Statika Konstrukcija I - Skripta

Statika I

1. Uvod

1. UVOD 1.1.

Predmet izu~avanja

Prilikom projektovanja objekata, zadatak gra|evinskih in`enjera je da osmisle projektuju konstrukciju koja }e osigurati funkcionalnost objekta pri djelovanju o~ekivanih vanjskih uticaja na objekat. Drugim rije~ima, zadatak konstruktera je da odabere dimenzije i raspored svih konstruktivnih elemenata, kao i materijal od kojih }e se ti konstruktivni elementi napraviti. Jedini na~in da se do|e do optimalnih dimenzija konstruktivnih elemenata je da se prora~unaju naprezanja i pomjeranja konstrukcije uslijed djelovanja vanjskih uticaja. Dakle, potrebno je prvo sagledati sve uticaje koji djeluju na konstrukciju i brojno ih izraziti. Taj dio prora~una se naziva analiza optere}enja. Nakon toga, se osmisli konstrukcija koja to optere}enje mo`e prenijeti na tlo, a potom je potrebno matemati~ki provjeriti i dokazati da ne}e do}i do prevelikih naprezanja ili pomjeranja te konstrukcije. Pri tome je potrebno usvojiti niz pretpostavki, pomo}u kojih se realna konstrukcija zamjenjuje matemati~kim modelom koji je mogu}e matemati~ki analizirati. Ovaj dio prora~una se naziva modeliranje konstrukcije. Kori{tenjem fizi~kih zakona, a na osnovu usvojenih pretpostavki i konstruktivnog modela vr{i se prora~un naprezanja unutar konstrukcije i prora~un pomjeranja svih ta~aka konstrukcije. Na osnovu dobivenih rezultata vr{i se dimenzioniranje konstruktivnih elemenata. Savremena analiza konstruktivnih sistema podrazumijeva upotrebu ra~unara i odgovaraju}ih softvera za prora~un i dimenzioniranje konstrukcija. To zna~i da se sada zadatak in`injera konstruktera sastoji u tome da napravi analizu optere}enja, osmisli model konstrukcije (sve ~e{}e trodimenzionalni) i unese ga u memoriju ra~unara. Nakon toga, dobivaju se rezultati prora~una na kompletnom modelu: presje~ne sile, pomjeranja, deformacije, naponi, a ukoliko to `elimo i dimenzije popre~nih presjeka, odnosno koli~ine i raspored armature. Obzirom da su moderni softverski paketi za analizu konstrukcija opremljeni modulima pomo}u kojih se unos podataka obavlja grafi~ki na prili~no jednostavan na~in, ~ini se da je cijeli proces analize konstrukcije prili~no jednostavan i nije zahtijevan sa aspekta poznavanja teorije na kojoj se zasniva analiza konstrukcija. Me|utim, u opisanom procesu analize konstrukcije mogu se dobiti pogre{ni rezultati, koji mogu biti posljedica gre{ke u analizi optere}enja, gre{ke u modeliranju (naj~e{}e) ili gre{ke u prora~unu. Obzirom da je za ta~nost rezultata prora~una uvijek odgovoran isklju~ivo projektant, pred njega se postavlja jako zahtijevan zadatak da provjeri ta~nost prora~una. Uz upotrebu ra~unara ovaj zadatak postaje jo{ te`i, jer je sam prora~un van kontrole projektanta. To zna~i da projektant mora biti sposoban procijeniti ta~nost rezultata koji su dati na kompletnom (~esto i vrlo slo`enom) modelu, a samo na osnovu ulaznih podataka. Jasno je da je za ovakav zadatak potrebno bolje razumijevanje pona{anja konstrukcije u odnosu na tradicionalni pristup gdje se slo`ena konstrukcija rastavljala na niz jednostavnijih sistema koji su se ra~unali odvojeno. Dakle, konstrukcije projektuju i analiziraju projektanti - konstrukteri, a ra~unari su sredstvo da se analiza sprovede kvalitetnije, jer je omogu}ena analiza vi{e varijanti konstruktivnih rje{enja i analiza uticaja pojedinih korekcija konstruktivnog sistema na rezultate prora~una. Pri tome, ovakva kvalitetna analiza podrazumijeva da projektant u 1

Statika I

1. Uvod

potpunosti razumije pona{anje konstrukcije pod raznim uticajima i da u potpunosti vlada metodama koje se koriste u svim fazama analize. U okviru predmeta Statika I i Statika II prou~avaju se teoretske osnove i metode analize linijskih i najjednostavnijih povr{inskih nosa~a kao deformabilnih sistema. Pod pojmom linijski nosa~ podrazumijeva se konstruktuvni element ~ije se dvije dimenzije mogu zanemariti (stubovi i grede), a povr{inski nosa~i se elementi kod kojih se zanemaruje jedna dimenzija (plo~e, zidovi i ljuske). Tradicionalno, svi linijski nosa~i se dijele na stati~ki odre|ene i stati~ki neodre|ene nosa~e. Za prora~un presje~nih sila i napona stati~ki odre|enih linijskih nosa~a, koji su dijelom izu~avani u okviru predmeta Otpornost materijala I, uvjeti ravnote`e su dovoljni, tako da nema potrebe uzimati deformabilnost nosa~a u obzir. Drugim rije~ima, takvi linijski sistemi se tretiraju kao skup krutih tijela me|usobno povezanih krutim ili zglobnim vezama. Naravno, ukoliko `elimo izra~unati pomjeranja stati~ki odre|enih nosa~a potrebno je {tapove takvog sistema tretirati kao deformabilna tijela. U okviru predmeta Statika 1 zadatak }e biti prou~avanje metoda za odre|ivanje presje~nih sila, pomjeranja i deformacija stati~ki odre|enih nosa~a. 1.2.

Osnovne jedna~ine mehanike

Osnovni zadatak u mehanici jeste da se izra~unaju pomjeranja nekog deformabilnog sistema uslijed djelovanja vanjskih uticaja. Vanjski uticaji mogu biti: optere}enja, zadata pomjeranja pojedinih ta~aka ili temperaturne promjene. Svi ovi uticaji su mjerljivi i smatraju se poznatim prije po~etka prora~una. Pomjeranja sistema su nepoznate veli~ine i zadatak je da se za date rubne uvjete izra~unaju pomjeranja. Direktna veza izme|u vanjskih uticaja i rezultiraju}ih pomjeranja ne postoji, pa se uspostavlja posredna veza uvo|enjem novih nepoznatih veli~ina: napona i deformacija. Svaki mehani~ki problem se matematski mo`e opisati pomo}u tri seta diferencijalnih jedna~ina kojima se uspostavlja veza izme|u poznatih vanjskih uticaja i nepoznatih napona, deformacija i pomjeranja. U ovom dijelu }e se pokazati oblik tih jedna~ina za op{ti problem u mehanici, bez izvo|enja. Sve ove jedna~ine kao i kori{teni pojmovi su detaljno obja{njeni u predmetima Otpornost materijala I i II. Jasno, da bi se diferencijalne jedna~ine rije{ile, potrebno je zadati i rubne uvjete. Pod rubnim uvjetima se podrazumijevaju unaprijed zadate vrijednosti pomjeranja ili napona u pojedinim ta~kama sistema. Stoga se ~esto u literaturi mehani~ki problemi nazivaju i problemi rubnih vrijednosti u mehanici. JEDNA^INE RAVNOTE@E Diferencijalne jedna~ine ravnote`e se dobivaju iz uvjeta da je vektorski zbir svih sila koje djeluju na infinitezimalni segment (kvadar) nekog tijela jednak nuli.

∇ ⋅σ + b = 0

(1.1)

ili u razvijenom obliku:

2

Statika I

1. Uvod

∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + bx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ xy ∂τ yz + + + by = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + bz = 0 ∂x ∂y ∂z gdje je b vektor zapreminskih sila koje djeluju na infinitezimalni kvadar. Uvjet ravnote`e se mo`e postaviti i u integralnom obliku, pomo}u principa virtualnih radova (Mehanika II) ili na osnovu razmatranja energetskih uvjeta ravnote`e, {to }e, za {tapne elemente, biti pokazano kasnije. KONSTITUTIVNE JEDNA^INE Konstitutivnim jedna~inama se uspostavlja veza izme|u napona i deformacija. U op{tem slu~aju veza izme|u napona i deformacija se predstavlja jedna~inom:

σ = C ⋅ (ε − εo )

(1.2)

U gornjoj jedna~ini σ je tenzor napona, ε je ukupni tenzor deformacija, ε o je tenzor tzv. po~etnih deformacija i C je konstitutivni tenzor. Konstitutivnim tenzorom se definiraju fizi~ke osobine materijala. U najop{tijem slu~aju, ovo je tenzor ~etvrtog reda, definiran 81 parametrom, jer tenzori napona i deformacija imaju po 9 parametara. Me|utim, uvo|enjem pretpostavke da je materijal homogen, izotropan i linearno elasti~an, broj potrebnih parametara za definiranje ovog tenzora se definira na dva. Po{to su tenzori napona i deformacija simetri~ni, mogu se prikazati kao vektori sa {est ~lanova a, u skladu s tim, konstitutivni tenzor kao matrica dimenzija 6x6. Parametri kojima se definira tenzor mogu biti: E i ν - Young-ov modul elasti~nosti i Poisson-ov koeficijent K i G - zapreminski i smi~u}i modul λ i μ - Lame-ovi koeficijenti Me|usobne veze izme|u ovih koeficijenata su date u Tabeli 1.1.

3

Statika I

1. Uvod

K,G

E,ν

λ,μ

K=

K

E 3(1− 2ν )

λ + 23 μ

G=

G

E 2(1+ν )

μ

E=

9 KG 3 K +G

E

μ ( 3λ + 2 μ ) λ +μ

ν=

3 K −2G 2( 3 K +G )

ν

λ=

K − 23 G

μ=

G

λ

2( λ + μ )

Eν

λ

E 2(1+ν )

μ

(1+ν )(1− 2ν )

Tabela 1.1. - Zavisnost uobi~ajenih parametara elasti~nosti Prema tome veza izme|u napona i deformacija za linearno elasti~no pona{anje, ukoliko nema po~etnih deformacija, se mo`e napisati kao:

ν ν 0 0 0 ⎤ ⎧ εx ⎫ ⎧σ x ⎫ ⎡1 −ν ⎪σ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ν ν 1 −ν 0 0 0 ⎥⎥ ⎪ ε y ⎪ ⎪ y⎪ ⎢ ⎢ ν ν 1 −ν 0 0 0 ⎥ ⎪⎪ ε z ⎪⎪ E ⎪⎪σ z ⎪⎪ ⎨ ⎬= ⎢ ⎥ ⋅⎨1 ⎬ τ 0 0 0 1 2 0 0 ν − 1 1 2 ν ν + − ( )( ) xy ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ 2 γ xy ⎪ ⎪τ xz ⎪ ⎢ 0 0 0 0 1 − 2ν 0 ⎥ ⎪ 12 γ xz ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ 0 0 0 0 1 − 2ν ⎦⎥ ⎩⎪ 12 γ yz ⎭⎪ ⎣⎢ 0 ⎩⎪τ yz ⎭⎪

(1.3)

Pojam po~etnih deformacija je vezan za one deformacija koje se javljaju bez pojave napona. Tipi~an uzrok pojave ovakvih deformacija jeste promjena temperature, gdje se naponi javljaju jedino ako je deformacija sprije~ena. Na slici 1.1a) uslijed ravnomjernog zagrijavanja ta~ka B }e se pomjeriti udesno i svaka ta~ka {tapa }e imati aksijalnu deformaciju, a naponi }e, prema jedna~ini (1.2) biti jednaki nuli. Ukoliko se pomjeranje ta~ke B sprije~i, uslijed ravnomjernog zagrijavanja }e se pojaviti aksijalni naponi pritiska, a deformacija }e biti jednaka nuli.

a)

Δt>0, ε=εo, σ=0

b)

Δt>0, ε=0, σ=-Eεo

Slika 1.1. Deformacije i naponi uslijed ravnomjerne promjene temperature

4

Statika I

1. Uvod

GEOMETRIJSKE JEDNA^INE Geometrijske jedna~ine predstavljaju vezu izme|u pomjeranja i deformacija. U op{tem slu~aju veza izme|u pomjeranja i deformacija je data slijede}om jedna~inom:

ε= ⎡ ∂∂ux ⎢ gdje je: ∇u = ⎢ ∂∂xv ⎢ ∂w ⎢⎣ ∂x

∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y

1 ∇ u + ∇ uT ) ( 2

(1.4)

⎤ ⎥ ∂v ∂z ⎥ ; ∂w ⎥ ∂z ⎥ ⎦ ∂u ∂z

u, v i w su komponente pomjeranja u pravcu osovina x, y i z, respektivno Iz jedna~ine (1.3) dobivamo: ∂u ∂u ∂v + ; γ xy = γ yx = ∂x ∂y ∂x ∂v ∂v ∂w ε y = ; γ yz = γ zy = + ∂y ∂z ∂y ∂w ∂u ∂w + εz = ; γ xz = γ zx = ∂z ∂z ∂x

εx =

Kako je vidljivo iz gornjih jedna~ina, deformacija se defini{e kao razlika pomjeranja izme|u dvije ta~ke deformabilnog tijela. Dakle, pojam pomjeranja je vezan za ta~ku deformabilnog tijela (kod krutog tijela pomjeranja svih ta~aka su jednaka), a pojam deformacije je vezan za tijelo (kod krutog tijela deformacije su jednake nuli). Napominje se da ovako definirana veza izme|u deformacija i pomjeranja zna~i da je svaka deformacija uzrokovana nekim pomjeranjem, ali svako pomjeranje ne mora uzrokovati deformaciju. Pomjeranja koja ne uzrokuju nikakvu deformaciju (niti napone) nazivaju se kinematska pomjeranja ili pomjeranja krutog tijela (rotacija i/ili translacija). Na slici 1.2. dio A-C se pomjera i deformi{e, a dio C-B se samo pomjera - translatira. Jasno, na dijelu AC postoje aksijalni naponi, a na dijelu C-B ne.

A

C

B

Slika 1.2. Pomjeranje sa deformacijom i kinematsko pomjeranje Dakle, veze izme|u pojedinih veli~ina koje se koriste u analizi problema mehanike mogu se {ematski prikazati kao na slici 1.3.

5

Statika I

1. Uvod

Vanjski uticaji

ravnoteža

naponi

konstitutivne jednačine

deformacije

pomjeranja

Slika 1.3. [ema rje{avanja problema mehanike Za najve}i broj problema u mehanici nije mogu}e analiti~ki sprovesti ovaj proces i na}i eksplicitno rje{enje, tj. direktnu vezu izme|u pomjeranja i vanjskih uticaja. Razvojem ra~unara i numeri~kih metoda, posebno metode kona~nih elemenata, stvorena je mogu}nost numeri~kog rje{avanja gotovo svih problema u mehanici. Jedini ograni~avaju}i faktor jeste odre|ivanje ulaznih parametara, {to za kompleksne probleme mo`e biti jako zahtijevan zadatak. Me|utim, za razli~ite tipove problema, mogu}e je uvesti odre|ene pretpostavke koje omogu}uju analiti~ko rje{avanje tih problema. Jedan od takvih problema jeste linearna analiza linijskih konstruktivnih elemenata.

6

Statika I

2. Vanjski uticaji

2. VANJSKI UTICAJI 2.1. Osnovni principi modeliranja konstrukcija Kako je u Uvodu navedeno, analizu neke realne konstrukcije je mogu}e uraditi jedino ako se njeno pona{anje idealizira i zanemare uticaji koji ne uti~u bitno na rezultate koji su bitni za dimenzioniranje konstrukcija. Idealiziranje, tj. usvajanje raznih pretpostavki kojim se pojednostavljuje prora~unski model, se vr{i u svim fazama analize, po~ev od analize optere}enja do dimenzioniranja konstrukcije. Osnovni princip pri modeliranju svake konstrukcije je da treba napraviti {to jednostavniji model koji }e dati rezultate koji pribli`no odgovaraju stvarnom pona{anju konstrukcije. Naravno, posljedica svakog pojednostavljivanja modela je odre|ena gre{ka u rezultatima. Iz ove kolizije se javlja i glavni problem pri modeliranju svake konstrukcije: procijeniti {ta se mo`e zanemariti pri rje{avanju odre|enog problema, a da rezultati ostanu dovoljno ta~ni. Da bi se ova procjena mogla uraditi kvalitetno, potrebno je, osim poznavanja metoda kojima se analizira problem, poznavati i pona{anje odre|enih tipova konstrukcija koje zavisi od materijala (beton, metal ili drvo), usvojenog konstruktivnog sistema, optere}enja, na~ina rje{avanja odre|enih detalja itd. Posebno je va`no naglasiti da modeliranje svih detalja koji se izvode na realnoj konstrukciji ne garantuje pove}anu ta~nost rezultata. Drugim rije~ima, nekada se sa jednostavnijim modelom mogu dobiti bolji rezultati, posebno ako se prora~un vr{i metodom kona~nih elemenata, koja se danas naj~e{}e koristi. U nekim slu~ajevima stepen detaljiranja modela zavisi od toga koji nas rezultati interesuju. Naime, mogu}e je jedan dio konstrukcije modelirati tako da uop{te ne odgovara realnom stanju ukoliko pona{anje tog dijela konstrukcije ne uti~e bitno na rezultate koji su cilj analize. 2.2. Analiza optere}enja Osnovna svrha konstrukcija jeste da prenesu vanjsko optere}enje na tlo. Vanjske sile uvijek djeluju ili na nekoj povr{ini (snijeg, vjetar, korisna optere}enja itd.) ili kao zapreminske sile (sopstvena te`ina). Jasno, pri stvaranju modela potrebno je u okviru analize optere}enja svesti realna optere}enja na modelirana optere}enja koja se mogu aplicirati na odabrani model konstrukcije, {to zna~i da se linijski sistemi optere}uju linijskim raspodjeljenim optere}enjima, te koncentrisanim silama i momentima. Analiza optere}enja je po~etni korak pri svakoj analizi konstrukcija, koji po~inje tako da se identificiraju svi slu~ajevi optere}enja. Pod pojmom slu~aj optere}enja podrazumijeva se sistem vanjskih sila ili uticaja koji na konstrukciju djeluju istovremeno. U principu na konstrukciju mogu djelovati gravitacione sile, vjetar i seizmi~ke-inercijalne sile, te pritisak vode ili tla kod uronjenih, odnosno ukopanih konstrukcija. Me|utim, pored ovih sila, na konstrukciju mogu djelovati i drugi uticaji, koji izazivaju naprezanja u konstrukciji a nisu sile, kao {to su promjena temperature, slijeganje oslonaca ili uticaji reologije materijala (npr. skupljanje ili te~enje btona). Ovi uticaji se, ako je potrebno, tako|er obuhvataju analizom optere}enja. Kada se identificiraju svi slu~ajevi optere}enja, ona se modeliraju i prilago|avaju odabranom modelu konstrukcije. Ukoliko se modelira kompletna konstrukcija sa povr{inskim elementima koji primaju optere}enje, tada je analiza optere}enja relativno jednostavna, jer se raspodjela optere}enja na linijske nosa~e ra~una softverski prema deformacijama metodom kona~nih elemenata. U tabeli 2.1. je pokazan primjer analize

7

Statika I

2. Vanjski uticaji

optere}enja za krovnu plo~u, ~ija je dispozicija pokazana na slici 2.3. Plo~a je oslonjena na ramove koji se prostiru u oba pravca, s tim da je na jednoj strani plo~a konzolno prepu{tena. Iz ovog primjera je vidljivo da se korisno optere}enje aproksimira jako grubo. Realno optere}enje u ovom primjeru su vozila koja se mogu kretati ili stajati i ~ija se te`ina na konstrukciju prenosi preko to~kova. Dakle, realniji model optere}enja bi bio niz povr{inskih optere}enja koja bi djelovala na povr{ini koja odgovara kontaktnoj povr{ini gume i asfalta. Ovakav model bi opet zavisio od vrste vozila, dimenzija guma, optere}enje bi bilo pokretno itd. Sasvim je o~igledno da bi takav model optere}enja onemogu}io bilo kakvu analizu plo~e, jer bi bio suvi{e komplikovan i ovisio bi od niza parametara koje nije mogu}e utvrditi. Umjesto toga, usvaja se jednoliko podijeljeno optere}enje, ~ija je vrijednost ne{to ve}a od o~ekivane, {to daje rezultate koji su na strani sigurnosti (ve}e dimenzije konstruktivnih elemenata). Vrijednosti korisnog optere}enja, zavisno o namjeni prostora koji }e se koristiti iznad konstrukcije, su date propisima.

