Stat is Tika

BAB 3 DISTIRBUSI SAMPLING

A. POPULASI DAN SAMPEL Populasi (universe) adalah totalitas dari semua objek atau individu yang memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang akan diteliti(bahan penelitian). Objek atau nilai disebut unit analisis atau elemen populasi. Unit analisis dapat berupa orang, perusahaan, hasil produksi, rumah tangga, dan tanah pertanian. Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil melalui cara-cara tertentu yang juga memiliki karakteristik tertentu, jelas, dan lengkap yang dianggap bias mewakili populasi. Objek atau nilai yang akan diteliti dalam sampel disebut unit sampel. Unit sampel mungkin sama dengan unit analisis, tetapi mungkin juga tidak. Unutk menerangkan karakteristik dari populasi dan sampel, digunakan istilah parameter dan statistic. Parameter dan statistic adalah besaran yang berupa data ringkasan atau angka ringkasan yang menunjukkan suatu ciri dari populasi dan sampel. Parameter dan statistic merupakan hasil hitungan nilai dari semua unit didalam populasi dan sampel bersangkutan. Berikut ini table lambing yang digunakan untuk parameter dan statistic. TABEL 3.1 LAMBANG PARAMETER DAN STATISTIK Besaran Rata-rata Varians Simpangan Baku Jumlah Observasi populasi

Lambing Parameter (Populasi) µ 2

N P

Lambing Statistik (Sampel) S2 S N p

B. METODE SAMPLING Metode sampling adalah cara pengumpulan data yang hanya mengambil sebagian elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi. Cara pengumpulan data yang lain adalah sensus. Sensus adalah cara pengumpulan data yang mengambil setiap elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi. Untuk sesuatu hal maka sensus dilaksanakan, tetapi karena sesuatu hal pula mungkin sensus tidak dapat dilaksanakan dan kemudian dipilih sampling. Alas an-alasan dipilihnya sampling antara lain sebagai berikut.

1) Objek penelitian yang homogen Dalam menghadapi objek penelitian yang homogeny atau 100% sama, sensus tidak perlu dilaksanakan, cukup hanya dengan melakukan sampling untuk memperoleh data yang diperlukan. Contoh objek yang bersifat homogeny ialah : darah dalam tubuh seseorang, dan kadar garam air laut. 2) Objek penelitian yang mudah rusak Dalam menghadapi objek penelitian yang mudah rusak, sensus tidak mungkin dilakukan sebab akan merusak objek yang akan diteliti. Contoh : Penelitian mengenai rasa jeruk tidak mungkin dilakukan dengan mencicipi satu persatu jeruk satu kebun. 3) Penghematan biaya dan waktu Biaya yang dikeluarkan untuk melakukan sensus jauh lebih besar dibandingkan dengan sampling, sehingga penggunaan sensus banyak menimbulkan pemborosan, sedangkan penggunaan sampling lebih efisien. Hal itu disebabkan pada sensus objek yang diteliti jauh lebih banyak dibandingkan objek yang akan diteliti pada sampling. Demikian pula halnya dengan waktu. Waktu yang digunakan untuk melakukan sensus lebih lama jika dibandingkan dengan waktu yang digunakan untuk melakukan sampling. 4) Masalah ketelitian Pada sensus objek yang akan diteliti, lebih banyak dibandingkan dengan pada sampling, sehingga keakuratan hasil penelitiannya juga lebih kecil dari pada sampling. Pengalaman mengatakan bahwa semakin banyak objek yang diteliti, semakin kurang pula ketelitian yang dihasilkan. 5) Ukuran populasi Seperti diketahui bahwa berdasarkan ukurannya populasi dapat berupa populasi berhingga dan populasi tak berhingga. Untuk populasi tak berhingga , yaitu populasi yang memiliki banyak objek tidak berhingga banyaknya, sensus tidak mungkin dilakukan. Untuk populasi berhingga, tetapi memiliki objek yang sedemikian besarnya, sensus juga sulit untuk dilaksanakan. Untuk keadaan seperti itu, sampling lebih cocok untuk digunakan. 6) Factor ekonomis Factor ekonomis diartkikan apakah kegunaan dari hasil penelitian sepadan dengan biaya, waktu, dan tenaga yang telah dikeluarkan untuk penelitian tersebut. Jika tidak, mengapa harus dilakukan sensus yang memakan biaya waktu, dan tenaga yang banyak dan sebagai alternatifnya dilakukan sampling. Metode sampling pada dasarnya dapat dibedakan atas dua macam, yaitu sampling random dan sampling nonrandom.

1. Sampling Random (Sampling Acak) Sampling random atau sampling probabilitas adalah cara pengambilan sampel dengan semua objek atau elemen populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai sampel. Hasil dari sampling random memiliki sifat yang objektif. Yang termasuk sampling random, antara lain sampling random sederhana, sampling berlapis, sampling sistematis, dan sampling kelompok. a. Sampling random sederhana Sampling random sederhana adalah bentuk sampling random yang sifatnya sederhana, tiap sampel yang berukuran sama memiliki probabilitas sama untuk terpilih dari populasi. Sampling random sederhana dilakukan apabila : 1) Elemen-elemen populasi yang bersangkutan homogeny; 2) Hanya diketahui identitas-identitas dari satuan-satuan individu (elemen) dalam populasi, sedangkan keterangan lain mengenai populasi, seperti derajat keseragaman, pembagian dalam golongan-golongan tidak diketahui, dan sebagainya. Sampling random sederhana dapat dilakukan dengan menngunakan dua metode, yaitu metode undian dan metode table random. 1) Metode undian Metode undian adalah yang prosesnya dilakukan dengan menggunakan pola pengundian. Proses pengerjaannya ialah sebagai berikut. a) Memberi nomor kode urut pada semua elemen populasi pada lembar kertaskertas kecil. b) Menggulung lembar kertas-kertas kecil kemudian memasukkannya ke dalam kotak, mengocoknya dengan rata, dan mengambilnya satu per satu. c) Hasil undian itu merupakan sampel yang dipilih. Metode undian hanya cocok untuk jumlah populasi yang kecil. 2) Metode table random Metode table random adalah metode yang prosesnya dilakukan dengan menggunakan table bilangan random. Table bilangan random adalah table yang dibentuk dari bilangan biasa yang diperoleh secara berturut-turut dengan sebuah proses random serta disusun kedalam suatu table. (lihat lampiran). Proses pengerjaannya ialah sebagai berikut. a) Memberi nomor urut (mulai dari 1) pada semua elemen populasi, sebanyak elemen tersebut. b) Secara acak, memilih salah satu halaman table bilangan random, demikian pula dengan pemilihan kolom dan barisnya. c) Nomor-nomor yang terpilih dari table tersebut merupakan nomor-nomor dari sampel. Apabila nomor sampel sudah terpilih atau muncul, kemudian muncul lagi, maka nomor itu dilewati.

