Statica Navei

CUPRINS PREFAŢĂ ………………………………………………………..

9

CAPITOLUL I. NOŢIUNI INTRODUCTIVE ............................ 1. Câteva argumente în favoarea importanţei studierii teoriei navei ……………………………………………………….. 2. Statica navei ca parte importantă a teoriei navei. Calităţile nautice ale navei .................................................................. 3. Principalele caracteristici geometrice ale corpului navei. Sistemul de coordonate ....................................................................... 4. Coeficienţi de fineţe. Rapoarte între dimensiuni ...........................

11

CAPITOLUL II. FLOTABILITATEA NAVEI ........................... 5. Parametrii unei plutiri ..................................................................... 6. Forţe care acţionează asupra navei. Condiţii de echilibru ............. 7. Greutatea navei. Coordonatele centrului de greutate ..................... 8. Calculul elementelor hidrostatice ale carenei şi curbele de variaţie ale acestora cu pescajul. Diagrama de carene drepte ............ 8.1 Volumul carenei, deplasamentul, coordonatele centrului de carenă .......................................................... 8.2 Aria plutirii, abscisa centrului plutirii, momentele de inerţie longitudinală şi transversală ale plutirii ............... 8.3 Ariile secţiunilor transversale. Curba ariilor secţiunilor transversale ...................................................................... 8.4 Diagrama de carene drepte ............................................. 8.5 Formule empirice pentru calculul unor mărimi hidrostatice pe carene drepte ........................................... 9. Calculul practic de carene drepte. Metode numerice ..................... 10. Calculul de carene înclinate .......................................................... 10.1 Diagrama Bonjean ......................................................... 10.2 Diagrama de asietă ......................................................... 10.3 Calculul volumului carenei şi al coordonatelor centrului de carenă pentru o plutire oarecare. Curbele integrale ale secţiunilor transversale ................ 11. Influenţa ambarcării şi debarcării de mase la bord asupra flotabilităţii navei. Deplasamentul unitar ........................................... 11.1 Ambarcarea de mase mici .............................................. 11.2 Ambarcarea de mase mari ............................................. 11.3 Deplasamentul unitar .....................................................

11 12 14 18 21 21 23 29 33 33 39 43 44 45 47 55 55 59 60 63 64 67 68

6 _______________________________________________________________________________

12. Influenţa modificării salinităţii apei asupra pescajului mediu al navei .................................................................................................... 13. Rezerva de flotabilitate. Marca de bord liber ............................... PROBLEME REZOLVATE .......................................................... CAPITOLUL III. STABILITATEA INIŢIALĂ A NAVEI ....... 14. Consideraţii generale despre stabilitatea navei ............................ 15. Înclinări izocarene. Teorema Euler .............................................. 16. Deplasarea centrului de carenă ..................................................... 17. Metacentre şi raze metacentrice ................................................... 18. Moment de redresare. Formula metacentrică a stabilităţii. Înălţimi metacentrice .......................................................................... 19. Momentul stabilităţii de formă şi momentul stabilităţii de greutate ................................................................................................ 20. Momentul unitar al înclinării transversale şi momentul unitar de asietă .................................................................................................... 21. Forţe perturbatoare ........................................................................ 22. Variaţia poziţiei metacentrului transversal cu pescajul. Raza metacentrică diferenţială ........................................................... 23. Influenţa salinităţii apei asupra stabilităţii şi asietei navei ........... 24. Influenţa deplasărilor de mase la bord asupra poziţiei şi stabilităţii navei ................................................................................... 25. Proba de stabilitate ........................................................................ 26. Influenţa încărcăturilor suspendate asupra stabilităţii navei ........ 27. Influenţa ambarcării şi debarcării de mase la bord asupra poziţiei şi stabilităţii navei .................................................................. 27.1 Ambarcarea de mase mici .............................................. 27.2 Ambarcarea de mase mari ............................................. 28. Influenţa încărcăturilor lichide cu suprafeţe libere asupra stabilităţii navei ................................................................................... PROBLEME REZOLVATE .......................................................... CAPITOLUL IV. STABILITATEA NAVEI LA UNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE .................................................................. 29. Consideraţii generale despre stabilitatea navei la unghiuri mari de înclinare .......................................................................................... 30. Coordonatele centrului de carenă şi ale metacentrului transversal ........................................................................................... 31. Momentul de stabilitate şi braţul stabilităţii pentru unghiuri mari de înclinare. Stabilitatea de formă şi stabilitatea de greutate .... 32. Înălţimea metacentrică generalizată ............................................. 33. Stabilitatea dinamică a navei. Braţul stabilităţii dinamice ........... 34. Diagramele de stabilitate statică şi dinamică. Proprietăţi ............

68 71 74 83 83 86 88 92 95 100 102 103 106 112 114 119 122 125 125 129 132 136 169 169 170 171 174 175 180

7 _______________________________________________________________________________

35. Comportarea navei sub acţiunea forţelor externe ........................ 36. Probleme practice care apar în timpul exploatării navei şi care se rezolvă cu ajutorul diagramelor de stabilitate ................................ 37. Modificarea diagramei de stabilitate statică la deplasarea şi ambarcarea de greutăţi la bordul navei .............................................. 38. Construirea şi utilizarea diagramei de pantocarene ..................... 39. Efectul modificării dimensiunilor principale ale navei asupra stabilităţii ............................................................................................. 40. Calculul practic al stabilităţii la unghiuri mari de înclinare utilizând metoda izocarenelor ............................................................. 41. Normarea stabilităţii. Conceptul global de siguranţă al navei ..... PROBLEME REZOLVATE .......................................................... CAPITOLUL V. PROBLEME LEGATE DE APLICAREA PRACTICĂ A STUDIULUI FLOTABILITĂŢII ŞI STABILITĂŢII NAVEI .................................................................. 42. Eşuarea navei ................................................................................ 43. Ridicarea pupei ............................................................................. 44. Momentul de stabilitate al navelor cu borduri verticale şi al navelor tip ponton paralelipipedic ...................................................... 45. Stabilitatea navei pe doc ............................................................... 46. Stabilitatea navelor pe valuri de urmărire .................................... PROBLEME REZOLVATE ..........................................................

184 186 196 199 203 211 222 226

233 233 236 238 243 245 248

CAPITOLUL VI. NESCUFUNDAREA NAVEI ......................... 47. Generalităţi. Tipuri de compartimente inundate. Extinderea şi localizarea avariei ............................................................................... 48. Efectele fundamentale ale avariei ................................................. 49. Calculele stabilităţii la avarie ....................................................... 49.1 Metoda ambarcării de mase la bord ............................... 49.2 Metoda deplasamentului constant ................................. 50. Calculul lungimilor inundabile ..................................................... 51. Calculul diagramei de stabilitate statică pentru o navă avariată .. PROBLEME REZOLVATE ..........................................................

259 259 261 262 263 266 269 274 278

BIBLIOGRAFIE ..............................................................................

283

8 _______________________________________________________________________________

PREFAŢĂ

În lucrarea de faţă, autorul îşi propune să trateze problemele fundamentale ale staticii navei, adresându-se ofiţerilor de marină, în drumul lor spre devenire de la ofiţer cu responsabilitatea cartului (nivelul operaţional), până la comandant de navă sau şef mecanic (nivel managerial). Lucrarea se adresează deopotrivă studenţilor instituţiilor de învăţământ superior de marină, reprezentând o parte însemnată din "Teoria şi Construcţia Navei"; disciplină de specialitate din planul de învăţământ. Deşi nava ar trebui să fie o construcţie plutitoare la bordul căreia echipajul să-şi desfăşoare activitatea în siguranţă deplină, ştiinţa nu a ajuns la această performanţă, datorită faptului că nava operează la interfaţa dintre două medii fluide, ale căror evoluţii sunt departe de a fi cunoscute în totalitate. Cu toate acestea, studiile societăţilor de asigurare şi ale marilor companii de navigaţie au arătat că nu cauzele ştiinţifice sunt preponderent la originea accidentelor maritime, ci eroarea umană în proporţie de peste 80%. Cum întreaga activitate navală este centrată pe problema siguranţei: siguranţa vieţii pe mare, siguranţa mediului, siguranţa mărfii şi siguranţa navei, înseamnă că este necesar să se cunoască cât mai exact comportarea navei la acţiunea cauzelor externe pe de o parte, precum şi instruirea personalului navigant conformă cu cerinţele prevăzute în regulamentele naţionale şi internaţionale din domeniu, pe de altă parte. Lucrarea este structurată pe 6 capitole după cum urmează: Capitolul I. Noţiuni introductive cuprinde descrierea geometrică a formelor navei (principalele caracteristici geometrice, coeficienţi de fineţe şi rapoartele între dimensiuni), precum şi sistemul de coordonate în raport cu care se realizează calculele de statica navei. Capitolul II. Flotabilitatea navei cuprinde calculul elementelor hidrostatice ale carenei pe plutiri drepte şi înclinate, precum şi calculul influenţei ambarcării/debarcării de mase la bord dar şi a modificării salinităţii apei asupra navei pe carenă dreaptă. Capitolul III. Stabilitatea iniţială a navei cuprinde o analiză a fenomenelor şi modificărilor care se produc la înclinarea navei cu unghiuri mici; atât în plan longitudinal, cât şi în plan transversal în cazul diferitelor situaţii practice care apar în timpul exploatării navei cum sunt: deplasări, ambarcări şi debarcări de mase la bord, suprafeţe libere de lichid în tancuri, încărcături suspendate. Capitolul IV. Stabilitatea navei la unghiuri mari de înclinare cuprinde o analiză a fenomenelor care se produc la înclinarea navei cu unghiuri mari în plan

9 _______________________________________________________________________________

transversal, precum şi modul de trasare a diagramelor de stabilitate statică şi dinamică ale navei. Sunt prezentate tipurile de probleme practice care apar în timpul exploatării şi care se rezolvă cu ajutorul diagramelor de stabilitate, precum şi recomandările Organizaţiei Maritime Internaţionale (I.M.O.) privitoare la stabilitatea navelor cargo şi pasagere. Capitolul V. Probleme legate de aplicarea practică a studiului flotabilităţii, stabilităţii navei cuprinde analiza câtorva probleme care apar în timpul exploatării navei cum sunt: eşuarea, ridicarea pupei, stabilitatea navei pe doc, stabilitatea navei pe valuri de urmărire. Capitolul VI. Nescufundarea navei cuprinde analiza flotabilităţii şi stabilităţii navei avariate, precum şi metodele cu care se face această analiză. Originalitatea lucrării constă într-o abordare practică a fenomenelor legate de statica navei. Pentru a facilita înţelegerea şi aprofundarea aspectelor prezentate în această lucrare, la sfârşitul capitolelor II, III, IV, V şi VI sunt prezentate seturi de probleme rezolvate.

Autorul

10 _______________________________________________________________________________

CAPITOLUL I. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1. CÂTEVA ARGUMENTE ÎN FAVOAREA IMPORTANŢEI STUDIERII TEORIEI NAVEI În contextul globalizării economiei mondiale, în momentul actual, mai mult de 90% din comerţul mondial se face pe mare cu ajutorul navelor de transport. Fără industria de shipping importul, respectiv exportul de mărfuri nu ar fi posibil şi jumătate din populaţia omenirii ar suferi de foame iar cealaltă jumătate ar suferi de frig. Comerţul pe mare va continua să se dezvolte în continuare în beneficiul consumatorilor din întreaga lume fiind cel mai eficient şi cel mai puţin poluant, în acelaşi timp. Statisticile de la începutul anului 2008 arată că flota mondială conţine circa 50.525 de nave de transport aparţinând a peste 150 de naţiuni cu un tonaj însumat de 728.225.000 TR, la bordul cărora îşi desfăşoară activitatea aproximativ 1 milion de navigatori. Tansportul maritim a crescut de la 10.000 miliarde tone x mile marine în 1970 la aproximativ 35.000 miliarde tone x mile marine în 2007. La nivel mondial activitatea în shipping este reglementată de Organizaţia Maritimă Internaţională (IMO – International Maritime Organisation) care numără peste 150 de ţări membre şi care în ultimele decenii şi-a centrat întreaga activitate pe problema siguranţei transportului naval. Nava este o construcţie plutitoare, inginerească, destinată transportului de mărfuri şi pasageri (navele de transport) sau pentru efectuarea unor operaţiuni în porturi şi pe căile navigabile (navele tehnice). Construcţia navelor reprezintă, fără îndoială, un domeniu tradiţional în cadrul industriei transporturilor datorită elementului principal extrem de simplu pe care se bazează: "principiul lui Arhimede". Nava trebuie să fie o construcţie plutitoare care să opereze în siguranţă deplină, în condiţii de mediu cunoscute. Istoria dezastrelor navale dovedeşte că această cerinţă este încă o problemă nerezolvată pe plan mondial şi a cărei dificultate apare din faptul că nava operează la interfaţa dintre două medii fluide a căror evoluţie este oarecum predictibilă. Cauzele accidentelor navale sunt de natură tehnică, ştiinţifică, economică la care se adaugă, nu în ultimul rând, eroarea umană. Studiile societăţilor de asigurare şi ale marilor companii de navigaţie efectuate pentru fiecare caz în parte au ajuns la concluzia că mai mult de 80 % sau datorat erorilor umane. Rezoluţia I.M.O. A.596 (15) din 1987 subliniază că "majoritatea accidentelor maritime se datorează erorilor umane". Ca o măsură absolut necesară în noiembrie 1993, Adunarea I.M.O. a adoptat Codul I.S.M. (International Safety Management), un standard internaţional pentru

11 _______________________________________________________________________________

managementul în deplină siguranţă al navei, corespunzător fiecărei situaţii de operare şi pentru prevenirea poluării mediului marin, care a intrat în vigoare la 24 mai 1994. Orice navă la bordul căreia s-a implementat codul I.S.M. printr-un set de proceduri specifice primeşte Certificatul de Management, care se verifică în timpul inspecţiilor Port State Control. Aceste proceduri acoperă problematica întreagă a activităţilor de la bord constituind " Manualul procedurilor operaţionale de la bordul navei ". Pe de altă parte, pentru a limita numărul accidentelor navale care se datorează erorilor umane, în 1995, a fost adoptat codul S.T.C.W. (Standards of Training, Certification and Watchkeeping for Seafarers) care reprezintă un sumum minim de competenţe pe care trebuie să le posede orice membru al echipajului, corespunzător funcţiei pe care o ocupă. Pentru a justifica importanţa problematicii abordate în această carte, prezentăm câteva competenţe din S.T.C.W. corespunzătoare funcţiei de comandant la o navă cu tonaj brut de şi peste 500 t, care reclamă cunoştinţe din domeniul teoriei şi construcţiei navei. Competenţa: ¨ Planificarea şi asigurarea siguranţei încărcării, stivuirii, transportului şi descărcării mărfii Cunoaştere, înţelegere, capacitate operaţională: ® cunoaşterea efectului pe care mărfurile şi operaţiunile cu mărfurile îl au asupra asietei şi stabilităţii navei; ® folosirea diagramelor de stabilitate şi asietă, a aparaturii de calcul a solicitărilor, inclusiv a aparaturii automate ce operează pe baza unei bănci de date. Competenţa: ¨ Controlul asietei, stabilităţii şi a solicitărilor care acţionează asupra corpului navei Cunoaştere, înţelegere, capacitate operaţională: ® înţelegerea principiilor fundamentale ale construcţiei navei, ale teoriilor şi factorilor care afectează asieta şi stabilitatea, precum şi măsurile necesare pentru păstrarea asietei şi stabilităţii; ® cunoaşterea efectului pe care eventuala avarie şi ulterioara inundare a unui compartiment îl are asupra asietei şi stabilităţii precum şi contramăsurile care trebuie luate. Ca o concluzie, întreaga activitate de transport naval este centrată pe problema siguranţei. Administraţiile semnatare ale convenţiilor internaţionale, marile societăţi de clasificare, companiile de asigurare şi chiar companiile de management naval sunt din ce în ce mai preocupate de: siguranţa vieţii pe mare, siguranţa mediului, siguranţa mărfii şi siguranţa navei. Pentru îndeplinirea acestor deziderate este necesar să se cunoască cât mai exact comportarea navei din punct de vedere cinematic, dinamic şi

12 _______________________________________________________________________________

structural pe de o parte, precum şi instruirea personalului navigant conformă cu cerinţele prevăzute în regulamentele naţionale şi internaţionale din domeniu, pe de altă parte. 2. STATICA NAVEI CA PARTE IMPORTANTĂ A TEORIEI NAVEI. CALITĂŢILE NAUTICE ALE NAVEI În cadrul teoriei navei, preocuparea esenţială constă în studiul calităţilor nautice precum şi modul în care: caracteristicile geometrice ale navei (dimensiuni principale, rapoarte între dimensiuni, formele suprafeţei imerse), distribuţia de greutăţi de la bordul navei, acţiunea factorilor externi (forţe şi momente hidrodinamice datorate acţiunii valurilor mării) etc. influenţează aceste calităţi. S-au identificat următoarele calităţi nautice ale navei: flotabilitatea, stabilitatea, nescufundabilitatea, caracteristici bune de oscilaţie, manevrabilitatea, rezistenţa la înaintare mică. Flotabilitatea este calitatea navei de a pluti cu întreaga încărcătură la bord, la pescajul dorit şi în poziţia dorită. Nava trebuie să posede şi o rezervă minimă de flotabilitate care depinde de tipul de navă, de tipul de încărcătură şi de zona de navigaţie. Stabilitatea reprezintă calitatea navei de a reveni la poziţia iniţială de echilibru, după dispariţia cauzei externe care a scos-o din această poziţie. Nescufundabilitatea reprezintă capacitatea navei de a-şi păstra flotabilitatea şi stabilitatea în limite rezonabile atunci când un compartiment sau un grup de compartimente sunt inundate. În timpul navigaţiei pe mare montată, nava va executa mişcări pe toate gradele de libertate, din care unele sunt mişcări oscilatorii. Aceste mişcări trebuie să aibă amplitudini cât mai mici şi perioade cât mai mari (Caracteristici bune de oscilaţie). Prin manevrabilitate se înţelege păstrarea sau modificarea controlată a direcţiei de deplasare, incluzând în aceasta şi modificarea vitezei. Aceasta presupune ca nava: să poată să-şi păstreze o traiectorie de mişcare dorită, adică să posede stabilitate de drum; să poată să-şi modifice oricând această traiectorie la ordinul comandantului, adică să execute guvernarea. Nava trebuie, de asemenea, să posede o rezistenţă la înaintare mică, care se obţine încă din faza de proiectare, prin alegerea unei arhitecturi a suprafeţei imerse corespunzătoare vitezei la care nava urmează să fie exploatată. În varianta modernă, teoria navei este o ramură a hidromecanicii aplicate, motiv pentru care mai poartă denumirea şi de hidromecanica navei, bazându-se pe legile mecanicii teoretice şi hidromecanicii. Teoria navei permite să se determine forţele hidrostatice şi hidrodinamice care acţionează asupra corpului navei, considerând nava ca un solid, rigid,

13 _______________________________________________________________________________

nedeformabil. Determinarea acestor forţe reprezintă baza pentru calculul static şi dinamic al structurilor care alcătuiesc corpul navei. Statica navei este acea parte din teoria navei care se concentrează pe calităţile nautice de bază: flotabilitatea, stabilitatea şi nescufundabilitatea, aceasta din urmă însemnând flotabilitatea şi stabilitatea navei avariate. În accepţiunea modernă, statica şi dinamica nu pot fi separate în special pentru faptul că metodele dinamicii sunt utilizate pentru rezolvarea unor probleme practice de stabilitate (stabilitatea navei la acţiunea dinamică a vântului, stabilitatea pe valuri longitudinale, stabilitatea remorcherelor sub efectul de smucitură la cârlig etc.). Prin urmare, separarea teoriei navei în statica şi dinamica navei este absolut formală, fiind adevărat însă că majoritatea problemelor de flotabilitate, stabilitate şi nescufundabilitate se rezolvă cu ajutorul metodelor staticii. În această carte s-a avut în vedere realizarea următoarelor obiective: stabilirea caracteristicilor cu ajutorul cărora să poată fi evaluată calitativ şi cantitativ flotabilitatea şi stabilitatea navei neavariate şi avariate; modelarea matematică a problemelor practice legate de flotabilitatea şi stabilitatea navei, care să ofere legătura dintre aceste calităţi nautice, dimensiunile principale şi formele navei. 3. PRINCIPALELE CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE CORPULUI NAVEI. SISTEMUL DE COORDONATE O navă se poate împărţi în mai multe complexe constructive: corpul, suprastructurile şi rufurile, instalaţia energetică, propulsorul, instalaţiile de punte şi cu tubulaturi, instalaţiile electrice şi radio etc., fiecare dintre aceste complexe ridicând probleme specifice de proiectare, construcţie şi exploatare. Partea principală a oricărei nave o constă corpul alcătuit dintr-un înveliş subţire şi etanş, întărit la interior cu cadre transversale şi longitudinale care formează structura corpului şi îi conferă rigiditatea necesară. Reprezentarea grafică a corpului navei se concretizează în planul de forme. El se foloseşte pentru efectuarea calculelor hidrostatice necesare în procesul de proiectare şi în timpul exploatării navei, la reparaţiile la corp, la andocare, etc. Ca plane principale în statica navei se definesc următoarele trei plane reciproc perpendiculare (Fig.1):

14 _______________________________________________________________________________

Fig. 1

a) Planul diametral ( P.D.) este un plan vertical longitudinal care împarte nava în două jumătăţi simetrice tribord (Tb ) şi babord ( Bb ) . Intersecţia corpului navei cu planul diametral este un contur închis, numit conturul navei în planul diametral. Intersecţia planului diametral cu chila reprezintă linia chilei. Dacă în poziţia de plutire linia chilei este paralelă cu suprafaţa de plutire se spune că nava este pe chilă dreaptă. În caz contrar, linia chilei este înclinată faţă de suprafaţa apei, cu un pescaj mai mare la pupa. Se spune că nava este apupată sau cu asieta la pupa. Această soluţie se adoptă la unele nave deoarece din punct de vedere hidrodinamic, complexul "elice - cârmă" funcţionează în condiţii mai bune la pescaje mai mari. Planul plutirii de calcul este planul orizontal care coincide cu suprafaţa apei liniştite, corespunzător pescajului pentru care a fost proiectată nava. Acest plan împarte nava în două părţi distincte: partea imersă numită şi carenă şi partea emersă. Corespunzător, avem suprafaţa imersă în contact cu apa şi suprafaţa emersă în contact cu aerul atmosferic. Planul plutirii de calcul intersectează suprafaţa corpului navei după o curbă plană închisă, denumită linie de apă, care închide la interior plutirea de calcul sau plutirea de proiectare ( CWL ) . Conform regulilor Registrului Naval Român (R.N.R.) se definesc următoarele două perpendiculare (Fig. 2):

15 _______________________________________________________________________________

Fig. 2

Perpendiculara prova

(P )

este dreapta verticală care trece prin punctul de intersecţie dintre linia interioară a etravei şi CWL . Perpendiculara pupa ( Ppp ) este dreapta verticală conţinută în planul diametral, dusă prin axul cârmei sau la 96 % din lungimea plutirii de calcul ( LCWL ) . Pentru calculul elementelor geometrice ale carenei trebuie considerată o lungime care să reprezinte o valoare medie a lungimii carenei pentru diferite plutiri. În general, pentru aceste calcule se foloseşte lungimea recomandată de societăţile de clasificare pentru navele comerciale, respectiv lungimea plutirii de calcul pentru navele militare. R.N.R. recomandă lungimea între perpendiculare. b) Planul secţiunii de la mijlocul navei este un al doilea plan important în descrierea formelor geometrice ale navei. Este un plan lateral, perpendicular pe planul diametral, situat la jumătatea lungimii de calcul, în general reprezentat prin simbolul . Acest simbol a fost iniţial utilizat pentru a desemna planul secţiunii transversale de arie maximă sau planul "cuplului maestru". Planul cuplului maestru împarte nava în două jumătăţi: jumătatea prova şi jumătatea pupa. La navele moderne de transport există o zonă la mijlocul navei unde secţiunea transversală se păstrează constantă, care se numeşte "zonă cilindrică". c) Planul de bază este planul paralel cu planul plutirii de calcul, dus prin punctul de intersecţie al planului secţiunii de la mijlocul navei cu linia de bază. Urma planului de bază pe planul diametral se numeşte linie de bază ( L.B.) . Sistemul de coordonate faţă de care ne vom raporta în calculele de statica navei are axele situate la intersecţia a două câte două din cele trei plane principale (vezi Fig. 1). Originea acestui sistem K se numeşte punct de chilă. Axa x este la intersecţia lui P.B. cu P.D. şi pozitivă spre prova; axa y este la intersecţia lui P.B. cu şi pozitivă spre tribord; axa z este la intersecţia lui cu P.D. şi este pozitivă în sus. Acesta este un sistem mobil în spaţiu, legat de navă. Asupra sistemelor de coordonate vom mai reveni în capitolul următor. pv

16 _______________________________________________________________________________

Dimensiuni principale Dimensiunile navei sunt de două tipuri: dimensiuni teoretice (de calcul sau de construcţie) şi dimensiuni de gabarit de care trebuie să se ţină cont în exploatarea şi manevra navei. Acestea sunt: lungimea L , lăţimea B , înălţimea de construcţie D , pescajul d .

Fig. 3

În figura 3 sunt ilustrate următoarele dimensiuni principale: - lungimea la linia de plutire de calcul ( LCWL ) este distanţa măsurată în P.D. între punctele de intersecţie ale liniei de plutire de calcul cu etrava şi etamboul; - lungimea de construcţie sau de calcul (L) este lungimea definită conform prescripţiilor registrelor de clasificare şi serveşte la dimensionarea elementelor constructive ale navei; - lungimea maximă (Lmax) este distanţa orizontală măsurată între punctele extreme ale corpului navei, excluzând eventualele părţi nestructurale. Dacă nava este prevăzută cu părţi structurale, atunci aceeaşi distanţă se numeşte lungime de gabarit; - lungimea între perpendiculare (Lpp) este distanţa măsurată între perpendicularele prova şi pupa; - lăţimea de calcul (B) este distanţa măsurată între tangentele paralele la axa de simetrie a plutirii de calcul. Pentru navele care au zonă cilindrică, lăţimea este măsurată în secţiunea de la mijlocul navei pe plutirea de calcul; - lăţimea maximă (Bmax) este distanţa măsurată între punctele extreme ale corpului în secţiunea de la mijlocul navei, excluzând eventualele părţi nestructurale. Dacă nava este prevăzută cu părţi structurale, atunci aceeaşi distanţă se numeşte lăţime de gabarit; - înălţimea de construcţie ( D ) este distanţa verticală dintre P.B. şi punctul de intersecţie al punţii cu bordajul, măsurată în planul secţiunii de la mijlocul navei;

17 _______________________________________________________________________________

- înălţimea bordului liber ( F ) este distanţa verticală măsurată în secţiunea de la mijlocul navei de la linia de plutire până la intersecţia punţii de bord liber cu bordajul; - pescajul de calcul ( d ) este distanţa verticală măsurată în secţiunea de la mijlocul navei între L.B. şi plutirea de calcul; - pescajele prova şi pupa ( d pv , d pp ) sunt distanţele verticale, măsurate la cele două perpendiculare de la linia chilei până la plutirea de calcul. Dacă cele două pescaje au valori diferite, se spune că nava are asietă. Nava este aprovată sau apupată dacă pescajul prova ( d pv ) este mai mare decât pescajul pupa ( d pp ) şi invers. Asieta este diferenţa dintre pescajul prova şi pescajul pupa. În această situaţie, pescajul mediu dm va fi media aritmetică a celor două pescaje: dm =

d pv + d pp 2

(3.1)

Planul de forme Geometria navei se concretizează prin planul de forme care se obţine secţionând nava cu plane paralele cu planele principale şi suprapunând curbele rezultate. El este util în efectuarea calculelor necesare la proiectarea navei, cât şi în timpul exploatării acesteia; spre exemplu, la andocare sau la reparaţii care se execută la corp, când este nevoie de detalierea formelor navei în anumite zone. Secţiunile care se fac în corpul navei paralele cu P.B. se numesc plutiri, iar numărul acestora este de la 4 la 10, în funcţie de mărimea navei şi complexitatea formelor geometrice. Proiecţia liniilor de plutiri pe P.B. reprezintă "orizontalul" planului de forme. Secţiunile paralele cu se numesc "cuple". Numărul lor poate fi de 10, 20 sau 40, dispuse echidistant între Ppp şi Ppv . Cuplele se numerotează cu cifre arabe (de exemplu, cupla 0 se suprapune pe P.D. cu Ppp şi cupla 20 cu Ppv ). La extremităţi, unde formele navei sunt mai fine, cuplele pot fi mai dese. Proiectând cuplele pe se obţine "lateralul" planului de forme. Secţiunile paralele cu P.D. se numesc "verticale". Numărul lor este între 2 şi 5. Intersecţia corpului navei cu P.D. dă forma etravei, etamboului, chilei şi a liniei punţii. Proiecţiile acestor secţiuni pe P.D. reprezintă "verticalul" planului de forme. Suprafaţa punţii poate fi comparată cu o "şa", fiind o suprafaţă cu dublă curbură atât în sens transversal, cât şi longitudinal. Curbura liniei punţii se mai numeşte şi selatură.

18 _______________________________________________________________________________

4. COEFICIENŢI DE FINEŢE. RAPOARTE ÎNTRE DIMENSIUNI Coeficienţii de fineţe sau coeficienţii de plenitudine sunt rapoarte adimensionale dintre arii şi volume proprii ale navei şi caracterizează geometria acesteia. Coeficienţii de fineţe ai ariilor sunt: a) Coeficientul secţiunii maestre ( CM ) reprezintă raportul dintre aria secţiunii maestre şi aria dreptunghiului circumscris: CM =

AÄ B×d

(4.1)

Valoarea acestui coeficient este cuprinsă între 0,62 la navele cu forme foarte fine şi 0,995 la supertancuri. b) Coeficientul ariei de plutire ( CWL ) reprezintă raportul dintre aria plutirii şi aria dreptunghiului circumscris, adică: CWL =

AWL L×B

(4.2)

Dacă se calculează acest coeficient pentru plutiri diferite de plutirea de plină încărcare, atunci L este L pp sau chiar lungimea plutirii curente. La plutirea de plină încărcare, valoarea lui CWL este cuprinsă între 0,65 şi 0,95 depinzând de tipul navei, viteză şi alţi factori. Coeficienţii de fineţe ai volumelor sunt: a) Coeficientul de bloc ( CB ) reprezintă raportul dintre volumul carenei V şi volumul paralelipipedului dreptunghic având dimensiunile L , B şi d , adică: V (4.3) L×B×d De la o autoritate maritimă la alta L poate fi Lpp sau LWL. De regulă, pentru plutirile inferioare L se consideră lungimea plutirii respective. Lăţimea şi pescajul CB =

se iau în calcul la plutirea considerată măsurate în secţiunea de la mijlocul navei. Valoarea acestui coeficient este cuprinsă între 0,36 la navele de sport şi agrement şi 0,85 la supertancuri. b) Coeficientul prismatic longitudinal ( CLP ) sau, mai simplu, coeficientul longitudinal reprezintă raportul dintre volumul carenei V şi volumul prismei ce are ca bază aria secţiunii maestre AÄ şi lungimea egală cu lungimea navei L , adică: CLP =

V AÄ × L

V = L × B × d × CM

CB = CM

(4.4)

Acest coeficient ne dă o imagine asupra distribuţiei volumului pe lungimea navei, valoarea sa fiind cuprinsă între 0,5 şi 0,9. Valorile mici sunt pentru navele cu forme fine iar cele mari pentru navele cu forme pline şi zone cilindrice prelungite.

19 _______________________________________________________________________________

c) Coeficientul prismatic vertical ( CVP ) reprezintă raportul dintre volumul carenei V şi volumul cilindrului ce are ca bază aria plutirii şi ca înălţime pescajul navei, adică: CVP =

V AWL × d

V = L × B × d × CWL

CB = CWL

(4.5)

Acest coeficient ne oferă o imagine asupra distribuţiei volumului pe înălţimea navei. d) Coeficientul volumetric sau raportul volumului pe lungime ( CV ) este definit de relaţia: CV =

V L3

În unele publicaţii acest coeficient este utilizat în forma

(4.6) D

( L 100 )

3

, unde D este

deplasamentul navei în tone lungi, iar L este lungimea navei în picioare englezeşti; el pierzându-şi astfel caracterul adimensional. Valoarea acestui coeficient este cu atât mai mare, cu cât nava are lungimea mai mică la acelaşi pescaj şi variază între 1,0 pentru nave lungi, cum sunt distrugătoarele şi 15,0 pentru nave scurte, cum sunt traulere. Rapoartele între dimensiuni sunt mărimi adimensionale care oferă o imagine asupra calităţilor nautice şi manevriere ale navei. Cele mai utilizate sunt: -

raportul lungime pe lăţime

L a cărui valoare se situează în limitele de la 3,5 B

la 10, oferă indicii legate de rezistenţa la înaintare şi manevrabilitatea navei. Astfel, navele cu

L mare au rezistenţa la înaintare mică, stabilitate transversală B

mai mică, stabilitate de drum bună, sunt mai puţin manevriere şi invers pentru navele cu -

L mic. B

raportul lăţime pe pescaj

B a cărui valoare se situează între 1,8 şi 5, oferă d

indicii legate de stabilitate şi caracteristicile de oscilaţie ale navei. Astfel, navele cu

B mare au stabilitate mare, dar în timpul navigaţiei pe valuri vor executa d

oscilaţii de ruliu dure (amplitudini şi frecvenţe mari de oscilaţie). -

raportul lungime pe pescaj

L a cărui valoare se situează între 10 şi 30. d

Pentru exemplificare, în tabelul 1 sunt prezentate dimensiunile principale, coeficienţii de fineţe şi rapoartele între dimensiuni pentru diferite tipuri de nave.

20 _______________________________________________________________________________ Tabelul 1

Lpp B d B Tipul D CB CM CLP CWL CVP CV L [m] [m] [m] navei B d [t] Navă 246.89 32.23 10.67 50370 0.579 0.965 0.6 0.748 0.774 3.26 7.94 2.91 Navă Roll 195.07 31.09 9.75 34430 0.568 0.972 0.584 0.671 0.846 5.18 6.27 3.19 Petrolier 192.02 27.43 10.40 43400 0.772 0.986 0.784 0.854 0.904 5.98 7,0 2.64 Petrolier 323.09 54.25 20.39 308700 0.842 0.996 0.845 0.916 0.919 8.9 5.96 2.66 Fregată 124.36 13.74 4.37 3390 0.449 0.741 0.605 0.727 0.618 1.7 9.05 3.14 Spărgător 107.29 23.77 8.53 10900 0.488 0.853 0.572 0.740 0.660 8.97 4.51 2.79 Trauler 23.75 6.71 2.53 222 0.538 0.833 0.646 0.872 0.617 16.2 3.54 2.65 L.N.G. 273.41 43.74 10.97 97200 0.722 0.995 0.726 0.797 0.906 4.64 6.25 3.99 Bulk 260.60 32.23 13.96 100500 0.836 0.996 0.839 0.898 0.931 5.54 8.09 2.31

21 _______________________________________________________________________________

CAPITOLUL II. FLOTABILITATEA NAVEI 5. PARAMETRII UNEI PLUTIRI Poziţia navei în raport cu suprafaţa liberă a apei este definită de poziţia relativă a două sisteme de coordonate, unul fix în raport cu nava, dar mobil în spaţiu despre care am vorbit în § 3 (Fig.1) şi unul fix în spaţiu legat de suprafaţa liniştită a apei. Este foarte dificil de găsit un singur sistem de coordonate, unanim acceptat pentru rezolvarea tuturor problemelor legate de teoria navei. În mod particular, pentru fiecare problemă se adoptă sistemul de coordonate cel mai convenabil din punct de vedere al exprimării comportării navei. Sunt trei parametri care definesc poziţia navei în raport cu suprafaţa apei şi care se mai numesc şi parametrii plutirii (Fig. 4).

Fig. 4

1) pescajul corespunzător punctului A de intersecţie al plutirii cu axa oz , dm ; 2) unghiul q de înclinare longitudinală (unghiul dintre axa ox şi intersecţia P.D. cu planul plutirii); 3) unghiul j de înclinare transversală (unghiul dintre axa oy şi intersecţia cu planul plutirii).

22 _______________________________________________________________________________

În cazul cel mai general, poziţia navei în raport cu suprafaţa liberă a apei este înclinată atât longitudinal ( q ¹ 0 ) , cât şi transversal ( j ¹ 0 ) . Nava poate avea numai înclinare longitudinală ( q ¹ 0 şi j = 0 ) sau numai înclinare transversală ( q = 0 şi j ¹ 0 ). Poziţia normală însă este considerată "pe carenă dreaptă " atunci când j = q = 0 . Cunoscând dimensiunile navei: L - lungimea de calcul; B - lăţimea navei şi citind pescajele: d pv – pescajul la prova; d pp – pescajul la pupa; dTb – pescajul la tribord; d Bb – pescajul la babord; la scările de pescaj: prova, pupa şi în ambele borduri, atunci parametrii plutirii se vor calcula cu relaţiile: dm =

d pv + d pp

; 2 d pv - d pp

pescajul mediu

; înclinarea longitudinală L d - d Bb tg j = Tb ; înclinarea transversală B tg q =

(5.1) (5.2) (5.3)

Vom observa că înclinarea longitudinală este considerată pozitivă atunci când d pv > d pp şi nava este aprovată, iar înclinarea transversală este pozitivă atunci când dTb > d Bb şi tribordul intră, iar babordul iese din apă. În cazul general, când q ¹ 0 şi j ¹ 0 suprafaţa apei va fi înclinată cu unghiul a faţă de P.B. Între aceste unghiuri există relaţia: tg 2 a tg=2 q + tg 2 j (5.4)

Fig. 5 a) navă pe carenă dreaptă; b) navă înclinată transversal; c) navă înclinată longitudinal

23 _______________________________________________________________________________

Cu referire la Fig. 5, c), nava înclinată longitudinal cu unghiul q, se va demonstra în Capitolul III - "Stabilitatea iniţială a navei" că planul plutirii iniţiale şi planul plutirii înclinate se intersectează după o axă ce trece prin centrul de greutate al plutirii iniţiale F , a cărui abscisă o notăm cu xF . Noile pescaje prova şi pupa se vor calcula cu relaţiile: æL ö d pv = d + ç - xF ÷ tg q 2 è ø æL ö d pp = d - ç + xF ÷ tg q è2 ø

L tg q 2 L d m=- tg q 2

dm =+

(5.4) (5.5)

unde: æL ö ç - xF ÷ tg q = d d pv ® variaţia pescajului prova 2 è ø æL ö ç + xF ÷ tg q = d d pp ® variaţia pescajului pupa è2 ø

(5.6)

(5.7) Legătura dintre pescajul de calcul ( d ) şi pescajul mediu ( dm ) este: (5.8) Pentru o secţiune transversală de abscisă x , pescajul corespunzător se va calcula cu relaţia: (5.9) d ( x ) = d + ( x - xF ) tg q d m=+ x tg q . d = d m + xF tg q

6. FORŢE CARE ACŢIONEAZĂ ASUPRA NAVEI. CONDIŢII DE ECHILIBRU Un corp poate pluti la suprafaţa apei, caz în care o porţiune din corp este în contact cu apa, iar cealaltă în contact cu aerul (navele de suprafaţă) sau poate pluti în condiţii de imersare completă (submarinele). Pe suprafaţa imersă a unui corp care nu se mişcă în raport cu apa vor acţiona forţele de presiune hidrostatică. Dacă vom considera plutitorul gol la interior, deci în contact cu aerul atmosferic, atunci presiunea care va trebui luată în consideraţie pentru a calcula acţiunea hidrostatică asupra plutitorului este presiunea relativă: p ' = rg ( d - z ) (6.1) Pe suprafaţa elementară dS de pe corp, va acţiona forţa de presiune elementară (Fig.6). r r r dF = - p ' n = dS rg ( z - d ) n dS (6.2) r unde n este versorul normalei la suprafaţa elementară dS . Cele trei componente vor fi:

24 _______________________________________________________________________________ ì dFx = - p 'cos ( n, x ) dS ï ídFy = - p 'cos ( n, y ) dS ï î dFz = - p 'cos ( n, z ) dS

(6.3)

Fig. 6

Momentul acestei forţe în raport cu originea este: r r r dM = r ´ dF cu componentele: ì dM x = y dFz - z dFy ï í dM y = z dFx - x dFz ïdM = x dF - y dF y x î z

(6.4)

Acţiunea hidrostatică asupra acestui corp se reduce în final la un torsor r r format din rezultanta F şi momentul rezultant M . Componentele acestor vectori se pot scrie: ì ï Fx = - ò p 'cos ( n, x ) dS S ï ï = F í y òS p 'cos ( n, y ) dS ï ï ï Fz = - ò p 'cos ( n, z ) dS î S

(6.5)

ì ï M x = ò p ' éë z cos ( n, y ) - y cos ( n, z ) ùû dS S ï ï í M y = ò p ' éë x cos ( n, z ) - z cos ( n, x ) ùû dS S ï ï ï M z = ò p ' éë y cos ( n, x ) - x cos ( n, y ) ùû dS S î

(6.6)

Raţionând strict matematic, putem calcula forţa hidrostatică ce acţionează asupra plutitorului folosind formula integrală a lui Gauss. Vom putea scrie:

25 _______________________________________________________________________________ r r F = - ò=p ' n dS r

ò - p ' n dS

(6.7)

S + AWL

S

Termenul adăugat

r p ' n dS

ò

-

este nul şi nu modifică valoarea integralei,

AWL

însă a fost necesar pentru a transforma integrala într-o integrală pe o suprafaţă închisă ( S + AWL reprezintă suprafaţa carenei plus aria plutirii, care închide la interior volumul carenei V ). Mai departe, aplicăm formula lui Gauss şi obţinem: r r F = - ò Ñ =p ' dV r gV k (6.8) V

Relaţia (6.8) exprimă faptul că forţa hidrostatică se reduce la o rezultantă verticală, componentele orizontale fiind nule, adică: (6.9) ò p 'cos ( n, x ) dS = ò p ' dS yoz = 0 S

S yoz

ò p 'cos ( n, y ) dS = ò S

p ' dS xoz = 0

(6.10)

S xoz

unde S yoz şi S xoz sunt proiecţiile suprafeţei carenei pe planele yoz respectiv xoz. În concluzie, componentele elementare dFx şi dFy se anulează două câte două şi asemănător momentele acestor componente faţă de axe, adică: (6.11) ò p ' z cos ( n, y ) dS = 0 ; ò p ' x cos ( n, y ) dS = 0 S

S

ò p ' z cos ( n, x ) dS = 0 ; ò p ' y cos ( n, x ) dS = 0 S

(6.12)

S

Înlocuind (6.11) şi (6.12) în (6.6), găsim: M x = -ò p ' = y cos ( n, z ) dS

ò rg ( z - d ) y cos ( n, z ) dS

S

M y = ò p ' =x cos ( n, z ) dS S

(6.13)

S

ò rg ( d - z ) x cos ( n, z ) dS

(6.14)

S

(6.15)

Mz = 0

sau mai departe: M x = rg ò zy cos ( n, z ) dS - rgd ò y cos ( n, z ) dS

(6.16)

M y = rgd ò x cos ( n, z ) dS - rg ò zx cos ( n, z ) dS

(6.17)

S

S

S

Vom observa că:

S

ò y cos ( n, z ) dS = 0 şi ò x cos ( n, z ) dS = 0 S

S

şi relaţiile anterioare se pot scrie: M x = rg ò zy cos ( n, z ) dS

(6.18)

M y = -rg ò zx cos ( n, z ) dS

(6.19)

S

S

În continuare, vom calcula integralele din expresiile (6.18) şi (6.19). Cu referire la Fig. 7, notăm z1 şi z2 cotele punctelor care se găsesc pe suprafaţa S pe

26 _______________________________________________________________________________

aceeaşi verticală în zonele superioară, respectiv inferioară ale acestei suprafeţe. De asemenea, S xoy reprezintă proiecţia întregii suprafeţe submerse pe planul xoy . Obţinem:

ò zy cos ( n, z ) dS = ò y ( z

1

S

- z2 ) dS xoy

S xoy

Fig. 7

Din Fig. 7 se observă că ( z1 - z2 ) dS xoy este volumul unei prisme elementare ce are ca bază suprafaţa dS xoy , iar ca înălţime ( z1 - z2 ) adică dV . Produsul ydV este momentul static elementar al acestui volum faţă de planul xoz . Raţionând identic şi pentru integrala din formula (6.19), vom putea scrie în final: M x = rg ò y ( z1 - z=2 ) dS xoy rgyBV (6.20) S xoy

M y = -rg

ò x(z

1

-=z2 ) dS xoy

-rgxBV

(6.21)

S xoy

Dacă adăugăm şi relaţia (6.8), obţinem acţiunea completă hidrostatică asupra plutitorului. În concluzie, asupra unui corp scufundat în lichid acţionează de jos în sus o forţă egală în mărime cu greutatea lichidului dezlocuit de acesta, suportul acestei forţe trecând prin centrul de greutate al volumului dezlocuit. Aceasta este legea lui Arhimede; forţa se numeşte forţă arhimedică sau forţă de împingere, iar centrul de greutate al volumului dezlocuit se notează cu B şi se numeşte centru de carenă. Coordonatele acestui punct se notează cu xB , yB , zB . Deoarece corpul navei este simetric în raport cu planul diametral, planul xoz şi, în consecinţă, momentul static al volumului carenei faţă de acest plan este nul, deci:

27 _______________________________________________________________________________ yB = 0 şi M x = 0

În afară de forţele hidrostatice, asupra navei acţionează şi forţele de greutate care se reduc la o rezultantă unică, denumită greutatea navei notată cu W . Punctul de aplicaţie al forţei de greutate se numeşte centru de greutate, se notează cu G şi are coordonatele xG , yG , zG (Fig. 8).

Fig. 8

Din punct de vedere mecanic, un solid este în echilibru atunci când forţa rezultantă care acţionează asupra lui şi momentul rezultant în raport cu un punct arbitrar sunt nule. În concluzie, pentru ca o navă să fie în echilibru sunt necesare şi suficiente a fi îndeplinite următoarele două condiţii: ® Forţa arhimedică să fie egală cu forţa de greutate; ® Cele două forţe să acţioneze pe acelaşi suport, adică: ìW = rg Ñ í î xB = xG ; y B = yG

(6.22)

În formulele (6.22) s-a notat cu Ñ volumul carenei diferit de notaţia anterioară V . Explicaţia este următoarea: prin V s-a notat volumul carenei calculat din planul de forme, unde sunt prezentate formele navei la interiorul tablelor ce formează corpul. În realitate, datorită grosimii tablelor, volumul dezlocuit de navă este mai mare, între Ñ şi V existând relaţia: (6.23) Ñ V = + dV = kV Coeficientul k are valori supraunitare cuprinse între 1,005 şi 1,01 în funcţie de mărimea navei, de existenţa şi mărimea apendicilor şi de tipul navei. Dacă notăm cu D masa navei, atunci prima relaţie din (6.22) devine: D= rÑ (6.24) motiv pentru care, masa navei se poate substitui prin deplasament. Relaţia (6.24) se numeşte ecuaţia flotabilităţii. Deplasamentul D se măsoară în tone, iar volumul carenei Ñ în m3 . Densitatea apei dulci este r=1 t/m3, iar a apei sărate variază între 1,009 şi 1,028 t/m3 în funcţie de zonă şi anotimp. În tabelul 2 sunt prezentate valorile densităţii apei de mare în funcţie de anotimp, în câteva zone de pe glob.

28 _______________________________________________________________________________

Tabelul 2 Densitatea r [t/m3] vară iarnă 1,009-1,011 1,011-1,014 1,027 1,031 1,010 1,012 1,021 1,028

Marea Marea Neagră Marea Mediterană Marea Baltică Marea Japoniei

Relaţia (6.8) a forţei hidrostatice care acţionează asupra navei aflate în repaus şi implicit ecuaţia flotabilităţii (6.24) este valabilă atâta timp cât toată suprafaţa imersă este în contact cu apa, deci nava pluteşte liber. Dacă nava este eşuată sau scufundată, atunci forţa hidrostatică este mai mică datorită faptului că pe zona aşezată pe fundul mării, sau pe o stâncă, nu mai acţionează presiunea hidrostatică.

Fig. 9

În situaţia din figura 9, nava este aşezată cu suprafaţa de contact A pe fundul şenalului navigabil. Pe această suprafaţă nu se manifestă presiunea hidrostatică. Dacă din volumul etanş al corpului navei se scade volumul cilindric, corespunzător suprafeţei A se obţine volumul V ' şi corespunzător, forţa de flotabilitate remanentă rgV ' . Pentru a putea desprinde nava de pe fundul apei este necesară o forţă verticală, dată de relaţia: F = W - rgV '+ ( p0 + rgh ) A (6.25) unde ( p0 + rgh ) A este forţa de presiune a apei care apasă pe suprafaţa de mărime A .

29 _______________________________________________________________________________

7. GREUTATEA NAVEI. COORDONATELE CENTRULUI DE GREUTATE În calculele de teoria navei, în general, şi de stabilitate, în particular, una din principalele probleme este determinarea poziţiei centrului de greutate. Greutatea navei este reprezentată de suma greutăţilor corespunzătoare grupelor de mase care compun deplasamentul navei: n

W = å qi

(7.1)

i =1

unde qi este greutatea corespunzătoare grupei de mase " i ". Centrul de greutate este punctul în care se consideră că acţionează forţa de greutate. Aşa cum ştim de la "Mecanică", coordonatele centrului de greutate se calculează cu formulele: n ì qi xi å ï ï xG = i =1 W ï n ï qi yi ï å ï i =1 í yG = W ï n ï å qi zi ï ï KG = i =1 W ï ï î xi , yi , zi sunt coordonatele

(7.2)

În aceste formule, centrului de greutate al grupei de mase " i ", iar qi xi , qi yi , qi zi sunt momentele statice în raport cu planele yoz , xoz , xoy . În condiţii normale de încărcare, centrul de greutate este situat în planul diametral datorită simetriei navei faţă de acest plan, deci

n

åq i =1

i

yi = 0 şi yG = 0 .

Pentru calculele preliminare, cota centrului de greutate KG se exprimă, de obicei, ca o fracţiune din înălţimea de construcţie D KG = aD

unde a este un factor adimensional, care depinde de tipul navei şi de condiţiile de încărcare, a cărui valoare variază între 0,5 şi 1,0. Abscisa centrului de greutate xG se poate exprima ca o fracţiune din lungimea navei şi poate fi pozitivă, negativă sau zero, însă rareori valoarea sa în modul depăşeşte 1,5 % din lungimea navei.

30 _______________________________________________________________________________

Deplasamentul navei se exprimă în tone metrice (1 tonă metrică = 1000 Kg) sau tone engleze (1 tonă engleză = 1016 Kg). La navele comerciale se disting două deplasamente importante: a) Deplasamentul gol ( D0 ) sau deplasamentul uşor, adică deplasamentul pe care îl are nava la ieşirea din şantierul de construcţie, având în compunere următoarele grupe de mase: - corpul navei; - amenajări, instalaţii şi echipamente, adică acele componente care dau navei posibilitatea de a-şi îndeplini misiunea principală (transportul de mărfuri), care asigură echipajului o viaţă cât mai comodă la bord şi care permit navei să execute diferite manevre în port sau în timpul navigaţiei, precum şi acele sisteme necesare siguranţei navigaţiei sau pentru salvare; - instalaţia de propulsie şi mecanismele aferente. b) Deplasamentul de plină încărcare sau deplasamentul gol la care se adaugă următoarele grupe de mase: - încărcătura utilă sau deplasamentul util; - rezervele de combustibil, ulei şi apă tehnică pentru maşini şi instalaţii; - echipajul; - proviziile pentru echipaj. Diferenţa dintre deplasamentul de plină încărcare şi deplasamentul gol se numeşte capacitate brută de încărcare sau deadweight. Pentru navele de transport mărfuri (cargouri, portcontainere, petroliere etc.), deadweightul se determină relativ simplu, procedura fiind mai complicată pentru navele de transport pasageri sau pentru navele mixte. Un model de tabel pentru calculul deplasamentului şi a coordonatelor centrului de greutate este prezentat mai jos (vezi tabelul 3). Realizarea acestui calcul presupune parcurgerea mai multor etape: 1. Întocmirea tabelului cu toate greutăţile de la bord În acest tabel se vor include toate greutăţile care, însumate, ne dau greutatea totală a navei. Ele se vor completa în coloana 2 simbolic şi cantitativ în coloana 3. Simbolurile sunt reprezentate de litere pentru fiecare categorie de greutăţi: A - deplasamentul gol ( D0 ) , B – încărcătura utilă (marfa încărcată în magazii), C – apa tehnică (r=1000 Kg/m3), D – apă balast (r=1025 Kg/m3), E – combustibil greu (r=960 Kg/m3), F – motorină (r=860 Kg/m3), G – lubrifiant (r=910 Kg/m3), H – provizii. 2. Calculul coordonatelor centrelor de greutate xi , KGi Pentru calculul coordonatelor centrelor de greutate ale categoriilor de greutăţi din tabelul 3 se utilizează tabelul cu coordonatele centrelor de volum

31 _______________________________________________________________________________

pentru fiecare compartiment (tancuri şi magazii de marfă). În situaţia în care compartimentul este umplut în totalitate cu marfă omogenă, centrul de greutate al mărfii va coincide cu centrul volumului compartimentului respectiv. În cazul tancurilor parţial umplute sau umplute cu mărfuri diferite, poziţia centrului de greutate al masei din compartiment se poate aproxima ţinând cont de gradul de umplere al compartimentului sau de tipul de mărfuri din compartiment. 3. Calculul momentelor statice faţă de linia de bază ( L.B.) şi planul cuplului maestru . Se calculează aceste momente făcând produsul dintre greutăţi şi braţele lor măsurate faţă de L.B. ( KGi ) şi faţă de ( xi ) . În final, se pot determina coordonatele centrului de greutate utilizând relaţiile următoare: KG =

åM D

LB

; xG =

åM

Ä

(7.3)

D

În publicaţiile de specialitate de limbă engleză, pentru a desemna poziţia centrului de greutate al navei G , în locul coordonatelor KG şi xG se pot întâlni notaţiile VCG (vertical centre of gravity), respectiv LCG (longitudinal centre of gravity). Valorile acestor mărimi pot fi măsurate fie de la mijlocul lungimii navei, fie de la Ppp . În multe cazuri din timpul exploatării navei, poziţia centrului de greutate se modifică datorită ambarcării, debarcării sau deplasării de greutăţi la bord. 1) Ambarcarea (Debarcarea) de greutăţi la bord În continuare, se va considera numai efectul ambarcării maselor; debarcarea fiind considerată ca o ambarcare de mase negative. Se consideră o masă P ambarcată într-un punct A ( x1 , y1 , z1 ) ; datele iniţiale despre navă fiind: deplasamentul D şi poziţia centrului de greutate G ( xG , yG , KG ) . Consecinţele acestei operaţiuni asupra navei sunt multiple, incluzând modificarea deplasamentului şi a poziţiei centrului de greutate. Astfel, noul deplasament se va calcula cu relaţia: (7.4)

D1= D + P

iar noile coordonate ale centrului de greutate, cu relaţiile: P ( x1 - xG ) D+ P

(7.5)

P yG1 = yG + ( y1 - yG ) D+ P

(7.6)

xG1 = xG +

(

P KG1 = KG + z1 - KG D+P

)

(7.7)

32 _______________________________________________________________________________

În unele publicaţii din literatura de specialitate, cota centrului de greutate a masei ambarcate z1 se mai notează cu Kg . Tabelul 3 Greuta tea [t]

zi KGi

2 A. Deplasamentul gol

3

Nr. crt. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Braţul

Denumirea şi amplasarea greutăţilor

(

)

Momentul

[m]

xi [m]

M LB [t m]

MÄ [t m]

4

5

6

7

D

Magazia 1 Magazia 2 B. Magazia 3 Magazia 4 C. (r=1000 Kg/m3) D. (r=1025 Kg/m3) E. (r=960 Kg/m3) F. (r=860 Kg/m3) G. (r=910 Kg/m3) H. Provizii Deplasament

D

KG =

åM

LB

D

; xG =

åM

Ä

D

Generalizare: Dacă la bordul navei se ambarcă " n " mase Pi , cu centrele de greutate în punctele Ai ( xi , yi , zi ) , i = 1K n , atunci noul deplasament al navei se va calcula cu formula: D1= D + å Pi (7.8) i

iar noile coordonate ale centrului de greutate cu formulele: xG1 = xG +

1 å Pi ( xi - xG ) D1 i

(7.9)

1 yG1 = yG + å Pi ( yi - yG ) D1 i KG1 = KG +

(

1 å Pi zi - KG D1 i

(7.10)

)

(7.11)

2) Deplasarea de greutăţi la bord. Dacă la bordul navei, masa P se deplasează din punctul A ( x , y , z ) în punctul D ( x1 , y1 , z1 ) , deplasamentul navei nu se modifică, însă se deplasează

33 _______________________________________________________________________________

centrul său de greutate. Ca o consecinţă a teoremei momentelor statice din "Mecanica teoretică" se cunoaşte că: "Dacă în cadrul unui sistem format din mai multe corpuri, unul din corpuri se deplasează într-o direcţie oarecare, atunci centrul de greutate al sistemului se va deplasa în aceeaşi direcţie şi în acelaşi sens. Raportul dintre distanţa de deplasare a centrului de greutate al corpului şi distanţa de deplasare a centrului de greutate al sistemului este egal cu raportul dintre masa corpului şi masa întregului sistem". Coordonatele centrului de greutate în poziţia deplasată se calculează cu formulele: P ( x1 - x ) D P yG1 = yG + ( y1 - y ) D P KG1 = KG + ( z1 - z ) D xG1 = xG +

(7.12) (7.13) (7.14)

8. CALCULUL ELEMENTELOR HIDROSTATICE ALE CARENEI ŞI CURBELE DE VARIAŢIE ALE ACESTORA CU PESCAJUL. DIAGRAMA DE CARENE DREPTE Se va presupune că nava este pe carenă dreaptă, adică P.B. este paralel cu planul plutirii. În continuare, vom determina variaţia cu pescajul a elementelor hidrostatice ale carenei. Acestea sunt: - volumul carenei V , deplasamentul D şi coordonatele centrului de carenă xB , yB , KB ; - aria plutirii AWL , abscisa centrului plutirii xF , momentele de inerţie longitudinal I x şi transversal I f ale plutirii; - ariile secţiunilor transversale Ax ; - razele metacentrice: transversală BM şi longitudinală BM L . 8.1 Volumul carenei, deplasamentul, coordonatele centrului de carenă Dacă se consideră o carenă a cărei ecuaţie, pentru jumătatea tribord, este y = y ( x, z ) atunci, aşa cum se observă din figura 10, un volum prismatic elementar al acestei carene va fi: dV = y dx dz . În consecinţă, volumul întregii carene se va calcula cu formula: L 2 d

V =2ò -

ò y dx dz

L 0 2

(8.1)

34 _______________________________________________________________________________

Fig. 10

Cu referire la Fig. 11 vom spune că secţiunile prin carenă paralele cu planul xoy se numesc plutiri şi ariile lor se notează cu AWL , iar secţiunile paralele cu planul yoz se numesc secţiuni transversale sau "cuple" şi ariile lor se notează cu Ax .