A

B

1

Ly

2 Lx

Lk

Slika 2.3. Dispozicija krovne plo~e sa {emom raspodjele optere}enja opis slojeva

debljina m

A)STALNO OPTERE]ENJE 1 asfalt 2 estrih 3 hidroizolacija 4 stiropor 5 hidroizolacija 6 nagibni beton 7 armiranobetonska plo~a STALNO OPTERE]ENJE B)KORISNO OPTERE]ENJE korisno optere}enje za gara`e i parkirne povr{ine, prema JUS U.C7.121 KORISNO OPTERE]ENJE

0.035 0.085 0.01 0.055 0.004 0.0925 0.20

γ kN/m3

g kN/m2 22 22 10 1 10 24 25 p=

0.77 1.87 0.10 0.06 0.04 2.22 5.0 12.56

pk=

2.50 2.50

Tabela 2.1. - Primjer analize optere}enja

8

Statika I

2. Vanjski uticaji

Ukoliko se konstrukcija modelira i ra~una tako da se posebno ra~una plo~a, a posebno ramovi, tada je za prora~un ramova potrebno izvr{iti dodatnu analizu optere}enja kojom bi se odredilo optere}enje koje djeluje na ram kao linijski model. Ukoliko plo~a ima oslonce u oba pravca, pretpostavlja se da ne jednu gredu otpada optere}enje sa povr{ine ome|ene pravcima koji se pod uglom od 45o povla~e iz uglova plo~e. Konkretno za primjer pokazan na slici 2.3. prora~unski modeli sa odgovaraju}im optere}enjem su pokazani na slici 2.4. RAM A:

q = p ⋅ ly / 2

RAM B:

q1 = p ⋅ l y / 2 q2 = p ⋅ lK

RAMOVI 1 i 2

q = p ⋅ lY / 2

Slika 2.4. Stati~ke {eme i optere}enja linijskih modela za primjer sa slike 6. Ramovi A i B se me|usobno razlikuju po optere}enju, jer se na ram B prenosi i kompletno optere}enje od konzolnog dijela plo~e. Poseban problem mogu predstavljati pokretna optere}enja koja imaju ve}u vrijednost (prora~un saobra}ajnih objekata) i gdje presje~ne sile znatno zavise i od polo`aja tog optere}enja. Tada je potrebno postaviti optere}enje tako da se dobiju maksimalne presje~ne sile u presjeku koji se `eli dimenzionirati. Ovaj problem se rje{ava kori{tenjem uticajnih linija, {to }e kasnije biti detaljno obja{njeno. Pojedina optere}enja zahtijevaju slo`eniju analizu. Ovo se posebno odnosi na seizmi~ka optere}enja i optere}enja vjetrom, gdje se vrijednost vanjskih sila dobiva posebnim analizama, ~ije su osnove i potrebni ulazni podaci dati posebnim propisima.

9

Statika I

3. Teorija {tapa

3. TEORIJA [TAPA 3.1. Definicija {tapa Svaka realna konstrukcija zauzima neku zapreminu u prostoru i strogo govore}i svaki konstruktivni element je trodimenzionalan. Savremena nau~na dostignu}a omogu}avaju da se svaki konstruktivni element i kompletna konstrukcija modelira pomo}u trodimenzionalnih elemenata. Me|utim, radi niza tehni~kih pote{ko}a, a ponajprije radi jako ote`ane kontrole i pra}enja rezultata, ovakvi modeli se ne koriste pri analizi konstrukcija. U cilju dobivanja {to jednostavnijeg matematskog modela za analizu, za razne elemente se uvode razli~ite pretpostavke na osnovu kojih se razvijaju metode rje{avanja tih elemenata. Osnovna podjela vezana je za dimenzije konstruktivnih elemenata. Elementi kod kojih na pona{anje uti~u sve tri dimenzije se koriste pri prora~unu brana, nasutih objekata, za modeliranje tla pri analizi temeljnih plo~a itd. Ukoliko je jedna dimenzija zanemarljiva u odnosu na druge dvije, tada se radi o povr{inskim elementima: plo~e, ljuske, zidovi itd. Analiza ovakvih elemenata se prou~ava u predmetu Teorije povr{inskih nosa~a.

Materijalno tijelo ~ije su dvije dimenzije zanemarljivo male u odnosu na tre}u naziva se {tap. Ovakvim elementima modeliramo stubove, grede, zatege, spregove itd. [tapovima se mogu modelirati i plo~e ili zidovi kod kojih jedna dimenzija nema uticaja na rezultate. Na slici 3.1. prikazana je plo~a oslonjena na dva zida i model proste grede kojim se dobivaju uticaju po metru du`nom {irine plo~e.

Slika 3.1. Plo~a i linijski model plo~e [tap je ograni~en omota~em Γ i bo~nim plohama Aj i Ak. Prema definiciji {tapa, veli~ina bo~nih ploha je zanemarljiva u odnosu na povr{inu omota~a. Pri analizi konstrukcija {tapovi se zamjenjuju linijama koje predstavljaju osovinu {tapa. Osovina {tapa je linija koja povezuje te`i{ta j i k ploha Aj i Ak i prolazi kroz te`i{te svakog popre~nog presjeka - Slika 3.2. Ta~ke j i k nazivaju se ~vorovi {tapa. Pri analizi konstruktivnih sistema, uticaji na {tapu se prikazuju u lokalnom koordinatnom sistemu {tapa. Lokalni koordinatni sistem {tapa je ustvari prirodni koordinatni sistem, gdje je osovina x uvijek u pravcu tangente na {tap, a druge dvije osovine su u pravcu glavnih osa inercije popre~nog presjeka u posmatranoj ta~ci.

10

Statika I

3. Teorija {tapa

Ukoliko se radi o pravom {tapu tada se za kompletan {tap definira jedan lokalni koordinatni sistem, a za krivi {tap definira se lokalni sistem u svakoj ta~ci {tapa. omotač Γ

osovina {tapa

Ak

j

Aj

k

Slika 3.2. Elementi {tapa Osovina {tapa mo`e biti prava i kriva. Jasno analiza pravolinijskih {tapova je jednostavnija. Pretpostavlja se da svako optere}enje djeluje u osovini {tapa. [tap mo`e imati ili konstantan ili promjenljiv popre~ni presjek. Osim toga, osovina {tapa mo`e le`ati u jednoj ravni (ravan {tapa). U daljem tekstu razmatra}e se isklju~ivo ovakvi {tapovi. 3.2. Osnovne pretpostavke Osim pretpostavki koje proizilaze iz definicije {tapa, u razvoju linearne teorije {tapa, koja je predmet ovog kursa, uvode se slijede}e pretpostavke: a. Materijal od kojeg su napravljeni {tapovi se pona{a po Hook-ovom zakonu, odnosno idealno elasti~no, {to zna~i da je veza izme|u napona i deformacija definirana jedna~inom (1.4) b. Pomjeranja su mala, tako da se uvjeti ravnote`e postavljaju pod pretpostavkom da optere}enje djeluje na nedeformisanom {tapu c. Na {tapove djeluje stati~ko optere}enje, tj. optere}enje se nanosi tako sporo da se ne mogu javiti inercijalne sile d. Deformacije su male, {to za posljedicu ima linearnu vezu izme|u deformacija i pomjeranja e. Bernoulli-jeva hipoteza: ravni presjeci okomiti na osovinu grede ostaju ravni i okomiti na osovinu i nakon deformacije Jasno je da nijedna od ovih pretpostavki kod realnih gra|evinskih konstrukcija nije zadovoljena, ali se smatra da gre{ke koje nastaju njihovim uvo|enjem zanemarljive. S druge strane, uvo|enje ovih pretpostavki omogu}ava da se naponi, deformacije i pomjeranja jednozna~no analiti~ki sra~unaju na osnovu zadatih vanjskih uticaja, karakteristika materijala i popre~nih presjeka, te geometrije konstruktivnog sistema. U narednim poglavljima }e se pokazati izvo|enje osnovnih jedna~ina mehanike uzimaju}i u obzir gornje pretpostavke. Treba naglasiti da uvedene pretpostavke obezbje|uju linearnost prora~una {to za posljedicu ima da va`i zakon superpozicije, tj. uticaji od vi{e optere}enja na konstrukciju su jednaki zbiru uticaja od svakog optere}enja koje djeluju pojedina~no na istu konstrukciju.

11

Statika I

3. Teorija {tapa

3.4. Jedna~ine ravnote`e O~igledno je da optere}enje uvijek djeluje na deformisanu konfiguraciju {tapa. To zna~i da bi za ta~no postavljanje jedna~ina ravnote`e trebalo uzeti u obzir da su napadne ta~ke vektora vanjskog optere}enja promijenile polo`aj u odnosu na po~etnu konfiguraciju, jer je do{lo do njihovog pomjeranja. Me|utim, u slu~aju kada su pomjeranja mala u odnosu na du`inu {tapa ({to naj~e{}e jeste slu~aj kod gra|evinskih konstrukcija) ovi uticaji se mogu zanemariti. Za neke tipove konstrukcija, a posebno za neke konstruktivne elemente, ovi uticaji se ne mogu zanemariti i potrebno je uvjete ravnote`e postaviti na deformisanoj konstrukciji. Teorija bazirana na ovakvim uvjetima ravnote`e naziva se Teorija II reda. Pri postavljanju uvjeta ravnote`e koristi se jedna~ina (1.1), uzimaju}i u obzir definiciju {tapa. Dakle, ravnote`a se postavlja na osovini nedeformisanog {tapa infinitezimalne du`ine (jedna~ina (1.1) va`i za kvadar), a naponi koji djeluju u popre~nim presjecima (presjeci okomiti na os {tapa) na krajevima posmatranog segmenta se zamjenjuju silama koje se dobivaju redukcijom napona na te`i{te tih popre~nih presjeka, odnosno osovinu {tapa. Ovako dobivene sile nazivaju se presje~ne ili unutra{nje sile i u op{tem slu~aju ih ima {est: 1. Normalna sila jednaka sumi normalnih napona koje djeluju na presjek N = ∫ σ x dA

(3.1)

A

2. Transverzalna sila u ravni {tapa jednaka sumi smi~u}ih napona koji djeluju u presjeku u ravni {tapa Ty = ∫ τ xy dA

(3.2)

A

3. Transverzalna sila okomito na ravan {tapa jednaka sumi smi~u}ih napona koji djeluju u presjeku okomito na ravan {tapa Tz = ∫ τ xz dA

(3.3)

A

4. Momenat torzije jednak momentu kojeg smi~u}i naponi prave oko osovine x prirodnog koordinatnog sistema M x = ∫ ( yτ xz + zτ xy ) dA

(3.4)

A

5. Momenat savijanja oko osovine koja je u ravni {tapa, jednak momentu kojeg normalni naponi prave oko osovine y (osovina u ravni {tapa okomita na osovinu x) prirodnog koordinatnog sistema M y = ∫ zσ x dA

(3.5)

A

6. Momenat savijanja oko osovine koja je okomita na ravan {tapa, jednak momentu kojeg normalni naponi prave oko osovine z (osovina okomita na ravan {tapa) prirodnog koordinatnog sistema M z = − ∫ yσ x dA

(3.6)

A

12

Statika I

3. Teorija {tapa

Bitno je napomenuti da tenzor napona na popre~nom presjeku {tapa ima samo tri komponente razli~ite od nule: σ x ,τ xy ,τ xz . Ukoliko se {tap presije~e nekom ravni koja nije okomita na osovinu {tapa tenzor napona mo`e imati sve komponente razli~ite od nule. Jasno, pri rje{avanju linijskih sistema koriste se samo popre~ni presjeci. Ukoliko je {tap optere}en optere}enjem koje djeluje samo u ravni {tapa, tada nema smi~u}ih napona τ xz , a normalni naponi σ x i smi~u}i naponi τ xy su simetri~ni u odnosu na osovinu y, tako da su integrali u jedna~inama (3.3) - (3.5) jednaki nuli. Tada postoje samo dvije presje~ne sile u ravni {tapa i jedan momenat savijanja okomit na ravan {tapa. Radi jednostavnosti izvo|enje uvjeta ravnote`e je pokazano za {tap koji je optere}en u svojoj ravni. Na slici 3.3. je prikazan beskona~no mali segment du`ine ds, sa radijusom zakrivljenosti R, optere}en u ravni rezultantama pripadaju}eg okomitog i uzdu`nog optere}enja. Lokalni koordinatni sistem }emo postaviti na lijevi kraj segmenta, tako da je osa x tangenta na segment u ta~ci j.

pyds y x

pxds

k

Ty Mz

Mz+dMz

j Ty+dTy

R

Nx+dNx

Nx dα

Slika 3.3. Ravnote`a infinitezimalnog segmenta {tapa u ravni Jedna~ine ravnote`e se jednostavno dobivaju postavljanjem tri uvjeta ravnote`e. Pri tome treba uzeti u obzir da se radi o infinitezimalnom segmentu, odnosno da: dα → 0 ⇒ sin dα = dα i cos dα = 1 .

∑ x = 0:− N +(N x

x

+ dN x ) + Ty dα + dTy dα + px ds + p y dsdα = 0

Zanemarivanjem infinitezimalnih veli~ina vi{eg reda dobiva se: dN x − Ty dα + px ds = 0 , a dijeljenjem sa ds i uzimaju}i ds = Rdα dobivamo:

dN x Ty + + px = 0 ds R

∑ y = 0 : − T + (T y

y

(3.7)

+ dTy ) − N x dα − dN x dα − p y ds + px dsdα = 0

13

Statika I

3. Teorija {tapa

Odnosno koriste}i isti postupak:

dTy ds

∑M

k

−

Nx − py = 0 R

(3.8)

= 0 : − Ty ds + M z − ( M z + dM z ) − N x dsdα − p y ds 2 / 2 = 0

dM z + Ty = 0 ds

(3.9)

Ukoliko se radi o pravom {tapu, gornji izrazi postaju jo{ jednostavniji: ⎧ dN x ⎪ dx + px = 0 ⎪ ⎪ dTy − py = 0 R → ∞; ds = dx ⇒ ⎨ dx ⎪ ⎪ dM z ⎪ dx + Ty = 0 ⎩

(3.10)

Koriste}i iste principe, mogu se izvesti i diferencijalne jedna~ine ravnote`e za {tap u ravni, koji je optere}en i optere}enjem koje je okomito na ravan {tapa. U tom slu~aju javljaju se i transverzalne sile okomite na ravan {tapa i momenat u ravni {tapa okomit na os {tapa.

dTz − pz = 0 ds

dM y ds

+ Tz = 0

(3.11)

(3.12)

Gornjim izrazima date su diferencijalne veze za sve presje~ne sile {tapa u ravni osim momenta torzije. Moment torzije se jedino mo`e javiti uslijed vanjskog momenta torzije, koji mo`e djelovati kontinuirano du` {tapa (npr. ispust sa jedne strane du` grede). Teoretski i ostala dva momenta se mogu zadati kao kontinuirano optere}enje {to bi pro{irilo jedna~ine (3.9) i (3.12) dodatnim ~lanom. Me|utim, u praksi se takvo optere}enje ne mo`e javiti. Dakle za moment torzije se mo`e napisati:

dM x − mx = 0 ds

(3.13)

gdje je mx raspodijeljeni moment torzije koji djeluje po du`ini {tapa.

14

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

4. PRORA^UN STATI^KI ODRE\ENIH NOSA^A 4.1. Stati~ka odre|enost i kinematska stabilnost Ukoliko neki elasti~ni linijski sistem ima dovoljno rubnih uvjeta koji su izra`eni preko sila, tada se gornje diferencijalne jedna~ine ravnote`e mogu rije{iti neovisno od ostalih jedna~ina i tada govorimo o stati~ki odre|enim sistemima. Naravno, poznato je da se sile i naponi na stati~ki odre|enim nosa~ima ne ra~unaju rje{avanjem diferencijalnih jedna~ina. Me|utim, treba primijetiti da se u principu koriste isti uvjeti ravnote`e, a jedina je razlika {to se oni postavljaju na segmentima {tapa ili segmentima konstrukcije kona~ne veli~ine, umjesto na beskona~no malim segmentima, kako je ovdje pokazano. Rubni uvjeti za sile ustvari su uvjeti ravnote`e iz kojih nalazimo reakcije stati~ki odre|enih nosa~a. Primjer 4.1: Posmatrajmo prav {tap u ravni. Na krajevima {tapa se nalaze ~vorovi A i B.

B

A

Slika 4.1. Svaki ~vor se mo`e pomjeriti na tri nezavisna na~ina: translacije u dva ortogonalna pravca i jedna rotacija 1 . To zna~i da je u svakom ~voru mogu}e postaviti po tri rubna uvjeta, kojim }e se unaprijed definisati ili pomjeranje ili sila. Nije mogu}e u jednom ~voru kao rubni uvjet zadati istovremeno i silu i pomjeranje. Dakle, u jednom ~voru se mogu zadati slijede}i rubni uvjeti: a) slobodan ~vor — sve sile (M, T i N) su jednake nuli, pomjeranja su nepoznata b) pokretni oslonac — translacija u jednom pravcu jednako nuli (sila u tom pravcu nepoznata), a rotacija i translacija u drugom pravcu nepoznati (momenat i sila u tom pravcu jednaki nuli) c) nepokretni oslonac — translacija u oba pravca jednako nuli (nepoznate sile) i momenat jednak nuli (nepoznata rotacija) d) pokretno uklje{tenje — translacija u jednom pravcu i rotacija jednaka nuli (sila i momenat nepoznati), translacija u drugom pravcu nepoznato (sila u tom pravcu jednaka nuli) e) uklje{tenje — sva tri pomjeranja jednaka nuli, M, T i N nepoznati

a)

b)

c)

d)

e)

Slika 4.2. 1

Podrazumijeva se da je čvor dio štapa, a ne tačka, jer tačka, kao bezdimenzionalna, se ne može rotirati oko svoje ose, već samo translatorno pomjerati. Štap kao tijelo sa dimenzijama može rotirati oko svoje osi. Vidi sliku 4.2.

15

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

Evo nekih mogu}nosti kako se na posmatranom {tapu mogu zadati rubni uvjeti : 1. Ta~ke A i B slobodne — sve sile u tim ta~kama su jednake nuli. [tap nije konstrukcija i ne mogu se sra~unati sile, jer postoji {est rubnih uvjeta za sile, a samo tri jedna~ine ravnote`e. U kinematici se ovakav {tap posmatrao kao kruto tijelo i o~igledno je da se njegovo pomjeranje mo`e definisati sa tri parametra: dva koja definiraju translaciju i jedan koji definira rotaciju — mehanizam sa tri stepena slobode kretanja. 2. Ta~ka A vezana nepokretnim osloncem, ta~ka B slobodna. [tap i dalje nije konstrukcija, jer postoje ~etiri rubna uvjeta za sile — jedan vi{e od broja jedna~ina, a samo dva po pomjeranjima (mehanizam sa jednim stepenom slobode kretanja). 3. Ta~ka A vezana nepokretnim osloncem, a ta~ka B pokretnim (prosta greda). [tap je stati~ki odre|ena konstrukcija, jer postoje tri rubna uvjeta po silama (MA=0, MB=0 i NB=0), tako da je mogu}e jednozna~no rije{iti tri jedna~ine ravnote`e. B

B

4. Ta~ka A vezana uklje{tenjem, a ta~ka B slobodna (konzola). Stati~ki odre|ena konstrukcija, sva tri rubna uvjeta po silama data u ta~ki B. 5. Ta~ka A vezana uklje{tenjem, a ta~ka B vezana pokretnim osloncem (pridr`ana konzola). Sada imamo dva rubna uvjeta po silama (momenat i sila jednaki nuli u ta~ki B) i ~etiri po pomjeranjima. Konstrukcija je stati~ki neodre|ena, jer jedna~ine ravnote`e imaju vi{e rje{enja. Da bi se dobilo jednozna~no rje{enje potrebno je upotrijebiti dodatne jedna~ine. 6. Obje ta~ke vezan nepokretnim osloncima. Konstrukcija je jednom stati~ki neodre|ena, jer ima samo dva rubna uvjeta po silama. 7. Ta~ke A i B vezane uklje{tenjem (obostrano uklje{tena greda). Tri puta stati~ki neodre|ena konstrukcija, jer je svih {est rubnih uvjeta dato po pomjeranjima i nijedan po silama, tako da nedostaju tri rubna uvjeta po silama. Primjer 4.2: Podijelimo posmatrani {tap na dva tako {to }emo na sredini dodati ~vor C.

A

1

C

2

B

2 2 u1xC = u xC ; u1yC = u yC ; ϕ C1 = ϕ C2

N C1 = N C2 ; TC1 = TC2 ; M C1 = M C2

Sada imamo tri ~vora od kojih svaki ima po tri stepena slobode kretanja. Me|utim, u ta~ki C {tapovi imaju ista pomjeranja i istu rotaciju — {tapovi su u ta~ki C kruto vezani, tako da kompletna konstrukcija i dalje ima tri stepena slobode kretanja. Posmatraju}i odvojeno {tapove zaklju~ujemo da {tap 1 ima tri rubna uvjeta po silama u ta~ki A i ukupno {est rubnih uvjeta u ta~ki C, koji glase: pomjeranja i sile u ta~ki C su jednake na {tapovima 1 i 2. [tap 2 ima istih {est rubnih uvjeta u ta~ki C i tri rubna uvjeta po silama u ta~ki B. Analizirajmo zadavanje raznih uvjeta na ovom primjeru. A. Ukoliko u ta~ki C ostane kruta veza, njeno prisustvo ne}e uticati ni na jedan od slu~ajeva iz gornjeg primjera. Naime, isijecanjem ta~ke C i postavljanjem uslova

16

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

ravnote`e, dobivaju se tri jedna~ine ravnote`e sa tri nepoznate presje~ne sile u ta~ki C, tako da se ne pove}ava niti broj nepoznatih sila, niti broj jedna~ina. B. Postavimo u ta~ku C zglob. Time smo postavili dodatni rubni uvjet po silama, jer umjesto jedne jedna~ine M C1 = M C2 imamo dvije jedna~ine: M C1 = 0 i M C2 = 0 . Automatski je smanjen jedan rubni uvjet po pomjeranjima jer je sada: ϕ C1 ≠ ϕ C2 . To zna~i da }emo u slu~ajevima 3 i 4 iz prethodnom primjeru umjesto stati~ki odre|enih konstrukcija imati mehanizme gdje ne mo`emo odrediti sile iz jedna~ina ravnote`e. U slu~aju 5 dobi}emo stati~ki odre|en, a u slu~aju 7 dva puta stati~ki neodre|en nosa~. Slu~aj 6 je posebno interesantan pa }emo ga analizirati odvojeno.

