Sprezanje Beton Beton

Spregnute konstrukcije

SPREZANJE BETON - BETON

1

9/30/2009

POGLAVLJE I - KRATAK PRIKAZ DOSADAŠNJIH RADOVA NA PROBLEMU PUZANJA BETONA

σ

1.1 Dischinger–ov izraz

dε 1 dσ σ ε S = ⋅ + − dϕ E dϕ E ϕ n

HM

EM

pri čemu oznake imaju slijedeće značenje: NM µM ε - ukupna veličina deformacije ϕ - koeficijent tečenja σ εs - koeficijent skupljanja ϕn - granična vrijednost koeficijenata tečenja u trenutku t = tn Nedostatak ove teorije je što ne opisuje realno deformacije u periodu rasterećenja; naime ovim izrazom se ne registriraju reverzibilne (zaostale elastične) deformacije.

2

9/30/2009

1.2 Poboljšani Dischinger–ov izraz U smislu poboljšanja Dischinger-ovog izraza (teorija starenja betona) predloženo je korištenje Maxwell-Kelvin-ovog modela, gdje Kelvin-ov element daje deformacije zaostalog puzanja i povratnog puzanja.

σ E b0

µ

M

Poboljšana teorija starenja bolje opisuje ponašanje betona. Međutim u praksi se, eksperimentalno pokazalo da poboljšana teorija starenja nije u stanju opisati relaksaciju napona pod konstantnim deformacijama.

σ

1.3 Nasljedna teorija starenja Maslov - Arutjunjan Po ovoj teoriji funkcija specifičnog tečenja uzima se u obliku:

[

C(t , τ ) = ϕ(τ ) ⋅ 1 − e − γ ( t − τ )

]

gdje je ϕ(τ) funkcija koja uzima u obzir starenje betona

3

9/30/2009

σ EH

µ

EK

K

Iako nasljedna teorija starenja znatno uspješnije opisuje vremenske deformacije betona od prethodnih teorija, ona nije našla širu primjenu u teoriji konstrukcija. Razlog je što se zadatak određivanja stanja napona i deformacija i za statički određene sisteme svodi na rješavanje integralnih, odnosno diferencijalnih jednačina sa promjenljivim koeficijentima.

σ

1.4 Rješenje Dischinger-ove diferencijalne jednačine prema autorima Rusch i Jungwirth Rusch i Jungwirth su dali rješenje Dischinger-ove diferencijalne jednačine za lokalno sprezanje dva elementa: elastičnog i elementa sklonog puzanju (betonski luk sa čeličnom zategom ili prednaprezanje bez kontakta) i kontinuirano sprezanje (armirani beton, prednaprezanje sa kontaktom, spregnuti nosač).

4

9/30/2009

ybz

S

Z=1

σ a , t = σ ak ,t + Cd ⋅ σ ad ,0 + Cs ⋅ ε s , t ⋅ E a ⋅ (1 − α ) Izraz (1-3) daje relativno jednostavno rješenje za naprezanje u elementima armiranog betona usljed uticaja vremenskih deformacija. Međutim, ovim postupkom nisu obuhvaćene promjene dugotrajnog opterećenja, različite starosti betona ili eventualne promjene na sistemu usljed puzanja i skupljanja. U tom slučaju rješenje je jedino moguće primjenom difereničnih postupaka.

1.5 Prijedlog Trost-a ε (t ) =

1 ⋅ [σ 0 ⋅ (1 + ϕ t ) + (σ t − σ 0 ) ⋅ (1 + ρ ⋅ ϕ(t ))] + ε s , t Eb

Ovaj postupak ima prednost jer se preko koeficijenta ρ u proračun mogu unijeti teoretske postavke, te dobiti tačnije vrijednosti koje odgovaraju stvarnosti.

5

9/30/2009

1.6 Prijedlozi raznih autora - Prijedlog prof.Đurića Prof. Đurić je uveo algebarsku vezu umjesto integralne veze između napona i deformacija. ϕ

σ 1 ε = + ⋅ ∫ σ ⋅ dϕ + ε s E E 0 ε=

ϕ

∫ σ ⋅ dϕ = 0

σ + σ0 ⋅ϕ 2

1  ϕ ϕ + εs ⋅ 1 +  ⋅ σ + σ 0 ⋅ E  2 2⋅E

Nedostatak ovog prijedloga je isti kao i kod teorije starenja ne opisuje reverzibilne (viskoelastične) deformacije.