Fig. 11

Volumul carenei se poate calcula folosind fie ariile plutirilor (integrare pe verticală), fie ariile secţiunilor transversale (integrare pe lungime), cu formulele: d

V = ò AWL dz 0

V=

L 2

ò A dx x

-

(8.2) (8.3)

L 2

În calculele din teoria navei se folosesc toate cele trei relaţii pentru calculul volumului carenei. Aşa cum s-a arătat în §6, volumul real al carenei este Ñ kV (=k 1, 005 = ¸ 1, 01) . Mai departe, deplasamentul navei este D= rÑ .

35 _______________________________________________________________________________

Fig. 12

Pentru un pescaj oarecare z volumul teoretic al carenei se scrie: z

V = ò AWL dz

(8.4)

0

Considerând diverse valori ale limitei superioare de integrare, se poate calcula volumul carenei la diverse plutiri. Se poate deci, construi o variaţie V = V ( z ) care se numeşte şi curba volumului carenei. La fel se construiesc: curba volumului real al carenei Ñ ( z ) şi curba deplasamentului D ( z ) . Cele trei curbe se trasează în aceeaşi diagramă; stabilind scări de reprezentare diferite pentru volume şi pentru deplasament. O astfel de diagramă arată ca în figura 12. Derivând relaţia (8.4) obţinem: dV = AWL dz

(8.5)

deci, caracterul curbei volumului carenei depinde de caracterul curbei ariilor plutirilor. Din relaţia (8.5) rezultă că tangenta trigonometrică a unghiului a , format de tangenta într-un punct la curba V ( z ) cu axa ordonatelor, este egală cu aria plutirii corespunzătoare acelui punct. Analizând relaţia (8.5) putem obţine informaţii şi despre forma curbei V ( z ) în vecinătatea originii. În Fig. 13 sunt prezentate două tipuri de nave: a) navă cu fund plat ; b) navă cu fund stelat şi curbele V ( z ) corespunzătoare.

36 _______________________________________________________________________________

În cazul navei cu fund plat, deoarece AWL ¹ 0 , rezultă a ¹ 0 , iar pentru nava cu fund stelat, deoarece AWL = 0 , rezultă a = 0 , deci curba V ( z ) este tangentă în origine la axa ordonatelor. 0

0

Fig. 13

Curbele din Fig. 12 au o largă utilitate practică atât în timpul proiectării, cât şi în timpul exploatării navei. Spre exemplu, se măsoară pescajul la scările de pescaj şi se aşează valoarea acestuia la scară pe axa oz , fiind egal cu segmentul AO . Ducând o orizontală prin punctul A şi intersectând cele trei curbe, putem citi la scările volumelor şi deplasamentului valorile lui V , Ñ , D corespunzătoare pescajului navei. Dacă faţă de situaţia dată, se ambarcă o masă P , atunci se poate determina variaţia pescajului mediu dd după următorul algoritm. Se aşează în continuarea lui D un segment la scară egal cu P . Din extremitatea acestui segment se ridică o verticală până ce intersectează curba D ( z ) . Din punctul de intersecţie se duce o orizontală şi se va citi dd (vezi Fig. 12). Ne propunem în continuare să stabilim semnificaţia geometrică a relaţiei (8.5). Dacă în punctul E (vezi Fig.12), care corespunde pescajului navei, se construieşte tangenta la curba V ( z ) , aceasta face unghiul a cu axa oz şi o intersectează în punctul E . Prin urmare: dV = =AWL dz

EA AB

tg a =

(8.6)

cum EA = V rezultă: AB =

EA V = AWL AWL

şi mai departe

AB V = = CVP A AO WL d

(8.7)

Pentru a determina coordonatele centrului de carenă ( xB , yB , KB ) , se vor considera momentele statice ale volumului carenei V în raport cu planele yz ; xz ; xy ale sistemului de coordonate. M yz =

L 2

ò

L 2

d

x Ax dx = ò xF AWL dz 0

(8.8)

37 _______________________________________________________________________________ d

M xz = ò y F AWL dz

(8.9)

M xy = ò z AWL dz

(8.10)

0 d

0

Fig. 14

Ultima egalitate din relaţia (8.8) se justifică dacă se observă din Fig. 14 că momentul static în raport cu yz al volumului prismatic elementar dV = AWL dz este dM yz = xF dV = xF AWL dz . Coordonatele centrului de carenă se determină cu formulele: M xy M xz ; KB = (8.11) V V V Având în vedere simetria carenei faţă de PD , ceea ce înseamnă că yF = 0 , xB =

M yz

; yB =

rezultă: d

xB =

1 xF AWL dz V ò0

(8.12) (8.13)

yB = 0 d

KB =

1 z AWL dz V ò0

(8.14)

Vom face acum observaţia că în unele publicaţii de specialitate de limbă engleză, pentru a desemna poziţia pe lungimea navei a centrului plutirii F şi a centrului de carenă B , în locul notaţiilor xF şi xB se folosesc notaţiile LCF (position of the longitudinal centre of flotation) şi LCB (position of the longitudinal centre of buoyancy), aceste mărimi putând fi măsurate fie de la mijlocul lungimii navei, fie de la Ppp . Se mai observă din Fig. 12 că aria triunghiului curbiliniu OED se scrie: AOED = M xy

ò= z dV

V= KB deci: KB =

V

Aria triunghiului curbiliniu AOE se calculează:

AOED AOED = V OD

(

AAOE = AAODE - AOED= OD × AO - V × KB = V d - KB

)

(8.15) (8.16)

38 _______________________________________________________________________________

Relaţia (8.16) este echivalentă cu:

(

) ò ( d - z ) dV

(8.17)

V d - KB =

V

Membrul drept al relaţiei (8.17) reprezintă momentul static al volumului carenei în raport cu planul plutirii. Să construim în continuare curba de variaţie a cotei centrului de carenă cu pescajul KB ( z ) . Derivând în raport cu z expresia lui KB , rezultă: dM xy

dV - M xy d KB 1 dM xy 1 dV M xy dz = = dz = 2 dz V V dz V dz V 1 æ dM xy dV ö = ç - KB (8.18) ÷ V è dz dz ø dM xy dV Ţinând cont că = AWL z şi = AWL , rezultă: dz dz V

(

d KB AWL z - KB = dz V

Se observă de aici că, în permanenţă,

)

d KB >0 dz

(8.19) deoarece z > KB şi deci,

funcţia KB ( z ) nu va avea valori extreme şi alura unei funcţii crescătoare. Relaţia (8.19) se poate scrie şi în următoarea formă echivalentă:

(

d KB 1 z - KB = dV V

)

(8.20)

în care z este pescajul navei. Aşa cum se vede din Fig. 15, forma secţiunilor transversale ale unei nave este cuprinsă între dreptunghiul de încadrare şi un triunghi, ceea ce înseamnă că: 1 2d d < KB < 2 3

(8.21)

39 _______________________________________________________________________________ Fig. 15

Fig. 16

Relaţia (8.21) este utilă pentru că reprezintă un mijloc foarte util de verificare a calculelor, la determinarea lui KB . În figura 16 este prezentată variaţia KB ( z ) . 8.2 Aria plutirii, abscisa centrului plutirii, momentele de inerţie longitudinală şi transversală ale plutirii Dacă se consideră o plutire oarecare (Fig. 17) atunci, faţă de sistemul de axe adoptat, aria plutirii se poare calcula cu formula: L 2

AWL = 2

ò y dx

(8.22)

L 2

unde y este semilăţimea plutirii la abscisa x . Din considerente de simetrie a conturului plutirii faţă de axa x , centrul plutirii F se va găsi pe această axă, deci yF = 0 . Abscisa centrului plutirii se calculează cu formula: My

xF =

(8.23)

AWL

în care M y este momentul static al suprafeţei plutirii în raport cu axa y . Cum dM y = x dAWL = x 2 y dx , formula (8.23) se mai poate scrie: L 2

ò xy dx -

xF =

L 2 L 2

(8.24)

ò y dx -

L 2

Suprafaţa haşurată din Fig. 17 este o suprafaţă elementară de forma unui dreptunghi, cu dimensiunile 2 y şi dx ; dAWL = 2 y dx . Momentul de inerţie al acestei suprafeţe elementare în raport cu axa x va fi: dI x =

dx (2 y )3 2 3 = y dx 12 3

(8.25)

Momentul de inerţie al întregii plutiri în raport cu axa x se poate scrie: Ix =

2 3

L 2

ò y dx 3

L 2

(8.26)

40 _______________________________________________________________________________

Fig. 17

Raţionând asemănător, momentul de inerţie al suprafeţei plutirii în raport cu axa y se scrie: L 2

Iy = 2

ò y x dx 2

(8.27)

L 2

Fig. 18

Fig. 19

Momentul de inerţie al suprafeţei plutirii în raport cu axa f (axă paralelă cu oy ce trece prin centrul plutirii F ) se calculează aplicând teorema lui Steiner: I f = I y - AWL x F2 (8.28)

41 _______________________________________________________________________________

Utilizând relaţia (8.24) se poate calcula abscisa centrului plutirii pentru plutiri succesive, situate între P.B. şi planul corespunzător unui pescaj oarecare, prin urmare se poate construi prin puncte curba xF (z ) . Datorită unor proprietăţi pe care le vom prezenta în continuare, curbele xB (z ) şi xF (z ) se vor reprezenta la aceeaşi scară în planul de forme. Astfel, cele două curbe pleacă din acelaşi punct pentru că dacă se trece la limită în relaţia (8.12) a lui xB găsim: z

lim x B = lim

z ®0

z ®0

M yz V

= lim

z®0

òx

AWL dz

F

0

=

z

òA

WL

dz

0 0

0

Prin aplicarea regulii lui L'Hospital se înlătură această nedeterminare şi obţinem că pentru z ® 0 , xB = xF . În afară de punctul de pornire A (Fig. 19), cele două curbe mai pot avea un punct comun sau nu. Vom demonstra că dacă cele două curbe mai au un punct de intersecţie, atunci acesta este un punct de extrem pentru xB (punctul B din Fig.19) adică soluţie a ecuaţiei: dx B = 0. dz

(8.29)

Să evaluăm membrul stâng al relaţiei (8.29): dM yz dV VM yz M æ ö dxB d yz dz dz= = ç = ÷ dz dz è V ø V2 dV ö 1 æ dM yz ÷. = çç - xB V è dz dz ÷ø z

Dar M yz = ò AWL x F dz , de unde rezultă că 0

dV = AWL . dz

dM yz dz

1 dM yz 1 dV M yz = V dz V dz V

(8.30) = AWL xF şi, pe de altă parte,

Înlocuind în (8.30) obţinem: dx B AWL ( xF - x B ) = dz V

(8.31)

dxB 1 = (x F - x B ) . dV V

(8.32)

relaţie echivalentă cu: În felul acesta, condiţia de extrem (8.29) a funcţiei xB (z ) se reduce la: xF = x B (8.33) ceea ce trebuia demonstrat.

42 _______________________________________________________________________________

Revenind la centrul de carenă B vom observa că pentru orice valoare z a pescajului, poziţia sa este în P.D. , deplasându-se după o curbă situată în acest plan. Pentru a duce ecuaţia acestei curbe plecăm de la: xB KB

=

M yz M xy

sau mai departe xB =

M yz M xy

KB

(8.34)

Ţinând cont de relaţiile (8.20) şi (8.32) rezultă: dxB d KB

x - xB = =F z - KB

tg ( p - a )

(8.35)

Cu alte cuvinte, dreapta ce uneşte centrul plutirii F , corespunzător unui anumit pescaj, cu poziţia centrului de carenă B este tangentă la curba centrelor de carenă în punctul respectiv (Fig. 18). În figura 20 este prezentată curba ariilor plutirilor în două variante: navă cu fund stelat (Fig. 20, a) şi navă cu fund plat (Fig. 20, b). Această curbă ne oferă informaţii complete, legate de volumul carenei la un anumit pescaj şi distribuţia acestuia pe înălţime. Amintim proprietăţile de bază ale acestei curbe: 1) Aria mărginită de curbă şi axa oz reprezintă la scara desenului volumul carenei corespunzător pescajului considerat: d

Q=

òA

WL

(8.36)

dz = V

0

Fig. 20 a) navă cu fund stelat

b) navă cu fund plat

2) Coeficientul de fineţe al acestei arii este egal cu coeficientul de fineţe prismatic vertical al carenei, CVP : Q ACWL d

=

V ACWL d

= CVP

(8.37)

3) Ordonata centrului de greutate al ariei mărginită de curbă şi axa oz este egală la scară cu cota centrului de carenă KB :

43 _______________________________________________________________________________ d

òA

z dz = ò AWL dz WL

zq =

0 d

M xy = V

KB

(8.38)

0

8.3 Ariile secţiunilor transversale. Curba ariilor secţiunilor transversale Considerând o secţiune transversală prin navă la o distanţă x de planul secţiunii de la mijlocul navei (Fig. 21) atunci aria imersă a acestei secţiuni se poate calcula cu formula:

Fig. 21 d

ò

Ax = 2 y dz

(8.39)

0

Dacă se calculează aceste arii pentru mai multe secţiuni transversale (cuple) să zicem 21, distribuite de la pupa (cupla 0 conţine Ppp ) la prova (cupla 20 conţine Ppv ) , atunci se va putea reprezenta grafic prin puncte curba Ax = f (x) . Se obţine astfel curba ariilor secţiunilor transversale, care arată ca în Fig. 22.

Fig. 22

44 _______________________________________________________________________________

Această curbă ne defineşte pe deplin volumul carenei şi distribuţia acestuia pe lungimea navei. Evidenţiem următoarele proprietăţi ale acestei curbe: 1). Aria mărginită de curbă şi axa ox reprezintă la scara desenului volumul carenei: L 2

òA

Q=

x

-

(8.40)

dx = V

L 2

2). Coeficientul de fineţe al acestei arii este egal cu coeficientul de fineţe prismatic longitudinal al carenei, C LP : Q V = = CLP AÄ L AÄ L

(8.41)

3). Abscisa centrului de greutate al suprafeţei Q este egală la scară cu abscisa centrului de carenă xB : L 2

òxA

x

xq =

-

dx

L 2 L 2

=

òA

x

M yz V

= xB

(8.42)

dx

L 2

8.4 Diagrama de carene drepte Dacă asamblăm într-o singură diagramă curbele de variaţie cu pescajul navei, ale tuturor elementelor hidrostatice ale carenei despre care am vorbit mai sus, se obţine diagrama de carene drepte. Această diagramă este întocmită pentru nava pe carenă dreaptă, fără înclinări transversale şi longitudinale (j = q = 0) , caz în care singurul parametru care defineşte plutirea este pescajul de calcul d . Din diagramă se obţin în funcţie de d următoarele mărimi: volumul carenei (V ) , deplasamentul navei (D ) , abscisa (xB ) şi cota ( KB ) a centrului de carenă, abscisa

centrului plutirii (xF ) , aria plutirii ( AWL ) , momentele de inerţie axiale ale plutirii: longitudinal (I x ) şi transversal (I f ) , precum şi coeficienţii de fineţe

CWL , CB , C LP , CVP . Diagrama de carene drepte mai conţine, de asemenea, curbele

de variaţie cu pescajul ale razelor metacentrice: transversală ( BM ) şi longitudinală

( BM ) , despre care vom vorbi în detaliu în Capitolul III. L

45 _______________________________________________________________________________

Modul de lucru cu diagrama de carene drepte rezultă uşor dacă se studiază Fig.23 care reprezintă o variantă de "Diagramă de carene drepte". Astfel, pentru un pescaj de calcul fixat d * se duce o paralelă la axa absciselor, intersectându-se cu fiecare din curbele enumerate mai sus. Din punctele de intersecţie se coboară perpendicular pe abscisă citindu-se valorile acestor mărimi la scara lor de reprezentare. Razele metacentrice: transversală ( BM ) şi longitudinală ( BM L ) se calculează cu formulele: Ix V If BM L = V BM =

(8.43) (8.44)

Fig. 23

8.5 Formulele empirice pentru calculul unor mărimi hidrostatice pe carene drepte Pentru estimarea rapidă a unor elemente hidrostatice pe carene drepte se folosesc, deseori, formule empirice sau semiempirice bazate pe prelucrarea statistică a datelor existente sau pe înlocuirea curbelor reale din diagrama de carene drepte cu curbe apropiate ca formă, descrise de ecuaţii analitice. Redăm mai jos câteva formule de calcul a unor mărimi hidrostatice: a) Cota centrului de carenă ( KB ) O astfel de formulă va fi de tipul:

46 _______________________________________________________________________________ KB = a1 ( CB , CWL ) d

(8.44)

unde a1 este un coeficient care depinde de coeficientul de fineţe bloc (C B ) , respectiv al ariei plutirii (CWL ) . KB =

CWL CB 1 d= d CWL CB + 1 1 + CVP

® formula Pozdiunin;

æ 0,168 ö KB = ç 0,372 + ÷ d ® formula Vlasov; CVP ø è æ C KB = ç 0,833 - 0, 333 =B C WL è

ö ÷d ø

(8.45) (8.46)

( 0,833 - 0,333CVP ) d ® formula Norman; (8.47)

b) Abscisa centrului de carenă (xB ) xB =

0, 314 (V pv - V pp ) ® formula Vlasov CLP AÄ

xB = 0,45

(V pv - V pp ) ® formula Norman AÄ

echivalentă cu:

(

)

xB pv pp = 0,225 C LP - C LP L mai sus, V pv şi V pp sunt volumele

(8.48) (8.49) (8.50)

În formulele de de carenă corespunzătoare jumătăţilor prova şi pupa, măsurate de la jumătatea lungimii pv pp navei şi C LP , C LP coeficienţii de fineţe prismatic, longitudinal, aferenţi. Prin urmare: L pv C LP 2 L pp V pp = AÄ C LP 2 centrului plutirii (xF )

(8.51)

V pv = AÄ

c) Abscisa

xF =

(8.52)

(

pv pp - AWL 0,314 AWL CWL B

xF = 0,45

(A

echivalentă cu:

pv WL

(

) ® formula Vlasov

)

pp - AWL ® formula Norman B

)

xF pv pp = 0,225 CWL - CWL L pv pp mai sus, AWL şi AWL sunt ariile

(8.53) (8.54) (8.55)

În formulele de plutirii corespunzătoare pv pp jumătăţilor prova şi pupa, iar CWL , CWL coeficienţii de fineţe ai acestor arii. Aşadar: pv pv AWL = CWL

L B 2

(8.56)

47 _______________________________________________________________________________

pp pp AWL = CWL

L B 2

(8.57)

d) Razele metacentrice: transversală ( BM ) şi longitudinală ( BM L ) Pentru cele două mărimi se propun formule de tipul: B2 d L2 BM L = a3 ( CWL , CB ) d BM = a2 ( CWL , CB )

(8.58) (8.59)

Se demonstrează foarte uşor că pentru cazul unui ponton paralelipipedic, coeficienţii a2 şi a3 sunt egali cu: 1 12

a2 = a3 =

BM =

2 CWL B2 k1CB d

(8.60)

® formula Van-der-Fleet

(8.61)

unde k1 este un coeficient cuprins între 11,2 şi 11,9 care ţine cont de forma plutirii. BM = BM =

( 0, 72CWL + 0, 292 ) 48 CB

3

B2 ® formula Norman d

( 0, 0902 CWL - 0, 0200 ) B 2

BM L =

BM L = BM L =

CB 2 CWL L2 14 CB d

d

® formula Vlasov

® formula Van-der-Fleet

( 0, 08 + 0, 077C ) L 3 WL

CB

2

d

0,107 CWL - 0, 0378 L2 8 CB d

® formula Norman

(8.62) (8.63) (8.64) (8.65)

® formula Vlasov

(8.66) 9. CALCULUL PRACTIC DE CARENE DREPTE. METODE NUMERICE Atât în timpul proiectării navei, cât şi în decursul exploatării ei, apare necesitatea determinării unor caracteristici cum sunt: arii, volume, momente de inerţie, momente statice etc. prezentate mai jos: 1. Aria plutirii (vezi formula 8.22): L 2

AWL = 2

ò y dx -

L 2

2. Ariile secţiunilor transversale (vezi formula 8.39):

48 _______________________________________________________________________________ d

ò

Ax = 2 y dz 0

3. Volumul carenei (vezi formulele 8.2 şi 8.3): L 2

d

ò

òA

V = AWL dz =

x

dx

L 2

0

4. Momentele statice ale volumului carenei în raport cu planele sistemului de coordonate (vezi formulele 8.8 şi 8.10): L 2

ò

M yz =

-

d

ò

x Ax dx = x F AWL dz

L 2

0

d

M xy =

òzA

WL

dz

0

5. Momentul static al ariei plutirii (vezi formula 8.24): L 2

ò xy dx

My =

-

L 2

6. Momentele de inerţie ale suprafeţei plutirii (vezi formulele 8.26 şi 8.27): Ix =

L 2

2 3

ò y dx 3

L 2

L 2

ò y x dx 2

Iy = 2

-

L 2

Determinarea acestor mărimi implică rezolvarea unor integrale de forma: L 2

I1 =

ò f (x ) dx 1

L 2

d

sau I 2 = ò f 2 (z ) dz . 0

Dacă funcţiile f1 (x ) , respectiv f 2 (z ) ar fi cunoscute, atunci integralele I1 şi I 2 ar putea fi calculate analitic. Cum formele navei nu sunt date analitic, ele fiind definite discret, se apelează la integrarea numerică a integralelor I1 şi I 2 .

49 _______________________________________________________________________________ b

Principiul de integrare numerică se bazează pe faptul că I = ò f (x )dx a

reprezintă aria cuprinsă între graficul funcţiei f (x ) , axa ox şi dreptele x = a şi x= b. Valoarea aproximativă a integralei se obţine dacă se divide intervalul [a , b] în porţiuni mai mici şi apoi se însumează aria fiecărei fâşii obţinute. Formula generală de calcul a integralei I printr-o metodă numerică este: I = c (k0 y0 + k1 y1 + K + k n y n ) = c

n

åk y

i i

(9.1)

i =1

unde yi = f (xi ) cu xi Î [a , b] . Dacă presupunem curba de formă matematică polinom de gradul n : y = f ( x ) = ax n + bx n -1 + K + px + q , atunci metodele de integrare numerică se pot clasifica după cum urmează: 1) metode în care intervalul [a , b] se divide în părţi egale având capetele x0 = a şi xn = b , iar problema este să găsim coeficienţii c , k 0 , k1 , K k n astfel încât relaţia (9.1) să exprime aria căutată (metoda trapezelor şi metoda Simpson); 2) metode în care k0 = k1 = K = kn = 1 şi problema constă în localizarea intervalelor din condiţia de precizie maximă (metoda Cebâşev);

Fig. 24

3) metode în care problema constă atât în determinarea coeficienţilor k0 , k1 , K k n , cât şi în localizarea intervalelor din condiţia de precizie maximă (metoda Gauss). Metoda trapezelor

50 _______________________________________________________________________________

Această metodă presupune că poate înlocui curba dintre două ordonate consecutive cu o dreaptă de ecuaţie y = ax + b (Fig. 25) şi se poate aproxima aria patrulaterului curbiliniu ABCD cu aria trapezului ABCD având valoarea: h ( yi -1 + yi ) 2

Fig. 25

Prin generalizare ,obţinem: b

I=

h

ò f (x ) @ 2 ( y

0

+ 2 y1 + 2 y 2 + K + 2 y n -1 + y n )

(9.2)

a

b-a . unde h = n

Evident, cu cât n este mai mare, aproximarea integralei I este mai bună. Un astfel de calcul se poate efectua şi tabelar ca mai jos. Tabelul 4 h

Nr. ordonată

Ordonată

å integrală

0

y0

0

0

1

y1

y0 + y1

I1

2

y2

y0 + 2 y1 + y 2

I2

M

M

M

M

n-1

y n -1

I n -1

n

yn

In = I

Metoda Simpson

Aria =

2

å integrala

51 _______________________________________________________________________________

În cadrul acestei metode se păstrează principiul de la metoda trapezelor, însă aproximarea funcţiei de integrat pe porţiuni nu se face prin segmente de dreaptă, ci prin arce de parabolă de gradul doi; y = ax 2 + bx + c (Fig. 26).

Fig. 26

Cunoscând trei puncte consecutive prin care trece parabola se pot determina coeficienţii a , b , c ca soluţii ale sistemului ì yi -1 = axi2-1 + bxi -1 + c ï 2 í yi = axi + bxi + c ï y = ax 2 + bx + c i +1 i +1 î i +1

(9.3)

Calculând aceşti coeficienţi şi efectuând apoi integrarea obţinem pentru aria ABCD valoarea: h ( y i -1 + 4 y i + y i +1 ) 3

Prin generalizare, obţinem: b

I=

h

ò f (x ) @ 3 ( y

0

+ 4 y1 + 2 y 2 + 4 y3 + 2 y 4 + K + 2 y n -2 + 4 yn -1 + y n )

(9.4)

a

sau: I@

h 3

n

åa y

i i

(9.5)

i =0

unde: a i = 1 pentru i = 0 ; i = n ; a i = 4 pentru i = 1, 3,K, n - 1 ; a i = 2 pentru i = 2 , 4 , K , n - 2 .

O primă observaţie care rezultă este că numărul de intervale în care se divizează domeniul [a , b] trebuie să fie par.

52 _______________________________________________________________________________

Calculul se poate realiza tabelar după cum urmează:

Nr. ordonată I

Tabelul 5 Coeficient Ordonata Simpson II III

0 1 2 M

1 4 2

y0

y1 y2

II × III

IV y0

4 y1 2 y2

M n -1

y n -1

n

yn

4 1

4 y n -1 yn

å I@

h S 3

Fig. 27

Metoda Cebâşev

53 _______________________________________________________________________________

Metoda Cebâşev este foarte cunoscută în domeniul naval, fiind o variantă a metodei Gauss şi care se bazează pe principiul intervalelor inegale dispuse în interiorul unui interval centrat faţă de origine [- l , l ] . Conform cu figura 27, aria ABCD este egală cu valoarea numerică a l

integralei

ò f (x )dx .

-l

Dacă presupunem că f (x ) are forma matematică a unui polinom de gradul n:

f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n

(9.7)

atunci: l

ò

f ( x ) dx =

-l

l

ò (a

0

+ a1 x + a2 x 2 + K + an x n ) dx =

-l

2 2 = 2a0 l + a2 l 3 + K + a2 k l 2 k +1 3 2k + 1

unde k =

(9.8)

n n -1 sau după cum n este par sau impar. 2 2

Pe de altă parte, acceptăm pentru integrala de mai sus forma: l

ò

f ( x ) dx =

-l

2l [ f (x1 ) + f (x2 ) + K + f (xn )] = 2l m m

n

å f (x ) i

(9.9)

i =1

unde x1 , x2 , K , xn Î [- l , l ] şi sunt necunoscutele problemei. Dar: f ( x1 ) = a0 + a1 x1 + a2 x12 + K + an x1n f ( x2 ) = a0 + a1 x2 + a2 x22 + K + an x2n

(9.10)

KKKKKKKKKKKKKK

f ( xn ) = a0 + a1 xn + a2 xn2 + K + an xnn

Dacă introducem (9.10) în (9.9) obţinem: l

ò

-l

f (x ) dx =

2l m

(

)

énao + a1 (x1 + x2 + K + xn ) + a2 x12 + x22 + K + xn2 + ù ú ê úû êë+ K + an x1n + x2n + K + xnn

(

)

Comparând relaţiile (9.8) şi (9.11) se obţine sistemul:

(9.11)

54 _______________________________________________________________________________ 2l n = 2l m 2l (x1 + x2 + K + xn ) = 0 m 2l 2 2 x1 + x22 + K + xn2 = l 3 m 3 KKKKKKKKKKKK ì 2 n +1 2l n ï l x1 + x2n + K + xnn = í n + 1 m ïî0

(

)

(

)

(9.12) dacă n este par dacă n este impar

Din prima condiţie rezultă: (9.13)

m=n

iar x1 , x2 , K, xn sunt soluţiile sistemului:

Să

x1 + x2 + K + xn = 0 2 x12 + x22 + K + xn2 = l 2 3 KKKKKKKKKKKK ì 2 n +1 dacă n este par ï l x1n + x2n + K + xnn = í n + 1 ïî0 dacă n este impar particularizăm pentru cazul n = 2 f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2

(9.14)

şi: ì x1 + x2 = 0 ï íx2 + x2 = 2 l 2 2 ïî 1 3

(9.15)

Soluţia acestui sistem este: x1 = - x2 =

l 3

= 0,5773 l

În consecinţă: l

ò f (x ) dx =

-l

2l 2

é æ l ö ÷÷ + ê f çç 3ø êë è

æ l öù ÷÷ú f çç è 3 øúû

Similar, se pot dezvolta formule pentru orice număr de termeni, coeficienţii fiind prezentaţi în tabelul de mai jos.

(9.16)

55 _______________________________________________________________________________

Tabelul 6 n

ki

2

± 0,5773

3

0;

± 0,7071

4

± 0,1876

± 0,7947

5

0;

± 0,3745

± 0,8325

6

± 0,2666

± 0,4225

± 0,8662

7

0;

± 0,3239

± 0,5297

± 0,8839

8

± 0,1026

± 0,4062

± 0,5938

± 0,8974

9

0;

± 0,1679

± 0,5288

± 0,6010

± 0,9116

10

± 0,0838

±0,3127

± 0,5000

± 0,6873

± 0,9162

Aplicarea metodei Cebâşev presupune parcurgerea următorului algoritm: - se adoptă numărul n în funcţie de complexitatea curbei; - se calculează abscisele xi cu relaţia: xi = ki l (9.17) - se extrag f ( xi ) ; - se calculează valoarea integralei cu relaţia: l

ò

-l

f ( x ) dx =

2l n

n

å f (x ) i

(9.18)

i =1

În cazul integrării numerice se poate apela cu succes la mijloacele automate de calcul putându-se folosi programe specializate existente în acest scop. 10. CALCULUL DE CARENE ÎNCLINATE Formulele de calcul pentru elementele hidrostatice ale carenei deduse anterior sunt valabile, aşa cum am arătat în ipoteza de - navă pe carenă dreaptă (j = q = 0) . În procesul de exploatare a navei însă, în marea majoritate a cazurilor, nava are o poziţie oarecare în raport cu suprafaţa apei, înclinată atât transversal, cât şi longitudinal. În cele ce urmează vom stabili relaţii de calcul care să permită determinarea volumului carenei V şi a coordonatelor centrului de carenă xB , yB , z B pentru o poziţie oarecare a navei. 10.1 Diagrama Bonjean Să considerăm o secţiune transversală oarecare prin navă ca în Fig. 28, a. Aşa cum am arătat anterior, aria imersă a acestei secţiuni se calculează cu formula (8.39).

56 _______________________________________________________________________________ d

ò

Ax = 2 y dz 0

Fig. 28

Aria imersă a acestei secţiuni transversale de la L.B. până la o plutire oarecare având pescajul z se calculează cu formula: z

Ax ( z ) = 2 y dz

ò

(10.1)

0

Variaţia acestei arii în funcţie de pescaj este prezentată în Fig. 28, b respectiv corespunzător unui pescaj oarecare z , se aşează pe orizontală un segment E ' F ' egal cu valoarea lui Ax (z ) la o scară de reprezentare convenabil aleasă. În felul acesta se poate calcula pentru orice plutire WL aria secţiunii transversale imerse. Deoarece în multe probleme din teoria navei interesează întreaga arie a secţiunii transversale (de exemplu: calculul volumului etanş al corpului navei), este necesar să se calculeze şi să se introducă în grafic şi aria mărginită de curbura transversală a punţii, adică porţiunea CC ' . În cele mai multe cazuri, selatura punţii în sens transversal este parabolică cu săgeata f = B ¸ B . Aria corespunzătoare acestei selaturi care va trebui adăugată este

30 50 2 DAx = B f 3

.

Vom mai observa că C este punct de inflexiune pentru curba Ax (z ) , iar tangenta în punctul C ' este paralelă cu axa oz . La navele construite din lemn, dimensiunile de calcul ale secţiunii transversale se consideră la exteriorul bordajului, în timp ce la navele metalice, aceleaşi dimensiuni se măsoară la interiorul bordajului.

57 _______________________________________________________________________________

Reprezentarea grafică asamblată a variaţiei ariilor secţiunilor transversale, pentru toate cuplele navei, poartă denumirea de diagrama Bonjean, de la numele inginerului francez care a propus această reprezentare.

Fig. 29

Într-o primă variantă, pentru trasarea diagramei Bonjean se trasează conturul corpului navei în P.D. , precum şi proiecţia pe acest plan a liniei punţii în bord, alegându-se scări diferite de reprezentare pentru lungimea navei şi înălţimea ei, realizându-se astfel o "contracţie" a navei pe lungime (Fig. 29). Pe acest contur se mai trasează cuplele pentru care s-au efectuat calculele ariilor precum şi liniile suprastructurilor cum sunt duneta şi teuga. Se completează desenul cu trasarea curbelor Axi ( z ) , precum şi cu scările de reprezentare. Diagrama Bonjean poate fi reprezentată şi într-o altă formă (Fig. 30), înlocuind reprezentarea Ax (z ) corespunzătoare fiecărei cuple cu o scală pe care sunt reprezentate numeric ariile imerse.

Fig. 30

58 _______________________________________________________________________________

În prima variantă, pentru o plutire oarecare WL a găsi aria imersă a cuplei 3 înseamnă a înmulţi segmentul AB cu scara ariilor. În a doua variantă, este mult mai uşor să citim pe scala ariilor la intersecţia dintre WL şi cupla 3. Există şi o a treia modalitate de reprezentare a diagramei Bonjean (Fig. 31) trasând curbele Ax (z ) raportate la aceeaşi axă verticală, cele din jumătatea prova fiind în dreapta axei, iar cele din jumătatea pupa în stânga axei, conform convenţiei. O astfel de reprezentare prezintă avantajul că ocupă mai puţin spaţiu, dar prezintă dezavantajul necunoaşterii pescajului corespunzător cuplei pentru o plutire oarecare. Acesta se va calcula cu formula: d x = d m + x tg q (10.2) unde d m este pescajul mediu al navei sau pescajul la cuplul maestru. Diagrama Bonjean se foloseşte pentru rezolvarea unor probleme importante de teoria navei. Astfel, cu ajutorul diagramei Bonjean este uşor de calculat volumul carenei şi coordonatele centrului de carenă pentru o plutire oarecare, înclinată în plan longitudinal.

Fig. 31

Cunoscute fiind formulele: L 2

V=

òA

x

L 2

dx

şi xB =

1 V

L 2

òxA

x

L 2

dx

59 _______________________________________________________________________________

şi din diagrama Bonjean valorile ariilor imerse ale cuplelor Ax , aplicând apoi o procedură de integrare numerică, problema este rezolvată. Din considerente de simetrie, când nava nu este înclinată transversal ( j = 0 ) , centrul de carenă se găseşte în P.D. , deci yB = 0 , iar cota centrului de carenă faţă de linia plutirii se calculează cu relaţia: zWL =

1 V

L 2 z

ò òA

x

dz dx

(10.3)

L 0 2

Cunoscând xB şi zWL se poate poziţiona exact centrul de carenă B cunoscând şi poziţia plutirii înclinată longitudinal WL după următorul algoritm (Fig.32).

Fig. 32

-

se măsoară xB de la cuplul maestru ; se determină punctul A la intersecţia verticalei dusă la xB cu plutirea înclinată WL ; se măsoară de la punctul A în jos pe verticală, valoarea zWL şi se găseşte poziţia lui B .

10.2 Diagrama de asietă Dacă în diagrama Bonjean se construiesc o serie de plutiri, calculându-se pentru fiecare volumul de carenă corespunzător (V ) şi abscisa centrului de carenă

60 _______________________________________________________________________________

(xB ) se poate construi diagrama de asietă, foarte utilă din punct de vedere practic. Un model de diagramă de asietă este prezentată în Fig. 33.

Fig. 33

În "diagrama de asietă" sunt prezentate curbele Vi = const. şi xBi = const. Intrându-se cu pescajele d *pv şi d *pp măsurate la scările de pescaj, se determină poziţia punctului A de pe diagramă şi prin interpolare vom obţine volumul carenei V * şi abscisa centrului de carenă x*B , corespunzătoare acestei situaţii de plutire. Aşadar, "diagrama de asietă" permite determinarea mărimilor V şi xB , oricare ar fi pescajele d pv şi d pp cunoscute. 10.3 Calculul volumului carenei şi a coordonatelor centrului de carenă pentru o plutire oarecare. Curbele integrale ale secţiunilor transversale Aşa cum am arătat în §5, o plutire oarecare a unei nave este definită de următorii trei parametri: pescajul mediu d m , înclinarea longitudinală q şi înclinarea transversală j . Pentru o secţiune transversală oarecare din navă, pescajul în P.D. se poate calcula cu formula: (10.4) d x = d m + x tg q

61 _______________________________________________________________________________

Fig. 34

unde x este distanţa de la secţiunea transversală la planul secţiunii de la mijlocul navei. Reamintim că x > 0 atunci când secţiunea se găseşte în prova şi q > 0 când nava este aprovată. De asemenea urma plutirii pe această secţiune va face unghiul j cu P.B. Să considerăm, pentru început, o secţiune transversală oarecare ca în Fig. 34. Secţiunea fiind simetrică faţă de axa oz vom nota cu At (z ) - aria jumătăţii de secţiune, cu M y (z ) - momentul static al aceleiaşi suprafeţe în raport cu axa oy , respectiv cu M z (z ) - momentul static în raport cu axa oz . Formulele de calcul pentru aceste mărimi sunt: At (z ) =

z

ò y dz

(10.5)

0

z

M y ( z ) = zy dz = b( z )

ò

(10.6)

0

M z (z ) =

1 2

z

òy

2

dz = c( z )

(10.7)

0

Reprezentarea grafică a variaţiilor At (z ) ; M y (z ) şi M z (z ) poartă numele de "curbele integrale ale secţiunii transversale". Valorile acestor mărimi pentru o plutire dreaptă de pescaj d sunt prezentate în Fig. 34, b. Să considerăm, în continuare, o secţiune transversală situată la abscisa xi şi corespunzătoare "curbele integrale" (Fig. 35) şi o plutire WL înclinată în sens

62 _______________________________________________________________________________

transversal. Ne propunem să găsim o modalitate de calcul a aceloraşi mărimi pentru porţiunea imersă corespunzătoare acestei secţiuni transversale.

Fig. 35

Plutirea înclinată intersectează P.D. în A şi conturul secţiunii transversale în punctele W şi L , echivalente unor plutiri drepte şi pentru care se citesc din curbele integrale valorile: At 0 , b0 , c0 respectiv At1 , b1 , c1 . Aria imersă WOFL a secţiunii transversale se poate scrie: aria WOFL = aria DOFL - aria DAL + aria WOE + aria WEA

Momentul static al suprafeţei WOFL în raport cu axele oy şi oz se exprimă ca sumă algebrică a momentelor suprafeţelor ce o compun (pentru momentul în raport cu axa oz se va observa că suprafeţele din dreapta axei au momentul pozitiv şi cele din stânga negativ). Componentele ariei şi ale momentelor statice în raport cu axele oy şi oz se calculează cu formulele: aria DOFL = At1 1 aria DAL = y12 tg j 2 aria WOE = At 0 aria WEA =

1 2 y0 tg j 2

Pentru momentele statice în raport cu axa oz :

63 _______________________________________________________________________________ mom. static aria DOFL = c1 1 3 y1 tg j 6 mom. static aria WOE = c0 mom. static aria DAL =

1 mom. static aria WEA = - y03 tg j 6

Pentru momentele statice în raport cu axa oy : mom. static aria DOFL = b1 1 2 2 æ ö y1 tg j ç d xi + y1 tg j ÷ 2 3 è ø mom. static aria WOE = c0 mom. static aria DAL =

1 2 2 æ ö y0 tg j ç d xi - y0 tg j ÷ 2 3 è ø

mom. static aria WEA =

Cunoscând componentele, se pot calcula: aria cuplei imerse Axi şi momentele statice ale acesteia în raport cu axele oz şi oy , respectiv M zi şi M yi : 1 2 1 y1 tg j + At 0 + y02 tg j 2 2 1 1 M zi = c1 - y13 tg j - c0 - y03 tg j 6 6 1 2 1 2 æ ö æ ö M yi = b1 - y12 tg j ç d xi + y1 tg j ÷ + b0 + y02 tg j ç d xi - y0 tg j ÷ 2 3 2 3 è ø è ø Axi = At 1 -

(10.8) (10.9) (10.10)

Dacă în (10.10) introducem (10.4), se mai poate scrie: M yi = b1 + b0 -

dm 2 ( y1 - y02 ) tg j - 2x ( y12 - y02 ) tg q tg j - 13 ( y13 + y03 ) tg 2 j 2

(10.11)

Odată determinate aceste mărimi, pentru orice secţiune transversală se pot calcula, volumul carenei şi coordonatele centrului de carenă pentru această plutire oarecare, cu ajutorul relaţiilor: L 2

òA

V=

xi

(10.12)

dx

L 2 L 2

xB =

yB =

1 V

1 V

òxA

dx

(10.13)

dx ¹ 0

(10.14)

xi

L 2 L 2

òM

L 2

zi

64 _______________________________________________________________________________

1 KB = V

L 2

òM -

yi

dx

(10.15)

L 2

11. INFLUENŢA AMBARCĂRII ŞI DEBARCĂRII DE MASE LA BORD ASUPRA FLOTABILITĂŢII NAVEI. DEPLASAMENTUL UNITAR Ambarcarea sau debarcarea de mase la bord modifică flotabilitatea navei, poziţia în raport cu suprafaţa liberă a apei şi stabilitatea acesteia. Deoarece în acest paragraf analizăm influenţa ambarcării şi debarcării de mase la bord asupra flotabilităţii, vom considera că masa se ambarcă într-un punct, astfel încât, în urma acestei operaţiuni, nava să rămână pe carenă dreaptă (riguros vorbind, acest lucru nu este posibil). Convenim că masele ambarcate sunt pozitive, iar cele debarcate negative. Nava are deplasamentul iniţial D şi volumul de carenă corespunzător V şi se ambarcă masa P în punctul având coordonatele xP , yP , z P. Noul deplasament va fi: D1 = D + P (11.1) Volumul carenei se va modifica corespunzător pentru a compensa modificarea deplasamentului: V1 = V + dV (11.2) Concomitent cu modificarea deplasamentului şi a volumului carenei se vor modifica: pescajul, coordonatele centrului de greutate şi coordonatele centrului de carenă. Studiul ambarcării şi debarcării de mase la bord se face în două variante distincte: ambarcarea de mase mici (P < 0,1 D ) şi ambarcarea de mase mari (P > 0,1 D ) . 11.1 Ambarcarea de mase mici (P < 0,1 D ) Presupunem că în zona plutirii bordurile navei sunt verticale deci, aria plutirii rămâne constantă. Din condiţia: D1 = rV1 (11.3) care implică: P = r dV = r AWL dd (11.4) rezultă că variaţia pescajului mediu se va calcula cu formula: dd =

P r AWL

(11.5)

65 _______________________________________________________________________________

sau, altfel spus, variaţia pescajului mediu se determină din condiţia ca volumul suplimentar dV al carenei să fie egal cu un cilindru care are ca bază suprafaţa plutirii AWL şi ca înălţime dd . Considerând că centrul de greutate iniţial al navei are coordonatele xG ; 0; KG , se vor produce variaţii ale acestor coordonate cu cantităţile dxG , dyG , d ( KG )

(Fig.36). Pentru a calcula aceste mărimi, vom scrie teorema momentelor în raport cu cele trei plane ale sistemului de coordonate: (11.6) (xG + d xG )(D + P ) = D xG + P xP d yG (D + P ) = P y P (11.7)

( )

é KG + d KG ù ( D + P ) =D KG + P z P ë û

(11.8)

P (xP - xG ) D+P P dyG = yP D+P P d KG = z P - KG D+P

(11.9)

Rezultă: dxG =

( )

(

a)

(11.10)

)

(11.11)

66 _______________________________________________________________________________

b) Fig. 36

Noua poziţie a centrului de greutate al navei va fi G1 de coordonate: xG1 = xG + dxG

(11.12)

yG1 = yG + dyG

(11.13)

KG1 = KG + d KG

(11.14)

( )

Pentru calculul variaţiilor coordonatelor centrului de carenă, apelăm la acelaşi raţionament, considerând xV , yV , zV coordonatele centrului de greutate al volumului suplimentar dV . Scriind teorema momentelor pentru volumul de carenă în raport cu cele trei plane ale sistemului de coordonate: (xB + d xB )(V + dV ) = V xB + dV xV (11.15) d y B (V + dV ) = dV yV (11.16)

( )

é KB + d KB ù (V + dV= ) V KB + dV zV ë û şi ţinând cont că xV = x F ; yV = 0 ; zV = d + dd obţinem: 2 dV dx B = (xF - xB ) V + dV dy B = 0

( )

d KB=

dV V + dV

dd æ ö - KB ÷ çd + 2 è ø

(11.17)

(11.18) (11.19) (11.20)

Având în vedere că: dV P = V + dV D + P

(11.21)

relaţiile anterioare se rescriu: dx B =

P (x F - x B ) D+P

(11.22)

67 _______________________________________________________________________________ dy B = 0

( )

d KB=

P æ dd ö - KB ÷ çd + D+Pè 2 ø

(11.23) (11.24)

Pentru ca în urma ambarcării/debarcării de greutăţi nava să nu capete înclinări transversale şi/sau longitudinale, este necesar ca cele două centre - de carenă şi de greutate - în poziţii deplasate, să se găsească pe aceeaşi verticală; deci, cantităţile cu care s-au deplasat în plan orizontal să fie egale, adică: dxG = dxB şi dyG = dy B . Rezultă: xP - xG = x F - x B (11.25) yP = 0 (11.26) Cum nava era iniţial pe carenă dreaptă, deci xG = xB găsim: xP = x F yP = 0

(11.27)

Fig. 37

În concluzie, pentru ca prin ambarcarea/debarcarea de mase la bord nava să nu capete înclinări suplimentare, este necesar ca operaţiunea să se efectueze pe verticala centrului plutirii iniţiale. 11.2 Ambarcarea de mase mari (P > 0,1 D ) În timpul exploatării navei, apar deseori situaţii în care masele ambarcate sau debarcate depăşesc limita de 0,1 D , situaţie în care bordurile navei nu mai sunt verticale în zona de variaţie a pescajului. Spre exemplu, în decursul operaţiilor de încărcare/descărcare masa ambarcată/debarcată poate depăşi de mai multe ori deplasamentul navei goale. Dacă dintr-o anumită situaţie de încărcare se ambarcă masa P , care poate fi şi o sumă de mase parţiale, adică P = å Pi şi dacă

68 _______________________________________________________________________________ xi , yi , zi sunt coordonatele centrului de greutate ale masei parţiale Pi , atunci noile

coordonate ale centrului de greutate se vor calcula cu formulele: D xG + å Pi xi D + å Pi å Pi yi yG1 = D + å Pi

(11.28)

xG1 =

KG1 =

(11.29)

D KG + å Pi zi D + å Pi

(11.30)

Pentru determinarea pescajului final şi a noilor coordonate ale centrului de carenă, se utilizează diagrama de carene drepte (Fig. 37), mai precis se folosesc curbele: D(z ); xB (z ) şi KB ( z ) .

Fig. 38

Aşezând la scara deplasamentului valoarea deplasamentului iniţial D , ridicând o verticală şi intersectând cu D(z ) , putem citi pe axa z valoarea d a pescajului corespunzător acestei situaţii de încărcare. Aşezând în continuarea lui D valoarea lui P şi repetând algoritmul, se obţine variaţia pescajului dd , precum şi variaţiile dxB şi d ( KB ) şi implicit noile valori ale pescajului d1 , abscisei centrului de carenă xB1 , cotei centrului de carenă KB1 . 11.3 Deplasamentul unitar Deplasamentul unitar este masa ce trebuie ambarcată pe o navă fără a-i modifica poziţia în raport cu suprafaţa liberă a apei, pentru ca pescajul să se modifice cu 1 cm. Dacă în relaţia (11.5) se face dd = 1 cm = 1 m , se obţine formula de calcul a 100

deplasamentului unitar: q=

r AWL = TPC 100

(11.31)

69 _______________________________________________________________________________

În publicaţiile de limbă engleză această mărime se mai notează cu TPC (Tonnes per Centimetre) . Din relaţia (11.31) rezultă că valoarea deplasamentului unitar depinde de mărimea pescajului; adică q = q(z ) şi această variaţie are aceeaşi formă cu AWL (z ) ; graficul fiind prezentat în Fig. 38. Curbele q(z ) se utilizează în special la navele de transport mărfuri, care au pescaje ce variază foarte mult în timpul operaţiunilor de încărcare/descărcare. În concluzie, dacă nava are pescajul d şi ambarcă masa P , variaţia pescajului în centimetri este: dd =

P P = [cm] q(d ) TPC

(11.32)

12. INFLUENŢA MODIFICĂRII SALINITĂŢII APEI ASUPRA PESCAJULUI MEDIU AL NAVEI În timpul exploatării, se por ivi des situaţii în care nava trece de pe mare pe apele interioare dulci şi invers. O astfel de situaţie este acompaniată de modificări care se produc asupra flotabilităţii navei. Ne vom referi în continuare la modificarea pescajului mediu al navei şi la variaţia coordonatelor centrului de carenă. a) Variaţia pescajului mediu Din ecuaţia fundamentală a flotabilităţii navei, rezultă: V=

D r

(12.1)

Prin modificarea salinităţii apei la trecerea navei din apă sărată în apă dulce şi invers, singura mărime care nu-şi schimbă valoarea este deplasamentul navei: D = r V = r1 V1 (12.2) unde r şi V sunt densitatea şi volumul de carenă corespunzătoare mediului iniţial, iar r1 şi V1 corespund mediului final. Dacă se exprimă volumul de carenă final în forma: V1 = V + dV , introducând în (12.2), obţinem: dV =

r - r1 V r1

(12.3)

Dacă în zona plutirii, nava are borduri verticale, atunci variaţia volumului dV se poate scrie: dV = AWL dd (12.4) şi relaţia (12.3) devine: dd =

ær ö V r - r1 V = ç - 1÷ r1 AWL çè r1 ÷ø AWL

(12.5)

70 _______________________________________________________________________________

Bazându-ne pe următoarele relaţii care au fost demonstrate anterior: V = CB L B d AWL = CWL L B

(12.6)

înlocuind în (12.5), găsim în final: dd =

CB CWL

ær ö çç - 1÷÷ d r è 1 ø

(12.7)

Notăm dr = r1 - r şi vom rescrie relaţia (12.7) în formă adimensională: dd C dr =- B d CWL r1

(12.8)

Se observă că dd şi dr au semne inverse atunci când nava trece din apă dulce în apă sărată (dr > 0) , pescajul se micşorează ( dd < 0 ) . În cazul trecerii de pe mare pe apă interioară dulce (dr < 0) şi ( dd > 0 ) deci, pescajul navei creşte.

Fig. 39

Să calculăm spre exemplu, variaţia relativă a pescajului unei nave, la trecerea din apă sărată cu r = 1,025 t / m 3 în apă dulce cu r1 = 1,0 t / m 3 . Adoptând pentru raportul CB valoarea medie 0,85, obţinem: CWL dd 0,025 = 0,85 = 0,021 @ 2% 1,0 d

(12.9)

Deci, pescajul creşte cu aproximativ două procente. În literatura de specialitate în limba engleză, valoarea dd , corespunzătoare acestei situaţii, se mai notează cu FWA (Fresh Water Allowance). b) Variaţia coordonatelor centrului de carenă Variaţia salinităţii apei conduce la variaţia pescajului navei şi, implicit, la variaţia coordonatelor centrului de carenă. Situaţia creată se poate observa şi în Fig.39.

71 _______________________________________________________________________________

Considerând volumul suplimentar de formă cilindrică dV = AWL dd şi centrul dd faţă de P.B. şi la distanţa xF faţă de planul său de greutate situat la distanţa d + 2

secţiunii de la mijlocul navei, scriind teorema momentelor în raport cu plane care trec prin centrul de carenă iniţial, rezultă: (V + dV ) dxB = dV (xF - xB ) (12.10) dd æ ö dV ç d + - KB ÷ 2 è ø

(V + dV ) d ( KB=)

(12.11)

Coordonata yB a centrului de carenă iniţial va rămâne neschimbată datorită simetriei corpului navei faţă de P.D. Dacă în relaţiile (12.10) şi (12.11) înlocuim expresia (12.3) a lui dV , se obţin următoarele formule de calcul pentru variaţiile coordonatelor centrului de carenă: dx B = -

( )

d KB=

-

(r1 - r) (x r1

- xB )

(12.12)

dd ö - KB ÷ çd + 2 è ø

(12.13)

( r1 - r ) æ r1

F

Analizând relaţiile (12.12) şi (12.13) se pot constata următoarele: - Semnul lui dxB depinde de formele navei, respectiv de poziţia relativă a celor două centre F şi B . - Semnul lui d ( KB ) depinde de variaţia densităţii dr . Astfel la trecerea din apă sărată în apă dulce, (r1 - r) < 0 şi d ( KB ) > 0 , deci centrul de carenă urcă pe

verticală şi invers. În concluzie, modificarea salinităţii apei determină atât modificarea pescajului mediu al navei cât şi a coordonatelor centrului de carenă. În condiţiile în care centrul de greutate rămâne fix, neavând loc deplasări de mase la bord, cele două centre B şi G nu se vor mai găsi pe aceeaşi verticală. Cuplul creat de forţa de greutate şi forţa de împingere arhimedică va înclina nava în sens longitudinal, modificându-i asieta. Detalii asupra calculului asietei navei la modificarea salinităţii apei sunt date în § 23. 13. REZERVA DE FLOTABILITATE. MARCA DE BORD LIBER Prin definiţie, rezerva de flotabilitate este volumul etanş al navei situat deasupra liniei plutirii. Rezerva de flotabilitate poate fi interpretată ca fiind volumul de apă ce poate fi ambarcat la bord pentru ca nava să ajungă în situaţia de "plutire submarină". Evident că măsura rezervei de flotabilitate este bordul liber al navei F (Fig. 40).

72 _______________________________________________________________________________

Prin definiţie, bordul liber atribuit este distanţa măsurată pe verticală la mijlocul navei, între marginea superioară a liniei punţii şi marginea superioară a liniei de încărcare corespunzătoare. Rezerva de flotabilitate este deosebit de importantă, în special, în cazurile când nava suferă avarii la corp şi un compartiment sau un grup de compartimente sunt inundate. În aceste situaţii, nava îşi modifică parametrii de flotabilitate mărindu-şi pescajul mediu şi înclinându-se longitudinal şi/sau transversal.

Fig. 40

Asigurarea rezervei de flotabilitate depinde de rigiditatea corpului (rezistenţa generală şi locală) şi etanşeitatea lui. Bordul liber, la o navă comercială, variază în limite largi, în funcţie de cantitatea de marfă. Stabilirea bordului liber minim pentru navele de transport maritim, se face conform "Convenţiei internaţionale asupra liniilor de încărcare" - Londra 1966. Astfel, navele sunt împărţite în două categorii: 1. Navele de tipul "A" - sunt nave special construite pentru a transporta mărfuri lichide în vrac. La aceste nave deschiderile în tancurile de marfă sunt de mici dimensiuni, acoperite cu capace rezistente şi garnituri etanşe. O astfel de navă trebuie să aibă un grad foarte mare de etanşeitate a punţilor principale; de asemenea, transportând mărfuri lichide în vrac, etanşeitatea este sporită şi asemănător şi rezistenţa la inundare. 2. Nave de tipul "B" - sunt nave care nu satisfac condiţiile pentru tipul "A" Înălţimea bordului se determină în practică cu ajutorul "mărcii de bord liber". Aceasta este amplasată în fiecare bord la mijlocul navei şi constă din: - linia punţii; - discul de bord liber (denumit şi discul Plimsoll) situat sub linia punţii, tăiat de o bandă orizontală, a cărei margine superioară trece prin centrul discului şi este situată faţă de linia de punţii la o distanţă egală cu bordul liber minim de vară (Fig.41). Având stabilit bordul liber de vară, relaţiile dintre acesta şi celelalte linii de încărcare pentru diferite zone geografice şi anotimpuri sunt prezentate în continuare. 1. Linia de încărcare de vară (Summer load line) este indicată prin marginea superioară a benzii ce trece prin centrul discului, fiind marcată cu V (S ) . Distanţa

73 _______________________________________________________________________________

măsurată în milimetri de la această linie şi linia punţii reprezintă bordul liber minim de vară (Summer freeboard).

Fig. 41

2. Linia de încărcare la tropice (Tropical load line) este situată deasupra liniei de încărcare de vară la o distanţă egală cu 1/48 din pescajul de vară al navei, fiind marcată cu T (T ) . 3. Linia de încărcare de iarnă (Winter load line) este situată sub linia de încărcare de vară la o distanţă egală cu 1/48 din pescajul de vară al navei, fiind marcată cu I (W ) . 4. Linia de încărcare de iarnă în Atlanticul de Nord (Winter Nord Atlantic load line) este marcată cu IAN (WNA) . Pentru navele cu lungimea mai mică de 100 m , această linie se obţine majorând cu 50 mm bordul liber minim de iarnă. Pentru celelalte nave, această linie coincide cu linia de încărcare de iarnă. 5. Linia de încărcare de vară în apă dulce (Summer fresh water load line) este indicată de marginea superioară a unei benzi marcată cu D (F ) . Distanţa de la marginea superioară a acestei benzi până la linia de vară este egală cu variaţia pescajului mediu al navei la trecerea din apă sărată cu r = 1,025 t / m 3 în apă dulce cu r1 = 1,0 t / m 3 (FWA ) . 6. Linia de încărcare la tropice în apă dulce (Tropical fresh water load line) este indicată de marginea superioară a unei benzi marcată cu TD (TF ) . Distanţa de la marginea superioară a acestei benzi până la linia de încărcare de vară în apă dulce (D ) reprezintă modificarea pescajului care este admisă în apă dulce faţă de bordul liber la tropice. La navele care transportă cherestea pe punte se prevăd linii de încărcare suplimentare, plasate în stânga discului de bord liber cu liniile de încărcare, având aceeaşi specificaţie.

74 _______________________________________________________________________________

PROBLEME REZOLVATE Problema 1 O navă tip ponton paralelipipedic are: L = 100 m , B= 10 m , d= 4 m în apă cu densitatea de 1, 010 t / m3 . Să se găsească: (a) deplasamentul; (b) noul pescaj dacă se încarcă 750 t de marfă; (c) noul pescaj dacă densitatea mediului în care navighează este de 1.025 t / m3 ; (d) noul pescaj dacă ajunge în port, unde densitatea apei este 1, 005 t / m3 ; (e) câtă marfă trebuie descărcată în port pentru ca pescajul final să fie de 3, 5 m .

75 _______________________________________________________________________________

Rezolvare: (a) Deplasamentul pontonului se calculează cu formula: D =r L =B d

1, 010 × 100 ×10 × 4 = 4040 t

(b) Încărcându-se masa P = 750 t de marfă, noul pescaj se calculează cu relaţia: d1 =

D+P rLB

4040 + 750 = 1, 010 ×100 ×10

4, 743=m

(c) Când salinitatea apei îşi schimbă valoarea de la r = 1, 010 t / m3 la r2 = 1, 025 t / m3 pescajul ajunge la valoarea: d2 =

r d1 r2

1, 010 = 4, 743 1, 025

4, 673 =m

(d) În port, unde densitatea apei este r3 = 1, 005 t / m3 , pescajul va fi: d3 =

D+P r3 L B

4040 + 750 = 1, 005 ×100 ×10

4, 766= m

(e) Plecând de la pescajul final, rezultat în urma descărcării de marfă, rezultă deplasamentul final D4

r=3 × L × B × d 4 =1, 005 ×100 × 10 × 3,5 = 3517, 5 t

Cantitatea de marfă descărcată este: P4 = ( D + P ) - D 4

= + 750 ) - 3517, 5 = 1272, 5 t ( 4040

Problema 2 O navă cu deplasamentul de 16450 t şi KG = 9,3 m efectuează operaţiuni de încărcare şi descărcare de marfă după cum urmează:

Încărcare Descărcare

Masa [t ] 1427 2964 1930 2000 483

Kg [m]

8,6 4,6 12,0 11,8 6,4

Găsiţi valoarea finală a lui KG . Rezolvare: Calculele se vor executa tabelar, considerând toate categoriile de greutăţi şi momentele statice ale acestora faţă de PB .

