Stapni_modeli-PBK

Projektiranje i konstruiranje betonskih elemenata i konstrukcija uporabom štapnih modela

Doc.dr.sc. Davor Grandić

Općenito 

uporaba štapnih modela (eng. “strut and tie models”, njem. “Stabwerkmodelle”) je pristup kojim se istodobno uzimaju u obzir svi učinci opterećenja, to jest M, N, V i T



uporaba štapnih modela razvija se kao jedna od najupotrebljivijih metoda proračuna i konstruiranja betonskih konstrukcija, posebno onih s diskontinuitetima



radi se o racionalnom pristupu s pomoću kojeg se složeni konstrukcijski elementi rješavaju uporabom odgovarajućih jednostavnih štapnih modela 2

Općenito 

za većinu slučajeva koji se mogu susresti u projektiranju ne postoji jedan, jedinstveni štapni model



mnogi problemi mogli bi se riješiti na više načina



međutim, postoje određene metode i pravila, koja pomažu konstruktoru postaviti odgovarajući štapni model

3

Općenito “strut” (eng.) = tlačni štap “tie” (eng.) = vlačni štap

Štapni model jednostavnog zidnog nosača 4

Općenito

Laboratorijsko ispitivanje ekvivalentnog sustava

5

Povijest i razvoj 

Schlaich i dr. predstavili su i predložili uporabu štapnih modela 1984. u Njemačkoj (Beton-Kalender), a zatim 1987. godine u SAD-u (PCI Journal)



o metodi štapnih modela pisali su zatim Collins i Mitchell (1991) i MacGregor (1992)



1994. godine uporaba štapnih modela uključena je u američke AASHTO norme, što je prva pojava metode u američkim normama



2001. godine metoda štapnih modela uvedena je njemačku normu DIN 1045-1



2002. godine štapni modeli uključeni su u dodatku A američke ACI 318 norme

6

Povijest i razvoj 

2004. godine uporaba štapnih modela uvodi se u dijelu 6.5 europske norme EN 1992-1-1



u EN 1992-1-1 se za proračun greda na poprečne sile i torziju propisuje primjena rešetkastog modela sa slobodnim odabirom nagiba tlačnih štapova ispune



navedeni rešetkasti modeli također spadaju u štapne modele  normom se ostvaruje dosljedan pristup proračunu betonskih konstrukcija!!



metoda je prepoznata i široko prihvaćena, a u tijeku su mnoga istraživanja u svrhu razvoja i optimizacije štapnih modela 7

Povijest i razvoj 

istraživanja su usmjerena na ocjenu graničnih stanja nosivosti, a naročito graničnih stanja uporabljivosti (deformiranja i pukotina) elemenata proračunanih i armiranih na temelju metode štapnih modela



istražuju se štapni modeli s nelinearnim ponašanjem materijala, što je značajno kod ocjene deformabilnosti sustava i u slučaju statički neodređenih štapnih modela

8

Bernoullijeva hipoteza 

Bernullijeva hipoteza glasi: “Presjeci nosača pri savijanju ostaju ravni ...”



primjena Bernullijeva hipoteze pri dimenzioniranju armiranobetonskih konstrukcija naprezanih savijanjem znači da vrijedi linearna razdioba deformacija po visini presjeka u svim stanjima naprezanja uključujući i granično stanje nosivosti N.O. 9

Saint Venantov princip 

Prema Saint Venantov principu kod elemenata opterećenih statički ekvivalentnim opterećenjem znatnije razlike u raspodjeli naprezanja postoje samo u blizini djelovanja vanjskog opterećenja



lokalizirani učinci opterećenja (naprezanje) iščeznut će na dovoljnoj udaljenosti od mjesta djelovanja opterećenja

10

B-područja konstrukcije 

“B-područja” konstrukcija u kojima vrijedi Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka (“B” kao Bernoulli)



stanje naprezanja u B-područjima lako se odredi iz presječnih sila: momenata savijanja i torzije, poprečnih i osnih sila



sve do pojave pukotina u konstrukcijskim elementima naprezanja se mogu proračunati s pomoću geometrijskih karakteristika presjeka kao što su ploština poprečnog presjeka i moment tromosti 11

B-područja konstrukcije 

kada naprezanja u betonu prekorače njegovu vlačnu čvrstoću rabi se rešetkasti model nosivosti elementa, ili njegove varijacije



B-područja mogu se dimenzionirati se na uvriježen način kao armiranobetonski štapasti elementi (grede i stupovi), s pomoću poznatih metoda

