SOMMAIRE Plasticité Fatigue Et Rupture

Table des matières 1

Tenseur des contraintes en un point d’un solide chargé 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

2

3

4

Notation indicielle État de contrainte en un point Directions et contraintes principales Contraintes de cisaillement maximal et octaédrique Cercles de Mohr Déviateur des contraintes État de cisaillement pur Bibliographie Exercices

1 2 6 7 10 11 12 13 14 14

Tenseur des déformations en un point d’un solide chargé

16

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

17 19 20 21 21 23 23

État de déformation en un point Interprétation physique des composantes du tenseur des déformations Déformations principales : invariants du tenseur des déformations Glissements maximal et octaédrique Déviateur des déformations Équations de compatibilité des déformations Exercices

Équations de l’élasticité linéaire

26

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

27 29 30 31 37 41 41

Équations de comportement élastique linéaire Énergie de déformation Principe de solution des problèmes d’élasticité Élasticité plane Utilisation des coordonnées cylindriques Bibliographie Exercices

Critères de limite d’élasticité et de rupture

45

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

46 47 51 54 57 60 64 65 66 67

Comportements limites en tension-compression Critères de limite d’élasticité pour les matériaux ductiles Critères de rupture pour les matériaux fragiles Représentation dans l’espace de Haigh-Westergaard Surfaces limites pour les matériaux ductiles Écrouissage Surfaces limites pour les matériaux fragiles Note historique (critères de limite d’élasticité) Bibliographie Exercices

vi

Plasticité, fatigue et rupture des matériaux métalliques 5

Équations de déformation (ou d’écoulement) dans le domaine plastique

70

5.1 5.2

71

5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 6

Modélisation du comportement élastoplastique uniaxial 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

7

8

9

Déformations dans le domaine plastique Effet du trajet de chargement sur l’état de déformation en un point d’un solide Équations de Prandtl-Reuss d’écoulement plastique Travail plastique – mesure de l’écrouissage Équations d’écoulement associées au critère de Tresca Théories incrémentales et totales Bibliographie Exercices

Introduction Matériau élastique parfaitement plastique Contraintes résiduelles Matériau élastique parfaitement plastique : adaptation et rochet Matériau à écrouissage linéaire Matériau à écrouissage non linéaire Bibliographie Exercices

71 73 76 80 81 82 82 84 85 85 89 93 99 103 108 109

Caractérisation de la résistance des matériaux à la fatigue

113

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

114 115 120 121 127 128

Introduction Essais de fatigue normalisés – courbe S/N d’un matériau Correction des résultats d’essais normalisés Chargements à valeur moyenne non nulle – diagramme de Haigh Bibliographie Exercices

Calcul de l’endommagement pour les chargements d’amplitude variable

130

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

131 132 134 141 143 144

Introduction Fraction de vie et règle de cumul linéaire de Palmgren-Miner Autres règles de cumul du dommage Comptage des cycles Bibliographie Exercices

Concentration de contrainte et résistance à la fatigue

147

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

148 149 150 153 154 155 155 156

Facteur de concentration théorique Kt Facteur effectif de concentration en fatigue Kf Relation entre Kf et Kt Endurances limitées Contrainte moyenne non nulle Conclusion Bibliographie Exercices

vii 10 États de contrainte complexes 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

Cycle de contrainte en un point Représentation dans l’espace de Haigh-Westergaard Critères de limite d’endurance Critères de Sines et de Crossland Critère de Dang Van Conclusion Bibliographie Exercices

11 Calculs de fatigue basés sur la déformation : fatigue oligocyclique 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8

Introduction Comportement cyclique des métaux dans le domaine plastique Courbe de fatigue oligocyclique Concentration de contrainte et plasticité Influence des concentrations de contrainte en fatigue Charges d’amplitude variable Bibliographie Exercices

12 Solides fissurés – étude énergétique de la rupture 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8

Mécanique de la rupture Énergie potentielle d’un solide chargé Application au cas d’un solide fissuré chargé Fissure de Griffith Taux de restitution d’énergie potentielle Complaisance (compliance) d’une pièce fissurée Bibliographie Exercices

