./ Allitsukiisszea varianciaanalizis-dbldt e8ynnhatotl e, Szamirsukkia detemihAcibs varhat6sznrniraI /) Adlunk becsl6stcgy 500 ajanlalottev6ligynokeladasarnak param6tevahoz6kar, €s ki az ; resfcssziofissvany Cscr;ljiik fel a szamitsuk s./ reirl Ertelmcziik a ,Lr, r paramerenl

t t I I I I I I I I

5. Mutassukki a lrinasulakiddlanarnaes r€szveielidija kijzbni itsszchSSen(l- Lladat)IineArisregresszi6niggvennyell

a/ Szamitsukki a param€tereket, lalamint a regre$zidlal bccsnllirlckckct, es ha sonlitsukdsszca mesfisyeh6nekeklel! ,.) Teszteljuka p taranAen 5%-osszignifikanciAzi.lenr-probdvall ., Jeldlji.ikki a ,L paramClcr95% os megbizharosi8'szinni kontidcnciainrer d, Vi?sgriljuk:tlussldny rugalmassrgdl az r=10 helyenl I g) \ ; , o. l 0 re l e rl e n s /e ^ i ekni \d l c 5 /ro ni l el emver-i ruh;nndl eni l ,csn6s'l or 1996-ban: salom- eskeszleradalai

56,9 I t7 ,5

(M FO 1,5 7,5 3,9

60,1

3,6

(M Fl)

'12,6 8 5 ,9 1 3 .6

3,9 5,1 5.2

N€hAryszimitasieredm€ny:

)r= za3,e, \r) = 236.43,

>r=47,1. It)=

3698,97,

> r' = 5 8 0 6 2 , 7 5 ,

20 - il' =o.san.

al Szemitsukki a ]inedris regresszi6liiggvery panm6lereil, cs noDdjul n€8 a ree, j€lentds6i ressziosegyiitthato I ,, Szemituk ki a linerns korchci6s 6s a deteminaci6s eeFtihat6r a ko!ariancitb6lk'indulva, DLpa.am6terenek felhaszntlastvall - a regresszi6fiiss\6ny ., Elleniirizznk5% os szisrifikanciaszmte. a ,, paramaenl d, leloljtk ki a P) panmttet konfidenciaimenallumrl95%-osmesbizhat6srsi

20i)

7. [By I'k6riparjvdllalamalvizsgdltiik.hogv a palackozogepsororinkarri relic\inna ryc as a sclcjtcsldltdskijzdtlmilyenkapcsolatvan A megflgychl5 nap rdrni

11 18 t9 20 2l 22 21 25 26 21 28 29 t0 l1 360

9.0 t.0 8,9 9, 1 9. 3 9, 2 9, 1 t 0.4 10. 4 t d, l t 8, 2 25, 0 18. 1 5?.0 249.2

Az bsszetugg€st exponenciilisrcgresznivailej^a. a kiircrkczij crc(ln).o\t krliltlL 0,9235I , 108' -i = u, Eaelmezziik a rcgressz,6tuBgvenyparamircren 1,, Szrnitsuk ki a sclettsrin regressziolalbccsnlt6rtike,r.a\ arttrtjt\rt ,r), ., ,,, I rad€k-neglzet0sszegcll hatvinykitcv6sosT.liigge\l rrtk:rclu\.1 t Adibk becsl€sla sclcjtcspalackokra, d./ Don$iik el, hogy mclyik tipusriniggvenyila le lobban d kal isr)rirv krtr:,1,,1 E. 19 orszagadalaralapjanlizsgiltek az I lalosra ju16 cDP (US,\ dolL,n).\ f\ ,/ l000lakosrajur6szen€lygepkocsik szima (db). y isrdRek k6zb[1(is\7ct],rx\ ( Szamilesieredm6ny€k: Linearisregresszi6Iiissvenyr i = 83,4+ 0,0935.r. A meg f igyeh valt ozok szor asai: 01, )=1149 douei.01, r =120, 5 dollt n

, . t lsl = 67.5700 t(r8/)r = t07,5s12 Ilgr=.1+.t.lol. tdsr rsr)= 160,0585, I(ls')'= 2a0,8056 201

d) Milyco szorosa l€pcsolat a k6l ism6N kdziitt? ,, Hany % ban jetszik neshaldroz6 srcrcpcl az x ism€n' az v jsm6n' s,.6rodasri..) irjuk fcl a halrryhrevits

resrcsszio nomAlesyeDleteit, es samilsuk ki a para-

10. T6BBVALToZ6SKORRELACT6-

ts nrcnssszrdszAuirAs

/) Enehziik nindl€t regresszi6fiiggvay ,j pdam6ter6tl Adjxlk bccslest esy olyan orszagra.amelynck u I lakosra juto GDP-mutnr6ja ") 7200 dollrr! Egy elelniszer-rrubrzbar v€ledMnfien kivekzlonal l0 vcviit- 6s mcgkerdczicl 6ket, hogy napontabiny perc€t litllenek vitsdrlassal(x), pcrcbcn cs mcmytl kdllc nek fdagosan napo.la €lelmiszene (, Frbd. Az elv€Ezettszimitasokb6l u alrbbiak isnereleset A vdstulds.aforditod ttlaaos idij 2l pcrc, az illagos kjadrs pedig 5420 Ft Lineins rcgrcsszi6val becsiilve negrillapilotltk, bogy & a ve!.j, aki I perccel tdbb id6t ritlldt u iiruhliban, ,tlagosan 240 Fr-ral kdlldt rdbber A r€gresszi6fiiggv6uyel becsiill 6rl6kek 6s a l€nyleges vasarlas' dssze8ekelle l12 878. reseinekn€glzelosszeg€: - A k6{ ish6r kap.solal6nak szorossrigritvizsg6lva mc8allapitonik, hog}_a rd snrl6si idi' 46,4%'os men€kbe! jalszik mcghatitroz6 szcrcpct a napi irlaSos !d s&lisi kiadrsbm.

a.) irluk fel szrmszerfid a linedris regrBszi6fiiggv6n)ll ,l Szemitsul k' a re8resszi6sbccsl6sabszoltl ts rclativ hibijiitl .J Allapilsukmeg,logy nilyen szoros€s milyen iranf a kapcsolata kel isma^' kdzdttl

A kordbbi fejezetbeDa koneleci6s osszefiig8€stkel mennyisegj ismerv kozott 6rtelmeztiik. A drsadalmi-gazdasegi elel jelensegei uonbm sokkal dsszereftbbek, bonyoluxabbak amil, niDt amit k6t tenyez6 osszefiiaa€sekifejez. Egy-egy .jelenses vallozisa Aftalabantobb tmyez6 vnlbz:lnval van itssz€fii88€sbcn. A lyakorlatbs 6ltalaban n€m lchetstges ogy€tlen magyet6willoz6 scgitscan vel leimi a rizsS6lt lclens6g alakuldset.A k6tvtltozos kapcsolat vizsgrlatinil z h! hato lenyez5k kitz csak egyet. X'et vdldzlottuk ki fclt6tclc e, hoay emek halisa ielends A berb6l 6s fizcresb6l 6ldk havi bruh6 ttlaskerdota jclent6sc! bcfolyasolja p€ldad iskolai v6gzcttscgnk foka, dc ezn kiviil egy6b t6Dyez5k,pl. beosztrs, gyakorlar, id6 srb. is alakilj6k. A lakasok ehdasi nra 6s a lakesok m€r€te kitzotti kap.solal eleru6stocl szimszeriisithe{ii}pl. a laknsokel€lkorena}hadsit is. A gazdaegi 6rsasigok gadilkodrsinak rtu1a16ilvjzsgeNa is afta a kovetkeztet6srejutunk. hogy az crcdm€ny alakulesit robb lenyez6 befolyasolja. ilyenek peldrul a nel1o ,rbev6lel, a hat6konysigor kifeje26 vagyo.trriny mulalEa slb. Az eredm€nrnlbz6ra ha16€nye' 75k kij.enek kib6vitesavcl ldbbsz6rds vagy titbbv:iltoz6s sztochrsztikus kapcsolrl-

meghatirozisa 10.1.A lineiris regresszii6fiiggv6ny A t.ibhvAlbzns regraszrianalizit s.gitstgltel liibb isnlrr etednanrvAhozoft glokarch hobs ri2sgttljuk A k^t.solar u hnlrrek szjdd szetiht h .om-. nEEy-,ortip^, Jzcfinl Fdig line6Jises nemlinerris kapcsolatlehet. stb \Altoz6s. ^figraN A titbblrlloz6s lin€,iris reg.esszi6smodetlt a kijvclkcz6kdppcn irhatjuk fcl:

Y =P o +P I t + P , x 1 + . . .P+^ x c . ^+ A towibbiakban csak a htuonveltoz6s linerris kapcsolattal fogiallozuirk, de az ilr elmondorEkakdrbnnyvdltoz6rarlblenosilhar6l

I I I I T I I

t I I I I I I

, o I ' l + P , l ' X ,+ P . 1 ' X=, l ' Y , Pn(xt+p (x'J{ +p.X:X.= XiY, /ol'x, +P l'x1x:+p,xix, =x:Y

10.1.1.A h{romv6ltoz6sline6risregresszi6liiggvdny Az e1626fejezetbentdrgyall k€tvnltozos kapcsolalhoz basonl6ancbben az eserben is a cel, hogy a memyisagi ism6Rck kijzdfti ijseefii88€sek lendencirjil ca), ^z t - IG,, x) fisgvemyel leirjul Ekior lEnyes€benaz clrn6leri reS.esszi6tugeviny kijzeliljiik anititikus fiissv6mycl a mcsfisyelt minra alapjin. Tegyiik fel, |ogy a sokasig N cgycdb6l 6ll, 6s u egyedek jsrneNen6kcit a kitve&eza'vektorok tetalmazAk:

Y ' - l y , r : . y,I.

Lcgyen

x=[r x,

t- |

x'xp=x'Y Anmnyibe. r

r..1.

Ez utjeienli, hogy az redik egycd I ismiRcn6lc y,, Xr isn€dantke X,, as { , is m iNe ftk e X ,, A.6 ' (x ,1 .X,2 ,y , ) pontl ai hozz y= A It+ ftx + ti -X egyenlclrisikoi a legkjsebbnigyzerekmodszcrivcl.Ekkor al 'llesziheljiik

E(p,,p,,p)=iv,-f

"-

F,x,, F,x,.)'

heroDvrhozosfiiagvdnymininumnrkell korcsDiSzah6an6koll leher,ahol a parciAtis derivdllaknullrk.

? L U r,p " E t - 2 i ,y .B ^ B r ., r J,x..,I tt- 0. | 11,, -a ' '" ' a E9 t.b t,p ,\ _ 1 + ,v - )Ltt

; IJ

a

a xw

lJ U

d s rl r",p.p. -2Ltt tt\ ' _.+," " pA. "" ,p

, -' \ " ) ( r' ' )= 0 pX.tt-X

'-0

Ebb61 a kiivetkcz6, [n. nonnilegyenlel-rcndszcn kapjxk:

NP., +P,tx,,+tt1>x,,=>Y,, p">x,+p tx:,+p,txrx, =>y,x,, ptr>xi+ rtt>x,jxi+ p,2r:.=2v,x,,. Ez az cgyedeliendszer az ismirvdrt€keket tartalmaz6 vekrorok seSits€gevel telirhar6(l d nr. dsszegzt'veltor, DindcDkomponensel): 201

l/,-l

Ekkor az egy€Dletendszer

xi =[x,, x., .. ,y"].

x:=1r,,r..

..,[li'l ,, ,=lill

X'X 3x3 -asmdtrixnakl6tezikaz inverze,akkor

p = (x'x)'x'Y. Ezr len6 regressziinok is szokaslcvcai. Ha a sokaseanemvegesvagyDemismcn, al&or mlntasegitsdgavel bccsnlheljiik a regr€sszi6s fii8gr'oy egFllhat6it. A legrllalinosabbeserbena viletlcnszcriienkivilasztott cSycd€kmi.dherom ismen'ert€kelal6szinrisigi vdlloz6. cyakan lordul eli' az u csci, hoSy csupin az eredm€nlaahoz6 figg a v6lctlent6l.a magyariovAlhz6kat poDtosarismcrjij-k.Peldaulemlithetjiika kdvctkcz6kiserlelel.Kiilijnbijz6 parcellekon mns mds mritr6gya'as Onloz6viz-memyiseg mcllclt merjiik a relmds6tlagor. Kivencsiak vagpnk ada. ho$ a miitnigya6s u ijrtdziiliz mennyisegehogyanbefolyrsoljaa rerm€sdllagorIrt a magyarAz6viltoz6k 6n€k€1ponlosa.ismerjrik.dc az eredmanyvll toz6 €n€k6rhas veletlenjelens6gck is bcfolyrsolhaiiik,igy az vrl6szinihigi vilroza). A kdve*ez6kben€z?€laz esettclfoglalkozunk,vagyis onikat d. y rttdni"\ vAhozb irlike wl6sziniisdgi edltaz.t. de a nagaftz6rihazik inlkci lend.L: (t stlndrrd liDenrisregrcsszi6nakreveu tk. Teglik fel. hogy , clcnriinlntlt v$/n,,1. r eaye.m'nr delem et, Y. illcr vc x Fm enineke

r:=L',, r., .