76 _______________________________________________________________________________

Masa [t ] KG ; Kg [ m] Momentul faţă de PB [t × m ] 16450 9,3 152985 1427 8,6 12272,2 2964 4,6 13634,4 1930 12,0 23160,0 -2000 11,8 -23600 -483 6,4 -3091,2 D1 = 20288 å M LB = 175360,4 KG1 =

åM

LB

D1

175360, 4 = =8, 643 m 20288

Problema 3 O navă cu deplasamentul de 12500 t şi KG = 9, 6 m încarcă marfă la bord după cum urmează: Masa [t ] 1000 850

Kg [ m]

5,5 13,6

Să se calculeze cota centrului de greutate ( Kg ) al unei mase de 1600 t care va mai trebui încărcată la bord, astfel încât cota centrului de greutate al navei, rezultată în urma acestor operaţiuni să fie KG1 = 9,5 m . Rezolvare: Notăm cu x , Kg căutat. Vom rezolva problema tabelar. Masa [t ] KG ; Kg [ m] Momentul faţă de PB [t × m ] 12500 9,6 120000 1000 5,5 5500 850 13,6 11560 x 1600 1600 x D1 = 15950 å M LB = 137060+1600 x

77 _______________________________________________________________________________

KG1 =

åM D1

LB

137060 + 1600 x 15950 x = 9, 041 m Û 9,5 =

Problema 4 O navă are deplasamentul de 16000 t , KG = 9 m şi este încărcată după cum urmează: Masa [t ] 1000 2000 1500

Kg [ m]

8 6 10

Cum va fi distribuită o cantitate de marfă de 2000 t ce trebuie ambarcată în două magazii având Kg = 5 m şi Kg = 11 m astfel încât, în final, nava să aibă KG1 = 8, 75 m ? Rezolvare: Notăm cu x cantitatea de marfă din magazia cu Kg = 5 m şi y cantitatea de marfă din magazia cu Kg = 11 m . Evident, x + y = 2000 t . Problema se poate rezolva tabelar: Masa [t ] KG ; Kg [ m] Momentul faţă de LB [t × m ] 16000 9 144000 1000 8 8000 2000 6 12000 1500 10 15000 x 5 5x y 11 y 11 D1 = 22500 å M LB 179000+5 x +11 y KG1 =

åM D1

LB

Û 8, 75 =

179000 + 5 x + 11 y sau 22500

ì5 x + 11 y 17875 = x 687,5 t= Þ í = y 1312,5 t î x + y 2000

=

78 _______________________________________________________________________________

Problema 5 O navă cu deplasamentul de 14500 t are cota centrului de greutate KG = 6,86 m . Să se calculeze noua valoare a cotei centrului de greutate KG1 care rezultă în urma ambarcării a 3500 t de containere pe o punte cu Kg = 23 m . Rezolvare: Problema se poate rezolva tabelar: Masa [t ] KG ; Kg [ m] 14500 6,86 3500 23 D1 = 18000 KG1 =

åM

LB

D1

=

M LB [ t × m]

99470 80500 å M LB = 179970 179970 @ 10 m 18000

Problema 6 O navă încarcă 3500 t de produse de buncher cu Kg = 1,37 m . Înainte de încărcare nava avea deplasamentul de 12500 t şi KG = 5, 33 m . Care va fi valoarea noii cote a centrului de greutate KG1 ? Rezolvare: Problema se poate rezolva tabelar: Masa [t ] KG ; Kg [ m] 3500 1,37 12500 5,33 D1 = 16000 KG1 =

Problema 7

åM D1

LB

=

M LB [ t × m]

4795 66625 å M LB = 71420 71420 @ 4, 46 m 16000

79 _______________________________________________________________________________

Magazia de marfă Nr. 2 la o navă este încărcată ca in figură. Să se găsească valoarea cotei centrului de greutate al magaziei.

Rezolvare: Problema se rezolvă tabelar: Masa [t ]

Kg [ m]

M LB [ t × m]

400 300 350 100 50 å P = 1200

1,95 3,95 4,825 6,075 6,075

780 1185 1688,75 607,5 303,75 å M LB = 4565

KG =

å M= åP

LB

4565 = 1200

3,8 m

Problema 8 O navă cu deplasamentul de 14600 t are KG = 9, 6 m . Se încarcă marfă după cum urmează: Masa [t ] 2500 1600

Kg [ m]

4,5 12,5

Ce cantitate de marfă va putea fi ambarcată la Kg = 16 m astfel încât valoarea finală a cotei centrului de greutate al navei să nu depăşească valoarea KG1 = 10 m ? Rezolvare: Notăm cu x cantitatea de marfă care reprezintă necunoscuta problemei.

80 _______________________________________________________________________________

Masa [t ]

KG ; Kg [ m]

M LB [ t × m]

14600 2500 1600

9,6 4,5 12,5 16,0

140160 11250 20000 16 x å M LB = 171410+16 x

x D1 = 18700+ x

x se va determina din ecuaţia: M LB 171410 + 16 x KG1 = = 10 Û = D1 18700 + x

å

10 Þ x = 2598, 3 t

Problema 9 O navă are D = 16000 t şi KG = 8,5 m . Ea încarcă marfa după cum urmează: Masa [t ] 1360 2957 1638 500

Kg [ m]

4,7 10,5 5,9 14,8

Să se calculeze valoarea noii cote a centrului de greutate KG1 . Rezolvare: Problema se va rezolva tabelar: Masa [t ] KG ; Kg [ m] 16000 8,5 1360 4,7 2957 10,5 1638 5,9 500 14,8 D1 = 22455 KG1 =

åM D1

LB

M LB [ t × m]

136000 6392 31048,5 9664,2 7400 å M LB = 190504,7

190504, 7 = =8, 48 m 22455

81 _______________________________________________________________________________

Problema 10 O navă are D = 6200 t şi KG = 8 m . Să se distribuie o cantitate de 9108t de marfă în două spaţii de depozitare, având Kg1 = 0,59 m şi Kg 2 = 11, 45 m astfel încât cota finală a centrului de greutate să fie KG1 = 7,57 m . Rezolvare: Notăm cu x capacitatea de marfă din magazia 1. În magazia 2 vom avea 9108 - x ) tone de marfă. ( M LB [ t × m] Masa [t ] KG ; Kg [ m] 6200

8,0 0,59 11,45

x 9108 - x

D1 = 15308

KG1 =

åM

0, 59 x 104286,6 - 11, 45 x

åM

LB

= 153886,6-10,86 x

153886, 6 - 10,86 x = 15308

LB

D1

x = P1

49600

3499,5 t ; = P2

5608,5 t

7, 57

=

=

Problema 11 O navă are deplasamentul de 15000 t şi KG = 6,86 m . O cantitate de marfă de 500 t este deplasată pe verticală de pe puntea dublului fund unde Kg = 2, 43 m pe puntea principală unde Kg1 = 12, 2 m . Care va fi valoarea KG1 ? Rezolvare: Problema se rezolvă ţinând cont de efectul deplasărilor de greutăţi la bordul navei asupra poziţiei centrului de greutate. KG1 = KG +

(

P Kg1 - Kg D

)

6,86 = +

500 (12, 2 - 2, 43 ) 15000

@ 7,19 m .

82 _______________________________________________________________________________

CAPITOLUL III. STABILITATEA INIŢIALĂ A NAVEI 14. CONSIDERAŢII GENERALE DESPRE STABILITATEA NAVEI În general, un corp se găseşte în echilibru atunci când rezultanta forţelor care acţionează asupra lui şi momentul rezultant sunt nule. Un corp care pluteşte în apă liniştită se află în echilibru sub acţiunea a două forţe rezultante verticale, egale şi de sens contrar şi acţionând pe acelaşi suport: forţa de greutate, acţionând vertical de jos în sus în centrul de greutate şi forţa de împingere orientată vertical în sus cu punct de acţiune centrul de carenă. Corpurile plutitoare pot exista în trei situaţii de echilibru: (a) Echilibru stabil, atunci când corpul scos din poziţia de echilibru de o cauză externă, revine la poziţia iniţială de îndată ce cauza externă încetează să acţioneze. (b) Echilibru instabil, atunci când corpul scos din poziţia de echilibru de o cauză externă, nu mai revine la poziţia iniţială după dispariţia cauzei externe, depărtându-se tot mai mult de această poziţie. (c) Echilibru indiferent sau neutru, atunci când corpul scos din poziţia de echilibru de o cauză externă rămâne în poziţie deplasată chiar şi după dispariţia cauzei externe. În cazul unei nave, situaţia de echilibru indiferent trebuie tratată tot ca o situaţie de instabilitate, pentru că nu putem accepta, de exemplu, ca o navă înclinată transversal la tribord cu 10° de o cauză externă să rămână în această poziţie, când aceasta nu mai acţionează. Aşadar, în "Teoria navei", o navă poate fi în două situaţii: stabilă sau instabilă. Ca o consecinţă a acţiunii forţelor externe, nava va putea căpăta deplasări pe toate cele şase grade de libertate: trei translaţii în lungul axelor de coordonate ox , oy , oz şi trei rotaţii în jurul acestor axe. Să analizăm în continuare din punct de vedere al stabilităţii deplasarea navei pe fiecare din cele şase grade de libertate. Dacă scoatem nava din poziţia de echilibru, deplasând-o pe direcţia axei oz , vom observa că, odată cu încetarea cauzei exterioare, nava revine la poziţia iniţială deci, este într-o situaţie de echilibru stabil pe această direcţie. Astfel, dacă nava se deplasează vertical în sus, scade pescajul iar forţa de împingere arhimedică va deveni mai mică decât forţa de greutate care îşi păstrează constantă valoarea. Sub acţiunea forţei rezultante nava revine la poziţia de echilibru iniţial, odată cu încetarea acţiunii cauzei externe, după ce execută câteva oscilaţii

83 _______________________________________________________________________________

verticale amortizate. Nava este în echilibru stabil pe direcţia axei oz, indiferent de magnitudinea deplasărilor pe această direcţie. Dacă nava capătă deplasări pe direcţiile axelor ox şi oy , mediul marin opune rezistenţă la aceste deplasări prin apariţia forţelor de rezistenţă la înaintare care se opun mişcării. După dispariţia forţelor exterioare, nava rămâne în poziţie deplasată şi nu revine la poziţia iniţială. Această comportare are loc indiferent de magnitudinea deplasărilor în plan orizontal, iar situaţia este de echilibru indiferent, deci nava este instabilă pe aceste direcţii. Rotaţia navei în jurul axei oz (pivotarea) implică deplasări în plan orizontal şi apariţia unui moment rezistent la rotaţie din partea mediului marin. După dispariţia cauzei externe, nava va rămâne deplasată neputând reveni la poziţia iniţială, indiferent de mărimea deplasării. Suntem din nou într-un caz de instabilitate. În cazul rotaţiei navei în jurul axelor orizontale, longitudinală ( ox ) şi transversală ( oy ) , aceasta se poate găsi în oricare din situaţiile stabilă sau instabilă, totul depinzând de o serie întreagă de factori cum ar fi: dimensiunile navei, forma suprafeţei imerse, distribuţia de greutăţi la bord şi tipul acestora, precum şi mărimea unghiului de înclinare. Spre exemplu, dacă o navă pluteşte într-o poziţie dată şi asupra ei acţionează o cauză externă care o scoate din această poziţie, înclinând-o transversal, forţa de împingere şi forţa de greutate vor forma un cuplu, momentul acestuia putând avea semne diferite. Astfel, dacă acest moment tinde să readucă nava în poziţia iniţială are semn pozitiv şi se numeşte moment de redresare sau moment de stabilitate, nava fiind stabilă (Fig. 42,a). Atunci când momentul tinde să încline nava în acelaşi sens cu cel produs de cauza externă, are semn negativ şi se numeşte moment de instabilitate, nava fiind instabilă (Fig. 42,b).

Fig. 42

84 _______________________________________________________________________________

Mecanismul fizic al apariţiei momentului de redresare este următorul. În decursul înclinării navei, centrul de carenă se va deplasa în sensul înclinării în timp ce centrul de greutate rămâne în poziţie fixă, neavând loc deplasări de mase la bord. Deplasarea relativă a celor două centre aduce nava în situaţia în care, la sfârşitul înclinării, forţa de împingere şi forţa de greutate rămân egale în modulul, însă nu vor mai acţiona pe acelaşi suport, determinând apariţia momentului de stabilitate. Aşa cum vom demonstra în acest capitol, pentru navele de suprafaţă la aceeaşi mărime a unghiului de înclinare, momentul de stabilitate longitudinală este mult mai mare decât momentul de stabilitate transversală. Din acest considerent, în teoria navei se studiază îndeosebi stabilitatea transversală în două situaţii: stabilitatea la unghiuri mici de înclinare sau stabilitatea iniţială, atunci când unghiul de înclinare transversală j < 7° maxim 10° şi stabilitatea la unghiuri mari de înclinare. La unghiuri mici, momentul de stabilitate are o variaţie liniară cu unghiul de înclinare, pe când la unghiuri mari de înclinare această ipoteză nu mai este valabilă. Spre deosebire de navele de suprafaţă, la submarinele complet imersate nu se poate face o distincţie ca ordin de mărime între stabilitatea transversală şi cea longitudinală. Un submarin imersat se poate răsturna la fel de uşor atât transversal, cât şi longitudinal. Această diferenţă de comportament între navele de suprafaţă şi submarinele imersate se explică prin aceea că centrul de carenă la submarine este fix, în timp ce la nave se deplasează odată cu înclinarea corpului. Un submarin se poate găsi din punct de vedere al stabilităţii în una din situaţiile din Fig. 43. Se poate observa că numai în cazul din Fig. 43.a submarinul este stabil întrucât momentul creat de forţa de împingere şi forţa de greutate tinde să-l aducă în poziţia iniţială. În concluzie, un corp imersat este în poziţie de echilibru stabil, dacă centrul de greutate se găseşte sub centrul de carenă. Astfel, în cazul navelor de suprafaţă cât şi în cazul submarinelor, aşa cum se observă din figurile 42 şi 43, stabilitatea se măreşte dacă centrul de greutate se deplasează pe verticală în jos. Dacă nava este iniţial stabilă, se măreşte braţul momentului şi implicit valoarea momentului de stabilitate. Dacă nava este iniţial instabilă, prin deplasarea centrului de greutate vertical în jos cu o distanţă suficientă, se schimbă sensul momentului, transformându-l din moment de instabilitate în moment de stabilitate. Cauzele externe care determină înclinarea navei pot acţiona static, atunci când valoarea momentului exterior are o creştere lentă în timp şi dinamic, atunci când momentul exterior acţionează cu intensitatea maximă din prima clipă. În teoria navei, efectele acestor acţiuni se studiază separat, împărţind stabilitatea navei în: stabilitate statică şi stabilitate dinamică.

85 _______________________________________________________________________________

Fig. 43

Stabilitatea statică este caracterizată de valoarea momentului de stabilitate, în timp ce măsura stabilităţii dinamice este lucrul mecanic al momentului de stabilitate care se consumă în timpul înclinării. 15. ÎNCLINĂRI IZOCARENE. TEOREMA EULER În general, acţiunea unei cauze externe asupra navei se reduce la un torsor format dintr-o forţă şi un moment. Dacă forţa externă are componentă pe direcţie verticală, nava îşi modifică pescajul până când forţa de împingere egalează rezultanta forţelor verticale care acţionează asupra ei. Dacă forţa externă acţionează pe direcţie transversală, nava capătă o mişcare de derivă întâmpinând din partea apei o forţă de rezistenţă. Apare în acest fel şi un moment care înclină nava transversal. Atunci când forţa externă acţionează pe direcţie longitudinală, apare un moment care înclină nava longitudinal. În ambele cazuri, nava îşi modifică poziţia în raport cu suprafaţa liberă a apei păstrând constant volumul carenei. Două plutiri se numesc izocarene dacă ele corespund la volume de carene egale. Considerând două plutiri izocarene W1 L1 şi W2 L2 , înclinate transversal, una faţă de alta, cu unghiul elementar dj , vom observa că forma volumului carenei se modifică deoarece volumul dV1 intră în apă, iar volumul dV2 iese din apă. Aceste două volume în formă de pană se numesc onglete; dV1 este ongletul imers, iar dV2 este ongletul emers (Fig. 44). Cele două plutiri fiind izocarene rezultă egalitatea: dV1 = dV2 (15.1) Pentru calculul celor două volume, observăm că ele sunt delimitate de dreapta de intersecţie a plutirilor, a cărei urmă pe planul transversal este punctul F şi care împarte aria plutirii în două (Fig. 45): AWL este partea din aria plutirii 1

86 _______________________________________________________________________________

care corespunde ongletului imers, iar AWL corespunde ongletului emers. În 2

interiorul fiecărui onglet considerăm câte o prismă elementară având ca bază dAWL , iar ca înălţime y1 dj , respectiv y2 dj .

Fig. 44

Fig. 45

Aşadar: dV1 =

ò

y1 d j dA=WL

ò

y2 d j dA=WL

AWL1

dV2 =

d j ò =y1 dAWL

d j M s1

(15.2)

AWL1

AWL2

d j ò= y2 dAWL

d j M s2

(15.3)

AWL2

M s1 şi M s 2 sunt momentele statice ale ariilor AWL1 şi AWL2 în raport cu

dreapta de intersecţie a plutirilor W1 L1 şi W2 L2 . Introducem (15.2) şi (15.3) în (15.1) şi obţinem: M s1 = M s 2

sau: M s1 - M s 2 = M s = 0

(15.4)

În relaţia (15.4), M s reprezintă momentul static al ariei plutirii WL1 în raport cu dreapta de intersecţie a plutirilor W1 L1 şi W2 L2 . Din relaţia (15.4) rezultă că acest moment static este nul, ceea ce înseamnă că dreapta de intersecţie (axa de înclinare) trece prin centrul de greutate al plutirii W1 L1 . Aceasta este esenţa teoremei Euler al cărei enunţ este următorul: Două plutiri izocarene înclinate cu un unghi infinit mic, una faţă de alta, se intersectează după o dreaptă ce trece prin centrul de greutate al celor două plutiri. La navele cu borduri verticale teorema Euler este valabilă pentru orice înclinare în limitele în care plutirile nu intersectează puntea sau gurna. Putem formula o reciprocă a teoremei Euler, deosebit de importantă:

87 _______________________________________________________________________________

Dacă două plutiri sunt înclinate cu un unghi infinit mic în jurul unei axe ce trece prin centrul plutirii, atunci cele două plutiri sunt izocarene. 16. DEPLASAREA CENTRULUI DE CARENĂ Teorema lui Euler a fost demonstrată pentru o înclinare pur transversală. Acest lucru nu micşorează cu nimic generalitatea enunţului ei. În general, o navă se poate roti în jurul oricărei axe centrale a plutirii cu un unghi infinit mic. Plutirea iniţială şi cea înclinată vor fi izocarene, însă centrele de carenă vor fi puncte distincte, deoarece formele celor două carene sunt diferite. Ne interesează să studiem modul în care se deplasează centrul de carenă în timpul acestor înclinări. Apariţia ongletelor, imers şi emers, egale şi de volum dV , poate fi considerată ca o modificare a formei carenei. Se poate considera că forma carenei corespunzătoare plutirii W2 L2 se obţine din carena corespunzătoare plutirii W1 L1 , prin deplasarea volumului dV din bordul emers în bordul imers. Centrul de greutate al acestui volum se va deplasa pe distanţa g1 g 2 . Din mecanica teoretică este cunoscută următoarea teoremă, ca o consecinţă directă a teoremei momentelor: "Dacă în interiorul unui sistem format din mai multe corpuri, un corp se deplasează după o direcţie oarecare; centrul de greutate al sistemului se deplasează după o direcţie paralelă şi în acelaşi sens. Raportul dintre deplasarea centrului de greutate al sistemului şi deplasarea centrului de greutate al corpului este egal cu raportul dintre masa corpului şi masa sistemului de corpuri." Conform teoremei amintite putem scrie (vezi Fig. 46): B1 B2 // g1 g 2 (16.1) B1 B2 =

dV g1 g 2 V

(16.2)

Fig. 46

88 _______________________________________________________________________________

Dacă nava se înclină în jurul unei axe centrale oarecare din planul plutirii, deplasările g1 g 2 şi B1 B2 sunt spaţiale şi pot fi descompuse în trei deplasări ortogonale, corespunzătoare sistemului la care ne raportăm. Să considerăm un caz general de înclinare a navei în jurul unei axe centrale Fx din planul plutirii W1 L1 (Fig. 47).

Fig. 47

Sistemul de axe triortogonal, faţă de care ne raportăm, are planul Fxh care coincide cu planul plutirii, iar axa Fz perpendiculară pe acest plan. Ca urmare a înclinării cu unghiul da , deplasarea B1 B2 a centrului de carenă poate fi descompusă în trei deplasări infinitezimale d x , d h , d z în lungul axelor. Considerăm un volum prismatic elementar ce are ca bază suprafaţa elementară dAWL , iar ca înălţime h d a (Fig.48). Distanţele de la centrul de greutate al acestui volum la planele F zh , F zx şi FVhVhsunt suntxx, hh, respectiv respectiv respectivhh

da . 2

Fig. 48

Prin deplasarea spaţială a centrului de carenă au loc variaţii ale momentelor statice ale volumului carenei în raport cu aceste plane, care se calculează cu formulele:

89 _______________________________________________________________________________ dM zh = V d x = d a

ò x h dA

WL

(16.3)

òh

dAWL

(16.4)

AWL

dM zx = V d h d=a

2

AWL

dM xh = V d z

(d a)

2

2

2 = ò h dAWL

(16.5)

AWL

Cele două integrale care apar în relaţiile anterioare reprezintă momentele de inerţie ale ariei plutirii iniţiale, respectiv: (16.6) ò x h dAWL = I xh AWL

- momentul de inerţie centrifugal al suprafeţei plutirii: 2 (16.7) ò h dAWL = I x AWL

- momentul de inerţie al suprafeţei plutirii în raport cu axa centrală Fx . Deplasările infinitezimale ale centrului de carenă se vor scrie: dx dh dz

I xh

=d a

(16.8)

=d a V 1 Ix 2 (=d a ) 2V

(16.9)

V Ix

(16.10)

Scriind relaţia (16.10), tragem următoarele concluzii: 1) La înclinări izocarene pe direcţie verticală, centrul de carenă se va deplasa întotdeauna în sus deoarece dz > 0 . 2) Deplasarea pe direcţie verticală a centrului de carenă dz este un infinit mic de ordinul doi, comparativ cu deplasările în plan orizontal dx şi dh . Prin urmare, arcul elementar B1 B2 se poate calcula cu relaţia: (16.11) Să examinăm în continuare, separat, înclinările transversale şi longitudinale, presupunând că plutirea iniţială este dreaptă, adică W1 L1 º W0 L0 . Situaţia este prezentată în figura 49. A) În cazul înclinărilor transversale, axa de înclinare F x º ox . Momentele de inerţie ale plutirii vor fi: B1 B 2 = ds = dx 2 + dh 2 + dV 2 @ dx 2 + dh 2

I x = I x ; I xh = I fx

Deplasările elementare ale centrului de carenă se pot calcula cu relaţiile: d x = =dxB

dh

dy= B

I fx

dj = 0 V Ix =d j V

(16.12) (16.13)

90 _______________________________________________________________________________

dz

1I 2 dz B = x ( d j=) 2V

(16.14)

Fig. 49

În formulele de mai sus, momentul de inerţie centrifugal I fx s-a considerat egal cu zero, deoarece ox este axa de simetrie a suprafeţei plutirii, iar d a =d j . B) În cazul înclinărilor longitudinale, axa de înclinare F x º Ff şi F h º ox , iar unghiul de înclinare d a =d q . Momentele de inerţie ale plutirii vor fi corespunzătoare: I x = I f ; I xh = I fx

Deplasările elementare ale centrului de carenă se calculează cu relaţiile: dx = = dyB dh

dxB=

dz

dz B

I fx

dq = 0

(16.15)

=d q V 1 If 2 = ( d q=) 2V

(16.16)

V If

(16.17)

Formulele (16.8), (16.9) şi (16.10) reprezintă modelul matematic al deplasării centrului de carenă la înclinări infinit de mici, izocarene în jurul unei axe centrale din planul plutirii. Ne putem imagina însă o infinitate de înclinări, infinit mici, în jurul unei axe centrale de la 0° la 360°, precum şi o infinitate de axe centrale situate în planul plutirii în jurul cărora se roteşte nava. Locul geometric al centrelor de carenă, corespunzătoare acestor infinităţi de plutiri izocarene, poartă numele de suprafaţa centrelor de carenă sau suprafaţa B . Dacă ne fixăm asupra unei axe centrale de rotaţie, centrul de carenă se va deplasa pe o curbă de pe această suprafaţă care se numeşte curba centrelor de carenă sau curba B .

91 _______________________________________________________________________________

Studiind relaţia (16.11), vom observa că la înclinări infinit mici izocarene, centrul de carenă se deplasează după direcţiile x şi h , deci într-un plan paralel cu planul plutirii, tangent la suprafaţa B . Rezultă de aici o proprietate importantă a suprafeţei centrelor de carenă, considerată de mulţi autori ca teorema a II-a a lui Euler: "Planul tangent la suprafaţa centrelor de carenă este paralel cu planul plutirii corespunzătoare punctului de tangenţă." 17. METACENTRE ŞI RAZE METACENTRICE Să revenim la înclinările izocarene cu un unghi infinit mic, studiind separat înclinările transversale şi longitudinale. În timpul înclinărilor transversale, deplasările elementare ale centrului de carenă se calculează cu formulele (16.12), (16.13) şi (16.14) observând că dxB = 0 ; dy B ¹ 0 ; dz B ¹ 0 . Rezultă că centrul de carenă se va deplasa după o curbă de pe suprafaţa B situată într-un plan paralel cu planul de înclinare yKz . Se consideră o navă înclinată transversal cu unghiul j şi care, faţă de această poziţie, suferă o înclinare transversală suplimentară cu unghiul dj (Fig.50). Centrul de carenă se va deplasa parcurgând arcul elementar B1 B2 , situat pe suprafaţa B într-un plan transversal. În punctele B şi B1 acţionează forţele de împingere ce corespund plutirilor WL şi W1 L1 , perpendicular pe aceste plane. Întrucât planele plutirilor sunt perpendiculare pe planul transversal în care se situează B şi B1 , rezultă că suporturile forţelor de împingere arhimedică sunt coplanare şi se intersectează într-un punct M j . Conform teoremei a II-a a lui Euler, demonstrată în paragraful anterior, planele tangente în punctele B şi B1 la suprafaţa B , sunt paralele cu WL , respectiv W1 L1 , deci suporturile forţelor de împingere sunt perpendiculare pe aceste plane. Rezultă că poziţia limită a punctului M j , atunci când dj ® 0 este centrul de curbură al curbei centrelor de carenă în punctul B . El poartă denumirea de metacentru transversal, iar raza de curbură se numeşte rază metacentrică transversală corespunzătoare unghiului j de înclinare şi se notează cu rj . Din (16.11), (16.12) şi (16.13) se deduce expresia arcului elementar BB1 sub forma: BB1 @

I xj V

dj = BM j dj

(17.1)

unde I xj este momentul de inerţie al plutirii WL în raport cu o axă paralelă cu axa x ce trece prin centrul F al acestei plutiri. Din (17.1) obţinem formula de calcul pentru raza metacentrică transversală:

92 _______________________________________________________________________________

BM j =

I xj V

(17.2)

Fig. 50

În situaţia în care plutirea iniţială este dreaptă (Fig. 51), raza metacentrică transversală se calculează cu relaţia: BM =

Ix V

(17.3)

O discuţie asemănătoare se face pentru punerea în evidenţă a metacentrului longitudinal M L şi a razei metacentrice longitudinale. Întrucât stabilitatea longitudinală a navei se studiază în limita unghiurilor mici de înclinare, vom reduce discuţia la cazul plutirii iniţiale drepte ( q = 0 ) . Situaţia este prezentată în Fig. 52.

93 _______________________________________________________________________________

Fig. 51

Când nava se înclină longitudinal cu unghiul dq centrul de carenă conturează arcul elementar BB1 . Utilizând formulele (16.11), (16.15) şi (16.16) găsim: BB1 @

If V

(17.4)

dq = BM L dq

iar pentru raza metacentrică longitudinală: BM L =

If V

(17.5)

Fig. 52

În practică, se observă că pentru o navă de suprafaţă, raza metacentrică longitudinală BM L este mult mai mare decât raza metacentrică transversală BM . În timp ce BM L are ordinul de mărime al lungimii navei, putând ajunge până la

94 _______________________________________________________________________________ 1 1 sau chiar 2 L ; BM variază între æç L ö÷ B . La aceeaşi concluzie putem ajunge 6 3

1, 5 L

è

ø

studiind raportul dintre BM L şi BM pentru un ponton paralelipipedic, cu dimensiunile L ´ B ´ d . Razele metacentrice vor fi: BM L =

If V

B L3 /12 = LBd

L2 =; BM 12 d

I x L B 3 /12 B 2 = = V LBd 12 d

=

(17.6)

Raportul lor va fi : æ Lö =ç ÷ BM è B ø

BM L

Cum

2

(17.7)

L BM L variază în limitele 4...12 ; este situat în limitele 16....144 . B BM

Din relaţiile (17.6) rezultă: BM L d =

L2 = K1 ; =BM d= 12

B2 12

K2

(17.8)

care implică o variaţie hiperbolică a înălţimilor metacentrice cu pescajul pontonului. În cazul navelor obişnuite, se remarcă o variaţie apropiată de cea hiperbolică a înălţimilor metacentrice transversală şi longitudinală cu pescajul. 18. MOMENT DE REDRESARE. FORMULA METACENTRICĂ A STABILITĂŢII. ÎNĂLŢIMI METACENTRICE Aşa cum am arătat în §14, mecanismul fizic al apariţiei momentului de redresare în cazul înclinărilor izocarene constă în interacţiunea dintre forţa de împingere arhimedică şi forţa de greutate, datorită deplasării centrului de carenă în sensul înclinării. Considerând înclinări izocarene ale navei în limita unghiurilor mici, o navă se poate găsi, din punct de vedere al stabilităţii transversale, în una din situaţiile prezentate în Fig. 53. Cazul a (Fig. 53). Centrul de greutate se găseşte sub centrul de carenă. Când nava se înclină transversal, centrul de carenă se deplasează în poziţia B1 . Momentul cuplului format de forţa de greutate g D şi forţa de împingere r g V tinde să aducă nava în poziţia iniţială, fiind un moment de stabilitate. Nava se află în acest caz într-o situaţie de stabilitate transversală excesivă, întâlnită la navele unde se iau măsuri speciale privind stabilitatea cum sunt navele de sport şi agrement. O navă cu stabilitate excesivă execută oscilaţii dure pe o mare dezvoltată, adică oscilaţii cu perioadă mică şi frecvenţă mare. În timpul acestor mişcări apar forţe de inerţie mari care, pe de-o parte, încarcă structural nava, iar pe de altă parte, acţionează asupra mecanismelor, instalaţiilor şi aparatelor de conducere ale navei, putând duce la funcţionarea defectuoasă a acestora.

95 _______________________________________________________________________________

Cazul b (Fig. 53). În poziţia iniţială, centrul de greutate este situat deasupra centrului de carenă. În poziţie înclinată transversal, centrul de carenă se găseşte în B1 . Momentul cuplului format de forţa de greutate g D şi forţa arhimedică r g V tinde să aducă nava în poziţia iniţială, fiind un moment de stabilitate. Această poziţie relativă a celor trei centre, metacentrul transversal M , centrul de greutate G , centrul de carenă B , dispuse în această ordine pe verticală de sus în jos, indică o situaţie de stabilitate pozitivă şi este întâlnită la marea majoritate a navelor în timpul exploatării. Cazul c (Fig. 53). În poziţia iniţială, centrul de greutate este situat deasupra centrului de carenă. Când nava este înclinată transversal, centrul de carenă se deplasează din B în B1 astfel încât metacentrul transversal M este poziţionat sub centrul de greutate. Momentul cuplului format de forţa de greutate g D şi forţa arhimedică r g V este orientat în sensul înclinării deci, este un moment de instabilitate, nava găsindu-se într-o situaţie de stabilitate negativă. Cazul d (Fig. 53). În poziţia iniţială, centrul de greutate se află deasupra centrului de carenă. Pentru o înclinare transversală centrul de carenă se deplasează din B în B1 , poziţie pentru care metacentrul transversal M coincide cu centrul de greutate G . În acest caz, momentul este nul şi nava rămâne în poziţie înclinată, situaţia fiind, de asemenea, de instabilitate.

96 _______________________________________________________________________________

Fig. 53

Din punctul de vedere al mecanismului fizic de apariţie a momentului de stabilitate există o analogie perfectă între stabilitatea transversală şi stabilitatea longitudinală a navei. În Fig. 54 este prezentat cazul cel mai frecvent în care se poate găsi o navă din punct de vedere al stabilităţii longitudinale.

Fig. 54

Vom face observaţia că o navă de suprafaţă obişnuită nu va fi niciodată instabilă longitudinal deoarece BM L ³ BM şi totdeauna metacentrul longitudinal va fi situat deasupra centrului de greutate.

97 _______________________________________________________________________________

Ne propunem în continuare să găsim formule pentru calculul momentelor de stabilitate transversală şi longitudinală. Considerăm o navă înclinată transversal cu unghiul infinit mic dj (Fig. 55). Iniţial, centrele M , G şi B se găsesc în P.D. În timpul înclinării, B se deplasează în poziţia B1 care corespunde plutirii W1 L1 . În B1 acţionează vertical în sus forţa de împingere arhimedică. Suportul acestei forţe intersectează P.D. în metacentrul transversal M . Faţă de poziţia corespunzătoare plutirii iniţiale WL , când forţa arhimedică r g V şi forţa de greutate g D acţionau pe acelaşi suport, în cazul plutirii înclinate, cele două forţe formează un cuplu. Momentul corespunzător acestui cuplu este un moment de stabilitate elementar care se calculează cu formula : dM s = g D GZ (18.1) unde GZ este braţul acestui moment elementar. Din Fig. 55 se observă că putem scrie: GZ = GM d j (18.2) şi mai departe după înlocuire: dM s = g D GM d j (18.3)

Fig. 55

Distanţa GM reprezintă înălţimea metacentrică transversală şi este o măsură a stabilităţii iniţiale a navei. Înălţimea metacentrică se consideră pozitivă când metacentrul transversal este situat deasupra centrului de greutate şi negativă când metacentrul transversal este situat sub centrul de greutate. Înălţimea

98 _______________________________________________________________________________

metacentrică se poate scrie şi ca diferenţa dintre cota metacentrului transversal şi cota centrului de greutate. GM = KM - KG (18.4) sau: GM = BM + KB - KG (18.5) Relaţia (18.3) se numeşte formula metacentrică a stabilităţii transversale sub formă diferenţială. Chiar dacă această formulă a fost dedusă pentru o înclinare transversală infinitezimală ea poate fi aplicată şi pentru unghiuri finite considerate în categoria unghiurilor mici de înclinare, sub forma: M s = g D GM j (18.6) În relaţia (18.6) unghiul j se măsoară în radiani iar limitele de valabilitate practică sunt pentru j < 10 o max 15 o . Discutând în continuare despre stabilitatea longitudinală la unghiuri mici de înclinare şi raţionând asemănător se obţine formula metacentrică a stabilităţii longitudinale sub formă diferenţială: dM sL = g D GM L d q (18.7) sau pentru unghiuri finite de înclinare longitudinală: M sL = g D GM L q (18.8) cu unghiul de înclinare longitudinală q exprimat în radiani. Distanţa GM L este înălţimea metacentrică longitudinală şi este o măsură a stabilităţii longitudinale a navei. Ea se poate exprima şi ca diferenţa dintre cota metacentrului longitudinal şi cota centrului de greutate: GM L = KM L - KG (18.9) sau: GM L = BM L + KB - KG (18.10) Analizând prin intermediul formulei metacentrice a stabilităţii transversale cazurile prezentate în Fig. 53, se constată că în cazurile a) şi b) M s > 0 deoarece GM > 0 , în cazul c) M s < 0 ( GM < 0 ) şi în cazul d) M s = 0 ( GM = 0 ). Din punct de vedere al stabilităţii transversale a navei este de dorit o valoare cât mai mare a înălţimii metacentrice GM . Pe de altă parte, o navă cu GM mare execută pe mare reală oscilaţii de ruliu foarte "dure", adică oscilaţii cu perioadă mică şi frecvenţă mare. Astfel de mişcări implică forţe de inerţie mari care acţionează asupra mecanismelor şi instalaţiilor de la bord, precum şi asupra aparatelor de conducere a navei. Nu în ultimă instanţă, se înrăutăţesc condiţiile de viaţă ale echipajului. Din aceste motive, în timpul proiectării navei se are în vedere ca să se asigure o valoare a înălţimii metacentrice, transversale în conformitate cu tipul navei şi cu normele de registru. Aşa cu am precizat, înălţimile metacentrice, transversală şi longitudinală, corespund înclinărilor navei în jurul axelor centrale, situate în planul plutirii, Fx

99 _______________________________________________________________________________

şi Ff . Vom remarca faptul că momentul de inerţie al plutirii în raport cu oricare axă centrală are valoarea situată între I x şi I f ; motiv pentru care înălţimea metacentrică corespunzătoare rotaţiei în jurul acestei axe este mai mare decât înălţimea metacentrică transversală GM şi mai mică decât înălţimea metacentrică longitudinală GM L . De asemenea, am arătat că datorită faptului că GM L >> GM , pentru navele de suprafaţă, problema stabilităţii navei nu se pune decât în plan transversal. În ceea ce priveşte stabilitatea longitudinală a unei nave de suprafaţă neavariate, principalele probleme care se pun sunt legate de determinarea asietei şi a pescajului sub acţiunea diferitelor cauze externe ce pot apărea în timpul exploatării. O înclinare longitudinală mică a navei va determina o deplasare a centrului de carenă în direcţia înclinării suficient de mare astfel încât momentul format de forţa de împingere şi forţa de greutate să fie suficient de mare, comparativ cu momentul produs de aceleaşi forţe, la o înclinare egală, în plan transversal. Dacă totuşi, în timpul exploatării apar cauze care determină o deplasare a centrului de greutate pe verticală în sus, micşorând stabilitatea navei, atunci aceasta se va putea răsturna în plan transversal cu mult înainte de apariţia pericolului de răsturnare longitudinală, pentru că M L este situat mai sus pe verticală decât M . Este puţin probabil ca o navă de suprafaţă neavariată să întâlnească o asemenea forţă pe direcţie verticală, care să-i deplaseze G deasupra lui M L , nava devenind instabilă şi în plan longitudinal. Navele de suprafaţă se pot răsturna longitudinal doar ca urmare a inundării unui compartiment sau a unui grup de compartimente situate la extremităţile pupa sau prova ale navei, datorită unei avarii. Pătrunderea unei cantităţi mari de apă în interiorul navei, la una din extremităţile prova sau pupa, va exclude din flotabilitatea navei zona corespunzătore compartimentului inundat, deplasând centrul de carenă în sens opus, în timp ce centrul de greutate rămâne în aceeaşi poziţie, iar momentul determinat de forţa de împingere şi forţa de greutate ajunge aşa de mare, încât poate răsturna nava longitudinal. Spre deosebire de o navă de suprafaţă, un submarin imersat se poate răsturna la fel de uşor pe direcţie longitudinală ca pe direcţie transversală. Această deosebire de comportament se datorează faptului că, la submarinele complet imersate, centrul de carenă rămâne în permanenţă un punct fix. În concluzie, pentru ca o navă să aibă stabilitate pozitivă pe carenă dreaptă este necesar ca metacentrul transversal să fie deasupra centrului de greutate ( KM > KG ) . Se spune că în această situaţie înălţimea metacentrică transversală este pozitivă ( GM > 0 ) . În acest caz, dacă o cauză externă scoate nava din poziţia

de echilibru, după ce cauza externă încetează să acţioneze, nava va reveni la poziţia iniţială datorită cuplului format de forţa de împingere arhimedică şi forţa de greutate.

100 _______________________________________________________________________________

Când KM = KG , înălţimea metacentrică este nulă ( GM = 0 ) , braţul cuplului şi implicit cuplul vor fi nule. După ce cauza externă care a înclinat nava încetează să acţioneze, aceasta rămâne în poziţie înclinată. În sens "mecanic" suntem într-o poziţie de echilibru indiferent, dar în realitate este o situaţie de stabilitate negativă sau instabilitate. Când KM < KG , metacentrul transversal este situat sub centrul de greutate, înălţimea metacentrică este negativă ( GM < 0 ) şi implicit momentul cuplului format de cele două forţe. Acest moment va avea sensul momentului exterior ajutând la înclinarea navei. Suntem, de asemenea, într-o situaţie de stabilitate negativă sau instabilitate. 19. MOMENTUL STABILITĂŢII DE FORMĂ ŞI MOMENTUL STABILITĂŢII DE GREUTATE Dacă asupra unui corp acţionează un cuplu de forţe şi cunoaştem mărimea forţelor, direcţia şi punctele de aplicaţie, este posibil să descompunem acest cuplu în două componente; aplicând în orice punct de pe corp două forţe egale, paralele şi de sens contrar cu cele care formează cuplul. Urmăm această procedură pentru o navă înclinată în sens transversal cu unghiul j şi aplicăm în centrul de carenă iniţial B două forţe paralele, egale şi de sens contrar cu forţa de greutate a navei g D şi împingerea arhimedică r g V . Obţinem două cupluri de sens contrar având braţele BE , respectiv BF . Cu referire la Fig. 56, considerând unghiul j în categoria unghiurilor mici, aceste braţe se calculează cu formulele (19.1), (19.2): BE = BM sin j @ BMj (19.1) BF = BG sin j @ BGj (19.2)

Fig. 56

101 _______________________________________________________________________________

Momentul de stabilitate va fi egal cu diferenţa momentelor celor două cupluri: (19.3) M s = r g V BM j - g D BG j g D=( BM - BG ) j Primul dintre ele se notează cu M f şi se numeşte momentul stabilităţii de formă: (19.4) iar al doilea se notează cu M g şi se numeşte momentul stabilităţii de greutate: M f = r gV BM j

r g= I x j

(19.5) În corespondenţă, BE se notează cu l f ,şi se numeşte braţul stabilităţii de formă, respectiv BF se notează cu lg şi se numeşte braţul stabilităţii de greutate. La acelaşi rezultat se poate ajunge plecând de la distribuţia reală de presiuni pe suprafaţa S a corpului navei. Dacă nava se înclină transversal cu unghiul dj , fiecare punct de pe suprafaţa S îşi va modifica pescajul cu cantitatea y dj şi corespunzător presiunea cu: d p = r g y dj (19.6) Ca să calculăm momentul în raport cu axa ox aducem nava pe carenă dreaptă, o încărcăm cu această variaţie de presiuni şi considerăm axa z verticală şi pozitivă în jos (Fig.57). M g = g D BG j

Fig. 57

Acest moment are forma matematică: dM x = ò dp éë y cos ( n, z ) - z cos ( n, y ) ùû dS

(19.7)

S

Momentul dM x este calculat faţă de axa ox . Momentul de stabilitate dM s se calculează în raport cu o axă paralelă cu axa ox ce trece prin centrul de greutate al navei şi are expresia:

102 _______________________________________________________________________________ dM s = ò dp éë y cos ( n, z ) - ( z - zG ) cos ( n, y ) ùû dS = S

= ò dp y cos ( n, z ) dS - ò dp ( z - zG ) cos ( n, y ) dS S

(19.8)

S

unde zG este adâncimea centrului de greutate al navei. Primul termen din relaţia (19.8) reprezintă momentul datorat forţelor verticale de presiune suplimentară, iar al doilea reprezintă momentul componentelor orizontale. Pe de altă parte, d S cos ( n, z ) = d AWL şi d S cos ( n, y ) = d A în care d AWL este proiecţia suprafeţei elementare de pe corpul navei pe planul plutirii şi d A este proiecţia aceleaşi suprafeţe pe planul diametral ( P.D.) . Ţinând cont de aceste observaţii şi înlocuind (19.6) în (19.8), rezultă: dM s = r g d j ò y 2 dAWL - r g d j 2ò ( z - zG ) y dA (19.9) AWL

Se observă uşor că

ò

A

y dAWL = I x şi apelând la cunoştinţele elementare de mecanica 2

AWL

= V ( zB - zG ) . În acest context, (19.9) devine: fluidelor, 2ò ( z - zG ) y dA A

dM s = r g I x d j - r g V ( zB - zG ) d j

(19.10)

unde: r g I x d j = dM f ® momentul elementar al stabilităţii de formă; r g V ( zB - zG ) d j

® momentul elementar al stabilităţii de greutate. În concluzie, momentul stabilităţii de formă este momentul rezultant al acţiunii forţelor verticale de presiune suplimentară în raport cu o axă paralelă cu axa x ce trece prin G , iar momentul stabilităţii de greutate este momentul în raport cu aceeaşi axă al forţelor orizontale de presiune suplimentară. g D=BG d j

20. MOMENTUL UNITAR AL ÎNCLINĂRII TRANSVERSALE ŞI MOMENTUL UNITAR DE ASIETĂ Folosind formula metacentrică a stabilităţii se poate calcula valoarea momentului exterior care, acţionând static asupra navei, îi produce o înclinare transversală cu 1° =

1 rad . Acest moment se notează cu M 0 şi poartă numele de 57, 3

moment unitar al înclinării transversale. Când asupra unei nave acţionează static un moment exterior producându-i o înclinare transversală în zona unghiurilor considerate mici, valoarea lui j se determină din ecuaţia: M e = g D GM j (20.1)

103 _______________________________________________________________________________

Dacă în relaţia (20.1) se face j = 1° =

1 rad , rezultă valoarea lui M 0 : 57, 3

M0 =

g D GM 57,3

(20.2)

Cunoscând valoarea lui M 0 calculată cu formula (20.2), la acţiunea statică a unui moment exterior M e , nava se va înclina transversal cu unghiul j măsurat în grade: j [ °] =

Me M0

(20.3)

Folosind formula metacentrică a stabilităţii longitudinale vom calcula valoarea momentului exterior de înclinare care, acţionând static asupra navei, îi produce o variaţie de asietă de un centimetru. Acest moment se notează cu MCT (The Moment to Change Trim 1 cm) şi se numeşte moment unitar de asietă. Diferenţa de asietă a unei nave este: Dd d=pv - d pp (20.4) Acestei diferenţe de asietă îi corespunde un unghi de înclinare longitudinală: q = tg q =

Dd L

Când un moment exterior longitudinal M e acţionează static asupra navei, condiţia de stabilitate este: M e = g D GM L q =g D GM L

Dacă în formula (20.5) facem Dd 1cm = MCT =

Dd L

(20.5)

1 = m , rezultă: 100

g D GM L 100 L

(20.6)

Această mărime are o largă utilitate practică în timpul exploatării navei permiţând calculul diferenţei de asietă Dd măsurată în centimetri, atunci când asupra navei acţionează momentul exterior de înclinare longitudinală cunoscut, M e : Dd =

Me [cm ] MCT

(20.7)

Dacă Dd > 0 , adică nava se aprovează, înclinarea longitudinală se consideră pozitivă. 21. FORŢE PERTURBATOARE Mărimea forţelor perturbatoare şi a momentelor de înclinare care acţionează în timpul exploatării asupra navei determină mărimea momentului care va trebui generat de forţa de greutate şi forţa de împingere, pentru a preveni răsturnarea navei sau apariţia înclinărilor exagerate. Forţele perturbatoare care afectează stabilitatea transversală au cauze externe şi interne. Ca exemple de cauze externe amintim:

104 _______________________________________________________________________________

a) acţiunea vântului simultan sau nu cu existenţa mişcării de ruliu; b) ambarcarea de greutăţi cu ajutorul mijloacelor de la bord; c) giraţia navei cu viteză mare; d) eşuarea. Dintre cauzele interne care afectează stabilitatea navei precizăm: a) deplasarea de greutăţi la bord; b) ambarcarea de apă pe punte în timpul navigaţiei datorită mişcărilor pe care nava le execută pe mare agitată. Aceste situaţii vor fi tratate în lucrarea de faţă; unele chiar în cadrul acestui capitol [b), a)] , altele în capitolele ulterioare [a), d)] . Când asupra navei acţionează un vânt de la travers, presiunea acestuia va acţiona pe proiecţia suprafeţei emerse a corpului în P.D. , denumită şi suprafaţă velică. Considerând presiunea constantă pe această suprafaţă, forţa rezultantă va acţiona în centrul de greutate al suprafeţei velice imprimând navei o mişcare de derivă. Ca o consecinţă, mediul marin va răspunde cu o forţă egală şi de sens contrar care acţionează pe suprafaţa imersă a navei, moment în care mişcarea de derivă se stabilizează (Fig. 58).

Fig. 58

Fig. 59

Cuplul forţelor exterioare va înclina nava transversal, iar echilibrul se va realiza atunci când sunt îndeplinite următoarele două condiţii: a) nava are o mişcare de derivă cu viteză constantă, ceea ce înseamnă că forţa de presiune a vântului este egală cu forţa de rezistenţă a apei; b) nava are o înclinare transversală până la unghi pentru care momentul cuplului forţelor exterioare este egal cu momentul cuplului format de forţa de greutate şi forţa de împingere, forţă care îşi deplasează punctul de aplicaţie în B1 . Când o greutate este ambarcată de pe cheu cu ajutorul unei macarale de la bord, este ca şi când asupra navei acţionează vertical în jos, cu punctul de aplicaţie în vârful macaralei (punctul A din Fig. 59), o forţă egală cu greutatea ambarcată. Se demonstrează uşor folosind cunoştinţele din Mecanica Teoretică faptul că această

105 _______________________________________________________________________________

situaţie este similară cu deplasarea centrului de greutate din poziţia G în poziţia G1 , situată pe dreapta GA . Consecinţele acestei ambarcări sunt următoarele: a) nava îşi va mări pescajul până când surplusul de flotabilitate va egala greutatea ambarcată; b) nava se va înclina transversal până când centrul de carenă se va deplasa în poziţia B1 pe aceeaşi verticală cu noul centru de greutate G1 . Dacă nava intră în mişcare de giraţie, apare o forţă centrifugă care acţionează în centrul de greutate al navei şi este dispusă în plan orizontal. Această forţă este cu atât mai mare, cu cât viteza navei este mai mare şi raza de giraţie este mai mică. Situaţia este similară cu acţiunea laterală a vântului asupra navei şi este prezentată în Fig. 60. Când o navă eşuează (se aşează pe o stâncă sau pe fundul şenalului navigabil), o parte din energia de deplasare va fi absorbită în timpul procesului de ridicare pe verticală a navei, ceea ce înseamnă apariţia unei forţe de reacţiune R în zona de contact. Această reacţiune poate creşte mai târziu dacă în zona respectivă apare fenomenul de maree. În aceste condiţii, forţa de împingere va fi mai mică decât greutatea navei. Nava se va înclina şi transversal până când momentul forţei de împingere faţă de punctul de contact este egal cu momentul forţei de greutate faţă de acelaşi punct, adică: (21.1) ( g D - R )=b g D a

Fig. 60

Fig. 61

Când reacţiunea R este mare, forţa de împingere se micşorează corespunzător şi relaţia (21.1) nu mai poate fi satisfăcută, nava răsturnându-se. Cazul eşuării este prezentat în Fig. 61. Dacă la bordul unei nave are loc o deplasare de greutăţi solide, lichide sau o deplasare pasagerilor la bord, în aceeaşi direcţie se va deplasa şi centrul de greutate al navei până într-un punct G1 (Fig.62). Corespunzător, nava se va înclina transversal

106 _______________________________________________________________________________

până când centrul de carenă ajunge într-o poziţie B1 situată pe aceeaşi verticală cu G1 . Pot apărea în timpul exploatării navei şi alte cazuri în care forţele perturbatoare determină înclinări ale navei. De exemplu, forţele care se transmit prin cablul de remorcă acţionează şi asupra navei remorcate şi asupra remorcherului sau o navă ancorată se poate înclina datorită forţelor din lanţul de ancoră şi al acţiunii simultane a vântului. În toate cazurile, înclinarea se va face până la unghiul la care momentul de stabilitate egalează momentul de înclinare.

Fig. 62

Este posibil, de asemenea, ca forţele perturbatoare şi implicit momentele de înclinare să fie aşa de mari, încât echilibrul să nu se poată realiza şi nava să se răstoarne. Este, de asemenea, posibil ca echilibrul să se realizeze la unghiuri mari de înclinare pentru care apa pătrunde în interiorul navei prin deschiderile din puntea principală. Apa pătrunsă se va acumula în bordul înclinat la partea inferioară a navei şi poate cauza răsturnarea ei. 22. VARIAŢIA POZIŢIEI METACENTRULUI TRANSVERSAL CU PESCAJUL. RAZA METACENTRICĂ DIFERENŢIALĂ O variaţie tipică a cotei metacentrului transversal KM = KB + BM (22.1) cu pescajul, este prezentată în Fig. 63. Se observă că iniţial KM descreşte rapid odată cu creşterea pescajului până la o valoare minimă urmată de o creştere lentă. Dacă valoarea minimă a lui KM corespunde unei situaţii de serviciu a navei, atunci la modificarea deplasamentului, prin ambarcarea sau debarcarea de greutăţi la bord, cota metacentrului transversal va creşte. O astfel de comportare este favorabilă stabilităţii navei, cu condiţia ca modificarea deplasamentului să nu ducă la mărirea

107 _______________________________________________________________________________

cotei centrului de greutate KG . Este evident că natura curbei KM ( z ) depinde de natura derivatei

(

d KM dz

).

Ţinând cont de (22.1) putem scrie:

(

d KM dz

) = d ( KB ) + d ( BM ) dz

dz

(22.2)

Pentru un volum al carenei V şi o poziţie iniţială a centrului de carenă KB , la o creştere infinitezimală a pescajului dz , volumul carenei va creşte cu dV = AWL dz şi din ecuaţia de momente scrisă faţă de un plan paralel cu planul de bază P.B. , ce trece prin centrul de carenă iniţial, rezultă:

( )= A

d KB

WL

dz

V

( z - KB )

(22.3)

Fig. 63

Cunoscând formula de calcul a razei metacentrice transversale (8.43), rezultă:

(

d BM dV

sau mai departe:

(

d BM dz

) = 1 æ dI

ö x - BM ÷ ç V è dV ø

)=A

æ dI x ö - BM ÷ ç V è dV ø WL

(22.4)

(22.5)

Înlocuind (22.5) şi (22.3) în (22.2), rezultă:

(

d KM

)=A

dI x dI æ ö A æ ö - BM - KB ÷= WL ç z + x - KM ÷ (22.6) çz+ dz V è dV dV ø V è ø dI În continuare, vom încerca să dăm o interpretare termenului x care apare în relaţia dV

(22.6).

WL

108 _______________________________________________________________________________

Se consideră două plutiri drepte, infinit apropiate WL şi W1 L1 , precum şi plutirile izocarene înclinate transversal cu unghiul dj , W ' L ' şi W '1 L '1 (Fig. 64). Prin înclinare, stratul de lăţime dz şi volum dV îşi modifică centrul de greutate trecând din F în F1 , având în plan transversal o deplasare pe direcţia axei y egală cu dh şi una pe direcţia axei z egală cu dz . Deplasări asemănătoare capătă şi centrele de carenă B şi B1 corespunzătoare plutirilor WL şi W1 L1 datorită înclinărilor cu unghiul dj . Notăm cu V volumul carenei corespunzătoare plutirii WL .

Fig. 64

Dacă vom aplica teorema momentelor pentru volumul (V + dV ) în raport cu planele xz şi xy , după efectuarea câtorva calcule elementare obţinem: dh

dI x dj = ; dz dV

1 dI x =d j2 2 dV

(22.7)

Când dz ® 0 centrul de greutate al volumului stratului de lăţime dz se suprapune cu centrul de greutate al plutirii WL , mărimile dh şi dz reprezentând variaţiile coordonatelor transversale ale acestuia. Dacă nava se înclină izocarenic în jurul tuturor axelor centrale, centrul plutirii se va deplasa pe o suprafaţă denumită suprafaţa centrelor de plutire. La o înclinare izocarenică în jurul axei Fx , centrul plutirii se va deplasa pe o curbă de pe această suprafaţă reprezentând curba centrelor de plutire. La o înclinare izocarenică, transversală cu unghiul elementar dj (Fig. 65), centrul plutirii se va deplasa din F în F1 , parcurgând arcul elementar ds . Perpendiculara în F1 pe W1 L1 intersectează planul diametral în punctul m . La limită

109 _______________________________________________________________________________

( dj ® 0 )

m este centrul de curbură al curbei centrelor de plutire iar distanţa Fm se

notează cu rT şi reprezintă raza de curbură a acestei curbe. Lungimea arcului elementar ds se poate scrie: ds = d z 2 + d h2

şi, pe de altă parte: ds = rT d j

(22.8)

dI x 1 = d j 1 + d j2 4 dV

(22.9)

Rezultă: rT d j

În relaţia (22.9), dj2 reprezintă un infinit mic de ordinul doi care poate fi neglijat. Ca atare, (22.9) devine rT d j

dI x =d j dV

(22.10)

dI x dV

(22.11)

În final: rT =

Fig. 65

Prin analogie cu denumirile de metacentru şi rază metacentrică folosite anterior, m se numeşte metacentru diferenţial, iar rT rază metacentrică diferenţială. Introducem (22.11) în (22.6) şi obţinem pentru z = d :

(

d KM

)=A

(

)

WL (22.12) d + rT - KM dz V În această relaţie d + rT = Km este cota metacentrului diferenţial. Putem avea

următoarele trei situaţii:

110 _______________________________________________________________________________

(

)>0

(

)

(

)

ü daca Km > KM ï ï dz ï d KM ï = 0 daca Km = KM ý dz ï ï d KM < 0 daca Km < KM ï ï dz þ d KM

(

d KM

ceea ce înseamnă că semnul derivatei

)

dz

(22.13)

depinde de poziţia relativă a

metacentrului diferenţial m şi a metacentrului transversal M . Aşa cum se observă din Fig. 66, raza metacentrică diferenţială poate fi negativă, caz în care m se găseşte sub F . Să studiem în continuare factorii de care depinde semnul razei metacentrice diferenţiale rT . Înlocuim dV = AWL dz în formula (22.11): L

rT

2 2 2 dy =y dx AWL òL dz

1 dI x = AWL dz

-

2

cunoscută fiind relaţia: 2 Ix = 3

Cum se observă din Fig. 66 rT

L 2

òy

3

dx .

L 2

dy = tg n . În consecinţă: dz 2 AWL

L 2

ò -

y 2=tg n dx

(22.14)

L 2

Dacă nava are bordurile evazate tg n > 0 şi rT > 0 . Dacă nava are bordurile verticale în zona plutirii, atunci tg n = 0 şi rT = 0 ceea ce înseamnă că metacentrul diferenţial m se găseşte în planul plutirii. Era de aşteptat un astfel de rezultat, deoarece la navele cu borduri verticale pentru o înclinare infinit de mică dj , F rămâne un punct fix.