- Izraz po Ulickom ε (t ) =

σ(τ ) − σ(t ) σ(t ) − σ(τ ) ⋅ [1 + ϕ(t , τ )] + + ε s (t , τ ) 2 ⋅ E0 2 ⋅ E (t )

6

9/30/2009

- Prijedlog prof.Ivkovića σ E b0

E 10

1

µ

10

E 1i

i

µ

1i

σ

− E1t kt k 1 ( kt − kτ )  σ(kt ) µ1∗i  ⋅ dkτ ε(kt ) = + ∫ σ(kτ ) ⋅ ∑ ∗ ⋅ e E b 0 kτ1  i =0 µ1i   

Dijagram koeficijenta tečenja urađen prema ovom prijedlogu je u saglasnosti sa dijagramom predloženim CEB preporukama.

- Trost – Bažant-ov modul

E TB =

E(τ 0 ) 1 + χ (t , τ 0 ) ⋅ Φ (t , τ 0 )

Ovaj postupak se pokazao dosta tačan za istorije deformacija afine funkciji puzanja , dok u slučaju ostalih tipova deformacija može poslužiti samo za preliminarnu ocjenu.

7

9/30/2009

POGLAVLJE II – LINEARNE ALGEBARSKE VEZE TEORIJE PUZANJA OČVRSLOG BETONA Svojstva očvrslog betona su u opštem slučaju funkcija izvanredno velikog broja različitih uticajnih faktora: -karakteristika primjenjenih komponenata agregata, cementa, vode i aditiva, -kvantitativnih odnosa ovih materijala u masi svježeg betona, -tehnoloških faktora, -postupaka izrade konkretnog betonskog elementa, -uslova eksploatacije, -dimenzija konstruktivnog elementa Najveći broj svojstava betona zavisi od ostvarene strukture betona. Reološka svojstva betona načelno bi uvijek trebalo posmatrati u funkciji svojstava strukture, vremena, termohigrometrijskih i drugih parametara vezanih kako za sam materijal, tako i za okolinu i sredinu. Beton je po reološkim svojstvima viskozan elastičan materijal.

8

9/30/2009

Jednačine ravnoteže i jednačine kompatibilnosti su osnovni principi mehanike i vrijede za sve materijale. Karakteristična svojstva pojedinih materijala su određena jednačinama konstitucije, koje predstavljaju odnos između napona i deformacije.

ε(t ) = De

 τ= t  τ=στ (t )  0 

Vrijednost deformacije ε u vremenu t zavisi od svih vrijednosti naprezanja σ(τ) za τ, koje varira između τ 0 i t. Ako je materijal linearno elastičan, prethodni izraz se može pojednostaviti

ε(t ) = Dσ(t ) Međutim, viskoelastičan materijal karakterizira deformacioni proces koji ovisi o cijeloj istoriji naprezanja i njegova konstitutivna relacija mora imati oblik funkcionala.

9

9/30/2009

ε(t)

ε

0

σ(t) σ

τ0

τ

τ1

t

0

τ0

τ

τ1

t

Deformacija viskoelastičnog tijela pod konstantnim naprezanjem

Ponašanje materijala se definiše kao linearno ako za istoriju naprezanja:

σ(t ) = σ1 (τ ) + σ 2 (τ ) ;

τ ∈ (τ 0 , t )

odgovara istorija deformacije:

ε(t ) = ε1 (τ ) + ε 2 (τ ) ;

τ ∈ (τ 0 , t )

Ovo se ujedno naziva princip superpozicije i koristi se u svim pretpostavkama do sada datih linearnih teorija puzanja betona.

10

9/30/2009

Granica naprezanja do koje beton ima linearno ponašanje je:

σ C ≤ 0,4 ⋅ f C Za linearno područje može se pisati:

ε (t ) = σ 0 D (t , τ ) gdje je D(t, τ) specifična funkcija puzanja, definirana kao odgovor u trenutku t na jedinstven korak naprezanja primijenjen u trenutku t.