Contoh soal : PT TERBANG BERSAMA memiliki 100 orang karyawan. Jika akan dipilih 15 orang sebagai sampel penelitian, tentukan nomor-nomor karyawan tersebut sebagai sampel dengan menggunakan table bilangan random! Penyelesaian : (1) Ke-100 orang karyawan diberi nomor 01, 02, 03, 04, 05, …, 100. (2) Dari pengacakan, misalkan terpilih table bilangan random seribu angka kedua, kolom 3 dan 4, baris ke-6. (3) Dari table bilangan random, diperoleh nomor-nomor karyawan sebagai sampel, yaitu : 86, 04, 50, 62, 59, 01, 75, 80, 58, 65, 50, 76, 92, 95, 03. b. Sampling berlapis (sampling stratified) Sampling berlapis adalah bentuk samping random yang populasi atau elemen populasinya dibagi dalam kelompok-kelompok yang disebut strata. Sampling stratified dilakukan apabila : 1) Elemen-elemen populasi heterogen; 2) Ada kriteria yang akan dipergunakan sebagai dasar untuk menstratifikasi populasi kedalam stratum-srtatum, misalnya variable yang akan diteliti; 3) Ada data pendahuluan dari populasi mengenai kriteria yang akan digunakan untuk stratifikasi; 4) Dapat diketahui dengan tepat jumlah satuan-satuan individu dari setiap stratum dalam populasi.

Proses pengerjaannya ialah sebagai berikut. 1) Membagi populasi menjadi beberapa stratum. 2) Mengambil sebuah sampel random dari tiap stratum. Banyaknya unsur yang dipilih dari tiap stratum boleh sebanding atau tidak sebanding dengan jumlah stratum dalam populasinya. Jika pengambilan banyaknya unsur tiap stratum sebanding dengan ukuran-ukuran tiap stratum pengambilannya dilakukan secara random, dinamakan proportional random sampling. 3) Menggabungkan hasil dari pengambilan sampel tiap stratum, menjadi satu sampel yang diperlukan. Contoh soal : Sebuah populasi terdiri atas 500 pedagang kaki lima, dengan komposisi 200 pedagang makanan, 150 pedagang barang mainan, 100 pedagang kerajinan, dan 50 pedagang rokok. Jika 20 pedagang kaki lima itu hendak dijadikan sampel, tentukan banyakya sampel tiap stratum (gunakan metode sebanding) dan nomornomor sampel yang dipilih (gunakan table bilangan random) pada tiap stratum.

Penyelesaian : (a) Pengelompokan sampel menjadi beberapa stratum diperlihatkan pada table berikut ini. TABEL 3.2 PENGELOMPOKAN SAMPEL Stratum Jenis Usaha I Makanan II Barang Mainan III Kerajinan IV Rokok Jumlah

Jumlah 200 150 100 50 500

(b) Pengambilan sampel dari masing-masing stratum adalah sebagai berikut. Stratum I =

x 20 = 8 pedagang

Stratum II =

x 20 = 6 pedagang

Stratum III Stratum IV Jumlah sampel pada tiap tratum dilakukan dengan menggunakan table bilangan random. Silakan sendiri !

c. Sampling sistematis Sampling sistemati adalah bentuk sampling random yang mengambil elemen-elemen yang akan diselidiki berdasarkan urutan tertentu dari populasi yang telah disusun secara teratur. Sampling sistematis dilakukan apabila : 1) Identifikasi atau nama dari elemen-elemen dalam populasi itu terdapat dalam suatu daftar, sehingga elemen-elemen tersebut dapat diberi nomor urut; 2) Populasi memiliki pola beraturan, seperti blok-blok dalam kota atau rumah-rumah pada suatu ruas jalan.

Proses pengerjaannya ialah sebagai berikut. 1) Jumlah elemen dalam populasi dibagi dengan jumlah unsur yang diinginkan dalam sampel, sehingga terdapat subpopulasi-subpopulasi yang memiliki jumlah elemen yang sama (memiliki interval yang sama). 2) Dari subpopulasi pertama dipilih sebuah anggota dari sampel yang dikehendaki, biasanya dengan menggunakan table bilangan random. 3) Anggota dari subsample pertama yang dipilh digunakan sebagai titik acuan (awal) untuk memilih sampel berikutnya, pada setiap jarak interval tertentu.

Contoh soal : Sebuah populasi yang memiliki elemen 800, hendak diambil 20 sampel sebagai bahan penelitian. Tentukan nomor-nomor sampel yang terpilih !

Penyelesaian : (1) Ke-800 elemen diberi nomor urut 001, 002, …, 800. Ke-800 elemen dibagi menjadi 20 subpopulasi, dimana setiap subpopulasi terdiri atas 40 elemen. (2) Dengan menggunakan table bilangan random, diperoleh sebuah sampel pertama sebagai titik acuan, misalkan bernomor 007. (3) Karena sampel pertama jatuh pada nomor 007, maka nomor untuk sampel-sampel berikutnya adalah 047, 087, 127, 167, 207, 247, 287, 327, 367, 407, 447, 487, 527, 567, 607, 647, 687, 727, 767.

d. Sampling kelompok (sampling cluster) Sampling kelompok adalah bentuk sampling random yang populasinya dibagi menjadi beberapa kelompok (cluster) dengan menggunakan aturan-aturan tertentu, seperti batas-batas alam dan wilayah administrasi pemerintahan proses pengerjaannya ialah sebagai berikut. 1) Membagi populasi ke dalam beberapa subkelompok. 2) Memilih satu atau sejumlah kelompok dari kelompok-kelompok tersebut. Pemilihan kelompok-kelompok itu dilakukan secara random. 3) Menentukan sampel dari satu atau sejumlah kelompok yang terpilih, secara random. Antara sampling cluster dan sampling stratified terdapat perbedaan dari cara pengmbilan sampelnya. Pada sampling cluster samplenya diambil dari cluster yang terpilih, sedangkan pada sampling stratified sampelnya diambil dari seluruh stratum.

Contoh soal : Sebuah desa yang memiliki 1.500 KK, akan diteliti mengenai respon penggunaan bumbu masak merk ASSOI. Untuk keperluan tersebut dipilih sampel sebanyak 50 KK. Dari 1.500 KK tersebut kita bagi menjadi 150 kelompok dengan anggota 10 KK tiap kelompok yang berdekatan. Dari 150 kelompok itu, dipilih sebuah sampel random yang terdiri atas 5 kelompok. Dengan demikian, dari 5 kelompok pilihan itu, diperoleh 5 x 10 = 50 KK sebagai sampel.

