Statica Constructiilor - APLICATII (AEF)

LIVIA GABOR EMIL ALBOTĂ

MELANIA ZANFIR RUXANDRA ENACHE

CONSPRESS

BUCUREŞTI 2003

LIVIA GABOR EMIL ALBOTĂ

MELANIA ZANFIR RUXANDRA ENACHE

STATICA CONSTRUCłIILOR APLICAłII

CONSPRESS

BUCUREŞTI 2003

Referent ştiinŃific: prof. univ. dr. ing. Florin MACAVEI

Redactor responsabil şi consilier editorial: Vasile TĂMÂIAN

Descrierea CIP a Bibliotecii NaŃionale a României Statica ConstrucŃiilor: aplicaŃii / Livia Gabor, Emil Albotă, Melania Zanfir, Ruxandra Enache. – Bucureşti: Conspress, 2003 Bibliogr. ISBN 973-8165-35-0 I. Gabor, Livia II. Albotă, Emil III. Zanfir Melania IV.Enache, Ruxandra 624.041

ColecŃia Tehnică

CONSPRESS B-dul Lacul Tei nr. 124, sector 2, Bucureşti Tel: (021) 2422719 int 183 e-mail: [email protected]

PARTEA I

STRUCTURI

STATIC DETERMINATE

PARTEA I. STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Structurile static determinate sunt structurile care pot fi rezolvate cu ajutorul ecuaŃiilor de echilibru static (dacă forŃele se raportează la poziŃia iniŃială, nedeformată). Structurile rezolvate în culegerea de faŃă au comportare liniar elastică ceea ce corespunde modelului geometric liniar, respectiv fizic liniar. Pornind de la ideea că schema de calcul reprezintă rezultatul modelării structurii reale, prin modelul geometric liniar, respectiv fizic liniar, se înŃelege acceptarea următoarelor ipoteze:
Ipoteza micilor deplasări.

MODELUL GEOMETRIC LINIAR


Exprimarea echilibrului faŃă de poziŃia iniŃială, nedeformată.
Reducerea barelor structurii la axele lor geometrice.
Material perfect elastic, omogen continuu şi izotrop.

MODELUL FIZIC LINIAR


Solicitare până la limita de proporŃionalitate.


Legătură liniară între tensiuni şi deformaŃii specifice (Legea lui Hooke).

La structurile cu comportare liniar elastică se pot aplica cele două principii care rezultă ca o consecinŃă a acceptării modelelor mai sus menŃionate : - principiul superpoziŃiei liniare şi - principiul proporŃionalităŃii dintre acŃiune şi răspuns. MenŃionăm de asemenea că rezolvările se limitează la structuri plane formate din bare drepte acŃionate în planul lor. ConvenŃiile de semne pentru eforturile secŃionale ca şi convenŃiile de reprezentare ale diagramelor de eforturi rămân neschimbate fată de RezistenŃa Materialelor. Astfel eforturile secŃionale pozitive sunt considerate acele eforturi care deformează în sensul lor elementul de bară de lungime dx (Fig. a).

1

PARTEA I

STRUCTURI

STATIC DETERMINATE

Fig. a. dx

N

N dθ dx

M

γ

M

N

M

M

N

T T

T

T

γ

dx

dx

dx

ConvenŃia de semne pentru eforturile secŃionale: - ForŃa axială pozitivă întinde elementul de bară. - ForŃa tăietoare pozitivă formeaza un cuplu orar (unghiul γ de deformare este orar). - Momentul încovoietor pozitiv întinde fibra de jos a elementului de bară. Diagramele eforturilor secŃionale se reprezintă faŃă de o axa de referinŃă, de obicei axa barei. Astfel avem: N axa barei

axa barei

M Fig. b.

T

Pentru trasarea rapidă şi corectă a diagramelor de eforturi se alege pe fiecare bară a structurii un sens de parcurgere, reprezentat dedesubt şi care va stabili noŃiunile: - sus, jos. - stânga ST şi DR dreapta. sens de parcurgere

jos

jos

sus

sus

DR

jos

DR

ST

sus

ST

DR

ST

Fig. c.

2

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

CAPITOLUL 1 GRINDA SIMPLU REZEMATĂ

APLICAłIA 1 Pentru grinda simplu rezemată de mai jos (Fig. 1.1) se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi N, T, M.

90 KN

15 KN/ml

30 KN

2m

4m

a. Calculul reacŃiunilor Se elimină legăturile şi se propun reacŃiunile ca sens în articulaŃia 1 si reazemul simplu 4.

∑X

H1 = 30 KN

90 KN

(∑ M ) 4 = 0 ⇒ V1;

30 KN

H1=30 KN 1

4

3

2

V1 × 8 − 15 × 4 × 6 − 90 × 2 = 0

V4=82.5 KN

V1=67.5 KN

V1 = 67,5KN ;

N

(∑ M )1 = 0 ⇒ V4 ;

30

30

− V4 × 8 + 15 × 4 × 2 + 90 × 6 = 0

7,5

V4 = 82,5 KN ;

67,5

T

M

Fig. 1.1

165

Verificarea rezultatelor

∑ Yi = 67,5 + 82,5 − 15 × 4 − 90 = 0

82,5

150

= 0 ⇒ H1

H1 − 30 = 0 ⇒

2m

15 KN/ml

i

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi Pentru stabilirea noŃiunilor de ST, DR, SUS si JOS pe grindă s-a ales sensul de parcurgere de la secŃiunea 1 spre secŃiunea 4.


Diagrama forŃelor axiale N Pe bara 1-4 efortul axial este constant. Acesta reprezintă suma proiecŃiilor tuturor forŃelor de la ST sau DR secŃiunii după direcŃia axei barei. N 1− 4 = N 4−1 = − H 1 = −30 KN

Valoarea negativă se reprezintă pe bară JOS.
Diagrama forŃelor tăietoare T Pe porŃiunea de bară 1-2 forŃa tăietoare este liniară. ForŃa tăietoare dintr-o secŃiune i reprezintă suma proiecŃiilor tuturor forŃelor de la ST sau DR secŃiunii după direcŃia perpendiculară pe axa barei. Rezultă valorile: T1-2 = -V1= 67,5 KN; T2-1 = T1-2 -15×4 = 67,5 – 60 = 7,5 KN. 3

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Pe porŃiunea de bară 1-2, respectiv 3-4 forŃa tăietoare este constantă, având un salt pe direcŃia şi de mărimea forŃei concentrate din secŃiunea 3: T2−3 = T3−2 = +7,5 KN ;

T3− 4 = T4−3 = +7,5 − 90 = −82,5KN ;

Valorile pozitive ale forŃei tăietoare se reprezintă SUS.
Diagrama momentelor încovoietoare M. Pe porŃiunea de bară 1-2 diagrama momentului încovoietor este parabolică. Momentul încovoietor dintr-o secŃiune i reprezintă suma momentelor tuturor forŃelor de la ST sau DR secŃiunii în raport cu centrul de greutate al acesteia. Rezultă valorile: M 1−2 = 0;

M 2 −1 = 67,5 × 4 − 15 × 4 × 2 = 150 KNm.

Pe porŃiunea de bară 2-4, diagrama momentului încovoietor este liniară cu vârf în sensul forŃei concentrate din secŃiunea 3: M 3− 4 = −(−V4 × 2) = +82,5 × 2 = 165KNm; (au fost reduse forŃele de la DR secŃiunii). Valorile pozitive ale momentului încovoietor se reprezintă JOS. APLICAłIA 2 Pentru grinda simplu rezemată cu consolă de mai jos (Fig. 1.2.) se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi N, T, M. p=30 KN/ml

a. Calculul reacŃiunilor.

∑ X = 0 ⇒ H = 0; (∑ M ) = 0 ⇒ V ; 1

i

6m

2m

2

H 1=0 1

2

V 1=80

V 2=160

1

V1 × 6 − 30 × 8 × 2 = 0 V1 = 80 KN ; ( ∑ M ) 1 = 0 ⇒ V2 ;

p=30 KN/ml

3

− V2 × 6 + 30 × 8 × 4 = 0; V2 = 160KN ;

N Verificarea rezultatelor 80

∑Y

i

60

T 100

X 0=2,67 m

= 80 + 160 − 30 × 8 = 0;

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi.

60

M M max =106,67 KNm


Diagrama forŃelor axiale N Nu avem forŃe orizontale pe grindă, deci forŃa axială este nulă.

Fig. 1.2. 4

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.


Diagrama forŃelor tăietoare T. Pe porŃiunea de bară 1-2 forŃa tăietoare este liniară: T1−2 = +V1 = +80KN ;

T2−1 = T1− 2 − 30 × 6 = 80 − 180 = −100KN ;

Se observă că diagrama are un punct de anulare la distanŃa x0 faŃa de secŃiunea 1. În această secŃiune vom avea o valoare maximă a momentului încovoietor: Txo = 0 = V1 − 30 x0 = 80 − 30 x0 ⇒ x0 = 2,67m.

Pe porŃiunea 2-3 forŃa tăietoare este liniară (încărcarea exterioară fiind uniform distribuită). T2−3 = T2−1 − V2 = −100 + 160 = +60KN ; T3− 2 = 0; sau T2−3 = +30 × 2 = +60 KN ; (forŃele au fost reduse în raport cu secŃiunea de la DR acesteia).
Diagrama momentelor încovoietoare M. Pe porŃiunile de bară 1-2 respectiv 2-3, forŃa tăietoare fiind liniară, momentul încovoietor rezultă parabolic, cu un vârf în sensul reacŃiunii V2: M 1− 2 = 0; M max M 2−3

M 2−1 = 80 × 6 − 30 × 6 × 3 = −60KNm; x 2,67 = V1 × x0 − p × x0 × 0 = 80 × 2,67 − 30 × 2.67 × = 106,67 KNm; 2 2 = −(30 × 2 × 1) = −60 KNm; M 3− 2 = 0 KNm;

ObservaŃie: Sensul de parcurgere, ales arbitrar pe bară, nu are nici un rol în calculul reacŃiunilor. Acest sens stabileşte noŃiunile de ST, DR, SUS şi JOS pe bară, utile în calculul şi trasarea diagramelor de eforturi. APLICAłIA 3 Pentru grinda simplu rezemată de mai jos (Fig 1.3.) se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor N, T, M. Se observă că grinda este înclinată fată de orizontală cu unghiul α. Pentru simplificarea explicaŃiilor vom rezolva în paralel grinda dreaptă asociată grinzii înclinate şi vom comenta rezultatele obŃinute. Prin grinda dreaptă asociată grinzii înclinate se înŃelege proiecŃia acesteia pe orizontală, încărcarea exterioară rămânând aceeaşi.

p=20 KN/ml

α

2m

4m

GRINDA DREAPTA ASOCIATA GRINZII INCLINATE p=20 KN/ml

2m

4m

Fig 1.3.

5

Partea I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Rezolvarea grinzii drepte asociate grinzii înclinate (Fig. 1.4.). a. Calculul reacŃiunilor R0. 0

∑X =0 ⇒ ( ∑ M ) = 0; ⇒

H 1 = 0;

i

p=20 KN/ml

0

V1 ;

3

0

0

V1 × 6 − 20 × 4 × 2 = 0; V1 = 26,67 KN ; 2m

0

( ∑ M ) 1 = 0; ⇒ V3 ;

4m p=20 KN/ml

0

H1°=0 KN 1

V1°=26.67 KN

Verificarea rezultatelor

3

2

0

− V3 × 6 + 20 × 4 × 4 = 0; V3 = 53,33KN ;

∑Y

V3°=53.33 KN

i

N°

26,67

T° X0=1.33 m

= 26,67 + 53,33 − 20 × 4 ≡ 0;

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi.
Diagrama N0. Nu avem pe bară forŃe orizontale deci efortul axial va fi nul.

53,33

M°


Diagrama T0. Pe porŃiunea de bară 1-2 forŃa tăietoare este constantă: 0

0

T1− 2 = T2 −1 = +26,67KN ; 53,34 Mmax=71.12

Pe porŃiunea de bară 2-3 forŃa tăietoare este liniară: T2−3 = 26,67 KN ; 0

T3− 2 = T2−3 − 20 × 4 = −V3 = −53,33KN

Fig. 1.4.

Se observă punctul de anulare al forŃei tăietoare la distanŃa x0, ceea ce indică un maxim în diagrama M: Tx0 = 0 = V10 − p × x0 = 26,67 − 20 × x 0

⇒

x0 = 1,33m;


Diagrama M0. Pe porŃiunea de bară 1-2 momentul încovoietor este liniar: M 10− 2 = 0;

M 20−1 = 26,67 × 2 = 53,34 KNm;

Pe porŃiunea de bară 2-3 momentul încovoietor este parabolic cu un maxim în dreptul secŃiunii de anulare a forŃei tăietoare: 0 M max = 26,67 × 3,33 − 20 ×1,33 ×

1,33 = 71,12 KNm; 2

M 30− 2 = 0;

6

Partea I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Rezolvarea grinzii înclinate (Fig. 1.5.). p=20 KN/ml

Fig. 1.5.

a. Calculul reacŃiunilor R.

∑ X = 0; ( ∑ M ) = 0; i

3

α

⇒ H 1 = 0; ⇒

V1 ; 0

2m

V1 × 6 − 20 × 4 × 2 = 0; V1 = V1 = 26,67 KN ;

4m

( ∑ M ) 1 = 0; ⇒ V3 ;

p=20 KN/ml

0

− V3 × 6 + 20 × 4 × 4 = 0; V3 = V3 = 53,33KN ;

Verificarea rezultatelor

3

∑Y

i

H1=0 KN

V3=V3°=53.33 KN

2

1

= 26,67 + 53,33 − 20 × 4 ≡ 0;

ObservaŃie: ReacŃiunile sunt identice la cele două grinzi, acestea fiind încărcate numai cu forŃe verticale ( H 1 = H 10 = 0) .

V1=V1°=26.67 KN 53.33sinα

R ≡ R0

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi.

26.67sinα

Mmax=71.12

53.35

N1-2

N3-2

N 1− 2 = N 2−1 = −V1 × sin α = −26,67 sin α (KN ).

3

Pe porŃiunea 2-3 de bară forŃa axială variază liniar (din cauza forŃei uniform distribuite exterioare):

α

1

T1-2


Diagrama N Pe porŃiunea de bară 1-2 forŃa axială este constantă. Aceasta reprezintă proiecŃia după direcŃia axei barei a tuturor forŃelor de la ST sau DR secŃiunii în care se face calculul.

53.33cosα

26.67cosα

α T3-2 V3

N 3−4 = +V3 sin α = +53,33 sin α

Fig. 1.5.b.

V1 Fig. 1.5.a.




N 2−3 = −26,67 sin α

ObservaŃie:

N = - T 0 sin α

Diagrama T Pe porŃiunea de bară 1-2 forŃa tăietoare este constantă: T1−2 = T2−1 = V1 cosα = +26,67 KN ;

Aceasta reprezintă suma proiecŃiilor tuturor forŃelor de la ST sau DR secŃiunii după direcŃia perpendiculară pe axa barei. Pe porŃiunea de bară 2-3 forŃa tăietoare este liniară: 0

T2−3 = 26,67 × cos α [ KN ]; T3− 2 = T2−3 − 20 × 4 × cosα = −V3 = −53,33 × cos α [ KN ];

Tx0 = 26,67 cosα − px0 cos α = 0

OBS.

⇒

x0=1,33 m .

0

T=T cosα.

7

Partea I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Diagrama M Pe porŃiunea 1-2 de bară momentul încovoietor este liniar. Acesta reprezintă suma momentelor tuturor forŃelor de la ST sau DR secŃiunii în raport cu centrul de greutate al acesteia:


M1-2=0

;

M2-1= 2V1= 53,34 KNm =M02-1.

Pe porŃiunea 2-3 de bară momentul încovoietor este parabolic având un maxim în punctul de anulare al forŃei tăietoare (x0= 1,33 m). M max = 26,67 × 3,33 − 20 × 1,33 × 0

1,33 0 = 71,12 = M max KNm. 2

OBS. M=M , ca valori în secŃiuni, nu ca suprafaŃa. În concluzie: grinda înclinată se poate fi înlocui cu grinda orizontală asociată ei, dacă se cere în calculul reacŃiunilor şi al momentului maxim. APLICAłIA 4 Se cere rezolvarea grinzii din Fig. 1.6 utilizând principiul superpoziŃiei liniare. Fig. 1.6. p =30 K N /m l

P =60 K N

6

2

La structurile cu comportare liniar elastică se poate aplica principiul superpoziŃiei simplificând rezolvarea în anumite situaŃii . Astfel structura se poate încarca rând pe rând cu fiecare forŃă exterioară, rezultatele finale obŃinându-se prin însumarea rezultatelor parŃiale.

p =30 K N /m l

Rezolvarea situaŃiei A de încarcare.

A

b. Calculul reacŃiunilor R. P =60 K N

∑X

B

i

= 0.

H 1, A = 0. ;

Se observă că: V1, A = V2, A =

p × 6 30 × 6 = = 90 KN . 2 2

a. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi. Diagrama N A.
Diagrama TA.




Nu avem forŃe orizontale pe grindă, deci N A ≡ 0. Pe porŃiunea de bară 1-2 forŃa tăietoare este liniară: T1−2 = +V1, A = +90 [KN]. T2−1 = −V2, A = −90 [KN]. Tx0 = 0 = 90 − 30 × x0 ⇒

x0 = 3m.

8

Partea I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

SituaŃia A de încărcare.

Pe porŃiunea de bară 2-3 forŃa tăietoare este zero.
Diagrama MA. Pe porŃiunea de bară 1-2 momentul încovoietor este parabolic:

p=30 KN/ml

6

2

M 1−2 = 0

p=30 KN/ml

pl 2 30 = V1, A × 3 − 30 × 3 × = 135 8 2 = 0.

M max =

H1,A=0 KN 1

2

3

V2,A=90 KN

V1,A=90 KN

NA

M 2−1

Pe porŃiunea de bară momentul încovoietor este zero.