II r,rl . ilrene 'i=l',,

',,

',,,1

A mcsfclcl6 I ism6r6rt€kel (val6sziniis6gi \6ltoz6k):

il , = rl?' 4:

_l tt,t

Ekkor4,=80+p,x, +prr,.+r, (t=1....,"), vagyani usyanaz vekrorok sesil5crl=y'p+€, 245

p, a,]."'=l ', a h o r F'= [8" ",

V%snnk benj vilroz6kar:

* ".1

fl o '"l

.=li'i 'i,l Lr r,, r,,l vrltozok, amelyekd rezL Itt nyilvrnval6b az ,,-k (i= l,..., ,) is val6szinrflle8i duunokMl neveziiDk.A F €${tthat6vektod itt is azon felietcl ha!6ror"a me8, hogy

u otlanival aral6g eredn€ny ka-

A F becsli'er16kevonalkozo nomnlegyenlet:

x,)(p=x1. lla x'X inverzelAezik,a}*or a li becsli'nieevenyc

l i - (x ,x )x , t . w r" , i =p " +f,x ,+p,x ,. Itt jcgyezziik m€g, hogy alboz, hogy z X mrtdx oszlopai fiiggedenek legyenek jnverz lebz6senek sziiks6gesfelGlele). eledaedh€rc en, hogy x-nek (ez az (X'x) lesaEbb amyi sora legyen. mill oszlopa,vagyis a minta elemeineksztma nagyobb lc gyen, minl a roaresvi6s eglutthatok szdma. Anerlnyib.D ea! konbit mitutr6l rn sz6, aklor 4,=y, ('=L ..,n), es a nomAlegyenletek a kajvetkez6alahiak:

)r, = rl. + r,)r,, +r'1r.,, )',,r. =r"I', +b,>ri +r,tt,ir,:,

tr,,r, =b.t',, +r,tr,,',,+b,>':,. A nomalegyenlctekmesoldii6eval z (r,, , t,, , ), ) ( i = l, ..., n ) ponirendszerhelesjobbanilleszked6sik parameiercir kapjuk. A vr11oz6kranszfomilasdval viszotrylas eslszerf mesold.ili lehet6segadodik. 206

hely€tt

r,:

helyen

x -it= d, , xa- i, =di.

/,

h€lyet t

t , - Y=d, .

A zerussal €gie 6 itsszegek €lhagyesa utatr a rormrteSyerletek ,,maradvdtryaib6l" a pmAerek - regresvi6s egyiitrharok- kdmyen m€ghatArozhatok. A nnsodik 6s hmadik normnlegycnletre

>d,d, = b,td: + b,td,d,,, Zd,d, = b,Zd,d,.+ b.>d:.

= *ol)='G,.) "[i":) '(t,'-+l'tnvarhalo 6d€k minimAlis legyen. A leiro regresszi6D6lalkalnazott m6dszml

J,,

ad6dik. Ebb6l lrj 6s 6: meghalrrorhat6. A ,o paramdte. kisz,mirisi n6dja pedig elsd €gy€nl€tt6l:

a ketvrltoz6s kapcsotathozhasonl6an az

Do- |

- 6- i ', r HArom6l lobb vrltozo cst6bm j61 hasaehalo, prakdkus egysz€riisit6yc nincs lehe l6sg. Megfel€16 szimftestechnikai appdirus felhaszDritdsavaluonban a megoldns Drhialaerrri miivelelelkel lehers€ges

| .

:,,.

I,

I fa .I I r .r l x

l x. I fb ^

l:,,, L'j t,.,llo; I lx;r x.x xJx'ir: xru l:', :,.,,.. I,;lla,L lx'r x:x xix I lb: Az X'y = x xb egy€nletbitl a r€gresszi6niggv6nylaramelereinek becsiesca ahbbii

b - (x'x)-'x'y. Az egyiinhal6marix el€mei:

|,

x ]( =1t,,

t',' >',,1 tr l t r .,.

L:',, :',',, t': 20'7

I I I I I

t I I I I I I I I

A paronat.t.k neghaituznsa a transzfomAh hhoz6l alapl/, mtr'sok^t 10.2. tdbbzdl tadalnazza. ^

Az X') veklorelemejFdig:

Itr, I Ll',,-",1

x'v=1I.,,r, l

l0 2. 6blnzat SzAnihek a tanszJothnh vnltozakulumdr

Szimilislechnikaiszcmponlbold iNerz matrix l6lezeselehetkcls6ScsA 8yakorlali reglcsszi6szimjtesi feladalok.alazonba,dlialdbanleljesnla2 a fcll6lcl-hogy a horhaleg)enLetekfiggetlen cg).nklreNlszert alkothak. Ilzan az egliillbal6m6rrix nem szDAuldris, 6sigy inlerrdlharo.

t0 t3 20 21 l5 22 40 45 50

Veeczziikela szanilisokalegygyakorlatipeldrn! A k€tlr1toz6smodellbenszerepl6v6hozokarkibaivitvclA nedisr"l.sbt;l \izs Setuk me8 a szdlliiis id6tartaha(l), a szillilasi trlolsAg (x,) ds a szdllitas'l6mcg

t -27.

t0 | tdbldzal si i.l6 vzsenbbra wnatko'aadatak

t1 2 t0

20 l6 l0 25 l0 210 150

( ) kdzolii iisszcfiiggisr| l.Lz adaroka 10 L ibbathon tal lhar6k ) A rcgessziis ') sik parmete.eit hatirozzuk mcg a traDszformell veltoz6k alapjan es matrixalecbrai

,,1sttl

A sznkscgcss7,i

5 2 5 5

2

1l .tl 7 5 5 ll l8 23 0

9 l0 60

I I

5 I 5 l0 l5

t 2l 12) 169 25

I I

25 0 l

25 I 100 9 225 828 50

22 ll 52 5

I lr7 154 217 :15

5 5 65 r 80 345 1 8 6 1248 5 l0

r96 0 8 l3 92 298

16l 4t 0 25 169 324 529 2006

i t =15. i. - 6

A m,isodik6sa harmadiknomdlegyeDlel ,$aradvdDya: 1248=82811+186. : , l0 ll 8 20 )1

35 22 40 45 50 214

2 l0 I9 20 2t) 25 l0 150

5 ) 5 5 1 6

298=1866+50bi. Megoldesa regresszios egyijlthatoka:

Az ela'bbiekf€lhaaehsdval: t0 6A

= 1025' '' = 2 148 'r

b, t bi - h' bn=27- 1, 025 15 2. 148. 6= 1. 261. A htuomvrhozosresresszidtuggveny bccslcse:

i=

208

t,263+ t.025'1+2,148x,

209

El6szaJ'o konbAt nintunb6lkapon regresszi6seglunbal6k ( , 6s ,, ) €nebezdsev€l foglalkozunk. Ha r, 6n6k6l e8y eSys6ggelniiv€ljiik mikaizbeDx? €n€ket vrlloztldul hagyjuk -, akkor az eredn€n) r'ilbz6 (I) b€csnh 6neke 0r) €ppen , €sy

2. A parartitetek nAiixola?hrai miteletektel tdtt646 tueghaftrcriso:

fl l l I l l l l l ll x'x=i4 4 2 r0 19 20 16 20 25 301. 14 525576',l9t0)

*il '-

,33..].

150 30?8 1086 4lo I

il i.l

I tzt3t57 o,o53t92 - o.l2olll o.ozB4| , L-ql2oll - 0,02734 o,tztre:I

(x'x)' =l oos:zrz0,007349

I [r l I l r l r I x'y=l+ t z r0 19 20 16 20 25 30 9 l0 14s25s167

TI

ilfil i#*r

J t,2ll75? 0,051?02- 0,t20||l | 2z0l I I.25e26]

I lo.osrro:o,ools -o,o:ztqllJ2o8l-llo2aosl l. 0 .r 2r 6e3l -0 .0 2 7 J4 llol8l 12.r 48r 48j L -0 .1 2 0 t| becsle*: A btromvilro/6s linein! r egresvi6friggveny

segscl vtllozik. (A vnlbzis nitveked6svasy csitkkcn6s leher ,, eli'jele(jl fiigg5e!.) egysegnyindvelesev€l p€dis - rj anekenek valbzatlanul haAz r, tinyezi:r'lro^ gnie mcllen - Dr az er€drnenyviiltoz6b€csnli 6n6k6bo bekdvetkez6hat6s. A rcgrBszi6s egyiitrhat6 tehil kifejei,hogy egt adou t arezi'vAltuz6 eg)sighti a6'ek d8e nek*ora ntuekcddt (vas .sdk*en6t) okoz az eretlnAryAhoz6 basnu i Akefihozothh. A Akibet, nikatzbet a ntuik titwSfiL@6 A regr€sszi6se8yiitdBl6k t€hal egy-egy lenyez6vilroz6 ftszleges hatasAtm\\ratjtk, ez6n ezekerprrciilis regr6lzi6s €gynttha!6knak n€veziik. Szokisos a mutat6 parci6tisjollcSel a J€liil6be is erzekeltelni. P€ldiiul ,, igy is irhal6: 6,rr, ami arrd utal, hogy az eredmdlailtoz6bm csak ir harisa mutarkozik P6ldnnkal kapcsolatbar a kitvetkez6kel illapitratjuk n€s. Amemiben a sznllildsi dvols.tg I km-rel hosszabb,a meD€tid6itlaaosu 1,025perccel hosszabb,azonos szillit6si titneS mellen ( 4 = 1,025). A szellbtt rirneg hat6sap€dig abban nyilv,inul meg, hogy mnos szillilisi lrivokeB mellen 2,148 perccel hosszabb ntlagosan a mene1id6,ha I lomaval nagyobb lom€gel l€ll elsztrliitad ( 6r = 2,148). A ,0 a konstans, az tt t, O helyenven ftgg\tnymek. ha on enelnezvevan Erlelme/escpeld;nkban logikailag nem irdokolt. A pdcinlis r€gresei6s egynttbai6hozhasonl6anparcillis rugrlmrsngi egyiitt hat6 is crtcfmczhct6. Ez a mural6 .'ra ad vabszl, hogy eg! adou knyez'ealtazi egysAqnyi rebny vdhoz,isa nilye" rclotiv ttjltoztist ere.lntirez az ]) ban a nAsik ttjltozi fi hozana, szi,wala nel letl. AlralrDos keplet€:

i = -1,25926+ 1,02469tt1+ 2,r48144x2. (A 10.2. tdbld2at il''pjin szAmirottparam€terekl6l val6 mhimilis lrnlihbitz6 portossnsa, aze a k€rekit6s okoz?-a.)

