İstatistik ve Olasılık Ders Notları

I. İSTATİSTİK VE OLASILIK Doç. Dr. İrfan Yolcubal Kocaeli Üniversitesi Jeoloji Müh. Bölümü

Ders Kitabı |

|

|

Statistical analysis of Geological data (Koch G. S., ve Link, R. F., 1980. Dover Publications) A data-based approach to statistics (Iman, R. L., 1994) Basic statistics for Business and Economics (Lind, D. A., and Mason, R. D., 1997) İstatistik Analiz Metotları (Prof. Dr. Bilge Aloba)

1

DEĞERLENDİRME Devam zorunlu (% 70) | 2 Sınav (Ara vize + Final) | Ödev | Grup çalışması OK | Ödev kopyalamak yasak |

DERS PROGRAMI |

Data toplama ve sunum şekilleri • Örnek vs. Popülasyon kavramları • Data toplama teknikleri • Data sunum şekilleri • • • • •

|

Pasta diyagramlar Histogramlar Bar grafikler Kümülatif rölatif sıklık grafikleri Dağılım grafikleri (X-Y)

Dataların Değerlendirilmesi z

Tarifsel istatistik • Analitik ve analitik olmayan ortalamalar • standart sapma, varyans, standart hata, güvenilirlik aralığı vb…

2

DERS PROGRAMI devam |

Olasılık ve Olasılık dağılımları (Probability density functions) • • • •

|

Binom Logaritmik Normal Poisson

Tahmin ve Hipotez testi • t-test • z-testi • Varyans analizi (ANOVA)

| | |

Korelasyon ve Regresyon Linear regresyon Jeolojide örnekleme ve jeolojik datalardaki değişkenlik

İSTATİSTİK NEDİR? |

İstatistik kısaca, data analizini kapsayan matematik biliminin alt bir dalıdır. • Dataların toplanması, derlenmesi, özetlenmesi,sunumu, analizi ve aynı zamanda verilerden geçerli bir sonuç çıkarılması istatistik dalının başlıca ilgi alanlarıdır.

3

İSTATİSTİĞİN UYGULAMA ALANI |

İstatistiksel metotlar, Jeoloji’de olduğu gibi, modern yaşamın büyük bir alanında da, dataların değerlendirilmesinde ve analizinde yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. z z z z z z z z z z

Japon ürünlerini dünyada popüler yapan kalite-kontrol tekniklerinin uygulanmasında Ozon tabakasındaki incelmenin tahmininde Nüfus sayımında TOP 40 hit listesinin belirlenmesinde Hava tahminlerinde TV reytinglerin belirlenmesinde Kişisel bilgisayarınızdaki parçaların performanslarının geliştirilmesinde Seçim tahminlerinde Risk analizinde Ve daha bir çok alanda………

İSTATİSTİK TÜRLERİ Tarifsel (Descriptive) istatistik: nümerik verileri derlemek, düzenlemek, ve özetlemek için kullanılan prosedürler | Tümevarımsal (Inferential) istatistik: örneklemeye dayanarak bir popülasyon hakkında bilgi elde etmek için kullanılan metotlar |

4

DATALARIN TOPLANMASI: Kavramlar Örnek (Sample) : İnceleme yapılan popülasyonun bir bölümü | Popülasyon: Hakkında bilgi edinilmeye çalışılan birimlerin ( kişiler, nesneler, deneysel sonuçlar, vb. gibi) toplamını oluşturmakta. |

Değişken Türleri |

Kantitatif (Quantitative) Değişken: Sayısal ölçekte ifade edilir. z Miktar hakkında bilgi verir. z Hesabınızdaki bakiye, pilin ömrü, sınıftaki öğrencilerin sayısı vb. z

|

Kualitatif (Qualitative)Değişken : Nümerik olmayan değişkenlerdir. z Doğum yeri, göz rengi, ırk, vb… z

5

Değişkenlerin Sınıflandırılması

DATA TOPLANMASI Örneklemeye geçmeden önce inceleme yapılan popülasyonun iyi bir şekilde belirlenmesi gerekmektedir. | Uygun örnekleme tekniği ve protokolü: Toplanan örneklerin incelenen popülasyonu tam anlamıyla yansıtması gerekmektedir. |