111 _______________________________________________________________________________

Fig. 66

În cazul unui ponton paralelipipedic cu dimensiunile L ´ B ´ d ; rT = 0 ,

(

)

d KM L B3 şi ecuaţia = 0 devine: 12 dz 1 d 1 B2 = 0 d- sau d 2 - B2 = 0 . 2 12 d 6 B B Rezolvând această ecuaţie în raport cu necunoscuta , găsim soluţia = d d

V = L B d , Ix =

(

d KM

ceea ce înseamnă că

(

dz

)

depinde de valoarea raportului

)

6 = 2, 45

B . Astfel, când: d

d KM B > 2, 45 Þ < 0 şi cota metacentrului transversal scade; d dz

(

)

d KM B < 2, 45 Þ > 0 şi cota metacentrului transversal creşte. d dz

Pentru navele cu borduri evazate, ţinând cont de valoarea subunitară a coeficienţilor de fineţe CB şi CW , valoarea lui

(

d KM dz

)=

B d

corespunzătoare condiţiei

0 este mai mare decât la pontoanele paralelipipedice.

112 _______________________________________________________________________________

23. INFLUENŢA SALINITĂŢII APEI ASUPRA STABILITĂŢII ŞI ASIETEI NAVEI Aşa cum am văzut în §12, pescajul mediu al navei variază la trecerea din apă dulce în apă sărată şi invers. În paragraful precedent am demonstrat că variaţia cotei metacentrului transversal cu pescajul se calculează cu relaţia:

(

)

d KM =

(

)

AWL d + rT - KM dz V

(23.1)

La modificarea salinităţii apei deplasamentul rămâne constant, volumul carenei modificându-se: D r

(23.2)

D dr r2

(23.3)

V=

Dacă diferenţiem relaţia (23.2): dV = -

şi ţinând cont că pentru nave cu borduri verticale dV = AWL dz obţinem: dz = -

D dr AWL r2

(23.4)

Dacă înlocuim (23.4) în (23.1) găsim:

(

)

d KM = -

dr d + rT - KM = d GM r

(

) (

)

(23.5)

Aşa cum observăm din (23.5), dacă nava trece din apă dulce în apă sărată ( dr > 0 ) şi dacă metacentrul diferenţial m este situat deasupra metacentrului transversal M ( d + rT - KM > 0) , înălţimea metacentrică transversală se micşorează şi implicit stabilitatea. Dacă metacentrul diferenţial m este poziţionat sub metacentrul transversal M ( d + rT - KM < 0 ) , atunci înălţimea metacentrică transversală se măreşte şi stabilitatea deopotrivă. Când nava trece din apă sărată în apă dulce se produc fenomenele inverse. În cazul navelor cu borduri verticale rT = 0 , relaţia (23.5) devine:

(

)

d GM = -

dr d - KM r

(

)

(23.6)

Luând în discuţie modificarea stabilităţii longitudinale atunci când se schimbă salinitatea apei se deduc formule similare cu (23.5) şi (23.6):

(

)

d GM L = -

dr d - KB - BM L r

(

)

(23.7)

Având în vedere valorile mari ale razei metacentrice longitudinale, în paranteza de mai sus se poate neglija diferenţa d - KB şi se obţine:

(

)

d GM L =

dr BM L r

(23.8)

113 _______________________________________________________________________________

Când nava trece din apă dulce în apă sărată ( d r > 0 ) , d ( GM L ) > 0 şi înălţimea

metacentrică longitudinală creşte. În situaţia inversă ( d r < 0 ) , d ( GM L ) < 0 , ca urmare înălţimea metacentrică longitudinală va scădea. În ambele cazuri, variaţia înălţimii metacentrice longitudinale nu va fi mai mare de ( 2 ¸ 2,5) % din valoarea iniţială. Modificarea pescajului determină şi modificarea poziţiei centrului de carenă al navei. Ne interesează în mod special variaţia abscisei centrului de carenă dxB . Dacă scriem ecuaţia de momente statice faţă de un plan paralel cu planul secţiunii de la mijlocul navei care trece prin centrul de carenă iniţial, obţinem: D dxB =rdV ( xF - xB ) (23.9) Înlocuind în relaţia (23.9) variaţia volumului carenei dV egală cu: dV

=r AWL dd

şi variaţia pescajului la modificarea salinităţii apei dd cu: dd= -

D dr AWL r2

obţinem: -D dxB

dr D= ( xF - xB ) r

(23.10)

Membrul drept al relaţiei (23.10) poate fi considerat ca un moment exterior ce înclină nava în plan longitudinal, modificându-i asieta. Acest moment este egalat de momentul de stabilitate longitudinală şi obţinem: D

dr ( xF - xB ) r

D=GM L d q

(23.11)

Rezultă unghiul de înclinare longitudinală: d r xF - xB r GM L

(23.12)

dr L (=xF - xB ) r GM L

(23.13)

dq =

care determină o variaţie de asietă: Dd

Cum pentru majoritatea navelor xF < xB , când nava trece din apă dulce în apă sărată ( dr > 0 ) nava se va apupa ( Dd < 0 ) . În situaţia inversă, ( dr < 0 ) şi nava se va aprova ( Dd > 0 ) . Pentru determinarea variaţiilor de pescaj, la extremităţile navei se utilizează relaţiile: D d xB = d d pv + d d pp MCT

(23.14)

114 _______________________________________________________________________________ L + xF = 2 L

d d pp d d pp + d d pv

(23.15)

unde d d pp şi d d pv sunt exprimate în centimetri. Relaţia (23.15) mai poate fi scrisă în forma: d d pp d d pp + d d pv

=

LCF L

(23.16)

Pescajele finale se vor calcula cu formulele: ' d pv = d pv + d d ± d d pv

(23.17)

' d pp = d pp + d d m d d pp

(23.18)

24. INFLUENŢA DEPLASĂRILOR DE MASE LA BORD ASUPRA POZIŢIEI ŞI STABILITĂŢII NAVEI Să considerăm o navă, la bordul căreia o masă P considerată în categoria maselor mici ( P < 0,1D ) se deplasează din punctul A ( x, y , z ) în punctul B ( x1 , y1 , z1 ) . Această deplasare nu va modifica deplasamentul navei, ci numai poziţia centrului de greutate şi se poate descompune în trei deplasări în lungul axelor de coordonate, aşa cum se observă în Fig.67. - deplasare verticală din A ( x, y , z ) în A1 ( x, y , z1 ) pe distanţa ( z1 - z ) ; - deplasare laterală A1 ( x, y , z1 ) în B1 ( x, y1 , z1 ) pe distanţa ( y1 - y ) ; - deplasare longitudinală din B1 ( x, y1 , z1 ) în B ( x1 , y1 , z1 ) pe distanţa ( x1 - x ) .

Fig. 67

Modificarea stabilităţii navei se identifică cu modificarea valorilor înălţimilor metacentrice transversale şi longitudinale:

115 _______________________________________________________________________________

(

d =GM

(

d =GM L

) d ( KM ) - d ( KG ) ) d ( KM ) - d ( KG ) L

(24.1) (24.2)

În condiţiile în care volumul carenei rămâne constant, poziţiile metacentrelor, transversal M şi longitudinal M L , nu se schimbă, prin urmare:

(

d=GM

) d=( GM )

( )

-d KG

L

(24.3)

Poziţia pe înălţime a centrului de greutate se modifică, datorită deplasării pe direcţie verticală a masei P (Fig. 68), cu cantitatea:

Fig. 68

( )

d KG =

P ( z1 - z ) D

(24.4)

Înlocuind (24.4) în (24.3), se obţine:

(

d =GM

) d (=GM ) L

-

P ( z1 - z ) D

(24.5)

Vom observa că dacă masa P se deplasează pe verticală în jos ( z1 - z < 0 ) , centrul de greutate se va deplasa în acelaşi sens şi, în consecinţă, stabilitatea se va îmbunătăţi ( d GM > 0) . Când masa P se deplasează pe verticală în sus, stabilitatea se micşorează

( d GM < 0) .

Valorile înălţimilor metacentrice modificate se vor calcula cu formulele: P ( z1 - z ) D P G1 M L = GM L - ( z1 - z ) D G1 M = GM -

(24.6)

116 _______________________________________________________________________________

Dacă nava are o înclinare iniţială j0 , datorată acţiunii unui moment exterior, după deplasarea masei P pe verticală, înclinarea se va modifica. Valoarea unghiului final de înclinare transversală se determină din condiţia: g D GM j0 g = D G1 M j1 (24.7) şi rezultă: j1= j0

GM G1M

(24.8)

ceea ce înseamnă că înclinarea navei se va modifica proporţional cu raportul înălţimilor metacentrice.

Fig. 69

Deplasarea laterală a masei P (Fig.69) din A1 ( x, y , z1 ) în B1 ( x, y1 , z1 ) determină un moment transversal de înclinare: M e = g P ( y1 - y ) cos j (24.9) Pentru unghiuri mici de înclinare se poate considera cos j » 1 şi obţinem: M e = g P ( y1 - y ) (24.10) Momentul de stabilitate este: M s = g D G1 M j (24.11)

117 _______________________________________________________________________________

Fig. 70

Din egalitatea M e = M s rezultă valoarea unghiului de înclinare transversală: j=

P ( y1 - y ) D G1 M

(24.12)

La acelaşi rezultat se ajunge dacă se apelează la următorul raţionament. Deplasarea laterală a masei P pe distanţa ( y1 - y ) produce o deplasare pe aceeaşi direcţie a centrului de greutate al navei cu valoarea: dyG =

P ( y1 - y ) D

(24.13)

aşa cum se observă din Fig. 70. Nava se va înclina transversal până la acel unghi j pentru care B1 se află pe aceeaşi verticală cu G1 şi M , perpendiculară pe W1 L1 . Deplasarea pe direcţie longitudinală a masei P pe distanţa ( x1 - x ) modifică asieta navei (Fig. 71). Dacă raţionăm analog cu cazul înclinării transversale, unghiul de înclinare longitudinală se calculează cu relaţia: q=

P ( x1 - x ) D G1M L

(24.14)

Noua plutire W1 L1 nu va mai fi dreaptă şi va modifica pescajele la prova, la pupa, precum şi la mijlocul navei, după cum urmează:

118 _______________________________________________________________________________ ü ï d1 = d - xF tg q » d - xF q ï æL ö æL ö ï d pv = d + ç - xF ÷ tg q » d + ç - xF ÷ q ý è2 ø è2 ø ï æL ö æL ö ï d pp = d - ç + xF ÷ tg q » d - ç + xF ÷ q ï è2 ø è2 ø þ

(24.15)

În grupul de relaţii (24.15), unghiul q se măsoară în radiani, iar termenii: ü æL ö æL ö ç - xF ÷ tg q » ç - xF ÷ q = dd pv ï è2 ø è2 ø ï ý æL ö æL ö ï x x d tg + q » + q = d F ÷ F ÷ pp ç ç ïþ 2 2 è ø è ø

(24.16)

reprezintă variaţiile pescajelor la prova şi la pupa. Unghiul q se consideră pozitiv când nava este aprovată şi negativ, când este apupată. Dacă " n " mase se deplasează simultan la bordul navei, pentru a obţine efectul acestor deplasări asupra poziţiei şi stabilităţii navei, în algoritmul prezentat mai sus se înlocuiesc: P ( x1 - x ) P ( y1 - y ) P ( z1 - z )

ü - xi ) ï i= 1 ï n ï Pi=( y1i - yi ) ý å i =1 ï n ï Pi=( z1i - zi ) ï å i=1 þ n

å P=( x i

1i

(24.17)

Fig. 71

Putem, în finalul acestui paragraf, să prezentăm un algoritm de calcul al efectelor pe care le produce deplasarea de mase P la bord dintr-un punct A ( x, y , z ) într-un punct B1 ( x1 , y1 , z1 ) . Se va proceda în următoarea succesiune: a) se corectează înălţimile metacentrice, transversală şi longitudinală, cu aceeaşi valoare

P ( z1 - z ) : D

119 _______________________________________________________________________________

G1 M = GM -

P ( z1 - z ) ; = G1 M L D

GM L -

P ( z1 - z ) D

P ( z1 - z ) GM L se poate lucra cu înălţimea metacentrică longitudinală D necorectată, GM L .

Întrucât

b) se calculează înclinarea transversală cu formula: j=

P ( y1 - y ) D G1 M

Dacă nava avea o înclinare transversală iniţială j0 , atunci înclinarea finală se va calcula cu formula: j1

GM P ( y1 - y ) j0 = + G1 M D G1M

c) se calculează unghiul de înclinare longitudinală cu relaţia: q

P ( x1 - x ) P ( x1 - x ) =» D G1 M L D GM L

d) se calculează pescajele finale la extremităţile prova şi pupa cu relaţiile: æL ö P ( x1 - x ) d pv = d + ç - xF ÷ 2 è ø D GM L

æL ö P ( x1 - x ) d pp = d - ç + xF ÷ 2 è ø D GM L

Dacă nava nu era pe asietă dreaptă cu d pv ¹ d pp atunci noile pescaje la extremităţile prova şi pupa se calculează cu relaţiile: æL ö P ( x1 - x ) d1 pv = d pv + ç - xF ÷ è2 ø D GM L

æL ö P ( x1 - x ) d1 pp = d pp - ç + xF ÷ è2 ø D GM L

e) se calculează asieta finală (variaţia pescajelor finale prova şi pupa) Dd = d 1 pv - d 1 pp = dd vp - dd pp = Ltgq = Lq . O valoare pozitivă a lui Dd corespunde situaţiei de navă aprovată, iar o valoare negativă situaţiei de navă apupată. 25. PROBA DE STABILITATE Încă din faza de proiectare a navei, coordonatele centrului de greutate se determină prin calcul, luând în considerare toate categoriile de greutăţi care compun deplasamentul navei precum şi repartizarea acestora pe navă. Datorită complexităţii navei, a numărului foarte mare de elemente componente, de forme şi dimensiuni diferite, acest calcul în faza de proiectare are un caracter aproximativ. De aceea,

120 _______________________________________________________________________________

după terminarea construcţiei unei nave de tip nou sau după efectuarea de modificări importante în şantier şi înainte de a se face probele de recepţie, se verifică deplasamentul şi cota centrului de greutate de la planul de bază. Verificarea se realizează prin efectuarea probei de stabilitate. Aceasta se bazează pe următorul raţionament: deplasarea unei mase p dintr-un bord în altul, în planul secţiunii transversale cu distanţa l , va produce înclinarea navei cu unghiul j , considerat în categoria unghiurilor mici (Fig. 72). Deplasarea masei p se face astfel încât momentul de înclinare acţionează static şi pentru determinarea unghiului de înclinare j se egalează momentul de înclinare cu momentul de stabilitate. Momentul de înclinare este dat de relaţia: M e = g p l cos j

(25.1)

iar momentul de stabilitate se calculează cu formula metacentrică a stabilităţii: M s = g D GM sin j

(25.2)

Egalând (25.1) cu (25.2), rezultă: g p l cos j

g D GM = sin j

(25.3)

pl D tg j

(25.4)

şi mai departe: GM =

Dacă se cunosc p , l , D , cota metacentrului transversal faţă de planul de bază ( P.B.) şi se determină experimental unghiul de înclinare j , se află înălţimea centrului de greutate al navei KG de la P.B.

Fig. 72

121 _______________________________________________________________________________

Proba de stabilitate se efectuează cu deosebită atenţie, mai ales că rezultatele sunt folosite ca elemente de plecare pentru determinarea stabilităţii navei, în perioada ulterioară de exploatare. Lucrările corespunzătoare probei de stabilitate cuprind trei etape distincte: pregătirea pentru probă, efectuarea probei şi prelucrarea rezultatelor obţinute. Operaţiunile pregătitoare pentru probă se fac în următoarea succesiune: a) se debarcă toate sculele, materialele, instalaţiile şi dispozitivele folosite la efectuarea lucrărilor şi se întocmeşte tabelul cu toate masele care lipsesc de la bord faţă de situaţia de navă goală; b) se întocmeşte tabelul cu toate masele în plus faţă de situaţia de probă; c) se pompează în exterior toate masele lichide, iar tancurile rezervoare de lichide şi compartimentele corespunzătoare sunt golite şi curăţate; d) lichidele din instalaţii se păstrează la nivelul de serviciu, iar valvulele trebuie închise; e) se instalează pendule pentru măsurarea unghiurilor de înclinare. În mod obişnuit se instalează trei pendule, unul la prova, al doilea în zona de mijloc, iar al treilea în sectorul pupa, în planul diametral al navei. Pentru măsurarea devierii pendulelor se instalează rigle gradate; f) se pregăteşte lestul pentru proba de înclinare, determinându-se masa necesară pentru efectuarea probei. Se ambarcă această masă la bord, stabilindu-se în acelaşi timp o dispunere cât mai raţională a acestuia la bord, astfel încât să nu se producă înclinarea longitudinală a navei, de obicei această masă se împarte în patru grupe, câte două în fiecare bord. Masa lestului nu trebuie să producă o înclinare transversală mai mare de 3° ; g) proba de stabilitate se va efectua într-un loc liniştit, în lipsa valurilor, a vântului şi a curentului. Toate scările şi schelele vor fi debarcate, iar nava va fi legată cu câte o parâmă la prova şi la pupa, astfel încât să nu fie influenţate înclinările transversale ale navei. Echipajul va fi scos la mal, cu excepţia oamenilor care iau parte la efectuarea probei. Efectuarea probei şi prelucrarea rezultatelor se face respectând următoarea succesiune: a) înainte de începerea probei se va face măsurătoarea pescajului la scările de pescaj din prova, cuplul maestru şi pupa simultan în ambele borduri; b) pe baza pescajelor definitive, utilizând diagrama de carene drepte se scot: deplasamentul D , coordonatele centrului de carenă xBq şi KB ; razele metacentrice BM şi BM L ; c) se deplasează lestul p în direcţie transversală cu distanţa l , măsurându-se unghiul j . Operaţia se repetă de mai multe ori măsurându-se unghiurile de înclinare şi determinând înălţimea metacentrică GM cu relaţia (25.4). Pe de altă parte, GM se poate calcula cu relaţia: GM = BM + KB - KG (25.5)

122 _______________________________________________________________________________

de unde rezultă: KG = BM + KB - GM (25.6) Această valoare a cotei centrului de greutate va trebui corectată prin luarea în consideraţie a maselor în plus sau în minus, iar cu ajutorul lui xBq şi al lui BM L se determină abscisa centrului de greutate al navei cu formula: (25.7) xG = xBq - ( KG - KB ) tg q

unde q este unghiul de înclinare longitudinală: tg q =

d pv - d pp L

(25.8)

26. INFLUENŢA ÎNCĂRCĂTURILOR SUSPENDATE ASUPRA STABILITĂŢII NAVEI Printre tipurile de greutăţi ce compun deplasamentul navei, la un moment dat, pot exista şi greutăţi suspendate, care se vor deplasa liber prin înclinarea navei. Ca exemple putem da: o greutate suspendată în cârligul macaralei sau o marfă suspendată în interiorul unei magazii, etc. Pentru a determina efectul unor astfel de sarcini asupra stabilităţii navei, vom considera o navă, iar în interiorul unei magazii o masa P , suspendată în punctul A prin intermediul unui fir de lungime l .

Fig. 73

Când nava este înclinată transversal cu unghiul j , masa P îşi deplasează centrul de greutate din punctul B în B1 parcurgând arcul de cerc BB1 (Fig. 73), astfel încât direcţia forţei de greutate să fie în permanentă verticală, perpendiculară pe suprafaţa apei. Unghiul de înclinare transversală j este şi unghiul de rotaţie al firului de lungime l la capătul căruia atârnă masa P .

123 _______________________________________________________________________________

În timpul înclinării transversale cu unghiul j , deplasarea masei P determină un moment exterior suplimentar de înclinare: DM = gPlj (26.1) În aceste condiţii momentul de stabilitate îşi micşorează valoarea şi devine: Pl ö æ =g D ç GM - ÷ j Dø è

M s = g D GM j - g P l j

(26.2)

Paranteza din membrul drept al relaţiei (26.2) este valoarea înălţimii metacentrice transversale, corectate datorită influenţei greutăţii suspendate g P .Această corecţie este:

(

d =GM

)

-

Pl D

(26.3)

iar valoarea înălţimii metacentrice transversale, corectate:

(

)

G ' M = GM + d GM = GM -

Pl D

(26.4)

La acelaşi rezultat ajungem dacă aplicăm următorul raţionament. Deplasarea masei P din B în B1 prin parcurgerea arcului BB1 , determină o deplasare de aceeaşi natură a centrului de greutate al navei din G în G1 . Arcul de cerc GG 1 se calculează cu formula: GG 1 = BB1

P Pl = j D D

(26.5)

Fig. 74

Braţul stabilităţii transversale se va reduce de la valoarea GZ la valoarea G1 Z1 (Fig. 74). Dacă din punctul G1 ducem o paralelă la direcţia împingerii care intersectează urma P.D. în G ' , observăm că G1 Z1 = G ' Z ' . Din punct de vedere al stabilităţii transversale, influenţa încărcăturii P suspendată de firul cu lungime l este echivalentă cu deplasarea centrului de greutate pe verticală în sus cu distanţa GG ' .

124 _______________________________________________________________________________

Dar: (26.6)

GG ' = GG ' j

Comparând (26.5) cu (26.6), rezultă: Pl D

GG ' =

(26.7)

Aceasta va duce la corecţia înălţimii metacentrice iniţiale cu valoarea:

(

d =GM

)

-

Pl D

(26.8)

Comparând relaţia (26.4) cu relaţia (24.6) obţinută în cazul deplasării maselor la bord pe direcţie verticală, constatăm că sunt identice. Aceasta înseamnă că în cazul manipulării mărfurilor cu ajutorul instalaţiilor de la bord, modificarea stabilităţii este similară cu deplasarea masei respective până în ciocul macaralei, indiferent de lungimea cablului de suspendare. Dacă la bordul navei sunt mai multe mase suspendate, efectul lor se va însuma, corecţia înălţimii metacentrice putându-se calcula cu formula: n

(

d =GM

)

-

åP l i =1

i

i

D

(26.8)

Din Fig. 74 rezultă că braţul stabilităţii statice corespunzător unghiului de înclinare j se va reduce în cazul maselor suspendate cu valoarea: dls

Pl sin =j D

GG=' sin j

(26.9)

sau: n

dls

-

åP l i =1

i

D

i

= sin j

(26.10)

în cazul în care la bord există n mase suspendate simultan. Studiind relaţiile (26.9) şi (26.10) rezultă că prin înclinarea navei cu unghiul j , fiecare masă suspendată produce un moment exterior de înclinare suplimentar care se calculează cu relaţia: dM e g Pi l=i sin j (26.11) ceea ce este echivalent cu deplasarea masei Pi pe direcţie transversală cu distanţa: di = li sin j (26.12)

27. INFLUENŢA AMBARCĂRII ŞI DEBARCĂRII DE MASE LA BORD ASUPRA POZIŢIEI ŞI STABILITĂŢII NAVEI

125 _______________________________________________________________________________

Manevrele de ambarcare sau debarcare de greutăţi sunt absolut obişnuite în timpul exploatării navei, fapt ce determină modificarea deplasamentului. Această schimbare a deplasamentului şi a distribuţiei de greutăţi la bord va conduce la modificarea poziţiei navei în raport cu suprafaţa liberă a apei şi a stabilităţii acesteia. Se vor analiza consecinţele ambarcării şi debarcării de mase în două variante: ambarcarea de mase mai mici ( P < 0,1 D ) şi ambarcarea de mase mari ( P > 0,1 D ) . De asemenea, se va analiza numai efectul ambarcării de mase, debarcarea fiind considerată o ambarcare de mase negative. 27.1 Ambarcarea de mase mici ( P < 0,1 D ) Se consideră o masă P care se ambarcă la bordul navei în punctul A ( x1 , y1 , z1 ) . Această manevră se poate descompune fictiv în două etape (Fig. 75): a) o ambarcare a masei P astfel încât nava să nu se încline transversal şi/sau longitudinal. Aşa cum am văzut în §11, pentru ca acest lucru să se întâmple, în condiţiile în care nava are borduri verticale, este necesar ca masa P să se ambarce pe verticala centrului de greutate al volumului de carenă suplimentar dV , care va trece prin centrul plutirii iniţiale F . În consecinţă, masa P se ambarcă în punctul A0 ( xF , 0, z1 ) . Ca o consecinţă a acestei ambarcări se va modifica deplasamentul navei

( )

D1= D + P , centrul de greutate se va deplasa pe verticală cu distanţa d KG , pescajul

va ajunge la valoarea d1 = d + dd , centrul de carenă îşi va modifica poziţia datorită adăugării volumului suplimentar al carenei dV , iar stabilitatea se va modifica datorită modificării înălţimilor metacentrice transversală şi longitudinală cu cantităţile d ( GM ) şi d ( GM L ) .

Fig. 75

b) o deplasare a masei P din punctul A0 ( xF , 0, z1 ) în punctul A ( x1 , y1 , z1 ) . Această deplasare este responsabilă de apariţia înclinării transversale de unghi j şi a înclinării longitudinale de unghi q . Să analizăm separat cele două etape urmând ca în final să însumăm efectele.

126 _______________________________________________________________________________

1. Ambarcarea masei pe verticala centrului plutirii, în punctul A0 ( xF , 0, z1 ) va produce o serie de modificări ale unor caracteristici după cum urmează: ® Variaţia pescajului mediu Prin ambarcarea masei P se modifică deplasamentul navei, căpătând valoarea: D1= D + =P r (V + dV ) (27.1) Rezultă că volumul suplimentar al carenei se poate calcula cu formula: dV =

P r

(27.2)

Cum am presupus că nava are borduri verticale în zona plutirii, putem scrie: dV

(27.3)

A =WL dd

şi mai departe variaţia pescajului mediu: dd =

P r AWL

(27.4)

® Variaţia razei metacentrice transversale Se obţine făcând diferenţa dintre razele metacentrice care corespund plutirilor W1 L1 şi WL (Fig. 75),

(

)

(27.5)

d BM = B1 M1 - BM

unde: B1M 1 =

I x1 I + dI x = x ; V + dV V + dV

BM =

Ix V

(27.6)

Aici I x1 şi I x sunt momentele de inerţie axiale ale suprafeţelor plutirilor W1 L1 şi WL . Pe de altă parte, prin dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei I x (V ) găsim: I x1 = I x +

În consecinţă:

(

d BM

)

¶I x dV ¶V

¶I x dV I ¶=V - x V + dV V

Ix +

(27.7)

dV V + dV

æ ¶I x I x ö ç= - ÷ è ¶V V ø

Însă, aşa cum am arătat în §22 - formula (22.11) diferenţială) şi din §8 - formula (8.43) - ştim că

(

d BM =

)

dV rT - BM = V + dV

(

)

(27.8)

¶I x = rT (raza metacentrică ¶V

Ix = BM ; prin urmare: V

(

P rT - BM D+ P

)

(27.9)

® Variaţia înălţimii centrului de greutate Scriind ecuaţia de momente statice în raport cu un plan paralel cu P.B. care trece prin centrul de greutate iniţial, obţinem:

( )

d KG

(

P = z1 - KG D+P

)

(27.10)

127 _______________________________________________________________________________

® Variaţia înălţimii centrului de carenă Din ecuaţia de momente statice faţă de un plan orizontal care trece prin centrul de carenă iniţial, rezultă: dV V + dV

( )

d KB=

dd P æ dd æ ö ö - KB = - KB ÷ çd + ÷ çd + 2 2 è ø D+Pè ø

(27.11)

® Variaţia înălţimii metacentrice transversale Cunoscând expresia înălţimii metacentrice transversale: GM = BM + KB - KG

rezultă:

(

d =GM

) d ( BM ) + d ( KB ) - d ( KG )

(27.12)

Introducem (27.9), (27.10) şi (27.11) în (27.12) şi obţinem:

(

d GM =

dd P æ ö + rT - z1 - GM ÷ çd + D+Pè 2 ø

)

(27.13)

Asemănător, variaţia înălţimii metacentrice longitudinale se calculează cu formula:

(

d GM = L

dd P æ ö + r L - z1 - GM L ÷ çd + D+Pè 2 ø

)

(27.14)

în care r L este raza metacentrică diferenţială longitudinală. În mod particular, pentru navele cu borduri verticale în vecinătatea plutirii, rT = r L = 0 şi relaţiile anterioare se rescriu în forma: d GM =

(

)

d GM = L

(

)

dd P æ ö - z1 - GM ÷ çd + D+Pè 2 ø dd P æ ö - z1 - GM L ÷ çd + 2 D+ Pè ø

(27.15) (27.16)

Înălţimile metacentrice corectate se vor calcula cu formulele: dd P æ ö - z1 - GM ÷ çd + D+ Pè 2 ø dd P æ ö = GM L + d GM L = GM L + - z1 - GM L ÷ çd + 2 D+Pè ø

(

)

(

)

G1 M 1 = GM + d GM = G1 M L1

GM +

(27.17) (27.18)

Dacă în relaţia (27.17) se înmulţeşte în ambii membri cu factorul ( D + P ) după efectuarea unor calcule elementare rezultă:

( D + P ) G1 M1 - D GM=

(

)

d D GM=

dd æ ö Pçd + - z1 ÷ 2 è ø

(27.19)

în care d ( D GM ) este variaţia coeficientului de stabilitate al navei la ambarcarea masei P . Plecând de la formula (27.19), putem face o discuţie asupra semnului variaţiei coeficientului de stabilitate, în funcţie de cota z1 a punctului de ambarcare a masei P . I. La ambarcarea de mase ( P > 0 ) putem avea următoarele situaţii:

128 _______________________________________________________________________________ dd ; d D GM > 0 stabilitatea iniţială a navei se măreşte; 2 dd 2) z1 = d + ; d D GM = 0 stabilitatea iniţială a navei rămâne neschimbată; 2 dd 3) z1 > d + ; d D GM < 0 stabilitatea iniţială a navei se micşorează. 2

1) z1 < d +

(

)

(

)

(

)

II. La debarcarea de mase ( P < 0 ) lucrurile se petrec invers: dd ; d D GM < 0 stabilitatea iniţială a navei se micşorează; 2 dd 2) z1 = d + ; d D GM = 0 stabilitatea iniţială a navei rămâne neschimbată; 2 dd 3) z1 > d + ; d D GM > 0 stabilitatea iniţială a navei se măreşte. 2 Valorile mari ale înălţimii metacentrice longitudinale GM L ne permit ca să

1) z1 < d +

(

)

(

)

(

)

putem neglija suma d +

dd - z1 din (27.16) şi să putem scrie: 2 P d =GM L GM L D+P

(

)

(27.20)

Înlocuim în (27.18) şi obţinem: G1 M L1 =

D GM L D+P

(27.21)

ceea ce înseamnă că:

( D + P= ) G1 M L1

D GM L

(27.22)

şi o variaţie nulă a coeficientului de stabilitate longitudinală.

(

)

(27.23)

d D GM L = 0

2. Deplasarea masei P din punctul A0 ( xF , 0, z1 ) în punctul A ( x1 , y1 , z1 ) determină modificarea poziţiei navei în raport cu suprafaţa liberă a apei, înclinând-o atât transversal cât şi longitudinal. Pe baza celor arătate în §24 privitor la deplasarea de mase la bord, unghiurile de înclinare se pot calcula cu relaţiile: tgj @ j =

Py 1

(D + P )G M P(x - x ) 1

tgq @ q =

1

F

DGM L

(27.24) 1

(27.25)

Dacă nava avea o înclinare transversală iniţială j0 , după ambarcarea masei P noua înclinare se va calcula cu relaţia: j1= j0

GM G1 M1

+j

(27.26)

129 _______________________________________________________________________________

relaţii în care j0 şi j au semne. Se va considera că dacă nava se înclină la Tb , înclinarea este pozitivă şi dacă se înclină la Bb , înclinarea este negativă. Datorită înclinării longitudinale (Fig. 76), pescajele la extremităţi se vor modifica cu valorile: æL ö æL ö P ( x1 - xF ) dd pv= dd + ç - xF ÷ tg q =dd + ç - xF ÷ è2 ø è2 ø D GM L

(27.27)

æL ö dd pp = dd - ç + xF ÷ tg q è2 ø

(27.28)

æL ö P ( x1 - xF ) dd= - ç + xF ÷ è2 ø D GM L

noile pescaje prova şi pupa fiind: d pv = d + dd pv d pp = d + dd pp

(27.29) (27.30)

Fig. 76

(d

Atunci când nava nu este iniţial pe carenă dreaptă, ci are pescajele d pv şi d pp

pv

¹ d pp ) , pescajele

finale rezultate în urma ambarcării masei P sunt: æL ö d1 pv = d pv + d d + ç - xF ÷ tg q è2 ø L æ ö d1 pp = d pp + d d - ç + xF ÷ tg q è2 ø

(27.31) (27.32)

27.2 Ambarcarea de mase mari ( P > 0,1) În cazul ambarcării de mase mari la bordul navei, ipoteza modificării pescajului în zona unde bordurile sunt verticale nu mai este valabilă şi atunci algoritmul de calcul prezentat anterior nu mai poate fi folosit decât, eventual, ca estimă a modificărilor ce apar la stabilitatea şi poziţia navei în raport cu suprafaţa liberă a apei. Pentru a rezolva aceste probleme, cu acurateţe putem utiliza "Diagrama de carene drepte" (Fig. 77). Pentru a determina variaţia pescajului mediu, se aşează la scara deplasamentului, în continuarea lui D , valoarea masei ambarcate P şi apoi se ridică

130 _______________________________________________________________________________

o verticală care se va intersecta cu curba deplasamentului D ( z ) . Corespunzător acestui punct, dacă ducem o orizontală vom citi pe ordonată valoarea pescajului mediu d1 , care corespunde deplasamentului D1= D + P . Figurând la scara lungimilor valoarea cotei centrului de greutate KG la pescajul d , vom putea citi valoarea înălţimii metacentrice transversale iniţiale: GM = KM - KG

Fig. 77

De asemenea, cunoscând valoarea razei metacentrice longitudinale BM L din diagramă vom putea calcula înălţimea metacentrică longitudinală, iniţială cu formula: GM L = KB + BM L - KG . Cunoscând valoarea masei P precum şi cota z1 a masei ambarcate, se poate calcula noua cotă a centrului de greutate al navei cu formula: KG1 = KG +

(

P z1 - KG D+P

)

Ulterior, putem calcula înălţimile metacentrice transversală şi longitudinală, corespunzătoare noului pescaj mediu d1 : G1M 1 = KM 1 - KG1 G1 M L1 = KB1 + B1 M L1 - KG1

Variaţiile acestor înălţimi metacentrice sunt:

131 _______________________________________________________________________________

(

) )= G M

d GM = G1 M 1 - GM

(

d GM L

1

L1

- GM L

Toate aceste modificări asupra flotabilităţii şi stabilităţii navei au fost deduse considerând că nava rămâne pe carenă dreaptă. Aceasta înseamnă că masa P va trebui ambarcată pe verticala centrului de greutate al volumului de carenă suplimentar dV . Coordonatele acestuia în plan orizontal sunt: yV = 0 ,

xV =

AWL xF + AW1 L1 xF1 AWL + AW1 L1

În continuare, vom deplasa masa P în plan orizontal cu distanţele ( x1 - xV ) după axa x şi y1 după axa oy pentru a ajunge în punctul de ambarcare A ( x1 , y1 , z1 ) . Această deplasare va cauza înclinarea navei în ambele plane: transversal şi longitudinal. Unghiurile de înclinare se calculează cu relaţiile: tg j =

P y1

( D + P ) G1M 1 P ( x1 - xV ) tg q = ( D + P ) G1M L1 Aceleaşi mărimi se pot calcula cu formulele: tg j = tg q =

y B1 - yG1 KG1 - KB1 xB1 - xG1 KG1 - KB1

din condiţia ca în poziţia înclinată a navei, centrul de carenă B1 şi centrul de greutate G1 să se găsească pe aceeaşi dreaptă verticală, perpendiculară pe suprafaţa apei. În formulele de mai sus, KB1 şi xB1 se scot din "diagrama de carene drepte", iar KG1 şi yG1 se calculează cu formulele:

(

P ì ïï KG1 = KG + D + P z1 - KG í ï y = P y1 ïî G1 D + P

)

Pescajul la cuplul maestru se calculează cu formula: dÄ = d1 - xF1 tg q

28. INFLUENŢA ÎNCĂRCĂTURILOR LICHIDE CU SUPRAFEŢE LIBERE ASUPRA STABILITĂŢII NAVEI

132 _______________________________________________________________________________

Dacă la bordul navei există tancuri parţial umplute, mişcarea lichidelor în aceste tancuri, în timpul înclinării navei, va reduce stabilitatea acesteia, deoarece centrul de greutate al lichidului se va deplasa, creând un moment de înclinare suplimentar. În Fig. 78 am considerat o navă şi un tanc parţial umplut. Plutirea dreaptă este WL , iar a lichidului din tanc ab . Când nava se înclină, cu unghiul j considerat mic, plutirile W1 L1 şi a1b1 rămân paralele. Lichidul din tanc se comportă ca o carenă care îşi deplasează centrul din g în g1 , determinând un moment suplimentar de înclinare: DM e = gr1ngg1 » gr1n gg1 (28.1) unde r1v este masa lichidului din tanc. Metacentrul lichidului din tanc este punctul A , iar Ag =

ix este raza metacentrică a acestei carene, în care ix reprezintă momentul v

de inerţie al suprafeţei libere, în raport cu o axă paralelă cu axa de înclinare şi care trece prin centrul acestei suprafeţe. Putem scrie: gg 1 =

ix j n

(28.2)

şi prin înlocuire în (28.1): (28.3) În această situaţie, momentul de stabilitate este egal cu cel al navei înclinată transversal cu unghiul j din care scădem valoarea DM e ce reprezintă efectul negativ al suprafeţei libere de lichid. DM e

= r1 g ix j

M s = g D GM j - r1 g ix j

r i ö æ =g D ç GM - 1 x ÷ j rVø è

(28.4)

Din relaţia (28.4) se observă că putem interpreta efectul suprafeţei libere de lichid din tanc, ca o micşorare a înălţimii metacentrice transversale cu valoarea:

(

)

d GM =

r1 ix rV

(28.5)

La acelaşi rezultat se ajunge dacă parcurgem următorul raţionament. Deplasarea centrului de greutate a lichidului din g în g1 antrenează o deplasare similară a centrului de greutate al navei din G în G1 (Fig. 78) şi o corecţie negativă a înălţimii metacentrice cu valoarea GG ' . Dar: GG 1 = gg 1

r 1n rV

(28.6)

133 _______________________________________________________________________________

Fig. 78

Înlocuind în (28.6) valoarea lui gg1 dată de (28.2), rezultă: r1i x j rV

(28.7)

GG1 r 1 i x = j rV

(28.8)

GG 1 =

Dar: GG ' =

În concluzie, pentru o situaţie oarecare de încărcare a navei, existenţa unui tanc ce conţine un lichid cu suprafaţă liberă şi densitate r1 este echivalentă la unghiuri mici de înclinare cu ridicarea centrului de greutate al navei cu valoarea

r1 ix , ceea ce rV

înseamnă o înălţime metacentrică corectată care se calculează cu relaţia: G ' M = GM -

r1 ix rV

(28.9)

Dacă la bord există simultan mai multe tancuri ce conţin lichide cu suprafaţă liberă atunci, datorită efectului cumulat al acestora, înălţimea metacentrică transversală se calculează cu formula: n

G ' M = GM -

år i =1

ixi

i

(28.10)

rV

Corespunzător pentru înălţimea metacentrică longitudinală obţinem: G ' M L = GM L -

r1 i y rV

(28.11)

şi: n

G ' M L = GM L -

år i =1

i

rV

i yi

.

(28.12)

134 _______________________________________________________________________________

În practică, evaluarea suprafeţelor libere de lichid din tancuri se face presupunând situaţia cea mai defavorabilă ce poate apărea. Efectul maxim apare atunci când tancul este jumătate plin. Se va presupune că tancul cel mai mare din fiecare sistem sau perechea cea mai mare de tancuri, dacă ele lucrează în pereche, sunt pline pe jumătate. Acest studiu se va efectua şi în situaţia de plină încărcare întrucât este de aşteptat ca suprafeţele libere să apară în scurt timp de la plecarea din port. Efectul divizării tancurilor Analizând relaţia (28.5), este uşor de observat importanţa divizării suprafeţei libere de lichid asupra corectării înălţimii metacentrice. Această divizare se face cu ajutorul pereţilor, împărţind tancul în două sau mai multe tancuri mai mici. Pentru a evalua acest efect, considerăm un tanc a cărui suprafaţă liberă este un dreptunghi cu dimensiunile l ´ b (Fig. 79). Dacă lichidul din tanc are densitatea r1 atunci micşorarea înălţimii metacentrice datorită suprafeţei libere este:

(

)

d GM =

r1 ix r1 l b3 1 = rV r 12 V

Fig. 79

Dacă se împarte tancul prin " m " pereţi longitudinali, echidistanţi, atunci suprafaţa liberă se divide în " m + 1" dreptunghiuri cu dimensiunile l ´

b . În m +1

această nouă situaţie, corecţia înălţimii metacentrice este:

(

d GM

)

1

r1 å ix r V

( m + 1) l æç

r1 = r

3

b ö ÷ è m +1 ø 1 12 V

d( GM ) = 2 ( m + 1)

=

Rezultă că fracţionarea suprafeţei libere prin " m " pereţi reduce micşorarea înălţimii metacentrice de ( m + 1)2 ori. În particular, dacă se amplasează un singur perete etanş, despărţitor la jumătatea lăţimii tancului, efectul negativ al suprafeţei libere de lichid se micşorează de patru ori.

135 _______________________________________________________________________________

Un fenomen asemănător apare la transportul mărfurilor granulate în vrac (cereale, cărbuni, minereuri, etc.), atunci când magaziile de mărfuri sunt parţial încărcate. Datorită oscilaţiilor navei pe mare reală, marfa se poate deplasa în unul din borduri producând înclinări exagerate ale navei sau chiar răsturnarea acesteia. Pentru a evita astfel de fenomene nedorite, la transportul mărfurilor în vrac se iau măsuri speciale de micşorare sau divizare a suprafeţei libere. Divizarea suprafeţelor libere, prin pereţi despărţitori, reprezintă un compromis deoarece implică creşterea greutăţii structurii. În cazul navelor care transportă mărfuri lichide în vrac, uneori acest compromis este inacceptabil întrucât implică o creştere corespunzătoare a tubulaturilor, a valvulelor, a conductelor de aerisire şi de preaplin, complicând totodată operarea sistemului.

PROBLEME REZOLVATE

136 _______________________________________________________________________________

Problema 1 O navă

tip

ponton paralelipipedic are dimensiunile = L 200 m= ; B 20 m= ; D 10 m şi pentru orice situaţie de încărcare are centrul de greutate situat în planul plutirii. Găsiţi valoarea pescajului pentru care nava este în poziţie de echilibru indiferent. Rezolvare: KM = KB + BM d KB = (datorită formei carenei – 2 LB 3 Ix B2 BM = r = 12 = = V L B d 12 d

d 2

Rezultă : KM = + Condiţia

de

B2 12 d

paralelipiped dreptunghic)

(1) (2)

. echilibru

d B2 d 400 d 33, 33 d = + = Ûd + = Ûd + 2 12 d 2 12 d 2 d

indiferent

sau

= KM KG

sau mai departe 2 d 2 = d 2 + 66, 67 de unde

rezultă d = 8,165 m . Problema 2 O navă are iniţial deplasamentul D0 = 10900 t şi KG0 = 7 m . Se încarcă nava cu 5742 tone de marfă care se distribuie pe două punţi situate la distanţele Kg1 = 8,17 m şi Kg 2 = 7, 43 m de planul de bază ( PB) . Găsiţi cantităţile de marfă distribuite pe cele două punţi astfel încât înălţimea metacentrică finală a navei să fie GM = 1, 24 m . Se cunoaşte KM = 8, 43 m la deplasamentul D = 16642 t . Rezolvare: Noua cotă a centrului de greutate se determină din ecuaţia de momente statice faţă de PB considerând masa P1 ambarcată la cota Kg1 şi masa P2 la cota Kg 2 adică:

( D0 + P ) KG =

D 0 KG0 + P1 Kg1 + P2 Kg 2

8,17 P1 + 7, 43 P2= 16642 KG - 10900 × 7

Din condiţia ca GM = 1, 24 m găsim: GM = KM - KG Þ KG = KM - GM = 8, 43 - 1, 24 = 7,19 m

(1)

137 _______________________________________________________________________________

Relaţia (1) devine: 8,17 P1 + 7, 43 P2 = 43356

Se adaugă ecuaţia : P1 + P2 = 5742 formându-se un sistem care se rezolvă. Soluţiile sistemului sunt: P1 = 936,5 t ; P2 = 4805, 5 t

Problema 3 O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile L = 250 m ; B = 25 m D = 14 m şi pentru orice situaţie de înclinare are centrul de greutate situat în planul plutirii. Găsiţi valoarea maximă a pescajului pentru care nava este la limită stabilă transversal. Rezolvare: Condiţia de stabilitate transversală la limită este ca GM = 0 (înălţimea metacentrică transversală să fie nulă). GM = KB + BM - KG d Dar KB = (datorită formei suprafeţei imerse: paralelipiped dreptunghic) 2 LB 3 Ix B2 BM = r = 12 = = V L B d 12 d KG = d GM = 0 Û d=

d B2 B2 d + - d =0 Û - = 0 6=d 2 2 12 d 12 d 2

B2 Þ

252 = 10, 2 m 6

Problema 4 O navă cu deplasamentul de 22600 t , KG = 8, 2 m descarcă 3000 t de balast având cota centrului de greutate egală cu 2 m ( Kg = 2 m ) . Nava încarcă 11400 t de

marfă cu Kg 7,8 m rămânând disponibilă pentru încărcare o cantitate de 1200 t de marfă. Determinaţi cota centrului de greutate a cantităţii disponibile Kg astfel încât înălţimea metacentrică finală GM să nu fie mai mică de 0,5 m . KM la deplasamentul de 32200 t este egal cu 9 m . Rezolvare:

138 _______________________________________________________________________________

Notăm cu x cota restului de 1200 t de marfă ce trebuie ambarcată pentru ca înălţimea metacentrică GM să nu scadă sub valoarea de 0,5 m . Problema se poate rezolva tabelar: Masa [t ] KG ; Kg [ m] Momentul faţă de PB [t × m ] 22600 8,2 185320 11400 7,8 88920 -3000 2 -6000 x 1200 1200 x 32200

268240+1200 x

KM - KG = 0,5 Þ KG= KM - 0, 5 = 9 - 0,5 = 8, 5 m

268240 + 1200 x = 8, 5 Þ x = 4,55 m 32200

Problema 5 O navă are pescajele d pv = 8, 72 m şi d pp = 9 m în apă cu densitatea r = 1, 025 t / m3 . Ea intră pe doc unde apa are densitatea r1 = 1, 004 t / m3 . Găsiţi noile pescaje prova şi pupa ţinând cont de schimbarea asietei datorită modificării densităţii apei. Se mai cunosc: MCT = 162 t × m / cm ; TPC 29,8 = t / cm ; LCF 82 =m LCB = 90 = m ; L 170 m ; D = 27000 t . Rezolvare: Pescajul de calcul iniţial se calculează cu formula: d = d pp + LCF tg q

d pp= + LCF=

(d

pv

- d pp ) L

(8, 72 - 9 ) 9 + 82 = 170

8,865 m

Deoarece r1 £ r , nava îşi va mări pescajul mediu cu 2% din valoarea pescajului iniţial, adică: dd

2 2% d = 8,865 =0,177 m 100

=

Noul pescaj de calcul va fi: d ' = d + dd

8,865=m + 0,177 m = 9, 042 m

Variaţia volumului carenei se calculează cu formula: dV

r - r1 = V r1

r - r1 D 1, 025 - 1,004 27000 = = × = 551 m3 r1 r 1, 004 1, 025

139 _______________________________________________________________________________

Variaţia volumului carenei implică deplasarea centrului de carenă pe direcţie longitudinală cu valoarea: dx=B

-

( r1 - r ) r1

= ) ( LCF - LCB

-

(1, 004 - 1, 025) 1, 004

= ) (82 - 90

-0,167 m

Rezultă o deplasare spre pupa a centrului de carenă şi o modificare a asietei, în sensul aprovării, comparativ cu plutirea iniţială. Variaţia de asietă datorată modificării salinităţii apei se calculează cu formula: D dxB MCT

=

27000 × 0,167 = 27,83 cm 162

şi va determina o modificare a pescajelor la extremităţi cu valorile: L - LCF 170 - 82 27,83 = 27,83 = 14, 4 cm = 170 L LCF 82 dd pp =27,83 =27,83 13, 43 = cm 170 L

dd pv

Pescajul iniţial [ m ] Variaţia de pescajului mediu [m] Modificarea asietei [ m ] Pescajul final [ m ]

Pupa 8,72 0,177 0,134 9,031

Prova 9,00 0,177 -0,144 9,033

Problema 6 O navă pluteşte cu înclinarea j =3° . Să se determine valoarea masei ce trebuie deplasată la bord pentru a o îndrepta, dacă înălţimea metacentrică este GM = 0, 6 m , deplasamentul navei este D = 300 t , iar distanţa pe care se poate deplasa greutatea este l y = 2 m . Rezolvare: p se determină din egalitatea dintre momentul de înclinare datorat deplasării la bord a masei p pe direcţia l y ( M e = g p l y ) şi momentul de stabilitate

(M

s

)

= g D GM tg j adică: g p l y = g D GM tg j

p=

Problema 7

D GM tg j ly

300 × 0, 6 0, 052 = 2

4, 68 t

=

140 _______________________________________________________________________________

În timpul debarcării, pasagerii în număr de 50 persoane, s-au adunat într-un bord. Deplasarea s-a făcut în timp îndelungat motiv pentru care se consideră o acţiune statică asupra navei. Braţul de deplasare al pasagerilor se consideră l y = 2 m , iar masa unui pasager cu bagaje 90 kg . Să se afle unghiul de înclinare pe care îl capătă nava dacă momentul unitar de bandă este M 0 = 8 t × m / grad . Rezolvare: Momentul de înclinare determinat de deplasarea pasagerilor va fi: M e = 50 × 90 × 2 9= t × m

Unghiul de înclinare transversală a navei va fi: j

Me = M0

9 = 1,12=° 8

Problema 8 O navă are următoarele dimensiuni principale: L = 56 m , B = 6 m , d pv = 1 m , d pp = 1,3 m , CB = 0,5 . Înălţimea metacentrică longitudinală este GM L = 50 m . Pentru a trece peste un banc de nisip, nava trebuie adusă pe chilă dreaptă, motiv pentru care se pot deplasa unele mase de la pupa la prova, pe o distanţă lx = 28 m . Să se afle masa ce va trebui deplasată. Se consideră că nava navigă în apă dulce ( r = 1000 kg / m3 ) . Rezolvare: Pentru a aduce nava pe asietă dreaptă se determină unghiul de înclinare longitudinală: tg q

d pv - d pp = = L

1,3 - 1 = = 56

0,3 56

5,3 × 10-3

Masa ce trebuie deplasată de la pupa la prova se determină cu formula: p=

D GM L tg q lx

r C B L B d GM L tg q = lx

1× 0, 5 × 56 × 6 ×1,15 0,3 = 50 28 56

unde pescajul mediu al navei este: d=

Problema 9

d pv + d pp 2

=

1, 0 + 1,3 = 1,15 m 2

1,85 t

=

141 _______________________________________________________________________________

O navă are următoarele caracteristici: D = 2000 t , L = 110 m , d pv = 3,80 m , d pp = 4, 0 m ,

pompat P = 30 t combustibil dintr-un tanc situat la prova ( x = 20 m , y= 5 m , z= 5 m ) într-un alt tanc situat la pupa ( x1 = -30 m , y1= 0 m , z1= 0,5 m ) . Să se afle poziţia navei în raport cu suprafaţa liberă a apei respectiv: j , q , d 'pv , d pp' . GM L = 150 = = m , GM

-0, 5 m .

0,8 m , xF

S-au

Rezolvare: Este o problemă tipică de deplasări de mase la bord. La bordul navei se deplasează masa P = 30 t de combustibil pe distanţele: ìl x = 50 m ï íl y = 5 m ïl = 4,5 m îz

sprepupa pupa spre spre sprebabord babord îninjos jos

Se determină valoarea noii înălţimi metacentrice transversale: GM 1 = GM -

P ( z1 - z ) D

0,8 = -

30 ( 0, 5 - 5) 2000

= 0,87 m

Ca urmare a deplasării laterale, nava se va înclina la babord cu unghiul: j @ tg j

P ly D GM 1

j

30 × 5 = 2000 × 0,87

0, 0862 =

=

4,=9° la Bb

În plan longitudinal nava se înclină longitudinal cu unghiul: P ( x - x) q @ tg q = = = 1 D GM L1

q

GM L1 = GM L -

30 ( -30 - 20 ) 2000 150, 7 -0,= 29° P ( z1 - z )

D

-4,97 × 10 -3

= 150, 7 m

Noile pescaje prova şi pupa se vor calcula cu relaţiile: æL ö æ 110 ö ' = d pv + ç - xF ÷ tg q 3,8=- ç + 0, 5 ÷ 4,97 × 10-3 = 3, 524 m d pv è2 ø è 2 ø æL ö æ 110 ö ' = d pp - ç + xF ÷ tg q 4 +=ç - 0,5 ÷ 4,97 ×10 -3 = 4, 27 m d pp è2 ø è 2 ø

Problema 10 O navă are următoarele caracteristici: D = 30000 t , d pv = 8,3 m , d pp = 9, 6 m , MCT = 300 t × m / cm , LCF = 109 m , L = 210 m . Calculaţi noile pescaje prova şi pupa dacă masa P = 1000 t de balast se deplasează pe direcţie longitudinală dintr-un tanc având centrul de greutate situat la 175 m în altul situat la 205 m faţă de perpendiculara pupa.

142 _______________________________________________________________________________

Rezolvare: Ca urmare a deplasării longitudinale dinspre pupa spre prova a balastului, nava îşi modifică asieta, variaţia de pescaj prova-pupa faţă de situaţia iniţială fiind: Dd

P lx = MCT

1000 ( 205 - 175 ) = = 300

100 cm = 1m

Acestei variaţii de pescaj îi corespunde o mărire a pescajului prova şi o scădere a pescajului pupa cu valorile x şi y , care sunt soluţiile sistemului: ì x + =y Dd ìx + y = 1 ï ï adică numeric x L LCF í í x 210 - 109 = ïy ï y = 109 LCF î î Soluţiile acestui sistem sunt: x = 0, 48 m y = 0,52 m

Noile pescaje la extremităţi vor fi: d1 pv = d pv + x

8,3 m = + 0, 48 m = 8, 78 m

d1 pp = d pp - y

9, 6 =m - 0,52 m = 9, 08 m

Problema 11 Înainte de a intra în port, o navă are pescajele d pv = 11, 2 m şi d pp = 12 m . Dacă nava trebuie să intre în port pe chilă dreaptă, găsiţi cantitatea de balast P care trebuie transferată dintr-un tanc din dublu fund având LCG = 80 m , în altul având LCG = 195 m faţă de perpendiculara pupa. Se mai cunosc MCT = 210 t × m / cm , LCF = 95 m ,= L 200 m . Rezolvare: Vom observa mai întâi că nava este apupată deci, este corectă deplasarea balastului înspre prova. Această deplasare longitudinală se face cu valoarea: l x = 195 m - 80 m = 115 m

Variaţia de pescaj datorată deplasării masei P pe distanţa lx va trebui să fie egală cu diferenţa de pescaje iniţială, adică: P lx = d pv - d=pp MCT

Dd

Rezultă: P=

MCT d pv - d pp lx

210 11, 2 - 12 × 102 = 115

146 = t

Deplasarea balastului produce variaţii ale pescajelor la extremităţi care se calculează cu relaţiile:

143 _______________________________________________________________________________

dd pp dd pv

95 LCF Dd = =0,8 =0,38 m 200 L ( L - LCF ) ( 200 - 95) 0,8 Dd = = L 200

Pescaje iniţiale Variaţiile de pescaj Pescaje finale

Pupa 12 m -0,38 m 11,62 m

0, 42 m =

Prova 11,2 m 0,42 m 11,62 m

Problema 12 În timpul încărcării unei nave cu cherestea pe punte, o stivă având masa de 8 t se deplasează pe lungimea de 16 m dintr-un bord în celălalt, nava înclinându-se cu 1° . Cota metacentrului transversal este KM = 10,5 m . Calculaţi cota centrului de greutate KG dacă nava are deplasamentul D = 13000 t . Rezolvare: Mărimea căutată se determină din condiţia ca momentul transversal de înclinare datorat deplasării laterale a stivei cu masa P = 8 t pe distanţa l y = 16 m să fie egal cu momentul de stabilitate al navei înclinate cu j = 1° = P × l=y

(

)

p rad , adică: 180

D KM - KG × j

Rezultă: KG = 9,936 m

Problema 13 Un ponton paralelipipedic cu dimensiunile: L = 100 m , B= 10 m , D= 6 m pluteşte în apă dulce la pescajul d = 2 m . O masă de 1 t se deplasează lateral pe o distanţă de 8 m , deviind pendulul instalat pe ponton cu 0, 05 m . Pendulul are lungimea de 5 m . Care este valoarea cotei centrului de greutate al pontonului? Rezolvare: Devierea pendulului având lungimea l = 5 m , lateral cu distanţa a = 0, 05 m se traduce prin înclinarea transversală a pontonului cu unghiul: tgj @ j =

a 0 ,05 = = 0 ,01 . l 5

144 _______________________________________________________________________________

Aceasta se datorează deplasării masei P = 1 t lateral cu distanţa l y = 8 m , ceea ce determină un moment exterior de înclinare: M e = P ly

Condiţia de echilibru static este: Me = Ms

sau: P l y = D GM j

de unde rezultă: GM =

P ly

P ly l

Dj

rLBd a

=

1× 8 × 5 = 0, 4 m 1× 100 ×10 × 2 × 0, 05

=

Dar: GM = KM - KG

Cum pontonul este paralelipipedic: 2 102 d B2 KM = KB + BM = + = + = 5,16 m 2 12 d 2 12 × 2

În final, cota centrului de greutate al pontonului are valoarea: KG = KM - GM = 5,16 - 0, 4 = 4, 76 m

Problema 14 O navă tip ponton paralelipipedic are: L = 100 m , B= 10 m , d= 4 m în apă cu densitatea de 1, 010 t / m3 . Să se găsească: (a) deplasamentul; (b) noul pescaj dacă se încarcă 750 t de marfă; (c) noul pescaj dacă densitatea mediului în care navighează este de 1.025 t / m3 ; (d) noul pescaj dacă ajunge în port unde densitatea apei este 1, 005 t / m3 ; (e) câtă marfă trebuie descărcată în port pentru ca pescajul final să fie de 3, 5 m . Rezolvare: (a) Deplasamentul pontonului se calculează cu formula: D =r L =B d

1, 010 × 100 ×10 × 4 = 4040 t

(b) Încărcându-se masa P = 750 t de marfă, noul pescaj se calculează cu relaţia:

145 _______________________________________________________________________________

d1 =

D+ P rLB

4040 + 750 = 1, 010 ×100 × 10

4, 743=m

(c) Când salinitatea apei îşi schimbă valoarea de la r = 1, 010 t / m3 la r2 = 1, 025 t / m3 pescajul ajunge la valoarea: d2 =

r d1 r2

1, 010 = 4, 743 1, 025

4, 673= m

(d) În port, unde densitatea apei este r3 = 1, 005 t / m3 pescajul va fi: d3 =

D+P r3 L B

4040 + 750 = 1, 005 × 100 ×10

4, 766= m

(e) Plecând de la pescajul final, rezultat în urma descărcării de marfă, reiese deplasamentul final: D4

r=3 × L × B × d 4 =1, 005 ×100 × 10 × 3,5 = 3517, 5 t

Cantitatea de marfă descărcată este: P4 = ( D + P ) - D 4

= + 750 ) - 3517,5 = 1272,5 t ( 4040

Problema 15 O navă are următoarele caracteristici: D 2000 t ; L= 110 m ; d pv = 3,8 m ;

=

Se transferă 30 t de combustibil dintr-un tanc situat la pupa ( x = -30 m ; y= 0 m ; z= 0, 5 m ) într-un tanc situat la prova ( x1 = 20 m ; y=1 5 m ; z=1 5 m ) . Să se studieze influenţa acestei deplasări de mase la bord asupra poziţiei şi stabilităţii navei. d pp = = 4, = 0m = ; GM L

150 m ; GM

0,8 m ; xF

-0,5 m .