F, = d! _i .., /r

az eddig elmoDdottakalapj6n a kitvetkez6 voll:

, =i, * p,x,' i,x,. 2lo

ahol r, a-l€dik td'@6vnltoz6. (Hsromvnlbzos€selbenj = l, 2.) Resresszi6fi issvenyiiDk€alkalrnaa: ^ \''

t

T

t I I

u

eh6rest z adatok

parim6tereinek 6rtelmczase A regresszi6fiiggv6nJ Be$liifiiggv€nynnk

t

I I I I I I

br '- bnb,, t b\

Mi hthat6, a preiilis rugalrnassrgiegyiitthal6ugysrga alr6l fugg. bogy azr a tenyezdvalrozok milyenszitrvoDala mellenvimirjul 2tI

t I

a paldibanl VizsgtljLrkel6sz0laz rtl,gdr r:i,r€, a rugalDassiisor , -l <

,-

6

\t lz.tinti tusulndssAslb = 1.025):

t5 1,025 l5+2.1486 1.025 - 1,259+

21.004

bz azl jcleDli, hogy illaBos 1r!ohd8 as itlagos szillilando idne-Q szrllilrsinr-Dilveked€s 0.57%-ostuenelid6rdrckedtn eredm€nve2

a l€nyez6fi1loz6kkdzdttsztochastlkls kalcsolatmulatkozik MullikolIneutlslnl, kilzijlli linciris kapcsolarorHa a rinvcrijltllro/(lt karrl Devczziika tanye?6vdltoz6k linennskapcsolar!an, vagyis az X ndtix valamelvoszlopr iilirh0ri r rahh! li,,ei,b kombjnrtcidjival.alkor X'X inverzcncm l6rezik E/ komoly t(ntaD,ikrr ,,L(i/hrl Egytnelmii lhedris tu8g6se8redlhlebannem sziimithatunk0 laslcllen v,ilro/rI tl, zat. dc a saochxszlikusdsszcfiigg€sis zalarta a7 eredmtnyektrtchne/astr rs hl zonyalami leszia bccslist A rcgresszios modell vdltozoikdzdlti dsszefiiSeesck elemrisahcz0 lcetabbi,, iormiciol a rcgcssziosfiiggvenyis param€rerei ielenrik A rcgressriosegliirthat6kkozOukimutalhaloijsszefiiggisckets2ehlellerr hl'romvnltoz6sesetrca 10.1 drrd.

x. tzcinti rugalnattng lb. =2,148): 2 .1 4 8 .6

1.025.15+ 2.1486 - 1.259+

t2,888 =ltt71 27.004

A turdontaDb dtlagosrdmcg I % os nijvelise vallozall szilljtisr lrivobAgmelletl adasosnn0,48%kalndlcli a szelliLisiid61 u r, = 25, r:=10 belyeken! Szimjlsukmostki a parcidlisrugalmassagot

25,625= 0.559 :15,846

r1 szennliru8aln6snq: Et ; ' t

'----.

11

4, l l

il

i;,1

1

tr

lt) I abru ) resrc$znisegJnrhotbkkaitttu .;ltlli.sasek

t s;erihti tuga1nd\si;g:

1,02525 l0 1,025 25+2,148 - 1,259+

;t

21.48 2,148l0 = 0.469 45346 1 .2 5 9 + 1 ,0 2 5 2 5 + 2 ,148.l 0 -

Ez ut6bbiakjclen6se: A szrllilds' ralobng 25 knj6l rdrt6n6l% os ndlel6se ldllozarlansuiillirnsird' megmellen dllagosan0,559%'kalndvelia mcrctid6l. A sdllilon lorneg l0 tomrrol va16l%-os ndvelascpcdig - \illozadan tivolsrg cscrin atlagosan 0.469%-kal,Oveli a sznllittsidcj6t. Felhivluka figyelmcram, hogy ljnedrisesetbena rugrlmassAs minake a viz! gdlr helylaili! tugg. Az 6nelTcz€smjndeneselbena rbgziletthel,!k6myczclarc6na

A ./0.1 .irldtr a nynak idnv:iban haladvayizsSilhatjrk a ttntezitviiltoz6kbari sit az cledmcnladhoz6ra. A td_re2iiv,il1oz6t 6s az crcdm6nlaihozir kilTrellctriildsz szckdt6 nyil a maeyedzov6lloz6kazvetlenharisdr fcjczi k1, sziitr,s/c.iiinakar a reeresszioliiggvenybe! e adonmagyardz6viihoT6 eeyiilthatajrmur.rtr l,r r srriilr\ ,ibiil is szokislcvezni. 'itdiagrrmnak A hrronvalloz6snodellbcn a hagyara26velbT{iknemcsrk11 .r({l,,,a,,rv,ilr,, 26ral, banemeglmessalis kapcsolarban lehetnek.Ezen egy-cg) ntgy ,ilrilrlr,vo hattsa az eredn6lFaltoz6ra kcl r6szb6l a direh halesbolis az i|direkl l,t ti\htil. mesvrhozokonkeresdnlbe$liriiz6 hatasbol ter6dik iissze. igy peldrul az -Y, viltoz6 rja gyaloroll balrsaa kdlelkczaik6ppcrir|rl(l 1rl

a=4,';;:.P',1;f;' A tcljes(todlis) ha6s e ker hatis egyntiese. Az dsszefiigg€sb6l a t€.yez6viiltozokkijzdtti kapcsolatrais kijverkezrelhetnnk. Minal er.tsebb d naga ,i)fihozak kdzbtti kopc-tala| anhdl ndgrabb t filturnk knz wlei hatdsAkaka ntu

A param€tcrekenebez€s€velkapcsolalban fcl kcll hivnuDki figyelmel az [n multikollinearit6s!esz61y€re. Altaldban ajclcnsagcksololdah Osszefiigg6sei mjarr

2t ?

2ll

A direkl6s az indirekt haiis kimutatisihoz neg kcll halircai a k6tviltoz6s line,ris regresszi6liigsvenyeketis. Mutassuk b€ a viltoz6ft kOzot! dnek €s indirekt haitst p el6z6 oCld^ ad^t^i alapjtDl K6sltiiik el az ftdi ist (] 0.2. ttbro., ^$amor t.025

E

,o;|1,.-

Il,

2-t1s

3

1

E

10.2.nbro 0augmn A vakoz6kat pdrorkenl vizsg,tlva a k€tvthozos linenris regr€ssi6fiiggeDyekel a 9.2. potrtbantanultak eerinl hatdrozhaljut Ineg. A reszlel€sszimitist n€m kdzttljiik. A kapott credmdnyeka kitvetkztjk: A k€tvrltozos linerris regresszi6fiiggv6Dyck: !oi' r

i = 4,39r+ t'5o7xr

t,'",

+ s96', i = -42'4oo '

i t],,t,,, i ) = 7,32+ 3,12t2, ;zt,,t,)

;, = 2,631+0,2246rt.

Az el5z6ekbenmeghatdrozo! heromvillozos lineins resrcsszi6fiiggveny: i = 1,259+ l,025xt+2,r48x1. A k€tvrlloz6s ds a hirohveltoz6s regesszi6s €gyntthal6k its%fiiggesei: b) a+ b! . b, i= \ ,

1,025+ 0,2246.2,l4rt= t.507; b ,,.,+ b t, b , Fz=b,,, 2.148+ 3,72.t,U5 = 596 .

214

Az ossz€fteg6s€kbijl hlhar6, bogy a direkt €s az indirekt batesohak egyarant sa€pe vaD.A rnasyaniz6vekoakkit?olt potdv irrqa: a kapcsotat.Ez ur jel€nti, hogya nagyobbsnlnr nkomioyl elblabanhosszabb dvokagraszrllirj:tk. 10,1.2.A legkisebbn6$fz€tek m6dszere6s tulajdons6gai Az el6z6ekb€ncsak a h6ronveltozos,linednsreg€sszi6smodelletfoglalkoz tuk, ahol a pamererek besleser€a nar isDen legkisebbnesyz€tekm6dszer6tal Mi mrr emlileffik, €rrdnenyeinkkdmym eltabnosithat6kara azesehc,m; kor k6l maayaiz6vnkoz6h€ly€dlaibbvan.Ez€kszrmrrjelitlje n. Ekkor az X natrix

tr ,,, ... ,,,,'l

x=l'',.1 l 'i ' l :' rn, Lr

-?-1. ...

j 4,

I

Er it€ttiik az is, hogy , > D+ I es€t€nszamithaturk csak d4 hogy X'X in verze Flezik. Ekkor b€csl6fiisgv€nyeint telj€seDazonosak a hriromvrloz6s eseiben

t4"I

6=ll-4' l=xxi 'x'"r, :l lp_l

I I I I I I I I T

ittev.i =i" +P,x,+...+F -x -. r** n,=fi"+B,x,,+f ,x,,+...+p *x,^+e, (i = t.2,...,h).

t

Azr a felr€v6st,hosy csak u eredmeD,ryelroz6valoszinijsegi vetoz6, a magyarrz6velb?6k meghalirozonak (derermjnjsztikusak),hvabbra is femtanjuk, es rovebbiakkal egasziljiik ki:

I I I

a) l e8yenn ind6 €, sz6nisa usydaklr cr a.Dz( e, ) =o' ( i=1, 2. . . . , r ) . Ezazr isjel cnl i ,hos, Dz( 4, ) =or ( t = l, 2, . . . , , ) . b) covl tt,Er ) = o, ba i+ j. Ha €' = (r,,..., €"), akor C(s) j€litljc azr az, x, -€s mitr;ot. ametyneki edik softtbana /:edik elem cov(e, ,e j) , azu

215

t

Icov(s,.',) c.v(',..,) co(:'r,) c(c)= lm(c, '') Lco(c..c) co(r"..r)

.

c.(r,,.")l @(3:''")| I @v(',.',U

El'hez els6tep€sb€naz eredmenla6troz6 megfigyelr6n6keine}6s bccsiitr6n4teinek eft6r6seir, vagyisa marad€kragokat (piduu'noka0, ma.idazok,6gyzcti,ss,cgdl kell kieinirari. A szimirjsok^ra 10-3.ftbh2atbantatitiuk. ,4

v6ltozo kovrri.ncirmttrirttrlk A C(6) netixot az € valoszinrfis6gi jelenti, ziik. F€kevesiukazl hogy c\e) = c'a

'

(Felhasadltuk,hogy cov(€,,s, ) = Dz(s,).) ahol E ,z egysegrnturix. Hangsnlyozul,hogy ., eloszlisdn6l nen Gleleztijnkfel smitfellev€s Be lehetlitoi, hogyezen mellett M\P,l- P, (i- t.2..... "). vagyisa ii, a p, -nektorzilallanb€cslese, es

Af r=o'11s';1 ahol cd)a d ul6szitriisesi vektorviltozo (a+l)x(u+l) tipusn kov&idcia' matrixa. (Ezentllidsok bizonyltisnt nen reszle0erz[k.) Az €1626itssrcftgg€sbm eerEpl6 dr ti,4k€l iltalAbo nm ismerjiik, ezen a kotkldt nirtibtil szAhitott rezidul]mok felh,lsa ,tsnval a k6vetkez6 formula szerint becsiiljiik: r. =________--, ahol

,: a me8figyel€sekszima, n: a tttye^\tltozn,k szitu, igy n-n-t a %badsisfok, = Iq, + e , (i = l , 2,...,' ); r , = b o+ b ,r,,+ ...+ b ^ r,-, " " l "'

A leSkisebbn6glzelek n6d5zlrevel kapoit regresszi6seg/iitihal6k a sokalegi param6t€r€kl%iobb lireins tozitall.n bffslesei Ez azl jelerti, hogy a linairis b€cst6, sek kitziil a leskisebb D6glzetek nodszere eselEbena legkis€bb a pardm6le$€cslesek sz6resa,vagyis a standardhiba. Egy becslessoftin a standardhiba na$/sega is foDtc infornicidr jelnt a b€csldsierEdmenyekmegit6l€ses?€mpontj6l,6l. Sztrnilsuk ki a vizsgelt fldritrkbrn meshaldrczoh resresvi6fiiggveny paraIn€lereinek standardhib6jrt!