6

DATA TOPLANMASI |

Tüm popülasyonu incelemek (Sayım) yerine neden örneklemeyi kullanıyoruz? Düşük maliyet z Zaman z Dikkatlice alınmış örnekler bazı durumlarda bir sayım’dan daha doğru bilgi verebilir. z Bazı durumlarda imkansız olabilir. z Ürünlerin yok edilerek test edilişinden örnekleme tek başına yeterli olabilir. z

ÖRNEKLEME PLANININ AMAÇI | | | | |

Yüksek kalite: Toplanan verilerin doğruluk derecesi Savunabilirlik: Planın geçerliliği ile ilgili dokümantasyonun mevcut olması Tekrarlanabilirlik: Örnekleme planını takip ederek verilerin tekrar üretilebilmesi Temsil edici olması: İncelenen popülasyonu tamamıyla temsil etmesi Faydalı olması: Toplanan veriler planın amacına ulaşmasında kullanılabilir olması

7

ÖRNEKLEME PLANI Örnekleme planının hazırlanışında örneklerin nerede ve ne zaman alınacağına karar vermek gerekmektedir. | Örneklerin sayısı, lokasyonu, ve zamanı örnekleme bütçesini aşmadan istatistiksel olarak geçerli bir örnek almaya yeterli olmalıdır. | Bunu sağlamak için uygun bir örnekleme stratejisi belirlemek gerekmektedir. |

ÖRNEKLEME ŞEKİLLERİ Rasgele (Random): Her örneğin aynı sayıdaki gözlemde eşit olasılıkla olarak seçilebilmesi | Sistematik: | Karara dayalı (Judgemental): |

8

ÖRNEKLEME ŞEKİLLERİNE BİR ÖRNEK

Karara dayalı

Rasgele

Sistematik

Örnekleme Hatası (Sampling Error) |

|

|

İstatistiksel anlamda hatadan ziyade örneklerin birbirlerinden olan doğal değişkenliklerini temsil etmektedir. Tüm toplanan örneklerde bir tane ortak özellik bulunmakta: örneklerin hiçbirisinin tamamıyla tüm popülasyonu temsil etmemesi Dolayısıyla, örneklemeye dayalı tahminler ile popülasyonun gerçek karakteristiği arasında daima farklılık olacaktır.

9

VERİ GRAFİKLEME TÜRLERİ Pasta diyagramlar (Pie Charts) | Bar grafikler | Histogramlar | Kartezyen (X-Y) grafikleri | Frekans Dağılım grafikleri |

Pasta Diyagramlar |

Farklı yada kantitatif dataların oran yada yüzde şekilde sunulmasında kullanılır.

10

BAR GRAFİKLERİ

Düşey bar grafikleri:Üniversite mezunu erkek ve bayanların yaş gruplarına göre gelir dağılımını gösteren bar grafiklerine bir örnek

11

X-Y GRAFİKLERİ

II. VERİLERİN ORGANİZE EDİLMESİ VE SUNULMASI

12

Tasnif Bir kitlenin veya grubun özelliklerine göre yapısını ortaya çıkarabilmek amacıyla, elde edilen bilgileri bir vasıf veya vasıflar bakımından çeşitli şıklara ayırarak aynı şıkkı ait birimleri kümeler halinde bir araya getirme işlemine denir. | Veri sayısının sınırlı olduğu durumlarda uygulanabilir. |

Tasnif’e örnek: 100 kişilik bir sınıftaki öğrencileri yaş vasfına göre tasnif edersek

13

Gruplama |

Eğer tasnif edilecek veri sayısı çok fazla ise bunları tasnif yoluyla kümelere ayırmak mümkün olsa bile anlamlı ve işlemlere elverişli olmayabilir. Böyle durumlarda bir vasfın birbirine yakın olan şıklarını gruplar halinde toplamaya, yani gruplamaya başvurulabilir.

Gruplamaya örnek: Dünyadaki 29 en büyük şehir nüfus itibariyle gruplanarak bir frekans dağılımı veya bölünmesi şeklinde ifade edilebilir.

14

Gruplamaya örnek:(Hatalı) Bir endüstri dalında faaliyet gösteren işletmelerde çalıştırılan işçi sayısına göre gruplamak istersek

FREKANS DAĞILIMLARI YADA BÖLÜNMELERİ (Frequency Distributions) |

Verilerin her bir sınıf aralığına düşen gözlem sayısını(frekans) gösterecek şekilde gruplandırılması işlemi.