2-3

Rezolvarea situaŃiei B de încărcare. 90 KN

TA x0=3 m

90 KN

a. Calculul reacŃiunilor R. H 1, B = 0. ; ∑ X i = 0. (∑ M ) 2 = 0; ⇒ V1,B.

MA Mmax=135 KNm

− V1, B × 6 + 60 × 2 = 0

V1, B = 20 KN .

(∑ M )1 = 0; ⇒ V2,B. − V2, B × 6 + 60 × 8 = 0

V2,B = 80

KN.

SituaŃia B de încărcare. Verificarea rezultatelor.

∑Y

i

P=60 KN

= −20 − 60 + 80 = 0 6

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi.
Diagrama NB. N B ≡ 0 deoarece avem numai forŃe verticale pe grindă.
Diagrama TB. ForŃa tăietoare este constantă pe porŃiunile 1-2 respectiv 2-3, cu un salt în sensul şi de mărimea reacŃiunii V2,B. T1-2=T2-1=-20 KN; T2-3=T3-2=+60 KN.

2 P=60 KN

H1,B=0 KN 1

V1,B=20 KN

2

3

V2,B=80 KN

NB 60 KN

TB 20 KN 120 KNm

MB

9

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

p=30 KN/ml

P=60 KN

6

2

p=30 KN/ml

P=60 KN

H1=0 KN 1

2

V1=V1,A+V1,B=70 KN

3

V2=V2,A+V2,B=170 KN

N 70 KN


Diagrama MB. Momentul încovoietor este liniar pe porŃiunile 1-2 respectiv 2-3, având un vârf în sensul reacŃiunii V2,B. M1-2=0; M3-2=0.

ReacŃiunile şi diagramele de eforturi pot fi obŃinute pe grinda iniŃialǎ însumând valorile din situaŃiile A şi B de încǎrcare.(Fig. 1.6.c) a. Calculul reacŃiunilor H1=0; V1=V1,A+V1,B=90-20=70 KN; V2=V2,A+V2,B=90+80=170 KN.

60 KN

T x0 = 2,33 m

M2-1=-20×6=-120 KNm;

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi
Diagrama N N=0.
Diagrama T

110 KN 120 KNm

T1-2=T1,A+T1,B=90-20=70 KN; T2-1=T2,A+T2,B=-90-20=-110 KN; Tx0=70-30x0 ⇒ x0=2,33 m; T2,3=T2,A+T2,B=0+60=60 KN; T3-2=T3,A+T3,B=0+60=60 KN.

M Mmax=81,66 KNm

Fig. 1.6.c


Diagrama M M1-2=0; M max = V1 × x 0 − p × x0 ×

x0 2,33 = 70 × 2,33 − 30 × 2,33 × = 81,67 KNm. 2 2

Se observǎ cǎ valoarea şi poziŃia momentului maxim este diferitǎ de situaŃia A de încǎrcare. M2-1=M2,A+M2,B=0+120=120 KN; M3-2=0.

APLICAłIA 5 Se cere rezolvarea grinzii simplu rezemate din Fig. 1.7.a, utilizând principiul proporŃionalitaŃii dintre acŃiune şi rǎspuns. Acest principiu se poate aplica la structurile cu comportare liniar elasticǎ. Astfel, în locul forŃei P pe structurǎ poate acŃiona o fortǎ egalǎ cu unitatea, rezultatele obŃinute fiind înmulŃite ulterior cu orice valoare atribuitǎ acesteia. 10

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

Fig. 1.7.a P=60 KN

2m

Fig. 1.7.b

4m

60 KN

1 KN

2m

2m

4m

60 KN

1 KN h1=0 KN

1

4m

2

H1=0 KN

3

v1=2/3 KN

1

2

V1=60v1=40 KN

v3=1/3 KN

n

3

V3=60v3=20 KN

N

40 KN

2/3 KN

T=60xt

t

20 KN

1/3 KN

M=60xm

m 80 KNm

4/3 KNm

Calculul reacŃiunilor şi al eforturilor secŃionale s-a fǎcut aplicând metodologia folositǎ la structurile anterioare. ReacŃiunile şi valorile eforturilor secŃionale au fost obŃinute aplicând principiul proporŃionalitǎŃii, dupǎ cum urmeazǎ:

R=P×r;

T=P×t;

M=P×m.

(Fig. 1.7.b)

11

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

APLICAłIA 6 Pentru consolele din Fig. 1.8 a şi b se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi. P=20 KN

Fig. 1.8 p=10 KN/ml 3m 1,5 m

b)

a)

Rezolvarea consolei din Fig. 1.8. a: p=10 KN/ml

M1=11,25 KNm 1

H1=0KN

1,5 m

2

V1=15KN

N

15 KN

T 11,25 KNm

M Fig. 1.9

a. Calculul reacŃiunilor (Fig. 1.9) ∑xi = 0 ⇒ H1 =0 KN. ∑yi = V1 – 10 × 1,5= 0 ⇒ V1= 15 KN. 12

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

( ∑M)1=0 ⇒

- M1 + 10 × 1,5 × 0,75 = 0 ⇒ M1= 11,25 KNm. Verificare: ∑M2 = - 11,25 +15 × 1,5 – 10 × 1,5 × 0,75 = 0.

b. Trasarea diagramelor de eforturi (Fig. 1.9): ForŃa axialǎ este nulǎ pe barǎ deoarece reacŃiunea orizontalǎ H1 este zero. ForŃa tǎietoare variazǎ liniar: T1-2 = V1 = 15 KN;

T2-1 = 0.

Momentul încovoietor este parabolic: M1-2 = - M1 = -11,25 KNm M2-1 = 0.

Rezolvarea consolei din figura 1.8.b: P=20 KN

P=20 KN 2

20KN 2

3m

60KNm 1

Fig.

1

H 1=20KN M 1=60KNm V 1=0KN

N

T

M

a. Calculul reacŃiunilor (Fig. 1.10) ∑xi = 0 ⇒ P - H1 =0 KN ⇒ H1 = P = 20 KN ∑yi =0 ⇒ V1 = 0 KN. ( ∑M)1=0 ⇒ - M1 + 20 × 3 = 0 ⇒ M1= 60 KNm.

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi ForŃa axialǎ pe consolǎ este nulǎ, deorece reacŃiunea verticalǎ V1 este zero.

13

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

ForŃa tǎietoare este constantǎ pe barǎ: T1-2 = T2-1 = + 20 KN.

Momentul încovoietor este liniar pe barǎ dupǎ cum urmeazǎ: M1-2 = - M1 = -60 KNm; M2-1 = 0.

14

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

CAPITOLUL 2 GRINZI CU CONSOLE ŞI ARTICULAłII (GERBER)

Grinzile cu console şi articulaŃii (GERBER) sunt sisteme static determinate formate din bare drepte asamblate între ele prin articulaŃii. Grinzile care intră în alcătuirea unei grinzi cu console şi articulaŃii au roluri diferite după cum urmează: - părŃile principale P.P. sunt părŃile de structură care sunt reazemate direct pe teren şi joacă rolul de bază de sprijin pentru părŃile adăugate ulterior. - părŃile secundare P.S. sunt părŃile de structură care sunt reazemate pe părŃile principale direct sau indirect sau şi pe teren. Partea principală este invariabilă geometric prin ea însăşi şi preia singură toate sarcinile aferente ei. Partea secundară nu poate exista independent. Ea devine invariabilă geometric numai prin sprijinirea pe alte părŃi de structură sau şi pe teren. Fig. 2.1 P1

P2

P.P.

P.S1

P1 P.S2

P.P.

P. S1

2

P.P.

P. S.

S P.

P.P.

P.S.

În figura 2.1. sunt prezentate două grinzi GERBER, prima având o parte secundară, iar cea de-a doua două părŃi secundare. Încărcările aplicate direct pe o parte secundară se transmit numai părŃilor vecine. Încărcările direct aplicate pe o parte principală sunt preluate integral de aceasta. Pentru calculul reacŃiunilor şi al efoturilor secŃionale se recomandă desfacerea grinzilor cu console şi articulaŃii în grinzile componente. Calculul începe cu rezolvarea părŃii secundare pe care nu reazemă o alta parte a structurii. 15

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

APLICAłIA 1 Se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi secŃionale N, T, M la grinda cu console şi articulaŃii din Fig. 2.2. Se observă că grinda are o parte principală (porŃiunea 1-3) şi o parte secundară (porŃiunea 3-5). Rezolvarea se începe cu partea secundară.

p=15 KN/ml

P1=120 KN 5 2

1

2

6

P2=30 KN

4

3

2

2

P.S.

P1=120 KN

H3=30 KN

P2=30 KN 5

4

3

V3=60 KN V5=60 KN

P.P. p=15 KN/ml

V3=60 KN

H1=30 KN 2

1

V1=25 KN

H3=30 KN

3

V2=125 KN

N 30 KN

60 KN 25 KN

T x0=1,67m 65 KN

60KN

120 KNm

M Mmax=20,83 KNm 120 KNm

Fig. 2.2

16

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

a. Calculul reacŃiunilor P.S.

∑x

= 0; ⇒

i

( ∑M)5=0 ⇒

H3 – 30 = 0

⇒ H3 = 30 KN.

V3 × 4 - 120 × 2 = 0 ⇒ V3 = V5= 60 KN.

P.P. În secŃiunea 3 pe partea principală acŃionează forŃele interioare H3 şi V3 egale şi de sens contrar.

∑x

i

= 0; ⇒ H1 – 30 = 0

⇒ H1 = 30 KN.

( ∑M)2= 0 ⇒ V1 × 6 - 15 × 6 × 3 + 60 × 2= 0 ⇒ V1 = 25 KN. ( ∑M)1= 0 ⇒ - V2 × 6 + 60 × 8 + 15 × 6 × 3 = 0 ⇒ V2 = 125 KN.

Verificare: ∑yi = 25 +125-15 × 6- 60 =0 .

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi
Diagrama N Pe grindă N = ct = -30 KN, singurele forŃe orizontale fiind H1, H3, şi P2.
Diagrama T Pe porŃiunea de grindă 1-2 forŃa tăietoare este liniară: T1-2 = +25 KN; T2-1 = +25 – 15 × 6 = -65 KN; Tx0 = 0 = 25- p × x0 ⇒ 25 – 15 × x0 = 0 ⇒ x0 = 1,67 m.

Pe porŃiunea de grindă 2-3 forŃa tăietoare este constantă: T2-3 = T3-2 = +60 KN. În secŃiunea 2 a apărut un salt de mărimea şi în direcŃia reacŃiunii V2=125 KN. Pe partea secundară forŃa tăietoare este constantă pe porŃiuni, cu un salt în direcŃia şi de mărimea forŃei concentrate P1=120 KN. T3-4 = T4-3 = +60 KN. T4-5 = T5-4 = +60 – 120 = -60 KN.

17

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.


Diagrama M Pe porŃiunea 1-2 a părŃii principale momentul încovoietor variază parabolic, având un maxim în punctul de anulare al forŃei tăietoare (x0=1,67 m). 1,67 = 20,83 KNm 2 M2-1 = -(V3 × 2) = -(60 × 2) = -120 KN (s-au redus forŃele de la DR

M1-2 = 0; Mmax=25 × 1,67 - 15 × 1,67 ×

secŃiunii)

Pe porŃiunile 2-3, 3-4, 4-5 momentul încovoietor variază liniar după cum urmează: M2-3 = M2-1 = -120 KNm; M3=0 (articulaŃie interioară) M4-3 = V3 × 2 = 60 × 2 =120 KNm; M5-4 = 0.

APLICAłIA 2 Se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi secŃionale N, T, M la grinda cu console şi articulaŃii din Fig. 2.3. Se observă că grida are două părŃi secundare (porŃiunile 1-3 şi 3-5) şi o parte principală (porŃiunea 5-6). Rezolvarea se începe cu P.S2. şi continuă cu P.S1. Ultima se rezolvă partea principală.

a. Calculul reacŃiunilor P.S2.

∑x

i

= 0;

⇒ H3 = 0;

( ∑M)3=0 ⇒ ( ∑M)2=0 ⇒

V2 × 3 - 30 × 5= 0 ⇒ V2 = 50 KN. V3 × 3 - 30 × 2 = 0 ⇒ V3 = 20 KN. Verificare: ∑yi = - 30 + 50 - 20 = 0 .

P.S1.

∑x

i

= 0;

⇒

H5 = 0

( ∑M)4=0 ⇒ - V5 × 2 + 20 × 2 × 1 + 20 × 3 = 0 ⇒ V5 = 50 KN. ( ∑M)5=0 ⇒ - V4 × 2 - 20 × 2 ×1 + 20 × 5 = 0 ⇒ V4 = 30 KN. Verificare: ∑yi = 20 +50 - 30 – 40 =0 .

18

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

P.P.

∑x

i

= 0;

⇒ H6 = 0 KN.

∑yi = V6 – 50 –20 × 6 =0 ⇒ V6 = 170 KN. ( ∑M)6=0 ⇒ M6 - 20 × 6 × 3 – 50 ×6 = 0 ⇒ M6 = 660 KNm.

P=30 KN

p=20 KN/ml

2

1

2

3

3

5

4

6

2

3

6

P.S. 1 P=30 KN 2

V2=50 KN

P.S. 2

H3=0 KN

P. S2

1

3

V3=20 KN

3

S P.

p=20 KN/ml

1

P.P

5

4

V5=50 KN

V3=20 KN

P.P.

V4=30 KN

p=20 KN/ml

V5=50 KN

H6=0 KN 5

6

M6=660 KNm

V6=170 KN

N 20KN

T 10KN

30KN

50KN

170KN

660KN

60KN

M

Fig. 2.3

60KN

19

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi
Diagrama N Nu avem forŃe orizontale pe grindă, deci N = 0.
Diagrama T Pe porŃiunile părŃii secundare P.S2., forŃa tăietoare este constantă: T1-2 = T2-1 = - 30 KN; T2-3 = T3-2 = - 30 + 50 = +20 KN.

Pe porŃiunea 3-4, a părŃii secundare P.S1. forŃa tăietoare este constantă. T3-4= T4-3 = ct = +20 KN.

Pe porŃiunea 4-5 a grinzii, forŃa tăietoare variază liniar: T4-5 = T4-3 – V4 = +20 – 30 = - 10 KN; T5-4 = - 10 – 20 × 2 = -50 KN.

Pe porŃiunea 5-6, a părŃii principale, forŃa tăietoare variază liniar: T5-6 = T5-4 = - 50 KN; T6-5 = - 50 – 20 × 6 = - 170 KN = - V6


Diagrama M Pe porŃiunile 1-2 şi 2-3 ale parŃii secundare P.S2. momentul încovoietor variază liniar: M1-2 = 0; M2-1 = -30× 2 = - 60 KNm; M3-2 = 0.

Pe porŃiunea 3-4 a părŃii secundare P.S1. momentul încovoietor variază liniar: M3-4 =0; M4-3 = 20 × 3 = 60 KNm.

Pe porŃiunea 4-5 a grinzii, momentul încovoietor variază parabolic: M4-5 = +20 × 3 = 60 KNm; M5-4 = 0. (articulaŃie interioară) Pe porŃiunea 5-6 a părŃii principale, momentul încovoietor variază parabolic: M5-6 = 0; M6-5 = - (+M6) = -660 KNm. (s-au redus forŃele de la DR secŃiunii).

20

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

CAPITOLUL 3 CADRE PLANE

Cadrele sunt structuri formate din bare prinse în noduri rigide sau noduri considerate articulaŃii. (Fig. 3.1 si 3.2)

C A

P

A

A'

C

B

B'

B pozitia deformata

Fig. 3.1




A, B noduri rigide.




C nod considerat articulaŃie.

Fig. 3.2 Într-un nod rigid, datorită încastrării perfecte a barelor în nod, unghiul dintre bare se menŃine neschimbat şi după deformarea cadrului ⇒ efect de nod rigid. După deformarea cadrului în nodurile rigide A şi B s-a menŃinut unghiul de 900 dintre bare.

Ca efect al nodului rigid, într-un nod cu două bare valoarea momentului încovoietor se poate rabate de la o bară la alta, menŃinând echilibrul nodului (rabatere de la interior la interior sau de la exterior la exterior) (vezi Fig. 3.3). În diagramele de eforturi secŃionale N, T, M trasate la cadre apar salturi în valori chiar dacă forŃele exterioare sunt continue. Aceste salturi (discontinuităŃi) pot fi de două tipuri: - discontinuitate de fibră

produsă de modificarea direcŃiei axei barei.

21

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

apare în dreptul unui nod de pe parcursul barei, deoarece barele concurente în nod acŃionează asupra acesteia cu forŃe şi momente concentrate.

- discontinuitate de nod

A

A

MA MA

fibra intinsa

∑ M = +M

A

−MA = 0

nod

MA B

B

MB

MB

fibra intinsa

∑ M = +M

Fig. 3.3

B

−MB = 0

nod

MB

A. CADRE SIMPLE:

Din categoria cadrelor simple fac parte: p[KN/ml

p[KN/ml P[KN]

CADRUL SIMPLU REZEMAT

Fig. 3.4

CADRUL CONSOLA Fig. 3.5

Fig. 3.5

P[KN] CADRUL TRIPLU ARTICULAT Fig. 3.6

22

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE.

APLICAłIA 1. Pentru cadrul simplu rezemat din Fig. 3.7 se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi N, T, M. a. Calculul reacŃiunilor ∑xi = 0 ( ∑M)5=0 ( ∑M)1=0 Verificare:

⇒ ⇒ ⇒

- H5 + 30 = 0 ⇒ H5 =30 KN. V1 × 4,5 + 30 × 1,5 - 20 × 5,5 × 1,75 = 0 ⇒ V1= 32,78 KN. - V5 × 4,5 + 30 × 1,5 - 20 × 5,5 × 2,75 = 0 ⇒ V5= 77,22 KN. ∑yi = 32,78 +77,22 – 20 × 5,5 = 0.

p=20KN/ml

p=20KN/ml

1,5 m

P=30KN

6

4

3

P=30KN 2

1,5 m 4,5 m

1m

Fig. 3.7

V1=32,78KN

DR

5

DR

6

2

ST

jos

sus

jos

4

sus

3

sus jos

ST

DR

ST

jos

Pentru trasarea diagramelor de eforturi se recomandă alegerea unui sens de parcurgere pe fiecare bară a structurii, stabilind astfel noŃiunile de ST, DR, SUS, JOS. Astfel, la structura dată s-au ales următoarele sensuri de parcurgere în conformitate cu Fig. 3.8.