12

D-područja konstrukcije 

spomenuti uvriježeni postupci proračuna i dimenzioniranja nisu primjenljivi u onim područjima konstrukcije i detaljima u kojima je razdioba deformacija izrazito nelinearna i koja se nazivaju “D-područja” (“D” znači diskontinuitet ili detalj)



takva područja i detalji su, npr:  područja u blizini koncentriranih opterećenja  kutovi  čvorovi okvira  zakrivljenosti  otvori u nosačima i drugi diskontinuiteti 13

D-područja konstrukcije

D-područja (ocrtkano) s nelinearnom raspodjelom deformacija zbog diskontinuiteta geometrije 14

D-područja konstrukcije

D-područja (ocrtkano) s nelinearnom raspodjelom deformacija zbog diskontinuiteta opterećenja i/ili geometrije

15

D-područja konstrukcije 

D-područja bez pukotina mogu se proračunavati linearno elastičnim postupkom (rabeći Hookeov zakon)



međutim, u slučaju raspucanih presjeka, postupci dimenzioniranja postojali su samo za nekoliko slučajeva:  ležajevi greda  čvorovi okvira  kratke konzole  sile cijepanja u području sidrenja natega za prednapinjanje

16

D-područja konstrukcije 

iako su ti postupci dovodili do potrebne količine armature, oni nisu uključivali jasnu provjeru naprezanja u betonu



neodgovarajući i nedosljedan tretman D-područja (tzv. “detaljiranje” na temelju “iskustva” ili “prakse”) jedan je od glavnih razloga loših uporabnih svojstava, pa čak i sloma konstrukcija



dosljedna filozofija proračuna i dimenzioniranja mora uključiti Bpodručja i D-područja, bez proturječnosti



i nakon čitavog stoljeća od kada Mörsch postavio analogiju s rešetkom, još uvijek se vode rasprave o proračunu B-područja na poprečne sile 17

D-područja konstrukcije 

za puno kompliciranija D-područja, razumno je stoga, pojednostavniti proračun i dimenzioniranje, prihvaćajući pri tome određeno smanjenje točnosti proračuna



za praksu je najbolje uvesti pojednostavnjen i metodičan koncept proračuna i dimenzioniranja



najpogodnije je u tom smislu, za proračun i dimenzioniranje rabiti štapne modele



ta metoda uključuje B-područja s pomoću rešetkastih modela kao posebnog slučaja štapnih modela

18

D-područja konstrukcije   

trajektorije naprezanja u B-područjima su glatke, “smirene”, bez naglih promjena nagiba ili smjera u usporedbi s njima trajektorije naprezanja u blizini diskontinuiteta u D-područjima imaju turbulentni raspored za određivanje granice između B- i D-područja rabi se Saint Venantov princip

19

D-područja konstrukcije

Stup s koncentriranim opterećenjem 20

D-područja konstrukcije

Izravno oslonjene grede

21

D-područja konstrukcije

Grede T-presjeka

22

D-područja konstrukcije 

podjela konstrukcije na B- i D-područja pokazuje da jednostavna “l/h” pravila koja se danas još uvijek upotrebljavaju za razlikovanje vrsta elemenata mogu navesti na krivi trag



za ispravno razlikovanje u obzir se mora uzeti osim geometrije i opterećenja elemenata



ploče se također mogu podijeliti na B- i D-područja



u slučaju proboja treba postaviti trodimenzionalni štapni model

23

D-područja konstrukcije

24

Postupak proračuna i modeliranje 

prvo se provede opći proračun konstrukcije na odgovarajućem statičkom sustavu



konstrukcija se podijeli na B- i D-područja



B-područja se dimenzioniraju primjenom rešetkastog modela (EN 1992 prihvaćen za poprečne sile i torziju) ili s pomoću standardnih metoda danih u normama i priručnicima



općim proračunom konstrukcije i dimenzioniranjem Bpodručja određene su rubne sile D-područja promatrane konstrukcije 25

Postupak proračuna i modeliranje

Okvirna konstrukcija koja sadrži znatan dio B-područja, njezin statički sustav i momenti savijanja

26

Postupak proračuna i modeliranje 

ako vlačna naprezanja u pojedinim D-područjima prekorače vlačnu čvrstoću betona određivanje unutarnjih sila i dimenzioniranje provodi se po sljedećem postupku:

1.

postavlja se štapni model koji stvarna polja naprezanja sažima u rezultantne ravne crte koje se spajaju u čvorovima

2.

proračunavaju se sile u tlačnim i vlačnim štapovima modela (unutarnje sile), iz uvjeta ravnoteže

3.

za dobivene unutarnje sile dimenzioniraju se tlačni i vlačni štapovi te čvorovi, vodeći računa o ograničenju širine pukotina 27

Postupak proračuna i modeliranje 

proračun uporabom štapnih modela zasniva se na statičkom teoremu teorije plastičnosti (teoremu sigurnosti): “Opterećenje koje odgovara statički mogućem stanju manje je od graničnog opterećenja”.