Rezolvare: - se calculează înălţimile metacentrice, transversale şi longitudinale rezultate: P 30 ( z1 - z ) =0,8 ( 5 - 0,5) = 0, 73 m D 2000 P 30 G1 M L = GM L - ( z1 - z ) =150 (5 - 0,5 ) = 149,93 m 2000 D G1 M = GM -

- în urma transferului, nava se înclină transversal cu unghiul: P ( y - y) tg j @ j = = = =1 D G1 M

30 ( 5 - 0 )

2000 × 0, 73

0,1 rad

5,86° Tb

şi longitudinal cu unghiul: tg q @ q

P ( x1 - x ) 30 ( 20 + 30 ) = = = 2000 ×149,93 D G1 M L

5 ×10 -3 rad =

0, 29°

146 _______________________________________________________________________________

Transferul făcându-se dinspre pupa spre prova nava se va aprova. Va trebui să ţinem cont şi de asieta iniţială: 3,8 - 4 tg q' = = 110

-1,81 ×10 = -3

-0,1°

Nava se va stabiliza înclinată longitudinal la unghiul: q1

q =+ q'

0,=29° - 0,1°

0,19 =°

Se calculează pescajele finale: æL ö æ 110 ö + 0,5 ÷ 5 × 10 -3 = 4, 08 m d1 pv = d pv + ç - xF ÷ tg q 3,8=+ ç è2 ø è 2 ø æL ö æ 110 ö - 0, 5 ÷ 5 × 10-3 = 3, 73 m d1 pp = d pp - ç + xF ÷ tg q 4 -=ç 2 2 è ø è ø

Problema 16 După desfăşurarea unei "probe de înclinare", s-au notat următoarele date: Deplasamentul în timpul înclinării D = 9550 t Masa lestului P = 10 t Distanţa pe care se deplasează lestul l y = 18 m l = 9,5 m Lungimea firului cu plumb a = 100 mm Devierea firului la capăt Kg a lestului 12,5 m KM din curbele de carene drepte 8, 35 m Să se calculeze înălţimea metacentrică transversală a navei. Un tanc conţinând 150 t de apă dulce este complet umplut şi situat în dublu fund cu Kg = 1 m . Să se calculeze cota centrului de greutate al navei în condiţia de "navă goală". Rezolvare: Unghiul cu care se înclină transversal nava: a tg j @ j = = l

0,1 9,5

Egalând momentul de înclinare cu momentul de stabilitate, găsim: GM =

P ly Dj

10 ×18 × 9,5 = 1, 791 =m 9550 × 0,1

KG = KM - GM =8, 35 - 1, 791 = 6,559 m

Calculul cotei centrului de greutate pentru "nava goală" se face tabelar, după cum urmează:

147 _______________________________________________________________________________

Masa

KG , Kg

[t ]

9550 -10 -150

Moment faţă de LB

[m]

[ t × m]

6,559 12,5 1

62638,45 -125 -150

9390

62363,45 KG =

62363, 45 = 6, 641 m 9390

Problema 17 O navă are deplasamentul de 20000 t şi KM = 6, 5 m . O masă de 25 t se deplasează pe puntea principală dintr-un bord în celălalt, pe o distanţă de 20 m , producând o deplasare cu 0,1 m a plumbului situat la capătul unui fir cu lungimea de 10 m . Cunoscând că faţă de această situaţie la bordul navei se va mai monta un motor auxiliar de 150 t şi Kg = 3 m , să se determine cota centrului de greutate al navei. Rezolvare: Prin deplasarea masei P = 25 t lateral cu distanţa l = 20 m , nava se înclină transversal cu unghiul: 0,1 tg j = sin j = = 10 -2 10

Înălţimea metacentrică se calculează egalând momentul exterior de înclinare cu momentul de stabilitate: P l = D GM sin j

Rezultă: GM =

Pl D sin j

25 × 20 = 20000 × 10-2

2,5=m

respectiv: KG = KM - GM= 6, 5 - 2,5 = 4 m

Ţinând cont că mai trebuie adăugată masa motorului auxiliar P1 = 150 t , având cota centrului de greutate Kg = 3 m , se calculează cota centului de greutate al navei cu relaţia : KG1 =

D KG + P1 Kg D + P1

20000 × 4 + 150 × 3 = 20000 + 150

3,=99 m

148 _______________________________________________________________________________

Problema 18 O navă de mici dimensiuni are deplasamentul de 400 t şi înălţimea metacentrică transversală de 0, 5 m . În vederea efectuării unor lucrări, se ridică temporar de pe postament, cu ajutorul unui palan, motorul principal având masa de 10 t , lungimea firului de suspensie fiind de 2 m . Să se calculeze înălţimea metacentrică a navei în urma acestei manevre. Rezolvare: Înălţimea metacentrică, transversală, corectată se calculează cu formula: G1 M = GM -

Problema 19 O navă

Pl D

=0,5 -

10 × 2 = 0, 45 m 400

tip

ponton paralelipipedic are dimensiunile: Deplasamentul navei este D = 2000t , iar cota centrului de greutate KG = 4,5 m . Nava se găseşte în apă dulce. Calculaţi valoarea înălţimii metacentrice a navei iniţial şi valoarea aceleaşi mărimi după ce o masă de 500 t este ambarcată la cota Kg = 4 m . Calculaţi valorile momentelor de stabilitate pentru nava înclinată transversal cu 10° în ambele situaţii.

= L 100 m= ; B 10 m= ; D

5m .

Rezolvare: Pentru cazul iniţial

( GM ) = ( KB ) + ( BM ) - ( KG ) unde : 2000 = 1m ( KB ) = d2 2 LDB r = 2 ×100 ×10 ×1 1

1

1

1

=

1

1

( BM )

1

LB 3 = 12 D r

r L B3 = 12 D

1×100 ×103 = 12 × 2000

4,17 m =

Aşadar, ( GM )1 = 1 m + 4,17 m - 4,5 m = 0, 67 m Momentul de stabilitate pentru nava înclinată transversal cu 10° în această situaţie este:

(M )

sj 1

= D ls j

Pentru cazul final

(

)

D =GM sin j @ 2000 × 0, 67 × sin10° @ 232, 7 t × m 1

( GM ) = ( KB ) + ( BM ) - ( KG ) 2

unde:

2

2

2

149 _______________________________________________________________________________

( KB ) ( BM )

( KG )

2

=

2

2

= =

(D + P)

2000 + 500 = = 1, 25 m 2 L B r 2 ×100 ×10 × 1

d2 2

r L B3 12 ( D + P )

1× 100 ×103 = 12 × ( 2000 + 500 )

D × KG + P × kg D+P

=

3,33=m

2000 × 4,5 + 500 × 4 = 2500

4,=4 m

Aşadar, noua înălţime metacentrică va fi :

( GM )

2

= 1, 25 m + 3,33 m - 4, 4 m = 0,18 m

iar momentul de stabilitate corespunzător acestei situaţii de încărcare, când nava este înclinată transversal cu 10° va fi:

( M ) = ( D + =P ) l sj 2

sj

( D + P ) ( GM )2 sin j = 2500 × 0,18 × sin10° = 78,14 t × m

Problema 20 O navă are următoarele caracteristici: D 10900 t ; KG = 6, 2 m ; KM = 7, 2 m . = O greutate de 200 t se găseşte la bordul navei având cota centrului de greutate Kg = 2, 6 m . Să se calculeze cantitatea de balast care trebuie ambarcată având cota centrului de greutate Kg ' = 1 m , după ce greutatea de 200 t a fost debarcată pentru ca nava să-şi păstreze intactă valoarea înălţimii metacentrice, în condiţia în care KM rămâne constantă. Rezolvare: Din condiţia ca înălţimea metacentrică transversală să-şi păstreze valoarea şi în ipoteza că metacentrul transversal rămâne un punct fix, va rezulta condiţia ca în urma celor două operaţiuni, debarcarea P şi ambarcarea P ' , G să rămână în acelaşi loc. Fie D0 =D - P = 10700 t şi KG0 cota centrului de greutate al masei D0 . Înainte de operaţiunea de ambarcare-debarcare, ecuaţia de momente statice faţă de PB se poate scrie sub forma: D 0 KG0 + P=Kg

( D0 + P ) KG

După debarcarea masei P şi ambarcarea masei P ' , putem scrie: D 0 KG0 + P=' Kg '

( D0 + P ') KG

sau combinând cele două relaţii rezultă:

( D0 + P ') KG - P ' Kg ' = ( D0 + P ) KG - P Kg mai departe:

(

P ' KG - Kg = '

)

( D 0 + P ) KG - P Kg - D0 KG

Înlocuind numeric, obţinem:

150 _______________________________________________________________________________ P '(6, 2 - 1) =10900 × 6, 2 - 200 × 2, 6 - 10700 × 6, 2 = 720 P' =

720 = 138, 46 t 5, 2

Problema 21 O navă cu deplasamentul de 11000 t , KG = 8,7 m , KM = 9,5 m are o înclinare iniţială de 2° tribord. Se efectuează următoarele operaţiuni: Masa [t ] 400 600 100 Descărcare

Distanţa faţă de PD [ m ] 4,5 m Tb 6,0 m Bb 2,0 m Tb

Kg [ m ]

Încărcare

10,0 4,0 1,0

Găsiţi înclinarea finală. Rezolvare: Problema se poate rezolva tabelar după cum urmează: KG

P

yP

[t ]

[m]

[m]

400 600 -100 900

10 4 1

4,5 -6 2

Moment faţă de

Moment faţă de

PB

PD

P × KG [t × m ] 4000

P × 1800 y [t × m ]

2400 -100 6300

-3600 -200 -2000

Efectele acestor operaţiuni asupra navei se pot calcula ca fiind următoarele: · Modificarea deplasamentului. Noul deplasament al navei va fi: D1

D += å P = 11000 t + 900 t = 11900 t

· Modificarea cotei centrului de greutate. Noua cotă a centrului de greutate se calculează cu relaţia: KG1 =

D KG + å P × KG D1

=

11000 × 8, 7 + 6300 = 8,57 m 11900

· Modificarea valorii înălţimii metacentrice transversale. Considerând KM = const. , valoarea înălţimii metacentrice finale va fi: G1 M = KM - KG1

9,5 = m - 8,57 m = 0,93 m

Înălţimea metacentrică iniţială avea valoarea: GM = KM - KG =9,5 m - 8, 7 m = 0,8 m

151 _______________________________________________________________________________

·

Modificarea unghiului iniţial de înclinare transversală modificării valorii înălţimii metacentrice transversale. j1'

j=0

GM = G1 M

2° ×

datorită

0,8 = 1, 72° 0,93

· Înclinarea transversală finală. Datorită operaţiunilor efectuate, nava se va înclina în sens transversal cu unghiul:

å P × yP j1'' = = = D1 G1M

-2000 11900 × 0, 93

-0,18 = rad

-10, 35°

Semnul minus indică faptul că înclinarea se face în bordul babord. Înclinarea finală va fi: j1 = j1' + j1'' = 1, 72° - 10,35° =-8, 63°

adică o înclinare de 8, 63° în bordul babord. Problema 22 O navă cu deplasamentul de 10500 t pluteşte pe carenă dreaptă având KG = 7,8 m şi KM = 8,5 m . Nava ambarcă o masă de 300 t cu Kg = 10 m şi 4 m tribord faţă de PD . Să se calculeze înclinarea finală. Rezolvare: Este o problemă tipică de ambarcare de greutăţi care se rezolvă după următorul algoritm: · Noua cotă a centrului de greutate se determină din ecuaţia de momente statice faţă de PB : D KG + = P Kg ( D + P ) KG1 de unde rezultă: KG1 =

·

D KG + P Kg D+P

7,86 m =

Valoarea înălţimii metacentrice transversale rezultate: G1 M = KM - KG1

·

10500 × 7,8 + 300 ×10 = 10500 + 300

8,5 = m - 7,86 m = 0, 64 m

Nava se va înclina la tribord cu unghiul j rezultat din egalitatea dintre momentul de înclinare şi momentul de redresare: ( D + P ) G1 M × tg j =P × yP adică tg j

Problema 23

P × yP = = ( D + P ) G1M

300 × 4 = 10800 × 0, 64

0,173 Þ j

9,85 = ° Tb

152 _______________________________________________________________________________

O navă are pescajele d pv = 7 m şi d pp = 8 m . Să se distribuie o cantitate de marfă ambarcată de 600 t în două compartimente; primul având ( LCG )1 = 75 m şi al doilea având ( LCG )2 = 130 m , măsurate faţă de perpendiculara pupa, astfel încât pescajul la pupa să rămână constant. Să se găsească pescajul final la prova. Se mai cunosc: TPC = 23 t / cm ;=MCT 180 t × m / cm ; LCF = 92 m=; L 180 m . Rezolvare: Metoda I Se calculează variaţia pescajului mediu datorată ambarcării masei P = 600 t de marfă: P = TPC

dd

600 = 23

26 = cm

Masa P se distribuie în cele două compartimente în cantităţile P1 şi P2 . Această distribuire va trebui să modifice asieta navei astfel încât pescajul la pupa să rămână la valoarea dinainte de ambarcare. Aceasta înseamnă că nava se va aprova şi în valori absolute dd=pp dd . Variaţiile pescajelor la extremităţi sunt în relaţia: dd pp LCF

Rezultă: dd pv

dd pp ( L - LCF ) = LCF

dd pv

=

L - LCF

dd ( L - LCF ) = LCF

26 (180 - 92 ) = 92

25 cm=

adică o variaţie de asietă necesară egală cu: dd pv + dd pp = 51 cm

Cum această variaţie de asietă se datorează maselor P1 şi P2 , găsim: P2 ëé( LCG ) 2 - LCF ûù + P1 éë( LCG1 ) - LCF ùû MCT

adică:

P2 (130 - 92 ) + P1 ( 75 - 92 ) 180

= 51 cm

= 51

Adăugând ecuaţia: P1 + P2 = 600 t

şi rezolvând sistemul, rezultă: P1 = 248 t ; P2 = 352 t

Pescajul final la prova se calculează cu relaţia: ' d pv = d pv + dd + dd pv

Metoda II

=7 + 0, 26 + 0, 25 = 7,51 m

153 _______________________________________________________________________________

Vom înlocui sistemul de mase P1 , P2 cu o singură masă P = P1 + P2 care acţionează într-un punct g situat la distanţa x faţă de F, astfel încât suma algebrică a momentelor faţă de centrul de plutire determinat de cele două mase să fie egală cu momentul rezultantei, adică: P2 ëé( LCG ) 2 - LCF ûù + P1 ëé( LCG1 ) - LCF ûù = P x

Acţiunea rezultantei situate la distanţa x faţă de F va produce o variaţie a asietei conform relaţiei: Px = dd pv + dd pp MCT

(1)

în care variaţiile de pescaje la extremităţi sunt considerate în valori absolute. Pescajul mediu se va mări cu valoarea: dd =

P TPC

(2)

Pentru ca pescajul final la pupa să fie egal cu cel iniţial, g trebuie să fie situat în prova lui F astfel încât nava să se aproveze ca urmare a distribuirii lui P şi dd=pp dd . Pe de altă parte, între variaţiile pescajelor dd pv şi dd pp există relaţia: dd pp LCF

de unde rezultă: dd pv =

=

dd pv L - LCF

dd ( L - LCF ) LCF

Înlocuind (3) şi (2) în (1), găsim: 180 × 180 MCT × L = = 15,31 m TPC × LCF 23 × 92 Cantităţile de marfă P1 şi P2 sunt soluţii ale sistemului: x=

ì P1 (17 + x ) P2=( 38 - x ) í î P1 + P2 = 600

adică: P1 = 248 t ; P2 = 352 t

Pescajul final la prova: ' d pv = d pv +

Problema 24

P× x 600 ×15,31 =7 + = 7,51 m 100 MCT 180 × 100

(3)

154 _______________________________________________________________________________

O navă are pescajele d pv = 11, 48 m şi d pp = 12, 26 m . Ea este complet încărcată în situaţia d pv' = 11,9 m şi d pp' = 12,10 m . Magaziile de marfă disponibile sunt: Magazia Nr. 5, ( LCG )5 = 30 m , faţă de perpendiculara pupa. Magazia Nr. 2, ( LCG )2 = 100 m , faţă de perpendiculara pupa. Se mai cunosc: MCT = 120 t × m / cm , TPC = 32 t /=cm ; LCF = 64 m ; L 140 m . Determinaţi cantităţile de marfă ce trebuiesc ambarcate în cele două magazii, pentru a ajunge în situaţia de navă complet încărcată. Rezolvare: În situaţia de încărcare dată, pescajul de calcul se calculează cu relaţia: d = d pp + LCF tg q

d pp= + LCF=

(d

pv

- d pp ) L

(11, 48 - 12, 26 ) 12, 26 + 64 = 140

11,903 m

Când nava este complet încărcată, aceeaşi valoare se calculează cu formula: d =d '

' pp

+ LCF tg q

'

d=

' pp

(d + LCF=

' pv

' - d pp )

L

(11, 9 - 12,10 ) 12, 009 m 12,10 + 64 = 140

Pentru a ajunge la situaţia de plină încărcare, rezultă un necesar de marfă: P = 100 ( d ' - d ) TPC 100 = (12, 009 - 11,903) 32 = 339, 2 t

Distribuirea cantităţilor de marfă în cele două magazii va trebui să producă o variaţie a asietei egală cu: ' d 'pv - d pv + d pp - d pp

=11,9 - 11, 48 + 12,10 - 12, 26 = 0,58 m = 58 cm

Vom observa, de asemenea, din valorile pescajelor iniţiale şi finale că nava se va aprova. Notăm cu w cantitatea de marfă distribuită în magazia Nr. 2 şi rezultă: w éë( LCG ) 2 - LCF ùû + ( 339, 2 - w ) éë( LCG )5 - LCF ùû MCT

sau:

= 58

w (100 - 64 ) + ( 339, 2 - w )( 30 - 64 )

= 58 120 Soluţia acestei ecuaţii este w = 264, 2 t , distribuite în magazia Nr. 2. În

magazia Nr. 5 vor fi distribuite 75 t de marfă. Problema 25 O navă

are

următoarele

date

iniţiale: d pv= 8,37 m ; d pp= 8, 29 m , TPC= 16,8 t=/ cm ; MCT 98 t × m / cm=; xF -3 m ; L= 100 m . Din navă se descarcă 150 t de marfă, dintr-o magazie situată la 45 m spre prova de secţiunea de la mijlocul navei. Calculaţi pescajele finale. Rezolvare:

155 _______________________________________________________________________________

Aşa cum cunoaştem, debarcarea de mase se tratează ca o ambarcare de mase negative. Vom calcula însă variaţia pescajului mediu şi a pescajelor la extremităţi în valori absolute, ţinând cont de semnele lor, la calculul pescajelor finale. Variaţia pescajului mediu are valoarea: P 150 = TPC 16,8

dd

8,=92 cm @ 0,=089 m

Masa P se descarcă din prova centrului de plutire, prin urmare, nava se va apupa. Variaţia de asietă se calculează cu relaţia: Dd

P ( xP - xF ) = MCT

150 ( 45 + 3) = 98

73, 47 cm =

Variaţiile pescajelor la extremităţi datorate modificării asietei sunt soluţiile sistemului: æL ö ç + xF ÷ 2 ø ; dd= = è pv Dd L

dd pp

Adică:

Dd - dd pp

73, 47 ( 50 - 3) = 34, 53 cm= 100 73, 47 = cm - 34, 53 cm = 38, 94 cm

d d pp

d d pv

Pescajele finale sunt: ' d pv = d pv - d d - d d pv

8,=37 - 0,089 - 0,389 @ 7,89 m

= d pp - d d + d d= pp

8, 29 - 0, 089 + 0,345 @ 8, 55 m

d

' pp

Problema 26 O navă cu deplasamentul D = 8450 t este înclinată cu unghiul j =6° Bb . Se mai cunosc: KG = 7,8 m , KM = 8, 5 m . Se ambarcă 250 t balast cu zP = 1,5 m , situat la distanţa de 3,1 m tribord faţă de PD . Să se calculeze înclinarea finală a navei considerând KM = const. Rezolvare: Se calculează variaţia cotei centrului de greutate al navei datorată ambarcării masei P = 250 t de balast. Centrul acestei mase are coordonatele yP = 3,1 m şi zP = 1,5 m .

( )

d = KG

(

P z P - KG = D+P

)

250 = ) (1,5 - 7,8 8450 + 250

-0,18 m

Valoarea cotei centrului de greutate rezultată în urma ambarcării este:

( )

KG1 = KG + d KG = 7,8 - 0,18 = 7, 62 m

Înălţimile metacentrice iniţială şi finală se calculează cu relaţiile:

156 _______________________________________________________________________________ GM = KM - KG

8,5 = m - 7,8 m = 0, 7 m

G1 M = KM - KG1

8,5 = m - 7, 62 m = 0,88 m

Modificarea stabilităţii navei determină şi modificarea înclinării iniţiale până la valoarea j' , calculată cu formula: D GM = j ( D + P ) G1M

j'

8450 × 0, 7 6° = (8450 + 250 ) × 0,88

4, 64 = ° Bb

Ambarcarea masei P în tribord va produce o înclinare transversală a navei în acelaşi bord cu unghiul: P yP 180 = × = ( D + P ) G1 M p

j''

250 × 3,1 × 180 = (8450 + 250 ) × 0,88 × p

5,8° Tb

Înclinarea finală a navei va fi: j1

j='' - j'

5,8 = ° Tb - 4,64° Bb = 1,16° Tb

Problema 27 O navă cu deplasamentul D = 12000 t , KG = 8, 4 m , este înclinată cu unghiul j =5° la babord. La bordul navei se ambarcă o cantitate de 600 t de marfă cu Kg = 10 m , în două compartimente ale căror centre sunt poziţionate faţă de PD după cum urmează: - compartimentul din tribord la 6 m - compartimentul din babord la 5 m Să se distribuie marfa în cele două compartimente astfel încât nava să revină pe carenă dreaptă. Se consideră KM = 9, 0 m = const. Rezolvare: Masa P = 600 t de marfă ambarcată la Kg = 10 m produce o variaţie a cotei centrului de greutate cu valoarea:

( )

d KG =

(

)

600 P Kg - KG = (10 - 8, 4 ) = 0, 076 m D+P 12000 + 600

Cota finală a centrului de greutate va fi:

( )

KG1 = KG + d KG

8,=4 m + 0, 076 m = 8, 476 m

Valorile înălţimilor transversale pentru cele două situaţii sunt: GM = KM - KG G1 M = KM - KG1

9, = 0 m - 8, 4 m = 0, 6 m 9, =0 m - 8, 476 m = 0,524 m

Schimbarea valorii înălţimii metacentrice transversale va determina şi schimbarea valorii înclinării iniţiale la valoarea:

157 _______________________________________________________________________________

j1

D GM = j ( D + P ) G1M

12000 × 0, 6 = 5° 5, 45 =° (12000 + 600 ) 0,524

Cantitatea de marfă P1 care trebuie ambarcată la tribord este soluţia ecuaţiei: P1 6 - ( 600 - P1 ) 5

( D + P ) G1 M

= j1 [ rad ]

Rezultă: P1 = 330 t şi P2 = 270 t

Problema 28 Un cargo are: D 13000 t , KM= 10,5 m , KG= 9,936 m şi =încarcă cherestea pe puntea principală, situată la înălţimea de 12 m faţă de PB . Să se determine cantitatea de cherestea care poate fi încărcată pe punte astfel încât înălţimea metacentrică să nu scadă sub valoarea de 0, 5 m . Rezolvare: Pentru ca la limită înălţimea metacentrică transversală să aibă valoarea minimă de 0, 5 m , rezultă după încărcare o cotă a centrului de greutate al navei: KG1 = 10 m

Notăm cu P cantitatea de cherestea ce poate fi încărcată pe puntea principală şi în continuare problema se poate rezolva tabelar: Masa [t ]

KG , Kg [ m]

Moment faţă de LB [t × m ]

13000

9,936 12,0

129168 12 P

P

13000+ P

129168+12 P

P este soluţia ecuaţiei: 129168 + 12 P = KG1 13000 + P

adică:

P = 416 t

Problema 29 O navă are deplasamentul de 62000 t şi KG = 8, 0 m . Distribuiţi 9108 t de marfă ambarcată în două magazii având Kg1 = 0,59 m şi Kg 2 = 11, 45 m astfel încât cota finală a centrului de greutate să fie KG1 = 7,57 m . Rezolvare:

158 _______________________________________________________________________________

Notând P1 şi P2 cantităţile de marfă distribuite în cele două magazii, problema se poate rezolva tabelar, ca mai jos: Masa [t ]

KG , Kg [ m]

Moment faţă de LB [t × m ]

6200

8,0 0,59 11,45

49600 0,59 P1 11,45 ( 9108 - P1 )

P1

9108- P1

153886,6-10,86 P1

15308 Valoarea lui P1 rezultă din relaţia: KG1 =

153886, 6 - 10,86 P1 15308

adică: P1 = 3500 t , P2 = 5608 t

Problema 30 O navă cu deplasamentul de 11000 t , KG = 8, 7 m şi KM = 9,5 m are o înclinare transversală iniţială j =2° Tb . Nava efectuează operaţiunile de: Masa [t ] 400 600 100 Descărcare Încărcare

Kg [ m ]

10,0 4,0 1,0

Distanţa faţă de PD [ m ] 4,5 m Tb 6,0 m Bb 2,0 m Tb

Să se găsească înclinarea finală a navei. Rezolvare: Problema se poate rezolva tabelar ca mai jos. Masa KG ; Kg Moment faţă de LB Distanţa faţă de PD Moment Tb Moment Bb

[t ]

[m]

[ t × m]

[m]

11000 8,7 95700 -400 10,00 4000 4,5 m Tb 600 4,00 2400 6,0 m Bb -100 1,00 -100 2,0 m Tb 11900 102000 Cota finală a centrului de greutate este:

[ t × m]

[ t × m]

-1800 --200 1600

--3600 -3600

159 _______________________________________________________________________________

KG1 =

102000 = 8, 57 m 11900

Înălţimea metacentrică iniţială a fost: GM = KM - KG

9, = 5 m - 8, 7 m = 0,8 m

După ambarcarea şi debarcarea de mase la bord ea îşi va modifica valoarea, ajungând la: G1 M = KM - KG1

9,5 = m - 8, 57 m = 0, 93 m

Înclinarea transversală, iniţială se va modifica la valoarea: ' jTb

=

D

GM

( D + P ) G1 M

j

11000 0,8 2° 1,59 = = ° Tb 11900 0,93

Înclinarea finală va fi: j

æ 2000 180 ö ' ç = ÷ - jTb ç (D + P)G M p ÷ 1 è ø Bb

8,=76° Bb

Problema 31 O navă cu deplasamentul de 11500 t , KG = 7,5 m şi KM = 8, 4 m este înclinată 4° la tribord. La bordul navei mai trebuiesc încărcate 750 t de marfă. Spaţiile disponibile au Kg1 = 10,5 m , 6 m tribord faţă de PD , Kg 2 = 8, 0 m , 4 m babord faţă de PD . Să se distribuie încărcătura astfel încât în final nava să fie pe carenă dreaptă şi să se găsească cota finală a centrului de greutate al navei. Rezolvare: Problema se poate rezolva tabelar ca mai jos. Notăm cu P1 cantitatea de marfă care se ambarcă în compartimentul 1 . Masa KG ; Kg Moment faţă de LB

[t ]

[m]

[ t × m]

11500

7,5 10,5 8

86250 10,5 P1 6000-8 P1

P1

750- P1 12250

Distanţa faţă de Moment Tb Moment Bb PD

[m]

[ t × m]

[ t × m]

-6 P1 --

---

( 3000 - 4 P1 )

6 P1

( 3000 - 4 P1 )

-6 m Tb 4 m Bb

92250+2,5 P1

Cota finală a centrului de greutate se calculează cu formula: KG1 =

92250 + 2,5P1 12250

Iniţial, înălţimea metacentrică transversală era egală cu: GM = KM - KG

8, = 4 m - 7,5 m = 0,9 m

160 _______________________________________________________________________________

După încărcarea celor 750 t , înălţimea metacentrică, transversală devine: G1 M = KM - KG1

8, 4 -

92250 + 2,5 P1 10650 - 2,5 P1 = = [ m] 12250 12250

Înclinarea finală se va calcula cu relaţia:

j1

( 3000 - 4 P1 ) 11500 0,9 180 180 6 P1 4° += 12250 10650 - 2,5 P1 (10650 - 2,5 P1 ) p 12250 (10650 - 2,5 P1 ) p 12250 12250 12250 12250 Egalând j1 , cu 0 rezultă: P1 = 227, 7 t , P2

=522,3 t , KG1

=7,577 m

Problema 32 În timpul reparaţiei capitale la o navă s-a scos motorul auxiliar din tribord având masa P = 28 t , cu centrul de greutate, având coordonatele x1 = -12,5 m ; y1 = 2, 2 m ; z1 = 2,8 m . Să se determine variaţia stabilităţii navei şi poziţia ei în raport cu suprafaţă liberă a apei, dacă se cunosc următoarele date iniţiale: L = 85, 0 m ; B =9, 5 m ; d pv

GM L = 110 = m ; xF

2=m ; d pp

2, 4 =m ; CB

0, 665; = CWL

0, 775; = GM

1, 4 m=

-1,8 m ; r = 1, 0 t / m . 3

Rezolvare: Se calculează deplasamentul navei:

æ d pv + d pp ö ( 2 + 2, 4 ) = 1181, 4 t r CB L =B ç = ÷ 1× 0, 665 × 85 × 9,5 × 2 2 è ø Cum P < 0,1 D se va aplica algoritmul de la calculul prezentat în § 27.1 D

"Ambarcarea de mase mici", considerând masa P negativă. - se calculează variaţia pescajului mediu: P d d= = = = r AWL

-28 1× 0, 775 × 85 × 9,5

P r CWL L B

-0, 045 m

- se calculează variaţiile înălţimilor metacentrice:

(

)

d GM=

P æ dd -28 0, 045 ö æ ö - z1 - GM ÷= - 2,8 - 1, 4 ÷ = 0, 049 m çd + ç 2, 2 D+Pè 2 1181, 4 28 2 ø è ø -P 28 d GM L = L =110 2, 67 m = GM D+ P 1181, 4 - 28

(

)

- se află noile înălţimi metacentrice:

( ) + d ( GM =)

G1 M1 = GM + d GM = 1, 4 + 0, 049 @ 1, 45 m G1 M L1 = GM L

L

110 + 2, 67 = 112, 67 m

- se determină înclinările navei în plan transversal şi longitudinal:

161 _______________________________________________________________________________ -28 × 2, 2

P y1 tg j @ j = = = ( D + P ) G1 M 1

(1181, 4 - 28) ×1, 45 P ( x1 - xF ) -28 ( -12,5 + 1,8 )

tg q

= = D GM L

= = 1181, 4 ×110

-0, = 0368 rad 0, 0023 rad

2,1° Bb

0,13°

Este evident că în urma operaţiunii, nava se va aprova faţă de poziţia iniţială. Trebuie să ţinem cont că nava era apupată cu unghiul: d pv - d pp tg q' = = = L

2 - 2, 4 85

-4, 7 ×10 = -3 rad

-0, 27°

Unghiul final de înclinare longitudinală este: q1= q + q' = 0,13° - 0, 27° = -0,14°

- se calculează pescajele finale: æL ö æ 85 ö d1 pv = d pv + d d + ç - xF ÷ tg q 2 - 0, 045 += ç + 1,8 ÷ 0, 0023 = 2, 06 m 2 2 è ø è ø æL ö æ 85 ö d1 pp = d pp + d d - ç + xF ÷ tg q 2, 4 - 0, 045 = - ç - 1,8 ÷ 0, 0023 = 2, 26 m è2 ø è 2 ø

Problema 33 O navă are D = 11000 t şi KG = 8 m . Un tanc de apă paralelipipedic, situat în dublu fund cu l = 12 m ; b = 6 m şi centrul de greutate la 4 m babord faţă de PD , este parţial umplut cu 72 t de apă dulce. Să se calculeze înclinarea transversală a navei, cunoscând că la deplasamentul de 11072 t nava are cota metacentrului transversal KM = 9 m . Rezolvare: Înălţimea apei din tanc se calculează cu relaţia: h' =

P lbr

72 = 1=m 12 × 6 × 1

Cum tancul de apă dulce este paralelipipedic şi este situat în dublu fund, cota centrului de greutate unde se ambarcă masa P este: zP =

h' = 0,5 m 2

Variaţia cotei centrului de greutate al navei rezultată în urma ambarcării este:

( )

d =KG

(

P z P - KG = D+P

)

72 ( 0,5 - 8=) 11000 + 72

-0, 048 m

Cota finală a centrului de greutate al navei se calculează cu relaţia:

( )

KG1 = KG + d KG

8=m - 0, 048 m = 7,952 m

Înălţimea metacentrică transversală, corespunzătoare noului deplasament rezultă din:

162 _______________________________________________________________________________ G1 M = KM - KG1

9m = - 7, 952 m = 1, 048 m

Corecţia înălţimii metacentrice transversale, datorată influenţei suprafeţei libere de lichid din tanc este:

(

d =G1 M

)

ri -= x D+P

r l b3 -= 12 ( D + P )

-1 ×12 × 63 @ -0, 02 m 12 (11000 + 72 )

Valoarea finală a înălţimii metacentrice transversale va fi:

(

)

G1 M + d G1M =1, 048 m - 0, 02 m = 1, 028 m

Masa P ambarcată la y1 = 4 m babord faţă de PD creează un moment de înclinare transversală care determină o înclinare în acelaşi bord cu unghiul j : P y1 j @ tg j @ sin j = = = é ( D + P ) ëG1 M + d G1 M ùû

(

)

72 × 4 11072 × 1, 028

0, 0253 rad @ 1, 45° Bb

Problema 34 O navă are următoarele caracteristici: D 10000 t , KG = 8,9 m , KM = 9, 4 m . = 3 Nava ambarcă balast cu densitatea r = 1, 01 t / m într-un tanc paralelipipedic cu l = 30 m , b = 20 m , h = 2 m . Tancul este divizat longitudinal de un perete situat la jumătatea lăţimii. Cota centrului de greutate al balastului este zP = 0,5 m . Calculaţi înălţimea metacentrică a navei după ambarcarea balastului, considerând KM = const.

Rezolvare: Din datele problemei rezultă că înălţimea coloanei de lichid din tanc este: h ' = 2 zP = 1 m

Cum h' < h , lichidul are suprafaţă liberă şi va trebui să ţinem cont de efectul negativ al acesteia atunci când calculăm valoarea finală a cotei centrului de greutate. Masa de balast ambarcată se calculează cu relaţia: P = r l =b h'

1, 01 × 30 × 20 ×1 = 606 t

Datorită ambarcării masei P , cota centrului de greutate al navei va suferi modificarea:

( )

d =KG

(

P = z P - KG D+P

)

606 ( 0, 5 - 8,= 9 ) 10000 + 606

-0, 48 m

Centrul de greutate al navei va avea cota finală:

( )

KG1 = KG + d KG

=8,9 m - 0, 48 m = 8, 42 m

Influenţa negativă a suprafeţei libere de lichid se va resimţi prin corecţia aplicată înălţimii metacentrice transversale

163 _______________________________________________________________________________

(

d =G1 M

)

r ix -= 2 ( m + 1) ( D + P )

r l b3 -= 2 12 ( m + 1) ( D + P )

1, 01× 30 × 203 -= 2 12 × 2 × (10000 + 606 )

-0, 476 m

unde m este numărul de pereţi longitudinali dispuşi echidistant, care fragmentează suprafaţa liberă a lichidului din tanc. Înălţimea metacentrică transversală va avea valoarea finală:

(

KM - KG1 - d G1M

)

=9, 4 m - 8, 42 m - 0, 476 m = 0, 504 m

Problema 35 = 9, 0 m , KM = 9,85 m . Nava = are patru Pentru o navă se cunosc: D 10000 t , KG "deep tank-uri" distribuite de la tribord la babord fiecare având l = 14 m , b = 8 m , parţial umplute cu ulei de palmier cu densitatea r1 = 1, 2 t / m3 . Calculaţi valoarea înălţimii metacentrice, ţinând cont de influenţa suprafeţelor libere de lichid. Rezolvare: Înălţimea metacentrică transversală necorectată este: GM = KM - KG

9,85 = m - 9, 0 m = 0,85 m

Corecţia datorată influenţei suprafeţelor libere de lichid se calculează cu relaţia:

(

d =GM

)

-n

r1 ix D

unde n = 4 este numărul tancurilor în care există suprafaţă liberă, iar ix =

l b3 este 12

momentul de inerţie al unei suprafeţe libere în raport cu o axă paralelă cu axa longitudinală de înclinare, ce trece prin centrul acestei suprafeţe dreptunghiulare. Prin urmare:

(

d =GM

)

1, 2 ×14 × 83 -4= 12 ×10000

-0, 287 m

Valoarea finală a înălţimii metacentrice este:

(

G1 M = GM + d GM

)

0,85 = m - 0, 287 m = 0,563 m

Problema 36 O navă are deplasamentul de 14000 t , KG = 11, 0 m , KM = 12, 0 m şi este înclinată cu 3° la tribord. Un tanc paralelipipedic cu dimensiunile l= 10 m , =b 5 m , =h 1 m şi centrul de greutate la 7 m în tribord faţă de PD este plin cu apă dulce. Care va fi înclinarea navei dacă jumătate din apa din tanc va trece într-un tanc simetric faţă de PD situat la babord.

164 _______________________________________________________________________________

Rezolvare: Masa de apă din tanc este: 2 P = r l =b h 1, 0 ×10 × 5 ×1 = 50 t

Jumătate din această masă se deplasează: - vertical cu distanţa: lz = -0,5 m - lateral cu distanţa: l y = 14 m . Deplasarea verticală a masei P va determina o modificare a înălţimii metacentrice cu valoarea:

(

d =GM

)

( )

25 × 0,5 -= 14000

P lz D

-d =KG =

-8,9 ×10-4 m

La acestea va trebui adăugată o corecţie negativă, datorată suprafeţelor libere de lichid egală cu:

(

d ' =GM

)

2ri -= x D

2 r l b3 -= 12 D

2 ×1, 0 ×10 × 53 -= 12 ×14000

-0, 0149 m

Valoarea finală a înălţimii metacentrice transversale este:

(

) (

G1 M = KM - KG - d GM + d' =GM

)

12, 0 - 11, 0 + 8,9 ×10 -4 - 0, = 0149

0,986 m

Înclinarea finală a navei se va calcula cu relaţia: j1

P l y 180 GM j= = G1M D G1 M p

3°

1 25 ×14 180 × = 1, 59° Tb 0,986 14000 × 0,986 p

Problema 37 O navă are deplasamentul de 16700 t , KG = 9, 4 m , KM = 10 m . Ea încarcă un lichid cu densitatea r1 = 0,9 t / m3 într-un tanc având dimensiunile l = 10 m , b = 18 m . Cota centrului de greutate a lichidului din tanc este Kg = 1, 0 m . Găsiţi valoarea finală a înălţimii metacentrice transversale considerând KM = const. Tancul are un perete longitudinal despărţitor situat la jumătatea lui b . Rezolvare: Masa de lichid ambarcată este: P = r1 l b=2 Kg

0, 9 × 10 ×18 × 2 ×1, 0 = 324 t

Pentru a determina cota centrului de greutate se poate lucra tabelar:

Masa

[t ]

16700

KG , Kg

Moment faţă de LB

[m]

[t × m ]

9,4

156980

165 _______________________________________________________________________________

Masa

Moment faţă de LB

KG , Kg

[t ]

[m]

[t × m ]

1

324

324 17024

157304

157304 = 9, 24 m 17024 În urma ambarcării masei P , înălţimea metacentrică transversală a crescut la KG1 =

valoarea: G1 M = KM - KG1 = 10, 0 - 9, 24 = 0, 76 m

Această valoare va trebui corectată de influenţa negativă a suprafeţelor libere de lichid:

(

d =G1 M

)

r i - = 1 x2 ( n + 1) D

r l b3 -= 1 2 12 ( n + 1) D

0, 9 × 10 ×183 -= 12 × 4 ×16700

-0, 065 m

Valoarea finală a înălţimii metacentrice este:

(

)

G1 M + d G1 M = 0, 76 - 0,065 = 0, 695 m .

Problema 38 O navă cu deplasamentul de 20000 t are KG = 11 m . Ea încarcă 500 t de apă dulce cu Kg = 1 m într-un tanc dublu fund care se întinde dintr-un bord în altul şi are l = 30 m . Semilăţimile suprafeţei libere a apei din tanc sunt date în tabelul de mai jos: Secţiunea

0

1

2

1 y [ m] 2

3,3

7,0

8,3

3

4

5

6

9,4 10,4 11,1 11,6

Să se stabilească înălţimea metacentrică a navei ştiind că cele 7 secţiuni sunt echidistante. Cota metacentrului transversal al navei la deplasamentul de 20500 t este 12 m . Rezolvare: Cota centrului de greutate al navei se determină tabelar: Masa

[t ]

20000

KG , Kg

Moment faţă de LB

[m]

[t × m ]

11

220000

166 _______________________________________________________________________________

Masa

Moment faţă de LB

KG , Kg

[t ]

500

[m]

[t × m ]

1

500

20500

220500 KG1 =

220500 = 10, 75 m 20500

Înălţimea metacentrică transversală va trebui corectată cu valoarea:

(

d =G1 M

)

-

r ix (D + P)

Întrucât suprafaţa liberă are o formă neregulată, calculul momentului de inerţie ix se execută tabelar: Sect. yi yi3 å int 0 1 2 3 4 5 6

3,3 7,0 8,3 9,4 10,4 11,1 11,6

ælö 2 ç6÷ ix = è ø å int 3 2

35,94 0 343 378,94 571,79 1293,73 830,58 2696,1 1124,86 4651,54 1367,63 7144,03 1560,89 10072,55

2 30 = 10072,55 16787, = 58 3 12

Prin urmare:

(

d =G1 M

)

1, 0 × 16787,58 -= 20500

-0,818 m

Valoarea finală a înălţimii metacentrice transversale este:

(

)

KM = KG1 + d G1M = 12 - 10, 75 - 0,818 = 0, 432 m

Problema 39 O navă are deplasamentul D = 2000 t . La bord există două tancuri în cele două borduri, simetrice faţă de PD , cu dimensiunile l = 6 m ; b = 4 m . Distanţa dintre centrele lor de greutate este y = 8 m . Tancurile conţin apă dulce şi au suprafaţă liberă de lichid. Să se calculeze variaţia înălţimii metacentrice a navei, ţinând cont de influenţa suprafeţelor libere de lichid. Calculul se va face în două ipostaze: a) tancurile comunică între ele;

167 _______________________________________________________________________________

b) tancurile nu comunică între ele. Rezolvare: a) Dacă tancurile comunică între ele, momentul de inerţie al suprafeţei plutirii se calculează ca şi când ar fi un singur tanc, în raport cu o axă care trece prin centrul de greutate comun. În cazul de faţă: ix =

l ( y + b) 12

3

-

l ( y - b)

3

=

12

l ( 3 y 2 b + b3 ) 6

6 ( 3=×82 × 4 + 43 ) 832 =m 4 6

iar înălţimea metacentrică se micşorează cu valoarea:

(

)

d GM =

r ix D

1 × 832 = 2000

= 416 m 0,

b) Dacă tancurile nu comunică între ele: ix = 2

l b3 12

2 × 6 × 43 = 12

64 = m4

şi înălţimea metacentrică transversală se micşorează cu valoarea:

(

)

d GM =

r ix 1× 64 = =0, 032 m . D 2000

168 _______________________________________________________________________________

CAPITOLUL IV. STABILITATEA NAVEI LA UNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE 29. CONSIDERAŢII GENERALE DESPRE STABILITATEA NAVEI LA UNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE În studiul stabilităţii iniţiale am considerat nava înclinată cu unghiuri mici. Principala ipoteză simplificatoare pe care am folosit-o a fost aceea că metacentrul transversal rămâne fix în raport cu nava, în timpul acestor înclinări. Aceasta înseamnă că, pentru diferite înclinări izocarene, momentele de inerţie ale suprafeţelor plutirilor în raport cu axa de înclinare rămân constante. S-au putut astfel deduce relaţii de calcul privind valoarea momentului de stabilitate precum şi răspunsul navei la acţiunea cauzelor externe, valabile în limitele j < 7°....10° . Pentru nave cu bord liber mic, relaţiile obţinute în capitolul anterior îşi pierd valabilitatea chiar şi pentru unghiuri mai mici. Când nava se înclină izocarenic la unghiuri mari, momentele de inerţie ale suprafeţelor plutirilor se modifică, razele metacentrice, de asemenea, şi, implicit, poziţia metacentrului transversal, care se va deplasa în spaţiu. Relaţiile pe care le vom descoperi în acest capitol vor fi utilizate pentru rezolvarea problemelor asociate cu înclinarea transversală, în absenţa înclinărilor longitudinale ( j ¹ 0 ; q = 0 ) . Adevărul este că, în timpul exploatării navei, la acţiunea unor cauze externe nava se înclină simultan în ambele plane, însă înclinările longitudinale sunt foarte mici în comparaţie cu cele transversale şi pot fi neglijate. Dintre cauzele externe care produc înclinări transversale mari în timpul exploatării navei amintim: acţiunea vântului dintr-un bord, static sau dinamic, tracţiunea cablului de remorcă, forţele care apar în timpul giraţiei etc. Aşa cum se observă în Fig. 80, la o înclinare transversală cu unghiul j , centrul de carenă se deplasează din B în Bj . Perpendicular pe suprafaţa liberă va acţiona forţa de împingere cu punctul de aplicaţie în Bj . Pe suportul acestei forţe, deasupra lui Bj , va fi situat metacentrul transversal M j . Distanţa Bj M j reprezintă raza metacentrică transversală, corespunzătoare plutirii înclinate cu unghiul j şi se calculează cu relaţia: Bj M j =

I xj V

= rj

(29.1)

169 _______________________________________________________________________________

Fig. 80

În relaţia (29.1) I xj este metacentrul de inerţie al suprafeţei plutirii în raport cu o axă paralelă cu axa x ce trece prin centrul acestei suprafeţe. Distanţa de la centrul de greutate al navei G la suportul forţei arhimedice determină mărimea momentului de stabilitate. Acest braţ se notează cu GZ şi poartă denumirea de braţul stabilităţii statice. Valoarea sa depinde de poziţia punctului Bj . 30. COORDONATELE CENTRULUI DE CARENĂ ŞI ALE METACENTRULUI TRANSVERSAL Vom considera o navă înclinată transversal cu unghiul j . În timpul

înclinării, centrul de carenă se deplasează din poziţia iniţială B ( 0, KB ) în poziţia

(

Bj y Bj , z Bj

) , iar metacentrul în poziţia

(

M j ymj , zmj

Fig. 81

) , Fig. 81.

170 _______________________________________________________________________________

Faţă de această poziţie nava se înclină izocarenic cu unghiul foarte mic dj , centrul de carenă ajungând în Bj' . Cum unghiul de înclinare este considerat foarte mic, se poate considera că metacentrul transversal rămâne în aceeaşi poziţie şi raza metacentrică transversală îşi păstrează valoarea: Bj M j = B 'j M j = rj

Deplasarea centrului de carenă se face după arcul elementar Bj Bj' şi Bj Bj' = rj dj (30.1) Componentele acestei deplasări pe cele două axe sunt: dy = rj cos j d j =; dz rj sin j d j (30.2) Coordonatele lui Bj se calculează cu relaţiile: j

j

ò

yBj = rj cos j d j ; zBj - KB = 0

òr

j

sin j d j

(30.3)

0

corespunzător, pentru coordonatele metacentrului transversal găsim: (30.4) ymj = yBj - rj sin j ; zm=j z Bj + rj cos j Dacă se pleacă de pe carenă dreaptă şi se roteşte nava transversal izocarenic, metacentrul va ocupa o succesiune de poziţii ale căror coordonate se determină cu formulele (30.4), descriind o curbă. Această curbă este locul geometric al centrelor de curbură ale curbei B şi se numeşte evolută metacentrică. 31. MOMENTUL DE STABILITATE ŞI BRAŢUL STABILITĂŢII PENTRU UNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE. STABILITATEA DE FORMĂ ŞI STABILITATEA DE GREUTATE Când o nava se înclină transversal cu un unghi j considerat în categoria unghiurilor mari, păstrându-şi volumul constant, centrul de greutate rămâne în poziţie fixă faţă de navă (dacă nu au loc deplasări de mase la bord). Odată cu modificarea formei carenei, centrul de carenă se deplasează spre bordul care intră în apă, ocupând poziţia Bj . Urmare a modificării suprafeţei plutirii, raza metacentrică rj îşi schimbă valoarea, iar metacentrul transversal ocupă poziţia M j de pe evoluta metacentrică. Direcţia Bj M j va fi perpendiculară pe suprafaţa

liberă a apei (Fig. 82). Momentul cuplului creat de cele două forţe egale în modul, forţa de greutate care acţionează în G şi forţa de împingere arhimedică ce acţionează în Bj se vor calcula cu expresia: (31.1) şi se numeşte moment de stabilitate sau moment de redresare. M sj = g D GZ=

g D lsj

171 _______________________________________________________________________________

Valoarea sa depinde de valoarea lui GZ care poartă denumirea de braţul stabilităţii statice sau braţul momentului de redresare.

Fig. 82 M este poziţia metacentrului transversal pe carenă dreaptă, iar N este intersecţia dintre suportul forţei arhimedice şi PD . Din Fig. 82 se observă că: GZ = GN sin j ( GM +=MN ) sin j (31.2)

Ca atare, relaţia (31.1) devine:

(

)

M sj = g D GM + MN sin j

g= D GM sin j + g D MN sin j (31.3)

Primul termen din relaţia (31.3) este momentul de stabilitate corespunzător unghiului de înclinare j după formula metacentrică a stabilităţii, adică presupunând metacentrul transversal un punct fix ( M º M j ) şi raza metacentrică constantă. Al doilea termen reprezintă o corecţie datorată modificării razei metacentrice: dM sj g =D MN sin j (31.4) şi, corespunzător, o corecţie a braţului de stabilitate: dlsj

MN=sin j

care poate fi negativă sau pozitivă, după cum M este situat deasupra lui N sau sub N . Mărimea dM sj se numeşte moment de stabilitate reziduă, iar dlsj poartă numele de braţul stabilităţii rezidue. Cu referire la Fig. 82, dacă în centrul de carenă iniţial B figurăm două forţe egale şi de sens contrar, perpendiculare pe suprafaţa plutirii, atunci

172 _______________________________________________________________________________

momentul de stabilitate este diferenţa dintre momentele a două cupluri, unul format de forţele r g V , având braţul BF şi altul format de forţele g D , având braţul BE . Se poate scrie: M sj = M f j - M g j (31.5) unde: (31.6) M f j = r g V BF se numeşte momentul stabilităţii de formă şi: (31.7) M g j = g D BE poartă denumirea de momentul stabilităţii de greutate.

Fig. 83

Dacă formele navei ar putea fi exprimate analitic, poziţiile punctelor Bj , N şi implicit braţul de stabilitate lsj vor putea fi exprimate analitic. Cum formele navei sunt date "discret" prin puncte, nu putem găsi o exprimare analitică a braţului stabilităţii statice, el fiind reprezentat grafic sau tabelar. Pentru a calcula braţul stabilităţii statice este necesară determinarea coordonatelor centrului de carenă [formulele (30.3)]. Din Fig. 83 găsim: GZ = EF = BP + PF - BE (31.8) Din triunghiul BPR rezultă: BP = BR cos j yBj cos =j (31.9) Din triunghiul Bj RQ rezultă:

173 _______________________________________________________________________________

QBj = PF

(z

RB=j sin j

Bj

)

(31.10)

-=KB sin j

Din triunghiul GEB rezultă: (31.11) Înlocuind ultimele relaţii în (31.8), obţinem: BE = BG sin j

GZ = =lsj

(

)

Revenind la (31.6) şi (31.7), vom observa că: BF = BP + PF BE = l g j

(31.12)

y Bj cos j + z Bj - KB sin j - BG sin j

(

)

(31.13)

= j + z Bj - KB sin j l f j= y Bj cos

(31.14)

= sin j BG

Distanţa BF = l f j se numeşte braţul stabilităţii de formă, iar BE = lgj poartă denumirea de braţul stabilităţii de greutate. Ţinând cont de (31.13) şi (31.14), momentele stabilităţii de formă şi de greutate se pot scrie: (31.15) M f j = r g V é y Bj cos j + ( z Bj - KB ) sin j ù ë û (31.16)

M g j = g D BG sin j

Observând că: KG = KM - GM şi

(31.17) după înlocuire în expresia braţului stabilităţii statice (31.12), obţinem: (31.18) lsj = GM sin j + y Bj cos j - ( KM - z Bj ) sin j BG = KG - KB

într-o altă formă. 32. ÎNĂLŢIMEA METACENTRICĂ GENERALIZATĂ Vom deriva expresia (31.12) a braţului stabilităţii statice lsj : dlsj dj

=

dyBj dj

cos j - y Bj sin j +

dzBj dj

(

)

sin j + z Bj - KB cos j - BG cos j

(32.1) Prin derivarea relaţiilor (30.3) ale coordonatelor centrului de carenă yBj şi zBj rezultă: dyBj dj

= rj cos j

;

dz Bj dj

= rj sin j

(32.2)

Substituind relaţiile (32.2) în (32.1), obţinem: dlsj dj

(

)

= rj - y Bj sin j + zBj - KB cos j - BG cos j

(32.3)

= j 0; cos = j 1, rj= BM= şi La limită, când nava este pe carenă dreaptă j 0; sin putem scrie:

174 _______________________________________________________________________________ æ dlsj ö = BM - BG = GM ç ÷ è d j øj=0

(32.4)

ceea ce înseamnă că derivata braţului stabilităţii statice în poziţia iniţială, dreaptă este egală cu înălţimea metacentrică transversală iniţială. Dacă analizăm dimensional formula (32.3), constatăm că derivata braţului stabilităţii statice este o lungime. Vom încerca, în continuare, să dăm o interpretare grafică relaţiile (32.3).

Fig. 84

Din Fig. 84 observăm că: rj = Bj M j yBj sin j = PR

(z

Bj

)

- KB cos j = QR

BG cos j = GE

Aşadar: dlsj dj

= Bj M j - PR + QR - GE

= MjZ

h=j .

(32.5)

33. STABILITATEA DINAMICĂ A NAVEI. BRAŢUL STABILITĂŢII DINAMICE Pe perioada exploatării unei nave, forţele perturbatoare care produc înclinare pot acţiona în două moduri: static sau dinamic. Când valoarea

175 _______________________________________________________________________________

momentului exterior creşte lent în intensitate de la zero până la valoarea maximă, nava înclinându-se cu o viteză unghiulară insesizabilă, avem de-a face cu o acţiune statică asupra navei. Astfel de situaţii apar atunci când nava intră în giraţie cu unghi mic de bandă la cârmă, când se transferă lichide dintr-un bord în altul, când vântul bătând dinspre litoral şi creşte lent intensitatea sau când pasagerii unui pachebot se adună într-un bord în timp îndelungat. În aceste cazuri, nava se înclină lent într-un bord stabilindu-se la unghiul pentru care momentul exterior este egal cu momentul de stabilitate. Reţinem condiţia de echilibru static: Me = Ms (33.1) Atunci când momentul exterior acţionează cu intensitatea maximă din primul moment, nava va căpăta o viteză unghiulară de rotaţie în timpul înclinării deci, o energie cinetică şi nu se va opri la unghiul pentru care momentul de stabilitate egalează momentul exterior, datorită inerţiei. Astfel de acţiuni asupra navei sunt de natură dinamică şi ca exemple amintim: nava intră în giraţie cu unghi mare de bandă la cârmă, vântul bate în rafale, ridicarea bruscă a unei sarcini în cârligul unei macarale sau scăparea ei, smucitura unui cablu de remorcă. Cu referire la Fig. 85, am reprezentat variaţiile cu unghiul de înclinare j ale momentului de stabilitate M sj şi momentului exterior de înclinare M e . Până în punctul A corespunzător unghiului j1 unde se produce egalitatea celor două momente, nava se roteşte accelerat deoarece M e > M sj . o

Ajungând în punctul A , nava are o viteză unghiulară j1 şi nu se va putea opri datorită inerţiei, mişcându-se în continuare decelerat deoarece M e < M sj . Unghiul de oprire este j2 , dar nava este în dezechilibru deoarece M sj > M e şi va începe să se rotească în sens invers, accelerat până în A şi decelerat după A . Procesul se repetă periodic şi după câteva oscilaţii în jurul punctului A amortizate de apă şi aer, nava se va stabiliza în punctul A pentru care M e = M sj .

Fig. 85

176 _______________________________________________________________________________

Unghiul j2 se mai notează cu jd şi se numeşte unghi de înclinare dinamică, adică unghiul maxim la care se înclină nava la acţiunea dinamică a unui moment exterior. Aşa cum am stabilit şi vom vedea în continuare, stabilitatea dinamică a navei implică mişcarea acesteia deci, iese din domeniul staticii însă, conform tradiţiei, se studiază la statica navei. Problema dinamică constă în a ne asigura că mişcările produse de acţiunea forţelor exterioare nu depăşesc anumite limite peste care unele greutăţi şi-ar părăsi poziţiile iniţiale de fixare şi ar provoca răsturnarea navei. Rotaţia transversală a navei la acţiunea dinamică a unui moment exterior, este descrisă de ecuaţia diferenţială: Jx

d 2j

(33.2)

= M e - M sj

dt 2

unde J x este momentul de inerţie masic al navei în raport cu axa de rotaţie. Mai departe putem scrie: d 2j dt 2

d æ dj ö = = =ç= ÷ dt è dt ø

o

dj dt

o

dj d j dt d j

o

dj j dj o

(33.3)

Ca atare, ecuaţia (33.2) devine: o

dj Jx j = M e - M sj dj o

(33.4)

Prin integrare între limitele j = 0 şi o poziţie intermediară j , rezultă: o2

j

j

j Jx = M e d j - M sj d j 2

ò

ò

0

(33.5)

0

Termenul din membrul stâng reprezintă energia cinetică a navei egală cu diferenţa dintre lucrul mecanic al momentului exterior şi lucrul mecanic al momentului de o

stabilitate. Nava se va opri la unghiul jd pentru care j = 0 şi deci: jd

òM

jd e

dj

0

òM

dj sj =

(33.6)

0

sau: (33.7) Numim stabilitate dinamică a navei, lucrul mecanic necesar pentru a o înclina după o direcţie oarecare, de la poziţia iniţială presupusă de echilibru stabil la o poziţie izocarenă, definită de înclinare j , fără viteză iniţială şi în mediu calm şi nerezistent. Deci, stabilitatea dinamică va fi: Le = Lsj

177 _______________________________________________________________________________ j

ò

(33.8)

Lsj = M sj d j 0

şi reprezintă aria de sub curba de stabilitate până la unghiul j (Fig. 86), pe care o numim rezervă de stabilitate dinamică pentru unghiul j . Stabilitatea dinamică, corespunzătoare unghiului de apus ja denumit şi unghi de răsturnare, este rezerva totală de stabilitate dinamică.