2t 6

10.3. itbtttzal rodi i Iag nagz etd e eEa k k it 2dd i tis a ^o "e

v t. 2. 1. 5. 1. 8. 9_ i 0.

ttA29 13,577 5,083 19,721 28952 34211 28,02s 34,273 41,694 50-967 270,N0

l0 l3 8

20 2'1 l5 22 40 45 50

2to

t,429 2, 9t 1 o,273 0,721 4,O25 5; t 27 t,306 4.961 0,000

2,M2041 0,132929 E,508889 o,o74529 I , 8t 0304 0.528J29 3630n625 32,19A529 1,705636 0.935089 87.037100

A marad6klrg sz6nisn€gFelg

= _ r2,4 Be "-_ _!M1 l0- 2- I Az egyii[ha6k k@adaDcimfi rixa:

Iu t:zsz o .o s:u g z,o .tzo r r l

qb)- 12.4139.10,053702 O.OOqS _OOZr.lq I. _0.027J4 0.t2t6a3 [_0.]20 ] A pdam€rerekv&idcini (standardhiba-Eeyzetei) €sszdrasai(sraDdard hibri) sL = t21339-r,213 751= t s,09ll33, Jq = 3'885; = 0.r)9r3733, sl = 12,4339.O,007349 ra. 0J0229: = 1,5131186, si = 12,4339.0,121693 ra = l2lm8q A beGiill paraD€leekstandrrdbibri a mintav&etb6tsztr@6 adagosvebtten bibana$/srsit mulaliik. 2t7

t param6tereinek idtervallurnbecsl6se 10.1.3.A regresszi6figgvEny Most az €t6bbiek meli€tt m6g azl is legFk fel, hogy t, eloszlasa rt(o, o'z). Levezethet6,hogy el&or /i, ( i = l, 2. .. . , a ) is mmalis eloszl5sri,mivel oonnelis eloszusn vabsziDnsesivnltoz6krineiris konbhncioja, u(i,)= ahol c,, az (XT) | metr; i6itl6jlmk Ez ,, j€lenli, hogy a

A, *

o'(i)="',,,,

P6ldrnk adaraib6l vdgcziik €l a parm€terek becsl€s€t95%{s mesbizhat6segj Gyffjtsijk osszea konibb' r6szeredntanyeker(t0.4. fibtdcatll

Az eddigi raszere.l^i,Jek

i,- p,

4 = -),263

14 = 3,885

D,= 1025

Ja = 0 30229

b1=2, t 48

rA = 1.210089

valosziDiseai willoz6 stmdddDomrrlis eloszl,6$i. De 6 nem ismen, i. -vel kell besnhi, ez aztj€letrli, ho$/

p,-p , "i , - n - I szabadsegfokureloszlist alkol. Emek alapjrn az interallmb€.sles is eh6gezhei6. Ehncz els6 l6pesben€t5irjul a b€.sles megbizhardaar vntj€t, nald a r{loelas segitsegavelmegbatirozut a maximnlis hib6t, ez kitvet6d pedig kijel6ljnk a koDn' Az iedik viltoz6hoz tadoz6 /9, parameiede a kitve&ez6 val6einrfis€ai megalapitnst leberjij& (a fonnulrkai csal(konb't ninhro tiuJKfel):

l b ,-t \

-:"

s 6 < p ,< h ,+ t

' t"

I sL.l = t-d J

Az elmeletj param6lerkonfidencjairleryallma

(i -t,2,...,n).

I - d val6shfiegi

szinta:

()

P .l r 1 r " r r l \' -) A becsldsn€ltatrultak terneszeies€nitt is alkalmazad6k, azaznagy miDB esel6tr a r-elosras helyeh a standmdDornflis eloszhs hasailhat6. Ebbenaz eselb€tra konndeDciai €rvallum sz6mitisa az alnbbi fomnbatr titrttuik:

s6 l. lt,:lb,!z \ ,/ 't" 218

t

A paFm€lerck sEadard hibdja

i-edik eleme,mmt zt u el6z6 ponrbd litnrk

I

A konfidenciainrenallm meghalirozesehozsnikseges I eftEket n m I szabadsnsfokDalk€ressijk ki. (, a minta €lernszema,z pedig a magyarit6vrltoz6k sziima.rrgy Ii or = zJo A konfi dencjaintervallumok 95%-osm€gbizhal6stgi sziDtena k0vetk€z6k: po: - t,263! 236 3,A85,Mz (- 10,aI6: 7,9056), , , : 1. 025J2. 16 0. 10?24.zaz ( o. t t t o: t . r t r a) . P,: 2,t48! 2)6 t,23009, u^z (- 0,7550; 5,05l0) .

10.1.4. A r€$esszi6ftggv6ny

I I

eredm6nyeinek ellendrz6se

A reg€ss?j6s rnodell sp€cif*6l6sa a fiisgv6ny tipusnDak6s a parm6rereknek a neghalirozi&itjelenti. Az €lsi'probl6na tehet a fiissv6tr)aipus kivalasztisa. Szamunkra tobbvalloz6s esetb€nmost €? a k€rd6snem vet6dik f€|, mert azt mondn*, hogy csai a linedris fiiggv€nylipussal foglalkozunk. A gyakorlatban azonbanebben a szakaszban f€lletlen figy€l€nb€ kell v€mi adoh krnlel szak6n6j6nekv6lemoy€t is. ^z A k6velkez6kben azt vizsgtljuk, hogy a nodellk€pz€sDelszobajithet6 na8yar6avnhoDk val6bm szignifik6ns kap€solatbanvannak-e az eredm6ryryfltoz6val. Ehnc, el kell v6geai a pararDet€r€khipotdzis+l1e!626&. A t€dyez6vetloz6k parametereinck lcszteleehq isemi kell a r€eresszi6segyiitlhat6k €loszhsnt. Ha az €redneny veltoz6 (4 norlnrlis eloszlisl kdvel, aklo!, mint mar emlitettiik. a , regresszj6s eAyiitthat6k is nom6lis eloszl st kovetnel, miv€l a , lin€dris kombinici6ja az r 6ft6, keinek. A minta nagysdsrnak nitvel€s6vel a b elegge Altalenosfell€telek mellelt akkor

219

t

I I I I T

t I I

is nonnrlis elosrnsn lesz,ha az 4 vrltoz6 r€rn kijverDomnlis elos2bst Ezt a koz ponli halireloszlisteteloalapjnnrillfthatjuk,nelyel matcmatikairanulminyainkb6lj6l jsmerhetiinL. A harad€hag sz6nisn6glzet€t( dr ) nem islnerjtik, kijzclit{t enekA mint6bol becsnltnk. A becsl6fomula nevezijj€ben ezcrt nem a m'ntana8ysrigot,hanem a becs0li paramelerekszimiva' csdklenlen minlanagysigot szcrcpelelnk, amn szabad segfoknaknevezijnl(. A maradektaSsrcrkdnak d tozitadan b€csleseigy bizlosilhato. Mivel a szanitesokhoz sziiks€sesr€ziduilis sDnisbeg)"etet a min6bol becsnltiik, ba zonyi1ba16,hogy a b paramele.eknern norn,fis, hanem Studenl r-eloszlrst liivernck. (Lasd 10.1.pont.) Ily modon r-rr6brval ellenairizhelai,hogy egy-csy tcnyczdvdltoz6 sziErifikins kapcsolatba. van-e z €r€dm6r)v6lloz6val Ahahnos fomebm az i-edik lenyezijvrltozo ellendr;sre szolSrlo nullhiporezis a kdvc&cz6kcppen irhat6fel:

galmaztukmc8) elv€tjilk.6sa ,gL all€mativbipot6zistfogadiukel. tz azrlclcnli, hoSy a vizsSrlt tey€zaivnlhz6 (r,) 6s az €redma!)aAhozo(l') kijzitll . !i^,rilt szisnifikdcidzi cnval6skapcsolatmutatkozik. Vizsgeljukmeg a p€ldrDl adataib6lmc8hatrirozon regresszioliggvany trrunrr, ler€in€kszjgnifikanci,tjil!A szisnif*anciaszintet valasszuka szokrsos5%-nrkl A legrobbkon€lAci6resc$zi6sznmilrsrakdsznllszoilvcrmer kijzli az cltcn6r z€shez sziiks€gesreszer€dm6ryckct. Az elrendezesdltaliib:n a /0 J fiblizathdh bcmurarolrm6donl6ndDik. !0.5 lnbldzot ,1 reEresszi6Jnpgary paraniterci"ek e en1.asahez snkiq.s

ri\zere.lninrek

H r:P ' = 0'

r,=

b'

A ketoldali euerhipot€zis pedig: H t:F ,+0.

1,025 2, 148

o,30229 1, 210089

1,19078 I , 746

A parameleek lesztelEserea r-pr6bafii8gv6n)l hdniljuk. A pr6baftggvenykilikus !n6k€ 4,1,=2,36. E^ a rD enekkel dsszehasonlitva a t/o:p, = 0 hipoteist elvetjiik a f0: p, = 0 hipor€zislpediselfosadjuk.Ez aztjel€nti,

A prohfiiggveny:

hoSy a B, parcirlis resrcsvi6s egyi:tftato szisnifrk6nsnak bizonyul, a p, viszont Konkait nikto esetadpedig: b.

M'vel keroldah pr6bnt vasznnk, a proba szabadsigfoka u inrervallumbecsldshczha s onloan: r z l = n -n -l Az ell€n6rz€ssoren meghattrozuk a probafiiggvmy szimiron crr€k€t es azr a7 adoil szahdsiigfolhoz es vdlaszlott szignif*anciaszinthp hnoz6 kilikus en€kkel haHa a pr6bafiB8v€ny sztmilo( €rtek€rck abszolrir €rreke kis€bb, minr a krnikus ert€k, a vizssax fellev6sek kdznl a nullhipolezist (Ho-t) foeadjuk el Ezr er jctcnti, hogy az icdtk nagyanizovalioz6 nincs szienifikans kapcsolarbm z er€dn€D)ryaltozo !al. ezenceiszcnikibagynia modellb5l. Abban az esetben,ha a pntbatuggv6ny szernibn en6ke absahft €nekben nagyobb, minl a kritil'us er16k,aklor a.ullhipoiezisl (melyben a kapcsolal taaades6lfo220

Ez ul6bbi azrjelenti,hogy a sz6liilesiid6 es a szrllirotltdmegkijzdtt n€m murarhat6ki szignifikansbssze{ilgg€s. A gyakorlarifelhasadlis sordnilyenkormc8 kcll kiscrclniinka valbz6 elhagyesat vaSycsetleSes lranszfomeci6j6t,vag, mrisikm0gyrrr z6yihozo bevontsal.Az tj vditoz6elleD6rz€set tem€szeleseD szintanct tctt vi'rczrn A leladate/ ninyi lol),larasdm mosrncm rcri;nl,kl Viagnl.iuk meAa pdm€tereker u = l0'% os szignriikancjaszintco. A knrikus / enek cbbene setb€n 1,90.Itt n6B elfogadjuklgyan a nullhipotezisr, dc lenycgcscr k's€bbaz eltaresa vdmilon r 6n6l6s a kitikus r €rr6kkiiziirt. a =20%-Drt a I kriti kus en€ke 1,42.Ezena szignifikmciaszinren mer szjSnifikins.akmutarkozika fl. pa-

221

I rlkalmrzisr a tiibbviltoz6s 10.1.5. A varianciaanrlizis regresszi6szimitisban Az el62i:feiezettn benutattukk€tvaltorcseselbo a szorSsm$zelfelbontis Az ereimenvvitto?ovariatri'jir a regrszos mo*" .*.itl'. .lrai-r ' "rnkrar' bontortut bozzijdrulAsd{a d;il -'^ ii a htbatenYezo moderl rereterersesig'snct birc,trvi$ar6 hogy ; i;il;il;;;a;;g'.sszios koz6tla kttved(e'i 6ssz rii"hato azeldre$Dcg)%tdsszesek tor'l' erl,.' .t"ii* " ftigs€s:

- t(,,,)'i(',-,'.t' i{,.-;,r' dc a Lzl az o's/etuqsesr felhalmdlbaliut tovabbi mutaloszimol s/dnilisira '' I' elv'8czhel6 ellenbu'se I regr6sziot fiisgvmv *.*.'"-"rl,i*effh":*ival A kovetkez6 hipol6ziseketvizsg6lj t: H o .Pt- P ,= = P " = 0' H ,:!8 P Lx 0 (&= l '

' n)' dtndegrtk parcttl[ .N8t6eios hos/ neg logalmazul azr A nullhrDoriTisben tr' Az altemanvnr_ corr&ard dn;ke nulla Teh,t a regrelszrolagadis'Ml ibdulurr pdm'ler' v'gDifiLins van pirizn zrlelcnri. hogyr modcllbd ' tttiut^ la 106 tabtdLatbon 'q ',i'a'cramaiizs-ribl

t

A probafiggv6ny szamibn an4kehonld:

X, 4s X, kijztttt:

'-

J>di>dl

Szemi$ukki e cl5z6, 10.1.porlbb itryyalt p€ldaadataib6la szillitisa id6 (4, a lrvolsdg ( x, ) 6s a szrllirotttitmes( Xr ) kozittli prronkentikorclrci6s esynnba6kar.cs iriuk fcl a korcl6ci6smrtrixol!

Elad,tui,ir (M FD ) L 2. 1 5

10. L

t248

r ,= - = - = !.,0 6 4 ,

'

a/82E2006 298

1248 Jl 660 968 l24A

J50 2006 Jr00 l0o 186 ./828 50

186 .,i414OO

floooo 0,9684o,94o9l R=109684 1,0000 0,914r I. 0,9141r,00001 Lo,e409 226

2. l. 5. 1 8 !0

4,20 4,50

6,00 3,00 2,16 2,10 245 1, 20 2, t o 2,40 2.00 I , 40 |, 10 3,40 1, 55 135

6le&or(ev)

55 11 82 100 85 '10 '13

I 9

66

35 5l 77 39 61 48 5l 53 54

t8 l8 6l 23 3l 5 40 7a

lsmerei6ek u aliibbi szimilrsi eredmenyekis:

tdi = 4e1s8, td,':=rrlro,8.