2. Sampling Nonrandom (Sampling Tidak Acak) Sampling nonrandom atau sampel nonprobabilitas adalah cara pengambilan sampel yang semua objek atau elemen populasinya tidak memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai sampel. Hasil dari sampling nonrandom memiliki sifat subjektif atau kurang objektif. Hal itu disebabkan pada waktu sampel diambil dari populasi, probabilitas tidak diikutsertakan, tetapi berdasarkan aspek pribadi seseorang. Yang termasuk sampling nonrandom, antara lain sampling kuota, sampling pertimbangan, dan sampling seadanya.

a. Sampling kuota Sampling kuota adalah bentuk sampling nonrandom yang mencirikan lebih dahulu segala sesuatu yang berhubungan dengan pengmbilan sampel. Dengan demikian, petugas hanya mengumpulkan data mengenai sesuatu yang telah dirinci. Akan tetapi, pengambilan unit samplingnya ditentukan oleh si petugas. Contoh : sebuah kawasan dihuni oleh 1.000 KK. Dalam rangka penelitian, diperlukan 50 KK dalam kategori umur dan pendapatan tertentu. Dalam penentuan sampel sebanyak 50 KK itu, petugas melakukannya atas pertimbangan sendiri. b. Sampling pertimbangan Sampling pertimbangan adalah bentuk sampling nonrandom yang pengambilan sampelnya ditentukan oleh peneliti berdasarkan pertimbangan atau kebijaksanaannya. Cara sampling pertimbangan cocok untuk studi kasus. Contoh : Dari penyebaran 100 kuesioner, ternyata yang kembali hanya 30 (30%). Berdasarkan pertimbangan tertentu dari peneliti atau ahli, diputuskan untuk menggunakan 30 kuesioner tersebut sebagai data sampel.

c. Sampling seadanya Sampling seadanya adalah benutk sampling nonrandom yang pengambilan sampelnya dilakukan seadanya atau berdasarkan kemudahannya mendapatkan data yang diperlukan. Pada sampling seadanya, tingkat kerepresentatifansampel tidak terlalu diperhatikan.

Contoh : Pengambilan sampel mengenai ramalan tentang partai yang akan menjadi pemenang pada pemilu yang akan dating. Pengmbilan sampelnya dilakukan dengan mengumpulkan opini masyarakat, dalam hal ini adalah orang-orang yang lewat pada suatu jalan. Orang-orang yang lewat tersebut tidak merupakan bagian representative dari keseluruhan masyarakat yang berhak memilih.

C. TEKNIK PENENTUAN JUMLAH SAMPEL Untuk menentukan banyaknya sampel yang dapat diambil dari suatu populasi yang berukuran tertentu digunakan perhitungan sebagai berikut.

1. Untuk Pengambilan Sampel dengan Pengambilan Pengambilan sampel disebut dengan pengambilan jika anggota yang telah diambil untuk dijadikan sampel disatukan kembali dengan anggota populasi lainnya sehingga masih ada kesempatan untuk dipilih kembali. Jika dari populasi berukuran N diambil sampel berukuran dengan pengembalian maka banyaknya sampel yang mungkin diambil adalah

Nn

Contoh : Untuk populasi berukuran 4 dengan anggota-anggotanya A, B, C, D, dan sampel yang diambil berukuran 2 maka banyaknya sampel yang mungkin dapat diambil adalah 42 = 16 buah, yaitu : Sampel 1 : AA

sampel 9

: CA

Sampel 2 : AB

sampel 10 : CB

Sampel 3 : AC

sampel 11 : CC

Sampel 4 : AD

sampel 12 : CD

Sampel 5 : BA

sampel 13 : DA

Sampel 6 : BB

sampel 14 : DB

Sampel 7 : BC

sampel 15 : DC

Sampel 8 : BD

sampel 16 : DD

Secara teoritis, populasi berhingga dikenali sampling dengan cara pengembalian dapat dianggap sebagai populasi tak berhingga. Hal itu disebabkan berapapun banyaknya sampel yang diambil, populasi tidak akan pernah habis.

2. Untuk Pengambilan Sampel Tanpa Pengembalian Pengambilan sampel disebtu tanpa pengembalian jika anggota populasi yang telah diambil untuk dijadikan sampel tidak disatukan dengan anggota populasi lainnya. Jika dari populasi berukuran N diambil sampel berukuran n tanpa pengembalian maka banyaknya sampel yang mungkin dapat diambil adalah

(

)

Contoh : Untuk populasi berukuran 5 dengan anggota-anggotanya A, B, C, D, E, dan sampel yang diambil berukuran 2 maka banyaknya sampel yang mungkin dapat diambil adalah =

(

)

= 10 buah sampel Ke-10 buah sampel itu adalah Sampel 1

: AB

sampel 6

: BD

Sampel 2

: AC

sampel 7

: BE

Sampel 3

: AD

sampel 8

: CD

Sampel 4

: AE

sampel 9

: CE

Sampel 5

: BC

sampel 10

: DE

D. PENGERTIAN DISTRIBUSI SAMPLING Distribusi sampling adalah distribusi dari besaran-besaran statistic, seperti rata-rata, simpangan baku, proporsi, (persentase) yang mungkin muncul dari sampel-sampel. Distribusi dari rata-rata sampel disebut distribusi sampling rata-rata atau distribusi rata-rata sampel, distribusi dari proporsi sampel disebut distribusi sampling proporsi atau distribusi proporsi sampel, dan sebagainya.

Contoh : Jika besar populasi adalah 3 (N = 3), misalkan A, B, C, kemudian diambil sampel berukuran 2 (n = 2), maka akan diperoleh 3 sampel, yaitu AB, BC, AC, (sampelnya tanpa pengembalian). Dari ke-3 sampel tersebut dihitung rata-ratanya, maka didapatkan 3 rata-rata sampel. Tiga ratarata sampel tersebut membentuk suatu distribusi, disebut distribusi sampling rata-rata atau distribusi rata-rata sampel. Demikian pula dengan perhitungan simpangan baku, varians, proporsi sampel akan membentuk distribusi simpangan baku, distribusi varians, dan distribusi proporsi.

E. JENIS-JENIS DISTRIBUSI SAMPLING Berdasarkan besaran statistic yang digunakan, dikenal beberapa jenis distribusi dan sampling, yaitu distribusi sampling rata-rata, proporsi, beda dua rata-rata, dan beda dua proporsi.

1. Distribusi Sampling Rata-rata Distribusi sampling rata-rata atau distribusi rata-rata sampel adalah distribusi dari besaran rata-rata yang muncul dari sampel-sampel.

Contoh soal : Sebuah populasi berukuran 6 yang anggotanya adalah 2, 3, 5, 6, 8, 9, dan sampelnya berukuran 2. Buatlah distribusi sampling rata-ratanya jika pengambilan sampelnya dilakukan tanpa pengembalian!

Penyelesaian: Sampel berukuran 2 (n = 2) dengan rata-ratanya yang dapat dibentuk dari populasi berukuran 6 (N = 6) dengan anggota 2, 3, 5, 6, 8, 9, adalah Sampel 1 : 2;3 dengan rata-rata = 2,5 Sampel 2 : 2;5 dengan rata-rata = 3,5 Sampel 3 : 2;6 dengan rata-rata = 4 Sampel 4 : 2;8 dengan rata-rata = 5 Sampel 5 : 2;9 dengan rata-rata = 5,5 Sampel 6 : 3;5 dengan rata-rata = 4 Sampel 7 : 3;6 dengan rata-rata = 4,5

Sampel 8 : 3;8 dengan rata-rata = 5,5 Sampel 9 : 3;9 dengan rata-rata = 6 Sampel 10 : 5;6 dengan rata-rata = 5,5 Sampel 11 : 5;8 dengan rata-rata = 6,5 Sampel 12 : 5;9 dengan rata-rata = 7 Sampel 13 : 6;8 dengan rata-rata = 7 Sampel 14 : 6;9 dengan rata-rata = 7,5 Sampel 15 : 8;9 dengan rata-rata = 8,5 Distribusi sampling rata-ratanya diperlihatkan dalam table berikut ini.