štapni modeli odabiru se tako da se približno podudaraju s tokom sila na koji ukazuje linearno elastični proračun



na ovaj način zanemaruje se dio nosivosti sustava koja se može odrediti dosljednom primjenom teorije plastičnosti



s druge strane, prednost takvih modela je u mogućnosti primjene kod provjere GSN i GSU

28

Postupak proračuna i modeliranje 

 

 

u područjima s umjerenim naprezanjima, smjer tlačnih i vlačnih štapova modela može i znatnije odstupati od rasporeda naprezanja prema linearno elastičnom proračunu tada se armatura može slobodnije rasporediti prema praktičnim zahtjevima ako duktilnost konstrukcije to dopušta, ona će se adaptirati prema zamišljenom unutarnjem nosivom sustavu, tj. štapnom modelu u tom slučaju nosivost betonskih tlačnih štapova na odgovarajući način treba reducirati kod raspucanih B-područja predloženi postupak dovodi de rešetkastog modela (slika na sljedećoj stranici) 29

Postupak proračuna i modeliranje

Rešetkasti model grede s prijepustom

30

Postupak proračuna i modeliranje  



za svako D-područje bit će potrebno postaviti zasebni štapni model za to je potrebno određeno iskustvo i vježba, uostalom kao i inače kod odabira konstrukcijskog (statičkog) sustava ili modela kod postavljanje odgovarajućeg štapnog modela od pomoći mogu biti:  linearno elastični proračun (trajektorije naprezanja)  metoda putanje opterećenja  rezultati ispitivanja (eksperimentalno određeni modeli)  standardni modeli predloženi u literaturi i normama 31

Štapni modeli zasnovani na

linearno elastičnom proračunu 

određivanje štapnog modela D-područja pojednostavnjuje se poznavanjem elastičnih naprezanja i njihovog smjera (trajektorija)



linearno elastični proračun može se napraviti korištenjem FEM proračuna s pomoću mnogih računalnih programa



smjer tlačnog štapa može se uzeti kao srednji smjer glavnih tlačnih naprezanja ili se tlačni i vlačni štapovi mogu locirati u težištu promatranog dijagrama naprezanja

32

Štapni modeli zasnovani na

linearno elastičnom proračunu

Štapni model postavljen uz pomoć linearno elastičnog proračuna

33

Štapni modeli zasnovani na

metodi putanje sila 

čak i kada rezultati nisu raspoloživi rezultati linearno elastičnog proračuna ili ako za njega nema vremena, štapni model se može postaviti tzv. “metodom putanje opterećenja” (eng. loadpath)



prvo se iz uvjeta ravnoteže vanjskih sile koje djeluju na Dpodručje pronađu ležajne reakcije



na dodiru s B-područjem opterećenja (ili reakcije) određuju se iz proračuna B-područja, pretpostavljajući, npr. linearnu razdiobu naprezanja



dijagram naprezanja podijeli se na taj način da opterećenja s jedne strane promatranog područja “pronađu” uravnotežujuća opterećenja (ili reakcije) sa suprotne strane 34

Štapni modeli zasnovani na

metodi putanje sila 

mora se voditi računa da se putanje opterećenja koje povezuju suprotne strane područja međusobno ne sijeku



putanje opterećenja teže najkraćem mogućem putu između opterećenja i reakcije



u štapnom modelu se glatke putanje opterećenja zamjenjuju poligonima, pa se moraju predvidjeti dodatni tlačni i vlačni štapovi između čvorova, ali i na mjestima skretanja putanja opterećenja



vlačni štapovi moraju biti predviđeni tako da se armatura može praktično rasporediti (općenito paralelno s površinom betona), vodeći računa i o graničnom stanju raspucavanja 35

Štapni modeli zasnovani na

metodi putanje sila

Putanje opterećenja i odgovarajući štapni model 36

Štapni modeli zasnovani na

metodi putanje sila

Putanje opterećenja i odgovarajući štapni model 37

Štapni modeli zasnovani na

metodi putanje sila 

u složenijim slučajevima vrlo je učinkovito kod pronalaženja štapnih modela kombinirati linearno elastični proračun s metodom putanje sila (na slijedećim slikama):

38

Štapni modeli zasnovani na

metodi putanje sila

39

Štapni modeli zasnovani na

eksperimentu

Ispitivanje štapnog modela oslonjačkog područja grede s uzdignutim osloncem

40

Standardni štapni modeli (primjeri)

Model rasprostiranja opterećenja (Schlaich, J. i dr.)