V5=77,22KN

b.

a.

b. Trasarea diagramelor de eforturi

H5=30KN

5

1

1

23

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE


Diagrama N ForŃa axială dintr-o secŃiune dată „i” reprezintă suma proiecŃiilor tuturor forŃelor de la ST sau de la DR secŃiunii după direcŃia axei barei. Se utilizează Fig. 3.7.b pentru calculul eforturilor secŃionale. Se cunoaşte că: Pe bara 1-2-3: N = ct. (porŃiunile 1-2 si 2-3 neîncărcate) N1-3 = N3-1 = ct. = - V1 = - 32,78 KN (reprezentată JOS); Pe bara 3 – 4: N = ct. (forŃă uniform distribuită pe parcurs) N3-4 = N4-3 = - P = - 30 KN (reprezentată JOS); Pe bara 4 – 5: N = ct. (fără încărcare exterioară pe parcurs) N4-5 = N5-4 = - V5 = - 77,22 KN (s-au redus forŃele de la DR); Pe bara 4 – 6: N = ct. (forŃă uniform distribuită pe parcurs) N4-6 = N6-4= 0 .
Diagrama T

30KN

N 32,78KN

77,22KN

ForŃa tăietoare dintr-o secŃiune dată „i” reprezintă suma proiecŃiilor tuturor forŃelor de la ST sau DR secŃiunii după direcŃia normală pe axa barei.

Fig. 3.9 Pe bara 1-2-3: T = ct (pe porŃiuni) T1-2 = T2-1 = 0; T2-3 = T3-2 = - P = - 30 KN. (se reprezintă JOS)

24

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE

Pe bara 3-4: forŃa tăietoare este liniară T3-4 = + V1 = +32,78 KN; T4-3 = + V1 – 20 × 4,5 = -57,22 KN (reprezentată JOS). TXo = 0 = V1 – p × x0 =32,78 –20 × x0 ⇒ x0 = 1,64 m.

Pe bara 4-5: T=ct. T4-5 = T5-4 =+ H5 = +30 KN (s-au redus forŃele de la DR; valoarea se reprezintă SUS). Pe bara 4-6: forŃa tăietoare este liniară T4-6 = 20 × 1 = +20 KN (s-au redus forŃele de la DR; valoarea se reprezintă SUS) T6-4 = 0. Fig. 3.10


Diagrama M 32,78KN

Momentul încovoietor dintr-o secŃiune dată „i” reprezintă suma momentelor tuturor forŃelor de la ST sau de la DR secŃiunii exprimate în raport cu centrul de greutate al acesteia.

20KN

30KN 57,22KN

X0=1,64 m

T

Pe bara 1-2-3: momentul încovoietor este liniar:

30KN

M1-2 = M2-1 = 0; M3-2= - P × 1,5 = - 45 KNm (se reprezintă SUS).

Pe bara 3-4: momentul încovoietor este parabolic M3-4 = M3-2 = - 45 KNm (nod rigid cu două bare, momentul se rabate). M4-3 = 32,78 × 4,5 – 30 × 1,5 – 20 × 4,5 ×

4,5 = -100 KNm. (s-au redus 2

forŃele de la ST secŃiunii; valoarea se reprezintă SUS). Mmax= 32,78 × 1,64 – 30 × 1,5 – 20 × 1,64 ×

1,64 = -18,137 KNm. 2

25

PARTEA I

STRCTURI STATIC DETERMINATE

Pe bara 4-5: momentul încovoietor este liniar M4-5 = - (H5 × 3) = - 90 KNm. (s-au redus forŃele de la DR secŃiunii; valoarea se reprezintă SUS) M5-4 = 0.

Pe bara 4-6: momentul încovoietor este parabolic. M4-6 = - (20 × 1 × 0,5) = -10 KNm (s-au redus toate forŃele de la DR secŃiunii; valoarea se reprezintă SUS). M6-4 = 0.

100 KNm 45 KNm 10 KNm 90 KNm Mmax=18,137 KNm

45 KNm

M Fig. 3.11

c. Verificarea diagramelor de eforturi Pentru verificare se utilizează ecuaŃiile de echilibru exprimate pentru fiecare nod al structurii considerat punct în plan. Pe nod acŃionează forŃele exterioare direct aplicate şi eforturile secŃionale N,T şi M calculate. În plan pentru un punct se pot scrie trei ecuaŃii de echilibru independente: ∑xi = 0 ∑yi = 0

se folosesc la verificarea diagramelor N + T.

NOD (∑ ∑M)i = 0

Se foloseste la verificarea diagramei M.

26

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Fig. 3.12

NODUL 3

Verificare M (∑M) = - 45 + 45 = 0

Verificare N+T

fibra intinsa

30KN

3

3

∑xi =30 – 30 = 0 ∑yi = 32,78 – 32,78 =0

40KNm

32,78KN

30KN 40KNm 32,78KN

Verificare M (∑M) = - 100 + 90 + 10 = 0

NODUL 4

fibra intinsa

4 30KN

4

20KN

57,22KN

10KNm 100KNm

Verificare N+T ∑xi =30 – 30 = 0 ∑yi =77,22 – 57,22 – 20 =0

30KN 77,22KN

90KNm

27

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

APLICAłIA 2 Pentru cadrul consolă din Fig. 3.13 se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi N, T si M: p=3 KN/ml

p=3 KN/ml

P=10KN

P=10KN

4

5

2m 6KN 2

3

4m 1

1m

H1=0KN 16KN

2m

M1=4KNm V1=16KN

N

Fig. 3.13 a. Calculul reacŃiunilor (vezi Fig. 3.13)

6KN

6KN

10KNm 4KNm

∑xi = 0 ⇒ H1 =0 KN ; ∑yi =0 ⇒ V1 – 10 – 3 × 2 = 0 ⇒ V1 = 16 KN; ( ∑M)1=0 ⇒ M1 - 10 × 1 + 3 × 2 × 1 = 0 ⇒M1= 4 KNm.

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi ( vezi Fig. 3.13)

10KN

4KNm


Diagrama N

T

M

Pe bara 1-3: N = ct. N1-3 = N3-1 = ct. = - V1 = - 16 KN

(reprezentată JOS); Pe bara 2-3: N = ct. N2-3 = N3-2 = 0

28

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Pe bara 3-4: N = ct. N3-4 = N4-3 = - V1 + P = - 16 +10 = - 6 KN (se reprezintă JOS);

Pe bara 4-5: N = ct. N4-5 = N5-4 = 0 KN.
Diagrama T Pe bara 1-3: T = ct. T1-3 = T3-1 = 0; (H1 = 0);

Pe bara 2-3: T = ct. T2-3 = T3-2= - P = -10 KN; (se reprezintă JOS).

Pe bara 3-4: T = ct. T3-4 = T4-3 = 0; (H1 = 0);

Pe bara 4-5: T este liniară. T4-5 = + 3 × 2 = 6; T5-4 = 0; (se reprezintă SUS).
Diagrama M Pe bara 1-3: momentul încovoietor este ct. (T = 0). M1-3 = M3-1 = M1 = + 4 KNm;

Pe bara 2-3: momentul încovoietor este liniar M2-3 = 0; M3-2 = - 10 × 1 = - 10 KNm; (se reprezintă SUS). Pe bara 3-4: momentul încovoietor este ct. (T = 0). M3-4 = M4-3 = + 4 - 10 × 1 = - 6 KNm; (se reprezintă SUS). Pe bara 4-5: momentul încovoietor este parabolic M4-5 = - (3 × 2 × 1) = - 6 KNm (s-au redus forŃele de la dreapta secŃiunii). a. Verificarea diagramelor (Fig. 3.14. a & .b) Pentru verificare se utilizează, ca şi în cazul aplicaŃiei 1, ecuaŃiile de echilibru pentru fiecare nod. Pentru un punct, în plan, putem scrie trei ecuaŃii de echilibru independente. Acestea sunt două ecuaŃii proiecŃie (după direcŃia celor două axe ortogonale) şi una moment. În fig. 3.14 se poate observa modul în care se verifică echilibrul nodului.

29

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

NODUL 3

Fig. 3.14.a 6KN

6KNm

fibra întinsǎ 10KNm

10KN

Verificare N+T

Verificare M (∑M) = - 10 + 4 + 6 = 0

∑xi =0 ∑yi = 16 – 10 - 6 = 0 4KNm

Fig. 3.14.b

16KN

NODUL 4 fibra întinsǎ

Verificare N+T

6KNm

∑xi = 0 ∑yi = – 6 + 6 = 0

6KN

Verificare M (∑M) = - 6 + 6 = 0 6KN 6KNm

Fig. 3.14

30

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

APLICAłIA 3 Pentru cadrul triplu articulat din fig. 3.15, se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi N, T şi M: p=10 KN/ml

p=10 KN/ml

P=20KN

P=20KN

2 4

3

5

3m

3m

H1=21,67KN

1

6

H6=1,67KN 1m

4m

2m

V1=47,5KN 1m

Fig. 3.15

V6=2,5KN

4m

2m

Fig. 3.16

a. Calculul reacŃiunilor (Fig. 3.16) Se observă că acest cadru este de nivel, ceea ce înseamnă că articulaŃiile exterioare 1 şi 6 sunt pe aceeaşi orizontală. Folosind această particularitate, reacŃiunile cadrului se pot calcula evitând sistemul de ecuaŃii după cum urmează: ( ∑M)6=0 ⇒ V1 ( ∑M)1=0 ⇒ V6

Verificare: ∑yi = 0. ( ∑M)4st=0 ⇒ H1 ( ∑M)4dr=0 ⇒ H6

Verificare: ∑xi = 0. Astfel obŃinem: ( ∑M)6=0 ⇒ V1 × 6 - 10 × 5 × 4,5 – 20 × 3 = 0 ⇒ V1 = 47,5 KN. ( ∑M)1=0 ⇒ -V6 × 6 +10 × 5 × 1,5 – 20 × 3 = 0 ⇒ V6 = 2,5 KN. Verificare: ∑yi = 47,5 + 2,5 – 10 × 5 = 0.

31

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

( ∑M)4st=0 ⇒ -H1 × 3 - 10 × 5 × 2,5 + 47,5 × 4 = 0 ⇒ H1 = 21,67 KN. ( ∑M)4dr=0 ⇒ H6 × 3 - 2,5 × 2 = 0 ⇒ H6 = 1,67 KN. Verificare: ∑xi = 21,67 – 1,67 – 20 = 0.

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi
Diagrama N Pe bara 1-3: N = ct. N1-3 = N3-1 = ct. = - V1 = - 47,5 KN (se reprezintă JOS);

Pe bara 2-3: N = ct. N2-3 = N3-2 = 0.

Pe bara 3-4: N = ct. N3-4 = N4-3 = - H1 = - 21,67 KN (se reprezintă JOS);

Pe bara 4-5: N = ct. N4-5 = N5-4 = N4-3 = - H1 = - 21,67 KN (se reprezintă JOS);

Pe bara 5-6: N = ct. N 5-6 = N6-5 = - V6 = - 2,5 KN (se reprezintă JOS);


Diagrama T 21,67KN

Pe bara 1-3: T = ct. T1-3 = T3-1 = - H1 = - 21,67 KN

(se reprezintă JOS);

N

Pe bara 2-3: T = liniară.

Fig. 3.17

T2-3 = 0; T3-2= -10 × 1 = - 10 KN;

47,5KN

2,5KN

(se reprezintă JOS).

Pe bara 3-4: forŃa tăietoare este liniară. T3-4 = + V1 - 10 × 1 = + 47,5 – 10 = +37,5 KN (se reprezintă SUS) T4-3 = T3-4 - 10 × 4 = 37,5 – 40 = - 2,5 KN (se reprezintă JOS); TXo = 0 = 37,5 –10 × x0 ⇒ x0 =3,75 m.

32

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Pe bara 4-5: T = ct. T4-5 = T5-4 = + V1 - 10 × 1 = T4-3 = - 2,5 KN (se reprezintă JOS);

Pe bara 5-6: T = ct. T5-6 = T6-5 = + H6 = 1,65 KN; (se reprezintă SUS).


Diagrama M Pe bara 1-3: momentul încovoietor este liniar. M1-3 = 0; M3-1 = - H1 × 3 = - 21,67 × 3 = - 65 KNm;

Fig. 3.18

37,5KN

xo =3,75 m

10KN

2,5KN

T

Pe bara 2-3: momentul încovoietor variază parabolic M2-3 = 0; M3-2 = - 10 × 1 × 0,5 = - 5 KNm;

21,67KN

1,67KN

(se reprezintă SUS). Pe bara 3-4: momentul încovoietor variază parabolic M3-4 = - H1 × 3 - 10 × 1 × 5 = - 21,67 × 3 - 10 × 1 × 5 = -70 KNm;

(se reprezintă SUS). 1 + x0 = 2 4,75 =47,5 × 3,75 – 21,67 × 3 – 10 × 4,75 × = 0,31 KNm 2 M4-3 = 0 (articulaŃie interioară).

Mmax = V1 × x0 - H1 × 3 – 10 × (1 + x0) ×

Pe bara 4-5: momentul încovoietor este liniar M4-5 = 0 (articulaŃie interioară). M5-4 = - (H6 × 3) = - (+1,67 × 3) = - 5 KNm (s-au redus forŃele de la dreapta secŃiunii). Pe bara 5-6: momentul încovoietor este liniar M5-6 = M5-4 = - 5 KNm (prin rabatere pe nodul cu două bare) M6-5 = 0 (articulaŃie exterioară).

33

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

70KNm

Fig. 3.19

5KNm

5KNm 65KNm

5KNm X0=3,75m

Mmax=0,31KNm

M

c. Verificarea diagramelor de eforturi


Verificarea diagramelor N + T

Nodul 3

Nodul 5 T3-4=37,5KN

N4-5=21,67KN

P=20KN

T3-2=10KN T5-4=2,5KN N3-4=21,67KN

∑X

Fig. 3.20

i

= 21,67 − 20 − 1,67 = 0

nod

∑Y

T3-1=21,67KN

i

= 2,5 − 2,5 = 0

T5-6=1,67KN N5-6=2,5KN

nod

N3-1=47,5KN

∑X

i

= 21,67 − 21,67 = 0

nod

∑Y

i

nod

= 47,5 − 10 − 37,5 = 0

ObservaŃie: Pentru scrierea ecuaŃiilor de echilibru s-a folosit sistemul de axe ortogonale XOY.



Verificarea diagramei de moment Verificarea diagramei de moment este prezentată în fig. 3.21. Se poate observa că suma momentelor care acŃionează pe nodurile 3 şi 5 este zero şi deci nodurile se află în echilibru.

34

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Nodul 3

Nodul 5

fibra întinsǎ

fibra întinsǎ

M3-4=70KNm

M3-2=5KNm

M5-4=5KNm

∑ M = −5 − 65 + 70 = 0

∑ M = −5 + 5 = 0

nod

nod

Fig. 3.21

M5-6=5KNm

M3-1=65KNm

APLICAłIA 4 Pentru cadrul triplu articulat din fig. 3.25 se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi N, T si M: p=15 KN/ml

P=30KN

Fig. 3.22 4m 6m

6m

1m

a. Calculul reacŃiunilor (Fig. 3.23) Se incepe cu calculul reacŃiunilor verticale care apoi se verificǎ. Urmeazǎ calculul reacŃiunilor orizontale evitând în acest fel sistemul de ecuaŃii: ( ∑M)6=0 ⇒ V1 ( ∑M)1=0 ⇒ V6

Verificare: ∑yi = 0.

( ∑M)3st=0 ⇒ H1 ( ∑M)3dr=0 ⇒ H6

Verificare: ∑xi = 0. Astfel se obŃine: ( ∑M)6=0 ⇒ V1 × 12 - 15 × 12 × 6 + 30 × 1 = 0 ⇒ V1 = 87,5 KN. ( ∑M)1=0 ⇒ - V6 × 12 + 30 × 13 + 15 × 12 × 6 = 0 ⇒ V6 = 122,5 KN. Verificare: ∑yi = 87,5 +122,5 – 12 × 15 - 30 = 0. ( ∑M)3st=0 ⇒ - H1 × 4 - 15 × 6 × 3 + 87,5 × 6 = 0 ⇒ H1 = 63,75 KN. dr ( ∑M)3 =0 ⇒ H6 × 4 + 30 × 7 + 15 × 6 × 3 – 122,5 × 6 = 0 ⇒ H6 = 63,75 KN. Verificare: ∑xi = 63,75 – 63,75 = 0.

35

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

p=15 KN/ml

Fig. 3.23

3

2

H1=63,75KN

P=30KN

5

4

4m 1

6

H6=63,75KN V1=87,5KN 6m

V6=122,5KN 6m

1m

b. Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi

Fig. 3.24


Diagrama N Pe bara 1-2: N = ct.

63,75KN

N1-2 = N2-1 = ct. = - V1 = - 87,5 KN

(se reprezintă JOS);

N Pe bara 2-3: N = ct. N2-3 = N3-2 = - H1 = - 63,75 KN (se reprezintă JOS); .

Pe bara 3-4: N = ct. N3-4 = N4-3 = - H1 = - 63,75 KN

(se reprezintă JOS);

87,5KN

122,5KN

Pe bara 4-5: N = ct. N4-5 = N5-4 = 0 KN (au fost reduse forŃele de la DR secŃiunii);

Pe bara 4-6: N = ct. N4-6 = N6-4 = - V6 = - 122,5 KN (au fost reduse forŃele de la DR secŃiunii; se reprezintă

JOS);
Diagrama T Pe bara 1-2: T = ct. T1-2 = T2-1 = - H1 = - 63,75 KN (se reprezintă JOS);

Pe bara 2-3: T = liniară. T2-3 = + V1 = +87,5 KN (se reprezintă SUS); T3-2= T2-3 -15 × 6 = + 87,5 – 90 = - 2,5 KN; (se reprezintă JOS).