C.

A

1

C

2

B

Rubni uvjeti po silama su: {tap 1 - M 1A = 0; M C1 = 0; TC1 = TC2 ; N C1 = N C2 {tap 2 - M B2 = 0; M C2 = 0; TC1 = TC2 ; N C1 = N C2 {to daje ukupno {est jedna~ina sa {est nepoznatih: transverzalne i normalne sile u ta~kama A, B i C. Problem kod ovakve geometrije sistema je to {to se u pet jedna~ina javljaju samo tri nepoznate — transverzalne sile, a samo se jedna jedna~ina odnosi na preostale tri nepoznate. Zbog toga ovaj sistem ne predstavlja stati~ki odre|en nosa~. Ukoliko bi se ta~ka C pomakla van linije AB sistem bi postao stati~ki odre|en, jer bi se u jedna~inama M C1 = 0 i M C2 = 0 , kao promjenjive javile i normalne sile, ~ime bi se dobio kompletan sistem jedna~ina. Dakle, pri projektovanju konstrukcije i stvaranju modela prvi uvjet je da konstrukcija bude nosa~ (stati~ki odre|en ili neodre|en), tj. da ne bude mehanizam. Kod linijskih sistema to se mo`e relativno jednostavno provjeriti na taj na~in {to se pretpostavi da su svi {tapovi apsolutno kruti i provjeri se kinematska pomjerljivost sistema ili stepen slobode kretanja. Da bi se ovaj proces pojednostavio koristi se jedna~ina za prora~un stepena slobode kretanja. Ukoliko posmatramo sistem u ravni sa n ~vorova, mo`emo re}i da je to ustvari n ta~aka, koje su me|usobno povezane {tapovima ili vezane za okolinu. Po{to ta~ka u ravni ima dva stepena slobode kretanja, n ta~aka ima 2n nezavisnih pomjeranja, odnosno 2n stepeni slobode kretanja. Svaki {tap predstavlja jednu vezu, tj. smanjuje broj stepeni slobode kretanja za jedan. Kako smo vidjeli u primjeru 3.2. kruta veza izme|u dva {tapa daje tri jedna~ine po pomjeranjima, {to zna~i da svaka kruta veza izme|u dva {tapa oduzima dodatni stepen slobode kretanja. Na kraju potrebno je oduzeti i btoj veza sa okolinom, {to nam daje jedna~inu za stepen slobode kretanja sistema u ravni : SSK=2n-s-c-r

(4.1)

gdje je n-broj ~vorova, s-broj {tapova, c-broj krutih veza i r-broj veza sa okolinom. Ukoliko posmatramo sistem u prostoru, svaka ta~ka ima tri stepena slobode kretanja, tako da jedna~ina glasi:

17

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

SSK=3n-s-c-r

(4.2)

Ukoliko sistem ima suvi{e veza, tada }e gornje jedna~ine dati negativan rezultat, {to zna~i da je sistem stati~ki neodre|en, odnosno stepen stati~ke neodre|enosti je jednak negativnoj vrijednosti stepena slobode kretanja: SSN=-SSK

(4.3)

Nagla{ava se da je stepen slobode kretanja mogu}e ta~no odrediti jedino kinematskim razmatranjem, tj. ove jedna~ine ne daju uvijek ta~an rezultat, jer stepen slobode kretanja osim broja veza ovisi i o tome kako su veze raspore|ene. Jedan od takvih primjera je primjer 4.2., a na slici 4.3. dati su jo{ neki.

A

A

b) SSK=2·5-5-5-2=-2

a) SSK=2·3-2-1-3=0

G

B

A d) SSK=2·5-5-2-3=0

c) SSK=2·4-4-0-4=0

Slika 4.3. U primjeru a) oslonci su postavljeni tako da cijeli sistem mo`e rotirati oko ta~ke A. U primjeru b) sistem ima vi{ka unutra{njih, ali nema dovoljno vanjskih veza, tako da rotira oko ta~ke A. Ako bi u ta~ku A postavili uklje{tenje, sistem bi bio tri puta stati~ki neodre|en, iako bi se reakcije mogle odrediti iz uvjeta ravnote`e, jer unutra{nji {tapovi imaju suvi{e rubnih uvjeta po pomjeranjima. U primjeru c) donji {tap je nema funkciju veze, jer spaja dva nepokretna oslonca, tako da sistem ima horizontalno pomjeranje u nivou gornje grede. U primjeru d) sistem mo`e rotirati oko ta~ka koja se nalazi na presjeku pravca BG sa vertikalom kroz ta~ku A. Ovdje {tap BG nema funkciju veze jer spaja dvije ta~ke koje su svakako kruto vezane. Ovi primjeri pokazuju da je osim broja veza, pri odre|ivanju stati~ke odre|enosti potrebno voditi ra~una i o rasporedu veza.

18

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

4.2. Odre|ivanje reakcija Prvi korak pri prora~unu presje~nih sila, nakon odre|ivanja stati~ke odre|enosti, kod stati~ki odre|enih nosa~a jeste odre|ivanje nepoznatih sila na mjestu i u pravcu sprije~enih pomjeranja. Po{to se radi o stati~ki odre|enim nosa~ima, ove sile (reakcije) je mogu}e izra~unati iz uvjeta ravnote`e, koji se mogu postaviti na kompletnom nosa~u ili na jednom njegovom dijelu, zavisno od toga o kakvom konstruktivnom sistemu radi. Tradicionalno postoji ustaljena i vrlo detaljna podjela stati~ki odre|enih nosa~a na: 1. proste grede, grede sa prepustom i konzole 2. Gerber-ove nosa~e 3. trozglobne nosa~e 4. trozglobne nosa~e sa zategama 5. kombinovane nosa~e Prora~un presje~nih sila kod svih ovih nosa~a je isti, a jedina razlika je u postupku odre|ivanja reakcija. Naravno svi postupci se zasnivaju na postavljanju uvjeta ravnote`e. Reakcije prve grupe nosa~a se nalaze tako da se postave tri uvjeta ravnote`e na kompletnom nosa~u. Sve ostale grupe imaju istu osobinu da unutar nosa~a postoji jedan ili vi{e zglobova, tj. mjesta gdje su momenti savijanja jednaki nuli *rubni uvjet po silama). Presijecanjem nosa~a kroz zglob i postavljanjem uvjeta ravnote`e na isje~enom dijelu nosa~a dobiva se dodatna jedna~ina, kojom je mogu}e odrediti nepoznatu reakciju ili unutra{nju silu, koja je potrebna za prora~un presje~nih sila na kompletnom nosa~u. U pro{losti su razvijeni razni postupci za odre|ivanje reakcija, grafi~ki i analiti~ki. Razvojem analiti~kih postupaka, grafi~ki postupci su, radi svoje nepreciznosti i velikog utro{ka vremena, napu{teni, tako da se ovdje o njima ne}e govoriti. Analiti~ki postupci su razvijani u zavisnosti od vrste nosa~a i u su{tini se razlikuju po tome {to se odre|enim postupkom najbr`e ra~unaju reakcije za odre|enu vrstu nosa~a. 4.2.1. Gerber-ovi nosa~i Kod ove vrste nosa~a, unutar sistema mo`e postojati jedan ili vi{e zglobova, koji moraju biti raspore|eni tako da sistem bude stati~ki odre|en nosa~, a ne mehanizam. Po{to je za kompletan sistem mogu}e postaviti tri nezavisne jedna~ine ravnote`e iz kojih se mogu izra~unati tri nepoznate reakcije, broj zglobova mora biti jednak broju dodatnih nepoznatih reakcija (rubnih uvjeta po pomjeranjima). Na slici 4.4. su prikazani neki Gerber-ovi nosa~i i neki mehanizmi koji li~e na Gerber-ove nosa~e.

Gerber-ovi nosa~i

Mehanizmi

Slika 4.4. 19

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

Pravilo je da dva zgloba ne smiju biti u krajnjem polju koje je slobodno oslonjeno, {to je specijalni slu~aj generalnijeg pravila da zglobovi ne smiju biti postavljeni tako da daju dvije jedna~ine po istoj nepoznatoj reakciji. Osnovna karakteristika Gerber-ovih nosa~a (za razliku od trozglobnih) je to da se optere}enje prenosi u jednom smjeru. Naime, ako optere}enje na dijelu A nosa~a izaziva uticaje na dijelu B, tada optere}enje na dijelu B sigurno ne izaziva uticaje na dijelu A. Ova osobina omogu}ava da se reakcije kod Gerberovih nosa~a ra~unaju tako da se nosa~ isije~e u zglobovima i svaki dio se ra~una odvojeno, vode}i ra~una o tome kako se prenose uticaji sa jednog dijela na drugi. Na slici 4.5. prikazan je nosa~ sa tri zgloba. Presijecanjem u svakom zglobu se javljaju samo normalna i transverzalna sila, jer je momenat jednak nuli. Me|usobni uticaj pojedinih dijelova nosa~a se odre|uje na osnovu rasporeda oslonaca.

A

B

C

G1 AH

D

E G3

G2 NG1

TG1 AV a)

NG2

NG1

TG3

NG3

TG2 TG2

TG1 BV B

NG3

NG2 CV

Postavljanjem uvjeta ravnote`e

EV

TG3

∑M

DV L G1

= 0 dobiva se reakcija AV. Sada se na

isje~enom dijelu AG1 mo`e postaviti i uvjet da je suma svih vertikalnih sila jednaka nuli, odakle se dobiva transverzalna sila u presjeku G1. Dakle, vertikalne sile na dijelu AG1 ne zavise od optere}enja na preostalom dijelu nosa~a. Postavljanjem uvjeta da je suma horizontalnih sila jednaka nuli dobiva se jedna~ina sa dvije nepoznate, koja se zasad ne mo`e rije{iti. Dakle, dijagrami momenata i transverzalnih sila se ve} mogu odrediti na dijelu AG1, jer ne zavise od optere}enja na drugim dijelovima nosa~a. Za dijagram normalnih sila to ne va`i. Na dijelu G1G2 mo`e se postaviti uvjet

∑M

L G2

= 0 , odakle se mo`e sra~unati

reakcija BV, jer je sila TG1 poznata. Postavljanjem narednog uvjeta ravnote`e ili

∑Y = 0

∑M

B

=0

dobiva se sila TG2. Ravnote`a horizontalnih sila jo{ uvijek ne daje nikakav

rezultat. Ukoliko sada pre|emo na dio G2G3 uvidje}emo da nam uvjeti ravnote`e ne}e dati rezultat, jer mo`emo postaviti dvije nezavisne jedna~ine po vertikalnim silama, a imamo tri nepoznate (CV, DV i TG3), te jednu po horizontalnim silama sa dvije nepoznate. Dakle, potrebno je najprije rije{iti dio G3E. Postavljanjem dva uvjeta ravnote`e po vertikalnim silama (npr. ∑ M E = 0 i ∑ M G 3 = 0 ) dobivaju se reakcija EV i

20

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

transverzalna sila TG3. Iz ravnote`e horizontalnih sila dobiva se vrijednost normalne sile u presjeku G3. Ako se sada vratimo na dio G2G3 ostale su nam nepoznate CV, DV i NG2. Iz tri uvjeta ravnote`e mo`ema lako sra~unati ove nepoznate (npr. ∑ M C = 0 , ∑ M D = 0 ,

∑ X = 0 ).

Iskoristiv{i ravnote`u horizontalnih sila za dijelove AG1 i G1G2 mogu se

dobiti sve normalne sile i horizontalna reakcija u osloncu A. Dakle, vertikalno optere}enje se prenosi sa ostalih dijelova na dio G2G3 koji jedini ima dva oslonca koji mogu primiti vertikalne sile, a horizontalne sile se prenose na jedini oslonac koji ih mo`e primiti — oslonac A. Nagla{ava se da je opisani postupak nije jedini za pronala`enje vertikalnih reakcija. Mogu}e je reakcije na}i i postavljanjem druga~ijih uvjeta ravnote`e bez rastavljanja na dijelove, ali se time uvijek dobiva neki sistem jedna~ina sa vi{e nepoznatih (za konkretan primjer pet jedna~ina sa pet nepoznatih). Opisanim postupkom uvijek rje{avamo jednu jedna~inu sa jednom nepoznatom, {to ubrzava prora~un i smanjuje mogu}nost gre{ke. Jasno, horizontalna reakcija se mogla dobiti i direktno iz sume horizontalnih sila na kompletnom nosa~u. 4.2.2. Trozglobni nosa~i Kod nosa~a koji u svojoj konfiguraciji imaju ta~no tri zgloba nije mogu}e primijeniti tehniku koja je prikazana za Gerber-ove nosa~e. Posmatrajmo ram prikazan na slici 4.5. Ukoliko rastavimo nosa~ na dva dijela (Slika 4.5.b) uvidje}emo da nije mogu}e nijedan dio rije{iti zasebno. Slijede}a bitna razlika u odnosu na Gerber-ove nosa~e je ta {to se kod trozglobnih nosa~a uslijed djelovanja vertikalnog optere}enja javljaju horizontalne reakcije, koje se nazivaju sile potiska i uslijed kojih se smanjuju momenti savijanja du` nosa~a. Tehnike odre|ivanja reakcija kod ovih nosa~a se zasniva na jednostavnom odre|ivanju sila potiska.

NG G

TG

NG

TG

BH B

BH

B AH

A

A BV

BV

AH

B

AV

B

B

B

AV

a)

b)

G ZB B ZA

A BV0 AV0

c)

Slika 4.5. Trozglobni nosa~ 21

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

Za nosa~ prikazan na slici 4.5. mogu}e je primijeniti dva pristupa pri odre|ivanju reakcija. Prvi se zasniva na tome da se jednostavno postave dva uvjeta ravnote`e (Slika 4.5.a), npr : ∑ M A = 0 i ∑ M GD = 0 , {to rezultira sistemom od dvije jedna~ine sa dvije nepoznate. Ukoliko `elimo izbje}i rje{avanje sistema jedna~ina, reakcije u nepokertnim osloncima se mogu rastaviti na vertkalni pravac i na kosi pravac, koji povezuje dva oslonca, kako je prikazano na slici 4.5.c). Postavljanjem uslova ravnote`e ∑ M A = 0 direktno se dobiva reakcija BV0 , koja ustvari predstavlja reakciju proste grede za vertikalno optere}enje. Slijede}im uvjetom

∑M

D G

= 0 dobiva se jedna~ina u kojoj je

nepoznata jedino reakcija ZB. Analogno se dobivaju i reakcije u osloncu A. Prednost ovog postupka je to {to se izbjegava sistem jedna~ina, a nedostatak je to {to se na kraju opet moraju sra~unati horizontalne i vertikalne reakcije u osloncima, radi jednostavnijeg prora~una presje~nih sila. B

4.2.3. Trozglobni nosa~i sa zategama Trozglobni nosa~i sa zategama su nosa~i kod kojih se vanjeske reakcije mogu izra~unati iz uvjeta ravnote`e kompletnog sistema, a iz uvjeta da je momenat savijanja u unutra{njem zglobu dobiva se sila u zatezi. Naime, svrha zatege jeste da primi silu potiska, koja se javlja kod trozglobnih nosa~a. Pri tome ta sila ostaje unutar sistema, tj. prenosi se na nosa~, a ne na okolinu. Ova osobina je jako korisna pri projektovanju konstrukcija kojima se ne mogu obezbijediti dobri horizontalni oslonci (npr. neke vrste krovnih konstrukcija).

G

G B

B AH

AH BV

A AV

Z Z

A

BV B

AV

Slika 4.6. Trozglobni nosa~ sa zategom Zatega ne mora povezivati oslonce, tj. mo`e se locirati bilo gdje i u bilo kakvom nagibu. Bitno je da se krajevi zatege nalaze sa razli~ite strane zgloba, tj. da ne povezuje dvije ta~ke nosa~a koje su svakako kruto vezane (vidi sliku 4.3.d). Princip preno{enja optere}enja kod ovakvih nosa~a se svodi na to da se u donjem dijelu nosa~a javlja aksijalna sila zatezanja, a u gornjem sila pritiska (kao kod pune proste grede), koje zajedno stvaraju otporni spreg, ~ime se smanjuju momenti savijanja u {tapovima. Iz uvjeta ravnote`e ∑ M GD = 0 ili ∑ M GL = 0 jasno je da vrijednost sile u zatezi zavisi od njene vertikalne udaljenosti od zgloba. Ukoliko se zatega nalazi iznad nosa~a (u praksi se to rijetko de{ava) tada je sila u zatezi pritiskuju}a, {to je u skladu sa op{tim principom da je gornji dio nosa~a uvijek pritisnut, a donji zategnut.

22

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

O~igledno je da su sistemi sa zategama jako povoljni, jer se momenti primaju aksijalnim silama koji se nalaze na velikom odstojanju. Pri realnoj primjeni, glavni problem je lociranje zatega, jer one ometaju funkcionalnost prostora ispod nosa~a. Radi toga, se ~esto koriste sistemi sa izlomljenim zategama, gdje se umjesto jedne zatege postavlja vi{e njih, koje se me|usobno zglobno spajaju. Prora~un ovakvih nosa~a je u osnovi potpuno ekvivalentan kao kad imamo jednu zategu. Naime, nakon odre|ivanja sile u jednoj zatezi (iz uvjeta da je momenat savijanja u zglobu jednak nuli), Sile u svi ostalim {tapovima se mogu na}i postavljenjem uveta ravnote`e u ~vorovima gdje su zatege vezane. Karakteristi~ni primjeri ovakvih nosa~a su prikazani na slici 4.7.

Slika 4.7. Trozglobni nosa~i Poslednji nosa~ spada u grupu tzv. kombinovanih nosa~a, jer sistem zatega nije povezan sa glavnim nosa~em, ve} je posebno oslonjen. Time je postignuto da se vertikalno optere}enje prenosi dijelom preko momenata savijanja na glavnom nosa~u, a dijelom preko aksijalnih sila u donjim {tapovima koje se ne prenose na glavni nosa~. Ukoliko se sistem zatega nalazi iznad nosa~a, onda se takvi nosa~i nazivaju zavje{eni.

23

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

4.2.4. Lu~ni nosa~i Prora~un presje~nih sila kod lu~nih nosa~a je ne{to komplikovaniji radi zakrivljenosti {tapova, {to je vidljivo iz jedna~ina ravnote`e koje su izvedene u tre}em poglavlju. Me|utim, prora~un reakcija se vr{i na isti na~in kako je pokazano za sisteme sa pravim {tapovima. Karakteristika lu~nih nosa~a je da u njima dominira normalna sila pritiska, dok su momenti savijanja, a samim tim i ugibi zanemarljivi. Ova osobina omogu}ava izgradnju lu~nih konstrukcija velikih raspona od materijala koji imaju dobru otprnost na pritisak, a slabu na zatezanje (kamen, beton, opeka itd.). Za odre|ene vrste regularnih optere}enja mogu}e je napraviti takav oblik luka da momenti u svim presjecima budu jednaki nuli. Linija koja prati takav oblik naziva se racionalna osovina luka. Racionalna osovina za ravnomjerno podijeljeno optere}enje, naprimjer, je parabola drugog reda. Dakle, ukoliko je neki raspon potrebno premostiti konstrukcijom, mogu}e je napraviti tri su{tinski razli~ita tipa konstrukcije: ravnu konstrukciju — dominiraju momenti, lu~nu konstrukciju — dominiraju aksijalne sile pritiska i zavje{enu konstrukciju — dominiraju aksijalne sile zatezanja ({ematski prikazano na Slici 4.8.).

a)

b)

c)

Slika 4.8. 4.3. Lan~ani sistemi Lan~ani sistemi su sistemi sastavljeni od linijskih elemenata koji mogu primiti isklju~ivo silu zatezanja. Ovi sistemi imaju osobinu da njihova konfiguracija zavisi od optere}enja koje djeluje na taj sistem. U teorijskoj mehanici ovakvi sistemi se dijele na lan~ane poligone — sistemi sa krutim pravim {tapovima, koji su me|usobno povezani zglobovima i lan~anice — sistemi koji se sastoje od jedne fleksibilne ili aksijalno krute niti (sajle, u`eta i sl.). Lan~ani sistemi su uvijek vezani za nepokretne oslonce, a bitna razlika u odnosu na sve ostale nosa~e je to {to oni nisu kinematski stabilni, tj. stepen slobode kretanja im je ve}i od nule. Time se dobivaju dodatne jedna~ine iz kojih se osim reakcija mogu izra~unati i pomjeranja pojedinih ta~aka sistema. Dakle, pri prora~unu lan~anih sistema iz uslova ravnote`e je potrebno izra~unati i oblik sistema koji on zauzima uslijed djelovanja optere}enja. Drugim rije~ima, potrebno je izra~unati i deformacionu liniju sistema, pod pretpostavkom da se radi o aksijalno krutim {tapovima ili niti. Ukoliko se radi o aksijalno fleksibilnoj niti, ~ija se du`ina mo`e izmijeniti u zavisnosti od modula elasti~nosti tada je potrebno osim jedna~ina ravnote`e na deformisanom sistemu primijeniti i konstitutivne i geometrijske jedna~ine. Rje{avanje lan~anog poligona se uvijek svodi na sistem nelinearnih jedna~ina u kojem su nepoznate reakcije ili sile u {tapovima i polo`aj {tapova.