Fig. 86

Înlocuind în (33.8) expresia (31.1) a momentului de stabilitate, obţinem: j

ò

(33.9)

Lsj = g D lsj d j 0

Notăm: j

ò

(33.10)

ld j = ls j d j 0

şi îl numim braţul stabilităţii dinamice, ceea ce înseamnă că: Lsj = g D ld j (33.11) Pentru determinarea expresiei analitice a braţului stabilităţii dinamice se integrează lsj dat de relaţia (31.12). Aşadar: j

(

ò

)

ld j = é y Bj cos j + z Bj - KB sin j - BG sin jù d j ë û 0

sau: j

ld j =

òy 0

sau mai departe:

j

Bj

cos j d j +

ò(z 0

Bj

)

j

ò

- KB sin j d j - BG sin j d j 0

178 _______________________________________________________________________________ j

(

ò

)

j

ò

ld j = yBj sin j - sin j dyBj - z Bj - KB cos j + cos j dz Bj + BG ( cos j - 1) 0

0

Aşa cum ştim: dyBj = rj cos j ; dzBj = rj sin j

şi înlocuind în expresia anterioară, rezultă:

(

)

ld j = yBj sin j - z Bj - KB cos j + BG ( cos j - 1)

(33.12)

Analizând dimensional expresia braţului stabilităţii dinamice vom observa că se măsoară în metri. În continuare, vom da o interpretare geometrică acestei relaţii (Fig. 87), pentru un unghi de înclinare transversală j . Din această figură observăm că: yBj sin j = PR ; ( zBj - KB ) cos j = QR BG cos j = GE ; ZF = BG

Fig. 87

Introducând aceste segmente în relaţia (33.12). rezultă: ld j = Bj S

ceea ce înseamnă că braţul stabilităţii dinamice este egal cu deplasarea relativă pe direcţie verticală a centrului de carenă faţă de centrul de greutate. În finalul acestui paragraf, tragem concluzia că stabilitatea dinamică reprezintă lucrul mecanic pe care nava îl opune lucrului forţelor exterioare, cu alte cuvinte, nava se opune acestor forţe prin momentul de stabilitate. În consecinţă, a studia comportarea navei sub acţiunea forţelor care tind să o scoată din poziţia iniţială, presupusă, de echilibru stabil, înseamnă a considera un moment de înclinare şi reacţiunea opusă de navă prin momentul de stabilitate.

179 _______________________________________________________________________________

34. DIAGRAMELE DE STABILITATE STATICĂ ŞI DINAMICĂ. PROPRIETĂŢI Diagramele de stabilitate sunt curbele care reprezintă momentele sau braţele cuplului de stabilitate ale navei în funcţie de unghiul de înclinare. Ele pot fi reprezentate în coordonate polare şi în coordonate carteziene. Frecvent, în teoria navei se folosesc curbele în coordonate carteziene, care se obţin aşezând în abscise unghiurile de înclinare şi în ordonate braţul stabilităţii statice lsj sau momentul de stabilitate statică M sj respectiv, braţul stabilităţii dinamice ld j sau lucrul mecanic al momentului stabilităţii statice Lsj . În primul caz, se obţine diagrama stabilităţii statice, iar în al doilea caz, diagrama stabilităţii dinamice. Diagrama stabilităţii statice mai poartă numele şi de "diagrama Reed" după numele inginerului englez care a utilizat-o pentru rezolvarea unor probleme practice de stabilitatea navei. Întrucât braţele de stabilitate statică şi dinamică au aceeaşi unitate de măsură (respectiv se măsoară în metri), curbele lsj şi ld j pot fi reprezentate suprapus în acelaşi sistem de coordonate, punând în evidenţă şi legăturile matematice ce există între integrala unei funcţii şi funcţia respectivă, ţinând cont că braţul stabilităţii dinamice ld j este integrala curbei braţului stabilităţii statice lsj (Fig. 88).

Fig. 88

180 _______________________________________________________________________________

Astfel, unghiul jmax corespunzător punctului de maxim A de pe curba lsj este şi unghiul pentru care curba ld j are punct de inflexiune (punctul A ' ), iar unghiul de apus ja de pe diagrama stabilităţii statice este unghi de maxim pentru diagrama stabilităţii dinamice (punctul B ' ). Deoarece în origine lsj = 0 , atunci l 'd j = 0 ceea ce înseamnă că ld j pleacă din origine tangentă la axa j . j= 0 Aşa cum am arătat în §32, derivata braţului stabilităţii statice pentru un unghi j este egală cu înălţimea metacentrică generalizată, adică: dlsj dj

= tg a = hj

(34.1)

iar în origine: dlsj dj

= tg a 0 = GM

(34.2)

j= 0

Din punct de vedere trigonometric, înseamnă că funcţia tangentă a unghiului a format de tangenta în punctul C la curba lsj este egală cu înălţimea metacentrică, generalizată hj şi, asemănător, funcţia tangentă a unghiului a 0 este egală cu înălţimea metacentrică transversală iniţială GM . Altfel spus: DE AB şi tg a0 = CE OB segmentele CE şi OB egale cu 1 radian tg a =

Adoptând

(Fig. 89) va rezulta:

şi GM = AB În consecinţă, cu ajutorul diagramei stabilităţii statice se poate determina înălţimea metacentrică, iniţială printr-o construcţie foarte simplă. Se măsoară pe axa j segmentul OB = 1 rad= 57,3° . Se ridică în punctul B o verticală care se intersectează în punctul A cu tangenta la curba lsj în origine. La scara lui lsj hj = DE

segmentul AB va fi egal cu GM . După un algoritm asemănător se determină segmentul DE = hj . Această proprietate este foarte importantă, pe de-o parte, pentru verificarea calculelor şi, pe de altă, parte pentru verificarea trasării diagramei de stabilitate statică.

181 _______________________________________________________________________________

Fig. 89

O variantă a curbei de stabilitate statică care poate exista în timpul exploatării navei este prezentată în Fig. 90. Aceasta este o situaţie de stabilitate iniţială, negativă deci, de echilibru instabil. Orice moment exterior va deplasa nava în punctul A rămânând "canarisită" cu unghiul j0 .

Fig. 90

În altă ordine de idei, la marea majoritate a diagramelor de stabilitate statică a navelor de suprafaţă există o zonă liniară în limitele 0 £ j £ 7°...10° , ceea ce înseamnă că tangenta în origine se confundă cu curba lsj pe această zonă. Corespunzător, braţul stabilităţii statice se va calcula cu formula: lsj = GM sin j (34.3) Revenind la formula braţului stabilităţii statice:

(

)

lsj = yBj cos j + zBj - KB sin j - BG sin j

vom observa că atunci când nava se înclină la babord avem:

182 _______________________________________________________________________________ yB ( -j )

-=y B ( j ) ; zB ( -j )

z=B ( j )

şi ţinând cont de paritatea funcţiei cos j şi imparitatea funcţiei sin j , rezultă o continuare impară a funcţiei lsj în zona negativă a axei j , adică: ls ( -j ) =-ls ( j ) (34.4) În consecinţă, graficul lsj are o continuare simetrică faţă de origine când j < 0 cu punct de inflexiune în O (Fig. 91).

Fig. 91

Asemănător, se demonstrează că braţul stabilităţii dinamice este o funcţie pară, adică: (34.5) ld ( -j ) l=d ( j ) ceea ce înseamnă că graficul ld j are o continuare simetrică faţă de axa ordonatelor atunci când j < 0 (Fig. 92).

Fig. 92

183 _______________________________________________________________________________

Derivata braţului stabilităţii dinamice în raport cu unghiul de înclinare este egală cu braţul stabilităţii statice: ls j =

dld j

(34.6)

dj

de aceea, pe diagrama stabilităţii dinamice construită la scară, se poate realiza o construcţie grafică pentru determinarea braţului stabilităţii statice (Fig. 93). O navă înclinată cu unghiul j se găseşte în punctul A de pe diagrama stabilităţii dinamice. Pentru a găsi braţul stabilităţii statice la acest unghi se măsoară din punctul A , 57,3° (1 rad ) paralel cu axa j (segmentul AB ), se ridică în B o perpendiculară care se intersectează cu tangenta în punctul A la curba ld j în punctul C . La scara ordonatei lsj = BC . Acest algoritm are la bază următoarele relaţii matematice: dld j dj

= tg b

BC = AB

BC = 1

BC=

(34.7)

Fig. 93

Comparând relaţiile (34.6) şi (34.7), rezultă: lsj = BC (34.8) În finalul acestui paragraf, facem precizarea că pentru o navă de suprafaţă neavariată, Registrul Naval Român prevede ca jmax ³ 30° şi ja ³ 60° . 35. COMPORTAREA NAVEI SUB ACŢIUNEA FORŢELOR EXTERNE Să presupunem că am reprezentat la aceeaşi scară şi pe aceeaşi diagramă curba momentului de stabilitate M sj şi curba momentului exterior de înclinare M e care este o funcţie de unghiul de înclinare j (Fig. 94). Din motive lesne de înţeles, am trasat cele două curbe de aceeaşi parte a axei j , deşi M e are sens

184 _______________________________________________________________________________

contrar lui M sj . Aşa vom proceda şi în §36 când vom soluţiona cu ajutorul diagramelor de stabilitate problemele practice care apar în timpul exploatării navei. Însumând algebric cele două momente se obţine momentul de stabilitate reziduă: M r = M sj + M e (35.1) a cărui variaţie este prezentată în Fig. 94 b. În punctele A şi B de intersecţie ale celor două curbe, momentul de stabilitate reziduă este nul şi poziţiile respective sunt de echilibru. Mai precis, poziţia înclinată cu unghiul js este o poziţie de echilibru stabil pentru că, pe de-o parte, panta în punctul A ' la curba de stabilitate reziduă este pozitivă, iar, pe de altă parte, odată adusă nava în punctul A , fără viteză, ea rămâne şi revine în această poziţie, chiar dacă nava capătă înclinări elementare într-un sens sau altul. Aplicând acelaşi tip de raţionament, se demonstrează că în punctul B nava este în echilibru nestabil, panta în punctul B ' la curba de stabilitate reziduă fiind negativă. Plecând însă din poziţia iniţială, în care viteza unghiulară de rotaţie este nulă, nava se va înclina căpătând viteza unghiulară astfel încât, la un moment dat, energia cinetică va fi egală cu diferenţa dintre lucrul mecanic al momentului exterior şi lucrul mecanic al momentului de stabilitate. Acest rezultat este cunoscut în Mecanică sub numele de teorema de variaţie a energiei cinetice. Pentru înclinarea j , energia cinetică de rotaţie a navei este egală cu aria ODEF . În consecinţă, nava va ajunge în punctul A corespunzător poziţiei de echilibru stabil, va avea energie cinetică egală cu aria ODA , o va depăşi şi se va opri când energia se va anula, respectiv lucrul mecanic al momentului de stabilitate egalează lucrul mecanic al momentului exterior. Aceasta se poate întâmpla pentru un unghi jd < jB pentru care: jd

òM 0

jd e

dj

òM

dj sj =

(35.1)

0

ceea ce înseamnă că aria ODA = aria AGH (Fig. 94 a) sau aria închisă de curba de stabilitate reziduă (Fig. 94 b) trebuie să fie nulă adică aria OD ' A ' = aria A' G ' H ' .

185 _______________________________________________________________________________

Fig. 94

Unghiul jd la care se realizează această egalitate se numeşte unghi de echilibru dinamic. Poziţia înclinată cu jd nu este o poziţie de echilibru static întrucât nava se află sub acţiunea unui moment de stabilitate reziduă M r > 0 şi se va redresa neputându-se opri în punctul A , datorită acumulării de energie cinetică. Teoretic, mişcarea oscilatorie în jurul punctului A ar continua nelimitat în timp, însă energia cinetică este consumată de rezistenţa mediului, care se opune mişcării, oricare ar fi sensul ei şi mişcarea se va amortiza treptat, nava oprindu-se, în cele din urmă, în această poziţie. Dacă însă unghiul de înclinare dinamic nu respectă condiţia jd £ jB , atunci nava se va răsturna iremediabil sub acţiunea momentului exterior de înclinare. 36. PROBLEME PRACTICE CARE APAR ÎN TIMPUL EXPLOATĂRII NAVEI ŞI CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL DIAGRAMEI DE STABILITATE În timpul exploatării navei apar diverse probleme care pot fi rezolvate cu ajutorul diagramelor de stabilitate statică şi dinamică. Se consideră o navă a cărei diagramă a stabilităţii statice este cunoscută. Nava este supusă unui moment

186 _______________________________________________________________________________

exterior de înclinare M e a cărui valoare nu depinde de unghiul de înclinare (Fig.95).

Fig. 95

Se aşează pe ordonată la scara momentului de stabilitate valoarea momentului exterior şi se construieşte o orizontală care reprezintă variaţia M e ( j ) . Punctul A de intersecţie al celor două momente este punctul de echilibru static, cu alte cuvinte, dacă acţiunea externă este statică, nava se stabilizează în punctul A , iar unghiul corespunzător acestei poziţii este unghiul static de înclinare js . Când diagrama stabilităţii statice este prezentată sub forma variaţiei braţului stabilităţii statice lsj (Fig. 96), aceeaşi problemă se rezolvă aşezând pe ordonată lungimea

Me gD

şi ducând o orizontală până ce intersectează curba lsj în

punctul A . Corespunzător acestui punct, citim pe abscisă unghiul static de înclinare js . Aşa cum am arătat în §35, pentru ca o navă să se încline cu unghiul js şi să rămână în acea poziţie, trebuie ca momentul exterior să aibă o creştere foarte lentă în intensitate.

187 _______________________________________________________________________________ Fig. 96

În contrast, o acţiune dinamică se caracterizează prin faptul că momentul exterior este aplicat cu intensitate maximă din primul moment sau după o lege de variaţie care-i asigură atingerea valorii maxime într-un timp foarte scurt. În această situaţie, nava se înclină cu viteză unghiulară, căpătând energie cinetică. Viteza unghiulară la un moment dat se calculează cu relaţia: j j ù 2 é ê = M e d j - M sj d j ú Jx ê ú 0 ë0 û

o2

ò

j

ò

(36.1) o

Relaţia (36.1) arată că rotaţia navei continuă atâta timp cât j > 0 şi se va opri când o

j = 0 , respectându-se condiţia: jd

òM

jd

òM

dj

e

0

(36.2)

dj sj =

0

jd

Unghiul pentru care lucrul mecanic al momentului exterior

òM

e

dj

este egal cu

0

jd

òM

lucrul mecanic al momentului de stabilitate

sj

dj

este unghiul dinamic de

0

înclinare jd . Dacă M e este constant, putem scrie: jd

M e jd

ò M = dj

(36.3)

sj

0

Situaţia este ilustrată în Fig. 97. Membrul drept al relaţiei (36.3) M e jd jd

este egal cu aria OBDE , iar membrul drept

òM

sj

dj

este egal cu aria OACDE .

0

Observând că aria OADE este comună, rezultă că nava se va opri atunci când: aria OBA = aria ACD . Din figură observăm că întotdeauna jd > j s . Dacă nava se înclină dinamic în limita unghiurilor mici de înclinare, am arătat că putem accepta o variaţie liniară a momentului de stabilitate de forma: M sj = g D GM j =k j (36.4) unde k este coeficientul de stabilitate. În consecinţă, relaţia (36.3) devine: jd

M e jd=

ò 0

de unde:

jd =

2 Me k

k j dj =

k j2d 2

(36.5) (36.6)

188 _______________________________________________________________________________

Fig. 97

Când un moment exterior de aceeaşi mărime acţionează static, unghiul static de înclinare se determină din condiţia: M sj = M e sau k js = M e (36.7) de unde: js =

Me k

(36.8)

comparând relaţiile (36.8) şi (36.6), se observă că atunci când momentul de stabilitate are o variaţie liniară, iar momentul de înclinare este constant, atunci: jd = 2 js (36.9) Cu ajutorul diagramei stabilităţii statice se poate determina valoarea maximă a momentului exterior, dinamic pe care nava poate să-l suporte fără să se răstoarne (Fig. 98). Valoarea limită a acestui moment exterior M l se obţine din condiţia ca: aria OBA = aria ADC . În acest caz, nava se va opri în punctul C , în poziţia de echilibru instabil, înclinată cu jd . Orice moment exterior suplimentar va răsturna nava.

189 _______________________________________________________________________________

Fig. 98

Putem face în continuare următoarea discuţie: M e < M l - nava se va stabiliza la înclinarea js după efectuarea câtorva oscilaţii amortizate; M e > M l - nava se răstoarnă sub acţiunea momentului exterior dinamic de înclinare. Considerăm că nava este înclinată cu unghiul j0 sub acţiunea momentului exterior M e0 , aflându-se în punctul A de pe diagrama stabilităţii statice. O astfel de situaţie poate apărea în timpul exploatării navei atunci când se fac transferuri de greutăţi la bord sau când nava este supusă acţiunii vântului. Suplimentar, acţionează momentul exterior M e1 (Fig. 99) static sau dinamic. Diagrama stabilităţii statice pentru nava înclinată cu unghiul j0 îşi are originea în punctul A . Dacă M e1 acţionează static, atunci nava ajunge în punctul B de pe diagrama stabilităţii statice corespunzător unghiului static de înclinare js . Când M e1 acţionează dinamic, unghiul de înclinare dinamică se determină din condiţia: aria ACB = aria BDE

190 _______________________________________________________________________________

Fig. 99

În aceeaşi situaţie, momentul limită de înclinare dinamică M l1 se determină din condiţia (Fig. 100): aria ACB = aria BDE

şi este mai mic decât momentul limită dinamic pe care poate să-l suporte nava dacă ar fi pe carenă dreaptă, întrucât rezerva de stabilitate dinamică este mai mică.

Fig. 100

Dacă nava este înclinată la babord deci M e0 acţionează în bordul opus, problema calculării unghiurilor de înclinare statică şi dinamică, la acţiunea momentului exterior M e1 în sens opus lui M e0 , se rezolvă măsurând M e1 având ca referinţă M e0 (Fig. 101). Dacă M e1 acţionează static, nava se înclină ajungând în punctul C înclinată cu unghiul js . Unghiul jd se determină din condiţia: aria ABC = aria CDEF .

191 _______________________________________________________________________________

Fig. 101

Problemele legate de determinarea unghiului de înclinare dinamică se rezolvă destul de greu utilizând diagrama stabilităţii statice, datorită planimetrării dificile a suprafeţelor despre care am vorbit. Mult mai uşor şi mai precis, în acelaşi timp, se rezolvă aceste probleme utilizând diagrama stabilităţii dinamice. Presupunând momentul exterior de înclinare constant M e = const. , lucrul mecanic al momentului exterior de înclinare se scrie: j

ò

Le = M e d j

(36.10)

M=e j

0

Fig. 102

adică o dreaptă care trece prin origine cu panta egală cu M e . Pentru a reprezenta această dreaptă se măsoară din origine pe axa j 1 rad = 57,3° , (Fig. 102) şi pe perpendiculara dusă în punctul A segmentul AB = M e . Unind originea sistemului de axe O cu B , se obţine dreapta ce reprezintă variaţia Le ( j ) .

192 _______________________________________________________________________________

Se consideră o navă a cărei diagramă a stabilităţii dinamice este cunoscută (Fig. 103) şi este supusă acţiunii dinamice a unui moment exterior constant M e . Condiţia de echilibru dinamic, aşa cum am arătat, este: Lsj = Le (36.11)

Fig. 103

Suprapunând graficele celor două mărimi construite la aceeaşi scară, unghiul de înclinare dinamică va fi unghiul corespunzător punctului A de intersecţie a celor două grafice (Fig. 103). Dacă un moment M e de aceeaşi valoare acţionează static, unghiul static de înclinare js se determină din condiţia: M sj = M e

Pe de altă parte: M sj =

dLsj dj

dL dj

; M e = =e

tg a

Condiţia de echilibru static se rescrie: dLsj dj

= tg a

(36.12)

ceea ce înseamnă că pe curba Lsj trebuie determinate punctele în care tangentele la curba Lsj sunt paralele cu dreapta Le . Acestea sunt punctele B şi C şi corespunzător unghiurile js1 şi js 2 , prima poziţie fiind de echilibru stabil, iar a doua de echilibru instabil. Tot utilizând diagrama stabilităţii dinamice, se poate determina valoarea maximă a momentului exterior dinamic (momentul limită) pe care poate să-l suporte nava fără să se răstoarne. Această construcţie este prezentă în Fig. 104. Din originea sistemului de coordonate se construieşte tangenta la curba Lsj . Punctul de tangenţă este A , unde se realizează echilibrul dinamic ce corespunde unghiului dinamic de înclinare jd .

193 _______________________________________________________________________________

Fig. 104

Segmentul corespunzător unghiului de 1 radian măsurat de la tangentă la axa j reprezintă la scară momentul limită căutat. Orice dreaptă situată deasupra acestei tangente va reprezenta lucrul mecanic al unui moment exterior şi nu va intersecta curba lucrului mecanic al momentului de stabilitate Lsj . Aceasta înseamnă că nu se realizează condiţia de stabilitate dinamică şi nava se va răsturna.

Fig. 105

Când nava este înclinată iniţial cu unghiul js poziţia de pe diagrama stabilităţii dinamice este punctul A . Dacă în sensul înclinării acţionează dinamic un moment exterior M e1 , modul de determinare al unghiului dinamic de înclinare jd este reprezentat în Fig. 105. Tot aici găsim şi modul de determinare a momentului limită pe care îl suportă nava în această situaţie. Facem totuşi

194 _______________________________________________________________________________

precizarea că M e0 corespunde tangentei în punctul A la curba Lsj , iar M l corespunde tangentei duse din punctul A la curba Lsj . Dacă nava are o înclinare iniţială într-un bord, atunci determinarea momentului limită pe care poate să-l suporte nava fără a fi răsturnată în bordul celălalt, este arătată în Fig. 106.

Fig. 106

În timpul exploatării navei apare deseori situaţia când valurile mării agitate şi vântul în rafale acţionează simultan asupra navei. Acţiunea valurilor se manifestă prin mişcările oscilatorii pe care le execută nava. Un astfel de studiu este extrem de complex datorită neliniarităţii ecuaţiilor care sunt conţinute în modelul matematic, precum şi datorită calculului dificil al coeficienţilor hidrodinamici care apar. De aceea, se utilizează o metodă mult mai simplă, dar şi mult mai relativă, prevăzută de Registrul Naval Român şi denumită ”Criteriul de vânt ". Se presupune că momentul de înclinare dat de vânt se aplică dinamic şi rămâne constant pe timpul înclinării. Se numeşte suprafaţă velică aria proiecţiilor pe planul diametral al suprafeţelor situate deasupra liniei de plutire a navei în poziţie dreaptă. Braţul velic este înălţimea la care se află centrul velic (centrul de greutate al suprafeţei velice) deasupra liniei de plutire (Fig. 107). Forţa dată de vânt este egală cu produsul dintre presiunea vântului ( pv ) şi aria suprafeţei velice Av . Valorile presiunii de calcul a vântului se iau conform prescripţiilor R.N.R., în funcţie de zona de navigaţie şi de braţul velic. Momentul dinamic dat de vânt este egal cu produsul dintre forţa vântului şi valoarea braţului velic: M v = pv Av Z v (36.13) Dacă vântul ar acţiona static şi momentul provocat de acesta ar fi de aceeaşi natură şi se va calcula cu relaţia:

195 _______________________________________________________________________________ dö æ M vs = pv Av ç Z v + ÷ 2ø è

(36.14)

deoarece pe suprafaţa imersă a bordului opus acţiunii vântului va apărea o forţă hidrodinamică egală şi de sens contrar lui Fv , care se opune derivei. Punctul de acţiune al acestei forţe este situat la jumătatea pescajului. Prevederile R.N.R. indică faptul că presiunea de calcul a vântului este maximă pentru navele cu zonă de navigaţie nelimitată, deci acestea trebuie să aibă cea mai mare rezervă de stabilitate dinamică. Cele mai uşoare condiţii hidro-meteorologice se aleg pentru navele costiere care se pot retrage în timp scurt la adăpost, într-un port.

Fig. 107

Situaţia cea mai defavorabilă este când nava execută o mişcare de ruliu natural, a atins amplitudinea jr , calculată conform prescripţiilor R.N.R. şi se găseşte în bordul din vânt. R.N.R., la capitolul "Stabilitate", prevede că stabilitatea navelor se consideră eficientă după criteriul de vânt k , dacă momentul de înclinare produs de acţiunea vântului M v , aplicat dinamic, este egal sau mai mic decât momentul limită (momentul de răsturnare), adică dacă sunt îndeplinite condiţiile: M v £ Ml (36.15) sau: k=

Ml ³ 1, 00 Mv

(36.16)

Pentru a verifica această condiţie se procedează ca în Fig. 108. Se prelungeşte diagrama stabilităţii dinamice în zona negativă a unghiurilor de înclinare şi se măsoară jr , stabilindu-se punctul A de pe diagramă care corespunde navei înclinate la babord cu unghiul jr . Din punctul A se măsoară paralel cu axa j segmentul AC = 1 radian , iar pe verticala dusă în punctul C se aşează la scară segmentul CD egal cu momentul dat de vânt. Segmentul AD reprezintă variaţia lucrului mecanic al momentului dat de vânt care se intersectează cu lucrul

196 _______________________________________________________________________________

mecanic al momentului de stabilitate în punctul B . Abscisa acestui punct determină unghiul de înclinare dinamică jd .

Fig. 108

Pentru a determina momentul limită (momentul de răsturnare) pe care poate să-l suporte nava, se construieşte din punctul A tangenta AF la curba Lsj şi se măsoară segmentul CE egal cu momentul limită (Fig. 108). Odată obţinute valorile acestor momente, se verifică dacă sunt îndeplinite normele (36.15) sau (36.16) ale Registrului Naval Român. 37. MODIFICAREA DIAGRAMEI DE STABILITATE STATICĂ LA DEPLASAREA ŞI AMBARCAREA DE GREUTĂŢI LA BORDUL NAVEI Deplasarea de greutăţi implică modificarea poziţiei centrului de greutate al navei. Se consideră la bord o masă P < 0,1 D care se deplasează din punctul A ( x, y , z ) în B ( x, y1 , z1 ) , adică o deplasare în plan transversal. Ca o consecinţă, centrul de greutate al navei se va deplasa pe direcţiile axelor y şi z cu valorile: dyG

( )

P P =( y1 - y ) ; d KG = ( z1 - z ) D D

(37.1)

Braţul stabilităţii statice corespunzător unghiului de înclinare transversală j se reduce de la valoarea lsj = GZ la valoarea l1sj = G1Z1 , aşa cum se observă în Fig.109. Reducerea valorii acestui braţ de stabilitate se calculează cu relaţia: d ( lsj ) = G1Z1 - GZ =- ( GP + PQ ) (37.2)

197 _______________________________________________________________________________

Fig. 109

Din Fig. 109 observăm că:

( )

GP = d KG sin j ; PQ = dyG cos j

(37.3)

ceea ce înseamnă că relaţia (37.2) se poate rescrie:

( )

d lsj

( )

=- éd KG sin j + dyG cos jù ë û

P - =éë( z1 - z ) sin j + ( y1 - y ) cos j ùû D

(37.4) Plecând de la relaţia (37.4) se poate particulariza pentru deplasări singulare ale masei P , pe direcţiile axelor y şi z . Astfel, dacă deplasarea se face numai pe direcţie verticală dyG = 0 , rezultă: P -= ( z1 - z ) sin j (37.5) D şi pentru poziţia iniţială ( j 0=) dlsj = 0 . Când deplasarea are loc numai pe direcţie dlsj

orizontală, d ( KG ) = 0 şi:

P -= ( y1 - y ) cos j D Pentru poziţia iniţială ( j = 0 ) , rezultă: dlsj

dlsj

P -= ( y1 - y ) D

(37.6)

(37.7)

Să presupunem în continuare că la bordul navei se ambarcă o masă P ( xF , 0, z p ) , deci în planul diametral, respectându-se condiţia P < 0,1 D . Dacă acceptăm că în zona plutirii bordurile navei sunt verticale, atunci la variaţia pescajului, forma şi aria plutirii nu se modifică şi putem scrie:

198 _______________________________________________________________________________

( BM ) = ( BM ) D +D P

(37.8)

1

şi, de asemenea, noile coordonate ale centrului de carenă corespunzător unghiului j de înclinare se vor calcula cu relaţiile: D y Bj (37.9) D+P D zB1j - KB1 = z Bj - KB D+P yB1j =

(

)

(37.10)

Substituind aceste relaţii în expresia braţului stabilităţii de formă, obţinem: D lfj D+P

l f1j =

(37.11)

ceea ce înseamnă o variaţie a braţului stabilităţii de formă: dl=f j

l f1j - l=f j

-

P lfj D+ P

(37.12)

Ţinând cont că: BG = KG - KB

(37.13)

rezultă:

( ) d ( KG ) - d (=KB )

d =BG

-

P æ dd ö + BG - z p ÷ çd + D+P è 2 ø

(37.14)

unde dd reprezintă variaţia pescajului mediu datorită ambarcării masei P şi se calculează cu relaţia: dd =

P r AWL

.

Ca atare, braţul stabilităţii de greutate se va modifica cu valoarea: dl g j

P æ dd ö - = + BG - z p ÷ sin j çd + D+P è 2 ø

(37.15)

Atunci când masa P nu este ambarcată în P.D. , ci într-un punct situat la distanţa y p de acesta, va trebui să mai introducem o corecţie dl y datorată deplasării centrului de greutate înspre bordul în care s-a efectuat ambarcarea. dl y

-

P y=p cos j D+P

(37.16)

În concluzie, variaţia braţului stabilităţii statice datorită ambarcării masei P este suma a trei termeni: dl=sj dl f j - dl g j + dl y (37.17) sau în urma substituirilor: dlsj

P = D+P

éæ dd ù ö êç d + 2 - z p ÷ sin j - lsj - y p cos j ú ø ëè û

(37.18)

Debarcarea de mase va fi tratată ca o ambarcare a unei mase negative. 38. CONSTRUCŢIA ŞI UTILIZAREA DIAGRAMEI DE PANTOCARENE

199 _______________________________________________________________________________

Din §31 se cunoaşte expresia braţului stabilităţii statice pentru unghiurile de înclinare: lsj = yBj cos j + ( z Bj - KB ) sin j - BG sin j = l f j - l g j (38.1) În relaţia (38.1) l f j reprezintă braţul stabilităţii de formă şi lg j este braţul stabilităţii de greutate. Scriind: BG = KG - KB (38.2) şi introducând în (38.1) obţinem: lsj = yBj cos j + zBj sin j - KG sin j l f '=j - l g ' j (38.3) unde l f ' j şi lg ' j sunt tot braţele stabilităţii de formă, respectiv de greutate, dar scrise în altă manieră. Cele două braţe ale stabilităţii de formă se pot vedea în Fig.110.

Fig. 110

În timpul exploatării, nava se găseşte în diferite situaţii de încărcare situate între deplasamentul navei goale şi deplasamentul de plină încărcare. Braţul stabilităţii de formă depinde atât de deplasamentul navei, cât şi de formele acesteia. Întrucât este extrem de laborios să se determine prin calcul braţul stabilităţii de formă l f ' j , pentru toate situaţiile de încărcare, în faza de proiectare se vor construi diagramele de forma l f ' j = f (V , j ) denumite şi diagramele de pantocarene. Procedura de realizare a lor este următoarea. Se stabilesc limitele de variaţie ale volumului carenei care sunt, pe de o parte, volumul corespunzător deplasamentului gol V0 şi volumului corespunzător deplasamentului de plină încărcare Vp , ca limită superioară, pe de altă parte. Se divide acest interval, alegându-se câteva valori ale volumului carenei V1 , V2 , ... V p -1 egal distanţate între ele, adică:

200 _______________________________________________________________________________ Vi - Vi -1

const = . i 1, 2,=... p .

Corespunzătoare fiecărui volum, V0 , V1 , ... V p , din diagramele de carene drepte se scot pescajele d0 , d1 , ... , d p . Pentru fiecare din aceste pescaje se calculează braţele stabilităţii de formă l f ' j pentru j în limitele de la 0° la 90° , din 10° în 10° . Unind punctele ce reprezintă braţele stabilităţii de formă pentru diferitele volume de carenă, dar acelaşi unghi de înclinare, se obţin diagramele de pantocarene (Fig. 111).

Fig. 111

Modul de lucru cu diagrama de pantocarene este următorul. Într-o anumită situaţie de exploatare a navei se doreşte trasarea diagramei de stabilitate statică. Pentru aceasta se măsoară d pv şi d pp la scările de pescaj şi, intrând cu aceste valori în "diagrama de asietă", rezultă V care se măsoară pe abscisa diagramei de pantocarene. Ridicând o perpendiculară în punctul corespunzător lui V şi intersectând cu curbele l f ' j pentru j = const. , se obţin braţele stabilităţii de formă l f '10° , l f '20° ... l f '90° . Cunoscând distribuţia de mase la bord, pentru situaţia

respectivă de încărcare se calculează braţele stabilităţii statice cu relaţia: lsj = l f ' j - KG sin j (38.4) Cunoscând braţele lsj , se trasează diagrama de stabilitate statică şi diagrama de stabilitate dinamică ld j , putându-se rezolva probleme practice care apar (vezi §36). În unele cazuri, diagramele de pantocarene sunt prezentate în forma l f ( j , V ) , adică se prezintă braţele stabilităţii de formă, calculate în raport cu centrul de carenă corespunzător volumului V . În astfel de situaţii, procedura de

201 _______________________________________________________________________________

calcul a lui lsj este puţin mai greoaie, în sensul că necesită determinarea suplimentară a cotei centrului de carenă KB din diagrama de carene drepte. Să derivăm în continuare, în raport cu volumul, expresia braţului stabilităţii de formă: (38.5) l f j = y Bj cos j + ( z Bj - KB ) sin j dl f j dV

dy Bj

=

cos j +

dV

(

d z Bj - KB dV

) sin j

(38.6)

Pentru calculul derivatelor care apar în formula (38.6) se utilizează relaţiile: y Bj =

1 V

j

òI

xj

cos j d j

0

1 V

zBj - KB =

j

òI

xj

sin j d j

0

unde, cu I xj am notat momentul de inerţie al suprafeţei plutirii înclinată cu unghiul j , în raport cu axa de înclinare. Derivând în raport cu volumul carenei, obţinem: j

dyBj dV

V =

dI xj

ò dV

j

ò

cos j d j - I xj cos j d j

0

0

V2

sau: j ù 1 é ê = rT cos j d j - y Bj ú (38.7) dV V ê ú ë0 û Aşa cum ştim din §22, prin rT am notat raza metacentrică diferenţială,

dyBj

ò

transversală care se calculează cu formula (22.11). Asemănător: j

(

d z Bj - KB dj

sau:

(

d z Bj - KB dj

dI xj

V ) = ò dV

j

ò

sin j d j - I xj sin j d j

0

0

V2

) = 1 éê j r sin j d j - z - KB ùú ( Bj ) ú T V êò 0 ë

(38.8)

û

În §22 am arătat că raza metacentrică diferenţială reprezintă raza de curbură a curbei centrelor de plutire, aşa cum raza metacentrică transversală Bj M j era raza de curbură a curbei centrelor de carenă. Prin analogie, putem scrie: j

ò

yF j = rT cos j d j 0

(38.9)

202 _______________________________________________________________________________ j

zF j - d =

òj

T

(38.10)

sin j d j

0

Introducem (38.9) în (38.7) şi (38.10) în (38.8) şi rezultă: dyBj dV

şi:

=

1 y F j - y Bj V

(

(

d z Bj - KB

)=1 é z V ë

dV

)

(

Fj

(38.11)

) (

)

- z Bj - d - KB ù û

(38.12)

Mai departe, introducem (38.11) şi (38.12) în (38.6) şi obţinem: dl f j dV

=

1 V

{( y

Fj

)

(

) (

)

}

- yBj cos j + é z F j - d - zBj - KB ù sin j ë û

(38.13) Ţinând cont de forma generală a braţului stabilităţii de formă (38.5), putem scrie prin analogie:

(

)

(38.14) şi reprezintă distanţa măsurată pe direcţia plutirii înclinate cu unghiul j , dintre centrul acestei plutiri şi centrul plutirii iniţiale (Fig. 112). Ţinând cont de (38.14) şi (38.5), relaţia (38.13) devine: lF

dl f j dV

y F=j cos j + z F j - d sin j

=

1 lF j - l f j V

(

)

(38.15)

Fig. 112

203 _______________________________________________________________________________

Fig. 113

Această relaţie capătă o semnificaţie geometrică utilizând diagrama de pantocarene (Fig. 113). Pentru un volum de carenă dat V şi un unghi j vom obţine punctul A . În punctul A construim tangenta la curba l f j şi măsurăm pe abscisă un segment AC egal la scară cu V . tg b

BC = AC

1 =BC V

Prin urmare: BC = l F j - l f j

.

39. EFECTUL MODIFICĂRII DIMENSIUNILOR PRINCIPALE ALE NAVEI ASUPRA STABILITĂŢII Considerăm că nava suferă modificări în limite mici ale dimensiunilor principale L , B , D , fără ca formele navei să fie afectate, ceea ce înseamnă că nava îşi păstrează valorile iniţiale ale coeficienţilor de fineţe şi ale rapoartelor

d şi D

KG . Presupunem, de asemenea, că atunci când una din dimensiuni se modifică D

celelalte rămân constante. A studia efectul dimensiunilor principale asupra stabilităţii navei înseamnă a studia efectul asupra a două elemente: înălţimea metacentrică transversală, iniţială şi braţul stabilităţii la unghiuri mari de înclinare. Aspectul matematic Vom porni de la expresia (18.5) a înălţimii metacentrice transversale iniţiale:

204 _______________________________________________________________________________ GM = BM + KB - KG

pe care o diferenţiem şi găsim:

(

d GM

)

(

)

(

)

(

)

¶ GM ¶ GM ¶ GM = dL + dB + dd ¶L ¶B ¶d

(39.1)

Prelucrând informaţiile legate de centrul de greutate al navei, centrul de carenă şi raza metacentrică transversală, prezentate în capitolele II şi III, putem scrie relaţiile: BM = a1

B2 d

; KB = a 2 d ; KG = a3 d

(39.2)

de unde se observă independenţa acestor mărimi în raport cu lungimea navei L . Rezultă:

(

¶ GM ¶L

Asemănător:

(

¶ GM ¶B

)=0

(39.3)

) = ¶ ( BM ) + ¶ ( KB ) - ¶ ( KG ) ¶B

¶B

(39.4)

¶B

Din relaţiile (39.2), derivând parţial în raport cu lăţimea navei, obţinem:

(

¶ BM ¶B

) = 2a

( )

1

( )

¶ KG B ¶ KB ; = 0 ; = 0 d ¶B ¶B

(39.5)

şi, prin înlocuire în (39.4), rezultă:

(

¶ GM ¶B

Asemănător:

(

¶ GM ¶d

) = 2a

1

B 2 BM = d B

(39.6)

) = ¶ ( BM ) + ¶ ( KB ) - ¶ ( KG ) ¶d

¶d

(39.7)

¶d

Folosim, de asemenea, relaţiile (39.2) şi le derivăm parţial în raport cu pescajul d :

(

¶ BM ¶d

) = -a =B 1

d

2 2

-

( )

( )

BM ¶ KB KB ¶ KG KG ; = a2 = ; = a3 = ¶d ¶d d d d

(39.8) Substituind relaţiile (39.8) în (39.7), găsim:

(

¶ GM ¶d

) = - BM + KB - KG d

d

d

(39.9)

În final, pentru diferenţiala înălţimii metacentrice transversale obţinem relaţia:

(

d GM

)

GM æ dB dd ö = dd + 2 BM ç - ÷ d d ø è B

(39.10)

)

dd dB GM - 2 BM + 2 BM d B

(39.11)

sau într-o altă formă:

(

d GM =

(

)

205 _______________________________________________________________________________

Particularizări a) Modificarea lăţimii navei ( dB ¹ 0; dd = 0 )

Fig. 114

Creşterea lăţimii navei conduce la suplimentarea flotabilităţii cu volumele w1 şi w2 situate în borduri (Fig. 114), care va fi compensată de creşterea greutăţii navei, astfel încât pescajul să rămână constant ( dd = 0 ) . În acest caz, relaţia (39.11) se poate scrie:

(

d GM

)

2=BM

dB >0 B

(39.12)

adică, creşterea lăţimii navei determină creşterea înălţimii metacentrice transversale. Atunci când lăţimea navei scade, lucrurile se petrec evident invers. b) Modificarea înălţimii de construcţie a navei ( dD ¹ 0; dB = 0 ) . În acest caz, relaţia (39.11) se scrie:

(

d GM

)

dd = GM - 2 BM d

(

)

(39.13)

Creşterii înălţimii de construcţie D i se asociază o creştere a pescajului d ( dd > 0 ) şi în consecinţă:

(

)

d GM < 0

(39.14)

adică, creşterea înălţimii de construcţie determină scăderea înălţimii metacentrice transversale. Ne propunem, în continuare, să studiem influenţa modificării dimensiunilor principale ale navei asupra braţului stabilităţii statice şi, implicit, asupra caracteristicilor diagramei de stabilitate statică. Expresia diferenţialei braţului de stabilitate statică este:

206 _______________________________________________________________________________ ¶lsj ¶lsj ¶lsj = dL + dB + dD ¶L ¶B ¶D

dlsj

(39.15)

Vom observa, pentru început, că expresia (31.12) a lui lsj se poate scrie în forma:

(

)

(39.16)

lsj = yBj cos j + z Bj - KG sin j

Să calculăm în continuare derivatele parţiale

¶lsj ¶lsj ¶lsj , , . ¶L ¶B ¶D

Ţinând cont că yBj , z Bj , KG şi j care apar în relaţia (39.16) nu depind de L , putem scrie: ¶lsj ¶L

(39.17)

=0

În continuare, să derivăm parţial în raport cu B expresia (39.16) a lui lsj : ¶lsj ¶B

=

¶yBj ¶B

o

cos j- yBj sin j

(

)

¶j ¶ z Bj - KG ¶j + sin j + z Bj - KG cos j ¶B ¶B ¶B

(

)

(39.18) Este lesne de observat că zBj şi KG nu depind de lăţimea navei B , deci:

(

¶ z Bj - KG ¶B

) =0

(39.19)

De asemenea, raportul dintre variaţiile ¶yBj şi ¶B este egal cu raportul dintre cele două mărimi, adică: ¶ y Bj ¶B

=

y Bj B

(39.20)

Cu referire la Fig. 115, observăm că: tg j =

h b

Fig. 115

Prin diferenţiere, obţinem:

207 _______________________________________________________________________________ dj

db = -h =2 cos j b 2

- tg j

db b

Pe de altă parte: db dB = b B

ceea ce înseamnă că: dj 2

cos j

= - tg j

dB B

sau: ¶j sin j cos j =¶B B

(39.21)

Înlocuind (39.21), (39.20) şi (39.19) în expresia derivatei braţului stabilităţii statice în raport cu lăţimea (39.18) găsim: ¶lsj

y Bj

=

¶B

B

cos j + yBj

(

sau într-o altă formă: ¶lsj

y Bj

=

¶B

B

)

sin 2 j cos j z Bj - KG sin j cos 2 j B B

(

)

cos j 1 + sin 2 j -

(z

Bj

- KG B

) sin j cos

2

j

(39.22)

(39.23)

Să calculăm derivata parţială a lui lsj în raport cu D :

(

)

¶ z Bj - KG sin j + Bj ¶D ¶D ¶D (39.24) ¶j + z - KG cos j Bj ¶D Cum ordonata centrului de carenă yBj nu depinde de înălţimea de construcţie D , ¶lsj

=

¶y Bj

cos j - y

sin j

¶j + ¶D

)

(

putem scrie: ¶ y Bj ¶D

(39.25)

=0

Odată cu modificarea lui D se modifică şi zBj şi KG astfel încât: z Bj - KG D

=

(

¶ zBj - KG

)

¶D

Pentru a calcula derivata parţială tg j =

(39.26) ¶j revenim la formula: ¶D

h b

şi prin diferenţiere păstrând b = const. găsim (Fig. 116): dj 2

cos j

=

dh dh = tg j b h

(39.27)

Cum toate dimensiunile pe direcţie verticală variază proporţional:

208 _______________________________________________________________________________ dh dD = h D

ceea ce înseamnă că relaţia (39.27) devine: dj 2

cos j

= tg j

dD D

sau mai departe: ¶j sin j cos j = ¶D D

(39.28)

Înlocuind toate derivatele parţiale în relaţia (39.24), avem: ¶lsj

= - y Bj

¶D

(39.29) sau într-o altă formă: ¶lsj

= - y Bj

¶D

(

)

(

)

sin 2 j cos j zBj - KG cos 2 j sin j + sin j + zBj - KG D D D

(

)

sin 2 j cos j z Bj - KG + sin j 1 + cos 2 j D D

(

)

(39.30)

Revenim acum la expresia (39.15) a diferenţialei braţului de stabilitate statică şi, după înlocuirea derivatelor parţiale (39.17), (39.23) şi (39.30), se obţine: dB cos j é yBj 1 + sin 2 j - z Bj - KG sin j cos j ù ë û B dD sin j é y Bj sin j cos j - z Bj - KG 1 + cos 2 j ù ë û D

(

dlsj=

) ( (

)

)(

(39.31)

)

Căutăm în continuare să dăm o formă cât mai convenabilă expresiei (39.31). Pentru aceasta rescriem braţele stabilităţii statice şi dinamice în forma: (39.32) lsj = yBj cos j + ( zBj - KG ) sin j

(

)

(39.33)

ld j = yBj sin j + z Bj - KG cos j - BG

Ecuaţiile (39.32) şi (39.33) alcătuiesc un sistem care, rezolvat în raport cu necunoscutele yBj şi ( zBj - KG ) , conduce la soluţiile:

(

)

yBj = l sj cos j + ld j + BG sin j zBj - KG

(

(39.34)

)

lsj=sin j - ld j + BG cos j

(39.35)

Substituind (39.34) şi (39.35) în (39.31), rezultă: dB dlsj = élsj cos j + 2 ld j + BG sin jù cos j + ë û B

(

)

dD + élsj sin j - 2 ld j + BG cos jù sin j ë û D

(

)

(39.36)

În condiţiile modificării simultane a lăţimii şi înălţimii de construcţie ( dB ¹ 0 ; d ¹ 0 ) braţul stabilităţii statice se modifică corespunzător: ls ( j1=) lsj + dlsj (39.37) şi va corespunde unghiului de înclinare transversală:

209 _______________________________________________________________________________ j= j + dj . 1

(39.38) Diferenţiala totală a unghiului j este: dj

¶j ¶j ¶j = dL + dB + dD ¶L ¶B ¶D

(39.39)

Fig. 116

Ţinând cont de relaţiile (39.21) şi (39.28) precum şi de faptul că dj

æ dD dB ö sin=j cos j ç ÷ Bø è D

¶j = 0 , rezultă: ¶L

(39.40)

Aspectul fizic În Fig.117 sunt prezentate secţiunile maestre a trei nave care diferă între ele prin valoarea lăţimii B . În condiţiile păstrării aceluiaşi pescaj şi a mărimii lăţimii, va exista un supliment de flotabilitate reprezentat prin volumele w1 şi w2 .

Fig. 117

210 _______________________________________________________________________________

Dacă B1 este poziţia centrului de carenă pentru nava înclinată în sens transversal, prin mărirea lăţimii şi păstrarea unghiului de înclinare acesta va ajunge în B2 , deplasarea orizontală fiind egală cu c . Valoarea deplasării orizontale a centrului de carenă se calculează cu formula: c=

w2 b - w1 a V + w1 + w2

(39.41)

Ca urmare, braţul stabilităţii statice se va mări cu cantitatea c ca urmare a creşterii lăţimii navei. Concomitent, dacă suntem riguroşi, se modifică şi poziţia centrului de greutate al navei datorită unor greutăţi adiţionale şi acest lucru va afecta, de asemenea, stabilitatea transversală. S-a dovedit practic că acest efect este neglijabil.

Fig. 118

În consecinţă, la creşterea lăţimii navei creşte înălţimea metacentrică şi implicit, braţele stabilităţii la unghiuri mici de înclinare. Panta în origine a curbei lsj se va mări; de asemenea, unghiul la care puntea intră în apă se micşorează şi, ca urmare, maximul de pe curba lsj se deplasează spre unghiuri mai mici, având şi o valoare mai mare. În Fig.118 sunt prezentate cele trei variante ale curbei de stabilitate statică.

211 _______________________________________________________________________________

Fig. 119

În Fig. 119 sunt prezentate secţiunile maestre a trei nave care diferă între ele prin valoarea înălţimii de construcţie D . Mărimea înălţimii de construcţie D şi implicit a bordului liber F conduc la creşterea deplasamentului navei şi la mărirea cotei centrului de greutate. Centrul de carenă se deplasează pe direcţia orizontală cu valoarea: c=

w2 b - w1 a V + w1 + w2

(39.42)

Fig. 120

Când D creşte, înălţimea metacentrică se micşorează, pe de o parte, datorită creşterii volumului carenei, deci KM scade şi, pe de altă parte, datorită faptului că KG creşte. Unghiul de intrare al punţii în apă se măreşte, ceea ce înseamnă că maximul curbei lsj se deplasează spre unghiuri mai mari. În ceea ce priveşte braţul stabilităţii statice lsj efectul este de descreştere până la unghiul de intrare în apă a punţii iniţiale, urmat de o creştere peste acest unghi, datorită faptului că efectul pozitiv al deplasării centrului de carenă este mai mare decât efectul negativ al ridicării centrului de greutate. În Fig.120 sunt prezentate cele trei variante ale curbei de stabilitate statică. 40. CALCULUL PRACTIC AL STABILITĂŢII LA UNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE UTILIZÂND METODA IZOCARENELOR Pentru a calcula braţul stabilităţii statice la unghiuri mari de înclinare cu formula (31.12), este necesară determinarea razei metacentrice transversale rj , la diferite înclinări de la 0° la 90° . Literatura în domeniu prezintă un număr relativ

212 _______________________________________________________________________________

mare de metode de calcul a stabilităţii la unghiuri mari de înclinare. În continuare, vom prezenta una din aceste metode, "metoda izocarenelor" în două variante. Această metodă presupune folosirea în primă fază a unei plutiri ajutătoare, urmată de determinarea distanţei dintre plutirea ajutătoare şi plutirea izocarenă, trasarea plutirii izocarene şi efectuarea calculelor. Varianta I Potrivit acestei variante, în plan transversal toate plutirile ajutătoare trec prin punctul de intersecţie al plutirii iniţiale WL cu urma planului diametral. În Fig.121 sunt prezentate plutirile auxiliare W1 ' L1 ' , W2 ' L2 ' . Trebuie remarcat că oricare două plutiri consecutive sunt înclinate una faţă de cealaltă cu unghiul Dj care se adoptă în funcţie de tipul de navă şi de precizia dorită între 3° şi 15° .

Fig. 121

După trasarea plutirii ajutătoare, se calculează volumele ongleţilor, imers

( v1 ) şi emers ( v2 ) . În general, aceste volume nu sunt egale, plutirea reală

izocarenă putând fi situată deasupra sau sub plutirea ajutătoare, paralelă cu aceasta la distanţa e care se calculează cu relaţia: e=

v1 - v2 AWL

(40.1)

Atunci când plutirea este înclinată cu unghiul elementar dj , ceilalţi parametri ai plutirii, d şi q , rămânând constanţi, volumul carenei îşi schimbă valoarea cu cantitatea: dV = AWL y F d j M x =d j (40.2) Rezultă că atunci când plutirea este înclinată transversal cu unghiul j variaţia volumului carenei va fi: j

v1 - v2

ò M= 0

x

dj

(40.3)

213 _______________________________________________________________________________

În relaţiile de mai sus, M x este momentul static al plutirii înclinate în raport cu axa de rotaţie, iar yF este distanţa de la centrul plutirii la această axă. Momentul static M x se mai poate exprima cu relaţia: 1 2

Mx =

L 2

ò (a

2

)

- b 2 dx

(40.4)

L 2

iar aria plutirii cu formula: L 2

ò ( a + b) dx

AWL =

(40.5)

L 2

În consecinţă, putem scrie: L j 2

ò ò (a e=

1 2

2

)

- b 2 dx d j

0 -L 2

(40.6)

L 2

ò ( a + b ) dx -

L 2

Pentru a evalua integralele care apar în relaţia (40.6) se va folosi o metodă numerică de integrare. Deoarece lucrul cu transversalul planului de forme este laborios datorită numărului mare de cuple, se va adopta metoda de integrare Cebâşev. Folosirea acestei metode duce la o precizie bună a rezultatelor folosind un număr mai redus de secţiuni de integrare; recomandabil între 7 şi 10 (vezi §9). Aplicând formula (9.18) pentru calculul integralelor care apar la numărătorul şi numitorul relaţiei (40.6) rezultă: j

ò å(a - b ) dj 1 e= 2 å ( a + b) 2

0

2

(40.7)

Se poate dezvolta un calcul tabelar pentru aflarea lui e , considerând şapte (7) secţiuni Cebâşev de integrare. Pentru fiecare plutire ajutătoare se va întocmi un tabel de forma următoare:

214 _______________________________________________________________________________ Plutirea W 'i L 'i

Tabelul. 7

Cupla Cebâºev

a

b

a2

b2

3

a3

b3

a32

b32

a0

b0

a02

b02

a '3

b '3

a '32

b '32

2 1 0 1' 2' 3'

å Cu valorile

å(a

å ( a + b) å ( a + b)

å(a

şi

2

2

- b2

)

)

- b 2 calculate pentru fiecare plutire

ajutătoare se intră în tab. 8 şi se calculează e . Cu referire la tabelul 8, precizăm că am acceptat Dj 10 = °. Tabelul. 8 j 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

å(

a 2 - b2 2 0

) å

int

3 0

1 2

j

ò å( a

2

)

- b2 d j =

0

4 0

(3) Dj 2 2

å( a + b) 5 0

e=

(4) (5)

6 0

Dacă e > 0 , volumul ongletului imers este mai mare decât volumul ongletului emers ( v1 > v2 ) şi plutirea izocarenă va fi situată sub plutirea ajutătoare, iar dacă e < 0 volumul ongletului imers este mai mic decât volumul ongletului ( v1 < v2 ) şi plutirea izocarenă va fi situată deasupra plutirii ajutătoare. În

215 _______________________________________________________________________________

continuare, vom calcula razele metacentrice transversale pentru fiecare plutire izocarenă. Pentru aceasta, este necesară măsurarea ordonatelor a şi b pe plutirile reale. Punctele faţă de care se măsoară aceste ordonate Ei , sunt picioarele perpendiculare duse din punctul A pe plutirea reală Wi Li (Fig.122).

Fig. 122

Măsurând aceste ordonate, putem calcula momentele de inerţie ale plutirilor I xi în raport cu axele longitudinale care trec prin Ei , cu formula: L 2

Ix =

ò(

)

1 a3 + b3 dx 3L

(40.8)

2

Momentul de inerţie al plutirilor în raport cu axele longitudinale care trec prin centrele de greutate ale plutirilor Fi se calculează utilizând formula: I xF = I x - AWL yF2 (40.9) Corespunzător, razele metacentrice transversale se calculează cu relaţia: r=

I xF V

(4.10)

iar aria plutirii, utilizând relaţia: L 2

AWL =

ò ( a + b) dx

(40.11)

L 2

Aplicând metoda Cebâşev de integrare numerică, integralele de mai sus se calculează cu formulele: Ix = AWL

DL 3

å(a + b ) = DL å ( a + b ) 3

3

(40.12) (40.13)

216 _______________________________________________________________________________ 1 yF = 2

å(a - b ) å ( a + b) 2

2

(40.14)

Aceste calcule pot fi efectuate tabelar pentru fiecare plutire înclinată, fiind necesar un tabel de tipul următor. Tabelul .9 Cupla Cebâºev

a

b

a2

b2

a3

b3

3

a3

b3

a32

b32

a33

b33

a0

b0

a02

b02

a03

b03

a '3

b '3

a '32

b '32

a '33

b '33

2 1 0 1' 2' 3'

å

å ( a + b)

å(a

2

- b2

)

å(a

3

+ b3

)

Varianta a-II-a În cazul celei de-a doua variante a metodei izocarenelor, fiecare plutire ajutătoare se trasează prin centrul plutirii reale precedente. Se pleacă de la plutirea iniţială WL şi prin centrul său F se trasează plutirea ajutătoare W1' L1' înclinată cu unghiul Dj (Fig.123).

Fig. 123

217 _______________________________________________________________________________

Pe această plutire se măsoară ordonatele a şi b , iar mai apoi se calculează momentul static faţă de axa longitudinală de înclinare Fx , distanţa e1 până la plutirea reală W1L1 şi poziţia centrului plutirii F1 . Ulterior, se construieşte plutirea ajutătoare W2' L'2 înclinată cu unghiul Dj faţă de W1L1 şi algoritmul se repetă de câteva ori pentru a obţine valorile rj . În contrast cu varianta I, această a doua variantă este mult simplificată pentru că necesită un număr mai redus de calcule. Calculul mărimilor ei+1 se face după fiecare rotire a plutirii utilizând relaţia: 1 AWLi

ei +1

ji +1

ò M=

x

(40.15)

dj

ji

unde: ji +1 - j= Dj i

Aplicând metoda trapezelor pentru calculul integralei din formula (40.15), rezultă: ji+1

òM

x

Dj M x=i + M xi+1 2

(

dj

ji

)

(40.16)

În aceste condiţii, pentru e1 putem scrie: e1

Dj M=x0 + M x1 2 AWL1

(

)

(40.17)

Cum plutirea iniţială este simetrică faţă de axa de înclinare şi centrul plutirii F este situat pe această axă, M x0 = 0 . Prin înlocuire în (40.17), obţinem: e1 =

Dj M x1 2 AWL1

(40.18)

Aici M x1 este momentul static al plutirii ajutătoare W1' L1' în raport cu axa de înclinare în timp ce ordonata lui F1 se calculează cu formula: yF1 =

M x1 AWL1

(40.19)

Se poate rescrie relaţia (40.18) în forma: e= 1

y F1 2

Dj

(40.20)

ceea ce ne sugerează o metodă grafică de construcţie a plutirii reale W1L1 , ca în Fig.124, folosindu-se faptul că pentru unghiuri mici tg ( Dj) @ Dj . Prin F1 se construieşte plutirea ajutătoare W2' L'2 şi algoritmul se repetă.

218 _______________________________________________________________________________

Fig. 124

Această metodă grafo-analitică poartă numele de "metoda KrâlovDargnier" şi este cea mai des utilizată pentru calculul razelor metacentrice rj . Din acest considerat, vom prezenta în continuare detaliat, etapele care trebuie parcurse pentru aplicarea ei. Precizăm că, pentru uşurinţă, se aplică metoda Cebâşev cu un număr de secţiuni între 7 şi 12. a) Construcţia transversalului de lucru b) Construcţia plutirilor izocarene înclinate şi calculul razelor metacentrice rj

c) Calculul mărimilor caracteristice ale stabilităţii d) Trasarea diagramelor de stabilitate statică şi dinamică. a) Construcţia transversalului de lucru Pentru poziţionarea cuplelor Cebâşev în orizontalul planului de forme, se utilizează coeficienţii care se găsesc în capitolul "Calculul practic de carene drepte. Metode numerice". Spre exemplu, dacă se lucrează cu 7 secţiuni de integrare, cupla 0 Cebâşev este situată la jumătatea lungimii plutirii. Faţă de această cuplă, considerată ca origine, se măsoară abscisele celorlalte 6 cuple Cebâşev. Valorile acestor abscise se determină cu formulele: LWL (40.21) 2 unde ki Î {±0,3239, ±0,5297, ±0,8839} . xi = ki

Forma cuplelor Cebâşev se extrage din orizontalul planului de forme, iar înălţimea cuplei şi forma liniei punţii din longitudinalul planului de forme; Se vor folosi tipuri diferite de linii pentru cuplele din prova în comparaţie cu cele din pupa; Atunci când cuplele sunt situate în dreptul unor suprastructuri etanşe la mare (teugă, dunetă, rufuri), se vor figura şi acestea.