36

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Tx0 = 0 ⇒ 87,5 − 15 × x0 = 0 ⇒ x0 = 5,83m Pe bara 3-4: T = liniară. T3-4 = T3-2 = - 2,5 KN; (se reprezintă JOS)

Fig. 3.25 87,5KN 30KN

T4-3 = T3-4 - 15 × 6 = - 2,5 – 90 = - 2,5 KN

(se reprezintă JOS); 2,5KN

Pe bara 4-5: T = ct. T4-5 = T5-4 = + P = + 30 KN

T

(s-au redus forŃele de la DR secŃiunii; se reprezintă SUS);

92,5KN

63,75KN

63,75KN

Pe bara 4-6: T = ct. T4-6 = T6-4 = + H6 = + 63,75 KN; (s-au redus forŃele de la DR secŃiunii; se reprezintă SUS).


Diagrama M Pe bara 1-2: momentul încovoietor este liniar. M1-2 = 0; M2-1 = - H1 × 4 = - 63,75 × 4 = - 255 KNm;

Pe bara 2-3: momentul încovoietor variază parabolic având un maxim pozitiv în punctul de anulare al forŃei tăietoare M2-3 = M2-1 =- 255 KNm (din rabatere pe nodul cu două bare); Mmax = V1 × x0 - H1 × 4 – p × x0 ×

x0 = 2

=87,5 × 5,83 – 63,75 × 4 – 15 × 5,83 × M3-2 = 0 KNm;

5,83 = 0,208 KNm 2

(se reprezintă JOS) (articulaŃie interioară).

Pe bara 3-4: momentul încovoietor variază parabolic M3-4 = 0 KNm; M4-3 = -(P × 1 + H6 × 4) = -(30 × 1 + 63,75 × 4) = - 285 KNm;

(se reprezintă SUS) Pe bara 4-5: momentul încovoietor variază liniar M4-5 = - (P × 1) = - (30 × 1) = - 30 KNm (au fost reduse forŃele de la DR secŃiunii). M5-4 = 0 37

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

Pe bara 4-6: momentul încovoietor variază liniar M4-6 = -(H6 × 4) = -(63,75 × 4) = -255 KNm (se reprezintă SUS); M6-4 = 0 (articulaŃie exterioară). 285KNm

Fig. 3.26

30KNm 255KNm 255KNm

Mmax=0,208KNm

M

c. Verificarea diagramelor de eforturi

Verificare N + T (fig. 3.27) NODUL

2

T4-3 = -92,5

T2-3 = +87,5 N2-3 = -63,75

∑ Xi

T2-1 = -63,75 N2-1 = -87,5

= 63,75 − 63,75 = 0 T4-6 = 63,75 N 4-6 = -122,5

∑ Yi = 87,5 − 87,5 = 0 nod

fibra intinsa

Fig. 3.27

(fig. 3.28) NODUL 4

NODUL 2

M2-4 = 255

nod

= − 255 + 255 = 0

M 4-5 = 30

M 4-3 = 285

M4-6 =255

M2-1 = 255

∑M

4

T4-5 = 30 0

N4-3 = -63,75

nod

Verificare M

NODUL

∑M Fig. 3.28

= −285 + 255 + 30 = 0

nod

38

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

B. CADRE COMPUSE Cadrele compuse sunt alcătuite din mai multe cadre simple, numite unităŃi structurale. UnităŃile structurale din cadrele compuse joacă rolul de părŃi principale P.P sau părŃi secundare P.S. PărŃile principale au invariabilitate geometrică proprie, preluând singure încărcările care le revin. PărŃile secundare devin invariabile geometric sprijinind pe alte părŃi ale structurii sau şi pe baza de sprijin. Ele transmit încărcările direct aplicate pe parcursul lor părŃilor de structură pe care se sprijină. APLICAłIA 1 Pentru cadrul compus din (Fig. 3.29) se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi N, T şi M: p2 =15 KN ml

P=90 KN

2 3

4

5

p1 =5 KN ml

6

3

Fig. 3.29 1 6

2

7 2

2

Cadrul compus din Fig. 3.29 are o parte principală, cadrul simplu rezemat 1..5 şi o parte secundară, cadrul simplu rezemat 5-6-7. Se observă că partea secundară sprijină pe teren prin reazemul simplu 7 şi pe partea principală în articulaŃia interioară 5. Rezolvarea se începe cu partea secundară, partea principală fiind posibil de abordat după ce se cunosc interacŃiunile din articulaŃia interioară 5. Rezolvarea părŃii secundare a. Calculul reacŃiunilor (Fig. 3.30) ∑Xi = 0 ⇒ H5 - 5·3=0 H5=15 KN (ΣM)5 =0⇒ -V7·2 +5·3·1,5=0 V7 = 11,25KN (ΣM)7 =0 ⇒ -V5·2+15·3·1,5=0 V5 = 11,25KN

H5=15

P.S.

5 3

Verificare: ΣYi = -11,25+11,25=0

6

V5=11,25 KN 2

Fig. 3.30

p1 =5 KN ml 7 V7=11,25 KN 39

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

a. Calculul diagramelor de eforturi:

15


Calculul diagramei N (Fig. 3.31) După ce s-a ales sensul de parcurgere pe fiecare bară se observă că:

-

N Fig. 3.31

11,25

Pe bara 5-6: N = ct N5-6 = N6-5 = -H5 = -15 KN (se reprezintă JOS) Pe bara 6-7 cu încărcare uniform distribuită: N = ct N6-7 = N7-6 = -V7 = -11,25 KN (se reprezintă JOS)
Calculul diagramei T (Fig. 3.32) 15

Pe bara 5-6 forŃa tăietoare este constantă. T5-6 = T6-5 = - V5 = - 11,25 KN (se reprezintă JOS)

11,25 [KN]

T

Pe bara 6-7 forŃa tăietoare este liniară: T6-7 = 5·3 = 15 KN (se reprezintă SUS) T7-6 =0

Fig. 3.32


Calculul diagramei M (fig. 3.33) Fig. 3.33

Fibre intinse [KNm]

M

22,5

Pe bara 5-6 momentul încovoietor este liniar: M 5− 6 = 0 ; M 6−5 = − V 5 ⋅ 2 = −11,25 ⋅ 2 = −22,5KNm (se reprezintă SUS) Pe bara 6-7 momentul incovoietor variază parabolic: M 6−7 = M 6−5 = −22,5 KNm M 7 −6 = 0

ObservaŃie: În nodul 6, nod cu două bare, momentul se rabate având grijă ca nodul să rămână în echilibru (ambele fibre întinse sunt la exterior).

40

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

c. Verificarea diagramelor (Fig. 3.34) Se verifică diagramele N şi T utilizând ecuaŃiile de echilibru pentru nodul 6. NODUL NODUL 6 6

T6-5 = -11,25

∑ X i = +15 − 15 = 0

nod

N6-5 = -15

∑ Y i = −11,25 + 11,25 = 0

nod

T6-7 = +15 N6-7 = -11,25

Fig. 3.34

Rezolvarea părŃii principale a. Calculul reacŃiunilor (Fig. 3.35) Fig. 3.35 90

p =15 KN ml

H5=15 3

2

4

5

V5=11,25

3

V2=30

H1 =15 6

1 2 2 V1 =138,75

Se observă că în secŃiunea 5 acŃionează forŃele de legătură interioare H5 şi V5, calculate anterior, dar cu sens schimbat.

∑ X i = 0 ⇒ H 1 − 15 = 0 ⇒ H 1 = 15KN (∑ M )1 = 0 ⇒ V 2 ⋅ 2 − 15 ⋅ 6 ⋅ 3 + 90 ⋅ 2 − 15 ⋅ 3 − 11,25 ⋅ 4 = 0 V 2 = 30 KN (∑ M )2 = 0 ⇒ − V 1 ⋅ 6 − 15 ⋅ 3 + 15 ⋅ 6 ⋅ 3 + 90 ⋅ 8 − 11,25 ⋅10 = 0 V 1 = 138,75KN Verificare: ∑ Y i = 30 + 138,75 + 11,25 − 15 ⋅ 6 − 90 = 0

41

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

b. Calculul si trasarea diagramelor de eforturi ▪ Diagrama N (Fig. 3.36)

[KN]

N

15 -15

-

Fig. 3.36

138,75 138,75

După alegerea sensului de parcurgere pe fiecare bară se observă că : Pe bara 1-3: N=ct. N 1−3 = N 3−1 = - V 1 = −138,5 (se reprezintă JOS)

Pe bara 2-3, cu forŃă uniform distribuită între capete: N=ct. N 2−3− = N 3−2 = 0 Pe bara 3-4-5, cu forŃă concentrată verticală între capete: N=ct. (se reprezintă JOS) N 3−5 = N 5−3 = − H 5 = −15 KN ▪ Diagrama T (Fig. 3.37) 30

Fig. 3.37

78,75 +

+

-

xo = 2 m

-

T [KN]

60 15

11,25

Pe bara 1-3 forŃa tăietoare este constantă: T 1−3 = T 3−1 = − H 1 = −15KN (se reprezintă JOS) Pe bara 2-3 forŃa tăietoare este liniară: T 2−3 = + V 2 = +30 KN T 3−2 = + V 2 − 15 ⋅ 6 = 30 − 90 = −60 KN

T Xo = 0 ⇒ 30 − 15 ⋅ x0 = 0 ⇒ x0 = 2m Pe bara 3-4-5 forŃa tăietoare este constantă pe porŃiuni, cu un salt în direcŃia şi de marimea forŃei concentrate P = 90 KN: T 3−4 = T 4−3 = +90 − V 5 = 90 − 11,25 = 78,75 KN (au fost reduse forŃele de la DR secŃiunii) ▪ Diagrama M (Fig.3.38)

Pe bara 1-3 momentul incovoietor este liniar: M 1−3 = 0; M 3−1 = − H 1 ⋅ 3 = −15 ⋅ 3 = −45 KNm (se reprezintă SUS). Pe bara 2-3 momentul încovoietor variază parabolic având o valoare maximă pozitivă în punctul de anulare al forŃei tăietoare ( x 0 = 2m ):

42

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

M 2−3 = 0; M 3−2 = V 2 ⋅ 6 − 15 ⋅ 6 ⋅ 3 = 30 ⋅ 6 − 15 ⋅ 6 ⋅ 3 = −90 KNm (se reprezintă SUS) M max = 30 ⋅ 2 − 15 ⋅ 2 ⋅ 1 = 30 KNm 135

Fig. 3.38

90

xo = 2 m

45

22,5

Mmax=30

M [KNm]

Pe bara 3-4-5 momentul încovoietor este poligonal, având un vârf în sensul forŃei concentrate P = 90 KN: M 3−5 = −(90 ⋅ 2 − 11,25 ⋅ 4) = −135 KNm (au fost reduse forŃele de la DR secŃiunii) M 5 = −(−V 5 ⋅ 2) = +11,25 ⋅ 2 = +22,5 KN ( se reprezintă JOS) c. Verificarea diagramelor Verificarea diagramelor N + T (Fig. 3.39) Fig. 3.39

NODUL33 NODUL T3-5 = 78,75

T3-2= -60

∑ X i = +15 − 15 = 0

N3-5 = -15

nod

∑ Yi = 138,75 − 60 − 78,75 = 0

nod

T3-1= -15 N3-1= -138,75

Verificarea diagramei M (Fig. 3.40) NODUL33 NODUL 135

90

∑ M = −90 − 45 + 135 = 0

nod

Fig. 3.40 45 43

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE.

După calculul şi verificarea diagramelor pe părŃile componente ale structurii se trasează diagramele finale pe intreagă structură prin simpla alăturare (Fig.3.41). 78,75 30 +

+ -

15

-

xo = 2 m

-

-

[KN] 138,75

15 135 22,5 22,5

45

Mmax=30

T

60

11,25 90

xo = 2 m

M

[KNm]

Fig. 3.41

+ -

-

N [KN]

11,25 15

APLICAłIA 2

Pentru cadrul compus din Fig 3.42 se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi N, T şi M: P1 =20 KN

p =10 KN ml

4 2

5

3

7

8 9

1

2m

6

1

2

1

2m P2=15 KN

10 3

3

Fig. 3.42

Se observă că structura din Fig. 3.42 are trei părŃi componente: - partea principală 4-5-6-7, cadru consolă - părŃile secundare 1-2-3-4 şi 7-8-9-10, cadre simplu rezemate.

44

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Într-o schemă simplă de principiu (Fig 3.47) se arată rolul fiecărei părŃi de structură: Fig. 3.43 1 P.S

P.P

P.S 2

Se începe rezolvarea cu partea secundară a) Calculul reacŃiunilor

P1=20

3

P.S1:

(Fig. 3.44)

H4=0

2

∑X =0⇒ H =0 ( ∑ M ) = 0 ⇒ V ⋅ 2 − 20 ⋅1 = 0 ⇒ V = 10KN ( ∑ M ) = 0 ⇒ V ⋅ 2 − 20 ⋅ 3 = 0 ⇒ V = 30KN Verificare: ∑ Y = 30 − 20 − 10 = 0

4

4 1 1

4

i

V4=10

2

1

4

4

4

1

1

i

V1=30

Fig. 3.44

b) Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N (Fig. 3.45) - pe bara 1-3, fără încărcare între capete , N= ct. N 3−1 = N1−3 = −V1 = −30 KN (se reprezintă JOS) - pe bara 2-3 , fără încărcare între capete, N= ct. N 2 − 3 = N 3− 2 = 0

-

pe bara 3-4 de asemenea, N= ct. N 3− 4 = N 4−3 = 0 10 +

-

[KN] -

Fig. 3.45

N 30

[KN]

30

T Fig. 3.46 45

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Diagrama T (Fig. 3.46) - pe bara 1-3 forŃa tăietoare este constantă: T1−3 = T3−1 = 0

- pe bara 2-3 forŃa tăietoare este de asemenea constantă: T2−3 = T3− 2 = − P1 = −20KN ( se reprezintă JOS) - pe bara 3-4 forŃa tăietoare este constantă: T3−4 = T4−3 = +V4 = +10 KN ( se reprezintă SUS) Diagrama M (Fig. 3.47) - pe bara 1-3 momentul încovoietor este constant: M 1−3 = 0;

20

M 3−1 = 0

- pe bara 2-3 momentul încovoietor este liniar: M 2−3 = 0;

M 3− 2 = −20 ⋅1 = −20KN ⋅ m

M

(se reprezintă JOS) - pe bara 3-4 momentul încovoietor este tot liniar:

Fig. 3.51

M 3− 4 = −(10 ⋅ 2) = −20KNm;

M 4 −3 = 0

c) Verificarea diagramelor: Verificarea diagramelor N + T (Fig, 3.48.a)

NODUL

3

T3-2= -20

T3-4= +10 = +30 − 20 − 10 = 0

∑Y

i

nod

∑X

i

=0

nod

N3-1= -30

Fig. 3.48.a

46

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Verificarea diagramei M ( Fig. 3.48.b)

NODUL 3 20

20

∑ M = −20 + 20 = 0 nod

Fig. 3.48.b Rezolvarea părŃii secundare P.S2. Calculul reacŃiunilor (Fig. 3.49) p =10 KN ml

H7 =15 KN

∑ X = 0 ⇒ H − 15 = 0 ⇒ H = 15KN (∑ M ) = 0 ⇒ V ⋅ 3 + 15 ⋅ 4 − 10 ⋅ 3 ⋅1,5 − 15 ⋅ 2 = 0 7

i

7

8 9 V7 =5 KN

2m P2 =15 KN 2m

10

10

7

7

V7 = 5KN (∑ M )7 = 0 ⇒ −V10 ⋅ 3 + 15 ⋅ 2 + 10 ⋅ 3 ⋅1,5 = 0 V10 = 25KN

Verificare:

3

∑ Y = 5 = 25 − 10 ⋅ 3 = 0 ∑ X = +15 − 15 = 0 i

i

V10 =25 KN

Fig. 3.49

Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N (Fig. 3.50)

[KN]

- Pe bara 7-8 observăm că: N = ct N7-8 = N8-7 = -H7 = -15 KN (se reprezintă JOS)

-

15

N

Fig. 3.50

- Pe bara 8-9-10, cu forŃă concentrată între capete avem: N = ct N8-10 = N10-8 = -V10 = -25 KN (se reprezintă JOS)

25

47

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Diagrama T (Fig. 3.51) 5

- pe bara 7-8 forŃa tăietoare este liniară: T7−8 = +V7 = +5 KN (se reprezintă SUS) T8−7 = V7 − 10 ⋅ 3 = 5 − 30 = −25 KN (se reprezintă JOS)

+ -

x =0,5 0

+

Tx0 = 0 ⇒ 5 − 10 ⋅ x0 = 0 ⇒ x0 = 0,5m

25

T Fig. 3.51

15

[KN]

- pe bara 8-9-10 forŃa tăietoare este constantă pe porŃiuni: T8−9 = T9−8 = H 7 = 15KN (se reprezintă SUS) T9−10 = T10−9 = T8−9 − P2 = 15 − 15 = 0

Diagrama M (Fig. 3.52)

30

M 7 −8 = 0; M 8−7 = V7 ⋅ 3 − 10 ⋅ 3 ⋅1,5 = 5 ⋅ 3 − 10 ⋅ 3 ⋅1,5 = −30KNm

Mmax=1,25

M Fig. 3.52

- pe bara 7-8 momentul încovoietor variază parabolic:

Fibre intinse [KNm]

(se reprezintă SUS) M max = V7 ⋅ x0 − 10 ⋅ x0 ⋅

0,5 x0 = 5 ⋅ 0,5 − 10 ⋅ 0,5 ⋅ = 1,25KNm 2 2

(se reprezintă JOS)

- pe bara 8-9-10 se observă că există porŃiunea 9-10 pe care forŃa tăietoare este nulă. Rezultă că pe această porŃiune momentul încovoietor va fi constant: dM = T = 0 ⇒ M = ct dx M 8−9 = M 8− 7 = −30KNm ( momentul poate fi obŃinut prin rabatere

fiind vorba de nod rigid cu două bare) M 9−10 = M 10−9 = 0

48

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Verificarea diagramelor Verificarea diagramelor N + T (Fig. 3.53) T8-7 = -25

NODUL 8

∑X

i

= 15 − 15 = 0

nod

N8-7 = -15

∑Y

i

= 25 − 25 = 0

.

nod

T8-9 = 15

Fig. 3.53

N8-9 = -25

Verificarea diagramei M se poate face verificând rabaterea momentului încovoietor în nodul rigid cu două bare 8. Astfel se observă că fibrele întinse sunt amândouă la exterior, deci nodul este în echilibru.