24

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

Primjer: Napisati jedna~ine ravnote`e za lan~ani poligon dat na slici 4.9. Zadate su sile F1 i F2, polo`aji nepokretnih oslonaca L i h, te du`ine {tapova L1, L2 i L3. Potrebno je odrediti reakcije, sile u {tapovima i polo`aj {tapova.

BV B

BH

AV

B

L3

α1

AH

h

L1 G1

L2

α2

G2

α3 F2

F1 a1

a2

a3

L

Slika 4.9. Dakle, u ovom problemu postoji ukupno sedam nepoznatih: AV, AH, BV, BH, α1, α2 i α3. Dvije jedna~ine se mogu dobivaju iz zadatih polo`aja nepokretnih oslonaca: L1cosα1+L2cosα2+L3cosα3=L

i

L1sinα1+L2sinα2=L3sinα3+h

Mogu}e je postaviti ukupno pet nezavisnih jedna~ina ravnote`e po silama na kompletnom sistemu i tako dobiti sistem od sedam nelinearnih jedna~ina sa sedam nepoznatih: = 0 → BH ⋅ h − BV ⋅ L + F2 ⋅ (L1 ⋅ cos α1 + L2 ⋅ cos α 2 ) + F1 ⋅ L1 cos α1 = 0

∑M

A

∑M

L G1

= 0 → AH ⋅ L1 ⋅ sin α1 − AV ⋅L1 ⋅ cos α1 = 0

∑M

D G2

= 0 → BH ⋅ L3 ⋅ sin α 3 − BV ⋅L3 ⋅ cos α 3 = 0

∑Y = 0 → A

V

∑X =0→ A

H

+ BV − F1 − F2 = 0 − BH = 0

Ovakvi sistemi se rje{avaju nekom od numeri~kih metoda.

25

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

Lan~anica je materijalna pri~vr{}ena na krajevima za nepokretne oslonce. Da bi se polo`aj svake ta~ke dobio samo iz jedna~ine ravnote`e, potrebno je pretpostaviti da je nit aksijalno kruta, tj. da joj je du`ina konstantna. Diferencijalna jedna~ina ravnote`e se izvodi na deformisanom infitezimalnom dijelu niti u globalnom koordinatnom sistemu.

N dY

H

V

pYdX pXdY

ds

H+dH

dX dα

H=Ncosφ V=Nsinφ V dY = tan ϕ = H dX

N+dN V+dV

Uz pretpostavku da je cosdα = 1 i uz zanemarenje infitezimalnih veli~ina vi{eg reda, imamo:

∑ X = 0 → dH + p

X

dY = 0

(4.4)

∑ Y = 0 → dV + p dX = 0

(4.5)

Y

Za slu~aj da na lan~anicu djeluje samo vertikalno optere}enje imamo:

⎛ dY ⎞ p X = 0 → H = const. ⇒ dV = d ⎜ H ⎟ ⎝ dX ⎠ Uvr{tavanjem u jedna~inu (4.5) dobiva se diferencijalna jedna~ina aksijalno krute lan~anice optere}ene vertikalnim optere}enjem:

d 2Y pY + =0 dX 2 H

(4.6)

Rje{enje ove diferencijalne jedna~ine je:

Y=

1 H

∫ (∫ p dx )dx + C x + C Y

1

2

Konstante integracije se dobivaju iz koordinata oslona~kih ta~aka. Pri tome ostaje nepoznata sila H, koja se dobiva iz zadate du`ine lan~anice ili unaprijed zadate ta~ke kroz koju lan~anica prolazi.

4.4. Odre|ivanje presje~nih sila Nakon {to se odrede reakcije, oslona~ke veze se zamijene silama, tako da za svaki oblik nosa~a u su{tini imamo istu situaciju: linijski nosa~ optere}en vanjskim silama. Kako je ve} ranije re~eno, za prora~un presje~nih sila kod stati~ki odre|enih

26

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

nosa~a dovoljno je koristiti jedna~ine ravnote`e. Tri presje~ne sile u svakom presjeku se lako mogu izra~unati iz tri jedna~ine ravnote`e. Radi jednostavnijeg prora~una presje~nih sila i crtanja njihovih dijagrama obi~no se usvaja konvencija o predznaku presje~nih sila. U ovom predmetu }emo koristiti konvenciju prikazanu na slici 4.10.

M

T

T

M N

N Pozitivne presje~ne sile

Slika 4.10. Konvencija za presje~ne sile Jako je va`no naglasiti da se ova konvencija koristi samo kao pomo}no sredstvo za crtanje dijagrama presje~nih sila i da nema matematski karakter. To je vidljivo sa slike 4.10. gdje vektori koji djeluju u suprotnim smjerovima imaju isti predznak. Najbitnije je kod crtanja dijagrama presje~nih sila nacrtati dijagram momenata savijanja na onoj strani gdje su zategnuta vlakna uslijed djelovanja momenta. Kao pomo} mo`e poslu`iti pravilo da ”pozitivni” momenti zate`u donja vlakna, {to je vidljivo sa slike 4.10. Naravno, ovo pravilo nije mogu}e primijeniti kod vertikalnih {tapova. Pri crtanju dijagrama transverzalnih i normalnih sila nije bitno sa koje strane se crtaju dijagrami.

4.5. Indirektno optere}eni nosa~i U stvarnosti je svaki linijski element optere}en indirektno. Optere}enja djeluju uvijek na nekoj povr{ini i prenose se na linijske nosa~e na koje se ti povr{inski elementi oslanjaju. Posmatrajmo konstrukciju jednostavne hale prikazanu na slici 4.11.

Sekundarni nosa~i

Glavni nosa~i

Slika 4.11.

27

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

Povr{insko optere}enje (snijeg, vjetar, te`ina pokrova itd.) prvo primaju povr{inski elementi pokrova (lim, salonit itd.). Radi njihove male nosivosti oni se oslanjaju na linijske nosa~e koji su na relativno malom rastojanju (do 1.0 m). Ovi linijski nosa~i se nazivaju sekundarni nosa~i i oslanjaju se na glavne nosa~e. To zna~i da su u ovom slu~aju glavni nosa~i optere}eni koncentri~nim silama ~iji je intenzitet jednak reakcijama sekundarnih nosa~a. U literaturi se pod pojmom indirektno optere}en nosa~ podrazumijevaju ovako optere}eni nosa~i, tj. nosa~i koji optere}enje primaju preko sekundarnih nosa~a, koji se uvijek prostiru okomito na ravan glavnog nosa~a. Pri prora~unu indirektno optere}enih nosa~a potrebno je u prvom koraku izra~unati reakcije u sekundarnim nosa~ima, koje predstavljaju vanjske aktivne sile. Time se dobiva nosa~ optere}en koncentri~nim silama, koji se rje{ava na ranije opisan na~in. Po{to sada na nosa~ djeluju samo koncentri~ne sile, dijagram momenata je uvijek poligonalan. 4.6. Re{etkasti nosa~i Pod re{etkastim nosa~em se podrazumijeva sistem pravih {tapova koji su me|usobno povezani zglobovima. Pri rje{avanju re{etkastih nosa~a, uvode se dvije osnovne pretpostavke: {tapovi su pravi i povezani idealnim cilindri~nim zglobovima i optere}enje djeluje u ~vorovima re{etke. Obje pretpostavke predstavljaju idealizaciju stvarnog stanja. Naime, ~vorovi re{etke se konstrui{u naj~e{}e preko ~vornih limova, zavrtnjevima ili zavarivanjem, tako da rotacija {tapova nije potpuno slobodna. Vanjsko optere}enje se preko sekundarnih nosa~a prenosi u ~vorove re{etke, ali ipak du` {tapa djeluje optere}enje od sopstvene te`ine {tapa. Svrha uvedenih pretpostavki je ta da se pri analizi re{etkastih nosa~a ra~una samo sa aksijalnim silama u {tapovima. Iy navednih razloga u {tapovima se javljaju momenti savijanja, ali je njihova veli~ina zanemarljiva. Prilikom konstruisanja re{etke, bitno je voditi ra~una da ona bude nepomjerljiva. Naime, po{to su {tapovi zglobno vezani, osnovni kinematski stabilan element je trougao, tj. nije mogu}e promijeniti oblik trougla bez promjene du`ine njegovih stranica (kod ~etverougla je to mogu}e). Dakle, nepomjerljivost re{etke se posti`e tako da se ona konstrui{e iz niza trouglova u ravni. Bitno je naglasiti da se re{etkasti nosa~i u su{tini pona{aju isto kao puni nosa~i. Razlika je u tome {to re{etkasti nosa~i momenti savijanja primaju preko sprega unutra{njih sila u gornjem i donjem pojasu, a transverzalne sile preko {tapova ispune (vidi sliku 4.12.). Ukoliko djeluje gravitaciono optere}enje, donji pojas je uvijek zategnut, a gornji pritisnut.

q O

h U

U = −O =

qL2 8h

L

Slika 4.12. 28

Statika I

4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a

Sam prora~un stati~ki odre|enih re{etkastih nosa~a se, naravno, zasniva na uvjetima ravnote`e. Dakle, u prvom koraku se odre|uju reakcije oslonaca na potpuno isti na~in kao kod punih nosa~a. Napominje se da se i re{etkasti nosa~i mogu konstruisati kao proste grede, konzole, Gerber-ovi nosa~i, trozglobni nosa~i sa i bez zatege, itd. Kada se oslonci zamijene reaktivnim silama ra~unaju se aksijalne sile u {tapovima. Tokom razvoja teorije konstrukcija osmi{ljeno je vi{e metoda za prora~un raznih tipova nosa~a, pa tako i re{etkastih. Sve te metode se u osnovi dijele na grafi~ke i analiti~ke. Za prora~un sila u {tapovima re{etke kori{tene su dvije grafi~ke metode: Kremonin plan sila i Kulmanova metoda. Obzirom da se ove metode u praksi vi{e ne koriste ovdje se one ne}e detaljno obrazlagati. Kremonin plan sila se zasniva na ~injenici da je ~vor u ravnote`i, ako sve sile koje djeluju na njega tvore zatvoren poligon. Dakle, rezultantu poznatih sila je potrebno rastaviti na dva poznata pravca {tapova i iz gornjeg uslova izra~unati njihovu vrijednost. To zna~i da je analizu potrebno zapo~eti od ~vora gdje postoje dvije nepoznate sile, dakle od oslona~kog ~vora, i nastaviti je prema slijede}em ~voru gdje postoje dvije nepoznate sile u {tapovima. Kremoninim planom sila se dobivaju sile u svim {tapovima re{etke. Kulmanovom metodom je mogu}e dobiti sile u presjeku re{etke gdje su presje~ena tri {tapa. Metoda se zasniva na tome da se poznati vektor rastavlja na tri poznata pravca. Analiti~ki se sile u {tapovima re{etke mogu dobiti na dva na~ina. Prvi na~in je postavljanje jedna~ina ravnote`e svakog ~vora. Po{to se za ~vor mogu postaviti dvije nezavisne jedna~ine ravnote`e, potrebno je analizu zapo~eti od ~vora gdje se susti~u dva {tapa re{etke. Ovom metodom dobivaju se sile u svim {tapovima re{etke. Riter-ov metod su{tinski odgovara metodi prora~una presje~nih sila kod punih nosa~a. Re{etkasti nosa~ se presijeca na mjestu gdje `elimo sra~unati sile u {tapovima i postavljamo uvjet da je isje~eni dio nosa~a u ravnote`i. Po{to se mogu postaviti maksimalno tri nezavisne jedna~ine ravnote`e, nephodan uslov je da u presjeku nema vi{e od tri {tapa sa nepoznatim silama. Specifi~nost ove metode je da se biraju oni uslovi ravnote`e koji daju jedna~ine sa samo po jednom nepoznatom, odnosno za prora~un sile u jednom {tapu treba postaviti uvjet da je suma momenata oko ta~ke gdje se sijeku pravci druga dva {tapa jednaka nuli (slika 4.13).

2

O

h

1

D U

L

∑M = 0 →O ∑M = 0 →U ∑Y = 0 → D 2

1

Slika 4.13. 29

Statika I

Uticajne linije

5. UTICAJNE LINIJE 5.1. Pojam i primjena Prilikom prora~una konstrukcija sa velikim pokretnim optere}enjem javlja se jo{ jedna nepoznanica — koji polo`aj optere}enja izaziva maksimalan uticaj u nekom presjeku. Direktan pristup, koji bi se sastojao u tome da se pokretno optere}enje pomi~e du` nosa~a i da se za svaki polo`aj prora~una konstrukcija, o~igledno bi tra`o suvi{e vremena. Da bi se rije{io ovaj problem koriste se uticajne linije. Uticajna linija je linija koja pokazuje promjenu nekog uticaja u zavisnosti od polo`aja jedini~ne koncentri~ne sile. Pod pojmom jedini~na koncetri~na sila se podrazumijeva bezdimenzionalna sila, ~ija je vrijednost 1.0. Uticajne linije se mogu konstruisati za razli~ite uticaje: momente, transverzalne i normalne sile, reakcije, ugibe, nagibe, promjene rastojanja itd. Dakle, uticajna linija se crta za jedan uticaj pri djelovanje jedne jedini~ne sile koja djeluje u jednom pravcu (obi~no vertikalnom), ali u razli~itim polo`ajima. Na slici 5.1. je prikazana uticajna linija za momenat savijanja u presjeku A. Ordinata μ1 predstavlja vrijednost momenta u presjeku A kada sa sila nalazi u polo`aju 1.

A

1

"M1" μ1

Slika 5.1 Veoma je bitno uo~iti razliku izme|u uticajnih linija i dijagrama presje~nih sila. Dijagram presje~nih sila pokazuje vrijednosti presje~nih sila u svakom presjeku od datog optere}enja, a uticajna linija za presje~nu silu u nekom presjeku pokazuje vrijednosti presje~ne sile u tom presjeku za razne polo`aje jedini~ne sile. Vrijednosti presje~nih sila od djelovanja datog pokretnog optere}enja u pojedinim presjecima se mogu dobiti integracijom uticajnih linija. Osim toga, uticajna linija pokazuje gdje je potrebno postaviti pokretno optere}enje da bi se dobio maksimalni uticaj za koji je uticajna linija nacrtana. Ukoliko postoji vi{e slu~ajeva stalnog ili pokretnog optere}enja, pomo}u jedne uticajne linije se dobiva odre|eni uticaj bez prora~una ostalih uticaja. Naprimjer, ako nas interesuje vrijednost momenta u presjeku A na slici 5.1. mogu}e je pomo}u prikazane uticajne linije izra~unati tu vrijednost bez ra~unanja reakcija. 5.2. Konstrukcija uticajnih linija Uticajne linije se konstrui{u na osnovu jedna~ina ravnote`e. Po{to je zadat uticaj za koji se tra`i uticajna linija, jedina promjenjiva je ordinata kojom se definira polo`aj jedini~ne sile. Na~in konstrukcije }e se pokazati na slijede}em primjeru.

30

Statika I

Uticajne linije

Primjer 1: Za datu prostu gredu na}i uticajne linije za reakcije i presje~ne sile u presjeku 1.

x

1.0 1

a

AV

b

BV

L

Slika 5.2. Dakle, zadatak je odrediti reakcije i presje~ne sile u presjeku 1 od djelovanja jedini~ne sile, koja se nalazi na udaljenosti x od oslonca A. Uticajna linija za reakciju AV : Postavljamo uvjet ravnote`e:

∑M

B

= 0 ⇒ AV ⋅ L − 1.0 ⋅ (L − x ) = 0

AV = 1 −

x , L

x ∈ [0, L ]

Dakle, ako se sila nalazi u osloncu A (x=0), tada je AV=1 i to predstavlja vrijednost ordinate uticajne linije u ta~ki A. Ako se sila nalazi u ta~ki B (x=L), tada je AV=0. Po{to je iz jedna~ine uticajne linije vidljivo da se radi o pravcu, uticajna linija se dobiva jednostavnim spajanjem ove dvije ta~ke, {to je pokazano na slici 5.3.

1 "AV"

1.0

"BV"

1.0 ab L

"M1" − "T1"

b L a L

Slika 5.3. Uticajna linija za reakciju BV : Za x=0: BV=0,

∑M

A

= 0 ⇒BV ⋅ L − 1.0 ⋅ x = 0 ⇒ BV =

x L

za x=L: BV=1.

31

Statika I

Uticajne linije

Za prora~un presje~nih sila u presjeku 1 postavlja se uslov da su presje~ne sile u ravnote`i sa lijevim ili desnim dijelom nosa~a. Po{to je sila pokretna, ona se mo`e na}i i lijevo i desno od presjeka A, {to zna~i da postoje dvije razli~ite jedna~ine za uticajne linije za presje~ne sile: jedna va`i ako se jedini~na sila nalazi desno od presjeka 1, a druga ako je sila lijevo. Prvi slu~aj, sila lijevo od presjeka 1, A ↓ 1, x ∈ [0, a ] . Po{to sa desne strane presjeka postoji samo jedna sila - BV, postavi}emo uslov ravnote`e:

∑M ∑Y

D 1

= 0 ⇒ M 1 = BV ⋅ b =

= 0 ⇒ T1 = BV =

D

1

x , L

x ⋅ b, L

x = 0 → μ A = 0; x = a → μ1 =

x = 0 → μ A = 0; x = a → μ1 =

a ⋅b L

a L

Drugi slu~aj, sila desno od presjeka 1, 1 ↓ B, x ∈ [a, L ] .

∑M

x⎞ ⎛ = 0 ⇒ M 1 = AV ⋅ a = ⎜1 − ⎟ ⋅ a, ⎝ L⎠

L 1

∑Y

L 1

x⎞ ⎛ = 0 ⇒ T1 = − AV = −⎜1 − ⎟, ⎝ L⎠

x = a → μ1 =

x = a → μ1 = −

a ⋅b ; x = L → μB = 0 L

b ; x = L → μB = 0 L

Dobiveni pravci su prikazani na slici 5.3. kao uticajne linije za M1 i T1. Naravno, uticajne linije za horizontalnu reakciju u osloncu A i normalnu silu u presjeku 1 su jednake nuli. Vidljivo je da su sve uticajne linije izvedene u op{tem obliku i da va`e za svaku prostu gredu i za svaki presjek. Primjer 2: Za datu gredu sa prepustom na}i uticajne linije za presje~ne sile u presjecima 1 i 2.

x

1.0 C 1

a

AV

b

BV B

c

L

Slika 5.3. Za presjek 1 su jedna~ine iste, izuzev {to u drugom slu~aju jedna~ina va`i i kad se sila nalazi na prepustu.

A ↓ 1, x ∈ [0, a ]

∑M ∑Y

1

D 1

D

= 0 ⇒ M 1 = BV ⋅ b =

= 0 ⇒ T1 = BV =

x , L

x ⋅ b, L

x = 0 → μ A = 0; x = a → μ1 =

x = 0 → μ A = 0; x = a → μ1 =

a ⋅b L

a L

1 ↓ C , x ∈ [a, L + c] .

32

Statika I

Uticajne linije

x⎞ a ⋅b a⋅c ⎛ = 0 ⇒ M 1 = AV ⋅ a = ⎜1 − ⎟ ⋅ a, x = a → μ1 = ; x = L + c → μC = − L L ⎝ L⎠ x⎞ b c ⎛ ∑ Y1L = 0 ⇒ T1 = − AV = −⎜⎝1 − L ⎟⎠, x = a → μ1 = − L ; x = L + c → μ B = L

∑M

L 1

Presjek 2: Kada presije~emo nosa~ u presjeku 2 i posmatramo ravnote`u desnog dijela nosa~a, jasno je da su presje~ne sile u presjeku 2 jednake nuli kada se jedini~na sila nalazi lijevo od presjeka, tj. kada se sila nalazi izme|u oslonaca. Kada se sila nalazi desno od presjeka 2, posmatra}emo opet ravnote`u desnog dijela nosa~a na kojem djeluje samo jedini~na sila. Ako udaljenost sile od presjeka 2 ozna~imo sa x’ imamo:

∑M ∑Y

D 2

D 2

= 0 ⇒ M 2 = −1.0 ⋅ x′; x′ ∈ [0, c ],

= 0 ⇒ T2 = −1.0,

x′ = 0 → μ 2 = 0; x′ = c → μC = −c

μ 2 = μC = −1.0 2 1

"M1" − "T1"

ab L

−

ac L

a L b L

"M2"

c L −c

-1.0

"T2"

Slika 5.4 Posmatraju}i uticajnu liniju za momenat M1, mo`emo zaklju~iti da optere}enje na prepustu smanjuje momenat u polju. To zna~i da se pokretno optere}enje ne smije staviti na prepust, ukoliko tra`imo mjerodavni momenat za dimenzioniranje presjeka u polju. 5.2. Integracija uticajnih linija Pomo}u uticajnih linija je mogu}e dobiti vrijednosti uticaja od bilo kakvog optere}enja mno`enjem stvarnog optere}enja sa ordinatama uticajnih linija. Ovaj postupak se naziva integracija uticajnih linija. U nastavku }e se izvesti izrazi za integraciju uticajnih linija uslijed djelovanja osnovnih optere}enja koja mogu djelovati na linijski nosa~.

