SPML-01-CU-SUM

BAGAN KENDALI CUMULATIVE SUM (CU-SUM)

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

1

REVIEW • Bagan kendali Shewhart biasanya diaplikasikan pada tahap I dari SPC. • Shewhart mengidentifikasi terkontrol atau tidaknya suatu proses secara statistik pada batas ± 3σ, sehingga untuk pergeseran proses yg kecil (katakan 1,5σ) terkadang diabaikan. • Hal ini menjadikan bagan kendali shewhart kurang digunakan untuk tahap II dari SPC --> Kurang sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil. 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

2

• Dua bagan kendali alternatif yg dapat digunakan untuk tahap II dari SPC yg mengakomodir identifikasi adanya pergeseran proses yg kecil: 1. Bagan kendali Cumulative Sum (Cu-Sum) 2. Bagan kendali Exponentially Weighted Moving Average (EWMA)

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

3

CUMULATIVE SUM • Misal, 30 Sampel diambil dr 2 proses produksi yg berbeda di mana 20 sampel acak pertama diambil dari proses produksi dg μ = 10 dan σ = 1, sedangkan 10 sisanya dari μ = 11 dan σ = 1.

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

4

• Bagan kendali Shewhart efektif untuk mendeteksi pergeseran proses ≥ 2σ, namun untuk pergeseran yg lebih kecil menjadi tidak efektif lagi. • Bagan kendali Cumulative Sum (Cu-Sum) efektif untuk mendeteksi adanya pergeseran proses yang kecil. (Diusulkan o/ Page, 1954). 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

5

• Bagan Cusum dapat digunakan untuk observasi tunggal ataupun rasional subgrup. • Misal, diambil sampel n ≥ 1, x-barj adl rata-rata dari sampel ke-j. Jika μ0 adl target rata-rata proses, maka bagan kendali Cu-Sum dibentuk dg menempatkan nilai

Ci    x j  0  i

j 1

• Jika proses tetap dlm keadaan terkontrol maka Ci mendekati 0, Jika bergeser ke atas dg nilai μ1 > μ0 , nilai Ci akan positif. Jika bergeser ke bawah dg nilai μ1 < μ0 , nilai Ci negatif. 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

6

• Misal; dg μ0 = 10, maka Cu-Sum menjadi: Ci    x j  10  i

j 1

i 1

  xi  10     x j  10  j 1

  xi  10   Ci 1

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

7

• Misal: sampel, i

xi

xi - 10

Ci = (xi-10)+Ci-1

sampel, i

xi

xi - 10

Ci = (xi-10)+Ci-1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

9,45 7,99 9,29 11,66 12,16 10,18 8,04 11,46 9,2 10,34 9,03 11,47 10,51 9,4 10,08

-0,55 -2,01 -0,71 1,66 2,16 0,18 -1,96 1,46 -0,8 0,34 -0,97 1,47 0,51 -0,6 0,08

-0,55 -2,56 -3,27 -1,61 0,55 0,73 -1,23 0,23 -0,57 -0,23 -1,2 0,27 0,78 0,18 0,26

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

9,37 10,62 10,31 8,52 10,84 10,9 9,33 12,29 11,5 10,6 11,08 10,38 11,62 11,31 10,52

-0,63 0,62 0,31 -1,48 0,84 0,9 -0,67 2,29 1,5 0,6 1,08 0,38 1,62 1,31 0,52

-0,37 0,25 0,56 -0,92 -0,08 0,82 0,15 2,44 3,94 4,54 5,62 6 7,62 8,93 9,45

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

8

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

9

ALGORITMA TABULAR CU-SUM • Model bagan kendali Cu-Sum, dibatasi oleh dua statistik, C+ dan C- yang kemudian disebut U-Cusum dan L-Cusum. Ci  maks 0, xi   0  K   Ci1  Ci  maks 0,  0  K   xi  Ci1  di mana C0  C0  0

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

10

• K disebut sebagai nilai acuan (reference value) dan nilainya adl setengah dari selisih μ0 dan μ1 di mana : 1  0   1  0  

K

1  0 2

• Jika C+ dan C- melebihi H, maka proses dikatakan tidak terkontrol. H = 5σ.