41

Standardni štapni modeli (primjeri)

Model zidnog nosača (Schlaich, J. i dr.)

42

Standardni štapni modeli (primjeri)

Model zidnog nosača opterećenog na donjem rubu (Schlaich, J. i dr.)

43

Standardni štapni modeli (primjeri)

44

Modeli grede s uzdignutim osloncem i kratke konzole (EN 1992-1-1)

Standardni štapni modeli (primjeri)

Modeli i armiranje čvorova okvira naprezanih negativnim momentom savijanja (EN 1992-1-1)

45

Standardni štapni modeli (primjeri)

Modeli i armiranje slabije i jače naprezanih čvorova okvira s pozitivnim momentom (EN 1992-1-1)

46

Optimizacija modela

Dva štapna modela za isti slučaj: a) potrebna kosa armatura b) za ortogonalno armiranje

47

Optimizacija modela   

općenito se postavlja pitanje koji model od nekoliko mogućih treba prihvatiti? kod odabira modela treba biti svjestan da opterećenje teži putanji s najmanjim silama i deformacijama jednostavan kriterij za optimizaciju modela glasi:

 F  l     minimum i



i

mi

gdje je: Fi sila u pojedinom tlačnom ili vlačnom štapu i

li mi

duljina štapa i srednja deformacija štapa i 48

Optimizacija modela 

prethodni uvjet izveden je iz načela minimalne energije deformacija



doprinos betonskih tlačnih štapova se nakon pojave pukotina u promatranom području u pravilu može zanemariti



njihov doprinos ukupnom deformiranju puno je manji nego što je doprinos čeličnom armaturom armiranih vlačnih štapova



ovaj kriterij koristan je za prepoznavanje loših modela (slika na sljedećoj stranici)

49

Optimizacija modela

Dobar model (a) ima manju duljinu vlačnih štapova nego loš model (b) 50

Optimizacija modela 

valja razumjeti da ne postoji jedinstveno niti apsolutno optimalno rješenje



zamjena toka naprezanja s poligonalnim modelima aproksimacija je sama po sebi, te ostavlja dosta prostora za subjektivne odluke



štoviše, ulazni podaci o opterećenju, položaju armature i veličini promatranog područja za različite slučajeve nisu jednaki



ipak, inženjer s dovoljnim iskustvom uporabe štapnih modela uvijek će pronaći zadovoljavajuće rješenje 51

Općenitost primjene modela

Dva najčešća i najkorisnija štapna modela (a) i (b) te neke od njihovih varijacija (c)

52

Općenitost primjene modela

Zidni nosač (a) i kraj prednapete ploče s tri usidrene natege (b) jednaki su slučajevi – vrijedi isti štapni model 53

Dimenzioniranje Općenito 

dimenzioniranje ne obuhvaća samo određivanje dimenzija i armiranje pojedinih tlačnih i vlačnih štapova, nego i osiguranje prijenosa opterećenja među njima



to se čini provjerom nosivosti čvorova i sidrenja armature u području čvorova



postoje tri osnovna tipa tlačnih i vlačnih štapova koje treba dimenzionirati:   

Cc: betonski tlačni štapovi Tc: betonski vlačni štapovi, bez armature Ts: armirani vlačni štapovi (neprednapeta ili prednapeta armatura)

54

Dimenzioniranje Općenito

A – koncentrirani čvorovi

B – raspodijeljeni čvorovi

Neki tipični primjeri štapnih modela, njihovih polja naprezanja, čvorova i odgovarajuće armature (čvorovi su osjenčani) 55

Dimenzioniranje Općenito

Neki tipični primjeri štapnih modela, njihovih polja naprezanja, čvorova i odgovarajuće armature (čvorovi su osjenčani) 56

Dimenzioniranje Općenito

Neki tipični primjeri štapnih modela, njihovih polja naprezanja, čvorova i odgovarajuće armature (čvorovi su osjenčani) 57