15

Sınıf aralığı, Sınıf sınırları, sınıf orta noktası kavramları Sınıf aralığı: Sınıfın alt ve üst sınırları arasındaki fark | Sınıf sınırları:Sınıfa ait minimum ve maksimum sınır değerleri | Sınıf orta noktası veya noktası: Sınıfın alt ve üst sınırların ortalaması |

Frekans Dağılımının oluşturulması Örnek: Bir taşıtın yıl içindeki satış fiyatlarının organize edilmemiş hali: Ham data

16

Sınıf Sayısının Belirlenmesi

Sınıf Aralığının Belirlenmesi

17

FREKANS DAĞILIM TABLOSU:

FREKANS DAĞILIM GRAFİGİ (HİSTOGRAM)

18

FREKANS DAĞILIMLARININ OLUŞTURULMASINDA DİKKAT EDİLEÇEK HUSUSLAR Frekans dağılımlarının oluşturulmasında mümkün olduğu kadar eşit sınıf aralıkları seçilmeli Eşit olmayan sınıf aralıkları frekans dağılımları grafik edilirken sorun yaratabilirler. Fakat bazı durumlarda (çok sayıda boş sınıf oluşturmaktan kaçınmak için) eşit olmayan sınıf aralıklı frekans dağılımlarının oluşturulmasında kullanılabilir.

Uygun olarak seçilmemiş sınıf sayısına göre oluşturulmuş frekans dağılımları, verinin frekans dağılımı hakkında faydalı bilgiler sunmayabilir. Örnek:

19

Nispi frekans dağılımları (relative frequency distributions) Bir çok durumda bir sınıfın mutlak frekansından çok toplam içindeki nispi frekansını bilmek gerekmektedir. | Sınıfın nispi frekansı, o sınıfın frekansının toplam frekansa oranıdır. |

20

Nispi frekans dağılımı

21

KÜMÜLATİF FREKANS DAĞILIMLARI |

|

Kümülatif frekans dağılımlarının en önemli özellikleri belirli bir düzeyin altında veya üstünde bulunan birimlerin frekansını gösterebilmeleridir. Kümülatif frekans dağılımları sınıf aralıkları farklı serilerin kıyaslanmasını kolaylaştırır. Kıyaslamanın sağlıklı olabilmesi için önceden mutlak frekansların nispi frekanslara çevrilmesi gerekir.

Kümülatif frekans dağılımlarının oluşturulması: Örnek:Bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunluklarının frekans dağılımları

22

Kümülatif Frekans Dağılımları

23

FREKANS POLİGONLARI |

|

Bu grafiklerde sınıf aralığı yerine sınıf orta noktasının sınıf frekansına göre dağılımı çizgisel olarak grafiklenir. Frekans poligonlarının histogramlara göre bir avantajı 2 veya daha fazla frekans dağılım grafiğinin kolaylıkla birbirleri ile karşılaştırılmasına imkan tanımasıdır ( Frekans dağılımlarının sınıf sayısı ve aralığı aynı olmak koşulu ile)

24

II. Merkezi Eğilim Ölçüleri Doç. Dr. İrfan Yolcubal Kocaeli Üniv. Jeoloji Müh. Böl.

Analitik Ortalamalar |

Bir örneklemede tüm veri değerlerini dikkate alan merkezi eğilim ölçüleridir. Aritmetik ortalama z Ağırlıklı ortalama z Geometrik ortalama z Harmonik ortalama z

1

Aritmetik Ortalama (Aritmetic mean) Gruplanmamış yani ham veriler için aritmetik ortalama, tüm veri değerlerinin toplamının toplam veri sayısına oranıdır.

n

X =

∑X i =1

N

İ

=

X 1 + X 2 + X 3 + ....... X n N

X : Aritmetik ortalama N: Toplam veri sayısı X: veri değeri

Tekrarlanan gözlemlerin veri değerlerinin hesabı |

Bir örnekte gözlem değerleri bir çok kez tekrarlanabilir. Örneğin, 20 kişilik bir sınıfta istatistik dersinden geçen öğrencilerin notu şu şekilde sıralanmaktadır: 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10 Bu sınıfın istatistik dersinin aritmetik ortalaması nedir?