I I I I I I I I I I I I

227 I

I

>dA = 48483,

>d\dt = 281,5,

>d,4=4tr,0,

>d: = 30,1.

U

Azyes Xl kdzitok^Wsolarszorossega, ha X, hatiisrtkisziirjijl: \*r

-m

A odronke i korreHci6s es/iitthalbk a kovetkez6keppet szimilbat6k:

241,5 4975330,r .,1t49t72 281.5 281,s

"

-411.0 Jll Iro,8]o,l

-411,0 {ll4 415

-4848.8 -4848-8 lr llo,8 J55285ll8 J4975f

I loooo 0.7429- o,7lo?l n=l o,rlzs l,oooo-0.65211. I l-o.rtor - o,oszt l,oooo A rottlis konelrci6s egyn$al6k at nutaddk' hosv az eladrasiir 6s a teriler kttzbu kdzeDesnil s?orosabbDoziliv i'6nlai kapcsolat var Az elad.is' ir 6s az eletkor kb zitrl Dedr; szi'Gn kdaDe;61 szorosabb.de besativ Ein]d a kapcsolar' A ket lenve'j rahozo k-ijzitn kozeocsirisseEfi ftsativ trenyli kapcel muraitozil

10,2.2.Parcidliskorreldci6s€gritthrt6 A prrciilir korrelict6seeyn(hrt6annyibul(0lahbzika pironkenlicgyiitt-

hat6r6l, togy sztunilis6nil a 6bbi v6ltoz6nSlnm tekintfnk el' de hafsukal kikiiszdbijliiik. A, isy kapott pdcit'tis korreliLci6segynr6^rit @l nulatja neg, hog/ nitd szo' rcs a kapc;olot valahetyik kiv,i Lrztott tittya6uilt@6 ,s a frqad inbtt kbzdtt ha o nind az erednAnvvtl' titbbi rc;re26vdltoz6 ho jsfu ni\d a vizssAh ftnleMhonb6l

Kiszimirtsanak zitljiik. d

a konehci6s mrtrix elmeib6l tinen6 - kiizveten m6dj6t k0-

Az v es X, kitzotti kapcsolat sarossisa. ha x? haLisetkiszfrjiik:

.)

A kCrtl^yezbvimod kitzdni prcielis kon€l6ci6s €gytilthat6:

Ugdjiink a jeldl€selseis! A parcieliskoreHci6s €gynthat6 als6 index€ben regieldUfk, hoSyrnely villoz6k kapcsolatfivizssrljuk, najd a pont utentuk azt a velbz6l, anelyikDekh.atlsil a kapcsolatvizsg6latasorenkiszdrjitk.(Hasonl6an, mint a parciilis regrerszioserynttb.at6Dil.) Az iryatla*iizdit6 irodaadaraib6l: 0,2795

'

r)'] - (- orr04'l['- (-0.65r

- o,7lo?- [(0,?42e). ,_ -@ @ (- 0,652t]

_

oJro?I -0,652r-l(0,742e).(

-.JF;-;j;;;;l@

0,2795 ^ -^.. J0.4949.0.57480,5331 -o,D63 - 0.2263 J0,44810,5748 0,5075

-o,t24t -0,1241 ^ ^-^J0,44810,4958 0,4713

A parci6lis koreLicios egy[Ihat6k lenyegesetrelt€mek a p6ronk6nti koncl'tcids egyiinhalokl6l. Az elad,6sinr €3 a lakismcr€t kozott lenyegesenIazabb kapcsolal mriatkozik, ha kivfljnk miodket v6ltoz6bol a laknsok 6letkorr,nakhatds6t.llasonl6rn lI! zibb a kapcsotal az eladrsi 6r es az 6letkor kttzainis, ha megtisztitjuk az OssrcliigSasrI lakdsmeretbar,t6tl6l. I;nyegem elt€r a teny€z6viloz6k kiizdx kapcsolatotmCr{j ,i,., parcinlis toEelicios egynnhat6a btilis m6r6szimt6l. a t: -ti'l. Kdabbi p€ld,tnkban:

0,9684 - 09409.0,9141

oglar') J0-o9ao9'Xr

0,1081 0,1083^ ---.10,tt47.0,t644 0.13'13

0,94ry-096U.O,9141 0,0557 0,0557 ^ -,^0,1011 0,1644 t-0968a'Xl o,91al') J0,0622 228

229

0.9141-0,96840,9409

It-o,%841t ,lr4or)

0,0029 0,002,) ^^.,, 0,0845 o,l 14? Jo,o622

Az /,r,, parciiLis konel,tcios egynfihalo azt nulala mea, hogy eoros siLllitoft l6meg melletr a szAllitdsiid6 6s a szillilisj fi hos% kttzittt kozepesn€lendsebbpozitiv iranlu kapcsolal vs. A mrsik k61 parcialis korc6ci6s egynrhat6 is hasotr6keppen enclnezhet6. Vegynk eszre, boey a pacitlis koFelrci6s egyfithat6k l€nycgeseDla z,abbkapcsolatol mxtatnak, minl a pirork6nti korel6ci6s egyutlhal6k. Ez a, jeltrti, hogy ha kisziirjnk k6l vdlioz6b6l a hdnadik vrltozd hatisit, gymgebb kapcsolat mu talkozik kozottilk. A pirotrk6nti kapcsolalol tehit a hamadik vehz6 hadsa mindegyik

10.2.3.Tiibbsziiriiskorrel:ici6s6sdet€rminici6s€5 ltthat6

A titbkzitrals korchci6s egynthzt6 el6.jeletmindiA pozitivnak iekinljiil. A litbbszoros kon€laci6s egyiittlat6 r6gyzetet t6bbrzitrits deterrninnci6s aho] a egyntthrl6nak rcv€zz[k Ezl a mulat6szimotm6r isme.Jiika 10.1.5.pon1b61, rearesszi6b6l szirma2taltuk, 6s a vdianciaaalizis segits6g6vel definidlluk. Ezzel a mular6szinmal zl m€rjnk, hoAy a fiiSgetlcn viltozok cgynfi€sen milyen er6ss€ggel tlatiton;j|{ meg a2 I veftoz6 ingadozrset. Mesk6ppen fogalmwa az egyijtlhalo ana zd filasd, hogy a figq6 r'tt1o,6 telj6 s,6ftsnAsy2etbb6l nekko,a a regtesszi6naktulai.lonithat6, lehi,n rinye6vilroz6kk^l megmagy Ehat6hdryad. ^ megadon aalatokb6lkiszAmitott titbbszdrds korehci6s 6s A 10-8. libLitutbon determinao6s egyft lhat6:

*t 07totl 2.0ja2e,-Ott07,, O.oS:r, . /O.rq2rr -ll r(-0.652r)'

=

"6plols

_ osooo .

A pAronlcnti koneLnci6se$/iitthat6ka 6s a parciilis konehci6s egFtthal6kra cgyarAntaz iellenrz6. hogy kdt viltoz6 kitzij( m6rik a kapcsolatot. A titbbvrftoz6s li nutis modelln6l azonban aira a kErd€sre n v,ilaszoloi kell, hogy milyen srcros a kapcsolar z erc.ln6D)ry6ltoz6 (r) es a modellbc bevoDt rcnyezSvriltoz6k (X , Xr,..., X.) dsszessege kitziitt- En a kapcsolalola t6bbsz6roskofthci6s fogal@a ut is nondha(juk, hoay a t6bbszitr6skoreld egyijnbalo meri. Mrskeppen cios cgyihthat6 mcgmutaia, hogy milyen szorosanillcszkedik a tegresszi6fiigg\'€ny & crcdmo)ryaliozo ( t negfiayelt en6keihez.

Az €ladesirfi, a lakesnerel6saz dlelkorki,zitlt szoroskapcsolatmuratkozik.

A tiibbszitriis korrehci6s egyntihat6 olyan specidlis keltnuozos k ftelicios E Xr X, egytuthato. o,1e1yu Y ercdnin fihoz6 , X- nognftzorAlbzdl ^ niri. KAplete: abpjnn be.:;iilt i kapctolatdnak szotossAqAt

A vtllilesi id6, a sz6llidsi irr 6s a szeftlott tdmeg kiizittt a tdbbszdros koreleci6s egyntthat6 szoroskaFsolalol mutat. A latbb6?it0sdelemineci6s egyiirthat6:

+ 64,t%. R' = 0,6a095 Az elad,6si l4rsz&isn6gyzeldnek 64,l%-eta lakasrndret esaz dlelkorhatnrozanes. A l0.l pon$an tdrgyaltp6ldaeredmenyeibail szenitott t6bbszd.ijskonclici6s 6sd€t€rminici6s€gyiilftar6pedig:

qr4o" , qr"84o,e4oa.o,ar4l0, 1573 - 1iftop"E4' "0, 1644 r 0r r 4i

R1 = 0,9568) 95,7%.

(Jeloles: az also indexben elajszoru eredm6nlvilloz6t jeloljiik, majd egy pont utin relsoroljuk a regresszi6fi€gvmyben szerepl6masyff iiz6v,iltoz6kal.) A hAronfihozds nodellbeh a titbbszitriis konelici6s egyiinhal6l a paronkedi korelrci6s egyilllhalok felhasrnrllsaval is kiszimithatjuk:

4,+,i 4,,,,\.

210

A stllilisi id6 vdidciej6n.k 95.7%-eta szallilesitl hossza€s a szrllitoll rOmeg Msysaga naEyarLza. A rdidcia fetrmdadr llinyadar ( I 00 - 95,7 = 4,3 %) egy6b, a modellben D€mszer€pl5t6nya6k okon^k-

10.2-4.A multikollinearit{s6sm6r6se A mtemalika;statiszikai nodszerek alkalmazasarasz€leskdrben nyilik leheli'seg a gyakorlalban. A m6dszerekf€lhaszDalasaazonbaDcsak akkor lehct hat6kony, ha & €lm6ledleg megalapozon,vagyis, ba f€Dnnlhak az alkalmazis f€lt6telei. A rdbbvrllozos linel,ris regressziosmodelln6l abb6l a f€h6lelcz€sb6l indultu.k ki. hogy a ra