Rezolvarea părŃii principale P.P. Calculul reacŃiunilor (Fig. 3.54) Fig. 3.58

p =10 KN ml

V7 =5 KN H 7 =15 KN

5

4

H6 =15 1

6

6

i

i

6

6

6

7 4m

V 4 =10 KN

∑ X = 0 ⇒ H −15 = 0 ⇒ H =15KN ∑Y = 0 ⇒V +10−10⋅ 3 − 5 = 0 ⇒V = 25KN

M6 =10 KN m V6 =25 KN 3

Fig. 3.54

Se observă că pe partea principală acŃionează cu semn contrar interacŃiunile calculate anterior din secŃiunile 4 şi 7.

(∑ M ) 6 = 0 ⇒ − M 6 + 10 ⋅1 + 10 ⋅ 3 ⋅1,5 + 5 ⋅ 3 − 15 ⋅ 4 = 0

M 6 = 10 KNm

Verificare: (∑ M ) 7 = −10 + 25 ⋅ 3 − 15 ⋅ 4 + 10 ⋅ 4 − 10 ⋅ 3 ⋅1,5 = 0

49

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

b) Calculul şi trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N (Fig. 3.55)

- pe bara 4-5, fără încărcare între capete, se observă că: N=ct.

15

N 4 −5 = N 5 − 4 = 0

[KN]

- pe bara 5-6 de asemenea: N=ct.

N

25

N 5− 6 = N 6−5 = −V6 = −25KN

(se reprezintă JOS) Fig. 3.55

- pe bara 5-7, cu forŃa uniform distribuită între capete: N=ct. N 5−7 = N 7−5 = − H 7 = −15 KN ( se reprezintă JOS) Diagrama T (Fig. 3.56) - pe bara 4-5 forŃa tăietoare este constantă:

35 10

T4−5 = T5−4 = +V4 = 10 KN

5

T

(se reprezintă SUS) - pe bara 5-6 forŃa tăietoare este de asemenea constantă: T5−6 = T6−5 = − H 6 = −15KN

[KN]

15

Fig. 3.56

(se reprezintă JOS)

- pe bara 5-7 forŃa tăietoare este liniară: T5−7 = V6 + V10 = 25 + 10 = 35 KN T7−5 = T5−7 − 10 ⋅ 3 = +V7 = 5 KN

(se reprezintă SUS)

Diagrama M (Fig. 3.57)

60

- pe bara 4-5 momentul încovoietor este liniar: M 4−5 = 0;

(se reprezintă JOS) - pe bara 5-6 momentul încovoietor este liniar (T=ct): M 5− 4 = V4 ⋅ 1 = 10 KNm

10

70

M

M 5− 6 = −( H 6 ⋅ 4 − M 6 ) = −(15 ⋅ 4 − 10) = +70 KNm

(au fost reduse forŃele de la DR. secŃiunii)

[KNm]

M 6−5 = −( − M 6 ) = +10 KNm 10

Fig. 3.57

50

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

- pe bara 5-7 momentul încovoietor este parabolic ( T → liniar): M 5− 7 = −(10 ⋅ 3 ⋅1,5 + V7 ⋅ 3) = −( 45 + 5 ⋅ 3) = −60 KNm

(au fost reduse forŃele de la DR. secŃiunii) M 7 −5 = 0

Verificarea diagramelor Verificarea diagramelor N +T (Fig. 3.58) NODUL

5

T5-4 = 10

T5-7 =-35 -15

∑X

N5-7 = -15

i

= 15 − 15 = 0

nod

∑ Y = 25 + 10 − 35 = 0 i

y

nod

T5-6= -15

Fig. 3.58

x

0

N5-6= -25

axele de proiecŃie

Verificarea diagramei M (Fig. 3.59) NODUL 5 60

10

∑M

= 10 + 60 − 70 = 0

nod

Fig. 3.59

70

Diagramele pe structura compusă se trasează prin alăturarea diagramelor parŃiale obŃinute pe părŃile componente (Fig. 3.60)

35 5

10

+

-

15 -

-

N 25

15

T

xo= 0.5 m

[KN]

[KN]

10

25

20

25

10

Fig. 3.60

51

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

60

Fig. 3.60 20

x o= 0.5 m

30

10

70

Mmax=1,25

M

10

[KNm]

APLICAłIA 3 Pentru cadrul compus din Fig. 3.61 se cere calculul reacŃiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi N, T şi M. P=100 KN p =20 KN ml 8 3

2

4

6

P.P

7

P.S

4 1

Schemă de principiu

5 4

2

1

Fig. 3.61

2

2

Se observă că structura compusă din Fig. 3.61 are o parte principală triplu articulată (porŃiunea 1-2…6) şi o parte secundară, grindă simplu rezemată (porŃiunea 6-7-8). Rezolvarea se începe cu partea secundară, grinda simplu rezemată. Rezolvarea partii secundare P.S. a) Calculul reacŃiunilor (Fig. 3.62) P =100

Fig. 3.62

H6 6

8

7 2 V6=50 KN

2

∑X =0⇒ H =0 ( ∑ M ) = 0 ⇒ V ⋅ 4 − 100 ⋅ 2 = 0 ⇒ V

V8=50 KN

6

i

8

6

6

= V8 = 50 KN

52

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

b) Calculul si trasarea diagramelor de eforturi: Diagrama N (Fig. 3.63) Se observă că pe grinda acŃionează numai forŃe verticale, deci N=0. Diagrama T (Fig. 3.63) ForŃa tăietoare pe bară este constantă pe porŃiuni având un salt de marimea forŃei concentrate P = 100 KN. T6−7 = T7−6 = V6 = 50KN T7−8 = T8−7 = 50 − P = −50KN

Diagrama M (Fig. 3.63) Momentul încovoietor variază liniar pe grindă având un vârf în secŃiunea 7 unde acŃionează forŃa P. M 6−7 = 0;

M 7 −6 = V6 ⋅ 2 = 50 ⋅ 2 = 100KN ;

M 8 −7 = 0

50

+ 50

N

T

[KN]

[KN]

M

100

[KNm]

Fig. 3.63

Rezolvarea părŃii principale P.P. a) Calculul reacŃiunilor (Fig. 3.64) Fig. 3.64

p =20 KN ml 2

3

4

V6=50 6 4

H1=13,125 1 6m V1=68,75

5 2m

H5=13,125

Pe partea principală acŃionează reacŃiunea verticală V6 = 50 KN, calculată anterior, având sensul schimbat.

1m V5=101,25

53

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Calculul reacŃiunilor verticale : (∑ M )5 = 0 ⇒ V1 ⋅ 8 − 20 ⋅ 6 ⋅ 5 + 50 ⋅1 = 0 ⇒

V1 = 68,75KN

(∑ M )1 = 0 ⇒ −V5 ⋅ 8 + 50 ⋅ 9 + 20 ⋅ 6 ⋅ 3 = 0 ⇒

∑Y

Verificare:

i

V5 = 101,25 KN

= 68,75 + 101,25 − 20 ⋅ 6 − 50 = 0

Calculul reacŃiunilor orizontale: (∑ M )3st = 0 ⇒ − H1 ⋅ 4 + 68,75 ⋅ 6 − 20 ⋅ 6 ⋅ 3 = 0 ⇒ H1 = 13,125KN (∑ M )3dr = 0 ⇒ H 5 ⋅ 4 − 101,25 ⋅ 2 + 50 ⋅ 3 = 0 ⇒ H 5 = 13,125KN

Verificare:

∑X

i

= 13,125 − 13,125 = 0

b) Calculul si trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N (Fig. 3.65)

-

13,125

-

N [KN] 68,75

101,25

Fig. 3.65

Pe bara 1-2, fără încărcare exterioară între capete avem: N=ct. N1−2 = N 2−1 = −V1 = −68,75KN (se reprezintă JOS) Pe bara 2-3, cu forŃa uniform distribuită între capete, se ştie că: N=ct. N 2−3 = N 3−2 = − H1 = −13,125KN (se reprezintă JOS) Pe bara 3-4, fără încărcare exterioară între capete avem: N=ct. N 3− 4 = N 4−3 = − H1 = −13,125KN (se reprezintă JOS) Pe bara 4-5 se ştie că: N=ct. N 4−5 = N 5−4 = −V5 = −101,25KN

Pe consola 4-6, fără forŃe pe parcurs avem: N=ct. N 4 −6 = N 6 − 4 = 0

54

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Diagrama T (Fig. 3.66) 68,75 50

+

+

-

-

51,25

Fig. 3.66

x o=3,438 m 13,125

+

T

13,125

[KN]

Pe bara 1-2 forŃa tăietoare este constantă, deci avem: T1− 2 = T2−1 = − H 1 = −13,125KN (se reprezintă JOS) Pe bara 2-3 forŃa tăietoare variază liniar după cum urmează: T2−3 = V1 = 68,75KN T3−2 = V1 − 20 ⋅ 6 = 68,75 − 120 = −51,25KN Tx0 = 0 ⇒ 68,75 − 20 ⋅ x0 = 0 ⇒ x0 = 3,438m

Pe bara 3-4 forŃa tăietoare este constantă având valoarea: T3−4 = T4−3 = T3− 2 = −51,25KN ( se reprezintă JOS) Pe bara 4-5 forŃa tăietoare este de asemenea constantă: T4−5 = T5− 4 = H 5 = 13,125KN (s-au redus forŃele de la DR. secŃiunii) Pe consola 4-6 forŃa tăietoare este constantă având valoarea: T4− 6 = T6− 4 = V6 = 50 KN (se reprezintă SUS) Diagrama M (Fig. 3.67) 102,5

Fig. 3.67

50

52,5

Mmax=65,66

52,5

M [KNm]

Pe bara 1-2 momentul încovoietor variază liniar (T= ct): M 1− 2 = 0;

M 2−1 = − H1 ⋅ 4 = −13,125 ⋅ 4 = −52,5KN ⋅ m (se reprezintă SUS) 55

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Pe bara 2-3 momentul încovoietor variază parabolic, având o valoare pozitivă maximă în punctul de anulare al forŃei tăietoare: M 2 −3 = −52,5 KNm (prin rabatere pe nod rigid cu două bare) M max = 68,75 ⋅ 3,438 − 13,125 ⋅ 4 − 20 ⋅ 3,438 ⋅

3,438 = 65,66 KN ⋅ m 2

Pe bara 3-4 momentul încovoietor este liniar: M 3− 4 = 0; M 4−3 = −(50 ⋅1 + H 5 ⋅ 4) = −102,5KN ⋅ m

Pe bara 4-5 momentul încovoietor este liniar: M 4−5 = −( H 5 ⋅ 4) = −52,5 (s-au redus forŃele de la DR. secŃiunii) M 5−4 = 0

Pe consola 4-6 momentul încovoietor este de asemenea liniar: M 4−6 = −(50 ⋅1) = −50 KN ⋅ m (s-au redus fortele de la DR. secŃiunii) M 6− 4 = 0

c) Verificarea diagramelor Verificarea diagramelor N + T (Fig. 3.68) NODUL 2

NODUL T2-3=68,75

T4-3= -51,25

4

Fig. 3.68 T4-6= 50

N2-3= -13,125 N4-3= -13,125

y T2-1 = -13,125 N2-1= -68,75

∑X

i

= 13,125 − 13,125 = 0

i

nod

∑X

i

= 13,125 − 13,125 = 0

nod

nod

∑Y

T4-5= 13,125 N4-5= -101,25

x 0 Sistemul axelor de proiecŃie

= 68,75 − 68,75 = 0

∑Y

i

= 101,25 − 51,25 − 50 = 0

nod

56

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Verificarea diagramei M (Fig. 3.69) NODUL 2

NODUL 4 102,5 52,5

52,5

50

52,5

Fig. 3.69

∑ M = −52,5 + 52,5 = 0

∑ M = −102,5 + 52,5 + 50 = 0

nod

nod

Diagramele eforturilor secŃionale pe întreaga structură, obŃinute prin alăturarea diagramelor obŃinute pe părŃile componente, sunt prezentate în Fig. 3.70.

68,75

+

+

-

-

51,25

50

51,25 50

-

N

-

[KN]

T

68,75

13,125

101,25

+

[KN] 13,125

102,5 50 52,5

Mmax=65,66

M

52,5

100

[KNm]

Fig. 3.70

57

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

CAPITOLUL 4 CALCULUL DEPLASĂRILOR PUNCTUALE PRODUSE DE FORłELE EXTERIOARE ŞI DE CEDĂRILE DE REAZEME LA STRUCTURILE STATIC DETERMINATE

Deplasări elastice punctuale produse de forŃe la structuri static determinate La structurile static determinate deplasările punctuale produse de forŃele exterioare se calculează cu ajutorul formulei Maxwell-Mohr: dx

dx

dx

∆ = ∫ m M EI + ∫ n N EA + ∫ kt T EA i

i

i

STR

i

STR

unde,

STR

- M, N, T → reprezintă diagramele de eforturi din situaŃia reală de încărcare. - mi, ni, ti → reprezintă diagramele unitare din situaŃia virtuală de încărcare, în care o forŃă unitate acŃionează în direcŃia deplasării căutate (Fig.4.1).

P[KN]

_ 1

p [KN/m]

i

i

mi

SITUATIA REALA

i

M, N, T

pozitia deformata

Fig. 4.1

ni ti

Deoarece la grinzi drepte şi cadre efortul dominant este momentul încovoietor, se reŃine din formula Maxwell-Mohr numai termenul care conŃine acest efort, reducând astfel considerabil volumul de calcul. Se va lucra în continuare cu formula: ∆i =

∫ STR

mi ⋅ M ⋅

dx EI

Efectuarea integralelor din formulă se va face folosind procedeul lungimilor transformate, procedeu care rezultă din regula de integrare Vereşciaghin.

58

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Prin lungime transformată λ a unei bare se înŃelege:

Bara

jj

−l −I −I

kk

λ jk = l jk

IC I jk

unde,

→ reprezintă lungimea barei

jk jk c

EI l

→ reprezintă momentul de inerŃie al barei

→ reprezintă un moment de inerŃie convenŃional (ales), de obicei

momentul de inerŃie minim din structura Ic=Imin . Integralele fiind de suprafaŃă, au fost deduse reguli pentru principalele tipuri de suprafeŃe posibil de întâlnit în diagrama reală M şi diagrama unitară mi. OBSERVAłIE: Pe porŃiunea de bază j-k momentul unitar mi trebuie să fie liniar (nu poligonal): (Fig. 4.2)

j

k k

M Mj

Mk

mj

mi mk

liniar

∆i = ∫ mi ⋅ M j

dx EI

Fig. 4.2

Utilizând procedeul lungimilor transformate se calculează de fapt: k

6 EI C ∆ i = 6EI C ∫ mi ⋅ M j

dx , factorul 6EIC fiind cerut de regulile de integrare. EI

Aceste reguli de integrare sunt prezentate în continuare considerându-se momentele încovoietoare de acelaşi semn. ▪ două triunghiuri orientate la fel j

k

▪ două triunghiuri orientate invers j

1

k 1

j

k

k

j

1

1

2·λ λ·1·1

λ·1·1 59

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

▪ triunghi cu dreptunghi j

▪dreptunghi cu dreptunghi j

k

1

k

1

j

j

k

1

k

1

6·λ λ·1·1

3·λ λ·1·1 ObservaŃie:

Valorile 1 reprezintă momentele pe capătul barei j-k. Efectul forŃelor de pe parcursul barei j-k se introduce în calcul cu ajutorul factorilor (caracteristicilor) de încarcare mjk . j

k

j

k

j

k

j

k

1

1

λ·mjk·1

λ ·mjk·1

Se prezentăm în continuare câteva cazuri uzuale de încărcare şi factorii de încărcare corespunzători (Fig. 4.3) P [KN]

p [KN/m] j

j

k l

k l/2

pl 2 4

j

k a

l/2

M

m jk = m kj =

P [KN] b

M

m jk = mkj =

3Pl 8

Fig. 4.3

M

m jk = Pab (l + b) l2 m kj = Pab (l + a ) l2

Aplicând procedeul lungimilor transformate, deplasarea ∆i devine: 6 EI∆ i = 2 ⋅ λ ⋅ M j m j + λ ⋅ M j mk + λ ⋅ M K ⋅ m j + 2 ⋅ λ ⋅ M k ⋅ mk + + λ ⋅ m jk ⋅ m j + λ ⋅ mkj ⋅ mk

60

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

APLICAłIA 1.

Se cere calculul deplasărilor elastice punctuale indicate, produse de forŃe la grinda din Fig.4.4 şi determinarea poziŃiei deformate a grinzii. Fig. 4.4

P=20 KN

i 1

va,vi=? EI=105 KN⋅m2

A

I=ct 3m

1m

La calculul deplasărilor cerute se foloseşte formula Maxwell-Mohr:

∆

i

=

∫m

i

STR

⋅M

dx EI

Calculul deplasării va, deplasare verticală (Fig.4.5)

P=20 KN

SITUAłIA REALĂ SITUATIA REALA I=ct

1

2

3m

3

vA = ∫ mAM

1 20

[KNm]

M SITUATIA VIRTUALA

1

Calculul lungimilor transformate: λ1-2=3 λ2-3=3 Aplicând procedeul lungimilor transformate se obŃine: 6 EI C v A = 2 ⋅ 3 ⋅ 20 ⋅1 + 2 ⋅1 ⋅ 20 ⋅1 = 160

SITUAłIA VIRTUALĂ

vA =

1

[KNm]

dx EI

160 160 = = 0,00027m = 0,27 m 6 EI 6 ⋅105

mA λ

3

1

Ic=I

Fig. 4.5

Din calcul a rezultat că deplasarea verticală vA are loc în sensul forŃei unitate din situaŃia virtuală de încărcare.