X = n =

1 n

∑

i =1

k

∑

i =1

X =

k

fi

fi X

i

fi: bir örnekteki Xi`nin frekansı k: örnekteki gözlem sayısı Xi: i.gözlem değeri n=toplam veri sayısı

( 5 * 5 ) + ( 3 * 6 ) + ( 2 * 7 ) + ( 3 * 8 ) + ( 3 * 9 ) + ( 4 * 10 ) = 7 .4 20

2

Aritmetik Ortalamanın Özellikleri |

Bir serideki her bir veri değerinin aritmetik ortalamadan olan sapmalarının toplamı daima sıfırdır.

∑( X − X ) = 0 Örnek: 3, 8, ve 4 değerlerin aritmetik ortalaması 5`dir.

∑( X − X ) = (3 − 5) + (8 − 5) + (4 − 5) = −2 + 3 −1 = 0 •Aritmetik ortalamanın hesaplanışında veri setindeki tüm veri değerleri kullanılır. •Bir veri setinin yalnızca bir aritmetik ortalaması vardır.

Aritmetik Ortalamanın Dezavantajı

|

Aritmetik ortalamanın dezavantajı, veri setindeki aşırı değerlerden kolay etkilenmesidir. Bir veri setindeki verilerden bir kaçı çok yüksek yada düşük değerler içeriyor ise, aritmetik ortalama, veri setinin merkezi eğilim ölçümünü temsil etmek için uygun olmayabilir. • Örnek: 5 öğrencinin bir sınavda almış olduğu notlar 70, 70, 70, 70, ve 100`dir. Aritmetik ortalama 76 olacaktır. Bu aritmetik ortalama veri setinin iyi bir şekilde temsil etmemektedir.

|

Açık sınıf aralıklı frekans dağılım tablolarında aritmetik ortalama uygun değildir.

3

Ağırlıklı Ortalama(Weighted Mean) |

Aritmetik ortalamada, her bir veri değerinin öneminin eşit olduğu varsayılmaktadır. Fakat bazı değerlerin önemi diğerlerinden farklı olabilir. Bu durumlarda ağırlıklı ortalama kullanılır.

X

=

W

X 1W 1 + X 2W 2 + X 3W 3 + ........ + X n W n W 1 + W 2 + W 3 + .......... + W n n

X

W

=

∑W i =1 n

i

∑W i =1

X

i

İ

W: Her bir veri değerinin ağırlığını yani önemini ifade etmektir. X W : Ağırlıklı ortalama

Ağırlıklı Ortalama`ya Örnek |

|

Bir öğrenci matematik dersinden 6, edebiyat dersinden 7, müzik dersinden 10 ve İngilizce dersinden 9 almıştır. Bu öğrencinin ders ortalamasını hesaplayalım. Ders kredileri: Matematik:3, edebiyat: 2, müzik:1, İngilizce: 1

XW =

X=

(6 * 3) + (7 * 2) + (9 *1) + (10 *1) 51 = = 7.3 3 + 2 +1+1 7

6 + 7 + 9 + 10 =8 4

4

Ağırlıklı Ortalama: Örnek 2

|

Sarar normal perakende satış fiyatı üzerinden ($400) 95 adet Kığılı marka takım elbiseyi satmıştır. Bahar indiriminde aynı takım elbiseyi 200 dolara indirerek 126 adet, en son indirimde de 100 dolara 79 adet takım elbise satmıştır. Sarar takım elbisesinin ağırlıklı ortalama fiyatı nedir? Sarar her bir takım elbiseye birim fiyatı olarak $200 ödemiştir. Sararın bu satıştaki toplam kazancı ne kadardır?

Örnek 2

X

W

X

W

( 95 * 400 ) + ( 126 * 200 ) + ( 79 * 100 ) 95 + 126 + 79 71100 = = $ 237 300

=

Birim Kazanç : 237 − 200 Toplam Kazanç : 37 * 300

= $ 37 = $ 12100

5

Geometrik Ortalama (Geometric Mean) |

Geometrik ortalama iktisat ve işletme alanlarında yaygın olarak kullanılan bir ortalama türüdür. Geometrik ortalama özellikle 1) değişim oranlarının (yüzde, oran, vb.) ortalamasının hesaplanmasında 2) bir zaman aralığı içerisindeki bir üretimin yada satışın artış miktarının ortalamasının belirlenmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

G .O . =

n

( X 1 )( X 2 )( X 3 ).......( X n )

Not: Eğer veri değerlerinden bir 0 yada negatif değerlikli ise Geometrik ortalama hesaplanamaz.

log G .O . =

1 n

∑

log X

i

Veri sayısı çok olduğu durumlarda hesapları kolaylaştırmak amacıyla logaritmalardan yararlanılmaktadır.

