Splines Cubicos 1

PRÁCTICA DE LABORATORIO: SPLINES CÚBICOS – DIFERENCIAS DIVIDIDAS Resumen

Abstract

En este trabajo se muestra el desarrollo In this paper the development of the code del código en Matlab para splines cúbicos in Matlab is shown for cubic splines or o trazadores utilizados para resolver tracers used to solve interpolations. interpolaciones. Palabras Clave: Splines, codificación, Keywords: Splines, coding, polynomial, polinomio, tridiagonal, intervalo. tridiagonal, interval.

Objetivos



General







Realizar una codificación para la resolución de trazadores cúbicos utilizando Matlab. Realizar una codificación para el método de Diferenciación de Alta Exactitud utilizando las fórmulas de Diferencias Dividas Centrales.

Específicos

 

Afianzar los conceptos referentes a trazadores o splines cúbicos. Investigar la codificación utilizada para resolver trazadores cúbicos utilizando Matlab. Aprender a utilizar el Método de Diferenciación de Alta Exactitud. Utilizar las Formulas de Diferencias Divididas Centrales.

1. Introducción En este informe se realiza la utilización del método de Splines Cúbicos para

poder realizar ajustes de puntos tabulados u obtenidos de algún experimento. Además se realizara la aplicación del método de Diferenciación de Alta Exactitud tomando en cuenta solo la fórmulas para las Diferencias Divididas Centrales lo que llevara a la obtención de la Primera Derivada de una función. Se indicara cual es la deducción para poder obtener cada una de las fórmulas que se emplean en ambos métodos. Se mostrara cuáles son las formulas y procedimientos que se deberán realizar para cada uno de métodos mencionados anteriormente, lo cual ayudara a su mejor entendimiento.

2. Marco teórico 2.1 Splines cúbicos

{

S0 ( x )=S 0 , x ∈¿ S ( x ) = S1 ( x )=S 1 , x ∈¿ ⋮⋮ ( ) Sn −1 x =S n−1 , x ∈¿ Los

polinomios

S i−1

interpolan el mismo valor en el punto t i , es decir, se cumple: S i−1 ( t i )= y i=S i ( t i ) (1 ≤ i ≤ n−1) Por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone que S ' y S ' ' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una expresión para la función del spline cúbico. Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas primera S ' y segunda S ' ' , es posible encontrar la expresión analítica del expresión resultante es: S i ( x )=

Figura 1. Ejemplo de un spline cúbico de la función f(x)=sen(x).

El spline cúbico (k = 3) es el spline más empleado, debido a que proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente complejo.

[ t 0 , t 1 ] , [ t 1 , t 2 ] , … , [t n−1 ,t n ] S

,

está definido por un polinomio

cúbico diferente. Sea S i el polinomio cúbico que representa a intervalo

[ t i , ti +1 ]

, por tanto:

spline.

S en el

La

zi z y z h t i +1−x )3 + i+1 ( x−t i )3 + i+1 + i+1 i ( x−t i) + ( 6 hi 6 hi hi 6

(

)

(

En la expresión anterior, hi=t i+1 −t i y z 0 , z 1 , … , z n son incógnitas. Para determinar sus valores, utilizamos las condiciones de continuidad que deben cumplir estas funciones. El resultado es: hi−1 z i−1 +2 ( hi +hi−1 ) z i+ hi z i+1 =

Sobre cada intervalo:

Si

y

6 h i−1

6

( y i+1 + y i )− h

La ecuación anterior, con i−1,2, … , n−1 genera un sistema de n−1 ecuaciones lineales con z0 , z1 , … , zn . incógnitas Podemos elegir z 0 y z 1 de forma n+1

arbitraria y resolver el sistema de ecuaciones resultante para obtener los

i−1

( yi + yi

valores

z 1 , z 2 , … , z n−1 .

de

Una

v i=bi−b i−1−

elección especialmente adecuada es hacer z 0=z 1=0 . La función spline resultante se denomina spline cúbico natural y el sistema de ecuaciones lineal expresado en forma matricial es:

Este sistema de ecuaciones, que es tridiagonal, se puede resolver mediante eliminación gaussiana sin pivoteo.