13 Solides fissurés – contraintes et déplacements 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Calcul des contraintes dans une plaque fissurée en tension Plaque fissurée en tension – interprétation Influence de la configuration Bibliographie Exercices

14 Modes de fissuration 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5

Définitions Contraintes et déplacements Rupture en mode mixte Bibliographie Exercices

159 160 162 164 165 172 175 175 176 178 179 179 183 187 190 193 197 198 200 201 204 205 207 210 212 216 217 219 220 226 230 235 235 238 239 240 243 247 247

viii

Plasticité, fatigue et rupture des matériaux métalliques 15 Influence de la plasticité du matériau 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6

Introduction Zone plastique d’Irwin Zone plastique de Dugdale-Barenblatt Forme de la zone plastique Bibliographie Exercices

16 Fissures elliptiques 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9

Introduction Fissure circulaire dans un solide infini Fissure elliptique interne Fissure elliptique de surface Correction de zone plastique Correction pour la proximité des surfaces libres Fissure elliptique interne proche d’une surface libre Bibliographie Exercices

17 Mesure de la résistance à la rupture 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7

Introduction Déformation plane – mesure de KIc Relation entre Kc et KIc Calcul de KIc à partir de l’essai Charpy Ténacité dynamique KId d’un matériau Bibliographie Exercices

18 Critères de rupture dans le domaine élastoplastique 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6

Introduction Écartement en fond de fissure (C.O.D.) Intégrale J de Rice Conditions de contrainte plane ou mixte – courbe R Bibliographie Exercices

19 Rupture par fatigue 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8

Introduction Amplitude 'K du facteur d’intensité de contrainte Chargement cyclique d’amplitude constante – loi de Paris Application de la loi de Paris Influence du niveau moyen des contraintes Chargements d’amplitude variable Fatigue en mode mixte Fissures courtes

249 250 250 254 257 260 260 261 262 262 264 265 266 268 269 271 272 274 275 277 281 281 284 285 286 288 289 289 290 295 296 297 299 300 300 301 303 303 307 311 312

ix 19.9 19.10

Bibliographie Exercices

20 Autres aspects de la mécanique de la rupture et de la fatigue 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5

313 314 317

Introduction Dynamique de la rupture Corrosion fissurante Fatigue de fretting Bibliographie

318 318 322 325 326

Annexe A

Comportement plastique des métaux

328

Annexe B

Facteurs de concentration de contrainte Kt

340

Annexe C

Fonctions analytiques d’une variable complexe

351

Annexe D

Recueil de facteurs d’intensité de contrainte pour quelques cas particuliers

355

Divers

362

Annexe E Index

366

1

Tenseur des contraintes en un point d’un solide chargé 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Notation indicielle État de contrainte en un point Directions et contraintes principales Contraintes de cisaillement maximal et octaédrique Cercles de Mohr Déviateur des contraintes État de cisaillement pur Bibliographie Exercices

2

Plasticité, fatigue et rupture des matériaux métalliques

1.1

NOTATION INDICIELLE Dans ce livre, on utilise généralement les notations (x,y,z) pour désigner les axes cartésiens. Cependant, dans certains cas, la notation dite indicielle est plus pratique, car elle conduit à des équations plus compactes. Elle consiste à désigner chaque axe par un chiffre. Le repère cartésien devient alors (1,2,3). L’utilité de cette notation peut être mise en évidence par les exemples suivants.