Geometrik Ortalama: Örnek 1 Bir inşaat şirketinin dört projedeki ortalama kâr yüzdeleri 3, 2, 4, Ve 6`dır. Bu şirketin ortalama kârı nedir? G .O . = 4 3 * 2 * 4 * 6 = 4 144 = % 3 .46 X =

3+ 2+ 4+6 = % 3 .75 4

Geometrik ortalama daha tutucu bir kar değeri vermektedir. Çünkü aşırı değerlerden aritmetik ortalamaya göre o kadar fazla etkilenmemektedir. Bu nedenle geometrik ortalama ya aritmetik ortalamaya eşit olacaktır yada küçük olacaktır.

6

Geometrik Ortalama: Örnek 2 |

Türkiye'nin nüfusu 1990 yılında 50.7 milyondan 1995 yılında 56.5 milyona yükselmiştir. Bu 5 yıl içinde nüfusun ortalama artış hızı ne olmuştur?

G.O. = n −1

bir periyotun sonundaki deger −1 bir periyotun baslangicindeki deger

n : periyot araligi

G .O . =

5 −1

56 . 5 −1 = 50 . 7

4

1 . 11 − 1 = % 2 . 47

Harmonik Ortalama(Harmonic mean) |

Bazı özel durumlarda başvurulan bir ortalama olup hız, fiyat, verimlilik gibi oransal olarak belirtilebilen bazı değişken değerlerin ortalamalarının hesaplanışında kullanılır. H =

N = 1 1 1 1 + + + .... + X1 X2 X3 Xn

N

∑

1 Xi

•Değişkenlerden birinin sabit, diğerinin ise değişken olduğu durumlarda başvurulan bir ortalamadır. •Veri değerlerinde sıfır bulunması yada veri değerlerinin farklı işaret taşımaları durumunda harmonik ortalama kullanılmaz.

7

Harmonik Ortalama: Örnek •İki kasaba arasındaki mesafe gidişte saatte 75 km. hızla, dönüşte ise 50 km hızla kat edilmektedir. Bu durumda ortalama hız nedir? İki kasaba arasındaki mesafe 150 km varsayılır ise gidiş için gerekli süre 150/75: 2 saat, dönüş için ise 150/50: 3 saat Burada mesafe unsuru sabit fakat zaman unsuru ise sabit olmadığından harmonik ortalama kullanılmıştır.

H =

X=

2 1 1 + 75 50

= 60 km

75 + 50 = 62.5km 2

ANALİTİK OLMAYAN MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ |

Bir örnekteki bütün veri değerlerini dikkate almayan merkezi eğilim ölçüleridir. • Medyan (Median) • Mod (Mode)

8

Medyan (Ortanca) |

Bazı durumlarda örneğin bir yada iki tane çok yüksek yada düşük değerler içerebileceğinden bahsetmiştik. Bu gibi durumlarda aritmetik ortalama örneğin merkezi eğilimini yansıtmaz. Böyle problemlerde medyan değeri kullanılarak örneğin merkezi eğilimi ölçülebilir.

|

Veri değerleri büyükten küçüğe yada küçükten büyüğe sıralandıktan sonra, tam ortadaki yani veri dizisini 2 eşit frekansa ayıran değerdir. Düzenlenmemiş verilerde medyan`ın yerini kolaylıkla tespit etmek için aşağıdaki formülden yararlanılabilir.

|

medyan degerinin yeri =

n +1 2

n = toplam veri sayisi

Medyan: Örnek1

Bir klinikte pansuman için ödenen miktarlar aşağıdaki gibi sıralanmaktadır: 65, 29, 30, 25, 32, 35 TL. Medyan fiyat nedir? 25 29 30 Medyan : (30+32)/2= 31 TL. 32 35 65

|

9

Medyan: Örnek 2 |

Yuvacık Kalıcı konutlarındaki kira fiyatları aşağıdaki gibi sıralanmaktadır: 120,100, 110, 115, 125, 105, 70 TL. Ortalama kira fiyatı nedir.