TABEL 3.3 DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA x 2,5 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8,5 Jumlah

f 1 1 2 1 1 3 1 1 2 1 1 15

Probabilitas 0,07 0,07 0,13 0,07 0,07 0,20 0,07 0,07 0,13 0,07 0,07 1,00

Pada distribusi sampling rata-rata berlaku hal-hal berikut ini.

a. Pemilihan sampel dari populasi terbatas bila populasi terbatas yang berukuran N dan distribusi normal dengan rata-rata µ dzn simpangan baku , rata-rata sampel X yang didasarkan pada sampel random berukuran n dan dipilih dari populasi diatas, akan memiliki distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku seperti ini.

1) Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian atau

> 5% :

µx = µ x

=

√

Contoh soal : Toko UNDUR-UNDUR memiliki karyawan, yaitu A, B, C, D, E dengan upah per jam (ribuan rupiah) : 2, 3, 3, 4, 5. Jika upah yang diperoleh itu dianggap sebagai populasi, tentukan : a) Rata-rata sampel dari 2 unsur (upah dari dua karyawan), b) Rata-rata dari rata-rata sampel, c) Simpangan baku dari rata-rata sampel!

Pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian,

Penyelesaian: Banyaknya sampel yang mungkin adalah =

(

)

= 10 buah Ke-10 buah sampel itu ialah: 1. 2;3

6. 3;4

2. 2;3

7. 3;5

3. 2;4

8. 3;4

4. 2;5

9. 3;5

5. 3;3

10. 4;5

a. Rata-rata sampelya ialah : Sampel 1 = 2;5

Sampel 6 = 3;5

Sampel 2 = 2;5

Sampel 7 = 4

Sampel 3 = 3

Sampel 8 = 3;5

Sampel 4 = 3;5

Sampel 9 = 4

Sampel 5 = 3

Sampel 10 = 4;5

b. Rata-rata dari rata-ratasampel adalah µ = = 3,4 µ = µ = 3,4 c. Simpangan baku dari rata-rata sampel : =√

(

)

= 1,02 = =

√ = 0,62

√

b. Untuk pemilihan sampel dari populasi yang tidak terbatas bila populasi memiliki ukuran yang tidak berhingga dan didistribusikan secara normal dengan rata-rata µ dan simpangan baku , maka rata-rata sampel X yang didasarkan pada sampel random yang berukuran n dan yang dipilih dengan pengembalian atau tanpa pengembalian dari populasi tersebut akan memiliki distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku : µx = µ dan

x

=

√

c. Daftar distribusi normal untuk distribusi sampling rata-rata Penggunaan daftar distribusi normal untuk distribusi sampling rata-rata, dapat digunakan rumus : Z=

1) Untuk populasi terbatas atau

Z =

> 5%, berlaku : atau Z = √

√

2) Untuk populasi tidak terbatas atau

Z =

≤ 5%, berlaku :

atau Z = √

Pada umumnya, normalitas dari distribusi sampling rata-rata disebut teori limit sentral dan dinyatakan sebagai berikut. 1) Jika populasi cukup besar dan berdistribusi secara normal maka distribusi sampling rata-ratanya akan normal. 2) Jika distribusi populasi tidak normal maka distribusi sampling rata-ratanya akan mendekati normal, apabila jimlah sampel cukup besar, biasanya 30 atau lebih (n ≥ 30). 3) Distribusi normal dari rata-rata sample memiliki rata-rata yang sama dengan rata-rata harapan E (X) dan simpangan baku x . Nilai-nilai itu dapat dihitung dari rata-rata populasi ( ) dan simpangan baku populasi ( ).

Contoh soal : Upah per jam para pekerja PT GEBYAR memiliki tingkat upah rata-rata Rp. 500,00 per jam dan simpangan baku Rp. 60,00. Berapa probabilitas bahwa upah rata-rata 50 orang pekerja yang merupakan sampel random akan berada diantara Rp. 510,00 dan Rp. 520,00?

Penyelesaian : Jika ukuran populasi tidak diketahui maka dianggap sebagai populasi tidak terbatas. µ = 500;

= Rp. 60; n = 50; X = 510 dan 520

Dengan demikian : = = Z=

√ √

= 8,485

Untuk X = 510 maka Z

= 1,18

Untuk X = 520 maka Z

= 2,36

Didapat : P (1,18 < Z < 2,36) P(1,13 < Z < 2,36) = P(0 < Z < 2,36) – P(0 < Z < 1,18) = 0,4909 – 0,3810 = 0,1099 Jadi, probabilitas bahwa upah rata-rata dari sampel berada diantara Rp. 510,00 dan Rp. 520,00 adalah 0,1099 atau 10,99% atau 11%.

2. Distribusi Sampling Proporsi Proporsi dari populasi dinyatakan dengan P = dengan p =

dan proporsi untuk sampel dinyatakan

.

Distribusi sampling proporsi adalah distribusi dari proporsi (persentase) yang diperoleh dari semua sampel sama besar yang mungkin dari satu populasi. Distribusi sampling proporsi juga memiliki arti yang penting seperti halnya distribusi sampling rata-rata. Distribusi sampling proporsi dapat digunakan untuk mengetahui persentase atau perbandingan antara dua hal yang berkomplemen (peristiwa binomial), seperti persentase perokok dan bukan perokok, persentase pemilih dan bukan pemilih disuatu pemilu, dan perbandingan antara pemakai dan bukan pemakai hasil produksi tertentu.

Contoh : Sebuah populasi yang beranggotakan 6 orang, 3 diantaranya perokok dan yang lainnya bukan perokok. Apabila diambil sampel yang beranggotakan 3 orang, proporsi atau banyaknya sampel untuk ke-3 anggota sampel perokok, 2 perokok dan 1 bukan perokok, 1 perokok dan 2 bukan perokok dan ke-3 nya bukan perokok dapat diketahui (pemilihan sampel tanpa pengembalian), misalnya, perokok. Banyaknya sampel yang dapat diambil adalah

=

(

)

= 20 buah

Ke-20 buah sampel itu ialah : 1. ABC

6. ACL

11. BCK

16. BLM

2. ABK

7. ACM

12. BCL

17. CKL

3. ABL

8. AKL

13. BCM

18. CKM

4. ABM

9. AKM

14. BKL

19. CLM

5. ACK

10. ALM

15. BKM

20. KLM

Distribusi sampling proporsinya (X = perokok, n = 3) adalah

TABEL 3.4 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI Sampel yang Mungkin (X) X = 3 (3(p), 0(bp)) X = 2 (2(p), 1(bp)) X = 1 (1(p), 2(bp)) X = 0 (0(p), 3(bp))

Proporsi Sampel (

)

1 0,67 0,33 0

Jumlah Catatan : -

f

Prob.