&

Un vecteur V est défini par ses trois composantes : Repère (x,y,z) :

(Vx, Vy, Vz)

Repère (1,2,3) :

(V1, V2, V3) 3

z

V 2 y 1 x

Figure 1.1

& D’autre part, le vecteur V peut aussi être appelé vecteur Vi , où l’indice i représente les trois valeurs 1, 2 ou 3. Cette façon de noter un vecteur est dite notation indicielle. (Note : sur les figures, un vecteur sera noté en caractères gras.) Un tableau carré [A] de neuf valeurs définies par rapport aux repères cartésiens (x,y,z) ou (1,2,3) peut s’écrire :

> A@

ª Axx « « Ayx « ¬« Azx

Axy Ayy Azy

Axz º » Ayz » » Azz ¼»

ª A11 « « A21 «¬ A31

A12 A22 A32

A13 º » A23 » A33 »¼

(1)

En notation indicielle, cependant, le tableau est simplement représenté par Aij, où il est entendu que i et j prennent chacun les trois valeurs possibles 1, 2, et 3, qu’on écrit : (i,j = 1,2,3).

1 Tenseur des contraintes en un point d’un solide chargé

3

CRITÈRE DE TENSORIALITÉ On considère deux repères cartésiens (1,2,3) et (1’,2’,3’). Les cosinus directeurs des axes

&

(1’,2’,3’) par rapport à (1,2,3) forment une matrice " ij . Les composantes Vi du vecteur V

dans (1,2,3) deviennent des composantes Vi’ dans (1’,2’,3’). Les Vi’ sont reliées aux Vi par les trois équations : 3

¦" V

Vic

ij

(2)

j

j 1

3 2’ 3’ 2

1 1’

Figure 1.2 Si le changement de repère modifie les neuf composantes Aij définies précédemment en Aijc et si la relation entre ces composantes est donnée par les neuf équations : 3

Aijc

3

¦¦ "

pi " qj Apq ,

(3)

p 1q 1

on dit que les neuf valeurs Aij sont les composantes d’un tenseur cartésien du second ordre A. Plus brièvement, on dit que Aij est un tenseur du 2e ordre [3]1.

&

Le vecteur V est, quant à lui, un tenseur du 1er ordre. On pourrait aussi définir des tenseurs du 3e ordre, Bijk, ayant 27 composantes ; du 4e ordre, Cijkl, ayant 81 composantes, etc. Pour que ces quantités soient des tenseurs, il faut que leurs composantes se transforment suivant des équations du même type que les équations (2) et (3) lorsqu’on passe de (1,2,3) à (1’,2’,3’).

CONVENTION DE SOMMATION Dans toutes les équations de transformation, telles que (2) et (3), apparaissent des 6 indiquant une somme. On remarque que cette somme porte toujours sur un indice qui 1

Les nombres entre crochets renvoient à la bibliographie donnée à la fin du chapitre.

4

Plasticité, fatigue et rupture des matériaux métalliques est répété dans chaque facteur. On convient donc que la simple répétition d’un indice dans un facteur suffit pour indiquer la sommation. Il faut alors faire prendre à cet indice les valeurs 1, 2 et 3. On appelle cette convention, la convention d’Einstein. Les équations (2) et (3) deviennent :

Vic " ijV j Aijc

(4)

" pi " qj Apq

(5)

QUELQUES PROPRIÉTÉS DES TENSEURS CARTÉSIENS DU 2E ORDRE – Égalité de deux tenseurs Aij et Bij :

Bij  i, j

Aij

(6)

– Addition (on obtient un nouveau tenseur Cij) :

Aij  Bij

Cij

(7)

– Contraction d’un tenseur (convention d’Einstein) :

A11  A22  A33

Aii

(8)

Cette opération fait passer d’un tenseur d’ordre 2 à un tenseur d’ordre 0 (un scalaire). – Produit de deux tenseurs :

Aij Bk "

Cijk "

(9)

Cijk " est un tenseur du 4e ordre. – Produit contracté de deux tenseurs :

Aij Bij

A11 B11  A12 B12    A33 B33 Aij

– Tenseur symétrique :

Aij

– Tenseur antisymétrique :

(10)

A ji

 A ji

– Tenseur Delta de Kronecker :

Gij

­0 ® ¯1

ªGij º ¬ ¼

iz j i j ª1 0 0 º «0 1 0» « » «¬ 0 0 1 »¼

(11)

(12)

1 Tenseur des contraintes en un point d’un solide chargé

5

L’ANALYSE VECTORIELLE SOUS FORME INDICIELLE Les coordonnées d’un point par rapport au repère (1,2,3) sont les composantes du vecteur joignant l’origine à ce point. Par rapport à un repère cartésien, ce vecteur est défini par les trois composantes (x1,x2,x3), ou encore xi.