33

Statika I

Uticajne linije

Koncentri~na sila

P Po{to je po definiciji μ1 vrijednost uticaja od sile ~ija je vrijednost 1.0, jasno je da }e vrijednost istog tog uticaja od sile P biti jednak:

μ1

Z = P ⋅ μ1

Kontinuirano optere}enje

q a

b

b

a

a

Z = ∫ q ⋅ μ (x )dx = q ⋅ ∫ μ ( x )dx = q ⋅ A b

A

gdje je A povr{ina koju zatvara uticajna linija ispod optere}enja.

Linearno promjenjivo optere}enje

q1

qT q2 xT

A

b

b

Z = q1 A +

q2 − q1 ⋅ xT ⋅ A = qT ⋅ A b−a

q − q1 ⎞ ⎛ Z = ∫ q( x ) ⋅ μ ( x )dx = ∫ ⎜ q1 + 2 x ⎟ μ ( x )dx b−a ⎠ a a⎝

gdje je A povr{ina koju zatvara uticajna linija ispod optere}enja, a qT vrijednost optere}enja iznad te`i{ta figure oivi~ene uticajnom linijom i ordinatama na krajevima optere}enja. Koncentri~ni momenat

P

M

Ako momenat rastavimo na spreg sila imamo:

P μ2

μ1 α d

Z = P ⋅ μ1 − P ⋅ μ 2 =

M (μ1 − μ 2 ) = M ⋅ tan α d

Predznak uticaja se odre|uje na osnovu odnosa ordinata μ1 i μ2.

5.3. Maksimalni uticaji od optere}enja Razvojem softverskih paketa za analizu konstrukcija, prora~un mjerodavnih uticaja pomo}u uticajnih linija sve vi{e gubi svoju prakti~nu vrijednost. Me|utim, jako je bitno poznavati oblike uticajnih linija za nosa~e koji su optere}eni znatnim pokretnim optere}enjem, jer se jedino tako mo`e znati gdje je potrebno staviti optere}enje da bi se dobili mjerodavni uticaji za dimenzioniranje.

34

Statika I

Uticajne linije

Ukoliko `elimo dobiti maksimalni uticaj od pokretnog kontinuiranog optere}enja nedefinirane du`ine, jasno je da ga treba postaviti na sve dijelove nosa~a gdje je uticajna linija pozitivna. Ukoliko se radi o kontinuiranom optere}enju odre|ene du`ine, tada se optere}enje postavlja preko maksimalne vrijednosti, tako da ordinate uticajne linije na krajevima budu jednake (vidi sliku 5.5). U tom slu~aju povr{ina ispod optere}enja ima maksimalnu vrijednost.

q μ2

μ1

μ1=μ2

Ukoliko optere}enje djeluje u vidu koncentrisanih sila, potrebno je silu staviti iznad maksimalne vrijednosti uticajne linije. U slu~aju da na nosa~ djeluje vi{e koncentrisanih sila istovremeno sa definisanom razdaljinom (npr. osovine vozila) tada se polo`aj optere}enja koje daje maksimalni uticaj odre|uje prema kriteriju koji je opisan u nastavku. a b

F1 F2 F3 F4

μmax d Jedna od sila se postavlja iznad maksimalne ordinate i provjerava se da li su zadovoljene nejedna~ine: RL R RD ≤ ≤ a d b

i

RL R RD ≥ ≥ a d b

(5.1)

gdje su: a - odstojanje od krajnje lijeve sile do sile koja se nalazi iznad maksimuma b - odstojanje od krajnje desne sile do sile koja se nalazi iznad maksimuma

d - odstojanje od krajnje lijeve do krajnje desne sile R — rezultanta svih sila RL — rezultanta sila koje djeluju lijevo od presjeka RD — rezultanta sila koje djeluju desno od maksimuma, uklju~uju}i i silu koja djeluje iznad maksimuma

RL - rezultanta sila koje djeluju lijevo od maksimuma, uklju~uju}i i silu koja djeluje iznad maksimuma RD - rezultanta sila koje djeluju desno od maksimuma Ukoliko su sve nejedna~ine (5.1) zadovoljene kontrolisani polo`aj daje maksimalnu vrijednost uticaja, koji se lako ra~una integracijom uticajne linije.

35

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

6. PRORA^UN POMJERANJA Kako je naprijed re~eno, prora~un pomjeranja kod stati~ki odre|enih nosa~a se vr{i nakon odre|ivanja presje~nih sila, koje je mogu}e odrediti bez prora~una pomjeranja. Pri prora~unu pomjeranja na linijskim nosa~ima koriste se geometrijske i konstitutivne jedna~ine. Koriste}i pretpostavke koje se koriste u teoriji {tapa i koje su navedene u tre}em poglavlju, u nastavku }e se izvesti geometrijske i konstitutivne jedna~ine za {tap. 6.1. Geometrijske ili kinematske jedna~ine Ovim jedna~inama se uspostavlja geometrijska veza izme|u pomjeranja i deformacija i one ne zavise niti od optere}enja niti od vrste materijala od kojeg je {tap napravljen. Drugim rije~ima, ove jedna~ine se dobivaju samo geometrijskim razmatranjima. Zahvaljuju}i Bernoulli-jevoj hipotezi o ravnim presjecima, pomjeranja svih ta~aka u bilo kojem popre~nom presjeku se mogu definirati preko pomjeranja i uglova zaokreta osovine {tapa. Ukoliko se {tap i optere}enje nalaze u ravni, pomjeranje bilo koje ta~ke {tapa se mo`e definirati preko dva pomjeranja i ugla zaokreta oko osovine koja je okomita na ravan {tapa. U slu~aju da je {tap optere}en optere}enjem izvan ravni {tapa, tada se, u op}em slu~aju, za definiranje pomjeranja svih ta~aka koriste tri pomjeranja i tri ugla zaokreta oko tri osovine koordinatnog sistema. Iz Otpornosti materijala je poznato da je ova hipoteza ta~na samo za prizmati~ne {tapove optere}ene ~istim savijanjem. Ukoliko postoje i transverzalne sile dolazi do vitoperenja presjeka i presjeci vi{e nisu ravni, ali ovaj uticaj na deformaciju {tapa je mali i mo`e se zanemariti. GLOBALNI I LOKALNI KOORDINATNI SISTEM Pri analizi nekog linijskog konstruktivnog sistema potrebno je odrediti pomjeranja i napone u svim ta~kama sistema. Da bi se pojednostavio prora~un, svaka metoda podrazumijeva da se sistem diskretizira na kona~an broj {tapova, koji se me|usobno povezani u ~vorovima. Na jednom sistemu se mo`e definirati proizvoljan broj ~vorova i {tapova, ali se obi~no ~vorovi definiraju na mjestima gdje se o~ekuje diskontinuitet funkcije pomjeranja ili unutra{njih sila. Jasno je da se polo`aj ~vorova, a time i {tapova, u prostoru mora definirati u jedinstvenom koordinatnom sistemu, koji se naziva globalni koordinatni sistem. Pomjeranja ~vorova konstrukcije se, tako|er, ra~unaju u globalnom koordinatnom sistemu. S druge strane, vidjeli smo da se deformacije, sile i naponi u {tapovima ra~unaju se u lokalnom koordinatnom sistemu svakog {tapa. Lokalni koordinatni sistem je ustvari prirodni koordinatni sistem, ~ije je ishodi{te uvijek u promatranoj ta~ci, a jedna osovina u pravcu tangente na {tap. To zna~i da zakrivljeni {tapovi imaju druga~iji (zarotiran) koordinatni sistem u svakoj ta~ci {tapa. Da bi se sprovela kompletna opisana procedura prora~una, potrebno je uspostaviti vezu izme|u globalnog i lokalnog koordinatnog sistema. Obzirom da se radi o dva pravougla koordinatna sistema, koji su zarotirani jedan u odnosu na drugi, problem se svodi na to da se vektor pomjeranja (ili bilo koji drugi vektor) dat u globalnom koordinatnom sistemu prika`e u lokalnom i obrnuto.

36

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

Posmatrajmo neki vektor u ravni prikazan na slici 6.1. Ozna~imo ga sa u , a sa u X i uY njegove projekcije u globalnom koordinatnom sistemu. Sa u e , odnosno u x i u y }emo ozna~iti vektor u lokalnom koordinatnom sistemu. Neka je lokalni koordinatni sistem zarotiran za ugao α u odnosu na globalni, od ose X prema osi Y, tj. u pravcu kazaljke na satu.

Y y

ux uy

uY u

uX

α

x X

Slika 6.1. Veza izme|u globalnog i lokalnog koordinatnog sistema Sa slike 6.1. je vidljivo da je:

u X = −u y sin α + u x cos α ⎫⎪ ⎧u X ⎫ ⎡cos α ⎬⇒⎨ ⎬= uY = u y cos α + u x sin α ⎪⎭ ⎩ uY ⎭ ⎢⎣ sin α

− sin α ⎤ ⎧u x ⎫ ⋅ ⎨ ⎬ ⇒ u = T ⋅ ue cos α ⎥⎦ ⎩u y ⎭

(6.1)

Iz jedna~ine (6.1) lako se mo`e dobiti obrnuta veza :

u x = u X cos α + uY sin α ⎫⎪ ⎧u x ⎫ ⎡ cos α ⎬⇒ ⎨ ⎬= u y = uY cos α − u X sin α ⎪⎭ ⎩u y ⎭ ⎣⎢ − sin α

sin α ⎤ ⎧u X ⎫ ⋅ ⎨ ⎬ ⇒ ue = T−1 ⋅ u ⎥ cos α ⎦ ⎩ uY ⎭

(6.2)

Iz jedna~ina (6.1) i (6.2) vidljivo je da se komponente vektora u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu povezane preko tzv. matrice transformacija, koja je ortogonalna (inverzna matrica je jednaka transponovanoj), tj. T −1 = TT

(6.3)

37

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

DEFORMACIJE I POMJERANJA U GLOBALNOM KOORDINATNOM SISTEMU

dX+duX N' ds* dY+duY

uY+duY N

M'

uX+duX uY

uX

dY

ds M

X dX

Slika 6.2. Deformacija osovine {tapa Na slici 6.2. je prikazan infinitezimalni dio deformirane osi {tapa MN ~ija je prvobitna du`ina iznosila ds. Po{to se radi o infinitezimalnoj du`ini luka, ova du`ina se smatra jednakom du`ini tetive MN , koja sa X osovinom globalnog koordinatnog sistema zaklapa ugao α . Projekcije tetive na osi globalnog koordinatnog sistema su dX i dY. Uslijed djelovanja vanjskih uticaja, osovina {tapa se deformirala i pomjerila u ' N ' . Vektor pomjeranja ta~ke M ozna~imo sa u , a ta~ke N sa u + du , pri polo`aj M ~emu }emo oba vektora prikazati ⎧u ⎫ ⎧u + du X ⎫ u = ⎨ X ⎬ i u + du = ⎨ X ⎬. ⎩ uY ⎭ ⎩ uY + duY ⎭

u

globalnom

koordinatnom

sistemu:

Deformirana du`ina posmatranog luka sada iznosi: M ' N ' = ds* = ds + Δds = ds + ε ds = (1 + ε ) ds gdje je ε podu`na deformacija ili dilatacija, odnosno promjena du`ine luka. Recimo da novi polo`aj tetive zaklapa ugao α + ϕ u odnosu na X osovinu globalnog koordinatnog sistema. Sa slike 6.2. vidljivo je da mo`emo napisati slijede}u vektorsku jedna~inu: ds + ( u + du ) = u + ds*

(6.4)

Projektuju}i ovu jedna~inu na X i Y osu dobivamo:

dX + u X + du X = u X + (1 + ε ) ds cos (α + ϕ ) dY + uY + duY = uY + (1 + ε ) ds sin (α + ϕ )

(6.5)

38

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

odnosno:

dX + du X = (1 + ε ) ds cos (α + ϕ ) dY + duY = (1 + ε ) ds sin (α + ϕ )

(6.6)

U jedna~ini (6.6) u X i uY su pomjeranja, a ε je ~isto deformaciona veli~ina. Ugao ϕ nije ~isto deformaciona veli~ina, jer se mo`e pojaviti i tamo gdje se element ne deformi{e. Uvo|enjem pretpostavke o malim deformacijama, koja je opravdana za mnoge probleme u teoriji konstrukcija, jedna~ina (6.6) se mo`e pojednostaviti. Naime, ukoliko pretpostavimo: ε → 0; ϕ → 0 ⇒ cos ϕ = 1; sin ϕ = ϕ , imamo:

cos (α + ϕ ) = cos α − ϕ sin α sin (α + ϕ ) = sin α + ϕ cos α Ubacivanjem ovih jedna~ina u jedna~inu (6.6) dobivamo:

dX + du X = (1 + ε ) ds ( cos α + ϕ sin α ) = dX − ϕ ds sin α + ε ds ( cos α − ϕ sin α ) dY + duY = (1 + ε ) ds ( sin α + ϕ cos α ) = dY + ϕ ds cos α + ε ds ( sin α + ϕ cos α ) Zanemaruju}i proizvode infinitezimalnih veli~ina vi{eg reda

( εϕ ds → 0 ) ,

iz

gornje jedna~ine dobivamo:

du X = ε ds cos α − ϕ ds sin α duY = ε ds sin α + ϕ ds cos α

(6.7)

odnosno: ⎧ du X ⎫ ⎡ cos α ⎨ ⎬=⎢ ⎩ duY ⎭ ⎣ sin α

− sin α ⎤ ⎧ ε ds ⎫ ⎧ε ⎫ ⎨ ⎬ ⇒ du = T ⎨ ⎬ ds ⎥ cos α ⎦ ⎩ϕ ds ⎭ ⎩ϕ ⎭

(6.8)

Uvode}i da je dX = ds cos α i dY = ds sin α jedna~ina (2.23) se mo`e napisati kao:

du X = ε dX − ϕ dY duY = ε dY + ϕ dX

(6.9)

Jedna~inom (6.8) je data veza izme|u pomjeranja i deformacija osovine {tapa. Ova veza je predstavljena linearnim diferencijalnim jedna~inama. Podsje}amo da bi ove jedna~ine bile nelinearne da se nije koristila pretpostavka o malim deformacijama. Ukoliko se radi o pravom {tapu ~ija se osovina poklapa sa osom X ( dY = 0 ili α = 0 ) jedna~ine (6.9) postaju:

du X dX du duY = ϕ dX ⇒ ϕ = Y dY du X = ε dX ⇒ ε =

(6.10)

39

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

DEFORMACIJE I POMJERANJA U LOKALNOM KOORDINATNOM SISTEMU Veza izme|u deformacija i pomjeranja se mo`e prikazati i u lokalnom koordinatnom sistemu. Ukoliko se radi o pravom {tapu uspostavljanje ove veze je jednostavno, jer se pomjeranja i po~etne i krajnje ta~ke infinitezimalnog luka prikazuju u istom lokalnom koordinatnom sistemu, koji je zarotiran za ugao α , gdje je α ugao koji {tap zaklapa sa X osovinom globalnog koordinatnog sistema. U tom slu~aju }emo iskoristiti jedna~ine (6.1) i (6.8):

⎧ε ⎫ ⎧ε ⎫ du = Tdu e = T⎨ ⎬ds ⇒ du e = ⎨ ⎬ds ⎩ϕ ⎭ ⎩ϕ ⎭

du x = εds;

odnosno:

du y = ϕds

(6.11)

Ukoliko se radi o zakrivljenom {tapu izvo|enje ove veze je utoliko komplikovanije, jer je kod zakrivljene osovine {tapa lokalni koordinatni sistem na kraju elementarnog luka zarotiran u odnosu na koordinatni sistem u po~etnoj ta~ci. Problem je u tome {to se pomjeranja u po~etnoj i krajnjoj ta~ci daju u razli~itim koordinatnim sistemima. Na slici 6.3. je prikazan isti elementarni luk kao na slici 6.2, s tim da su pomjeranja prikazana u prirodnom koordinatnom sistemu. Po{to je {tap zakrivljen koordinatni sistem u krajnjoj ta~ci je zarotiran za ugao dα u odnosu na onaj u po~etnoj ta~ci M. Dakle, pomjeranje ta~ke M je dato u koordinatnom sistemu xMy i ozna~it }emo ga sa u e , a pomjeranje ta~ke N u koordinatnom sistemu xNy : ⎧u x ⎫ u = u = ⎨ ⎬; ⎩u y ⎭ e

⎧ u x + du x ⎫ u + du = ⎨ ⎬ ⎩u y + du y ⎭ e

N

e

(6.12)

U skladu sa jedna~inom (6.1), uzimaju}i u obzir da je sistem xNy zarotiran za dα u odnosu na xMy, mo`emo izraziti pomjeranje ta~ke N u koordinatnom sistemu xMy. M

⎧ u x + du x ⎫ ⎡cos dα ⎨ ⎬ =⎢ ⎣ sin dα ⎩u y + du y ⎭

− sin dα ⎤ ⎧ u x + du x ⎫ ⋅⎨ ⎬ cos dα ⎥⎦ ⎩u y + du y ⎭

(6.13)

Ponovo }emo napisati vektorsku jedna~inu (6.4): ds + ( u + du ) = u + ds*

(6.14)

ali }emo je ovaj put projektovati na osovine koordinatnog sistem xMy. Sa slike 6.3. je vidljivo da se vektori u tom sistemu mogu prikazati kao: dα ⎫ ⎧ ⎪⎪cos 2 ⎪⎪ ds = ⎨ ⎬ ds ; ⎪ sin dα ⎪ ⎩⎪ 2 ⎭⎪

⎪⎧cos (ϕ + dα 2 ) ⎪⎫ ds* = ⎨ ⎬ (1 + ε ) ds ⎩⎪ sin (ϕ + dα 2 ) ⎪⎭

40

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

dα+dϕ dα

y

N' uy+duy ds* u+du ux

M'

ux+dux N

uy

x

ds

u dα/2

ϕ+dα/2 M

Slika 6.3. Deformacija osovine {tapa u prirodnom koordinatnom sistemu Vektori pomjeranja krajeva elementarnog luka su dati jedna~inama (6.12) i (6.13). Sada vektorsku jedna~inu (6.14) mo`emo napisati u obliku: dα ⎫ ⎧ ⎪⎪cos 2 ⎪⎪ ⎡cos dα ⎨ ⎬ ds + ⎢ ⎣ sin dα ⎪ sin dα ⎪ ⎩⎪ 2 ⎭⎪

− sin dα ⎤ ⎧ u x + du x ⎫ ⎧u x ⎫ ⎪⎧cos (ϕ + dα / 2 ) ⎫⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬+⎨ ⎬ (1 + ε ) ds cos dα ⎥⎦ ⎩u y + du y ⎭ ⎩u y ⎭ ⎩⎪ sin (ϕ + dα / 2 ) ⎭⎪

Po{to je luk infinitezimalne du`ine ds, mo`emo uvesti slijede}e pretpostavke:

dα → 0; cos dα ≅ 1; sin dα ≅ dα ; cos

dα ≅1 2

te uz zanemarivanje proizvoda vi{eg reda: dα ds; dux dα ;

du y dα dobivamo:

41

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

⎧ ds + du x − u y dα ⎫ ⎧cos ϕ ⎫ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ (1 + ε ) ds ⎩ du y + u x dα ⎭ ⎩ sin ϕ ⎭

Iz pretpostavke o malim deformacijama imamo: ϕ → 0; pa jedna~ina (6.15) postaje:

(6.15) cos ϕ = 1;

⎧ ds + du x − u y dα ⎫ ⎧ 1 + ε ⎫ ⎬ ds ⎨ ⎬=⎨ du u d + α + ε ϕ 1 ( ) y x ⎭ ⎩ ⎭ ⎩

sin ϕ = ϕ ,

(6.16)

nakon dijeljenja sa ds, jedna~inu (6.16) }emo napisati kao dvije algebarske: du x dα − uy ds ds du dα ϕ + εϕ = y + u x ds ds

1+ ε = 1+

(6.17)

Sre|ivanjem gornjih jedna~ina uz εϕ ≅ 0 i ds = Rdα , gdje je R radijus zakrivljenosti nedeformirane osi {tapa, dobivamo kona~no: du x u y − ds R du u ϕ= y+ x ds R

ε=

(6.18)

Naravno, jedna~ine (6.18) postaju identi~ne jedna~inama (6.11) ukoliko se radi o pravom {tapu ( R → ∞ ) . DEFORMACIJA SAVIJANJA Jedna~inama (6.10), (6.11) i (6.18) data je veza izme|u pomjeranja i veli~ina ε i ϕ . Ranije je re~eno da je ε ~isto deformaciona veli~ina, dok ugao ϕ ne mora biti deformaciona veli~ina, jer se mo`e javiti kao kinematska rotacija. Me|utim, pomo}u ugla ϕ se mo`e izraziti deformaciona veli~ina koja karakteri{e savijanje {tapa. Posmatrajmo {tap izlo`en ~istom savijanju prikazan na slici 6.4. Nakon deformacije se mo`e napisati izraz za du`inu deformisanog elementarnog luka: ds* = ρ ( dα + dϕ ) = (1 + ε ) ds