1 9 9 1

0,05 0,45 0,45 0,05

20

1,00

p = perokok dan bp = bukan perokok 3(p), 0(bp) = ABC 2(p), 1(bp) = ABK, ABL, ABM, ACK, ACL,ACM, BCK, BCL, BCM 1(p), 2(bp) = AKL, AKM, ALM, BKL, BKM, BLM, CKL, CKM, CLM 0(p), 3(bp) = KLM Pada distribusi sampling proporsi, berlaku hal-hal sebagai berikut. 1) Untuk pengambilan sampel dengan pengembalian atau jika ukuran populasi besar dibandingkan dengan ukuran sampel, yaitu ( baku :

µP

= P

) ≤ 5%, memiliki rata-rata dan simpangan

=

(

√

)

=√

Keterangan : P = proporsi kejadian sukses Q = proporsi kejadian gagal (1 – P)

2) Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian atau jika ukuran populasi kecil dibandingan dengan ukuran sampel, yaitu (

)≤ 5%, memiliki rata-rata dan simpangan

baku :

µP

= P

𝜎𝑝 =

√

=

√

𝑃(

𝑃) 𝑛

𝑃𝑄 𝑛

√

= √

(𝑁 𝑛) 𝑁

(𝑁 𝑛) 𝑁

Contoh soal : Sebuah toko memiliki 6 karyawan, misalkan A, B, C untuk yang senang membaca dan X, Y, Z untuk yang tidak senang membaca. Jika dari 6 karyawan tersebut diambil sampel yang beranggotakan 4 karyawan (pengambilan sampel tanpa pengembalian), tentukan : a. Banyaknya sampel yang mungkin diambil, b. Distribusi sampling proporsinya, c.

Rata-rata dan simpangan baku sampling proporsinya!

Penyelesaian : a. Banyaknya sampel yang mungkin adalah : =

( ) = 15 buah sampel

Ke-5 buah sampel itu ialah : 1) 1 senang membaca dan 3 tidak : X

= 3 X 1 = 3, yaitu : AXYZ, BXYZ, CXYZ

2) 2 senang membaca dan 2 tidak : x = 3 x 3 = 9, yaitu : ABXY, ABXZ, ABYZ, ACXY, ACXZ, ACYZ, BCXY,BCXZ, BCYZ 3) 3 senang membaca dan 1 tidak : x

b.

= 1 x 3 = 3, yaitu : ABCX, ABCY, ABCZ

Jika X = senang membaca dan n = jumlah sampel maka distribusi sampling proporsinya adalah µ TABEL 3.5 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI Sampel yang Proporsi Sampel Banyaknya Sampel Mungkin (X) (f)

probabilitas

( )

1 2 3

0,25 0,50 0,25

3 9 3 15

Jumlah

0,2 0,6 0,2 1,0

c. Proporsi populasi untuk peristiwa sukses (senang membaca) adalah : P = ½ = 0,5 Jadi : µp = P = 0,5 p=

=

(

√ √

(

) )(

)

√ )

√

)

= 0,18

3) Daftar distribusi normal untuk distribusi sampling distribusi dapat ditentukan sebagai berikut. a) Jika n besar maka nilai Z adalah Z = b) Jika n sangat kecil maka nilai Z adalah

Z= Keterangan : 1/2n = factor koreksi kontinuitas Contoh soal : Took mainan anak BONEKA bermaksud mengadakan pertunjukan sulapsecara tetap seminggu sekali atau sebulan sekali. Pimpinan took mempekirakan bahwa pengunjung akan mencapai 100% dari seluruh pengunjung took dalam interfal waktu yang sama. Jika dari hasil sampel, diketahui probabilitas proporsi yang mengikuti acara sulap itu hanya 15% atau lebih dibawa rata-rata populasi maka acara itu diadakan sebulan sekali. Untuk itu, setiap pengunjung diberi kuesioner dan dari jawabannya diambil 500 sebagai sampel. Hasil sampel menunjukkan 175 pengunjung mengikuti acara tersebut. Menurut pendapat anda msebaiknya acara sulap itu diadakan seminggu sekali atau sebulam sekali ? Penyelesaian : P = 40% = 0,4 N = 500 P=

= 0,35

. karena sampel kecil, maka digunakan factor koreksi. Z= (

=

(

√

) )(

)

= -2,55 Didapatkan : P (-2,55 < Z < 0) P (-2,55 < Z < 0) = P(0 < Z < 2,55) = 0,4946 Jadi, probabilitas proporsi sampel yang mengikuti acara tersebut adalah 0,4946 atau 49,46% yang berarti lebih dari 15% dibawah rata-rata sampel. Dengan demikian, acara pertunjukan sulab tersebut diadakan sebulan sekali.

2.Distribusi Sampling yang Lain a. distribusi sampling beda dua rata-rata distribusi sampling beda dua rata-rata adalah distribusi dari perbedaan dua besaran rata-rata yang muncul dari sampel-sampel dua populasi. Misalkan, dua populasi normal N1 dan N2 memiliki rata-rata masing µ1 dan µ2 dan simpangan baku masing-masing 2 dan 2. Dari kedua populasi N1 dan N2 tersebut, diambil sampel random, yaitu n1 dan n2 dengan rata-rata masing-masing X1 dan X2, lalu dari kedua rata-rata itu dihitung semua bedanya.dari semua beda rata-rata yang diperoleh akan membentuk suatu distribusi, yaitu distribusi sampling beda rata-rata. Pada distribusi sampling beda dua rata-rata, untuk N1 dan N2 cukup besar berlaku hal-hal sebagai berikut. 1) Rata-rata

µ X1 - X2 =

µ1 - µ2

2) Simpangan baku : X1 - X2 =

3)

√

Untuk n1 dan n2 dengan n1, n2 > 30, distribusi sampling beda rata-rata akan mendekati distribusi normal, dengan variable random standar yang rumus Z-nya : ( ) ( Z= Contoh soal : Misalkan, rata-rata pendapatan manajer dan karyawan biasa perhari, masing-masing adalah Rp 50.000,- dengan simpangan baku Rp 15.000 dan Rp 12.000 dengan simpangan baku Rp 1.000. jika diambil sampel random manajer sebanyak 40 orang dan karyawan biasa sebanyak 150 orang, tentukan: a. Beda rata-rata pendapatan sampel, b. Simpangan baku rata-rata pendapatan sampel, c. Probabilitas beda rata-rata pendapatan manajer dan karyawan baiasa lebih dari Rp 35.000,00! Penyelesaian : µ1 = 50.000 1=

µ2 = 12.000

15.000 2 = 1.000 n1 = 40 n2 = 150 a. µx1-x2 = µ1 - µ2 = 50.000 – 12.000 = 38.000 b.

x1-x2 = √

=√

+

= 2.373,11

c.