Medyan: Örnek 2

70 100 105 110 115 120 125

Medyan

10

Medyanın Özellikleri

Her bir veri setinin tek bir medyanı vardır. | Veri setindeki aşırı değerlerden etkilenmediği için verilerin merkezi eğiliminin belirlenmesinde aritmetik ortalamaya nazaran daha doğru bir bilgi sunar. Aritmetik ortalamanın aksine açık sınıf aralıklı frekans dağılımlarının merkezi eğiliminin ölçümünde kullanılabilirler. |

Mod Bir veri setindeki bütün değerleri dikkate almayan (hassas olmayan) bir başka merkezi eğilim ölçümüdür. | Mod, bir data setinde en sık olarak gözlenen veri değeridir. |

11

Mod: Örnekler

4, 6. 5, 8, 7, 10, 9, 11

|

Mod ?

| 4,

6, 5, 4, 7, 5.5, 4, 6.5, 7, 8, 4, 6, 4, 5, 4, 4 Mod ?

| 4,

6, 4, 5, 6, 5, 6, 6, 5, 6, 5, 5 Mod ?

Gruplanmış Verilerde Aritmetik Ortalama, Medyan, Mod

Bazı durumlarda veri değerleri gruplandırılıp, frekans dağılımları oluşturulmuş olabilir ve ham veriler mevcut bulunmayabilir. Bu gibi durumlarda aritmetik ortalama, medyan ve mod frekans dağılım tablolarından hesaplanabilir. | Bu değerler gerçek ham verilerden hesaplanan değerlerden farklı olabilir. |

12

Aritmetik Ortalamanın Frekans Dağılımından Hesaplanışı

X=

∑ fX N

X: her bir sınıfın orta noktası f: her bir sınıf frekansı N: Toplam veri sayısı yada frekansların toplam değeri

Örnek Net geliri (milyon $) 2-5

İthalatçı sayısı

5-8

4

8-11

10

11-14

3

14-17

2

1

Net gelirin aritmetik ortalamasını hesaplayınız?

13

Net geliri (milyon $) 2-5 5-8 8-11 11-14 14-17 Toplam

X=

İthalatçı sayısı (f)

Sınıf orta noktası (X)

fX

1 4 10 3 2 20

3.5 6.5 9.5 12.5 15.5

3.5 26 95 37.5 31 193

∑ fX N

=

193 = 9.65 20

Frekans Dağılımından Medyanın Hesaplanışı

N − CF Medyan = L + 2 (i ) f L: Medyan sınıfın alt sınırı N: Toplam frekans değeri CF: Medyan sınıfından önceki sınıfların frekanslarının toplamı f: medyan sınıfının frekansı i: medyan sınıfının aralığı

14

Net geliri (milyon $) 2-5 5-8 8-11 11-14 14-17 Toplam

İthalatçı sayısı (f)

Sınıf orta noktası (X)

CF

1 4 10 3 2 20

3.5 6.5 9.5 12.5 15.5

1 5 15 18 20

20 −5 medyan = 8000000+ 2 (3000000) 10 medyan = 9500000

Frekans Dağılımından Modun Hesaplanışı

Frekans dağılımı şeklinde gruplanmış veriler için mod, frekans sayısı en fazla olan sınıfın orta noktası değeridir. | Eğer frekans dağılımında 2 sınıf maksimum frekansa sahip ise bu tür dağılımlara bimodal dağılımlar denilmektedir. |

15

Bir ürünün satış fiyatın gruplandırılmış şekli.

Net satış ($ dolar)

Toplam yüzdesi

1-4

13

4-7

14

7-10

40

10-13

23

13 ve daha fazlası

10

Net satışın medyan ve modu hesaplayınız? Bu tür tablolara ne ad verilmektedir.