(6.19)

gdje je ρ - polupre~nik zakrivljenosti deformisane osi {tapa, ds — du`ina nedeformisane osi {tapa, dφ — promjena centralnog ugla deformisane osi {tapa, ε — deformacija osovine {tapa. Promjena zakrivljenosti {tapa, kao deformaciona veli~ina koja odgovara momentu savijanja, mo`e se lako dobiti iz jedna~ine (6.19) uz pretpostavku o malim deformacijama ( 1 + ε ≅ 1 ):

κ=

1

ρ

−

1 ⎛ dα dϕ ⎞ 1 1 dϕ 1 dϕ =⎜ + − = ⎟− = + R ⎝ ds ds ⎠ R R ds R ds

(6.20)

42

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

Mogu}e je na}i u literaturi da je predznak zakrivljenosti negativan, jer je analiza ra|ena u lijevom lokalnom koordinatnom sistemu (y osa prema dolje). Ukoliko u jedna~inu (6.20) ubacimo jedna~ine (6.18) dobivamo kona~nu relaciju izme|u deformacija i pomjeranja:

du x u y − ds R 2 2 ⎛d u du ⎞ d u y d 2α dR dα du x ux + R x ⎟ = κ = ⎜⎜ 2y + + 2 ux + 2 ⎟ ds ds ⎠ ds ds ds ds ⎝ ds

ε=

(6.21)

Odnosno za prav {tap:

d 2u y du x ε= ; κ= ds ds 2

(6.22)

DEFORMACIJE TA^AKA POPRE^NOG PRESJEKA Gornje jedna~ine su izvedene za osovinu {tapa uz pretpostavku da su dimenzije popre~nog presjeka zanemarljive u odnosu na du`inu {tapa i da vrijedi Bernoulli-jeva hipoteza o ravnim presjecima. Koriste}i ovu hipotezu mogu}e je izra~unati pomjeranja i deformacije svih ta~aka popre~nog presjeka. Na slici 6.4 je prikazan nedeformisani i deformisani elementarni luk sa jednim vlaknom koje }emo posmatrati i koje se nalazi na proizvoljnoj udaljenosti y od neutralne osi.

dα+dϕ

dα

ρ

R

y

h

y

ds

h (1+ε)ds

ds(y)

ds* ( y ) = ⎡⎣1 + ε ( y ) ⎤⎦ ds ( y )

ds*(y)

Slika 6.4. Deformacija {tapa

43

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

Na nedeformisanom elementu vrijedi: ds = Rdα ;

y⎞ ⎛ ds ( y ) = ( R − y ) dα = ⎜1 − ⎟ ds ⎝ R⎠

Na elementu nakon deformacije imamo:

(1 + ε ) ds = ρ ( dα + dϕ ) ⎡⎣1 + ε ( y ) ⎤⎦ ds ( y ) = ( ρ − y )( dα + dϕ ) = (1 + ε ) ds − ydα − ydϕ ⇒ y⎞ ⎛ ε ( y ) ds ( y ) = ε ( y ) ⎜1 − ⎟ ds = ε ds − ydϕ ⇒ ⎝ R⎠ 1 ⎛ dϕ ⎞ ε − κ y ε ( y) = ε−y ⎜ ⎟= y⎝ ds ⎠ 1− y 1− R R

Za prav {tap: R → ∞; ε ( y ) = ε − y

dϕ ds

(6.23)

(6.24)

6.2. Konstitutivne jedna~ine Naprijed je re~eno da konstitutivne jedna~ine u problemima mehanike predstavljaju vezu izme|u napona i deformacija. Uzimaju}i u obzir definiciju {tapa, u teoriji {tapa se uspostavlja veza izme|u presje~nih sila i deformacija. Polazimo od jedna~ine (1.2) uz pretpostavku da su po~etne deformacije posljedica temperaturnih promjena. Iz Otpornost materijala je poznato da se jedna~ina (1.2) u slu~aju monoaksijalnog naprezanja svodi na izraz za napon:

Odnosno:

σ = E ⋅ε

(6.25)

σ (y) = E ⋅ε (y)

(6.26)

Uvr{tavaju}i jedna~ine (6.24) u (6.26) dobiva se:

σ ( y ) = Eε − Ey

dϕ ds

(6.27)

Ukoliko jedna~inu (6.27) uvrstimo u jedna~ine (2.1) i (2.4), dobivamo konstitutivne jedna~ine za {tap, kojima su povezane presje~ne sile i deformacije: N x = ∫ σ ( y )dA = Eε ∫ dA − E A

A

dϕ ds

∫ ydA A

M z = − ∫ yσ ( y )dA = − Eε ∫ ydA + E A

A

dϕ y 2 dA ∫ ds A

Integrali u gornjim jedna~inama predstavljaju geometrijske karakteristike popre~nog presjeka: A = ∫ dA - povr{ina popre~nog presjeka A

44

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

S = ∫ ydA = 0 - stati~ki moment povr{ine popre~nog presjeka oko glavne ose z A

I = ∫ y 2 dA - moment inercije povr{ine popre~nog presjeka oko glavne ose z A

M z = EI

N x = EAε

(6.28)

d 2u y dϕ = EIκ = EI ds ds

(6.29)

Odnosno:

ε=

du N = ds EA

(6.30)

κ=

M EI

(6.31)

Osim aksijalnih deformacija i deformacija savijanja, mo`e se definirati veza izme|u smi~u}ih deformacija i smi~u}ih sila. Poznato je da je veza izme|u smi~u}e deformacije i transverzalne sile data jedna~inom:

γ=

τ G

=

TS bGI

(6.32)

Dijagram napona po visini popre~nog presjeka je krivolinijski sa maksimalnom vrijedno{}u u osi {tapa i nulama u krajnjim vlaknima. Prisustvo smi~u}ih deformacija zna~i da popre~ni presjek vi{e nije okomit na deformisanu os {tapa, a promjena deformacija po visini zna~i da se presjek i vitoperi (vidi sliku 6.5a), {to zna~i da obje pretpostavke Bernoulli-jeve hipoteze ne va`e. Da bi se uspostavila pribli`na veza izme|u smi~u}ih napona i deformacija uvodi se pribli`na teorija smicanja, kojom se pretpostavlja da su smi~u}i naponi konstantni po visini popre~nog presjeka. To zna~i da presjeci ostaju ravni, ali ne i okomiti na os {tapa (vidi sliku 6.5b).

b)

a)

γ ds

ds

Slika 6.5. Smi~u}a deformacija {tapa Ozna~imo ugao smicanja popre~nog presjeka sa γ. Jasno, ovaj ugao se mo`e odrediti iz vi{e razli~itih uvjeta, ali je uobi~ajeno koristiti uvjet da je rad napona smicanja na elementu {tapa na stvarnim deformacijama jednak radu na konstantnim

45

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

deformacijama. Rad smi~u}ih napona na stvarnim deformacijama je prema jedna~Ini (6.32) jednak:

A=

1 1 τ2 1 T2 A S2 1 T2 = = = τγ dAds ds dA ds dA k ds 2 V∫ 2 ∫L ∫A G 2 ∫L ∫A GA I 2 b 2 2 ∫L GA

gdje je k koeficijent koji zavisi isklju~ivo od oblika popre~nog presjeka: k =

(6.33)

A S2 dA . I 2 ∫A b 2

Rad napona smicanja na konstantnim deformacijama je:

A=

1 1 1 τγ dAds = ∫ ds ∫ γτ dA = ∫ γ Tds ∫ 2V 2L A 2L

(6.34)

Izjedna~avaju}i izraze sa desnih strana jedna~ina (6.33) i (6.34) dobiva se:

γ=

kT GA

(6.35)

Time su kompletirane konstitutivne jedna~ine za {tap. 6.3. Jedna~ine teorije {tapa i rubni uvjeti Na osnovu prikazanih razmatranja iz op{tih jedna~ina mehanike, izvedene su jedna~ine teorije {tapa, ~ime je dobiven sistem linearnih diferencijalnih jedna~ina ~ijim rje{avanjem se mogu izra~unati nepoznate veli~ine relevantne za analizu linijskih modela. Ukupno ima 9 nepoznatih: unutra{nje sile - Mz, Ty i Nx u prirodnom ili M, V i H u globalnom sistemu deformacije - ε , κ , γ pomjeranja - ux , u y , ϕ u prirodnom ili u X , uY , ϕ u globalnom sistemu Jedna~ine teorije {tapa u lokalnom prirodnom koordinatnom sistemu su:

du x u y ⎫ − ⎪ ds R ⎪ u du ⎪ ϕ= x + y⎬ R ds ⎪ dϕ ⎪ κ= ⎪ ds ⎭

geometrijske ili kinematske jedna~ine

⎫ dN x Ty + + px = 0 ⎪ ds R ⎪ dTy N x ⎪ − − p y = 0⎬ ds R ⎪ dM z ⎪ + Ty = 0 ⎪ ds ⎭

jedna~ine ravnote`e

ε=

46

Statika konstrukcija I

Nx ⎫ EA ⎪ ⎪ Mz ⎪ κ= ⎬ EI ⎪ kT ⎪ γ = y⎪ GA ⎭

Prora~un pomjeranja

ε=

konstitutivne jedna~ine

Jedna~ine teorije {tapa u globalnom koordinatnom sistemu:

du X = ε dX − ϕ dY ⎫ ⎪ duY = ϕ dX + ε dY ⎬ ⎪ dϕ = κ ds ⎭

geometrijske ili kinematske jedna~ine

dH + p X dY = 0

⎫ ⎪ dV + pY dX = 0 ⎬ dM + HdY − VdX = 0 ⎪⎭

jedna~ine ravnote`e

1 (H cos α + V sin α ) ⎫⎪ EA ⎪ Mz ⎪ κ= ⎬ EI ⎪ k (− H sin α + V cos α )⎪⎪ γ= GA ⎭

konstitutivne jedna~ine

ε=

Za prav {tap prva dva seta jedna~ina se svode na : du du x dϕ ; ϕ= y; κ= dx dx dx dT dN x y + p x = 0; − p y = 0; dx dx

ε=

− kinematika dM z + Ty = 0 − ravnoteža dx

Obzirom da su konstitutivne jedna~ine algebarske, mogu}e je jednostavno eliminirati deformacije ubacivanjem konstitutivnih jedna~ina u kinematske. Time se dobivaju tri diferencijalne jedna~ine, koje povezuju nepoznate presje~ne sile i nepoznata pomjeranja. Ove jedna~ine zajedno sa jedna~inama ravnote`e ~ine sistem od {est diferencijalnih jedna~ina sa tri nepoznata pomjeranja i tri nepoznate unutra{nje sile. Gledano matemati~ki, po{to su sve jedna~ine linearne kao rezultat se javlja {est konstanti integracije, za koje je potrebno zadati {est rubnih uvjeta. Kako je naprijed re~eno rubni uvjeti se mogu davati po pomjeranjima ili po silama. Da bi se {tapu u ravni onemogu}ilo kinematsko kretanje potrebno je zadati najmanje tri rubna uvjeta po pomjeranjima, {to zna~i da rubnih uvjeta po silama mo`e biti maksimalno tri. Ako na jednom {tapu postoje po tri rubna uvjeta po silama i pomjeranjima, tada je sistem stati~ki odre|en. U tom slu~aju tri diferencijalne jedna~ine ravnote`e imaju svoja tri rubna uvjeta po silama i tada je mogu}e ove diferencijalne jedna~ine rije{iti neovisno od preostalih jedna~ina. Ukoliko je rubnih uvjeta po pomjeranjima vi{e, tada se gornjih {est diferencijalnih jedna~ina moraju rje{avati kao sistem i tada govorimo o stati~ki neodre|enim nosa~ima.

47

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

6.3. Deformaciona linija {tapa Deformaciona linija {tapa predstavlja dimenzije i oblik {tapa nakon deformacije. Ukoliko analiziramo djelovanje popre~nog optere}enja na prav {tap u ravni, {tap mijenja samo oblik. Linija kojom se prikazuje promjena oblika naziva se ugibna linija i njene ordinate predstavljaju pomjeranja pojedinih ta~aka osovine {tapa u pravcu okomitom na osovinu {tapa. U literaturi se mo`e na}i i pojam nagibna linija, ~ije ordinate predstavljaju rotaciju popre~nih presjeka u pojedinim ta~kama osovine {tapa. Kod prora~una slo`enih modela, prva kontrola prora~una se vr{i tako {to se posmatra deformaciona linija nosa~a i utvr|uje se da li dobivena deformaciona linija odgovara zadatim rubnim uvjetima i datom optere}enju. Nelogi~na deformaciona linija ukazuje na to da postoje gre{ke u modelu ili u prora~unu. Napominje se da je inspekcija deformacione linije za slo`ene sisteme ~esto mnogo jednostavnija nego kontrola presje~nih sila, jer se za takve sisteme mo`e lak{e predvidjeti o~ekivana deformaciona linija, nego o~ekivane raspodjela presje~nih sila. Pri izvo|enju diferencijalne jedna~ine kojom se povezuju vanjski uticaji i pomjeranja, krenu}emo od diferencijalnih jedna~ina izvedenih za prav {tap: d 2u y ⇒ a) du y = ϕdx dϕ = κdx κ= dx 2 d 2M z = − py b) dTy − p y dx = 0 dM z + Ty dx = 0 ⇒ dx 2 d 2u y M z M ⇒ = c) κ = z EJ EJ dx 2 Dvostrukom integracijom jedna~ine c) dobiva se:

d 4u y dx 4

=

1 d 2M EJ dx 2

(6.36)

Ubacivanjem jedna~ine (6.36) u b) imamo:

d 4u y dx

4

=−

py EJ

(6.37)

ili iz jedna~ine c):

d 2u y dx

2

=

M EJ

(6.38)

Izvo|enje gornjih jedna~ina je obavljeno pod pretpostavkom da pozitivno optere}enje okomito na osovinu {tapa djeluje u suprotnom smjeru od y ose lokalnog koordinatnog sistema, dok je pozitivno pomjeranje u smjeru y ose. Ukoliko predznak optere}enja i pomjeranja definiramo na isti na~in, gornje jedna~ine se mijenjaju:

d 2M = py dx 2

(6.39)

48

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

d 4u y dx

4

=

py

(6.40)

EJ

Jedna~ina (6.40) predstavlja diferencijalnu jedna~inu ugibne linije pravog {tapa. Ukoliko je poznata funkcija promjene momenata, tada se mo`e koristiti jedna~ina (6.38). Pri analizi linijskih modela, kako je naprijed re~eno, presje~ne sile je mogu}e dobiti nezavisno od deformacija jedino za stati~ki odre|ene nosa~e, {to zna~i da se jedna~ina (6.38) mo`e koristiti jedino za takve nosa~e. Prora~un ugibnih linija rje{avanjem diferencijalnih jedna~ina se u praksi ne koristi, jer se kod slo`enih nosa~a javljaju po 4 konstante integracije za svaki {tap. Konstante integracije se rje{avaju iz jedna~ina koje se dobivaju iz rubnih uvjeta, {to kod sistema sa velikim brojem {tapova rezultira velikim brojem jedna~ina, {to znatno ote`ava postupak. Ovdje }e se pokazati primjer proste grede optere}ene ~istim savijanjem i primjer obostrano uklje{tene grede. Primjer 6.1. Greda je konstantnog popre~nog presjeka, raspona L. Poznato je da je dijagram momenata po du`ini grede konstantan, tj.

y

M ( x ) = M = const.

M

T ( x) = 0

M

x EI

Slika 6.6. Greda optere}ena ~istim savijanjem Prema jedna~ini (6.38) diferencijalna jedna~ina za pomjeranje glasi:

d 2u y dx

2

=

M , te: EI

κ=

1

ρ

=

M = const. EI

Dakle, zakrivljenost i polupre~nik krivine deformisane konfiguracije grede su konstantni, {to zna~i da je deformaciona linija kru`nica. Integriraju}i gornju diferencijalnu jedna~inu dobiva se:

du y dx

=

M x + C1 ; EI

uy =

M 2 x + C1 x + C2 2 EI

Konstante integracije se odre|uju iz geometrijskih rubnih uvjeta (stati~ki su iskori{teni za odre|ivanje momentne linije):

x = 0, u y ( 0 ) = 0 ⇒ C2 = 0 x = L, u y ( L ) = 0 ⇒ C1 = −

ML 2 EI

Kona~ne jedna~ine ugibne i nagibne linije su:

49

Statika konstrukcija I

uy ( x) =

Prora~un pomjeranja

M x ( x − L); 2 EI

ϕ ( x) =

du y dx

=

M ( 2x − L) 2 EI

Maksimalni ugib ima ta~ka koja se nalazi na sredini grede: 2 ⎛ L ⎞ ML uy ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 8 EI

Uglovi nagiba na krajevima grede su:

ϕ ( 0 ) = −ϕ ( L ) = −

ML 2 EI

Kako je vidljivo, rje{avanjem diferencijalne jedna~ine (6.38) dobiva se ugibna linija u obliku parabole. Obzirom da je radijus zakrivljenosti konstantan, jasno je da ugibna linija mora biti dio kru`nice. Dobivena parabola ustvari predstavlja najbolju aproksimaciju kru`nice polinomom drugog reda. Ovakav rezultat je ustvari posljedica pretpostavke o malim deformacijama, kojima smo linearizovali geometrijske jedna~ine, tako da daje zadovoljavaju}e rezultate u slu~ajevima kada se radi o malim deformacijama. Primjer 6.2. q EI L

Slika 6.7. Obostrano uklje{tena greda Po{to je sistem stati~ki neodre|en, polazi se od diferencijalne jedna~ine :

du y4 dx

4

=

p y (x ) EI

=

−q EI

Ovom diferencijalnom jedna~inom zanemaren je uticaj smi~u}ih napona na ugibnu liniju. Kako }e se poslije pokazati, taj uticaj se u ve}ini slu~ajeva mo`e zanemariti. Integriraju}i gornju jedna~inu ~etiri puta dobiva se:

q x3 x2 4 + C3 x + C 4 u y (x ) = − x + C1 + C 2 24 EI 6 2 Gornji sistem ima svih {est rubnih uvjeta po pomjeranjima. Zanemaruju}i aksijalnu deformaciju preostaju ~etiri rubna uvjeta:

u y (0 ) = 0 ⇒ C4 = 0

ϕ (0) = 0 ⇒ C3 = 0

⎫ q L3 L2 = 0⎪ L4 + C1 + C2 qL qL2 ⎪ 24 EI 6 2 ⇒ = = − C ; C ⎬ 1 2 2 EI 12 EI q 3 L2 ⎪ ϕ (L ) = 0 ⇒ − L + C1 + C2 L = 0 ⎪⎭ 6 EI 2 u y (L ) = 0 ⇒ −

50

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

Koriste}i ove rezultate mogu}e je napisati jedna~ine za ugib, nagib, momenat savijanja i transverzalnu silu u bilo kojem presjeku grede: q qL 3 qL2 2 x4 + x − x 24 EI 12 EI 24 EI q 3 qL 2 qL2 x x + x − ϕ (x ) = − 6 EI 4 EI 12 EI d 2u y q 2 qL qL2 M ( x ) = EJ x x = − + − dx 2 2 2 12 dM qL T (x ) = − = qx − dx 2 u y (x ) = −

Na slici 6.8. su prikazane grafi~ki gornje funkcije. Kako je ranije re~eno ovakav pristup rje{avanju konstruktivnih sistema je racionalan jedino kod jednostavnih nosa~a.

qL2 12

qL2 8

{

qL2 12

qL2 24

M

ϕ qL4 384

uy

Slika 6.8. Dijagram momenata, nagibna i ugibna linija obostrano uklje{tene grede U svim navedenim primjerima usvojeno je da je moment inercije konstantan i da je funkcija optere}enja neprekidna funkcija. Ukoliko imamo kontinuiranu promjenu popre~nog presjeka, gdje je moment inercije mogu}e prikazati neprekidnom funkcijom, problem se uslo`njava utoliko {to moment inercije ostaje pod integralom, tako da je podintegralna funkcija slo`enija i time je rje{avanje integrala ne{to komplikovanije. Naravno, popre~ni presjek du` grede mo`e biti zadat i tako da postoji nagla promjena momenta inercije U tom slu~aju se za svaki dio grede gdje je moment inercije konstantan ili se mo`e izraziti neprekidnom funkcijom rje{ava posebna diferencijalna jedna~ina, a rubni uvjeti se postavljaju na krajnjm ta~kama tako formiranih polja. Sli~no se postupa i u slu~aju da funkcija optere}enja ima prekide. Na primjer u slu~aju

51

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

djelovanja koncentrisane vertikalne sile intenziteta F u nekoj ta~ki A na udaljenosti a od lijevog kraja, potrebno je za tu ta~ku postaviti ~etiri rubna uvjeta za stati~ki neodre|en nosa~, odnosno dva za stati~ki odre|en : L D u yA = u y (a − ε ) = u y (a + ε ) = u yA ;

M AL = M (a − ε ) = M (a + ε ) = M AD ;