Z=

(

) (

= -1,26 P(X1 – X2 > 35.000) = P(Z > 1,26) ` = 0,5 + 0,3962 = 0,8962 b. Distribusi sampling beda dua proporsi Distribusi sampling beda dua proporsi adalah distribusi dari perbedaan dua besaran proporsi yang muncul dari sampel dua populasi. Misalkan, terdapat dua populasi N1 dan N2 (2 populasi binomial), kemudian diambil sampel random, yaitu n1 dan n2 dengan P1 dan P2 maka beda antara kedua sampel proporsi (p1 - p2) akan membentuk suatu distribusi, yaitu distribusi sampling beda proporsi. Pada distribusi sampling beda dua proporsi berlaku hal-hal berikut. 1) Rata-rata = p1 – p2 2) Simpangan baku : p1 - p2 =

√

(

)

(

)

3) Jika n1 dan n2 (n1, n2 30) cukup besar, distribusi sampling beda proporsi akan mendekati distribusi normal, dengan variable random standar yang rumus Z-nya : ( ) ( ) Z= Catatan : P1 - P2 = Contoh soal : Sebanyak 35% dari pelamar kerja diterima bekerja di Bank UNGGUL. Mereka tahun sebelumnya pernah melamar, tetapi tidak diterima. Sebanyak 30% dari pelamar kerja yang belum pernah melamar ditahun sebelumnya tahun ini diterima di Bank tersebut. Apabila diambil sampel random sebanyak 250 pelamar, baik yang belum pernah melamar maupun yang pernah melamar, beberapa probabilitas bahwa beda proporsi yang pernah melamar dan akhirnya diterima tahun ini dengan yang belum pernah melamar yang juga diterima tahun ini adalah kurang dari 2% ?

Penyelesaian : P1 = 35% = 0,35 n1 = 250 P1 - P2 = 2% = 0,02 Z

=

=

(

(

√

)(

P2 = 30% = 0,3 n2 = 250

) (

)

(

) )

(

)(

)

= -0,71 Didapat : P(Z < -0,71) = 0,5 – 0,2612 = 0,2388 atau 23, 88%

SOAL-SOAL LATIHAN 1. Perusahaan PT Indofood memiliki karyawan sebanyak 800 orang, hendak dipilih beberapa orang untuk disekolahkan. Pemilihan dilakukan secara random. a. Jika dipilih 10 orang, tentukan nomor-nomor yang akan diambil (gunakan table bilangan random seribu angka pertama, kolom 1,2, dan 3 baris 11)! b. Jika dipilih 20 orang, tentukan nomor-nomor yang akan diambil (gunakan table bilangan random seribu angka keempat, kolom 10,11 dan 12 baris 5)!

2. Dari 400 orang peserta penataran “teknik pemasaran” sebuah perusahaan yang berasal dari 4 divisi hendak diambil sampel berlapis sebesar 20%. Bagaimana penentuan jumlah atau besar sampel untuk setiap stratum apabila terjadi hal berikut ini ? a. Seperempat ( ) dari besar sampel dialokasikan pada masing-masing stratum. b. Divisi 1 terdiri dari 100 orang, divisi 2 terdiri dari 75 orang, divisi 3 sebanyak 150 orang, dan divisi 4 sebanyak 175 orang, alokasi pada masing-masing stratum dilakukan secara proporsional.

3. Berapa banyak sampel yang berbeda ukuran n = 3 dapat dipilih dari populasi terbatas dengan ukuran berikut ? a. N = 15 c. N = 33 b. N = 20

4. Buatlah daftar semua sampel dengan n = 3 yang mungkin terpilih dari perusahaan, yaitu A, B, C, D, dan E, jika seseorang memilih secara random 3 dari perusahaan-perusahaan tersebut untuk membeli barang-barang!

5. Populasi yang terdiri dari 5 angka, yaitu 3, 5, 7, 8, dan 12, hendak diambil sampel yang beranggotakan 2 tanpa pengembalian yang mungkin dapat diambil dari populasi itu. a. Tuliskan kesepuluh sampel tersebut b. Tentukan rata-rata sampel dari 2 unsur tersebut dan buatkan distribusi samplingnya! c. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari rata-ratanya!

6. Sebuah populasi terdiri dari 4 angka, yaitu 2, 5, 7, dan 11. Dari populasi, ditarik semua sampel yang beranggota 2 dengan pengembalian dan tanpa pengembalian yang mungkin diambil dari populasi itu. a. Tuliskan sampel-sampel tersebut! b. Tentukan rata-rata sampel dari 2 unsur tersebut dan buat distribusi samplingnya c. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari rata-rata samplingnya d. Buktikan bahwa rata-rata populasi sama dengan rata-rata sampelnya

7. Sebuah pabrik bola memproduksi bola dengan berat rata-rata 6,25 ons dengan simpangan baku 0,42 ons. Hitunglah probabilitas dari sampel random 150 bola yang memiliki berat berikut! a. Antara 5,95 dan 6,19 ons b. Lebih dari 6,30 ons

8. Sebuah populasi beranggotakan 6 P, Q, dan R untuk yang senang membaca novel dan K, L, dan M untuk yang senang membaca fiksi. Jika dari 6 anggota populasi itu diambil sampel yang beranggotakan 3 (pengambilan sampel tanpa pengembalian) tentukan : a. Banyaknya sampel yang mungkin diambil b. Distribusi sampling proporsinya c. Rata-rata dan simpangan baku proporsinya

9. Diketahui bahwa bapak X memperoleh 46% suara dalm pemilihan walikota. Tentukan probabilitas dari keadaan berikut ini a. 200 penduduk yang dipilih secara random dari seluruh pemilih secara mayoritas akan memberikan suaranya untuk bapak X tersebut. b. 1000 penduduk yang dipilih secara random dari seluruh pemilih secara mayoritas akan memberikan suaranya untuk bapak X.

10. Bola lampu produksi pabrik MUTIARA memiliki umur rata-rata 1600 jam dengan simpangan baku 250 jam, sedangkan bola lampu pabrik INTAN memiliki umur rata-rata 1400 jam dengan simpangan baku 150 jam. Jika diambil sampel random sebanyak 150 bola lampu dari masing-masing merk untuk diuji, tentukan : a. Beda rata-rata umur bola lampu tersebut b. Simpangan baku rata-rata umur bola lampu tersebut c. Probabilitas bahwa merk A memiliki umur rata-rata paling sedikit 175 jam lebih lama dari pada merk B. d. Probabilitas beda rata-rata umur bola lampu A dan B lebih dari 160 jam 11. Tabung gambar televise merk A mempunyai rata-rata umur 3 tahun dan simpangan baku 0,9 tahun, sedangkan tabung gambar merk B mempunyai rata-rata umur 6 tahun dan simpangan baku 0,8 tahun. Berapa probabilitas bahwa sebuah random 36 tabung televise merk A mencapai umur rata-rata sekurnag-kurangnya 1 tahun lebih lama dari pada umur rata-rata 49 tabung televise merk B ? 12. Dengan menganggap bahwa probabilitas kelahiran bayi laki-laki dan perempuan sama, carilah probalbilitas bahwa 150 anak yang lahir, kurang dari 45%-nya adalah wanita! 13. 4% barang digudang A adalah cacat dan 9% digudang B adalah cacat. Jika diambil sampel random sebanyak 150 barang dari gudang A dan 200 barang dari gudang B, tentukan : a. Rata-rata beda dua proporsi sampel tersebut b. Simpangan baku beda dua proporsi sampel dua tersebut c. Probabilitas beda persentase barang yang cacat dalm gudang A 3% lebih besar dari pada gudang B!