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

11

• Contoh: Perhatikan data yg lalu; nilai target μ0 = 10, ukuran subgrup n = 1, σ = 1. Misal ingin dideteksi jarak pergeseran proses 1.σ = 1(1) = 1. Jadi, μ1 = 11, shg K = 0,5 dan H = 5σ = 5. C1  maks 0; x1  10,5  C0   maks  0;9, 45  10,5  0  0 C1  maks 0;9,5  x1  C0   maks  0;9,5  9, 45  0  0, 05 C2  maks 0; x2  10,5  C1   maks  0;7,99  10,5  0  0 C2  maks 0;9,5  x2  C1   maks  0;9,5  7,99  0, 05  1,56 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

12

sampel, i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10/09/2012

xi 9,45 7,99 9,29 11,66 12,16 10,18 8,04 11,46 9,2 10,34 9,03 11,47 10,51 9,4 10,08

xi - 10 -0,55 -2,01 -0,71 1,66 2,16 0,18 -1,96 1,46 -0,8 0,34 -0,97 1,47 0,51 -0,6 0,08

Ci = (xi-10)+Ci-1 -0,55 -2,56 -3,27 -1,61 0,55 0,73 -1,23 0,23 -0,57 -0,23 -1,2 0,27 0,78 0,18 0,26

Ci+ 0 0 0 1,16 2,82 2,5 0,04 1 0 0 0 0,97 0,98 0 0

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

N+ 0 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 1 2 0 0

Ci-0,05 -1,56 -1,77 0 0 0 -1,46 0 -0,3 0 -0,47 0 0 -0,1 0

N1 2 3 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 13

sampel, i 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 10/09/2012

xi 10,08 9,37 10,62 10,31 8,52 10,84 10,9 9,33 12,29 11,5 10,6 11,08 10,38 11,62 11,31 10,52

xi - 10 0,08 -0,63 0,62 0,31 -1,48 0,84 0,9 -0,67 2,29 1,5 0,6 1,08 0,38 1,62 1,31 0,52

Ci = (xi-10)+Ci-1 0,26 -0,37 0,25 0,56 -0,92 -0,08 0,82 0,15 2,44 3,94 4,54 5,62 6 7,62 8,93 9,45

Ci+ 0 0 0,12 0 0 0,34 0,74 0 1,79 2,79 2,89 3,47 3,35 4,47 5,28 5,3

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

N+ Ci0 0 0 -0,13 1 0 0 0 0 -0,98 1 0 2 0 0 -0,17 1 0 OUT of 2 0 3CONTROL0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0

N0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 14

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

15

• Adanya titik yg diluar batas H (titik 29 dan 30) mengindikasikan adanya sebab terduga yg terjadi, berdasar contoh indikasi mulai adanya pergeseran proses yakni pada titik 22 dan 23 • Untuk mengecek seberapa besar terjadinya pergeseran proses pada titik yg tdk terkontrol, digunakan  Ci    K  , Jika C i  H  0  N   C    K  i , Jika C   H i   0 N 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

16

• Misal: Cu-Sum periode ke -29 C29   0  K   , N 5, 28  10  0,5   11, 25 7 • Diketahui bahwa proses telah bergeser ke atas sebesar 1,25, shg perlu melakukan penyesuaian (menurunkan) proses sebesar 1,25 units.

• Jadi, Cu-Sum dpt juga dinyatakan sbg bagan kendali ratarata terboboti, di mana bobotnya bersifat stokastik (random) antar periode. 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

17

ARL CU-SUM • Tabular Cusum didesain dg memilih parameter K dan H. Kedua parameter tsb dipilih terkait dg performa ARL yang bersesuaian. • Didefinisikan bahwa H = hσ dan K = kσ.

• Para peneliti dan praktisi merekomendasikan nilai h = 4 atau 5, dan k = ½ krn menghasilkan ARL yang baik. 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

18

• Performa ARL pada Tabular Cusum dg h = 4, h = 5 dan k = ½ .

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

19

• Nilai k berkorespondensi dg nilai h yang menghasilkan ARL0 = 370 (Nilai ARL0 Bagan Shewhart 3σ) (Penelitian: Hawkins, 1993).