u1 h1 ¿ h1 u2 h2 h2 u3 ¿ ¿ ¿ ¿⋱ ¿

¿ un−2 hn−2

¿ hn−3 ¿ ¿

¿

h3 ¿ ¿ hn−2 z1 z2 ¿ z3 ⋮ zn−2 zn−1

()

¿

hi−1 v i−1 u i−1

El valor del spline S en un punto x cualquiera interpolado se puede calcular de forma eficiente empleando la siguiente expresión: S i ( x )= y i+ ( x −t i ) [C i+( x−t i)[Bi +(x−t i ) Ai ]] A i=

un−1 ¿

⋱ ⋱ z B i= i 2

¿ ¿

1 (z +z ) 6 hi i +1 i

−h h 1 Ci = i z i+1 − i zi + ( y i+1 + y i ) 6 3 hi ¿

¿

FORMULAS DE DIFERENCIACION CON ALTA EXACTITUD Gracias a este método se pueden generar formulas por diferencias divididas de alta exactitud tomando términos adicionales en la expansión de Taylor que hacia adelante se muestra como

v1 v2 ¿ v3 ⋮ v n−2 v n−1

()

f ( x i+1 ) =f ( x i ) + f ' ( x i ) h+

f'

' ( xi ) 2

h

2

Donde: De la que se despeja:

hi=t i+1 −t i

''

ui=2 ( hi −hi−1 )− 6 bi= ( y i+1− y i ) hi

2 i−1

h ui−1

f ( x i+1 ) −f ( x i ) f ( x i ) f ( x i )= − h+0 h2 2 2 '

Luego al excluir los términos de la segunda derivada en adelante y nos quedamos con un resultado final.

f ' ( x i )=

f ( x i+1 ) −f ( x i ) + 0 h2 2

utiliza polinomios de grado tres entre cada par de puntos consecutivos.

Ahora tendremos en cambio el término de la segunda derivada sustituyendo la siguiente aproximación de la segunda derivada. f ' ' ( xi ) =

f ( x i+2 )−2 f ( x i +1) + f ( x i ) h

2

+0h

De la ecuación del despeje se obtiene.

Se divide el intervalo de aproximación en trozos más pequeños por lo que proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y sus cálculos no son muy complejos. Se aprendió que el método de la Diferenciación de Alta Exactitud parte de la fórmula de la Serie de Taylor y ciertos despejes de la Segunda derivada.

Se comprendió que para obtener las f ( x i+1 ) −f ( x i ) f ( x i+2 ) −2 f ( xi +1 ) +f ( x i ) fórmulas de Diferencias Dividas f ( x i )= − h+ 0 h2 h 2 h2 Centrales se sigue el mismo procedimiento algebraico que para las delanteras y posteriores. Y al agrupar términos se obtiene. '

'

f ( x i )=

−f ( x i+2 )−4 f ( xi +1 )−3 f ( x i ) 2h

Al haber realizado este proceso se puede observar que al incluir el término de la segunda derivada mejora la exactitud. Es posible desarrollar versiones similares mejoradas para las fórmulas de las Diferencias Divididas Centrales para lo cual se debe de guiar por la formula general de la Serie de Taylor y sus términos de la segunda derivada. Con lo que se obtiene: FORMULA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS CENTRALES Primera Derivada f ' ( x i )=

'

f ( x i )=

f ( x i+1 ) −f ( x i−1 ) 2h −f ( x i+2 ) +8 f ( x i +1) −8 f ( x i−1 ) + f ( x i−2 ) 12 h

3. Conclusiones Al investigar sobre este tipo de Splines se ha encontrado que es la aproximación polinómica fragmentaria más común;

4. Bibliografía [1] W. Mora, Introduccion a los metodos numericos, Costa Rica, 2013. [2] I. F. Asmar Charris, Metodos Numericos Un primer curso, Medellín: Graficas Montoya, 1999. [3] S. C. Chapra y R. P. Canale, Metodos númericos para ingenieros, Mexico: McGraw-Hill Interamericana, 2007.

CÓDIGOS DE MATLAB (SPLINES CÚBICOS)

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