Cas d’une fonction scalaire On considère la fonction scalaire A(x1,x2,x3) { A(xi), définie en chaque point xi d’un certain domaine de l’espace. On définit l’opérateur différentiel suivant :

§ w w w · § w ·& (13) ¨¨ wx , wx , wx ¸¸ ¨¨ wx ¸¸ e(i ) i ¹ 2 3¹ © © 1 & C’est un vecteur. L’indice du vecteur unitaire e(i ) est mis entre parenthèses pour indiquer ’

que l’expression n’est pas tensorielle, mais vectorielle. Cependant, la convention de sommation d’Einstein s’applique encore.

Gradient Le gradient de la fonction scalaire A(xi) consiste à appliquer l’opérateur ’ sur la fonction A. Il fait passer de la fonction scalaire A à un vecteur grad ( A)

§ wA wA wA · ’A ¨¨ , , ¸¸ © wx1 wx2 wx3 ¹

§ wA · & ¨¨ ¸¸ e(i ) © wxi ¹

(14)

La dérivation par rapport à la variable xi est indiquée par une virgule suivie de l’indice de la variable correspondante, soit

wA wxi

A,i

(15)

Le gradient de A(xi) s’écrit donc simplement comme un vecteur A,i.

Cas d’une fonction vectorielle

&

&

On considère la fonction vectorielle V ( x1 , x2 , x3 ) { V ( xi ), ce qui signifie que chacune des

&

composantes Vi de V est une fonction scalaire Vi(xj). On peut appliquer l’opérateur ’

& & & de V , soit par un produit vectoriel, ce qui donne le rotationnel de V .

sur le vecteur V de deux façons : soit par un produit scalaire, ce qui donne la divergence

Divergence

&

Le produit scalaire de ’ et de V

& divergence de V :

fait passer d’un vecteur à un scalaire appelé la

& & wV wV wV wV div V { ’V { 1  2  3 { i , wx1 wx2 wx3 wxi

(16)

6

Plasticité, fatigue et rupture des matériaux métalliques ou encore avec la notation indicielle :

& div V { Vi ,i

(17)

Rotationnel &

Le produit vectoriel de ’ et de V fait passer d’un vecteur à un autre vecteur appelé le

&

rotationnel de V :

& & & § wV wV wV wV wV wV · rot V { curl V { ’ u V { ¨¨ 3  2 , 1  3 , 2  1 ¸¸ © wx2 wx3 wx3 wx1 wx1 wx2 ¹ & & rot V {ikm Vk ,i e( m) ,

(18)

(19)

où ijk est un tenseur du 3e ordre dit tenseur de permutation tel que :

ijk

1.2

­1 ° ®1 °0 ¯

si

iz jzk

et

i, j , k : permutation cyclique directe

si

iz jzk

et

i, j , k : permutation cyclique inverse

si

deux indices sont égaux

(20)

ÉTAT DE CONTRAINTE EN UN POINT Vy

y

Wyx

Wyz

Wxy Wzy

(S)

Vx

P

Wzx P

Wxz

x

Vz z

Figure 1.3 Dans le repère cartésien (x,y,z), l’état de contrainte au point P du solide chargé (S) est défini par les composantes de contrainte sur trois facettes orthogonales représentées par un cube élémentaire. C’est un tenseur du 2e ordre V, appelé tenseur des contraintes de Cauchy. Par rapport au repère cartésien, il est défini par neuf composantes : trois contraintes normales (Vx, Vy, Vz) et six contraintes de cisaillement (Wxy, Wyz, Wzx, Wyx, Wxz, Wzy), qu’on présente sous forme de tableau (3 × 3) :