Starenje betona

Poređenje funkcija D(t,τ) materijala koji stari i materijala koji ne stari

11

9/30/2009

Riesz teorema (istorija deformacija viskoelastičnog tijela u linearnom području) :

σ(t ) ε(t ) = + d(t , τ)σ(τ )dτ E(t ) τ∫0 t

Reološki modeli Da bi se objasnilo ponašanje betona, kao viskoelastičnog materijala, pod djelovanjem opterećenja, koriste se saznanja reologije, kao dijela fizike, koji se bavi izučavanjem deformacija tijela usljed definiranih sila. a)

b)

E1

η

1

E2

η

2

E1

η En

η

1

E2

En

η

η

2

n

n

Reološki modeli

Standardni model za čvrsto tijelo

12

9/30/2009

Primjena Kelvin – ovog modela za opis preraspodjele naprezanja između starog i novog betona - autorski rad

σ(t) STARI BETON

NOVI BETON

η

=

E ⋅ ε ( t ) + ε& ( t ) η

diferencijalna jednačina prvog reda tipa: y& + p(t) y = r(t)

t

∫

t

∫ t0 e ∫

− pdτ t

Uz početni uslov da je y(t0) = y0, rješenje jednačine je: y(t) = e

t0

t

pdτ

∫

− pdt

r (τ )dτ + y0 e

t0

t0

Iz uslova kompatibilnosti dobije se jednačina:

t − 1 σ b ( τ) σ b ( t 0 ) 1 − ⋅ = + ∫ σ b ( τ)e µ b E bn E( t 0 ) η t 0

Ebn ( t −τ ) η

dt

Nakon provedenih matematičkih transformacija dobije se rješenje za određivanje naprezanja u novom betonu usljed vremenski ovisnih deformacija :

σ b (τ ) = σ b (t 0 ) ⋅ e

E bn (τ− t 0 − t ) − µ b ⋅e µ

13

9/30/2009

POGLAVLJE III – DEFINICIJA PROBLEMA PRERASPODJELE NAPREZANJA U BETONSKIM PRESJECIMA Primjeri kompozitnih presjeka

O

O

beton "in situ"

mont. oplata mont.prednapregnuti nosac (MPN)

beton "in situ"

mont.prednapregnuti nosac (MPN) beton "in situ"

mont.prednapregnuti nosac (MPN)

beton "in situ"

mont.prednapregnuti nosac (MPN)

beton "in situ"

mont.prednapregnuti nosac (MPN)

14

9/30/2009

P

P feder

max. P beton

P

P beton

Mehanizam peraspodjele naprezanja i presječnih sila unutar armiranobetonskih i prednapregnutih konstruktivnih elemenata

-P

Radni dijagram betona i opruge

σ σp t

εa,εb

t0 BETON ∆

εt

Dijagram deformacije betona i čelika pod konstantnim naprezanjem

CELIK

t t0

t

15

9/30/2009

Ako se zanemari relaksacija čelika (armatura), može se smatrati da je čelik idealno elastičan materijal. Pod konstantnim dugotrajnim opterećenjem deformacija je konstantna. dε = dσ/E ; σ = const. ⇒ dσ = 0 ⇒ dε = 0 U vremenskom intervalu dt dolazi do razlike u veličini deformacije u betonu i čeliku. Razlika je posljedica vremenski ovisnih deformacija betona (puzanje i skupljanje). Iz uslova kompatibilnosti jasno je da će se naprezanje dσ, koje nastaje kao posljedica vremenski ovisnih deformacija betona, pojaviti u armaturi. Pošto moraju uvijek biti zadovoljeni uslovi ravnoteže, a ne dolazi do promjene vanjskog opterećenja, ovaj prirast naprezanja dσ u armaturi, ujedno je pad naprezanja u betonu – PRERASPODJELA NAPREZANJA. dσp = 0 ⇒ dσa + dσb = 0 Na analogan način se može objasniti preraspodjela naprezanja između dva viskozno-elastična materijala različitih karakteristika.

16

9/30/2009

ε 1

2 1

2

t0

t1

t

t

Dijagram deformacije betona pod konstantnim naprezanjem

Zbog različitog prirasta deformacija dε dolazi do preraspodjele naprezanja dσ između betona 1 i betona 2.