61

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Calculul deplasării vi, deplasare verticală: SITUAłIA REALĂ SITUATIA REALA

vi = ∫ mi M

20

6,67

1 SITUATIA VIRTUALA SITUAłIA VIRTUALĂ

2

3

- M provine din situaŃia reală de încărcare, cunoscută deja.

M [KNm]

1

- mi provine din situaŃia virtuală de încărcare, necunoscută. Pentru obŃinerea diagramei mi se construieşte situaŃia virtuală şi se rezolvă (Fig. 4.6)

1 3

2 3

mi [KNm]

2 3

1

λ (Ic=I)

2

Fig. 4.6

dx unde, EI

Se calculează lungimile transformate pe porŃiunile 1-i si i-2 deoarece diagrama mi este poligonală.

Deplasarea ∆i se calculează după cum urmează: 2 2 2 6 EI C vi = −2 ⋅1 ⋅ 6,67 ⋅ − 2 ⋅ 2 ⋅ 6,67 ⋅ − 2 ⋅ 20 ⋅ = −53,35 3 3 3 53,35 vi = − = −0,000089m = −0,089mm 6 EI

Se observă că deplasarea verticală a secŃiunii i are loc în sensul invers al forŃei unitate din situaŃia virtuală de încărcare. Cunoscând cele două deplasări verticale vA şi vi şi fibrele întinse indicate de diagrama M se poate desena poziŃia deformată a grinzii (Fig. 4.7) poziŃia deformată

V i=0,089

V A=0,27

1

2

1

Fig. 4.7

62

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

APLICAłIA 2.

Pentru grinda cu consolă şi articulaŃii din fig. 4.8 se cere calculul deplasărilor indicate şi determinarea poziŃiei deformate. Fig. 4.8

p =10

P = 60 KN

v A , vB ,θ C = ?

ml

C EI = 80000 KN⋅m2

I=ct

A 2

KN

2

B

1

3

Calculul deplasării verticale vA (Fig.4.9)

Aplicând formula Maxwell-Mohr avem: vA =

∫m

A

M

dx EI

a) Calculul reacŃiunilor P.P.

∑ X = 0 ⇒ H1 =0 ( ∑ M ) = 0 ⇒ V ⋅ 4 − 60 ⋅ 2 + 15 ⋅1 = 0 i

3

1

V1 = 26,25 KN

( ∑ M )1 = −V3 ⋅ 4 − 15 ⋅ 5 + 60 ⋅ 2 = 0 V3 = 48,75 KN Verificare:

∑Y

= 26,25 + 48,75 − 60 − 15 = 0

i

b) Calculul diagramei M M 2 = 26,25 ⋅ 2 = 52,5KNm M 3 = −(15 ⋅1) = −15KNm

Se ştie că: λ1− A = λ A−3 = 2 → obŃinem

deplasarea căutată 6 EI C v A = 2 ⋅ 2 ⋅ 52,5 ⋅1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 52,5 ⋅1 − − 2 ⋅ 30 ⋅1 = 360 vA =

360 = 0,00075m = 0,75mm 6 ⋅ 80 ⋅ 500

63

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

SITUAłIA REALĂ SITUATIA REALA 1

P=60 KN 2

p =10 KN ml

3

5

4 2

2

1

3

P.S. p=10KN/m H4=0 4 5 V4=15 P=60 KN

P.P.

V5=15

V4=15

1 2

4

3

V1=26,25

V3=48,75 30

M

[KNm]

52,5

SITUAłIA SITUATIA VIRTUALĂ VIRTUALA

1 2

1

3

A

mA

[KNm]

1

Fig. 4.9

2

λ

2

(Ic=I)

Calculul deplasării verticale vB (Fig. 4.10) Din formula Maxwell-Mohr rezultă: v B = ∫ mB M

dx EI

Se observă că diagrama M este cunoscută din rezolvarea anterioară. Diagrama mB se obŃine din situaŃia virtuală de încărcare.

64

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

SITUATIA REALA SITUAłIA REALĂ

30

M [KNm]

52,5 SITUAłIA VIRTUALĂ SITUATIA VIRTUALA

1 4

3

1

5

B 1

[KNm]

mB m 3-1 =90

m 1-3 =90

4

mjk

λ (Ic=I)

1

Fig. 4.10

Calculul lungimilor transformate şi a caracteristicilor de încărcare: I I

;

λ1−3 = 4 ⋅ = 4 m1−3 = m3−1 =

I I

λ3− 4 = 1 ⋅ = 1

3Pl 3 ⋅ 60 ⋅ 4 = = 90 8 8

Calculul deplasării vB, utilizând procedeul lungimilor transformate: 6 EI C vB = 2 ⋅ 4 ⋅ 30 ⋅1 − 4 ⋅ 90 ⋅1 + 2 ⋅1 ⋅ 30 ⋅1 = −60 vB = −

60 = −0.000125m = −0.125mm 6 ⋅ 80000

Se observă că deplasarea verticală vB are loc în sensul invers forŃei unitate din situaŃia virtuală de încărcare. Calculul rotirii θC (Fig. 4.11) Din formula lui Maxwell-Mohr se ştie că: θ C = ∫ mC M

dx EI

SituaŃia reală de încărcare fiind cunoscută trebuie să se construiască situaŃia virtuală pentru a obŃine diagrama mC. 65

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Calculul reacŃiunilor P.P.

Calculul caracteristicilor de încărcare:

∑ X = 0 ⇒ H1=0 1 (∑ M ) = 0 ⇒ V ⋅ 4 − ⋅1 = 0 3 i

2

m4−5 = m5− 4 =

1

pl 2 10 ⋅ 32 = = 22,5 4 4

Calculul rotirii θC

1 V1= KN 12

1 1 6 EI Cθ C = −2 ⋅ 4 ⋅ 30 ⋅ + 4 ⋅ 90 ⋅ − 3 3 1 − 2 ⋅1⋅ 30 ⋅ − 3 ⋅ 22,5 ⋅1 = −47,5 3 47,5 θC = − = −0.99 ⋅10−4 radiani 6 ⋅ EI

1 ( ∑ M )1 = 0 ⇒ V3 ⋅ 4 − ⋅ 5 = 0 3 5 V3= KN 12

SITUAłIA REALĂ SITUATIA REALA

30 M

52,5

1

SITUAłIA SITUATIAVIRTUALĂ VIRTUALA 3 1

4

5 B

P.S. P.P.

1

5

4 V4=1/3

1

V5=1/3

3

2

1/3

V1=1/12

1

V3=5/12

mC [KNm]

1/3 m 1-3 =90

m 3-1 =90

4

Fig. 4.11

m 5-4 =22.5

m 4-5 =22.5

1

1

mjk

λ

Se observă că rotirea θC are loc în sensul antiorar. Cunoscând deplasările vA, vB si θC şi fibrele întinse indicate de diagrama M putem trasa poziŃia deformată a grinzii date ( Fig. 4.12) 66

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

vB=0,125 mm

θC=0,99 .10 -4radiani

vA=0,75 mm

Fig. 4.12 APLICAłIA 3

Pentru cadrul din fig. 4.13 se cere calculul deplasărilor elastice punctuale indicate şi determinarea poziŃiei deformate. p =5

P=20 KN

1,5 I

KN ml

A 3m

I

Fig. 4.13

uA, vA =? EI=120000KNm 2

1,5 m

Calculul deplasării orizontale uA (Fig.4.14)

P=20

SITUAłIAREALA REALĂ SITUATIA KN p =5 ml 5,625 2

SITUAłIA SITUATIAVIRTUALĂ VIRTUALA 1

m3-2=2,813

m2-3=2,813

1

3 3

1

[KNm]

[KNm]

M

mA

65,625

Fig. 4.14 I I

λ1− 2 = 3 ⋅ = 3 ;

λ (Ic=I)

3

λ2−3 = 1,5 ⋅

I =1 1,5 I

; m2−3 = m3−2

Pl 2 5 ⋅1,52 = = 2,813 4 4

67

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Se obŃine deplasarea orizontală uA aplicând formula Maxwell-Mohr: dx de unde rezultă: EI 6 EI C u A = 2 ⋅ 3 ⋅ 65,625 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5,625 ⋅ 3 = 1231,875 u A = ∫ mAM

uA =

1231,875 1231,875 = = 0,00171m = 1,71mm 6 EI 6 ⋅120000

Calculul deplasării verticale vA (Fig. 4.15) SITUAłIA SITUATIAREALĂ REALA

SITUAłIA VIRTUALA VIRTUALĂ SITUATIA

1 1,5

5,625 5,625

m3-2=2,813

m2-3=2,813

1

A

+

mjk

mA*

3

λ mjk

(Ic=I)

M 65,625

1,5

Fig. 4.15

Ştiind că: v A = ∫ m*A M

dx , se obŃine: EI

6 EI C v A = 3 ⋅ 3 ⋅ 65,625 ⋅1,5 + 3 ⋅ 3 ⋅ 5,625 ⋅1,5 + 2 ⋅1 ⋅ 5,625 ⋅1,5 − 1 ⋅ 2,831⋅1,5 = 974,53 vA =

974,53 974,53 = = 0,00135m = 1,35mm 6 EI 6 ⋅120000

Se observă că ambele deplasări au loc în sensul forŃelor unitate din situaŃiile virtuale de încărcare. Cunoscând deplasările uA şi vA şi fibrele întinse indicate de digrama M se poate desena poziŃia deformată a cadrului (Fig.4.16), respectând legăturile structurii şi continuitatea materialului.

uA=1,71 mm vA=1,35 mm

Fig. 4.16

68

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

APLICAłIA 4 Pentru cadrul simplu rezemat din fig. 4.17 se cere calculalul deplasărilor indicate şi determinarea poziŃiei deformate.

P1 =30 KN

p =15 KN/ml

P2 =20 KN

2I

2I

A

u A, vB, θC =? EI=80000KNm2

B 3

I

C Fig. 4.17

6

1

Calculul deplasării orizontale uA (Fig.4.18) Conform formulei Maxwell-Mohr deplasarea virtuală se obŃine integrând diagramele mA şi M din situaŃia virtuală de încărcare, respectiv situaŃia reală de încărcare. u A = ∫ mAM

dx EI

P1 =30 KN P2 =20 1

90 30

p =15 KN/ml 3

2

V1=30

3 H4=20

4

Fig. 4.18.a 6

V4=90

SITUAłIA REALĂ

mjk

⇓

60

+

M

1

Fig. 4.18.b 1

90

3

A 1 V1=0.5

mA

Fig. 4.18.c

2

3

3 4 H4=1

V4=0.5

SITUAłIA VIRTUALÃ DE ÎNCÃRCARE mA

Fig. 4.18.d

69

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Calculul reacŃiunilor (Fig. 4.18.a)

Calculul diagramei M (Fig.4.18.b) M 2−1 = 30 ⋅ 6 − 15 ⋅ 6 ⋅ 3 = −90 KNm

∑ X = 0 ⇒ P − H = 0 ⇒ H4=P2=20KN (∑ M ) = 0 ⇒ V ⋅ 6 + 20 ⋅ 3 − 15 ⋅ 6 ⋅ 3 + 30 ⋅1 = 0 2

i

4

M 2−4 = −(20 ⋅ 3) = −60KNm

4

(au fost reduse forŃele de la DR. secŃiunii)

1

V1=30 KN

M 2−3 = −(30 ⋅1) = −30KNm

(∑ M )1 = 0 ⇒ −V4 ⋅ 6 + 20 ⋅ 3 + 30 ⋅ 7 + 15 ⋅ 6 ⋅ 3 = 0

(au fost reduse forŃele de la DR. secŃiunii)

V4=90 KN

Verificare:

∑Y

i

= 30 + 90 − 15 ⋅ 6 − 30 = 0

Calculul diagramei mA (Fig.4.18.d)

Calculul reacŃiunilor (Fig.4.18.c) ∑ X i = 0 ⇒ 1 − H 4 = 0 ⇒ H4=1 KN ( ∑ M ) 4 = 0 ⇒ −V1 ⋅ 6 + 1⋅ 3 = 0 ⇒ V1=0,5KN

M 2−1 = −0,5 ⋅ 6 = −3KNm M 2− 3 = 0 M 2 −4 = − (1 ⋅ 3) = −3 KNm

( au fost reduse forŃele de la DR. secŃiunii)

(∑ M )1 = 0 ⇒ −V4 ⋅ 6 + 1⋅ 3 = 0 ⇒

V4=0,5KN

Calculul lungimilor transformate şi al caracteristicilor de încărcare (Fig.4.19) I =3 2I I λ2 −3 = 1⋅ = 0,5 2I . I λ2 −4 = 3 ⋅ = 3 I pl 2 15 ⋅ 6 2 m1− 2 = m2 −1 = = = 135 4 4

λ1−2 = 6 ⋅

135

135 3

λ (Ic=I) mjk

0,5 3

Fig. 4.19 Aplicând orizontală căutată:

procedeul lungimilor transformate obŃinem

deplasarea

6 EI C u A = 2 ⋅ 3 ⋅ 90 ⋅ 3 − 3 ⋅135 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 60 ⋅ 3 = 1485 1485 1485 uA = = = 0,00309m = 3,09mm 6 EI 6 ⋅ 80000

Se observă că deplasarea orizontală uA are loc în sensul forŃei unitate din situaŃia virtuală de încărcare. Calculul deplasării verticale vB (Fig.4.20) Aplicând formula Maxwell-Mohr, se obŃine: vB =

dx

∫ m M EI B

STR

70

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Se bservă că situaŃia reală ca şi lungimile transformate şi caracteristicile de încărcare rămân neschimbate. SITUAłIA REALÃ

SITUAłIA VIRTUALÃ DE ÎNCÃRCARE

90 30

1

2 3

90

⇓

1

V1= 1 6

30

B mB

M

+

1

4

H4

mjk =135

Fig. 4.20.a

V4= 7 6

Fig. 4.20.b mB

Fig. 4.20

Fig. 4.20.c Calculul diagramei mB (Fig.4.20.c)

Calculul reacŃiunilor (Fig.4.20.b)

∑ X = 0 ⇒ H4=0 ( ∑ M ) = 0 ⇒ −V ⋅ 6 + 1 ⋅1 = 0 ⇒

1 m2 −1 = − ⋅ 6 = −1KN 6 m2 −3 = −(1 ⋅1) = −1KN

i

4

1

1 V1= KN 6

m2 − 4 = 0

( ∑ M )1 = 0 ⇒ −V4 ⋅ 6 + 1 ⋅ 7 = 0 ⇒

7 V4= KN 6 Calculul deplasării verticale vB : 6 EI C vB = 2 ⋅ 3 ⋅ 90 ⋅1 − 3 ⋅135 ⋅1 + 2 ⋅ 0,5 ⋅ 60 ⋅1 = 195 vB =

195 195 = = 0,000406m = 0,406mm 6 EI 6 ⋅ 80000

Se observă că deplasarea verticală vB are loc în sensul forŃei unitate din situaŃia virtuală de încărcare. Calculul rotirii θC (Fig. 4.21) Conform formulei Maxwell-Mohr, rotirea θC este: θC =

∫m

C

STR

M

dx EI

71

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Diagrama reală M, lungimile transformate şi respectiv caracteristicile de încărcare (Fig. 4.19), fiind cunoscute din rezolvările anterioare se va construi numai situaŃia virtuală de încărcare (Fig. 4.21). SITUAłIA REALĂ SITUATIA REALA 90 60

Fig. 4.21.a 30

M [KNm] SITUATIA VIRTUALA SITUAłIA VIRTUALĂ

1

DE INCARCARE

1

2

3

[KNm]

V1=1/6

mc 1

Fig. 4.21.b Fig. 4.21

H4

4

Fig. 4.21.c

1

V4=1/6

Aplicând procedeul lungimilor transformate se obŃine: 6EIC·θC=2·3·90·1 - 3·135·1 + 3·3·30·1 = 405 θC=0,000843 radiani

Se observă că rotirea secŃiunii C are loc în sens orar. Cunoscând deplasările calculate anterior (uA, vB, θC ) şi fibrele întinse indicate de diagrama M se poate desena poziŃia deformată a cadrului, respectând legăturile structurii şi continuitatea materialului (Fig.4.22).

uA=3,09 mm

uA vB=0,406

-3 0C=0,843 . 10 radiani Fig. 4.22

72

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

APLICAłIA 5 Pentru cadrul din fig. 4.23 se cere calculul deplasărilor indicate şi determinarea poziŃiei deformate. KN

p =10

ml

P=20 KN

2I I

θA, uB=? EI=100000KNm2

3

I

B

A 6

Fig. 4.23

Calculul rotirii θA (Fig.4.24) Se utilizează formula Maxwell-Mohr: dx

∫ m M EI

θA =

A

STR

SITUAłIA REALĂ

p =10

P=20 KN

KN

SITUAłIA VIRTUALÃ DE ÎNCÃRCARE

ml

1

60

1

M

mA

Fig. 4.24.a

Fig. 4.24.b 90

90 3

3

Fig. 4.24

m2−3 = m3− 4 =

(Ic=I) λ mjk

3

Fig. 4.24.c

pl 2 10 ⋅ 62 = = 90 4 6

73

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Aplicând procedeul lungimilor transformate se obŃine: 6 EI Cθ A = 3 ⋅ 3 ⋅ 60 ⋅1 + 2 ⋅ 3 ⋅ 60 ⋅1 + 3 ⋅ 90 ⋅1 = 1170

θA =

1170 = 0,0117 radiani 6 EI

Se observă că rotirea secŃiunii A are loc în sensul momentului unitate, adică orar. Calculul deplasării orizontale uB (Fig 4.25) Deplasarea orizontală uB se calculează folosind formula Maxwell-Mohr: dx

uB =

∫ m M EI B

,

STR

unde M este diagrama de moment reală cunoscută din calculul rotirii θA, iar mB este diagrama din situaŃia virtuală de încărcare care trebuie rezolvată. SITUAłIA REALĂ

SITUAłIA VIRTUALÃ DE ÎNCÃRCARE

Fig. 4.25.b

Fig. 4.25.a 60

M

3

3

⇓

mB

60

+

mjk =90

B

1

Fig. 4.25

Deplasarea orizontală uB rezultă: 6 EI C u B = −2 ⋅ 3 ⋅ 60 ⋅ 3 − 3 ⋅ 3 ⋅ 60 ⋅ 3 − 3 ⋅ 90 ⋅ 3 = −3510 uB = −

3510 = −0,00585m = −5,85mm 6 EI

Se observă că deplasarea orizontală uB are loc în sens invers forŃei unitate din situaŃia virtuală de încărcare. Cunoscând deplasările θA şi uB şi fibrele întinse indicate de diagrama M se poate desena poziŃia deformată a cadrului, respectând legăturile structurii şi continuitatea materialului (Fig.4.26)

74

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Fig. 4.26 θ = 0.0117 A radiani

uB=5,85 mm

Deplasări punctuale produse de cedările de reazeme la structurile static determinate Cedările de reazeme sunt consecinŃa celorlalte încărcări de pe structură. Structurile static determinate au număr minim de legături necesare asigurării invariabilităŃii geometrice. În timpul cedării unui reazem acesta nu funcŃionează, structura devenind mecanism. Mecanismele se deplasează fără deformarea barelor, deci fără apariŃia eforturilor secŃionale. În concluzie la structurile static determinate cedările de reazeme nu produc eforturi (Fig.4.27).