231

I I I I I I I I I I I

t I I

nyez6v6ltoz6k linearise fiiggetlenek eglm6!161. Emek az alapvet6 fel€telnek z a elve alaPjtn b€csiill .egiesei6s csyiinha6k magyantata, hogy a legkisebb '6s)ze!ek \b,, i = t,2, ... n, m hztinozisthozsiik$s van a2 x'x nitrix irver7;re. Mint ismegegyezika viftoz6k sztDnval. Ameoymeretes,u X'X nAldix ruqta n +1, ^zuu + I a regr€sei6fiissveny egy08bat6anem Dyib€n az X metrix ransja kisebb, mint , egyike kifejezhetit a becsiilhet6}. Ez az esel akkor fordul el6, ha a tmys6valtotk titbbi t€nyez6vellozo li.erris kombinici6jak€Dt, vagyis a tenyez6vrltozok koziitt fiiA8_ snak neveznk. Felisme.esev! venyszerii kapcsolal dtl fenn. Ezr teljes nultikoliintrit szonyla8kijmyf, es a probl€nit valanelyik velbz6 elhagynsevalmeg tudjuk oldai. A ttrsadalni, sazdasnsi jelen568€k vizsgnhLtnel gy.konbb a toyezdvdttozSk koziihi szlochasztikrs kapcsolal. SzinIe elk€pzelheteden,hogy a t€nyez6vAhoz6kko_ zijtt ne jeleDtk€un nullikollinearilis. A regresszi6tugeleny eSynnhat6i ekor is meghaurozhat6k €s ertelnezhel5k is, de a multikollinedntu cs6kkcnti becsleseinl 6r16k€t,bizonltalansngolokozvabennijk. A vizsgdlal c6lj6t6l fiigg, bosy a b€csles bizon)talesesa meDyib€n jelent problemnt. Abban az es€tben,ba z eredmen)ryelto2dMgysiglnat a t6syez6velbz6k adon szinlonala nelledi becsles€,el6rcjelzesea c6l, pl. egy adott lem6k irinti ker€slet szinvonalrt kivdljul megbecsnhi, a modelll alkalnazlBtjuk akkor is, ha jelentais muhikollinearitds mula*ozik a t€nyez6viltoz6k kozdn. Mds a }etyzel azonban, ha gazdBtgi elenDesr€. a hat6toyez6k kimulatAsira szolgelo regresszi6s nodellr6l van szd. Ebb€tr az €selben a pdcidlis resresszi6s eg)'rjltbat6k jel€Dtik a l€gfontosabbjnfomici6l, tebe( a muhikollinearitts jcl€nlete tnEbbijl kovetkezik, hogy a €ryez6veltozok kiilcsonos fii886sea€Dekm6n€:k6t6s bates6lellen6rizniirk kell. A multikollinearii.ts mer6s€rcritbbf6le eljriis ismert- Teatryagunkban csak a ki,vetk€26 n6dszert mutatluk be. A n6r6s logikai meneroek meg€neseh€zeondouuk v€gig a kdac&€z6ket- Ha eAy-egy fj lenyez6vrlloz6l b€kapcsoluDka vizsgilatbA akkor a tobbszdrds dctemineci6s egyiltthat6 vagy mSyobb lesz, vagy eB/aftabn nem viltozik a nasysrsa. A nodellbctr szerepl6 mindm viftoz6ra kisznni6atjuk, hogy mennivel Doveli a t6bbszdrits de0erminici6s egy that6t, ha a v,iltoz6l ulols6kent vonjuk be. Etlor l6lyesebe' zt vizsg6ljuk, hogy az utoljrm b€vont r6ltoz6nk noveli e az eredm6Dreltoz6 vdidciejrlak a fiiggveny akal mesmas/siizott resll. Ha ezeket a vrlloz6nkeDti hatesokatitssz$djuk, €s a kapott 6sszegegyeDl6a tobbszorosdetermineci6s egyiitthar6val, akkor a nultikollineditist N1l6naf, t€kiDtjtk. Ebbeo az ese(benugyanis a litbbsz6r6s detcmiDici6s €gy0nhal6t fel tudjuk bontaDi a viltozonkeni halr{sokijsszcg6.e.A gyakorlatban ilyen esetftkin fo.dul cl6. AkhbaD az7-alaz eseltel lal6lkozu.k, hogy a ldbbszdraisdeleminnci6s egyiitthat6trak van egy orya, ,l4ya.1a,anit a tinyezdviho26k egyiitt$en nag|antnak neq. eryiitthal6 6s a A rrultikollirearitiis m6r66re ezen a tobbszdrits dehintci6s A ner6t€nyezaivilloz6k ilial m€gmagy&imtt resz kiilij'nbsega cekrerd h6ailni. szim hAromveltoz6 esetena kovetkez6:

u = R ,"- Z IR :., ,,.) . atnt j =t,2 a maAyuitziNaltozok szrmatjelaili. Min6lnagyobb az M en6ke,amrl i.kibb szamohikcll a mulrikolbncarildsb(il ad6d6veszely€kkel. Szimitsuk ki a multikollinedites mffis?imar a p6lddban rneghatirozon paroDkentikonehci6s egyiihat6kb6l 6s a titbbszoritsd€temindcioscgyijtrhalobol! (Napan^ok a 10.8.fibl6ba".\ Az M mefiEzi,naz ^lihb;: ,{o.ba0qq-(-o.7r07, ,r,t- 0.640os-[(0.64005 0.7a.2q t] ) = 0,64095(0.0890+ = 0316050,1359) A ritbbsziiritsd€tminnci6s egyiifhal6felbonristt a ./0 9. fibl,iatban aAj\k me9.

A valbz6k bozztjdruldsaaz

0,08900

0,u590 0, 4t 605 0,64095 Szimottcvii a mulrikoflinearitis, men a kapcsolat jel€nr6s ftszer az Xt ts az X. egyiitres hatisa leszi kj, de eneleh jele ajs az Xt is M X1 viilrozdk kijldn-knlbn vizsgall halisa is a t6bbsz0rajsd€t€minici6s egyntthat6ra. Vizssiljul meg ezek uLAtraz es6szfejezelenv€sisvo'ulo, szeltitdsi id6, tnvolsdS 6s szillilrsi tdmeg kitzOlti kapcsolatotb€mutat6peldebu a multikollinearitSst.

q5b8-0.e084: 0.o40oI, 10.q568)l J(0 = 0.9568(0,0190+ = 0,8661. 0.0602)

M = o.q{os

A ritbbszitrOsdet€rminrci6s egF1thal6 felbonrdsdta ,i0.lA. ftblAzdfian adj\*meg

233

0,61-0,89.0,81

- 0,1287 = -0,51 I 0,8e'?Xl-$3'?) 0'2543 A viltoz6l h@ijdrul,rs

z

0,0190 0,07t5 0,8663 0,9568

Em6l a feladatnel nagynErtehi nultikollireditissal dakozutrk. Szinle a lelj6 az eredrnenlw6ltoz6n hat6s a leny€z6vAltozok €gyijtles haltsaktd 6rveny6 Ammyiben el6rcje126sa cehnk, vasyis a szillirisi id6l kivtnjuk megbecsnhi a rr' vobng 6s a szdllitotl l6meg meghal rczott szinvomla mellett, n€mi feularlissal ugyan, dc alkaltnuhat6 a modell. A vrltozok k6z6tti dsszefiiga€sk r6szleteselemz s6bez aonbo cekzerii leme vasy a szilliltsi dvolsts (X, ), vasy a sztllilotl tome8 ( Xr ) helyetl ntsik nasyartz6vrltoz6t b€€pitoi a modellbe. Nazziink meg egy ndsik p6ld.it is a multiko ircarii.is vzssrlatira! 30 v€letleGrerii€n kiutlasztott mez6gazdaeai irrem 1992. C\t adatai alapjin mcsvizssaltuk e alrbbi vAltoz6k kapcsolatrt: Y: a kukorica t€rmesfilasa (q,4n), X, : a mfitrisya-felhasaili6 (ksAa), X1: e dntdze*e felh^s vizmffiyis€se ( nr,ttar. ^[ A ednitd6ok sonir a kitvelkez6 r€sz@dmeDyekadodtak: =039, /,, = 0 33, ' ,, A parcials koEel6ci6s eAyiitlhat6k a kitvetk€z5k:

ta= 06t

0,89- 0,83.0,61

0J817 ^ .o,44t97 0,6r'?)

J(r-0,s3'Xr

0,83-0,89.0,61 0,28t1

l o,se')(r -0,6r) oJ613

234

A robbszijrOideremindci6s egyfthar6:

039'?+ 0,83? 2.0,89.0,83.0,61 _ t , 48t - 0. 90t 2 n a) 14 t- 0,61 o,627q A multikollinearitisma{azirna:

M=o,sl:,4l(os234o"rs')+(o,sz:+-o,r:,)]= =0, 9234- ( 0, 1313+0, 2345) =0, 9234 0, 3658=0, 5576. EDnel a feladab nnrj6val kisebb multikollinearitds mutatkozik. Ezt velehezheljlk a pdronkerti es a parci is korel{ci6s egynnhat6k kozoui viszonylas kis merlekrfi€lt€resbi,l is, de a nultikollinsftis m€r6szina is eir5l tadskodik. Megjegyezz[k, hogy a gyakodati rapaszralalokalapjan a muftikollineditest akkor szokesosldrG men6loinek tekintetri, ha l&sik a konetdci6s matrixDak a t€nyez6vrhozokE vomtkoz6 r6szeben a tobbszitits koFeltci6s egynthat6nfl Dasyobb ab, Temszetesen l6leaek eDn6lj6val €szallabb n6dszerek is a nulrikollinedilds m6res6rc, a probl6ma kezel€sere. A statisztikai m6dszenm szinos eljtuest ismer mullikollin€arilist tartalrtru6 rcgresszi6s mod€llek pa8m€tereinck becsl6s6r€,ilyen o€ldnul a faktomnalizis.

10.3.N6hiny kiegdszit6sa regresszi6szimit6shoz A r€gresszi6snodellkcpzB els6dleges6s €gyben l€8l€nyegesebbfeladata a no, dell speci{ik6l6sa.A vi^srlt t6tryu61 leginknbb neshatircz6 valtoz6k kiv6laszt6sa6s b€€piGs a modellb€ nen kdmyiifeladat. Ha p€ld.tul a kitzalkalrnuoti re1egetlagjitvedelm€r bcforyiasol6lenyez6kel kivtDjuk szarnbaverDi, feltehet6en fontos veltoz6 l€sz a kitzlkalmazotti rnuDkaviszotryhossza az 6le&or, az iskolai v6szettseg, a beosztesstb. Az ul6bbial azoDbanmin6s6si ;h6N€k. K6rdes,hosyan tudjxl megoldani, hosy miD6segiismervek is szerep€lhesse.eka regresszi6smod€llbm.

0;t9 ,

235

I I I I I I I I I I I I I

10.3.1.Min6s6giism6rv€kk€zel6s€ a regresszi6s mod€llben A regresei6szimitis alapvet6e a memyisgi ism€rek k0z0t1i Osszefiigg6sek d,was[nek eszkd^*L A2 eredm6n]aelbztt illetij€n €a a kikittesr tovibbra is meslanjuk. A magyardz6veltoz6kkitzitn a?onbangyakan dekozunk min6sesi vasy terinei ism6rvekel is. Ebben az Eetben az ism6wek€t allemativ isn6rvekl6 alakitjuk, 6s nesrers6ges viltozltk segitieg6vel illesztjiik be a nodellbe. A ncstcrctgcs vahoz6k ily modon I 6s 0 €n6ket bnalmaz6 vehozok. A mina'segivagy teriileti isn€rveket egsyel kevesebbvihozoval tudjuk bevirmi a modellbe, ninl ahtny vnltozala vE! u ism6Mel Allemativ i$neweln6t, ha a min6Fgi ismsv csup6nk€t velbzattal rendelkezik (pl. f6rfi, n5), akkor el€g€nd6 csy m61e668es viltozot bevezetni (pl. ferfi =1, n5 = 0). Hrtun veltozattal redelke6 ism€Mel k61mesleniges veltozo elegend6stb.

A mesters€8€sv6hoz6kat rartalmaz6modell param&ereinekbecslaseuSyanigy a legkiscbb D6Syzelekn6dszermek segibdg6vellitn6nik, minr ahogy azl a korabbiakbln hfituk. Nerik a kitvetkez6 peld.it! Az egyk budap€sti keriil€ti itnlomrnyzl felmer6st vagedcrctl 50 cl dds{ Beghirdeleltzaildovezeti csahdi haza- A vizsgalalsorAna kdvcrkez6lellozdkur ligy€llek neg: Y: a lakis kin,lali 6ra (Ft / n') , x,: a lak,.s6l€*ora (6v), -,

N€ziik meg altalnnossngban,hogyu titn6nhet a mh6s€ai ismCrvek kselese I regresszi6smodellben. Vizssdljuk a bntt6 ,tlask@stnek z €letkoral, a nen szerinti bovabnozdssal 6s a b€osztissal val6 ds*fiiag6s6t! Kepezziik enn€k erdek6b€na kiivelksl modelll:

x. l. '''

Y= P a + Pi + Pi + P3R + 8, aiol a vdlioz6k az al,bbiak: L a havi ethgos bntt6 kereset(Il), N = l. ha a megfigyeles ferfira vomtkozik, N = 0, ha a ne8fis/eles ltire vona*ozik, A: Beoszlas R = I , ha a megfigy€l€sbebcvonl dolgoa v*16, t = 0 , ha a megfigyel6sbebevont dolgoz6 b@sztoft.

t =p " +p ,a5+ B,+p,. mig egy usymcsak 45 6v6, vezetii beoszrisbandolsoz6 tr66:

t=p o +p,ts+p,, ataz p: -vel kev€sebb.Ez pedig azt jeleDti, hosy p, u zon6 koni 6s b€oszttsrl ferfiak €s n6k k€resel6nekvrrhat6 €neke kdzittti kijldnbs€g- Hasonl6 enehezest adhatunl a -Rh€stersegesv6ltom pr pdciilis r€gressziosegytihhatojatrakis. Ezek alapjin vllas, kapunk ara, bogy a kerese0ekszinvonahbm memyiben jur kifejez€sre el€tkor €s a beosztrir, illetve, hosy azoDos6le*oni es beoszltsu ferfiak ^z van€ vignifikins kiiltttrbsas a havi erlagkereseteknagyseeeban. 6s na'k esel€bcn 236

'