εa,εb

1 2 ∆

t0

dio beton-beton dio armatura-beton

ε

t* t1

ARMATURA

t

t

17

9/30/2009

Metode rješavanja preraspodjele presjecima (teorija k – elemenata)

naprezanja

u

kompozitnim

Ukupni moment i normalna sila u proizvoljnom poprečnom presjeku:

N0 = ∫ σ ⋅ dF F

M0 = ∫ σ ⋅ y ⋅ dF F

ε

σ

0

10

E1

ε

σ σ

1u

1

20

E2

ε E3

ε

u

σ σ

2u

2

30

σ

1u

Dijagram naprezanja pojedinih dijelova kompozitnog presjeka

18

9/30/2009

Ako se promatra jedan dio poprečnog presjeka «k», onda su presječne sile:

σ

k0

FK

Nk 0 = ∫ σ ⋅ dF Fk

σ

ku

Mk 0 = ∫ σ ⋅ y ⋅ dF Fk

Prilikom proračuna presječnih sila pojedinih dijelova, mora se zadovoljiti sljedeće: 1. Suma svih presječnih sila pojedinih dijelova poprečnog presjeka jednaka je presječnoj sili ukupnog poprečnog presjeka, 2. Deformacije pojedinih dijlova usljed vanjskih presječnih sila su kompatibilne i odgovaraju deformaciji ukupnog presjeka Moraju biti zadovoljeni uslovi ravnoteže i uslovi kompatibilnosti.

19

9/30/2009

Preraspodjela presječnih sila Osnovni razlozi koji dovode do preraspodjele presječnih sila su vremenski ovisne deformacije betona (skupljanje i puzanje).

Matematička funkcija puzanja, koja dosta dobro aproksimira rezultate eksperimenata, može se uzeti:

εp ε el

(

= ϕ(t ) = a ⋅ b − e ct

)

Iz rubnih uslova: za t = 0; ϕ(t) = 0 za t = ∞ ; ϕ(t) = ϕ∞ ϕ(t) = ϕ∞ (1-ect) Veličina «c» u eksponentu funkcije se dobija eksperimentalno (test puzanja).

20

9/30/2009

Vremenski ovisne deformacije dovode u vremenu dt do promjene konstantnih vrijednosti presječnih sila Nbo + Nbt, Mbo + Mbt, Nao + Nat. U pojedinim dijelovima poprečnog presjeka javljaju se sljedeće deformacije dt: BETON (materijal koji puže) CENTRIČNO OPTEREĆEN POPREČNI PRESJEK

dε b =

dNb,t E bt ⋅ A b

+

Nb0 + Nbt ε ⋅ d ϕ − S ⋅ dϕ E b ⋅ Fb ϕ∞

EKSCENTRIČNO OPTEREĆEN POPREČNI PRESJEK

dNb,t E bt ⋅ Fb

+

dMb,t Mb0 + Mbt ε Nb0 + Nbt ⋅ dϕ − S ⋅ d ϕ + + ⋅ dϕ ϕ∞ E b ⋅ Fb E b ⋅ Ib E b ⋅ Ib

ARMATURA, ČELIK ZA PREDNAPREZANJE, ČELIČNI NOSAČ (materijal koji ne puže) deformacija armature

dε a,el =

deformacija čeličnih nosača dε = ČN

dNa,t

E a ⋅ Fa dNČN,t E ČN ⋅ FČN

+

dMČN,t E ČN ⋅ IČN

21

9/30/2009

Proračun preraspodjele poprečnih sila se radi u sljedećim koracima: 1. Određivanje presječnih sila pojedinih dijelova poprečnog presjeka u trenutku “t”, 2. Ispisivanje promjene deformacije pojedinih dijelova poprečnog presjeka za interval vremena dt 3. Postavka uslova ravnoteže za presječne sile pojedinih dijelova u trenutku t i t+dt, 4. Postavka uslova kompatibilnosti deformacija u intervalu vremena dt, 5. Zamjena presječnih sila Nbt, Mbt, Nat,… i uvođenje njihovih diferencijala dNbt, dMbt, dNat iz uslova ravnoteže u uslove kompatibilnosti, 6. Uz pomoć funkcija puzanja dobijanje sistema diferencijalnih jednačina za proračun presječnih sila ovisnih o vremenu. Rješenje problema preraspodjele presječnih sila, u matematičkom smislu, svodi se na rješenje sistema linearnih diferencijalnih jednačina. U nastavku su postavljeni sistemi lineranih diferencijalnih jednačina za primjere iz prakse: - sanirani armiranobetonski stub, - spregnuta prednapregnuta greda, - ojačana armiranobetonska greda, - polumontažna stropna konstrukcija, - spregnuti poprečni presjek beton+čelik.