219 _______________________________________________________________________________

b) Construcţia plutirilor izocarene înclinate şi calculul razelor metacentrice rj

Fig. 125

Algoritmul de lucru pentru trasarea plutirilor reale pornind de la plutirile ajutătoare a fost prezentat anterior plecând de la plutirea dreaptă WL ( j =0° ) . În continuare, vom sistematiza aceste etape considerând cazul general. Cu referire la Fig. 125 considerăm trasată plutirea reală Wi -1Li -1 poziţia centrului acestei plutiri Fi -1 . Se vor parcurge următorii paşi (Fig. 125): - Se construieşte prin Fi -1 plutirea ajutătoare Wi' L'i înclinată cu unghiul Dj faţă de plutirea reală Wi -1Li -1 . Unghiul Dj se adoptă în funcţie de tipul de navă şi de precizia de calcul dorită între 3° şi 15° . - Se extrag ordonatele cuplelor Cebâşev măsurate pe plutirea ajutătoare de la Fi -1 ; înspre Tb (notate cu a ) şi înspre Bb (notate cu b ). - Se întocmeşte următorul tabel: Tabelul 10 Cupla Cebâşev

a

b

a2

b2

a3

b3

3 2 1 0 1' 2' 3'

å

å ( a + b)

å(a

2

- b2

)

å(a

3

+ b3

)

220 _______________________________________________________________________________

- Pe baza acestui tabel se fac următoarele calcule:

å ( a - b ) ; Dj[radiani] å ( a + b) 1 å(a - b ) = (40.23) 2 å ( a + b) DL = (40.24) (a + b) n å 2

Dj 2

ei =

2

2

yFi

2

c

AWLi

unde DLc

(40.22)

LWL =; n numărul = de cuple Cebâşev, care în acest exemplu este egal cu n

7; I xi = ri =

DLc 3

å(a

3

I xi

)

+ b3 - yFi 2 AWLi

(40.25)

(40.26)

V e relativ mici,

Datorită valorilor calculul se efectuează cu ordonatele a şi b extrase pe plutirea ajutătoare, considerând că diferenţele faţă de plutirea reală sunt suficient de mici. c) Calculul mărimilor caracteristice ale stabilităţii Parcurgând etapa precedentă, s-au determinat razele metacentrice rj pentru diferite unghiuri de înclinare transversală. Cunoscând aceste raze se vor putea calcula: - coordonatele centrului de carenă, cu formulele descoperite în §30: j

ò

yBj = rj cos j d j 0

j

zBj - KB =

ò r sin j d j j

0

- coordonatele metacentrului transversal (§30): ymj = yBj - rj sin j zmj = z Bj + rj cos j

- braţul stabilităţii de formă şi momentul stabilităţii de formă (§31):

(

)

l f j = y Bj cos j + zBj - KB sin j M f j = r gV lf j

- braţul stabilităţii statice şi momentul de stabilitate (§31): lsj = l f j - BG sin j

M s j = g D ls j

221 _______________________________________________________________________________

- braţul stabilităţii dinamice şi lucrul mecanic al momentului de stabilitate (§33): j

ò

ld j = l sj d j 0

Lsj = g D ld j

Întrucât funcţia rj este dată prin puncte, pentru calculul integralelor se va folosi o metodă numerică de integrare, spre exemplu metoda trapezelor. Calculele pot fi sistematizate în următorul tabel. Tabelul. 11 j

rj

sin j

cos j

1

2

3

4

-

-

-

-

rj sin j 5

11

rj cos j

6

( 2) × ( 3 )

0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

ymj

å int å ( 5)

å int

7

( 2) × ( 4 )

å ( 7)

0

zmj - KB 12

lfj 13

å

(9 ) - ( 5 ) (10 ) + ( 7 ) (9 ) × ( 4 ) + (10 ) × ( 3 ) (13 ) - BG × ( 3

zBj - KB

9

10

Dj (8) 2

Dj (6) 2

0

Continuare Tabelul. 11 ls j int ld j 14

y Bj

8

15

å (14 ) 0

16 Dj (15 2

M sj

Lsj

j

17

18

19

gD × (14

gD × (16 )

-

0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

222 _______________________________________________________________________________

d) Trasarea diagramelor de stabilitate statică şi dinamică Odată efectuate calculele din tabelul 11, se vor trasa diagramele de stabilitate statică şi dinamică (Fig. 126 şi Fig. 127).

Fig. 126

Fig. 127

Pe diagrama stabilităţii statice (Fig. 126) se vor pune în evidenţă unghiul de maxim jmax , unghiul de apus ja precum şi valoarea maximă a braţului stabilităţii statice ls max . Valorile acestor mărimi se vor compara cu valorile minime impuse de societatea de clasificare. 41. NORMAREA STABILITĂŢII. CONCEPTUL GLOBAL DE SIGURANŢĂ A NAVEI Aşa cum am arătat în §18, pentru evaluarea stabilităţii iniţiale a unei nave este necesară cunoaşterea înălţimii metacentrice transversale GM . Dacă admitem că braţul stabilităţii transversale are forma unei sinusoide, adică lsj = GM sin j , atunci şi stabilitatea la unghiuri mari de înclinare poate fi evaluată pornind de la valoarea lui GM . Pentru navele cu bord liber mare, aceasta este o măsură de siguranţă, întrucât se subevaluează stabilitatea. Pentru navele cu bord liber mic, procedând ca mai sus, stabilitatea va fi supraevaluată, ceea ce practic este inacceptabil. Ca urmare, diagrama stabilităţii statice peste care suprapunem variaţia momentului exterior de înclinare, ne poate oferi date importante pentru a aprecia comportarea navei din punct de vedere al stabilităţii la acţiunea forţelor şi momentelor externe perturbatoare (Fig. 128).

223 _______________________________________________________________________________

Fig. 128

Elementele caracteristice ale acestor curbe sunt următoarele: (a) Unghiul la care nava se înclină sub acţiunea statică a momentului exterior de înclinare (punctul A din Fig. 128) (b) Unghiul limită la care se realizează condiţia de echilibru static (punctul B din Fig.128) (c) Valoare maximă a momentului exterior de înclinare comparativ cu valoarea maximă a momentului de stabilitate. Unghiul static de înclinare transversală corespunzător punctului A , din figura de mai jos, este important din două puncte de vedere: primul, pentru că afectează viaţa personalului de la bord şi condiţiile de operare ale navei şi, al doilea, este legat de faptul că acest unghi trebuie comparat cu cel la care se inundă puntea şi care ar avea ca efect ambarcarea de apă pe punte deci, compromiterea stabilităţii. Stabilirea criteriilor de stabilitate pentru navele comerciale a fost şi reprezintă în continuare un proces laborios, datorită varietăţii formelor geometrice ale navelor, condiţiilor de încărcare şi, nu în ultimul rând, datorită tendinţei abandonării progresive a formelor convenţionale şi a deschiderii spre tipologii şi sisteme noi de transport. Criteriile de stabilitate au în vedere atât stabilitatea statică a unei nave, cât şi cea dinamică. Recomandările Organizaţiei Maritime Internaţionale (I.M.O.) privitoare la stabilitatea navelor cargo şi pasagere cu lungimea mai mică de 100m pot fi rezumate după cum urmează: (a) aria cuprinsă sub braţul stabilităţii statice până la j 30 = ° nu trebuie să fie mai mică decât 0,055m × radiani ; (b) aria cuprinsă sub braţul stabilităţii statice până la j 40 = ° nu trebuie să fie mai mică decât 0,09m × radiani ;

224 _______________________________________________________________________________

(c) aria cuprinsă sub braţul stabilităţii statice de la j 30 = ° până la j 40 =° nu trebuie să fie mai mică decât 0,03m × radiani ; (d) braţul stabilităţii statice trebuie să aibă o valoare minimă de 0,2 m la j 30 =°; (e) valoarea maximă a braţului de stabilitate statică trebuie să apară la un unghi mai mare decât 30° ( jmax > 30° ) ; (f) valoarea înălţimii metacentrice transversale GM trebuie să aibă o valoare minimă de 0,15 m (0,35 m pentru navele de pescuit). Suplimentar, pentru navele de pasageri trebuie respectate condiţiile: (a) unghiul de înclinare la adunarea pasagerilor într-un singur bord în timp mai îndelungat, nu trebuie să fie mai mare de 10° ; (b) unghiul de înclinare la acţiunea statică a momentului exterior dat de relaţia: v2 æ dö D ç KG - ÷ L è 2ø mare de 10° ; unde v

M e = 0, 02

(41.1)

nu trebuie să fie mai este viteza navei. Formula (41.1) este formula momentului exterior produs de giraţia navei. Registrul Naval Român (R.N.R.) în partea A-IV- Stabilitate prevede: (a) braţul maxim al diagramei de stabilitate statică al navelor cu L £ 80m trebuie să fie de cel puţin 0,25 m, iar la navele cu L ³ 105m de cel puţin 0,2 m, la unghiul de înclinare jmax ³ 30° . Pentru lungimi intermediare, mărimea braţului maxim al diagramei de stabilitate se determină prin interpolare liniară. Limita stabilităţii statice pozitive (apunerea diagramei) trebuie să fie la cel puţin 60° . Dacă diagrama are două maxime, ca urmare a influenţei suprastructurilor sau a rufurilor, trebuie ca primul maxim, pornind de la poziţia dreaptă a navei să aibă loc la o înclinare de cel puţin 25° ; (b) înălţimea metacentrică iniţială, corectată, în toate variantele de încărcare, cu excepţia navelor cu lungime mai mică de 20 m, navelor pentru cherestea, navelor de pescuit, navelor cu încărcare-descărcare pe orizontală şi portcontainere pentru variantele de încărcare cu containere, nu trebuie să fie mai mică de 0,15 m. Ca o condiţie suplimentară de stabilitate, pentru navele de pasageri se prevede: (a) stabilitatea iniţială a navelor trebuie să fie astfel încât în cazul aglomerării efectiv posibile a pasagerilor, într-un singur bord şi cât mai aproape de parapet, unghiul de înclinare statică să nu fie mai mare decât unghiul la care puntea etanşă, expusă intră în apă sau la care gurma iese din apă şi anume unghiul care va fi mai mic; în orice caz, unghiul de înclinare statică nu trebuie să depăşească 10° ; (b) momentul de înclinare produs de giraţie se va determina cu formula:

225 _______________________________________________________________________________

M e = 0, 24

D vg2 æ dö ç KG - ÷ [KN × m] L è 2ø

(41.2)

în care: D - deplasamentul navei (t); vg - viteza la intrarea navei în giraţie, egală cu 80% din viteza maximă

(m/s); KG - cota centrului de greutate al navei faţă de linia de bază (m); d - pescajul corespunzător deplasamentului D , (m).

Navigaţia în condiţii extreme de mediu poate afecta atât structura de rezistenţă a navei (deformări locale ale corpului, suprasolicitarea postamentelor sub acţiunea forţelor de inerţie, excesive sau chiar ruperea corpului), cât şi ansamblul calităţilor nautice ale navei (micşorarea performanţelor de propulsie, stabilitate transversală, seakeeping etc.) putând culmina cu răsturnarea şi/sau scufundarea navei. Evident că în acest context, există o interdependenţă între integritatea structurală şi siguranţa hidrodinamică care stă la baza "conceptului global de siguranţă a navei" şi, implicit, a "performanţei de siguranţă". Pentru a realiza acest deziderat este absolut necesară modificarea "filozofiei" de proiectare a navelor. Tendinţa actuală constă în abandonarea progresivă a normelor de registru presupuse în mod formal ca fiind "sigure" şi utilizarea procedeelor probabilistice pentru determinarea performanţelor de siguranţă structurale şi hidrodinamice. Rezultatele unei astfel de analize vor permite evaluarea nivelului de risc corespunzător situaţiilor de încărcare şi condiţiilor de mediu avute în vedere. În concluzie, analiza riscurilor reprezintă elementul central al conceptului global de siguranţă a navei, analiză efectuată asupra integrităţii structurale şi calităţilor hidrodinamice ale corpului navei şi care conduce la stabilirea factorilor de risc, evaluarea lor şi a consecinţelor acestora. Luarea în considerare a stabilităţii transversale în studiul siguranţei navei nu este întâmplătoare, întrucât s-a constatat că adoptarea unei rezerve insuficiente de stabilitate în faza de proiectare, corelată cu o combinaţie nefavorabilă a factorilor de mediu, reprezintă factorul de risc cel mai periculos pentru pierderea navelor şi a oamenilor de la bord.

226 _______________________________________________________________________________

PROBLEME REZOLVATE Problema 1 La o navă cu deplasamentul de 32000 t se cunosc braţele stabilităţii statice după cum urmează: j [ °]

0

10

lsj [ m] 0,00

20

30

40

0,09 0,19 0,29 0,32

Nava are pescajul d = 11 m , suprafaţa velică AV = 3800 m 2 , iar cota centrului velic deasupra liniei plutirii este ZV = 6 m . Să se calculeze înclinarea transversală a navei la acţiunea de la travers a vântului în două situaţii: a) - acţiunea statică; b) - acţiunea dinamică. Presiunea maximă a vântului se consideră pv = 750 N / m 2 . Rezolvare: a) Acţiunea statică Momentul de înclinare dat de vânt se calculează cu relaţia: dö æ M vs = pv AV ç ZV + ÷ 2ø è

11 ö æ 750 × 3800 = ç6+ ÷ 2ø è

32775 = KN × m

Nava se va înclina transversal până când va fi realizată condiţia de echilibru static: M sj = M vs

Problema se va rezolva tabelar, calculând valoarea momentului de înclinare rezultat care acţionează static, adică M r = M vs - M sj . j

lsj

M s j = g D ls j

M vs

M r = M vs - M sj

(1) (2) (3)= g D (2) (4) (5)=(4)-(3) 0 0 0 32775 32775 10 0,09 28252,8 32775 4522,2 20 0,19

59644,8

32775

-26869,8

227 _______________________________________________________________________________

30 0,29 40 0,32

91036,8 100454,4

32775 32775

-58261,8 -67679,4

Nava se va înclina static până când M r = 0 , adică la unghiul: js 11,=44° . b) Acţiunea dinamică Momentul de înclinare dat de vânt la acţiunea dinamică este: M v = pv AV ZV = 750 × 3800 × 6 17100 KN = ×m

Nava se va înclina până la unghiul jd pentru care se realizează egalitatea: jd

òM

sj

dj

M=v jd

0

jd

unde: Lsj =

òM

sj

dj

este lucrul mecanic al momentului de stabilitate, iar M v jd

0

este lucrul mecanic al momentului de înclinare datorat acţiunii vântului. Calculul se realizează tabelar: j

(1) 0 10 20 30 40

M sj

å int

Ld j =

å int

Mv j

M v j - Lsj

(6)=(5)(4) 0 526,52 -4136,06 -1426,08 27936,08 Nava se va înclina dinamic până când M v j - Lsj = 0 , adică la unghiul: jd

(2) (3)= å int ( 2) 0 0 28252,8 28252,8 59644,8 116150,4 91036,8 266832 100454,4 458323,2

Dj 2

(4)=0,087 (5) (3) 0 0 2457,99 2984,51 10105,08 5969,02 23214,38 8953,53 39874,12 11938,04

11, = 2°

Problema 2 O navă cu deplasamentul de 15000 t are cota centrului de greutate KG = 7 m . Marfa este redistribuită la bord astfel încât cota centrului de greutate creşte cu 0, 25 m . Valorile braţului de stabilitate lsj în momentul iniţial sunt: j [ °]

0

lsj [ m] 0,00

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,27 0,60 1,00 1,14 1,05 0,77 0,35 0,1 0,58

228 _______________________________________________________________________________

Să se calculeze pentru condiţiile iniţiale şi finale: a) înălţimile metacentrice; b) stabilitatea dinamică la unghiul de înclinare transversală j 40 = °.

Rezolvare: Este cunoscut că GM =

dlsj = dj

tg a0 . Pe de altă parte, se poate face j= 0

aproximaţia că tangenta în origine la curba lsj se confundă cu această curbă pentru j £ 10° . Prin urmare, putem scrie: GM = tg a 0

ls10 18 × ls10 18 × 0, 27 = = =1,55 m p× 10 p p 180

=

Datorită redistribuirii mărfii, centrul de greutate se deplasează vertical, în sus cu d ( KG ) = 0, 25 m şi ca urmare, înălţimea metacentrică se va micşora cu aceeaşi valoare:

( )

G1 M = GM - d KG = 1, 55 - 0, 25 = 1, 30 m

Calculul stabilităţii dinamice pentru situaţia iniţială se face tabelar: j

(1) 0 10 20 30 40

lsj

å int

å int

Lsj = g D ld j

(4)=0,087 (3) 0 0,023 0,099 0,238 0,424

(5)= g D (4) 0 3384,45 14567,85 35021,7 62391,6

ld j =

(2) (3)= å int (2) 0 0 0,27 0,27 0,60 1,14 1,00 2,74 1,14 4,88

Dj 2

În situaţia iniţială, la o înclinare transversală j 40 = ° , stabilitatea dinamică este: Lsj = 62391, 6 KN × m

Pentru calculul stabilităţii dinamice, finale trebuie mai întâi calculată diagrama stabilităţii statice în această situaţie, ţinând cont de deplasarea centrului de greutate al navei. Calculul se va executa, de asemenea, tabelar: j

lsj

(1) (2) 0 0

( )

( )

sin j

d KG sin j

l1sj = lsj - d KG sin j

(3) 0

(4)=0,25 (3) 0

(5)=(2)-(4) 0

å int

l1d j =

Dj 2

å int

L1sj = g D l1d j

(6)= å int (5) (7)=0,087 (6) (8)= g D (7) 0 0 0

229 _______________________________________________________________________________

10 0,27 0,173 20 0,60 0,342 30 1,00 0,5 40 1,14 0,642

0,043 0,085 0,125 0,160

0,227 0,515 0,875 0,98

0,227 0,969 2,359 4,214

0,019 0,084 0,205 0,366

2795,85 12360,6 30165,75 53856,9

În situaţia finală, la o înclinare transversală j 40 = ° , stabilitatea dinamică este: L1sj = 53856, 9 KN × m

Problema 3 O navă cu deplasamentul de 12000 t are KG = 7, 64 m . Valorile braţelor stabilităţii statice sunt: j [ °]

0

lsj [ m] 0,00

10

20

30

40

50

60

70

0,19 0,50 0,94 1,16 1,03 0,60 0,06

Marfa se redistribuie la bordul navei astfel încât are loc o deplasare laterală a centrului de greutate cu distanţa d yG = 0,13 m Tb . Să se calculeze înclinarea transversală a navei şi stabilitatea dinamică la unghiul de înclinare j 30 =°. Rezolvare: - Se corectează braţele stabilităţii statice datorită deplasării laterale a centrului de greutate. - Se determină j0 şi Lsj , calculele efectuându-se tabelar. j

lsj

cos j

d yG cos j

l1sj = lsj - dyG cos j

(1) 0 10 20 30

(2) 0 0,19 0,50 0,94

(3) 1 0,984 0,939 0,866

(4)=0,13 (3) 0,13 0,128 0,122 0,112

(5)=(2)-(4) -0,13 0,062 0,378 0,828

å int

l1d j =

Dj 2

å int L

1sj

= g D l1d j

(6)= (7)=0,087 (8)= g D (7) (6) 0(5) 0 0 -0,068 -0,006 -706,32 0,372 0,0323 3802,35 1,578 0,1372 16151,18 å int

Stabilitatea dinamică la 30° este egală cu Lsj = 16151,8 KN × m Pentru determinarea unghiului de înclinare transversală a navei se va proceda la interpolarea liniară între j =0° şi j 10 = ° , obţinându-se:

230 _______________________________________________________________________________ j0

6,=77° Tb

Problema 4 La o navă se cunosc: D 30000 t ; KG= 8 m şi lsj =sub formă tabelară: j [ °]

0

lsj [ m] 0,00

10 0,7

20

30

40

50

60

1,51 2,10 2,08 1,90 1,60

Să se calculeze stabilitatea dinamică corespunzătoare unui unghi de înclinare transversală j 40 = ° în două situaţii: a) pentru situaţia iniţială: b) atunci când faţă de situaţia iniţială centrului de greutate al navei are cota KG1 = 8, 5 m , datorită unor deplasări de mase la bord. Rezolvare: a) Pentru primul caz, se calculează tabelul: KG = 8 m j

(1) 0 10 20 30 40

lsj

å int

ld j =

Dj 2

å int

Lsj = g D ld j

(2) (3)= å int ( (4)=0,087 (5)= g D (4) 2) (3) 0 0 0 0 0,7 0,7 0,06 17658 1,51 2,91 0,253 74457,9 2,10 6,52 0,567 166868,1 2,08 10,7 0,931 273993,3 Lsj = 273993, 3 KN × m

b) În al doilea caz, va trebui mai întâi corectată diagrama stabilităţii statice, datorită deplasării centrului de greutate pe verticală, în sus cu distanţa d ( KG ) = 0,5 m . KG1 = 8, 5 m ;

( )

d KG = 0,5 m

231 _______________________________________________________________________________

j

lsj

sin j

(1) (2) (3) 0 0 0 10 0,7 0,173 20 1,5 0,342 1 0,5 30 2,1 0 0,642 40 2,0 8

( )

å int

( )

d KG sin j

l1sj = lsj - d KG sin j

(4)=0,5 (3) 0 0,087 0,171 0,25 0,321

(5)=(2)-(4) 0 0,613 1,339 1,85 1,759

l1d j =

Dj 2

å int L

1sj

= g D l1d j

(6)= (7)=0,087 (8)= g D (7) (6) 0(5) 0 0 0,613 0,053 15597,9 2,565 0,223 65628,9 5,754 0,5 147150 9,363 0,814 239560,2

å int

L1sj = 239560, 2 KN × m

Problema 5 Pentru o navă se cunosc: D 24000 t ; KG= 8,50 m . Ca= o consecinţă a unor deplasări de mase la bord, centrul de greutate al navei se deplasează lateral tribord cu dyG = 0,5 m . Înainte de a avea loc deplasările de mase la bord, braţul stabilităţii statice era: j [ °]

0

lsj [ m] 0,00

10

20

30

40

50

60

1,71 2,46 2,55 1,92 1,05 0,46

Să se calculeze braţele stabilităţii statice şi stabilitatea dinamică la unghiul de înclinare transversală j 30 = ° , la final, precum şi unghiul de înclinare j0 . Rezolvare: Pentru calculul braţelor lsj , după ce centrul de greutate al navei s-a deplasat lateral tribord cu distanţa dyG = 0,5 m , se întocmeşte tabelul: j

lsj

cos j

d yG cos j

0 0 1 0,5 10 1,71 0,984 0,492 20 2,46 0,939 0,469 30 2,55 0,866 0,433

l1sj = lsj - dyG cos j

å int

-0,5 1,218 1,991 2,117

0 0,718 3,927 8,035

Lsj = 164572,56 KN × m ; j0

ld j =

2,91 = ° Tb

Dj 2

å int

0 0,062 0,341 0,699

Lsj = g D ld j

0 14597,28 80285,04 164572,56

232 _______________________________________________________________________________

CAPITOLUL V. PROBLEME LEGATE DE APLICAREA PRACTICĂ A STUDIULUI FLOTABILITĂŢII ŞI STABILITĂŢII NAVEI 42. EŞUAREA NAVEI Se consideră o navă care eşuează (aşezarea cu un punct al fundului pe sol), Fig. 129 şi Fig. 130. Înainte de eşuare, nava avea pescajele d pv şi d pp , nefiind înclinată transversal. Se mai cunosc următoarele date iniţiale: deplasamentul D , înălţimile metacentrice transversală şi longitudinală GM şi GM L , abscisa centrului plutirii xF şi aria plutirii AWL . După eşuare, pescajele la extremităţi sunt d1 pv , d1 pp şi nava este înclinată transversal cu unghiul j1 , considerat în categoria unghiurilor mici. Presupunem că în zona plutirii nava are borduri verticale. Ne punem problema determinării forţei de reacţiune a solului R şi a coordonatelor punctului de aplicaţie.

Fig. 129

Variaţia pescajului mediu datorat acţiunii forţei R se va calcula cu relaţia: dd m

1 =dm1 - dm = éë( d1 pv + d1 pp ) - ( d pv + d pp ) ùû 2

(42.1)

Este evident că variaţia pescajului va fi negativă, deficitul de flotabilitate fiind compensat de reacţiunea solului, adică: R = r g AWL ddm (42.2) Formula (42.2) conduce la calculul lui R cu o eroare acceptabilă. Un calcul mai exact presupune determinarea volumelor de cameră V şi V1 corespunzătoare plutirilor WL şi W1 L1 , utilizând diagrama Bonjean.

233 _______________________________________________________________________________

Studiul consecinţelor eşuării poate fi efectuat în continuare considerând că de la bord s-a debarcat masa

R g

, al cărei centru de greutate este în punctul A ( x , y , 0 ) .

Noile înălţimi metacentrice transversală şi longitudinală se vor calcula cu relaţiile:

Fig. 130 G1 M 1 = GM G1 M L1 = GM L -

dd R æ ö d m + m - GM ÷ ç 2 gD-Rè ø

(42.3)

dd R æ ö d m + m - GM L ÷ 2 g D - R çè ø

(42.4)

Unghiul de înclinare transversală va fi dat de relaţia: j1 =

Ry

( g D - R ) G1 M1

(42.5)

Înainte de eşuare, nava era înclinată longitudinal cu unghiul: q=

d pv - d pp

(42.6)

L

iar după eşuare este înclinată cu unghiul: q1 =

d1 pv - d1 pp

(42.7)

L

Rezultă o înclinare suplimentară care se calculează cu relaţia: q1 - q

R ( x - xF )

=@

( g D - R ) G1 M L1

R ( x - xF ) g D GM L

(42.8)

Ecuaţiile (42.5) şi (42.8) alcătuiesc un sistem în care necunoscutele sunt x şi y . După rezolvare se găsesc soluţiile: x = xF + y=

g D GM L ( q1 - q )

R ( g D - R ) G1 M1 j1 R

(42.9) (42.10)

234 _______________________________________________________________________________

Determinarea valorilor forţei de reacţiune R şi a coordonatelor x şi y ale punctului de aşezare pe sol prezintă interes din perspectiva găsirii unei soluţii de dezeşuare cu ajutorul mijloacelor de la bord. Pentru a rezolva această problemă, se pleacă de la faptul evident că măsurile care vor fi luate, vor trebui să ducă la micşorarea pescajului în punctul A , cu o valoare mai mare decât micşorarea pescajului în acelaşi punct datorită eşuării. Imaginăm pentru acest lucru o soluţie combinată de ambarcare/debarcare de mase şi deplasarea de mase la bord. Notăm variaţia pescajului datorită acestor operaţiuni cu dd A' . Variaţia pescajului datorată eşuării se notează cu dd A şi se calculează cu relaţia: dd=A dd m + ( x - xF )( q1 - q ) - j1 y (42.11) În consecinţă, condiţia de dezeşuare se scrie: dd A' ³ dd A (42.12) Înlocuind în (42.11), expresiile lui dd m , x şi y date de (42.1), (42.9) şi (42.10) se obţine: dd A=

g D GM L 1 2 é( d1 pv + d1 pp ) - ( d pv + d pp ) ù + ( q1 - q) ë û R 2 g D - R) ( G1M 1 j12 R

(42.13)

Mai departe, folosim următoarele notaţii: P1 = å Pi - masele care se vor ambarca/debarca la bord; i

P2 = å Pj

- masele care se vor deplasa la bord;

j

( xi , yi , zi ) - punctele în care se ambarcă/debarcă masele

(x

Pi ;

- x j ) , ( y1 j - y j ) , ( z1 j - z j )

- cantităţile cu care se deplasează masele Pj pe direcţiile longitudinală, transversală şi verticală; 1j

M j = å Pi yi + å Pj ( y1 j - y j ) i

-

momentul

transversal

de

înclinare

datorită

j

ambarcării/debarcării şi deplasării de mase. M q = å Pi ( xi - xF ) + å Pj ( x1 j - x j ) i

j

Cu aceste notaţii putem scrie: dd A'

Mj y Mq P1 =+ + ( x - xF ) ' r AWL ( D + P1 ) G1 M1 D GM L

(42.14)

Înlocuind în (42.14) expresiile lui x şi y date de (42.9) şi (42.10), obţinem: dd=A'

Mj P1 ( g D - R ) G1M 1 j1 + g M q q - q + ( 1 ) ' R R r AWL ( D + P ) G M 1 1 1

(42.15)

235 _______________________________________________________________________________ '

unde G1 M1 este înălţimea metacentrică transversală, corectată datorită ambarcării/debarcării de mase, respectiv deplasării de mase la bord, care se calculează cu formula: '

G1 M 1 = G1 M 1 -

åP (z j

1j

j

D

- zj )

æ åi Pi zi ö÷ P1 ç P1 d G M + + - 1 12 r AWL P1 ÷÷ D + P1 çç è ø

(42.16)

Sigur că pentru o anumită situaţie de exploatare a navei, valorile Pi , Pj , xi , yi , zi , ( x1 j - x ) , ( y1 j - y ) , ( z1 j - z ) sunt limitate. Odată adoptate aceste valori, se calculează dd A' şi dd A şi se verifică dacă este îndeplinită condiţia de dezeşuare (42.12). Mărimile xi , yi , ( x1 j - x ) , ( y1 j - y ) se adoptă de sens contrar lui x şi y . 43. RIDICAREA PUPEI Pentru executarea lucrărilor de reparaţii la complexul cârmă-propulsor sau la arborele port-elice, este necesară ridicarea pupei navei. Această operaţiune se poate realiza în următoarele variante: deplasarea uneia sau a mai multor mase dinspre pupa spre prova, ambarcarea de balast în zona prova sau ridicarea pupei cu ajutorul macaralei (la navele mici). a) Deplasarea de mase la bord Aşa cum s-a studiat în §24, dacă la bordul navei se deplasează o masă P , considerată în categoria maselor mici ( P < 0,1 D ) , din punctul A ( x , y , z ) în punctul B ( x1 , y1 , z1 ) , dinspre pupa spre prova ( x < x1 ) , atunci nava se va înclina longitudinal cu unghiul q , iar variaţia pescajului la pupa în valoare absolută se va calcula cu relaţia: æL ö P ( x1 - x ) dd pp = ç + xF ÷ è2 ø D G1 M L

(43.1)

În relaţia (43.1), G1 M L este înălţimea metacentrică longitudinală modificată, dată de relaţia: G1 M L = GM L -

P ( z1 - z ) D

(43.2)

unde GM L este înălţimea metacentrică longitudinală iniţială. Cunoscând înălţimea cu care trebuie ridicată pupa şi egalând valoarea ei cu dd pp se determină produsul P ( x1 - x ) necesar a se realiza prin deplasarea masei P . În funcţie de disponibilităţile de la bord, se pot alege masele Pi şi distanţele ( x1i - xi ) astfel încât să fie îndeplinită condiţia: P ( x1 - x ) å Pi=( x1i - xi ) (43.3) i

236 _______________________________________________________________________________

b) Ambarcarea de balast la prova Dacă în zona prova se ambarcă cantitatea de balast P având abscisa centrului de greutate x , atunci variaţia pescajului la pupa în valoare absolută se va calcula cu relaţia: dd pp =

P æL ö P ( x - xF ) - ç + xF ÷ r AWL è 2 ø D GM L

(43.4)

Impunând înălţimea cu care trebuie ridicată pupa dd pp se va determina cantitatea de balast ce trebuie ambarcată cu relaţia: P=

dd pp 1 æL ö ( x - xF ) - ç + xF ÷ r AWL è 2 ø D GM L

(43.5)

c) Ridicarea pupei navei cu ajutorul macaralei Cunoscând poziţia de unde se leagă cârligul macaralei (abscisa x ) precum şi datele iniţiale referitoare la navă: deplasamentul D , înălţimea metacentrică longitudinală GM L , aria plutirii AWL , lungimea navei L şi abscisa centrului plutirii xF , se poate determina valoarea forţei de ridicare R (Fig. 131).

Fig. 131

Se va impune înălţimea cu care se ridică pupa dd pp şi se foloseşte modelul matematic descoperit la ambarcarea/debarcarea de mase la bord, considerând că din punctul A se debarcă masa R=

R g

. Forţa R necesară se calculează cu relaţia: g dd pp

1 æL ö ( x - xF ) - ç + xF ÷ r AWL è 2 ø D GM L

(43.6)

În relaţia de mai sus x se introduce cu semnul algebric (minus), iar dd pp cu valoarea sa în modul, rezultând o valoare pozitivă pentru R .

237 _______________________________________________________________________________

44. MOMENTUL DE STABILITATE AL NAVELOR CU BORDURI VERTICALE ŞI AL NAVELOR TIP PONTON PARALELIPIPEDIC În cazul navelor cu borduri verticale, momentul de stabilitate poate fi exprimat printr-o relaţie matematică exactă pentru unghiuri de înclinare care nu depăşesc unghiul pentru care puntea intră în apă sau plutirea intersectează gurma. Se poate observa că în acest caz particular, plutirile izocarene înclinate transversal se intersectează după o dreaptă care trece prin centrul plutirii iniţiale F (Fig. 132).

Fig. 132

Dacă se notează cu y semilăţimea unei cuple corespunzătoare plutirii iniţiale, atunci când nava este înclinată transversal cu unghiul j , semilăţimea corespunzătoare aceleiaşi secţiuni se poate scrie: yj =

y cos j

(44.1)

Momentul de inerţie al plutirii înclinate, în raport cu axa de înclinare devine: I xj

2 = 3

L 2

ò -

(44.2)

yj3 dx

L 2

şi prin înlocuirea lui yj dată de (44.1) în (44.2) obţinem: I xj

2 = 3

L 2

I y3 òL cos3 j dx = cosx3 j

-

(44.3)

2

Corespunzător pentru raza metacentrică transversală găsim expresia: rj =

I xj V

=

BM cos3 j

(44.4)

Vom calcula în continuare coordonatele centrului de carenă cu relaţiile: j

yBj = ò rj cos j d j 0

j

BM

ò cos =j d j 2

0

BM tg =j

(44.5)

238 _______________________________________________________________________________

zBj - KB =

j

j

0

0

ò rj sin j d j = ò BM

sin j tg 2 j d BM j = cos3 j 2

(44.6)

Dacă din expresiile (44.5) şi (44.6) se elimină tg j se obţine: zBj = KB +

yB2 j

(44.7)

2 BM

ceea ce sugerează o variaţie parabolică a cotei centrului de carenă cu ordonata acestuia. Înlocuind relaţiile (44.5) şi (44.6) în expresia (31.12) a braţului stabilităţii statice găsim: GZ = lsj = GM sin j +

BM 2 tg j sin j 2

(44.8)

Recunoaştem în al doilea termen o corecţie a braţului stabilităţii statice faţă de situaţia de stabilitate iniţială. Mai departe, se pot calcula coordonatele metacentrului transversal: ymj = yBj - rj sin j

zmj = z Bj + rj cos j

=+ KB

BM tg=j -

BM sin j cos3 j

BM tg 2 j BM + cos j 2 cos 3 j

- BM =tg 3 j

æ tg 2 j 1 ö = + BM ç + KB ÷ cos 2 j ø è 2

(44.9) (44.10)

Eliminând tg j din relaţiile (44.9) şi (44.10), găsim o legătură matematică directă între coordonatele metacentrului transversal în forma: zmj

2 é ù 3 æ ymj ö 3 ú ê = z Bj + BM 1 + ç ê 2 è BM ÷ø ú êë úû

(44.11)

Revenind la formula (44.8), vom observa că putem exprima momentul de stabilitate cu relaţia matematică: æ BM 2 ö M sj = g D lsj =g D çç GM + tg j ÷÷ sin j 2 è ø

(44.12)

Aşa cum am precizat, relaţiile obţinute mai sus sunt valabile atâta timp cât plutirea înclinată nu intersectează puntea sau fundul navei. Dacă vom considera un ponton paralelipipedic, vom avea două situaţii distincte. Astfel, dacă d < fundul va ieşi din apă înainte ca puntea să intre în apă, iar dacă d >

D , 2

D , puntea va 2

intra în apă înainte ca fundul să iasă din apă. Acest ultim caz este ilustrat în Fig. 133. Pentru a construi complet diagrama de stabilitate este necesară determinarea deplasării centrului de carenă respectiv a coordonatelor yBj şi zBj - KB cu formulele cunoscute (44.5) şi (44.6). Notăm cu j1 unghiul la care puntea intră în apă şi cu unghiul j2 unghiul la care fundul pontonului iese din apă.

239 _______________________________________________________________________________

Fig. 133

Când 0 £ j £ j1 : rj =

BM cos 3 j

Pentru a calcula razele metacentrice transversale la unghiuri de înclinare cuprinse între j2 şi 90° ( j2 < j £ 90° ) , vom considera pontonul înclinat cu 90° şi d90 pescajul corespunzător acestei situaţii. Din condiţia ca plutirile WL şi W90 L90 să fie izocarene rezultă: Bd D

(44.13)

D2 12 d90

(44.14)

d90 =

şi: r90 =

În consecinţă, când j2 < j £ 90° : rj =

r90 cos ( 90 - j ) 3

(44.15)

Situaţia intermediară j1 < j £ j2 este prezentată în Fig. 134. Suprafaţa liberă este un dreptunghi cu dimensiunile L şi Bj . Lăţimea Bj se determină din condiţia: aria ( EFG ) = B ( D - d )

adică: 1 2 Bj sin j cos j 2

B(D = -d)

sau: Bj = 2

B(D - d ) sin 2j

(44.16)

240 _______________________________________________________________________________

Momentul de inerţie al suprafeţei libere este: I xj =

L Bj3 12

=

2 L B(D - d ) B(D - d ) 3 sin 2j sin 2j

(44.17)

iar raza metacentrică transversală se calculează cu formula: rj =

I xj V

=

2 (D - d ) B(D - d ) 3 d sin 2j sin 2j

(44.18)

Odată cunoscute formulele de calcul ale razei metacentrice transversale pentru cele trei situaţii distincte, se vor putea calcula coordonatele centrului de carenă pentru orice unghi de înclinare şi, de asemenea, braţul stabilităţii sau momentul de stabilitate. Formula braţului stabilităţii transversale (44.8), valabilă în cazul navelor cu borduri verticale până la j = j1 , ne permite determinarea poziţiilor de echilibru ale navei, poziţii care corespund situaţiei GZ = lsj = 0 . Avem următoarele situaţii posibile: a) lsj = 0 şi GM > 0 (înălţimea metacentrică transversală pozitivă) Rezultă: æ BM 2 ö tg j ÷÷ sin j = 0 çç GM + 2 è ø

(44.19)

Fig. 134

Această ecuaţie are trei soluţii: sin j = 0 ; tg j = ±

-2GM BM

ultimele două fiind evident imaginare. Înseamnă că singura poziţie de echilibru posibilă pentru o navă cu borduri verticale şi înălţimea metacentrică transversală, pozitivă corespunde situaţiei j = 0 adică, navă pe carenă dreaptă. b) lsj = 0 şi GM = 0 (înălţimea metacentrică transversală nulă) Rezultă:

241 _______________________________________________________________________________

BM 2 tg j sin j = 0 2

(44.20)

cu soluţia unică j = 0 . Este de remarcat că, chiar dacă înălţimea metacentrică este nulă deci, în poziţia iniţială există o situaţie de echilibru indiferent, momentul de stabilitate este întotdeauna pozitiv şi va readuce nava în poziţia iniţială, dintr-o poziţie înclinată cu un unghi oarecare. Valoarea momentului de stabilitate este: M sj = g D

BM 2 tg j sin j 2

(44.21)

Să studiem cazul practic al deplasării transversale la bord a unei mase P pe distanţa l . Centrul de greutate al navei se va deplasa pe distanţa GG1 =

Pl . Din Fig. 135, se D

observă că: GZ = GG1 cos j

Pl cos =j D

(44.22)

Fig. 135

Egalând GZ dat de relaţia (44.22) cu expresia lui lsj când GM = 0 rezultă: Pl cos j D

BM = sin j tg 2 j 2

adică: tg 3 j =

2Pl D × BM

şi: tg j =

3

2Pl D × BM

(44.23)

242 _______________________________________________________________________________

c) lsj = 0 şi GM < 0 (înălţimea metacentrică transversală negativă) Soluţiile pentru care se realizează echilibrul sunt aceleaşi ca la punctul a), cu deosebirea că de data aceasta toate trei sunt reale; adică: sin j = 0 ; j = 0 tg j = ±

-2 GM BM

În cazul j = 0 avem o situaţie de instabilitate, întrucât pentru j > 0 momentul de stabilitate este negativ şi cea mai mică perturbaţie va înclina nava într-un bord sau în celălalt (în funcţie de sensul perturbaţiei), cu unghiul corespunzător celorlalte două soluţii. 45. STABILITATEA NAVEI PE DOC În cele mai multe cazuri, la andocarea unei nave, atunci când nivelul apei scade, chila acesteia atinge primul cavalet de la pupa. Ca urmare, apare o reacţiune în cavalet care va modifica stabilitatea navei (Fig. 136). În cele ce urmează, vom determina valoarea maximă a reacţiunii din cavalet şi modul în care variază stabilitatea navei.

Fig. 136

Valoarea reacţiunii R creşte gradual, atingând maximul atunci când nava este pe punctul de a se aşeza cu toată chila pe cavaleţi. Presupunem că înainte de andocare nava avea pescajele cunoscute d pv şi d pp . Rezultă o înclinare longitudinală cu unghiul: q=

d pv - d pp L

.

Linia cavaleţilor este, de asemenea, înclinată cu unghiul a . Din momentul în care fundul navei atinge cavaletul din pupa până în momentul în care se aşează în totalitate pe cavaleţi ea se va roti cu unghiul q - a , datorită reacţiunii R . Vom

243 _______________________________________________________________________________

considera acţiunea lui R similară cu debarcarea greutăţii P = R , din punctul de L 2

coordonate xP = - ; yP = 0 ; z P = 0 . Din condiţia ca momentul lui R să încline nava longitudinal cu unghiul ( q - a ) se găseşte valoarea maximă a lui R , adică: g D GM L (q - a ) L + xF 2

R=

(45.1)

Este mai practic ca în locul relaţiei (45.1) să se folosească relaţia: R=

D GM L (q - a ) L + xF 2

(45.2)

în care R are dimensiunea unei mase. Corespunzător, pescajul se va micşora cu valoarea: dd

R = r AWL

R = [ cm ] TPC

(45.3)

În situaţia în care linia cavaleţilor are unghiul de înclinare nul ( a = 0 ) , folosind momentul unitar de asietă, reacţiunea în cavalet se poate calcula cu formula: R=

MCT d pv - d pp LCF

100

(45.4)

unde LCF reprezintă distanţa de la centrul plutirii la punctul de aplicaţie al lui R (care se găseşte, de obicei, în apropierea perpendicularei pupa). Efectul asupra stabilităţii transversale se va materializa prin modificarea înălţimii metacentrice transversale. Astfel:

(

)

d GM=

-R æ dd ö - GM ÷ çd D-Rè 2 ø

(45.5)

Variaţia coeficientului stabilităţii transversale se va calcula cu relaţia: ddö æ d D GM = - R ç d ÷ 2 ø è

(

)

(45.6)

Variaţia relativă a înălţimii metacentrice longitudinale este foarte mică, motiv pentru care nu prezintă interes. Există şi un alt mod mult mai practic, dar în acelaşi timp şi aproximativ, de a evalua variaţia înălţimii metacentrice transversale la andocare. Considerând că masa R se debarcă de pe fundul navei, centrul de greutate al navei se va deplasa pe verticală în sus cu distanţa:

( )

d KG =

R KG D-R

(45.7)

şi cu aceeaşi valoare se va micşora înălţimea metacentrică transversală, presupunând KM acelaşi.

244 _______________________________________________________________________________

46. STABILITATEA NAVELOR PE VALURI DE URMĂRIRE Diagrama stabilităţii statice, denumită şi "diagrama Reed", este utilizată de aproape o sută de ani pentru analiza stabilităţii transversale a navei, deşi momentul de redresare este calculat în ipoteza apei calme. Froude şi Reed recunoşteau că problematica stabilităţii navei pe val se rezolvă diferit faţă de situaţia ipotetică precizată, întrucât, în regim dinamic, distribuţia de presiuni este diferită faţă de regimul static. Încă din anul 1938, Kempf remarca faptul că stabilitatea navei pe valuri de urmărire se reduce în situaţia în care nava se găseşte cu secţiunea maestră pe creastă de val. Când nava se deplasează pe val de urmărire cu o viteză egală cu viteza valului şi când lungimea valului ( l ) este egală cu lungimea navei ( L ) apare situaţia cea mai periculoasă. Aceasta deoarece, pe de o parte, reducerea de stabilitate este maximă şi, pe de altă parte, reducerea de stabilitate se menţine pe o durată mai mare de timp şi, ca urmare, nava este expusă apariţiei unor momente exterioare de înclinare la care ar rezista mai puţin, comparativ cu situaţia de apă calmă. În aceste condiţii, ar putea apărea răsturnarea navei adică "pierderea totală de stabilitate". Toate aceste situaţii periculoase au fost aduse în prim plan de studiile sistematice care se desfăşoară pe plan mondial în domeniul stabilităţii transversale a navelor în condiţii reale de navigaţie. În general, stabilitatea transversală se măsoară cantitativ prin momentul de redresare care se opune acţiunii unui moment exterior de înclinare. Dacă nava operează în mare reală, momentul de redresare nu va fi egal cu acela corespunzător aceluiaşi unghi de înclinare din apă calmă din două motive: primul se referă la modificarea suprafeţei udate a corpului navei datorită mişcării generale şi al doilea la distribuţia câmpului de presiune hidrodinamică pe suprafaţa udată, care este o consecinţă directă a interacţiunii reciproce dintre nava în mişcare şi valurile incidente. Problematica determinării momentului de redresare pe valuri se rezumă la găsirea distribuţiei de presiuni pe corp şi are o importanţă deosebită pentru prognoza siguranţei navei. Această problemă se rezolvă acceptabil, dar destul de laborios, în limita mişcării potenţiale a lichidului, neglijând efectele vâscoase. Pentru o navă care se deplasează cu viteza U în valuri, stabilitatea transversală se caracterizează prin momentul de redresare, definit ca momentul forţelor hidrodinamice dependente de timp care acţionează asupra navei, faţă de axa centrală longitudinală. Se poate scrie: M sj = M u + M w + M D + M R (46.1) în care: M u - este determinat de modificarea câmpului de presiuni când nava înclinată transversal cu unghiul j , avansează cu viteza U în apă calmă;

245 _______________________________________________________________________________ M W - este partea principală a momentului de redresare pe valuri determinată

de distribuţia de presiuni din valul incident neperturbat; M D - este componenta de difracţie, determinată de modificarea câmpului de presiune, datorită prezenţei corpului bandat al navei în valuri, având anulate toate gradele de libertate; M R - această componentă este o consecinţă a mişcărilor navei bandate, aflată iniţial în repaus şi este legată de proprietăţile inerţiale şi de amortizare ale fluidului. Din cele arătate până acum, este evident că determinarea valorii momentului de stabilitate ( M sj ) la navigaţia în valuri este o problemă ce se va rezolva la "Dinamica Navei". Reducerea stabilităţii statice Studiile diverşilor autori care s-au ocupat de această problemă au demonstrat că la navigaţia în valuri armonice de urmărire, are loc o modificare a stabilităţii transversale, atunci când viteza navei este apropiată de aceea a valurilor. Braţul momentului de stabilitate va avea o variaţie periodică între două poziţii extreme, cu o frecvenţă egală cu frecvenţa de întâlnire a valului de către navă. Aceste două poziţii extreme corespund situaţiilor de: navă pe creastă de val (stabilitate minimă) şi navă pe gol de val (stabilitate maximă) şi se calculează pe baza geometriei corpului navei şi ale caracteristicilor valurilor. Pentru fiecare înălţime a valului, amplitudinea variaţiei momentului de stabilitate are valoarea maximă atunci când lungimea valului este aproximativ egală cu lungimea navei. Atunci când U = c , perioada de întâlnire a valului este teoretic infinită şi nava se aşează static faţă de val într-o primă aproximaţie. În acest caz, diagrama stabilităţii statice se poate obţine aşa cum am văzut în capitolul IV (§40) înlocuind suprafaţa apei calme cu un profil de val armonic având lungimea egală cu lungimea navei. În Fig. 137 b) sunt prezentate diagramele de stabilitate statică în apă calmă, pe creastă şi pe gol de val. Se observă că în decursul unei perioade de întâlnire a navei cu valurile există un interval de timp în care stabilitatea navei se micşorează putând deveni critică. Cu cât frecvenţa de întâlnire este mai mică, cu atât acest interval de timp este mai mare, putând apărea condiţiile specifice care generează aşa numita "pierdere totală de stabilitate" dacă nu se iau măsuri de înlăturare a pericolului (modificarea vitezei sau schimbarea direcţiei de înaintare a navei).

246 _______________________________________________________________________________

Fig. 137

PROBLEME REZOLVATE Problema 1

247 _______________________________________________________________________________

O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: L = 80 m ; B = 9 m ; D = 8,5 m şi pluteşte la pescajul d = 5 m în apă sărată. Cota centrului de greutate al navei este KG = 3, 7 m . Să se studieze echilibrul transversal al navei după ambarcarea unei mase de 500 t situată la 8 m faţă de PB . Rezolvare: Deplasamentul iniţial al pontonului este: D =r L=B d

1, 025 × 80 × 9 × 5 = 3690 t

Înălţimea metacentrică iniţială se calculează cu formula: GM = KM - KG = KB + BM - KG =

d B2 + - KG 2 12 d

Prin înlocuire se obţine: 5 92 + - 3, 7 = 0,15 m 2 12 × 5 Prin ambarcarea masei P = 500 t situată la distanţa z1 = 8 m faţă de PB , se GM =

modifică cota centrului de greutate al navei: KG1 = KG +

(

)

P 500 z1 - KG = 3, 7 + ( 8 - 3, 7 ) = 4, 213 m D+P 3690 + 500

şi pescajul pontonului: d1 = d +

P rLB

500 5+ = = 5, 678 m 1, 025 × 80 × 9

Noua înălţime metacentrică transversală va fi: G1 M 1 =

d1 B2 + - KG = 1 2 12 d1

5, 678 92 + - 4, = 213 -0,185 m 2 12 × 5, 678

În concluzie, deoarece înălţimea metacentrică a devenit negativă, ne aflăm într-o situaţie de instabilitate ceea ce înseamnă că la o cât de mică perturbaţie exterioară, pontonul se va înclina într-un bord sau în celălalt (în funcţie de sensul perturbaţiei) cu unghiul: tg j = ± =

-2 G1M 1 B1M 1

±=

2 × 0,185 1,189

±0,557 = rad

±29,15°

unde braţul de stabilitate este nul.

Problema 2 O navă cu borduri verticale are deplasamentul de 25000 t ; KG = 10, 6 m ; KM = 12, 0 m ; KB = 6,1 m . Unghiul la care se inundă puntea este de 27° . Să se estimeze stabilitatea dinamică a navei la 20° înclinare transversală.

248 _______________________________________________________________________________

Rezolvare: Dat fiind faptul că unghiul pentru care trebuie estimată stabilitatea transversală este mai mic decât unghiul la care se inundă puntea navei, rezultă că în zona 0° £ j £ 20° se poate calcula braţul stabilităţii transversale cu formula: æ BM 2 ö lsj = sin j çç GM + tg j ÷÷ 2 è ø

Din datele problemei rezultă: GM = KM - KG =12, 0 - 10, 6 = 1, 4 m BM = KM - KB = 12, 0 - 6,1 = 5, 9 m

Înlocuind în expresia lui lsj obţinem:

lsj = sin j (1, 4 + 2,95 tg 2 j ) 1,=4 sin j + 2,95 sin j tg 2 j

Expresia braţului stabilităţii dinamice la 20° este: 20°

ls j =

òl

sj

dj

0

Calculul se va efectua tabelar utilizând metoda de integrare a trapezelor cu pasul de integrare Dj = 5° = 0, 087 rad . j

sin j

(1) 0 5 10 15 20

(2) 0 0,087 0,173 0,258 0,342

tg 2 j

sin j × tg 2 j

1, 4 × sin j

2,95 × sin j tg 2 j

lsj

å int

(3) (4)=(2)(3) (5)=1,4(2) (6)=2,95(4) (7)=(5)+(6) (8)= å int (7) 0 0 0 0 0 0 0,007 0,0007 0,122 0,002 0,124 0,124 0,031 0,0053 0,242 0,015 0,257 0,505 0,071 0,0183 0,361 0,053 0,414 1,176 0,132 0,0451 0,479 0,133 0,612 2,202

ld j =

Dj 2

(9)=0,0435 0 0,005 0,022 0,051 0,096

Acest calcul tabelar prezintă avantajul că se poate estima valoarea braţului stabilităţii dinamice la fiecare unghi de înclinare. Pentru j 20 = ° , stabilitatea dinamică este egală cu lucrul mecanic al momentului de stabilitate necesar pentru a înclina nava până la acest unghi, adică: Lsj = g D ld j

9,81× 25000 = × 0, 096

23544 = KN × m

Problema 3 La o navă ponton paralelipipedic se cunosc următoarele dimensiuni:

å int

249 _______________________________________________________________________________ L = 120 m ; B = 18 m ; D =12 m ; d =8 m ; KG =7, 278 m . Ea pluteşte în apă dulce. O masă

de 432 t se încarcă pe puntea principală. Să se calculeze stabilitatea dinamică a navei pentru unghiul la care apa inundă puntea principală. Rezolvare: Se calculează deplasamentul iniţial al navei: D =r L=B d

1 ×120 ×18 × 8 = 17280 t

După ambarcarea masei P = 432 t , cota centrului de greutate al navei devine: KG1 = KG +

(

P z1 - KG D+P

)

7, = 278 +

432 (12 - 7, 278 ) = 7,393 m 17280 + 432

iar pescajul: d1 = d +

P rLB

8 =+

432 = 8, 2 m 1×120 ×18

Nava fiind ponton paralelipipedic rezultă: d1 8, 2 = =4,1 m 2 2 182 B2 B1M 1 = = =3, 293 m 12 d1 12 × 8, 2 KB1 =

Unghiul la care se inundă puntea se calculează cu relaţia: tg j

2 ( D - d1 ) 2 (12 - 8, 2 ) = = = B 18

0, 42 ; j

22,89 =°

Până la acest unghi, braţul stabilităţii statice se poate calcula cu formula: æ ö BM lsj = sin j ç G1 M 1 + 1 1 tg 2 j ÷ ç ÷ 2 è ø

Înălţimea metacentrică finală este: G1 M 1 = KM 1 - KG1 = KB1 + B1M 1 - KG1 = 4,1 + 3, 293 - 7, 393= 0

şi, în consecinţă, braţul stabilităţii statice se poate scrie: lsj = 1, 646 sin j tg 2 j

Braţul stabilităţii dinamice corespunzător unghiului de înclinare la care se inundă puntea este: 22,89°

ld j =

ò

lsj d j

0

Calculul se va efectua tabelar, utilizând metoda de integrare a trapezelor cu pasul de integrare Dj = 5° = 0, 087 rad , în limitele 0° £ j £ 25° . Valoarea lui ld j la j 22,89 = ° se va determina prin interpolare liniară. j

sin j

tg 2 j

sin j × tg 2 j

lsj = 1, 646 × sin j tg 2 j

å int

ld j =

Dj 2

å int

250 _______________________________________________________________________________

j

sin j

tg 2 j

sin j × tg 2 j

lsj = 1, 646 × sin j tg 2 j

å int

ld j =

(1)

(2)

(3)

(4)=(2)(3)

(5)=1,646 (4)

(6)= å int (5)

(7)=

0 5 10 15 20 25

0 0,087 0,173 0,258 0,342 0,423

0 0,007 0,031 0,071 0,132 0,217

0 0,0007 0,0053 0,0183 0,0451 0,0918

0 0,001 0,009 0,03 0,074 0,151

0 0,001 0,0092 0,0482 0,1522 0,3773

Dj 2

å int

Dj

(6)

2

0 4, 3 × 10

4 × 10

-5

-4

0,002 0,0066 0,0164

Prin interpolare liniară la j 22,89 = ° rezultă ld j = 0, 0122 rad × m . Stabilitatea dinamică va fi: Lsj = g ( D + P ) ld j

9,81 = (17280 + 432 ) 0, 0122 =

2120 KN × m

Problema 4 La o navă cu bordurile verticale se cunosc următoarele elemente: D 22500 t ; KG = 7, 3 m ; KM = 7, 4 m ; BM = 3, 6 m . O = masă de 150 t este ridicată cu 15 m şi apoi deplasată lateral spre tribord cu 3 m . Să se calculeze înclinarea navei. Rezolvare: Deplasarea pe verticală a masei P = 150 t pe distanţa lz = 15 m va ridica centrul de greutate al navei micşorând înălţimea metacentrică până la valoarea: G1 M = GM -

P lz D

0,1 =-

150 ×15 =0m 22500

Datorită deplasării laterale a masei pe distanţa l = 3 m nava se va înclina la tribord cu unghiul: tg j

3

2Pl

=

3

2 × 150 × 3 22500 × 3, 6

D BM j 12,58 =°

0, = 223

=

Problema 5 O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: L = 100 m ; B = 10 m ; D = 6 m şi pluteşte în apă sărată la pescajul d = 4 m . Se mai cunoaşte KG = 3,5 m . Să se calculeze momentul de stabilitate când nava este înclinată transversal cu unghiul j 20 = °.

251 _______________________________________________________________________________

Rezolvare: Deplasamentul navei este: D =r L =B d

1, 025 ×100 × 10 × 4 = 4100 t

Unghiul la care se inundă puntea este: tg j

2 ( D - d ) 2 ( 6 - 4) = = = B 10

0, 4 ; j

21,8 =°

Cum 20° < 21,8° pentru calculul momentului de stabilitate se foloseşte relaţia: æ BM 2 ö tg j ÷÷ sin j M sj = g D çç GM + 2 è ø

unde: d B2 GM = KB + BM - KG = + - KG 2 12 d

Înlocuind, rezultă: GM =

4 102 + - 3,5 = 0, 583 m 2 12 × 4

Pe de altă parte: BM =

B2 = 2, 083 m 12 d

şi, prin urmare, momentul de stabilitate corespunzător unei înclinări transversale de 20° este: 2, 083 2 æ ö M sj = 9,81 × 4100 ç 0,583 + = ×m tg 20° ÷ sin 20° 9918 KN 2 è ø

Problema 6 O navă andochează având următoarele date iniţiale: d pv = 6,10 m = ; d pp = 6, 70 =m ; KM= 7, 20 m ; KG

6,8 m ; MCT

155 t × m / cm

TPC = 22 t / cm ; LCF = 80 m (de la perpendiculara pupa); L = 180 m ; D = 11000 t .