∆r ∆r (cedare de reazam)

N,T,M=0

Fig. 4.27 Deplasările produse de cedările de reazeme se calculează cu ajutorul relaŃiei: ∆ j ,C = −∑ ri ⋅ ∆ r

unde,

∆r → reprezintă cedările reale.

ri → reprezintă reacŃiunile din situaŃia virtuală de încărcare, cunoscută din formula Maxwell-Mohr. APLICAłIA 6 Pentru grinda din figura 4.28 se cere calculul deplasării punctuale indicate produsă de cedarea de reazem şi reprezentarea poziŃiei deplasată: Fig. 4.28

2

1

3 ∆r =5 mm

4

V 3=?

1

75

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

Deplasarea verticală v3 se calculează folosind relaŃia: v3,C = −∑ r3 ⋅ ∆ r ;

ReacŃiunile v3 se obŃin din situaŃia virtuală de încărcare (Fig.4.29). SITUAłIA VIRTUALÃ

1

2

1 V1 = 1 4

3

V2 = 5 4

∑ X = 0 ⇒ H1=0 ( ∑ M ) = 0 ⇒ −V ⋅ 4 + 1 = 0

Fig. 4.29

i

2

1

V1=

1 4

KN

( ∑ M )1 = 0 ⇒ −V2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 5 = 0 5 V2= KN 4

ReacŃiunile din situaŃia virtuală sunt H1,V1 si V2. 5 v3,C = −∑ r3 ∆ r = −(−V2 ⋅ ∆ r ) = + ⋅ 5 = 6,25mm 4 ObservaŃie: produsul r i ⋅ ∆ r este pozitiv dacă reacŃiunea şi cedarea de

reazem au acelaşi semn.

Se observă că deplasarea v3,C a rezultat pozitivă, ceea ce indică că deplasarea are loc în sensul forŃei unitate din situŃia virtuală de încărcare. PoziŃia deplasată a grinzii este reprezentată în figura 4.30 .

∆ 3=6,25 mm Fig. 4.30

5mm=∆ r

76

PARTEA I

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

APLICAłIA 7

Pentru cadrul din fig. 4.31 se cere calculul deplasărilor punctuale indicate produse de cedările de reazeme şi reprezentarea poziŃiei deplasate:

3 2

∆r =4 mm

3 U2=?

1 4

Fig. 4.31

Deplasarea orizontală u2 se calculează folosind relaŃia: u2,C = −∑ r2 ⋅ ∆ r , unde r2 reprezintă reacŃiunile din situaŃia virtuală de încărcare ( Fig.4.32). SITUAłIA VIRTUALÃ DE ÎNCÃRCARE

3

1

2

V3= 3 =0,75 4 Reactiunile r2 sunt:H1, V1 si V3.

Aplicând formula de calcul obtinem: u 2,C = − ∑ r2 ∆ r = −( −V3 ⋅ ∆ r ) = +0,75 ⋅ 4 = 3mm

1 H1=1 V1= 3 =0,75 4

Fig. 4.32

PoziŃia deplasată a cadrului este prezentată în fig.4.33

u2,C = 3 mm ∆r =4mm

N,T,M=0 Fig. 4.33

77

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

PARTEA a II –a STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE

CAPITOLUL 6 METODA FORłELOR

Metoda forŃelor (M.F.) este o metodă de rezolvare a structurilor static nedeterminate. Structurile static nedeterminate au legături suplimentare faŃă de numărul minim necesar asigurării invariabilităŃii geometrice, deci şi forŃe de legătură suplimentare. Pentru determinarea acestora nu sunt suficiente ecuaŃiile de echilibru static, chiar dacă forŃele se raportează la poziŃia nedeformată a structurii. Se Consideră structura din fig. 6.1 încărcată cu forŃe. p Aplicând relaŃia care permite stabilirea gradului de nedeterminare statică se constată că structura este de trei ori static nedeterminată.

P

Fig. 6.1

n = N = l + r – 3c = 0 + 6 - 3⋅1 = 3.

Aceasta înseamnă că există trei legături suplimentare în structură, rezolvarea acesteia nefiind posibilă numai cu ajutorul ecuaŃiilor de echilibru static. Se demonstrează cele afirmate anterior punând in evidenŃă forŃele de legătură din reazeme în număr de şase, în timp ce pentru un corp în plan se pot scrie numai trei ecuaŃii de echilibru independente (fig. 6.2.).

p P

HA

MB B

A

MA VA

Fig. 6.2

VB

HB

Numărul forŃelor de legătură necunoscute este: Nnec = 6 Numărul ecuaŃiilor de echilibru independente posibil de scris: Nec = 3 Rezultă n = N = Nnec - Nec= 6 - 3 = 3 (q.e.d.)

78

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

Prin urmare pentru determinarea forŃelor de legătură din legăturile suplimentare trebuie să apelăm şi la condiŃia de compatibilitate a deformatei structurii cu legăturile sale. Metoda de rezolvare se numeşte metoda forŃelor (M.F.) şi se bazează pe cunoaşterea rezolvării structurilor static determinate. Astfel prin eliminarea legăturilor suplimentare din structura reală (în număr de trei, vezi fig. 6.1) se obŃine o structură static determinată, încărcată cu forŃele exterioare date şi cu forŃele de legătură corespunzătoare legăturilor eliminate, necunoscute (fig. 6.3). Această structură se numeşte sistem de bază (S.B.) şi va fi folosit pentru rezolvarea integrală a structurii iniŃiale. Pentru structura dată se pot obŃine, teoretic, o infinitate de sisteme de bază prin eliminarea a trei legături interioare sau/şi exterioare (fig. 6.3). p P

C STR. REALA

A

Sistemele de bază propuse sunt toate static determinate, invariabile geometric şi respectă condiŃia de echilibru static (conform axiomei legăturilor, legăturile suprimate au fost înlocuite cu forŃele de legătură corespunzătoare, necunoscutele problemei). Se constată însă că deformatele sistemelor de bază diferă de poziŃia deformată a structurii reale.

B

N=3 p

S.B 1 P

X 1= M A

X 2= M B X 3= H B

CADRU SIMPLU REZEMAT a)

p

S.B 2 P

XX22==M MCB X 33=M = MB C X 1= M A CADRU TRIPLU ARTICULAT b) p S.B3 P

θA ≠0 θB ≠ 0

X 1= M C X 2= M B CADRU COMPUS c)

Astfel la S.B1, în secŃiunea A rotirea este liberă, iar în secŃiunea B rotirea şi deplasarea orizontală sunt posibile. In structura reală însă aceste deplasări sunt nule (avem încastrare în A şi B). Rezultă că trebuie să se impună sistemului de bază condiŃia ca deformata lui să respecte legăturile structurii reale, adică să fie compatibilă cu structura reală. Se obŃin în acest mod trei ecuaŃii de condiŃie, care vor permite determinarea valorilor forŃelor de legătură necunoscute şi rezolvarea problemei.

X 3= H B

uB ≠ 0

la S.B1

Fig. 6.3 79

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

θA =0 θB = 0

dar, la STR. REALĂ

uB = 0

Sistemul ecuaŃiilor de condiŃie, obŃinut prin aplicarea simultană a principiului superpoziŃiei şi a principiului proporŃionalităŃii sistemului de bază S.B1 încărcat cu forŃele exterioare şi cu forŃele static nedeterminate necunoscute va fi: ∆1 = θ A = δ11 X 1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 + ∆1F = 0 ∆ 2 = θ B = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2 F = 0 ∆ 3 = u B = δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆ 3F = 0

Rezolvând sistemul ecuaŃiilor de condiŃie obŃinem forŃele de legătură necunoscute X1,X2 şi X3 : X1 = MA ; X2 = MB ; X3 = HB În continuare, pe S.B1 fiind cunoscute toate forŃele exterioare se pot calcula reacŃiunile şi trasa diagramele de eforturi secŃionale N, T şi M. În cazul sistemului de bază S.B2 (fig. 6.3.b) se observă că deplasările corespunzătoare legăturilor suprimate din structura reală sunt posibile: θ A ≠ 0; θ B ≠ 0; θ Crel ≠ 0 . Impunând condiŃia ca deformata sistemului de bază S.B2 să fie compatibilă cu legăturile structurii reale se obŃine sistemul ecuaŃiilor de condiŃie, care va permite determinarea forŃelor de legătură static nedeterminate necunoscute: X1 = M A

∆1 = θ A = δ11 X 1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 + ∆1F = 0 ∆ 2 = θ Crel = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2 F = 0

⇒

X2 = MC X3 = M B

∆ 3 = θ B = δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆ 3 F = 0

Pentru sistemul de bază S.B3 (fig. 6.3.c) sistemul ecuaŃiilor de condiŃie va avea forma: X1 = M C

∆1 = θ A = δ11 X 1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 + ∆1F = 0 ∆ 2 = θ B = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2 F = 0 ∆ 3 = u B = δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆ 3F = 0

⇒

X2 = MB X3 = HB

În concluzie se constată că în metoda forŃelor ecuaŃiile de condiŃie exprimă compatibilitatea deformatei sistemului de bază folosit pentru rezolvare cu legăturile structurii reale. Se subliniază de asemenea faptul că sistemele de bază folosite trebuie să fie static determinate, invariabile geometric şi uşor de rezolvat. 80

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

GRINZI CONTINUE APLICAłIA 1 Se propune rezolvarea grinzii continue din fig. 6.4. utilizând metoda forŃelor, trasarea diagramelor de eforturi M, T şi a poziŃiei deformate a grinzii.

20

80 KN

KN ml

2

1

I

6 S.B.

20

3

I

2,25

KN ml

4 2,25

2

80 KN

4

1 3

X1

MF X1 = 1

m1

1

mi,j

180

180

135

135

6

4,5

λ 80,37

M [KNm] 57,86

Mmax= 54,31 46,61

49,85

+

+ -

22,14

x0 = 2,33 73,39 p[KN/m]

T [KN]

θ2 P v3

Fig. 6.4

81

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

n = N = l + r - 3c = 0 + 4 - 3⋅1 = 1

Se va utiliza S.B obŃinut prin eliminarea legăturii corespunzătoare momentului încovoietor din secŃiunea 2. Sistemul de bază astfel obŃinut este format din două grinzi simplu rezemate: grinda 1-2 şi grinda 2-4. EcuaŃia de condiŃie va fi:

∆1 = θ 2rel = 0 ∆1 = δ11 X 1 + ∆1F = 0 pl 2 20 ⋅ 62 m12 = m21 = = = 180 4 4 3 ⋅ P ⋅ l 3 ⋅ 90 ⋅ 4,5 m24 = m42 = = = 135 8 8 Se observă că diagramele MF şi m1 se trasează foarte uşor pe sistemul de bază ales deoarece grinzile simplu rezemate componente lucrează independent, preluând numai forŃe direct aplicate asupra lor. dx = 2 ⋅ 6 ⋅12 + 2 ⋅ 4,5 ⋅12 = 21 EI dx 6 EI∆1F = 6 EI ∫ m1 ⋅ M F = EI = 6 ⋅180 ⋅1 + 4,5 ⋅135 ⋅1 = 1687,5 21X 1 + 1687,5 = 0 ⇒ X 1 = M 2 = −80,357 KN ⋅ m 6 EIδ11 = 6 EI ∫ m12

M = M F + m1 ⋅ X 1 = M F + m1 ⋅ (−80,357)

Calculul forŃei tăietoare (Fig. 6.4.a) Bara 1-2

KN p = 20 ml

1

6 V1-2 = 46,61

80,357 (ΣM ) 2 = 0 ⇒ V1− 2 ⋅ 6 − 20 ⋅ 6 ⋅ 3 + 80,357 = 0 279,643 = 46,61KN 6 (ΣM )1 = 0 ⇒ −V2−1 ⋅ 6 + 80,357 + 20 ⋅ 6 ⋅ 3 = 0

V1− 2 =

2

V2-1 = 73,39

46,61

+ x0=2,33m Fig. 6.4.a

-

T

440,357 = 73,39 KN 6 Tx0 = 46,61 − 20 ⋅ x0 = 0 ⇒ x0 = 2,33m

V2−1 =

M max = 46,61 ⋅ 2,33 − 20 ⋅

2,332 = 54,31KNm 2

73,39

82

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

80

Bara 2-4

(ΣM ) 4 = 0 ⇒ V2 − 4 ⋅ 4,5 − 80,357 − 80 ⋅ 2,25 = 0

2

260,357 V2 − 4 = = 57,86 KN 4,5 (ΣM ) 2 = 0 ⇒ −V4 − 2 ⋅ 4,5 + 80 ⋅ 2,25 − 80,357 = 0

80,357

99,643 = 22,14 KN 4,5 M 3 = −( −22,14 ⋅ 2,25) = +49,815 KN ⋅ m

V4 − 2 =

4 3

2,25

2,25

V2-4 = 57,86 57,86 V4-2 = 22,14

+

Determinarea poziŃiei deformate (Fig. 6.4.b) Se vor calcula deplasarile v3 si θ2.

-

Fig. 6.4.a

22,14

v3 = ∫ M ⋅ m 6EIv3 = −2,25 ⋅ 80,357 ⋅1,125 + 2 ⋅ 2,25 ⋅ 49,815⋅
dx 3 EI

⋅1,125 + 2 ⋅ 2,25 ⋅ 49,815 ⋅1,125 = 300,973

1 m°3 3

v3 = 50,162 ⋅ EI1 [m]

1,125

dx θ 2 = ∫ M ⋅ m2
EI 6EIθ 2 = −2 ⋅ 6 ⋅ 80,357 ⋅ 1 + 6 ⋅ 180 ⋅1 = 115,716 θ 2 = 19,286 ⋅ EI1 [radiani]

2,25 6

2,25 4,5

1

m°2

Verificare M Fig. 6.4.b

1

6EIv4 = 2 ⋅ 6 ⋅ 4,5 ⋅ 80,357 − 6 ⋅ 180 ⋅ 4,5 + + 2 ⋅ 4,5 ⋅ 4,5 ⋅ 80,357 − 4,5 ⋅ 135⋅ 4,5 =

4,5 m°4

1

= +7593,736 − 7593,75 = −0,014 ε = 0,00018 < 1% .

Fig. 6.4.c

APLICAłIA 2

Se propune rezolvarea grinzii continue din fig. 6.5 utilizând metoda forŃelor, trasarea diagramelor de eforturi M, T şi a poziŃiei deformate a grinzii. n = N = l + r – 3c = 0 + 5 - 3⋅1 = 2 GRINDA ESTE DE DOUĂ ORI STATIC NEDETERMINATĂ Se va utiliza S.B. obŃinut prin eliminarea legăturilor corespunzătoare momentelor din dreptul reazemelor intermediare 2 şi 3. 83

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

1

I 5

2 5 S.B.