Bir Frekans Dağılımı Grafiğinde Aritmetik ortalama, medyan, mod arasındaki ilişki

Aritmetik ortalama= mod=medyan Simetrik frekans dağılım eğrileri

16

Bir Frekans Dağılımı Grafiğinde Aritmetik ortalama, medyan, mod arasındaki ilişki

Mod X Med Asimetrisi negatif olan Frekans dağılımları(sola çarpık)

Mod

X Med Asimetrisi pozitif olan frekans Dağılımları(sağa çarpık)

Tek modlu ve asimetrileri çok fazla olmayan veriler için Aşağıdaki ilişki kullanılabilir. Aritmetik ortalama-Mod= 3(Aritmetik Ort-Medyan)

17

III. DAĞILMA YADA DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ (MEASURE OF DISPERSION)

Doç. Dr. İrfan Yolcubal Kocaeli Üniv. Jeoloji Müh. Böl.

Dağılma (değişkenlik) ölçülerinin analizinin nedeni Bir veri setinin merkezi eğilim ölçüsünün değerlendirilmesi | 2 veya daha fazla veri setinin dağılımının karşılaştırılması |

1

Dağılma yada değişkenlik ölçüleri Değişkenlik aralığı (Range) | Ortalama sapma (mean deviation) | Varyans (Variance) | Standard sapma (Standard deviation) |

Gruplanmamış verilerde dağılımın ölçümü |

Değişkenlik aralığı (Range): Bir veri serisindeki en yüksek değer ile en düşük değer arasındaki farka eşittir. R= Maksimum değer- Minimum değer

2

Değişkenlik aralığı (Range) Seri 1 2 3 6 7 8 10

X=6 R=10-2=8

Seri 2 5 5 5 6 7 8

X=6 R=8-5=3

Gruplanmış verilerde değişkenlik aralığının(Range) belirlenmesi Saatlik Ücret(lira)

Frekans

5-10 10-15 15-20 20-25

10 21 9 5

R= 25-5=20 TL

3

Ortalama yada Mutlak Ortalama Sapma (Mean Deviation or Mean Absolute Deviation) |

Bir popülasyondaki tüm veri değerlerinin popülasyonun aritmetik ortalamasından olan mutlak sapmalarının aritmetik ortalamasıdır.

O.S . =

ΣX −X N

X − X = mutlak sapma

Ortalama Sapma (Gruplanmamış Verilerde) |

15, 16, 18, 21, 25 değerlerinden meydana gelmiş serinin ortalama sapmasını hesaplayalım. Veriler 15 16 18 21 25

X− X

⎢15-19 ⎢ ⎢16-19 ⎢ ⎢18-19 ⎢ ⎢21-19 ⎢ ⎢25-19 ⎢ TOPLAM

X− X

4 3 1 2 6 16

O. S . =

16 = 3.2 5

4

Ortalama sapma (Gruplanmış Verilerde) Sınıf

frekans (f)

Sınıf orta noktası (X)

fx

10-20

7

15

105

⎢15-33.2⎪

18.2

127.4

20-30

14

25

350

⎢25-33.2⎪

8.2

114.8

30-40

16

35

560

⎢35-33.2⎪

1.8

28.8

40-50

9

45

405

⎢45-33.2⎪

11.8

106.2

50-60

5

55

275

⎢55-33.2⎪

21.8

109

Toplam

51

X=

1695

∑ fX = 1695 = 33.2 N

X− X f X− X

X− X

O. S . =

51

486.2

∑f

X − X 486.2 = = 9.53 51 N

Varyans (Variance) ve Standart sapma (Standard deviation) |

σ

2

Varyans, bir veri setindeki tüm veri değerlerinin, ortalamadan olan sapmaların karesinin aritmetik ortalamasıdır.

(

Σ X − X = N Popülasyona ait

)

2

σ2 =

(

Σ X −X N −1

)

2

Örneklemeye ait

5

Standart Sapma |

σ=

(

Bir veri setinin varyansının kareköküne eşittir.

Σ X −X N

)

Popülasyona ait

2

(

Σ X −X σ= N −1

)

2

Örneklemeye ait

Standart sapma ve varyansın özellikleri |

Bir serideki değerlere bir sabitin (a’nın) eklenmesi veya bu değerlerden bir sabitin çıkarılması ile serinin varyans ve standart sapması değişmez.

σ 2 ( X − a) = σ 2 ( X ) σ 2 ( X + a) = σ 2 ( X )

|

Bir serideki değerlerin her birinin belirli bir sabit ( c ) ile çarpılması sonucu meydana çıkan serinin varyansı, orijinal serinin varyansının sabitin karesi ile çarpımına eşittir. Ancak standart sapması, orijinal serinin standart sapmasının sabitin kendisi ile çarpımına eşit olmaktadır.