Să se determine: a) înălţimea metacentrică transversală a navei în momentul critic din timpul andocării; b) momentul de stabilitate dacă nava este înclinată transversal cu 1° . Rezolvare: Momentul critic este acela când chila navei ia contact cu întreaga linie a cavaleţilor. R=

d pv - d pp MCT LCF

100 =

6,10 - 6, 70 155 80

100 = 116, 25 t

Reacţiunea atinge această valoare atunci când pescajul scade cu valoarea:

252 _______________________________________________________________________________

dd

R = TPC

116, 25 = 22

0, 053 =m.

5,3 cm =

Înălţimea metacentrică transversală se va modifica cu valoarea:

(

d =GM

-R æ dd ö - GM = ÷ çd D-Rè 2 ø

)

0, 053 -116, 25 æ ö - 0, = 4÷ ç 6, 4 11000 - 116, 25 è 2 ø

-0, 064 m

unde d este pescajul mediu iniţial. Corespunzător situaţiei critice, înălţimea metacentrică va fi:

( GM ) = GM + d ( GM ) = 0, 4 - 0, 064 = 0, 336 m '

Momentul de stabilitate corespunzător situaţiei de navă înclinată transversal cu 1° se calculează cu formula:

(

)

'

M sj = g ( D - R ) GM sin1°

(

g ( D - R ) =GM

p = ) 180 '

9,81 (11000 - 116, 25 ) 0, 336

p 180

M sj = 626,13 KN × m

Problema 7 La o navă, înaintea andocării, se cunosc următoarele elemente: L = 110 m ; B = 14, 7 m ; d pv = 5,8 m ; d pp =6, 2 m ; CB

0, = 625 ; CWL

0,=780 ; GM

0,5 = m

GM L = 210 m ; xF = 0 . Unghiul de înclinare al cavaleţilor a este nul. Să se calculeze

reacţiunea maximă a cavaleţilor şi stabilitatea în momentul când chila navei intră în contact cu întreaga linie a cavaleţilor. Densitatea apei din doc se consideră r = 1, 0 t / m3 . Rezolvare: Se consideră reacţiunea maximă a cavaleţilor: R=

g D GM L q æL ö + x ç F ÷ è2 ø

unde: d pv - d pp 5,8 - 6, 2 q @ tg q = = = 3, 6 ×10 -3 L 110 d pv + d pp D =r C=B L B 1 × 0, 625 ×110 ×14, 7 × 6 = 6064 t 2 Prin înlocuire în expresia lui R , rezultă: 6064 × 210 R= 3, 6 ×10 -3 = 83, 4 tf æ 110 ö + 0÷ ç è 2 ø

Variaţia pescajului mediu va fi:

253 _______________________________________________________________________________ R r g AWL

dd

R = r g CWL L B

83, 4 = 1× 0, 780 ×110 × 14, 7

0, 066 m =

=

iar noua înălţime metacentrică transversală:

( GM ) = GM + d ( GM=) '

GM -

R æ dd ö - GM ÷ çd 2 g D-Rè ø

Înlocuind în relaţia de mai sus, obţinem:

( GM ) = 0, 5 - 606483,-483, 4 ( 6 - 0, 033 - 0,5 ) = 0, 423 m '

Problema 8 Înainte de andocare, la o navă, se cunoşteau: d pv = 5, 62 m ; d pp = 6,82 m ; KM = 7,90 = = m ; KG 7, 4 m ; MCT 104 t × m = /=cm ; LCF 62 m ; L 118 m ; D = 8400 t . În momentul critic al andocării (înainte de aşezarea cu toată linia chilei pe cavaleţi), înălţimea metacentrică transversală nu trebuie să scadă sub valoarea de 0, 45 m . Cât balast trebuie transferat dintr-un tanc din dublu fund, având Kg = 0,5 m şi x = 30 m faţă de perpendiculara pupa într-un alt tanc din dublu fund având Kg = 0,5 m şi x1 = 90 m de la perpendiculara pupa? Rezolvare: Ţinând cont că valoarea iniţială a înălţimii metacentrice transversale este GM = KM - KG = 0,5 m şi din datele problemei această valoare nu poate scădea sub 0, 45 m , rezultă o ridicare a centrului de greutate în urma andocării cu valoarea minimă de 0, 05 m . Prin urmare:

( )

d KG

R KG = =0, 05 m D-R

şi prin înlocuire: R × 7, 4 = 0, 05 8400 - R

de unde rezultă valoarea maximă a reacţiunii din cavalet: R = 56, 4 t Pentru a aşeza nava pe cavaleţi, momentul de înclinare determinat de R va trebui suplimentat cu momentul determinat de transferul masei P , pe distanţa l x = x1 - x = 60 m . Se poate scrie: R × LCF + P × l x

MCT =d pv - d pp 100

Înlocuind, obţinem: 56, 4 × 62 + P × 60 104 5, = 62 - 6,82 100

În final, obţinem valoarea: P = 150 t .

254 _______________________________________________________________________________

Problema 9 Înainte de a andoca, la o navă se cunosc următoarele elemente: d pv = 7, 92 m d pp = 9,30 m ; KM = 11, 43 m ; KG= 10,9 m ; MCT =

400, 5 t × m / cm ; TPC = 28,1 t / cm ;

. Adâncimea apei din doc este iniţial de 10 m . Să se găsească valoarea înălţimii metacentrice a navei atunci când nivelul apei din doc scade cu 1, 2 m precum şi pescajele navei la extremităţi. LCF = 88,5 = m ; L 174 m ; D = 28200 t

Rezolvare: Când adâncimea apei din doc ajunge la valoarea de 9,3 m egală cu pescajul pupa, nava se aşează cu pupa pe cavaletul din pupa, în care începe să se dezvolte o reacţiune de contact R . Din acel moment, pescajul la pupa va mai scădea cu 50 cm . Această variaţie de pescaj la pupa este suma a două componente: variaţia pescajului mediu datorită reacţiunii R şi variaţia pescajului la pupa datorită modificării asietei. Vom putea scrie: 50 =

R R LCF LCF + TPC MCT L

şi după înlocuire: 50 =

R R × 88, 52 + 28,1 400,5 ×174

; 50 = 0, 0355 R + 0,1123 R = 0,1478 R R = 338, 2 t

Pescajul mediu se va micşora cu valoarea: dd

R = TPC

338, 2 = 28,1

12 =cm

0,12 =m

Acţiunea lui R va determina şi o variaţie a asietei egală cu: R LCF 338, 2 × 88,5 = = MCT 400,5

74, 73 cm @ 0, 75 m

din care, o aprovare d d pv şi o ieşire a pupei din apă d d pp , mărimi care se calculează cu formulele: d d pv

174 - 88,5 L - LCF 0,=75 0,=75 0,37 m L 174 88,5 LCF d d pp =0, 75 =0, 75 0, 38=m L 174

=

Calculul pescajelor finale se poate executa tabelar: PROVA Pescajul iniţial [ m ] 7,92 Variaţia pescajului mediu -0,12 [m] Schimbarea asietei [ m ] 0,37 Pescajele finale [ m ] 8,17

PUPA 9,30 -0,12 -0,38 8,8

255 _______________________________________________________________________________

Valoarea finală a înălţimii metacentrice este:

( )

G1 M = GM - d KG = GM -

R KG = D-R

0,53 -

338, 2 ×10,9 = 28200 - 338, 2

0,397 m

Problema 10 O navă are un compartiment la prova avariat şi intră la andocare cu pescajele: d pv = 10, 20 m şi d pp = 9, 0 m . În timpul andocării, fundul navei atinge iniţial cavaletul situat la 10 m faţă de perpendiculara prova. Se mai cunosc următoarele date iniţiale: KM = 11, 25=m ; KG= 10, 6 m ; MCT 440 t × m / cm ; TPC = 39, 5 t / cm ;

LCF = 84 = m ; L 176 m ; D = 35500 t .

Să se determine înălţimea metacentrică transversală înainte de aşezarea navei cu întreaga chilă pe cavaleţi şi pescajul final când nava se aşează pe cavaleţi. Rezolvare: În momentul atingerii cu fundul navei a cavaletului situat la l = 10 m de perpendiculara prova, în punctul de contact începe să se dezvolte o reacţiune R . Acţiunea lui R va determina un moment care va roti nava în plan longitudinal în jurul unei axe care trece prin F . Braţul acestui moment va fi: la = L - ( LCF + l ) =176 - ( 84 + 10 ) = 82 m

Valoarea maximă a reacţiunii R (echivalentul masic) se determină cu relaţia: R=

MCT d pv - d pp la

×100

440 10, 2 - 9, 0 = 100 82

643,9 t

=

Înălţimea metacentrică transversală înainte de aşezarea navei cu întreaga chilă pe cavaleţi este:

(

)

G1 M = GM - d GM = GM -

R KG = D-R

0, 65 -

643,9 ×10, 6 = 35500 - 643,9

Pescajul mediu se va micşora cu valoarea: dd

R 643, 9 = =16, 3 cm = 0,163 m = TPC 39,5

Pescajul la pupa se va mări cu valoarea: d d pp =

84 LCF d pv - d pp = 10, 2 - 9,0 = 0, 572 m L 176

şi pescajul la prova se va micşora cu valoarea:

0, 45 m

256 _______________________________________________________________________________ d d pv

1,=2 - 0,572 = 0, 628 m

Calculul pescajelor finale se poate efectua tabelar. PROVA 10,2 Pescajul iniţial [ m ] Variaţia pescajului mediu -0,163 [ ] -0,628 Schimbarea asietei [ m ] 9,409 Pescajele finale [ m ]

PUPA 9,0 -0,163 0,572 9,409

Problema 11 La andocarea unei nave se cunosc următoarele date iniţiale: d pv = 7,80 m ; d pp = 8,90 m . Să se calculeze: (a) înălţimea metacentrică în momentul critic al andocării; (b) momentul de stabilitate dacă nava este înclinată transversal cu 1° în momentul critic al andocării; (c) pescajele finale la extremităţile navei; (d) reacţiunea din cavaleţi atunci când nivelul apei scade cu 20 cm , după aşezarea cu toată chila pe cavaleţi. Se mai cunosc următoarele date: MCT = 142 t × m / cm ; TPC = 27 t / cm ; LCF = 92 = =m=; L 176 m ; KG 7,5 m ; KM 8, 4 m ; D = 12500 t . Rezolvare: Valoarea reacţiunii din cavaleţi înainte de aşezarea navei cu toată chila pe cavaleţi se calculează cu formula: R=

MCT d pv - d pp LCF

100 =

142 7,80 - 8,90 92

100 =170 t

Ca urmare, înălţimea metacentrică transversală se va modifica ajungând la valoarea: G1 M = GM -

R KG D-R

= 0, 9 -

170 × 7,5 = 0, 797 m 12500 - 170

Corespunzător acestei situaţii şi unei înclinări transversale cu 1° , nava îşi va crea un moment de stabilitate M sj dat de relaţia: M sj = g ( D - R ) G1 M j = g ( D - = R ) G1M = 9,81× (12500 - 170 ) × 0,797 ×

p 180

p =171, 51 tf × m 180

257 _______________________________________________________________________________

Pescajul mediu se va modifica cu valoarea: dd

R 170 = TPC 27

6,=29 cm

0,=063 m

=

Se calculează variaţiile de pescaj la prova şi la pupa datorită modificării asietei, observând că nava se aprovează. d d pp

92 LCF d pv - d pp = 7,80 - 8,90 = 0,575 m = L 176 d d pv 1,1 = - 0, 575 = 0, 525 m

Pescajele finale rezultă din următorul calcul tabelar: PROVA Pescajul iniţial [ m ] 7,80 Variaţia pescajului mediu -0,063 [m] Schimbarea asietei [ m ] 0,525 Pescajele finale [ m ] 8,262

PUPA 8,90 -0,063 -0,575 8,262

Dacă din acest moment se produce o mişcare a nivelului apei din doc cu reacţiunea din cavaleţi se măreşte cu valoarea:

20 cm ,

P = TPC × 20 = 27 × 20 = 540 t

astfel încât valoarea finală a reacţiunii din cavaleţi (echivalentul masic) ajunge la valoarea: R1 = R + P 170 = + 540 = 710 t ( 710 tf ) .

258 _______________________________________________________________________________

CAPITOLUL VI. NESCUFUNDAREA NAVEI 47. GENERALITĂŢI. TIPURI DE COMPARTIMENTE INUNDATE. EXTINDEREA ŞI LOCALIZAREA AVARIEI Toate tipurile de nave sunt expuse riscului apariţiei unei găuri de apă şi implicit a inundării unui compartiment sau a unui grup de compartimente, datorită unei coliziuni, eşuări sau unor cauze interne cum ar fi exploziile. Dacă tabla bordajului este spartă, se formează un curent de fluid dinspre mare care inundă spaţiile deschise la mare, până când nava îşi va găsi o poziţie de echilibru sau se va răsturna sau se va scufunda cu sau fără răsturnare. Efectele inundării se manifestă prin micşorarea rezervei de flotabilitate, modificarea asietei şi a stabilităţii navei. Rezultă că în cadrul nescufundării navei se tratează flotabilitatea şi stabilitatea navei avariate şi metodele folosite în studiul flotabilităţii şi stabilităţii navei se aplică cu succes şi în acest caz, dar pentru nava avariată. Necesitatea studiului nescufundării navei este evidentă atât pentru proiectant, cât şi pentru cel care exploatează nava. Proiectantul trebuie să cunoască cum se comportă nava în diferite variante de inundare şi să o compartimenteze în modul cel mai raţional posibil. Pe de altă parte, echipajul navei trebuie să cunoască consecinţele negative ale diferitelor variante de inundare, pentru a şti ce măsuri trebuie să ia, în vederea ducerii cu succes a luptei pentru vitalitatea navei. Atunci când în interiorul navei pătrunde o cantitate de apă compartimentul care se inundă este unul din următoarele trei tipuri: a) compartimente care se inundă complet şi comunică sau nu comunică cu marea. Aceste compartimente sunt dispuse, de obicei, sub linia de plutire (Fig. 138a).

Fig. 138

259 _______________________________________________________________________________

b) compartimente care nu comunică cu marea şi sunt inundate parţial. Nivelul apei din aceste compartimente nu depinde de poziţia navei în raport cu suprafaţa liberă. Astfel de compartimente sunt: cele adiacente cu compartimentele inundate şi în care apa pătrunde prin infiltraţii, compartimente inundate după astuparea găurilor de apă; compartimente inundate ca urmare a avariilor la tubulaturi sau după ce s-a stins cu apă un incendiu apărut (Fig. 138 b). Acestea au suprafaţă liberă de lichid. c) compartimente cu suprafaţă liberă care comunică cu marea. Astfel de compartimente se întind, de obicei, până la puntea pereţilor etanşi şi nivelul suprafeţei libere a apei din interior depinde de poziţia relativă a navei în raport cu apa din exterior (Fig. 138 c). Lungimea avariei şi poziţia acesteia faţă de pereţii transversali etanşi sunt factori esenţiali în aprecierea şanselor de supravieţuire ale navei. Avaria poate apărea între doi pereţi sau poate include unul sau mai mulţi pereţi transversali, etanşi. Este de aşteptat ca mai mulţi pereţi transversali, etanşi să ofere o siguranţă mai mare navei în cazul unei avarii, însă creşterea numărului de pereţi creşte şi probabilitatea includerii acestora în avarie. În unele cazuri, se poate ajunge la situaţia aparent paradoxală că existenţa unor pereţi etanşi poate reduce, în loc să mărească şansele de supravieţuire. Pe de altă parte, o compartimentare excesivă va ridica preţul de construcţie şi va face nava ineficientă economic în timpul exploatării. Compartimentarea unei nave implică, inevitabil, un compromis între siguranţă şi cost. Acest compromis a fost parţial rezolvat pentru navele de pasageri prin adoptarea unui sistem de norme internaţional acceptate, în funcţie de mărimea navei, numărul de pasageri etc. Pentru navele de transport mărfuri, normele de compartimentare sunt minimale, iar compromisul "cost contra siguranţă" poate fi rezolvat cu dotarea navelor cu mijloace performante de salvare, colective şi individuale. Analizele făcute de un grup de cercetători, sub egida SOLAS, asupra coliziunilor produse la mai multe nave (pasagere şi cargouri) au scos în evidenţă câteva date referitoare la lungimea găurilor de apă şi poziţia lor. Rezultatele arată că avaria la bordaj se poate extinde pe lungime între 1 m sau 2 m şi 30 m . Apar multe coliziuni cu energie mică, fără ca bordajul navei să fie spart sub linia de plutire şi deci, fără inundarea interiorului navei. Foarte puţine avarii la bordaj apar la adâncimi mari. Cele mai multe avarii la bordaj au lungimea cuprinsă între 6 m şi 15 m şi se produc la adâncimi moderate. Unele dintre avarii se produc datorită coliziunii cu unghi de incidenţă de 90° sau apropiat de acesta. În aceste situaţii, spărturile în bordaj sunt adânci datorită energiilor mari de coliziune. Avarii cu lungimi foarte mari apar foarte rar, cea mai mare publicată de literatura de specialitate având lungimea de aproximativ 100 m . În concluzie, probabilitatea ca o navă să supravieţuiască în urma unei avarii la corp depinde de o serie de factori cum sunt: extinderea ei pe lungime, adâncimea la care s-a produs, poziţia în raport cu pereţii transversali etanşi. Din punct de vedere

260 _______________________________________________________________________________

strict economic, nu este indicat să se proiecteze o navă care să-şi găsească o poziţie de echilibru pentru orice fel de avarie. Orice navă se proiectează pentru un anumit grad de siguranţă. 48. EFECTELE FUNDAMENTALE ALE AVARIEI a) Modificarea pescajului mediu. Pescajul mediu al navei se va modifica până când deplasamentul părţii rămase neinundate a navei va fi egal cu deplasamentul navei înainte de inundare, mai puţin greutatea unor lichide care erau în spaţiile deschise la mare. b) Modificarea asietei. Nava se va înclina longitudinal până când centrul de carenă al părţii rămase neinundate a navei ajunge în acelaşi plan transversal în care se găseşte şi centrul de greutate şi perpendicular pe planul plutirii de echilibru. c) Înclinarea transversală. Atunci când compartimentul inundat este asimetric faţă de PD , nava se va înclina şi transversal în bordul în care se găseşte centrul de greutate al compartimentului, până când centrul de carenă al părţii rămase neinundate din carena navei ajunge pe aceeaşi verticală cu centrul de greutate şi perpendicular pe planul plutirii de echilibru. Chiar dacă spaţiul inundat este simetric faţă de PD , nava poate căpăta o bandare în unul din borduri la cea mai mică perturbaţie externă sau se poate răsturna, atunci când înălţimea metacentrică transversală devine negativă ( GM ) < 0 . d) Modificarea stabilităţii. Ne vom referi numai la stabilitatea transversală şi anume la modificarea înălţimii metacentrice transversale, care se calculează cu relaţia: GM = KB + BM - KG

Cu excepţia lui KG care îşi păstrează valoarea, inundarea modifică valorile lui KB şi BM . Cum pescajul mediu se măreşte, rezultă şi o creştere a lui KB . BM tinde să descrească la navele cu borduri verticale datorită reducerii momentului de inerţie al suprafeţei libere. Combinaţia modificării lui KB şi BM va duce, în general, la micşorarea înălţimii metacentrice GM . Excepţii de la această regulă pot face navele cu raportul dintre lăţime şi pescaj æç ö÷ mic sau navele care au bordurile evazate èdø deasupra liniei plutirii. e) Micşorarea bordului liber al navei. Cunoaşterea pescajului mediu în urma inundării va conduce la micşorarea bordului liber. Această situaţie, combinată cu reducerea înălţimii metacentrice transversale, determină o reducere a braţelor de stabilitate lsj . Astfel, nava devine vulnerabilă la acţiunea conjugată a vânturilor şi a valurilor. Regulile internaţionale impun condiţii minime pentru F şi GM după inundare adică: F = 7, 6 cm ; GM = 5 cm , care de fapt sunt rezerve foarte mici. Din fericire, după inundare, navele au valori mai mari pentru cele două mărimi. Aşa cum B

261 _______________________________________________________________________________

am arătat în §47 , creşterea numărului pereţilor transversali, etanşi conduce la creşterea probabilităţii includerii acestora în avarie, dar şi reduce extinderea zonei inundate în cazul când ei nu sunt incluşi în avarie. Pe de altă parte, pentru un număr dat de pereţi transversali etanşi un bord liber mai mare sporeşte şansele de supravieţuire ale navei. Dacă deasupra punţii pereţilor transversali etanşi, nava are construcţii etanşe (suprastructuri, rufuri) atunci efectul pozitiv al acestora va fi considerabil, în special dacă sunt situate la extremităţile navei sau în borduri, în condiţii dinamice de ruliu şi tangaj. f) Pierderea navei. Dacă partea din corp care trebuie să se scufunde pentru a realiza echilibrul depăşeşte rezerva de flotabilitate sau dacă momentul transversal de înclinare datorat inundării este mai mare decât momentul maxim de redresare al navei avariate, nava se va scufunda cu sau fără răsturnare. Chiar atunci când compartimentul inundat este simetric faţă de PD , nava se poate răsturna în condiţii în care înălţimea metacentrică rezultantă este negativă şi stabilitatea dinamică este negativă. 49. CALCULELE STABILITĂŢII DE AVARIE Calculele condiţiilor de flotabilitate şi stabilitate ale unei nave care are un compartiment sau un grup de compartimente inundate se poate face prin două metode echivalente. Prima metodă denumită şi "metoda ambarcării de mase la bord" porneşte de la ipoteza că masa de apă ce inundă nava este o masă ambarcată, iar consecinţele asupra flotabilităţii şi stabilităţii se studiază folosind algoritmul prezentat în §27. Metoda nu exprimă realitatea pe care o descrie deoarece apa intră şi iese liber în şi din compartimentul inundat, deci nu se adaugă mase suplimentare pe navă. Ea are şi câteva dezavantaje cum sunt: dificultatea de a evalua cantitatea de apă care pătrunde în compartiment, modificarea cotei KG a centrului de greutate al navei, necesitatea luării în considerare a influenţei suprafeţelor libere de lichid. Vom mai nota şi că relaţiile fundamentale pe care le vom utiliza în calculul lungimilor inundabile precum şi raţionamentele necesare se bazează pe metoda ambarcării de mase la bord. În contrast, a doua metodă denumită "metoda deplasamentului constant" constă în excluderea zonei compartimentului inundat din flotabilitatea navei. Se înlătură inconvenientele primei metode şi se pot calcula pescajul, asieta şi înclinarea transversală, egalând pierderea de flotabilitate şi momentele acesteia cu câştigul de flotabilitate ce rezultă prin mărirea pescajului mediu şi cu momentele acestuia. În ambele metode se presupune că asieta şi înclinarea transversală sunt fizic independente, ceea ce nu este exact, dar destul de adecvat pentru navele comerciale obişnuite. În cele ce urmează vom prezenta algoritmul de aplicare al ambelor metode cu specificaţia că metoda ambarcării de mase se pretează la inundarea primelor două tipuri de compartimente din clasificarea făcută în §47 (Fig. 138 a, b), iar metoda

262 _______________________________________________________________________________

deplasamentului constant se va aplica pentru studiul consecinţelor inundării unui compartiment cu suprafaţă liberă care comunică cu marea (Fig. 138c). 49.1 Metoda ambarcării de mase la bord Permeabilitatea compartimentelor Pentru a calcula efectele inundării unui compartiment folosind metoda ambarcării de mase este absolut necesară cunoaşterea volumului real de apă care inundă compartimentul. Volumul teoretic al compartimentului se calculează din planul de forme, neţinându-se cont de structura de rezistenţă a corpului sau de diferitele maşini, instalaţii, echipamente, marfă, amenajări etc. care există în interior. Rezultă că volumul real de apă care inundă compartimentul ocupă numai o parte din volumul teoretic. Raportul celor două volume se notează prin m şi poartă numele de coeficient de permeabilitate: m=

vr v

(49.1)

Dacă într-un compartiment sunt amplasate încăperi cu destinaţii diferite se poate calcula o valoare medie a coeficientului de permeabilitate cu relaţia:

åm v m= åv i

i

(49.2)

i

i

i

Vom prezenta, în continuare, câteva valori ale coeficientului de permeabilitate corespunzător la diferite tipuri de compartimente, recomandate de literatura de specialitate cu specificaţia că sunt orientative deoarece în cazul compartimentelor de marfă de exemplu; coeficientul de permeabilitate variază de la un compartiment la altul şi de la voiaj la voiaj. Valorile de mai jos sunt recomandate de R.N.R. Tipul compartimentului - Încăperi în care sunt instalate maşini, mecanisme, staţii electrice, precum şi utilajul tehnologic la navele de pescuit - Încăperi de locuit, magazii goale de mărfuri, magazii - Tancuri de încărcături lichide - Tancuri goale - Magazii de mărfuri prevăzute cu instalaţii frigorifice - Magazii umplute cu mărfuri generale sau în vrac

Permeabilitatea 0,85 0,95 0 0,95 0,93 0,6

263 _______________________________________________________________________________

Tipul compartimentului sau cu provizii (excepţie fac magaziile de minereuri) - Încăperi umplute cu material lemnos

Permeabilitatea 0,35

Calculul consecinţelor inundării unui compartiment care nu comunică cu marea Pentru efectuarea acestui calcul sunt necesare următoarele date iniţiale despre navă: - deplasamentul navei, D - lungimea navei, L - pescajele măsurate la scările de pescaj prova şi pupa, d pv şi d pp - aria suprafeţei plutirii, AWL - abscisa centrului plutirii, xF - înălţimile metacentrice transversală şi longitudinală, GM şi GM L Sunt necesare şi următoarele date despre compartimentul inundat: - masa de apă care inundă compartimentul, P - coordonatele centrului masei P , x1 , y1 , z1 - momentele de inerţie ale suprafeţei libere de lichid în raport cu axele proprii, paralele cu axele principale de înclinare ale navei, ix , iy . Utilizând relaţiile descoperite în §27, se pot spune în evidenţă următoarele consecinţe ale inundării: 1. Variaţia pescajului mediu: dd

P = r AWL

P = [ cm ] TPC

(49.3)

2. Variaţia înălţimii metacentrice transversale:

(

)

d GM=

ri ö P æ dd - z1 - GM - x ÷ d+ ç 2 D+Pè P ø

(49.4)

unde: d=

d pv + d pp

(49.5)

2

este pescajul mediu al navei. 3. Valoarea înălţimii metacentrice transversale corectate:

(

G1 M1 = GM + d GM

)

Obs. În condiţiile în care masa P este mică, cu suficient de bună acurateţe se poate recurge şi la următoarea manieră de lucru. Se consideră KM = const. şi:

( )

d KG

(

P = z1 - KG D+P

)

Rezultă că noua cotă a centrului de greutate al navei este:

(49.6)

264 _______________________________________________________________________________

( )

(49.7)

KG1 = KG + d KG

şi noua înălţime metacentrică transversală: G1 M = KM - KG1 -

r ix D+P

(49.8)

4. Variaţia înălţimii metacentrice longitudinale:

(

d GM L

)

r iy ö r iy ö P æ dd P æ = çd + - z1 - GM L ÷@ç GM L + ÷ D+Pè P ø D+ Pè P ø 2

(49.9)

5. Valoarea înălţimii metacentrice longitudinale corectate:

(

G1 M L1 = GM L + d GM L

)

(49.10)

6. Înclinarea transversală a navei: tg j @ j =

P y1

( D + P ) G1 M1

(49.11)

Dacă nava avea o înclinare transversală iniţială j0 , după inundare noua înclinare se calculează cu relaţia: j1= j0

GM G1M 1

+j

(49.12)

unde j0 are semn algebric. 7. Faţă de poziţia iniţială nava se va mai înclina longitudinal cu unghiul: tg q @ q =

P ( x1 - xF )

( D + P ) G1 M L1

(49.13)

înclinarea finală în plan longitudinal fiind: q1=

d pv - d pp L

+q

8. Variaţiile pescajelor la extremităţile navei: d d pv d d pp

æL ö d= d + ç - xF ÷ tg q è2 ø æL ö d=d - ç + xF ÷ tg q 2 è ø

(49.14) (49.15)

9. Pescajele finale la extremităţile navei: (49.16) d1 pp = d pp + d d pp (49.17) Algoritmul de calcul prezentat mai sus este valabil pentru compartimentele deschise la partea superioară sau pentru compartimentele parţial umplute. Atunci când compartimentul este închis la partea superioară şi complet inundat, relaţiile de mai sus rămân valabile cu deosebirea că, neavând suprafeţe libere de lichid, ix = i y = 0 . d1 pv = d pv + d d pv

265 _______________________________________________________________________________

De asemenea, algoritmul de calcul prezentat mai sus este valabil în ipotezele: şi navă cu borduri verticale şi înclinări mici. Dacă P > 0,1 D , studiul consecinţelor inundării se face utilizând diagrama de carene drepte. P < 0,1 D

49.2 Metoda deplasamentului constant Calculul consecinţelor inundării unui compartiment cu suprafaţă liberă care comunică cu marea Se consideră că nava înainte de inundare era pe carenă dreaptă. Vom utiliza metoda deplasamentului constant (metoda excluderii) pentru evaluarea consecinţelor inundării, metodă care foloseşte mărimi din diagrama de carene drepte. Pentru un calcul mai exact sau pentru un caz de avarie complexă se va utiliza tot metoda ambarcării de mase la bord în iteraţii succesive, dat fiind faptul că modificarea poziţiei navei în raport cu suprafaţa liberă, schimbă şi masa de apă care inundă nava. Cu referire la Fig. 139, nava aflată iniţial pe carenă dreaptă (plutirea WL ) îşi va modifica pescajul mediu, asieta şi se va înclina transversal, simultan. Considerând că aceste efecte nu interacţionează fizic, le vom studia separat.

Fig. 139

Variaţia pescajului mediu Se consideră volumul teoretic al compartimentului inundat, măsurat până la plutirea iniţială şi se notează cu v . Volumul de apă ce inundă compartimentul este v ' = m v . Acelaşi volum, dar sub altă formă, se va regăsi deasupra plutirii iniţiale. Rezultă în primă aproximaţie o variaţie a pescajului mediu egală cu:

266 _______________________________________________________________________________ mv =' AWL

d d'

mv = AWL - m s s

(49.18)

unde : m s - este coeficientul de permeabilitate al suprafeţei compartimentului; s - suprafaţa secţiunii orizontale prin compartiment la nivelul plutirii WL ; ' AWL - aria plutirii care rămâne intactă după inundare.

În a doua aproximaţie, variaţia finală a pescajului se calculează cu relaţia: dd =

2mv ' ' AWL + AWL 1

(49.19)

unde: (49.20) Se observă din (49.19) că în a doua aproximaţie s-a lucrat cu media aritmetică a ' ' şi AWL . ariilor AWL ' AWL = AWL - m s s1 1

1

Modificarea asietei Nava se va înclina longitudinal sub acţiunea momentului: (49.21) unde x este distanţa măsurată longitudinal între centrul de greutate al volumului pierdut situat sub linia de plutire până la centrul de greutate al volumului câştigat deasupra plutirii iniţiale. Acest ultim punct poate fi considerat la jumătatea distanţei ' ' F ' F1' , unde F ' şi F1' sunt centrele plutirilor AWL şi AWL . Vom nota cu a şi b coordonatele centrului de greutate al suprafeţei libere a apei din compartiment la plutirea WL . Vom putea scrie: M eL = m r g v x

1

xF ' =

yF ' = -

AWL xF - m s s a = AWL - m s s

ms s b AWL - m s s

xF -

m s s ( a - xF ) AWL - m s s

(considerând că yF = 0 )

Similar, pentru plutirea W1 L1 scriem: xF ' = xF1 1

yF ' = 1

(

m s s1 a1 - xF1

)

xF ' + xF ' = = 1 ; yC 2

m s s1 b1 AWL - m s s1 y F ' + yF ' 1

2

; zC

(49.23)

(49.24)

AWL1 - m s s1

(49.25)

Volumul câştigat deasupra plutirii WL va avea coordonatele: xC =

(49.22)

d+

dd 2

267 _______________________________________________________________________________

Centrul de greutate al volumului pierdut sub plutirea WL se va determina în funcţie de arhitectura acestui volum, iar coordonatele sale se notează cu xP , yP şi zP . În aceste condiţii, momentul longitudinal de înclinare (49.21) se poate rescrie: M eL = m r g v ( xP - xC ) (49.26) Inundarea va modifica şi stabilitatea longitudinală respectiv înălţimea metacentrică longitudinală. Ţinând cont că centrul de greutate al navei nu îşi modifică poziţia, obţinem: GM L' = KB ' + B ' M L' - KG (49.27) Noua rază metacentrică longitudinală este: B ' M L' =

I 'f1

(49.28)

V

unde I 'f este momentul de inerţie longitudinal al ariei plutirii W1 L1 rămasă intactă, care se calculează folosind teorema lui Steiner cu formula: 2 2 (49.29) I 'f = I f - m s éi y + s1 ( a1 - xF ) ù - ( AWL - m s s1 )( xF' - xF ) ê ú 1

1

1

ë

1

1

û

1

1

1

i y1 este momentul de inerţie al suprafeţei libere de lichid în raport cu o axă paralelă

cu axa y ce trece prin centrul acestei suprafeţe. Noua cotă a centrului de carenă este:

( )

(49.30)

KB ' = KB + d KB

unde d ( KB ) se calculează din relaţia de egalitate a momentelor statice în raport cu un plan paralel cu PB , ce trece prin centrul de carenă iniţial, adică:

( )

d KB V=

(

) (

v ' zC - KB - v ' zP - KB

)

(49.31)

sau mai departe:

( )

d KB=

v' v' dd ( zC - z P ) = æç d + - zP ö÷ 2 V Vè ø

(49.32)

Unghiul de înclinare longitudinală se calculează din egalitatea dintre momentul de înclinare şi momentul de stabilitate: m r g v ( xP - xC ) r g V GM = L' tg q (49.33) de unde rezultă: tg q =

m v ( xP - xC ) V GM L'

(49.34)

Pescajele finale ale navei sunt: æL ö ' d pv = d + d d + ç - xF' 1 ÷ tg q è2 ø L æ ö ' = d + d d - ç + xF' 1 ÷ tg q d pp è2 ø

(49.35) (49.36)

268 _______________________________________________________________________________

Înclinarea transversală Compartimentul inundat fiind asimetric faţă de PD , nava se va înclina şi transversal sub acţiunea momentului M e = m r g v ( yP - yC ) (49.37) Datorită inundării compartimentului, noua valoare a înălţimii metacentrice transversale va fi: GM ' = B ' M ' + KB ' - KG (49.38) Pentru calculul noii raze metacentrice transversale se foloseşte relaţia: B' M ' =

I x' V

(49.39)

unde I x' este momentul de inerţie transversal al ariei plutirii rămase intacte şi se calculează cu formula: I x' = I x - m s ( ix + s1 b12 ) - ( AWL - m s s1 ) yF' 2 (49.40) ix este momentul de inerţie al suprafeţei libere în raport cu o axă paralelă cu axa x ce trece prin centrul acestei suprafeţe. Odată cunoscută valoarea înălţimii metacentrice transversale după inundare, se va calcula unghiul transversal de înclinare cu formula: 1

1

1

1

tg j @ j =

m v ( y P - yC ) V GM '

(49.41)

Dacă j > 15° , atunci se va proceda la rezolvarea acestei probleme cu ajutorul diagramei de stabilitate statică după ce în prealabil a fost calculată pentru nava avariată. Unghiul j nu va fi în nici un caz mai mare decât limita prescrisă de regulile de registru. 50. CALCULUL LUNGIMILOR INUNDABILE Considerăm o navă care pluteşte iniţial pe carenă dreaptă având plutirea WL şi căreia i se inundă un compartiment care se întinde dintr-un bord în altul, ajungând la plutirea W2 L2 , tangentă la linia de siguranţă şi înclinată longitudinal cu unghiul q . Urmărim determinarea volumului, poziţiei centrului de greutate şi lungimii compartimentului inundat.

269 _______________________________________________________________________________

Fig. 140

Cu referire la Fig. 140, s-au făcut următoarele notaţii: V - volumul carenei la plutirea WL ; V2 - volumul carenei la plutirea W2 L2 ; v2 - volumul net al compartimentului inundat; B - centrul de carenă corespunzător plutirii WL ;

B2 - centrul de carenă corespunzător plutirii W2 L2 ; g2 - centrul de greutate al compartimentului inundat; G

- centrul de greutate al navei.

Vom nota cu KG , KB2 şi Kg 2 cotele punctelor G , B2 şi g2 , adică distanţele de la aceste puncte până la linia de bază. La echilibru avem: v2 = V2 - V v2 l5 = V l4 ; rezulta v2 =

V l4 l5

l1 = x1 + KG tg q

(50.1)

l2 = x2 + KB2 tg q l3 = xW + Kg 2 tg q

( + ( Kg

)

l4 = é x2 - x1 + KB2 - KG tg q ù cos q ë û l5 = é xW - x2 ë

2

)

- KB2 tg q ù cos q û

270 _______________________________________________________________________________

Fig. 141

Din grupul de relaţii (50.1) rezultă: v2 = V2 - V =

(

) )

V é x2 - x1 + KB2 - KG tg q ù ë û é xW - x2 + Kg 2 - KB2 tg q ù ë û

(

(50.2)

V2 x2 - V x é V KB2 - V KG ù (50.3) - ê Kg 2 - 2 ú tg q V2 - V V2 - V úû ëê Se poate considera că termenii ce conţin pe tg q sunt mici în comparaţie cu xW =

ceilalţi termeni şi putem scrie: v2 = V2 - V =

xW =

V ( x2 - x1 )

( xW - x2 )

V2 x2 - V x1 V2 - V

(50.4) (50.5)

Relaţiile (50.4) şi (50.5) se folosesc pentru calculul lungimii compartimentului inundat şi pentru poziţionarea centrului de greutate al acestuia, iar erorile datorate neglijării termenilor ce conţin pe tg q sunt oricum mai mici decât erorile introduse de adoptarea permeabilităţilor. Dacă este necesar un calcul cât mai exact se utilizează formulele (50.2) şi (50.3). Vom descrie în continuare o metodă directă de calcul a lungimilor inundabile, utilizând ecuaţiile (50.4) şi (50.5); metodă propusă de ing. F. Shirokauer (1928). Pe profilul lateral al navei pe care s-au trasat un număr de curbe Bonjean (se poate lucra chiar pe diagrama Bonjean), se trasează linia de supraimersiune, la distanţa de 76 mm de la puntea pereţilor etanşi, paralelă cu selatura punţii în planul diametral. În Fig. 141 este prezentată o diagramă Bonjean cu zece cuple, care se extinde pe înălţime de la un pescaj inferior, dar care se poate reprezenta pornind de la linia de bază, dacă necesităţile o cer.

271 _______________________________________________________________________________

Se trasează mai întâi linia paralelă cu linia de bază tangentă la linia de supraimersiune, în punctul cel mai de jos (linia de asietă paralelă). În continuare, Shirokauer propune următorul algoritm de lucru. Fie: D = înălţimea de la linia de bază la linia de siguranţă (în punctul cel mai de jos); d = pescajul de la linia de bază până la linia de încărcare de compartimentare (linia corespunzătoare pescajului maxim posibil, permis de regulile după care se efectuează calculele). Se calculează H = 1, 6 D - 1,5 d . La extremităţile navei, mai precis pe perpendicularele prova şi pupa, se măsoară, de la linia de asietă paralelă în jos, distanţele H / 3 ; 2 H / 3 şi H , ca în Fig.141. Din fiecare din cele şase puncte se duc plutiri tangente la linia de siguranţă: trei plutiri apupate (1A , 2 A , 3 A ) şi trei plutiri aprovate (1F , 2 F , 3F ) . Sunt acum şapte plutiri tangente la linia de siguranţă, la cele şase adăugându-se şi linia de asietă paralelă. În următoarea etapă se calculează pentru fiecare din cele şapte plutiri tangente la linia de siguranţă, volumul corespunzător al carenei şi abscisa centrului de carenă cu relaţiile: V2 =

L 2

òA

x

(50.6)

dx

L 2

1 xB2 = x2 = V2

L 2

òxA

x

-

dx

(50.7)

L 2

Valorile Ax se scot din diagrama Bonjean, iar pentru integrare se foloseşte una din metodele numerice.

Fig. 142

272 _______________________________________________________________________________

Pasul următor constă în calculul volumului compartimentului inundat v2 şi a abscisei centrului de greutate a compartimentului inundat xW , cu formulele (50.4) şi (50.5). Odată determinate valorile acestor mărimi, se pot trasa aşa numitele "curbe de interpolare" ca în Fig. 142. Liniile notate cu 3 A , 2 A ,... 2F , 3F reprezintă plutirile despre care am vorbit anterior; aşezate pe axa ox la intervale egale. Distanţa dintre intervale este aleasă arbitrar. Deoarece curbele xW au o curbură pronunţată în vecinătatea plutirilor 3A şi 3F , sunt necesare puncte adiţionale pentru construirea acestora. Pentru celelalte curbe nu sunt necesare puncte adiţionale întrucât în vecinătatea plutirilor 3A şi 3F curburile nu sunt pronunţate.

Fig. 143

Pentru calculul lungimilor inundabile vom prezenta o metodă care se bazează pe ipoteza că pe lungimea compartimentului inundat, plutirea înclinată se suprapune cu linia de supraimersiune, ceea ce înseamnă că pe aceeaşi lungime, curba ariilor secţiunilor transversale, corespunzătoare plutirii tangente la linia de siguranţă, se identifică cu curba ariilor secţiunilor transversale până la linia de siguranţă (Fig. 143). Se trasează, cu ajutorul diagramei Bonjean curba Ax ( x ) a ariilor secţiunilor transversale pentru linia de siguranţă şi plecând de la una din extremităţi (de exemplu perpendiculara pupa) se calculează integrala acestei curbe, adică

273 _______________________________________________________________________________ x

V ( x) =

òA

x

-

dx

(50.8)

L 2

Fig. 144

La distanţa xW de ordonată se trasează o verticală care va intersecta curba V ( x ) în punctul a (Fig. 144). În continuare, se aşează un segment de = vC astfel încât aria

( adc ) să fie egală cu aria ( aeb ) , unde

v ö æ vC este volumul compartimentului ç vC = 2 ÷ . mø è

Această egaliatate exprimă condiţia ca centrul de greutate al compartimentului să se găsească la distanţa xW de secţiunea de la mijlocul navei. Distanţa dintre punctele b şi c este egală cu lungimea compartimentului care dacă se inundă, nava se scufundă până la o plutire tangentă la linia de siguranţă. Se proiectează jumătatea lungimii bc pe axa x , obţinând punctul corespunzător jumătăţii compartimentului. Pentru construirea lungimilor inundabile, în acest punct se va ridica un segment cu lungimea l . 51. CALCULUL DIAGRAMEI DE STABILITATE STATICĂ PENTRU O NAVĂ AVARIATĂ Stabilitatea şi înclinarea transversală a navei după inundare, precum şi asieta sau variaţia pescajului mediu, pot fi evaluate fie folosind "metoda deplasamentului constant", fie folosind "metoda ambarcării de mase". Cum "metoda ambarcării de mase" a căpătat o aplicabilitate mai largă, o vom utiliza şi în acest caz. Înălţimea metacentrică transversală, corectată datorită suprafeţei libere de lichid este: G2 M 2 = KM 2 -

unde:

r m s ix - KG2 D2

(51.1)

274 _______________________________________________________________________________ D 2= D + P este deplasamentul navei după inundare, considerând şi masa de apă P ambarcată; m s este coeficientul de permeabilitate al suprafeţei libere a apei din

compartiment; KM 2 este cota metacentrului transversal pe plutire dreaptă la deplasamentul D2 ; ix este momentul de inerţie al suprafeţei libere a apei din compartiment în raport cu o axă paralelă cu axa de înclinare, ce trece prin centrul acestei suprafeţe; -

r m s ix D2

este corecţia înălţimii metacentrice datorită influenţei negative a

suprafeţei libere de lichid; KG2 este centrul de greutate al navei corespunzător deplasamentului D 2 .

Fig. 145

Aşa cum se observă în Fig. 145, compartimentul inundat comunică cu marea, ceea ce înseamnă că apa poate ieşi şi intra liberă în acest spaţiu; prin urmare, deplasamentul în condiţii de inundare nu trebuie să includă şi cantitatea de apă ce inundă nava. Cum pentru înălţimea metacentrică transversală se acceptă o valoare minimă după inundare de 0, 05 m , dacă aplicăm "metoda ambarcării de mase" şi considerăm noul deplasament D2 , rezultă o valoare minimă a înălţimii metacentrice egală cu 0, 05 ×

( D2 - P ) D2

. La această valoare s-a ajuns din condiţia păstrării valorii

coeficientului de stabilitate, adică:

( D2 - P=) 0, 05

D 2 × 0, 05

( D2 - P ) D2

(51.2)

Introducând această valoare minimă în membrul stâng al relaţiei (51.1), rezultă:

275 _______________________________________________________________________________

0, 05

( D2 - P ) D2

şi KG2 sub forma: KG2 = KM 2 -

r m s ix - KG2 D2

(51.3)

r m s ix (D - P) - 0, 05 2 D2 D2

(51.4)

= KM 2 -

Cota centrului de greutate înainte de inundare se calculează cu relaţia: KG =

D 2 KG2 - P z1 ( D2 - P )

(51.5)

Introducem (51.4) în (51.5) şi rezultă valoarea maximă a cotei centrului de greutate iniţial, pentru ca după inundare, stabilitatea transversală să nu fie compromisă. KG =

D 2 KM 2 - r m s ix - P z1 - 0, 05 D2 - P

(51.6)

Ambarcarea masei de apă P la distanţa y1 faţă de planul PD va deplasa lateral în acelaşi bord centrul de greutate al navei pe distanţa: t=

P y1 D2

(51.7)

De asemenea, din (51.5) sau independent, scriind ecuaţia de momente statice faţă de PB , obţinem: KG2 =

D KG + P z1 D2

(51.8)

Braţul stabilităţii statice corespunzător unghiului j de înclinare transversală este lsj = G2 Z 2 şi are expresia: æ t ö G2 Z 2 = KN - KG2 sin j - t cos j sin=j ç KN - KG2 ÷ tg j ø è

(

)

(51.9)

Dacă în relaţia (51.9) introducem (51.7) şi (51.8), după efectuarea câtorva calcule matematice elementare, găsim: é ( D - P ) KG - P æ z + y1 ö ù G2 Z 2 = sin j ê KN - 2 ç 1 ÷ú tg j ø û D2 D2 è ë

(51.10)

sau: g D 2 KN sin j - g ( D 2 - P ) KG sin j - g P ( z1 sin j + y1 cos j )

(51.11) Membrul stâng reprezintă momentul de stabilitate al navei avariate şi înclinată transversal cu unghiul j . Cele trei componente din membrul drept au semnificaţii fizice, după cum urmează: g D 2 KN sin j r V2 KN=sin j - este momentul forţei de împingere arhimedică al navei neavariate cu deplasamentul D2 , în raport cu punctul K ; g D 2=G2 Z 2

276 _______________________________________________________________________________ g ( D 2 - P ) KG sin j

- este momentul forţei de greutate al navei neavariate, în

raport cu punctul K ;

g P ( z1 sin j + y1 cos j ) - este momentul greutăţii ambarcate în raport cu punctul

K.

PROBLEME REZOLVATE

277 _______________________________________________________________________________

Problema 1 O navă

tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: L= 110 m ; B= 12 m ; D= 8 m şi pluteşte în apă sărată la pescajul d = 6 m . Un compartiment cu lungimea l = 9 m situat la jumătatea lungimii navei şi care se extinde dintr-un bord în celălalt se inundă. Dacă înainte de inundare cota centrului de greutate era KG = 4,8 m , să se determine: a) pescajul navei după inundare; b) înălţimea metacentrică transversală în condiţiile iniţiale; c) înălţimea metacentrică transversală după inundare; d) înălţimea metacentrică transversală a navei neinundate, la pescajul de inundare considerând acelaşi KG ; e) momentul de stabilitate al navei înclinate transversal cu 1° în condiţiile de la punctele b); c) şi d). Rezolvare: METODA DEPLASAMENTULUI CONSTANT - Se calculează pescajul după inundare cu relaţia: L B d = L B d' -l Bd'

adică: d' =

Ld L-l

110 × 6 = 110 - 9

= 535 m 6,

Deplasamentul navei este: D

r ( L=- l ) B d '= 1, 025 (110 - 9 )12 × 6, 535 = 8118 t

Înălţimea metacentrică transversală în condiţiile iniţiale are valoarea: GM = KM - KG =

d B2 6 122 + - KG = + - 4,8 = 0, 2 m 2 12 d 2 12 × 6

Dacă nava se înclină transversal cu 1° în această situaţie momentul de stabilitate este: M sj = g D GM sin j @ g D GM j = 9,81 × 8118 × 0, =2

p 180

277,98 KN × m

Înălţimea metacentrică transversală a navei după inundare se calculează cu formula:

( L - l ) B - KG d' + 2 12 ( L - l ) B d ' 3

GM ' = KM ' - KG = KB ' + B ' M ' - KG =

Prin înlocuire, obţinem: GM ' =

6,535 12 2 + - 4,8 = 0, 304 m 2 12 × 6,535

278 _______________________________________________________________________________

Momentul de stabilitate în această situaţie pentru nava înclinată transversal cu 1° este: M s' j = g D GM ' sin j @ g D GM ' j

9,81 = × 8118 × 0,304 =

p 180

422,54 KN × m

Se calculează înălţimea metacentrică transversală a navei intacte la pescajul de inundare, considerând aceeaşi cotă a centrului de greutate, cu formula: d' B2 GM 1 = KM 2 - KG = + - KG 2 12 d '

După înlocuire, obţinem: GM 1 =

6,535 122 + - 4,8 = 0,304 m 2 12 × 6, 535

Momentul de stabilitate pentru nava înclinată transversal cu 1° este: M 1sj = r g L B d ' GM 1 sin j @ r g L B d ' GM 1 j

adică: M 1sj = 1, 025 × 9,81 ×110 × 12 × 6, 535 × 0,304 ×

p 180

= KN × m 460, 21

Problema 2 O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: L = 80 m ; B = 6 m ; D = 4 m şi pluteşte la pescajul d = 2 m . Un compartiment cu lungimea l = 10 m , lăţimea b = 4 m , situat la mijlocul navei şi simetric faţă de PD se inundă. Cunoscând că înainte de inundare KG = 2, 2 m , să se calculeze înălţimea metacentrică transversală a navei înainte şi după inundare. Rezolvare: Se calculează înălţimea metacentrică transversală iniţială: GM = KM - KG =

2 62 d B2 + - KG = + - 2, 2 = 0, 3 m 2 12 d 2 12 × 2

Pescajul după inundare se calculează din relaţia: L B d = L B d' -l b d'

adică: d' =

LBd L B -l b

80 × 6 × 2 = 80 × 6 - 10 × 4

2,182 = m

Se calculează înălţimea metacentrică transversală după inundare: GM ' = KM ' - KG

După înlocuire, obţinem:

KB ' + =B ' M ' - KG

L B3 l b 3 d 12 - KG + =12 2 LBd '

279 _______________________________________________________________________________

GM ' =

2,182 80 × 63 - 10 × 43 + - 2, 2 = 0,335 m . 2 12 × 80 × 6 × 2

Problema 3 O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: L = 60 m ; B = 9 m şi pluteşte la pescajul d = 5 m , având cota centrului de greutate KG = 3 m . Un compartiment situat la jumătatea lungimii navei se extinde pe înălţime până la puntea principală şi pe lăţime de la tribord spre babord. Dimensiunile compartimentului sunt l = 6 m şi b = 6 m . Să se calculeze înclinarea transversală a navei în cazul inundării compartimentului. Rezolvare: - Noul pescaj al navei se determină din ecuaţia: L B d = L B d' -l b d'

adică: d' =

LBd L B -l b

60 × 9 × 5 = 60 × 9 - 6 × 6

5, = 357 m

Deoarece compartimentul inundat este asimetric faţă de PD , centrul plutirii suprafeţei libere se va deplasa, iar ordonata acestuia se va calcula cu formula: æB bö lbç - ÷ 2 2ø yF ' = - = è L B -l b

æ9 6ö 6× 6×ç - ÷ 2 2ø -= è 60 × 9 - 6 × 6

-0,107 m

Se calculează înălţimea metacentrică transversală rezultată în urma inundării: GM ' = KM ' - KG= KB ' + B ' M ' - KG=

d ' I x' - - KG 2 V

unde: I x' =

2 L B 3 é l b3 æ B -bö ù 2 -ê + l bç ÷ ú - ( L B - l b ) yF ' 12 è 2 ø úû êë 12

După înlocuire, obţinem: I x' =

2 60 × 93 é 6 × 63 2 æ9-6ö ù 4 -ê + 6×6×ç ÷ ú - ( 60 × 9 - 6 × 6 )( -0,107 ) = 3511 m 12 è 2 ø úû êë 12

De asemenea: V = L=B d

60 × 9 × 5 = 2700 m3

Rezultă valoarea înălţimii metacentrice transversale: GM ' =

5,357 3511 + - 3 = 0,979 m 2 2700

Unghiul de înclinare transversală se calculează cu relaţia:

280 _______________________________________________________________________________ æ B -b ö lbdç - yF ' ÷ 2 ø tg j @ j = = = = è L B d GM '

æ9-6 ö + 0,107 ÷ 6 × 6 × 5ç 2 è ø 60 × 9 × 5 × 0,979

0,109 rad

6, 22° Tb

Problema 4 O navă tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: L = 180 m ; B = 20 m şi pluteşte la pescajul d = 12 m , având centrul de greutate situat la înălţimea KG = 8 m , deasupra chilei. Un compartiment cu lungimea l = 12 m situat la extremitatea prova şi care se întinde dintr-un bord în altul se inundă. Să se calculeze pescajele finale la extremităţile navei. Rezolvare: - În urma inundării, pescajul mediu ajunge la valoarea: d' =

LBd L B -l b

180 × 20 ×12 = = m 12,857 180 × 20 - 12 × 20

- Compartimentul inundat este asimetric faţă de cuplul maestru şi ca urmare, centrul plutirii se va deplasa. Abscisa acestuia se calculează cu formula: æL lö l Bç - ÷ 2 2ø xF ' = - = è L B -l B

æ 180 12 ö 12 × 20 ç - ÷ 2 2ø è -= 180 × 20 - 12 × 20

-6 m

Se calculează înălţimea metacentrică longitudinală rezultată în urma inundării: ' d ' I f1 - KG 2 V

GM L' = KB ' + B ' M L' - KG=

unde: 2

I 'f1 =

B L3 B l 3 æL l ö - l B ç - ÷ - ( L B - l B ) xF2 ' 12 12 è 2 2ø

Prin înlocuire, rezultă: 2

I 'f1 =

20 ×1803 20 ×123 2 æ 180 12 ö - 12 × 20 ç - ÷ - (180 × 20 - 12 × 20 )( -6 ) = 7902720 m4 12 12 2 2 è ø

Valoarea finală a lui GM L' este: GM L' =

12,857 7902720 + - 8 = 181,36 m 2 180 × 20 ×12

Nava se va aprova cu unghiul: tg q @ q

æL l ö æ 180 12 ö - + 6÷ l B d ç - - xF ' ÷ 12 × 20 ×12 ç 2 2 2 è 2 ø = è = = ø = ' 180 × 20 × 12 × 181,36 L B d GM L

0, 033 rad

Se calculează pescajele finale la extremităţile navei:

1,89°

281 _______________________________________________________________________________ æL ö æ 180 ö ' = d ' + ç - xF ' ÷ tg q 12,857 =+ ç + 6 ÷ 0,033 = 16, 025 m d pv 2 2 è ø è ø 180 L æ ö æ ö ' = d ' - ç + xF ' ÷ tg q 12,857 =- ç - 6 ÷ 0, 033 = 10, 085 m d pp è2 ø è 2 ø

Problema 5 O navă

tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: L= 100 m ; B= 9 m ; D= 6 m şi pluteşte în apă sărată la pescajul d = 5 m . Un compartiment cu lungimea l = 20 m situat la jumătatea lungimii navei şi care se extinde pe toată lăţimea navei, se inundă. Coeficienţii de permeabilitate sunt m = 0,583 şi m s = 0, 641 . Să se calculeze valorile finale ale pescajului şi înălţimii metacentrice, considerând KG = 3,5 m . Rezolvare: Pescajul final se determină din relaţia: L B d = L B d' -m l B d'

adică: d' =

LBd L B -m l B

100 × 9 × 5 = 100 × 9 - 0, 583 × 20 × 9

5, 66 m=

Se calculează valoarea finală a înălţimii metacentrice transversale: GM ' = KM ' - KG =KB ' + B ' M ' - KG

sau: L B3 l B3 - ms d 12 - KG GM ' = + 12 LB d 2 '

100 × 93 20 × 93 - 0, 641 5, 66 12 - 3,5 + 12 = 2 100 × 9 × 5

După efectuarea calculelor, obţinem: GM ' = 0,506 m .

282 _______________________________________________________________________________

BIBLIOGRAFIE [1] Bidoae I., Sgrumala M. - Proiectarea şi construcţia navelor mici, Editura Tehnică, Bucureşti, 1978 [2] Bidoae I., Sârbu N., Chirică I., Ionaş O. - Îndrumar de proiectare pentru teoria navei, Universitatea din Galaţi, 1986 [3] Bidoae I. - Teoria navei, Universitatea din Galaţi, 1985 [4] Chiţac V. - Capitole de mecanica fluidelor, Note de curs, Academia Navală "Mircea cel Bătrân", Constanţă 1993 [5] Chiţac V. - Teoria valurilor şi capitole de hidromecanică navală, Academia Navală "Mircea cel Bătrân", Constanţă 1999 [6] Comstock J. - Principles of Naval Architecture, S.N.A.M.E., NJ, 1967 [7] Deboveanu M. - Tratat de manevra navei (vol I), Lumina Lex, Bucureşti 2000 [8] Deboveanu M. - Tratat de manevra navei (vol II), Lumina Lex, Bucureşti 2001 [9] Dinu I. - Teoria generală a plutirilor, Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucureşti, 1974 [10] Jong B. - Some Notes on Traverse Stability of Ships in Irregular Longitudinal Waves, Technische Hogeschool, Delft, Report No 303, 1970 [11] Kaţman F. - Teoria sudna i dvijiteli, Sudostroenie, Leningrad, 1979 [12] Laster A. R. - Merchant Ship Stability, Butterworths, Taiwan, 1986 [13] Maier V. - Mecanica şi construcţia navei. Statica navei (vol I), Editura Tehnică, Bucureşti, 1985 [14] Miulescu I., Câmpian I. - Teoria navei, Editura Militară, Bucureşti, 1973

283 _______________________________________________________________________________

[15] Năstase C. - Calculul şi construcţia navei, Editura Tehnică, 1964 [16] Popovici O., Chirică I., Ioan A. - Calculul şi construcţia navei, Universitatea din Galaţi, 1984 [17] Rajdestvenski B., Lugovski B., Borisov B. - Statika Karablea, Sudostroenie, Leningrad, 1986 [18] Roberts P. - Watchkeeping Safety and Cargo Management in Port. A practical guide, The Nautical Institute, London, 1995 [19] Semyonov - Tyan - Shansky V. - Statics and Dynamics of the Ship, Sudostroenie, Leningrad, 1973 [20] Voitkunski Ia. N. - Spravocinik po teoria karablea, Sudostroenie, Leningrad, 1976 [21] William E. George - Stability and Trim for the Ship's Officer, Cornell Maritime Press, Inc. 1983 [22] X X X - Principles of Naval Architecture - Second revision, (vol I). Stability and Strenght, S.N.A.M.E. NJ, 1988 [23] X X X - S.T.C.W. Convention - International Convention on Standards of Training, Certification and Watchkeeping for Seafarens, 1978, as amended in 1995 and 1997, International Maritime Organization (I.M.O.), London, 1976