[t, trauao retero", [0, ha nincs relefon, ha vd csalorna, lr, [0, ha dncs csatona, bavu 8d,i^. Jr. to. ba n'.cs eaiizs

Lineeris regresszi6smodell segits€gev€lktjzelirve u y valbz6 alakrlrsit. a kbvetkez6 regecszi6fi igSvmyhe Jubnak:

Nr Nem

Emek rnegfelel6en a nod€ll *rid peldiul egy 45 6ves, vezel5 beosztasbe dolgoz6 ferfi havi brutl6 dllagkeresetaek varhab en€ke:

'

i = 6500- 1000r,+95011+ 520rr + l200ra. A paramaterekmeghatiroz.isa a legkisebb nesyzetek elve alapjAntdrte.t Az el len6rz6s sortu a pm&erek szignifilensDak bizonlultal. Erielmez€snka kdvetkez6: -

A ro param&en Dm 6nelDezztlk. ,r: Az egy 6wel id5sebblak6sokkinilati ,ra -

teleionelldtoxsrSor, csdtff^zonos nizoflse8ol 6s garrzzsal val6 cllatotts6gol {ell€telezve - itlaSosu 1000 FUnrr jcl b,: A l€lefonoslakdsokkiDtlati a.a

a v€liik azonoscle*oru. azonoscsaror

niadsisu6 sdr6zs€ll6tods,grilakrsok€nal fthgosan 950 F mr-rel masasabb. Dr : A csatonf"oll lakasok nra nthgosm 520 F, m' -rel magasabbaz azonos eletkorit, azonost€lefon- es garizsell6rolts6gulakesokhozk6pesr. b.: A ae6zsl rendelkez6- a tttbbi vizsg,ilt r€nyezd szemporrjab6l eg).forma tipusrf lakrsok kinilati era etlagosan1200Ft-tal nasasabb n€gyzehebrerkent. A reSresszi6segynhhar6k 6n€lrnez6s€korhasoDl6d Jrnnk el, mint azl a ean dddizil6s soniDlettijk. In is egy-egy teDyezShatistnak elknlonil6s€r61van sz6, a tdb

231

bi tdnyez6 lrllozatlansega nelleft. Nem haSyhatoazonban figyelrnefl kivtil, hogy az eredmanyhezalapvet5etrrndsm6dszerel jutottuDk. A regesszioszemitrs nlialenosabb,mint a st ndardizilas modszere,mivel €ln6letileg rc6z61egesszdftf min6segi es nemyisegi ism6rv halrsrnak szelvilaszLtsera alkalmas A reercsszioszinftas rovabbi elainy€n6g, hogy eredmeyek a megismen ^z hipotezisvizsgalali m6ilszrekkcl ellen5rizhe6l A szimil6eepes prograncsonasok alkalnazisdnil azonban iigyelni kell arra, hogy a szitnil6g€p neh tesz kiilitnbseaet a ,,tcmeszetes" 6s a ,$esters6ges" viltoz6k kozort. Ilyen serekb€n a korchci6s natrix €:elnei egeszenkul0nb0z6 (asszociAci6, vegyes kapcsolat, koreltci6) kapcsolat szorossegft merik ao.os fonnuleval, a pnronkenti koneldci6s egyntthat6kkal.

10.4.Gyakorl6feladatok 1- Egy l0 clemij v6letlen miota alapjin az vizssnljuk, hogy milyen osszelilgg6svan valamely tmdrsy ziirthelyieredm6nye( D, a felk6sznl€si id6 ( x ) es a hallsato i! relligenciabanyadosa( X: ) kozolt. A I0 ballgar6 adatai u alibbiak:

rQ ll 54 56 65 70 12

I 0.3.2. A t6nyezdvdltoz6k kiv{hsztisa A regressziosmodell specifikelAs,6nfld cls6 €s cgyb$ lcanch%bb ltladal e crcdmen)'vrllozol befolydsol6 magyai6z6veltorck ki\dlaszLisa. EMe nltaldbanjavasolhalo az ado( reriilel szakelt6inek tanacsatis kik6mi. Miden sz6bajiihetii vnltoz6l iilialiban nen lebelseaes6s rendszerirt ncn is sziiks6acsbccpileni a modcllbc. A.z .,olinnlt rcgesszi6ftSgveny mcghatirozrsrihoz ket t6 szempontotszokes L Ugy kell kialakitdi a rcgresszi6fiiggvanyl, hogybecslesicelokraalkalmaslegyen. kapcsolalle2. A legkevesebb leDyez6v6lloz6l tanalmaz a vi^adh sztochasziikus A felsorolt kdvctclm6ny€k cgyidcjri bct{ti6a azonbanrem lehctscacs-A gyakorlalban bizonyos konpronisszurua van sziiks6g Tobb ft6ds'f,r ismeretes z Linaszkodni ,,optirn6lis rnodellek" szerkeszles6re.A vegst' ddntesnel a"onbai 'nindig kivrlavtikell a vizsgiill brnlete vonalkozo szakmaiismeretekre.A t€nyez6vnltozdk sanakm6dszenanavalreszletesennem foglalkozuik. MeSnnitijlq hogy u optimalis regresszi6fiiggv€Dyspecif ctldsnn.k legeay.zeriibb, de rerdkivnl nurkaig6nyes modsrere az itssrs lehets6gesrcgresszi6fiiaav€ny kiszimitnsa 6s dssz€hasonliLisaa teDyezaiviilloz6kadon halnazibol. IlycDkor u iteszeh6onlitisnel tltaltbd a t6bbsziirnsdeteminici6s €gyntthat6raijmaszkodunk. Ez a mutat6 ugyeis (minl azt mir ismcrtcttijk) a, fejezi ki, hogy az adott modellben sze' repl5 renyezijveltoz6k €Bynft€seDmilyen dinybd megyuimik meA n etednenyNcm cl€gend6 azonbm csak a ldbbszitrdsdeteminici6s cgyntthal6ra figyelni A t'lsagosan bonyolull. sokvdlloz6snodell ,tlekinlhelellen. Ez€d azok kitziil a nodellck ki,ziil, anelyelock kijzcl uonos a tiibbszttriis dcteminici6s csyiitdur6ja ( R' ), a kevesebbvdlioz6r 1analmaz6regresszj6sniegven)'l vrlasztjuk. Ezel keft's c6ll eriink el. Egyr6szl esyszenisitjiik a nodclh, misr6s, csiikkentjiik a nultikollin@rnas vesz€lyet 238

85 91

", ,) ../ d, e)

irjuk fel a trdszfomilt

2 5 5 8 E

99 99 lt 6 98 lt 4

0

r09

l I 5 8

94 I l8 100 97

nornilegy€nl€leker(Id

=>dr

t I =ti/,

=0),

szitmitsuk ki a regreszi6liiggv6ny pdmetercit! inelm€znk a kapott eredm€nyeke!! Szimilsuk ki es €rtelm€ziik a k61-k6lvrltoz6 koznttl kapcsolal szoross:iget! Szamitsul ki 6s Cnelheznk a tijbbszitrijs deteminAci6s egynthatoll Vi^sdljuk ncs a parcinlisrugalmass6gokat a2 r =10 €s r, = 100 helyenl

Inl€zelmegvts8ahaa munlabajirissal kapcsolatosutaA Knzbkeddstudom,inyi alakulisir.A res.esszi6s modellvnltozoia k0velkez6kvoltak: ziisok(ingdzesok) Y: in9ia6k szin6 (ezet fi), ,{ : aktiv keresa'kszrrna (ezer ftj). xr: vrrosi lak6nepessdg arrnya(%). A kapott r6szercdm6Dycka kdvetkezSk: A resrcsszi6s fiisav6ny: i=

I I I I

t2t9+0,23r +24,4x,.

A param6terek slandardbibdisonendben:Ja = 178,9; r, = 0,04: sr,,= 1,67

239

t I I I I

t I

t

I I

o'71 o95l

A kon€tici6snttrix: R=10,71

I

c) Keszirsiik el a F1 param6ter95%{s n€gbizhatosnsi szintii konfidenciaintcF vallumil! /, Becs jiik neg egy 15 €zcr km,1ftro 6 6vesa€pkocsjevesizemcttcrtsitiths6ge1l

0,561

Lo95o's6 I I

aJ Ert€lnezziika kapotteredndDyeke!! korrclrci6s6sdetemiflici6sesvntdDtor! i) Szdmitsukki a ritbbszirrits a2 \Fz-r\ m€s 6s ertelmezrTk e) Hattuozuk a pi 6s p, regt€5szi6s egvnnhar6karl .Ji Teszlel.jijl5%-osszi8Difika$iaszint€n A vrllalati er€dmeny(4 alakulisft 20 elemt minta alapjrtnregresszi6elemzessel (x, ) 6 a l66z'n ({?)volt vizssaltuk.Fiissetlenvaltozoa nett6itubevetel

50 v6lelleDeerfitr kivehszrolr n6n6l a kitv€*€zai vetroz6kal fiByclliik mcg: T€stsrily (kg): Ia T€sbnagassts(cn)i x,.

Eb*or (6v):x, . Az al6tJbieimirisi res?rredineDyek ism€rrek: i = -35,8+0,55r,+ 0,27r,,

>d: = 26effi, >e'1= s64e.

Ercdmenyek: A p@o€tcr sland,rd hibij.

op25 0,019

0,005 0,004

hmercles lovibbr, hogy a regr€srzobol szirmazo ilsszes elrfls_neglzel(bveg peds 9100 36 900,a marad€k-niglurossze8 d) K6szitsiink 95%-os mesbizhantsegiei en koDfidenciaint€rvallumot a regreszszi6s ee\ttthal6laa! ,) Altitsui- itssre a varianciaanalizisrrbltl es letaeljnk a regrsszi6fiiesvo'r 5%-os szignifi kancieinten! 40 v€letlenszerfienkiwilasziotl szemelvgepkocsitzmeltet6i kdltsdga (€g Ft/6v), y: eletkoret (€v), X! €s kilooereneljesitDenvet (ez$ knliN), X, r;^Eiltuk A resresszi6fijggveny: i = 42,5+3'9s't + to'tx 1' standardhibeisorcndba: 14 = 165; s4 = l,3i 16 = I'l A paramdterek Az elteres-nealzeldsszegek:S.9 = 18 872 ' SSR= l7 495 '

Ellen6rizijk a leianciaanalizis modsz€revel,hosy sziSnifikiDs-e a felso.otr vAlto ?rk kitzitlti ttszefiiggesl (Szisnif*a.ciasziDl 5olo.) Medgazdasagi szitve&ezetn6l a lo*onca tem6srtlasnr befotyrsol6 teny€zajker vizsg.illik. A megfigyell szt'ry€tkqelek szima 30 volr. A k6r l€Sfontosabbhar6t€_ nyez6nek a mftiigya-felhaseilas 0nr6anyas qiha), 1, 6s a felhasznalt dnrdz6viz meDyisege (nriha), x? bizonlult. E hAron tdnyez6 nssz€fiigg6s6tviagelva az al6bbi Eszer€dnenyek ismenek: A regresszi6fiissvoy: i = 0,9E+ l,s4?rj + 0,03,,. A pdm€ter€k $anddd hibii sofretrdboi 0,446; 0,174 es 0,00039 A rescssa6fiiggveny 6n6keinek (i) 6s a rermesitlas ncsfigyett 6n6kcinck (y) itsszEscltdres-ne$z€titswAe I 18,,14. A maradek-n6sy4ti'sszeg:10,1]

I

r

ois62 0.9]t6l

A korelrci.5ntrix: R=10,SS62 I 0,60S1I. 0,6081 | | 10,9316 ElmezzSka korel6ci6- €'sregrcsei6szimiriser€dm6nyeir!

a./ Ertelrnezziik a parameterekel! U Teszreljnk H o: p, = p, = 0 nullhipotczist 5%-os szignifiknciaszinten! ^

)40

241

11.1.Az iddsorokaisszetev6i VIZSCALATA rT.AZ ID6SOROKOSSZETEVoINEK

A slatiszlikai €lc@6s szempoDtjiib6laz id6somak harom itsszclcv6je van: az alapininyzal vagy trend, a p€riodikus ingadozas€s a veletl€n ingadozrs. Az iditsorok le8fonlosabb0sszetev6jeaz ahpi.rityzal vagy tiend. A trcn.l E icl6sofian hosstubb id6s2dkohiit tottdsan iwinlesnl6 kndencia.