σ 2 (cX ) = c 2σ 2 ( X ) σ ( cX ) = cσ ( X )

6

Standart Sapma ve Varyans (Gruplanmamış verilerde) • 22, 25, 28, 30, ve 35 değerlerinden oluşan popülasyonun varyans ve standart sapmasını hesaplayalım.

X

(X − X)

22

-6

36

25

-3

9

28

0

0

30

2

4

35

7

49

∑ X = 140 ∑ ( X −

X=

( X − X )2

X) = 0

∑(X −

140 = 28 5

98 σ = = 196. 5 σ = 196. = 443 . 2

X ) 2 = 98

Standard Sapma ve Varyans Hesabı (Gruplanmış verilerde)- Popülasyon örneği sınıflar

frekans (f)

Sınıf orta noktası (X)

fX

0-200

8

100

800

-270

72900

583200

200-400

11

300

3300

-70

4900

53900

400-600

7

500

3500

130

16900

118300

600-800

6

700

4200

330

108900

653400

Toplam

X=

32

2 (X − X) (X − X)

11800

11800 1408800 = 370 σ 2 = = 44025 32 32

f ( X − X )2

1408800

σ = 44025 = 20982 . 7

Gruplanmış verilerin varyansı ve standart sapması |

Sınıflandırılmış verilerde, sınıf orta noktası her zaman bu kısmın ağırlıklı orta noktası olmayacağından, ham verilere göre gruplandırılmış değerlerde daha yüksek varyans değeri bulunur. Bunu önlemek için Sheppard düzeltmesi yapılır.

|

Sh=c2/12 z c=sınıf aralığı z Sh=sheppard düzeltmesi Düzeltilmiş varyans = σ2-Sh

|

Varyans |

Tek bir veri seti için varyans değerinin yorumlanması zordur. Değişkenlik aralığı ve ortalama sapmada olduğu gibi varyans, 2 veya daha fazla data setindeki verilerin değişkinlik derecelerin karşılaştırılmasında kullanılır.

|

8

Simetrik frekans dağılım grafiklerinde standart sapma ve aritmetik ortalama arasındaki ilişki

-3σ -2σ -1σ X 1σ 2σ 3σ %68

X ± 1σ

%95 %99.7

X ± 2σ X ± 3σ

Nisbi Dağılma(Relative Dispersion) |

Değişim katsayısı (Coefficient of variation): % olarak ifade edilir. Bir data setinin standart sapmasının aritmetik ortalamasına oranıdır.

Degisim Katsayisi(%) = z z

σ X

*100

Birimleri farklı olan farklı 2 data setinin kıyaslanmasında (cm, TL) Birimleri aynı fakat ortalamaları birbirinden çok farklı olan data setlerin kıyaslanmasında değişim katsayısı kullanılır.

X = 500000, σ = 50000 X = 12000, σ = 2000

50000 * 100 = 10% 500000 2000 Degisim katsayisi = * 100 = 16.7% 12000 Degisim katsayisi =

9

Gruplanmamış verilerde Çarpıklık „

Frekans dağılım grafiklerinin çarpıklık derecesini tarif etmektedir.

( x − x) ∑ Çk =

3

i

nσ 3

„

Çarpılık genellikle –3 ile +3 değerleri arasında değişmektedir.

Simetrik çarpıklık=0

Pozitif çarpıklık

Negatif çarpıklık

Gruplanmış verilerde Çarpıklık

Çk =

(

∑ fi xi − x ∑ fσ

)

3

3

i

Carpiklik =

3(X − medyan)

σ

Şeklinde de hesaplanabilir.

10

Gruplanmamış verilerde Kurtosis (Basıklık-Sivrilik) „

Frekans dağılım eğrisinin yüksekliğini belirten bir parametre.

∑ (x − x) Kur =

4

i

nσ

∑ f (x − x) Kur = ∑ fσ

4

i

Ham verilerde

4

i

Gruplanmış verilerde

4

i

Kur=3 (mesokurtik, yada normal dağılım) „Kur>3 (Leptokurtik, sivri-orta kısımlar uç kısımlara göre daha İyi boylanmış yada sivrileşmiş can eğrisi „Kur