ϕ AL = ϕ (a − ε ) = ϕ (a + ε ) = ϕ AD

TAL = T (a − ε ) = T (a + ε ) + F = TAD + F

Jasno, druga dva uvjeta za stati~ki odre|ene nosa~e se primjenjuju odvojeno u fazi prora~una presje~nih sila i tada se polazi od jedna~ine (6.38), koja se postavlja za svaki dio {tapa gdje funkcija momenata nema prekida prve i druge vrste (u svakoj ta~ci je jednozna~no definirana funkcija i njena prva derivacija). UGIBNA LINIJA USLIJED SMICANJA Kako je vidljivo iz gornjih razmatranja, dosada je ugibna linija tra`ena kao posljedica savijanja, a uticaj smi~u}ih napona je zanemaren radi Bernoullijeve hipoteze o ravnim i okomitim popre~nim presjecima. Ovakav model grede naziva se i Bernoullijeva greda. Ukoliko pretpostavimo da popre~ni presjek ostaje ravan, ali ne i okomit na deformisanu os {tapa, tada smi~u}a deformacija uti~e na veli~inu pomjeranja. Ovakav model grede se naziva Timo{enko-va greda. Sada }e se izvesti izraz za ugibnu liniju uslijed ~istog smicanja. Analiza po~inje od izvedenih jedna~ina za {tap:

dTy dx

+ p y = 0;

dM z + Ty = 0; dx

γ=

kT ; GA

γ=

du y dx

Kombinuju}i gornje jedna~ine, uz kori{tenje jedna~ine (3.4), mo`emo dobiti diferencijalnu jedna~inu za ugibnu liniju uslijed djelovanja ~istog smicanja:

d 2u y dx

2

+

k p y = 0; GA

(6.41)

Rje{avanjem gornje diferencijalne jedna~ine, uz kori{tenje jedna~ina ravnote`e, dobiva se izraz za ugibnu liniju uslijed ~istog smicanja: k u y (x ) = M (x ) + C1 x + C2 (6.42) GA Konstante integracije se ra~unaju iz rubnih uvjeta datih za odre|eni problem. Ovdje treba primijetiti da je faktor kojim se mno`i momentna linija daleko manji od faktora koji imamo u izrazu za ugibnu liniju od savijanja (6.38), tako da je opravdano ovaj uticaj zanemariti pri prora~unu ugibnih linija. 6.4. Prora~un ugibne linije metodom Mohr-ove analogije Jedna od metoda rje{avanja gore navedenih diferencijalnih jedna~ina jeste metoda Mohr-ove analogije. Ova metoda se zasniva na sli~nosti diferencijalne jedna~ine kojom se ugib izra`ava preko funkcije momenata sa diferencijalnom jedna~inom ravnote`e, kojom se momenat izra`ava preko optere}enja:

d 2u y dx 2

=

Mz EI

d 2M z = py dx 2

(6.43)

52

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

Obzirom da su gornje jedna~ine potpuno istog oblika, odnos momenata i optere}enja je jednak odnosu ugiba i momenata. Prema ugibnu liniju je mogu}e na}i kao momentnu liniju od fiktivnog optere}enja koje je ustvari jednako dijagramu momenata. Problem ovog pristupa je {to rubni uvjeti, kao sastavni dio diferencijalnih jedna~ina, u ve}ini slu~ajeva nisu jednaki za momente i ugibe. Radi toga se fiktivno optere}enje (dijagram momenata osnovnog sistema podijeljen sa EI) postavlja na konjugovani nosa~. Radi usvojene konvencije o predznaku momenata, koja je u suprotnosti sa konvencijom za ugibe, potrebno je obrnuti dijagram momenata osnovnog sistema, da bi se dobilo fiktivno optere}enje. Konjugovani nosa~ predstavlja takav nosa~ ~iji rubni uvjeti za momente i transverzalne sile odgovaraju rubnim uvjetima za pomjeranja i uglove zaokreta (ugibe i nagibe). Jasno je da ako vrijedi ekvivalencija izme|u momenata na konjugovanom nosa~u i ugiba na osnovnom nosa~u, vrijedi i ekvivalencija transverzalnih sila na konjugovanom nosa~u i nagiba na osnovnom nosa~u. Ovako postavljena analogija, gdje se zanemaruju aksijalne deformacije, ima jako velika ograni~enja u primjeni. Naime, ukoliko `elimo dobiti konjugovani stati~ki odre|eni nosa~, rubni uvjeti za pomjeranja svakog {tapa na osnovnom (stati~ki odre|enom) nosa~u moraju biti zadata isklju~ivo preko pomjeranja u tra`enom pravcu i uglova zaokreta. Stoga je jako jednostavno na}i konjugovani nosa~ za primjere prikazane na slici 6.9. ukoliko tra`imo liniju vertikalnog pomjeranja. Me|utim, postoji veliki broj primjera gdje nije mogu}e primijeniti ovako definisanu Mohr-ovu analogiju, ve} je potrebno uspostaviti kompletniju analogiju izme|u pomjeranja i odgovaraju}ih momenata u globalnom ili lokalnom koordinatnom sistemu. osnovni sistem

konjugovani sistem

uy=0

uy=0

uy=0; ϕ=0

M =0

M =0

M = 0; T = 0

Slika 6.9. Osnovni i konjugovani sistemi za prora~un vertikalnih pomjeranja

53

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

Primjer: Za dati nosa~ na}i ugibnu liniju primjenom Mohr-ove analogije.

A

B

EJ1

2EJ1

P C

3a

a

Dijagram momenata:

Pa

Konjugovani sistem se formira tako da rubni uslovi za sile na konjugovanom sistemu odgovaraju rubnim uslovima za pomjeranja na osnovnom sistemu: Ta~ka A: u y = 0 → M = 0;

ϕ ≠ 0→T ≠ 0

Ta~ka B: u yL = u yD = 0 → M L = M D = 0; Ta~ka C: u y ≠ 0 → M ≠ 0;

ϕ L = ϕ D → TL = TD

ϕ ≠ 0 →T ≠ 0

To zna~i da konjugovani sistem treba napraviti tako da se transverzalna sila sa lijeve strane oslonca B prenese na desnu stranu. Konjugovani sistem i fiktivno optere}enje:

B

x A

B

1 1 A = ⋅ ⋅ 2q ⋅ 3a = q a; 3 2

u y (x ) = M (x ) = − A ⋅ x +

( )

u y max = u y a 3 = −

2q =

Pa EJ 1

x′

q=

Pa 2 EJ1

B = 2q a

x q x3 1 2q ⋅ x ⋅ x ⋅ = −q ax + ; 2 3a 3 9a

za x ∈ [0,3a ]

2 3q a 2 3

q x′ 2 q x′3 1 2 1 q (a − x′) 1 u y ( x ′ ) = M ( x ′ ) = B ⋅ x′ + q ⋅ x′ ⋅ x ′ + ⋅ x′ ⋅ x′ = 2q ax′ + − ; x′ ∈ [0, a ] 2 3 2 3 2 6a a 7q a 2 u Cy = u y (a ) = 3

54

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

6.5. Osnovni zakoni i teoreme teorije elasti~nosti U ovom poglavlju }e se prikazati zakoni i teoreme koji vrijede za sva elasti~na tijela, a posebno }e se obraditi njihova primjena za {tapne sisteme. Ve}ina ovih zakona i teorema su zasnovani na zakonima o radu i energiji u potencijalnom polju, koji su izu~avani u predmetu Mehanika II. DEFORMABILNO TIJELO Sistem materijalnih ta~aka je skup materijalnih ta~aka vezanih tako da pomjeranje jedne materijalne ta~ke zavisi od pomjeranja drugih materijalnih ta~aka tog sistema. Ukoliko je ta veza definirana tako da je odstojanje izme|u bilo koje dvije ta~ke sistema konstantno, tada se radi o krutom tijelu. Posmatrajmo pomjeranje krutog {tapa u ravni, prikazanog na slici 6.10.

Y

B A X

Slika 6.10. [tap u ravni Po{to se radi o krutom {tapu, pomjeranje svih ta~aka {tapa, kojih ima beskona~no, mo`e se odrediti iz pomjeranja neke dvije ta~ke {tapa (A i B). Dakle, pomjeranje bilo koje ta~ke se dobiva iz uvjeta da je njeno rastojanje od ta~aka A i B konstantno. Dakle, pomjeranje {tapa AB se mo`e jednozna~no odrediti ukoliko su poznati vektori pomjeranja ta~aka A i B. Po{to se svaki vektor u ravni defini{e sa dvije projekcije na osi pravouglog koordinatnog sistema, potrebno je odrediti 4 veli~ine da bi se odredilo pomjeranje {tapa: u XA , uYA , u XB , uYB . Konstantna udaljenost izme|u ta~aka A i B konstantna ima za posljedicu jednu vezu izme|u koordinata pomjerenog {tapa, tako da se novi polo`aj {tapa mo`e definirati preko tri nezavisna parametra. Kako je pokazano u predmetu Mehanika II, pomjeranje {tapa u ravni se jednozna~no mo`e definirati preko translacije jedne ta~ke {tapa (dva parametra - projekcije na osi X i Y) i rotacije ϕ . To zna~i da {tap u ravni ima tri stepena slobode kretanja. Naravno, novi polo`aj {tapa se mo`e definirati i preko druga tri paramatra, npr. u XA , uYA , u XB . To zna~i da pomjeranje krutog {tapa u ravni mo`emo definirati preko bilo koja tri nezavisna pomjeranja. Po{to ta pomjeranja mogu biti i translacije i rotacije nazva}emo ih generalisanim pomjeranjima i prikaza}emo ih u obliku vektora: ⎧ q1 ⎫ ⎪ ⎪ q = ⎨q2 ⎬ ⎪q ⎪ ⎩ 3⎭

Dakle, vektor generalisanih pomjeranja krutog {tapa u ravni ima tri komponente. O~igledno je da broj kompenenata vektora generalisanih pomjeranja jeste jednak stepenu slobode kretanja nekog sistema. Naravno, vektor sa n komponenata se definira u n-dimenzionalnom prostoru, {to je te{ko predstaviti za n>3. Me|utim, bitno

55

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

je da vektorski ra~un, koji va`i za vektore u trodimenzionalnom pravouglom koordinatnom sistemu, va`i i za vektora sa n parametara. Deformabilno tijelo se razlikuje od krutog tijela po tome {to udaljenost izme|u dvije ta~ke tijela ne mora biti konstantna. To zna~i da se udaljenost izme|u dvije ta~ke mijenja prema nekoj usvojenoj zakonitosti. Kod deformabilnih sistema, ne mo`e se uspostaviti direktna zavisnost izme|u virtuelnih pomjeranja 1 pojedinih ta~aka, jer ona ovisi i od optere}enja. Dakle, posmatraju}i samo virtuelna pomjeranja nekog deformabilnog sistema, mo`e se zaklju~iti da takav sistem ima beskona~no stepeni slobode kretanja. Ovisnost pomjeranja pojedinih ta~aka se tada izvodi analizom beskona~no malih elemenata, koriste}i jedna~ine mehanike. Ovakav pristup dovodi do sistema diferencijalnih jedna~ina, ~ija komplikovanost ovisi od usvojenih pretpostavki. Naprimjer, za analizu elasti~nog {tapa po teoriji prvog reda, ta zakonitost je prikazana preko devet jedna~ina izvedenih u prethodnom poglavlju, kojom je obezbije|ena linearna veza izme|u sila i odgovaraju}ih pomjeranja. Tako|er je pokazano da se iz tih diferencijalnih jedna~ina mo`e uspostaviti jednozna~na veza izme|u presje~nih sila i pomjeranja susjednih ta~aka {tapa. Pri analizi elasti~nih {tapnih sistema po teoriji prvog reda, obi~no se ne ra~unaju numeri~ke vrijednosti presje~nih sila i pomjeranja u svim ta~kama, ve} se bira kona~an broj ta~aka (karakteristi~ne ta~ke) u kojima se ra~unaju presje~ne sile i pomjeranja. Najmanji broj karakteristi~nih ta~aka na jednom sistemu odgovara broju ~vorova sistema. Ponovi}emo da se pod ~vorom podrazumijeva ta~ka gdje se javlja diskontinuitet deformisane osi sistema. Ovaj diskontinuitet mo`e biti posljedica izlomljene geometrije nedeformisanog nosa~a (svi spojevi dva {tapa pod nekim uglom ili vi{e {tapova) ili prisustvo nultog polja za neku od unutra{njih sila. Ukoliko na pravom {tapu postoji npr. zglob (nulto polje za momenat), njegova nedeformisana konfiguracija jeste glatka, ali deformisana nije. Maksimalan broj ta~aka gdje }emo ra~unati presje~ne sile i pomjeranja nije ni~im definiran. Podjela nekog modela na kona~an broj elemenata i ~vorova, gdje }e se ra~unati pomjeranja ili presje~ne sile naziva se diskretizacija. Diskretizacija je neminovan dio analize kompleksnih problema mehanike, koji se ne mogu rije{iti analiti~ki i gdje se koriste numeri~ke metode. Tada na ta~nost rezultata, izme|u ostalog, uti~e i broj ~vorova. Naime, ve}im brojem ~vorova i elemenata dobivaju se ta~niji rezultati. Primjer takve diskretizacije kod {tapnih modela mo`e se javiti u slu~ajevima kada je funkcija optere}enja jako neregularna. Takvo optere}enje se mo`e zamijeniti nizom koncentrisanih sila ili regularnijim optere}enjem i pribli`no sra~unati vrijednosti pomjeranja u odabranim ta~kama. Bitno je naglasiti da uobi~ajena diskretizacija {tapnih modela (prora~un presje~nih sila i pomjeranja u karakteristi~nim ta~kama) ne uti~e na ta~nost rezultata, jer ta~nost izvedenih izraza za presje~ne sile i pomjeranja ne zavise od du`ine {tapa. Kako je ranije navedeno, teorijom prvog reda se uspostavlja linearan odnos izme|u optere}enja i pomjeranja. Na slici 6.11. su dati razli~iti primjeri, odakle je vidljivo da se pomjeranja linearno pove}avaju sa optere}enjem.

1

Pomjeranja koja omogu}uju me|usobne veze izme|u ta~aka i veze sa okolinom.

56

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

P L

PL ΔL = EA

P

∆L ∆L

M ML ϕ= 3EI

φ

M

L P

P f = f

φ

PL3 3EI f

Slika 6.11. Linearan odnos vanjskih sila i pomjeranja Nagla{ava se da je to posljedica toga {to je u teoriji prvog reda odnos izme|u svih veli~ina linearan: izme|u vanjskog optere}enja i unutra{njih sila, unutra{njih sila i deformacija, te deformacija i pomjeranja. Dakle, ako neko pomjeranje ili ugao zaokreta (generalisano pomjeranje) ozna~imo sa q , a odgovaraju}u generalisanu silu sa Q , tada mo`emo re}i da za teoriju prvog reda uvijek va`i:

q = δQ

Q = kq

U koordinatnom sistemu Q − q ova zavisnost je predstavljena pravcem kako je pokazano na slici 6.12.

Q

q

Slika 6.12. Dijagram generalisanih sila i pomjeranja po teoriji prvog reda Koeficijent k se naziva krutost i predstavlja silu potrebnu da se postigne odgovaraju}e jedini~no pomjeranje. Veli~ina δ predstavlja koeficijent deformabilnosti ili fleksibilnosti i predstavlja pomjeranje uslijed djelovanja odgovaraju}e jedini~ne sile. Jasno je da su krutost i fleksibilnost obrnuto proporcionalni. Pretpostavimo da na neko deformabilno tijelo djeluje vi{e generalisanih sila (koncentrisane sile ili momenti) Q1 , Q2 ,...Qn . Odgovaraju}a generalisana pomjeranja (pomjeranja na mjestu i u pravcu apliciranih generalisanih sila) ozna~imo sa q1 , q2 ,...qn kao na slici 6.13. Ukupno generalisano pomjeranje q1 je jednako zbiru pomjeranja od

57

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

svih sila kao da one djeluju zasebno. Drugim rije~ima, za pomjeranja kao i za presje~ne sile vrijedi zakon superpozicije.

Q2 Qn Q1 q1

qn

Slika 6.13. Djelovanje niza generalisanih sila na deformabilno tijelo Za sistem sa n generalisanih sila i generalisanih pomjeranja mo`emo napisati slijede}i set jedna~ina: n

q1 = δ11Q1 + δ12Q2 + ... + δ1nQn = ∑ δ1k Qk k =1

n

q2 = δ 21Q1 + δ 22Q2 + ... + δ 2 nQn = ∑ δ 2 k Qk k =1

(6.44)

M n

qn = δ n1Q1 + δ n 2Q2 + ... + δ nnQn = ∑ δ nk Qk k =1

U gornjim jedna~inama δ ij predstavlja pomjeranje ta~ke na mjestu i u pravcu djelovanja sile Qi uslijed djelovanja jedini~ne sile na mjestu i u pravcu sile Q j . Jedna~ina (3.24) se mo`e napisati u matri~nom obliku: ⎧ q1 ⎫ ⎡δ11 δ12 ⎪q ⎪ ⎢δ ⎪ 2 ⎪ ⎢ 21 δ 22 ⎪⎪ . ⎪⎪ ⎢ . . ⎨ ⎬=⎢ . ⎪.⎪ ⎢ . ⎪.⎪ ⎢ . . ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩qn ⎪⎭ ⎢⎣δ n1 δ n 2

.

.

.

.

δ1n ⎤ ⎧ Q1 ⎫ . δ 2 n ⎥⎥ ⎪⎪Q2 ⎪⎪ .

⎥ ⎪⎪ . ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ ⎥⎪ . ⎪ ⎥⎪ . ⎪ ⎥⎪ ⎪ δ nn ⎥⎦ ⎪⎩Qn ⎪⎭ . . .

.

.

.

ili :

q = δQ

(6.45)

Vidljivo je da se matri~nim na~inom pisanja nagla{ava analogija izme|u sistema sa n generalisanih sila i sistema sa jednom generalisanom silom. Vidljivo je da indeksi komponenata matrice δ , osim obja{njenog fizikalnog zna~enja imaju i matematsko zna~enje, jer je pomo}u njih definirano njihovo mjesto u matrici.

58

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

Posmatrajmo isti sistem i zamislimo da smo u pravcu i na mjestu generalisanih sila postavili odgovaraju}e opruge, te da smo potom svakoj ta~ki dali odgovaraju}e pomjeranje q1 , q2 ,... . Uslijed jedini~nog pomjeranja q1 = 1 sila u opruzi 1 je k11 , a u opruzi i : ki1 . Koriste}i princip superpozicije mo`e se sra~unati sila u svakoj od opruga, odnosno izraziti generalisane sile preko generalisanih pomjeranja: n

Q1 = k11q1 + k12 q2 + ... + k1n qn = ∑ k1k qk k =1

n

Q2 = k21q1 + k 22 q2 + ... + k2 n qn = ∑ k2 k qk k =1

(6.46)

M n

Qn = kn1q1 + k n 2 q2 + ... + knn qn = ∑ k nk qk k =1

Ili : ⎧ Q1 ⎫ ⎡ k11 k12 ⎪Q ⎪ ⎢k ⎪ 2 ⎪ ⎢ 21 k 22 ⎪⎪ . ⎪⎪ ⎢ . . ⎨ ⎬=⎢ . ⎪ . ⎪ ⎢ . ⎪ . ⎪ ⎢ . . ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩Qn ⎪⎭ ⎢⎣k n1 k n 2

. .

. .

. .

.

.