22

9/30/2009

Rješenje sistema linearnih diferencijalnih jednačina za sanirani armiranobetonski stub – autorski rad

bn

bs as

Nas = X Nan = Y Nbs = Z Nbn = W

- sila u staroj armaturi - sila u novoj armaturi - sila u starom betonu - sila u novom betonu

an Uslov ravnoteže:

dX + dY + dZ + dW = 0

Uslovi kompatibilnosti:

dX dY = E as ⋅ Fas E an ⋅ Fan

Z +Z ε dX dZ = + 0 ⋅ dϕ s − ss ⋅ dϕ s E as ⋅ Fas E bs ⋅ Fbs E bs ⋅ Fbs ϕ∞ W +W ε dX dW = + 0 ⋅ dϕ n − sn ⋅ dϕ n E as ⋅ Fas E bn ⋅ Fbn E bn ⋅ Fbn ϕ∞

23

9/30/2009

Dobije se sistem diferencijalnih nehomogenih jednačina, koje imaju homogeno i partikularno rješenje. Detalji rješenja sistema dati su u magistarskom radu. Rješenje sistema jednačina su funkcije promjene presječnih sila u starom i novom betonu, te staroj i novoj armaturi.

X = XH + Xp = e

q − ⋅ϕ p

+

r + D3 q

 − qp ⋅ϕs r   + + D3  + D2 Y = (q − 1) ⋅ e   q   1 W = (D1 − X − Y − (e −ϕ + m)) 2

Z=

1 ( D1 + X − Y − (e −ϕ + m)) 2

Konstante D1, D2 i D3 su integracione konstante. Odabir matematičkog oblika integracionih konstanti uslovljava ponašanje funkcija X, Y, Z i W.

24

9/30/2009

Osim tačnog rješenja sistema linearnih diferencijalnih jednačina, postoje približni postupci od kojih se izdvajaju: rješenje pomoću približne funkcije toka vremenski ovisnih presječnih sila i diferenična metoda. Rješenje pomoću presječnih sila

približne

funkcije

toka

vremenski

ovisnih

Pretpostavljena funkcija promjene presječne sile u betonu

25

9/30/2009

Diferenična metoda

Dijagram promjene presječne sile u betonu u ovisnosti od koeficijenta puzanja

Poboljšanje diferenične metode može se dobiti korekcijom λ .

26

9/30/2009

Iz prethodno izložene definicije problema može se konstatovati slijedeće: 1.

Tačno rješenje problema preraspodjele naprezanja u kompozitnim presjecima, koji se nalaze u naponskom stanju I, je rješenje sistema linearnih diferencijalnih jednačina, koje se dobijaju iz uslova ravnoteže i uslova kompatibilnosti,

2.

Promjena presječnih sila u pojedinim dijelovima kompozitnog presjeka ovisi od promjene vremenski ovisnih deformacija (puzanje i skupljanje), prema tome funkcija promjene presječnih sila ovisi od funkcije promjene vremenskih deformacija,

3.

Odabir funkcije puzanja i skupljanja vrši se na osnovu eksperimentalnih rezultata,

4.

Kod kompozitnih presjeka koji se nalaze u naponskom stanju II sistem linearnih diferencijalnih jednačina nije dovoljan za rješenje, s obzirom da položaj neutralne osi zavisi od opterećenja. Dakle potrebno je rješavati iterativnim postupkom, za pojedine korake položaja neutralne osi.

27

9/30/2009

POGLAVLJE IV – PRIMJERI ZA ILUSTRACIJU Preraspodjela naprezanja u saniranom armiranobetonskom stubu 60

40 10

60

10

10

40

10

Razmatrimo primjer stuba centrično pritisnutog silom P = 2,0 MN, koji se sastoji od betona C16/20 armiranog sa 4φ25. Nakon 30 godina, stub je ojačan dodatnim slojem betona C30/37, debljine d = 10 cm armiranog sa 20φ20 i opterećenog dodatnim opterećenjem ∆P = 2,0 MN. Odredit ćemo presječne sile u betonu postojećeg dijela stuba, dimenzija 40/40 cm, i armaturi za stub starosti 28 dana (t1 = 0) i starosti t2 = 30 g, prije saniranja, a potom presječne sile u starom i novom betonu i staroj i novoj armaturi, od trenutka nanošenja dodatnog opterećenja t3 = 30 g + 28 dana do trenutka t4 = ∞.