Dimenzioniranje Općenito

Neki tipični primjeri štapnih modela, njihovih polja naprezanja, čvorova58i odgovarajuće armature (čvorovi su osjenčani)

Dimenzioniranje Općenito

Četiri tipa tlačnih čvorova ovisno o kombinaciji tlačnih “C” i vlačnih “T” štapova 59

Dimenzioniranje Tlačni i vlačni štapovi 

dok su Ts u suštini linijski ili jednodimenzionalni elementi, Cc i Tc su dvodimenzionalna ili trodimenzionalna polja naprezanja koja teže širenju između dva čvora koja spajaju



to širenje izaziva poprečna vlačna naprezanja i odgovarajuća tlačna naprezanja



ono se može uzeti u obzir preko kriterija nosivosti Cc i Tc štapova ili uvođenjem još jednog štapnog modela za te štapove



u slučaju kada je to zbog velikih naprezanja potrebno modeli se mogu poboljšati ili “progustiti” 60

Dimenzioniranje Tlačni i vlačni štapovi 

da bi se obuhvatili svi slučajevi polja tlačnih naprezanja uključujući i ona u B-područjima uvode se tri oblika tlačnih štapova:

“PRIZMATIČNI” štapovi

“LEPEZASTI” štapovi

“BOCOLIKI” štapovi 61

Kriteriji nosivosti betona 

tlačna čvrstoća betona u štapovima i čvorovima umnogome ovisi o višeosnom stanju naprezanja u kojemu se nalazi i o oblicima pukotina i načina armiranja



navode se kriteriji dani u EN 1992-1-1



proračunska čvrstoća betona tlačnih štapova području s poprečnim tlačnim naprezanjem ili bez njega iznosi:

 Rd ,max  f cd 

u slučaju višeosnog naprezanja može biti opravdano povećati proračunsku čvrstoću 62

Kriteriji nosivosti betona 

proračunska čvrstoća betona tlačnih štapova u područjima s pukotinama treba biti smanjena:

 Rd ,max  0,6    f cd gdje je:    1  f ck 250 

bocolike tlačne štapove treba armirati za vlačnu silu: 1 ba T  F 4 b

1  a T   1  0,7   F 4  h

H  b    2 

H  b    2 

63

Kriteriji nosivosti betona 

u tlačnim čvorovima u kojima nije usidrena armatura vlačnih štapova najveća proračunska vrijednost tlačnog naprezanja iznosi:

 Rd ,max  k1    f cd , k1  1,0

64

Kriteriji nosivosti betona 

u tlačno-vlačnim čvorovima u kojem je predviđeno sidrenje vlačne armature u jednom smjeru najveće tlačno naprezanje se ograničava na:

 Rd ,max  k 2    f cd , k 2  0,85

65

Kriteriji nosivosti betona 

u tlačno-vlačnom čvoru u kojem je armatura vlačnih štapova predviđena u više od jednog smjera:

 Rd ,max  k3    f cd , k3  0,85



čvorovi naprezani troosnim tlakom mogu se u ovisnosti od bočnog tlaka izložiti povećanom naprezanju, ali ne većem od:

 Rd ,max  k 4    f cd , k 4  3,0

66

Kriteriji nosivosti betona

Nosivost bocolikog tlačnog štapa u ovisnosti o količini poprečne armature



Ast f yk t f cd 67

Postavljanje štapnog modela i armiranje

Primjer 1 

potrebno je dimenzionirati zidni nosač s prijepustom:

B500B debljina

68

Postavljanje štapnog modela i armiranje

Primjer 1 

štapni model s reakcijama i silama u štapovima:

69

Postavljanje štapnog modela i armiranja

Primjer 1 

armatura:

Q 424 obostrano

70

Postavljanje štapnog modela i armiranje

Primjer 2 

potrebno je dimenzionirati zidni nosač s otvorom za vrata:

B500B debljina otvor

71

Postavljanje štapnog modela i armiranje

Primjer 2 

tok naprezanja:

72

Postavljanje štapnog modela i armiranje

Primjer 2 Model 1

Model 2

73

Postavljanje štapnog modela i armiranje

Primjer 2

Model 1

Superpozicija modela 1 i modela 2: - model 1 nosi (1/3), a model 2 (2/3) opterećenja

74

Postavljanje štapnog modela i armiranje

Primjer 2 

armatura:

Q 424 obostrano

75

Kraj ...