BAB 4 PENDUGAAN PARAMETER

A. PENGERTIAN PENDUGAAN DAN PENDUGA Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistic untuk menduga atau menaksir hubungan parameter yang tidak diketahui. Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel, dalm hal ini sampel random, yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Jadi dengan pendugaan itu,keadaan parameter populasi dapt diketahui. Penduga adalah suatu statistic (harga sampel) yang digunakan unutk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada disekitar sampel (statistic sampel) Secra umum, parameter diberi lambang dan penduga diberi lambang . Untuk lebih jelasnya, perhatikan table 4.1. Selain penduga parameter, dikenal juga penduga statistic, yaitu nilai-nilai atau angka-angka yan diperoleh dari penduga parameter. Contoh soal : ̅ merupakan penduga dari parameter µ (rata-rata). Nilai ̅ , misalnya 5 merupakan penduga statistic dari parameter µ (rata-rata). TABEL 4.1 PARAMETER DAN PENDUGANYA Parameter ( ) (rata-rata populasi) P (proporsi/persentase) 2 (varians) (simpangan baku) r (koefisien korelasi) b (koefisien regresi)

Penduga ( ) ̅ atau ̂ ̂ S2 atau ̂ 2 S atau ̂ p atau ̂ B atau ̂

Karena penduga merupakan fungsi dari nilai-nilai sampel maka penduga termasuk variable random dan memiliki distribusi sampling (distribusi pemilihan sampel).

B. CIRI-CIRI PENDUGA YANG BAIK Banyak ciri atau syarat untuk menentukan apakah sebuah penduga tergolong baik atau tidak. Suatu penduga dikatakan baik apabila memiliki ciri-ciri berikut.

1. Tidak Bias (Unbiased) Suatu penduga ( ́ ) dikatakan tidak bias bagi parameternya ( ) apabila nilai penduga sama dengan nilai yang diduganya (parameternya). E(penduga) = parameternya Jadi, penduga tersebut secara tepat dapat menduga nilai dari parameternya. Contoh : 1) ̅ merupakan penduga tidak bias dari , sebab E( ̅ ) = 2) p merupakan penduga tidak bias dari P, sebab E(p) = P 3) S2 =

∑(

̅)

merupakan penduga tidak bias bagi

2

, sebab E(S2) =

2

Suatu penduga disebut bias bagi parameternya jika nilai penduga tersebut tidak sama dengan nilai yang diduganya (parameternya). E(penduga)

parameternya

Contoh : S2 =

∑(

)

merupakan penduga tidak bias bagi

2

, sebab E(S2)

2

Besarnya bias dari penduga dapat dicari dengan rumus : Bias (penduga) = E(penduga) - penduga Penduga bias dapat berupa : a. Penduga bias positif, apabila : E ( ́ ) > ́ ; b. Penduga bias negative, apabila E ( ́ ) < ́ ; Dalam bentuk kurva, penduga tidak bias dan penduga bias diperlihatkan seperti gambar 4.1

S1 E(S1) = P

S2 E (S2) ≠ P

Gambar 4.1 Penduga tidak bias dan bias dari P 2. Efisien Suatu penduga ( ̂ ) dikatakan efisien bagi parameternya ( ) apabila penduga disebut memiliki varians yang kecil. Apabila terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisien adalah penduga yang memiliki varians kecil. Dua buah penduga dapat dibandingkan efisiennya dengan menggunakan efisiensi relative (relative efficiency).

Efisiensi relative ̂ 2 terhadap ̂ 1 dirumuskan : R ( ̂ 2, ̂ 1) =

(̂

̂)

(̂

̂)

atau

̂

=

̂

Jika R > 1, secara relative ̂ 2 lebih efisien daripada ̂ 1, sebaliknya jika R < 1, secara relative ̂ 1 lebih efisien daripada ̂ 2.

Contoh : Penduga parameter yang terdiri atas rata-rata sampel dan median sampel, keduanya merupakan penduga yang tidak bias terhadap rata-rata populasi. Kedua penduga itu memiliki varians, yaitu varians rata-rata dan varians median. Jika keduanya dibandingkan secara efisien relative maka penduga rata-rata sampel lebih efisien daripada penduga median sampel. Varians rata-rata dan varians median dirumuskan : = R =

dan

=

̅

=

= = 0,64 (64%)

Efisien relative (R) 64%, berarti varians rata-rata hanya 64% dari varians median. Dengan demikian, untuk memperoleh varians yang sama dari rata-rata populasi, rata-rata hanya memerlukan sampel dengan n = 64, sedangkan median memerlukan sampel dengan n = 100. Oleh karena itu, penduga dengan varians yang lebih kecil dikatakan lebih efisien sebab untuk memperoleh varians yang sama hanya memerlukan sampel dengan n yang lebih sedikit atau lebih kecil.

Dalam bentuk kurva, penduga efisien dan tidak efisien diperlihatkan sebagai berikut.

3. Konsisten Suatu penduga dikatakan konsisten apabila memenuhi syarat berikut. a. Jika ukuran sampel semakin bertambah maka penduga akan mendekati parameternya. Jika besarnya sampel menjadi tak berhingga maka penduga konsisten harus dapat memberi suatu pendugaan titik yang sempurna terhadap parameternya. Jadi, ̂ merupakan penduga konsisten, jika dan hanya jika : E( ̂ – )2

0 jika n

Contoh : Rata-rata sampel ̅ merupakan penduga yang konsisten karena : 1) Bias rata-ratanya = 0 untuk sembarang n. 2) Var ( ̅ ) =

0 jika sampelnya (n) √ b. Jika ukuran sampel bertambah tak berhingga maka distribusi sampling penduga akan mengecil menjadi suatu garis tegak lurus diatas parameter yang sebenarnya dengan probabilitas sama dengan 1 . Dalam bentuk kurva, penduga konsisten dan tidak konsisten diperlihatkan sebagai berikut.

Catatan : Suatu penduga konsisten belum tentu merupakan penduga yang baik, karena konsisten hanya merupakan salah satu syarat.

Contoh : Median sampel dapat konsisten untuk menduga parameter, namun rata-rata sampel lebih baik sebagai penduga parameter, karena disamping konsisten juga efisien.