Karakteristike presjeka su: - postojeći beton C16/20 Ebs = 27 500 MN/m2 b/h = 40/40 cm - stara armatura Fa = 19,6 cm2 (4φ25) Eas = 210 000 MN/m2 - novi beton C30/37 Ebn = 32 000 MN/m2 d = 10 cm - nova armatura Fa = 62,8 cm2 (20φ20) Ean = 210 000 MN/m2

28

9/30/2009

a) t1 = 0 Nat1 = 0,173 MN Nbt1 = 1,827 MN b) t2 = 0 uslov ravnoteže: dNa + dNb = 0 ⇒ dNa = - dNb uslov kompatibilnosti:

ε dN at dN bt N = + bt dϕ - s dϕ E a Fa Eb Fb Eb Fb ϕ∞

29

9/30/2009

Nbt = Nb0

  ε  N b 0 + s Eb Fb  - ϕ∞ ⋅

1 − ϕt   Eb Fb  +1  1 − e Ea Fa     

sila u betonu u vremenu t

Proračunati koeficijent puzanja i mjera skupljanja za beton starosti 30g: ϕt (30 g) = 3,33

εst = -21 ⋅ 10-5

Nat2 = 0,591 MN Nbt2 = 1,409 MN c) t3 = 30g + 28dana (ojačanje stuba i nanošenje dodatnog opterećenja ∆N = 2,0MN ) Iz uslova ravnoteže i kompatibilnosti mogu se direktno dobiti presječne sile u pojedinim dijelovima poprečnog presjeka: ∑N = 0

Nas + Nan + Nbs + Nbn = ∆N

N as N bs = Eas Fas Ebs Fbs

N as N bn = Eas Fas Ebn Fbn

N as N an = Eas Fas Ean Fan

Nast3 = 0,066 MN Nbst3 = 0,702 MN Nant3 = 0,211 MN Nbnt3 = 1,022 MN

30

9/30/2009

d) t4 = ∞

ϕs = 0,422

ϕn = 3,55

εss = -1,43 ⋅ 10-5

εsn = -21,23 ⋅ 10-5

Proračun preraspodjele presječnih sila od trenutka ojačanja stuba urađen je na slijedeći način : d1) Diferenična metoda, d2) Rješenje sa pretpostavljenom funkcijom promjene presječnih sila u betonu, d3) Rješenje primjenom osnovne Dischinger-ove diferencijalne jednačine, d4) Pomoću Kelvin-ovog modela d5) Postupak po Stangenberg-u d6) Proračun presječnih sila u funkciji od stare armature (većina autora). d1) Diferenična metoda uslov ravnoteže u trenutku tn: Xn + Yn + Zn + Wn = 0 uslov ravnoteže u trenutku tn+1: Xn+1 + Yn+1 + Zn+1 + Wn+1 = 0 uslov kompatibilnosti u intervalu vremena ∆t = tn+1 - tn X n +1 − X n Yn +1 − Yn Yc + Yn ε = + ∆ϕ s − ss ∆ϕ s Eas Fas Ebs Fbs Ebs Fbs ϕ∞

ε sn X n +1 − X n Z n +1 − Z n Z c + Z n ∆ϕ n = + ∆ϕn ϕ∞ Eas Fas Ebn Fbn Ebn Fbn X n +1 − X n Wn +1 − Wn = Eas Fas Ean Fan

gdje su: X = Nas ;

Nan

31

Y = Nbs;

Z = Nbn;

W=

9/30/2009

d2) Rješenje sa pretpostavljenom funkcijom promjene presječnih sila u betonu u obliku parabole drugog reda dNbs + dNbn + dNas + dNan = dN

dN as dN an = Eas Fas Ean Fan  2  N bs 0 N bs∞ ϕ s  ϕs  ε ss dN as N    + ⋅ 2 − d ϕ − dϕ s ( ) d = bs∞  ϕ − ϕ ϕ + d ϕ s s∞ s  s s   E F ϕ ϕ ϕ Eas Fas Ebs Fbs  ϕ s∞ 2 E F ∞  ∞  bs bs s∞ bs bs 