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

20

•

Teknik penghitungan ARL Cusum yang lain: Formula Pendekatan Siegmund (1985) (satu sisi, Ci+ atau Ci-) : exp  2b   2b  1 ARL  2 2 untuk   0, maka      k  untuk Ci dan      k  untuk Ci b  h  1,166

1  0     



Jika   0, maka ARL  b 2 . 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

21

• Untuk dua sisi (ARL+ dan ARL-): 1 1 1    ARL ARL ARL

• Contoh: k = ½, h = 5. Misal δ* = 0, maka Δ = δ* - k = 0 – ½ = - ½ , b = h + 1,166 = 5 + 1,166 = 6,166, maka









exp  2  1  6,166    2  1  6,166   1 2 2   ARL   938, 2 2 2 1 2 10/09/2012





MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

22

• ARL+ = ARL- = 938,2. Maka, 1 1 1    ARL  469,1 ARL 938, 2 938, 2

• Jika rataan bergeser sebanyak 2σ, maka δ* = 2, Δ+ = 1,5 dan Δ- = -2,5. Sehingga ARL = 3,89 (Tabel: untuk 2σ = 4,01)

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

23

STANDARDIZE CU-SUM • Banyak pengguna dari Cu-Sum menyukai bentuk standardize (baku) dari variabel xi. Diberikan: xi  0 yi   • Batas kendali untuk Standardize Cu-Sum: Ci  maks 0, yi  K  Ci1  Ci  maks 0,  K  yi  Ci1  di mana C0  C0  0 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

24

ALGORITMA V-MASK CU-SUM • Prosedur alternatif untuk tabular Cu-Sum adl V-Mask Cu-Sum. (Diusulkan o/ Barnard, 1959). • V-Mask adl daerah berbentuk V untuk menentukan apakah suatu proses tidak terkontrol ataukah terkontrol. Jika rata-rata berada di luar daerah V (baik atas/bawah), maka dikatakan tidak terkontrol, demikian sebaliknya. 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

25

• Prosedur V-Mask i

Ci   y j  yi  Ci 1 j 1

di mana yi 

10/09/2012

xi  0



MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

26

• Prosedur V-Mask akan sama dengan Tabular Cu-Sum jika dan hanya jika, k  A tan  dan h  Ad tan   dk

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

27

• Misal: Jika k = ½ dan h = 5, maka k  A tan  1  (1) tan     26,57 2 dan h  Ad tan   dk 1 5  d    d  10 2 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

28

• Johnson dan Leone mengusulkan pola penyusunan V-Mask:   tan

1

     2 A  

Peluang tidak terdeteksi pergeseran proses pada suatu δ

dan  2   1   d   2  ln         jika  kecil , maka d 10/09/2012

2

ln( )



Peluang kesalahan mendeteksi pergeseran, padahal tdk terjadi.

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

29

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

30

LATIHAN 1. Berikut data observasi berat molekul yang diambil secara individu dari proses kimia tiap jam. Target berat molekul adalah 1050 dan diasumsikan bahwa σ = 25. Buat tabular Cu-Sum untuk proses ini, dengan tingkat deteksi pergeseran 1σ. Bandingkan dengan Bagan kendali Shewart. Interpretasikan! Buat juga untuk Standardize Cu-Sum! 10/09/2012

Berat Molekul

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

31

2.

Sebuah mesin digunakan untuk mengisi botol. Sampel satu botol diambil setiap jam dan diukur beratnya (dalam ons). Karena proses pengisian dilakukan secara otomatis, maka proses berjalan sangat stabil dan dalam jangka waktu yang lama diindikasikan bahwa σ = 0,05 ons. (a) Asumsikan bahwa target proses adl 8,02 ons, buat tabular Cu-Sum untuk proses ini (h = 4,77 dan k = 0,5)! (b) Apakah nilai σ = 0,05 ons cukup berasalan digunakan untuk proses ini?

10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

32

3. Berikut adalah data suhu (oC) dari proses kimiawi yang diambil per dua menit. Nilai target dari proses ini adalah μ0 = 950. (a). Estimasi standar deviasi proses! (b). Buat bagan kendali tabular Cu-Sum untuk proses ini dengan h = 5 dan k = ½. Interpretasikan! 10/09/2012

MK. Statistika Pengendalian Mutu Lanjutan Darmanto, S.Si.

33