C. JENIS-JENIS PENDUGAAN 1. Jenis-jenis Pendugaan Berdasarkan Cara Penyajiannya Berdasarkan cara penyajiannya, pendugaan dapat dibedakan atas dua jenis, yaitu pendugaan tunggal dan pendugaan interval.

a. Pendugaan tunggal (point estimate) Pendugaan tunggal adalah pendugaan yang hanya mempunyai atau menyebutkan suatu nilai. Contoh : 1) Pendugaan untuk µ adalah rata-rata dari sampel ̅ yang dirumuskan : ̅= 2) Pendugaan untuk

2

adalah varians dari sampel s2 yang dirumuskan : S2 =

((

)

(

)

(

Atau :

S2 =

∑

-

(∑ ) (

Catatan : a) Penduga untuk

adalah √

b) Penduga varians rata-rata sampel adalah c) Penduga

̅ adalah √ ̅

̅ =

)

)

3) Penduga untuk p adalah ̂ , yaitu proporsi dalam sampel, yang dirumuskan : ̂= Dalam prakteknya, pendugaan tunggal yang hanya memiliki satu nilai tidak memberikan gambaran mengenai selisih atau jarak antara nilai penduga tersebut dengan nilai sebenarnya (nilai parameternya). Pendugaan tunggal memberikan nilai yang kemungkinan besar berbeda dari nilai parameter sebenarnya, meskipun dalam sampel yang berulang-ulang, kecuali diberikan besarnya kesalahan yang mungkin terjadi. Oleh karena itu, sebagai ganti digunakan pendugaan interval atau interval keyakinan.

b. Pendugaan interval Pendugaan interval adalah pendugaan yang mempunyai dua nilai sebagai pembatasan atau daerah pembatasan. Jadi, pada pendugaan interval,dugaan dinyatakan dalam suatu daerah atau interval yang dibatasi oleh dua nilai. Pada pendugaan interval digunakan tingkat keyakinan (confidence) terhadap daerah yang dinilai sebenarnya atau parameternya akan berada. Dengan demikian, pendugaan interval yang disertai keyakinan merupakan interval keyakinan (confidence interval estimate) atau interval kepercayaan. Interval keyakinan secara umum dirumuskan : St – Za/2

st

< parameter 30) dan 1 dan 2 diketahui pendugaan interval beda rata-rata dirumuskan : ( ̅ 1 - ̅ 2) – Za/2 ̅ -

̅

< (µ1 - µ2) < ( ̅ 1 - ̅ 2) + Za/2 ( ̅

(̅

̅ )=

)

√

Contoh soal : Upah mingguan 60 orang karyawan perusahaan asing rata-rata Rp250.000,00, dengan simpangan baku Rp27.000,00. Untuk perusahaan nasional, dari 60 orang karyawan diketahui bahwa upah mingguan rata-rata adalah Rp125.000,00 dengan simpangan baku Rp10.000,00. Dengan interval keyakinan 99%, buatlah pendugaan beda rata-rata upah karyawan perusahaan asing dengan perusahaan nasional!

Penyelesaian : n1

= 60

̅1

= 250.000 = 27.000

1

n2

= 60

̅2

= 125.000 = 10.000

2

1–a

= 99%

a

= 0,005

= 1%

Za/2 = Z0,005 (̅

̅ )=

= 2,58

√

=√

(

)

(

)

= 3,717,1 ̅1 - ̅2

= 250.000 – 125.000 = 125.000

( ̅ 1 - ̅ 2) – Za/2 ̅ - ̅ < (µ1 - µ2) < ( ̅ 1 - ̅ 2) + Za/2 ( ̅ ) 125.000 – (2,58)(3,717,1) < (µ1 - µ2) < 125.000 + (2,58)(3,717,1) 115,409,882 < (µ1 - µ2) < 134,590,118 Jadi, beda rata-rata upah karyawan perusahaan asing dengan perusahaan nasional berkisar antara Rp115.409,882 sampai Rp134.590,118.

2. Untuk Sampel Kecil dan

dan

Untuk sampel kecil (n ≤ 30) dan

Tidak Diketahui dan

tidak diketahui pendugaan interval beda rata-

rata dirumuskan : ( ̅ 1 - ̅ 2) – ta/2 ̅ - ̅ < (µ1 - µ2) < ( ̅ 1 - ̅ 2) + ta/2 ( ̅

(̅

)=

=

=

√ ∑ ∑

(

)

-

-

(∑

(

)

( (∑ (

) ) )

)

dan ̅ 1 = dan ̅ 2 =

√( ) ∑ ∑

( )

)

Contoh soal : Berikut ini table berisikan lamanya produksi semacam barang yang dilakukan dengan dua cara. TABEL 4.2 WAKTU YANG DIPERLUKAN UNTUK DUA CARA PROSES PRODUKSI No. Sampel

Cara I (Jam)

Cara II (Jam)

1.

3

2

2.

7

4

3.

9

5

4.

3

7

5.

4

2

6.

2

5

7.

4

4

8.

8

6

9.

5

1

Dugalah perbedaan rata-rata cara kerja produksi barang trersebut dengan interval keyakinan 95%! Penyelesaian : n1

=9

̅1

=5 =6

n2

=9

̅2

=4 =4

1–a

= 95%

a

= 5%

a/2

= 0,025

db

= n1 + n2 – 2 = 16

t0,025;16

= 2,12

(̅

=√

)

(

)

(

)

√

= (2,24)(0,471) = 1,056 ( ̅ 1 - ̅ 2) – ta/2 ̅ - ̅ < (µ1 - µ2) < ( ̅ 1 - ̅ 2) + ta/2 ( ̅

)

1 – (2,12)(1,056) < (µ1 - µ2) < 1 + (2,12)(1,056) – 1,24 < (µ1 - µ2) < 3,24

G. PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA PROPORSI Untuk beda dua proporsi, pendugaan intervalnya dirumuskan: ( ́ 1 - ́ 2) – Za/2 ́ -

́

́

=

√

́ (

́ )

́

< (P1 - P2) < ( ́ 1 - ́ 2) + Za/2 ( ́

́ (

́ )

́ )

Contoh soal : PT GOMBRANG mengadakan pelatihan mengenai teknik pemasaran dengan dua metode latihan. Metode latihan pertama diikuti 150 orang dan 90 orang dinyatakan berhasil. Metode kedua diikuti 275 orang dan 125 orang dinyatakan berhasil. Dengan menggunakan interval keyakinan 90%, tentukan beda proporsi sebenarnya bagi yang berhasil!

Penyelesaian : n1

= 150

̅1

= 90

́1=

= 0,6

n2

= 275

̅2 ́2

= 125 =

= 0,45

1–a

= 90%

a

= 10% = - 0,1

Za/2

= Z0,05 = 1,64

(́

́ (

=√

́ )

=√

(

́ )

)(

)

́ (

(

́ )

)(

)

= 0,05 ́1- ́2

= 0,6 – 0,45 = 0,15

( ́ 1 - ́ 2) – Za/2 ́ -

< (P1 - P2) < ( ́ 1 - ́ 2) + Za/2 ( ́ ́

́ )

0,15 – (1,64)(0,05) < (P1 - P2) < 0,15 + (1,64)(0,05) 0,068 < (P1 - P2) < 0,232 6,8% < (P1 - P2) < 23,2% Jadi, proporsi sebenarnya yang berhasil mengikuti pelatihan tersebut berkisar antara 6,8% sampai 23,2%.

Catatan: Jika populasi tebatas dan ( ) > 5%, rumus diatas dipakaikan factor koreksi √

,

sehingga pendugaan intervalnya menjadi : ( ́ 1 - ́ 2) – Za/2 ́ ́

(√

) < (P1 - P2) < ( ́ 1 - ́ 2) + Za/2

(́

́ ) (√

)

H. PENDUGAAN INTERVAL VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU untuk varians dan simpangan baku, pendugaan intervalnya dirumuskan sebagai berikut: 1. Untuk varians: (

)

(

)

<

2

<

<

2