.

k1n ⎤ ⎧ q1 ⎫ k 2 n ⎥⎥ ⎪⎪q2 ⎪⎪ . ⎥ ⎪⎪ . ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ . ⎥⎪ . ⎪ . ⎥⎪ . ⎪ ⎥⎪ ⎪ k nn ⎥⎦ ⎪⎩qn ⎪⎭

Q = kq

(6.47)

Matrica k u jedna~ini (6.47) se naziva matrica krutosti mekog sistema i predstavlja vezu izme|u pomjeranja i odgovaraju}ih sila. Iz jedna~ina (6.45) i (6.47) vidljivo je da se matrica krutosti mo`e dobiti invertiranjem matrice fleksibilnosti i obrnuto. 6.5.1 Rad vanjskih sila Kako je poznato iz predmeta Mehanika II elementarni mehani~ki rad sile koja djeluje na materijalnu ta~ku, koja se pomjerila za vektor dr , jednak je skalarnom proizvodu tog vektora i vektora kojom je definisana sila. Posmatrajmo oprugu krutosti k optere}enu silom Q koja postepeno raste od nule do svoje krajnje vrijednosti kako je prikazano na slici 6.14. Prirast sile }emo definirati pomo}u parametra λ , ~ija se vrijednost kre}e od 0 do 1, tako da je veli~ina sile u svakom trenutku λ ⋅ Q . Sa prirastom sile raste i pomjeranje, koje ima vrijednost λ q . Elementarni rad na prirastu pomjeranja je jednak proizvodu sile i prirasta pomjeranja: dA = λQ ⋅ d ( λ q ) = q ⋅ Q ⋅ λ d λ , obzirom da

je pri ovako definisanom prirastu sile jedino promjenjiva parametar λ . Ukupni rad koji napravi sila tokom svog prirasta je : 1

1

0

0

A = ∫ Qqλ d λ = ∫ kq 2λ d λ =

kq 2 Q q = 2 2

(6.48)

59

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

Q

λQ Q

dλq

q

Slika 6.14. Rad sile na elasti~nom sistemu Dakle, mehani~ki rad u polju elasti~nih sila je jednak polovini proizvoda krajnje sile i krajnjeg pomjeranja. Na slici 6.14. to odgovara povr{ini trougla ispod pravca. Elementarni komplementarni mehani~ki rad se dobiva kao proizvod pomjeranja i prirasta sile : dA* = λ qd ( λQ ) = δ Q 2λ d λ . Ukupni komplementarni mehani~ki rad je jednak : 1

1

A* = ∫ Qqλ d λ = ∫ δ Q 2λ d λ = 0

0

δ Q2 2

=

Qq 2

(6.49)

Dakle za linearno elasti~ni sistem komplementarni rad je jednak direktnom radu. Na slici 6.14. komplementarni rad predstavlja povr{inu izme|u pravca i vertikalne ose. Ukoliko veza izme|u sile i pomjeranja nije linearna, tada komplementarni i direktni rad nisu jednaki. Ukoliko analiziramo sistem optere}en sa vi{e generalisanih sila, kao na slici 6.15, tada je ukupni mehani~ki rad jednak zbiru radova svake generalisane sile na odgovaraju}em pomjeranju : 1

n

n

1

n

0

i =1

A = ∫ ∑ λQi qi d λ =∑ Qi qi ∫ λd λ = ∑ 0 i =1

i =1

Q1

Q2

Qi

q1

q2

qi

Qi qi = A* 2

(6.50)

Qn

qn

Slika 6.15. Rad sistema sila na elasti~nom sistemu Skalarani proizvod dva vektora se u matri~noj notaciji pi{e kao :

1 1 1 1 A = q TQ = q Tkq , odnosno A* = Q Tq = Q TδQ 2 2 2 2

(6.51)

Jedna~ine (6.51) se mogu napisati i u obliku :

60

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

A=

1 n n ∑∑ kik qk qi 2 i =1 k =1

A* =

(6.52)

1 n n ∑∑ δ ik Qk Qi 2 i =1 k =1

(6.53)

Treba naglasiti da je uvjet za postojanje jednozna~nog rje{enja to da rad vanjskih sila (kao i komplementarni) mora uvijek biti pozitivan, mada neki ~lanovi sume u jedna~inama (6.52) i (6.53) mogu biti negativni. 6.5.2. Rad unutra{njih sila Ukoliko analiziramo {tap u ravni, pod unutra{njim silama se podrazumijevaju normalna i transverzalna sila, te momenat savijanja. Mehani~ki rad ovih sila se vr{i na odgovaraju}em prirastu pomjeranja osovine {tapa. Ova pomjeranja se mogu izraziti preko deformacionih veli~ina, kako je pokazano na slici 6.16.

N

N

M M

εds

κds

γds T

T

Slika 6.16. Pomjeranja koja odgovaraju presje~nim silama Normalnoj sili odgovaraju podu`na pomjeranja: du x = ε ds Transverzalnoj sili odgovara popre~no pomjeranje uslijed smicanja: du y = γ ds Momentu savijanja odgovara ugao zaokreta: dϕ = κ ds Ukupni rad svih sila na deformaciji elementa du`ine ds je sada dat izrazom:

Au ( ds ) = N ε ds + M κ ds + T γ ds

(6.54)

Na slici 6.16, kako je uobi~ajeno, na elementu {tapa su prikazane sile koje djeluju kao vanjsko optere}enje na element. Me|utim, unutra{nje sile u elementu su istog intenziteta i pravca, ali suprotnog smjera. Drugim rije~ima, unutra{nje sile uvijek pru`aju otpor deformaciji i nastoje vratiti elasti~ni sistem u nedeformisani polo`aj (vidi primjer prikazan na slici 6.14). To zna~i da su unutra{nje sile uvijek usmjerene suprotno od deformacije, pa je rad unutra{njih sila uvijek negativan:

Au ( ds ) = − N ε ds − M κ ds − T γ ds

(6.55)

Veza izme|u unutra{njih sila i odgovaraju}ih pomjeranja je linearna i dobiva se direktno iz konstitutivnih jedna~ina za {tap, uz mno`enje sa ds:

ε ds =

Nds ; EA

κ ds =

Mds ; EI

γ ds = k

Tds GA

(6.56)

61

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

Prirast presje~nih sila i odgovaraju}ih pomjeranja }emo defirnirati na isti na~in kao kod vanjskih sila, pomo}u parametra λ : 0 ≤ λ ≤ 1 , pa se elementarni mehani~ki rad na prirastu deformacija mo`e napisati u obliku:

dAu ( ds ) = −λ Nd ( λε ds ) − λ Md ( λκ ds ) − λTd ( λγ ds ) Uzimaju}i u obzir da je d ( λε ds ) = ε d λ ds; d ( λκ ds ) = κ d λ ds; d ( λγ ds ) = γ d λ ds , jer posmatramo prirast deformacija na {tapu ~ija je nedeformisana du`ina ds konstantna. Integriraju}i elementarni rad koji unutra{nje sile naprave do dostizanja njihove pune vrijednosti na infinitezimalnoj du`ini {tapa je: 1

Au ( ds ) = − ∫ ( N ε + M κ + T γ ) λ d λ = − 0

N ε ds M κ ds T γ ds − − 2 2 2

(6.57)

Ukupni mehani~ki rad po cijeloj du`ini {tapa, uz kori{tenje jedna~ina (6.56) i (6.57) je jednak :

N2 M2 T2 Au = − ∫ ds − ∫ ds − ∫ k ds 2 EA 2 EI 2GA 0 0 0 L

L

L

(6.58)

Ukoliko imamo sistem {tapova, ukupni deformacioni rad se dobiva sabiranjem radova unutra{njih sila po {tapovima. Izra`avaju}i sile preko odgovaraju}ih deformacija, tada dobivamo deformacioni rad u funkciji deformacija : L

Au = − ∫ EA 0

ε2 2

L

ds − ∫ EI 0

κ2 2

L

ds − ∫ kGA 0

γ2 2

ds

(6.59)

6.5.3. Lagrange-ov princip virtuelnih radova Iz predmeta Mehanika II poznato je da Lagrange-ov princip glasi: Sistem krutih {tapova je u ravnote`i ako i samo ako je suma elementarnih mehani~kih radova zadanih stvarnih sila na virtuelnim pomjeranjima sistema jednak nuli. Presje~ne sile na stati~ki odre|enim nosa~ima mogu se izra~unati tako da se ukinu pojedine veze, zamijene vanjskim silama i potom koristi ovaj princip na sistemu sa jednim stepenom slobode kretanja. Kada analiziramo deformabilan sistem, svaka ta~ka ima nezavisno virtuelno pomjeranje (osim oslona~kih), tako da deformabilan sistem ima beskona~an broj virtuelnih pomjeranja. Za razliku od krutih sistema, kod deformabilnih sistema postoji i rad unutra{njih sila na virtuelnim pomjeranjima, tako da op{ti Lagrange-ov princip glasi: Sistem {tapova je u ravnote`i ako i samo ako je suma elementarnih mehani~kih radova zadanih stvarnih sila na virtuelnim pomjeranjima sistema i stvarnih unutra{njih sila na deformacionim pomjeranjim jednak nuli.

δ A = δ Av + δ Au = 0

(6.60)

m

gdje je: δ Av = ∑ Qiδ qi = δq T ⋅ Q i =1

n

δ Au = −∑ ∫ Nδε ds + ∫ M δκ ds + ∫ T δγ ds i =1

62

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

U gornjim jedna~inama m je broj generalisanih sila koje djeluju na sistem, a n je broj {tapova. Sli~no kao pri razmatranju realnih radova i ovdje se mo`e definisati pojam komplementarnog virtuelnog rada koji predstavlja rad virtuelnih vanjskih i unutra{njih sila na realnim pomjeranjima:

δ Av* = ∑ δ Qi qi = δQ T ⋅ q

(6.61)

δ Au* = −∑ ∫ δ N ε ds + ∫ δ M κ ds + ∫ δ T γ ds

(6.62)

i

j

Iz gornjih jedna~Ina je vidljivo da u izrazima za virtuelni rad i komplementarni virtuelni rad nema faktora 1 2 , jer virtuelna pomjeranja nisu posljedica djelovanja sila koje vr{e rad. Koriste}i jedna~inu (6.60) lako se mo`e dokazati da je rad unutra{njih sila jednak negativnoj vrijednosti rada vanjskih sila koje djeluju na neki sistem. Obzirom na poznatu ~injenicu da je svako stvarno pomjeranje ujedno i virtuelno, u jedna~inu (6.60) mo`emo umjesto virtuelnih uvrstiti stvarna pomjeranja i tada imamo: ⎛ N 2 ds M 2 ds kT 2 ds ⎞ Q q = + + ∑ i i ∑ ⎜ ∫ EA ∫ EI ∫ GA ⎟ ⎝ ⎠

Mno`e}i gornju jedna~inu sa 1 2 dobivamo na lijevoj strani izraz za rad vanjskih sila, a na desnoj negativnu vrijednost rada unutra{njih sila. 6.5.4. Betti-jeva teorema - teorema o uzajamnosti radova Pretpostavimo da na neki sistem, koji se sastoji od S {tapova, djeluju dva nezavisna sistema sila, od koji je jedan realni, a jedan virtuelni. Pretpostavimo da se realni sistem sila sastoji od k generalisanih sila i ozna~imo ga sa: Qn , n = 1, 2,..., k , te da postoji l virtuelnih generalisanih sila: Qm , m = 1, 2,..., l . Oba sistema sila izazivaju na elasti~nom sistemu reakcije, unutra{nje sile, deformacije i pomjeranja. Pretpostavimo da pored djelovanja sila postoje i pomjeranja oslonaca, kojih ima j. Oznake svih relevantnih veli~ina su date u Tabeli 6.1. veli~ine

realni sistem

virtuelni sistem

vanjske sile

Qn

Qm

reakcije oslonaca

Ri

Ri

presje~ne sile

N ,T , M

N ,T , M

deformacije

ε ,κ ,γ

ε ,κ ,γ

pomjeranja

qn

qm

pomjeranja oslonaca

ci

ci

Tabela 6.1. Realne i virtuelne veli~ine

63

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

Po definiciji je virtuelni rad jednak radu realnih sila na virtuelnim pomjeranjima. Dakle, virtuelni rad vanjskih sila, uklju~uju}i i reakcije je jednak: k

j

n =1

i =1

δ Av = ∑ Qn qn + ∑ Ri ci Unutra{nji virtuelni rad je: S

δ Au = −∑ s =1

MM TT ⎞ ds + ∫ ds + ∫ k ds ⎟ ( ∫ Nε ds + ∫ M κ ds + ∫ Tγ ds ) = −∑ ⎛⎜⎝ ∫ NN EA EI GA ⎠ S

s =1

S druge strane, komplementarni virtuelni rad vanjskih i unutra{njih sila je: l

j

m =1

i =1

δ Av* = ∑ Qm qm + ∑ Ri ci S

δ Au* = −∑ s =1

MM TT ⎞ ds + ∫ ds + ∫ k ds ⎟ ( ∫ Nε ds + ∫ M κ ds + ∫ T γ ds ) = −∑ ⎛⎜⎝ ∫ NN EA EI GA ⎠ S

s =1

Koriste}i princip virtuelnih radova, za sistem u ravnote`i va`i:

δ Av + δ Au = 0 ⇒ δ Av = −δ Au

δ Av* + δ Au* = 0 ⇒ δ Av* = −δ Au* Iz gornjih jedna~ina vidljivo je da je δAu = δAu* iz ~ega slijedi: k

j

l

j

n=1

i =1

m=1

i =1

δAv = δAv* ⇒ ∑ Qn qn + ∑ Ri ci = ∑ Qm qm + ∑ Ri ci

(6.63)

Jedna~ina (6.63) predstavlja matematsku formulaciju Betti-jeve teoreme, koja glasi: Ako na elasti~ni sistem djeluju dva sistema generalisanih sila, onda }e virtuelni rad prvog sistema sila na pomjeranjima izazvanim drugim sistemom sila biti jednak virtuelnom radu drugog sistema sila na pomjeranjima izazvanim prvim sistemom sila. 6.5.5. Maxwell-ova teorema - teorema o uzajamnosti pomjeranja Maxwell-ova teorema glasi: Pomjeranje napadne ta~ke jedini~ne sile u njenom pravcu izazvano djelovanjem druge jedini~ne sile je jednako pomjeranju napadne ta~ke druge jedini~ne sile u njenom pravcu uslijed djelovanja prve jedini~ne sile. Ova teorema se lako mo`e izvesti iz Betti-jeve teoreme. Napi{imo jedna~inu (6.63) uz pretpostavku da nema pomjeranja oslonaca: l

k

∑Q q = ∑Q q n =1

n n

m =1

m m

(6.64)

Pretpostavimo da postoji samo jedna realna i jedna virtuelna sila i da obje imaju intenzitet 1.0, te da realna sila djeluje u ta~ki i, a virtuelna u ta~ki j, kako je pokazano na slici 6.17. Sada jedna~ina (6.64) postaje:

qi = q j

(6.65)

64

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

gdje je qi pomjeranje ta~ke i uslijed virtuelnog sistema sila, tj. uslijed sile Q j = 1.0

Qi = 1.0

Q j = 1.0

i

j

qi

qj

j

i

qi

qj

Slika 6.17. Pomjeranja uslijed realnog i virtuelnog sistema sila Po{to pomjeranja mo`emo napisati kao proizvod koeficijenata fleksibilnosti i sila imamo:

qi = δ ii Qi = δ ii ; q j = δ ji Qi = δ ji qi = δ ij Q j = δ ij ; q j = δ jj Q j = δ jj

jed . ( 6.65) ⎯⎯ ⎯⎯→ δ ij = δ ji

(6.66)

Uzimaju}i u obzir definiciju koeficijenata δ ij i δ ji (vidi jedna~inu (6.44)) mo`e se re}i da je Maxwell-ova teorema dokazana. Neposredna i sasvim o~igledna posljedica Maxwell-ove teoreme je da je matrica fleksibilnosti simetri~na. Nadalje, inverzna matrica simetri~ne matrice mora biti simetri~na, {to zna~i da je i matrica krutosti simetri~na: δ = δT ,

k = δ −1 ⇒ k T = k

6.5.6. Maxwell-Mohr-ovi obrasci za pomjeranja Posmatrajmo sistem {tapova u ravni pod uticajem proizvoljnog optere}enja, jednolike i nejednolike promjene temperature, te pomjeranju oslonaca za konstantne veli~ine. Posljedica gornjih uticaja su pomjeranja ta~aka sistema. Uo~imo bilo koju ta~ku N na nedformisanoj konfiguraciji, a njen polo`aj na deformisanom nosa~u ozna~imo sa N'. Zadatak je na}i vektor NN ' je nepoznat po intenzitetu, pravcu i smjeru. Po{to se radi o sistemu u ravni, ovaj zadatak se mo`e rije{iti odre|ivanjem pomjeranja ta~ke N u dva pravca. Dakle, problem se svodi na odre|ivanje pomjeranja proizvoljne ta~ke u nekom pravcu, kojeg }emo ozna~iti sa n-n. Da bi rije{ili ovaj zadatak, ponovo }emo iskoristiti princip virtuelnih radova. U tu svrhu }emo posmatrani sistem {tapova opteretiti virtuelnim sistemom sila koji se sastoji od jedne jedini~ne sile Q = 1.0 , koja djeluje u pravcu n-n, kako je pokazano na slici 6.18.

65

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

Q = 1.0

n N

N

qNn − n

N'

n

Slika 6.18. Odre|ivanje pomjeranja ta~ke Po{to se tra`i realno pomjeranje ta~ke N u pravcu n-n, primijenit }e se Lagrangeov princip komplementarnog virtuelnog rada:

δ Av* + δ Au* = 0 j

δ Av* = Q ⋅ qNn − n + ∑ Ri ci i =1

L L ⎛ ⎞ δ Au* = −∑ ⎜ ∫ N ε ds + ∫ M κ ds + ∫ T γ ds ⎟ ⎜ ⎟ s =1 ⎝ 0 0 0 ⎠ S

Ls

s

s

Uvr{tavaju}i u izraz za unutra{nji komplementarni virtuelni rad jedna~ine kojima su definisane deformacije od uticaja optere}enja i promjene temperature, dobiva se:

Qq

n−n N

Ls Ls ⎡ Ls ⎛ N ⎤ ⎞ ⎛ M kT Δt ⎞ ds ⎥ + ∑ Ri ci = ∑ ⎢ ∫ N ⎜ + α t t0 ⎟ ds + ∫ M ⎜ + α t ⎟ ds + ∫ T hs ⎠ GAs ⎥⎦ i =1 s =1 ⎣ ⎢ 0 ⎝ EAs ⎠ ⎝ EI s 0 0 j

S

Ako promijenimo oznaku generalisanog pomjeranja: qNn−n = Δ N i uzmemo u obzir da je Q = 1.0 , dobivamo: S Ls

ΔN = ∑ ∫ s =1 0

s s s j S S S S NN MM kTT Δt ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ T ds + ∑ M α t ds + ∑ ∫ Nα t t0 ds − ∑ Ri ci EAs GAs hs s =1 0 EI s s =1 0 s =1 s =1 0 i =1

L

L

L

(6.67) Napominje se da ovaj izraz vrijedi za sisteme u ravni sastavljene od pravih {tapova i izlo`ene djelovanju optere}enja u ravni, promjeni temperature i slijeganju oslonaca. Jedna~ina (6.67) se mo`e primijeniti za prora~un bilo kojeg generalisanog pomjeranja u bilo kojem pravcu, {to se odre|uje izborom generalisane jedini~ne sile. Postupak se sastoji u tome da se odrede dijagrami presje~nih sila od datog optere}enja, postavi jedini~na sila u ta~ku ~ije se pomjeranje tra`i i to u pravcu tra`enog pomjeranja, a zatim se nacrtaju dijagrami presje~nih sila od jedini~nog pomjeranja. Nakon toga se izra~unava tra`eno pomjeranje prema jedna~ini (6.67). U zavisnosti od toga kakvu generalisanu silu postavljamo, mogu se ra~unati slijede}a pomjeranja:

66

Statika konstrukcija I

Prora~un pomjeranja

1. linijsko pomjeranje u nekom pravcu - koncentrisana sila 2. ugao zaokreta - koncentrisani momenat 3. promjena rastojanja izme|u dvije ta~ke (A i B) - dvije koncentrisane sile suprotnih smjerova u pravcu odre|enom ta~kama A i B 4. relativna rotacija dva presjeka, tj. promjena ugla izme|u tangenti na dva presjeka - dva koncentrisana momenta suprotnih smjerova 5. ugao zaokreta {tapa - dvije koncentrisane sile koje ~ine jedini~ni spreg Ukoliko se nakon izra~unavanja pomjeranja prema jedna~ini (6.67) dobije negativan rezultat, tada je tra`eno pomjeranje u suprotnom smjeru od aplicirane jedini~ne sile. U jedna~ini (6.67) su obuhva}eni svi vanjski uticaji i doprinos svih unutra{njih sila. U praksi se naj~e{}e koristi samo integral gdje su podintegralne funkcije momenti. Razlog tome je to {to je vrijednost ovog integrala obi~no mnogo ve}a od vrijednosti integrala sa transverzalnim i normalnim silama. Naime, momenti, transverazalne i normalne sile imaju isti red veli~ine kada se momenti izra`avaju u kNm, ali su momenti inercije mnogostruko puta manji od povr{ine popre~nih presjeka kada se ove veli~ine izra`avaju u m4, odnosno m2. Integrali jedna~ine (6.67) se mogu ra~unati na razli~ite na~ine. U statici konstrukcija se najvi{e koristi tzv. postupak Vere{~agina. Ovaj postupak je izveden za prora~un integrala gdje je podintegralna funkcija jednaka proizvodu dvije funkcije, od kojih je jedna linearna. U op{tem slu~aju, dakle, imamo: b

∫ a

b

b

b

a

a

a

f1 ( x ) f ( x )dx = ∫ ( a + bx ) f ( x )dx = a ∫ f ( x ) dx +b ∫ xf ( x ) dx

= aA + bxT A = A ( a + bxT ) = Af1 ( xT )

(6.68)

gdje je A povr{ina ispod funkcije f ( x ) , a f1 ( xT ) ordinata linearne funkcije u ta~ki te`i{ta povr{ine A. Prema tome, postupkom Vere{~agina se ra~una integral proizvoda dvije funkcije, od kojih bar jedna mora biti linearna, na taj na~in {to se sra~una povr{ina ispod nelinearne funkcije, na|e njeno te`i{te i pomno`i sa ordinatom linearne funkcije u ta~ki tog te`i{ta. Iz prikazanog izvo|enja, sasvim je jasno da se ne mo`e isti integral ra~unati tako {to }e se povr{ina ispod linearne funkcije mno`iti sa ordinatom nelinearne funkcije iznad te`i{ta. U slu~aju da {tap ima promjenjiv popre~ni presjek, integracija se ne mo`e izvesti postupkom Vere{~agina. Tada se integraljenje mo`e izvr{iti jednom od metoda numeri~ke integracije, kojima se dobiva pribli`no rje{enje integrala.

67