tsmErvszennli elcmzes Ta dn!",,unk el"o kdleGbeo mit Bl6lko7tutrl t 'dobeli es azok sFfilus ftjbb tipusa'val rddso'ot a" Me8'smerkedtijnl e;eteivel. esvszerubb m;a,eledtes6vel.Bemurairultovdbbda/okar P egvs/enibbmutat6szimokar.mefotyamatokbmbekove ezeflvalrczisol vizss'lhar6k lvefiel a i€lensdeelb€n, ' n}!lt a vragidltielensegm'iJrbeli alkalJnuasaleher6s6set A felsorolim6dszerek meerllapila5iB Ovakorlalilapas,'lalalokszalmaiEmerelcl binol6bd ferlirde"Enek r'i, toaarozon mmckben modunl vd a ldruetrv\zenseaek felltrdstua 6 a -a"o idvobed alalatadoa] .7 e'drejelracteis Az el6/6 feFetekben ismeneaid< relense! ;,.kar;;armadka j-sraris^ilarelemzesrszlozoker. amelveketlelhasail!a a7 iddelerueserts elvigezhelinr" .o!ok mihebb. meebizhal6bb u idder nsv rs feltosharo rut a/ egvs Sratr.aikai eiw€. szempontidbol vlilroek i'sszes*8c t'enye8es rdloszinii*8i (rdbszakokltoT, rodelr iddDonlokno/ mclvben me8fi8v€l6nvCf ridoszalSo?l' idSpotrrho/ rudeo olym hogy sqrirosaga. vrhoz6 hildnbiiz6 (rendszednrv€stcle! sok) lehetscges€n€ke a ;l6ei;fiseei 'fil larto;ik. de ezek kit;l ten€szet€sd csak esv realizilodik. megfelelit id5sor szimos i6Ajelos6sek fejt6d€se,alakuhsa 6s isv az ^zoknak A" egy-egv ieletrseev'lb/as'l befolvisol6 nrezo eevines hatdsmal az trdnenve altaliLbdnincs F vallozisol' Dlorm6croDt rcszletesebb mAlyebb. Gnleztirbl sok-ok halesAtis dak kitnewe, az id6ttnyez6D keresriil 6z;ketjiik Az id61€nva6 ily rn6' don gyiijli'j€ a jelenseS€t befolyisol6 teny46k sokasnsioak Ebbtil kitve*ez6en @ tdSsiiokai spaiatis szachuztihLt kap.solatnak te*i^Atk' ml o nos/aniE6vihozb ler 16 megkoalilesi s4reDarfomdlae @ //a'ianwd toli be A7 'd6sorelemtsoek idderelern?€s 6 a s/locha/rilu5 ismen- a derermruaikus -oaiir A der€rminisztikus idSsorelenz6s abbol a fellev6b6l indul ki, hosv az id6sort bn6san 6rvoyesiil6 hosszn riw rcDdencia(trend)' tart6san hat6 szabnlyos'.i6l mG dellezhet6huMrnrnozsft (szezonalitis) hatiroza m€8' 6s €zektdl 6di-egvedi eleril6 hatdsl eredmenyeza v6le1len. A sztoch;sdikus id6soreleozis kiindul6Pontja pedis az' boev mhd€n iditsor sztochasziikusfolyamal, m€llBek pillanahyi alakuhsfi $jrit koribbi illaporib6l es a veleden ha$sokbol lehet magyar6ai E felfoSes szlrinl a velelten vnltoz6 beePtrl a folvanatba. annak aktiv atkot6elernelesz, 6s a jel@s6g 16m@8at6jiva valik Tananyasuntban csak a determinjsztil'us id6sorelemassel foglalkozuDk

242

maAa is tdbb l6nyezaj egyijttes halisinal a kitvetk€zmenye. Az ^lapnill\zar alapvet6€n drsadalni-sedasisi titrv6nyszeriisesekbartuozzak I']eg. A gazdasAgiieloseset f€jl6dsi lmdeNiij,nak kialakubsaban l6Dyegesszaepe van a demogrdfiai v6trozisoknak. a mnsakj fejlijd6snek 6s a vizsgeh j€l€nseggel osszetu8g6eay€b spe' cirlis kitrnLn€nyeknek. A jelens6g rerdj€ addjg €wdnyes, mi8 a masyardz6ritrcny szeriisegekstabilak, azokbanl€nyegesvalhzesok n€tn kdve*eznek b.. Ha a tiBadal mi-g^zdasegi kitmyezetb€n min6segi velbzesok tijve*eznek be, a !6gi feildddsi rcndencinkatnj lendencid I = 0 modsze

Iroer' logio = 'i

,

tt t2. ftbbzal EU kiene\ t.liil6iiezet wn.l'geinet tuszAha 1982 t992tdi;n ^

'1

lg-r,

tv

982 9E3 984 985 986 947 9E8 989 990 99t 992

t 35, 8 t 5t , 5 t 57, 0 165,8 82,9 88,4 85,1 t25,4 '4t ,1 t4oA t47.2 2620,E

2,1329 l -2 I 0 I 2

3 5

2,2196 2.2622 2.2151 2,2679 2,3529 2,5329 2,6438 2.6505 25,7141

t t9 l ,

10,6645 8, ?2r 6 - 6, 58?? 2,2622 0 2.2679 4,7058 7,5987 10,5152 11, 2525 5,1249

25

I

t0 25 I t0

I A llalanosstarisdka I. korel2.2.4.ponr.

264

265

irjukfel a tr = 0 n6dszr alapjrtn trendfiisgvttr)r Azexponencialjs vt -)j!)!.2)tto ll

r,o= zr ,.o

1n6=!4-orrro.

b. t.t?j

ll0

l l i , = 2 ' 3 J 7 6 + 09521 ' = o) i, = 2t7,6 t,t27' (>t pdmelo'enek Az ndiil6dvezei vend6gl6lszim,t leir6 e4oocDcinlis tr€ndfiieSv6nv '0 jcl€ntese ve: cevresa en6ke 217.6 ezer fii, amelFek Pehenkbanegvidejriles kenits id'isor miall a nxll6 tagszeml a mesrcszl jd6sor e1hga, P'rallan m€nani adataioak az val ielijlt id6pont t eDdszerinti ql6ke' " evenkol nlla Konbiran:1982 6s 1992kdziilt u udnb'jverei Ycndegleiszema is 217 6 eze' ld szrinti l6$ztm alapirdovzat az 1987-beD gosan217,6ezerf6 vox, es enche""ise' lalo Gyakorlatidabb a ,0 para.r)€tq dllagkeni vendEgek Ab, paramelet6rt€keI,127,eazticle i'hogv 1982€s1993krjzdfta ok szernaevinl€nt A agosanI ,121'szercs'rc' azn 12.7 kal novekeden A feilaidesilendencitt z egvszer[:bb,a f€jl6d6s at]agos nbme muralolal meg' la;'o,u,

7 ='.1] l'

- C;#

l l .l J. tttbhzat A leEkitebb nieJeetek hideeftneL heefelel1 ,tg.etAszeg Ev

997

t35,8 151, 5 157,0 65,8 42,9 88,4 185, 1 , 41, 1 t41.2 2620,8

I t9,7 t 34, 9 I 52, 0 t ?1, 3 t 9l, l 217,6 216,4 ll1, 5 t 5t , 0 195.6

A refarivrezidualissz6res:v.=!]{==o.ttS.

ednidsa

0,- i ,) '

t,

942 981 9E4 985 986 981 988 989 990

I I

29,6 89,4 5t . 6

259,21 215,56 25,00 10,25 104, 04 852, 61 3588, 01 260t , 00 8?6, 16 1992,36 2662. 56 t 9 266, 79

A2 iidiil6iivezerven.EseiD€kexlo

nencidlistuggveDyel becsnlrletsznmaia r6nylegesl6tszdmokt6lallagosa!41,85ezer ftivel t6mek el. Az exponencielis fiis8vcny szerind l6rszriDok 17.6%-os hibaval illeszkednek a lenyleg€s l6$zimadatokhoz. Tekirtsiik m€g a 1.1.J..itlr, abol az eredeti iditson 6s anak €xponencielistrendfii8sv€nya leljuk

= I.l2?. amel) mo\r ipPcn a n' narm.rener uonos

lehcrs6atlagosrelariv novek€d6d mu]Elr.(A 4 es u 7 ,.uonossrigi' v6lerlcDszeniid gesugyan, de nemjelerthai a kcfele szirniris ,fgvcn6n6kis€86i ) Vizss6ljuk meg ezek ui !, hosv memvir€ illcszkedik iol a fiissvenv (adatok a ll 13 ibluatban) Expnenciilis trend eset6na t€nvlegcs6s a trcnd6rt6keklogaritmusainakitszege @z n avenl6ses az ehi' nomdLlcsvenlelalapjdo esyebk rnei, azaz ltgy =ltgi ( igazolhato.)Az eredeli adaloka r64e nd nll fem u eevenlitsts >) * >i ) m6dszere legkisebb neg)zelek A 11.13.fibLt2at ul'ols6ovlopaban sz€repel a clvesezzrik (19 am€lv alapjan 266'79), srcrint minimalizill elt€r€seknegzet6sszEge az illeszkedesvizsgalalol . 1 9 2 6 6 .7 --- . - l ? {1.(7 --A r e^dudls ,7 6 m.b e 8 y rer-r'

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

I I I

t I I

t 1 982 1981 t 984 t 085 le86 t 9E7 t 988 lS89 t 990 l99t t 997 ir

A reziduelisszdtas:r" =41.85 ll 5.dbr u A lieneh n.lnl4irezetvndislaBznnAnakddsotu 6 e'ponenciah ,ehdje 266

t

26',7

I I I I I

is alkalrdas'hogv Mibt rneremlilettijk,a tO, - i f itss,egaDak elditntesere koznlnelvtk fejeziki jobbanz id6soralapininvkiilijnbijz6 tipusr!trendfiigsvenvek linairis trendniggvenvt is meshatiroztuk: a P6ld;nk adahib6l 'at6t. alaPitn meghattrozvaa r€ndi, - 238,3+l0,s I (tt = 0). Mirdka trendfiiSsvenv losszege!akdvetkez6kdkapi* Q I 14-ftbtddat) 6nekekel6sa ninimaliztlt nCgvze A rrendt

1 3 5 ,E I5t,5 t5 7 ,0

l9 9l t992

440.4 441,2

262n,4

84,1 5 ,l 145,9 : 3 6 t.4 392_2 2620,4

+

, + | u.. tL', ,

L\ - lba14L|

3 .+ .+ >.,. = bo>'I b,>r 1. b| >,1. *

3, .r > ' , , = L r . t . b , >- b, , z i

I I 14. tab tzol wl6 eltarisek aiseehaso.lidsa

A hrromismererlen€s egyedetr€ndszer megoldnsa h€ly€n,ltahban a m6r m€g = = isnert tr 0 nodszerthMriljuk. Ha >r 0, akkorI tovrbbl paratlaDhatvinyai-

lv, i,f

1982 l9E 3 l9E 4

A norln6l%yeolelek a kovetkez6k:

2652,25 tt2496 l2l,2l 2641,O0 3025.00 2923t,70

259,21 215,56 25,00 .:

nak irsszegeis Dulla.isy a lt Csa lrr tlormi'legye'jetbSla bt paranAb:

tagokkieses€utan fennmarad6mesodil

\,.

1992,16 266256 t9 266,19

,,

>t A bo ,s a b2 po.anAer An6tu pedtg u ahbbi egyenleneDdszermegold6sa

Az uro)sooszloobanszercplbad^tokata I I I 3 hnblifl,.ir ven' nl Az exponencial$fiisgvcnyjotbd illeszkedit( 19266.7q< 29 231.?0)es minmulrl6szdm is edele6zer'ien k€dvez6bb Iw mid a lireins Fend_ ,len k$rnrilaro fiiggv6ny €seto.

+A Lt , =, bo_b, Lt .

+, +, > t' !,= b o > t+ b .> r ' . A ielenseset id6sorai kozdn S/atro lal6ltozhatl]n* ol)n tipusokkal is ame_ lvek ferldlisi t;docreiaban oem frsl/eh€16 m% sm a lire.ins fiissveovre jelletr6 j€llem,6 relativvillozis Allatrd6sie'' ftEgvenvre ulrzolur. sem toPLtztolunk' n'ov*eiesb6l - "*ponen.idl's az i.!1sofiat irinvvo@l'tilozist Amennviben csdkken€sivasy csokkm€,sb,5lDitveked€st,az id6$r eleg j6l jetlmezhet6 a prrlbolikus ftggv6ntr!el. ,iiovaU'U;t