 2  N bn∞ ϕ n  ϕn  ε sn dN as N N bno    ⋅ 2 − d ϕ − dϕ n ( ) = bn∞  − ϕ ϕ d ϕ + d ϕ + n n∞ n  n n   E F ϕ ϕ ϕ E F Eas Fas Ebn Fbn  ϕ n∞ 2 ∞ ∞ ∞ bn bn n n n   bN bn  d3) Rješenje primjenom osnovne Dischinger-ove diferencijalne jednačine Modifikovani izraz za preraspodjelu presječnih sila između dva betona različitih karakteristika: 1 ϕ −  Eb Fb +1    εs N bt = N b 0 −  N b 0 + Eb Fb 1 − e Eb 2 Fb 2  ϕ∞     

32

9/30/2009

d4) Pomoću Kelvin-ovog modela Izraz je izveden u poglavlju II E bn (τ− t 0 − t )

σ b (τ ) = σ b (t 0 ) ⋅ e −µ b ⋅e

µ

d5) Postupak po Stangenberg-u Stangenberg je koristio iste jednačine (uslov ravnoteže i uslov kompatibilnosti), s tim što je u uslovima kompatibilnosti uzeo da je: Nbs0 + Nbst = dNbst odnosno

Nbn0 + Nbnt = dNbnt

Stangenberg je dao vezu između puzanja i skupljanja starog i novog betona u obliku:

 ϕ t,n −  ε s ⋅ ϕ ts + ϕ tn 

 ϕ tn 1 −  1 + ϕ tn

    

d6) Proveden je isti postupak kao pod d5) samo su presječne sile određene u funkciji od stare armature, što je slučaj kod većine autora koji su se bavili ovim problemom. Stangenberg je odredio presječne sile u funkciji od starog betona.

33

9/30/2009

Tabela: Presječne sile u MN

Iz pregleda rezultata je vidljivo da se primjenom raznih postupaka dobiju ekstremne vrijednosti u pojedinim dijelovima poprečnog presjeka. Međutim, sa sigurnošću se može tvrditi, da u vremenu od trenutka ojačanja armiranobetonskog stuba do t = ∞ dolazi do porasta naprezanja u novoj armaturi, staroj armaturi i starom betonu, a da dolazi do pada naprezanja u novom betonu.

34

9/30/2009

Utvrđivanje kapaciteta nosivosti ojačanog armiranobetonskog stuba Maksimalna nosivost postojećeg stuba je: Nsd =Fcd + Fsd = Ac ⋅ α ⋅ fcd+Asd ⋅ σsd =0,4 ⋅ 0,4 ⋅ 0,85 ⋅

Karakteristična nosivost je: N k =

16 + 19,6⋅10-4 ⋅ 400 =2,235 MN 1,5

N sd 2,235 = = 1,596 1,4 1,4

Ukupno opterećenje u konačnom stanju je: Nt = ∞ = 2,0 + ∆N Početno opterećenje preuzima postojeći stub, a dodatno opterećenje preuzimaju postojeći i novi dio stuba. Nstaro = 2,0 + Kstaro ⋅ ∆N Nnovo =

Knovo ⋅ ∆N

Kapacitet nosivosti proračunat je po Stangenberg-ovom postupku označenom sa (d6). Moguće dodatno opterećenje u trenutku t = 0 Moguće dodatno opterećenje u trenutku t = ∞ :

postupku (d5) i

∆N = 0,612 MN d5) ∆N = 0,337 MN d6) ∆N = 0,405 MN

35

9/30/2009

Programski algoritam

36

9/30/2009

Preraspodjela naprezanja kod spregnute prednapregnute grede Primjer urađen u knjizi, navedena u literaturi pod brojem 5, autora Alfreda Mehmela, urađen je i postupkom opisanim u poglavlju III. BETON 1 :

75

12

2

S2

Si 60

1

BETON 2 :

ARMATURA :

EZ = 200000 MN/m2

S1

Promatrat ćemo promjenu naprezanja u betonima 1 i 2, od trenutka očvršćavanja betona 2 (t1) do t2 = ∞.