KN ml

p2 = 60

KN p1 = 20 ml

p1 = 20

KN ml 4

3 5

p2 p1

p1

1

4 x1

2

x2

3

MF x1 = 1 m1

x2 = 1

1

m2

1 m jx

125

125

375

375

125

125

5

5

5

100

100 Mmax= 22,5

Mmax= 22,5

M [KNm]

Mmax= 87,5 150 30 + x1 = 1,5

70

[KN]

30 +

+

-

x0 = 2,5

150

x0 = 1,5

T 70

vA = 175,78/EI

Fig. 6.5

84

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

Sistemul ecuaŃiilor de condiŃie: ∆1 = θ 2rel = 0 ∆ 2 = θ 3rel = 0 ∆1 = δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ∆1F = 0 ∆ 2 = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 F = 0

Se observă că pe S.B ales, format din trei grinzi simplu rezemate care lucrează independent între ele, este foarte uşor să se traseze diagramele MF, m1 şi m2. m12 = m21 = m34 = m43 = m23 = m32 =

6 EIδ 11 = 6 EI ∫ m12

20 ⋅ 52 = 125 4

60 ⋅ 52 = 375 4 dx EI

= 2 ⋅ 5 ⋅ 12 + 2 ⋅ 5 ⋅ 12 = 20

6 EIδ 12 = 6 EIδ 21 = 6 EI ∫ m1 ⋅ m2 6 EIδ 22 = 6 EI ∫ m22

dx EI

= 5 ⋅1⋅1 = 5

= 2 ⋅ 5 ⋅12 + 2 ⋅ 5 ⋅12 = 20

6 EI∆1F = 6 EI ∫ m1 ⋅ M F 6 EI∆ 2 F = 6 EI ∫ m2 ⋅ M F

dx EI dx EI

20 X 1 + 5 X 2 + 2500 = 0 5 X 1 + 20 X 2 + 2500 = 0

Bara 1-2

dx EI

= 5 ⋅125 ⋅ 1 + 5 ⋅ 375 ⋅ 1 = 2500 = 5 ⋅ 375 ⋅1 + 5 ⋅ 125 ⋅ 1 = 2500

⇒

X 1 = X 2 = −100 KN ⋅ m

Bara 3-4

KN 20 ml

KN 60 ml

100

100

100

1 V1-2 = 30

5

2

2

3

V2-3 = 150 V3-2 = 150

V2-1 = 70

150

30

+ x0=1,5m

5m

-

T

+ x0=2,5m

-

T 150

70

Fig. 6.5.a

85

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

Calculul diagramei T

(Fig. 6.5.a) Bara 3-4

Bara 1-2 (ΣM ) 2 = 0 ⇒ V1− 2 ⋅ 5 + 100 − 20 ⋅ 5 ⋅ 2,5 = 0 150 = 30 KN 5 (ΣM )1 = 0 ⇒ −V2−1 ⋅ 5 + 100 + 20 ⋅ 5 ⋅ 2,5 = 0

(ΣM )3 = 0 ⇒V2−3 ⋅ 5 − 100+ 100 − 60 ⋅ 5 ⋅ 2,5 = 0

V1− 2 =

V2−3 = V3−2 = 150KN • M max = 150⋅ 2,5 − 100− 60 ⋅

350 V2−1 = = 70 KN 5 • M max = 30 ⋅ 1,5 − 20 ⋅

OBS.

2,52 = 87,5 2

1,52 = 22,5 2

Încărcarea exterioară fiind simetrică, grinda continuă se comportă simetric. Prin urmare diagrama M şi deformata rezultă simetrice, iar diagrama T antisimetrică.

Determinarea poziŃiei deformate (Fig. 6.5 şi 6.5.b) Se va calcula deplasarea verticală vA. Fig. 6.5.b

1

6 EIv a = 6 EI ∫ M ⋅ m a
dx = EI = [−2,5 ⋅ 100 ⋅ 1,25 + 2 ⋅ 2,25 ⋅ 87,5 ⋅ 1,25 + + 2,5 ⋅ 93,75 ⋅ 1,25] ⋅ 2 = 1054,6875

a 2,5

2,5

m°a

v a = 175,78 ⋅ 1

1,25

EI 93,75

2 m 2−a = m a −2 = 60⋅2,5 = 93,75

93,75

2,5

93,75

93,75

m jk

2,5

4

Fig. 6.5.c

Verificarea diagramei M (Fig. 6.5.c) dx 6 EIv3 = 6 EI ∫ M ⋅ m = EI = 2 ⋅ 5 ⋅ 100 ⋅ 5 − 5 ⋅ 125 ⋅ 5 + 3 ⋅ 5 ⋅ 100 ⋅ 5 − 5 ⋅ 375 ⋅ 5 =

5

1 m°3

0 3

1

2

3

= 12500 − 12500 = 0 ⇒ ε = 0%.

86

4

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

CADRE STATIC NEDETERMINATE

APLICAłIA 1.

Se propune rezolvarea cadrului din Fig. 6.6 utilizând metoda forŃelor, trasarea diagramelor de eforturi M, T, N şi determinarea poziŃiei deformate produsă de forŃele exterioare. P=15

2I I

p = 30

KN ml

3

Stabilirea gradului de nedeterminare statică: n = N = l + r –3c = 0+4-3⋅1 = 1 Structura este o singură dată static nedeterminată.

2I 3

I

4m

Fig. 6.6

Alegerea sistemului de bază (Fig.6.6.a)

Se propun două sisteme de bază diferite. Rezolvarea se va face folosind S.B1. S.B1

S.B2

P=15

5

4

x1 p = 30

2

KN ml

P=15

x1

P.S.

p = 30

KN ml

3

P.P. 1

Fig. 6.6.a

CADRU SIMPLU REZEMAT

CADRU COMPUS

87

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

EcuaŃia de condiŃie pentru S.B1 este: ∆1 = v5 = 0 ⇒ ∆1 = δ 11 X 1 + ∆1F = 0

Rezolvarea S.B1 AcŃiunea forŃelor exterioare pe S.B1: MF (Fig. 6.6.b) Fig. 6.6.b

P=15

P=15 4

5

30

KN ml

30

3

2

5

4

KN ml

45

3 V = 82,3 V33=82,5

2

45 90

1 H1 = 15

1

MF

UV1==37,5 82,3 1

(ΣM )3 = 0 ⇒ −V1 ⋅ 4 − 30 ⋅ 4 ⋅ 2 + 15 ⋅ 3 + 15 ⋅ 3 = 0 ⇒ V1 = 37,5KN (ΣM )1 = 0 ⇒ −V3 ⋅ 4 + 30 ⋅ 4 ⋅ 2 + 15 ⋅ 6 = 0 ⇒ V3 = 82,5KN

AcŃiunea necunoscutei X1=1 pe S.B1 : m1

5

5

4

4 2

4

x1 =1

(Fig. 6.6.c)

x 1 =1 3

2

120

3

3 2

V3 = 1

2

4

m1 1

Fig. 6.6.c

1

H1 = 0

120

3

( Ic = I )

mjk

V1= 0

88

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

Calculul lungimilor transformate si al factorilor de incărcare

(ΣM )1 = 0 ⇒ V3 ⋅ 4 − 1 ⋅ 4 = 0

λ12 = λ 24 = 3 ⋅ II = 3

V3 = 1 ΣX i = 0 ⇒

λ 23 = λ 35 = 4 ⋅ 2II = 2

H1 = 0

(ΣM ) 3 = 0 ⇒ V1 ⋅ 4 = 0

pl 2

2

m 23 = m32 = = 30⋅4 = 120 4 4

V1 = 0

Calculul coeficientului necunoscutei şi a termenului liber din ecuaŃia de condiŃie: 6 EI C δ 11 = 6 EI ∫ m12

dx EI

= 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 6 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 4 = 416

6 EI∆1F = 6 EI ∫ m1 ⋅ M F

dx EI

= −2 ⋅ 2 ⋅ 90 ⋅ 4 − 2 ⋅ 120 ⋅ 4 − 3 ⋅ 3 ⋅ 45 ⋅ 4 = −4020

Rezolvarea ecuaŃiei de condiŃie: 416 X 1 − 4020 = 0 ⇒ X 1 = V5 = 9,66 KN

Calculul momentului final M

(Fig.6.6.d)

M = M F + m1 ⋅ X 1 = M F + m1 ⋅ 9,66

Fig. 6.6.d

38,64

45 45

+

38,64

38,64

=

45

6,36

90

MF

m1 . X1

51,36

M [KNm]

89

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

Verificarea diagramei M (Fig. 6.6.e)

Se va verifica dacă rotirea relativă în nodul 4 este zero. Pentru aceasta se va utiliza S.B2, cadru static determinat. dx θ 4rel = 0 ⇒ θ 4rel = ∫ M ⋅ m 4
EI

SituaŃia virtuală pentru determinarea diagramei m
4 . 1

6 EI Cθ 4rel = 6 EI ∫ M ⋅ m4


1

dx EI

=

= −2 ⋅ 2 ⋅ 51,36 ⋅ 1 − 2 ⋅120 ⋅1 − 3 ⋅ 3 ⋅ 6,36 ⋅1 + + 3 ⋅ 3 ⋅ 38,64 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 38,64 ⋅1 = = −502,68 + 502,3 = −0,38 1

ε=

m04

− 502,68 + 502,32 − 502,68

⋅ 100% = 0,072%

ε < 1%

Fig. 6.6.e

Calculul diagramei T

(Fig. 6.6.f)

Bara 1-2

Bara 2-4

45 2

38,64

T 21 = 15 KN

4

38,64 T42 = 15 KN

3 1

Bara 4-5

T12 = T21 = 15 KN

2

T24 = T42 = 15 KN

6,36 T42 = 6,36 + 38 ,64 = 15 15KN kn

15 kn KN T21 = 45 = 15 3

4

4

3

3

5

T45 =9,66 T54 = T45

T45 = 38,64 = 9,66 9,66KN kn 4

Fig. 6.6.f

90

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

Bara 2-3 KN p = 30 ml

51,36

2

V23 = 188,64 = 47,16 KN

3

4

V23 = 47,16

(ΣM ) 3 = 0 ⇒ V 23 ⋅ 4 + 51,36 − 30 ⋅ 4 ⋅ 2 = 0 4

V32 = 72,84

(ΣM )1 = 0 ⇒ −V32 ⋅ 4 + 30 ⋅ 4 ⋅ 2 + 51,36 = 0

47,16

V32 = 291,36 = 72,84 KN

+

4

-

x0=1,572 m

T x0 = 47,16 − 30 ⋅ x 0 = 0 ⇒

72,84

x 0 = 1,572m

Fig. 6.6.f

• M max = 47,16 ⋅ 1,572 + 51,36 − 30 ⋅

1,5722 = 88,43KN ⋅ m 2

u5

38,64

u5

u3

u3

45 6,36 M max= 88,43 KNm 51,36

M [KNm] 15 -

9,66

9,66 +

+

47,16 +

+

x0 =1,572

T 15 [KN]

72,84

N 37,5

[KN] 91

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

Calculul diagramei N (Fig. 6.6.g) NOD 22 NOD

NOD NOD 44 T45 = 9,66

P = 15

T24 = 15

N42 = 9,66

N23 = 0 N23 = 0

T42 = 9,66

T21 = 15

N23 = 47,16

Fig. 6.6.g

N42 = 9,66

N12 = 37,5

ΣX i = 0 ⇒ N 2−3 − 15 + 15 = 0

ΣX i = 0 ⇒ +15 − 15 + N 23 = 0

ΣX i = 0 ⇒ 9,66 − N 4− 2 = 0

N 23 = 0 ΣX i = 0 ⇒ N12 + 9,66 − 47,16 N12 = 37,5

Determinarea poziŃiei deformate (fig. 6.6.h)

Se vor calcula deplasările orizontale din reazemele simple 3 şi 5. Se va utiliza S.B1 în situaŃia virtuală de încărcare.

u 3 = ∫ M ⋅ m3o dx ; EI

u 5 = ∫ m5o dx . EI

SituaŃia virtuală pentru calculul deplasării u3

6 EI c u3 = 6 EI ∫ m3
M

2

3

=

= 2 ⋅ 3 ⋅ 45 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 ⋅ 51,36 ⋅ 3 + 2 ⋅120 ⋅ 3 = 2146,321

3

1

dx EI

u3 = 357,72 ⋅ EI1

3 m°3

1 Fig. 6.6.h

92

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

SituaŃia virtuală pentru calculul deplasării u5

1 6 EI c u 5 = 6 EI ∫ m5o M dx = EI

2

3

= 2 ⋅ 3 ⋅ 45 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 ⋅ 51,36 ⋅ 6 + 2 ⋅ 120 ⋅ 6 +

3

+ 2 ⋅ 3 ⋅ 6,36 ⋅ 3 − 3 ⋅ 38,64 ⋅ 3 = = 3249,36

3 6 1

m°5

Fig. 6.6.h

u 5 = 541,56 ⋅ 1

EI

OBS. Nodurile 2 şi 4 se translatează şi se rotesc. Rotirile θ2 şi θ4 nu au fost calculate, desenarea poziŃiei deformate fiind posibilă prin respectarea legăturilor exterioare şi fibrelor întinse indicate de diagrama M. Calculul reacŃiunilor R (fig. 6.6.i)

Cunoscând diagramele de eforturi T şi N este posibilă determinarea reacŃiunilor cadrului dat.

P=15

P=15 5

4 p = 30

2

4

KN ml

p = 30

3

2

1

1

Fig. 6.6.i

5 V5 = T54=9,66 KN ml

3 V3 = T32=72,84 H1 = 15 =T12

V1 = N12=37,5

Se propune determinarea diagramei de moment M utilizând şi S.B2.

93

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

APLICAłIA 2

Se propune rezolvarea cadrului static nedeterminat din fig. 6.7 utilizând metoda forŃelor, trasarea diagramelor de eforturi M, T, N şi determinarea poziŃiei deformate produsă de forŃele exterioare. KN pp==25 25 ml ml P=120 KN P=120 KN 2I 2I

1

2I 2I

1 Stabilirea gradului de nedeterminare statică:

2I 2I

I I

4

I

N = N = l + r - 3c = 2 + 5 - 3⋅2 = 1 STRUCTURA ESTE O SINGURĂ DATĂ STATIC NEDETERMINATĂ.

4

Fig. 6.7 6.7 Fig. 3

6

6 6

3

6 6

Alegerea sistemului de bază:

(fig. 6.7.a)

Se propun două sisteme de bază diferite: S.B1 şi S.B2 . Se va rezolva structura utilizând sistemul de bază S.B1

p = 25

p 7

KN ml 7

P=120 KN

P=120 KN x1

2 x1

3

P.S. 1

4

5

2

S.B1

6

1

3

4

5

S.B2

6

P.P. Cadru compus

S. P. P.P.

Cadru triplu articulat

Fig. 6.7.a

94

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

EcuaŃia de condiŃie pentru S.B1: ∆1 = u1 = 0 ⇒ ∆1 = δ 11 ⋅ X 1 + ∆1F = 0 Rezolvarea sistemului de bază S.B1 . AcŃiunea forŃelor exterioare pe S.B1 : MF Fig. 6.7.b

pp=25 = 50

(fig. 6.7.b)

KN ml

R = 300

25

KN ml

7

7

P=120 KN

1

P=120 KN V7 = 60 KN

3

2

4

5

2

6

1

4

3

5

4 1 3

3

H6 = 0

6

6 V1 = 60 KN

6

V6 = 420

∑X =0⇒ H =0 (∑ M ) = 0 ⇒ V ⋅ 6 − 120 ⋅ 3 = 0

810

6

i

ST 4

1

V1 = 60 KN (∑ M ) 6 = 0 ⇒ −V7 ⋅ 6 − 120 ⋅ 9 + 60 ⋅12 = 0

180

MF

360 = −60 KN 6 = 0 ⇒ −V6 ⋅ 6 + 300 ⋅ 6 + 60 ⋅12 = 0

V7 = (∑ M ) 4DR

V6 = 420 KN

∑ Yi = 60 + 420 − 120 − 300 − 60 = 0

Verificare:

AcŃiunea necunoscutei X1 = 1 pe S.B1: m1

7

Fig.6.7.c 2 x1= 1

1

(fig. 6.7.c)

4

V7 =

5

6

7

2 x1 = 1

4

6

1 V1 =

5

2 3

4 3

H6 = 10 V6 = 2

95

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

(∑ M ) ST 4 =0 ⇒ V1 ⋅ 6 − 1 ⋅ 4 = 0

(∑ M ) 6 = 0 ⇒ −V7 ⋅ 6 + V7 =

4

4

2 V1 = 3 2 ⋅12 = 0 3

8

4

4 3

m1

4 (∑ M ) 4DR = 0 ⇒ V6 ⋅ 6 + 1 ⋅ 4 − ⋅ 12 = 0 3 V6 = 2

Fig.6.7.c 22

Calculul lungimilor transformate si al factorilor de incărcare

270

3Pl 3 ⋅ 120 ⋅ 6 = = 270 8 8 pl 2 25 ⋅ 6 2 m45 = m54 = = = 225 4 4 pl 2 25 ⋅ 6 2 m57 = m75 = = = 225 4 4 m24 = m 42 =

270 225 225 3 3

4

22

5

5

4 3,0

( Ic = I ) 4

m1

m jk

Calculul coeficientului necunoscutei δ11 şi a termenului liber ∆1F dx = 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3,04 ⋅ 8 ⋅ 8 = EI = 837,12 dx = 6 EI ∫ m1 ⋅ M F = −3 ⋅ 270 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 ⋅ 810 ⋅ 4 + 3 ⋅ 225 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3,04 ⋅ 810 ⋅ 8 + EI + 3,04 ⋅ 225 ⋅ 8 = −53906,4

6 EI c δ 11 = 6 EI ∫ m12

6 EI c ∆1F

Calculul necunoscutei X1 = H1 837,12 X1 – 53906,4 = 0 ⇒ X1 = H1 = 64,395 KN

Calculul momentului final M

(Fig. 6.7.d)

Se va utiliza simultan principiul superpoziŃiei si al proporŃionalităŃii: M = M F + m1 ⋅ X 1 = M F + m1 ⋅ 64,395

96

PARTEA A II-A

STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE.

Fig. 6.7.d 810 257,58

+

180

MF

257,58

552,42 4,84 29

257,58

257,58

51,21

=

515,16

m1 X1

257,58

M

[KNm]

Verificarea diagramei M (Fig. 6.7.e) Se va verifica dacă deplasarea verticală v7, din secŃiunea 7, rezultă zero. Pentru aceasta se construieşte situaŃia virtuală de încărcare , cerută de formula Maxwell-Mohr, pe sistemul de bază S.B2. _ 1

Fig. 6.7.e

_ 1 6 7

7 2

2

5

4

4

3

5

3 3

1

H1 = 0,75

6

1

H 6 = 0,75

6

V1 = 0,5

m°7

V6 = 1,5

dx =0 EI 6 EIv7 = −2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 257,58 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 257,58 + 3 ⋅ 270 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 552,42 −

v7 = ∫ m70 M

− 2 ⋅ 225 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 257,58 + 2 ⋅ 3,04 ⋅ 6 ⋅ 294,84 − 3,04 ⋅ 225 ⋅ 6 = = −23129,28 + 23129,323 ⇒ ε