Z

6

F

Fb1 = 0,09 m2 Ib1 = 0,0027m4 y1z = 0,34 m Eb1 = 40000 MN/m2 Fb2 = 0,09 m2 Ib2 = 0,000108m4 y2z = 0,60 m Eb2 = 30000 MN/m2 FZ = 0,0012 m2

15

t1

t2

4,89

2,88

2,78 3,70

3,11 7,81

Preraspodjela presječnih sila sa novog na stari beton po Mehmel-u: X(t) = 0,0758 MN y(t) = 0,00665 MN

10,40

12,83

37

9/30/2009

Preraspodjela presječnih sila sa novog na stari beton – postupak opisan u poglavlju III 2 1

2 a 1

y2

2 a 1

N2 N1

y1

M2 M1

uslovi ravnoteže: ∆N1 + ∆N 2 = 0 ∆M1 + ∆M 2 = 0 uslovi kompatibilnosti: M + M 2t dM1 dM 2 = + 20 ⋅ dϕ 2 E b1 ⋅ I b1 E b 2 ⋅ I b 2 E b2 ⋅ I b2 ε dN 1 dM 1 dN 2 dN 2 + ⋅ y1a = + ⋅ dϕ − S 2 ⋅ dϕ + ϕ∞ E b1 ⋅ Fb1 E b1 ⋅ I b1 E b 2 ⋅ Fb 2 E b 2 ⋅ Fb 2 +

M + M 2t dM 2 + 20 ⋅ y 2 a ⋅ dϕ E b2 ⋅ I b2 E b2 ⋅ I b2

Rješenjem sistema jednačina kako je pokazano u primjeru stuba, dobiju se izrazi za sile preraspodjele:

38

9/30/2009

1 E b 2 ⋅I b 2 ⋅ϕ 2 1 1 + E b1 ⋅I b1 E b 2 ⋅I b 2 −

∆M = M 0 ⋅ e

  ε ∆M ⋅ y 2 a ∆N = N 0 −  N 0 + S ⋅ Eb 2 ⋅ Fb 2 − ⋅ Eb 2 ⋅ Fb 2  ⋅ 1 − e −αϕ Eb 2 ⋅ I b 2 ϕ∞  

(

4,89

2,88

2,78 3,70

10,40

) 1,14

3,11 7,81

12,83 Mehmel

3,53 9,70

13,40 postupak iz magistarskog rada

39

9/30/2009

Preraspodjela naprezanja kod armiranobetonske grede Izrazi dobiveni za prednapregnutu gredu mogu se primijeniti i za armiranobetonsku gredu, što je pokazano na primjeru datom u knjizi [ 14 ] (str.464). Rješenja primjera iz knjige data su u sljedećoj tablici:

Proračun se radi iterativnim postupkom. Prvo se za početni iznos presječnih sila odredi položaj neutralne osi, potom se za preraspodijeljene presječne sile odredi novi položaj neutralne osi, te za novi položaj neutralne osi preraspodjela presječnih sila. Proračun iterativnim postupkom sa 3 koraka i dobiveno je rješenje : naprezanje u betonu: σ b = 3,36 MN m I 2 naprezanje u pritisnutoj armaturi: σ a = 130 MN m 2

40

9/30/2009

Na osnovu prethodnih primjera spregnute prednapregnute grede i armiranobetonske grede, može se zaključiti da je primjenjeni postupak upotrebljiv i za slučaj ojačanja armiranobetonskih greda kao na narednoj slici. N b2 N b1

N b1

1

∆x

x0

2

Na

Na

Označimo sa X0 položaj neutralne ose prije nanošenja ojačanja grede. Usljed povećanja statičke visine, doći će do pomjeranja neutralne ose prema gore. To pomjeranje nije proporcionalno povećanju visine, jer se sa povećanjem visine poprečnog presjeka povećava i opterećenje. Novi položaj neutralne ose je X0 - ∆X, i početni je korak provođenja postupka iz prethodnog primjera. Usljed većeg inteziteta skupljanja i puzanja novog betona od inteziteta skupljanja betona grede, sila Nb2 će se smanjivati, a sila Nb1 povećavati (preraspodjela presječnih sila sa novog betona na stari beton).

41

9/30/2009